e book cinematica rigidului

Download e Book Cinematica Rigidului

Post on 03-Apr-2018

223 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului

    1/103

    CINEMATICA

    RIGIDULUI

  • 7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului

    2/103

    CINEMATICA CORPULUI RIGID 1

    CINEMATICA CORPULUI RIGID

    8.1. Elementele generale ale micrii corpului rigid

    8.1.1 Problemele cinematicii corpului rigid

    Corpul rigid este un element important n tehnic i semnific un corpmaterial n form fix, compus din particule elementare pentru care distana dintreoricare dou puncte ale sale nu se modific n timp i n spaiu.

    Experiena arat c modelele abstracte de punct material i corp rigid reflectanumite proprieti reale ale corpurilor, ceea ce justific folosirea acestora.

    Conceptul de corp rigid are avantajul de a simplifica studiul micrii corpuluiin sensul adoptrii unui numar finit de parametri care s defineasc poziia corpului nmiscare, cu toate c un corp rigid este format dintr-un numr infinit de puncte.

    Micarea unui corp fat de un sistem de referina este cunoscut , dac se potdetermina legile de micare, traiectoria, viteza i acceleraia fiecrui punct din corp.Prin legile de micare ale unui corp rigid se neleg functiile scalare de timp care

    determin in orice moment al miscarii, poziia corpuluifa de un reper. Practic nueste posibil s se descrie miscarea rigidului prin miscarea fiecarui punct, dar estesuficient s fie cunoscut n fiecare moment al miscrii, numai poziiile unor punctedin care, pe baza pstrrii distanelor dintre puncte se vor determina poziiilecelorlalte puncte din rigid. Numrul minim al funciilor scalare independente caredetermina poziia corpului in orice moment reprezint numrul gradelor de libertateale corpului. Functiile scalare care determin micarea corpului sunt elementegeometrice (distane, unghiuri), funcii de timp. Alegerea acestor elemente depinde decondiiile n care corpul execut miscarea, de natura legturilor, etc. Legturile la careeste supus un corp (sau sistem de corpuri) micoreaz numrul gradelor de libertate.

    Obiectul prezentului capitol este constituit din urmtoarele doua probleme:1) fiind date legile de micare ale corpului rigid, se cauta legile de miscare,

    traiectoriile, vitezele si acceleraiile punctelor rigidului.

    2) fiind date micrile unor puncte ale corpului, vom cuta s determinmlegile de micare pentru corp, adic a oricror puncte din corp.

  • 7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului

    3/103

    CINEMATICA CORPULUI RIGID 2

    8.1.2. Legile de miscare

    In acest capitol, studiul micrii unui corp rigid se face studiind micareaunui sistem de axe mobil, legat de corpul n micare, fa de un sistem de referin fix.

    Poziia unui corp rigid faa de un anumit reper din spaiul Euclidiantridimensional R3 este cunoscut dac se cunosc poziiile a trei punct necoliniare dinrigid.

    Considerm sistemul de axe fixe O1x1y1z1 i sistemul de axe mobile Oxyzinvariabil legat de corpul n micare. Fa de reperul fix considerm trei punctenecoliniare A, B si C. Poziia oricarui alt punct M din rigid este cunosctu deoarece

    distanele AM, BM si MC sunt fixate. Pozitia fiecarui punct, se tie c depinde de treifuncii scalare independente de timp, deci de trei parametrii, astfel c pentru cele treipuncte A,B,C sunt necesari 3x3=9 parametri pe care i vom considera coordonatelepunctelor respective. Dar distanele AB, BC i AC rman nemodificate n cursulmiscrii, astfel c putem scrie urmtoarele relaii de legtur dintre aceste coordonate:

    const)zz()yy()xx(AC

    const)zz()yy()xx(BC

    const)zz()yy()xx(AB

    2CA

    2CA

    2CA

    2

    2CB

    2CB

    2CB

    2

    2BA

    2BA

    2BA

    2

    =++=

    =++=

    =++=

    (8.1)

    Urmeaz c din cei 9parametri rmn 9-3=6parametri independeni de underezult c un corp rigid liber are6 grade de libertate.

    Originea reperului Oxyzlegat de corpul n micare, oalegem ntr-un punct arbitrar O(fig. 8.1) Deoarece acest sistemse misc impreun cu corpulrigid (C) dar nu independent fade acesta, este suficient sstudiem miscarea sistemuluimobil Oxyz n raport cu sistemulfix O1x1y1z1. Determinarea

    poziiei corpului rigid revine la determinarea pozitiei sistemului Oxyz faa desistemul O1x1y1z1.

    Originea sistemului mobil O este determinat prin cunoasterea vectorului sude poziie pe care l raportm la reperul fix:

    10101010 kzjyixOOr ++== (8.2)

    fig. 8.1

  • 7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului

    4/103

    CINEMATICA CORPULUI RIGID 3

    ceea ce conduce la cunoaterea funciilor scalare de timp:x0=x0(t); y0=y0(t); z0=z0(t); (8.3)

    Funcia vectorial )t(r0 este o funcie de timp continu, uniform i

    derivabil de cel puin dou ori.Versorii k,j,i sunt la rndul lor funcii de timp, deoarece i schimb poziia

    n timp odat cu axele pe care le caracterizeaz. Se tie c orice vector funcie de timpse exprim cu ajutorul a trei funcii scalare de timp, de exemplu proieciile sale pe unanumit sistem de axe. Deci pentru cei trei versori mobili sunt necesare 3x3=9 funciiscalare de timp. Dar aceste funcii nu sunt independente, deoarece se pot scrie 6 relaiispecifice din condiiile ca vectorii k,j,i sa fie ortonormai:

    1k1;j1;i 222 === (8.4)

    0ik0;kj0;ji === (8.5)Rezult c pentru determinarea direciilor axelor sistemului de referin

    mobil, sunt necesari trei parametri de poziie independeni. Deci numrul funciilor detimp scalare independente ce determina poziia sistemului de referin mobil este 6,adic egal chiar cu numrul gradelor de libertate ale corpului rigid liber.

