mecanica 2 caiet de seminar

7/24/2019 Mecanica 2 Caiet de Seminar

1/69

Universitatea Dunrea de Jos din GalaiF a c u l t a t e a d e N a v e

Departamentul de Structuri navale

Conf. Univ. dr. ing. Daniel PITULICE

M E C A N I C ACAIET DE SEMINARII

VOLUMUL 2

- CINEMATICA RIGIDULUI

-

DINAMIC- ELEMENTE DE MECANICANALITIC

GALAI 2007

1


2/69

C U P R I N S

1. Micri particulare ale rigidului1.1.Probleme rezolvate .. 31.2.Probleme propuse 11

2.

Micarea relativa punctului2.1.Probleme rezolvate 142.2.Probleme propuse . 18

3. Cinematica sistemelor de corpuri3.1.Probleme rezolvate ... 193.2.Probleme propuse . 24

4. Dinamica. Noiuni fundamentale4.1.Probleme rezolvate . 264.2.Probleme propuse 27

5. Momentele de inerie mecanice ale rigidului5.1.Probleme propuse . 29

6.

Caracteristicile cinetice ale rigidului6.1.Probleme rezolvate .. 33

7. Teoremele fundamentale din dinamica rigidului i sistemelor materiale7.1.Probleme rezolvate . 367.2.Probleme propuse 39

8. Dinamica rigidului cu axfix8.1.Probleme rezolvate ................. 438.2.Probleme propuse . 47

9. Dinamica rigidului n micare plan paralel9.1.Probleme rezolvate ... 489.2.Probleme propuse . 49

10.

Dinamica punctului material10.1. Probleme rezolvate .. 5010.2. Probleme propuse 53

11.Dinamica micrii relative a punctului material11.1. Probleme rezolvate .. 5511.2. Probleme propuse 57

12.Ciocniri i percuii12.1. Probleme rezolvate .. 5912.2. Probleme propuse 61

13.Elemente de mecanicanalitic

13.1.

Probleme rezolvate 6313.2. Probleme propuse . 68

Bibliografie 69

2


3/69

1. Micri particulare ale rigidului

1.1. Probleme rezolvate

Problema 1.1

Enun. Un volant, n micare de rotaie fa de o ax fix, are la un moment dat vitezaunghiular . DupN rotaii fcute din acest moment, volantul se oprete din cauza frecrilor din

lagre. Sse determine: a) acceleraia unghiularo

a volantului, presupusconstant; b) viteza iacceleraia unui punct situat la distana R de axa de rotaie, la jumtatea intervalului de timp pnla

oprire. Aplicaie numeric: R = 20 cm, , N = 10 rotaii.10 s2 =

Soluiea) Vom stabili mai nti legea de micare

a volantului pornind de la indicaia c

Integrnd de dou ori aceastrelaie obinem:

.const==&&

212 CtCt

2

1++= . (1.1)

Constantele i se determindin condiiile iniiale:1C 2C

Figura 1.1

la t = 0 . (1.2)

=

=

00

&

nlocuind (1.2) n (1.1) rezult: C 01 = , C 02 = . Deci legea de micare a volantului este:

2

tt

2

0 = . (1.3)

Viteza unghiulara volantului la un moment dat se obine prin derivarea relaiei (1.3):

to = (1.4)

deoarece .= & Pentru t = t (timpul de oprire)1 0= i = 2N . Introducnd aceste valori n (1.3) i (1.4)se obine un sistem cu dounecunoscute, din a crui rezolvare rezult:

01

N4

=t ;N40

= .

- Pentru aplicaia numericindicatrezult: s202

104t1 =

= ;

104

4 2

= .

- Mijlocului intervalului de micare i corespunde timpul: s10

2

tt 12 == ;

3


4/69

- n acest moment viteza unghiulara volantului este: 1202 s10102t =

== ;

- Viteza punctului M aflat la raza R este:s

m628,02.0Rv 2 === ;

- Acceleraia punctului M va fi: 222

42

2

sm96,11002,0Ra +=+=

- Reprezentarea vectorilor vitezi acceleraie ai punctului M este cea din Figura 1.1.

Problema 1.2

Enun. O plactriunghiular(triunghi echilateral de latura) se rotete cu .const= njurul unei axe fixe care trece printr-unul din vrfuri i este perpendicularpe plac(v. Figura 1.2).Se cere sse calculeze vitezele i acceleraiile punctelor A i B .

Soluie.Coordonatele punctelor A i B n raportcu sistemul mobil xOy sunt:

=

==

0y

2/3a30cosax

A

A

=

=

2/ay

2/3ax

B

B

Aplicnd relaia (2.9) din curs, vitezele punctelor A i B seobin astfel:

j2

3ai

2

a

02/a2/3a

00

kji

OBv;j2

3a

002/3a

00

kji

OAv BArr

rrr

rrr

rrr

rr+======

1

Figura 1.2

aBvA

aAA

BvBy1

y

o

n care

;j2

ai

2

3aBO;i

2

3aOA

rrr+== 0OBv;0OAv BA ==

rr.

Rezultc OAvA r

iar OBvBr

, 2/3avA =r

( ) ( )2

2B 2/3a2/av +=r

.

Aplicnd relaia (2.11) din curs, n care 0= , acceleraiile punctelor A i B se obin astfel:

OAi2

3a

02/3a0

00

kji

v)OA(a 22AA ==

=== r

rrr

rrrrr

4


5/69

OBj2

ai

2

3a

02/3a2

a00

kji

v)OB(a 222BB ==

=== rr

rrr

rrrrr

Vectorii viteze i acceleraii sunt reprezentai n Figura 1.2.

Problema 1.3

Enun. Se dun urub cu diametrul exterior d i pasul p care, plecnd din repaus, aredup timpul turaia (rot/min). Sse gseascexpresiile vitezei axiale1t 1n 0v a urubului, vitezei

unghiulare , precum i viteza i acceleratia la momentul ale unui punct de la periferiaurubului, considernd micarea uniform accelerat.

r

1t

Soluie.- La momentul viteza unghiulara urubului este:1t 30/n11 = .- Deoarece micarea este uniform accelerat( .const= ), t= iar la momentul ,

, deci1t

11 t=

1

1

1

1

t30

n

t

=

= .

Deci legea de variaie a vitezei unghiulare n timp este:

tt30

n

1

1= .

- Punctul M aflat la periferia urubului va descrie o traiectorie elicoidal(translaie i rotaie) .Viteza lui se calculeazcu relaia:

rvv 0Mrrrr

+= .

Din relaia (2.23), datla curs, rezult: t

t30

n

2

p

2

pv

1

10

=

= ; t

t60

pnv

1

10 = .

Modulul vitezei punctului M la momentul va fi:1t

222122

220M dp60

n

2sin

4

dvv +=

+= .

Acceleraia punctului M se calculeazcu relaia:

)r(raa 0rrrrrrr

++= ,

5


6/69

n care acceleraia micrii de translaie este datde relaia:0a

1

10 t60

pn

2

pa =

= .

Modulul acceleraiei punctului M la momentul va fi:1t

221

22

1

1

2

1

1

22

220 2

d

900

n

t60

dn

t60

pn

2

d

2

daa

+

+

=

+

+= .

Problema 1.4

Enun.O barAB de lungime 2l se deplaseazntr-un plan rezemndu-se cu extremitilesale pe doughidaje care fac ntre ele un unghi de (v. Figura 1.3). Se dviteza captului A al

barei Se cere sse determine baza, rostogolitoarea i vitezele punctelor B i C ale barei.90

.constvA =

Soluie. Centrul instantaneu de rotaie poate fiaflat (aa cum rezult din Figura 1.3) la intersecia

perpendicularelor duse pe vitezele a dou puncte alebarei. Captul B se deplaseazn jos deci se poate duceo pe axa O1y1n B (dreapta BI). Perpendiculara pe Aveste AI.

Figura 1.3

Coordonatele centrului instantaneu I de rotaie

fade sistemul fix de referinsunt:

===

===

cosl2cos)AB(BO

sinl2sin)AB(AO

11

11

care reprezintn acelai timp i ecuaiile parametriceale bazei. Aceste coordonate depind de timp prinintermediul lui .

Prin eliminarea parametrului ntre aceste ecuaii obinem ecuaia explicita bazei:

.22121 )l2(=+

Deci baza este un cerc cu centrul n punctul O (0,0) i de raz2l.1 Sscriem acum coordonatele centrului instantaneu de rotaie I fade sistemul mobil Oxy:

====

====2

1

1

cosl2coscos)AI()AE(

cossinl2sinsin)AI()AD(

care sunt totodati ecuaiile parametrice ale rostogolitoarei.

Prin eliminarea parametrului ntre aceste ecuaii obinem ecuaia explicit arostogolitoarei:

6


7/69

)12(cosl

2sinl

+=

= 11

ll

2

2

2

=

+

,

sau .( )222

ll =+

Deci rostogolitoarea este un cerc cu centrul n punctul C(0,l) i razl .- Viteza unghiularinstantanee de rotaie a barei se obine din viteza punctului A:

)IA(vA =

Deci

==cosl2

v

)IA(

v AA .

- Viteza punctului B va fi:

=

== tgvsinl2cosl2v)IB(v A

AB .

- Viteza punctului C va fi:

=

==

cos2

vl

cosl2

v)IC(v AAC .

S-a notat cu viteza unghiulara micrii de rotaie n jurul centrului instantaneu.

Dac bara pleac din poziia 0= , legea de micare a originii sistemului mobil este:

. Derivnd n raport cu timpul obinem: .= sinl2s0 ==== cosl2cosl2svv oA0 &&

Deci

=cosl2

vA , de unde rezultc = .

Coordonatele centrului instantaneu de rotaie se pot scrie i folosind ecuaiile parametrice(2.30) i (2.31), date la curs, n care:

=

=

sinvv

cosvv

0oy

0x0 ; .

=

=

0y

sinl2x

0

0

Se vor ob

ine acelea

i expresii

pentru bazi rostogolitoare.

Problema 1.5

Enun. O bar OA delungime l se deplaseaz ntr-un plancu extremitatea O pe un semicerc derazR i rezemndu-se n punctul B(v. Figura 1.4). Se dviteza . Se

cer: baza, rostogolitoarea i

distribuia de viteze.

0v Figura 1.4

Soluie. Ecuaiile parametrice ale bazei sunt:

7


8/69

==

==

2sinR2sin)IO(y

2cosR2cos)IO(x

11

11

din care, prin eliminarea parametrului , se obine ecuaia bazei: . Deci baza este uncerc de razR cu originea n O .

22

1

2

1 Ryx =+1

Ecuaiile parametrice ale rostogolitoarei sunt:

==

==

sinR2sin)IO(y

cosR2cos)IO(x

Prin eliminarea parametrului ntre aceste dou ecuaii se obine: . Deci

rostogolitoarea este un cerc cu centrul n punctul O i de raz2R.

222 R2yx =+

Viteza punctului B are valoarea:

=== sinvsinR2R2

v)IB(v 0

0B .

Problema 1.6

Enun. Sse determine acceleraiile punctelor A iB ale roii de raz R (v. Figura 1.5) care se rostogoletefralunecare pe o cale de rulare orizontal, centrul D alroii deplasndu-se cu viteza orizontal constant.0v

Soluie. Se observ c centrul instantaneu derotaie I al roii este punctul de contact cu calea de rulare(deoarece acest punct are pentru momentul considerat ndesen vitez nul). n jurul lui I rigidul se roteteinstantaneu cu viteza unghiulara .

