cap 5. statica rigidului

8/8/2019 CAP 5. STATICA RIGIDULUI

1/26

5. Statica rigidului

81

5. STATICA RIGIDULUI

5.1. Echilibrul solidului rigid liber

5.1.1. Parametrii geometrici care definesc poziia unui corp rigid in spaiu.Grade de libertate

Prin solid liber rigid se nelege un corp rigid care poate ocupa oricepoziie n spaiu, far nici o restricie de natur geometric, poziia lui fiinddeterminat numai de ctre forele care acioneaz asupra sa.

Numrul gradelor de libertate ale unui rigid este dat de numrulparametrilor independeni care i definesc poziia la un moment dat.

Fig. 5.1

n figura 5.1 este reprezentat un corp rigid (C) situat ntr-un sistem dereferin fix O

1x

1y

1z

1. Corpului i se ataeaz un reper propriu Oxyz, legat de

corp. Poziia rigidului este cunoscut dac se dau poziiile, fa de reperul fix, atrei puncte A1, A2, A3, aparinnd acestuia. La rndul lui fiecare punct estedefinit prin trei coordonate carteziene. n total sunt nou parametri, dar numaiase sunt independeni, deoarece distanele dintre puncte rmn constante:

( ) ( ) ( ) 2212

11122

11122

1112 dzzyyxx =

( ) ( ) ( ) 2322

12132

12132

1213 dzzyyxx = (5.1)

( ) ( ) ( ) 213

2

1311

2

1311

2

1311dzzyyxx =

on http://www.e-pdfconverter.com to remove this message.
http://www.e-pdfconverter.com/http://www.e-pdfconverter.com/


2/26

Statica

82

Rezult c numrul gradelor de libertate ale unui solod rigid liber estease. n practic nu se lucreaz cu cele nou coordonate, ntre care existrelaiile (5.1), ci se aleg convenabil cei ase parametri geometrici independenii anume:- coordonatele x10, y10, z10, ale unui punct O al rigidului i- unghiurile lui Euler (Euler, Leonhard, 1707-1783) , , sau cosinusuriledirectoare ale axelor reperului mobil Oxyz fa de axele reperului fix O1x1y1z1.

Unghiul , numit unghi de precesie, este unghiul pe care axa nodurilorON l face cu axa Ox1, paralel cu O1x1. Axa nodurilor rezult din interseciaplanului mobil Oxyz cu planul O1x1y1, paralel cu planul fix O1x1y1.

Unghiul , numit unghi de nutaie, este unghiul dintre axa Oz i Oz1,paralel cu O1z1.

Unghiul , numit unghi de rotaie proprie, este unghiul dintre axa Ox iaxa nodurilor ON.

Considernd c n poziia iniial reperul Oxyz este suprapus pesteO1x1y1z1, poziia final din figur este atins dnd corpului urmtoarele asedeplasri (micri simple):

- trei deplasri liniare succesive n lungul axelor reperului fix, respectivcu x10, y10, z10, altfel spus oblignd corpul sa execute o micare de translaiepentru ca punctul O sa ajung n poziia prescris;

- o rotaie cu unghiul n jurul axei O1z1, paralel cu O1z1;- o rotaie cu unghiul n jurul axei nodurilor ON;- o rotaie cu unghiul n jurul axei Oz.

Notm cu 1 ,1 ,1 cosinusurile directoare ale axei Ox, cu 2 ,2 ,2cosinusurile directoare ale axei Oy i cu 3 ,3 ,3, cosinusurile directoare aleaxei Oz, n reperul fix. ntre aceastea subzist relaiile:

=

====++

3,2,1j,ijidaca0

3,2,1j,i;jidaca1ijjijiji (5.2)

Cosinusurile directoare ale axelor reperului Oxyz n reperul fix O1x1y1z1se pot exprima n funcie de unghiurile Euler:

1 = c c-s s c; 2 =-c s-s c c; 3 = s s;1 = s c+c s c; 2 =-s s+c c c; 3 =-c s; (5.3)1 = s s; 2 = c s; 3 = c;

Funciile trigonometrice sinus i cosinus au fost notate prescurtat cus, respectiv c.

n cazul unei plci aflate ntr-un plan (fig. 5.2), poziia sa fa de unreper fix legat de plan este detreminat dac se cunosc poziiile a dou puncte



3/26


83

A1si A2, care la rndul lor sunt caracterizate de patru coordonate carteziene cerespecta condiia:

( ) ( ) ( ) 2212

11122

11122

1112 dzzyyxx = (5.4)

Fig. 5.2

Prin urmare o plac liber aflat ntr-un plan are trei grade de libertate.Cei trei parametri independeni care definesc gradele de libertate ale plcii potfi:

- coorodonatele x10i y10, ale unui punct O al plcii n reperul fix i- unghiul de rotaie dintre axa Ox a reperului Oxy legat invariabil de

placi axa O1x1 paralel cu O1x1.

