i: ce este econometria - sjea-dj.spiruharet.ro · economiei, ci de problemele de structură, comune...
TRANSCRIPT
1
Universitatea Spiru Haret
Facultatea de Stiinte Juridice, Economie si Administrative, Craiova
Programul de licenta: Management Disciplina: ECONOMETRIE
Titular disciplină : Conf. univ. dr. Ilie Dragos
I: CE ESTE ECONOMETRIA?
Progresul continuu al societăţii contemporane este strâns legat de realizarea a numeroase obiective în
diferite sectoare de activitate. Metodele tradiţionale fac faţă cu greu complexităţii mereu crescânde a proiectelor, a
cerinţelor sporite privind obţinerea unor parametri economici corespunzători. Din această perspectivă, rezolvarea
problemelor economice este o luptă cu timpul şi cu eforturile materiale sau costul. Tendinţele negative care conduc
la depăşiri de termene şi costuri se manifestă, uneori, tot mai intens pe măsura avansării lucrărilor, singura cale de
evitare sau de atenuare a lor este folosirea unor metode ştiinţifice de previziune, planificare, decizie şi control.
În etapa actuală de dezvoltare economică, pe lângă extraordinara complexitate a tuturor activităţilor de
productie a bunurilor materiale se ridică cu deosebită acuitate şi problema resurselor materiale de a căror limitare
suntem nevoiţi să ţinem mereu seama. De altfel, crizele economice au la origine şi problema resurselor limitate,
ceea ce declanşează crize energetice cu influenţe asupra întregii economii. Toate aceste elemente impun cu
necesitate folosirea metodelor ştiinţifice de abordare şi soluţionare pe care le ridică practica economică.
Aşadar, sarcinile ce stau în faţa economistului (chiar şi cel din departamentul financiar - contabil) sunt
foarte complexe şi, prin urmare, el trebuie să aibă cunoştinţe tot mai cuprinzătoare şi din alte domenii, mai ales în
ceea ce priveşte modelarea fenomenelor economice. Astfel, azi nu mai putem vorbi de o bună pregătire a
economistului dacă nu are cunoştinţe şi nu ştie să utilizeze metode şi modele ale cercetărilor matematice şi
statistice.
Specializările în pregătirea economică superioară sunt diversificate, pe lîngă specializarea financiar-
contabilă există specializări în comerţ, economia industriei construcţiilor şi transporturilor, în economia
agriculturii, în planificare şi cibernetică cărora li s-au adăugat în ultimii ani şi specializări în economia serviciilor
de alimentaţie publică şi turism.
În această lucrare încercăm să conturăm o tematică a conţinutului cunoştinţelor de matematică şi statistică
pe care trebuie să le aibă un economist modern, pregătirea sa trebuind totuşi adoptată în funcţie de cerinţele
disciplinelor de profil care-i asigură viitorului economist specializarea.
Economistul trebuie să ştie să facă raţionamente corecte şi riguroase căci numai în felul acesta ne vom
asigura că este capabil să înţeleagă modele noi, să le aplice efectiv în rezolvarea unor probleme concrete pe care le
ridică practica economică. Aceasta îi dă posibilitatea să pătrundă adânc în esenţa fenomenelor, să sintetizeze şi să
facă abstractizări şi eventual să aducă corecţii modelelor sau să construiască modele noi.
1.1. Definiţie şi rol. Ansamblul activităţilor umane desfăşurate în sfera producţiei, distribuţiei şi
consumului bunurilor şi serviciilor este numit economie. Putem însă privi economia şi ca un studiu analitic ce se
ocupă de relaţiile care există sau pot fi presupuse că există între mărimi măsurabile direct. Preţurile, dobânzile,
veniturile, costurile, cantităţile de mărfuri vândute sau cumpărate pe piaţă şi cantităţile de factori de producţie
folosiţi de o întreprindere sunt numai câteva exemple de mărimi variabile folosite în economie. Unele din aceste
mărimi pot fi măsurate în unităţi fizice sau naturale, altele numai în bani sau în alte unităţi valorice. Important este
că ele sunt măsurate în nişte unităţi oarecare. Deci nu există nici o îndoilă ca în economie se pot aplica metode
matematice şi statistice. O ramură a economiei care urmăreşte să introducă mai multă rigoare în demersul
economic prin utilizarea unor astfel de metode este econometria.
Denumirea sa, bazată pe termenii de limbă greacă oikonomia = economie şi metran = măsură, subliniază
preocupările econometricienilor de măsurare nu atât a cantităţilor şi preţurilor cât mai ales a relaţiilor dintre
variabilele economice (în special a relaţiilor cauză – efect) dar şi de descriere prin metode operaţionale a proceselor
economice şi a economiei naţionale în ansamblu, deoarece, de-a lungul timpului s-a ajuns la concluzia că numai
datele numerice pot asigura o bună cunoaştere a ceea ce ne interesează. Să ne amintim de cugetarea lordului Kelvin
de la sfârşitul secolului al XIX lea
: „Dacă ceea ce afirmi se poate măsura şi exprima în numere, atunci poţi spune că
cunoşti ceva despre acest lucru; când însă nu-l poţi măsura şi exprima în numere, cunoaşterea dobândită este slabă
şi nesatisfăcătoare”.
Aşadar, econometria este o ramură particulară a ştiinţelor economice, o ramură care urmăreşte aplicarea
metodelor statistice şi analizei matematice în economie.
Scopul cercetărilor econometrice propriu-zise este descoperirea, dincolo de datele statistice, a
mecanismului subiacent care transformă o categorie de obiecte economice ale căror semnale înregistrate constituie
o mulţime de date, într-o altă categorie de obiecte economice ale căror semnale observate formează o altă mulţime
de date [45].
2
Economistul norvegian Ragner Frisch a fost cel care a introdus acest termen şi a delimitat câmpul de
cercetare manifestându-se public prin constituirea Societăţii de econometrie în anul 1931.
1.2. Matematica şi econometria. În lumea actuală, de o mare tehnicitate, nimic nu poate fi imaginat fără o
contribuţie directă şi uneori decisivă a matematicii în dezvoltarea tuturor ştiinţelor naturii. „Matematica este ştiinţa
care studiază relaţiile calitative şi cantitative şi structurile care se pot imagina între obiectele lumii reale, în cadrul
modelelor care se construiesc pentru reprezentarea lor” afirma acad. Caius Iacob în [18]
Începuturile matematicii au izvorât din unele operaţii practice ale omului, şi anume din acelea care-i
reveneau să se orienteze în spaţiu şi timp, să-şi administreze munca. Cu alte cuvinte, din nevoia aplicaţiilor
economice încet - încet s-au elaborat, pentru acele operaţii, reguli generale, din ce în ce mai generale, din ce în ce
mai clar exprimate şi legate raţional unele de altele. Astfel a apărut econometria. Ca orice teorie matematică,
econometria are ca ţintă posibilitatea de a răspunde cerinţelor practice, deoarece cercetarea în orice ştiinţă trebuie
să corespundă cerinţelor fundamentale ale dezvoltării ştiinţei respective. Viitorul va confirma desigur justeţea
orientării în cercetarea respectivă.
Problemele de economie, de planificare a producţiei nu mai pot fi abordate astăzi fără un aspect matematic
tot mai complicat deoarece „forţa matematicii constă în posibilitatea ei de a contribui la cercetarea oricăreia dintre
formele de evoluţie a materiei în măsura în care, în cadrul ştiinţelor naturii, această cercetare, depăşind fazele
iniţiale de observaţie trece la experimentarea şi măsurarea de efecte, căpătând un aspect nu numai calitativ ci şi
cantitativ” (Caius Iacob).
O problemă care se ridică este aceea a modului de abordare a diverselor rezultate matematice. Desigur în
continuare nu vom insista pe rafinamentul raţionamentului pur matematic dar nici nu vom transforma matematica
într-o colecţie de rezultate bune de utilizat în anumite situaţii.
Cel ce utilizează aparatul matematic trebuie să cunoască şi să discearnă condiţiile în care soluţia unei
probleme este asigurată şi mai mult decât aceasta, să ştie dacă soluţia este unică sau nu şi mai ales să fie capabil să
obţină soluţia problemelor. Acest lucru îi va permite să analizeze din punct de vedere economic rezultatele
numerice, să tragă concluzii asupra evoluţiei viitoare a fenomenelor.