Viteza punctului O calculatn raport cu I este:=0v (IO) = R. Deci .constR/v0 == Rezultc =

& = 0.Distribuia de acceleraii pentru roata n micarea

de rostogolire fr alunecare (care este micare plan-

paralel) se obine ntocmai ca ntr-o micare de rotaie cu= const. ca i cum roata s-ar roti n jurul polului acceleraiilor. Polul J al acceleraiilor este tocmaicentrul 0 al roii (deoarece 00 va &

r= = 0 fiindc 0v = const.). Astfel, putem calcula:

Figura 1.5

R

vaa;

R

vaR)OA(a

20

AB

20n

AJ22

A ====== .

Problema 1.7

Enun. Sse determine distribuia de acceleraii pentru o barAB a crei extremitate A se

mic cu viteza = const. pe un semicerc de raz R, sprijinindu-se mereu pe muchia C,extremitatea diametrului semicercului (v. Figura 1.6).

Av

8


9/69

Soluie. S-a artat la

problema 1.5 cum se determincentrul instantaneu de rotaie I

precum i distribuia de vitez

pentru bara AB.

=R2

vA =const. .0== &

S gsim poziia polului

acceleraiilor J. Deoarecepunctul A are micare circularcu = const., rezult c el vaavea numai acceleraie normal,

dirijat pe direcia razei

Av

AO iavnd valoarea:

R

vRa

2A2

A == .

Folosind relaia (2.45)din curs se calculeaz: Figura 1.6

tg =2

= 0.

Deci polul acceleraiilor J se gsete pe suportul acceleraiei punctului A, , la distanacalculatcu relaia:

Aar

( )R4

R2/v

R/vaa2

A

2A

2A

42

A ==

=+

JA=rr

.

- Acceleraia unui punct oarecare M al barei se obine ca i cum acest punct s-ar roti n jurulpunctului J cu viteza unghiular= const., adic

.)JM(a 2M =

Aceastacceleraie este dirijatpe direcia MJ .- Viteza aceluiai punct se obine ca i cum acesta s-ar roti n jurul centrului instantaneu de

rotaie I i are valoarea:

(v = .)IMM

Aceastvitezeste perpendicularpe IM .

9


10/69

Problema 1.8

Enun.Se dmecanismul biel- maniveldin Figura 1.7. Cunoscnd viteza unghiular=const. a manivelei precum i geometria mecanismului, se cere s se determine, pentru poziiadesenat, acceleraiile punctelor A i B.

Soluie. Manivela OA execut omicare de rotaie n jurul captului O, cuviteza unghiular = const.

Punctul A are viteza:

R)OA(vA == .

Acceleraia punctului A va fi:

.Raa

2

AA ==

Biela AB executo micare plan-

paralel. Centrul instantaneu de rotaieal bielei se determin ducnd

perpendiculare pe direciile vitezelorpunctelor A i B.

2I

- Viteza unghiularinstantanee 2 a bielei se determindin relaia:

Figura 1.7

)AI(v 22A =

deci

)AI(

R

)AI(

v

22

A2

== .

- Viteza punctului B se calculeazca la micarea de rotaie, ca i cum punctul B s-ar roti njurul lui :2I

)AI(

)BI(R)BI(v

2

222B == .

- Acceleraia punctului B se determincu ajutorul relaiei lui Euler:

++= BABAAB aaaa rrrr

.

Figura 1.8

Fiecare vector din aceast relaie conine dounecunoscute: modulul i direcia. Sdeterminm numrulnecunoscutelor din aceast relaie. Vom nota sub fiecarevector cu cte o liniu fiecare caracteristic cunoscut(mrime sau direcie).

- Bar

are cunoscutdirecia (orizontal);r

-A

a este cunoscut n totalitate;

10


11/69

- BAar

are direcia de la B ctre A i modulul: )AB/(va 2BABA =r ;

- BAa are cunoscutnumai direcia.

Putem deci construi poligonul acceleraiilor la scar (v. Figura 1.8). Din acest poligon

rezultacceleraiile Ba i BAa .-Viteza v se determin construind poligonul vitezelor corespunztor relaiei lui Euler,

scrispentru viteza punctului B:BA

Figura 1.9

BAAB vvv rrr

+= ,

unde- este cunoscutn totalitate;Avr

r- are direcia OB (orizontal);Bvr

- are direciaBAv AB.

Dacpoligonul vitezelor din Figura 1.9 a fost construit lascar, se msoarsegmentul QR i se obine viteza:

vBA )QR(v =

unde este scara vitezelor n .[ ]cm/)s/m(

1.2. Probleme propuse

Problema 1.9. n Figura 1.10 este prezentat schema funcionala mecanismului motor alunei maini de rabotat (eping). Manivela OA = r = 200 mm se rotete n jurul punctului O cuturaia n = 50 rot/min. Ea antreneazculisa A, articulatde maniveli care alunec(gliseaz) ncanalul balansierului O1A ce este articulat n punctul O1. Cunoscnd distana O1O = d = 500 mm, sse determine viteza unghiular instantanee 1 a balansierului O1A n funcie de unghiul almanivelei motoare.

Figura 1.10

11


12/69

Problema 1.10. n paralelogramul articulat din Figura 1.11 punctul O este fix iar barele OA= a i OB = b se rotesc uniform n sens invers trigonometric cu vitezele unghiulare 1i respectiv2. Sse afle ecuaiile bazelor i rostogolitoarelor corespunztoare barelor AC i BC.

Problema 1.11. O barAB alunec n planul O1x1y1 dup legea = kt (v. Figura 1.12).tiind cAB = l, sse scrie ecuaiile bazei i rostogolitoarei. Sse calculeze vitezele i acceleraiile

punctelor A, B i C pentru poziia = /6 a barei(punctul C se aflla mijlocul barei).

Figura 1.12Figura 1.11

Figura 1.14

Figura 1.13

Figura 1.15

Problema 1.12. Manivela OA a mecanismului biel maniveldinFigura 1.13 se rotete n jurul punctului fix O cu viteza unghiularconstant0= /10 s

-1. Sse calculeze viteza punctului B pentru urmtoarele poziiiale manivelei: 1) = 0; 2) (0, /2); 3) = /2.

Problema 1.13.Manivela O1O = 2r se rotete cu viteza unghiular0 = constant n jurul punctului O1 (v. Figura 1.14). Ea antreneaz nmicare plan paralelun disc de razr care se rostogolete fralunecaren interiorul suprafeei cilindrice de razR = 3r. Sse calculeze vitezele iacceleraiile punctelor A i B ale discului.

Problema 1.14.Manivela OA = 0,3 m din Figura 1.15 se rotete njurul axei O cu viteza unghiularconstant 0= 5 rad/s. Roata dinat derazr2= 0,2 m se rostogolete fralunecare pe roata de razr1= 0,1 m iantreneazn micare plan paralelbiela BC = l =1,2 m articulatde ea n

punctul B. Sse calculeze viteza unghiulara bielei BC i vitezele punctelorB i C n momentul cnd raza AB este perpendicularpe manivela OA.

12


13/69

Problema 1.15.urubul (3) unei prese cu friciune, schiatn Figura 1.16, are pasul p = 2cm. El este antrenat de discul (1) cu ax orizontal prin intermediul discului (2) de razR = 50 cmsolidar cu urubul (3). Turaia discului de antrenare (1) este n = 300 rot/min. Datoritdeplasriiurubului n timpul funcionrii, raza la care se face contactul ntre cele doudiscuri variazn timp.n momentul iniial, cnd discurile (1) i (2) iau contact, r = r0= 0,2 m. Se cere sse gseasclegea

de micare a urubului v0= v0(r) i = (r). Cursa urubului fiind s = 30 cm, sse calculeze vitezanicovalei superioare (4) n momentul cnd ia contact cu nicovala inferioar(5).

Problema 1.16. Se d sistemul de corpuri din Figura 21.17aflat n micare plan paralel. Discul de razR se rostogolete fralunecare cu viteza centrului su v0 = constant iar bara AB = 4R,articulatde periferia discului n punctul B, se aflla un moment datn poziie orizontal. S se calculeze, pentru poziia din figur: a)valorile vitezei i acceleraiei unghiulare instantanee ale barei; b)

poziia polului acceleraiilor; c) viteza i acceleraia punctului A.

Problema 1.17. n Figura 1.18 este prezentat schematic opres manual cu urub. Filetele urubului au sensuri contrare iarpasurile lor sunt h1i h2. Unghiul glisierei A cu verticala este . Ssecalculeze viteza glisierei dac manivela urubului are turaia nrot/min n sens contrar acelor de ceas.

Problema 1.18. Pana triunghiular din Figura 1.19 (cuseciune triunghi isoscel) se gsete ntre douprisme A i B, care sedeplaseazprin translaie pe o suprafaorizontal, cu vitezele date v1i v2. Sse calculeze viteza micrii penei.

Figura 1.16


Problema 1.19.Un corp rigid (v. Figura 1.20) se rotete cu turaia n = 50 rot/min n juruldreptei x1= y1= z1. Sse determine viteza unui punct oarecare M (x, y, z) al rigidului.

13


14/69


2. Micarea relativa punctului


Problema 2.1

Enun. Un con se rotete n jurul axei sale Oz cu viteza unghiularconstant. Punctulmobil M pleacdin vrful O al conului i se deplaseazpe generatoarea OA cu viteza constant

u. Sse determine valorile vitezei i acceleraiei absolute ale punctului M dupt secunde dinmomentul plecrii din O. Unghiul de deschidere la vrf al conului este 2.

1

Soluie. Considerm urmtoarele sisteme dereferin:

- O - sistemul fix cu axa O verticaln jos i care coincide cu axa conului;

1111 zyx 1z

- Oxyz - sistemul de referin mobil, solidarlegat de con, planul xOz coninnd generatoarea OA.

Micrile punctului M se definesc astfel:- micarea relativ: micarea punctului M fade sistemul mobil Oxyz, deci fa de con, ca i cumacesta ar fi fix (translaie pe direcia OA);

- micarea transport: micarea punctului Modatcu conul n jurul axei (rotaie).11zO

Figura 2.1

- micarea absolut: micarea punctului M fade sistemul O .1111 zyx

14


15/69

Determinarea analitica vitezelor

jsinutcosut0sinut

00

kji

rvv

)isink(cosuuv

0t

r

r

rrr

rrrr

rrrr

=

=+=

+==

)kcosi(sinut)kcosi)(sinOM(OMrrrrrr

+=+== rrrrrrjsinutkcosuisinuvvv tra ++=+=

222222222a )sint(1usintucosusinuv +=++=r

.

Calculul intuitiv al vitezelor

tra vvv rrr +=

- Viteza relativare modulul u i este orientatpe direcia OA ;- Viteza de transport se obine din micarea circulara punctului M n jurul punctului

cu viteza unghiular. Raza traiectoriei punctului M n micarea de transport este:'O

== sinutsin)OM()MO( '

deci .= sinutv t

Vectorul v tr este tangent la traiectorie, deci este perpendicular pe M'O i pe OA . Rezultc tr vv

rr . Modulul vitezei absolute se calculeazastfel:

2222222t

2ra )sint(1usintuuvvv +=+=+= .

Figura 2.2

Calculul acceleraiei absolute prin metoda analitic

0tu

tva rr =

=

=r

r (deoarece u = const.);

isinut

0sinut0

00

kji

v)r(raa

2

t0t

r

rrr

rrrrrrrrr

=

=

==++=

;

jsinu2cosu0sinu 00

kji

2v2a rc

r

rrr

rrr

= == ;

15


16/69

ctra aaaa rrrr

++= ,

sau, nlocuind relaiile de mai nainte:

jsinu2isinuta 2arr

.r

+=

Deci vectorul aa

rse afln planul xOy.

Modulul acceleraiei absolute a punctului M va fi:

22222a t4sinu)sinu2()sinut(a +=+=r

.