5.1.2. Ecuaiile de echilibru ale solidului rigid liber

Condiia necesar i suficient pentru ca un solid rigid liber, asupracruia acioneaz un sistem de fore oarecare (fig. 5.3), s fie n echilibru este catorsorul sistemului de fore n raport cu un punct O arbitrar ales s fie nul:

;0R = 0MO = (5.5)

Aceast afirmaie este o consecin a aplicrii teoremei de echivalen adou sisteme de fore i a principiului ineriei. Un sistem de fore carendeplinete condiiile (5.5) se numete vid. n orice alt punct se face reducerea,aplicnd legea de variaie a momentului rezultant la schimbarea polului dereducere, se ajunge tot la un torsor nul. Conform principiului ineriei un torsornul nu are nici un efect asupra punctului n care este aplicat, deci toate punctelerigidului rmn n echilibru i evident i rigidul.



4/26

Statica

84

Proiectnd ecuaiile vectoriale (5.5) pe axele unui sistem de referinOxyz se obin ecuaiile de echilibru scalare ale rigidului liber:

Fig. 5.3

;0FRn

1iixx =

=

;0FRn

1iiyy =

=

;0FRn

1iizz =

=

( ) 0FzFyMn

1i

iyiizix ==

; ( ) 0FxFzMn

1i

iziixiy ==

; ( ) 0FyFxMn

1i

ixiiyiz = =

(5.6)Cu ajutorul ecuaiilor (5.6) pot fi rezolvate trei categorii de probleme:a) Se cunosc forele care acioneaz asupra rigidului i se cere

determinarea poziiei de echilibru prin coordonatele generalizate x10, y10, z10, ,, ;

b) Se d poziia de echilibru i se cer forele care asigur aceast poziie;c) Se cunoate parial poziia de echilibru i parial sistemul de fore i

se cere determinarea complet a poziiei de echilibru i a sistemului de fore.Daca numrul necunoscutelor este ase atunci, n general, se obin

soluii bine determinate.n cazul forelor paralele (fig. 5.4) i coplanare (fig. 5.5) numrul

ecuaiilor scalare de echilibru este trei, celelalte trei fiind satisfcute identic:

- pentru figura 5.4,

;0FRn

1iixx =

=

( ) 0FzMn

1iixiy =

=

; ( ) 0FyMn

1iixiz =

=

(5.7)

- pentru figura 5.5,



5/26


85

;0FRn

1iixx =

=

;0FRn

1iiyy =

=

( ) 0FyFxMn

1iixiiyiz =

=

(5.8)

Fig. 5.4 Fig. 5.5

5.2 Echilibrul solidului rigid supus la legturi far frecare

Legturile cu mediul nconjurtor ale unui corp, n sens fizic, suntreprezentate de contacte punctuale, liniare sau superficiale cu alte corpuri dinmediul nconjurtor. Ca urmare, corpul n cauz este supus anumitor restriciide natur geometric.

Axioma legturilor rmne valabil i n cazul rigidului supus lalegturi, conform creia: Orice legatur poate fi inlocuit cu fore i/saucupluri de legatur (reaciuni) care reprezint echivalentul mecanic al

legturii. Sub aciunea forelor date i a celor de legtur rigidul poate fi

considerat liberi tratat ca atare.Fie R i OM elementele torsorului forelor date care acioneaz asupra

rigidului i lR i lOM elementele torsorului de reducere, n acelai punct, al

forelor de legatur.Ecuaiile vectoriale de echilibru ale rigidului supus la legturi fr

frecare, innd seama de axioma legturilor, sunt:

;0RR 1 =+ 0MM O1O =+ (5.9)

la rndul lor echivalente cu ase ecuaii de echilibru scalare:

0RR lxx =+ ; 0RR lyy =+ ; 0RR lzz =+

0MM x1x =+ ; 0MM y1y =+ ; 0MM z1z =+ (5.10)



6/26

Statica

86

Dac ntr-o problem de echilibru a unui rigid supus la legturi frfrecare numrul total de necunoscute scalare (reaciuni plus parametriigeometrici independeni care determin poziia de echilibru) este ase atunci, ngeneral, sistemul (5.10) are soluie bine determinat.

Cele mai ntlnite legturi fr frecare ale solidului rigid sunt: reazemulsimplu, cupla sfer-curb, cupla cilindru-plan, cupla plan-plan, articulaiasferic, cupla cilindric, cupla de rotaie, cupla prismatic, ncastrarea, legturaprin fir i prin bar articulat la amndou capetele.

