01 cinematica

1

conf. dr. fiz. Emilian DĂNILĂ

2

-Prezența la activitățile de laborator și seminar este

obligatorie!

-Contribuția acestor activități este de 25% din nota

finală !

-Prezența la curs NU este obligatorie și NU

contează la nota finală!

-Activitatea la curs se încheie cu examen scris!!!

CUM PROMOVĂM EXAMENUL?

4

PUȚINĂ ISTORIE A.GRECIA ANTICĂ - începuturile

Aristotel- primele studii sistematice

260 IC – Arhimede demonstrează matematic principiul pârghiilor

B. EVUL MEDIU

Școlile arabă și persană din secolele XI – XIII prezintă formulări primare

ale unor concepte fundamentale de mecanică: inerție, impuls,

proporționalitate între forță și accelerație.

C. SURSELE DE INSPIRAȚIE PENTRU NEWTON

1581 - Galileo Galilei descoperă izocronismul micilor oscilații ale

pendulului.

1589 - Galileo Galilei încearcă să demonstreze că în cădere liberă

corpuri cu mase diferite cad cu aceeași accelerație.

1638 - Galileo Galilei publică Dialoguri Privind Două Noi Științe.

1668 - John Wallis sugerează legea conservării impulsului.

1676-1689 - Gottfried Leibniz dezvoltă o teorie limitată a conservării

energiei.

5

PUȚINĂ ISTORIE

D. MECANICA NEWTONIANĂ …

1687 - Isaac Newton publică Philosophiae Naturalis Principia

Mathematica, în care sunt formulate legile mișcării ale lui Newton și

legea gravitației universale a lui Newton.

1739 - Leonhard Euler rezolvă ecuația diferențială a mișcării

oscilatorului forțat și observă fenomenul de rezonanță.

1788 – Joseph Louis Lagrange prezintă ecuațiile de mișcare Lagrange

în “Mechanique Analitique”

1821 – William Hamilton începe analiza funcției analitice Hamilton.

1835 – William Hamilton prezintă ecuațiile canonice Hamilton.

1835 – Gaspard Coriolis formulează efectul Coriolis.

1842 – Christian Doppler prezintă efectul Doppler.

1851 – Leon Foucault demonstrează rotația Pământului cu ajutorul unui

pendul lung (pendulul Foucault).

6

NOŢIUNI GENERALE

FIZICA - parte a ştiinţei care studiază legile ce guvernează

comportamentul extern şi intern a corpurilor din Univers şi

interacţiunea acestora.

Mărime fizică – orice proprietate măsurabilă a unui corp, care

poate fi modelată matematic printr-un scalar, vector, tensor,

spinor, etc.

Mărimea fizică este descrisă prin :

Definiţia – arată proprietatea pe care o măsoară,

Simbolul – litera cu care este notată, recunoscută,

Formula – relaţia matematică,

Unitatea de măsură – permite descrierea cantitativă,

Măsurarea – instrumentul de determinare a valorii.

7

CLASIFICAREA

MĂRIMILOR FIZICE

Mărimi fizice scalare – mărimile caracterizate integral printr-o valoare algebrică.

Mărimi vectoriale – mărimi caracterizate prin valoare şi orientare (origine, direcţie şi sens).

- Vectorul – simbolul matematic al unei mărimi vectoriale.

Caracteristicile unui vector: Direcţie – dreapta suport

Origine – punct de aplicaţie

Modul – valoare algebrică (lungimea), notat

Sens

a a a

8

VECTORI Vector opus: fiind dat un vector , prin vectorul opus,

notat , se înțelege un vector de aceeași direcție, același

modul, dar având sens diferit.

Vom numi vector nul, notat , un vector al cărui modul

este nul (în acest caz direcția și sensul sunt

nedeterminate).

Vom numi versor, un vector de modul unitar. Pentru

orice vector nenul există un versor definit prin

b

b

b

b

v

0

9

COMPONENTELE UNUI VECTOR Fiind dat un vector și o direcție orientată u, se definește

componenta vectorului după direcția u, notată vu,

produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului

q dintre vector și direcția orientată u.

vv

v

a

j

xa

ya

Ax

Ay A

y

xi

În raport cu un sistem de coordonate se

obține

A Aa x i y j xa

Ax i

ya Ay j

x ya a a

10

OPERAŢII CU VECTORI

Compunerea vectorilor – include însumarea şi

diferenţa a doi vectori .

