Download - e Book Cinematica Rigidului
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
1/103
CINEMATICA
RIGIDULUI
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
2/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 1
CINEMATICA CORPULUI RIGID
8.1. Elementele generale ale micrii corpului rigid
8.1.1 Problemele cinematicii corpului rigid
Corpul rigid este un element important n tehnic i semnific un corpmaterial n form fix, compus din particule elementare pentru care distana dintreoricare dou puncte ale sale nu se modific n timp i n spaiu.
Experiena arat c modelele abstracte de punct material i corp rigid reflectanumite proprieti reale ale corpurilor, ceea ce justific folosirea acestora.
Conceptul de corp rigid are avantajul de a simplifica studiul micrii corpuluiin sensul adoptrii unui numar finit de parametri care s defineasc poziia corpului nmiscare, cu toate c un corp rigid este format dintr-un numr infinit de puncte.
Micarea unui corp fat de un sistem de referina este cunoscut , dac se potdetermina legile de micare, traiectoria, viteza i acceleraia fiecrui punct din corp.Prin legile de micare ale unui corp rigid se neleg functiile scalare de timp care
determin in orice moment al miscarii, poziia corpuluifa de un reper. Practic nueste posibil s se descrie miscarea rigidului prin miscarea fiecarui punct, dar estesuficient s fie cunoscut n fiecare moment al miscrii, numai poziiile unor punctedin care, pe baza pstrrii distanelor dintre puncte se vor determina poziiilecelorlalte puncte din rigid. Numrul minim al funciilor scalare independente caredetermina poziia corpului in orice moment reprezint numrul gradelor de libertateale corpului. Functiile scalare care determin micarea corpului sunt elementegeometrice (distane, unghiuri), funcii de timp. Alegerea acestor elemente depinde decondiiile n care corpul execut miscarea, de natura legturilor, etc. Legturile la careeste supus un corp (sau sistem de corpuri) micoreaz numrul gradelor de libertate.
Obiectul prezentului capitol este constituit din urmtoarele doua probleme:1) fiind date legile de micare ale corpului rigid, se cauta legile de miscare,
traiectoriile, vitezele si acceleraiile punctelor rigidului.
2) fiind date micrile unor puncte ale corpului, vom cuta s determinmlegile de micare pentru corp, adic a oricror puncte din corp.
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
3/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 2
8.1.2. Legile de miscare
In acest capitol, studiul micrii unui corp rigid se face studiind micareaunui sistem de axe mobil, legat de corpul n micare, fa de un sistem de referin fix.
Poziia unui corp rigid faa de un anumit reper din spaiul Euclidiantridimensional R3 este cunoscut dac se cunosc poziiile a trei punct necoliniare dinrigid.
Considerm sistemul de axe fixe O1x1y1z1 i sistemul de axe mobile Oxyzinvariabil legat de corpul n micare. Fa de reperul fix considerm trei punctenecoliniare A, B si C. Poziia oricarui alt punct M din rigid este cunosctu deoarece
distanele AM, BM si MC sunt fixate. Pozitia fiecarui punct, se tie c depinde de treifuncii scalare independente de timp, deci de trei parametrii, astfel c pentru cele treipuncte A,B,C sunt necesari 3x3=9 parametri pe care i vom considera coordonatelepunctelor respective. Dar distanele AB, BC i AC rman nemodificate n cursulmiscrii, astfel c putem scrie urmtoarele relaii de legtur dintre aceste coordonate:
const)zz()yy()xx(AC
const)zz()yy()xx(BC
const)zz()yy()xx(AB
2CA
2CA
2CA
2
2CB
2CB
2CB
2
2BA
2BA
2BA
2
=++=
=++=
=++=
(8.1)
Urmeaz c din cei 9parametri rmn 9-3=6parametri independeni de underezult c un corp rigid liber are6 grade de libertate.
Originea reperului Oxyzlegat de corpul n micare, oalegem ntr-un punct arbitrar O(fig. 8.1) Deoarece acest sistemse misc impreun cu corpulrigid (C) dar nu independent fade acesta, este suficient sstudiem miscarea sistemuluimobil Oxyz n raport cu sistemulfix O1x1y1z1. Determinarea
poziiei corpului rigid revine la determinarea pozitiei sistemului Oxyz faa desistemul O1x1y1z1.
Originea sistemului mobil O este determinat prin cunoasterea vectorului sude poziie pe care l raportm la reperul fix:
10101010 kzjyixOOr ++== (8.2)
fig. 8.1
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
4/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 3
ceea ce conduce la cunoaterea funciilor scalare de timp:x0=x0(t); y0=y0(t); z0=z0(t); (8.3)
Funcia vectorial )t(r0 este o funcie de timp continu, uniform i
derivabil de cel puin dou ori.Versorii k,j,i sunt la rndul lor funcii de timp, deoarece i schimb poziia
n timp odat cu axele pe care le caracterizeaz. Se tie c orice vector funcie de timpse exprim cu ajutorul a trei funcii scalare de timp, de exemplu proieciile sale pe unanumit sistem de axe. Deci pentru cei trei versori mobili sunt necesare 3x3=9 funciiscalare de timp. Dar aceste funcii nu sunt independente, deoarece se pot scrie 6 relaiispecifice din condiiile ca vectorii k,j,i sa fie ortonormai:
1k1;j1;i 222 === (8.4)
0ik0;kj0;ji === (8.5)Rezult c pentru determinarea direciilor axelor sistemului de referin
mobil, sunt necesari trei parametri de poziie independeni. Deci numrul funciilor detimp scalare independente ce determina poziia sistemului de referin mobil este 6,adic egal chiar cu numrul gradelor de libertate ale corpului rigid liber.
Pentru a stabili legea de micare a unui punct arbitrar M din corp, considermurmtorii vectori: vectorul de poziie al punctului M fa de reperul fix O1x1y1z1:
11111111 kzjyixMOr ++== (8.6)unde coordonatele x1,y1,z1 ale punctului M sunt funcii de timp necunoscute. Vectorulde poziie al punctului M faa de reperul mobil este:
kzjyixMOr ++== (8.7)la care direcia este variabil dar modulul constant, deoarece distana dintre puncteleO i M nu se modific, conform ipotezei rigiditaii corpului:
OM2=x2+y2+z2=constant (8.8)
ntre vectorii r,r,r o1 exist relaia de legtur (fig 8.1):
rrr o1 += (8.9)ceea ce reprezint legea de micare a punctului M sub form vectorial.
Ecuaia (8.9) proiectat pe axele sistemului de referin duce la urmatoarelerelaii scalare:
)k,kcos(z)k,jcos(y)k,icos(xzz
)j,kcos(z)j,jcos(y)j,icos(xyy
)i,kcos(z)i,jcos(y)i,icos(xxx
11101
11101
11101
+++=
+++=
+++=
.10)
Ecuaiile (8.10) reprezint legea de micare a punctului M in raport cusistemul de referin fix (legea de micare absolut), sau ecuaiile parametrice aletraiectoriei punctului M fa de sistemul de referin fix.
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
5/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 4
8.1.3 Derivata absoluti relativ a unei funcii vectoriale de timp
Fie O1x1y1z1 i Oxyz dou sisteme de referin triortogonale drepte, primulfix iar al doilea mobil, avnd versorii 111 k,j,i respectiv k,j,i (fig. 8.1) i un vector
)t(u variabil. Notm vectorul )t(u raportat la sistemul de referin fix astfel:
kujuiuu111 z1y1x
++= (8.11)
Fa de sistemul de referin mobil, vectorul )t(u se scrie sub forma:
kujuiuu zyx ++= (8.12)Derivata n raport cu timpul a functiei vectoriale )t(u raportat la sistemul de
referin fix se numete derivat absoluti se noteaz
kujuiuudt
ud111 z1y1x
&&&& ++== (8.13)
Derivata n raport cu timpul a funciei vectoriale (8.12) este:
kujuiukujuiuu zyxzyx&&&
&&&& +++++= (8.14)
Prin analogie cu derivate absolut (8.13) a vectorului (8.11) definim derivaterelativ fa de sistemul mobil n raport cu timpul a funciei vectoriale u i se noteaz
cu
t
u
, vectorul
kujuiut
uzyx
&&& ++=
(8.15)
O astfel de derivat mai este numit i derivat local. Din relaiile (8.13),(8.14) si (8.15) deducem:
kujuiut
u
dt
duzyx
&&& +++
= (8.16)
Pentru a calcula derivata in raport cu timpul a versorilor axelor mobile, vomderiva relaiile de ortonormalitate (8.4) si (8.5) n raport cu timpul i obinem:
0kk0;jj0;ii === &&& (8.17)
0ikik0,kjkj0,jiji =+=+=+ &&&&&& (8.18)
Prin convenie considerm vectorul vitez unghiular prin proieciile sale peaxele reperului mobil, obinute din relaiile (8.18)
yxz ikik;kj-kj;ji-ji ======&&&&&&
(8.19)
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
6/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 5
Pentru calculul vectorilor k,j,i &&& , considerm un vector oarecare care se scrie
astfel:k)kV(j)jV(i)iV(kVjViVV zyx ++=++= (8.20)
Punem n locul vectorului V pe rnd vectorii k,j,i &&& i inem seama de
notaiile (8.19):
ikjk)ki(j)ji(i)ii(i yz&&&&& ==++=
jkik)kj(j)jj(i)ij(j xz =+=++=&&&&
kjjk)kk(j)jk(i)ik(k xy ==++=&&&&
(8.21)Relaiile (8.21) se numesc relaiile lui Poisson. Ultimul termen al relaiei
(8.16), innd seama de relaiile lui Poisson, se mai scrie:
=++=++ kujuiukujuiu zyxzyx&&&
u)kujuiu( zyx =++ (8.22)
n acest fel relaia (8.16) devine:
ut
uu +
=& (8.23)
Prin urmare derivate absolut a unui vector u variabil care este raportat la
sistemul de referin mobil, se scrie cu ajutorul derivatei relativet
u
i a vectorului
determinat cu versorii axelor mobile.Observaii:1) Dac vectorul u este invariabil fa de reperul mobil, relaia de legtur
(8.23) devine:
ut
uu =
=& (8.24)
2) Dac n particular u = (vectorul vitez unghiular), obinem:
& = =t
+ x =t
= & x i + & yj + & z k (8.25)
unde vectorul se numete acceleraie unghiular a sistemului de referin mobil.Derivata absolut a vectorului vitez unghiular este egal cu derivata sa relativ.
