INTRODUCERE : Ce este econometria ?

1. Scurt istoric privind apariţia econometriei

2. Definiţia econometriei

1

3. Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei

2

modelul econometric

Sursa de date

Teste statistice

4. Introducerea unui model economic în modelul econometric

3

4

5. Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiinţelor economice

Referitor la legăturile econometriei cu disciplinele economice trebuie subliniată corespondenţa dintre modelarea econometrică şi previziune. Previziunea macro sau microeconomică reprezintă un domeniu care utilizează în mare măsură rezultatele predicţiei econometrice

Modelarea econometrică Legătura Previziunea economică

Elaborarea modelului

Experimentarea modelului econometric pentru a obţine variante economice în scopul :▪ oferirii de informaţii cu privire la comportamentul variabilelor endogene în diverse alternative de acţionare a pârghiilor economice▪ oferă toate aceste noi informaţii previziunii economice.

Previziunea oferă :▪ elementele elaborări modelului▪ defineşte variabilele endogene (rezultative)▪ defineşte variabilele exogene corespunzătoarea obiectivele urmărite în funcţie de existenţa datelor statistice

Previziunea economică, pe baza noilor informaţii primite îşi va crea o perspectivă în legătură cu ceea ce s-ar putea întâmpla în viitor, fie şi în linii mari, în raport cu diferite variante ale politicii economice care ar putea fi aplicate

TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE UTILIZATE ÎN ECONOMIE

1. Descrierea econometrică a interdependenţelor dintre fenomenele economice

5

Fig.1 Schema de modelare a unui sistem

- ,modele deterministe- modele econometrice (aleatoare).

Y = f(X) + U

6

Spre deosebire de modelul determinist se introduce în descrierea ( ) fenomenului economic studiat şi o variabilă aleatoare U deoarece :

2. Principalele tipuri de modele econometrice utilizate î n economie

, , ,Tipologia modelelor econometrice este foarte variată ele se pot totuşi :încadra în câteva tipuri şi clase

,▪ Modele unifactoriale şi modele multifactoriale ,▪ Modele liniare şi modele neliniare ▪ Modele parţiale şi modele agregate ,▪ Modele statice şi modele dinamice ,▪ Modele cu o singură ecuaţie şi modele cu ecuaţii multiple ▪ Modele euristice şi modele operaţionale

) a Modele unifactoriale şi modele multifactoriale

7

)b Modele liniare şi modele neliniare

)c Modele parţiale şi modele agregate

) d Modele statice şi modele dinamice

Un model econometric dinamic este acela în care variabila factorială x exercită influenţa asupra variabilei y pe mai multe perioade de timp :

yt = f(xt,…,xt-1,…,xt-k ) + ut ; t=1,n j=1,k k<1

unde > k = lungimea perioadei de decalaj (LAG).

Exemplu :

) ,e Modele cu o singură ecuaţie şi modele cu ecuaţii multiple

8

) f Modele euristice şi modele operaţionale

MODELUL ECONOMETRIC UNIFACTORIAL

1. Definirea modelului unifactorial

y = f(x) + uunde :

y = (y1, y2,…,yn) - variabilă endogenă sau rezultativă;x = (x1, x2,…,xn) – variabilă exogenă sau factorială sau cauzală;

9

u = (u1, u2,…,un) – variabila reziduală, aleatoare sau eroare.

Modelul de mai sus reprezintă o ipoteză construită pe baza teoriei economice..

2. Identificarea modelului unifactorial

♦ Funcţia liniară

y = a+ bx+u

♦ Funcţia semilogaritmică

y = a+b log x + u

♦ Funcţia putere

10

y =a xb + u♦ ( )Funcţia inversă hiperbolă

= + y axb + u

♦ Funcţia parabolă

= + + Y a bx cx2 + u

11

♦ Funcţia logistică

uecy bxa +

+= +1

sau

ue

cy xba ++

= + log13. Modelul econometric unifactorial liniar

yt = +a bxt + ut

12

3.1 - Determinarea parametrilor prin Metoda Celor Mai –Mici Pătrate . . . . .M C M M P

Utilizarea acestei metode porneşte de la relaţiile :

13

:Condiţia de minim a funcţiei rezultă din

de unde rezultă sistemul de ecuaţii :

=+=+

∑ ∑ ∑∑ ∑

tttt

tt

yxxbxayxban

2ˆˆ

ˆˆ

Acest sistem se mai numeşte şi , sistem de ecuaţii normale care are următoarele proprietăţi :

3.2 Verificarea modelului econometric

, Acceptarea econometrică a modelului teoretic ca model ca aproximaţie , :statistică echivalentă cu modelul real studiat presupune

- verificarea ipotezelor pe care se fundamentează estimarea parametrilor ;modelului econometric

- ;verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului econometric

14

- verificarea similitudinii modelului econometric.