Metode de compunere – grafică, analitică.

ba

ba

Concluzie – vectorul sumă este diagonala mare, iar

vectorul diferenţă este diagonala mică, a paralelogramului

format de cei doi vectori.

a

b b

11


Regula paralelogramului – constă în compunerea

vectorilor prin poziţionarea acestora cu originea comună.

Diferenţa = suma vectorului cu opusul celui de-al

doilea.

Vector opus – vector cu aceeaşi direcţie, acelaşi

modul, dar sens opus. Se simbolizează cu semnul

minus înaintea simbolului vectorului dat.

Modulul vectorului rezultant:

Unde

2 2 2 2 cosR a b a b

,a b

12


Regula poligonului – regula de compunere a mai mult

de doi vectori şi a vectorilor coliniari (vectori cu direcţii

paralele).

b

c

d

dcbaR

R

Concluzie – vectorul rezultant este vectorul care

închide conturul poligonal şi are originea în originea

primului vector.

a

13


2 a a a

2 a a a

a

a

a

a

2

a

2

Înmulţirea unui vector

cu un scalar – constituie de

fapt o adunare repetată.

Rezultatul este tot un

vector având aceeaşi

direcţie şi acelaşi sens

cu vectorul dat, pentru

scalar pozitiv şi sens

opus pentru scalar

negativ, iar modulul egal

cu produsul scalarului cu

modulul vectorului dat.

a

14


Se definește produsul scalar a doi vectori și , notat

, produsul dintre modulul unuia din vectori și

componenta celui de-al doilea vector după direcția

primului.

a b

a b

Produsul scalar este comutativ și

distributiv în raport cu adunarea

vectorilor.

15


Se definește produsul vectorial a doi vectori și ,notat ,

vectorul care are modulul egal cu aria paralelogramului format cu cei

doi vectori, direcția perpendiculară pe planul format de cei doi vectori

și sensul stabilit cu regula burghiului drept.

a b a b

Produsul vectorial este anticomutativ

și distributiv în raport cu adunarea

vectorilor.

16


În cazul versorilor

Calcul analitic

17


Calcul analitic

18

NOŢIUNI GENERALE

FIZICA - parte a ştiinţei care studiază legile ce guvernează

comportamentul extern şi intern a corpurilor din Univers

şi interacţiunea acestora.

Mecanica – parte a fizicii care studiază fenomene legate

de mişcarea mecanică a obiectelor (corpuri

macroscopice).

Mișcare mecanică Mecanica corpurilor

macroscopice

19

STUDIUL MIŞCĂRII MECANICE

CINEMATICA – studiază mişcarea mecanică fără a

analiza cauzele mişcării.

Mărimile fizice cu care operează cinematica sunt: poziția,

viteza și accelerația.

În cinematică sunt două mărimi fundamentale care se

determină prin măsurare:

- Intervalul dintre două puncte din spațiu (lungimea);

- Intervalele de timp.

DINAMICA – studiază mişcarea mecanică pornind de la

cauzele mişcării.

STATICA – studiază un caz particular al mişcării

mecanice, repausul, mai exact starea de echilibru a

corpurilor.

21

CINEMATICA

Obiectiv

Determinarea Legilor de Mișcare

Poziție(t), Viteză(t), Accelerație(t)

Descrierea

mișcării

mecanice

22

CINEMATICA

Mișcarea mecanică: schimbarea poziției unui corp în raport cu altele, considerate drept referință.

Caracter relativ

Definirea

sistemului de

studiat

Definirea

Sistemului

de Referință

(SR)

23

CINEMATICA

CORP DE REFERINȚĂ =corp sau sistem de

corpuri în raport cu care se studiază mișcarea.

Asociind corpului de referință un observator, un

sistem de coordonate și un instrument de măsurare

a timpului, obținem un sistem de referință.

x(t)

y(t)

z(t)

y

x

z

Important în studiul

cinematic al mişcării

este alegerea

sistemului de referinţă

cel mai favorabil.