Problema 2.2

Enun. Un disc circular greu de razr cade n cmpul gravitaional i n acelai timp serotete n jurul centrului su cu viteza unghiularconstant(v. Figura 2.3). Sse determine vitezai acceleraia absolut a punctului M situat la periferia discului. n momentul iniial centrul O aldiscului coincide cu originea al sistemului fix de referin, iar punctul M se gsete pe axa

.1O

11xO

Soluie.Se aleg urmtoarele sisteme dereferin:

-

sistemul fix x1O1y1, cu axa O1y1verticaldescendent:- sistemul mobil xOy avnd originea n

centrul discului i axa Oy suprapuspesteO1y1.

Se definesc micrile:- micarea relativ a punctului M, este

micarea circularcu viteza unghiular= const.;

- micarea de transport, datorat cderiidiscului, este o translaie vertical cu

acceleraia gravitaiei.

Calculul analitic al vitezelor

tra vvv rrr

+=

j)tsin(ri)tcos(rOMr +==

[ ]j)tcos(i)tsin(rt

rv r +=

=

0rv r = iar rv r = .

Deci viteza relativ este un vectorFigura 2.3

16


17/69

perpendicular pe OM , aa cum arati Figura 2.3, i are modulul egal cu r.

r rvv t0t

rrr+= ,

unde jgtv0 = iar t= 0, deoarece micarea de transport este o translaie. Deci

jgtv t = .Rezult

[ ]j)tcos(rgti)tsin(rva ++= ;

[ ] [ ]

( ) )tcos(rgt2)gt(r

)tcos(rgt)tsin(rv

22

22a

++=

=++=,

rezultat la care s-ar fi ajuns i prin aplicarea teoremei generalizate a lui Pitagora n triunghiulvitezelor din Figura 2.3.

Calculul analitic al acceleraiilor

ctra aaaa rrrr

++= ,r

unde [ ] rj)tsin(i)tcos(rt

ra 22

2

2

r =+=

=

r,

ra 2r = iar direcia lui ra este de la punctul M ctre centrul discului;

jga)r(raa 0ttt0t ==++= rrrrrrr

;0v2a rtc == ,

unde deoarece micarea de transport este o translaie. Din acelai motiv i acceleraia

Coriolis este nul. Rezult:

0tt ==

j)tsin(rgi)tcos(ra 22a += ; )tsin(rg2g)r(a2222

a += .

La acelai rezultat se ajunge i prin aplicarea teoremei lui Pitagora generalizate n triunghiulacceleraiilor din Figura 2.3.

17


18/69


Problema 2.3

Figura 2.4

O barAB de lungime 2r se rotete n sensul

acelor de ceasornic, ntr-un plan fix, n jurulcaptului su A, cu viteza unghiularconstant 1.La captul B al barei este articulato roatde razr care se rotete n acelai plan, n senstrigonometric, cu viteza unghiular fa de baraAB (v. Figura 2.4). Sse calculeze valoarea vitezeiunghiulare astfel nct acceleraia absoluta unui

punct M aparinnd roii, aezat la momentulconsiderat pe axa barei, sfie egalcu zero.

Figura 2.5

Problema 2.4

Un triunghi dreptunghic isoscel OAB se rotete n planulsu n jurul vrfului O cu viteza unghiularconstant. Un punctoarecare M se mic cu viteza relativ constant de-a lungullaturii AB, parcurgnd distana AB n timpul unei rotaii completea triunghiului. S se calculeze viteza i acceleraia absolut ale

punctului M n momentul cnd el se afl n A, dac (AB) = a.Aplicaie numeric: = 20 rad/s; a = 0,2 m.

Problema 2.5

Figura 2.6

Figura 2.7

Dreapta AB are o micare de translaie cu vitezaconstantv perpendicularpe AB, n planul unui cerc fix deraz r (v. Figura 2.6). S se calculeze vitezele relativ iabsolutale punctului M de intersecie dintre dreapt i cerc

precum i acceleraia absolut a lui, pentru poziia = 26o.Aplicaie numeric: v = 2 m/s; r = 0,5 m/s.

Problema 2.6

O pictur de ap curge cu viteza uniform v0 de-alungul unei spie de roat, pornind de la poziia vertical (v.Figura 2.7). Roata se rostogolete fr salunece pe un planorizontal avnd o vitez a centrului v1 constant. S secalculeze viteza i acceleraia absolut ale picturii pentru o

poziie a spiei nclinat cu unghiul fa de vertical, razaroii fiind R.

18


19/69

3. Cinematica sistemelor de corpuri


Problema 3.1

Enun. Se consider mecanismul din Figura 3.1.Manivela 1, articulat n punctul A, se rotete n senstrigonometric cu viteza unghiular1i acceleraia unghiular1cunoscute. Balansierul 2 este articulat n punctul C la batiu iar lacaptul B are articulatculisa 3, care alunecliber (culiseaz) nlungul manivelei 1. Lungimea balansierului BC este egalcu l2.Se cere s se calculeze viteza i acceleraia culisei B pentru

poziia 1a manivelei fade orizontal.

Figura 3.1

Rezolvare.Punctul B, aparinnd culisei 3, are o micare absolut (circular) n jurul punctului C

deoarece aparine i balansierului 2. n acelai timp are micare relativ (de translaie) fa demanivela 1 i o micare de transport (circular) odatcu manivela 1.

Pentru viteza punctului Bse poate scrie relaia lui Euler:

rB

tBB vvv += sau 11 BBBB vvv += (3.1)

n care: ABv 1B1 = unde ( )ABv 1B1 = - modul cunoscut

ABv1B - direcie cunoscut

( )ABABvv

11 BBBB = unde 1BBv - modul necunoscut

( )ABAB

- direcie cunoscut

CBv 2B = unde 2 necunoscut

CBvB - direcie cunoscut.

Figura 3.2

n ecuaia (1) s-a subliniat sub fiecare vector cte o barpentru fiecare parametru cunoscut (modul sau direcie). ntruct n

aceast ecuaie vectorial plan apar numai dou necunoscute(lipsesc dou bare sub vectori) rezult c ecuaia se poate rezolvagrafic, prin construirea la scar a poligonului vitezelor (v. Figura4.13). Dacscara vitezelor este vatunci rezult:

( )PRv vBB1 = ; ( )QRv vB = .

Ecuaia (3.1) se poate rezolva analitic n felul urmtor. Sescrie ecuaia sub forma:

( )ABABvABCB

1BB12 += . (3.2)

19


20/69

Se ataeazdesenului un sistem de referinplan i se exprimvectorii din relaia (3.2) n

raport cu acest sistem. Se obine urmtoarea ecuaie vectorial:

[ ][ ] 2/12AB2ABABABBB

ABAB

1

CBCB

2)yy()xx(

j)yy(i)xx(v

0yyxx

00

kji

0yyxx

00

kji1

+++

=

care, proiectatpe axe, conduce la sistemul de ecuaii scalare:

+=

+=

)AB(

)yy(v)xx()xx(

)AB(

)xx(v)yy()yy(

ABBBAB1CB2

ABBBAB1CB2

1

1

cu necunoscutele 2i 1BBv .

Pentru acceleraia punctului Bputem scrie relaia lui Euler:

cB

rB

tBB aaaa ++= sau

cBBBBBB

nB 111

aaaaa ++=+ , (3.3)

n care: CB)CB(a 2222nB == - acceleraia normalcunoscut;

CBa 2B = - acceleraia tangenialcu )CB(a 2B =

- modul necunoscut

i CBa B - direcie cunoscut: ABABaaa 1

21B

nBB 111

+=+= - acceleraia de transport complet cunoscut;

)AB(

ABaa

11 BBBB = - acceleraia relativcu modulul

1BBa necunoscut;

11 BB1

cBB v2a = - acceleraia Coriolis, cu modulul 11 BB1

cBB v2a = cunoscut i

direcia ABcBB1 a cunoscut.

ntruct relaia (3.3) este o ecuaie

vectorial n plan cu dou necunoscute(dou bare lips sub vectori) ea poate firezolvat grafic construind la scar

poligonul acceleraiilor (v. Figura 3.3).Dac scara acceleraiilor este a atuncirezult:

Figura 3.3

)NQ(a aBB1 = ;

)MQ(a aB = ;

)PQ(a aB = .

20


21/69

Ecuaia (3.3) se poate rezolva analitic n felul urmtor. Se scrie ecuaia sub forma:

)AB(

ABv2

)AB(

ABaABABCBCB

11 BB1BB1212

22 +++=+ . (3.4)

Se exprimvectorii din ecuaia (4) n raport cu un sistem de referinales i se obine:

[ ] [ ]

0)yy()xx(

00

kji

)AB(

v2

)AB(

j)yy(i)xx(a

0)yy()xx(

00

kji

j)yy(i)xx(

0)yy()xx(

00

kji

j)yy(i)xx(

ABAB

1BBABAB

BB

ABAB

1

ABAB21

CBCB

2CBCB22

1

1

++

+

+

++=

++

Aceast ecuaie vectorial, proiectatpe axele sistemului de referin, conduce la sistemulde douecuaii scalare:

++

++=+

+

+=

)AB()xx(v2

)AB()yy(a

)xx()yy()xx()yy()AB(

)yy(v2

)AB(

)xx(a

)yy()xx()yy()xx(

AB1BB

ABBB

AB1AB21CB2CB

22

AB1BB

ABBB

AB1AB21CB2CB

22

11

11

care conine necunoscutele 2i 1BBa .

Problema 3.2

Enun. Se considermecanismul cu culisoscilant(eping) descris mai jos. Manivela OAse rotete n jurul articulaiei O cu viteza unghiularconstant0. Culisa A, articulatde manivel,

alunecn lungul balansierului O1B care este articulat n O1i care antreneazbiela BC. Captul Cal bielei antreneaz, n micare de translaie alternativ, berbecul mainii de rabotat (numiteping).Cunoscnd:

- lungimile barelor mobile (OA) = r, (O1B) = l, (BC) = a;- distanele constructive (O1O) = h, (O1D) = H;- raportul de transmitere al transmisiei cu roi dinate n doutrepte, ird;- raportul de transmitere al transmisiei prin curele, ict,

sse calculeze:- vitezele i acceleraiile punctelor A, B i C ale mecanismului;- turaia electromotorului de antrenare.

21


22/69

Prezentarea mainii de rabotat (eping).

epingul este o main unealt destinatprelucrrii prin achiere a suprafeelor plane.Cuitul mainii execut o micare alternativ

(dute vino) operaia de achiere avnd loc launa dintre curse. n Figura 3.4 este prezentatschia unui eping pe care s-a figurat cu liniegroas mecanismul de acionare cu culisoscilant. Principalele elemente constructive alemainii sunt: 1 batiul; 2 balansierul; 3 manivela; 4 volanta; 5 transmisia cu roidinate cilindrice; 6 transmisie prin cureletrapezoidale; 7 electromotorul de acionare; 8

biela; 9 culisa; 10 cuitul; 11 berbeculmainii; 12 masa pe care se fixeaz piesa de

prelucrat.Electromotorul 7 antreneazn micare de

rotaie manivela 3 prin intermediul transmisiilorcu curele 6 i roi dinate 5 i al volantei 4 (care

constituie ultima roatdinata transmisiei 5). Manivela 3 acioneazbalansierul 2 imprimndu-i omicare oscilantntre cele doupoziii extreme reprezentate n Figura 3.4. Transmiterea micriide la manivella balansier se face prin culisa 9, care alunecn lungul balansierului fiind articulatn acelai timp de captul manivelei 3. De la balansier micarea se transmite la berbecul 11 prinintermediul bielei 8. La captul berbecului este fixat cuitul 10 care produce achierea suprafeei

piesei montate pe masa 12.

Figura 3.4

Rezolvare.

