C U P R I N S

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introdneere

Partea i n t i i : TEORIA ECHIVALENTEI SISTEhlELOR VECTORIALE hIECAXICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Capifolzll I : Eehivalenta sistemelor vectoriale meea~lice . . . . . . . . 8 1 . hIodelarea matematic5 a operatiilor cu n15rimi vectoriale mecanice . . .

1.1. Reprezentarea matematic5 a milrimilor mecanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operatii cu vectori

1.3. Echivalenta sistemelor vectoriale mecanice . . . . . . . . . . . . . . . . . Partea a doua : CINEMATICA S I DINAMICA RIGIDULUI

Capitolul Z Z : Cinematiea mifcPrii a b s o l ~ ~ t e a rigidului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 . Cineinatica mi~c8rii absolute a punctului . . . . . . . . . 2.1. Notiuni fundamentale in cinenlatica punctului

. . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Problemele cinematicii punctului 8 3 . Cinematica mi~cgrii absolute generale a rigidului . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Parametrii de pozitie ai rigidului in mi~ca re general5 . . . . . . . 3.2. Parametrii cineniatici ai mivc8rii generale a rigidului

. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Problemele cinematicii rigidului . . . . . . . . . . . 3.4. Proprietgti ale misciirii generale a rigidului

8 4 . Cinematica unor caznri particulare de mi~cBri absolute ale rigidului . . . . . . . . . . . 4.1. Cinelnatica mi~c5rii de translatie a rigidului

4.2. Cinematica miscarii de rotatie in jurul unei axe fixe a rigidului . . . . . . 4.3. <. inematica misc5rii in jurul unui punct fix a rigidului 4.4. Cinematicn ini~c8rii plan-paralele a riyidului . . . . . . . . . . . 4.5. Cinematica n1isc5rii elicoidale a rigidului . . . . . . . . . . . .

Capitolul I Z Z : Cinematica mi&irii eompuse a rigidului . . . . . . . . . . 5 5 . Problemele cinematicii mi~c5rii compuse a rigidului . . . . . . . . .

5.1. Cineinatica misciirii compuse generale a rigidului . . . . . . . . 5.2. Cinematica unor cazuri particulare de mi~c5r i compuse ale rigidului

Capitolul ZV : Dinamiea miyc;irii absolute a rigidului

5 6 . Probleme generale ale dinanlicii rigidului . . . . . . . . . . . . a

. 6.1. Caracteristicile inertiale alerigidului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Caracteristicile cinetice ale rigidului in mi~ca re generals

. . . . 6.3. Caracteristicile dinamice ale m i ~ c s r i i generale a rigidului 8 7- Dinarnica mi~c5rii absolute generale a rigidului . . . . . . . . . . .

7.1. Teoremele fundamentale ale dinamicii rigidului . . . . . . . . 7.2. Problemele $i ecuafiile dinanlicii rigidului . . . . . . . . . . . 7.3. Problemele $i ecuatiile siaticii rigidului . . . . . . . . . . . .

8 . Dinarnica unor cazuri particulare de mi~cgr i absolute ale rigidului . . Dinarnica mi~c5rii de tranylatie . . . . . . . . . . . . . . .

8 Cuprins I

8.2. Dinamica mi~c5rii de rotafie in jurul unei axe fixe . . . . . . . . . . . . 8.3. Dinamica miycilrii In jurul unui punct fix. a unui rigid

8.4. Dinamica miscirii plan-paralele . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . 8.5. Dinamica rniscsrii elicoidale a rigidului

8 9 . Dinarnica punctului material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442; .. . . . . . . 9.1. Utilizarea. in tehnic5. a notiunii de punct materialic 442 . . . . . 9.2. Dinamica rni~cilrii absolute generale a punctului material 447'

9.3. Dinamica unor cazuri particulare de mi~c5ri absolute ale punctu- lui material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4561

Capifolul V : Dinarnica mi~efirii relath-e a rigidului . . . . . . . . . . . 486l

