CAPITOLUL 2

CINEMATICA MIŞCĂRII

ABSOLUTE A RIGIDULUI Cinematica este diviziunea mecanicii care se ocupă cu studiul

mişcărilor din punct de vedere geometric, fără a ţine seama de cauzele care produc mişcarea, de forţele care acţionează, precum şi de masa punctului sau a rigidului.

Mişcarea absolută a rigidului este mişcarea lui remarcată de către un observator invariabil legat de un reper fix, pentru care versorii reperului respectiv apar ca vectori constanţi.

2.1. Cinematica mişcării absolute generale a rigidului

2.1.1. Parametrii de poziţie şi ecuaţiile de mişcare

Se consideră un rigid (S) care are o mişcare oarecare faţă de un reper cartezian triortogonal drept fix (R) Oxyz.≡ Mişcarea rigidului este cunoscută dacă în orice moment t din intervalul ]t,t[ f0 de mişcare considerat ( 0t este momentul iniţial, iar ft momentul final al mişcării) se poate determina poziţia unui punct arbitrar P din rigid, prin vectorul de poziţie )t(rr = , dat de relaţia

,k)t(zj)t(yi)t(x)t(rr ++==

unde, după cum se ştie din capitolul de Cinematica punctului, coordonateIe x, y şi z ale punctului P faţă de reperul fix sunt funcţii de timp. Cunoscând ecuaţia vectorială a mişcării, )t(rr = , se pot determina vectorii viteză instantanee v = r& şi acceleraţia instantanee a = ν& a punctului P în raport cu reperul fix.

Pentru studiul mişcării se alege un nou reper cartezian

– 53 –

triortogonal drept zyxQ)R( ′′′≡′ , invariabil legat de rigidul (S) , Fig. 2.1. Versorii reperului mobil, notaţi i′ , j′ şi k ′ îşi schimbă orientarea în timpul mişcării, adică )t(ii ′=′ , )t(jj ′=′ şi )t(kk ′=′ . Faţă de acest reper mobil, un punct arbitrar P din rigid are coordonatele x′ , y′ şi z′ constante. Poziţia punctului P faţă de reperul mobil este dată de vectorul de poziţie rQP ′= a cărui expresie analitică este

kzjyixr ′′+′′+′′=′ .

Poziţia Ia un moment dat a reperului mobil zyxQ)R( ′′′≡′ faţă de reperul fix Oxyz)R( ≡ , va fi dată de o serie de parametri geometrici, care sunt funcţii cunoscute de timp şi anume:

Fig. 2.1

- Coordonatele QQ y,x şi Qz ale polului Q în raport cu reperul fix (R)

)t(zz),t(yy),t(xx QQQQQQ === , (2.2)

(S)

rQr

P

Q

k ′ j′

j

k

i i′

)R( )R( ′

y’

x’

O

x

z

y

r′

– 54 –

cu ajutorul cărora se poate determina vectorul de poziţie QrOQ = , al originii Q

.kzjyixOQr QQQQ ++==

- Cele 9 cosinusuri directoare care detemină direcţiile versorilor variabili )t(ii ′=′ , )t(jj ′=′ şi )t(kk ′=′ , adică direcţiile axelor xQ ′ , yQ ′ , zQ ′ în raport cu axele Ox, Oy, Oz ale reperului fix. Aceste cosinusuri directoare reprezintă proiecţiile pe axele fixe ale versorilor i′ , j′ şi k ′ . De exemplu, proiecţiile versorului i′ pe axele reperului fix (R), se notează astfel

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

α=′=⋅′=′

α=′=⋅′=′

α=′=⋅′=′

.

)k,icos(kiipr

)j,icos(jiipr

)i,icos(iiipr

xzOz

xyOy

xxOx

(2.3)

Folosind acelaşi raţionament ca mai sus, rezultă

).k,kcos(kk),j,kcos(jk),i,kcos(ik

),k,jcos(kj),j,jcos(jj),i,jcos(ij

zxzyzx

yzyyyx

′=⋅′=α′=⋅′=α′=⋅′=α

′=⋅′=α′=⋅′=α′=⋅′=α

Cosinusurile directoare sunt prezentate în tabelul de mai jos:

(2.4)

Expresiile analitice ale versorilor axelor mobile sunt de forma:

zyα zxα

yyα yxα yzα

zzα

xzα xxα xyα

k ′

i′

k

j′

j i

– 55 –

.kjik

;kjij

;kjii

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

α+α+α=′

α+α+α=′

α+α+α=′

(2.5)

Ţinând cont de faptul că versorii aceIuiaşi sistem de axe sunt

perpendiculari între ei, doi câte doi, între cele 9 cosinusuni directoare există următoarele relaţii:

.0kj)6

;0ki)5

;0ji)4

;1kkk)3

;1jjj)2

;1iii)1

zzyzzyyyzxyx

zzxzzyxyzxxx

yzxzyyxyyxxx

2zz

2zy

2zx

2

2yz

2yy

2yx

2

2xz

2xy

2xx

2

=αα+αα+αα=′⋅′

=αα+αα+αα=′⋅′

=αα+αα+αα=′⋅′

=α+α+α=′=′⋅′

=α+α+α=′=′⋅′

=α+α+α=′=′⋅′

(2.6)

Relaţiile (2.6) arată că numai trei din cele nouă cosinusuri

directoare sunt independente. Rezultă că poziţia reperului mobil va fi cunoscută dacă se

cunosc 6 parametri: - 3 parametri reprezentând coordonatele polului Q :

)t(zz),t(yy),t(xx QQQQQQ === ;

- 3 din cele 9 cosinusuri directoare.

În locul celor 3 cosinusuri directoare, Euler a introdus 3 unghiuri, cunoscute sub numele de unghiurile lui Euler; cu ajutorul Ior se pot exprima in mod unic cele 9 cosinusuri directoare din Fig. 2.2.

Pentru a figura unghiurile Iui Euler, în Fig. 2.2, pe lângă cele două repere (R) şi )R( ′ se consideră şi reperul ∗∗∗∗ ≡ zyQx)R( , cu axele paralele Ia axele fixe. Linia nodurilor (QN) reprezintă dreapta de intersecţie a planelor ∗∗yQx şi yxQ ′′ , sensul pozitiv al ei fiind

– 56 –

indicat de versorul n.

Unghiurile lui Euler sunt următoarele: – unghiul de precesie, notat cu ψ , format de linia nodurilor

cu axa ∗Qx , măsurat de la axa ∗Qx , considerat pozitiv )0( >ψ , sau negativ )0( <ψ după cum privit dinspre sensul pozitiv al axei ∗Qz , care este perpendiculară pe planul unghiului ψ , este descris în sens direct sau invers trigonometric;

Fig. 2.2

– unghiul de rotaţie proprie, notat cu ϕ , este unghiul format

de axa xQ ′ cu linia nodurilor, măsurat de la linia nodurilor, considerat pozitiv )0( >ϕ , sau negativ )0( <ϕ , după cum privit dinspre sensul pozitiv al axei zQ ′ , care este perpendiculară pe planul unghiului ϕ , este descris în sens direct sau invers trigonometric;

n

– 57 –

– unghiul de nutaţie, notat cu θ , este unghiul format de axa

zQ ′ cu axa ∗Qz , măsurat de la axa ∗Qz , considerat pozitiv )0( >θ sau negativ )0( <θ , după cum privit dinspre sensul pozitiv al liniei nodurilor, care este perpendiculară pe planul unghiului θ , este descris în sens direct sau invers trigonometric.

Concluzie: Poziţia reperului )R( ′ faţă de reperul )R( este

complet determinată dacă se cunosc cei şase parametri de poziţie adică QQQ z,y,x (coordonatele polului Q faţă de reperul fix) şi

θϕψ ,, (unghiurile lui Euler). Atunci când rigidul (S) şi deci reperul )R( ′ ataşat lui, se

deplasează în raport cu reperul fix (R), parametrii de poziţie ai lui, vor fi funcţii de timp

],t,t[t,);t();t(zz);t();t(yy);t();t(xx

f0

QQ

QQ

QQ

∈⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ=θ=

ϕ=ϕ=

ψ=ψ=

(2.7)

considerate funcţii continue şi de cel puţin două ori derivabile în raport cu timpul. Relaţiile (2.7) reprezintă ecuaţiile parametrice ale mişcării generale a rigidului. Definiţie: Numărul gradelor de libertate al unui rigid în mişcare este egal cu numărul parametrilor de poziţie independenţi care fixează la un moment dat poziţia rigidului în raport cu un reper fix. Având în vedere că în mişcarea generală a rigidului sunt 6 parametri de poziţie independenţi, se va spune că rigidul are 6 grade de libertate. Stabilirea expresiilor cosinusurilor directoare ale axelor reperului mobil în raport cu axele reperului fix în funcţie de unghiu-rile lui Euler, implică introducerea a două repere triortogonale auxiliare, reperul 321n NNQN)R( ≡ şi reperul 321n NNNQ)R( ′′′≡′ .

– 58 –

Reperul auxiliar )R( n , (Fig. 2.3), conţine următoarele axe:

≡1QN QN (linia nodurilor), de versor ,≡1n n ≡ *3QN Qz ,de versor

≡3n k şi 2QN , situată în planul ∗∗yQx (în care e descris unghiul de precesie ψ ) de versor 2 3 1n = n ×n . Din Fig. 2.3 rezultă expresiile cosinusurilor unghiurilor formate de axele acestui reper )R( n cu axele reperului fix (R):

i j k

1n ψcos ψsin 0 2n ψ− sin ψcos 0 3n 0 0 1

(2.8)

Fig. 2.3 Se pot scrie astfel expresiile analitice ale versorilor axelor fixe

în raport cu reperul auxiliar )R( n sub următoarea formă:

1nn ≡

1NN ≡

3nk ≡

– 59 –

.3

21

21

nk;ncosnsinj;nsinncosi

=

ψ+ψ=

ψ−ψ=

(2.9)

Reperul auxiliar )R( n′ (Fig. 2.4) conţine axele: ′ ≡1QN QN, de versor ′ ′ ′≡ ≡1 3n n, QN Qz ,de versor ′ ′≡3n k şi ′2QN situată în planul Qx y′ ′ (în care e descris unghiul de rotaţie proprie ϕ ), de versor

132 nnn ′×′=′ ).

Fig. 2.4 Din Fig. 2.4 rezultă expresiile cosinusurilor unghiurilor formate de axele reperului auxiliar )R( n′ cu axele reperului mobil )R( ′

1NN ′≡

– 60 –

1n′ 2n′ 3n′

i′ ϕcos ϕsin 0 j′ ϕ− sin ϕcos 0 k ′ 0 0 1

(2.10)

Se pot scrie acum expresiile analitice ale versorilor axelor mobile în raport cu reperul auxiliar )R( n′ :

.3

21

21

nk;ncosnsinj

;nsinncosi

′=′

′ϕ+′ϕ−=′

′ϕ+′ϕ=′

(2.11)

Axele ∗′ ≡2 2 3QN ,QN ,QN Qz şi ′ ′≡3QN Qz sunt perpendiculare în Q pe linia nodurilor ′≡ ≡1 1QN QN QN , rezultă că ele sunt coplanare iar în planul respectiv este descris unghiul de nutaţie θ (Fig. 2.5).

Fig. 2.5

11 NNN ′≡≡

– 61 –

Tabelul cosinusurilor directoare are forma:

1n 2n 3n

1n′ 1 0 0 2n′ 0 θcos θsin

3n′ 0 θ− sin θcos

(2.12)

Expresiile cosinusurilor directoare ale axelor reperului mobil în

raport cu axele reperului fix, în funcţie de unghiurile lui Euler, se stabilesc folosind relaţiile (2.9), (2.11), tabelul (2.12) şi au forma:

.cosnnkk

;sincosn)ncosn(sinjk;sinsinn)nsinn(cosik

;sincosn)ncosnsin(kj;coscoscossinsin

)ncosn(sin)ncosnsin(jj;cossincoscossin

)nsinn(cos)ncosnsin(ij

;sinsinn)nsinn(coski;coscossinsincos

)ncosn(sin)nsinn(cosji;cossinsincoscos

)nsinn(cos)nsinn(cosii

33zz

321zy

321zx

321yy

2121yy

2121yx

321xz

2121xy

2121xx

θ=⋅′=⋅′=α

θψ−=′⋅ψ+ψ=⋅′=α

θψ=′⋅ψ−ψ=⋅′=α

θϕ=⋅′ϕ+′ϕ−=⋅′=α

θψϕ+ψϕ−=

=ψ+ψ⋅′ϕ+′ϕ−=⋅′=α

θψϕ−ψϕ−=

=ψ−ψ⋅′ϕ+′ϕ−=⋅′=α

θϕ=⋅′ϕ+′ϕ=⋅′=α

θψϕ+ψϕ=

=ψ+ψ⋅′ϕ+′ϕ=⋅′=α

θψϕ−ψϕ==ψ−ψ⋅′ϕ+′ϕ=⋅′=α

(2.13)

– 62 –

Cosinusurile directoare sunt prezentate în tabelul de mai jos:

i j k i′ θψϕ−ψϕ cossinsincoscos θψϕ+ψϕ coscossinsincos θϕsinsin j′ θψϕ−ψϕ− cossincoscossin θψϕ+ψϕ− coscoscossinsin

θϕsincos

k ′ θψ sinsin θψ− sincos θcos

(2.14) 2.1.2. Parametrii cinematici ai unui rigid aflat în mişcare generală

Mişcarea generală a rigidului are două componente, translaţia şi rotaţia, fiecare componentă fiind caracterizată prin câte doi vectori, numiţi parametri cinematici de ordinul I şi II.

Parametrii cinematici de ordinul I sunt reprezentaţi

prin vectorii viteză de translaţie şi viteza unghiulară instantanee. a). Viteza de translaţie a rigidului este definită prin relaţia

0kzjyizv QQQQ ≠++= &&& (2.15)

şi reprezintă viteza polului Q invariabil legat de rigid (Fig. 2.6). În aplicaţii, acest parametru cinematic se determină cu ajutorul

proiecţiilor lui pe axele reperului fix (R) sau pe axele reperului mobil )R( ′ , ataşat rigidului.

Proiecţiile vitezei Qv pe axele fixe se obţin din relaţia (2.15), după efectuarea operaţiei de înmulţire scalară a ei, pe rând, cu versorii j,i şi k

.

zkvv

yjvv

xivv

:v

QQQz

QQQy

QQQx

Q

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅=

=⋅=

=⋅=

&

&

&

(2.16)

– 63 –

Fig. 2.6

Proiecţiile vitezei Qv pe axele reperului mobil, se obţin prin

înmulţirea scalară a relaţiei (2.15), pe rând, cu versorii j,i ′′ şi k ′ ai reperului mobil, ţinând cont de tabelul de cosinusuri directoare (2.4)

.

zyxkvv

zyxjvv

zyxivv

:v

zzQzyQzxQQQz

yzQyyQyxQQQy

xzQxyQxxQQQx

Q

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

α+α+α=′⋅=′

α+α+α=′⋅=′

α+α+α=′⋅=′

&&&

&&&

&&&

(2.17)

Viteza de translaţie, care este un vector variabil în timp (în modul şi orientare), tangent la traiectoria )( QΓ descrisă de polul Q (Fig. 2.6), se poate scrie sub forma

),t()t(vv QQQ τ= (2.18)

τQ fiind versorul tangent la curba )( QΓ în momentul t considerat. b). Viteza unghiulară instantane ω , caracterizează rotaţia instantanee a rigidului la momentul t şi are următoarea expresie:

.nkk θ+′ϕ+ψ=ω &&& (2.19)

– 64 –

Deducerea riguroasă a acestei formule se bazează pe teorema de compunere a rotaţiilor elementare, [9], care nu este prezentată în această lucrare. În cazul de faţă, s-a apelat la o cale mai simplă, care evidenţiază semnificaţia fizică a vitezei unghiulare. Astfel expresia vectorului ω se poate deduce în condiţiile în care mişcarea rigidului se reduce numai la mişcarea în jurul polului

.)constzyx(Q QQQ === şi variază câte un singur unghi dintre cele trei unghiuri ale lui Euler.

.1o În condiţiile

.,const.;const);t( 00 =θ=θ=ϕ=ϕψ=ψ (2.20)

Fig. 2.7

axa ∗Qz , fixă în spaţiu, este axă de rotaţie pentru rigid (Fig. 2.7), iar vectorul ω se reduce la componenta

,kp ψ=ω & (2.21)

(S)

Q

N

∗zz’

y’

∗y

∗x

0θ

0ϕ )t(ψ

x’

pω

– 65 –

numită viteză unghiulară de precesie.