Culisa A are viteza absolutOAv 0A = , de modul vA= 0r i direcie

OAvA . Fa de balansierul 2, culisa A are o

micare relativ(n lungul acestuia) cu vitezaiar odatcu balansierul are o micare de transport

(circular) cu viteza AO11=vtA ,

perpendicularpe AO1

. n Figura 3.5 estedesenat triunghiul vitezelor culisei A pentru

poziia a manivelei. Din acest triunghi rezultmodulele vitezei de transport i vitezei relative:

rAv ,

;AO()cos(vv 11AtA == )

Figura 3.5

.)sin(vv ArA =

Viteza unghiular instantanee a

balansierului va fi:

22


23/69

)AO(

)cos(r

1

01

= ,

n care: )cos(rh2hr)EA()EO()AO( 222211 ++=+=

iar )cos(rh2hr

)sin(r

)AO(

)EA(

)sin( 221 ++

== .

Viteza punctului B al balansierului este:

.l)BO(v 111B ==

Biela BC are micare plan-paralel. Centrul instantaneu de rotaie al bielei BC s-a gsitducnd perpendiculare pe direciile vitezelor punctelor B i C (v. Figura 3.5). Cunoscnd viteza

punctului B, se calculeazviteza unghiularinstantanee a bielei BC astfel:

)IB(vB

2 = .

Viteza punctului C va fi:

)IB(

)IC(v)IC(v B2C == .

Segmentele (IB) i (IC) se determindin IBC aplicndu-se teorema sinusurilor.Acceleraia punctului A, avnd micare relativ, va fi calculatfolosind relaia lui Euler:

cA

rA

tA

nAA aaaaa ++== sau

cAAAA

n2AA

nA 222

aaaaa +++=

n care: OAa 0nA = - acceleraia absolut, complet cunoscut;

AOa 11A2 = - acceleraia tangenialn micarea de transport, cu direcie

cunoscuti modul necunoscut (1fiind necunoscut);AOa 1

21

nA2

= - acceleraia normaln micarea de transport; cunoscut;

)BO(

BOaa

1

1AAAA 22 = - acceleraia relativa culisei A, modul necunoscut, direcie

cunoscut;rA1

cAA v2a 2 = - acceleraia Coriolis a culisei A, cunoscutcomplet.

23


24/69

Relaia lui Euler pentru acceleraia punctului Aconine numai dou necunoscute scalare (ntructlipsesc doar dou bare sub vectori), deci se poaterezolva grafic sau analitic, aa cum s-a procedat n

problema 3.1. n Figura 3.6 este construit poligonul

acceleraiilor culisei A, pe baza relaiei lui Euler.

Figura 3.6

Dac scara de reprezentare a acceleraiilor afost aatunci, din Figura 3.6, rezult:

)MN(a aAA2 = ; a .)NQ(aA2 =

Din ultima relaie rezultacceleraia unghiular

a balansierului:

)AO(

a

1

A1

2

= .

Acceleraia captului B al balansierului va fi datde relaia:

BOBOaaa 12111

nBBB =+=

n care toate mrimile sunt cunoscute. Compunerea vectorilor se poate face grafic.Acceleraia punctului C al bielei BC se calculeazfolosind tot relaia lui Euler:

nCBCBBC aaaa ++=

n care: Ca are direcia orizontali modulul necunoscut;CBa este BC i are modulul necunoscut;

BCa 22nCB = complet cunoscut.

Pentru rezolvarea grafica ecuaiei lui Euler pentru acceleraia punctului C se adopto scara acceleraiilor i se construiete un poligon al acceleraiilor.

Turaia electromotorului de acionare a epingului se va calcula cu relaia:

0rdct0rdctma30

iiniin

== n (rot/min).


Problema 3.3. Roata tocilarului este pusn micare cu ajutorul pedalei OA = 24 cm, care

penduleaz n jurul articulaiei O dup legea t2

sin6

= (rad), unghiul fiind msurat fa de

orizontal(v. Figura 3.7). Piatra tocilei K este rotitn jurul axului O1cu ajutorul bielei AB. AxeleO i O1sunt perpendiculare pe planul desenului. S se calculeze viteza punctului D de pe piatra

tocilei K de razR = 2(O1B) la momentul t = 0, dacla acest moment OA i BO1 sunt orizontale.

24


25/69

Problema 3.4. Transmisia cu lana unei biciclete se compune dintr-un lancare este trecutpeste cele douroi dinate: A cu 26 de dini i B cu 9 dini (v. Figura 3.8). Pinionul B este fixatrigid de roata posterioarC a bicicletei al crei diametru este egal cu 70 cm. Sse calculeze viteza

bicicletei atunci cnd foaia dinat A face o rotaie pe secund iar roata C se rostogolete fralunecare pe un drum drept.

Figura 3.7 Figura 3.8 Figura 3.9

Problema 3.5. S se calculeze viteza absolut a punctului M aparinnd bielei AB careunete manivelele OA i O1B de acionare a osiilor O i O1, dacrazele roilor identice sunt R = 1 m(v. Figura 3.9). Razele manivelelor sunt OA = O1B = 0,5 m. Viteza de deplasare a ansamblului estev0= 20 m/s. Viteza punctului M se va calcula pentru patru momente, cnd manivelele OA i O1Bsunt fie verticale, fie orizontale. Roile se rostogolesc pe infralunecare.

Problema 3.6. Manivela OA de lungime 20 cm se rotete uniform cu viteza unghiular0=10 rad/s i pune n micare biela AB de lungime 100 cm (v. Figura 3.10). Culisa B se mic pe

vertical. Sse calculeze viteza unghiulari acceleraia unghiulara bielei precum i viteza culiseiB n momentul n care manivele i biela sunt reciproc perpendiculare i formeaz cu orizontalaunghiurile = 45oi = 45o.

Figura 3.10

25


26/69

4. Dinamica. Noiuni fundamentale


Problema 4.1

Enun. S se calculeze lucrul mecanic totalefectuat de o for de greutate G care i deplaseaz

punctul de aplicaie ntre doupoziii i

.

)z,y,x(A AAA)z,y,x(B BBB

Figura 4.1Rezolvare. Alegem sistemul de axe cu axa Ozvertical. Deci kgmG = iar deplasarea elementar

este kdzjdyidxrd ++= . Lucrul mecanic total se va

calcula cu relaia:

hmg)zz(mgdzmg

dzmg)kdzjdyidx()kmg()G(dL)G(L

BA

Z

Z

ABAB ABAB

B

A

===

==++==

unde este diferena de cote dintre punctele A i B (v. Figura 4.1). Analog se obine:h

hmg)G(LBA

=

0)G(LAB > deci este un lucru mecanic motor.

0)G(LBA < deci este un lucru mecanic rezistent.

Problema 4.2

Figura 4.2

Enun.Sse calculeze lucru mecanic total alforelor care acioneaz asupra roii din Figura 4.2.Roata are greutatea G, raza R i este traspe un plan,nclinat cu unghiul fa de orizontal, de ctrefora constantF paralelcu planul. Coeficientul defrecare la alunecare al roii pe plan este iarcoeficientul de frecare la rostogolire al roii pe planeste s. Roata se rostogolete pe distana C lC10 = .

Rezolvare. Lucrul mecanic total cutat va fisuma lucrurilor mecanice totale ale forelor cesolicitroata, adic:

L = L( F ) + L( G ) + L( N ) + L( T ) + L( rM ),

26


27/69

n care FldrF)rd,Fcos(drFrdF)F(Ll

0CCCC 1010

==== ;

=+=== 1010 10 CC

o

CC CC

)90cos(drG)rd.Gcos(drGrdG)G(L

hGsinlGdrsinGl

0

===

;

0dt)v,Ncos(vNdtvNrdN)N(L10 1010II II

IIII

II ====

pentru c Iv = 0. I este centrul instantaneu de rotaie al roii pentru poziia desenat;

0dt)v,Tcos(vTdtvT)T(dL)T(L101010 II

II

II

I

II

====

pentru c ;0v I =

====1

0

1

0

1

0

t

t

t

t

t

t

rrrr dt),Mcos(NsdtM)M(dL)M(L

= ===1

0

1

0

1

0

t

t

t

t

t

t

o0 lR

sNdr

R

sNdtv

R

sNdt)180cos(

Rv

sN .


Problema 4.3. Pentru a ridica 5000 m3

de apla nlimea de 3 metri se utilizeazo pompcu puterea de 2 C.P. Ct timp trebuie sfuncioneze pompa dacrandamentul global al acesteia este= 0,8.

Problema 4.4. Ce putere (exprimat n CP i kW) are maina de antrenare a unui ciocanpneumatic avnd masa de 200 kg, care se ridicla 75 cm nlime cu o frecvende 84 de ori peminut, dacrandamentul global al mainii este egal cu 0,7 ?

Problema 4.5. S se calculeze puterea (exprimat n CP i kW) a unui motor cu ardereintern, dac presiunea medie pe piston pe parcursul ntregii curse este de 50 N/cm2, lungimeacursei pistonului este de 40 cm, suprafaa pistonului este 300 cm2, numrul de curse efectuat de

piston ntr-un minut este de 120 iar randamentul motorului este egal cu 0,9.

Problema 4.6. Sse calculeze puterea electromotorului de acionare al unei maini uneltede rabotat longitudinal, daclungimea cursei de lucru a cuitului este de 2 m, durata cursei este de10 s, fora de tiere necesar cuitului este de 12 kN iar randamentul global al mainii este 0,8.Micarea cuitului se va considera uniform.

Problema 4.7. Pentru mersul pe schiuri pe distana de 20 km pe drum orizontal centrul degreutate al schiorului execut micri oscilatorii armonice verticale cu amplitudinea de 8 cm i

perioada de 4 s. Masa schiorului este de 80 kg iar coeficientul de frecare al schiurilor pe zpadesteegal cu 0,05. Sse calculeze lucrul mecanic efectuat de schior n timpul marului (cursei) dactoatdistana este parcurs n 90 de minute. S se calculeze i puterea medie dezvoltat de schior naceastcurs.

27


28/69

Observaie. Se va considera clucrul mecanic rezistent la coborrea centrului de greutate alschiorului reprezint40% din lucrul mecanic efectuat la ridicarea centrului de greutate la aceiainlime.

Problema 4.8. Pentru msurarea puterii unui motor la

flana sa A, se nfoarpe flano bandde frnare (v. Figura4.3). Captul din dreapta BC al bandei se prinde la resortul unuidinamometru Q iar de captul din stnga se atrno greutate. Sse calculeze puterea motorului dacacesta se rotete uniform cu120 rot/min, n condiiile n care tensiunea indicat dedinamometrul Q (egal cu fora din captul BC al bandei defrnare) este de 40 N, masa greutii E este de 1 kg iar diametrulflanei este d = 64 cm. Diferena dintre tensiunile de la capeteleBC i DE ale bandei reprezint fora de frnare a flanei.Calculai i lucrul mecanic al acestei fore n timp de 10 s.

Problema 4.9. S se calculeze puterea generatoruluielectric ce alimenteaz o reea de tramvaie, dac numrulvagoanelor aflate n circulaie pe linii este de 45, masa fiecrui vagon este de 10 t, coeficientul defrecare al vagoanelor pe in este 0,02, viteza medie de deplasare a vagoanelor este 3.3 m/s iar

pierderile de putere electricpe reea sunt de 5 %.

Figura 4.3

Problema 4.10. O roat de lefuit, cu diametrul de 0,6 m, are turaia de 120 rot/minconsumnd o putere de 1,2 kW. Coeficientul de frecare dintre piesa de lefuit i roateste egal cu0,2. Cu ce foreste apsatpiesa pe roata de lefuit?