5.3. Legturile fr frecare ale rigidului5.3.1. Reazemul simplu

Dac un punct al unui corp (C) este obligat s rmn pe o suprafa fixi indeformabil, legtura se numete reazem simplu sau simpl rezemare.

Fig. 5.6

n figura 5.6 este reprezentat un corp (C) al crui punct O rmne pe suprafaade ecuaie:

0)z,y,x(f 111 = (5.11a)

Legtura suprim rigidului un grad de libertate pentru c, din cei aseparametri care determin poziia rigidului, trei (i anume coordonatele punctuluiO) trebuie s verifice ecuaia suprafeei:



7/26


87

0)z,y,x(f 101010 = (5.11b)

Cei cinci parametri independeni care definesc gradele de libertate alerigidului vor fi coordonatele curbilinii 0u i 0w ale punctului O pe suprafai

unghiurile lui Euler , , .Legtura nu permite deplasarea rigidului de-a lungul normalei la

suprafa n punctul de contact, fora de legtur fiind plasat pe aceastnormal:

+

+

=== 1

11

11

11 kz

fj

y

fi

x

ffNR (5.12)

Deci legtura introduce n ecuaiile de echilibru scalare o singurnecunoscut: valoarea reaciunii normale sau parametrului .

In figura 5.7 este prezentat un caz concret de legatur de acest gen,numit cupl sfer-suprafa, la care o sfer aparinnd corpului (C) se sprijinpe o suprafa fix. Legatura funcioneaz numai ntr-un sens i de aceea senumete unilateral. O legatur bilateral sfer-suprafa este prezentat nfigura 5.8.

Fig. 5.7 Fig. 5.8

5.3.2. Cupla sfer-curb

Cupla sau legtura sfer-curb este constituit dintr-o sfer care aparinerigidului obligat s rmn n interiorul unui tub rectiliniu sau curbiliniu deacelai diametru (fig 5.9). Centru sferei O se afl n permanen pe axa tubului,adic pe o curb de ecuaii:

0)z,y,x(f;0)z,y,x(f 22221111 == (5.13)



8/26

Statica

88

Legtura suprim corpului dou grade de libertate ntruct coordonatelepunctului O trebuie sa verifice ecuaiile curbei:

0)z,y,x(f;0)z,y,x(f 20202021010101 == (5.14)

Fig. 5.9

Prin urmare rigidul (C) are patru grade de libertate, poziia sa fiinddefinit de patru parametri geometrici independeni: coordonata curbilinie u apunctului O pe curba fix () i unghiurile lui Euler , , . Aceast legatur nupermite deplasarea rigidului in planul normal la curb. Ca urmare reaciuneaeste coninut n planul normal i pentru a fi determinat trebuie cunoscuteproieciile sale pe doua direcii din planul normal, definit de normala principali binormal sau de cei doi vectori normali la cele dou suprafee din interseciacrora rezult curba. Legatura sfera-curb introduce n ecuaiile de echilibruscalare dou necunoscute: proieciile N i N ale reaciunii pe normalaprincipali pe binormal, sau parametrii 1 si 2 din expresia:

+

+

+

+

+

=

=+==

11

21

1

21

1

221

1

11

1

11

1

11

22111

kz

fj

y

fi

x

fk

z

fj

y

fi

x

f

ffNR(5.15)

5.3.3. Cupla cilindru-plan

Acest tip de legatur este prezentat n figurile 5.10 (legatur unilateral)i 5.11 (legatur bilateral). Contactul dintre corpul (C) i planul de sprijin se

()



9/26


89

realizeaz dup un segment de dreapt reprezentat n acest caz de generatoareacilindrului.

Fig. 5.10 Fig. 5.11

Forele de legatur distribuite pe generatoarea de contact, normale peplan i pe clilindru, se reduc ntr-un punct O al axei cilindrului (centrul cuplei)la un torsor format din doi vectori perpendiculari:

===A

z11 dxknNRR ; ==A

y1O1 dxknixMM (5.16)

n raport cu punctele axei centrale, situat la distana d = Mly/ Rlz fa deO, forele de legatur se reduc la o rezultant unic R1=R1z. Legtura introduce

n ecuaiile de echilibru scalare dou necunoscute: R1zi M1y sau R1zi d. Ea nupermite deplasarea rigidului de-a lungul normalei la plan (axa Oz) i rotaia n jurul axei Oy (perpendiculara pe axa cilindrului i pe normala la plan). Deci,cupla clilindru-plan suprim rigidului dou grade de libertate corespunzatoaremicrilor simple interzise, rigidului rmnndu-i patru grade de libertatecorespunzatoare celor patru micri simple permise, dou deplasri liniare nplanul xOy i dou deplasri unghiulare n jurul axelor Ox i Oz.