Vectorul pω , prin suportul său, determină axa de rotaţie şi prin sensul său precizează sensul rotaţiei; sensul lui pω verifică regula burghiului drept care ţine cont de sensul în care este descris în planul ∗∗yQx (perpendicular pe axa de rotaţie) unghiul de precesie ψ . .2o În condiţiile

.,const);t(.;const 00 =θ=θϕ=ϕ=ψ=ψ (2.22)

Fig. 2.8

axa Qz′ se menţine fixă în spaţiu (Fig. 2.8), fiind axă de rotaţie pentru rigid, iar vectorul ω se reduce la componenta

,kr ′ϕ=ω & (2.23)

numită viteză unghiulară de rotaţie proprie.

– 66 –

Vectorul rω , prin suportul său, perpendicular pe planul yxQ ′′

în care este descris unghiul de rotaţie proprie ϕ , determină axa de rotaţie, iar prin sensul său, corelat pe baza regulei burghiului drept cu sensul variaţiei unghiului ϕ , precizează sensul rotaţiei rigidului.

.3o În condiţiile

,)t(.;const.;const 00 θ=θ=ϕ=ϕ=ψ=ψ (2.24)

Fig. 2.9

axa nodurilor QN se menţine fixă în spaţiu (Fig. 2.9), cu poziţia perpendiculară pe planul ∗′zzQ în care este descris unghiul de nutaţie θ , deci este axă de rotaţie pentru rigid.

Vectorul ω se reduce la componenta

,nn θ=ω & (2.25)

numită viteză unghiulară de nutaţie, având drept suport linia

– 67 –

nodurilor şi sensul, în concordanţă cu variaţia unghiului θ verificat de regula burghiului drept. În condiţiile în care variază simultan toate cele trei unghiuri ale lui Euler (Fig. 2.10) se poate spune că rigidul execută o rotaţie cu viteza unghiulară ω definită prin relaţia

.nkknrp θ+′ϕ+ψ=ω+ω+ω=ω &&& (2.26)

Fig. 2.10

În general, vectorul ω îşi modifică în timp modulul şi orientarea, adică se poate scrie relaţia

),t(i)t( ωω=ω (2.27)

ωi fiind versorul vectorului ω . Din acest motiv suportul său se mai numeşte axă instantanee

de rotaţie.

– 68 –

În aplicaţii, vectorul ω se determină cu ajutorul proiecţiilor sale raportate, fie la reperul fix (R), fie la reperul mobil )R( ′ Proiecţiile vectorului ω pe axele reperului fix (R), obţinute prin înmulţirea scalară a expresiei analitice (2.19), pe rând, cu versorii j,i şi k ai axelor fixe, ţinând cont şi de tabelele (2.4) şi (2.8), au forma

.

k)nkk(k

sinj)nkk(jcosi)nkk(i

:

zzz

zyy

zxx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

αϕ+ψ=θ+′ϕ+ψ=⋅ω=ω

ψθ+αϕ=θ+′ϕ+ψ=⋅ω=ω

ψθ+αϕ=θ+′ϕ+ψ=⋅ω=ω

ω

&&&&&

&&&&&

&&&&&

(2.28)

Expresiile cosinusurilor zyzx, αα şi zzα au fost prezentate în tabelul (2.14). Vectorul ω are următoarea expresie analitică în raport cu reperul fix

.kji zyx ω+ω+ω=ω (2.29)

Proiecţiile vectorului ω pe axele reperului mobil )R( ′ , obţinute prin înmulţirea scalară a relaţiei (2.19), pe rând, cu versorii j,i ′′ şi k ′ ai axelor mobile, având în vedere şi tabelele (2.4) şi (2.10), au următoarele expresii

.

k)nkk(k

sinj)nkk(jcosi)nkk(i

:

zzz

yzy

xzx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ+αψ=′θ+′ϕ+ψ=′⋅ω=ω′

ϕθ−αψ=′θ+′ϕ+ψ=′⋅ω=ω′

ϕθ+αψ=′θ+′ϕ+ψ=′⋅ω=ω′

ω

&&&&&

&&&&&

&&&&&

(2.30)

Cosinusurile directoare yzxz, αα şi zzα au expresiile prezen-tate în tabelul (2.14).

Expresia analitică, în reperul mobil, a vectorului ω are forma:

.kji zyx ′ω′+′ω′+′ω′=ω (2.31)

Concluzii: - Parametrii cinematici de ordinul I ai unui rigid care

– 69 –

efectuează o mişcare generală, au forma:

.nkk

kzjyixrv QQQQQ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ+′ϕ+ψ=ω

++==&&&

&&&&

- În mişcarea generală a rigidului, vectorul Qv precizează direcţia şi sensul în care se efectuează translaţia, iar vectorul ω precizează axa în jurul căreia se efectuează rotaţia instantanee la momentul t a rigidului, precum şi sensul acestei rotaţii (Fig. 2.10).

Observaţii 1. În timpul mişcării rigidului, variaţiei elementare „dt” a

timpului t, îi vor corespunde variaţii elementare ale celor şase parametri de poziţie ,xQ ,yQ ,zQ ,ψ ,ϕ ,θ notate ,dxQ ,dyQ Qdz ,

,dψ ϕd şi .dθ Cu ajutorul acestor variaţii elementare se pot defini două

mărimi vectoriale elementare, numite deplasări ale rigidului şi anume:

– vectorul translaţie elementară (vectorul deplasare elementară la translaţie)

;kdzjdyidxrd QQQQ ++=

– vectorul rotaţie elementară (vectorul deplasare elementară la rotaţie)

.ndkdkddddd θ+ϕ+′ψ=θ+ϕ+ψ=Θ

Ansamblul deplasărilor elementare la translaţie Qrd şi rotaţie Θd ale rigidului se numesc deplasări elementare ale rigidului.

Parametrii cinematici de ordinul I ai unui rigid se pot scrie şi

sub forma:

– 70 –

.nkkn

dtd

kdtd

kdtd

dtd

kzjyixkdt

dzj

dtdy

idt

dxdtrd

rv QQQQQQQ

QQ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

θ+′ϕ+ψ=θ

+′ϕ

+ψ

=Θ

=ω

++=++===

&&&

&&&&

2. În materialele bibliografice [7, 9], s-a demonstrat următoa-

rea relaţie ,rdrd ′×Θ=′

rd ′ fiind variaţia elementară a vectorului de poziţie r′ al unui punct

oarecare P al rigidului, datorită rotaţiei elementare Θd . Deoarece punctul P, determinat prin vectorul de poziţie r′ a

fost considerat arbitrar, relaţia anterioară îşi va păstra valabilitatea şi pentru versorii j,i ′′ şi k′ , putându-se scrie relaţiile

.kdkd;jdjd;idid ′×Θ=′′×Θ=′′×Θ=′

Relaţiile precizate la această observaţie, permit să se stabilească atât expresia derivatei în raport cu timpul a vectorului de poziţie r′ al unui punct arbitrar P al rigidului în mişcare, cât şi expresiile derivatelor în raport cu timpul ale versorilor k,j,i ′′′ ai axelor reperului )R( ′ , obţinându-se

,rrdtd

dtrd

r ′×ω=′×Θ

=′

=′&

respectiv

.kkdtd

dtkd

k

;jjdtd

dtjd

j

;iidtd

dtid

i

′×ω=′×Θ

=′

=′

′×ω=′×Θ

=′

=′

′×ω=′×Θ

=′

=′

&

&

&

(2.32)

– 71 –

Relaţiile (2.32) sunt cunoscute în literatura de specialitate sub numele de formulele lui Poisson.

Parametrii cinematici de ordinul II sunt reprezentaţi prin vectorii acceleraţie de translaţie şi acceleraţie unghiulară. a). Acceleraţia de translaţie a rigidului este definită prin relaţia

kzjyixrva QQQQQQ &&&&&&&&& ++=== (2.33)

şi reprezintă acceleraţia polului Q invariabil legat de rigid.

În aplicaţii, vectorul Qa se determină cu ajutorul proiecţiilor lui pe axele reperului fix (R) sau pe axele reperului mobil )R( ′ invariabil legat de rigid. Proiecţiile acceleraţiei Qa pe axele fixe se obţin din relaţia (2.33)

.

zkaa

yjaa

xiaa

:a

QQQz

QQQy

QQQx

Q

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅=

=⋅=

=⋅=

&&

&&

&&

(2.34)

Proiecţiile acceleraţiei Qa pe axele reperului mobil se obţin prin înmulţirea scalară, pe rând, a relaţiei (2.33) cu versorii reperului mobil, ţinând cont de tabelul de cosinusuri directoare (2.4):

.

zyxkaa

zyxjaa

zyxiaa

:a

zzQzyQzxQQQz

yzQyyQyxQQQy

xzQxyQxxQQQx

Q

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

α+α+α=′⋅=′

α+α+α=′⋅=′

α+α+α=′⋅=′

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&

(2.35)

În funcţie de unghiul format de vectorul Qa cu vectorul Qv se poate stabili caracterul mişcării de translaţie a rigidului în intervalul de timp studiat şi se întâlnesc următoarele cazuri:

- translaţie accelerată, dacă unghiul dintre vectorii Qv şi Qa este ascuţit, rezultând 0av QQ >⋅ , (Fig. 2.11a);

– 72 –

Fig. 2.11

- translaţia încetinită, dacă unghiul dintre vectorii Qv şi Qa este obtuz, rezultând 0av QQ <⋅ , (Fig. 2.11b);

- translaţie uniformă, dacă unghiul dintre vectorii Qv şi Qa

este egal cu o90 , rezultând 0av QQ =⋅ , (Fig. 2.11c). b). Vectorul acceleraţie unghiulară instantanee este definit prin relaţia

.dtdω

=ω=ε & (2.36)

Prin derivarea în raport cu timpul a vectorului viteză unghiu-lară ,nkk θ+′ϕ+ψ=ω &&& rezultă relaţia

,nkknkk &&&&&&&&&&&&& θ+′ϕ+ψ+θ+′ϕ+ψ=ω=ε

care, în baza relaţiilor de mai jos

– 73 –

,)(k)k(k

rnrprnrp

r

ω×ω+ω×ω=ω×ω+ω+ω=

=ω×ω=′ϕ×ω=′×ωϕ=′ϕ &&&&

,n)n(n nppp ω×ω=θ×ω=×ωθ=θ &&&&

se poate scrie sub forma finală

nprnrpnkk ω×ω+ω×ω+ω×ω+θ+′ϕ+Ψ=ε &&&&&& . (2.37)

Expresia (2.37) s-a obţinut în baza calculelor de mai jos:

,nknkk)nkk(dtd &&&&&&&&&&&&&& θ+′ϕ+θ+′ϕ+ψ=θ+′ϕ+ψ=ω=ε

Observaţie: variaţia versorului n se datorează numai variaţiei unghiului de precesie Ψ , deci nn p ×ω=& . Dacă se derivează în raport cu timpul expresia vectorului ω din relaţia (2.27), ),t(i)t( ωω=ω se obţine următoarea formulă pentru vectorul acceleraţie instantanee

.)t(i)t()t(i)t(dtd

nc ε+ε=ω+ω=ω

=ω=ε ωω&&& (2.38)

Examinând relaţia (2.38), se constată că vectorul acceleraţie instantanee are două componente ortogonale şi anume:

- componenta coliniară cu vectorul ω

);t(i)t(c ωω=ε & (2.39)

- componenta normală la vectorul ω

),t(i)t(n ωω=ε & (2.40) deoarece ωω ⊥ ii& .

– 74 –

În mişcarea generală a rigidului vectorii ω şi ε au orientări diferite. În funcţie de unghiul format de vectorii ω şi ε , respectiv în funcţie de semnele produselor scalare ale vectorilor ω şi ε , se poate stabili caracterul mişcării de rotaţie a rigidului în intervalul de timp dat:

- rotaţie accelerată, dacă unghiul dintre vectorii ω şi ε este ascuţit, rezultând 0>ε⋅ω , (Fig. 2.12a), deci vectorii ω şi cε au acelaşi sens, fiind valabilă condiţia

,0c >ωω=ε⋅ω=ε⋅ω & (2.41)

Fig. 2.12

care indică o creştere în modul a vitezei unghiulare )t(ω ;

- rotaţie încetinită, dacă unghiul dintre vectorii ω şi ε este obtuz, rezultând 0<ε⋅ω , (Fig. 2.12b), deci vectorii ω şi cε au sensuri contrare, fiind valabilă condiţia

,0c <ωω=ε⋅ω=ε⋅ω & (2.42)

– 75 –

ceea ce indică scăderea în modul a vitezei unghiulare )t(ω ;

- rotaţie uniformă, dacă unghiul dintre vectorii ω şi ε este egal cu o90 , rezultând 0=ε⋅ω , (Fig. 2.12c), deci vectorii ω şi ε sunt perpendiculari, fiind valabilă condiţia

,0c =ω=ε & (2.43)

ceea ce înseamnă că mărimea vitezei unghiulare este constantă

.const0 =ω=ω (2.44)

Expresia analitică a vectorului ε , în raport cu reperul fix (R), se obţine prin derivarea în raport cu timpul a vectorului ω exprimat sub formă analitică în relaţia (2.29)

( ),kjikji

kjidtd

zyxzyx

zyx

ε+ε+ε=ω+ω+ω=

=ω+ω+ω=ω=ε

&&&

& (2.45)

de unde se obţin proiecţiile vectorului ε pe axele reperului fix (R)

.

k

ji

zz

yy

xx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω=⋅ε=ε

ω=⋅ε=ε

ω=⋅ε=ε

ε

&

&

&

(2.46)

Expresia analitică a vectorului ε , în raport cu reperul mobil

)R( ′ , se obţine prin derivarea în raport cu timpul a vectorului ω exprimat sub formă analitică în relaţia (2.31)

( ).kjikji

kjidtd

zyxzyx

zyx

&&&&&&

&

′ω′+′ω′+′ω′+′ω′+′ω′+′ω′=

=′ω′+′ω′+′ω′=ω=ε

Aplicând formulele lui Poisson în grupul de termeni ce conţin

derivatele versorilor j,i ′′ şi k ′ , rezultă

– 76 –

0)kji(

)k()j()i(kji

zyx

zyxzyx

=ω×ω=′ω′+′ω′+′ω′×ω=

=′×ωω′+′×ωω′+′×ωω′=′ω′+′ω′+′ω′ &&&

şi se obţine astfel expresia finală

.kjikji zyxzyx ′ε′+′ε′+′ε′=′ω′+′ω′+′ω′=ε &&& (2.47)

Din relaţia (2.47) se determină proiecţiile vectorului ε pe axele reperului mobil )R( ′

.

k

ji

zz

yy

xx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ω′=′⋅ε=ε′

ω′=′⋅ε=ε′

ω′=′⋅ε=ε′

ε

&

&

&

(2.48)

2.1.3. Problemele cinematicii rigidului

Problemele fundamentale ale cinematicii rigidului sunt: – determinarea traiectoriei unui punct arbitrar P al rigidului; – determinarea vitezei punctului P; – determinarea acceleraţiei punctului P.

Se consideră cunoscute ecuaţiile de mişcare ale rigidului

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ=θ=

ϕ=ϕ=

ψ=ψ=

)t();t(zz)t();t(yy)t();t(xx

QQ

QQ

QQ

şi coordonatele z,y,x ′′′ ale punctului arbitrar )r(P ′ al rigidului în raport cu reperul mobil )R( ′ . Se cere să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului )r(P ′ la un moment t .

– 77 –

Determinarea traiectoriei punctului P După cum se observă din Fig. 2.13, între vectorii de poziţie

OPr = , QPr =′ şi OQrQ = se poate scrie relaţia

,rrr Q ′+= (2 49)

care reprezintă ecuaţia vectorială a traiectoriei punctului P.

Fig. 2.13

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului P se obţin prin transcrierea analitică a relaţiei (2.49)

,kzjyixkzjyixkzjyix QQQ ′′+′′+′′+++=++

după care se efectuează înmulţirea scalară a acestei expresii, pe rând, cu versorii k,j,i , ţinând cont şi de tabelul (2.4)

.