Problema 4.11. Sse calculeze lucrul mecanic efectuat la ridicarea sarcinii de masm = 20kg pe planul nclinat pe distana de 6 m, dacunghiul de nclinare al planului cu orizontala este de30oiar coeficientul de frecare dintre corp i plan este egal cu 0,01.

28


29/69

5. Momentele de inerie mecanice ale rigidului

Probleme propuse

Problema 5.1. Sse calculeze momentul de inerie n raport cu axa () al plcii omogene de

masM avnd configuraia patrulaterului neregulat din Figura 5.1.

R:21

32

31

hh

hh

6

MJ

+

+= .

Problema 5.2. S se calculeze momentele de inerie n raport cu axele de coordonate aleplcii omogene de masM (Figura 5.2), avnd formde coroancircularcu razele R, respectiv r.

R: ( ) ( )22yx220 rR4M

JJ;rR2

MJ === .

Problema 5.3. S se calculeze momentele de inerie, n raport cu axele sistemului de

coordonate, ale paralelipipedului omogen de masM avnd dimensiunile din Figura 5.3.

R: ( ) ( ) ( )22z22y22x ba12M

J;ac12

MJ;cb

12

MJ +=+=+= .


Problema 5.4.Se consider tubul cilindric omogen cu perei groi din Figura 5.4, avndmasa M. Raza exterioara tubului este R iar raza interioareste r. nlimea cilindrului este h. Ssecalculeze momentele de inerie ale acestui tub n raport cu axele Ox, Oy, Oz, () i (1).

R: ( ) ( ) ( )22122z222yx rR32M

J;rR2

MJ;hr3R3

12

MJJJ ==++=== .

Problema 5.5.Fie piramida dreptunghiularomogendin Figura 5.5, de masM, nlimeh, avnd laturile bazei a i b. Sse calculeze momentele de inerie ale piramidei n raport cu axeleOx, Oy, Oz precum i cu axa (), paralelcu Ox i care trece prin centrul de greutate al piramidei.

R: ( ) ( ) ( ) ( )2222z22y22x h3b480M

J;ba20

MJ;h2a

20

MJ;h2b

20

MJ +=+=+=+= .

Problema 5.6.Se considerconul circular drept omogen din Figura 5.6, de masM, razabazei R i nlime h. Se cere sse calculeze momentele de inerie ale conului n raport cu axele Ox,Oz i axa (), paralelcu Ox i care trece prin centrul de greutate al conului.

R: ( )

+==+= 4h

RM20

3J;MR10

3J;h2R320

MJ

222

z22

x .

29


30/69


Problema 5.7.Se considertrunchiul de con omogen, de masM, avnd raza bazei mari R,raza bazei mici r i nlimea h (v. Figura 5.7). Se cere s se calculeze momentul de inerie altrunchiului de con n raport cu axa Cz.

R:33

55

zrR

rRM

10

3J

= .

Problema 5.8. Se considerplaca triunghiular omogen de masM, lungimea bazei (BD) = a inlimea h (V. Figura 5.8). Se cere s

se calculeze momentul de inerie alplcii n raport cu axa Ox, paralelcubaza i care trece prin centrul degreutate al plcii.

R: 2x Mh18

1J = .

Problema 5.9.Se considerplaca omogende masM, avndforma unei elipse cu semiaxele a, respectiv b (v. Figura 5.9). Sse calculeze momentele de ineriemecanice ale plcii n raport cu axele Ox, Oy i Oz.

Figura 5.7

Fi ura 5.8

R: ( )22

z

2

y

2

x baM4

1

J;Ma4

1

J;Mb4

1

J +=== .

Problema 5.10.Sse calculeze momentul de inerie al unei semisfere omogene de masMi razR n raport cu axa sa de simetrie Oz (Figura 5.10).

R: 2z MR3

2J = .

Problema 5.11.Bara subire omogenAB, de lungime 2L i masM, este fixat rigid ncentrul O de un ax vertical formnd unghiul cu acesta (v. Figura 5.11). Sse calculeze momentelede inerie axiale Jxi Jyale barei precum i momentul de inerie centrifugal Jxy.

R: )2sin(6

MLJ;sin3

MLJ;cos3

MLJ2

xy22

y22

x === .

30


31/69


Problema 5.12.Un disc circular omogen de masM i razr este prins rigid de axul AB,excentric fa de centrul su de masC, la distana (OC) = r/2 (v. Figura 5.12). S se calculezemomentele de inerie axiale i centrifugale ale discului n raport cu axele de coordonate ataate.

R: 0JJJ;Mr2

1J;Mr

3

1J;Mr

4 yzxzxy2

z2

y2 =====

3J x = .

Problema 5.13. Un disc circular omogen de mas M este fixat excentric de axul Ozperpendicular pe suprafaa sa (v. Figura 5.13). Raza discului este r iar excentricitatea (OC) = a,unde C este centrul de mas al discului. S se calculeze momentele de inerie axiale Jx, Jy, Jz icentrifugale Jxy. Jxz, Jyzale discului.

R: 0JJJ;a2

rMJ;a

4

rMJ;Mr

4

1J yzxzxy

22

z2

2

y2

x ===

+=

+== .


Problema 5.14.Considerndu-se discul descris n problema 5.13, sse calculeze momentulde inerie al acestui disc fade axa Oz1din planul vertical xOz, care face unghiul cu axa Oz (v.

Figura 5.14).

R:

++= 22

222

z cosa2

rMsinMr

4

1J

1.

Problema 5.15.Un disc circular omogen de masM i razr este fixat pe axul Cz n centrulsu de greutate C. Axa de simetrie a discului Cz1se gsete n planul vertical de simetrie xCz i facecu axa Cz unghiul (v. Figura 5.15). Sse calculeze momentele de inerie centrifugale Jxz, Jxyi Jyzale discului.

R: ( ) ==== 22xzxzyzxy sinMr81

2

)2sin(JJJ;0JJ

11.

31


32/69

Problema 5.16.Placa dreptunghiularomogenOABD de masM, lime b i nlime a,este fixat cu latura OA de axul OE (v. Figura 5.16). S se calculeze momentele de ineriecentrifugale Jxz, Jxyi Jyzale plcii.

R: Mab4

1J;0JJ yzxyxz === .

Problema 5.17.Discul circular din problema 5.15 este fixat de axul Oz dar, de aceastdat,excentric fade centrul su de mas, mrimea excentricitii fiind (OC) = a (v. Figura 5.17). Ssecalculeze momentele de inerie centrifugale Jxz, Jxyi Jyzale discului.

R. )2sin(a4

r

2

MJ;0JJ 2

2

xzyzxy

+=== .


Problema 5.18.Se considerdiscul circular omogen de masM i razR, fixat excentric deaxul Oz, planul discului fiind nclinat cu unghiul fade acest ax (v. Figura 5.18). Sse calculezemomentul de inerie al discului n raport cu axa Oz, Jz, precum i momentele de inerie centrifugaleJxzi Jyzdacse cunosc: (OE) = a, (OK) = b, distana OL este proiecia axei Oz pe planul discului.

R:

++

+= 222222z bsinR41

cosR2

1aMJ ;

Figura 5.18

)cos()sin(aR4

1MJ 22xz

+= ;

)sin(MabJ yz =

32


33/69

6. Caracteristicile cinetice ale rigidului

Probleme rezolvate

Problema 6.1

Enun.Sse calculeze impulsul unui disc de razR i greutate G care se rotete cu vitezaunghiular n jurul unei axe ce trece:

a) prin centrul O al discului;b) prin punctual A de la periferia discului.

Rezolvare.a) 0v = deciC 0vMH c == .

Figura 6.3

b) iRg

GvC =MH= .

Figura 6.1 Figura 6.2

Problema 6.2

Enun. Sse calculeze impulsul unei plci de forma unui triunghi dreptunghic ABC, avndcatetele AB = a, AD = b i grosimea h (v. Figura 6.3), placa fiind omogencu densitatea ,tiind cse rotete cu turaia constantn n jurul catetei AB.

Rezolvare. CvMH= ; h2ba

VM == ;3

b

30

nrvC

== ; n

3

b

30

nvC

= ,

unde n este versorul normalei la suprafaa triunghiului, avnd sensul ctre figur.

Deci: n3

b

30

n

h2

ab

H

= .

Problema 6.3

Enun. Un disc omogen se rotete cu vitezaunghiular n jurul axei sale de simetrie. Raza disculuieste R i masa lui este M (v. Figura 6.4). S se calculezemomentele cinetice n raport cu punctul O i n raport cu axaOz ale acestui disc. Figura 6.4

Rezolvare. Conform relaiilor (7.11) i (7.12) din curs avem:

k2

MRkJKK2

zrot00 === ; = 2MRK

2

z .

33


34/69

Problema 6.4

Enun.Sse calculeze momentul cinetic fade punctul O1al corpului de greutate G, careeste legat, prin intermediul unui fir flexibil i inextensibil, de tamburul unui troliu de razR, ce serotete cu viteza unghiularconstant .

Rezolvare. Din relaia (7.18) din curs, deoarece 0KCrot = , rezult vMrK Cc101 = ,n care:

( ) 10111C1 jRv;jACiRACAOr ==+= ,

Figura 6.5

atunci

( )[ ] ( ) 121211101 kRgG

kMRjRMjACiRK === .

Problema 6.5

Enun.Sse calculeze momentul cinetic n raport cu punctulO al sferei omogene din Figura 6.6, de greutate G i razR, care estearticulatn centru su O i se rotete cu viteza unghiular n juruldiametrului su vertical.

Rezolvare. Momentul de inerie al sferei fade centrul sueste dat de relaia:

20 Rg

G

5

3J = .

Figura 6.6

Axele Ox, Oy i Oz sunt axe centrale i principale de inerieale sferei, iar din motive de simetrie rezultc 321 JJJ == . Putemscrie deci:

( ) 3213210 J23

J2

3J

2

3JJJ

2

1J ===++= ,

din care rezult:

0321 J3

2JJJ === = 2R

g

G

5

2.

Fade sistemul de axe ales avem krr

= iar conform relaiei (7.11) dincurs rezult:

kRg

G

5

2kJKKK 23rot0001 ==== .

Problema 6.6

Enun. S se calculeze energia cinetic a unui corp cilindric care execut o micare deurub, dacse cunosc diametrul corpului d = 30,5 cm, greutatea P = 400 daN, viteza de translaie v0= 800 m/s i pasul urubului p = 10,6 m.

34


35/69

Rezolvare. Conform relaiei (7.27) din curs, putemscrie:

Figura 6.7

2y

20 J2

1Mv

2

1E += .

Dar, de la micarea de urub, cunoatem c 0vp

2

= .

Deci:2

0

220 vp

2

2

d

g

P

2

1v

g

P

2

1E

+= , deoarece

22

y 2

d

g

P

2

1MR

2

1J

== .

Problema 6.7

Enun. S se calculeze energia cinetic aunui disc cilindric de mas M i raz r care serostogolete fr alunecare n interiorul uneisuprafee cilindrice de raz R (Figura 6.8). Secunoate viteza centrului discului 0v .

Figura 6.8

Figura 6.9

Rezolvare:2

I2

020 J2

1J

2

1Mv

2

1E =+= ;

222202I Mr2

3Mr2

MrMrJJ =+=+= ;

20

22

2

r

v

2

Mr

2

1

2

Mr

2

1E

== ;

unde: rv0 = .

Problema 6.8

Enun.Un cilindru din oel de razR, cu nlimea h i densitatea este prins excentric,cu excentricitatea e, n universalul unui strung (v.Figura 6.9). tiind turaia universalului n(ture/min), sse calculeze energia cinetica piesei.

Rezolvare. Conform relaiei (7.31) din curs scriem:2

1zJ2

1E = ,

n care30

n= i 2

22

z1z Me2

MRMdJJ +=+= , unde ,hRM 2=

deci

22

2

30

n

Me2

MR

2

1

E

+= .