3.2.1 Verificarea ipotezelor pe care se fundamentează estimarea .parametrilor unui model econometric

Contrar homoscedasticităţii este heteroscedastitatea care înseamnă că erorile nu au dispersiile egale ci diferite : 22

22

1 )(...)()( unMuMuuM σ≠≠≠≠ .

Depistarea heterodascebilităţii se poate realiza prin mai multe procedeele :a) Procedeul grafic

15

Procedeul grafic constă în construirea graficului privind valorile variabilei factoriale x şi ale variabilei reziduale u . Dacă, pe măsura creşterii (scăderii) valorilor variabilei factoriale x, se observă o creştere (scădere) a valorii variabilei reziduale u, înseamnă că cele două variabile x şi u sunt corelate şi nu independente.

.1 .2Fig Corelare pozitiva Fig Corelare negativa) b Procedeul dispersiilor variabile

16

I3 Valorile variabilei reziduale u ,sunt necorelate .respectiv nu există fenomenul de autocorelare a erorilor

(Cov ut, uk) = (M ut, uk) = 0 ktnkt ,,1,)( =∀

♦ Depistarea autocorelării valorilor variabilei u t se poate face prin mai :multe procedee

17

, , Această valoare empirică „d” se compară cu două valori teoretice d1 şi d2, preluate din tabelul distribuţiei -Durbin Watson, în funcţie de pragul de

semnificaţie stabilit α, de numărul de variabile exogene k şi de numărul n al valorilor observate (n 15≥ ).

I4 Legea de probabilitate a variabilei reziduale ut este , legea normală de medie nulă şi abatere medie pătratică uσ , ut (0,→N

uσ ).

Se ştie că dacă erorile urmează o lege normală de medie zero şi abatere medie pătratică us ˆ consecinţă a ipotezelor I1, I2 şi I3, atunci are loc relaţia :

=≤ )ˆ( ut stuP α 1- α , Pe baza acestei relaţii în funcţie de diferite praguri de semnificaţie α din

tabela distribuţiei normale sau a distribuţiei Student se vor prelua valorile corespunzătoare lui t α .

18

3.2.2 Verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului econometric

Dacă cele patru ipoteze pot fi acceptate, şi deci , estimatorii obţinuţi sunt nedeplasaţi, convergenţi şi eficienţi. Cei doi estimatori obţinuţi a şi b sunt variabile aleatoare repartizate normal, unde :

−+=

∑ 2

22

ˆ)(

1xx

xn

sst

ua = abaterea medie pătratică a estimatorului a

∑ −= 2

2

ˆ )( xxs

st

ub = abaterea medie pătratică a estimatorului

b

∑ ∑−

−=

−=

2)(

)ˆ(2

1 222

nyy

un

s tttu = dispersia variabilei reziduale

♦ Verificarea estimatorilor a şi b

19

Estimatorii a şi b fiind variabile normale, se va aplica testul „t”. Prin centrarea şi

normarea estimatorilor a şi b se obţin valorile calculate :

a

cal sat

ˆ

1 ˆ= şi

bcal s

btˆ

2ˆ

= . Aceste valori calculate se compară cu valoarea teoretică :

αt = variabila normală, dacă t= n,1 , n n>30, preluată din tabele distribuţiei normale, în funcţie de valoarea „p”, sau a pragului de semnificaţie α, p+α=1.

- tα; n-k+1 = variabilă Student, dacă t = 1,n şi n ≤ 30, preluată din tabela Student, în funcţie de valoare stabilită pentru α şi de numărul de grade de libertate n-k+1; n= numărul observaţiilor; k= numărul variabilelor exogene xj j= k,1 ( k+1 = numărul parametrilor modelului).

20

3.2.3 Verificarea similitudinii modelului econometric

Modelul econometric tt xbay ˆˆˆ += , este expresia formală a modelului economic real, ttt ubxay ++= , conceput de teoriei economice. Modelul econometric este obţinut pe baza unui singur sondaj statistic.

Va trebui urmărit să verificăm dacă :- dacă variabila x este principalul factor de influenţă a fenomenului y,

aşa cum am făcut ipoteza;- dacă legitatea dintre cele două variabile este de forma :

ttt ubxay ++= ;

- dacă rezultatele obţinute pot fi sistemice, adică dacă se vor obţine rezultate diferite pentru sondaje diferite.