1 10 . Dinamica migcgrii relative a rigidului $i a punctului material . . . . . 486 10.1. Relatii generale in dinamica miqcilrii relative a rigidului . . . 486 10.2. Problemele gi ecuatiile dinamicii miscsrii relative a rigidului 10.3. Echilibrul relativ a1 rigidului . . . . . . . . . . . . . . . 494 10.4. Dinamica unor cazuri particulare de misc5ri relative ale rigidului 496

I N T R O D U C E R E

Disciplina intitulatii ,,l\IECANICAn studiazg cele mai sim- ple forlne de miqcare a materiei, adicii miqcgrile mecanice, sau sim- plele schinlbiiri de pozitie ale corpurilor, care nu afecteazii structura fizico-chimicii a acestora.

fn dezvoltarea ei, mecanica a plecat de la ipoteze luate din realitatea fizicii, qi-a consolidat co~lcluziile teoretice la care a ajuns pe parcurs prin confruntarea lor cu rezultatele cercetgrilor experi- Inentale efectuate asupra fenomenelor mecanice qi a folosit aceste rezultate, prin intermediul diverselor ramuri de mecanicii aplicatii, in domeniul tehnicii, ceea ce a fiicut ca aceastii discipling sii capete un puter nic caracter fizic.

fn acelagi timp, prin metodele de cercetare folosite, proprii disciplinelor matematice, cu ajutorul ciirora - pornind de la un numiir restrins de axiome $i notiuni fundamentale qi utilizind un bogat qi variat instrument matematic - qi-a construit intregul edificiu a1 diseiplinei, mecanica a ciipiitat qi o structurii pronuntat niatematicii, constituind chiar, deseori, un puternic stimulent in dezvoltarea ~tiintelor mat ematice. f ntrel-5zind: prin genlul s&u creator, rolul viitor a1 mecanicii in clezvol'tarea gindirii matematice, Leonardo da Vinci i-a dat chiar denumirea cle ,,poezie a matematicilor".

Nodelul niecanic adoptat in prezenta expunere a disciplinei de meeanieg este .,rigidul", reprezentind o idealizare a corpurilor solide foart e putin clef ormabile intilnite in aplieatiile practice curente.

Dupli aspectrle nrmgrite in studiul miqcgrilor rigidelor, este posibilii urlngtoarea diviziune a mecanicii :

CINEAIATICA, in care se stucliazii aspectele pur geometrice ale migcSrilor mecanice, adicii diversele rariafii posibile ale stiirilor de migcare ale corpurilor, fgr& s& se justifice qi niodul de apari$ie a acestor variatii.

DINA~MICA, in care se studiazii miqcgrile corpurilor sub toate asPectele, justificindu-se aparitia variatiilor stgrilor de miscare prin existents interacfiunilor intr e corpuri.

Un caz particular a1 dinamicii il constituie STATICA, in care se stabilesc conditiile pe care trebuie sii le indeplineascii solicitgrile 'plicate corpurilor, pentru ca acestea s&-rji p&streze starea de repaus.

10 Introducere

f n ceea ce privegte metocla cie prezentare a con$inutnlui disci- plinei, se face precizarea cii a fost adoptat5 metoda vectorialii, dato- ritii urm5toarelor douii arguinente important e :

1". Majoritatea covirgitoare a mgrimilor f izice cu care lucreazii mecanica au caracter vectorial, fiind reprezentabile prin vectori, fie liberi, fie legsti, fie - cel mai adesea - aluneciitori.

2". Metoda vectorial5 prezint5 unele avantaje incontestabile asupra altor metode, intre acestea putind fi men$ionate :

- reprezentarea unitarii qi concretii a mtirimilor $i fenomenelor mecanice studiate cu ajutorul ecuatiilor vectoriale;

- modelarea matematic5 a proceselor mecanice prin relatii mult mai simple, mai ugor de minuit z;i chiar de retinut ;

- posibilitatea de gene~alizartl a unor rezultate si concluzii similare, evitindu-se repethle inutile cle demonstratii identice.

Din acest motiv s-a considerat util a5 se preceadg expunerea continutului propriu-zis a1 disciplinei de mecanicii cu o prezentare sumar5, fiirZL demonstratii, a principalelor elemente de calcul vecto- rial, prezentare inclusii intr-un capitol introdnctiv tratind probleme- le de echivalentii a sistemelor vectoriale mecanice.

