CINEMATICA MIŞCĂRII MECANICECls. a IX-a

Prof. Laurenţiu Marin-Badea

Mecanica – definiţii.• Mecanica – este partea fizicii în care se studiază mişcarea mecanică, deformările corpurilor şi echilibrul mecanic al acestora.

• Spaţiul fizic este extinderea nemărginită în care există obiectele şi se petrec evenimentele cu proprietatea că pot fi localizate relativ prin determinări de distanţe şi direcţii.

• Timpul este mărimea fundamentală care caracterizează intervalele dintre evenimentele care se petrec succesiv dinspre trecut înspre viitor; este măsura ritmului în care se succed evenimente identice, la intervale egale.

Mecanica – tipuri de fenomene.• Mişcarea mecanică – modificarea relativă a poziţiei unui

corp, în spaţiu şi timp, faţă de alt corp considerat ca reper.• Mişcarea este prin definiţie relativă. Aspectul ei depinde

de reperul ales.

Mecanica – tipuri de fenomene.

• Deformarea – schimbarea formei unui corp datorită unei acţiuni deformatoare. Poate fi:• elastică – dispare în urma încetării acţiunii

deformatoare;• plastică – rămâne în urma încetării acţiunii

deformatoare.

• Stabilirea şi menţinerea stării de echilibru mecanic – păstrarea nemodificată a stării de repaus sau de mişcare datorită a cel puţin două acţiuni simultane asupra aceluiaşi corp.

Metode studiu în mecanică• Cinematica – se studiază mişcarea din punct de vedere descriptiv – se exprimă matematic aspectele mişcării: traiectorie, rapiditate, orientare.

• Dinamica – se studiază mişcarea din punct de vedere explicativ – se explică schimbarea stării de mişcare prin acţiunile exercitate asupra mobilului.

• Statica – se descriu stările de echilibru şi se explică menţinerea lor prin acţiuni simultane asupra aceluiaşi corp.

Noţiuni necesare pentru studiul mişcării

• Sistem de referinţă – faţă de el se stabilesc aspectele relative ale mişcării. Este format din:• reper – corp considerat fix:

• faţă de reper se raportează permanent poziţia mobilului în spaţiu şi timp;

• instrument de măsurare a lungimii:• Este necesar pentru măsurarea coordonatelor în sistemul de

coordonate asociat reperului;

• instrument de măsurare a momentelor şi duratelor de timp:• Este necesar pentru cunoaşterea momentelor de timp la care

mobilul ocupă diferite poziţii în spaţiu

Noţiuni necesare pentru studiul mişcării

• Punct material – este modelul prin care se reprezintă poziţia mobilului printr-un punct geometric căruia i se asociază masa corpului.

• Traiectoria – este linia ale cărei puncte reprezintă poziţii succesive ocupate de punctul material în decursul mişcării sale în spaţiu.

Mărimi cinematice fundamentale –vectorul de poziţie

(x, y) coordonate carteziene Oxaxapevectoruluicomponenta rrx

r

y

xO

P(x, y)

x

y

α

(r, α) coordonate polare

xr

yr

Oyaxapevectoruluicomponenta rry

Mărimi cinematice fundamentale –vectorul deplasare

0rrr 0xxx

0yyy

Deplasarea proiecţiei PM pe axa Ox

Deplasarea proiecţiei PM pe axa Oy

Deplasarea în spaţiu a PM

Deplasarea proiecţiei PM pe axa Ox

xxx rrr 0

0r

r

y

xO

Po(x0, y0)

x0

y0

P(x, y)

x

y

r

xr

yr

Deplasarea proiecţiei PM pe axa Oy

yyy rrr 0

Mărimi cinematice. Viteza• Viteza este mărimea fizică vectorială prin care caracterizează

rapiditatea şi orientarea mişcării mobilului.

t

rvm

dt

dr

t

rv

t

0

Viteza medie – caracterizează rapiditatea şi orientarea mişcării pe întregul interval, din punct de vedere al sosirii în P faţă de plecarea din P0

0r

x

yP0

P

r

rmv

dr

v

Viteza momentană – caracterizează rapiditatea şi orientarea mişcării la trecerea PM printr-o poziţie la un moment dat.