♦ 1 a Metoda analizei variaţiei

21

, În general scopurile urmărite în această etapă se rezolvă cu ajutorul , Metodei analizei variaţiei cunoscută şi sub denumirea de metoda .ANOVA

:Metoda analizei variaţiei porneşte de la ecuaţia

şi se ajunge la ecuaţia analizei variaţiei : V02 = Vx2 +

Vu2

:unde

V02 =∑

=

−n

tt yy

1

2)( = variaţia totală a variabilei y provocată de toţi factorii

săi de ;influenţă

Vx2 = ∑=

−n

tt yy

1

2)ˆ( = variaţia fenomenului y provocată numai de variaţia

, , factorului x considerat factorul principal al variaţiei y adică variaţia lui y ;explicată de modelul econometric

Vu2 = ∑=

−n

ttt yy

1

2)ˆ( = , variaţia reziduală sau variaţia fenomenului y

, – generată de factorii nespecificaţi în model aceşti factori fiind consideraţi în – , etapa de specificare drept factori cu influenţă întâmplătoare neesenţiali pentru

.a explica variaţia fenomenului y , - De regulă rezultatele aplicării metodei ANOVA se prezintă într un tabel

:de forma

♦ 2 : "a Testarea semnificaţiei dintre două dispersii testul „F

22

♦ 3 a Testarea semnificaţiei modelului 3.1: a Coeficientul de determinare

: Coeficientul de determinare se calculează astfel 20

22

/ VV

R xxy = , el are

următoarele semnificaţii :

23

Pe baza acestor informaţii se deduce uşor că un modele econometric este cu atât mai performant cu cât valoarea lui

2/ xyR ,se apropie mai mult de unu

100%.respectiv cu cât se apropie mai mult de

3.2 c Raportul de corelaţie

OBS. În cazul unei legăturii liniare, estimatorii parametrilor sunt obţinuţi cu

ajutorul MCMMP, raportul de corelaţie Ry/x este egal cu coeficientul de corelaţie r / .y x

♦ 4: : c Testarea semnificaţiei modelului econometric testul „F”

Astfel :

24

▪ dacă 121 ;;2

2

11

−−==≤−

⋅−−=knkcal F

RR

kknF ννα , atunci Ry/x = 0

→ se renunţă la modelul econometric;

▪ dacă 121 ;;2

2

11

−−==>−

⋅−−=knkcal F

RR

kknF ννα , atunci Ry/x ≠ 0

→ se acceptă modelul econometric şi se trece la discuţia econometrică a ecuaţiei analizei variaţiei : 222

0 ux VVV += . .

UTILIZAREA MODELULUI ECONOMETRIC UNIFACTORIAL PENTRU PROGNOZE

Pentru putea verifica performanţele unui model econometric obţinut, acesta trebuie prezentat cu următoarele informaţii :

tt xbay ˆˆˆ +=

)()( ˆˆ ba ssRd

us ˆ Dispunând de aceste informaţii putem testa :

▪ independenţa erorilor → testul „d” –Durbin-Watson;▪ semnificaţia estimatorilor → testul „t”;▪ similitudinea (veridicitatea ) modelului → testul „F”.

4.1 În cazul seriilor statistice teritoriale

25

4.2 Tipuri de prognoze

▪ estimărilor punctuale ale prognozei : tbay ˆˆˆ += ▪ dacă modelul econometric este : tbay ˆˆˆ += +ut , atunci prognoza se

face pe baza unui interval de încredere de forma :

ααα −==⋅+≤≤⋅− 1)ˆˆ( ˆˆ pstyystyPtt yttyt

▪ dacă modelul econometric este : ttt uxbay ++= ˆˆˆ şi dacă pentru prognoza fenomenului y se cunosc valorile variabilei x la momentul (n+v) prognoza se realizează tot pe baza unui interval de încredere :

ααα −==⋅+≤≤⋅−++ +++ 1)ˆˆ( ˆˆ pstyystyP

vnvn yvnvnyvnunde :

vny + = valoarea reală a variabilei y în momentul de prognoză (n+v);

vny +ˆ = estimarea punctuală a valorii de prognoză pentru variabila y, care

se calculează cu ajutorul relaţiei : vnvn bxay ++ += ˆˆ

=+ νnys ˆ abaterea medie pătratică a erorii de previziune, calculată

cu relaţia :

26

4.3 Eroarea de previziune

vnyvnvna styye+

⋅=−= ++ ˆˆ α = eroarea absolută ;

100ˆ

100ˆ

ˆ

vn

y

vn

ar y

st

yee vv

++

+⋅

== α = eroarea relativă.