)t(zzyxzz

)t(yzyxyy

)t(xzyxxx

:P

zzyzxzQ

zyyyxyQ

zxyxxxQ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=α′+α′+α′+=

=α′+α′+α′+=

=α′+α′+α′+=

(2.50)

– 78 –

Funcţiile obţinute permit determinarea traiectoriei punctului

)r(P ′ , fie prin eliminarea parametrului t din relaţiile de mai sus şi obţinerea ecuaţiilor analitice a două suprafeţe, a căror intersecţie, curba )(Γ , reprezintă traiectoria punctului )r(P ′ , fie prin construirea pe cale grafică a curbei )(Γ cu ajutorul calculatorului.

Determinarea vitezei punctului P Conform relaţiei de definiţie a vitezei unui punct P, vectorul viteză v se obţine prin derivarea în raport cu timpul a ecuaţiei vectoriale (2.49)

( ) ,rrrrdtd

rv QQ ′+=′+== &&& (2.51)

unde

QQ vr =& (2.52)

şi

,r)kzjyix()k(z)j(y)i(x

kzjyix)kzjyix(dtd

r

′×ω=′′+′′+′′×ω=

=′×ω′+′×ω′+′×ω′=

=′′+′′+′′=′′+′′+′′=′ &&&&

(2.53)

Înlocuind relaţiile (2.52) şi (2.53) în (2.51), rezultă următoarea expresie vectorială a vitezei punctului P

,rvv Q ′×ω+= (2.54)

care conţine parametrii cinematici de ordinul I ( Qv şi ω ) şi are următoarele componente (Fig. 2.14):

– viteza de translaţie

;vv Qtr = (2.55)

– viteza de rotaţie

.rvrot ′×ω= (2.56)

– 79 –

Fig.2.14

Pentru a găsi proiecţiile vitezei pe axele reperului mobil )R( ′ , se transcrie analitic relaţia vectorială (2.54) sub forma

,zyx

kjikzjyixv zyxQQQ

′′′ω′ω′ω′′′′

+++= &&& (2.57)

după care se înmulţeşte scalar, pe rând, cu versorii k,j,i ′′′ , ţinând cont şi de tabelul (2.4) şi se obţin proiecţiile vitezei punctului P pe axele reperului mobil )R( ′

– 80 –

.

)xy(zyxkvv

)zx(zyxjvv

)yz(zyxivv

:v

yxzzQzyQzxQz

xzyzQyyQyxQy

zyxzQxyQxxQx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′ω′−′ω′+α+α+α=′⋅=′

′ω′−′ω′+α+α+α=′⋅=′

′ω′−′ω′+α+α+α=′⋅=′

&&&

&&&

&&&

(2.58)

Proiecţiile vitezei pe axele reperului fix (R) se obţin prin înmulţirea scalară a relaţiei (2.57), pe rând, cu versorii k,j,i ai reperului fix, ( )t(zkvv),t(yjvv),t(xivv zyx &&& =⋅==⋅==⋅= ), având în vedere tabelul (2.4)

.

)xy()zx()yz(zv

)xy()zx()yz(yv

)xy()zx()yz(xv

:v

zzyxyzxzxzzyQz

zyyxyyxzxyzyQy

zxyxyxxzxxzyQx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

α′ω′−′ω′+α′ω′−′ω′+α′ω′−′ω′+=

α′ω′−′ω′+α′ω′−′ω′+α′ω′−′ω′+=

α′ω′−′ω′+α′ω′−′ω′+α′ω′−′ω′+=

&

&

&

(2.59)

Se menţionează că expresiile obţinute în relaţiile (2.59) sunt identice cu expresiile obţinute prin derivarea în raport cu timpul a ecuaţiilor parametrice ale traiectoriei date de relaţiile (2.50). Mărimea (modulul) vitezei se calculează, fie cu proiecţiile pe axele mobile, date de relaţiile (2.58), fie cu proiecţiile pe axele fixe, date de relaţiile (2.59) sau obţinute din relaţiile (2.50)

.vvvvvvv 2z

2y

2x

2z

2y

2x ++=′+′+′= (2.60)

Mărimea v a vitezei nu depinde de orientarea în spaţiu a axelor în raport cu care sunt calculate proiecţiile respective. Determinarea acceleraţiei punctului P Vectorul acceleraţie a , se obţine prin derivarea în raport cu timpul a expresiei vectoriale (2.54) a vitezei, conform formulei de

– 81 –

definiţie a acceleraţei punctului, va &= , rezultând

,rrvva Q&&&& ′×ω+′×ω+== (2.61)

unde

).r(r;rr;av QQ ′×ω×ω=′×ω′×ε=′×ω= &&&

În baza relaţiilor de mai sus, expresia (2.61) a acceleraţiei punctului P capătă forma finală

).r(raa Q ′×ω×ω+′×ε+= (2.62)

Acceleraţia exprimată prin relaţia (2.62) conţine parametrii cinematici de ordinul II ( Qa şi ε ) şi are următoarele trei componente:

– acceleraţia de translaţie

Qtr aa = ; (2.63) – acceleraţia de rotaţie

;rarot ′×ε= (2.64)

– acceleraţia axipetă

.r)r(a n2

ax ′ω−=′×ω×ω= (2.65)

Expresia (2.65) a acceleraţiei axipete (sau centripetă) se obţine înlocuind vectorul de poziţie r′ prin cele două componente ortogonale, cr ′ (coliniară cu ω ) şi nr′ (normală pe ω ), nc rrr ′+′=′ şi apoi se dezvoltă produsul dublu vectorial

.rr)r(

)r()]rr([)r(a

n2

n2

n

nncax

′ω−=′ω−ω′⋅ω=

=′×ω×ω=′+′×ω×ω=′×ω×ω= (2.66)

Din relaţia (2.65) rezultă faptul că axa are direcţia normală la axa

– 82 –

instantanee de rotaţie (suportul vectorului ω ), cu sensul spre axa respectivă. În Fig. 2.15 sunt reprezentate cele trei componente ale acceleraţiei punctului )r(P ′

,aaaa axrottr ++= (2.67)

cu sensurile şi orientările stabilite în funcţie de parametrii cinematici ai mişcării rigidului.

Fig. 2.15

Determinarea acceleraţiei punctului P în aplicaţii, se face cu

ajutorul proiecţiilor sale, fie pe axele reperului fix Oxyz, fie pe axele reperului mobil zyxQ ′′′ . Este de preferat a se calcula proiecţiile acceleraţiei pe axele reperului mobil zyxQ ′′′ , deoarece faţă de acest reper sunt cunoscute şi constante coordonatele punctului P. Mai întâi, se scrie sub forma analitică, în reperul mobil )R( ′ ,

– 83 –

relaţia (2.62) a acceleraţiei, )r(raa Q ′×ω×ω+′×ε+= , cu

r)r()r( 2 ′ω−ω′⋅ω=′×ω×ω (2.68)

şi se obţine expresia

),kzjyix()kji)(zyx(

zyx

kjikajaiaa

2zyxzyx

zyxQzQyQx

′′+′′+′′ω−′ω′+′ω′+′ω′ω′′+ω′′+ω′′+

+′′′

ε′ε′ε′′′′

+′′+′′+′′=(2.69)

în care .2

z2

y2

x2 ω′+ω′+ω′=ω

Înmulţirea scalară, pe rând, cu versorii k,j,i ′′′ a relaţiei (2.69), permite determinarea proiecţiilor acceleraţiei pe axele reperului mobil

)R( ′ sub următoarea formă

,

z)zyx(xyaa

y)zyx(zxaa

x)zyx(yzaa

:a2

zzyxyxQzz

2yzyxxzQyy

2xzyxzyQxx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′ω−ω′ω′′+ω′′+ω′′+ε′′−ε′′+′=′

′ω−ω′ω′′+ω′′+ω′′+ε′′−ε′′+′=′

′ω−ω′ω′′+ω′′+ω′′+ε′′−ε′′+′=′

(2.70)

QzQyQx a,a,a ′′′ fiind date de relaţiile

.zyxkaa

;zyxjaa

;zyxiaa

zzQzyQzxQQQz

yzQyyQyxQQQy

xzQxyQxxQQQx

α+α+α=′⋅=′

α+α+α=′⋅=′

α+α+α=′⋅=′

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&

Prin înmulţirea scalară a expresiei (2.69), pe rând, cu versorii

k,j,i , se obţin proiecţiile acceleraţiei pe axele reperului fix (R), proiecţii care sunt identice cu cele obţinute prin derivarea în raport cu timpul a expresiilor (2.59)

– 84 –

.

)t(zkaa

)t(yjaa)t(xiaa

:a

z

y

x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅=

=⋅=

=⋅=

&&

&&

&&

(2.71)

Mărimea (modulul) acceleraţiei se determină folosind, fie

proiecţiile sale pe axele reperului fix (R), fie pe axele reperului )R( ′ ataşat rigidului

.aaaaaaa 2z

2y

2x

2z

2y

2x ′+′+′=++= (2.72)

2.1.4. Proprietăţi ale mişcării generale a rigidului

.1o Variaţia parametrilor cinematici de ordinul I la schimbarea polului

Se prezintă formulările a două teoreme referitoare la variaţia

parametrilor cinematici de ordinul I Ia schimbarea polului mobil în rigidul (S) [7, 9]:

Teorema I. Viteza de translaţie Qv a unui rigid se modifică Ia schimbarea polului invariabil legat de acesta (cu condiţia ca noul pol să nu fie situat pe suportul lui ω ce trece prin polul iniţial). Viteza de translaţie este un vector legat, depinde de poziţia polului.

Teorema II. Viteza unghiulară ω a unui rigid în mişcare nu

depinde de polul mobil ales în solid. Aceste teoreme se pot extinde şi Ia parametrii cinematici de

ordinul II.

.2o Invarianţii mişcării generale a unui rigid Invarianţii scalari ai mişcării generale a rigidului sunt mărimi

– 85 –

care nu se modifică Ia schimbarea polulul mobil în rigidul (S).

Primul invariant, notat 1I , este mărimea vectorului viteză unghiulară ω

.I1 ω= (2.73)

Al doilea invariant, notat 2I , este reprezentat de produsul scalar dintre viteza de translaţie Qv şi viteza unghiulară ω

Q2 vI ⋅ω= . (2.74)

Tot o mărime invariantă a mişcării este şi raportul dintre

invarianţii 2I şi 1I , raport notat 3I , care are semnificaţia de proiecţie a vitezei de translaţie Qv pe vectorul viteză unghiulară ω de versor

ωω

=ωi

.vprivv

II

I QQQ

1

23 ωω =⋅=

ω⋅ω

== (2.75)

La schimbarea poIului reperului mobil )R( ′ , invariabil ataşat de

rigid, viteza de translaţie se schimbă, însă proiecţia ei pe suportul vectorului ω este un invariant.

.3o Axa centrală a mişcării generale a unui rigid Axa centrală este o dreaptă )( CΔ , (Fig. 2.16), definită ca loc

geometric al punctelor C aparţinând reperului )R( ′ invariabil ataşat rigidului, ale căror viteze Cv au următoarele proprietăţi:

- sunt coliniare cu viteza unghiulară instantanee ω

ωω

⋅ω=

ωω

ω⋅ω

== ωω 2QQ

QCvv

i)vpr(v ;

- au modulul minim

– 86 –

.vv

vprv minQ

QC =ω

⋅ω== ω

Fig. 2.16

Dreapta )( CΔ este paralelă cu axa instantanee de rotaţie a rigidului, deci cu suportul vitezei unghiulare instantanee ω (Fig.2.16).

Ecuaţia vectorială a axei centrale în reperul )R( ′ are forma

,v

r 2Q

C ωλ+ω

×ω=′ (2.76)

iar în reperul fix (R) are următoarea formă

.v

rr 2Q

QC ωλ+ω

×ω+= (2.77)

)( CΔ

Cv

ω

v (S)

Q

Qr

O

x

z

y

ωQv

nCr ′

Cr ′ Cr C

nC

– 87 –

Pentru a urmări deducerea ecuaţiilor (2.76) şi (2.77), se

recomandă consultarea bibliografiei [9].

2.2. Cazuri particulare de mişcări ale rigidului

Numărul gradelor de libertate în mişcarea unui rigid este dat de numărul parametrilor de poziţie care variază independent în mişcarea rigidului respectiv. După cum s-a văzut, atunci când rigidul execută o mişcare generală, toţi cei 6 parametri de poziţie variază independent, rigidul având 6 grade de libertate

.6p =

Dacă unul sau mai mulţi parametri de poziţie ai rigidului se menţin constanţi în timpul mişcării, numărul gradelor de libertate este

,6p <

situaţie în care se spune că rigidul execută o mişcare particulară. În tehnică, menţinerea constantă a unor parametri de poziţie se realizează, fie prin aplicarea asupra rigidului a unui tip anume de solicitări, fie prin utilizarea unor mijloace tehnice speciale, (a unor piese speciale), numite cuple cinematice, care împiedică variaţia parametrilor de poziţie respectivi.

Dacă în timpul mişcării rigidul îşi păstrează o axa de direcţie fixă (de exemplu, zQ ′ ∥Oz), atunci parametrii de poziţie ai rigidului se reduc la cele trei coordonate ale polului Q, respectiv QQ y,x , Qz şi la unghiul de rotaţie proprie ϕ , )4p( = . Această clasă mai restrânsă de mişcări spaţiale, în care rigidul păstrează în permanenţă o axă de direcţie fixă include o serie de mişcări particulare, cum ar fi: mişcarea de translaţie, mişcarea de rotaţie în jurul unei axe fixe, mişcarea elicoidală şi mişcarea plan paralelă.

Dacă un punct din rigid este imobilizat şi acel punct este ales drept pol, OQ ≡ , atunci coordonatele lui vor fi nule şi parametrii de

– 88 –

poziţie se reduc numai la unghiurile lui Euler θϕΨ ,, , )3p( = , caz în care rigidul efectuează mişcarea particulară în jurul unui punct fix.

În continuare, se vor aplica noţiunile introduse în cadrul studiului cinematic al mişcării generale a rigidului, prezentat în paragraful anterior, la studiul următoarelor mişcări particulare întâlnite în aplicaţiile tehnice:

– mişcarea rigidului cu o axă de direcţie fixă;

– mişcarea de translaţie;

– mişcarea de rotaţie în jurul unei axe fixe;

– mişcarea elicoidală;

– mişcarea plan paralelă;

– mişcarea în jurul unui punct fix.

2.2.1. Cinematica mişcării rigidului cu o axă de direcţie fixă Se consideră un rigid (S) care execută o mişcare spaţială, astfel încât în tot timpul mişcării axa de rotaţie )(Δ a rigidului se deplasează paralel cu ea însăşi. În condiţiile în care axa de rotaţie este ,Qz′ paralelă la axa fixă Oz, va rezulta 0=θ , planele yxQ ′′ şi

∗∗yQx vor coincide, iar dreapta lor de intersecţie, respectiv linia nodurilor, este nedeterminată, fiind reprezentată prin axa ∗Qx ∥Ox, situaţie în care 0=ψ (Fig.2.17). Din cei şase parametri de poziţie variabili în timp, cunoscuţi de la mişcarea generală, în cazul acestei mişcări doar patru parametri sunt variabili în timp. În concluzie, în această mişcare particulară, poziţia reperului

)R( ′ faţă de reperul (R) este complet determinată dacă se cunosc patru parametri de poziţie adică

- coordonatele QQQ z,y,x ale polului Q faţă de reperul fix; - unghiul de rotaţie proprie ϕ .

– 89 –

Atunci când rigidul (S), deci şi reperul )R( ′ ataşat lui, se

deplasează în raport cu reperul fix (R), parametrii de poziţie ai lui, vor fi funcţii de timp

,4p,0);t(zz

)t();t(yy0);t(xx

QQ

QQ

QQ

≤⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=θ=

ϕ=ϕ=

=ψ=

(2.78)

considerate funcţii continue şi de cel puţin două ori derivabile în raport cu timpul. Relaţiile (2.78) reprezintă ecuaţiile parametrice ale mişcării rigidului cu o axă de direcţie fixă.

Fig. 2.17

z)( ′≡Δ

– 90 –

Tabelul cosinusurilor directoare are forma

i j k

i′ ϕcos ϕsin 0 j′ ϕ− sin ϕcos 0 k ′ 0 0 1

(2.79)

Parametrii cinematici de ordinul I

.0k

0kzjyixrv QQQQQ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠′ϕ=ω

≠++==

&

&&&& (2.80)

Parametrii cinematici de ordinul II

.