Din relaia (8.29) rezult c orice vector paralel cu are derivata absolut egal cuderivata relativ .Proieciile vectorului acceleraie unghiular pe axele sistemului de referin
mobil sunt:
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
7/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 6
x= & x; y= & y; z= & z;(8.26)
iar pe axele sistemului de referin fix sunt:x1= & x1; y1= & y1: z1= & z1. (8.27)
8.1.4. Distribuia de viteze i acceleraii n micarea corpului rigid
Viteza unui punct M la un moment dat, este derivata absolut in raport cutimpul a vectorului de poziie n raport cu reperul fix dat de formula (8.9):
rrrv 01 &&& +== (8.28)unde
kvjvivkzjyixvr ozoyox10101000 ++=++== &&&& (8.29)
este viteza originii O iarinnd seama de relaia (8.24) avem:
r& =x i& +zj& +y k& = x r (8.30)In acest fel formula (8.28) devine:
v = v 0+ x r (8.31)unde este vectorul vitez unghiular de rotaie a sistemului mobil, definit derelaiile (8.19).
Formula (8.31) se numete formul general a distribuiei de viteze i cuajutorul acesteia se efectueaz distribuia de viteze a punctelor rigidului la un moment
dat al micrii sale.Viteza unui punct arbitrar M al rigidului se exprim cu ajutorul parametrilorcinematici ai corpului care sunt: v 0(viteza unui punct particular din rigid) si (viteza unghiular instantanee a corpului).
Proieciile pe axele mobile ale vitezei v se obin din relaia (8.31):vx= vox+zy-yzvx= voy+xz-zxvz= voz+yx-xy (8.32)
Formula (8.31) se mai numete i formula lui Euler pentru distribuia deviteze n micarea corpului rigid.
Prin derivare n raport cu timpul, obinem: = & = & x i + & yj + & k k= x i + yj + z k (8.33)
Din relaia (8.31), derivnd n raport cu timpul obinem:
v& = v& 0+ & x r + x r& (8.34)Acceleraia punctului arbitrar M la un moment dat este a = v& , astfel ca innd
seama de relaia (8.30), formula (8.34) devine:a = a 0+ x r + x( x r ) (8.35)
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
8/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 7
unde:
a 0= v& 0= 101010 kzjyix &&&&&& ++ (8.36)este acceleraia originii reperului mobil O fa de reperul fix.
Formula (8.35) se numete formula general a distribuiei de acceleraii nmicarea punctelor unui corp rigid. Aceast formul se aplic pentru a determinaacceleraia unui punct arbitrar M, dac se cunosc vectorii: a 0 acceleraia punctuluide referin O din corp, - viteza unghiular si - acceleraia unghiular a corpuluirigid.
Proieciile acceleraiei ape axele sistemului mobil sunt:ax=aox-(
2y +
2z )x + (xy- & z)y + (xy+ & z)z
ay=aoy+ (xy+ & z)x - (2x +
2z )y + (yz- & x)k
az=aoz+(xz- & y)x + (yz+ & x)y - (2x +
2y )k (8.37)
Relaia (8.35) se mai numeste formula lui Euler pentru distribuia deacceleraii intr-un corp rigid.
8.1.5 Proprietai generale ale distribuiei de viteze
Folosind formula general a distribuiei de viteze (8.31), putem deduce uneleproprietai importante privind distribuia de viteze din care vom prezenta in cele ceurmeaz cteva:
a) Vectorul este acelai n orice punct al rigidului. ntr-adevr considermtrei puncte necoliniare O,A,B din rigid. Din ipoteza de rigiditate a corpului rigid,modulele vectorilor AO i BO , precum i unghiul AOB sunt constante n timpulmiscrii, astfel c:
AO BO =OA OB cos(
AOB )=constant (8.38)Presupunem c punctului A i corespunde viteza unghiular 1 iar punctului
B i corespunde viteza unghiular 2, astfel c putem scrie, innd seama c vectoriiAO i BO sunt invariabili fa de sistemul de referin mobil:
AO& = 1 x AO ; BO& = 2 x BO (8.39)
Derivnd relaia (8.38) n raport cu timpul, obinem relaia:
AO& BO + AO BO& =0(8.40)
nlocuind expresiile (8.39) n relaia (8.40), obinem:( 1 x AO ) BO + AO ( 2 x BO )=0
sau, innd seama de proprietile produsului mixt:
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
9/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 8
1( AO x BO )- 2( AO x BO )=0respectiv
( 1 - 2)( AO x BO )=0 (8.41)Dar punctele O,A i B sunt arbitrare i necoliniare, astfel c 1= 2b) Vectorul nu depinde de alegerea originii sistemului de referin mobil.
Presupunem c punctele O si O` sunt dou origini pentru dou sisteme mobile crorale corespund vitezele unghiulare respectiv ` . Prin urmare, viteza unui punctarbitrar M din corpul rigid se scrie sub urmtoarele dou forme:
v M= v 0+ x MO& (8.42)
v M= M`O`v`O + (8.43)Dar viteza punctului O` se poate scrie fa de originea O sub forma:
`OO`vv O`O ` += (8.44)Inlocuim relaia (8.44) n (8.43) i
rezultatul obinut n expresia (8.42) dup carerezult :
MOvM`O``OOv OO +=++ (8.45)care se mai scrie:
0M`O`)MO`OO( =+ (8.46)Folosind relaia
M`O`OMMO`OO == din formula (8.46),rezult:
0M`O`)( = (8.47)Cum punctual M a fost ales arbitrar,
rezult = ` .c) Teorema proieciilor vitezelor. Proieciile vitezelor a dou puncte arbitrare
ale unui rigid pe dreapta cere le unete sunt egale i de acelai sens. Considermpunctele M i N din rigid (fig 8.2.) i presupunem c punctul M este origineareperului mobil.
Rezult:NMvv MN += (8.48)
Inmulim scalar relaia (8.48) cu versorulMN
NMu = de unde obinem:
vN u = v M u =constantsau:vNcos =vMcos =constant
fig. 8.2
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
10/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 9
Aceasta teorem demonstreaz cinematic rigiditatea unui corp solid: distanadintre punctele M si N ramne nemodificat, deoarece proieciile vitezelor dupaceast direcie sunt egale.
d) Teorema coliniaritii extremitaiivectorilor vitez: extremitile vectorilorvitez a trei puncte coliniare din corpul rigidn miscare sunt coliniare. Considermpunctele coliniare A,B,C (fig 8.3) ceea cevectorial nseamn c exist R astfelnct:
CABA = (8.50)Vitezele corespunztoare celor treipuncte sunt respectiv:
1c1B1A CCv;BBv;AAv === (8.51)Cu ajutorul vectorilor de poziie rA, rB, rC relaia (8.50) se scrie sub forma:
rB- rA=( rC- rA) (8.52)Prin derivarea relaiei (8.52) n raport cu timpul i innd seama de relaiile:
r& A= v A, r& B= v B, r& C= v C (8.53)precum i de notaiile (8.51), obinem:
)AACC(AABB 1111 = (8.54)Adunnd relaiile (8.52) i (8.54), astfel c obinem:
rB+ )]AAr(CCr[)AAr(BB 1A1C1A1 ++=+
ceea ce implic:)AOCO(AOBO 1111 = (8.55)
sau:
1111 CABA = (8.56)relaie ce nseamn coliniaritatea punctelor A1 ,B1 ,C1 .
e) Proieciile vitezelor punctelor unui rigid n micare pe suportul vectorulvitez unghiular sunt aceleai. Considerm punctele M si N din rigid (fig 8.4),astfel c alegnd punctul M ca origine a reperului mobil, putem scrie:
v N= v M+ x NM (8.57)nmulim scalar relaia (8.57) cu versorul
u 1= / al vitezei unghiulare de unde obinem:vN u 1 = v M u 1 = constatnt sau:
vNcos = vMcos = constant (8.58)ceea ce demonstreaz proprietatea.
f)Punctele unui rigid n micare, situatepe o dreapt paralel la suportul vectorului au aceeasi vitez.
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
11/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
12/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 11
Din relaia vectorial (8.64), rezulty =-t i x=t. Din relaia (8.65) rezulttrei ecuaii cu o singur necunoscut. Reyult y=2t. Celelalte dou ecuaii carerezult din aceast relaie sunt identic verificate, ceea ce confirm c miscarea are locn condiiile date. Aceste dou ecuaii puteau fi folosite la determinareanecunoscutelori dac nu foloseam teorema proieciilor la a).
c) Viteza punctului E se determin cu ajutorul formulei (8.31):v E= v D+ x ED (8.66)
unde =t i +2t j -t k l-am determinat la punctual b). Se obine:
v E=6at i -3at j (8.67)
8.1.6 Proprietiile generale ale distribuiei de acceleraii
n baza formulei generale a distribuiei de acceleraii ale punctelor unui corprigid, dat de (8.35), se deduc urmtoarele proprieti:
a) Formula general a distribuiei de acceleraii (8.35) i pstreaz aceeaiform, oricare ar fi punctul de referin ales n rigid.
Demonstraia rezult imediat dac inem seama c dac alegem dou punctede referin O i O` din rigid, vitezele unghiulare (deci i acceleratiile unghiulare)corespunztoare sunt aceleai i n plus pentru un punct oarecare M din rigid,acceleraia sa este:
a M= a O+ MO + ( MO ) (8.68)
iar acceleraia punctului O` este:a O` = a O+ `OO + ( `OO ) (8.69)
Scznd membru cu membru relaiile (8.68) i (8.69) i innd seama derelaia MO - `OO = O`O , obinem:
a M- a O`= M`O + ( M`O ) (8.70)ceea ce demonstreaz proprietatea enunat.
b) Componenta axipet a acceleraiei unui punct din corpul rigid esteperpendicular pe vectorul vitez unghiular al rigidului i orientat spre suportul
acestuia.Fie M un punct oarecare din rigid, punctul
O de referin pe suportul vectorului vitezunghiular i M proiecia lui M pe suportul lui
(fig. 8.7). Rezult:r = `MO + M`M = + M`M R (8.71)
Componenta axipet se scrie folosindformula (8.71):
fig. 8.7
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
13/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
14/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 13
Se tie c proiecia vitezei v a unui punct arbitrar al unui corp pe suportulvectorului este aceeai. Folosind formula general (8.31) a distribuiei de viteze,vectorul u construit cu ajutorul acestei proiecii se scrie:
=
=2
00
v)v(u (8.79)
Aceast vitez se numeste vitez de lunecare. Dac exist n rigid un punctcare s aib viteza u , atunci exist o infinitate de astfel de puncte, situate pe odreapt paralel cu vectorul vitez unghiular i trece prin punctul respectiv.Aceast dreapt se numete axa instantanee de rototranslaie. Punctele de pe axainstantanee de rototranslaie au viteza de lunecare u . Ne propunem s gsim
condiiile de existen ale axei de rototranslaie i ecuaia ei analitic. Fie () aceastaxa i un punct curent M pe axa al crui vector de poziie este r = MO . Vitezapunctului M este:
v M= v 0+ r = u (8.80)Pentru a determina vectorul r din relaia (8.80), nmulim vectorial aceast
relaie la stnga cu vectorul i inem seama de proprietaile: ( r )=( r ) -2 r (8.81) u =0 (8.82)
astfel c se obine: v 0+( r ) -
2 r =0 (8.83)
De aici, notnd =2
r
, rezult:
+=
20vr (8.84)
Pentru =0 n expresia (8.84), vectorul ( v 0)/2 este perpendicular pe
suportul lui (deci i pe axa ()), trece prin O, deci va reprezenta vectorul `OOunde prin O`am notat proiecia lui O pe axa () (fig 8.8)
Rezult c ecuaia (8.84) reprezint ecuaia vectorial aaxei instantanee de rototranslaie i deci aceasta exist daca0.
n timpul micarii, axa () i schimb poziia deoarecevectorii i v 0 depind de timp.