Sistemul de referinţă,

bine ales, implică o

uşurare a studiului

mişcării.

24

Cinematica foloseşte noţiunile de :

Punct material - punct geometric cu masă.

Coordonate – mărimile fizice care definesc poziţia

mobilului în timp (coordonate temporale) şi spaţiu

(coordonate spaţiale)

Traiectorie – mulţimea punctelor atinse de mobil în

mişcare (urma lăsată de mobil în mişcare).

Traiectoriile pot fi :

Rectilinii

Curbilinii

CINEMATICA

25

Problema generală a cinematecii este aceea de a determina

traiectoria, viteza și acceleraţia, dacă se cunoaşte legea de

mişcare a mobilului.

Fie dat un sistem de referinţă cartezian Oxyz, legile de

mişcare pe cele trei direcţii se pot scrie:

z

M

y

x

kr

ij

xryr

zr

1 2 3x f (t), y f (t), z f (t)

sau r f t

unde r xi yj zk

i, j,k, sunt

versorii celor trei axe .

CINEMATICA

este vectorul de poziție.

Originea sa este în originea sistemului de coordonate și extremitatea în

poziția instantanee a mobilului pe traiectorie

r

26

Dacă la momentul inițial (t1) corpul se găsește în punctul A(t1),

caracterizat de vectorul de poziție , iar la momentul t2 corpul a ajuns

în punctul B(t2), caracterizat de vectorul de poziție , atunci vectorul

diferență se numește vector deplasare.

2 1

2 1

2 1

Δx x - xr r r sau

y y y

O

A(t1)

B(t2)

x

y

2y

1r

2r

r

x

1x 2x

1y Distanţa parcursă d

Modulul deplasării

≤ distanţa parcursă

y

CINEMATICA

1r

2r

2 1r r r

27

m m

r 1v v Δr

t Δt

Pentru a compara diverse mișcări, trebuie să comparăm deplasările

mobilelor efectuate în același interval de timp. Cunoscând

deplasarea efectuată în intervalul de timp t se determină

deplasarea din unitatea de timp, adică viteza medie:

SI

m v

s

Rezultă că viteza medie are

același sens cu vectorul

deplasare (înmulţirea unui vector

cu un scalar) x

1y

O

A(t1)

B(t2)

y

2y

1r

2r

r

1x 2x

mv

CINEMATICA

r

28

t dtt 0 r 0

r dr

Pentru determinarea vitezei mobilului în fiecare punct, se consideră

timpi infinitezimali de mişcare (Δt→0), pentru care corespund

deplasări la fel de mici. Se obține astfel viteza instantanee:

drv

dt

Dat fiind faptul ca deplasarea tinde la zero,

vectorul deplasare are direcţia tangentei,

prin urmare şi viteza momentană.

x

O

A(t1)

B(t2)

y

2y

1r

2r

r

1x 2x

1yv

Vectorul viteză momentană este tangent în fiecare punct la traiectorie.

CINEMATICA

29

CAZUL MIŞCĂRII RECTILINII

UNIFORME Mişcare mobilului pe o traiectorie rectilinie cu viteza

constantă.

x0 0x x

0tA

x d

B t0r

r

r

v

Pentru viteză constantă, viteza medie devine identică cu viteza

momentană.

0 0

0 0

x x x x xr xv sau v dar v

t t tt t t t

0 0x x v t t Pentru t0=0, x-x0=d, rezultă relaţia

uzuală : d v t

30

x0G ot : x 0 t

fx x v t v0

G ox : t 0 x x0f

0;0v

xA

0

;0 xB

Determinăm punctele de intersecţie cu graficul:

Viteza este pozitivă când are sensul axei, arbitrar aleasă şi negativă în sens contrar.

y

x

0x

00

xv 0, x 0

v 0,0 0

0 xvv

x

0,0 00 xvv

x 0,0 0

0 xvv

x

0x

O

CAZUL MIŞCĂRII RECTILINII

UNIFORME

31

• Pentru a compara neuniformitatea diferitelor mișcări, trebuie

calculată variația vitezei într-un interval dat de timp. Mărimea

vectorială introdusă în acest scop se numește accelerație

medie.