00

kkkk

00

kzjyixva QQQQQ

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧=≠

ω=′ω=ϕ=′ϕ=ω=ε

⎩⎨⎧=≠

++==

&&&&&&&

&&&&&&&

(2.81)

Determinarea traiectoriei punctului P Ecuaţia vectorială (2.49) a traiectoriei

,rrr Q ′+= se poate scrie sub următoarea forma analitică

.kzjyixkzjyixkzjyix QQQ ′′+′′+′′+++=++

Proiectând ecuaţia anterioară pe axele reperului fix, prin înmulţirea scalară a ei, pe rând, cu versorii k,j,i , ţinând seama şi de

– 91 –

tabelul de cosinusuri directoare (2.79), se obţin următoarele ecuaţii parametrice scalare ale traiectoriei punctului arbitrar P:

.)t(zzzz

)t(ycosysinxyy)t(xsinycosxxx

:P

Q

Q

Q

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′+=

=ϕ′+ϕ′+=

=ϕ′−ϕ′+=

(2.82)

Traiectoria punctului P se obţine conform procedeelor menţionate în subparagraful 2.1.3 al lucrării. Determinarea vitezei punctului P Viteza punctului P are expresia dată de relaţia (2.54)

.rvv Q ′×ω+=

În Fig. 2.17 s-au reprezentat cele două componente ale vitezei v a punctului arbitrar P:

– viteza de translaţie, Qtr vv = ; – viteza de rotaţie, rvrot ′×ω= .

Pentru a determina proiecţiile vitezei pe axele mobile, se transcrie analitic relaţia rvv Q ′×ω+= sub forma

,zyx

00kji

kzjyixv QQQ

′′′ϕ

′′′

+++= &&&& (2.83)

după care, relaţia (2.83) se înmulţeşte scalar, pe rând, cu versorii

k,j,i ′′′ , ţinând seama şi de tabelul de cosinusuri directoare (2.79). Se obţin astfel următoarele expresii ale proiecţiilor vectorului v pe axele mobile:

– 92 –

.

zkvv

xcosysinxjvv

ysinycosxivv

:v

Qz

QQy

QQx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′⋅=′

′ϕ+ϕ+ϕ−=′⋅=′

′ϕ−ϕ+ϕ=′⋅=′

&

&&&

&&&

(2.84)

Expresiile obţinute permit determinarea modulului vitezei

punctului P cu formula 2z

2y

2x vvvv ′+′+′= .

Determinarea acceleraţiei punctului P În această mişcare particulară, acceleraţia punctului P îsi

păstrează forma cunoscută de la mişcarea generala a rigidului, adică

),r(raa Q ′×ω×ω+′×ε+=

cu precizarea că vectorii ω şi ε au expresiile corespunzătoare mişcării rigidului cu axă de direcţie fixă, respectiv kk ′ϕ=ϕ=ω && şi

kk ′ϕ=ϕ=ε &&&& . În figurile 2.17 şi 2.18 s-au reprezentat componentele

vectorului acceleraţie instantanee a , pentru punctul arbitrar P din rigid, adică:

– acceleraţia de translaţie, Qtr aa = ; – acceleraţia de rotaţie, rarot ′×ε= ; – acceleraţia axipetă, n

2ax r)r(a ′ω−=′×ω×ω= .

În ambele figuri, vectorul viteză unghiulară ω , indică acelaşi sens de rotaţie pentru rigidul (S). În Fig. 2.17, rigidul are o mişcare de rotaţie accelerată deoarece acceleraţia unghiulară ε are acelaşi sens cu viteza unghiu-lară ω ; componentele la rotaţie, ale vitezei şi acceleraţiei punctului P, respectiv, rotv şi rarot ′×ε= , sunt coliniare şi au acelaşi sens.

În Fig. 2.18, rigidul are o mişcare de rotaţie încetinită deoare-ce acceleraţia unghiulară ε are sens contrar vitezei unghiulare ω ;

– 93 –

componentele rvrot ′×ω= şi rarot ′×ε= , ale vitezei, respectiv acceleraţiei punctului P, sunt coliniare şi au sensuri contrare.

Fig. 2.18 Dacă rigidul are o mişcare de rotaţie uniformă, atunci acceleraţia unghiulară ε şi, implicit, acceleraţia de rotaţie rota a punctului P, sunt nule. În aplicaţii, pentru calculul acceleraţiei a a punctului P se folosesc proiecţiile acceleraţiei, fie pe axele reperului mobil, fie pe axele reperului fix. De exemplu, pentru a determina proiecţiile acceleraţiei pe axele reperului mobil )R( ′ , se procedează astfel: – Se pleacă de la relaţia )r(raa Q ′×ω×ω+′×ε+= , care în baza observaţiei că rotvr =′×ω , se mai poate scrie sub forma

,vraa rotQ ×ω+′×ε+= (2.85)

– 94 –

cu

,jxiyzyx

00kji

rvrot ′′ϕ+′′ϕ−=′′′ϕ

′′′

=′×ω= &&&

– Se scrie sub formă analitică, în reperul mobil )R( ′ , relaţia

rotQ vraa ×ω+′×ε+=

.jyixjxiykajaia

0xy00

kji

zyx00

kjikajaiaa

22QzQyQx

QzQyQx

′′ϕ−′′ϕ−′′ϕ+′′ϕ−′′+′′+′′=

=′ϕ′ϕ−

ϕ

′′′

+′′′ϕ

′′′

+′′+′′+′′=

&&&&&&

&&

&&& (2.86)

– Se înmulţeşte scalar relaţia (2.86), pe rând, cu versorii

k,j,i ′′′ şi se obţin proiecţiile acceleraţiei pe axele reperului mobil sub forma

,

akaa

yxajaa

xyaiaa

:a

Qzz

2Qyy

2Qxx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′=′⋅=′

′ϕ−′ϕ+′=′⋅=′

′ϕ−′ϕ−′=′⋅=′

&&&

&&&

(2.87)

în care, ţinând seama de tabelul de cosinusuri directoare (2.79)

QzQyQx a,a,a ′′′ , sunt date de relaţiile

.zk)kzjyix(kaa

;cosysinxj)kzjyix(jaa

;sinycosxi)kzjyix(iaa

QQQQQQz

QQQQQQQy

QQQQQQQx

&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

=′⋅++=′⋅=′

ϕ+ϕ−=′⋅++=′⋅=′

ϕ+ϕ=′⋅++=′⋅=′

(2.88)

Având în vedere relaţiile (2.88), proiecţiile acceleraţiei pe axele reperului mobil, capătă forma finală

– 95 –

.

zaa

yxcosysinxyxaa

xysinycosxxyaa

:a

QQzz

2QQ

2Qyy

2QQ

2Qxx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′=′

′ϕ−′ϕ+ϕ+ϕ−=′ϕ−′ϕ+′=′

′ϕ−′ϕ−ϕ+ϕ=′ϕ−′ϕ−′=′

&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

(2.89)

Observaţie: Din relaţiile (2.84) şi (2.89) se observă faptul că

proiecţiile vitezei şi acceleraţiei pe axele mobile nu conţin cota z′ a punctului P; rezultă că toate punctele rigidului situate pe o dreaptă paralelă la direcţia fixă au aceeaşi viteză şi aceeaşi acceleraţie. Invarianţii mişcării rigidului

Primul invariant al mişcării este modulul (mărimea)

vectorului viteză unghiulară ω : .I1 ω= Al doilea invariant al mişcării este reprezentat prin produsul

scalar dintre viteza de translaţie Qv şi viteza unghiulară ω : .vI Q2 ⋅ω=

Raportul dintre invarianţii 2I şi 1I este deasemeni invariant al

mişcării: .vprivvv

II

I QQQQ

1

23 ωω =⋅=

ωω

⋅=ω⋅ω

==

Invariantul 3I are semnificaţia de proiecţie a vitezei de translaţie Qv pe vectorul viteză unghiulară ω de versor ωi , Fig. 2.19.

Fig. 2.19

z′

)S(

Q

ω

Qv Qvprω ω

ω=ωi

– 96 –

Axa centrală a mişcării rigidului

Axa centrală a mişcării unui rigid cu axă de direcţie fixă este definită ca fiind locul geometric al punctelor C aparţinând reperului mobil )R( ′ , ale căror viteze Cv sunt coliniare cu vectorul viteză unghiulară ω şi au modulul minim:

.vv

vprv

;vv

i)vpr(v

minQ

QC

2QQ

QC

=ω

⋅ω==

ωω

⋅ω=

ωω

ω⋅ω

==

ω

ωω

(2.90)

Pentru a stabili ecuaţia axei centrale a mişcării se

descompune vectorul viteză de translaţie Qv în două componente ortogonale, una coliniară cu vectorul ω , notată Qcv , iar alta normală la ω si notată Qnv , Fig. 2.20, deci

.vvv QnQcQ +=

Componenta Qcv este invariantă la schimbarea polului, deci numai componenta Qnv variază la trecerea de la un pol mobil la altul. Se pune problema determinării punctelor C, de vector de poziţie CrQC ′= , a căror viteză Cv să aibă componenta normală la vectorul ω egală cu zero, adică

.vv QcC = (2.91)

Pentru deducerea ecuaţia axei centrale se pleacă de la condiţia de coliniaritate a vitezei Cv cu vectorul ω , (Fig. 2.20)

.0vC =×ω (2.92)

În baza relaţiei ,rvv Q ′×ω+= se poate scrie expresia vitezei punctului C

,rvv CQC ′×ω+= (2.93)

– 97 –

astfel condiţia de coliniaritate (2.92) devine

.0)rv( CQ =′×ω+×ω (2.94)

Fig. 11

Fig. 2.20

Efectuând calculele în relaţia (2.94) rezultă

.0r)r(v)r(v C2

CQCQ =′ω−ω′⋅ω+×ω=′×ω×ω+×ω (2.95)

Din relaţia precedentă se determină Cr ′ , de forma

,v

r 2Q

C ωλ+ω

×ω=′ (2.96)

)( CΔ

ω

Qr

QcC vv = O

z′

)S(

Q

ω

QvQcv

Qnv

C

Cr′

Cr

axa centrală

Cnr ′ nC

– 98 –

unde λ este scalarul arbitrar

.R,r2C ∈λ

ω

′⋅ω=λ (2.97)

Ecuaţia vectorială (2.96) arată că locul geometric al punctelor C, care au vitezele Cv coliniare cu ω , este o dreaptă )( CΔ , care trece prin punctul nC , determinat faţă de reperul mobil, zyxQ ′′′ , prin vectorul de poziţie

2Q

Cv

rn ω

×ω=′ (2.98)

şi este paralelă cu suportul vectorului ω , Fig. 2.20. Dreapta determinată prin relaţia (2.96) reprezintă ecuaţia vectorială a axei centrale în reperul mobil )R( ′ a mişcării rigidului. În baza Fig. 2.20 se poate scrie ecuaţia vectorială a axei centrale în reperul fix (R) sub forma

.rrr CQC ′+= (2.99)

Înlocuind în expresia (2.99) pe Cr′ dat de relaţia (2.96), se obţine următoarea formă finală a ecuaţiei vectoriale a axei centrale în reperul fix

.v

rr 2Q

QC ωλ+ω

×ω+= (2.100)

Viteza minimă, corespunzătoare punctelor C situate pe axa centrală, va avea valoarea scalară, raportată la versorul kk ′≡ , de forma

,zk)kzjyix(kv

vv

i)vpr(vv

QQQQQ

QQ

QCmin

&&&& =⋅++=⋅=

=ωω

=ω⋅ω

=== ωω (2.101)

deci

.zv Qmin &= (2.102)

– 99 –

Polul acceleraţiilor în mişcarea rigidului cu axă de direcţie fixă

Întrucât în rigidul (S) aflat în mişcare şi având o axă de direcţie fixă au fost găsite puncte cu viteze de modul minim, s-a pus problema determinării punctelor a căror acceleraţie să aibă modulul minim, egală chiar cu zero.

Condiţia de existenţă a unui asemenea punct J, numit polul acceleraţiilor, a cărui acceleraţie Ja să fie egală cu zero, se exprimă prin următoarea relaţie vectorială:

.0)r(raa JJQJ =′×ω×ω+′×ε+= (2.103) Se scrie relaţia (2.103) sub forma

,0r)r(raa J2

JJQJ =′ω−ω′⋅ω+′×ε+= (2.104) după care, relaţia (2.104) se transcrie analitic în reperul )R( ′ şi se obţine

.0)kzjyix(k)z(

zyx00

kjikajaiaa

JJJ2

JJJ

QzQyQxJ

=′′+′′+′′ϕ−′ϕ′ϕ+

+′′′ϕ

′′′

+′′+′′+′′=

&&&

&&

(2.105)

Pentru a obţine sistemul de ecuaţii scalare de proiecţie pe

axele reperului mobil )R( ′ a relaţiei (2.105), aceasta se va înmulţi scalar, pe rând, cu versorii k,j,i ′′′ ai axelor mobile rezultând următo-rul sistem de ecuaţii algebrice, liniare, cu JJ y,x ′′ şi Jz′ necunoscute

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==′

=′ϕ−′ϕ+′

=′ϕ−′ϕ−′

.0za

;0yxa

;0xya

QQz

J2

JQy

J2

JQx

&&

&&&

&&&

(2.106)

Ultima ecuaţie din (2.106) este verificată numai atunci când

– 100 –

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

=≠

==′ ,00

.constzv QQz & (2.107)

ceea ce înseamnă că mişcarea de translaţie a rigidului în direcţia axei care păstrează orientarea fixă, trebuie să fie uniformă sau nulă.

Rezolvând sistemul (2.106), se determină coordonatele polului J, în reperul mobil zyxQ ′′′ :

.z

;aa

y

;aa

x

J

24Qy

2Qx

J

24QyQx

2

J

λ=′ϕ+ϕ

′ϕ+′ϕ=′

ϕ+ϕ

′ϕ−′ϕ=′

&&&

&&&

&&&

&&&

(2.108)

Deoarece λ este arbitrar, locul geometric al punctelor J este o

dreaptă paralelă la direcţia fixă Oz, numită axa instantanee a acceleraţiilor.

2.2.2. Mişcarea de translaţie a rigidului

Un rigid are o mişcare de translaţie dacă orice segment care uneşte două puncte din corp rămâne în tot timpul mişcării paralel cu el însuşi. Exemple: mişcarea acului şi a tijei acului Ia o maşină de cusut, mişcarea băncii fuselor Ia flaier, mişcarea băncii inelelor Ia maşina de filat. Rezultă că axele reperului mobil Iegat invariabil de solid vor rămâne paralele cu ele însele în tot timpul mişcării; aceasta înseamnă că unghiurile dintre axele reperului mobil şi axele reperului fix sunt constante, în particular zero, (Fig. 2.21).

Parametrii de pozitie Fie rigidul (S) în mişcare de translaţie faţă de reperul fix

Oxyz)R( ≡ . De rigidul (S) se leagă solidar reperul mobil ≡′)R( zyxQ ′′′≡ , Q fiind un punct din rigid a cărui mişcare este cunoscută,

– 101 –

(Fig. 2.21). Axele reperului )R( ′ vor rămâne paralele cu ele însele tot timpul mişcării, în particular paralele cu poziţia avută la momentul iniţial, deci versorii k,j,i ′′′ ai axelor sunt constanţi. Cea mai convenabilă alegere a axelor reperului mobil, este aceea corespun-zătoare cazului când ele sunt paralele la axele reperului fix, rezultând trei parametri de poziţie şi anume coordonatele QQQ z,y,x ale polului mobil Q.

Fig. 2.21

Ecuaţiile parametrice ale mişcării de translaţie au forma

.3p,0);t(zz0);t(yy0);t(xx

QQ

QQ

QQ

≤⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=θ=

=ϕ=

=ψ=

(2.109)

– 102 –

Rezultă că Ia translaţia spaţială variază 3 parametri, cele 3

coordonate ale polului Q , deci solidul (S) are 3 grade de libertate. La o translaţie plană variază doi parametri (2 coordonate ale polului Q ) şi solidul (S) are 2 grade de libertate, iar Ia o translatie rectilinie variază doar un singur parametru (o coordonată a polului Q) şi solidul (S) are un grad de libertate.

Tabelul cosinusurilor directoare are forma

i j k

i′ 1 0 0 j′ 0 1 0 k ′ 0 0 1

(2.110)

Parametrii cinematici de ordinul I

.0

0kzjyixrv QQQQQ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ω

≠++== &&&& (2.111)

Mişcarea de translaţie este caracterizată prin vectorul 0=ω .

Parametrii cinematici de ordinul II

.

