dinamica rigidului

5/12/2018 DINAMICA RIGIDULUI - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/dinamica-rigidului-55a4d1b9b1652 1/12

12. Dinamica rigidului

127

12. DINAMICA RIGIDULUI

12.1. Dinamica rigidului cu axă fixă

Se consideră în figura 12.1,a un solid rigid de masă M, care în punctele1O şi 2O are două articulaii sferice şi asupra căruia acionează un sistem de

fore exterioare date iF (i=1,2,…,n). Singura mişcare posibilă pentru unasemenea corp este rotaia în jurul axei definită de punctele fixe 1O şi 2O . Seadoptă sistemele de referină, fix şi mobil, cu axele cotelor suprapuse peste axafixă şi originile în punctul 1O .

a) b)Fig. 12.1

Sistemul de fore exterioare date se compune din forele şi cuplurile careproduc mişcarea, denumite motoare şi din forele şi cuplurile care se opun

mişcării,denumite rezistene. Primele provin de la motorul de antrenare iarcelelalte provin de la rezistenele pe care trebuie să le învingă corpul pentru apune în mişcare alte maşini precum şi de la rezistenele datorate frecărilor dinlagăre şi cu aerul.

Se cere determinarea ecuaiei difereniale a mişcării corpului şireaciunile din cele două lagăre.

În acest scop, se eliberează corpul de legături, fiecare din cele două articulaii sferice fiind înlocuită cu câte o foră de legătură cu punctul deaplicaie în centrul geometric al cuplei şi a cărei determinare necesită treiparametri independeni, care de obicei se aleg proieciile reaciunii respective pe

axele sistemului cartezian Oxyz legat de corp.

2xR y2R

(C)

z1R1O

x1R

y1R

z1z

2O

x

1x

y

1yϕ

1OO≡

h

y2R

z2Rx2R

iAiF

cv )z,y,x(C ccc

(C)

nF

z1R

crω

x1R

ϕ

j

i

k

y1R

'Oca

ε

1F

Please purchase 'e-PDF Converter and Creator' on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.

http://www.e-pdfconverter.com/




Dinamica

128

Se fac notaiile:

kR jRiRFR zyx

n

1ii ++=≡∑

=

- vectorul rezultant al forelor exterioare date;

kM jMiMFOAM zyx

n

1iiiO ++=×≡∑= - vectorul moment rezultant al forelor

exterioare date faă de punctul 1OO ≡ ;

kR jRiRR 1z1y1xl1 ++= - reaciunea din lagărul 1O ;

kR jRiRR 2z2y2xl2 ++= - reaciunea din lagărul 2O ;

jhRihRROOM 2x2yl22lO +−=×≡ - vectorul moment rezultant al

reaciunilor faă de O, h fiind distana dintre centrele celor două lagăre;

cx , cy , cz - coordonatele centrului de masă al corpului în sistemul de referină

Oxyz;.Se aplică teorema mişcării centrului de masă şi teorema momentului

cinetic în raport cu punctul fix O.

l2l1C RRRaM ++= (12.1)

lOOO MMK +=& (12.2)

unde:

( ) ( ) ( ) jyωxεixωyεrωωrεa C2

CC2

CCC −+−−=××+×=

=×+∂

∂= O

OO Kω

t

KK&

= ( ) ( )=+−−×++−−∂

∂kωJ jωJiωJkωkωJ jωJiωJ

t zzyzxzzyzx

= ) ) kJ jωJεJiωJεJ z2

zxzy2

zyzx ε+−−++−

Proiectând cele două ecuaii vectoriale (12.1) şi (12.2) pe axelesistemului cartezian de referină Oxyz obinem un sistem de 6 ecuaii scalare cu

7 necunoscute (proieciile reaciunilor şi unghiul ϕ care defineşte legea demişcare a rigidului ):

2x1xxC2

C RRRxωMyM ++=−ε− (12.3)

2y1yyC2

C RRRyωMxM ++=−ε (12.4)

2z1zz RRR0 ++= (12.5)

2yx2

zyzx RhMωJεJ −=+− (12.6)

2xy2zxzy RhMωJεJ +=−− (12.7)







129

zz MεJ = (12.8)

Ultima ecuaie scrisă sub forma:

0

J

M

z

z =−ϕ&& (12.9)

reprezintă ecuaia diferenială a mişcării de rotaie . Integrând această ecuaie şideterminând constantele de integrare cu ajutorul condiiilor iniiale ale mişcării,