Fa de un sistem de referin fix, ecuaia vectorial aaxei de rototranslaie se scrie:
++= 2
001 vrr (8.85)
i deci i schimb poziia i fa de reperul fix.Pentru a scrie ecuaia analitic a axei instantanee de
rototranslaie n raport cu reperul mobil, folosim condiia:fig. 8.8
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
15/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 14
v = , R (8.86)ceea ce conduce la ecuaiile scalare:
z
z
y
y
x
x vvv
=
=
(8.87)
sau innd seama de relaiile (8.32):
z
yxoz
y
xzoy
x
zyox xyvzxvyzv
+=
+=
+(8.88)
Fa de sistemul de referin fix O1x1y1z1, innd seama de relaia r=r 1- r0,ecuaia axei instantanee de rotototranslaie
1
11
1
11
1
11
z
x01y01o
y
z01x01o
x
y01z01o
)yy()xx(z
)xx()zz(y)zz()yy(x
+=
=
+=
+
&
&&
(8.89)
Pentru studiul distribuiei de viteze, considerm ca punct de referin, unpunct oarecare P de pe axa instantanee de rototranslae, astfel c un punct current Maparinnd rigidului are la un moment dat viteza:
v M= u + MP (8.90)Se poate considera c viteza punctului M din rigid are dou componente: una
este uparalel cu (invariant) i alta MP normal pe (variabil cu punctul).Punctele de pe axa instantanee de rototranslaie care au viteza u au proprietatea c
viteza lor este minim, componenta normal pe fiind nul. n acest mod, se poatestabili o analogie ntre axa instantanee de rototranslaie i axa central din static. Deasemenea, la fel ca n static, n cazul distribuiei de viteze exist doi invariani:vectorul i vectorul u .
8.2.2. Axoidele micrii generale a rigidului
Din ecuaiile vectoriale (8.84) i (8.85) ale axei instantanee de rototranslaie,am vzut c aceasta i schimb poziia n timp fa de rigid, ct i fa de sistemul de
referin fix, ca urmare descrie dou suprafee riglate care au la un moment dat almicrii ca generatoare comun, axa instantanee de rototranslaie.
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
16/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 15
Locul geometric descris de axa instantanee de rototranslaie fa de sistemulde referin fix se numete axoid fix, iarfa de sistemul de referin mobil senumete axoida mobil.
Eliminnd timpul ntre ecuaiile(8.88) ,se obine ecuaia analitic a axoideimobile, de forma f(x,y,z)=0, iar ntreecuaiile (8.89), se obine ecuaia analitica axoidei fixe, de forma g(x1,y1,z1)=0.
Axoidele micrii generale a
rigidului prezint importan deosebitpentru aplicaii, deoarece micarearigidului poate fi privit ca micare aaxoidei mobile legat de rigid n raport cuaxoida fix.
Menionm dou dintreproprietile acestor axoide:
a) Axoida fix i axoida mobilesunt tangente, iar planul tangent conineaxa instantanee de rototranslaie () (fig8.9).
ntr-adevr, cele doua axoide au ca generatoare comun axa () derototranslaie. Considerm punctul arbitrar M (). n timpul micrii, punctul M
descrie o curb pe axoida fix numit centroid fixa, iar pe axoida mobil o curbnumit centroid mobil. Vectorii vitez ai punctului M pe cele dou centroide sunttangente n acest punct la cele doua curbe, deci planul tangent la fiecare axoid va fideterminat de axa instantanee de rototranslaie () i respectiv de fiecare tangent pecele dou centroide.
Vectorii vitez la cele dou centroide sunt respectiv:
v 1M= r& , v M=t
r
(8.91)
ntre vectorii r , r0, r1 exist relaia:r1= r0+ r (8.92)
Derivnd relaia (8.92) n raport cu timpul i innd seama de relaia (8.80)obinem:
ut
r
rvt
r
rt
r
rr 001 +
=++
=+
+=&&
(8.93)astfel c:
v 1M= v M+ u (8.94)Aceast ultim relaie, indic coplanaritatea vectorilor v 1M, v Mi u ceea ce
nseamn c cele dou plane tangente sunt confundate.
Centroida fix
Centroidamobil
Axoidamobil
Planultangent
Axoidafix
fig. 8.9
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
17/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
18/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
19/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 18
paralel cu ea nsi pe tot timpul micrii, deducem ci axele reperului mobil Ox,Oy, Oz rmn paralele cu ele nsele. Vom alege prin urmare axele sistemului mobilastfel nct s rmn paralele cu axele reperului fix, ceea ce conduce la concluzia cversorii i ,j , k sunt constani att ca mrime ct i ca direcie.
Originea O a sistemului legat de corp este determinat de reperul fixO1x1y1z1 prin vectorul rO= rO(t), ceea ce revine la cunoaterea funciilor scalare detimp, care reprezint legile de micare ale rigidului:
xO=xO(t), yO=yO(t), zO=zO(t) (8.101)Un corp rigid aflat n micare de translaie are deci, maxim trei grade de
libertate. Pentru translaii particulare, numrul gradelor de libertate scade la dou sau
la unu. Derivnd versorii reperului mobil, obinem:
i& =0, j& =0, k& =0 (8.102)
astfel c n micarea de translaie: =0, =0 (8.103)
ntr-o micare de translaie, traiectoriile diferitelor puncte ale rigidului (C)sunt identice, ele putnd fi suprapuse printr-o translaie geometric. Acest fapt rezulti din relaia cunoscut:
r1= r0+ r (8.104)n cazul translaiei, r = MO este un vector constant i deci traiectoria
punctului O coincide cu traiectoria punctului M (printr-o translaie geometric devector r ). Ecuaia (8.104) proiectat pe axele fixe, se mai scrie sub forma:
x1=xO+x, y1=yO+y, z1=zO+z (8.105)unde r =x i +y j +z k
Prin eliminarea timpului ntre ecuaiile (8.105) se obin ecuaiile traiectorieipunctului M n coordonate carteziene.
8.3.2. Distribuia de viteze
Prin aplicare formulei generale a distribuiei vitezelor i innd seama derelaia (8.103), un punct oarecare din rigid are viteza:
v = v O+ r= v O (8.106)Prin urmare, la un moment dat, toate punctele unui rigid n micare de
translaie au aceeai vitez. Proieciile pe axe ale vitezei unui punct M sunt:vx= x& O; vy= y& O; vz= z& O (8.107)
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
20/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 19
8.3.3. Distribuia de acceleraii
Aplicnd formula general a distribuiei de acceleraii i innd seama derelaia (8.103), un punct oarecare din rigid are acceleraia:
a = a O+ r + ( r )= a O (8.108)Deci, la un moment dat, n micarea de translaie a rigidului, toate punctele
sale au aceeai acceleraie. Proieciile pe axe ale acceleraiei punctului M sunt:ax= x&& ; ay= y&& ; az= z&& (8.109)
n concluzie, pentru studiul micrii de translaie a solidului rigid, estesuficient s se studieze micarea unui singur punct convenabil ales din rigid.
Vectorii vitezi acceleraie de translaie sunt vectori liberi, aceeai n oricepunct al rigidului.
Aplicaie: Dou discuri de centre C1, repectiv C2, fiecare de raz R, serostogolesc fr alunecare pe axa Ox. Bara AB este articulat pe cele dou periferii(fig 8.11). n momentul iniial AB se afl pe axa Ox. Vitezele centrelor C1i C2 suntconstante i egale cu vO. S se determine traiectoria, viteza i acceleraia unui punctoarecare M de pe bar, la un moment dat. S se determine viteza lui M cnd unghiul
(
MM a,v ) = maxim.Rezolvare: Este unexemplu de translaiecicloidal, deoarece
discurile au aceeairaza, iar micarea areloc fr alunecare.Traiectoria punctuluiM este un cerc deaceeai raz R cucercurile date (cerculpunctat n fig 8.11).
Viteza punctului M coincide cu viteza punctului A: v M= v A. Notam cu I punctul deintersecie dintre cercul de centru C1 cu axa Ox, iar I` este punctual diametral opus luiI. Dar de la micarea pe cicloid se tie c vA=IA=vO/RIA, iar vectorul v A treceprin I`, astfel c vM=vO/RIA i v M trece prin punctul P` diametral opus punctului Pde inetrsecie a traiectoriei punctului m cu axa Ox. Pe de alt parte, a
M= a A iar a A
trece prin centrul C1; aA=2Ov /R=aM iar a M trece prin centrul traiectoriei lui M.
unghiul dintre vitezi acceleraie este de maxim /2, caz n care MP`. n acest caz:vM =vp` =vO/R2R=2vO.
fig. 8.11
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
21/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
22/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 21
nlocuind versorii i , j , k dai de relaiile (8.111) n ultimul membru al
relaiilor (8.112) i identificnd coeficienii versorilor i 1, j 1, k1, obinem legea de
micare a punctului M din corp, care are coordonatele (x,y,z) fa de sistemul legat decorp:
x1=xcos-ysin, y1=xsin+ycos, z1=z; (8.113)Prin eliminarea timpului care apare implicit n relaiile (8.113) prin
intermediul lui =(t), obinem traiectoria analitic a punctului M n coordinatecarteziene:
ttanconsyxyx 222121 =+=+ , z1=z (8.114)
Un punct arbitrar dintr-un rigid avnd o micare de rotaie cu ax fix, are otraiectorie circular, situat ntr-un plan (z1=z) perpendicular pe axa de rotaie, cucentrul pe axa de rotaie i raza egal cu distana de la punct la axa de rotaie
( 22 yx + ).
8.4.2. Distribuia de viteze
Deoarece punctul O este fix, fiind pe axa de rotaie, rezult v O=0. Pentrucalculul lui , vom deriva relaiile (8.111) n raport cu timpul:
i& = - & sin i 1+ & cosj 1= & j , j& = - & cos i 1- & sinj 1 = - & i
k&
= k&
1=0 (8.115)astfel c se obin:
x=j& k=0, y= k
& i =0, z= i& j = & (8.116)
i prin urmare
= k= & k (8.117)
Vectorul are direcia axei de rotaie, are ca mrime valoarea unghiului & ,fapt pentru care se numete vectorul vitez unghiular al micrii de rotaie cuaxa fix.