Numai cu o pregătire adecvată se pot aborda programele dinamice deterministe sau aleatoare, discrete sau
continue, cu orizont limitat sau nelimitat care apar azi în stabilirea practicilor optimale atunci când se studiază
procese de un înalt grad de complexitate şi la a căror finalizare sunt antrenate mari resurse materiale şi umane.
Din toate acestea rezultă marea importanţă care trebuie acordată modelării fenomenelor şi proceselor
economice, iar matematica (componentă a econometriei) se impune în acest caz nu numai ca instrument necesar
dar şi indispensabil. Tocmai modelele economiei matematice definesc domeniul econometriei. Care este diferenţa
dintre matematica economică şi econometrie? Dacă matematica economică transpune problemele economiei în
limbajul matematicii pentru o mai uşoară utilizare a sistemului de noţiuni ale economiei şi a disciplinelor derivate
econometria caută valori numerice pentru parametrii modelelor matematice, ca ocupându-se cu măsurarea
obiectelor economice ce au ca echivalente analoge modele matematico - economice.
Savanţii au reuşit să modeleze o largă varietate de fenomene cum ar fi stabilitatea navelor în hidrostatică,
diferenţierea celulară în biologie, bătaia inimii şi transmiterea fluxului nervos în fiziologie, anorexia mentală în
psihiatrie, comportamentul mulţimilor în sociologie, evoluţia societăţii în ştiinţele politice, formarea preţurilor în
ştiinţa economică. Matematica are un câmp de aplicare nelimitat. Toate teoriile matematice reuşesc să creeze
„reţele” ce leagă discipline foarte diferite precum fizica şi sociologia, chimia şi economia. Aceste serii „luptă
împotriva împrăştierii Cunoaşterii într-un nor de cunoaşteri parţiale, descoperind fundamentala unitate structurală a
naturii” iar „sursa profundă a acestei interdisciplinarităţi este forţa generativă a matematicilor” după cum afirma, pe
bună dreptate Alain Bontat..
„Limbajul interdisciplinarităţii, spune Thom, este în mod necesar matematic. Numai din momentul în care
un concept de viziune experimentală a fost matematizat, desprins prin abstractizare de locul său de origine, poate
începe a avea un rol interdisciplinar”. Astfel, matematica nu reprezintă doar un simplu instrument de calcul şi
predicţie ci serveşte ca germen al unor structuri abstracte (teoria catastrofelor, haosul).
Necesitatea înţelegerii şi studierii unor sisteme de reacţii cu un număr mare de variabile sau cu un număr
mare de conexiuni a dat naştere economiei matematice care nu se ocupă cu problemele unei singure ramuri a
economiei, ci de problemele de structură, comune tuturor domeniilor economiei. Econometria este o dezvoltare
ulterioară care urmăreşte specificarea numerică a metodelor economiei matematice. Disciplinele economice
matematizate au dus apoi la cristalizarea analizei macro şi microeconomice, indiferent de particularităţile de
ramură, îmbrăţişând probleme comune oricărui sector al economiei.
1.3. Statistica şi econometria. În publicaţia Royal Statistical Society fondată încă din 1834 găsim
următoarea definiţie: „statistica este constatarea şi punerea în evidenţă a faptelor care sunt calculate pentru a ilustra
condiţiile şi perspectivele societăţii”. Astăzi, statistica reprezintă un puternic instrument de cunoaştere a cărei
metodă, având o mare putere de generalizare, se numără printre metodele particulare la care fac apel aproape toate
disciplinele.
3
În practica economică, prin natura fenomenelor aleatoare, cunoştinţele matematice pe care le utilizează şi
cu care operează economistul sunt de neconceput fără aprofundarea unor elemente de teoria probabilităţilor şi
statistică matematică.
Statistica studiază fenomenele de masă din punct de vedere cantitativ şi le interpretează ca fenomene
probabile. Din această cauză este necesar să se ţină cont de principiile teoriei probabilităţilor şi de cerinţele legii
numerelor mari (J.Bernoulli, 1713) conform căreia, într-un număr suficient de mare de cazuri individuale,
influenţele factorilor se pot compensa în aşa fel încât să se ajungă la o anumită valoare tipică pentru întregul
ansamblu.
De exemplu, la sfârşitul unei activităţi avem la dispoziţie o mulţime de date, informaţii privind
caracteristicile procesului economic respectiv (cifre privind factori consumaţi, factori solicitaţi, unele valori
optime). Aceste date reprezintă statisticile care constituie materie primă pentru econometrie. Pornind de la acest
sistem de date, econometricianul reconstituie modelul prin care unele se transformă în factori, iar altele în
obiective. De fapt econometria intervine acolo unde nu există un model satisfăcător, apelând la combinarea unor
activităţi de producţie pentru care unica sursă de a le studia eficienţa este agregarea lor în statistici.
Statistica studiază regularităţile cu care fenomenele economice şi sociale se produc, evidenţiază gradul de
influenţă a factorilor şi mutaţiile structurale din interiorul fenomenelor şi de asemenea permite extinderea
cunoaşterii fenomenelor studiate. Este, aşa cum afirmă anumiţi cercetători [25], o ştiinţă de graniţă alături de
econometrie, psihologie economică ş.a., constând în folosirea instrumentelor formale furnizate de matematică în
cunoaşterea celorlalte domenii: economie, sociologie, medicină, politică etc. Cu ajutorul său se poate cunoaşte
variaţia oricărui proces economic, ajutând astfel la luarea unei decizii mai bune în corelaţie cu realităţile economice
şi sociale.
Demersul statistic are la bază atât raţionamentul deductiv cât şi pe cel inductiv. În timp ce metoda
deductivă presupune stabilirea de ipoteze generale şi deducerea acestora prin raţionamentul logic, pornind de la
general la particular, cea inductivă presupune un proces invers, pornind de la observaţii particulare se ajunge la
reguli generale după cum se produc şi se manifestă fenomenele şi procesele social-economice. Statistica se ocupă
de fenomenele cu caracter social-economic de masă, urmărind să descopere ceea ce este esenţial, durabil şi logic în
sânul acestora, ea reprezentând astăzi un puternic instrument de cunoaştere la care fac apel aproape toate
disciplinele.
Metoda celor mai mici pătrate, analiza de regresie, metoda corelaţiei sau estimaţiile sunt suportul esenţial
în econometrie, economiştii fiind permanent tentaţi de descoperirea trendurilor viitoare ale unor anumite procese
economice.
Printre instrumentele statistice folosite în econometrie se numără:
- Regresia multiplă – tehnică statistică de identificare a „celei mai potrivite ecuaţii” care indică legătura dintre
valoarea unei variabile dependente şi valorile multiple ale unui număr dat de variabile independente. Spre exemplu,
o firmă poate afla cum sunt influenţate vânzările sale de modificarea nivelului cheltuielilor de publicitate, a
mărimii forţelor de vânzare şi a preţului.
- Metoda discriminantului – tehnică statistică de împărţire a obiectelor sau persoanelor în două sau mai multe
categorii. Exemplu: O mare reţea de magazine poate determina variabilele care stau la baza diferenţelor între
amplasamentele indicate şi cele contraindicate magazinelor [60].
- Analiza factorială – tehnică statistică utilizată pentru determinarea dimensiunilor esenţiale ale unuio
ansamblu mai larg de variabile independente. Exemplu: O reţea de televiziune poate reduce numărul mare al
programelor TV transmise la un set mai mic de programe [29,pag.28].
- Analiza grupurilor – tehnică statistică de separare a componentelor unei mulţimi într-un număr prestabilit de
grupuri care se exclud reciproc, astfel încât grupurile obţinute să fie relativ omogene. Exemplu: Un analist de
marketing poate împărţi o mulţime de oraşe în patru grupe de oraşe similare.
- Analiza canonică – tehnică statistică de descompunere a preferinţelor determinate ale subiecţilor faţă de
oferte diferite, în vederea determinării funcţiei utilităţii personale implicite a fiecărui atribut şi a importanţei
relative a acestuia. Exemplu: O companie aeriană poate determina utilitatea totală a diferitelor combinaţii de
servicii.
- Scalarea multidimensională – categorie de tehnici de reprezentare a obiectelor sub formă de puncte într-un
spaţiu multidimensional de atribute, distanţele dintre ele indicând diferenţele existente. Exemplu: Un producător de
calculatoare doreşte să afle unde se situează marca sa în comparaţie cu mărcile concurente.
