2. reducerea sistemelor de forŢe aplicate rigidului

8/14/2019 2. Reducerea Sistemelor de Fore Aplicate Rigidului

1/17

STATICA

2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR E APLICATE RIGIDULUI

2.1. MOMENTUL UNEI FOR E N RAPORT CU UN PUNCT

Momentul unei for e n raport cu un punct exprim capacitatea for ei de aroti corpul asupra cruia acioneaz n jurul unei axe care trece prin acest puncti este perpendicular pe planul determinat de suportul for ei i punctul respectiv(fig.2.1.a).

Momentul unei for e F n raport cu un punctO este produsul vectorialdintre vectorul de poziie r , al punctului de aplicaie A, al for ei i for a F .

F r ) F ( M 0 = (2.1)

Conform proprietilor produsului vectorial, momentul ) F ( M 0 este un

vector aplicat n punctulO, perpendicular pe planuldefinit de vectoriir i F (fig.2.1.b), al crui sens estedat de regulaurubului drept(sensul de naintare alurubului aezat n punctulO pe suportul momentului 0M ,acionat de o cheie cu for a F avnd ca bra, vectorul de poziie r ), iar modulul datde relaia:

Fig. 2.1

) F ,r sin( F r ) F ( M 0 = (2.2)sau punnd n eviden distana b, de la punctulO, la suportul for ei F , numitbra ul for ei:

Fbb F ) F ( M 0 == (2.3) Propriet i:

1. Momentul unei for e n raport cu un punct este nul cnd suportul for eitrece prin acel punct.

9


2/17

2. Momentul unei for e n raport cu un punct nu se modific dac for a sedeplaseaz pe propriul suport.

Considernd for a F n dou poziii, A i B (fig.2.2.a)i notnd cur ,respectiv r , vectorii de poziie ai punctelor A i B, momentul n raport cu

punctulO al for ei F n cele dou situaii devine:

F r F ) ABr ( F r ) F ( M

F r ) F ( M

B0

A0

=+==

=

ntruct 0 F B = ,vectorii B i F fiind coliniari.3. Momentul uneifor e n raport cu un punct este unvector legat , motiv pentrucare se modific laschimbarea polului.

Fie O i O , punctele n raport cu carese calculeaz momentul for ei F .

Fig. 2.2

F OO ) F ( M F OO F r F )r OO( F r ) F ( M 0' 0 =+=+== (2.4)

ntruct punctulO reprezint originea sistemului, poziia tuturor celorlalte puncte se raporteaz la acest pol, motiv pentru care vectorul OOOO = .Relaia (2.4) exprim legea de varia ie a momentului la schimbare polului .

Expresia analitic . Avnd expresiile analitice ale vectorului de poziier i ale for ei F :

k F j F i F F ;k z j yi xr z y x ++=++= (2.5)

rezult expresia analitic a momentului for ei F n raport cu punctulO.

z y x

0

F F F

z y xk ji

F r ) F ( M == (2.6)

Proieciile momentului 0M pe axele sistemului triortogonalOxyz (carereprezint momentul for ei F n raport cu axele:Ox, Oy, Oz ) sunt:

(2.7)

=

==

x y z

z x y

y z x

yF xF M

xF zF M

zF yF M

10


3/17

Aplicaii. 1. Asupra unui rigid acioneaz o for P , orientat dup muchia FG acubului din figura 1.3. Muchia cubului avnd lungimeaa s se determine momentele acesteifor e n raport cu toate vrfurile cubuluii s se reprezinte vectorii moment.