5.3.4. Cupla plan-plan

Acest tip de legtur oblig un plan al rigidului s rmna n contact cuun alt plan. Schia unei legturi plan-plan unilaterale este redat n figura 5.12,iar a uneia bilaterale n figura 5.13. Legtura suprim rigidului deplasarea nlungul normalei comune Oz la cele dou plane i rotaiile n jurul celorlaltedou axe Ox i Oy din planul paralel cu planul fix, ceea ce justifica plasarea nschie a vectorului rezultant i a componentelor momentului rezultant aleforelor de legtur. Deci, legatura plan-plan suprim rigidului trei grade delibertate i i permite tot trei grade de libertate: doua translaii liniare n planulxOy i o rotatie n jurul axei Oz.



10/26

Statica

90

Fig. 5.12 Fig. 5.13

ntruct vectorii: z11 RR = i y1x1O1 MMM += , reprezentnd

elementele torsorului de reducere al forelor de legatur, sunt perpendiculari,aceste fore se reduc n raport cu axa central la o rezultant unic z11 RR = .Axa centrala intersecteaz planul xOy n punctul P0 de coordonate x0 = a = -M1y/ R1zi y0= b = M1x / R1z.

O cupla plan-plan introduce n ecuaiile de echilibru scalare treinecunoscute: R1z, M1xi M1y, sau R1z, a i b.

5.3.5. Articulaia sferic

Fig. 5.14



11/26


91

Articulaia (cupla) sferic (fig. 5.14) oblig un punct O al rigidului srmna ntr-o poziie dat (fix). Alegnd convenabil sistemele de referin,coordonatele punctului O vor fi: x10=0, y10=0, z10=0. Legtura suprim corpuluitrei grade de libertate, interzicnd deplasrile liniare n lungul celor trei axe decoordonate i permite rotaiile n jurul acelorai axe. Poziia rigidului estedeterminat de unghiurile lui Euler , , . n ecuaiile de echilibru scalare suntintroduse ca necunoscute proieciile reaciunii pe axele reperului Oxyz: R1x=H,R1y=V, R1z=W. Deoarece forele de legatur distribuite pe suprafaa sferei suntnormale pe aceasta i concurente n O, momentul lor faa de acest punct estenul.

5.3.6. Cupla cilindric

Fig. 5.15

Aceast legatura numit i cupl de rototranslaie (fig. 5.15) oblig unsegment de dreapt al rigidului s-i pstreze suprotul fix. Alegnd sistemele dereferin ca n figur, cupla permite rigidului deplasrile liniar u iunghiular n lungul i n jurul axei Oz, numiti axa cuplei. Ca urmare

rigidul are dou grade de libertate. Corpului i sunt interzise translaiile liniare irotaiile n lungul, respectiv n jurul axelor Ox i Oy. Poziia rigidului estedefinita de deplasarile liniar (u) i unghiular. Cupla introduce n ecuaiile deechilibru scalare patru necunoscute: proieciile pe axele Ox i Oy ale vectoruluirezultant i ale momentului rezultant: R1x, R1y, M1x, M1y.

5.3.7. Cupla de rotaie

Cupla de rotaie oblig dou puncte ale rigidului s-i pstreze poziiafix. Cele dou puncte determin o ax numit ax de rotaie. O astfel delegatur este prezentat n figura 5.16. Ea permite rigidului o singur micare,

u



12/26

Statica

92

cea de rotaie n jurul axei fixe Oz, conferindu-i acestuia un singur grad delibertate. Poziia corpului este definit de unghiul de rotaie .

Fig. 5.16

Sunt interzise deplasrile liniare n lungul celor trei axe ale sistemului dereferini rotatiile n jurul axelor Ox i Oy, perpendiculare pe axa de roataie,fapt ce justific plasarea componentelor carteziene ale torsorului de reducere alforelor de legatur R1x, R1y, R1z, M1x, M1y, componente ce urmeaz a fideterminate din ecuaiile de echilibru scalare.

Fig. 5.17

Daca forele exterioare date sunt toate situate n planul xOy, normal peaxa cuplei n centrul cuplei, legtura se numete articulaie plan (fig. 5.17).Fortele iF , (i=1, 2, , n), tind s deplaseze bara (C) n lungul axelor Ox i Oyi s-o roteasc n jurul axei Oz. Articulaia O se opune deplasrii barei n lungulcelor dou axe prin componentele R1xi Rly ale reaciunii dar nu influeneaz cunimic, n ipoteza neglijrii frecrii, rotaia n jurul axei cuplei (Oz). O articulaie

plan introduce n ecuaiile de echilibru scalare dou necunoscute R1x=H i

(C)



13/26


93

R1y=V, sau valoarea R1 a reaciunii i unghiul pe care reaciunea l face cu odirecie fix (de exemplu Ox1 ).