Multe studii şi modele au încercat să descopere care este trendul viitor al unor procese economice, pornind
de la informaţii din trecut, informaţii care cuprind comportamentul preţurilor, capitalizarea bursieră, volumul
vânzărilor, costuri, stocuri, fluxuri de numerar etc. De exemplu, cu ajutorul modelului lanţurilor Markov (care
indică probabilitatea trecerii de la o stare considerată actuală la o stare viitoare) orice producător de bunuri de
consum poate determina periodic modificările şi stagnările corespunzătoare mărcii proprii şi, în cazul în care
probabilităţile sunt constante, cota finală deţinută de marcă pe piaţă, iar modelarea sistemului activelor financiare
de către econometricieni (folosind teoria mersului aleator – the random walk by pathesis) are o deosebită
4
semnificaţie în cadrul teoriilor pieţelor financiare, acest risc reprezentând o problemă extrem de delicată pentru
orice investitor.
Modelele econometrice trebuie să fie compatibile cu modelele de activitate. Rolul important al statisticii
este tocmai realizarea acestei compatibilităţi. Datele statistice confirmă sau infirmă corectitudinea unui model
econometric. Odată cu intensificarea folosirii metodelor statistico-matematice s-au înregistrat progrese în ştiinţă
prin apariţia modelelor economice.
Contrar aşteptărilor, elaborarea modelelor nu elimină statistica din câmpul cercetării, ci, dimpotrivă, o
solicită mai intens.
1.4. Previziunea şi econometria. În previziune, cercetările cantitative au drept scop să reconstituie, în
vederea extrapolării, legăturile dintre diverse variabile, care, de cele mai multe ori, nu sunt perceptibile direct sau
în mod evident. Obiectivul lor este de a facilita gândirea în termeni medii, ca primă etapă a unui proces de
simplificare şi de schematizare. Din câte se ştie, explorarea viitorului facilitează identificarea conexiunilor şi a
intervenţiilor specifice fluxului informaţional valori → obiective → nevoi → resurse (fig.1.1) amplificând atât
eficacitatea acţiunii sociale raţionale, cât şi motivaţia şi satisfacţia în muncă.
- Fig.1.1 -
Analiza schemei evidenţiază pregnant o serie de efecte benefice asupra comportamentului individual şi
colectiv, a interesului manifestat pentru educaţie şi cultură, reflectat în nivelul aspiraţiilor. Accelerarea fără
precedent a ritmului schimbărilor a impus prevederea ca cea mai importantă funcţie sau atribut a managementului,
iar previziunea sau orientarea economico-socială ca disciplină ştiinţifică distinctă, din familia celor de sinteză,
precum filozofia, economia şi psihologia. Apelând la construcţii de investigaţii laborioase şi pragmatice, bazate pe
cunoştinţe logice, matematice, omul poate anticipa nu numai starea viitoare a evenimentelor, fenomenelor şi
preceselor, ci şi rezultatele probabile pe care le generează acţiunea umană, precum şi consecinţele acestora asupra
individului şi a societăţii.
Între variabilele de previziune X şi Y există mai multe tipuri de legături, şi anume:
Relaţia de definiţie sau cantitativă, decurgând din logica structurilor teoretice ale ştiinţei economice, cum ar
fi: produsul intern brut se exprimă ca diferenţa între produsul global brut şi consumurile intermediare, sau ca sumă
a produsului intern net şi amortizarea capitalului fix. Din relaţia generală, de bază, se deduc relaţiile secundare cu
ajutorul cărora se calculează elementele componente ale prdusului intern brut;
Relaţia econometrică, având la bază una sau mai multe variabile independente cuantificate individual,
precum şi o variabilă suplimentară exprimând influenţa globală a factorilor ce contribuie la evoluţia de ansamblu
nu se cuantifică individual;
Relaţia de echilibru sau de balanţă (FFÎt + PFt = FFSt + SFt) în care variabila dependentă decurge din
operaţiuni de însumare, scădere sau combinare a celor două demersuri, presupunându-se cunoscute valorile
preconizate ale componentelor (variabilelor) independente; de pildă, produsul global brut la nivelul economiei
naţionale rezultă din însumarea producţiilor brute pe sectoare sau ramuri şi subramuri de activitate (FFÎ = fonduri
fixe la începutul anului; PF = fonduri fixe puse în funcţiune; SF = fonduri fixe scoase din funcţiune; FFS = fonduri
fixe la sfârşitul anului; t = anul);
Relaţia de tendinţă sau de trend, în care factorul timp reprezintă variabila independentă;
Relaţia deterministă, de dependenţă ori de interdependenţă, care poate fi unifactorială (variabila dependentă este în
funcţie de evoluţia unei singure variabile independente, cum ar fi previziunea muncii numai în raport cu gradul de
înzestrare tehnică a muncii) sau multifactorială, când variabila dependentă este determinată de două sau de mai
multe variabile independente. Folosirea uneia sau alteia dintre ipoteze depinde de valoarea coeficientului de
corelaţie dintre variabile (pentru X există întotdeauna Y şi invers), respectiv relaţia reciprocă între cele două
variabile, din care una apelează logic la cealaltă, semnalând asocierea dintre ele.
Viitorul – reprezentat prin previziuni – este funcţie de necesitate, dar şi rod al întâmplării, de unde rezultă că
activitatea umană organizată se prezintă sub forma unui registru de posibilităţi situate între certitudine şi
incertitudine [54]. Prin urmare, previziunile se clasifică în trei categorii valorice distincte, şi anume:
Sistem de valori Nevoi (aspiraţii şi
interese)
Obiective ale
dezvoltării social-
economice
Programarea şi
planificarea
social-economică
Nevoi umane,
fizice şi sociale
Structura relaţiilor
sociale
Structura relaţiilor
economice
5
a – Previziuni în condiţii de certitudine, care au rezultate sigure, cu efecte imediate sau pe termen scurt;
rezultatele se determină cu ajutorul funcţiilor matematice liniare, pe baza unei analize de tip determinist a
proceselor;
b – Previziuni în condiţii de risc, adică fără a se cunoaşte riguros rezultatele posibile, deşi acestea şi gradul de
risc au fost corect anticipate. În asemenea împrejurări, deciziile pentru situaţiile simple sunt adoptate pornind de la
valoarea minimă a riscului, iar pentru cele complexe, pe baza optimalizării raportului dintre risc şi costul măsurilor
antirisc;
- Fig.1.4 -
c – Previziuni în condiţii de incertitudine, respectiv când nu pot fi cunoscute nici şansele rezultatelor şi nici
chiar toate rezultatele posibile. În acest caz, factorii de decizie apelează la informaţii suplimentare pentru a stabili
limitele câmpului de apariţie a unui rezultat.
II: FUNCŢII ŞI ECUAŢII ECONOMETRICE
Una din cele mai dificile probleme ale econometriei este estimarea legăturilor ce se înregistrează între
factorii producţiei şi rezultatele obţinute. Cele mai multe modele caută să explice creşterea economică (sporul de
produse şi de venit) prin aportul combinat a doi factori de producţie: capitalul (K) şi munca (L). Aceşti factori
exprimă rezultatul serviciilor productive în unităţi fizice sau naturale. Dinamica dezvoltării economice depinde atât
de rata acumulării de capital şi a investiţiilor (K) cât şi de progresul tehnic (ceea ce permite reducerea ponderii lui
L ca urmare a creşterii productivităţii muncii).
2.1. Funcţii econometrice. Funcţiile de producţie sunt expresii matematice care descriu legăturile
cantitative dintre principalii indicatori economici ce caracterizează volumul activităţilor verigilor organizatorice
ale economiei naţionale în ansamblul său (produs global brut, produs intern brut sau net, valoare adăugată, venitul
naţional, producţia globală, ramurile sau sectoarele instituţionale etc) şi principalii factori de producţie, respectiv
capitalul fix sau capital total (fix şi circulant), forţa de muncă din activitatea productivă, progresul tehnico-
ştiinţific, resursele de materii prime şi materiale [15,pag.175].
Funcţiile de producţie şi cele de consum, funcţiile de ofertă respectiv de cerere atât pe piaţa bunurilor, a
forţei de muncă cât şi a banilor sunt descrise în econometrie cu ajutorul funcţiilor reale de mai multe variabile
reale. Caracteristicile acestor funcţii vor varia în funcţie de specificul procesului economic analizat. Pentru a
urmări activităţile ce duc la obţinerea producţiei dorite se realizează o anumită „combinare” a factorilor de
producţie.