0

00

kzjyixva QQQQQ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=ε⎩⎨⎧=≠

++== &&&&&&& (2.112)

Acceleraţia Qa , a polului Q, poate fi egală cu zero numai dacă

translaţia este rectilinie şi uniformă. Mişcarea de translaţie a unui rigid poate fi accelerată, înceti-nită sau uniformă, după cum unghiul format de vctorii Qa şi Qv este ascuţit, obtuz, respectiv drept.

– 103 –

Determinarea traiectoriei punctului P

Ecuaţia vectorială parametrică a traiectoriei are forma stabilită pentru mişcarea generală, adică

rrr Q ′+= . (2.113)

În cazul mişcării de translaţie, vectorul de poziţie r ′ este constant, având în timpul mişcării mărimea constantă şi orientarea fixă în spaţiu, prin urmare se deplasează paralel cu el însuşi.

Rezultă că traiectoria punctului arbitrar P, se obţine din traiectoria polului Q printr-o translaţie geometrică de vector

.constr =′ , adică traiectoriile tuturor punctelor rigidului sunt curbe identice ca formă.

Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului )r(P ′ , obţinute prin proiectarea pe axele reperului fix a ecuaţiei vectoriale rrr Q ′+= , cu kzjyixr QQQQ ++= şi ,kzjyixr ′′+′′+′′=′ au formele

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

′+=

′+=

′+=

.zzzyyyxxx

:P

Q

Q

Q

(2.114)

Din Fig. 2.21 se observă că traiectoria punctului P are aceeaşi formă ca şi traiectoria punctului Q, polul axelor mobile.

Determinarea vitezei punctului P

Deoarece la mişcarea de translaţie 0=ω , din expresia vitezei ,rvv Q ′×ω+= stabilită în cadrul mişcării rigidului cu axă de direcţie

fixă, rămâne doar primul termen, respectiv

.vv Q= (2.115) Proiecţiile vitezei pe axele celor două repere vor fi egale

.

zvvvv

yvvvvxvvvv

:v

QQzQzzz

QQyQyyy

QQxQxxx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′==′=

=′==′=

=′==′=

&

&

&

(2.116)

– 104 –

În mişcarea de translaţie, toate punctele rigidului au viteze

egale între ele (Fig. 2.21). Determinarea acceleraţiei punctului P Ţinând seama de condiţiile cinematice ale mişcarii de

translaţie, adică 0=ω , 0=ε , din formula acceleraţiei instantanee ),r(raa Q ′×ω×ω+′×ε+= rămâne doar primul termen, acceleraţia

punctului P al rigidului (S) având forma

,aa Q= (2.117)

cu următoarele proiecţii pe axe

.

zaaaa

yaaaaxaaaa

:a

QQzQzzz

QQyQyyy

QQxQxxx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′==′=

=′==′=

=′==′=

&&

&&

&&

(2.118)

În mişcarea de translaţie toate punctele rigidului (S) au

aceeaşi acceleraţie (Fig. 2.21). Concluzie

În mişcarea de translaţie a unui rigid, toate punctele lui descriu traiectorii identice ca formă cu cea a polului Q, dar translate faţă de aceasta cu vectorii constanţi QPr =′ , (Fig. 2.21), cu evoluţii identice în timp ale vitezelor şi acceleraţiilor lor. Pentru studiul mişcării de translaţie a unui rigid (S) este suficient să se studieze mişcarea unui singur punct din rigid.

Axa centrală

Întrucât în mişcarea de translaţie a solidului rigid, 0≡ω şi 0≡ε , noţiunea de axă centrală a mişcării nu are sens.

– 105 –

2.2.3. Mişcarea de rotaţie a rigidului în jurul unei axe fixe Un rigid (S) execută o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe,

dacă în tot timpul mişcării două din punctele sale sunt fixe (Fig. 2.22). Această mişcare se realizează cu ajutorul unor cuple cinematice numite lagăre cilindrice (Lc), în cazul când forţele care acţionează asupra corpului sunt perpendiculare pe axa de rotaţie, situate în spaţiu sau într-un plan şi lagăre pivot (Lp), în cazul unor forţe axiale sau atunci când axa de rotaţie are poziţie verticală.

Fig. 2.22

– 106 –

În cazul acestei mişcări, axa de rotaţie )(Δ este fixă şi în rigid

şi în spaţiu, deci se va putea alege unul dintre cele două puncte de imobilizare ale ei – în mod obişnuit centrul 1C al lagărului pivot –, ca origine Q a reperului mobil )R( ′ , iar axa de rotaţie )(Δ ca axă zQ ′ a acestui reper. Reperul fix se alege cu originea O tot în centrul 1C al lagărului pivot, OQC1 ≡≡ şi axa Oz după axa de rotaţie )(Δ , Fig. 2.22, deci .zQOz)( ′≡≡Δ

Prin alegerea celor două repere, )R( ′ şi (R), aşa cum s-a precizat mai sus, cinci din cei şase parametri de poziţie vor fi egali cu zero şi anume 0,0z,0y,0x QQQ =ψ=== şi 0=θ .

Parametrii de poziţie În această mişcare particulară este un singur parametru de

poziţie, reprezentat prin unghiul de rotaţie ϕ , deci rigidul (S) are un grad de libertate, 1p =

Ecuaţia parametrică a mişcării de rotaţie a rigidului în jurul

unei axe fixe )(Δ este de forma

).t(ϕ=ϕ (2.119)

Tabelul cosinusurilor directoare ale axelor reperului mobil )R( ′ în raport cu axele reperului fix (R) are forma particulară:

i j k

i′ ϕcos ϕsin 0 j′ ϕ− sin ϕcos 0 k ′ 0 0 1

(2.120)

Parametrii cinematici de ordinul I

.0kk

0rv QQ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠ϕ=′ϕ=ω

==

&&

& (2.121)

– 107 –

Vectorul viteză unghiulară ω are direcţia axei de rotaţie, este

perpendicular pe planul unghiului ϕ şi indică sensul de rotaţie al rigidului (S) (Fig. 2.22).

Parametrii cinematici de ordinul II

.00

kkkk

0va QQ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧=≠

ω=′ω=ϕ=′ϕ=ω=ε

==

&&&&&&&

&

(2.122)

Vectorul acceleraţie unghiulară ε , este coliniar cu vectorul

viteză unghiulară ω (Fig. 2.22) şi indică caracterul mişcării: dacă are aceIaşi sens cu ω mişcarea este accelerată, dacă are sens contrar cu ω mişcarea este încetinită, iar dacă este nul, rigidul execută o mişcare de rotaţie uniformă.

Determinarea traiectoriei punctului P Fie P un punct oarecare al rigidului (S), al cărui vector de

poziţie faţă de polul Q al reperului )R( ′ , este dat de relaţia kzjyixr ′′+′′+′′=′ .

În cazul acestei mişcări, traiectoria punctului P este cunos-cută, fiind reprezentată prin cercul )(Γ situat într-un plan normal la axa de rotaţie )(Δ , având centrul C pe axă şi cu raza egală cu distanţa de la punctul P la axă )RPC( = . Deşi traiectoria este cunoscută, se vor stabili ecuaţiile parametrice ale ei, deoarece în diverse probleme se cere să se precizeze poziţia punctului pe traiectorie, într-un moment oarecare t.

Ecuaţia vectorială a traiectoriei punctului P, are forma

,rr ′= (2.123)

cu următoarea transcriere analitică

,kzjyixkzjyix ′′+′′+′′=++ (2.124)

– 108 –

căreia îi corespund următoarele ecuaţii parametrice, obţinute prin înmulţirea scalară a ei, pe rând, cu versorii k,j,i ai axelor reperului fix (R) şi ţinând seama de tabelul cosinusurilor directoare

.zz

cosysinxysinycosxx

:P⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′=ϕ′+ϕ′=ϕ′−ϕ′=

(2.125)

Deoarece distanţa de la punctul P la axa de rotaţie, adică raza

R are valoarea

),k,rsin(ryxRCP 22 ′′=′+′== prin eliminarea parametrului ϕ între ecuaţiile parametrice (2.125), prin ridicarea la pătrat a primelor două ecuaţii apoi adunarea lor membru cu membru, se obţine traiectoria punctului P, sub forma

.zz

Ryx:)(222

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′==+

Γ (2.126)

Din relaţia (2.126) se constată că traiectoria punctului P este un cerc de rază R, notat )(Γ , (Fig. 2.22), având centrul pe axa de rotaţie )(Δ şi planul normal pe axă, cerc obţinut prin intersecţia

cilindrului 222 Ryx =+ cu planul .constzz =′=

Rezultă că, în mişcarea de rotaţie a unui rigid în jurul unei axe fixe, toate punctele sale descriu astfel de cercuri, situate în plane perpendiculare pe axa de rotaţie, cu centrul pe această axă de rotaţie, razele cercurilor fiind egale cu distanţele punctelor respective la axa de rotaţie.

Determinarea vitezei punctului P În această mişcare particulară, 0vQ ≡ şi ca urmare, din

relaţia vitezei unui punct )r(P ′ al unui rigid, stabilită în cadrul mişcării generale, va rezulta următoarea expresie pentru viteza punctului P

– 109 –

,rvv rot ′×ω== (2.127)

de mărime

.RR)r,sin(rrv ϕ=ω=′ω′ω=′×ω= & (2.128)

Expresia analitică a vitezei punctului P are forma

.jxiyzyx

00kji

rv ′′ϕ+′′ϕ−=′′′ϕ

′′′

=′×ω= &&&

&

(2.129)

Proiecţiile vitezei pe axele fixe se obţin înmulţind scalar, pe

rând, expresia (2.129) cu versorii j,i şi k , ţinând seama de tabelul de cosinusuri directoare (2.120)

.

0kvv

cosxsinyjvvsinxcosyivv

:v

z

y

x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅=

ϕ′ϕ+ϕ′ϕ−=⋅=

ϕ′ϕ−ϕ′ϕ−=⋅=

&

&&

(2.130)

Proiecţiile vitezei pe axele mobile se obţin înmulţind scalar, pe

rând, expresia (2.130) cu versorii j,i ′′ şi k ′

.

0kvv

xjvvyivv

:v

z

y

x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′⋅=′

′ϕ=′⋅=′

′ϕ−=′⋅=′

&

&

(2.131)

Mărimea vitezei este dată de relaţia

.Rvvvvv 2y

2x

2y

2x ω=′+′=+= (2.132)

Concluzii • Din relaţia (2.129) rezultă că viteza unui punct arbitrar nu

depinde de coordonata z′ ;

– 110 –

• Din relaţia (2.127) rezultă că vectorul viteză al unui punct

arbitrar P este perpendicular pe axa de rotaţie. Observaţie: Punctele situate pe o paralelă Ia axa de rotaţie au

vitezele egale între ele, dar situate în plane diferite.

Problema punctelor de viteză minimă: examinând relaţia (2.128) în care 0≠ω , rezultă că viteza este egală cu zero, deci este minimă 0vmin = , doar atunci când raza 0R = , ceea ce arată că punctele cu viteză minimă se află pe axa de rotaţie.

Determinarea acceleraţiei punctului P Întrucât la mişcarea de rotaţie a rigidului în jurul unei axe fixe

)(Δ , sunt îndeplinite condiţiile cinematice 0a,0v QQ ≡≡ , expresia generală a acceleraţiei unui punct P, va avea forma

,aa)r(ra axrot +=′×ω×ω+′×ε= (2.133)

cu

.RRR

)v,sin(vv)r(a

;RR)r,sin(rra

22

ax

rot

ϕ=ω=ωω=

=ωω=×ω=′×ω×ω=

ϕ=ε=′ε′ε=′×ε=

&

&&

(2.134)

Acceleraţia de rotaţie rota este perpendiculară pe planul determinat de vectorii ε şi r ′ şi are direcţia tangentei Ia traiectorie, fiind coliniară cu viteza v ; dacă are aceIaşi sens cu vectorul v , mişcarea de rotaţie este accelerată, în caz contrar, este încetinită, iar Ia o rotaţie uniformă, acceleraţia de rotaţie este nulă.

Acceleraţia axipetă axa este conţinută în planul determinat de vectorii ω şi r ′ , este perpendiculară pe viteza v şi are direcţia razei traiectoriei, cu sensul spre axa de rotaţie.

Modulul acceleraţiei se determină având în vedere mărimile celor două componente date de relaţiile (2.134), în baza condiţiei de ortogonalitate a acestora

.RRaaa 42422ax

2rot ϕ+ϕ=ω+ε=+= &&& (2.135)

– 111 –

Expresia analitică Mai întâi, se exprimă analitic vectorii rota şi axa care apar în

relaţia vectorială (2.133), sub forma

),jyix()kzjyix(k)z(

r)r()r(a

;jxiyzyx

00kji

ra

22

2ax

rot

′′+′′ϕ−=′′+′′+′′ϕ−′ϕϕ′=

=′ω−ω′⋅ω=′×ω×ω=

′′ϕ+′′ϕ−=′′′ϕ

′′′

=′×ε=

&&&&

&&&&&&

(2.136)

rezultând astfel expresia analitică a acceleraţiei în reperul mobil

.j)yx(i)xy(a 22 ′′ϕ−′ϕ+′ϕ′+′ϕ−= &&&&&& (2.137)

Proiecţiile acceleraţiei pe axele reperului mobil )R( ′ se obţin

înmulţind relaţia (2.137) scalar, pe rând, cu versorii k,j,i ′′′ ai axelor reperului mobil, rezultând următoarele expresii

.

0kaa

yxjaa

xyiaa

:a

z

2y

2x

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′⋅=′

′ϕ−′ϕ=′⋅=′

′ϕ−′ϕ−=′⋅=′

&&&

&&&

(2.138)

Mărimea acceleraţiei se calculează cu ajutorul acestor pro-iecţii şi se obţine valoarea

.R))(yx(

)yx()yx(

)yx()xy(aaa

424222

224222

22222y

2x

ω+ε=ϕ+ϕ′+′=

=′+′ϕ+′+′ϕ=

=′ϕ−′ϕ+′ϕ+′ϕ=′+′=

&&&

&&&

&&&&&&

(2.139)

– 112 –

Concluzii • Acceleraţia unui punct arbitrar nu depinde de coordonata z′ ,

deci punctele situate pe o paralelă Ia axa de rotaţie au acceleraţii egale între ele, situate în plane diferite.

• Acceleraţia unui punct arbitrar este perpendiculară pe axa de rotaţie, Oz Qz .′≡

Axa centrală a mişcării În această mişcare particulară în care 0v,0r QQ ≡≡ , ecuaţiile vectoriale ale axei centrale, faţă de cele două repere (R) şi )R( ′ , ecuaţii stabilite în cadrul mişcării rigidului cu axă de direcţie fixă, iau formele particulare

,rr CC ωλ=′= (2.140)

din care se desprinde concluzia că axa centrală, în cazul mişcării de rotaţie a rigidului în jurul unei axe fixe )(Δ , va coincide chiar cu axa de rotaţie, această axă fiind locul geometric al punctelor C de viteză egală cu zero, aşa după cum rezultă din relaţia

.0v

vv QminC =

ω

ω⋅== (2.141)

Problema punctelor de acceleraţie minimă

Examinând relaţia (2.139), 0Ra 42 =ϕ+ϕ= &&& , în care cel puţin 0≠ϕ& , se constată că acceleraţia unui punct poate fi egală cu zero numai atunci când este satisfăcută condiţia 0R = ; ca urmare, punctele de acceleraţie minimă, 0amin = , trebuie să fie situate pe axa de rotaţie fixă )(Δ .