5.3.8. Cupla prismatic

Fig. 5.18

Modelul fizic al unei cuple prismatice sau de translaie este redat nfigura 5.18. Teoretic, dou drepte paralele ale corpului i pstreaz suporturilefixe. Legtura suprim corpului cinci grade de libertate, fiind posibil doar

deplasarea liniar n lungul axei Oz a cuplei. Ca urmare rigidul are un singurgrad de libertate definit de deplasarea axial u. Cupla de translaie interzicedeplasrile corpului n lungul axelor Ox i Oy precum i rotaiile n jurul celortrei axe ceea ce justific plasarea celor cinci componente carteziene alereaciunii: R1x, R1y, M1x, M1y, M1z, componente ce urmeaz a fi obinute dinecuaiile de echilibru.

Fig. 5.19

(C)

(C)



14/26

Statica

94

Daca forele exterioare date sunt situate n planul xOy, ca n figura 5.19,legatura se numete cupl de translaie plan. i n acest caz bara (C) are unsingur grad de libertate definit prin deplasarea axiala u. Legtura, de dataaceasta, introduce n ecuaiile de echilibru numai dou necunoscute R1yi Mlx.Deoarece trinomul invariant este nul, sistemul forelor de legtur se reduce nraport cu punctele axei centrale la o rezultant unic. Axa centrala este paralelcu axa Oy i intersecteaz axa Oz n punctul PO de coordonate xO=0, yO=0, zO=-Mlx/ R1y.

5.3.9. Incastrarea

Dac un capat al unei bare este fixat ntr-un zid sau n alt corp prinsudur, betonare, uruburi, sau alt sistem de fixare, legtura la care este supusbara n captul respectiv se numete ncastrare (fig. 5.20). O ncastrare suprim

corpului toate posibilitile de micare (numrul gradelor de libertate este zero).Legtura se opune deplasrilor liniare i rotaiilor n lungul i n jurul celor treiaxe ale sistemului de coordonate Oxyz prin componentele carteziene aleelementelor torsorului de reducere al forelor de legatur: R1x, R1y, R1z, M1x,M1y, M1z, componente ce se determin din cele ase ecuaii de echilibru scalare.

Fig. 5.20

n figura 5.21 este prezentat o ncastrare plan a barei (C), solicitat deun sistem de fore exterioare date situate n planul xOy. ncastrarea plana seopune deplasrilor barei n lungul axelor Ox i Oy prin componentele cartezieneR1x=H, R1y=V ale vectorului rezultant al forelor de legaturi rotaiei barei njurul axei Oz prin momentul M1O=M1z al acelorai fore. n cele trei ecuaii deechilibru scalare specifice sistemelor de forte coplanare apar cele treinecunoscute: R1x, R1y, M1z.

(C)



15/26


95

Fig. 5.21

5.3.10. Legtura prin fir i prin bar dublu articulat

Legtura prin fir (fig. 5.22), considerat perfect flexibil i inextensibil,sau bar cu greutate neglijabil articulat la ambele capete (fig. 5.23), interzicecorpului deplasarea pe direcia firului intins, respectiv pe directia barei. Ca sisimpla rezemare, acest tip de legatur, suprim corpului un singur grad delibertate.

Fig. 5.22 Fig. 5.23

n fir ia natere o for de legatur denumit tensiune avnd punctul deaplicaie n punctul n care este legat firul de rigid i suportul dreapta dup careeste intins firul, sensul fiind de la rigid ctre punctul de ancorare al firului.Legtura prin fir este o legtur unilateral deoarece funcioneaz numai dacfirul este intins. Fora de legtur corespunzatoare barei articulate la amndoucapetele, denumit efort, are direcia barei iar sensul depinde de aciuneaforelor exterioare. Legtura prin bar dublu articulat este bilateral deoarece

bara poate fi att intins ct i comprimat.



16/26

Statica

96

5.4. ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID SUPUS LA LEGTURI CUFRECARE

5.4.1. Generaliti privind frecrile. Condiii de echilibru

a b c

Fig. 5.24

Se consider n figura 5.24a un corp (C) care se sprijin pe un alt corpfix (C1), teoretic ntr-un singur punct O, practic, datorit deformrii corpurilor,pe o anumita suprafaa, denumit suprafat de contact. Asupra corpului (C)acioneaza un sistem de fore date iF , (i=1, 2,, n), al crui torsor de reducere

n O este format din vectorul rezultant R i momentul rezultant OM . Practic, se

constat c rigidul (C) rmne n echilibru. nseaman c forele de legturcare apar n punctele suprafeei de contact se reduc n acelai punct O la untorsor, format din vectorul rezultant

1R i momentul rezultant

lOM , care

echilibreaz torsorul forelor date (fig. 5.24b):