    Pentru a stabili legea de micare a unui punct arbitrar M din corp, considermurmtorii vectori: vectorul de poziie al punctului M fa de reperul fix O1x1y1z1:

    11111111 kzjyixMOr ++== (8.6)unde coordonatele x1,y1,z1 ale punctului M sunt funcii de timp necunoscute. Vectorulde poziie al punctului M faa de reperul mobil este:

    kzjyixMOr ++== (8.7)la care direcia este variabil dar modulul constant, deoarece distana dintre puncteleO i M nu se modific, conform ipotezei rigiditaii corpului:

    OM2=x2+y2+z2=constant (8.8)

    ntre vectorii r,r,r o1 exist relaia de legtur (fig 8.1):

    rrr o1 += (8.9)ceea ce reprezint legea de micare a punctului M sub form vectorial.

    Ecuaia (8.9) proiectat pe axele sistemului de referin duce la urmatoarelerelaii scalare:

    )k,kcos(z)k,jcos(y)k,icos(xzz

    )j,kcos(z)j,jcos(y)j,icos(xyy

    )i,kcos(z)i,jcos(y)i,icos(xxx

    11101

    11101

    11101

    +++=

    +++=

    +++=

    .10)

    Ecuaiile (8.10) reprezint legea de micare a punctului M in raport cusistemul de referin fix (legea de micare absolut), sau ecuaiile parametrice aletraiectoriei punctului M fa de sistemul de referin fix.

  • 7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului

    5/103

    CINEMATICA CORPULUI RIGID 4

    8.1.3 Derivata absoluti relativ a unei funcii vectoriale de timp

    Fie O1x1y1z1 i Oxyz dou sisteme de referin triortogonale drepte, primulfix iar al doilea mobil, avnd versorii 111 k,j,i respectiv k,j,i (fig. 8.1) i un vector

    )t(u variabil. Notm vectorul )t(u raportat la sistemul de referin fix astfel:

    kujuiuu111 z1y1x

    ++= (8.11)

    Fa de sistemul de referin mobil, vectorul )t(u se scrie sub forma:

    kujuiuu zyx ++= (8.12)Derivata n raport cu timpul a functiei vectoriale )t(u raportat la sistemul de

    referin fix se numete derivat absoluti se noteaz

    kujuiuudt

    ud111 z1y1x

    &&&& ++== (8.13)

    Derivata n raport cu timpul a funciei vectoriale (8.12) este:

    kujuiukujuiuu zyxzyx&&&

    &&&& +++++= (8.14)

    Prin analogie cu derivate absolut (8.13) a vectorului (8.11) definim derivaterelativ fa de sistemul mobil n raport cu timpul a funciei vectoriale u i se noteaz

    cu

    t

    u

    , vectorul

    kujuiut

    uzyx

    &&& ++=

    (8.15)

    O astfel de derivat mai este numit i derivat local. Din relaiile (8.13),(8.14) si (8.15) deducem:

    kujuiut

    u

    dt

    duzyx

    &&& +++

    = (8.16)

    Pentru a calcula derivata in raport cu timpul a versorilor axelor mobile, vomderiva relaiile de ortonormalitate (8.4) si (8.5) n raport cu timpul i obinem:

    0kk0;jj0;ii === &&& (8.17)

    0ikik0,kjkj0,jiji =+=+=+ &&&&&& (8.18)

    Prin convenie considerm vectorul vitez unghiular prin proieciile sale peaxele reperului mobil, obinute din relaiile (8.18)

    yxz ikik;kj-kj;ji-ji ======&&&&&&

    (8.19)

  • 7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului

    6/103

    CINEMATICA CORPULUI RIGID 5

    Pentru calculul vectorilor k,j,i &&& , considerm un vector oarecare care se scrie

    astfel:k)kV(j)jV(i)iV(kVjViVV zyx ++=++= (8.20)

    Punem n locul vectorului V pe rnd vectorii k,j,i &&& i inem seama de

    notaiile (8.19):

    ikjk)ki(j)ji(i)ii(i yz&&&&& ==++=

    jkik)kj(j)jj(i)ij(j xz =+=++=&&&&

    kjjk)kk(j)jk(i)ik(k xy ==++=&&&&

    (8.21)Relaiile (8.21) se numesc relaiile lui Poisson. Ultimul termen al relaiei

    (8.16), innd seama de relaiile lui Poisson, se mai scrie:

    =++=++ kujuiukujuiu zyxzyx&&&

    u)kujuiu( zyx =++ (8.22)

    n acest fel relaia (8.16) devine:

    ut

    uu +

    =& (8.23)

    Prin urmare derivate absolut a unui vector u variabil care este raportat la

    sistemul de referin mobil, se scrie cu ajutorul derivatei relativet

    u

    i a vectorului

    determinat cu versorii axelor mobile.Observaii:1) Dac vectorul u este invariabil fa de reperul mobil, relaia de legtur

    (8.23) devine:

    ut

    uu =

    =& (8.24)

    2) Dac n particular u = (vectorul vitez unghiular), obinem:

    & = =t

    + x =t

    = & x i + & yj + & z k (8.25)

    unde vectorul se numete accelerai