Folosind formula general a distribuiei de viteze i innd seama cr =x i +yj +z k, obinem:
zyx00
kji
rv == & (8.118)
Proieciile vectorului viteza v pe axele reperului mobil, sunt:
vx= - & y; vy= & x; vz=0 (8.119)
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
23/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
24/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
25/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
26/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
27/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
28/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
29/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
30/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 29
acceleraii n micarea de rototranslaie:a) n general nu exist nici un punct al rigidului n care acceleraia s fie nul
tot timpul micrii. Punctele de pe axa de rototranslaie au acceleraiaminimi egal cu ao= z&& . n particular, dac vitez de lunecare v0= z& 0 este constant,punctele de pe axa de rototranslaie au acceleraia nul. Acceleraia a 00 se numeteacceleraie de lunecare.
b) toate punctele rigidului situate pe o dreapt () paralel cu axa micrii derototranslaie, au acceleraiile egale ca vectori (fig 8.19), deoarece n expresiile(8.152) nu apare coordonata z.
c) proieciile acceleraiilor tuturor punctelor de pe o dreapt (1)
perpendicular pe axa micrii de rototranslaie i care taie axa, pe un plan normal laaxa micrii de rototranslaie sunt proporionale cu distana de la punctul respectiv laaxa de rototranslaie.
Acest lucru rezult dac considerm axa (1)=Ox. Proieciile acceleraieipunctului M de pe axa Ox pe axele mobile sunt (fig 8.19):
ax=-2x, ay=x, az= z&& 0 (8.154)
de unde se observ ca axi ay variaz proporional cu distana x=OM.
8.5.4. Micarea de urub
Un caz particular al micrii de rototranslaie este micarea de urub. urubulnainteaz cu pasul p la o naintare complet a acestuia datorit existenei filetului.
Este un exemplu de corp rigid n care se impune o rela ie de legtur ntre funciilez0(t) i (t) de tipul (8.139), ceea ce nseamn c micarea de urub are un singur gradde libertate.
ntre funciile z0 si are loc o relaie de legtur liniar:z0(t)=C (t), CR (8.155)
Prin diferenierea relaiei (8.155), obinem:dz0=Cd (8.156)
Integrm relaia (8.156) i inem seama c naintarea cu pasul p implic orotaie complet de 2 radiani:
=p
0
2
00 dCdz (8.157)
Din relaia (8.157) rezult:
= 2p
C (8.158)nlocuim constanta C dat de relaia (8.158) n relaia (8.155), derivm n
raport cu timpul i obinem:
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
31/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 30
p
v
20=
(8.159)
Analog pentru acceleraii, din relaia (8.159), deducem:
p
v
20=
(8.160)
Aplicaie: Un urub are pasul p=2[mm], raza exterioar R=8[mm] iacceleraia de lunecare a0=1/2 [mm/s
2]. Se cer viteza i acceleraia unui punct de peperiferia urubului.
Rezolvare: Din relaia (8.160), rezult:
t2
;2p
a2 0 === (8.161)
Viteza de lunecare este:
t2
1tav 00 == (8.162)
iar viteza perpendicular pe ax este :v`=R=4t (8.163)
astfel c putem scrie viteza punctului de pe periferie:
2220 321t2
1`vvv +=+= (8.164)
Acceleraia tangenial este:a= `v& =4 (8.165)
iar cea normal:an=R
2=22t (8.166)astfel c:
164t162
1aaaa 2242n
220 ++=++= (8.167)
8.6 Micarea plan paralel (plan) a corpului rigid
Un corp rigid are o micare plan sau plan paralel dac trei punctenecoliniare ale rigidului sunt coninute tot timpul micrii ntr-un plan considerat fix,numit planul micrii. Toate punctele aparinnd rigidului i sunt coplanare cu cele
trei puncte rmn de asemenea coninute in acest plan. Prin urmare, traiectoriiletuturor punctelor rigidului sunt curbe plane situate n plane paralele cu planul fix,motiv pentru care micarea se mai numete i plan paralel.
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
32/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
33/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
34/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
35/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
36/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
37/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
38/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
39/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
40/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
41/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
42/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
43/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
44/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
45/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
46/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
47/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
48/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 47
JMaIn
2= ; JMa I = (8.244)Aplicaia1: Mecanismul biel-
manivel din figura 8.35 este pus nmicare de manivela OA care se rotetecu o vitez unghiular egal cu:
t0
0
1
= ,
0
10
.
S se determine pentru biela AB:centrul instantaneu de rotaie, baza,rostogolitoarea, polul acceleraiilor,viteza i acceleraia mijlocului M al luiAB dac OA=OB=1.
Rezolvare: Centrul instantaneu de rotaie I al bielei AB care are o micareplan se afl la intersecia dintre perpendiculara n B pe OB, i OA. Fa de sistemulde referin fix O1x1y1z1 coordonatele lui I sunt: = cosl2x I1 , = sinl2y I1 unde
t0
0
1
==& , astfel c baza este cercul de ecuaie: 221
21 4lyx II =+ .
Fa de reperul mobil Bxy (By de-a lungul bielei AB), coordonatele lui I sunt:
= cossinl2x I , =2
I sinl2y ceea ce conduce la ecuaia analitic a
rostogolitoarei: cercul de ecuaie 0222 =+ III lyyx . Baza (cercul de cantru O1i raz2l) i rostogolitoarea (cerc de centru A i raz l) sunt tangente interior, dup cum setie n punctul I. Viteza unghiular instantanee I se determin din relaia
1 llA == i decit0
01 1
== (sensul lui
I este opus sensului lui ).
Urmeaz c acceleraia unghiular este2
0
2
)1(0
tII
== & i are acelai sens cu I .
Viteza punctului M este perpendicular pe IM, are sensul lui I i mrimea
2
0
0 sin81)1(2
+
==t
lIM
M. Pentru determinarea polului J al acceleraiilor,
considerm ca punct de referin A: componenta tangenial a acceleraiei punctului
A este 20
2
)1(0
t
l
laA
== iar cea normal 20
2
2
)1(0
t
l
lan
A
== , astfel c acceleraia
punctului A care face unghiul4
cu manivela O1A, are mrimea
fig. 8.35.
1y
J )B(
1 1 I
)R(
B
Av
Aa
1O
Mv
Aa
4
M
a
y
Mx4
nAa
Ma
nMa
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
49/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
50/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
51/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
52/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
53/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
54/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
55/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
56/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
57/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
58/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
59/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
60/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
61/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
62/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
63/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
64/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 63
zyx
zyx
== (8.292)
unde x, y, z sunt coordonatele unui punct curent al axei instantanee de rotaie iar
proieciile x, y,z ale vitezei unghiulare pe sistemul de referin mobil, date derelaiile (8.277) sau (8.288) sunt funcii de timp.
La acelai rezultat se putea ajunge i impunnd condiia ca s se anulezeproieciile vitezei date de relaia (8.276):
0= yzzy
, 0= zxxz
, 0= xyyx
(8.293)
Eliminnd timpul din ecuaiile (8.292) sau (8.293), rezult ecuaia analitic a
conului polodic. Analog, locul geometric al axelor instantanee de rotaie fa desistemul de referin fix, se numete axoid fix sau con herpolodic.Ecuaia analitic a axei instantanee de rotaie fa de sistemul de referin fix
se obine tot din relaia (8.273):
111
111
zyx
zyx
== (8.294)
unde1x
,1y
,1z
sunt date de relaiile (8.278) sau (8.289) i sunt funcii de timp.
Eliminnd timpul din relaiile (8.294) obinem ecuaia analitic a axoidei fixe. Acestedou suprafee riglate sunt numite conurile lui Poinsot.
Cele dou axoide au la un moment dat o generatoare comun care este axainstantanee de rotaie. Micarea rigidului poate fi privit ca micarea axoidei mobilefa de axoida fix. Cunoaterea celor dou suprafee conice nu determin complet
micarea corpului, deoarece conul polodic se poate rostogoli pe conul herpolodicdup legi diferite.
Pentru aceast micare, vom demonstra n cele ce urmeaz urmtoarele douproprieti (fig. 8.49):suprafeele conice ale corpului cu punct fix sunt tangente dup axa instantanee derotaie.Conul polodic se rostogolete fr alunecare peste conul herpolodic.
Pentru a demonstraaceste proprieti,considerm un punctarbitrar M pe axainstantanee de rotaie.Vectorii de poziie aipunctului M fa de
cele dou sisteme dereferin sunt:
fig. 8.49.
Conulpolodic
Conulherpolodic
M
M
O O
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
65/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
66/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
67/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 66
este perpendicular pe vectorul iar componenta axa este perpendicular pe vectorul
, deci cele dou componente sunt situate n dou plane distincte ceea ce nseamnc suma celor doi vectori nu poate fi nul. n micarea corpului cu un punct fix nuexist puncte care s aib acceleraia nul cu excepia punctului fix O.
Aplicaie: Placa triunghiularechilateral OAB de latur l se mic astfelnct vrful O rmne fix, latura OA se micn planul fix Ox1y1 cu viteza vrfului Aconstant ov iar latura OB rmne n planul
O1x1z1. S se determine (fig. 8.50): vectoriivitez unghiular instantanee i acceleraieunghiular instantanee, viteza i acceleraiamijlocului M al laturii AB, conurile luiPoinsot
Rezolvare: a) placa execut omicare de rotaie cu punct fix. Alegem axaOx direcionat dup latura OA iar
planulplcii OAB ca plan Oxz. Utilizm unghiurile lui Euler astfel c linia nodurilor
coincide cu Ox. Urmeaz c=0 i versorii n i i sunt identici: in = . n momentuliniial, axele Ox i Ox1 coincid. Unghiul de precesie este cunoscut din relaia:
&lOA
== de unde obinem:
tl
O
= (8.307)innd seama c unghiul de rotaie proprie =0, relaiile (8.270) devin:
11 sincos jii += , 111 sincoscossincos kjij ++= ,
111 coscossinsinsin kjik += (8.308)
Vectorul OB sub forma: )3(23
sin3
cos kil
klilOB +=+=
Pentru ca latura OB s rmn n planul Ox1z1, trebuie ca 0jOB 1 = ceeace conduce la relaia:
03 11 =+ jkji (8.309)innd seama de relaiile (8.308) condiia (8.309) se reduce la relaia
)(33
33sin t
ltgtg O == (8.310)
Prin urmare unghiurile i nu sunt independente, deci micarea consideratadmite un singur grad de libertate. Micarea este posibil pentru [ ] [ ] 2,,0 353 .
fig. 8.50.