– 113 –

Cazuri particulare ale mişcării de rotaţie a rigidului în jurul unei axe fixe

a). Mişcarea de rotaţie uniform variată Această mişcare corespunde următoarei ecuaţii parametrice

,t21

t 2000 ε+ω+ϕ=ϕ (2.142)

în care 000 ,, εωϕ sunt constante cu semnificaţia fizică de valori iniţiale ale mărimilor ωϕ, şi ε . Caracterul acestei mişcări se va stabili funcţie de semnul produsului 00εω , întâlnindu-se următoarele situaţii:

– mişcarea de rotaţie uniform accelerată cu viteză unghiulară iniţială caracterizată prin condiţia 000 >εω ;

– mişcarea de rotaţie uniform încetinită, dacă 000 <εω ; – mişcarea de rotaţie uniform accelerată fără viteză unghiulară

iniţială caracterizată prin condiţia 0,0 00 ≠ε=ω ; – mişcarea de rotaţie uniformă, în condiţiile 0,0 00 =ε≠ω , cu

ecuaţia parametrică a mişcării de forma

.t00 ω+ϕ=ϕ (2.143)

În cazul mişcărilor de rotaţie uniformă, în tehnică, în locul vitezei unghiulare se foloseşte noţiunea de turaţie, care reprezintă numărul ”n” de rotaţii complete efectuate de rigidul (S) în timp de un minut. Din relaţia (2.142), pentru s60t);rad(n2;0 oo =π=ϕ−ϕ=ε , rezultă relaţia între viteza unghiulară şi turaţia rigidului

).s(30

n 10

−π=ω (2.144)

b). Mişcarea de rotaţie oscilatorie armonică

Ecuaţia parametrică a acestei mişcări, are forma

– 114 –

),ktsin( α+Φ=ϕ (2.145)

cu αΦ ,k, , reprezentând constante care poartă numele de amplitu-dine, pulsaţie, respectiv fază iniţială. Parametrii cinematici ai acestei mişcări au expresiile

.kkk)ktsin(kk

;k)ktcos(kk22 ′ϕ−=′α+Φ−=′ϕ=ε

′α+Φ=′ϕ=ω

&&

& (2.146)

2.2.4. Mişcarea elicoidală a rigidului Un rigid execută o mişcare elicoidală, dacă două din punctele

sale rămân pe o dreaptă fixă tot timpul mişcării. Aceasta înseamnă că rigidul execută o translaţie în lungul unei axe fixe şi o rotaţie în jurul aceleeaşi axe. Mişcarea elicoidală se mai numeşte mişcare de roto-translaţie, iar axa se numeşte axa mişcării elicoidale sau axa de rototranslaţie. Exemple de mişcări elicoidale: mişcarea de şurub, mişcarea fuselor Ia flaier, etc. În aplicaţiile practice mişcarea elicoidală se poate realiza prin ansamblul şurub-piuliţă.

Pentru efectuarea studiului mişcării rigidului (S) din Fig. 2.23, se aleg reperele Oxyz)R( ≡ şi zyxQ)R( ′′′≡′ astfel încât originile lor O şi Q să fie situate pe axa .zQOz)( ′≡≡Δ

Parametrii de poziţie Prin modul de alegere a celor două repere, parametrii de

poziţie ψ,y,x QQ şi θ vor fi egali cu zero, deci poziţia rigidului la un moment dat este determinată prin doi parametri scalari, în general independenţi şi anume Qz şi )2p(, =ϕ .

Ecuaţiile parametrice ale mişcării elicoidale a rigidului sunt

.2p,)t(zz

)t(

QQ≤

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=ϕ=ϕ

(2.147)

– 115 –

Rigidul care execută o mişcare elicoidală are 2 grade de libertate.

Fig. 2.23 Tabelul cosinusurilor directoare ale axelor reperului mobil

)R( ′ în raport cu axele reperului fix (R) are forma particulară:

i j k

i′ ϕcos ϕsin 0 j′ ϕ− sin ϕcos 0 k ′ 0 0 1

(2.148)

zz)( ′≡≡Δ

– 116 –

Parametrii cinematici de ordinul I au expresiile

,0kk

0kzrv QQQ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠ϕ=′ϕ=ω

≠==

&&

&& (2.149)

ceea ce evidenţiază faptul că vectorii Qv şi ω sunt coliniari.

Parametrii cinematici de ordinul II au forma

,

00

kkkk

00

kzva QQQ

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧=≠

ω=′ω=ϕ=′ϕ=ω=ε

⎩⎨⎧=≠

==

&&&&&&&

&&&

(2.150)

de unde se observă că vectorii Qa şi ε sunt coliniari.

Determinarea traiectoriei punctului P Se consideră un rigid (S) în mişcare elicoidală şi un punct

oarecare P al lui, Fig. 2.23, determinat faţă de originile O şi Q ale reperelor (R) şi )R( ′ prin vectorii de poziţie r şi r ′ , daţi de relaţiile

kzjyixr ++= şi kzjyixr ′′+′′+′′=′ . Ecuaţia vectorială a traiectoriei punctului )r(P ′ , aşa după cum rezultă din Fig. 2.23, are forma

.rrr Q ′+= (2.151) Proiectând ecuaţia vectorială pe axele reperului (R), prin înmulţirea scalară cu versorii k,j,i , şi având în vedere tabelul de cosinusuri directoare, se obţin ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului P

– 117 –

.)t(zzzz

)t(ycosysinxy)t(xsinycosxx

:P

Q⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′+==ϕ′+ϕ′==ϕ′−ϕ′=

(2.152)

Ridicând la pătrat primele două ecuaţii din (2.152) şi apoi

adunându-le membru cu membru, rezultă traiectoria punctului P sub următoarea formă

,)t(zz

Ryx:)(222

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==+

Γ (2.153)

de unde rezultă că traiectoria )(Γ a punctului P, reprezentată în Fig. 2.23, este o curbă înfăşurată pe o suprafaţă cilindrică circulară dreaptă, având axa Oz drept axă de simetrie de revoluţie, de rază

.2 2R = x' + y' (2.154)

În funcţie de caracteristicile geometrice ale traiectoriei )(Γ , forma elicoidală a ei poate fi o elice cilindrică circulară (prezentată în Capitolul 1 al lucrării).

Determinarea vitezei punctului P Forma expresiei vectoriale a vitezei punctului P este

rvv Q ′×ω+= (2.155)

şi are următoarele două componente, reprezentate în Fig. 2.23

,rv;vv rotQtr ′×ω==

cu

.Rrvrot ω=′×ω=

Cele două componente fiind ortogonale, mărimea vitezei are

expresia

.Rvvvv 222Q

2rot

2tr ω+=+= (2.156)

– 118 –

Expresia analitică a vitezei este de forma

.jxiykzzyx

00kji

kzv QQ ′′ϕ+′′ϕ−=′′′ϕ

′′′

+= &&&&& (2.157)

Proiectând relaţia (2.157) pe axele reperului mobil zyxQ ′′′ se obţin proiecţiile vitezei punctului P pe axele acestui reper

.

zkvv

xjvvyivv

:v

Qz

y

x

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=′⋅=′

′ϕ=′⋅=′

′ϕ−=′⋅=′

&

&

&

(2.158)

Cu ajutorul acestor proiecţii se poate calcula mărimea vitezei

.Rvz)yx(vvvv 222Q

2Q

2222z

2y

2x ω+=+′+′ϕ=′+′+′= & (2.159)

Problema punctelor de viteză minimă Deoarece în mişcarea elicoidală 0≠ω , viteza este minimă,

minQ vvv == , atunci când ,0R = rezultă prin urmare că aceste puncte de viteză minimă se află pe axa de rototranslaţie deoarece pentru aceste puncte 0R =

.vv trmin = (2.160)

Determinarea acceleraţiei punctului P În mişcarea elicoidală, efectuată în condiţiile în care 0aQ ≠ şi

0≠ε , expresia vectorială a acceleraţiei unui punct P al unui rigid are următoarea formă

),r(raa Q ′×ω×ω+′×ε+= (2.161)

din care se observă cele trei componente ale acceleraţiei

– 119 –

).(Raaaaa

;Rva;Rra;aa

cu,v)r(a;ra;aa

4222Q

2ax

2rot

2tr

2rotaxrotQtr

rotaxrotQtr

ω+ε+=++=

ω=×ω=ε=′×ε==

×ω=′×ω×ω=′×ε==

(2.162)

Componentele acceleraţiei punctului P au următoarele expresii analitice:

– acceleraţia de translaţie

;kza QQ &&= (2.163)

– acceleraţia de rotaţie

;jxiyzyx

00kji

rarot ′′ϕ+′′ϕ−=′′′ϕ

′′′

=′×ε= &&&&&& (2.164)

– acceleraţia axipetă

.jyix)kzjyix(kz

r)r()r(a2222

2ax

′′ϕ−′′ϕ−=′′+′′+′′ϕ−′′ϕ=

=′ω−ω′⋅ω=′×ω×ω=

&&&& (2.165)

Cele trei componente vectoriale ale acceleratiei sunt

perpendiculare două câte două între ele, adică ,0aa rotQ =⋅ 0aa,0aa axrotaxQ =⋅=⋅ , rezultanta a determinându-se în Fig. 2.24

după regula paralelipipedului. Expresia vectorială (2.161) a acceleraţiei punctului P, se poate scrie şi sub forma

.r)r(ra)r(raa 2QQ ′ω−ω′⋅ω+′×ε+=′×ω×ω+′×ε+= (2.166)

Proiectând relaţia (2.166) pe axele reperului mobil, prin

înmulţirea scalară a ei, pe rând cu versorii ,k,j,i ′′′ ţinând seama de

– 120 –

relaţiile (2.163), (2.164) şi (2.165), se obţin proiecţiile acceleraţiei punctului P pe axele reperului mobil )R( ′

.

zkaa

yxjaa

xyiaa

:a

Qz

2y

2x

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′⋅=′

′ϕ−′ϕ=′⋅=′

′ϕ−′ϕ−=′⋅=′

&&

&&&

&&&

(2.167)

Cu ajutorul acestor proiecţii se poate calcula mărimea accele-raţiei punctului P

.)(Ra)(Rz

z)yx()xy(aaaa

4222Q

4222Q

2Q

22222z

2y

2x

ω+ε+=ϕ+ϕ+=

=+′ϕ−′ϕ+′ϕ+′ϕ=′+′+′=

&&&&&

&&&&&& (2.168)

Fig. 2.24

– 121 –

Axa centrală

În mişcarea elicoidală a unui rigid (S), vectorii ω şi Qv sunt coliniari, fiind valabilă condiţia 0vQ =×ω , în baza căreia ecuaţiile vectoriale (2.96) şi (2.100) ale axei centrale în reperele )R( ′ şi )R( stabilite la mişcarea rigidului cu axă de direcţie fixă, iau formele particulare de mai jos

,rC ωλ=′ (2.169) respectiv,

.rrr CQC ′+= (2.170)

Relaţiile (2.169) şi (2.170) arată că în această mişcare parti-culară, axa centrală coincide cu axa )(Δ a mişcării elicoidale. Problema punctelor de acceleraţie minimă În ipoteza că există puncte J a căror acceleraţie să fie egală cu zero, se va putea scrie în baza relaţiei (2.168), următoarea condiţie

0)(Rza 4222QJ =ϕ+ϕ+= &&&&& .

Examinând expresia de sub radical, în care cel puţin 0≠ϕ& , se constată că existenţa vreunui punct J, deci a vreunui pol al acceleraţiilor, presupune satisfacerea condiţiilor 0zQ = şi 0R = .

– Dacă 0zQ ≠&& , atunci nu există nici un pol al acceleraţiilor. – Dacă 0zQ =&& , atunci există o infinitate de poli ai accelera-

ţiilor, locul lor geometric fiind axa polilor acceleraţiilor care, în baza condiţiei 0R = , coincide cu axa mişcării elicoidale.

Aplicaţie: Mişcarea de şurub a rigidului

Un rigid execută o mişcare de şurub atunci când ecuaţia parametrică a mişcării este de forma

.pz SQ ϕ= (2.171)

– 122 –

Această mişcare se caracterizează printr-o relaţie de depen-denţă între parametrii de poziţie ai rigidului Qz şi ϕ , variabili în timp. Mărimea Sp din relaţia (2.171) poartă numele de parametrul mişcării de şurub; mişcarea elicoidală se numeşte mişcare de şurub drept, sau mişcare de şurub stâng, după cum 0pS > sau 0pS < . Mişcarea de şurub a rigidului prezintă proprietatea că tra-iectoriile tuturor punctelor lui sunt elice coaxiale, de pas constant. Fie (S) un rigid în mişcare de şurub şi un punct oarecare )r(P ′ al rigidului, (Fig. 2.25), ale cărui coordonate cilindrice în reperul mobil

)R( ′ sunt: raza polară PQ ′=ρ , unghiul polar Pϕ şi cota punctului PPz ′=′ . În momentul iniţial al mişcării cele două repere (R) şi )R( ′

coincid.

Fig. 2.25

Pϕ P′

Qz

)S(

ϕ∗x

y′

x′

x

z,z ′

O y

Qr

Qr ′

P

ρz′

– 123 –

Expresiile coordonatelor carteziene ale punctului P în reperul

fix )R( , care vor avea forma

,zpzzz

)(sin)(sinPQy)cos()cos(PQx

:P

SQ

PP

PP

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′+ϕ=′+=ϕ+ϕρ=ϕ+ϕ′=

ϕ+ϕρ=ϕ+ϕ′= (2.172)

reprezintă chiar ecuaţiile parametrice ale mişcării punctului P pe o elice.

Datorită relaţiei de dependenţă (2.171) dintre parametrii de poziţie ai rigidului Qz şi ϕ , rigidul care efectuează o asemenea mişcare are un singur grad de libertate, p =1 (de exemplu, mişcarea unul şurub faţă de piuliţă).

Parametrii cinematici ai mişcării au forma

.pza;pzv SQQSQQ ϕ==ϕ== &&&&&& (2.173) La o rotaţie a şurubului de unghiul )rad(2π=ϕ , el înaintează

un pas p

,2p

p;2pp ss π=π⋅=

rezultă

.2p

2p

a;2p

2p

v QQ επ

=ϕπ

=ωπ

=ϕπ

= &&& (2.174)

– 124 –

2.2.5. Mişcarea plan paralelă a rigidului

Fie (S) un rigid în mişcare plan paralelă, un plan fix )P( d numit plan director al mişcării şi un alt plan )P( 1 - determinat de trei puncte necoliniare A, B, C ale rigidului -, care este paralel cu planul director. Un rigid execută o mişcare plan paralelă dacă o anumită secţiune plană a lui, )(Σ , în care se află şi punctele A, B şi C, rămâne în permanenţă în acelaşi plan paralel la planul director )P( d , Fig. 2.26. Exemple: mişcarea bielei unui mecanism bielă-manivelă, miş-carea roţilor unui vehicul pe un drum rectiliniu, mişcarea unei bare în care extremităţile ei alunecă pe două direcţii concurente. Mişcarea plan paralelă se realizează cu ajutorul unor cuple mobile de rotaţie plană (articulaţie cilindrică cu buton, articulaţie cilindrică cu bolţ).

Fig. 2.26 Se notează cu )(Σ , secţiunea rigidului cu planul )P( 1 şi se

consideră un punct oarecare M al rigidului, a cărui proiecţie pe planul

(S)

M

M’ ∗y

y

∗z

O

∗x

Q

y′

)( MΓ

)( M′Γ Ma ′

Ma

Mv ′

Mv

Mr ′ Mr

Qr C

B

A

x ϕ x′

z z′

(P1)

)P( d

)(Σ

– 125 –

)P( 1 este punctul M′ . În baza Fig. 2.26, se poate scrie relaţia

vectorială MMrr MM ′+= ′ . În timpul mişcării rigidului, vectorul MM′ îşi păstrează neschimbate, atât mărimea (ca urmare a ipotezei de rigiditate acceptată pentru rigid), cât şi direcţia (fiind perpendicular pe planul )P( 1 ), rezultă deci că segmentul de dreaptă MM ′ are o mişcare de translaţie, punctele M şi M′ descriind traiectorii identice ca formă, situate în plane paralele, având viteze egale şi acceleraţii egale )aa;vv( MMMM ′′ == . Prin urmare, în mişcarea plan paralelă a unui rigid, toate punctele lui situate pe o aceeaşi normală la planul director al mişcării, descriu traiectorii identice, cu aceleaşi viteze şi acceleraţii. Pe baza observaţiilor de mai sus, studiul mişcării plan paralele poate fi redus la studierea mişcării punctelor din secţiunea )(Σ a rigidului cu planul )P( 1 , care este paralel la planul director )P( d . Dacă se alege reperul mobil zyxQ)R( ′′′≡′ astfel încât planul yxQ ′′ să conţină secţiunea )(Σ şi reperul fix Oxyz)R( ≡ astfel încât planul Oxy să se confunde cu planul )P( 1 în care se deplasează secţiunea

)(Σ , axa zQ ′ rămânând în timpul mişcării rigidului paralelă la axa Qz, Fig. 2.26, atunci studiul cinematic al mişcării plan paralele va consta în studiul cinematic al mişcării unei secţiuni plane a rigidului în planul ei, adică studiul mişcării reperului mobil yxQ ′′ , ataşat invariabil secţiunii )(Σ , în planul fix Oxy.