Să considerăm spaţiul vectorial
NnRn , . Coordonatele unui element
n
n Rxxxx ,,, 21 reprezintă cantitatea consumată din factorul de producţie i . Un vector de producţie este
un vector de forma 1
1 ,,, n
n Ryxxv unde y este outputul aşteptat. Vectorul v se numeşte posibil dacă
există o combinaţie de inputuri nxx ,,1 care să ducă la realizarea din punct de vedere tehnologic a outputului
y .
Domeniul de producţie posibil corespunzător pentru o firmă F reprezintă toate combinaţiile posibile de
factori de producţie care permit din punct de vedere tehnologic obţinerea unor anumite niveluri de producţie y .
Fiind dat vectorul resurselor ca nivelul unei firme F numim funcţie de producţie la nivelul firmei aplicaţia
)(,: xyyRRy n
în condiţiile în care combinaţia nxxxx ,,, 21 există şi este posibilă din punct de vedere tehnologic, iar
resursele sunt folosite cu eficienţă maximă. Iată câteva din proprietăţile unei funcţii de producţie:
1. )(xyy este monoton crescătoare, deci creşterea consumului din cel puţin un factor, fără a diminua
consumul din ceilalţi factori duce la creşterea volumului de producţie;
Medii mobile
şi ajustări
Extrapolarea
tendinţei
Extrapolarea
seriilor
decompozabile
Prognoze pe baza
seriilor de timp
Modele cauzale
Cantitative
Calitative
Metode şi tehnici
de prognoză
6
2. Are proprietatea de esenţialitate slabă, care înseamnă că în lipsa oricărui factor de producţie nixi ,1, nu
se poate obţine output, adică 0)( xy dacă şi numai dacă 0x .
3. Păstrează neschimbată unitatea de măsură atunci când scala producţiei se modifică. Această proprietate este
cunoscută sub numele de economie de scală. Matematic, înseamnă că )(xf este omogenă de gradul , deci
)()( xfxf . Coeficientul caracterizează funcţia de producţie astfel:
- dacă 1 economie de scară crescătoare
- dacă 1 economie de scară constantă
- dacă 1 economie de scară descrescătoare
Un proces de producţie se numeşte tehnologic ineficient dacă există un altul care produce acelaşi output cu
un consum mai mic de resurse, sau cu acelaşi volum de resurse permite obţinerea unui volum mai mare de output.
Evident, fiecare funcţie nxxyy ,,1 are caracteristici care reflectă specificul procesului economic
analizat. Aceste caracteristici pot fi caracterizate cu ajutorul indicatorilor medii, marginali, de elasticitate şi de
substituţie.
1. Indicatorii medii şi marginali, pentru factorul i , sunt determinaţi de:
i
ix
yy respectiv
i
xix
yf
i
'
2. Elasticitatea nivelului activităţii în raport cu un factor ix se defineşte ca:
i
i
xx
x
y
yE
i
: sau
ii
ix
y
x
yEx :
unde y este variaţia (creşterea sau descreşterea) nivelului activităţii y pe seama variaţiei ix a factorului
(inputului) ix , ceilalţi factori rămânând constanţi. Elasticitatea reprezintă creşterea sau descreşterea procentuală a
nivelului activităţii
%
y
y la o variaţie (creşterea, descreşterea) de 1% a factorului ix
%1
i
i
x
x ceilalţi
factori rămânând neschimbaţi.
3. Indicatorii de substituire se calculează de-a lungul curbelor de indiferenţă, adică la nivelul constant al
variabilei rezultative şi arată gradul în care factorul ix poate substitui cu alt factor jx fără a modifica nivelul
variabilei rezultative [42,pag.107].
Se numeşte rată medie de substituire a factorilor raportul i
j
ji
x
xr
, iar raportul
j
i
nx
nx
i
j
ji
xxf
xxf
dx
dxr
i
j
,,
,,
1
'
1
'
se numeşte rată marginală de substituire (semnul (-) arată că o creştere
(descreştere) a factorului ix este consecutivă unei descreşteri (creşteri) a factorului jx ).
Punctul de plecare al instrumentarului analitic folosit de modelele de creştere economică, considerată în
[65,pag.195] drept „cea mai bună reprezentare pentru analiza economică” este funcţia de producţie Cobb - Douglas
(formulată de C.W.Cobb şi P.Douglas în 1929), funcţie ce exprimă în mod simplificat relaţia dintre cantitatea şi
combinarea celor doi factori de producţie (K şi L) şi rezultatul obţinut, fie sub forma sporului obţinut (Q), fie sub
forma creşterii venitului (Y).
Forma elementară a funcţiei Cobb - Douglas este
Q = f(K.L) sau Y = f(K,L)
iar forma generalizată este
n
i
iixAy
1
unde y este un indicator al rezultatului producţiei, xi este variabila corespunzătoare factorului i, iar A parametru de
scară sau de proporţionalitate, care înglobează contribuţia factorilor de producţie neidentificaţi sau neexplicaţi în
modelul funcţiei şi αi sunt constante. Însă, în forma sa clasică, funcţia are trei variabile:
uLAKY
unde u este o variabilă aleatoare. Parametrii α şi β (care se estimează pe baza seriilor Y, K, L) sunt elasticităţile
celor doi factori consideraţi.
Pe baza acestei funcţii se pot calcula indicatori de mare utilitate în analiza macroeconomică
7
1
1
LAKL
Y
LAKL
Y
- Cum elasticitatea unei activităţi în raport cu un factor determinant al ei se realizeaza prin raportul între
creşterea procentuală a nivelului activităţii, indusă de creşterea (sau descreşterea) procentuală a factorului,
respectiv:
K
K
Y
Y : sau
L
L
Y
Y :
trecând la variaţii obţinem elasticităţile
LAK
LLAK
Y
L
L
Y
LAK
KLAK
Y
K
K
Y
1
1
α reprezintă elasticitatea producţiei în funcţie de capital şi arată cu cât creşte produsul muncii la o variaţie,
respectiv o creştere de 1% a capitalului, iar β reprezintă elasticitatea producţiei în raport cu munca, respectiv o
creştere de 1% a forţei de muncă.
Între elasticităţile α şi β (α > 0 şi β > 0) pot exista relaţiile:
a) α + β < 1 când există o eficienţă descrescândă a factorilor utilizaţi. O creştere simultană cu 1% a volumului
utilizat din cei doi factori va determina o creştere mai mică de 1% a venitului, punând în valoare reprezentarea
spaţială (K,L,Y) pentru α = 0,2; β = 0,3 şi A = L (fig.2.1)
α + β = 1 la o creştere a producţiei proporţională cu totalul creşterii capitalului şi a forţei de muncă, proporţia fiind
dată de coeficientul A. Producţia se manifestă în acelaşi sens cu factorii, adică eficienţa folosirii factorilor de
producţie este constantă. Pentru α = 0,5; β = 0,5 şi A = 2 se obţine altă reprezentare grafică în acelaşi spaţiu
(fig.2.2)
α + β >1 când se remarcă o eficienţă crescândă în creşterea simultană a factorilor, caracteristic celor mai dinamice
domenii de activitate. În sfârşit, în eventualitatea în care α = 0,5; β = 0,7 şi A = 2 avem o reprezentare grafică
diferită în acelaşi spaţiu (fig.2.3)
- Productivitatea medie sau randamentul mediu, indicator care exprimă câte unităţi de producţie se obţin la o
unitate din factorul de producţie analizat este un alt indicator uşor de calculat cu ajutorul acestei funcţii:
LAKK
YK
1 reprezintă productivitatea medie în funcţie de capital, pe când 1 LAK
L
YL
este randamentul mediu în funcţie de factorul muncă (productivitatea muncii).
- Mărimile limită ale productivităţii muncii şi randamentului capitalului fix arată sporul de producţie ce revine
pe unitatea de spor a factorilor de producţie. Aceste mărimi marginale sunt inferioare mărimii medii.
KK
LL
LAKK
Y
LAKL
Y
1
1
O caracteristică a funcţiilor de producţie este aceea că ele reflectă posibilitatea înlocuirii reciproce parţiale a
factorilor de producţie între ei. Dar, această substituire ridică problema asigurării unui raport optim între factorii de
producţie (prezentând importanţă pentru alocarea optimă a resurselor între ramuri şi subramuri pentru mărirea
eficienţei).
- Rata de substituire dintre factori arată modul în care capitalul fix productiv poate fi înlocuit cu forţa de
muncă sau invers.
Această rată se determină din egalitatea care se obţine condiţionând ca volumul productiei să fie constant (ΔΥ=0).