0RR 1 =+ ; 0MM O1O =+ (5.17)

Pentru a stabili condiiile de echilibru ale corpului (C), supus la legturicu frecare, se descompun vectorii din ecuaiile (5.17) n componente dupnormala la suprafaa de contact i planul tangent la aceasta n punctul teoreticde contact (fig 5.24c):



17/26


97

FPR += ; TNR1 += ; tnO MMM += ; rpO1 MMM += (5.18)

Tinnd seama de (5.17) rezult:

0NP =+ ; 0TF =+ ; 0=+ pn MM ; 0MM rt =+ (5.19)

Componenta P tinde s deplaseze corpul (C) interiorul corpului (C1),micare numit de strapungere. Acestei tendine i se opune reaciunea normalaN , egal n modul i direct opus componentei P .

Componenta F tinde s deplaseze corpul (C) n planul tangent lasuprafaa de contact, micare numit de alunecare. Se opune acestei tendinecomponenta T a vectorului rezultant al forelor de legtur, numita for defrecare de alunecare. Experimental se demonstreaz c alunecarea nu seproduce atta timp ct fora de frecare nu depaete o valoare maxim egal cuprodusul dintre coeficientul frecrii de alunecare i reaciunea normal:

NT (5.20)

Componenta nM a momentului rezultant al forelor exterioare date aretendina sa roteasc rigidul n jurul normalei, n punctul teoretic de contact, lasuprafaa de contact, micare numit de pivotare. Tendinei de pivotare a

corpului i se opune componenta pM a momentului forelor de legtura,denumit moment al frecrii de pivotare. Corpul nu pivoteaza dac momentulfrecrii de pivotare este mai mic sau cel mult egal cu momentul maxim alfrecarii de pivotare, egal la rndul lui cu produsul dintre coeficientul frecrii depivotare i reaciunea normala:

NMp (5.21)

Componenta tM a momentului rezultant al forelor exterioare date tinde

sa roteasc rigidul n jurul unei tangente din planul tangent, n punctul teoreticde contact la suprafaa de contact, micare numit de rostogolire. Tendinei derostogolire a corpului se opune componenta rM a momentului forelor delegatur, denumit moment al frecrii de rostogolire. Corpul nu se rostogoletedac momentul frecrii de rostogolire nu depaete momentul maxim al frecriide rostogolire, care este egal cu produsul dintre coeficientul frecrii derostogolire i tiunea normal:

sNMr (5.22)



18/26

Statica

98

Dac sunt ndeplinite condiiile (5.20), (5.21) si (5.22) corpul rmne nechilibru, adic nu alunec nu pivoteazi nu se rostogolete.

5.4.2. Frecarea de alunecare

n figura 5.25 este reprezentat un corp (C) simplu rezemat n puncteleA1, A2, , Ani se presupune ca n aceste puncte nu intervin dect frecari dealunecare. Pentru ca rigidul s rmna n echilibru, pe lnga ecuaiile (5.17),trebuie sa mai fie ndeplinite condiiile:

111 NT ; 222 NT ;; ppp NT (5.23)

Se obine un sistem mixt de aseecuaii i p inecuaii destul de dificil derezolvat deoarece tendina de micare acorpului este greu de intuit i n consecinisensurile forelor de frecare. Problema sesimplific dac inecuaiile (5.23) setransform n egaliti, dar n acest caz se potpierde multe soluii.

Drept exemplu se d problema uneiscri omogene A1A2 (fig 5.26a) de lungimel i greutate G rezemat cu frecare n A1

pe un plan orizontal i n A2 pe un peretevertical, coeficientii de frecare la alunecarefiind 1 si respectiv 2. n capatul A2 al

scrii se gsete un om cu greutatea P. Se cere determinarea valorii unghiului pentru care scara rmne n echilibru.

a b

Fig. 5.26

Fig. 5.25



19/26


99

Rezolvare:1) Se redeseneaz scara i se alege un sistem de referin Oxy (fig. 5.26b);2) Pe lng forele date G si P se reprezint, n punctele A1 si A2, reaciunile

1N , 2N i forele de frecare 1T i 2T innd seama de tendinele de micare ale

celor doua puncte;3) Se scriu cele trei ecuaii scalare de echilibru (dou de proiecii i una demomente) nsoite de condiiile de nealunecare n cele dou puncte:

0NT 21 =+ ; 0TNPG 21 =++ ;

0cos2

lGsinlNcoslN 21 = (5.24)

111 NT ; 222 NT (5.25)

Un astfel de sistem fiind greu de rezolvat se va considera situaiaechilibrului la limit:

111 NT = ; 222 NT = (5.26)

obinndu-se n acest caz valoarea minim a unghiului pentru care nc se mairealizeaz echilibrul scrii. Dispunem astfel de un sistem de cinci ecuaii cucinci necunoscute: , N1, N2, T1, T2. Rezolvndu-l aflm componentelereaciunilor i tangenta unghiului min:

( )

+

+=

G

P12

G

P21

tg

1

21

min (5.27)

Pentru ca scara sa nu alunece trebuie ca:

( )

+

+

G

P12

GP21arctg

1

21

(5.28)

Concret, pentru 1= 2=0.5 si P/G=3 rezult, =59,35.