Rezolvare . Se vor calcula mrimile vectorilor moment ca produs dintre for i braulfor ei (metoda braului), direciile i sensurile fiind indicate n figura 2.3.

aP 2 P =OG P OF M O ==

aP 2 P = AF P AF M A ==

aP P = BF P BF M B ==

aP P =CG P CF M C ==

aP P = DG P DF M D ==

aP P = EF P EF M E ==

Fig. 2.30M M G F == Conform proprietii 1, momentul for ei P n raport cu punctele F i G este nul,

ntruct suportul acesteia trece prin aceste puncte.Pentru verificarea calculului momentelor se utilizeaz metoda analitic:

aP 2 )aP ( )aP ( M

k aP jaP

00 P

aaa

k ji

P OF M

220

0

=+=

+=

==

aP 2 )aP ( )aP ( M

k aP jaP

00 P

aa0

k ji

P AF M

22 A

A

=+=

+=

==

aP M

jaP

00 P

a00

k ji

P BF M

B

B

=

=

==

aP M

k aP

00 P

0aa

k ji

P DF M

D

D

=

=

==

aP M

k aP

00 P

0a0

k ji

P EF M

E

E

=

=

==

2. O for F de mrime kN 9 F = acioneaz pe dreapta definit de segmentul AB ieste orientat de la A ctre B (fig.2.4). S se calculeze momentele for ei F n raport cu puncteleO, C i D, dac punctele respective au urmtoarele coordonate exprimate n metri: A(7,4,2); B(0,0,6); C(1,2,0); D(0,4,8) .

11


4/17

Rezolvare. Pentru rezolvarea problemei esteutilizat metoda analitic. For a F fiind un vector alunector, punctul de aplicaie al acesteia, situat pesegmentul AB se ia A. Cum expresiile momentuluifor ei F n raport cu cele trei puncte sunt:

Fig. 2.4

=

=

=

F DA ) F ( M

F CA ) F ( M

F OA ) F ( M

D

C

0

=

=

=

F r

F r

F r

D

C

0

vectorii DA ,CA ,OA i F se vor exprima prin proiecii pe axe.

=++==++=++==

++=++==

k 6 i7 k ) z z ( j ) y y( i ) x x( r DAk 2 j2i6 k ) z z ( j ) y y( i ) x x( r CA

k 2 j4i7 k z j yi xr OA

D A D A D A D

C AC AC AC

A A A0

Versorul for ei F este versorul segmentului AB, ABu i are expresia:

)k 4 j4i7 ( 91

447

k 4 j4i7

) z z ( ) y y( ) x x(

k ) z z ( j ) y y( i ) x x(

AB

ABu

2222 A B

2 A B

2 A B

A B A B A B AB +=

++

+=++

++==

For a F poate fi scris sub forma:

)kN ( k 4 j4i7 )k 4 j4i7 ( 91

9u F F AB +=+==

Vectorii momenti mrimile acestora devin:

mkN 4 ,484224 ) F ( M ; j42i24

447

247

k ji

F r ) F ( M 22000 =+==

==

mkN 4 ,42103816 ) F ( M ;k 10 j38i16

447

226

k ji

F r ) F ( M 222C C C =++==

==

mkN 4 ,39281424 ) F ( M ;k 28 j14i24

447

6 07

k ji

F r ) F ( M 222C D D =++=+=

==

2.2. CUPLUL DE FOR E

Cuplul de for e reprezint un sistem de dou for e egale i de sens contrar care ac ioneaz pe dou suporturi paralele asupra aceluia i rigid (fig.2.5).Cuplul de for e tinde s roteasc rigidul n jurul unei axe perpendiculare pe planul definit de suporturile celor dou for e.

12


5/17

Propriet i:1. Proiecia unui cuplu pe orice ax este nul. Se deduce c rezultanta

cuplului de for e este nul.Considernd axa de versor u , se

poate scrie: 0 ) F ( u F u =+ 2. Efectul cuplului de for e aplicatunui rigid se msoar prinmomentul cuplului .

F AB F )r r (

F r ) F ( r M

A B

B A

==

=+=(2.8)

Momentul cuplului de for e este unvector perpendicular pe planul for elor careformeaz cuplul, sensul fiind dat de regula produsului vectorial (urubului drept) iar mrimea este dat de produsul dintrefor i braul cuplului (distana dintre for ele cuplului msurat pe perpendiculara comun).