O
A
M
By
z
x
x1
y1
z1
6
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
68/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 67
Pentru determinarea proieciilor vectorului vitez unghiular instantanee vomderiva versorii reperului mobil dai de relaiile (8.308):
)cossin( 11.
jil
i O
+=
)sincoscos(cos)coscossinsin(sin 11111.
jil
kjij O
++= &
)sinsincos(sin)sincoscossin(cos 11111.
jil
kjik O
++= & (8.311)
Folosind formulele (8.277), obinem:
&& =+++== )sincossincossin(sin)coscossinsin(sin 2222222.l
kj Ox
sin)sinsinsin(cos)coscossinsincos(cos 22.
l
v
lik OO
y=++== &
cos)coscossin(cos 22.
llji OO
z=+== (8.312)
Vectorul vitez unghiular n raport cu reperul mobil este de forma:
kl
jl
i OO
cossin ++= & (8.313)
sau innd seama de relaia (8.310) vectorul devine:
ktl
tgl
jtl
tgl
i
tl
tg
tl
tg
l
OOOO
O
O
O )(33
)(3
)(3
)(12
2
2
++
+= (8.314)
Pentru a scrie vectorul n raport cu sistemul de referin fix, inem seamade relaia (8.278), astfel c proieciile sale sunt:
)(3)cos(
1coscossin
2
1111
tl
tgtl
likijii
OO
O
x
==++= &&&&
)(3)(cos
)sin(sincossin
22
1111
tltgtl
tl
ljkjjji
OO
O
O
y
==++= &&&&
lkkkjki O
z
==++= &&&& 111 cossin1 (8.315)
Vectorul deci va fi:
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
69/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
70/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
71/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
72/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
73/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 72
BC rezult =Dv 3 v 0 ( )ji + Notm: 1=Mv kji 32 ++ . Din condiia
CDvM rezult: 23 3 = . Din distribuia general de viteze a rigidului, putem
scrie += 0vvM OM, += 0vvD OD ceea ce conduce la sistemul de cinciecuaii cu cinci necunoscute:
1 ,0= zl zlv += 02 , 3 ),(2 yxl = 3 ,0 ylv = xlvv = 003
unde x , ,y z sunt proieciile vectorului vitez unghiular pe axele legate de
rigid. Se obin: ,4 0
l
vx =
l
vy
03= , .
3
2 0
l
vz = Viteza de lunecare a rigidului este
dat de relaia (8.279) i este :
)2912(229
9 02
0 kjivv
u +=
=
8.8.4. Se consider seciunea (S) a unui corp care are o micare de rotaie cuaxa fix. Punctele A i B se mic in planul seciunii astfel c la un moment dat secunosc: viteza punctului A,v este perpendicular pe AB, acceleraia punctului B, a
formeaz unghiul
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
74/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 73
cosaOBvB == (b)
Din relaia :OB
OA
v
v
B
= innd seama de relaia (a), rezult ecuaia n :
0cos2 =+ avd care admite soluiiled
advv
2
cos422,1
= Prin
urmare, exist dou micri de rotaie cu axa fix n condiiile date. Poziia punctului
O se determin din relaia (a) i deci: OB=
cos4cos2
cos222
2
advvadv
ad
Iar viteza punctului B din relaia (b) :
v
cos4
cos22
advv
adB
=
8.8.5 ntre acceleraia a i viteza v a unui punct M de pe filetul unui urub n
micare i care are raza R exist relaia a= v& +v 2 /R. S se determine, cunoscndviteza iniiala v 0 a punctului M, n funcie de pasul p sau de unghiul de pant (fig.
8.55): viteza i acceleraia punctului M; viteza i acceleraia unghiular a urubului;punctele care au viteza i acceleraia perpendiculare.
Rezolvare: Considerm un sistem de
axe fixate de urub, astfel c axa derototranslaie Oz este dirijat dup axa desimetrie a urubului iar axa Oy trece prinpunctul M(fig 8.55). Pentru rezolvareaproblemei vom folosi expresiile analitice alevitezelor si acceleraiilor punctelor urubuluifa de acest sistem de referin. Notmz 0 =O 1 O.
a) Viteza punctului M este tangent latraiectorie deci la elicea cilindric de raz Riunghi de pant , astfel c scriem expresiaanalitic n dou moduri:
cosvvM = =+ kvi sin Rkzi 0&+ (a)
Din relaia (a) rezult:
fig. 8.55
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
75/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 74
R
vvz
cos,sin0 ==& (b)
innd seama c n micarea de urub pasul p este dat de formula:p=2Rtg (c)
din relaiile (b) obinem:
,4 222
0pR
pvz
+=
&
2224
2
pR
v
+=
(d)
Prin derivarea relaiilor (b) respectiv (d), obinem respectiv:
sinvz&&&
= , = Rv cos&
,4 222 pR
vp
z +=
&&&
= 2224
2
pR
v
+
&
(e)
Acceleraia punctului M este vectorial 0aa = + x +r x ( x r) sau
analitic Ra = + jRi 2 kz0&& iar mrimea
a = )( 42220 ++Rz&& (f)
innd seama de expresiile (e) si (d) mrimea acceleraiei devine :
222
424
2
2222
44
222
222
222
22
)pR4(vR16v
)pR4(
v16
pR4
v4R
pR4
vpa
++=
=
+
+
+
+
+=
&
&&
(g)
Din condiia dati din relaia (g) rezult dup simplificare :
2222
2222
2 )4(2
)8(
pRR
Rpp
v
v
++
=
&(h)
care este o ecuaie diferenial cu soluia: CtpRR
Rpp
v+
++
=2222
2222
)4(2
)8(1
unde
constanta C se determin din condiia: t=0, v=v 0 . Rezult expresia mrimii vitezei
punctului M n funcie de pasul p:
22220
22220
2222
)R4p(R2tv)R8p(p
v)R4p(R2v +++
+= (i)
n funcie de panta , viteza punctului M se scrie, innd seama de relaiile(c) i (h);
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
76/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 75
tv)cos1(sinR2
Rv2v
022
0
++= (j)
Acceleraia punctului M n funcie de pasul p se obine din (g) innd seamade relaia (h) :
222220
2222
42224220
2222
])4(2)8([
)832()4(2
RpRtvRpp
ppRRvRpRa
+++
+++=
iar n funcie de unghiul de panta dat de relaia (c), acceleraia este
a=2022
20
4
])cos1(sin2[
)cos1(2
tvR
vR
++
+
b) Mrimea vitezei unghiulare o deducem din relaiile (d) si (h)respectiv (j):
2))4(2)8(
)4(42222
02222
02
3222
RpRtvRpp
vRpR
+++
+= (k)
=tvR
v
022
0
)cos1(sin2
cos2
++(l)
Acceleraia unghiular se obine din relaiile (k) sau (l) prin derivare nraport cu timpul:
= 222220
2222
2
02
32222222
])4(2)8([)4)(8(4RpRtvRpp
vRpRpRp
+++ ++
(m)
=2
022
20
220
])cos1(sin2[
)cos1(sincos2
tvR
vv
++
+ (n)
n acest fel, expresiile analitice ale vitezei punctului M data de rela ia (a) i aacceleraiei punctului M dat de relaia (n) sunt cunoscute.
c) Notm P(x,y,z) punctul care are proprietatea cutat. Viteza lui este dat de
expresia += 0vvp x = yOP i + x kzj 0&+ unde prin 0v am notat viteza
originii reperului mobil O, de mrime 0z& (i nu viteza iniial v 0 a punctului M).
Acceleraia punctului P are forma : =pa +0a x OP+ x ( x =)OP
(= y 2+ x) i +( x kzjy 02 ) &&+ Din condiia ca viteza i acceleraia punctului P s fie perpendiculare
),0( = pp av rezult:
( y+ )2x y +( x )2y x + 00zz &&& =0 (o)
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
77/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
78/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 77
Relaia (b1) innd seama de relaia (a) se mai scrie: x1I 2l cos=
2a 22
2
sin1a
l de unde rezult, dup ridicare la ptrat:cos 221 4(4
1lx
lI += 4a
2)
Aceast relaie mpreuna cu relaia tg= Iy1 / Ix1 permite eliminarea
parametrului . Obinem ecuaia analitic a bazei barei AB, de forma:
016)44)(( 2122222
121
21 =++ IIII xlalxyx
Fa de sistemul de referin Bxy fixat de bara AB (fig.8.56), coordonatelepunctului I 1 sunt :
x cos11 BI= =2(l cos +a cos ) tg cos y 1 =BI 1 sin = 2(l cos +a cos ) tg sin (c)
Ecuaia analitic a rostogolitoarei se obine prin eliminarea parametrilori ntre relaiile (a) i (c). Pentru aceasta, prin mprirea relaiilor (c) obinem :
tg =1
1
x
y(d)
i deci innd seama de relaia (d) obinem :
sin 2 =21
21
112
2
1
2
yx
yx
tg
tg
+=
+
(e)
Din relaia (d) obinem :
sin = 21
21
11
2 yx
yx
tg1
tg
+=+
(f)Din relaiile (f) i (a) obinem :
sin=l
asin =
21
21
11
yxl
yax
+(g)
Cu ajutorul relaiei (g) obinem :
| tg | =21
21
221
21
2
11
2 )(sin1
sin
yxayxl
yax
+=
(h)
Relaia (c2) se mai scrie :y =
1
2lsin+atg sin2
(i)innd seama de relaiile (e), (g) i (h), din relaia (i) deducem ecuaia
analitic a rostogolitoarei:
( )2121 yx + =+
21
21
221
21
2 )( yxayxl
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
79/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 78
++ 2121
221
21
221
211 yxa)yx(l)[yx(ax2 yixa i
222
b) Coordonatele centrului instantaneu de rotaie I 2 fa de sistemul de axe
fixe rezult imediat dac se cunoate distana DI 2 . Pentru acest calcul, considerm
triunghiul 0 1 DF1 de unde rezult :
O 1 F cos = O coslD1 = a + a cos (j)
i deci 0 11cos
cosFI
alF =+=
n triunghiul AO 1 B,DC este linie mijlocie i prin urmare DC || O 1 A adicDC || FI 1 . Rezult c triunghiurile DCI 2 i FI 1 I 2 sunt asemenea. Deci
2
2
1 FI
DI
FI
DC= .