0
k
k
YL
L
kk
YL
L
Y
, deci
L
K
K
L
k
Y
L
Y
L
kRS
:
- Aspectele privind eficienţa investiţiilor în capitalul fix productiv necesar înlocuirii unei unităţi de forţă de
muncă se evidenţiază prin intermediul elasticităţii ratei de substituire. Aceasta se calculează folosind relaţia:
GG
L
K
L
KE ::
- Tot cu ajutorul funcţiei de producţie se poate calcula necesarul forţei de muncă
- Fig.2.2 -
- Fig.2.3 -
8
1
AKL
şi necesarul de capital fix productiv
1
ALK
Alte funcţii de producţie utilizate sunt:
Funcţia de producţie liniară 0,0,),( babLaKLKF
Funcţia strict proporţională 0,0,,min),( babLaKLKF
Funcţia ALLEN 0,0,0,2),( 22 cbabLaKLcKALKF
Funcţia CES 1,10,0,1),(1
AKLALKF
Deoarece mijloacele de muncă existente fac parte din producţii obţinute în perioade de timp diferite, care
încorporează realizări diferite ale ştiinţei şi tehnicii, respectiv generaţii succesive de tehnică diferă din punct de
vedere calitativ apar numeroase probleme dificile care privesc determinarea corectă a funcţiilor de producţie,
agregarea diferitelor componente ale progresului tehnic atât la nivel microeconomic cât mai ales la nivel
macroeconomic, compararea anticipărilor (calcule exacte) cu realizările efective (calcule expost), măsurarea
volumului capitalului şi a eficienţei lui etc.
Funcţia de profit
În acţiunea sa, decidentul trebuie să determine planul de producţie Z astfel încât firma să ajungă la un profit
maxim. Pentru a analiza acest obiectiv se introduce funcţia:
RA: iar )(Z reprezintă profitul obţinut de către firmă în urma realizării programului de producţie
Z.
Dacă preţurile celor n bunuri de pe piaţă sunt date sub forma vectorială npppP ,,, 21 atunci
profitul firmei va fi
PZzpzn
i
ii 1
)(
în cazul în care firma nu modifică preţurile pe piaţă. Dacă preţurile sunt afectate de nivelul producţiei:
ZPzzpznz
n
i
ii )(
1
)()(
unde )(zpi este preţul produsului i.
Funcţia de cost
Intotdeauna managerul caută o decizie care să ducă la minimizarea costurilor de producţie. Notăm
kxxxx ,, 21 şi myyyy ,, 21 imputurile, respectiv outputurile unei firme iar cu )(yV mulţimea
imputurilor necesare obţinerii de outputuri la nivelul dat de vectorul y. Să presupunem că firma este competitivă pe
piaţa factorilor şi să notăm vectorul preţurilor imputurilor cu kppp ,,1 . Atunci funcţia cost este
)(
,yVx
pxypC
Această funcţie:
1. este omogenă de gradul întâi în p pentru fiecare vector de outputuri y, fixat;
2. este monoton crescătoare în p pentru fiecare y fixat.
În cazul în care ),( LKfy funcţia de cost a firmei are forma
LPKPLKC LK ),(
2.2. Funcţii de ajustare. Problema aproximării. Fie Rbaf ,: . Se pune problema de a determina o
funcţie g, care să aproximeze funcţia f în intervalul [a,b].
De obicei, nu se cunoaşte expresia analitică a lui f, ci se cunosc doar valorile sale într-un număr finit de
puncte baxxx n ,, 21 sau expresia lui f este destul de complicată, calculele cu ajutorul său fiind deosebit de
dificile. În esenţă, dispunem totuşi de un număr suficient de valori ale lui f, necesare pentru construirea unei funcţii
aproximative mai simple g.
9
Să presupunem, deci, că sunt cunoscute valorile funcţiei f, nixfy ii 2,1),( şi fie )(xgy funcţia
simplă de aproximare. Expresia analitică a funcţiei g o vom determina punând în evidenţă un anumit criteriu de
aproximare. Să considerăm erorile (abaterile):
)()(
)()(
)()(
22222
11111
nnnnn xgxfyy
xgxfyy
xgxfyy
Dorim să găsim expresia analitică a lui g, astfel încât eroarea aproximării să fie minimă.
În mod natural, în primul rând ar trebui să impunem cel mai simplu criteriu de aproximare, adică eroarea
totală
n
i
iiT xgxf1
)()( să fie minimă. Acest criteriu de aproximare, deşi destul de simplu, prezintă
inconvenientul că nu admite o singură soluţie. Într-adevăr, să presupunem că sunt cunoscute numai două puncte
)(, 11 xfx şi )(, 22 xfx de pe graficul lui f. Este evident că dacă baxxg )( (imaginea sa geometrică este o
dreaptă), cea mai bună dreaptă de aproximare este cea care trece prin cele două puncte, deoarece eroarea totală este
nulă. Dar şi pentru dreapta întreruptă L eroarea totală este nulă, deoarece )()( 11 xgxf şi )()( 22 xgxf sunt
egale şi de semn contrar, deci suma lor este nulă.
Următoarea etapă logică ar fi minimizarea valorilor absolute ale erorilor, adică:
n
i
ii
n
i
i xgxf11
)()( să fie minimă.
Nici acest criteriu de aproximare nu se poate utiliza, deoarece derivata funcţiei modul nu există în origine.
Pentru a evita dificultăţile apărute în cele două criterii, vom determina funcţia de aproximare g, cu condiţia
ca suma pătratelor erorilor, adică:
n
i
ii
n
i
i xgxf1
2
1
2 )()(
să fie minimă.
Să considerăm acum funcţia de aproximare g un polinom de grad n , adică
nkxaxaxaaxg k
k ,)( 2
210 . Parametrii kaaa ,,, 10 îi vom determina folosind criteriul de
aproximare, adică expresia
n
i
k
iki xaxaxaaxf1
22
210)(
să fie minimă. Această expresie este o funcţie de cei (k+1) parametri pe care o notăm ),,( 10 kaaaF . Condiţiile
de minim impuse lui F conduc la următorul sistem de (k+1) ecuaţii:
0,,;;0,,;0,, 10
'
10
'
10
'
10 kakaka aaaFaaaFaaaF
k
Efectuând calculele se ajunge la:
0)(2
0)(2
0)(2
1
2
210
1
2
210
1
2
210
n
i
k
ii
k
ikii
i
n
i
i
k
ikii
n
i
i
k
ikii
xxfxaxaxaa
xxfxaxaxaa
xfxaxaxaa
După ordonarea calculelor se obţine sistemul de (k+1) ecuaţii liniare cu (k+1) necunoscute (parametri
necunoscuţi kaaaa ,,,, 210 din expresia analitică a lui g):
10
)(
)(
)(
11
2
1
2
2
1
1
1
1
0
11
1
1
3
2
1
2
1
1
0
111
2
2
1
10
i
n
i
k
i
n
i
k
ik
n
i
k
i
n
i
k
i
n
i
k
i
i
n
i
i
n
i
k
ik
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
k
ik
n
i
i
n
i
i
xfxxaxaxaxa
xfxxaxaxaxa
xfxaxaxana
Aceste ecuaţii poartă denumirea de ecuaţiile normale ale lui Gauss. Se poate arăta că determinantul sistemului este
diferit de zero (punctele nxxx ,,, 21 fiind presupuse distincte). În aceste condiţii sistemul admite o singură
soluţie, deci polinomul de aproximare este unic. Această metodă de aproximare a funcţiei f se mai numeşte şi
ajustare iar g(x), funcţia de ajustare sau curba de ajustare. Pentru a se alege cât mai corect funcţia de ajustare este
necesar să se reprezinte grafic punctele )(, ii xfx şi să se aprecieze tipul curbei după care acestea se împrăştie.
Dăm exemple de curbe de ajustare mai frecvent utilizate:
a – Funcţia liniară – este o funcţie polinomială de gradul unu, care se pretează la evoluţii liniare, adică pentru
variabilele cu o rată de creştere sau scădere „aproape” constantă.