00 ω ; 0;t =ϕϕ=ϕ= & ,

se obine legea mişcării de rotaie a solidului rigid,

( )00 ,ωt, ϕϕ=ϕ (12.10)

Rezolvând primele cinci ecuaii ale sistemului se obin componentele

scalare ale reaciunilor:

2C

zxC

zyx

y1x ωxM

h

JεyM

h

JR

h

MR

−+

−+−= (12.11)

2C

zyC

zxy

x1y ωMy

h

JεMx

h

JR

h

MR

−+

−−−−= (12.12)

2zxzyy2x ω

h

J-ε

h

J

h

MR −−= (12.13)

2zyzxx2y ω

h

J-ε

h

J

h

MR += (12.14)

z2z1z RRR −=+ (12.15)

Pentru a elimina nedeterminarea se adoptă o nouă soluie constructivă constând din înlocuirea articulaiei sferice 2O cu o articulaie cilindrică (fig.12.1,b). În acest caz:

0R ;RR 2zz1z =−= (12.16)

Modulele reaciunilor vor fi în acest caz:

22y

22xl2

21z

21y

21xl1 RRR ;RRRR +=++= (12.17)

Problema reaciunilor în funcionarea maşinilor având piese în mişcarede rotaie este deosebit de importantă datorită influenei pe care o au asuprauzurii lagărelor ca urmare a frecării. Se urmăreşte ca valorile acestor reaciunisă fie cât mai mici posibil, adică egale cu valoarea lor în starea de repaus.






Dinamica

130

Valorile statice ale reaciunilor se obin din relaiile 12.11-12.14, facând0=ω şi 0=ε :

zS1zy

xS1yx

yS1x RR ;R

h

MR ;R

h

MR −=−−=−= (12.18)

0R ;h

MR ;

h

MR S

2zxS

2yyS

2x ==−= (12.19)

În timpul mişcării de rotaie a rigidului în lagăre apar aşa numitelecomponente dinamice ale reaciunilor, care au expresiile:

=

−+

−−=

−+

−=

0R

ωMyh

JεMxh

JR

ωMxh

JεMy

h

JR

D1z

2C

zyC

zxD1y

2C

zxC

zyD1x

;

=

−=

−−=

0R

ωh

Jεh

JR

ωh

Jε

h

JR

D2z

2zyzxD2y

2zxyzD2x

(12.20)

Un solid rigid aflat în mişcarea de rotaie în jurul unui ax fix la carecomponentele dinamice ale reaciunilor din articulaii sunt nule se spune că esteechilibrat dinamic.

Egalând cu zero componentele dinamice ale reaciunilor se obin două sisteme de ecuaii liniare şi omogene în necunoscutele ε şi 2ω . Condiiile casistemele respective să admită şi alte soluii şi afară de cele banale, care nuconvin, sunt:

0Mxh

JMy

h

J

Myh

JMx

h

J

Mxh

JMy

h

J2

czx

2

czy

czy

czx

czx

czy

=

−+

−=

−

−−

−−

(12.21)

0h

JJ

h

J

h

Jh

J

h

J2zx

2yz

zyzx

zxzy

=+

=

−

−−(12.22)

Aceste condiii sunt îndeplinite dacă:

0yx0;JJ CCzyzx ==== , (12.23)

adică dacă axa de rotaie este axă principală centrală de inerie.







131

Aşadar condiia ca un rigid în mişcare de rotaie să fie echilibrat dinamiceste ca axa de rotaie să fie axă principală centrală de inerie. Dacă numai

0yx CC == corpul este echilibrat static.

12.2. Dinamica mişcării planeSe consideră în figura 12.2 o placă plană (Pm) de masă M aflată în

mişcare într-un plan fix sub aciunea unui sistem de fore exterioare iF ,coplanare cu placa, aplicate în punctele iA ( ),n,2,1i …= .