Rezult: (cos2 lDI = tg +sin )Coordonatele punctului I 2 faa de sistemul fix sunt :
x2I=O 1 D=l cos +a cos , y2I= lDI = 2 (cos tg + sin ) (k)Folosind relaia (a), ecuaia (k1) se mai scrie sub forma :
x2I-lcos = 222 sinla
Dup ridicarea la ptrat a ultimei relaii , se obine:
cos =I2
222I2
lx2
alx +(l)
Din ecuaia (k2) innd seama de relaia (l) rezult:
sin =I2
I22
I2I22
I22
lx2
yxyayl
(m)Din relaiile (l) i (m) dup ridicarea la ptrat, obinem ecuaia bazei pentru
placa DCE:
x 2222I22
I2 )alx( + + (y 0xl4)yxyal4
I222
I22
I2I222
I2 =
Faa de sistemul de axe x ' Dy ' fixate de plac, coordonatele punctului I 2
sunt :
x cos21
DIi = = l(cos2
tg + sin cos )y 11 = DI2 sin = l(sin cos tg + sin
2 ) (n)
Folosind formulele unghiului dublu, relaiile (n) se mai scriu sub forma :
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
80/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 79
cos 2 tg + +sin 2= tgl
x2 `1 , 1l
y22costg2sin
`I = (o)
Ridicm la ptrat relaiile (o), le adunm i obinem: tg ='
'2'2'
I
III
lx
lyyx +
Din relaiile (o), deducem: cos2 =)1(
)2(22
''
tgl
tgltgxyl II
+
+. Pe de alt
parte, folosind relaia (a) putem scrie: cos2 = 1 2 sin2 = 12
22
l
asin2 = 1
2
2
2
2
1
2
tg
tg
l
a
+. Din ultimele trei relaii obinem ecuaia analitic a rostogolitoarei
pentru placa DCE : 0)''(')''')(( 2322222 =++ IIIIII xyxllyyxal c) Viteza unghiular instantanee 1 a barei AB se determin scriind viteza
punctului A n doua moduri: vA =2l =AI11 .Pentru a determina distana AI1,folosim relaia (j):
AF=O1F O1A= la
cos
cosastfel c distana AI1 devine:AI1 = AF + FI1 =
cos
cos2a
Din ultimele dou relaii obinem 1=
coscos
a
l. Viteza unghiular se mai
putea obine din relaia (a) prin derivarea n raport cu timpul i lund n considerare c& =1. Pentru a determina viteza unghiular instantanee 2 a plcii CDE, scriem
viteza punctului C n dou moduri: vC=I2C2 =I1C1. Rezult: 2= 12
1 CI
CI
Din asemnarea triunghiurilor DCI2 i FI1I2 rezult:
cos
cos1
2
1
l
a
DC
DCFI
CI
CI=
=
Din ultimele trei relaii deducem 2= Rezult c placa CDE are o micare
relativ de translaie fa de bara O1A.d) Viteza punctului E va fi perpendicular pe dreapta I2E n sensul lui 2
i are mrimea: vE=I2E2 unde lungimea I2E se determin din triunghiul I2DE:
)sin(coscos2)sin(cos1 22 ++++= tgtglEI
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
81/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
82/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 81
Din condiia t=0, =2
rezult C=0 i deci =
2
tg a
tv
e
0
ceea ce conduce la
relaia:
a
tvchtg
tg
02
1
21
22
sin =+
=
(c)
Deci funcia se mai scrie: = 2 arctg atv
e0
b) Micarea plan a plcii OABC este definit de funciile O1O=vot i dat de ultima relaie. Pentru determinarea centrului instantaneu de rotaie I trebuie smai cunoatem i direcia vitezei punctului A pe lng cunoaterea direciei vitezeipunctului O. Aceast direcie rezult imediat din condiia ca proieciile vitezelorpunctelor O i A pe direcia AO s fie aceleai i de acelai sens (vezi formula 8.49).
Rezult c Av formeaz unghiul cu OA (fig. 8.57). Punctul I se va afla la
intersecia normalelor n O pe (d) i n A pe Av . Fa de sistemul fix de axe,
coordonatele lui I sunt:x1I = v0 t cos - IO sin , y1I = v0 t sin + IO cos (d)
unde distana IO o determinm scriind distribuia de viteze n micarea plan pentrupunctele O i A:IO I= v0 =vA = IA 1
Am notat viteza unghiular instantanee cu I. Din ultimele relaii rezultIO=IA, adic triunghiul AIO este isoscel. Notm M mijlocul laturii OA, astfel c din
triunghiul MOI rezult, innd seama i de relaia (c) :a
tvach
aIO 0
sin==
. innd
seama de ultima relaie, coordonatele lui I date de relaia (d), devin:
a
tvchsinacostvx 00I1 = , a
tvchcosasintvy 00I1 +=
(e)c) Baza se obine din relaiile (e) prin eliminarea parametrului t. Pentru
aceasta nmulim prima relaie din (e) cu cos , a doua cu sin , le adunm ideducem:
sincos 110 II yxtv += (f)
Din relaiile (e) i (f) obinem ecuaia analitic a bazei i este de forma:
a ch
cossinsincos
1111
IIII yx
a
yx+=
+(g)
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
83/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 82
Pentru reprezentarea grafic a curbei (g), facem o transformare decoordonate de tipul: sincos 11 II yxX += , cossin 11 II yxY +=
Aceste relaii se mai scriu sub forma:)2sin()2cos( 11 = II yxX , )2cos()2sin( 11 += II yxY
Ultimele relaii reprezint o rotaie a axelor O1x1z1 de unghi 2 - . Prin
urmare, baza dat de formula (g) se mai scriea
XachY = adic lniorul (fig 8.57),
care intersecteaz axa O1Y n punctul Y=a. Considerm reperul mobil Oxy ca nfigura 8.57. Fa de acest sistem de axe, avem y1=a deci rostogolitoarea este o
dreapt paralel cu axa Ox care trece prin mijlocul M al laturii OA. Evidentrostogolitoarea este tangent n I la baz.d) Viteza unghiular instantanee I a plcii este:
a
tvach
v
a
vI
0
00 sin === &
iar acceleraia unghiular 1 este:
a
tvch
a
tvsh
a
v
a
vI
02
0
2
200 cos === &&&
Viteza punctului C este perpendicular pe segmentul IC n sensul lui I, iarmrimea dat de formula:
a
tvcha
a
tvabsh4b4
atvach
vICv 02202
0
01C ++==
e) Polul acceleraiilor se afl n O deoarece micarea punctului O esterectilinie i uniform. Acceleraia punctului C are dou componente: acceleraiatangenial de mrime:
a
tvch
a
tvsh
a
bvOCa
n
C
02
0
2
20
1
2==
i acceleraia normal de mrime:
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
84/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 83
a
tvcha
bvOCa nC
022
202
1
2==
astfel c mrimea acceleraiei punctului C este:
a
tvcha
bv
a
tvsh
a
tvcha
bvaaa nccc
02
2002
022
2022 21
2)()( =+=+=
8.8.8. Se consider micarea patrulaterului articulat ABCD n planul fixO1x1y1. Bara AD are viteza unghiular constant . Se cunosc AD=BC=2a,AB=CD=2b; CM=MD (fig. 8.58). S se determine pentru bara CD:
Centrul instantaneu de rotaie, baza i rostogolitoarea;Viteza i acceleraia unghiular instantanee;Polul acceleraiilor;Viteza i acceleraia punctului M.
Rezolvare. Problema admite dou cazuri dup cum a>b sau a
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
85/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 84
Cazul a>b (fig, 8.58 a). Barele AD i BC au micri de rotaie cu ax fix,normalele pe vitezele punctelor C i D sunt tocmai de direcia acestor dou bare, decicentrul instantaneu de rotaie I al barei CD care are micare plan se afl la intersecia
barelor AD i BC. Notm: )(DAB ==
& , = ABC, = ADB. Pentru adetermina coordonatele punctului I fa de reperul fix O1x1y1z1, facem urmtoarele
consideraii geometrice: triunghiurile ABD i DCB sunt egale, din datele problemei.Urmeaz egalitile de unghiuri:BCD= , CBD = , ADC = (1)
Din egalitile (1) i din condiia AB=CD, rezult egalitatea triunghiurilorAIB i CID i, de aici, avem:
IB=ID , AI = CI(2)
Din triunghiul ABD, rezult:
cos22 22 abbaBD += ,
cos2
sinsin
22abba
b
+= (3)
Din relaia (32) rezult
cos
sin
ba
btg
= (4)
Aplicnd teorema sinusurilor n triunghiul ABD i innd seama de relaia(4), obinem ecuaia:
cos
sin
cos
sincossin
ba
a
ba
b
=
+ (5)
fig. 8.58
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
86/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 85
Cu notaia tg 2 =u n ecuaia (5), obinem: a) = ceea ce corespunde
cazului cnd ABCD este dreptunghi dar n repaus; b)2
ctgba
ba
2tg
+
ceea ce
conduce la relaia:
cos2
sin)(
1
2sin
22
2
2 abba
ba
u
u
+
=+
= (6)
n sfrit din triunghiul AIB se poate determina segmentul AI pin aplicareateoremei sinusurilor.
sinsin
2
sinsin +==
aIBAI
(7)Rezulta:
cos
22
ba
baAI
= (8)
Coordonatele punctului I sunt:
cos
cos)(cos
2
1ba
baAIx I
== ,
cos
sin)(sin
22
1ba
baAIy I
== (9)
Pentru obinerea bazei, considerm ecuaiile (9) ca un sistem in sin icos , astfel c obinem:
I
I
bxba
ay
1
221sin
+
= ,
I1
22I1
bxba
axcos
+
= (10)
Din relaiile (10) obinem ecuaia analitic a bazei: elipsa de ecuaie:
(B): 0)()(2)b-(a 2221222
122
122 =+ baxbabyax III (11)
Considerm reperul mobil Oxy ca n figura 8.58 a. Fa de acest sistem deaxe, coordonatele centrului instantaneu de rotaie sunt formal aceleai cu cele fa dereperul fix:
cos
sin)(sin,
cos
cos)(cos
2222
ba
baCIy
ba
baCIx II
==
== (12)
Ecuaia analitic a rostogolitoarei este evident elipsa:
(R): 0)()(2)( 2222222222 =+ baxbabyaxba III (13)b) Scriem viteza punctului D n dou moduri:
ID DIav == 2 (14)innd seama c DI=BI, din relaiile (7), (8) i (14), obinem:
&=
+
=cos2
)cos(222 abba
baaI
(15)
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
87/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 86
Acceleraia unghiular instantanee se obine din relaia (15):
322
2222
)cos2(
sin)cos)((4
abba
bababaII +
=== &&&
(16)c) Pentru determinarea polului acceleraiilor J, vom ine seama de
vectorul acceleraie al punctului D care are direcia i sensul vectorului DA (fig. 8.58a) i mrimea:
22 aaD = (17)in formula (8.241) obinem distana:
22222223
322
4I
2I
D
)cosab2ba()cosba(sin)bab()cosba(a2
)cosab2ba(aJD
++
+=+
= (18)
iar din formula (8.242) obinem unghiul dintre JD i Da :
)cos2)(cos(
sin)(22
22
2
abbaba
babtg
I
I
+
== (19)
innd seama de relaiile (18) i (19), poziia lui J este determinat.d) Viteza punctului M este perpendicular pe IM cu sensul acelai cu
sensul lui I i de mrime:
IM IMv = (20)unde:
cos
cos)(22cossin 2222244
ba
ababbabaIM
+++
= (21)
Acceleraia punctului M are dou componente : componenta normal dedirecie MJ i cu mrimea :
22IM JMa = (22)
i componenta tangenial, perpendicular pe JM cu sensul lui I i de mrime :
I
n
M JMa = (22)unde
)cos(222 += bJDJDbJM (22)iar JD este dat de relaia (18) iar unghiul de relaia (6).