35


36/69

7. Teoremele fundamentale din dinamica rigidului i sistemelor materiale


Problema 7.1

Figura 7.1

Enun. Un disc de razR i greutate G, care are nfurat la periferiasa un fir al crui capt este fixat n punctul A, este lsat sse mite liber pevertical plecnd din repaus (v. Figura 7.1). Se cere s se afle acceleraiacentrului de masal discului (a) i tensiunea din fir (T).

Rezolvarea 1.- Presupunem c, la momentul considerat n Figura 7.1, centrul discului

O are viteza v iar discul are, n jurul centrului instantaneu de rotaie I, vitezaunghiular. Pentru aflarea legii de micare a punctului O se aplicteoremamomentului cinetic n raport cu punctul I. Astfel:

, (7.1)extII MK =&

n care: MRv2

3RMv

R

v

2

MRRMvJHRKK

2

00I =+=+=+= ; .GRMextI =

Introducnd expresiile lui KIi n teorema momentului cinetic (7.1) rezultextIM

GRvMR2

3=& g

3

2av ==& .

- Pentru aflarea tensiunii din fir se poate aplica tot teorema momentului cinetic dar n raport

cu centrul de masO:

, (7.2)ext00 MK =&

n care:R

v

2

MRJK

2

00 == ; 3GR

g3

MRa

2

MRK0 ===& ; .TRM

ext0 =

nlocuind aceste valori n (7.2) rezultvaloarea tensiunii din fir: T = G/3.

Rezolvarea 2.

- Se aplicteorema energiei cinetice pentru aflarea acceleraiei centrului discului. Astfel:

ext0 LEE = (7.3)

n care:2

JE

2I= ; 220I MR2

3R

g

GJJ =+= ; E0= 0 ; L = G.x ; = x / R ; .R/x&& ==

nlocuind n teorema energiei cinetice (7.3) rezult:

xGR

x

2

1MR

2

32

2 =

& sau gxx

4

3 2 =& ,

care, prin derivare, conduce la:

36


37/69

xgxx2

3&&&& = sau g

3

2ax ==&& .

-Pentru calculul tensiunii din fir se aplicteorema micrii centrului de masal discului:

TGag

G0 = sau TGg3

2

g

G= de unde T = G/3.

Problema 7.2

Enun. Se dsistemul de corpuri din Figura 7.2, format dintr-un scripete fix de greutate P irazR i un corp de greutate G. Sistemul pleacdin repaus i are dupun anumit timp energia

cinetic cunoscut. S se calculeze timpul i drumul parcurs de greutatea G n acest

interval de timp.

1t

1E 1t 1x

Rezolvare. La momentul ,00 =t v 00 = deci 0E0 = pentrusistem. La momentul t, corpul de greutate G a parcurs distanax i are viteza v iar sistemul are energie cinetic:

Figura 7.2

( )PG2g4

v

R

v

2

R

g

P

2

1v

g

G

2

1E

2

2

222 +=+= .

Aplicnd teorema energiei cinetice obinem:

( ) xGPG2g4

v2=+ .

Derivnd aceastrelaie obinem:

( ) vGPG2g4

av2=+

PG2

gG2a

+= .

Ecuaia vitezei greutii G se obine integrnd acceleraia, astfel:

tPG2

gG2v

+= .

Legea de micare a greutii G se obine integrnd nco dat, n condiii iniiale nule:

2tPG2

gG2x

+= .

La momentul t , energia cinetica sistemului este:1

21

2

1 tPG2gG2

g4PG2E

++= , din care rezult: ( )2

11

gGEPG2t += .

37


38/69

Problema 7.3

Enun. Se d sistemul de bare omogenearticulate din Figura 7.3, n care O lBOA 21 == i

l2OO 21 = . Sistemul pornete din repaus la60 = i se micliber sub aciunea greutilor

barelor. S se stabileasc legile ( )= i( )= && .

Rezolvare. Deoarece sistemul pornete dinrepaus, . Barele i executmicri de rotaie cu viteze unghiulare egale. Fie0E0 = AO1 BO2

viteza lor comunla un moment dat . Bara AB are micare de translaie cu viteza1t lvA = .

Figura 7.3

- Energia sistemului la momentul t este:

( ) 2222

22011 lg

G2

2

1

3

l

g

G

2

12l

g

G2

2

1J

2

12E +=+= 22l

g

G

3

4= .

- Lucrul mecanic efectuat de greutile barelor ntre poziiile60

= i este:

( )

= + =

=+

=

21sinGl321sinGl221sin2lG2

sinlsinlG2sin2

lsin

2

1G2L 0010

Aplicnd teorema energiei cinetice sub formfinitn intervalul de timp obinem:[ 10 t,t ]

,1001 LEE =

sau:

=2

1sinGl3l

g

G

3

4 22 , de unde rezult:( )

l2

1sin2g

2

3 = .

Prin derivarea vitezei unghiulare rezult:

( )l

cosg

8

9

1sin2l2

g2

.cos2

l2

g

2

3 =

=

&& .

Valoarea maxima lui se obine pentru2

= i este

l2

g

2

3max = .

38


39/69

Problema 7.4

Enun. Se considersistemul de corpuri omogene dinFigura 7.4 care pornete din repaus

sub aciunea greutilor proprii.Discul 2 se rostogolete pe planulorizontal fralunecare, coeficieniide frecare pe plan fiind i s. Sse calculeze acceleraia corpului degreutate P.

Rezolvare. La momentul0t 0 = sistemul este n repaus, deci

. La momentul corpul P are viteza v, discul 1 are viteza unghiular iar discul

2 are viteza unghiular .

0E0 = 1t

r/v1=

R/v2 =

Figura 7.4

Energia cinetica sistemului la momentul este1t

( )Q3GP2g4

v

R

vR

g

Q

2

3

2

1

r

v

2

r

g

G

2

1v

g

P

2

1E

22

E

2

E

22

E

21

)2()1()3(

++=

+

+=434214434421321

.

Lucrul mecanic este produs de fora P i cuplul M sQsNr == . Forele T, M, Q, G nu daulucru mecanic:

xRsQP

RxsQxPL 10

== .

Teorema energiei cinetice se scrie astfel :

sau1001 LEE = ( ) xRsQ

PQ3GP2g4

v2

=++ .

Prin derivare se obine acceleraia corpului 3 astfel:

( ) ( )( )Q3GP2R

sQPRg2avRsQPQ3GP2

g4va2

++=

=++ .


Problema 7.5. O panavnd unghiul la vrf i greutatea P, se sprijinfrfrecare pe unperete vertical i pe o prism de greutate Q (v. Figura 7.5). Prisma se sprijin la rndul ei frfrecare pe un plan orizontal. Sse determine acceleraiile i ale penei respectiv prismei.1a 2a

Problema 7.6. O platform circular de masM i razR se poate roti n jurul unei axeverticale ce trece prin centrul su de greutate (v. Figura 7.6). La periferia platformei se gsete n

39


40/69

repaus un mobil A de masm. La un moment dat mobilul A ncepe sse deplaseze pe margineaplatformei cu viteza u fade aceasta. Sse determine viteza unghiularde rotaie a platformei naceastsituaie.


Problema 7.7. O platformcircularde masM i razR se rotete n jurul axei verticale desimetrie cu viteza unghiularconstant 0 (v. Figura 7.7). n centrul platformei se gsete un mobil

A de mas . La un moment t = 0 mobilul A ncepe sse deplaseze n lungul razei cu viteza

u. Sse determine viteza unghiular

1m BO1

a platformei la momentul 1tt< u/BOt 11= .


Problema 7.8. Un troliu avnd momentul de inerie i razele r i R acioneazprin

intermediul a dou fire flexibile i inextensibile masele m i M (Figura 7.8). La momentuliniial sistemul se afl n repaus. Dup eliberarea sistemului acesta ncepe s se mite n sensulcoborrii masei M. Sse determine acceleraiile i ale maselor M respectiv m.

0J

1a 2a

Problema 7.9.Peste un scripete ideal fix este trecut un fir flexibil i inextensibil. La captuldin stnga al firului este legat un corp punctiform de masm. Captul din dreapta al firului este

nfurat pe un mosor de masegaltot cu m i razR (v. Figura 7.9). Iniial corpurile sunt inute

40


41/69

n repaus. Dupeliberarea lor, corpul din stnga coboarcu acceleraia a iar centrul mosorului cuacceleraia a. Sse calculeze valorile acceleraiilor a i a precum i tensiunea din fir.


Problema 7.10.Peste un scripete fix de masM i razR este trecut un fir ideal (v. Figura7.10). La captul din dreapta al firului este prins un corp punctiform de masm1 iar de-a lungulceluilalt capt al firului alunecun inel de masm2cu acceleraia a2 fa de fir. S se calculezeacceleraia a1a masei m1i fora de frecare dintre inel i fir. Masa firului se neglijeaz.

Problema 7.11.Sse calculeze acceleraia unghiulara unui troliu de masM precum itensiunile din cele doufire dacse cunosc razele tamburilor troliului r i R i greutile P i Qcare sunt legate de fire (v. Figura 7.11).

Problema 7.12.Un fir, avnd un capt fixat n punctul A, nfoarun scripete mobil O2demasm2i razR de care este atrnatgreutatea P, i un scripete fix O1de masm1i razR (v.Figura 7.12). La cellalt capt al firului este atrnato greutate Q > (P + mg)/2. Sse calculezeviteza greutii Q n funcie de distana h daciniial sistemul se afla n repaus iar h = 0.


41


42/69


43/69

8. Dinamica rigidului cu o axfix


Problema 8.1

Enun. O placomogensub formde triunghi isoscel ABC de greutate P = 200 N i avnddimensiunile h = 0,8 m, b = 0,5 m, se rotete cu viteza unghiular constantn jurul bazei AB (v.Figura 8.1). n punctul A placa are o articulaie sfericiar n B este articulatcilindric. Se cer: a) sse determine valoarea vitezei unghiulare pentru care reaciunea din B este nul; b) s sedetermine valoarea reaciunii din A n cazul punctului a).


Rezolvare. Coordonatele centrului de greutate al plcii sunt: 3/b= ; . Torsorul

forelor direct aplicate are componentele:

2/h=

F ( PF;0F;0F zyx === );

01M ( 0M;3/PbM;0M zyx === ).

Planul plcii fiind x0z rezultc 0JJ yzyx == .

Se calculeazmomentul de inerie centrifugal astfel:xzJ

gbhP2

2bhgP == ; dxzdA= unde

bxb

hz = sau h

bxbz = ;

dxhb

xbdxzdAdm

=== ;

( )g6

bhP

6

b

b2

h

gbh

P2

3

b

2

b

b2

h

gbh

P2dxxbx

b2

hdxh

b

xb

2

hxdmxzJ

32332b

0

2b

0

b

0xz ==

==

== .

Reaciunile i legea de micare a plcii se determinutiliznd relaiile (9.3) i (9.10) din

curs, astfel:- din relaia (9.10 c), deoarece M 0z = , rezult 0= deci ;const=

43


44/69

- din relaia (9.10 a) rezult 0R y2 = , deoarece 0J,0 yz== i ;0M x =

- din relaia (9.3 b) rezult 0R y1 = , deoarece ;0R,0,0F y2y ===

- din relaia (9.3 c), deoarece R 0z1 = , rezult PR z2 = .

Relaiile (9.3 a) i (9.10 b) se scriu astfel:

,hRMJ;RRm x2y2

xzx2x12 +=+=

sau

+=

+=

hR3

bP

g6

Phb

RR3

b

g

P

x22

x2x12

.