Fig. 2.5

Fb ) F , AB sin( F ABM == (2.9)3. Momentul cuplului de for e este un vector liber , ntruct r mne

neschimbat , indiferent de punctul fa de care se stabilete expresia sa. n raportcu un alt punctO , expresia momentului devine:

M F AB F )r r ( F r ) F ( r M A B B A ===+=

2.3. REDUCEREA UNEI FOR E APLICAT NTR-UN PUNCT ALRIGIDULUI. TORSORUL

Se consider un rigid acionat de o for F n punctul A, al crui vector de poziie n raport cu un punctO este r (fig.2.6). A reduce aceast for ntr-un punct oarecareO, nseamn a determina efectul mecanic exercitat nO, de for a F , aplicat n A.Avnd n vedere operaiile deechivalen, se introduc nO, for ele F i F .For ele F din A i F din O formeaz uncuplu al crui moment este F r M 0 =

For a F i cuplul de for e reprezentat prin momentul 0M se numescelemente dereducere n O ale for ei date. Ansamblul celor dou elemente alctuiesc torsorul de reducere n punctulO al for ei F aplicat n A i senoteaz: Fig. 2.6

13


6/17

= F r M

F

00 (2.10)

Schimbnd punctul de reducere nO , torsorul i modific numaimomentul a crei variaie la schimbarea polului este dat de relaia (1.4).

= F OOM M

F

0' 0' 0 (2.11)

2.4. REDUCEREA UNUI SISTEM DE FOR E APLICATE RIGIDULUI.TORSORUL DE REDUCERE. VARIAIA TORSORULUI CU

PUNCTUL DE REDUCERE. INVARIANI

Se consider un rigid acionat n punctele A1 , A2 ,, An, de for ele 1 F ,2 F ,.., n F , (fig.2.7.a). Un punct oarecare Ai, raportat la polulO este definit de

vectorul de poziie ir . A calcula efectul mecanic produs nO de aciuneasimultan a for elor din sistemul dat nseamn a reduce pe rnd toate for elesistemului, obinnd nO, dou sisteme de vectori concureni:

-sistemul de for e 1 F , 2 F ,.., n F , a crui rezultant este:

=+++=i

in21 F F ..... F F R (2.12)

-sistemul de cupluri 1M , 2M ,.., nM , al crui moment rezultant este: ==+++=i

iii

in210 F r M M .....M M M (2.13)

For a rezultant R i momentul rezultant 0M formeaz un sistemechivalent cu sistemul de for e dat, numittorsorul de reducere n punctul O .

=

=

iii0

ii

0 F r M

F R

(2.14)

Reducnd sistemul defor e ntr-un alt punctO , seobine:

Fig. 2.7=

=

iii' 0

ii

' 0 F r M

F R

(2.15)

Expresia momentului ' 0M , innd seama de relaia (2.4), devine:

14


7/17

ROOM F OO F r

F r F OO F )r OO( F r M

0i

ii

ii

iii

ii

iii

iii' 0

=+=

=+=+==

(2.16)

Torsorul n punctulO al sistemului de for e este:

= ROOM M

R

0' 0' 0 (2.17)

Comparnd relaiile (2.14)i (2.15) se deduce c n raport cu punctediferite de reducere, rezultanta este aceai, n timp ce momentul rezultantvariaz, legea de variaie a acestuia fiind dat de relaia (2.16).

Rezultanta este primul invariant al opera iei de reducere .Efectund produsul scalar

' 0M R , numit trinom invariant i avnd n

vedere c produsul mixt 0 ) ROO( R = , fiind produs mixt cu vectoricoplanari, obinem:

00' 0 M R ) ROOM ( RM R == (2.18)

Trinomul invariant 0M R este al doilea invariant al opera iei dereducere.