Fig. 12.2

Pentru studiul mişcării se alege, ca în figura 12.2, un sistem de referin ă fix, 1111 zyxO , şi un altul mobil legat de placă, Cxyz , C fiind centru de masă al

plăcii, cu planele 111 yxO şi Cxy suprapuse.Fiind date condiiile iniiale ale mişcării:

001C1C

01C1C0

01C1C

01C1C ω;yy;xx;;yy;xx0;t =ϕ==ϕ=ϕ=== &&&&&

(12.24)se cere determinarea ecuaiilor de mişcare ale plăcii:

( )txx 1C1C = ; ( )tyy 1C1C = ; ( )tϕ=ϕ (12.25)

Aplicând teorema mişcării centrului de masă şi teorema momentuluicinetic în raport cu axa Cz, normală în centrul de masă pe planul mişcării, seobin ecuaiile difereniale ale mişcări plăcii:

( )∑∑∑===

−=ϕ==n

1i

ixiiyiz

n

1i

iy1C

n

1i

ix1C FyFxJ;FyM;FxM11

&&&&&& (12.26)

1 z

1x

1y

z

y

x

1k1O

1 j1kk =

1cr

1i

1F

i iF

( mP )

nF

j

iA

C

ca cv

1cy

1cx

ϕ

εω






Dinamica

132

S-au f ăcut notaiile: M-masa plăcii; zJ -momentul de inerie al plăcii în

raport cu axa Cz; 1C1C y,x -coordonatele punctului C în planul 111 y xO ; ϕ -

unghiul de rotaie dintre axa Cx şi 11 xO ;11 iyix F,F - proieciile forei iF pe axele

sistemului111

yxO ;iyix

F,F - proieciile for

ei

iF pe axele sistemului Cxy,

ii y,x -coordonatele punctului iA în planul Cxy.Prin integrarea ecuaiilor difereniale (12.26), luând în considerare

condiiile iniiale ale mişcări se obin legile de mişcare (12.25).În cazul în care placa este supusă la legături în ecuaiile (12.26) se

introduc şi reaciunile corespunzătoare ce se constituie în elemente necunoscute.Pentru a completa numărul de ecuaii la sistemul (12.26) se mai adaugă restriciile geometrice impuse de legături (ecuaiile legăturilor).

12.3. Dinamica rigidului cu punct fix

12.3.1. Ecuaiile dinamice ale lui Euler

Se consideră în figura 6.3a un rigid (C) aflat în mişcare sferică în jurulunui punct fix O sub aciunea unui sistem de fore )n,...,2,1i(Fi = echivalent, înpunctul O, cu un torsor (fig. 12.3b) având ca elemente:

∑∑==

×==n

1iiiO

n

1ii FrM ; FR (12.27)

Presupunând că legătura din O este o cuplă sferică cu frecare neglijabilă se cere determinarea ecuaiilor de mişcare ale rigidului şi reaciunea legăturii.

a) b)Fig. 12.3

iϕ

θ

O

ψ

ϕ

θ

ψ

qp

Cψ&

θ&

ϕ & Cr

zω

yω

xω

ω

n nF

1F

iF

1A

nA

iA

(C)

N x

y

z

Q

P

j

k

1k

1 j1i

1x

1y

1z

R

(C)

jR

OM

lR

jOM

z

y

x

O







133

Pentru rezolvarea problemei utilizăm teorema de mişcare a centrului demasă şi teorema de variaie a momentului cinetic în raport cu punctul fix O:

=

+=

OO

lC

MK

RRaM&

(12.28)

care puse sub forma:

=

−−=

OO

Cl

MK

aMRR&

(12.29)

şi proiectate pe axele reperului mobil conduc la:

+−++−+−=

−++−++−=

++−++−+−=

])zωω()yεωω()xεωω[(MRR

])zεωω()yωω()xεωω[(MRR

])zεωω()yεωω()xωω([MRR

C2x

2ycxyzCyxzzlz

Cxzyc2z

2xCzxyyly

CyzxczyxC2y

2zxlx

(12.30)

=−+

=−+

=−+

zyxxyzz

yxzzxyy

xzyyzxx

Mω)ωJ(JεJ

Mω)ωJ(JεJ

Mω)ωJ(JεJ

(12.31)

S-a considerat ca sistemul de referină Oxyz, legat de corpul rigid, estesistem principal de inerie.

În capitolul 14 se va arăta că vectorul CaM− este vectorul rezultant alforelor de inerie jR .