Rezolvnd acest sistem obinem:

+=

+= 2x2

22x1

g6

Pbh

3

bP

h

1R;

3

b

g

P

g6

Pbh

3

bP

h

1R .

Punnd condiia ca obinem valoarea0R x1 = 1 :

;0g3

Pb

g6

Pb

h3

Pb 21

21 =+ ;

h

1

g2

21 =

h

g21= .

Pentru = reaciunea din A captvaloarea:1

h3

Pb2R x2 = ;

222

2

2z2

2x22 h9b4

h3

PP

h3

Pb2RRR +=+

=+= .

Problema 8.2

Figura 8.3

Enun. Un volant de razR, greutate G i moment de

inerie axial se rotete n jurul axei de simetrie cu turaia

(v. Figura 8.3). Pentru frnare se utilizeazdoi saboi care

sunt apsai fiecare cu fora P, coeficientul de frecare dintre

volant i saboi fiind

0J

0n

. Se cere s se afle numrul de turecomplete (N) pe care le efectueazvolantul pnla oprire.

Rezolvare. Ecuaia difereniala micrii de rotaie n

jurul axei Oz, (v. relaia 9.10 c din curs), este:

, unde M .z0 MJ = && PR2TR2z ==

Dupnlocuire rezult:

44


45/69

, de undePR2J0 = &&0J

PR2=&& .

Integrnd ultima relaie, obinem:

212

10

CtCtJ

PR;Ct

J

PR2

0

++

=+

=& . (8.1)

Constantele de integrare se determincu ajutorul condiiilor iniiale:

30

n;00t 00

==== & ,

care, introduse n (8.1), dau

30

nC;0 012C

== . Deci legea de micare a volantului se scrie astfel:

2

0

0 tJ

PRt

30

n

= . (8.2)

Viteza unghiular, prima din relaiile (8.1), este:

tJ

PR2

30

n

0

0

=& . (8.3)

La momentul tt 1= volantul se oprete, deci . Din (8.3) rezult:0=&

PR60

Jnt 001

= .

Unghiul , efectuat de volant de la turaia pnla oprire, este:1 0n

( )11 t=( )2

20

20

2

0

0001

PR60

Jn

J

PR

PR60

Jn

30

n

= sau

PR304

Jn2

020

2

1

= .

Numrul N de rotaii complete efectuate de volant pnla oprire va fi:

PR308

Jn

2N

20

201

=

= (rotaii).

45


46/69

Problema 8.3

Enun. O bar OA de lungime l i greutate G,articulatn O, n repaus face unghiul cu orizontala.Bara este lsatsse roteascliber n jurul articulaiei O

(v. Figura 8.4). Se cere legea de micare a barei ireaciunea din articulaia O.

Rezolvare. Legea de micare se obine prinparticularizarea relaiei (9.10 c) din curs, i anume:

Figura 8.4

,zz MJ =&&

n care == cos2

lGM;

g3

lGJ z

2

0 ,

sau = cos2l

Gg3

Gl2

&& , din care rezult: = cosl2g3

&& . (8.4)

nmulim ambii membri ai relaiei (8.4) cu i integrm. Rezult:&

Csinl2

g3

2

2

+=&

.

Constanta C se determindin condiiile iniiale:

t = 0 C = 0; == & sinl2g3 .

Deci legea vitezei unghiulare va fi:

)sin(sinl

g32 = . (8.5)

Pentru calculul componentelor H i V ale reaciunii din O se aplic teorema micriicentrului de mas

m ca =ext

F ,

care, proiectatpe axe, devine:

== extyCyextxCx 1111 Fma;Fma . (8.6)

Coordonatele centrului de masi derivatele lor sunt:

== cos2

lx C1 ; == C1Cx xv 1 & sin2

l & ; == C1Cx x1 &&a cos2l

sin2

l 2&&& ; (8.7)

== sin2ly C1 ; == cos2

lyv C1Cy1&& ; == sin

2lcos

2lya 2C1Cy1

&&&&& ; (8.8)

46


47/69

Componentele rezultantei forelor exterioare sunt:

; . (8.9)HFextx1 = VGFexty1

=

nlocuind (8.7), (8.8) i (8.9) n (8.6) obinem:

( ) ( ) VGsincos2

l

g

G;Hcossin

2

l

g

G 22 ==+ &&&&&& ,

iar dacinem seama de relaiile (8.4) i (8.5) obinem:

( )[ ] ( )[ ] VGsinsinsin2cosl2

g3

2

l

g

G;Hsinsincos2cossin

l2

g3

2

l

g

G 2 ==+ ,

din care: H = ( ) sin2sin3cosG43

; V = G ( )[ ] + sinsin2sin2cos43

1 .


Problema 8.4.Un corp, suspendat excentric n jurul unei axe orizontale, poate executa liberoscilaii n jurul acestei axe, sub aciunea greutii proprii, purtnd numele dependul fizic(v. Figura8.5). Pendulul are masa m i momentul de inerie n raport cu axa de oscilaie Jz cunoscute.Distana de la axa de oscilaie i centrul de greutate al corpului este L. Pendulul este scos dinechilibru, dndu-i-se o abatere unghiular(mai micde 5o) i lsndu-l soscileze n jurul axeiOz. Se cere sse calculeze: a) perioada oscilaiilor pendulului; b) lungimea pendulului matematic,

sincron cu pendulul fizic considerat. R: a)mgLJ

2T z= ; b)mLJ

' z=L .

Problema 8.5. Un disc omogen, de mas M i raz R, se rotete uniform cu vitezaunghiularn jurul axei verticale fixe AB, dispusn planul discului (yOz) la distana (OC) = a decentrul discului (v. Figura 8.6). Sse calculeze reaciunile dinamice din lagrele A i B dac(OA)= (OB). Axele Ox i Oy sunt legate de disc. R: XA= XB= 0; YA= YB= Ma

2/2.

Problema 8.6.De axul vertical AB, care se rotete cu acceleraia unghiularconstant,sunt prinse doumase C i D (egale fiecare cu M) cu ajutorul tijelor rigide i frmasOC i OD.Aceste tije sunt perpendiculare pe axul AB i perpendiculare ntre ele i au lungimile (OC) = (OD)= r. Punctul O se afl la jumtatea distanei dintre lagrele A i B (v. Figura 8.7). n momentuliniial sistemul se afla n repaus. S se calculeze reaciunile dinamice din lagrele A i B duptimpul t de al nceputul micrii. R: XA= XB =Mr(t

2+ 1)/2 ; YA= YB= Mr(t2 1)/2.


47


48/69

9. Dinamica rigidului n micare plan - paralel


Problema 9.1

Enun. O barAB de lungime 2l i greutate G se deplaseazfrfrecare sprijinindu-se cuextremitile A i B pe un plan orizontal i unul vertical (Figura 9.1). n momentul iniial bara segsea n repaus i fcea unghiul cu planul vertical. S

se afle: a) legea de micare a barei; b) reaciunile; c)valoarea unghiului pentru care bara se desprinde de

peretele vertical.

0

Rezolvare. Se aleg sistemele de referin fixi mobil Cxy. Sistemul de ecuaii (10.7) dat la

curs, care caracterizeaz n general micarea unei plciplane, se particularizeaz pentru bara din problemastfel:

11yOx

Figura 9.1

=

=

=

coslNsinlNJ

GNg

G

Ng

G

BACz

A

B

&&

&&

&&

(9.1)

n care ==== cosl;sinl;g3

Gl

12

)l2(

g

GJ

22

Cz .

Dar: ; & ; ; .= cosl&& = sinlcosl 2&&&& = sinl&& = coslsinl 2&&&&&

Fcnd nlocuirile n relaiile (9.1) obinem:

=

=+

=

)c(coslNsinlNg3

Gl

)b(GN)cossin(lg

G

)a(N)sincos(lg

G

BA

2

A2

B

2

&&

&&&

&&&

(9.2)

Eliminnd NAi NBdin relaiile (9.2) se obine

= sinl4

g3&&, (9.3)

48


49/69

care reprezintecuaia difereniala micrii barei. Integrnd relaia (9.3) obinem:

Ccosl2

g32 +=& ,

din care, punnd condiiile iniiale: t = 0, 0= i , determinm constanta de integrare C:0=&

C = 0l2

gcos

3.

Deci )cos(cosl2

g30

2 =& (9.4)

nlocuind (9.3) i (9.4) n (9.2a) i (9.2b), se determinreaciunile i :AN BN

)b)cos2cos3(sinG4

3N

)a)cos2cos3(cosG4

3

4

GN

0B

0A

=

+= (9.5)

Condiia de desprindere a barei de peretele vertical se formuleaz astfel: pentru 1= ,. Punnd aceastcondiie n ecuaia (9.5b) se obine:0)(N 1B =

3cos 0cos201

= sau cos01

cos3

2= .

9.2. Problema propuse

Problema 9.2.Un disc de greutate P i razR se micpe un plan nclinat cu unghiul ,plecnd din repaus (v. Figura 9.2). Se cere sse afle legile de micare = (t) i = (t) precum ireaciunea planului n dou ipoteze: a) rostogolirea discului este fr alunecare; b) rostogolireadiscului este cu alunecare. Se cunosc coeficienii de frecare de alunecare i de rostogolire s.

Problema 9.3.Pe un plan, nclinat cu unghiul fade orizontal, este aezat un mosor dea de mas m, raze r i R i moment de inerie central J0. Mosorul se rostogolete fralunecare pe plan, coeficienii de frecare cu planul fiind is. De al mosor pleacun fir ntins

paralel cu planul, trecut peste un scripete de masneglijabil, la captul cruia atrno masM (v.Figura 9.3). Sse calculeze acceleraia corpului M.

Problema 9.4.O band rulant, nclinat fade orizontal cu un unghi , transport uncorp de greutate P (v. Figura 9.4). tiind ctamburii care antreneazbanda sunt identici, de greutateQ i razr, iar tamburul 1 este acionat de un cuplu de moment motor M, sse calculeze viteza pecare o va cpta corpul dupparcurgerea unui spaiu s de la pornire. Se fac ipotezele: a) corpul nualunecpe band; b) banda nu are masi nici moment de inerie.

49


50/69


10. Dinamica punctului material


Problema 10.1

Enun. Un cilindru de greutate P, razr i nlime h este suspendat de un resortAB de constantelastick i scufundat n ap

(v. Figura 10.1). n poziia de echilibru, cndresortul este netensionat, cilindrul este scufundatn ap pe jumtate din nlimea lui. nmomentul iniial se scufundcilindrul cu 2/3 dinnlime, dup care, fr vitez iniial, acestancepe s execute oscilaii. Considerndaciunea lichidului aplicndu-se dup legea luiArhimede, sse studieze micarea cilindrului ndouipoteze:

a)se neglijeazrezistena lichidului;b)se consider rezistena lichidului ca o

forproporionalcu viteza ( F = v ). Figura 10.1

Rezolvare.a) Considernd o poziie oarecare a cilindrului, ecuaia difereniala micrii se scrie:

2rg)x2

h(kxPxm +=&& ,

n care m = P/g = 2r2

h este masa cilindrului, egal cu masa de lichid dezlocuit n poziia de

echilibru, fiind densitatea lichidului. Deci ecuaia difereniala micrii cilindrului devine:

50


51/69

sauxrgkxxm 2=&& 0xm

rgkx

2

=+

+&& .