RxbxaxgRRg )(,)(,: ,
unde a R şi b ≠ 0 sunt numere reale fixate. Graficul funcţiei liniare este o dreaptă (fig.2.4):
- Fig.2.4 -
n
i
ii ybxabaG1
2)(),( şi condiţiile pentru calculul constantelor a şi b sunt:
1)
xyxbxa
yxban
2 2) 02
2
2
n
a
G
0
2
11
2
2
22
2
2
2
n
i
i
n
i
i xxn
b
G
ba
Gba
G
a
G
Condiţiile fiind evident verificate, soluţia unică (a0,b0) a sistemului
22022
2
0 ,xnx
xynxyxb
xnx
yxxyxa
este un punct de minim pentru G. Funcţia de ajustare obţinută:
Rxxbaxg )(,)( 00
b – Funcţia de gradul al doilea (parabolică)(1) – se presupune
RxcxbxaxgRRg )(,)(,: 2
y y
(0,a)
(0,a)
x x b > 0 b < 0
Evoluţie ascendentă Evoluţie descendentă
11
- Fig.2.5 -
în care a,b,c R şi c ≠ 0 sunt numere reale fixate. Graficul funcţiei de gradul al doilea este o parabolă (fig.2.5):
Suma pătratelor abaterilor este:
n
i
iii ycxbxacbaG1
22),,(
Condiţiile pentru calculul constantelor a,b,c sunt:
1)
yxcxbxax
xycxbxax
ycxbxan
2432
32
2
2) 02
2
a
G
0,0
2
222
2
2
22
22
2
2
2
22
2
2
2
c
G
cb
G
ca
Gcb
G
b
G
ba
Gca
G
ba
G
a
G
b
G
ba
Gba
G
a
G
Cu formulele lui Cramer, obţinem soluţia unică a sistemului liniar:
432
32
2
422
3
2
0
432
32
2
432
32
2
0 ,
xxx
xxx
xxn
xyxx
xxyx
xyn
b
xxx
xxx
xxn
xxyx
xxxy
xxx
a
432
32
2
232
2
0
xxx
xxx
xxn
yxxx
xyxx
yxn
c
Funcţia de ajustare este:
Rxxcxbaxg )(,)( 2
000
c – Funcţia parabolică (2) – se presupune 0,, bRba .
Funcţia
Exbxaxg
aEg
)(,)(
,:
a
bac
4
24
a
bac
4
24
y y
(0,a)
(0,a)
x x
c
b
2
c
b
2
(c < 0) (c > 0)
12
unde
,
b
aE , dacă 0b şi
b
aE , , dacă 0b exprimă pe x ca funcţie de gradul doi în y.
Graficul ei este un arc de parabolă situat în semiplanul superior şi este inclus într-o parabolă simetrică faţă de axa
timpului îndreptată în sens pozitiv, dacă b > 0 şi în sens negativ, dacă b < 0 (fig.2.6).
Transformata funcţiei g este dată prin ecuaţia: 0,0,2 bxaybxay
Sistemul de ecuaţii pentru calculul constantelor a şi b este:
22
2
xbxaxy
xbany
Parametri a şi b rezultă pe baza relaţiilor:
22
22
22
222
,xnx
xynyxb
xnx
yxxyxa
- Fig.2.6 -
d – Funcţia parabolică cubică (3) – se presupune a,b R şi b ≠ 0 şi 3)(,: bxaxgRRg
Graficul funcţiei (fig.2.7):
- Fig.2.7 -
Transformata lui g este dată de ecuaţia: bxay 3 şi exprimă pe y
3 ca funcţie de gradul întâi de x.
Sistemul de ecuaţii pentru calculul constantelor a şi b este:
23
3
xbxaxy
xbany
El admite soluţia unică:
22
33
0
22
323
0
xnx
xynyxb
xnx
yxxyxa
e – Parabola semicubică – se presupune a,b R şi a,b ≠ 0, şi REg :
aa, aa,
0,
b
a
y y
0,
b
a
x x b>0 b<0
0,
b
a
0,
b
a
3,0 a 3
,0 a
y y
x x
b>0 b<0
13
- Fig.2.8 -
Exbxaxg )(,)( 3
unde
3 ,
b
aE dacă b > 0 şi
3,
b
aE dacă b < 0.
Graficul funcţiei este de forma celui din fig.2.8.
Transformata dată de ecuaţia: 32 bxay exprimă pe y
2 ca funcţie polinomială de x. Se obţine sistemul:
6332
32
xbxaxy
xbany
cu soluţia:
236
32332
0
236
33262
0
xxn
xyxxynb
xxn
xxyxxa
f – Parabola lui Neile – se presupune a,b,c R şi RxcxbxaxgRRg )(,)(,: 3 2. Graficul
funcţiei (fig.2.9):
Transformata este dată de ecuaţia: 23 cxbxay
- Fig.2.9 -
Sistemul de ecuaţii pentru calculul constantelor a, b şi c este:
43223
323
23
xcxbxaxy
xcxbxaxy
xcxbany
şi are soluţia unică:
3 0,
b
a
3 0,
b
a
y y
a,0 a,0 x
x
b>0 b<0
(3
a ,0)
y
x
a
b
3
4
24
c
bac
c > 0
14
432
32
2
4232
33
23
0
432
32
2
4323
323
23
0 ,
xxx
xxx
xxn
xxyx
xxyx
xyn
b
xxx
xxx
xxn
xxxy
xxxy
xxy
a şi
432
32
2
2332
32
3
0
xxx
xxx
xxn
xyxx
xyxx
yxn
c
g – Funcţia – putere – se presupune ,),0(: Rg baxxg )( ,
),0()( x . Graficul funcţiei este de forma (fig.2.10):
- Fig.2.10 -
şi de forme care se pot preciza în alte cazuri
Transformata: xbay lnlnln
Sistemul de ecuaţii pentru calculul constantelor a şi b:
2)(lnln)(lnlnln
lnlnln
xbxaxy
xbany
Se obţine:
22
ln
22
2
ln)(ln
lnln)ln(ln
ln)(ln
lnlnlnlnlnln
xxn
yxxynb
ea
xxn
xxyxya
a
h – Funcţia exponenţială (1) – este folosită la previzionarea variabilelor care au un ritm de creştere mai alert.
Poate avea formele Qxbxaxbx eaKyeybayeay ,,,
Graficul funcţiei pentru a > 0, b > 0 este de forma (fig.2.11):
y y
x x dacă a > 0 şi b > 0 dacă a > 0 şi b < 0
15
- Fig.2.11 -
Se procedează la liniarizarea sa, prin logaritmare: bxay lnln
Se obţine sistemul de ecuaţii normale, pentru determinarea constantelor a şi b:
2)(ln)ln(
lnln
xbxayx
xbany
El are soluţia:
aea
xxn
xyxxya
ln
22
2lnln
ln
22
ln)ln(
xxn
yxyxnb
i – Funcţia exponenţială (2) – forma funcţiei este: xbay
Graficul este de forma (fig.2.12):
Transformata se obţine prin logaritmare: bxay lnlnln
Sistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelor:
2lnlnln
lnlnln
xbxayx
xbany
Necunoscutele sunt lna, lnb. Parametri a şi b se calculează astfel: ba ebea lnln ,
- Fig.2.12 -
j – Funcţia exponenţială (3) – forma funcţiei: xaeky
Pentru liniarizare notăm: ze 1şi obţinem: zaky
Graficul funcţiei este de forma (fig.2.13):
- Fig.2.13 -
Sistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelor:
(0,a)
y
x
şi de forma
dacă
a a
y y
x x b > 1 0 < b < 1
k
y
k - a
x dacă a > 0
16
2zazkyz
zakny
admite soluţia:
22
22
2
zzn
yznzya
zzn
zyzzyk
în care 1 ez
k – Funcţia logaritmică – se utilizează pentru previzionarea variabilelor a căror evoluţie iniţială este accentuată
şi se reduce treptat până când evoluţia devine descrescătoare.
Fie ),0()(,ln)(,),0(:,0, xxaxgRgaRa
Graficul funcţiei pentru a > 0 este de forma (fig.2.14):
- Fig.2.14 -
Se obţine:
2)(ln
ln
x
xya
l – Funcţia semilogaritmică – se consideră a, b ≠ 0 R şi RxxbaxgRg )(,ln)(,),0(:
Graficul funcţiei pentru a > 0, b > 0, este de forma (fig.2.15):
- Fig.2.15 -
Liniarizarea se obţine notând lnt = z. Rezultă g(x) = a + bz
Sistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelor:
2)(lnlnln
ln
xbxaxy
xbnay
Rezultă:
22
22
2
ln)(ln
ln)ln(
ln)(ln
ln)ln)(ln
xxn
yxxynb
xxn
xxyxya
m – Funcţia Prais – forma funcţiei este: x
ba
ey
x
y
l
a
x
y
l
17
Logaritmând x
bay ln şi notând v
xuy
1,ln , se obţine liniarizarea xvau .