Forma analitic a trinomului invariant 0M R este:

z z y y x x0 M RM RM RM R ++= (2.19)Proiecia momentului rezultant 0M pe direcia rezultantei R este:

2 z

2 y

2 x

z z y y x x0 R0 R

R R R

M RM RM R

R R

M uM M ++

++=== (2.20)

Vectorul RM , coliniar cu rezultanta R se va scrie:

R

R

R

M RuM M 0 R R R == (2.21)

Proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei fiind raportul adou mrimi invariante

RM

0M R i R este n consecin, tot o mrime invariant a operaiei de reducere (fig.2.7.b). Adic:

cosM cosM M ' 00 R == (2.22)

Trinomul invarianti proiecia momentului rezultant pe direciarezultantei nu sunt dou mrimi invariante independente. La reducerea ntr-un

punct a unui sistem de for e exist doi invariani, i 0M R .

15


8/17

Aplicaie. Asupra unui corp solid acioneaz sistemul de for e avnd ca suporturi,

muchiile i diagonalele cubului ca n figura 2.8.tiind c )6 1i( ; P P i == ,

)8 ,7 j( ; P 2 P j == i muchia cubuluia , se

cere:1. S se reduc sistemul de for e n puntulO 2. S se determine sistemul echivalent, constituit

din for ele:a. 4321 P , P , P , P ; b. 6 521 P , P , P , P ;c. 87 31 P , P , P , P ;d. 6 52 P , P , P ;e. 87 5 P , P , P .

Rezolvare . 1. Sistemul de for e redus n punctulO este definit de torsorul sistemului de for e,calculat n acest punct.

Fig.2.8

=

=

=

=8

1ii00

8

1ii

0

) P ( M M

P R

Exprimnd sub form analitic, for ele, cti momentele acestora n raport cu polulO,obinem:

k P P 1 = ; k P P 2 = ; k P P 3 = ; k P P 4 = ; i P P 5 = ; i P P 6 = ;

j P i P ) j22

i22

( P 2 P 7 == ; j P i P ) j22

i22

( P 2 P 8 +==

0 ) P ( M 10 = ; jaP k ) P ( ia P OA ) P ( M 220 === ;

jaP iaP k P ) jaia( P OB ) P ( M 330 =+== ; iaP k ) P ( ja P OC ) P ( M 440 === ;

0 ) P ( M 50

= ; jaP i P k a P OD ) P ( M 6 6 0

=== ; 0 ) P ( M 7 0

= ;

jaP iaP ) j P i P ( k a P OD ) P ( M 880 +=+== .

Prin nsumarea celor dou categorii de vectori obinem:

0 ) j P i P ( ) j P i P ( i P i P k P k P k P k P

P P P P P P P P R 87 6 54321=+++++=

=+++++++=

jaP 2iaP ) jaP iaP ( 0 jaP 0iaP ) jaP iaP ( jaP 0

) P ( M ) P ( M ) P ( M ) P ( M ) P ( M ) P ( M ) P ( M ) P ( M M 807 06 050403020100+=+++++++=

=+++++++=

Torsorul sistemului de for e n punctulO este:

16


9/17

+==

jaP 2iaP M

0 R

00

2. Pentru determinarea sistemului echivalent se calculeaz torsorul n punctulO alsistemului de for e dati n funcie de valorile celor dou elemente ale acestuia poate fi definitacest sistem.

2.a. Torsorul n punctulO, al sistemului de for e 4321 P , P , P , P este:

=++=+++==+=+++=

0iaP ) jaP iaP ( jaP 0 ) P ( M ) P ( M ) P ( M ) P ( M M

0k P k P k P k P P P P P R

403020100

43210

Sistemul dat este echivalent cu un sistem de for e n echilibru

2.b. Torsorul n punctulO al sistemului de for e 6 521 P , P , P , P este:

=+++=+++==+=+++=

0 jaP 2 jaP 0 jaP 0 ) P ( M ) P ( M ) P ( M ) P ( M M

0i P i P k P k P P P P P R

6 O5O2O1OO

6 521O

Sistemul dat este echivalent cu un cuplu de for e, al crui moment este jaP 2M O = .Acest cuplu este creat de for ele 1 P i 2 P situate pe muchiile paraleleOD i EA,respectiv 5 P i 6 P , situate pe muchiile paralele AO i DE .2.c. Torsorul n punctulO al sistemului de for e 87 31 P , P , P , P este:

=++++=+++==++++=+++=

0 ) jaP iaP ( 0 ) jaP iaP ( 0 ) P ( M ) P ( M ) P ( M ) P ( M M

0k P 2 ) j P i P ( ) j P i P ( k P k P P P P P R

807 030100

87 310

Sistemul dat este echivalent cu o for unic k P 2 R = , aplicat n O.2.d. Torsorul n punctulO al sistemului de for e 6 52 P , P , P este:

=++=++==+=++=

0 jaP 2 jaP 0 jaP ) P ( M ) P ( M ) P ( M M

0k P i P i P k P P P P R

6 050200

6 520

Trinomul invariant devine:0 jaP 2k P M R 0 ==

Sistemul de for e dat este schivalent cu o for unic k P R = , pe axa central . 2.e. Torsorul n punctulO al sistemului de for e 87 5 P , P , P este:

+=+++==++=

=++++=++=

0 jaP iaP ) jaP iaP ( 00

) P ( M ) P ( M ) P ( M M

0i P ) j P i P (

) j P i P ( i P P P P R

807 0500

87 5

0

Trinomul invariant este:

0aP ) jaP iaP ( i P M R 20 =+=

Sistemul de for e dat este echivalent cu un torsor minim pe axa central .Torsorul minim are expresia:

17


10/17

===

=

iaP P

i P P

aP

R

R

R

M RM

i P R2

0min

min

2.5. REDUCEREA SISTEMELOR PARTICULARE DE FOR E 2.5.1. REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR E CONCURENTE

Un sistem de for e care acioneaz asupra unui rigid constituie un sistemde for e concurente, dac suporturile lor sunt concurente ntr-un punct.

Fie un sistem de for e i F , aplicate unui rigid n punctele Ai, (i = 1, 2, ,n), avnd suporturile concurente n punctulO

(fig.2.9). For ele i F fiind vectori alunectori se pot deplasa pe propriile suporturi, astfel ca punctele Ai s coincid cu punctulO.

Torsorul n punctulO al acestui sistem defor e este:

=

= 0M

F R

0

ii

0 (2.23)

Torsorul minim este constituit dinrezultant iar axa central, suportul rezultantei. Fig. 2.9

2.5.2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR E COPLANARE

Se numesc for e coplanare, for ele ale cror suporturi sunt situate nacelai plan [ P ]. Reducnd sistemul de for entr-un punctO, situat n planul [ P ] se obinetorsorul sistemului n acest punct, compus dinfor a rezultant i momentul rezultant

0M , perpendicular pe planul for elor (momentul rezultant reprezint sumavectorial a momentelor for elor din sistem,calculate n raport cu punctulO i care sunt prin definiie, perpendiculare pe planulfor elor). Fig. 2.10

Trinomul invariant este 0M R 0 = .Pentru studiul analitic al sistemului de for e coplanar (fig.2.10) se

consider ca plan al for elor, planulOxy de ecuaie 0 z = . For ele i F i vectoriide poziie ir ai punctelor de aplicaie Ai ale for elor au expresiile:

18


11/17

j yi xr ; j F i F F iiiiyixi +=+= (2.24)

=====

+=+==

k M k M k F y F x

F F

y x

k ji

F r M

j Ri R j F i F F R

z i

ixiiyii

iyix

iii

ii

y xi

iyi

ixi

i

000

)(00 (2.25)

2.5.3. REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR E PARALELE

Sistemul de for e i F , (i = 1, 2, ,n) ale cror suporturi sunt paralele cu odirecie comun, de versor u , formeaz un sistem de for e paralele (fig.2.11).

O for i F din sistem poate fi scris n funcie de versorulu , astfel:u F F ii = (2.26)

unde F i este o mrime algebric, pozitiv sau negativ, dup cum for a esteorientat n acelai sens sau n sens contrar, versoruluiu .

Rezultanta sistemului este:u ) F ( u F F R

ii

ii

ii === (2.27)

Scalarul rezultantei este egal cu suma algebric a scalarilor for elor.