Viteza momentană caracterizează starea de mişcare a mobilului la un moment dat.

Mărimi cinematice. Acceleraţia• Acceleraţia este mărimea fizică vectorială prin care caracterizează

rapiditatea şi orientarea modificării stării de mişcare a mobilului.

t

vam

dt

dv

t

va

t

0

Acceleraţia medie – caracterizează rapiditatea şi orientarea schimbării stării de mişcare pe întregul interval, din punct de vedere al sosirii în P faţă de plecarea din P0

Acceleraţia momentană – caracterizează rapiditatea şi orientarea schimbării stării de mişcare la trecerea PM printr-o poziţie la un moment dat.

0r

x

yP0

P

r

0v

v

v

v

ma

a

a

Problematizare.

• Un mobil parcurge, în linie dreaptă, 100 m, cu viteza constantă vm = 10 m/s. Al doilea mobil, parcurge, tot în linie dreaptă, 100 m, simultan cu primul, având la momentul iniţial viteza v0= 2 m/s şi adăugând vitezei cantităţi egale la intervale de timp egale. Cerinţe:

a) Descrieţi mişcările celor două mobile;

b) Calculaţi viteza finală a celui de-al doilea mobil;

c) Calculaţi durata mişcărilor;

d) Calculaţi acceleraţiile celor două mobile.

Rezolvare prin interpretarea grafică a deplasării pe traiectoriea. Ambele mişcări sunt rectilinii.

1. Prima mişcare este rectilinie uniformă – se desfăşoară păstrând vectorul viteză constant.

2. A doua mişcare este rectilinie uniform variată – se modifică permanent starea de mişcare, dar păstrând vectorul acceleraţie constant.

x1

t

tt0

vm

v0

vv

x2

Rezolvare prin interpretarea grafică a deplasării pe traiectorie

b. Se exprimă formulele ariilor corespunzătoare deplasărilor x1 şi x2 şi se egalează. Din ecuaţia rezultată, se calculează viteza v

smvvvvv

vtvvx

tvx

mm

m

/1822

20

0

02

1

Rezolvare prin interpretarea grafică a deplasării pe traiectoriec. Relaţia de definiţie a vitezei medii are tot ce trebuie pentru aflarea

duratei mişcării primului mobil. Al doilea mobil se mişcă simultan cu primul, parcurgând aceeaşi distanţă. Având în vedere că definiţia matematică a valori medii pentru o funcţie pe un interval este:

“… valoarea funcţiei constante al cărei grafic mărgineşte o arie de valoare egală cu a ariei mărginite de graficul funcţiei date pe acelaşi interval”,

atunci vm nu este altceva decât valoarea medie a vitezei celui de-al doilea mobil pe intervalul de timp cât acesta se mişcă, dacă se mişcă pe aceeaşi distanţă ca şi primul. Deci, duratele mişcărilor celor două mobile sunt egale!

ssm

m

v

xt

t

xv

mm 10

/10

100

Rezolvare prin interpretarea grafică a deplasării pe traiectoried. Acceleraţia primului mobil este nulă, deoarece viteza

acestuia este constantă. Acceleraţia celui de-al doilea se calculează conform relaţiei de definiţie a acceleraţiei, cunoscându-se vitezele iniţială şi finală şi durata mişcării; acceleraţia fiind constantă, ce medie este egală cu cea instantanee la orice moment de timp.

220 /6,1/10

218smsm

t

vv

t

va

Tipuri de mişcări• În problema propusă se evidenţiază două tipuri de

mişcări, cele mai simple mişcări ale punctului material: mişcarea rectilinie uniformă şi mişcarea rectilinie uniform variată.

• Având ca bază rezolvarea acestei probleme prin utilizarea interpretării grafice a deplasării pe traiectorie, se pot generaliza prin inducţie rezultatele pentru aceste două tipuri de mişcări, utilizând cunoştinţele matematice.

• Astfel, se pot obţine un set de ecuaţii care pot fi particularizate pentru orice mişcare rectilinie uniformă sau uniform variată!