Ecuaiile (12.31) se numesc ecuaiile difereniale ale mişcării rigiduluicu punct fix sau ecua iile dinamice ale lui Euler . Cu ajutorul lor se rezolvă celedoua probleme fundamentale:

a) Se dau momentele axiale:

ϕϕ=

ϕϕ=

ϕϕ=

),θ,ψ,θ,ψ,(t,MM

),θ,ψ,θ,ψ,(t,MM

),θ,ψ,θ,ψ,(t,MM

zzyy

xx

&&&

&&&

&&&

(12.32)

şi condiiile iniiale ale mişcării:

000

000

θθ;;ψψ

θθ;;ψψ 0t

&&&&&& =ϕ=ϕ=

=ϕ=ϕ== (12.33)

Se cer ecuaiile de mişcare:

(t)θ(t);θψ(t);ψ ϕ=ϕ== (12.34)






Dinamica

134

Viteza unghiulară ω poate fi exprimată în două moduri:

kω jωiωω zyx ++= ; knθkψθψω 1 ⋅ϕ+⋅+⋅=ϕ++= &&&&&& (12.35)

Formula a doua (12.35) care exprimă faptul că viteza unghiulară arigidului este egală cu suma dintre viteza unghiulară de precesie, nutaie şi derotaie proprie a fost obinută pe baza compunerii rotaiilor concurente:

32211030 ωωωω ++= ; ϕ==== &&&32211030 ω ;θω ;ψω ;ωω (12.36)

Egalând cele două expresii (12.35) şi înmulindu-le succesiv cu versoriik, j,i obinem proieciile vitezei unghiulare pe axele mobile (a se vedea şi

relaia (8.141):

ϕ+=

ϕ−ϕ=ϕ+ϕ=

&&

&&

&

&

cosθψω

sinθcossinθψωcosθsinsinθψω

z

y

x(12.37)

Proieciile acceleraiei unghiulare ε pe axele mobile rezultă dinderivarea relaiilor (12.37) în raport cu timpul (a se vedea şi relaia (8.144):

−ϕ+=ϕϕ−ϕϕ−ϕ+ϕ−ϕ=

ϕϕ+ϕϕ−ϕ+ϕ+ϕ=

sinθθψcosθψεsinsinθψcosθcoscosθθψsinθcossinθψε

cossinθψsinθsincosθθψcosθsinsinθψε

zy

x

&&&&&&&&&

&&

&

&&

&&

&&&&&&&&&&

(12.38)

Înlocuind (12.32),(12.37) şi (12.38) în (12.31) se obin 3 ecuaiidifereniale de forma:

=ϕϕϕ

=ϕϕϕ

=ϕϕϕ

0),θ,ψ,,θ,ψ,θ,ψ,(t,f



3

2

1

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

(12.39)

Prin integrarea sistemului (12.39), inând seama de condiiile iniiale (12.33),rezultă ecuaiile de mişcare:

(t) ;θ(t)θ ;ψ(t)ψ ϕ=ϕ== (12.40)

Sistemul (12.31) nu a fost integrat analitic decât în trei cazuri particulare:

1) Cazul Euler-Poinsot care presupune 0MMM zyx === ,







135

2) Cazul Lagrange-Poisson în care se consideră yxCC JJ;0yx === ,

3) Cazul Sofia Kovalevskaia în care zyxC J2JJ;0z === .

b) Se dau ecuaiile de mişcare de forma (12.40) şi se cer:;)M,M,(MM zyxO ).R,R,(RR lzlylxl

Problema se rezolvă cu relaiile (12.30) şi (12.31), în care se introducexpresiile (12.37) şi (12.38).

12.3.2. Mişcarea de precesie regulată

Fig. 12.4

Un rigid execută o mişcare sferică de precesie regulată (fig. 12.4) dacă

viteza unghiulară de precesie este constantă, viteza unghiulară de rotaie proprieeste constantă şi unghiul de nutaie θ ramâne constant:

=

=ϕ

=

(ct) θθ

(ct) ω

(ct) ωψ

0

2

1

&

&

(12.41)

Prin integrare obinem:

00201 θθ;tω;ψtωψ =ϕ+=ϕ+= (12.42)

axoida mobilă

yMxM

AIR

2ω

1ω

O

ω

(C)

Nx

y

z

1x

1y

1 z

axoida fixă

oM






Dinamica

136

Se urmăreşte determinarea momentului OM al forelor ce trebuie

aplicate rigidului astfel încât să execute o mişcare sferică având legile demişcare (12.42). Utilizând relaiile (12.37) şi (12.38) obinem:

+=

ϕ⋅=ϕ⋅=

21z

1y1x

ωcosθωω

cossinθωωsinsinθωω

;

=

ϕ⋅−=ϕ⋅=

0ε

sinsinθωωεcossinθωωε

z

21y21x

(12.43)

Înlocuind (12.43) în (12.31) rezultă:

ϕ⋅ϕ⋅−=

ϕ⋅+−+−=

ϕ⋅+−+=

cossinθsinω)J(JM

sinθsinω)]ωθcosω)(J(Jω[JM

cosθsinω)]ωθcosω)(J(Jω[JM

221xyz

121xz2yy

121yz2xx

(12.44)

Considerând ca xy JJ = , relaiile (12.44) se pot pune sub forma:

=

ϕ⋅⋅

−+−=

ϕ⋅⋅

−+=

0M

sinθsinωωθcosω

ω)J(JJM

cosθsinωωθcosω

ω)J(JJM

z

21

2

1xzzy

212

1xzzx

(12.45)

Relaiile (12.45) arată că vectorul OM este dirijat după axa nodurilor. Într-

adevăr:

ϕ=−

tgM

M

x

y(12.46)

Vectorul OM poate fi exprimat prin produsul vectorial:

,ωωθcosω

ω)J(JJM 21

2

1xzzO ×⋅

−+= (12.47)

modulul lui fiind

θsinωωθcos

ω

ω)J(JJM 21

2

1xzzO ⋅⋅⋅

−+= (12.48)







137

Dacă 12 ωω >> , atunci momentul rezultant poate fi aproximat cu:

21zO ωωJM ×= ; θsinωωJM 21zO ⋅⋅= (12.49)

Aşadar, pentru a avea o mişcare de precesie regulată a unui rigid derevoluie care se roteşte în jurul unui punct fix de pe axa de revoluie, estenecesar ca momentul rezultant al forelor ce acionează asupra rigidului să fie

plasat pe axa nodurilor, având expresia (12.48) sau (12.49) atunci când .02

1 ≅ω

ω

12.3.2. Giroscopul

Giroscopul este un rigid cu un punct fix O al cărui elipsoid de inerie

corespunzător acestui punct este de rotaie faă de axa mobilă Oz, solidară curigidul ( y x J J = ) în jurul careia are o mişcare relativă de rotaie cu viteza

unghiulară 2ω foarte mare şi asupra căruia acionează numai greutatea proprie

G (fig. 6.5). Adesea centrul de greutate corespunde cu punctul fix.

Fig. 6.5Se observă că:

( ) θsinhGnkGkhGOCM 1O =−×=×= (12.50)

0MO

h

ϕ

θ

ψ

G

C

iϕ

θ

ψ

n

Nx

y

z

j

k

1x

1y

1 z






Dinamica

138

θsinhGMO = (12.51)

Prin urmare momentul OM acionează după axa nodurilor şi respectă

condiia de precesie regulată.

Notând cuO jO KM &−= (12.52)

teorema de variaie a momentului cinetic poate fi scrisă sub forma:

0MM jOO =+ (12.53)

Vectorul jOM se numeşte momentul rezultant al forelor de inerie, iar

ecuaia (12.53) ecuaie de echilibru cineto-static (a se vedea capitolul 14).Vectorul 0 jg MM = se numeşte moment giroscopic şi este momentul cu

care giroscopul acionează prin legăturile sale asupra sistemului în care estemontat. Luând în considerare (12.49) rezultă

12z21zg ωωJωωJM ×=×−= (12.54)

sinθωωJM 12zg = (12.55)

Egalând (12.55) cu (12.51) rezultă

2z1

ωJ

hGω

⋅

⋅= (12.56)

Viteza unghiulară de precesie 1ω este cu atât mai mică cu cât viteza

unghiulară de rotaie proprie 2ω este mai mare şi cu cât centrul de greutate algiroscopului va fi mai apropiat de punctul O. În realitate frecările din lagăre

conduc la micşorarea vitezei unghiulare 2ω şi creşterea vitezei unghiulare 1ω .Dintre aplicaiile tehnice ale giroscopului se pot enumera: restabilizator

în cazul trenurilor monorai; combaterea tangajului şi ruliului în navigaie;meninerea direciei avioanelor şi rachetelor. În calculul şi proiectarea arborilorturbinelor, momentul giroscopic are o pondere apreciabilă.




dinamica rigidului

Documents