Parametrii de poziţie Se consideră secţiunea )(Σ , reperul mobil )R( ′ solidar cu ea,

având originea într-un punct Q aparţinând secţiunii, punct căruia i se poate determina mişcarea şi reperul fix Oxyz)R( ≡ , axele zQ ′ , respectiv Oz fiind perpendiculare pe planul secţiunii, (Fig. 2.27). Alegând în acest mod cele două repere, din cei şase parametri de poziţie, trei vor fi egali cu zero şi anume ψ,zQ şi θ . Poziţia reperului mobil )R( ′ faţă de reperul fix (R), va fi determinată printr-un număr de trei parametri de poziţie, 3p = , reprezentaţi prin

– 126 –

coordonatele polului )y,x(Q QQ faţă de reperul fix şi unghiul de rotaţie

proprie ϕ , format de axa Ox, respectiv ∗Qx care este paralelă la axa Ox, cu axa xQ ′ .

Dacă rigidului i se impun anumite restricţii, de exemplu, polul Q să se mişte pe o anumită curbă din planul Oxy, numărul parametrilor de poziţie se reduce Ia doi, deci numărul gradelor de libertate ai mişcării plan paralele este de cel mult 3

.3p ≤ (2.175)

Fig.2.27

Ecuaţiile parametrice ale mişcării plan paralele sunt de

forma ),t();t(yy);t(xx QQQQ ϕ=ϕ== (2.176)

j

i

∗y

0>ε

Qa

Qy

Qx

∗x

y

)(Σ

O

Q

y′

)( QΓ

Qr Qv

x

ϕ

x′

Qv

v

P

0>ω

r

r ′ rotv

j′ i′

– 127 –

atunci când cei trei parametri de poziţie sunt variabili în timp, putând varia independent, sau de forma

),(yy);(xx QQQQ ϕ=ϕ= (2.177) în cazul în care din cei trei parametri de poziţie variabili în timp, doar unul singur este independent, respectiv unghiul ϕ , ceilalţi doi expri-mându-se în funcţie de acesta.

Vectorul de poziţie Qr , al polului mobil Q faţă de reperul fix (R) va avea expresia analitică

.)t(rjyixr QQQQ =+= (2.178)

Tabelul cosinusurilor directoare ale axelor reperului )R( ′ faţă de axele reperului (R) are forma (2.148).

Parametrii cinematici de ordinul I au expresiile

.0kkk

0jyixrv QQQQ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠ω=′ϕ=ϕ=ω

≠+==

&&

&&& (2.179)

Vectorul viteză de translaţie Qv , este tangent în Q la traiectoria )( QΓ descrisă de polul mobil Q, iar vectorul viteză unghiulară instantanee ω se reprezintă convenţional printr-o săgea-tă circulară în sens direct trigonometric dacă 0>ϕ& şi în sens invers trigonometric atunci când 0<ϕ& .

Proiecţiile parametrilor cinematici de ordinul I pe axele repe-rului fix (R) sunt de forma

.

k

0j0i

:;

0kvv

yjvv

xivv

:v

z

y

x

QQz

QQQy

QQQx

Q⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ=⋅ω=ω

=⋅ω=ω

=⋅ω=ω

ω

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅=

=⋅=

=⋅=

&

&

&

(2.180)

– 128 –

Proiecţiile parametrilor cinematici de ordinul I pe axele

reperului mobil )R( ′ , ţinând seama de tabelul cosinusurilor directoare (2.148), rezultă de forma

.

k

0j0i

:;

0kvv

cosysinxjvv

sinycosxivv

:v

z

y

x

QQz

QQQQy

QQQQx

Q⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ=′⋅ω=ω′

=′⋅ω=ω′

=′⋅ω=ω′

ω

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′⋅=′

ϕ+ϕ−=′⋅=′

ϕ+ϕ=′⋅=′

&

&&

&&

(2.181)

Parametrii cinematici de ordinul II sunt de forma

.

00

kk

00

jyixva QQQQ

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎩⎨⎧≠=

′ϕ=ϕ=ω=ε

⎩⎨⎧≠=

+==

&&&&&

&&&&&

(2.182)

Vectorul acceleraţie de translaţie Qa este reprezentat în Fig. 2.27 în planul figurii, iar vectorul acceleraţie unghiulară instantanee ε , având direcţia normală la planul figurii, este reprezentat, în mod convenţional, sub formă de săgeată circulară orientată în sens direct trigonometric dacă 0>ϕ&& şi în sens invers trigonometric pentru 0<ϕ&& .

Dacă 0aQ = , atunci prima componentă a mişcării plan paralele, adică translaţia, este rectilinie şi uniformă.

Dacă 0=ε , rezultă că a doua componentă a mişcării plan paralele, respectiv rotaţia, este uniformă. Proiecţiile parametrilor cinematici de ordinul II pe axele repe-rului fix (R)

.

k

0j0i

:;

0kaa

yjaa

xiaa

:a

z

y

x

QQz

QQQy

QQQx

Q⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ=⋅ε=ε

=⋅ε=ε

=⋅ε=ε

ε

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅=

=⋅=

=⋅=

&&

&&

&&

(2.183)

Proiecţiile parametrilor cinematici de ordinul II pe axele reperului mobil )R( ′

– 129 –

.

k

0j0i

:;

0kaa

cosysinxjaa

sinycosxiaa

:a

z

y

x

QQz

QQQQy

QQQQx

Q⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ=′⋅ε=ε′

=′⋅ε=ε′

=′⋅ε=ε′

ε

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=′⋅=′

ϕ+ϕ−=′⋅=′

ϕ+ϕ=′⋅=′

&&

&&&&

&&&&

(2.184)

Determinarea traiectoriei punctulul P Fie )r(P ′ , un punct aparţinând secţiunii )(Σ , determinat faţă de

polul Q al reperului mobil prin vectorul de poziţie ,r ′ (Fig. 2.27), dat de relaţia

.jyixr ′′+′′=′ (2.185)

În baza Fig. 2.27, ecuaţia vectorială parametrică a traiectoriei punctului )r(P ′ are forma

.rrr Q ′+= (2.186)

Pentru a obţine ecuaţiile parametrice ale traiectoriei, se pro-iectează ecuaţia vectorială (2.186) pe axele reperului fix, prin înmulţirea scalară a ei, pe rând, cu versorii i şi ,j ţinând seama de tabelul cosinusurilor directoare stabilit la mişcarea rigidului cu o axă de direcţie fixă (2.79), precum şi de relaţia (2.185), rezultând următoarele ecuaţii

.cosysinxyjry

sinycosxxirx:P

Q

Q

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ′+ϕ′+=⋅=

ϕ′−ϕ′+=⋅= (2.187)

Eliminându-se, fie parametrul t, fie parametrul ϕ – după cum ecuaţiile mişcării plan paralele sunt sub forma (2.176) sau (2.177) –, între ecuaţiile parametrice (2.187), se obţine ecuaţia analitică a traiectoriei punctului P considerat 0)y,x(f = .

Determinarea vitezei punctului P Expresia vectorială a vitezei punctului )r(P ′ îşi păstrează

forma stabilită în cazul mişcării generale a rigidului

– 130 –

,vvrvv rotQQ +=′×ω+= (2.188)

cu precizarea că vectorii ω,v Q şi r ′ au formele corespunzătoare mişcării plan paralele. În Fig. 2.27 sunt reprezentate cele două componente ale vitezei punctului P, vectorul viteză de rotaţie

rvrot ′×ω= , fiind perpendicular pe r ′ şi având sensul dat de valoarea scalară, ϕ=ω & .

Calculul vitezei punctului P, în aplicaţii, se face cu ajutorul proiecţiilor ei, fie pe axele reperului fix (R), fie pe axele reperului mobil )R( ′ . Pentru a obţine proiecţiile vitezei pe axele fixe se scrie analitic relaţia (2.188) sub forma

,jxiyjyix0yx

00kji

jyixv QQQQ ′′ϕ+′′ϕ−+=′′

ϕ

′′′

++= &&&&&&&

după care se înmulţeşte scalar, pe rând, cu versorii i şi j ai axelor reperului fix Oxy, ţinând seama de tabelul cosinusurilor directoare (2.148), rezultând

.cosxsinyyjvv

sinxcosyxivv:v

Qy

Qx

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ′ϕ+ϕ′ϕ−=⋅=

ϕ′ϕ−ϕ′ϕ−=⋅=

&&&

&&& (2.189)

Proiecţiile vitezei pe axele mobile se obţin înmulţind scalar

relaţia (2.188), pe rând, cu versorii j,i ′′ ai axelor reperului )R( ′ , ţinându-se seama de tabelul cosinusurilor directoare (2.148) şi rezul-tă următoarele expresii

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ′+ϕ+ϕ−=′⋅=′

ϕ′−ϕ+ϕ=′⋅=′

&&&

&&&

xcosysinxjvv

ysinycosxivv:v

QQy

QQx . (2.190)

Mărimea vitezei este dată de relaţia

.vvvvv 2y

2x

2y

2x ′+′=+= (2.191)

– 131 –

Teoreme privind distribuţia vitezelor punctelor unei secţiuni plane aflată în mişcare plan paralelă 1. Teorema proiecţiilor vitezelor punctelor unui segment de dreaptă în mişcare plan paralelă Proiecţiile vitezelor punctelor unui segment de dreaptă

aparţinând unei secţiuni )(Σ în mişcare plan paralelă, pe direcţia segmentului, sunt egale între ele [9].

2. Teorema coliniarităţii extremităţilor vitezelor punctelor unui segment de dreaptă în mişcare plan paralelă Extremităţile vitezelor punctelor unui segment de dreaptă ce

aparţine unei secţiuni )(Σ în mişcare plan paralelă sunt coliniare [9]. Determinarea acceleraţiei punctului P Ţinând seama de condiţiile cinematice specifice acestei

mişcări, expresia vectorială stabilită în cadrul mişcării generale a rigidului a acceleraţiei unui punct )r(P ′ are acum forma

,rrar)r(ra

)r(raaaaa2

Q2

Q

QaxrotQ

′ω−′×ε+=′ω−ω′⋅ω+′×ε+=

=′×ω×ω+′×ε+=++= (2.192)

expresie obţinută prin descompunerea dublului produs vectorial în care 0r =′⋅ω deoarece r ′⊥ω . În Fig. 2.28 sunt reprezentate componentele acceleraţiei punctului P pentru cazul când componenta de rotaţie a mişcării plan paralele este accelerată (vectorul rarot ′×ε= este perpendicular pe

r ′ şi are sensul dat de valoarea scalară, ϕ=ε && , iar ra 2ax ′ω−= ).

Pentru a determina proiecţiile acceleraţiei punctului P pe axele reperului fix se scrie analitic relaţia (2.192) sub forma

),jyix(0yx

00kji

jyixa 2QQ ′′+′′ϕ−

′′ϕ

′′′

++= &&&&&&& (2.193)

– 132 –

Fig. 2.28

din care, după ce se înmulţeşte scalar, pe rând, cu versorii i şi j ai axelor reperului fix Oxy, luând în considerare tabelul de cosinusuri directoare (2.79), rezultă următoarele valori ale proiecţiilor

.)cosysinx()cosxsiny(yjaa

)cosxsiny()cosysinx(xiaa:a

2Qy

2Qx

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ′+ϕ′ϕ−ϕ′−ϕ′ϕ−=⋅=

ϕ′−ϕ′ϕ+ϕ′+ϕ′ϕ−=⋅=

&&&&&

&&&&&(2.194)

Proiecţiile acceleraţiei pe axele mobile, se obţin prin înmulţirea scalară a relaţiei (2.193), pe rând, cu versorii j,i ′′ ai axelor reperului

)R( ′ , rezultând

.yxcosysinxjaa

xysinycosxiaa:a

2QQy

2QQx

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

′ϕ−ϕ′+ϕ+ϕ−=′⋅=′

′ϕ−ϕ′−ϕ+ϕ=′⋅=′

&&&&&&&

&&&&&&& (2.195)

Mărimea acceleraţiei va fi dată de relaţia

.aaaaa 2y

2x

2y

2x ′+′=+= (2.196)

x′

y

axa

P

r ′

0>ε

∗x

O Q

y′

Qr x

ϕ

rota

Qa

)(Σ

r

Qa

– 133 –

Axa centrală În mişcarea plan paralelă a rigidului, vectorii Qv şi ω sunt ortogonali, )0v( Q =⋅ω , deci în acest caz este valabilă relaţia

,0v

vv2

QminC =ω

ω⋅ω

== (2.197)

ceea ce permite să se tragă concluzia că axa centrală a mişcării va reprezenta locul geometric al punctelor C din reperul )R( ′ care au viteza egală cu zero. Deoarece, în această mişcare particulară 0,0v,0r QQ ≠ω≠≠ , ecuaţiile vectoriale ale axei centrale îşi păstrează formele stabilite în mişcarea rigidului cu axă de direcţie fixă, adică: – ecuaţia vectorială a axei centrale în reperul mobil )R( ′

;v

r 2Q

C ωλ+ω

×ω=′ (2.198)

– ecuaţia vectorială a axei centrale în reperul fix (R)

.v

rr 2Q

QC ωλ+ω

×ω+= (2.199)

În mişcarea plan paralelă, vectorul ω are direcţia fixă în ambele repere (R) şi )R( ′ şi ca urmare şi axa centrală )( CΔ îşi va păstra şi ea direcţia fixă, atât în reperul fix (R), cât şi în reperul mobil

)R( ′ , (Fig. 2.29). Axa centrală )( CΔ a mişcării intersectează planul secţiunii )(Σ într-un punct I, (Fig. 2.29) numit centru instantaneu de rotaţie, a cărui viteză este egală cu zero, 0vI = , axa centrală fiind deci locul geometric al punctelor de viteză zero. Punctul I este determinat prin vectorii de poziţie Ir′ şi Ir faţă de reperele )R( ′ şi (R), ale căror expresii, ţinând seama de condiţia

– 134 –

0v2

Q =ω

⋅ω=λ , sunt

,v

r2

QI ω

×ω=′ (2.200)

faţă de polul Q şi

,v

rr 2Q

QIω

×ω+= (2.201)

faţă de polul O.

Fig. 2.29

Punctul I se numeşte “centru de rotaţie”, deoarece prin alegerea lui, în momentul t considerat, drept pol Q, viteza oricărui alt punct P aparţinând secţiunii )(Σ , va avea numai componenta de rotaţie, (Fig. 2.30), aşa după cum rezultă din relaţia de mai jos

ω

x′

Axa centrală

z′

I

y O

Q

y′

Ir

Qr

x

z

Ir ′ )( IΓ

)( IΓ′

)( CΔ

)(Σ

– 135 –

.)(P,IPv

IPr;0vunde,vrvv

P

IrotIP

Σ∈∀×ω=⇒

⇒=′==′×ω+= (2.202)

Fig. 2.30

Denumirea de “instantaneu” dată acestui centru de rotaţie se explică prin faptul că acest punct îşi modifică în timp poziţia odată cu axa centrală, în ambele repere.

Din relaţia (2.202) rezultă următoarele: – viteza oricărui punct P al secţiunii )(Σ , IPvP ⊥ ; – mărimea vitezei punctului P este proporţională cu distanţa

de la punctul P la centrul instantaneu de rotaţie

.IPvP ⋅ω= (2.203)

Observaţii

1. Dacă se cunosc direcţiile vitezelor a două puncte distincte A şi B ale secţiunii, se poate determina poziţia centrului instantaneu de rotaţie I, pe cale grafică, Fig. 2.31a, ducând perpendiculare în cele două puncte pe direcţiile vitezelor şi la intersecţia acestor perpen-diculare se obţine punctul I.

Qr

ωrvv rot ′×ω==

y

)(Σ

O

QI ≡

r ′

x

P

– 136 –

a. b.

Fig. 2.31 2. Dacă se cunoaşte viteza unui punct B al secţiunii )(Σ ca

mărime, direcţie şi sens, precum şi direcţia vitezei unui alt punct A al secţiunii, se poate afla mărimea vitezei unghiulare ω , cu relaţia

.IB

vB=ω (2.204)

Valoarea scalară a vitezei unghiulare se stabileşte examinând sensul vitezei punctului B (în Fig. 2.31a, 0>ϕ=ω & ). Cunoscând viteza unghiulară, prin integrare, se poate afla le-gea de dependenţă a unghiului de rotaţie ϕ de timp, iar prin derivare în raport cu timpul se poate determina acceleraţia unghiulară ε . 3. Dacă se cunoaşte viteza unghiulară ω şi poziţia centrului instantaneu de rotaţie I, Fig. 2.31b, se poate determina viteza oricărui alt punct )(D Σ∈ şi anume:

– direcţia vitezei punctului D este perpendiculară pe ID ; – mărimea vitezei punctului D va avea valoarea

direcţia vitezei Av

direcţia vitezei Bv D

ωI

Dv Bv

B

B Bv

I A

ω)(Σ

– 137 –

;IDIB

vIDv B

D =ω=

– sensul vitezei punctului D este indicat de valoarea scalară a vitezei unghiulare ω .