Notiunile utilizate sint definite pe n15sura introducerii lor in expunere, la inceputul fiec5rui capitol in care apar ele pentru p r i q dat5. _

In leg5tur5 cu modul de organizare a materialului informat nal, se precizeazg c5 intreg continutul lucr5rii este prezentat douii volume, fiecare din ele cuprinzind cite dou5 p5rti qi anum

Vol. I : MECANICA RIGIDULUI, cu urmgtoarele dou5 p5 Partea .intz^i : Teoria echivalew,tei sistelraelor vectoriale ?neean

in care se justific5 procedeul de modelare matematic5 a opera efectuate, pe baza legilor fizice, determinate, intre m5rimile v riale mecanice, precum gi procedeele de inlocuire, unul prin a dou5 ansambluri de m5rimi vectoriale de aceeagi naturg f

Partea n doua : Cinematica g i dinarnica riyidzclzci, in care studiaz5, sub toate aspectele, migcarea unui singur solid r inclusiv starea particular5 de repaus a sa -, in ipoteza c5 a migcare nu influenteazii migc5rile corpurilor din mediul in &or, cu care rigidul considerat se giise~te in interactiune.

Vol. 11. MECANICB SISTEMELOR DE RIGIDE, cu p k Partea a treia : Cinematica si dinamica sistemelor meca

^m care se studiazg transmisiile de migcgri yi de solicitiiri intr mentele unui ansamblu de rigide in interactiune reciprocg, ul fiind luate in consideratie qi in cazul particular a1 ansamblur rigide in stare de repaus.

Introducere 11

Pnrtea n pntra : Probleme speciale ale tnecanicii tehnice, in care se extinde teoria expus& in primele trei p&rfi la studierea unor pro- blellle nmi complexe ale mecanicii, interesind in inod deosebit prac- ties inginereascg, cum sint : mecanica maginilor simple, mecanica ciocnirilor, mecanic~t sistemelor cu un numar infinit de grade de libertate, mecanica corpurilor cu mase variabile.

Se rnai face mentiunea c& rtudiul cinematic gi dinainic a1 mig- c&rii nnui rigid va fi efectuat in dou& ipoteze distincte de lucru :

- in cazul miqcgrii rigidului in raport cu un sistem de refe- rint& - de regulii un sistrili cnrtezian t8riortogoaal drept Oxyx - considerat fix in spatiu, deplas~reli corpului fiind numitii, in aceastg situatie, miscare nbsolut8 ;

- in cazul miqcgrii rigidului in raport cu un sistem de refe- rintii aflat la rindul sgu in migcare in spafiu, deplasarea corpului in raport cu acest reper fiincl numit& nzigcnre relativA.

Slte preciziiri privind modul de organizare a materialului vor mai f j fgcute pe p~rcursal expunerii.

In ceea ce privegte bibliografia folositii la redactarea prezentei IucrGri, ea va fi prezentatg la sfirgitul celui de-a1 doilea volum.

Prexenta lucrare, rod a1 unei munci de peste un sfert de veac dedicate adaptdrii disciplinei de mecanicd la necesitci$ile teknicii, ar putea f i caracterixatd, dupd pdrerea autorilor, prin deplina co+zcordanjd Qntre forma de prexentare a confinutului acestei discipline Fi natura proceselor ce trebuie modelate matematic Q n practica inginereascd.

Construcjia scheletului disciplinei de nzecanicci, prexentat Qn lucrare, a avut Qn vedere urmcitoarele obiective principale :

- modelarea si axiomatixarea disciplinei Qn totald concordan$& cu cerinfele mecanicii tehnice;

- selectarea, completarea g i reorganixarea materialului infor- rnajional dupd u?z criterizc unic, acela a1 eficienbei maxime a procesu- l z~ i de iqzstruire a tehwicienilor cu Qubaltd calificare.