Momentul rezultant n punctulO este:u )r F ( )u F ( r F r M

iii

iii

iii0 === (2.28)

Trinomul invariant este nul

0u )r F ( u ) F ( M Ri

iii

i0 == (2.29)datorit coliniaritii a doi termeni din produsul mixt.

Axa central . Centrul for elor paralele .Axa central reprezint locul geometric al

punctelor unde momentul este nul, ntruct0M R 0 = . Pentru determinarea axei centrale se

utilizeaz relaia (2.4) care exprim momentulntr-un punct curent P , situat pe aceast ax iunde r OP = este vectorul de poziie al punctului P .

0 ROP M M 0 P == (2.30)Fig. 2.11nlocuind pe i 0M cu expresiile date

de (2.27)i (2.28), obinem:

19


12/17

0u ) F ( r u )r F ( i

ii

ii = (2.31)sau schimbnd poziia factorului scalar n al doilea produs vectorial rezult:

0ur ) F ( u )r F ( i

ii

ii =

0u )r F r F ( i

ii

ii = (2.32)Produsul vectorial fiind nul, cei doi vectori sunt coliniari.

u' r F r F i

ii

ii = (2.33)Vectorul de poziie al punctului curent P , de pe axa central este:

u F '

F

r F

r i

ii

ii

ii

=

(2.34)

notnd cu =i

i F ' , rezult:

u F

r F r

ii

iii

=

(2.35)

Relaia (2.35) reprezint ecuaia vectorial a axei centrale (fig.1.11) careeste o dreapt paralel cu direcia comun a sistemului de for e, dat de versorulu i care trece printr-un punct fixC , numitcentrul for elor paralele .

Vectorul de poziie al centrului for elor paraleleC este:

=

ii

iii

C F

r F r (2.36)

Coordonatele centrului for elor paraleleC sunt:

===

ii

iii

C

ii

iii

C

ii

iii

C F

z F z ;

F

y F y;

F

x F x (2.37)

Propriet ile centrului for elor paralele .1. Dac toate for ele sunt rotite n acelai sens, cu acelai unghi, axa central se

va roti n acelai sensi cu acelai unghi, trecnd n permanen prin punctul

C , ntruct vectorulC r nu depinde de versorul direciei comune.2. Centrul for elor paralele nu depinde de sistemul de referin, fiind ocaracteristic intrinsec a sistemului de for e.

20


13/17

Considernd noua origine a sistemului,O i 0r O' O = , vectorii de poziie ai punctelor de aplicaie ale for elor n raport cu noua origine pot fi scrii subforma: i0i r r ' r += . Vectorul de poziie al centrului for elor paralele raportat lanoul sistem va fi:

C 0

ii

iii

ii

ii0

ii

ii0i

ii

iii

C r r F

r F

F

F r

F

)r r ( F

F

' r F ' r +=+=

+==

vectorul de poziie al centrului for elor paralele s-a modificat la fel ca pentruoricare punct Ai, deci poziia centruluiC fa de punctele Ai nu s-a schimbat.

3. Vectorii for sunt vectori lega i, caz n care centrul for elor paralele are oexisten intrinsec, poziia acestuia fiind funcie de poziia punctelor deaplicaie i scalarii for elor. Dac for ele sunt consideratevectori alunec tori ,

punctulC nu mai are semnificaie.

2.5.3.1. REDUCEREA FOR ELOR PARALELE, DISTRIBUITE

For ele paralele, perpendiculare pe segmentul de dreapt AB, situat pe axa Ax, de lungimel sunt distribuite dup o lege de variaie, p = p(x) (fig.2.12). Seurmrete determinarea rezultantei, R i poziia centrului for elor paralele, xC .

Notm prin p(x) , for a pe unitatea de lungime la distana x, de captul A,msurat n N/m. Mrimea rezultantei R se obine prin integrarea pe lungimeal ,a for ei elementare,dR, creat de for a distribuit p(x) considerat constant peelementul infinitezimaldx.