• Demonstrarea prin inducţie a acestor ecuaţii este ceea ce se propune în continuare, având ca ipoteză de lucru interpretarea grafică a deplasării pe traiectorie.

Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniformă• Singura relaţie de lucru aici este cea care exprimă definiţia vitezei.• Datorită faptului că viteza este un vector constant, ea este o funcţie constantă de timp.• Viteza medie este egală cu viteza momentană la orice moment de timp.• Din relaţia de definiţie se deduce ecuaţia de mişcare – ecuaţia de dependenţă a

parametrului prin care se determină poziţia momentană a mobilului faţă de timp.

tvxx

ttstpentru

tvxx

tvxx

tvxt

xv

0

0

0

0

,0

tvxx 0

x

t

v(0)

tt0

v0

v

O

Ecuaţia mişcării rectilinii uniforme

Graficul mişcării r

ectilinii u

niforme

Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată• Conform enunţului problemei, al doilea mobil se mişcă adăugând vitezei cantităţi egale la intervale de timp egale. Deci, acceleraţia are mărimea constantă, mai mult, mişcarea fiind rectilinie, acceleraţia este un vector constant.

• Ultima afirmaţie de mai sus împreună cu interpretarea grafică a deplasării pe traiectorie sunt suficiente pentru inducerea setului de ecuaţii generale ale mişcării rectilinii uniform variate.

Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată• Mobilul se mişcă adăugând

vitezei cantităţi egale la intervale de timp egale.

• Graficul vitezei în funcţie de timp, care exprimă afirmaţia de mai sus, este o dreaptă.

• Graficul funcţiei de gradul I este o dreaptă.

• Deci, graficul vitezei în funcţie de timp exprimă o funcţie de gradul I cu ecuaţia de dependenţă cunoscută sub numele de ecuaţia vitezei.

timpdeetalon interval fiecare la

vitezeiadaugata camtitate'

etalon timpde interval

v

aacceleratiatg

ttgvv

0

v

t

tt0

v0

v

O

Graficul vitezei în funcţie de timp

'v'v'v'v

v(0)

v = v0 + a·t

tavv 0 Ecuaţia vitezei

Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată

eiaccelerati marimea0

0

atgt

v

tt

vvtg

v

t

tt0

v0

v

Ov(0)

v

t

tt0

v0

v

O

v(0)

Acceleraţia este orientată în sensul axei Ox, iar dacă viteza iniţială este pozitivă, atunci mişcarea este accelerată

Acceleraţia este orientată în sens opus axei Ox, iar dacă viteza iniţială este pozitivă, atunci mişcarea este încetinită

Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată• La punctul b al problemei,

s-a arătat că viteza medie a mişcării în intervalul dat este media aritmetică a valorilor vitezei de la capetele intervalului.

• Pornind de la acest rezultat şi aplicând definiţia fizică a vitezei medii, se demonstrează legea mişcării rectilinii uniform variate.

t

xv

vvvxx

m

m 20

21

tavv

tvv

x

0

0

2

200 2

1attvxx

Ecuaţia mişcării rectilinii uniform variate

Tipuri de mişcăriMişcarea rectilinie uniform variată• Reprezentările grafice scot

în evidenţă, din punct de vedere matematic, că ecuaţia mişcării rectilinii uniform variate este ecuaţia de dependenţă a unei funcţii de gradul II.

• Din punct de vedere fizic, proprietăţile funcţiei care reprezintă dependenţa coordonatei x faţă de timpul t, corespund aspectelor mişcării (accelerată – frânată; cu schimbare de sens – fără schimbare de sens)

a

vtV

0

x

ta

vxxV

20

02

0a

Acceleraţia are mărimea pozitivă, este orientată în sensul axei Ox.Iniţial, viteza este negativă, adică este orientată în sens opus axei Ox. Astfel mişcarea este încetinită în intervalul de timp (0, tV). La momentul tV, viteza se anulează, mobilul se opreşte. În intervalul de timp (tV, ∞) mobilul se mişcă cu sens schimbat, în sensul axei Ox şi accelerat.

x0