Centroidele mişcării

Curbele descrise de centrul instantaneu de rotaţie I în timpul mişcării rigidului, în raport cu cele două repere – fix şi mobil –, respetiv curbele plane, )( IΓ şi )( IΓ′ din Fig. 2.29, sau din Fig. 2.32, poartă numele de centroide.

Se întâlnesc următoarele două tipuri de centroide: - centroida mobilă sau rostogolitoare, reprezentată prin

curba )( IΓ′ care este locul geometric al poziţiilor centrului instantaneu de rotaţie în raport cu reperul mobil;

- centroida fixă sau bază, reprezentată prin curba )( IΓ care este locul geometric al poziţiilor centrului instantaneu de rotaţie în raport cu reperul fix.

Centrul instantaneu de rotaţie este punctul de tangenţă al centroidelor, (Fig. 2.32), şi în tot timpul mişcării secţiunii )(Σ în planul ei, centroida mobilă )( IΓ′ se rostogoleşte fără alunecare pe centroida fixă )( IΓ , motiv pentru care se mai numeşte şi rostogolitoare.

Fig. 2.32

Q

I

)( IΓ′

)( IΓ

Ir′

Qr Ir

y

O x

)(Σ

– 138 –

Ecuaţiile vectoriale ale celor două centroide sunt reprezentate

chiar de relaţiile (2.200) şi (2.201) renunţându-se însă la indicele (I). Ecuaţia vectorială a centroidei mobile este

,v

r 2Q

ω

×ω=′ (2.205)

care se poate scrie analitic în reperul mobil )R( ′ sub forma

,jv

iv

0vv00

kji1

r QxQy

QyQx

2′

ϕ

′+′

ϕ

′−=

′′ϕ

′′′

ϕ=′

&&&

& (2.206)

unde Qxv′ şi Qyv′ sunt exprimate prin relaţiile 1)181.2( . Proiectând pe axele reperului mobil )R( ′ , relaţia (2.206) şi ţi-nând seama de expresiile 1)181.2( se obţin următoarele ecuaţii para-metrice ale centroidei mobile, pentru cazul când în ecuaţiile mişcării plan paralele parametrul este t

.)t(ysinycosxvjry

)t(xcosysinxvirx

QQQx

QQQy

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′=ϕϕ

+ϕϕ

=ϕ′

=′⋅′=′

′=ϕϕ

−ϕϕ

=ϕ

′−=′⋅′=′

&

&

&

&

&

&

&

&

&

& (2.207)

Prin eliminarea parametrului t între ecuaţiile parametrice (2.207), se obţine ecuaţia analitică a centroidei mobile 0)y,x(f =′′ . Dacă în ecuaţiile mişcării plan paralele parametrul este ϕ , în baza relaţiilor

,d

dy

dtddt

dyy

;d

dx

dtddt

dxx Q

Q

QQ

Q

Q

ϕ=

ϕ=

ϕϕ=

ϕ=

ϕ &

&

&

& (2.208)

– 139 –

ecuaţiile parametrice (2.207) capătă forma

.)(ysin

ddy

cosd

dxy

)(xcosdy

sind

dxx

QQ

QQ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ′=ϕϕ

+ϕϕ

=′

ϕ′=ϕϕ

−ϕϕ

=′&

(2.209)

Eliminarea parametrului ϕ între ecuaţiile parametrice anteri-oare, conduce la ecuaţia analitică a centroidei mobile 0)y,x(f =′′ . Ecuaţia vectorială a centroidei fixe este

,v

rr 2Q

Qω

×ω+= (2.210)

care în reperul fix, are următoarea transcriere analitică

.0yx

00kji

1jyixr

QQ

2QQ&&

&&

ϕϕ

++= (2.211)

Prin proiectarea relaţiei (2.211) pe axele reperului fix (R), se

obţin ecuaţiile parametrice ale centroidei fixe

,)t(y

xyjry

)t(xy

xirx

QQ

QQ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=ϕ

+=⋅=

=ϕ

−=⋅=

&

&

&

&

(2.212)

atunci când parametrul este t.

Procedând la eliminarea parametrului t între ecuaţiile para-metrice (2.212), rezultă ecuaţia analitică a centroidei fixe, de forma

.0)y,x(f = În cazul în care în ecuaţiile mişcării plan paralele parametrul este ϕ , rezultă ecuaţiile parametrice ale centroidei fixe de forma

– 140 –

.)(y

ddx

yy

)(xd

dyxx

QQ

QQ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ=ϕ

+=

ϕ=ϕ

−= (2.213)

Eliminarea parametrului ϕ între ecuaţiile parametrice (2.213), permite determinarea ecuaţiei analitice a centroidei fixe, .0)y,x(f = Polul acceleraţiilor În mişcarea plan paralelă toate punctele cu evoluţii identice în timp a acceleraţiilor, sunt situate pe o normală la planul secţiunii )(Σ . Rezultă că locul geometric al tuturor polilor acceleraţiilor este o dreaptă ce are direcţia normală la planul secţiunii )(Σ , numită axa polilor acceleraţiilor. Această axă intersectează planul secţiunii )(Σ într-un punct J care va reprezenta polul acceleraţiilor corespunzător secţiunii )(Σ , Fig. 2.33a. Pentru determinarea coordonatelor punctului J în reperul )R( ′ , se pleacă de la condiţia ca acceleraţia punctului J să fie egală cu zero

,arr0rraa QJ2

JJ2

JQJ −′ω=′×ε⇒=′ω−′×ε+= (2.214) care se înmulţeşte vectorial la stânga cu ε , rezultând

.ar)r( QJ2

J ×ε−′×εω=′×ε×ε (2.215)

Se dezvoltă dublul produs vectorial şi se înlocuieşte produsul vectorial Jr ′×ε cu valoarea obţinută din condiţia (2.214) şi rezultă

.a)ar(r)r( QQJ22

J2

J ×ε−−′ωω=′ε−ε′⋅ε (2.216)

Deoarece 0rJ =′⋅ε , (vectorii ε şi Jr ′ sunt perpendiculari), din relaţia (2.216) se poate determina vectorul de poziţie Jr′ sub următoarea formă

– 141 –

).aa(1r Q2

Q42J ω+×εω+ε

=′ (2.217)

Prin proiectarea relaţiei vectoriale (2.217) pe axele reperului mobil se obţin coordonatele polului acceleraţiilor. Poziţia, la un moment oarecare t, a polului acceleraţiilor, poate fi determinată grafic dacă se cunosc acceleraţiile a două puncte ale secţiunii )(Σ a rigidului, corespunzătoare momentului t considerat. Mai întâi se va arăta că acceleraţiile tuturor punctelor P ale secţiunii

)(Σ , formează acelaşi unghi χ cu vectorii PJ , considerându-se JQ ≡ , Fig. 2.33b.

Dacă polul Q este luat în J, )0a( J = , atunci pentru acceleraţia unui punct arbitrar P aparţinând secţiunii )(Σ rezultă expresia

.aarraa axrotP2

PJP +=′ω−′×ε+= (2.218)

a. b.

Fig. 2.33

Notând cu χ unghiul dintre vectorii a şi PJ , în baza figurii Fig. 2.33b, se poate scrie relaţia

.r

raa

tg 2P

2P

ax

rot

ω

ε=

′ω−

′×ε==χ (2.219)

Pr ′ Q

)s( y′

x′

J

Jr ′

Qr

y

O x

ε χ

JQ ≡

a rarot ′×ε=

P

P2

ax ra ′ω−=

ω)(Σ

– 142 –

Concluzie

În mişcarea plan paralelă, vectorii de poziţie PJ ai polului acceleraţiilor în raport cu punctele secţiunii, formează cu acceleraţiile punctelor respective acelaşi unghi χ , măsurat în sensul indicat de săgeata vectorulului acceleraţie unghiulară instantanee ε .

În baza relaţiei (2.219) se poate determina grafic poziţia polului acceleraţiilor J, într-un moment t, atunci când se cunosc acceleraţiile a două puncte A şi B ale secţiunii )(Σ corespunzătoare momentului t considerat. Astfel, polul acceleraţiilor corespunzător secţiunii )(Σ se va găsi la intersecţia dreptelor )d( 1 şi )d( 2 duse din punctele A şi B astfel încât să formeze unghiul χ cu acceleraţiile punctelor A şi B, măsurat în sens direct trigonometric pentru

0>ϕ=ε && , Fig. 2.34a şi în sens invers trigonometric pentru 0<ϕ=ε && , Fig. 2.34b. a. b.

Fig. 2.34

Ba

)d( 2

A

χ

χ

B

)d( 1

J

ε Aa χ Aa

A

J B

χ

ε

)(Σ

Ba

)d( 1

)d( 2

)(Σ

– 143 –

2.2.6. Mişcarea rigidului în jurul unui punct fix

Un rigid (S) execută o mişcare în jurul unui punct fix, dacă în

tot timpul mişcării, un punct C aparţinând rigidului, rămâne imobilizat într-un punct fix din spaţiu, pentru imobilizarea punctului C, folosindu-se o articulaţie sferică, Fig. 2.35.

Parametrii de poziţie şi ecuaţiile parametrice ale mişcării În cele mai multe situaţii, rigidul (S) aflat în mişcare în jurul

unui punct fix C, prezintă axă de simetrie de revoluţie geometrică ce trece prin punctul C. Dacă se aleg originile celor două repere )R( şi

)R( ′ astfel încât să coincidă cu punctul imobilizat C, iar axa zQ ′ a reperului mobil )R( ′ se orientează după axa de simetrie a rigidului şi axa Oz a reperului fix )R( pe verticală în sus, ca în Fig. 2.35, parametrii de poziţie ai rigidului (S) vor fi reprezentaţi numai prin un-ghiurile lui Euler ϕψ, şi θ , deci 3p = , deoarece 0zyx QQQ === , cu consecinţa 0rQ = . Rigidul cu punct fix are trei grade de libertate.

În aceste condiţii, ecuaţiile parametrice ale mişcării rigidului cu punct fix se reduc la următoarele ecuaţii:

.)t();t();t( θ=θϕ=ϕψ=ψ (2.220)

Cosinusurile directoare sunt prezentate în tabelul de mai jos

(2.221)

zyα zxα

yyα yxα yzα

zzα

xzα xxα xyα

k ′

i′

k

j′

j i

– 144 –

Fig. 2.35

Parametrii cinematici de ordinul I au valorile

.)t(0nkk

0rv QQ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

ω=≠θ+′ϕ+ψ=ω

≡=&&&

& (2.222)

Parametrii cinematici de ordinul II sunt de forma

.)}t(;0a{ Q ω=ε= & (2.223) În cazul mişcării rigidului cu punct fix, vectorul ω variază atât ca mărime cât şi ca direcţie, prin urmare şi derivata lui, respectiv vectorul ε , va avea o direcţie oarecare, diferită de cea a vectorului ω , Fig. 2.35.

θa

N

ψ

ε

P

rotvv =

rota

ϕ

rr ′=

y′

x′

axa

ω

y CQO ≡≡

z

x

(S)

z′

– 145 –

Determinarea traiectoriei punctului P Deoarece 0rQ = , ecuaţia vectorială parametrică a traiectoriei

punctului P al rigidului (S) va avea forma particulară

.rr ′= (2.224)

Pentru a obţine ecuaţiile parametrice ale traiectoriei punctului P, se proiectează această ecuaţie vectorială pe axele reperului fix (R), prin înmulţirea scalară a ei, pe rând, cu versorii k,j,i ai axelor, rezultând următoarele ecuaţii:

.

zyxkrx

zyxjry

zyxirx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

α′+α′+α′=⋅′=

α′+α′+α′=⋅′=

α′+α′+α′=⋅′=

(2.225)

Traiectoria punctului P, va fi o curbă spaţială situată pe suprafaţa unei sfere de rază 222 zyxR ′+′+′= şi centru C.

Determinarea vitezei punctului P Ţinând seama că 0vQ = , viteza punctului P are forma

.rvv rot ′×ω== (2.226)

Calculul vitezei, se face cu ajutorul proiecţiilor ei pe axele mobile. Pentru aceasta, se scrie analitic în reperul )R( ′ relaţia (2.226)

,k)xy(j)zx(i)yz(

zyx

kjirv

yxxzzy

zyx

′ω′′−ω′′+′ω′′−ω′′+′ω′′−ω′′=

=′′′

ω′ω′ω′′′′

=′×ω=

(2.227)

după care, se proiectează pe axele mobile, obţinându-se următoa-

– 146 –

rele componente ale vitezei, în reperul mobil )R( ′

.

xykvv

zxjvv

yzivv

:v

yxz

xzy

zyx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω′′−ω′′=′⋅=′

ω′′−ω′′=′⋅=′

ω′′−ω′′=′⋅=′

(2.228)

Mărimea vitezei punctului P se calculează cu ajutorul acestor proiecţii, rezultând: 2

z2

y2

x vvvv ′+′+′= .

Determinarea acceleraţiei punctului P Conform condiţiilor cinematice (2.223) ale mişcării rigidului cu

punct fix, expresia acceleraţiei punctului P are forma

.aa)r(ra axrot +=′×ω×ω+′×ε= (2.229)

În Fig. 2.35 sunt reprezentate atât componentele acceleraţiei punctului P, cât şi acceleraţia totală a lui. Prin descompunerea dublului produs vectorial, relaţia (2.229) se mai poate scrie sub forma:

.r)r(ra 2 ′ω−ω′⋅ω+′×ε= (2.230)

Calculul acceleraţiei, în probleme, se face cu ajutorul proiec-ţiilor ei pe axele reperului mobil )R( ′ . Ţinând seama de proiecţiile în acest reper ale vectorilor ),,,( zyx ε′ε′ε′ε ),,( zyx ω′ω′ω′ω şi )z,y,x(r ′′′′ , relaţia (2.230) se scrie analitic în reperul )R( ′

,)kzjyix)((

)kji)(zyx(zyx

kjia

2z

2y

2x

zyxzyxzyx

′′+′′+′′ω′+ω′+ω′−

−′ω′+′ω′+′ω′ω′′+ω′′+ω′′+′′′

ε′ε′ε′′′′

= (2.231)

după care, se proiectează pe axele reperului mobil )R( ′ , rezultând

– 147 –

următoarele expresii ale proiecţiilor acceleraţiei:

.

z)()yx(xykaa

y)()zx(zxjaa

x)()zy(yziaa

:a2

y2

xyxzyxz

2z

2xzxyxzy

2z

2yzyxzyx

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′ω′+ω′−ω′′+ω′′ω′+ε′′−ε′′=′⋅=′

′ω′+ω′−ω′′+ω′′ω′+ε′′−ε′′=′⋅=′

′ω′+ω′−ω′′+ω′′ω′+ε′′−ε′′=′⋅=′

(2.232)

Mărimea acceleraţiei punctului P se calculează cu ajutorul acestor proiecţii şi rezultă: 2

z2

y2

x aaaa ′+′+′= . Axa centrală

Deoarece în această mişcare particulară, 0vQ ≡ , în baza relaţiei (2.90) se va putea scrie

,0v

v 2Q

C =ωω

⋅ω= (2.233)

ceea ce atestă faptul că axa centrală a mişcării, este locul geometric al punctelor C aparţinând reperului )R( ′ , care au viteza egală cu zero. Prin particularizarea relaţiilor (2.76) şi (2.77) pentru cazul mişcării rigidului cu punct fix ( 0v,0r QQ ≡≡ ), se obţin ecuaţiile vectoriale ale axei centrale )( CΔ în cele două repere, (R) şi )R( ′

.rr CC ωλ=′= (2.234)

Din relaţia (2.234) se constată că axa centrală coincide cu suportul vectorului ω care îşi modifică orientarea în timp, în raport cu ambele repere, dar tot timpul mişcării trecând prin punctul imobilizat. Polul acceleraţiilor În cazul acestei mişcări particulare, deoarece 0aQ ≡ , polul acceleraţiilor coincide cu punctul imobilizat )OQCJ( ≡≡≡

.0aa Qmin == (2.235)