==l

0 AB

dx ) x( pdR R (2.38)

Poziia centrului for elor paraleledistribuiteC este definit de abscisa xC :

== l 0

l

0

AB

ABC

dx ) x( p

xdx ) x( p

dR

xdR x (2.39)

Fig. 2.12

M rimea rezultantei R este aria cmpului de distribu ie a for ei iar suportul acesteia trece prin centrul de greutate C al suprafe ei.

a. For distribuit uniform . For a se distribuie constant pe lungimea barei (fig.2.13), legea de variaie fiind:

.ct x( == (2.40)

pl px pdx R l 0l

0

=== (2.41)

21


14/17

2l

x

2 x

pdx

pxdx

xl 0

l

0

2

l

0

l

0C ===

(2.42)

Fig. 2.13

O sarcin distribuit uniform esteechivalent cu o sarcin concentrat

l = , aplicat la mijlocul por iuniincrcate, .2 / l xC =

b. For distribuit triunghiular . Valoarea maxim a for ei distribuiteeste p (fig.2.14) iar legea de variaie pe lungimea barei, dat de funcia:

l x

p ) x( p = (2.43)

Fig. 2.14

2 pl

l 2 px

dxl

x p R

l

0

2l

0

=== (2.44)

3l 2

2 x

3 x

dxl

x

p

xdxl

x p

xl

0

2

l

0

3

l

0

l

0C ===

(2.45)

O sarcin distribuit triunghiular este echivalent cu o for de mrime2 / l = , aplicat la distana 3 / l 2 xC = , de captul A.

c. For distribuit parabolic . Valoarea maxim a for ei distribuiteeste p (fig.2.15) iar legea de variaie pe lungimea barei, dat de funcia:

2

2

l

x p ) x( p = (2.46)

Fig. 2.15

3 pl

l 3

pxdx

l

x p R

l

02

3l

02

2=== (2.47)

4l 3

3 x

4 x

dxl

x p

xdxl

x p

xl

0

3

l

0

4

l

02

2

l

02

2

C ===

(2.48)

O sarcin distribuit parabolic este echivalent cu o for de mrime3 / l = , aplicat la distana 4 / l 3 xC = , de captul A.

22


15/17

Aplicaii. 1. O for distribuit uniform acioneaz pe semicercul de raz r .Intensitatea for ei pe unitatea de lungime este p. S se reduc sistemul de for e n punctulO.

Rezolvare. For a distribuit pe semicerc constituie un sistem de for e concurente.Torsorul n centrul semicerculuiO este constituit numai din for a rezultant.

Datorit simetriei, suportul rezultantei este dat de axa de simetrieOx a semicercului,componenta pe direcia axeiOy fiind nul.

Pentru o poziie curent a arcului elementar dl , definit de unghiul la centru , for aelementar care acioneaz pe acesta este:

rd pdl p Rd == Cum:

j sin picos p j pi p p y x =+= i

j sin prd icos prd j Rd idR Rd y x =+=

rezultanta care se obine prin integrare:

Fig.2.16

== ) D( ) D(

p Rd R rd

poate fi scris prin componentele pe cele dou axe

j Ri R R y x += i ale cror valori sunt:

pr 2 sin pr d cos 2

2

2

2

==

pr dR R ) D(

x x ==

0 s prcod sin 2

2

2

2

==

pr dR R ) D(

y y ==

Rezultanta este un vector de mrime pr 2 R = situat pe axaOx i care acioneaz nsens contrar acesteia.

2. Asupra unei plci (fig.2.17) acioneaz sistemul de for e coplanar, de mrimi, F 1 = F 2 = P , P 2 F 3 = i un cuplu de moment aP 2M = , ale crui for e sunt situate n planulcelorlalte. Dac suportul for ei 3 F trece prin punctul A(a, 0) i formeaz cu axaOx, unghiul

4 / = , s se determine sistemul echivalent.