Acceleraia punctului M este prin urmare:4222 )()( IIM
n
MM JMaaa +=+= (23)
Cazul a
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
88/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 87
BCD=, ABD= , ADC= (24)
Urmeaz ca i n cazul precedent, egalitatea triunghiurilor AIB i CID, deunde deducem:
IB=ID , AI=CI , BD ||AC (25)n triunghiul ABD, avem:
cos22 22 abbaBD += ,
cos2
sinsin
22abba
a
+= (26)
i deci:
cos
sin
ab
a
tg = (27)n triunghiul ABD, teorema sinusurilori relaia (27) implic relaia:
cos
sin
cos
sincossin
ab
b
ab
a
=
+ (28)
din care deducem singura soluie acceptabil:
22
ctg
ab
abtg
+
= ,
cos2
sin)(sin
22
22
abba
ab
+
= (29)
Din triunghiul ABI, obinem:
ab
abbaBIID
+
==
cos
cos222(30)
n relaia (30) se poate arta uor c 0cos > ab (ADBC fiind trapezrezult 2 >+ deci B se proiecteaz pe AI ntre D i I).
Din relaia (30) se poate deduce segmentul:
ab
abADIDAI
=+=cos
22
(31)
innd seama de relaia (31), coordonatele punctului I n raport cu reperul fixO1x1y1 sunt:
,cos
cos)(cos
22
1ab
abAIx OI
==
ab
abAIy I
==
cos
sin)(sin
22
1 (32)
n acest caz, ecuaia analitic a bazei este hiperbola de ecuaie:
(B) : 0)()(2)( 2221222
122
122 =+ baxabbyaxab III
(33)Fa de reperul Cxy (fig. 8.58 b), coordonatele punctului I sunt:
,cos
cos)(cos
22
ab
abCIxI
==
,
cos
sin)(sin
22
1ab
abCIy I
==
(34)
Ecuaia analitic a rostogolitoarei este tot o hiperbol:
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
89/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 88
(R): 0)()(2)( 2222222222 =+ abxabbyaxab III (35)b) Viteza unghiular instantanee este:
&=
+
==cos2
)cos(222 abba
aba
DI
vDI (36)
iar acceleraia unghiular:322
2222
)cos2(
sin)cos)((4
abba
ababbaII +
== & (37)
Spre deosebire de cazul precedent, I i I au acelai sens.
c) Acceleraia punctului D are mrimea:2
2 aaD = (38)i direcia DA . Distana JD este:
22222223
322
4I
2I
D
)cosab2ba()acosb(sin)bab()acosb(a2
)cosab2ba(aJD
++
+=
+= (39)
iar unghiul este dat de ecuaia trigonometric:
)cos2)(cos(
sin)(22
22
2
abbaab
abbtg
I
I
+
== (40)
Poziia polului acceleraiilor J este figurat in fig. 8.58 b.d) Viteza punctului M este perpendicular pe IM, are sensul lui I i
mrimea:
IM IMv = (41)unde:
ab
abababbaIM
++=
cos
cos)(sin)( 2222224(42)
Componenta normal a acceleraiei punctului M este de direcie MJ i demrime:
2I
n
M JMa = (43)iar componenta tangenial este perpendicular pe JM n sensul lui I (fig. 8.58 b) i
de mrime:
IM JMa = (43)
unde:)cos(222 += bJDJDbJM (43)
cu JD dat de relaia (39) iar de relaia (29). Acceleraia punctului M este:4222 )()( IIM
n
MM JMaaa +=+= (44)
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
90/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 89
8.8.9. Dreptele )( 1 , )( 2 , )( 3 sunt concurente n punctul O i formeazntre ele unghiuri cunoscute , , (fig. 8.59). Un rigid efectueaz trei micri de
rotaie instantanee n jurul unor axe paralele cu cele date cu vitezele unghiulare 1 ,
2 , respectiv 3 . S se determine viteza unghiular rezultant .
Rezolvare: Considerm triedrul Oxyz fixat de rigid fa de care vectorulvitez unghiular rezultant are componentele necunoscute x , y , z :
kji zyx ++=
Notnd versorii celor trei axe (1), (2), (3) cu 321 ,, eee , vectorul se scrien forma:
332211 eee ++= (a)
Notm ),O( 3y
= , ),Oz( 3= i exprimm
versorii ke , k=1, 2, 3 n funcie de versorii :,, kji
ie =1 , cos2 =e i sin+ j ,
cos=e cos+i cos+j k (b)unde unghiurile si le vom determina astfel: axele
(2) i (3) formeaz unghiul i deci
cossincoscoscos 32 +== ee de undeobinem:
sin
coscoscoscos
= (c)
Pe de alt parte (3) formeaz cu axele Oxyz unghiurile , i deci putem
scrie:
1coscoscos 222 =++ (d)Din relaia (d) i cu ajutorul relaiei (c) obinem:
sin
coscos2coscossincos
222 = (e)
Din relaiile (a), (b), (c) i (e) obinem:+
++++= ji )
sin
coscoscossin()coscos( 32321
fig. 8.59
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
91/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 90
k+
coscoscos2coscossin
sin2223 (f)
Mrimea vectorului rezult din relaiile (a) sau (f)
cos2cos2cos2 32312123
22
21 +++++=
8.8.10. Un rigid se rotete cu o vitez unghiular de mrime constant 1 n
jurul unei axe solidare cu el, n timp ce aceast ax se rotete n acelai sens, tot cu ovitez unghiular de mrime constant 2 n jurul unei axe fixe care o intersecteaz.
Sa se determine:a) Conurile lui Poinsot;b) Locul punctelor rigidului a cror acceleraie este perpendicular pe axa
instantanee.Rezolvare. Punctul de intersecie al celor dou axe de rotaie l alegem ca
origine comun a celor dou repere: O1x1y1z1 fix i Oxyz solidar cu rigidul (fig. 8.60).Axa Oz1 coincide cu axa fix de rotaie, iar
axa Oz mobil coincide cu axa de rotaie solidar curigidul. Rigidul are o micare de rotaie cu punct fixiar viteza unghiular instantanee este sumavectorial a vitezelor unghiulare 1 i 2 al celor
dou micri componente:
12121kk +=+=
Pentru rezolvarea problemei, vom utilizaunghiurile lui Euler. Din formula (8.287) deducem:
2=& , 1=& , 0=& astfel c obinem legea de micare a rigidului:
12 Ct += , 21 Ct+= , 3C= (a)unde constantele de integrare C1, C2, C3 le
determinm din condiiile iniiale. Fr a particulariza problema, putem presupune cn momentul iniial, linia nodurilor ON coincide cu axa Ox1 iar axa mobil Ox cu linianodurilor. Deci, avem condiiile iniiale:
0=t , 0= , 0= , 0 = (= constant)din care vor rezulta valorile constantelor:
C1=C2=0 , C3= 0 (b)Din relaiile (a) i (b) obinem:
t2= , t1= , 0 =
fig. 8.60
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
92/103
CINEMATICA CORPULUI RIGID 91
Proieciile vitezei unghiulare instantanee pe axele reperului mobil, lededucem din formulele (8.288):
tx 102 sinsin = , ty 102 cossin = , 102 cos +=z
iar proieciile pe axele reperului fix, le deducem din formulele (8.289):
021 sinsin1 tx = , 021 sincos1 ty = , 012 cos1 +=z Ecuaia axei instantanee de rotaie fa de reperul mobil, o obinem din relaia
(8.292):
102102102 coscossinsinsin +==
z
t
y
t
x(c)
Conul polodic l obinem din relaia (c) prin eliminarea parametrului t:
0z)cos
sin(yx 22
102
0222 =+
+
Ecuaia axei instantanee de rotaie fa de reperul fix, o obinem din (8.294):
012
1
021
1
021
1
cossincossinsin +=
=
z
t
y
t
x(d)
Conul herpolodic l obinem din relaia (d) prin eliminarea parametrului t:
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
93/103
Aplicaii tehnice ale cinematicii 92
0)cos
sin( 21
2
012
0121
21 =+
+ zyx
b) Fa de reperul mobil, considerm un punct arbitrar M(x,y,z) i deci
vectorul su de poziie este kzjyixr ++= . Acceleraia punctului M este dat deformula (8.299):
)( rraM += (e)
unde vectorul acceleraie unghiular este dat de formula:
sinsincossin 10211021 jtit == & Punctele rigidului care au acceleraia perpendicular pe axa instantanee
de rotaie sunt caracterizate de condiia:0=Ma (f)
deoarece axa instantanee de rotaie are direcia vectorului . Din relaiile (e) i (f)rezult ecuaia cutat: planul de ecuaie
0cos
sin-cossin
102
0211 =+
+ zytxt
(g)
Planul (g) taie planul z=0 dup o dreapt perpendicular pe axa instantaneede rotaie i deci perpendicular pe planul zOz1.
10. APLICAII TEHNICE ALE CINEMATICII
n acest capitol sunt prezentate sumar, cteva exemple de mecanisme simple,punndu-se accentul pe aspectul cinematic. Un mecanism reprezint un sistem decorpuri legate ntre ele, care realizeaz micri bine determinate, construit cu scopulde a transmite sau a transforma unele micri.
10.1 Mecanismul biel-manivel
Acest mecanism (fig. 10.1) este alctuit din manivela OA de lungime R, bielaAB de lungime l i pistonul B, linia median a ghidajului este situat la distana h de
axa Ox. Mecanismul biel-maniveleste utilizat la mainile cu piston iservete la transformarea micriirectilinii a pistonului n micare derotaie a manivelei (maini cu abur,
fig. 10.1
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
94/103
Aplicaii tehnice ale cinematicii 93
motorul cu explozie, etc.) sau invers (pompele cu piston, etc.): Vom prezenta unstudiu analitic pentru acest mecanism (numit cu excentric) care are o larg aplicare ntehnic.