Dacă p → 1 rezultă că siguranţa prognozei creşte, iar dacă pragul de semnificaţia α creşte atunci precizia prognozei se diminuează.

Se poate preciza că prognozele sunt acceptate cu o probabilitate dată de p = 0,95, aceasta α = 0,05 iar eroarea de prognoză er = 5%.

MODELE DETERMINISTE DE PROGNOZĂ

Majoritatea seriilor de timp, cu conţinut economic, posedă o tendinţă de lungă durată, peste care se suprapun celelalte componente. Pentru determinarea intuitivă a tendinţei, analiza începe prin reprezentarea grafică a seriei de timp, metodă prin care se aproximează trendul acesteia.

27

1. Funcţia liniară (dreapta de regresie)

♦ Variabila independentă este timpul

Fie seria de timp X= {x1, x2,…,xn ; n=1,2,…,n}. Dacă în urma Reprezentării grafice, valorile seriei reprezentate în sistemul cartezian urmează aproximativ o dreaptă ca în fig.1

Atunci funcţia liniară va avea forma : tbaYt ⋅+= .

Parametrii a şi b se calculează prin M.C.M.M.P. prin minimizarea funcţiei:

min F(a,b) = ( )[ ] 2min btayt +−Prin minimizarea funcţiei de mai sus, care are două variabile a şi b, se

obţine sistemul de ecuaţii normale:∑ ∑=+ tytbna

∑ ∑∑ =+ ttytbtb 2

unde:n – reprezintă numărul termenilor seriei.Prin rezolvarea sistemului aflăm parametri a şi b, cu ajutorul lor putem scrie

modelul matematic de evoluţie liniară a fenomenului studiat :Yt = a + b•t.

♦ Variabila independentă : variabila x

Avem două serii de date : {Xi} şi {Yi} , i= 1,…,n pe care reprezentăm grafic

28

yt yt

yt

b>0 b<0

b=0

t t

t

Fig.1 Funcţia liniarăDacă între cele două serii de date există o legătură liniară de forma fig.1

atunci ecuaţia liniară va fi de forma : xbaYi ⋅+= Parametrii a şi b se află tot prin M.C.M.M.P., şi anume minimizăm funcţia:

min F(a,b) = ( )[ ] 2min bxayt +−După efectuarea derivatelor parţiale în funcţie de aşi b, obţinem sistemul de

ecuaţii normale :∑ ∑=+ ii yxbna

∑ ∑∑ =+ iii yxxbxa 2

APLICAŢIA 1La o fabrică care produce articole din masă plastică, în perioada 2004 – 2008,

s-a înregistrat următoarea serie de date (tabelul 1), cu privire la valoarea producţiei acesteia. :

Tabelul.1 -mii.lei -Anii

t2004

12005

22006

32007

42008

5Valoarea

Producţiei(Q)

228 256 260 240 248

Să se prognozeze cu ajutorul funcţiei liniare, valoare producţiei pentru anul următor..

Rezolvare1. Pe baza sistemului de ecuaţii normale

∑ ∑=+ tytbna

∑ ∑∑ =+ ttytbtb 2

se construieşte tabelul :

29

Tabelul 1

Anult

yt t2 t•yt Yt

1 2 3 4 51 228 1 228 2422 256 4 512 2443 260 9 780 2464 240 16 960 2495 248 25 1.240 251

15 1.232 55 3.720 1.232

2. Se scrie sistemul de ecuaţii pe baza tabelului 1.5a + 15 b = 123215 a + 55 b = 3.720

Prin rezolvarea acestui sistem se determină parametrii : a = 239,2 şi b = 2,4.4.Am obţinut modelul funcţiei liniare de prognoză : Yt = 239,2 + 2,4•t

Rezultatele calculelor vor fi prezentate în tabelul 1, coloana 5.

Reamintim că trebuie să urmărim respectarea egalităţii:Σyt = ΣYt..

Prin reprezentarea grafică a celor două serii de timp vom obţine un graficul din figura 1

Evolutia valorii productiei

228

256260

240248

242 244 246 249 251

210

220

230

240

250

260

270

1 2 3 4 5

Fig. 1. Funcţia liniară

APLICAŢIA 2

30

Avem două serii : X reprezentând cheltuieli cu publicitatea şi Y reprezentând cifra de afaceri. Aceste serii de date în ultimii şase trimestre au avut valorile : X={4, 6, 3, 5, 8, 7}şi Y={30, 45, 25, 30, 50, 45}

Se cere prognoza lui Y pentru trimestrul următor, cunoscând că se vor face cheltuieli cu publicitatea de 11 um.