Realixarea primului obiectiv a fost posibild prin adoptarea zcrmd- tonrelor idei cdldzcxitoare :

- Qrzlocuirea modelzclz~i mecanic pzinctzcal cu modelacl rigidzclui, ultimzil ~ e f lectgnd mult mai fidel realitatea Q?ztQlnitd Qn practica ingine- reascd ;

- ~eco~zs ide~area amiomelor mecanicii clasice, atQt $n sensul refo~muldrii lor la nivel?il ?~zaselor elementare - de altfel, s ing~re le f omt~ ldr i riguros gtiintifice - , cSt gi z n se?zszbl reducerii ?zumdrului lor la tcn ?lumdr m in im de axiome independente;

- adoptarea de rzoi definibii, 4% concordan$d cu ~ealitatea fixicd modelatd s i cu semnifica$iiZe a t r ib~ i t e curent Qn practic6,. pentru prin- cipalele qzofiu~zi ale mecanicii, Qwtre acestea figurgnd gz nobiunea de ~ # W c t materialn ;

- deducerea teoremelor fundamentale gi stabilirea formelor ecuafiilor dinamicii pe baxa nozclzci model mecanic adoptat g i 4% confor- mitate cu ~ ~ o z c a form6 de axiomatixare a disciplinei.

Adoptarea unz~i alt numdr de patru idei fundamentale a fcicut Posibild realixarea a celui de-a1 doilea obiectiv :

- renunjarea la metoda inductivci Qn favoarea celei dedzcctive, cOnsideratii de autori ca unic& modalitate de investiga$ie capabild siZ permit& abordarea $n, mod unitar a diverselor aspecte particulare ale proce$elor mecanice ~i stabilirea generalixdriZor impuse de actualul 8tadiu de dexvoltare a disciplinei ;

- E?~loc~rirea ordinii clasice de prezenfare a probleme70r7 care respect6 succesizinen cro~t,ologicd a upariJiilor gi reeolvdrilor lor, czc o noud ordonare 0 nzateriulullii i)2forn~a$ionaZ, i~nplisci de necesifatea zcnei ~esistematiwiri ba-ate pe Qn76nfvir.f~ logic6 a iled~rc$iilor si concl?cziilor ;

- alegevea i?zstr,rmentzilui rnatemaf;~ 01, f~rncfie de posibilit6$ile de descriere cFt mni f icleld a erol~c$iei proceselor mor7e7ate, czi i?~troducerea -acolo unde se co?~sidel.n' necesnr - g i a 241101' r2wlorie folosite $12 teh n iea moder~a' de calczil, dot. czc evilarea sistemafic6 cc ~,ricLi).~ii spectaco1 rrzate- matic steril ;

- ilustrarea fiecdmci grup de probleme teo~.eticep~ezet&tate Qn l2l- crare czc aplicafii co?lcrete, aceste aplicafii, siflbilare celora care s%nt - salt ar pzctea f i - EntElnite C ) z practica ingi~zereascb, pztt4tcd s e r ~ i gi ca modele de rexolvare a tcnor probleme tehnice.

Este inclisc?ctnbil cci utzei asemenea restrzcct?irdri a unei disci- pline dasice, cum este mecanica, i se TO,. patea adzice conti?~uu Cmb~tnd- tdfiri, atEt 2% cott$i?l?ct, c4r gi Q ~ L form&. U"lze7e d i ? ~ uceste Qmbundtd$iri au g i putut f i efectuate, E ~ L tirma p~e$ioaselor sz~gesfii si observa$ii f dcute de cdtre acad. prof. sing. Ftefa?? Bdlan, acacl. prof. dr. cloc. Raclu Voiqzea, prof. dr. doc. Gh. Buxdugan, prof. em. dl.. doc. Gh. SiTag ;.a., c6rora autorii le adreseaxd g i pe aceasfd cale, culde mzilfumiri.

EzprimQndu-gi speranfa de a pzctea aduce gi El2 viitor noi Fmbunii- t6firi lucr&rii, pe baxa sugesfiilor pe care le vor primi atEt d in partea specialigtilor dwz z"nviifdmQ?~tul szcperior, ctt ;i d i n partea tehnicienilor d in produc$ie care o vor folosi, tutzcror celor care aor bivzeuoi sd li sd adresexe E ~ E acest sens, le mulfumesc cu anticipafie, asig~brEndzi-i dq Entreaga lor recwnogtinfci,

1