Presupunem cunoscute viteza unghiular & i acceleraia unghiular && amanivelei OA i ne propunem s studiem micarea pistonului B. Astfel:
coscos lRxB += (10.1)Efectund proiecii pe axa Oy obinem: sinsin Rhl =+
de unde obinem
l
h
l
R= sinsin (10.2)
Din relaia (10.2) rezult prin derivare n raport cu timpul :
&&
22 )sin(
cos
hRl
R
= (10.3)
innd seama de relaia (10.2), legea de micare a pistonului B devine:22 )sin(cos hRlRxB += (10.4)
Poziia pistonului B n cazul cnd Bx este maxim, corespunde cazului cnd
punctele O, A i B sunt coliniare n aceast ordine, ceea ce nseamn:22
max1 )( hlRxx B +== (10.5)
Cnd punctele A, O i B sunt coliniare n aceast ordine, se obine Bx minim
i aceast valoare este:
22min2 )( hRlxx B == (10.6)
astfel c din relaiile (10.5) i (10.6) se obine cursa pistonului B care are mrimea:2222
minmax21 )()( hRlhlRxxxxs BB +=== (10.7)Valorile extreme ale unghiului se obin din relaia & = 0 ceea ce, folosind
relaia (10.3) conduce la ecuaia:cos = 0 (10.8)
Se obinel
hR = arcsinmax pentru 2
= i
l
hR += arcsinmin pentru
2
3= .
Convenim s considerm
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
95/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
96/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
97/103
Aplicaii tehnice ale cinematicii 96
Aeznd cureaua ncruciat (fig.10.4)rezult:
1
2122
212211 R
Rk;
R
R;RRv =
=== (10.19)
Valoarea negativ a lui 2 i alui k12 arat c sensurile de rotaie ale celordou roi sunt contrare.n fig.10.5 se d cazul unei transmisii multiple .Se considerlegtura ntre patru axe paralele O1, O2, O3, O4 fcut cu trei curele .Roile de pe axeleO2 rspectiv O3 sunt sudate ntre ele.
Viteza unui punct de pe prima curea este :v1=R11=R22 (10.20)
Viteza unui punct de pecea de-a doua curea este:
v2=R32=R43 (10.21)iar viteza unui punct de peultima curea este:
v3=R53=R64 (10.22)Din relaiile (10.20),
(10.21), (10.22) deducem:
;R
R;
R
R3
3
422
1
21 ==
45
63 R
R = (10.23)
Scriind relaia de legtur ntre 1i 4 sub forma
45
6
3
4
1
21 R
RRR
RR = (10.24)
Obinem valoarea raportului de transmisie n cazul transmisiei multiple:
5
6
3
4
1
214 R
R
R
R
R
Rk = (10.25)
Pentru generalizareconsiderm n+1 axe derotaie paralele O1, O2,..On+1 pe care suntfixate 2n roi (pe primuli ultimul ax sunt fixatedoar cte o singur roat,
pe celelalte cte dou) deraze R1, R2,R2n
ntre vitezeleunghiulare ale primei iultimei axe se poate scrie:
1
R1
2
fig. 10.6
O
R1
fig. 10.5
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
98/103
Aplicaii tehnice ale cinematicii 97
1=kln+1+n+1 de unde se obine raportul de transmisie:
1n231
n2421ln R...RR
R...RRk
+ = (10.27)
Dac din cele n+1 roi, m
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
99/103
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
100/103
Aplicaii tehnice ale cinematicii 99
10.5 Transmisii prin roi dinate
10.5.1. Transmisii prin roi dinate cu axe paralele
n cazul roilor dinate cu axe paralele, dantura este tiat pe roi cilindrice. nfigura 10.9 sunt prezentate elementele geometrice principale ale unei roi dinatecilindrice: cercul vrfurilor (CV), cercul fundurilor (CF) i cercul de rostigolire (CR)care este locul geometric al punctelor n care cele dou roi de angrenare au aceaivitez. Pasul p reprezint lungimea unui plin i a unui gol msurat pe cercul de
rostogolire. Considerm dou roi dinate angrenate ntre ele exterior (fig.10.10) i z1respectiv z2 numrul lor de dini. n micarea relativ, dintii uneia dintre roi serostogolesc i alunec n acelai timp peste dinii celeilalte roi. Micarea relativ acelor dou roi este deci o micare plan. Profilele dinilor se aleg astfel nct centrulinstantaneu, n aceast micare plan s fie tot timpul n punctul fix M al drepteiO1O2. Punctul M se numete polul angrenrii. Notm cu R1i R2 razele celor doucercuri de rostogolire.
Problema transmisiei prin roi dinate este nlocuit prin aceea a transmisieiprin roi cu friciune. n punctul M de tangen al cercurilor de rostogolire, cele dou
roi au aceeai vitez: vM=1R1=-2R2 de unde rezult: 21
21 R
R= i deci raportul
de transmisie este:1
212
R
Rk = . Pentru a evita folosirea razelor cercurilor de
rostogolire, vom cuta s exprimm raportul de transmisie n funcie de numruldinilor roilor. Cum pasul p este acelai pentru ambele cercuri, putem scrie relaiile:
2R1=pz1; 2R2=pz2 astfel c raportul de transmisie se mai scrie:1
2
1
212 z
z
R
Rk ==
P
C.V.
C.R.C.F.
M
R2O1
R1
1
2
fig. 10.10fig. 10.9
O2
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
101/103
Aplicaii tehnice ale cinematicii 100
de unde rezult: 21
21 z
z= . Dac cele dou roi sunt angrenate interior, rezult:
1
2122121 z
zk;k == .
n continuare vom studia un tren de roi dinate n angrenare, formnd unreductor cu patru axe O1, O2, O3, O4i 6 roi care au razele R1, R2, ., R6 respectivz1, z2,., z6 dini (fig.10.11). Roile de pe axele O2i O3 sunt solidare ntre ele.
Vitezele n punctele de contact A, B, C sunt respectiv:vA=1R1= -2R2 ; vB= - 2R3=3R4; vc=3R5= - 4R6
Rezult: 45
6
3
4
1
22
1
21 R
R
R
R
R
R)1(...
R
R=== sau 4
5
6
3
4
1
231 z
z
z
z
z
z)1( =
i deci raportul de transmisie este:5
6
3
4
1
2314 z
z
z
z
z
z)1(k = .
Pentru generalizare, considerm n+1 axe de rotaie O1, O2,, On+1 pe caresunt fixate 2n roi dinate, avnd respectiv razele R1 ,R2,.., R2ni numrul de diniz1, z2,.,z2n. ntre vitezele unghiulare 1 i n+1 avem relaia: 1=kln+1n+1
unde raportul de transmisie este:
1n2
n2
5
6
3
4
1
2n1ln R
R...R
R
R
R
R
R)1(k
+ = sau:
1n2
n2
5
6
3
4
1
2n1ln z
z...z
z
z
z
z
z)1(k
+ =
fig. 10.11
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
102/103
Aplicaii tehnice ale cinematicii 101
10.5.2 Transmisii prin roi dinate cu axe concurente
n acest caz dantura este tiat pe roi conice. La fiecare roat se definescconul vrfurilor, conul de rostogolire i conul fundurilor, analoage cercurilorvrfurilor de rostogolire i al fundurilor de la roi dinate cilindrice. Aceste conurisunt coaxiale i au acelai vrf O (fig.10.8). Condiia de funcionare normal conducela aceeai formul ca i n cazul angrenajelor conice cu friciune, adic:
==
=sin
sin
R
Rk
1
2
2
112
De data aceasta i reprezint unghiurile formate de axele roilor dinate cugeneratoarea comun a conurilor de rostogolire a celor dou roi (conurile ce se
rostogolesc fr alunecare in timpul funcionrii angrenajului). Se poate evitafolosirea conurilor de rostogolire, dac se introduce numrul dinilor celor dou roi.
Se obine n acest caz:1
212 z
z
sin
sink =
= .
BIBLIOGRAFIE
1. Aizenberg T.B., Voronkov I.M., Osekii V.M:Rukovodstvo k reeniu zadacipo teoreticeskoi mehanike, Izd. Vsaia Skola, Moskva, 1965.
2. Blan St.: Culegere de probleme de mecanic. Editura didactici pedagogi,Bucureti, 1979.
3. Bath M.I., .a.: Theoreticeskaia mehanika v primerah i zadaciah Tom I,Statika, Kinematika, Izd. Fiziko-Mathematiceskoi, Literatur, Moskva, 1968.
4. Brndeu L.:Mecanica-Static, litografiat I.P Traian Vuia, Timioara 1980.5. Bukhholtz N.N., Voronkov I.M., Minakov I.A.: Culegere de probleme de
mecanic raional (trad. din limba rus), Editura Tehnic, Bucureti, 1951.6. Darabon A., Munteanu M., Viteanu D.: Mecanic tehnic. Culegere de
probleme. Scrisul Romnesc, Craiova, 1983.7. Doceul P. :Problems de mcanique, Paris, Gauthier-Villars, 1968.
-
7/28/2019 e Book Cinematica Rigidului
103/103
Aplicaii tehnice ale cinematicii 102
8. Gantmacher G.:Lectures in Analythical Mecanics, Mir Publishers, Moskow,1970.
9. Kabalskii M.M., .a.: Tipovie zadaci po theoreticeskoi mehanike i metodi ihreenia, G.I.T.L., U.S.S.R., Kiev, 1956.
10.Klepp H.: Curs de mecanic. Static. Cinematic., litografiat, I.P. TraianVuia, Timioara, 1975.
11.Levinson L.: Funamentals of Engineering Mechanics, Mir Publishers,Moskow, 1970.
12.Mangeron O., Irimiciuc N.: Mecanica rigidelor cu aplicaii n inginerie.Mecanica rigidului, Vol. 1, Ed. Tehnica, Bucureti, 1978.
13.Marinca V.: Statica, litografiat I.P. Traian Vuia, Timioara, 1994.14.Marinca V.: Cinematica, Ed. Eurostampa, Timioara, 1996.
15.Olariu S.: Geneza i evoluia reprezentrilor mecanicii clasice, Ed. St. iEnciclop., Bucureti, 1987.
16.Orgovici I., Smicala I.: Mecanica, Vol. II, Cinematica, litografiat Univ.Tehnic, Timioara, 1993.
17.Radu A.: Probleme de mecanic, Ed. Didactic i pedagogic, Bucureti,1978.
18.Rdoi M., Deciu E.: Mecanica, Ed. Didactici pedagogic, Bucureti, 1977.19.Rogai E.: Culegere de probleme de mecanic, litografiat, Univ. Bucureti,
1987.20.Sarian M., s.a.: Probleme de mecanic pentru ingineri i subingineri, Ed.
Didactici pedagogic, Bucureti, 1975.21.Sila Gh., Groanu I.: Mecanica, Ed. Didactic i pedagogic, Bucureti,
1981.22.
Stan A., Grumzescu M.: Probleme de mecanic, Ed. Didactic ipedagogic, Bucureti, 1974.
23.Stoenescu A., .a.: Culegere de probleme de mecanic teoretic, Ed. II, Ed.Didactici pedagogic, Bucureti, 1961.
24.Vlcovici V., Blan St., Voinea R.:Mecanic teoretic, Ed. Tehnic, Ed. III,Bucureti, 1968.
25.Voinea R., Voiculescu D., Ceauu V.: Mecanic, Ed. Didactic i