Rezolvare

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10

Series1

Din reprezentarea grafică rezultă că putem folosi funcţia liniară :

Y= a+ bxPentru a calcula parametrii aşi b folosim sistemul de ecuaţii normale :

=+=+

∑ ∑ ∑∑ ∑

tttt

tt

yxxbxayxbna

2

Construim tabelul :xt yt x2 xtyt

4 30 16 1206 45 36 2703 25 9 755 30 25 1508 50 64 4007 45 49 315

33 225 199 1,330 Obţinem sistemul :

=+=+

133019933225336

baba

De unde a = 8,43 şi b= 5,29Deci modelul ecuaţiei liniare este Y = 8,43 + 5,29 x.Elaborarea prognozei

31

x

y

Dacă pentru variabila factorială x se prognozează valoarea x= 11atunci cifra de afaceri va avea valoarea prognozată de 65 u.m. Y = 8,43 + 5,29 ▪ 11= 67 u.m.

2. FUNCŢIA PARABOLĂ

♦ Variabila independentă este timpulSe foloseşte pentru ajustarea unei seriei de timp care în urma reprezentării

grafice în planul cartezian are o evoluţie de forma unei parabole. Funcţia parabolă este descrisă de ecuaţia : 2ctbtaYt ++= .

Estimarea parametrilor a, b, c se face prin metoda M.C.M.M.P. minimizând expresia:

( )2

1

2min

++−∑

=

n

tt ctbtaY

În urma efectuării derivatelor parţiale în raport cu parametrii a, b şi c se obţine următorul sistemul de ecuaţii normale:

∑ ∑∑ =++ tytctbna 2

∑ ∑ ∑∑ =++ ttytctbta 32

∑ ∑ ∑ ∑=++ tyttctbta 2432

Prin rezolvarea sistemului obţinem valorile parametrilor care vor fi trecute în modelul matematic de previziune a fenomenului utilizat.

Exemplu: dacă a = 2; b = 3 şi c = 1,5 atunci modelul de ajustare a trendului va fi: 25,132 ttYt ++= .

Într-o formă generală trendul seriei poate fi aproximat prin modelul funcţiei

polinomiale: ∑1

n

i

iit taY

=

×= .

Notă.1. Modelul matematic este cu atât mai avantajos cu cât este mai simplu,

altfel spus, cu cât are mai puţini parametrii cu atât este mai eficient şi uşor de aplicat.

2. Dintre funcţiile polinomiale se folosesc cel mai des funcţiile liniare, polinomiale şi foarte rar cele cu gradul mai mari decât 3.

♦ Variabila independentă este X

32

yt

t

Parcurgând aceleaşi etape ca mai sus, se ajunge la următorul sistem de ecuaţii normale :

APLICAŢIESă se ajusteze şi prognozeze cu ajutorul funcţiei parabolă, seria de date

prezentată în tabelul.1.Rezolvare1. Pe baza sistemului de ecuaţii normale se construieşte tabelul 3

Tabelul 3t yt t2 t4 t•yt t2•y Yt

1 2 3 4 5 6 7-2 228 4 16 -456 912 232-1 256 1 1 -256 256 2490 260 0 0 0 0 2561 240 1 1 240 240 2532 248 4 16 496 992 242

Total 1.232 10 34 24 2.400 1.232

Se scrie sistemul concret de ecuaţii pe baza tabelului 3, col.1 la col.4

5 a + 10 c = 1.232 10 b = 2910 a + 34 c = 2.400

Prin rezolvarea acestui sistem se determină parametrii a = 255,54 , b = 2,4 şi

c=-4,57

Se calculează valorile ajustate şi prognoza fenomenului analizat cu ajutorul modelului:

Yt = 255,54 + 2,4•t - 4,57 t2.Rezultatele calculelor vor fi prezentate în tabelul 3, coloana 7. Menţionăm că trebuie respectată egalitatea :

Σyt= ΣYt..