• Acceleraţia este numeric egală cu raportul dintre variaţia vitezei

şi durata în care se produce această variaţie.

0m

0

v vΔva

Δt t t

2SI

ma

s

Orientarea acceleraţiei

medii este aceeaşi

cu cea a vectorului

variaţie a vitezei v

ma

O

A(t1)

B(t2)

y

1r

2r

1v

2v

v

ma

x

CINEMATICA

Accelerația instantanee se definește prin:

32

MIŞCAREA RECTILINIE UNIFORM

VARIATĂ

Mişcare mobilului pe o traiectorie rectilinie cu

acceleraţia constantă.

Legea mişcării rezultă din legea mişcării rectilinii uniforme

la care se înlocuieşte viteza cu valoarea medie a acesteia.

Pentru calculul valorii medii a vitezei trebuie determinată

funcţia de variaţie în timp a vitezei, deoarece :

Pentru o funcţie de gradul I – valoarea medie= media

aritmetică

Pentro o funcţie de gradul II – valoarea medie=media

geometrică

0 m 0x x v t t

33

Acceleraţia fiind constantă, valoarea medie devine

identică cu valoarea momentană:

Adică , relaţie care indică o dependenţă

liniară de timp a vitezei .

Prin urmare, valoarea medie a vitezei va fi :

În aceste condiţii viteza medie este :

0

0

v vva a

t t t

0 0v v a t t

0m

v vv

2

tfv

0 0 0

m

v a t t vv

2

m 0 0

av v t t

2


VARIATĂ

34

Înlocuind valoare medie a vitezei în relaţia legii mişcării

pentru o deplasare rectilinie, rezultă legea mişcării

rectilinii uniform variate:

Din legea mişcării rezultă o dependenţă pătratică a

coordonatei de timp , ceea ce se transcrie grafic

printr-o parabolă.


VARIATĂ

0 0 0 0

ax x v t t t t

2

2

0 0 0 0

ax x v t t t t

2

2x f t

35

x, v

O t

x, v

t

a>0 a<0

0xmx

mt0v

mx

0x

0v

mt

REPREZENTARE GRAFICĂ A

LEGII M.R.U.V. Dat fiind faptul că mişcarea poate avea loc cu creşterea vitezei sau cu

scăderea vitezei în timpul mişcării, vom distinge două tipuri de

mişcări :

-mişcare rectilinie uniform accelerată

- mişcare rectilinie uniform încetinită

O

v 0 a 0

v 0 a 0

36

CINEMATICA

Metode

•Vectorială (concisă, elegantă)

•Pe coordonate (număr mare de ecuații)

•Natural (coordonate curbilinii)

Problemele cinematicii

Poziție (t)

Viteză (t)

Accelerație (t)

Pro

ble

ma

Dire

ctă

Pro

blr

ma

Inv

ers

ă

37

CINEMATICA

r t t

r t

pozitie :r(t)

ttV

tV

t 0

r drviteză : V(t)

t dtlim

dVacceleratie : a(t)

dt

mV r

m

rviteza medie : V

t

r

deplasare : r r(t t) r(t)

m

V t t V tacceleratie : a

t

medie

Vectorială

dr

38

CINEMATICA

)(tx

)(ty

)(tzpozitii :x(t),y(t),z(t)

xx

dVacceleratii :a (t)

dty

y

dVa (t)

dt

zz

dVa (t)

dt

Pe coordonate

y

x

zdeplasări : x, y, z

x

dxviteze :V (t) ,

dt

dt

dytVy )(

dt

dztVz )(

39

CINEMATICA

dsviteză :V(t) V ,

dt

dt

dVtaT )(

Ta

a

N T

2 2a a a

n

0s0s

2

N

d Vacceleratie :a (t) V n

dt

Na

Natural

dV d

acceleratie :a(t) (V )dt dt

n

pozitie :s(t)

0s

40

CINEMATICA

METODOLOGIE

• Se identifică sistemul fizic de studiat

• Alegerea adecvată a SR

• Alegerea metodei sau metodelor de rezolvare (vectorială, pe coordonate sau natural) • Rezolvarea problemei directe (prin derivare) sau indirectă (prin integrare)

01 cinematica

Documents