Fig.2.17

Rezolvare . Reducnd sistemul n origineaO,elementele torsorului n acest punct sunt:

0 j P 2

P 22

j P i P

F F F R 321

=

++=

=++=

) j22

i22

( =

0k aP ) j22

i22

k aP 2

=

+=

( P 2ia

F OAM M 30

+

+=

23


16/17

Cum 0M R 0 = , sistemul este echivalent cu o for unic pe axa central, a crei ecuaieeste:

x y0 yR xRM =

2a

y Py2aP == adic o dreapt paralel cu axa Ox la distana a/2 sub aceasta.

3. Asupra unui corp acioneaz sistemul de for e paralele din figura 2.18. Dac , s se reduc sistemul de for e n O i s se determine coordonatele

centrului for elor paralele. P F F F 321 ===

Rezolvare . Torsorul n punctulO al sistemului de for e este:

==

==

=

= =

i

3

1ii0

3

1i

3

1iii

0

F OAM

F ( F R

=

3

1iii k )OA F (

k )

Fig. 2.18

Rezultanta are direcia axeiOz .

k P =k ) F F F ( R 321 +=

Momentul rezultant este:

jaP iaP k )k Pa

k )OA F 332+==+

j Pai Pa(

OA F OA F ( M 2110+=

+=

Torsorul n punctulO are expresia:

+==

jaP iaP M

0k P R

00 0

Sistemul de for e este echivalent cu o rezultant R , al crei suport este axa central, odreapt paralel cu axaOz care trece prinC , centrul for elor paralele de coordonate:

a P

Pa F

z F z ;a

P Pa

F

y F y;a

P Pa

F

x F x

ii

iii

C

ii

iii

C

ii

iii

C ====

===

==

TEST DE EVALUARE

1. Momentul for ei n raport cu un punct reprezint:a. capacitatea for ei de a roti corpul in jurul unei axe care trece prin acel punct b. capacitatea for ei de a roti corpul in jurul punctului respectivc. capacitatea for ei de a roti corpul in jurul unei axe care trece prin acel punct, perpendicular pe planul definit de for i punct

24


17/17

2. Expresia momentului for ei n raport cu un punct este:a. F r ) F ( M 0 = b. r F ) F ( M 0 = c. F r ) F ( M 0 =

3. Braul for ei reprezint:a. lungimea (modulul) vectorului de poziie al punctului de aplicaie al for ei b. lungimea perpendicularei dus din punctul fa de care se calculeaz momentul, pesuportul for eic. nici una din variantelea i b 4. Legea de variaie a momentului la schimbarea polului este dat de relaia:a. ROOM M ' 0' 0 =

b. ' 0' 0 OO RM M +=

c. ROOM M ' 0' 0 +=

5. Cuplul de for e este caracterizat de:a. rezultanta cuplului de for e b. momentul cuplului de for ec. braul cuplului de for e6. Rezultatul operaiei de reducere al unui sistem de for e care acioneaz asuprarigidului este:a. determinarea unui sistem de for e echivalent n punctul respectiv b. determinarea torsorului sitemului de for e n acel punct

c. determinarea rezultantei sistemului de for e n acel punct7. Invarianii operaiei de reducere ntr-un punct ai unui sistem de for e sunt:a. rezultanta sistemului de for e b. trinomul invariant al sistemului de for ec. variantelea i b mpreun 8. Torsorul minim al unui sistem de for e care acioneaz asupra rigidului reprezint:a. torsorul sistemului de for e, calculat ntr-un punct situat pe axa central b. rezultanta R i momentul minim minM c. proiecia momentului rezultant pe direcia rezultantei

9.

Poziia centrului for elor paralele este definit de:a. vectorul de poziie al centrului for elor paralele C r

b. coordonatele centrului for elor paralele:

===

ii

iii

C

ii

iii

C

ii

iii

C F

z F z ;

F

y F y;

F

x F x

c. depinde de sistemul de referin ales10. Mrimile care caracterizeaz for ele distribuite sunt:a. rezultanta for elor distribuite b. poziia rezultantei for elor distribuite pe zona pe care se distribuiec. variantelea i b mpreun

25

2. reducerea sistemelor de forŢe aplicate rigidului

Documents