Prin reprezentarea grafică a celor două serii de timp vom obţine un graficul din figura 2.4

33

=++=++

=++

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

yxxxbxaxyxxxayxcxbna

432

32

2

228

256 260

240248

210

220

230

240

250

260

270

1 2 3 4 5

SerieprimarăTrend

Fig. 4 Parabola

FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ

Alegerea funcţiei exponenţiale pentru ajustarea unei serii de timp se face pornind de la considerentul că termenii seriei sunt dispuşi în planul cartezian după

o curbă exponenţială. Funcţia exponenţială este de forma:. tt aby =

Fie seria de timp { }ntyt ,1, = , pe care o reprezentăm grafic astfel :

Pentru calcularea parametrilor a şi b se foloseşte metoda M.C.M.M.P:

( ) min2

1

→−∑=

n

t

tt aby

34

1 2 3 4 5 t

y1

yn

Deoarece funcţia tt aby = este neliniară, pentru calcularea parametrilor a şi b

se va face liniarizarea acestei ecuaţii prin logaritmare, astfel: ln yt = ln Yt = ln a + t • ln b

gt = Gt = A + t • B

În urma acestor notaţii sistemul de ecuaţii normale va fi : n A + B Σt = Σgt = Σln yt

A Σt + B Σt2 = Σ t•gt = Σt•ln yt

APLICAŢIE

Să se ajusteze cu ajutorul funcţiei exponenţiale, seria de date prezentată în tabelul 1 şi apoi, pe baza modelului găsit să se prognozeze producţia pentru anul următor.

Rezolvare

1.Pe baza sistemului de ecuaţii normale se construieşte tabelul 6. Tabelul .6

yt gt= ln yt t t2 t* ln yt Gt Yt

1 2 3 4 5 6 7

228 5,429 -2 4,0 -10,859 5,299 241256 5,545 -1 1,0 -5,545 4,402 244260 5,561 0 0,0 0,000 5,506 246240 5,481 1 1,0 5,481 5,609 249248 5,513 2 4,0 11,027 5,713 251

1232 27,529 0 10,0 0,104 27,529 1231

2.Se scrie sistemul concret de ecuaţii pe baza tabelului 4 col.1 la col.4 5•A + 0•B = 27,528 ⇒ A = 5,510•A + 10• B = 0,1 ⇒ B = 0,01

Modelul de ajustare liniarizat va fi: Gt = 5,51 +0,01•tFolosind notaţiile:A = ln a ⇒ a = EXP(A) ⇒ a = EXP(5,51) = 246,13B = ln b ⇒ b = EXP(B) ⇒ b = EXP(0,01) = 1,01

Rezultă că putem scrie funcţia exponenţială :Yt = a • bt = 246 • 1,01t

35

Primul termen al seriei ajustate se calculează astfel:

241 = 246 •EXP(-2•LN(1,01)), iar prognoza pentru anul următor :

315 01,1246 ×=+Y = 317

Rezultatele calculelor sunt prezentate în tabelul 2.6, coloana 7.

Prin reprezentarea grafică a celor două serii de timp vom obţine un graficul din figura 2

285

320325

300310

302 305 308 311 314

260270280290300310320330

1 2 3 4 5

Serie primară

Trend

Fig. 2.

FUNCŢIA LOGISTICĂ

Utilizarea ajustării unei serii de timp printr-o funcţie logistică este una dintre cele mai realiste metode folosite pentru ajustarea unui fenomen economic.

Funcţia logistică reprezintă la începutul intervalului o creştere accentuată, urmată de o perioadă de încetinire a creşterii până la atingerea unui prag de saturaţie care nu poate fi depăşit.

Funcţia logistică este descrisă de ecuaţia :

f(t) = btat ecY −+

=1

sau f(t) = btt aecY −+

=1

,

36

yt Prag de saturaţie

t

unde c reprezintă pragul de saturaţie.

În cadrul unui fenomen economic care evoluează după o curbă logistică, dacă t aparţine intervalului [0, c/2] viteza de evoluţie a fenomenului analizat este crescătoare, iar pentru t aparţinând intervalului [c/2, ∞ ] viteza de evoluţie este descrescătoare, determinând apariţia saturaţiei. Punctul de inflexiune are coordonatele (ln a/b, c/2).

Calcul parametrilor pentru funcţia logistică se face, în principal, prin două metode:

a. Metoda punctelor aleseSe aleg trei momente pe axa timpului, astfel încât t1 se va afla la începutul

seriei; t2 la mijlocul seriei, iar t3 se află spre sfârşitul seriei astfel încât să fie echidistanţi.

Se aleg apoi valorile din seria de date corespunzătoare celor trei momente. Parametrii a, b şi c se vor calcula cu relaţiile :

( )2131

21223212

yyyyyyyyy

c−

+−= ;

1

1logy

yca −= ;

( )( )12

21log1ycyycy

nb

−−

−=

Pentru ca ajustarea să fie de calitate este necesar ca seria de date analizată să aibă un număr mare de termeni.

b. Metoda liniarizăriiAceastă metodă se aplică atunci când se cunoaşte pragul de saturaţie : *cc = ,

iar funcţia logistică este de forma: btt ae

cY −+=

1

*

În acest caz seria de timpe se reprezintă grafic sub forma următoare:

Această funcţie evident este neliniară. Pentru aflarea parametrilor se procedează la liniarizarea funcţiei prin logaritmare:

btt aecY −+

=1

*

.