Aceasta are soluia (ce reprezintecuaia de micare a cilindrului):

x = cosC tsinCt 21 + ,

n care s-a notat cu pulsaia micrii armonice a cilindrului, datde relaia

.m/)rgk( 22 +=

Constantele de integrare rezultdin condiiile iniiale ale micrii (la momentul t = 0):

la t = 0 x = 0xx;6

hh)

2

1

3

2(x 00 ==== && ,

care, introduse n ecuaia de micare, rezult 0C2 = , 6h

C1= . Deci ecuaia de micare a cilindrului

este:

x = t6

cosh

.

b) Dac rezistena apei se ia n seam sub forma unei fore de rezisten xFr &= , atunciecuaia difereniala micrii captforma:

m x =& sau & ,gxrkxx2

&& 0xxn2x2

=++ &&

n carem

grk;

mn2

22 +=

= .

Soluia acestei ecuaii difereniale are forma:

x = 22nt1 ne sin(C t + ) , cu tg

n

n 22 = .

Punnd aceleai condiii iniiale ca n cazul a) rezultecuaia de micare

x = 22nt22

nsin(en6

h t + ),

care reprezinto micare oscilatorie amortizat, n situaia > n.

51


52/69

Figura 10.2

Problema 10.2

Enun. Un punct material de masm se sprijinpe o suprafa sferic de raz R (v. Figura 10.2). La

momentul iniial punctul se gsete n poziia A, cea maide sus pe sfer. Punctului i se imprimo vitezorizontalv . Sub ce unghi0 1 punctul va prsi suprafaa sferei?

Rezolvare. Pentru punctul M se scriu ecuaiiledifereniale ale micrii n coordonate Frenet:

)b(NcosmgR

vm;)a(sinmg

dt

dvm

2

== .

Unghiul , sub care punctul prsete cercul, se va gsi din condiia anulrii reaciuniicercului.

1

Legea de variaie a vitezei v = v( ) se poate gsi fie integrnd ecuaia diferenial (a) fiescriind teorema variaiei energiei cinetice ntre poziiile A i M ale punctului. Astfel:

-pentru integrarea ecuaiei difereniale (a) scriem c i introducnd n (a) rezult:= &rv

sau)sin(gR =&& )sin(R

g=&& sau )sin(

R

g= &&&& ,

din care, prin integrare, obinem:

)cos(R

g

2

2

=&

sau sau ,C)cos(g2R 2 +=& C)cos(gR2R 22 +=&

sau .C)cos(gR2v2 +=

)

Constanta de integrare C se determindin condiiile iniiale:

La t = 0: v = v0, = 0; .CgR2v20 += gR2vC

20+=

Deci: .( += cos1gR2vv2

0

2

- Aceiai lege v = v() se obine, mai simplu, prin aplicarea teoremei energiei cinetice ntre

punctele A i M:

)cosRR(mg2

mv

2

mv 202

= sau v . (c))cos1(gR2v 202 +=

Introducnd (c) n (b) obinem valoarea reaciunii sferei (N):

[ ] Ncosmg)cos1(gR2vRm20 =+ ,

52


53/69

de unde N = 3mgcosR

mvmg2

20 .

Pentru N = 0 rezultvaloarea unghiului de desprindere a punctului de pe suprafaa sferei:

cosgR3

v

3

20

1 +2

= .

10.2Probleme propuse

Problema 10.3. S se studieze micareape un plan nclinat a unui punct material M, lansatde la baza planului, cu viteza iniial v0paralelcu planul. Se cunosc coeficientul de frecare cu

planul i fora rezistent aerodinamicvmgkR = .

Problema 10.4. De punctul fix O esteprins un fir OM de lungime l, la captul cruiase gsete greutatea M, de mas m (v. Figura10.3). n momentul iniial firul formeaz cuverticala unghiul iar viteza greutii M este nul. n micarea sa ulterioar firul ntlnete unopritor O1, a crui direcie este perpendicular pe planul micrii greutii M iar poziia sa estedefinitprin distana (OO1) = h i prin unghiul . Sse determine valoarea minima unghiului

pentru care greutatea M, dupce firul OM ntlnete opritorul O1, va executa o rotaie completnplan vertical. Se neglijeazgrosimea opritorului O1.

Figura 10.3

Problema 10.5. Un punct de mas m se mic pe elipsa de ecuaie 1b

y

a

x2

2

2

2

=+ .

Acceleraia punctului este n tot timpul micrii paralelcu axa 0y. La momentul t1coordonatelepunctului erau x = 0, y = b iar viteza avea valoarea v0. Sse determine fora care acioneazasuprapunctului.

Problema 10.6.Un punct material de masm este aruncat pe verticaln sus, cu vitezainiial v0. S se determine viteza cu care punctul revine pe pmnt dac se consider rezistena

aerului ca o forproporionalcu viteza ( vkm=R ).

Problema 10.7.Un punct material greu M este aruncat din O cu viteza ini ial 0v , ntr-o

direcie care face cu axa Ox unghiul (v. Figura 10.4). Un plan P, perpendicular pe planul verticaln care se afltraiectoria punctului, face cu orizontala unghiul . Micarea punctului fcndu-se nvid, se cer: a) distana (OA) la care traiectoria punctului atinge planul P; b) timpul necesar ca

punctul sajungdin O n A; c) unghiul fiind dat, sse determine unghiul astfel ca distana(OA) sfie maxim.

53


54/69


Problema 10.8.Unui inel M de masm, care se poate deplasa pe un cerc orizontal de razR = 0,3 m, i se imprimviteza iniialv0= 2 m/s (v. Figura 10.5). Coeficientul de frecare dintre ineli cerc este = 0,3. Sse determine arcul s1parcurs de inel pnla oprire.

Fi ura 10.6

Problema 10.9. Un punct material greucoboarun plan nclinat luciu pornind din Ofr vitez iniial (v. Figura 10.6). S sedetermine unghiul de nclinare al planului,astfel nct timpul n care punctul va

parcurge drumul (OA) s fie minim, tiindc(AB) = a = const.

54


55/69

11. Dimamica micrii relative a punctului material


Problema 11.1

Enun. O panABC de greutate G, avnd forma unui triunghi dreptunghic cu unghiul ACB= (Figura 11.1), se reazem frfrecare pe un plan orizontal. Pe faa BC a penei se gsete un

punct material M de greutate P, care poate aluneca frfrecare n raport cu pana. Sse determineacceleraia penei i a punctului material, precum i reaciunile, tiind csistemul se afl iniial nrepaus.

a) b)Figura 11.1

Rezolvare. Fie acceleraia relativ a punctului material fa de pan i acceleraia

absoluta penei. Atam sistemului de corpuri dousisteme de referin:

1a 2a

-un sistem de referinmobil (xBy) legat de pan;-un sistem de referinfix (x1Oy1) legat de planul orizontal.

Acceleraia este pentru punctul M acceleraie de transport. Izolm punctul M, i aplicmforele exterioare i fora de transport i scriem ecuaia de micare relativ:

2a

t11 FNPam ++= ,

sau, proiectnd pe axe, obinem:

+= += sinmacosPN0 cosmasinPma 2121 . (A)

Fora Coriolis CF este nuldeoarece micarea de transport este o translaie.

Izolm pana, i aplicm forele exterioare i de legturi scriem legea de micare:

GNNam 212 ++=

sau, prin proiecii pe sistemul fix:

55


56/69

=

=

cosNGN0

sinNma

12

12 . (B)

Ecuaiile (A) i (B) rezolvproblema aflrii celor patru necunoscute: .N,N,a,a 2121

Problema 11.2

Figura 11.2

Enun. Un cursor de greutate G alunecfrfrecare pe o barOA de lungime 2l, care serotete ntr-un plan orizontal cu vitezaunghiular = const. n jurul captului O(Figura 11.2). Sse determine legea de micarea cursorului fa de bar i reaciunea bareiasupra cursorului, tiind c n momentul iniial

cursorul se gsete n poziia la distana0MaOM0 = de axa de rotaie.

Rezolvare. Se aleg sistemele de referinfix i mobil xOyz legat de bara OA.Izolm cursorul i i aplicm forele exterioare,fora de transport i fora Coriolis:

1111 zyOx

jx2g

GamF;jx2ixk2v2a

ixg

GamF;ixr)r(raa

CCrC

2tt

220t

&&& =====

====++=

Reaciunea barei se gsete n planul normal la bar n M, are modulul i direcianecunoscute. Va fi luatn seamprin componentele ei pe axele y i z, respectiv H i V , ale crorvalori trebuie aflate.

Ecuaia vectoriala micrii relative a cursorului M se scrie:

Ctr FFHVGa

g

G++++=

sau: jxg

G2ix

g

GjHkVkGix

g

G 2 &&& +++= .

Proiectnd aceastecuaie vectorialpe axele sistemului mobil obinem:

xg

Gx

g

G 2=&& (a)

xg

G2H0 &= (b)

GV0 = (c)

56


57/69

Relaia (a) reprezintecuaia difereniala micrii relative a cursorului. Prin integrarea eigsim legea de micare fade bara OA a cursorului M. Astfel:

0xx 2 = &&& , (d)

cu ecuaia caracteristic ,0r 22 = =12r i soluia :

. (e)t2t

1 CeCx +=

Condiiile iniiale sunt: ,0t= ax= , 0x=& . Aplicnd aceste condiii n soluia (e) gsim

. Deci, legea de micare a cursorului fade bareste:2/aCC 21 ==

( ) )t(chaee2

ax tt =+= . (f)

Din relaia (b) se afl componenta orizontal areaciunii:

Figura 11.3

)t(shag

G2x

g

G2H 2 == & .

Din relaia (c) rezult imediat componenta vertical areaciunii V = G. Reaciunea barei va fi:

tshg

a41GVHN 2

2

2222

+=+= .


Problema 11.3.Un cerc de srmde razR se rotete n jurul diametrului su vertical cuviteza unghiularconstant . Pe cerc se poate deplasa frfrecare un cursor M de masm. S

se determine poziiile de repaus relativ ale cursorului (Figura 11.3) precum i valoarea reaciuniicercului.

0

R:R

g)cos(

20

= ; .RmN 20=

Problema 11.4.Un regulator centrifugal Watt se rotete n jurul unei axe verticale fixe cu

viteza unghiularconstant(v. Figura 11.4). Sferele A i B, de masm fiecare, se ndeprteazsimultan de axa vertical. Se cunosc braele prghiilor regulatorului a i b precum i valoareaforei rezistente verticale P. Sse afle poziia de echilibru relativ a sferelor A i B.

R:22bm

Pa2mgb)cos(

+= .

Problema 11.5.Un tren merge cu viteza de 15 m/s , pe ine dispuse n lungul unui meridiande la sud ctre nord. Masa trenului este de 2000 tone. S se calculeze: a) mpingerea lateralexercitat asupra inelor n momentul n care trenul se afl la latitudinea nordic de 60o; b)

mpingerea lateralexercitatasupra inelor dactrenul ar trece prin acelai loc dar mergnd de lanord ctre sud.

57


58/69

R:F = 3778,7 N spre dreapta n sensul de mers al trenului, n ambele cazuri.

Problema 11.6.ntr-un vagon, ce se deplaseazpe un drum orizontal, se aflun pendul careexecutoscilaii armonice mici, astfel nct poziia medie de oscilaie a pendulului face unghiul de6ofade vertical. Sse calculeze: a) acceleraia micrii vagonului; b) cu ct diferperioada T de

oscilaie a pendulului n timpul micrii vagonului fade perioada T0a pendulului cnd vagonul arfi imobil?R:a = 1,03 m/s2; T0 T = 0,0028 T0.


Problema 11.7. Tubul AB se rotete cu viteza unghiular constant n jurul axuluivertical CD, fiind fixat de acesta nclinat la unghiul de 45o(v. Figura 11.5). n tub se gsete o bilgrea M. S se determine legea de micare a bilei fa de tub dac viteza ei iniial este nul iar

poziia iniiala bilei fade mijlocul O al tubului este (OM0) = a. Se neglijeazfrecarea.

R: ( )2

2t5,02t5,02

mecanica 2 caiet de seminar

Documents