20/26

Statica

100

5.4.3. Frecarea de rostogolire

Pentru punerea n eviden a momentului frecrii de rostogolire seconsider cazul concret al uei roi trase aflate pe un plan orizontal (fig. 5.24a).n axul roii de raz r acioneaz fora vertical G i fora de traciune F.

a b c

Fig. 5.27

Presupunnd ca rezemarea are loc ntr-un singur punct (fig. 5.27a)

ecuaiile de echilibru:

0=TF ; 0=GN ; 0= rF (5.29)

conduc la rezultatul F=0, care contrazice realitatea. Roata rmne n repaus, idac asupra ei acioneaza o for F a crei valoare nu depaete nsa oanumit limit.

Acest paradox poate fi inlturat dac se ine seama de faptul c fie caleade rulare, fie roata, sau amndou se deformeaz i contactul are loc pe o

anumit suprafa pe care apar reaciuni distribuite normale n i tangeniale t .Deoarece, n general, unghiul la centru corespunztor arcului de contact estemic putem considera ca suportul rezultantei N a reaciunilor normale n esteperpendicular pe plan i situat la distana e de punctul teoretic de contact A,iar suportul rezultantei T a reaciunilor tangeniale t este paralel cu planul itrece prin punctul teoretic de contact A (fig 5.27b). Se reduce reac iuneanormala N n punctul A la acelai vector N i un cuplu de moment Mr = Nedenumit moment al frecrii de rostogolire (fig. 5.27c). Ecuaiile de echilibru aleroii, n aceast situaie sunt:



21/26


101

0TF = ; 0GN = ; 0rFM r = (5.30)

de unde rezult:

GN = ; FrM r = ; FT = (5.31)

Echilibrul are loc pentru valori limitate ale modulului forei de traciune:

maxFF (5.32)

nmulim (5.32) cu r i dac tinem seama de relaia a doua din (5.31)obinem condiia:

maxrr MM (5.33)

unde s-a notat Mrmax = Fmaxr. Deoarece Mr = Ne i N = G = constant, condiia(5.33) poate fi pus sub forma:

maxr NeM = (5.34)

care cu notaia emax=s, s fiind numit coeficient al frecrii de rostogolire, devine:

NsM r (5.35)

Deducem ca s reprezint distana maxim la care poate fi deplasatparalel cu el nsui suportul reaciunii normale N fa de punctul teoretic decontact, la care roata nc nu se rostogolete.

Pentru a fi asigurat echilibrul i la alunecare trebuie ndeplinit icondiia :

NT (5.36)

Este important de reinut c n problemele de echilibru unde apartendine de rostogolire trebuie impuse ambele inegaliti, (5.35) i (5.36).

5.4.4. Frecarea de pivotare

Studiem fenomenul frecrii de pivotare n cazul unui arbore vertical cese sprijin ntr-un lagr pe o suprafa orizontal avnd forma unei coroanecirculare cu razele r1i r2 (fig. 5.28). n axul arborelui acioneaz fora P i uncuplu de moment

nM . Vom presupune c

presiunea p

i coeficientul frec

rii de



22/26

Statica

102

alunecare sunt aceleai n toate punctele suprafeei de contact. Se doreteaflarea momentului maxim al frecarii de pivotare Mpmax i a coeficientului depivotare .

Reaciunea normal pe unitateade suprafa este egal cu presiunea:

( ) ( )21222122 rrN

rr

Ppn

=

== (5.37)

Asupra unei arii elementare (ncoordonate polare) drrddA = decoroan circular a captului arboreluiacioneaz o reaciune elementar

normala dN a crei valoare este egal cuprodusul dintre presiune si ariaelementar

( )drdr

rr

NpdAdN

21

22

== (5.38)

i o for de frecare elementar dT,tangent la cercul de raza r (r1r r2 ), i

dirijat n sens invers tendinei depivotare, a crei valoare la limita echilibrului este egal cu produsul dintrecoeficientul frecarii de alunecare i reaciunea elementar dN:

( )drdr

rr

NdNdT

21

22

== (5.39)

Momentul dat de fora elementar de frecare n raport cu centrul coroaneicirculare este:

dTrdM maxp = (5.40)

Momentul frecrii de pivotare maxim va fi egal cu suma acestormomente elementare:

( )N

rr

rr

3

2ddrr

rr

NdTrM

21

22

31

32

r

r

2

0

22

122)S(

maxp

2

1

=

==

(5.41)

Fig 5.28



23/26


103

Arborele nu va pivota dac Mp Mpmax, adic MpN. Este evidentexpresia coeficientului frecrii de pivotare:

21

22

31

32

rr

rr

3

2

= (5.42)

Dac sprijinirea se face pe o suprafa circular cu raza r, fcnd n (5.42) r2 = ri r1=0, obinem:

rN3

2M maxp = i r= 3

2(5.43)

5.4.5. Frecarea n articulaii i n lagre

n tehnic se intlnesc adesea cazuri complexe de frecare cum suntfrecrile din articulatii i lagre. Osiile sau arborii pe care sunt fixate roilemainilor se sprijin prin intermediul fusurilor pe articulaii care permit rotaia,denumite lagre. Pentru ntrzierea uzurii, lagrele sunt prevzute cu pieseinelare care-l imbrac n interior denumite cuzinei.

Se va studia numai frecarea uscat, utilizarea lubrifianilor schimbndesenial problema. Dup extinderea suprafeei de contact dintre cuzinetullagrului i fus, lagrul poate fi considerat nestrns (cu jos) sau strns (fr joc).

a) Cazul lagrului cu joc

Dac lagrul nu este strns, contactul dintre fus i lagr poate ficonsiderat ntr-un singur punct A (fig. 5.29).

Fig 5.29



24/26

Statica

104

Torsorul forelor exterioare n punctul O este constituit din momentulmotor OM care acioneaza n lungul axului arborelui i vectorul rezultant R

situat ntr-un plan perpendicular pe axul arborelui. Vom nota cu r raza fusului icu A punctul teoretic de contact. n punctul A are loc un fenomen de alunecare

i de rostogolire. Forele de legtur se reduc n punctul A la reaciunea normalN , forta de frecare T i momentul frecarii de rostogolire rM .n acest caz ecuaiile i inecuaiile de echilibru sunt:

0sinRT = ; 0cosRN = ; 0sinRrMM Or =+ ; (5.44)

NT ; sNM r (5.45)

Din (5.44) deducem:

= sinRT ; = cosRN ; += sinrRMM Or (5.46)

pe care le introducem n (5.45) i obinem condiiile de echilibru:

+ cos

r

ssinrRMO ; tg (5.47)

La limita echilibrului privind alunecarea:

=tg ;21

sin+

= ;

21cos

+

= (5.48)

i prima formul din (5.47) devine:

rR

1

r

s

M2

O

+

+ (5.49)

Dac se noteaz cu:

2f 1

r

s

+

+= , (5.50)

coeficientul frecrii n lagr, condiia (5.49) devine:

RrM fO (5.51)



25/26


105

n punctul O forele de legtur se reduc la momentul frecrii n lagr

fM , egal n modul i direct opus momentului motor OM i la reaciunea 1R ,

egal n modul i direct opus vectorului rezultant R al forelor exterioare.

nlocuind n (5.51) modulul momentului motor MO cu modulul momentuluifrecrii n lagr Mfi modulul vectorului rezultant al forelor date R cu modululreactiunii R1, obinem condiia de echilibru sub forma:

1ff rRM (5.52)

Modulul reaciunii se determin cu ajutorul componentelor carteziene.

Astfel, n cazul unei articulaii plane 221 VHR += , iar n cazul unei cuple

sferice

222

1 WVHR ++= .

b) Cazul lagrului frjoc

n acest caz contactul dintre fus i lagr se face practic pe o suprafacilindric. ntr-un punct oarecare de contact apare o reaciune normal iN i o

for de frecare iT (fig. 5.30). Momentul frecrii n lagr este egal cu sumamomentelor forelor de frecare n raport cu punctul O.

Fig 5.30

La limita echilibrului cnd ii NT = obinem momentul maxim alfrecrii in lagar:

1f

n

1i

1

1

n

1iin

1i

ii

n

1i

imaxf RrRrR

N

NrrNrTM =====

=

=

==

(5.53)



26/26

Statica

106

S-a notat cu R1, reaciunea din lagr calculat n ipoteza c nu exist frecare icu f coeficientul de frecare n lagr:

1

n

1i

i

f R

N== (5.54)

Se observ ca acest coeficient depinde de legea de variaie a reaciunilornormale Ni pe suprafaa de contact dintre fus i lagr. i n acest caz pentruechilibru este necesar ca momentul frecrii n lagr s respecte condiia:

1ff RrM (5.55)

Rezultatele obinute mai sus sunt acceptabile numai calitativ,coeficienii de frecare f determinndu-se experimental.

cap 5. statica rigidului

Documents