Scriem ecuaţia sub forma: bt

t

aeYc −+= 1

*

, rezultă că: bt

t

aeYc −=− 1

*

;

logaritmăm această ecuaţie ⇒ tbaYc

t

⋅−=

− ln1ln

*

, apoi facem notaţiile :

37

yt c*

t

Gt A

În urma acestor notaţii se obţine o ecuaţie de forma: Gt = A – b•t adică un model liniar pe care ştim să îl rezolvăm.

APLICAŢIEVânzările unei firme specializată în desfacerea produselor electronice, în

primele 10 luni de funcţionare sunt prezentate în tabelul 2.Se cere să se ajusteze seria de timp pe baza funcţiei logistice şi să se

previzioneze vânzările pentru următoarele două luni.

Tabelul 2. - mii.lei -Luna Vânzări

ytPuncte alese

1 120 X1

2 1283 1854 2685 280 X2

6 2857 2918 2949 296 X3

10 297

RezolvareÎn urma reprezentării grafice a seriei de timp obţinem graficul din figura 2.6

0

50

100

150200

250

300

350

1 3 5 7 9

Dateprim are

Trend

Fig..6 Funcţia logistică

Considerăm că seria de timp urmează o funcţie logistică de forma:

yt = btt aecYtf −+

==1

)(

Estimarea parametrilor a, b, c se va face prin metoda punctelor alese. Conform acestei metode alegem următoarele valori ale seriei corespunzătoare celor trei momente :

x1 = 120 începutul seriei ( t1);x2 = 280 centrul seriei (t2);x3 = 296 către sfârşitul seriei (t3).

38

Formulele de calcul ale celor trei parametrii sun următoarele :

2231

3122321 )(2

xxxxxxxxx

c−

+−= ;

1

1lnx

xca −= ;

))(

ln1

12

21

xxxcx

nb

−−

−=

În urma efectuării calculelor am obţinut valorile : c = 296,72; a = 1,47; b = 0,32 Rezultă că funcţia logistică este :

tt eY ⋅−⋅+

= 32,047,1172,296

.

Rezultatele calculelor vor fi trecute în tabelul 2.8.

Tabelul 8Luna t yt EXP(-0,32*t) Yt

1 0 120 1 120,002 1 128 0,73 143,433 2 185 0,53 167,104 3 268 0,38 189,845 4 280 0,28 210,656 5 285 0,20 228,867 6 291 0,15 244,178 7 294 0,11 256,649 8 296 0,08 266,5110 9 297 0,06 274,16

Prognoza 11 10 - 0,04 280,00Prognoza 12 11 - 0,03 284,39

UTILIZAREA COEFICIENTUL DE ELASTICITATE PENTRU PREVIZIUNE. FUNCŢIA DE PRODUCŢIE.

1. Coeficientul de elasticitateForma cea mai utilizată a coeficientului de elasticitate cererii este :

Calculul elasticităţii cererii in raport cu factorul x’ presupune ca toţi ceilalţi factori neincluşi in calcul să prezinte o “evoluţie normală’, eventual să rămână la acelaşi nivel neperturbând semnificativ influenţa exercitată de factorul „x”.

Coeficientul de elasticitate poate fi utilizat pentru obţinerea de previziuni pe termen scurt. Astfel, in relaţia de mai sus în situaţia în care nivelul viitor al factorului (x’) este cunoscut iar coeficientul de elasticitate se va menţine neschimbat, singura “necunoscută” rămâne nivelul viitor al cererii (C’).

39

APLICAŢIE

Se cunoaşte evoluţia vânzărilor pentru produsul A, pe trimestrele I,II,şi III. Modificarea preţului precum şi evoluţia venitului mediu sunt prezentate mai jos :

Trim. II Trim. IIIC-cantităţi vândute (mii buc.)P – preţul produsuluiV- venitul mediu

255007000

405009000

Să se prognozeze cererea pentru trimestrul IV în ipoteza că venitul va fi de 10.000 um.

Rezolvare

- Calculăm pentru trimestrul III : EC/V

1,27000

70009000:25

2540/ =−−=VCE

La o creştere de 1% a venitului îi corespunde o creştere a cererii de 2,1%, deci cererea este elastică în raport cu venitul.

- presupunem că EC/V va rămâne constant,- calculăm prognoza pentru necunoscuta C’ =Ctrim IV

5,4725257000

7000100001,2 =+−=trimIVC um.