Graficul funcţiei este de forma (fig.2.16):
- Fig.2.16 -
Sistemul de ecuaţii este:
2
11ln
1
1ln
xb
xay
x
xbnay
Parametri a şi b se determină din relaţiile:
2
2
2
11
ln1
ln11
xn
x
yx
yxx
a
2
211
ln1
ln1
xn
x
yx
yx
n
b
n – Funcţia hiperbolică – este folosită pentru previzionarea variabilelor care, la început, au un ritm de creştere
(scădere) mai rapid, după care creşterea (scăderea) încetează.
Fie
b
aRx
bxaxgR
b
aRgRba )(,
1)(,:,0, .
De altfel, pentru b ≠ a, oricare ar fi a, graficul funcţiei este o hiperbolă, de unde şi denumirea de funcţie
hiperbolică.
Notând g(x) = y, obţinem bxa
y
1
Relaţia bxay
1
realizează liniarizarea.
Graficul funcţiei pentru a > 0, b > 0 este de forma (fig.2.17):
- Fig.2.17 -
Pentru a > 0, b < 0, graficul este de forma (fig.2.18):
y y
x x dacă a > 0 şi b > 0 dacă a > 0 şi b < 0
ea
ea
a
1,0
y
x
18
- Fig.2.18 -
Sistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelor a şi b este:
2
1
xbxay
x
xbnay
Parametri a şi b se calculează astfel:
2222
2 1
;
1
xxn
yx
y
xn
bxxn
xy
xx
ya
o – Funcţiile sau modelele Törnqvist – se folosesc în marketing pentru previzionarea cererii de produse
alimentare, nealimentare şi de uz casnic.
1) )0(:,)(
aRaRgax
kxyxg
Graficul pentru k > 0, a > 0 este de forma (fig.2.19):
- Fig.2.19 -
Pentru a < 0, k > 0 graficul are forma din fig.2.20 (în ambele cazuri se obţin arce de hiperbolă).
Din ax
kxy
, prin inversare rezultă:
kx
a
kykx
ax
y
11;
1. Notăm b
k
a şi avem
x
b
ky
11
Pentru vx
uy
1
,1
, obţinem liniarizarea bvk
u 1
(fig.2.17).
Sistemul de ecuaţii pentru determinarea constantelor k
1 şi b este:
2
1111
11
xb
xkyx
xb
k
n
y
a
1,0
b
a
x
y
y = k
x
y
19
- Fig.2.20 -
Rezultă:
xyxxy
xxn
k
xxn
xyxxy
k
1111
11
11
1111
1
2
2
2
2
2
2
2
2
11
111
xxn
yxyxn
b
xyxxy
yxyxn
bka1111
111
2
2) Forma funcţiei este:
b
axky
1
Graficul (fig.2.21) are forma:
- Fig.2.21 -
Transformata funcţiei se obţine astfel:
axk
ab
kyaxk
abax
y
111
)(
)(1
Notând ax
vy
u
1
;1
se obţine liniarizarea vk
ab
ku
1
Sistemul de ecuaţii pentru determinarea lui k, b şi a este:
y = k
x
y
b
ka,0
- a x
y
k
20
ycybxykxy
xcyxbxkyx
ncybxkyx
22
22
unde c = ka
3) ax
cxbxy
Graficul (fig.2.22) are forma:
- Fig.2.22 -
Transformata funcţiei:
dx
yabxydxaybxyx
dcbcbxbxyayxcxbxaxy
2
2 ,)()(
Sistemul de ecuaţii pentru determinarea lui a, b şi d este:
x
yd
x
yayb
x
y
xdyaxbyx
ndx
yaxby
2
22
2
Rezultă a, b şi d; d
bc
p – Funcţii logistice – sunt folosite pentru elaborarea unor previziuni privind cererea populaţiei pentru diverse
bunuri.
Funcţia logistică clasică este definită de relaţia:
cxbe
ky
1
iar funcţia logistică complexă este definită de relaţia:
)(
)(
1 axk
axk
e
BAey
Pentru funcţia logistică, clasică obţinem:
Bk
cBAcByA
y
y
yk
cc
y
y
y
y
;;
,'
Se determină parametri A şi B (din c şi k) din sistemul de ecuaţii normale:
yyByA
y
yyAn
2
)1(
y
x
21
În faza a doua se calculează parametrul b, pornind de la relaţia: ctbe
y
k1
Prin logaritmare, obţinem cty
kb
1lnln . Deoarece avem o serie statistică cu n variabile (xi,yi), rezultă
xc
y
k
nb 1ln
1ln
Variabila independentă fiind timpul, b se calculează după relaţia
2
11ln
1ln
nc
y
k
nb
unde n reprezintă numărul anilor din perioada de analiză retrospectivă.
r – Funcţiile Gompertz şi Johnson – forma funcţiilor: xb
ak
ey
şi respectiv, xbcaey
Se studiază analog
2
2
1
1lglg2lg
lg22lg3lg1
lg2lg3lg11lg
xb
byya
yyy
yyy
nk
De exemplu, daca se cunosc următoarele date privind volumul activităţii de export realizat de agenţii
economici dintr-o anumită localitate:
mii dolari
Anul Volum export
1 17215
2 20806
3 24769
4 27824
5 31509
6 35088
7 39454
8 43439
9 46779
10 49063
11 53720
Total 389669
Utilizând metoda extrapolării tendinţelor uşor de identificat, se solicită:
1) Sa se prognozeze pe baza trendului rezultat, nivelul probabil al exportului.
Propunem parcurgerea următoarele etape:
a) Reprezentarea grafică a seriei şi determinarea funcţiei matematice care aproximează cel mai corect evoluţia
exportului realizat de agenţii economici din localitatea A,
b) Să se calculeze variaţia valorilor empirice faţă de valorile ajustate şi pe baza cărora se decide funcţia
matematică corectă,
c) Să se determine nivelul probabil al exportului în anii 13 şi 15,
d) Să se garanteze aceste rezultate cu o probabilitate de 95%.
2) Să se determine ritmul de creştere a exportului pe întreaga perioadă, care se prezintă astfel:
%052,12100117215
5372010
R
Acest ritm se preconizează că se va menţine şi în următoarea perioadă.
Cunoscând că o alta localitate a realizat în anul 11 un volum de 80 mil. dolari, iar ritmul de creştere anual
este de numai 7%, sa calculam:
22
e) după câţi ani începând cu anul 11 volumele de export în cele două localităţi vor fi egale şi care sunt acestea
în mărime absolută,
f) după câţi ani începând cu anul 11 volumul exportului din localitatea A este de 2,5 ori mai mare decât cel din
localitatea B şi care vor fi acestea în mărime absolută.
a) Evoluţia acestui indicator nu este bine definită fapt pentru care trebuie să recurgem la calcule. Se pare că
formele cele mai apropiate ar putea fi:
- o tendinţă liniară de tipul:
btay
- o funcţie exponenţială de tipul: taby
- o tendinţă parabolică de tipul: 2ctbtay
Se încearcă fiecare din aceste trenduri şi se consideră cel mai corect acela în care suma abaterilor dintre
valorile reale şi valorile ajustate este minimă.
Pentru trendul liniar de tipul:
btay
Parametrii a şi b se determină prin utilizarea metodei celor mai mici pătrate, ajungându-se la soluţia
a=35424 şi b=3797,8.
Se consideră următorul tabel ajutător de calcul:
Anii y t 2t ty tY 8,3797354241
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
17215
20806
24769
27824
31509
35088
39454
43439
46779
49063
53720
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-86075
-83224
-74307
-56648
-31509
0
39454
86878
140337
196252
286600
16435
20233
24031
27828
31626
35424
39222
43019
46817
50615
54413
Total 389669 0 110 417758 389667
Ecuaţia teoretică a trendului liniar va fi:
tY 8,3797354241
În ultima coloană a tabelului au fost determinate valorile teoretice calculate pe baza trendului.
Ecuaţia arată că nivelul de pornire al exportului este 35424 mii dolari, iar după aceea în fiecare an în medie
a avut loc o creştere a exportului cu 3797,8 mii dolari.
În ipoteza ajustării aceleiaşi serii statistice pe baza unei funcţii exponenţiale de tipul: taby
pentru aflarea parametrilor a şi b se logaritmează expresia:
btay lglglg
Parametrii lga şi lgb se află rezolvând următorul sistem de ecuaţii logaritmice, sistem la care se ajunge prin
metoda celor mai mici pătrate:
yttbta
ytban
lglglg
lglglg2
Se pune condiţia ca 0t şi sistemul de mai sus devine:
yttb
yan
lglg
lglg2 de unde:
2
lglg
lglg
t
ytb
n
ya
23
Prin antilogaritmare se află valorile parametrilor a şi b.