A. Calculul analitic al coeficientului de elasticitateFormula analitică de calcul a coeficientului de elasticitate :

40

în această relaţie putem introduce valorile medii pentru x şi pentru y, obţinem

Un demers similar conduce la obţinerea elasticităţii unor funcţii frecvent utilizate în studiul cererii :

- funcţia semilogaritmică uxbay ++= log0

ybE 42,0=

- funcţia exponenţială de elasticitate constantă baxy = E = b- funcţia parabolei y = a + bx + cx2 + u

yxcxbE )( += .

2. Funcţia de producţie

Pentru determinarea corelaţiei dintre rezultatul unei activităţi economice, de exemplu PIB =(y) şi factorii si principali de producţie : capitalul (K) şi forţa de muncă (L) îl reprezintă funcţia de producţie de tip Cobb – Douglas, scrisă sub forma:

y = A▪ Kα Lβ , în care: α şi β = coeficienţi de elasticitate; A = factor de proporţionalitate, constant.

Această funcţie de producţie neliniară poate fi liniarizată prin logaritmare şi soluţionată pentru necunoscutele A, α şi β dacă se cunosc seriile de date statistice pe o perioadă de 15 ani, pentru variabilele y, K şi L.

Coeficienţii A, K şi L se pot determina prin M.C.M.M.P.- metoda celor mai mici pătrate pe baza liniarizării prin logaritmare :

log y = log A + log K + log LOBS :Când α + β = 1, avem o funcţie de tip Cobb-Douglas homotetică.Coeficienţii α şi β ne arată contribuţia factorilor de producţie, capital şi

respectiv muncă, la realizarea producţiei. Dacă se explicitează coeficientul constant A, atunci va rezulta:

βα LKyA =

Această relaţie are forma clasică a unui indicator de eficienţă care raportează efectele (y) la cheltuieli cu capitalul (K) şi munca (L).

Coeficientul A mai poartă şi denumirea de coeficient al eficienţei integrale, întrucât raportează efectul la mai mulţi factori principali de influenţă.

41

O formă mai extinsă a funcţiei Cobb-Douglas se poate obţine atunci când, în loc de doi factori de influenţă, vom lua un număr „n” de factori F1, , F2 ,... Fn . Astfel, vom avea:

y = AF1 x F2 x…x Fn

Din această relaţie, se pot deduce mărimile coeficientului eficienţei integrale care, de ceastă dată, are un fundament mai extins al integralităţii sale, fiind luai în considerare n factori de influenţă.

AJUSTAREA ŞI PROGNOZAREA CU FUNCŢII

42

MICROSOFT EXCEL

Funcţia TREND

Syntax TREND(known_y's, known_x's, new_x's, const)

known_y's setul valorilor variabilei DEPENDENTE Yknown_x's setul valorilor variabilei INDEPENDENTE Xnew_x's este valoarea cunoscută a lui X pentru care dorim prognozaconst este o constantă logică

- dacă esteTRUE sau omisă, atunci b se calculează normal - dacă este FALSE atunci b=0 ŞI y=mx

43

Se cunosc valorile celor două serii de date X= cheltuieli cu publicitatea şiY = Volumul desfacerilor pe lunile ian-sept. Se cerea să se prognozeze volumul desfacerilor dacă se va face cheluiieli cu publicitatea în lunile următoare de 1,750 şi respectiv1,900

B C D E F

Nr.crt

Luna

Cheltuieli cu

publicitateaVolum desfacere

26 1 Ian. 1,250 23,750 27 2 Feb 1,310 25,480 28 3 Mar 1,110 21,210 29 4 Apr 1,375 26,940 30 5 Mai 1,411 27,920 31 6 Iun 1,400 27,200 32 7 Iul 1,530 29,872 33 8 Aug 1,610 30,100 34 9 Sept 1,690 31,540 35 10 Oct 1,750 36 11 Nov 1,900

Rezolvare

1. Reprezentăm grafic seria de date şi adăugăm trendul

Rezolvare

Să se prognozeze desfacerile pentru lunile octombrie şi noiembrie, prognoza se face cu funcţia TREND

44

3. Prognoza

Octombrie 33,203Noiembrie 35,886

BIBLIOGRAFIE

1. Eugen Ştefan Pecican, Econometrie, Editura All, 19942. Ioan Deac, Previziunea economică, Editura Star Soft, Alba Iulia. 2002,

45

3. Tudorel Andrei, Econometrie, Editura Economică, 20084. Ioan Deac, Introducere în econometrie- Note de curs, Biblioteca FFB Blaj, 2009

46