Tabelul pentru calculul ajutător va fi:
Anii iy t
iylg iyt lg 2Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
17215
20806
24769
27824
31509
35088
39454
43439
46779
49063
53720
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4,23591
4,31818
4,39391
4,44442
4,49843
4,54516
4,59609
4,63787
4,67005
4,69075
4,73014
-21,17955
-17,27272
-13,18173
-8,88884
-4,49843
0
4,59609
9,27574
14,01015
18,763
23,6507
19232
21477
23983
26782
29907
33398
37295
41647
46508
51935
57996
Total 389669 0 49,7609 5,27441 390160
1167,1;04794,0110
27441,5lg
8,33397;52372,411
7609,49lg
bb
aa
Funcţia exponenţială teoretică are expresia: tY 1167,18,333972
Valorile ajustate după o funcţie exponenţială apar în ultima coloană a tabelului anterior. Calculul
matematic este aproximativ corect întrucât suma valorilor teoretice este aproape egală cu cea a valorilor
ajustate.
În ipoteza funcţiei reprezentată de o parabolă de gradul 2 având forma: 2ctbtay
Tabelul de calcul va fi:
Anii y t 2t 4t yt 2
3Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
17215
20806
24769
27824
31509
35088
39454
43439
46779
49063
53720
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
625
256
81
16
1
0
1
16
81
256
625
-86075
-83224
-74307
-56648
-31509
0
39454
86878
140337
196252
286600
16435
20233
24031
27828
31626
35424
39222
43019
46817
50615
54413
Total 389669 0 110 1958 417758 389667
Se obţin următoarele valori pentru parametri:
a = 35487,2; 8,3797b ; c = -6,297.
Funcţia parabolică teoretică are expresia:
Y3 = 35487,2 + 3797,8t – 6,297t2
Seria ajustată pe baza ecuaţiei parabolice este înscrisă în ultima coloană a tabelului. Suma valorilor ajustate
este aproape egală cu suma valorilor reale ceea ce confirmă corectitudinea calculelor.
b) Pentru alegerea din cele trei variante a funcţiei celei mai potrivite se calculează suma abaterilor în valoare
absolută dintre valorile reale şi cele ajustate şi se alege acea funcţie cu valoare minimă, adică:
min Yy
Abaterile sunt calculate în tabelul se mai jos:
24
Anii Date
Iniţiale
Abateri absolute după procedeul:
Trend liniar
1Yy
Trend
exponenţial
2Yy
Trend
parabolic
3Yy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
17215
20806
24769
27824
31509
35088
39454
43439
46779
49063
53720
780
573
738
4
117
336
235
420
38
1552
693
2017
671
786
1042
1602
1690
2162
1792
271
2872
4276
875
611
732
32
174
399
179
382
45
1515
598
Total 389669 5486 19181 5542
Întrucât 5486 < 5542 < 19181, rezultă că ecuaţia liniară este cea mai potrivită pentru ajustarea seriei
date.
c) Prognoza exportului pe baza funcţiei liniare
$6200978,379735424~11 miiY
$6960498,379735424~13 miiY
d) Se determină abaterea medie pătratică:
$47,51211
2888953
11
693......738573780
11
222221
mii
Yyi
Limitele între care se vor plasa valorile prognozate vor fi:
ntYYL
~
Pentru anul 11 se obţin limitele:
$61706
$6231247,51296,162009
11 mii
mii
nYL
Pentru anul 13 se odţin limitele:
$69301
$6990647,51296,169604
13 mii
mii
nYL
Cu o probabilitate de 95% limitele inferioare şi superioare pentru anii 11 şi 13 sunt cele rezultate din calcul.
e) Se fac notaţiile:
- BAyy 00 ; nivelele din perioada de bază privind volumul exportului în cele două localităţi adică în anul 11.
$80000$;53720 00 miiymiiy
BA
- ritmurile anuale de creştere vor fi în perioada următoare:
%7%;052,12
BA yy rr
Timpul necesar pentru egalizarea celor două nivele de export se determină potrivit relaţiei:
BA
AB
yy rr
yyt
1lg1lg
lglg 00
anit 63,8029383,00494196,0
730136,490309,4
07,1lg12052,1lg
53720lg80000lg
Cu alte cuvinte după 8,63 ani cele două nivele de export vor fi egale.
Volumele absolute vor fi în anul final:
25
$14342512052,153720 63,8 miiY
At
$1434407,180000 63,8 miiY
Bt
f) anit 4925,2807,1lg12052,1lg
5372080000lg5,2lg
După 28,49 ani nivelul din yA = 2,5 yB;
Verificare:
$137475112052,153720 4925,28 miiY
At
$5499297,180000 4925,28 miiY
Bt
Raportul dintre nivele 2,5 ori.
III: METODE DE CERCETARE CANTITATIVĂ
3.1. Elemente de teoria estimaţiei. Scopul estimării sau ajustării unor funcţii şi ecuaţii econometrice este
obţinerea unui instrument eficace de predicţie. Eficienţa predicţiei depinde, bineînţeles, de gradul de concordanţă
dintre modelul econometric considerat şi datele statistice. Acest lucru se poate calcula cu ajutorul estimaţiei. O
funcţie f(x1, x2, ..., xn) privită tot ca variabilă aleatoare, ce depinde de variabilele de sondaj se numeşte funcţie de
sondaj. Să vedem acum utilitatea unui sondaj asupra unei variabile aleatoare X. Să presupunem că legea teoretică
de repartiţie a variabilei X conţine un anumit parametru θ a cărei valoare numerică nu este cunoscută. Plecând de la
un anumit eşantion dat se poate estima valoarea acestui parametru. Pentru aceasta se consideră statistica ~
(x1, x2,
..., xn) convenabil aleasă pentru scopul propus (adică, atunci când volumul eşantionului tinde la ∞, estimaţia
converge în probabilitate la θ). Această statistică se numeşte estimaţie sau estimator a parametrului θ. Estimaţiile
pot fi de mai multe tipuri:
1. Dacă )~
(M estimaţia este nedeplasată
2. Dacă
~lim Mn
estimaţia este asimptomatic nedeplasată
3. Dacă )~
(M şi 0~
lim
Dn
estimaţia este absolut corectă sau consistent nedeplasată
4. Dacă
~lim Mn
şi 0~
lim
Dn
estimaţia este convergentă
5. Dacă )~
(M şi dispersia este minimă spunem că estimaţia este eficace.
Există şi alte criterii ale estimaţiilor pe care cititorul interesat le poate găsi în tratatele de statistică.
3.1.1. Verosimilitatea – principiu al modelelor econo-metrice. Vom prezenta pe scurt o metodă generală
de a căuta estimaţii „bune” pentru diferiţi parametri, atunci când nu avem la dispoziţie valoarea mediei sau
dispersiei de sondaj. Această metodă se numeşte metoda verosimilităţii maxime (R.A.Fisher) şi constă în
următoarele:
a) dacă X este discretă se cunoaşte repartiţia P {X = x} = p(x,θ)
b) dacă X este continuă se cunoaşte densitatea f(x,θ).
Având la dispoziţie un eşantion {x1, x2, ..., xn} relativ la variabila X vom calcula probabilitatea corespunzătoare
acestui eşantion considerând funcţia L(x1, x2, ..., xn,θ) care se numeşte funcţie de verosimilitate şi este dată de:
a) dacă X este variabilă discretă
L(x1,x2,…,xn,θ) = P{x1=x1,x2=x2,…,xn=xn} =
p(x1,θ)p(x2,θ)…p(xn,θ) =
n
i
ixp1
),(
b) dacă X este variabilă continuă
L(x1,x2,…,xn,θ) = P{x1<X1<x1+h,...,xn<Xn<xn+h} =
hnf(x1,θ)f(x2,θ)...f(xn,θ) =
n
i
i
n xfh1
),(
Metoda verosimilităţii maxime (maximum likelihood) constă în a alege ca estimaţie pentru θ, estimaţia ~
care maximizează L(x1,x2,...,xn,θ). Pentru a găsi maximul funcţiei de verosimilitate se constată că funcţia L îşi
atinge maximul în acelaşi punct cu funcţia lnL deoarece φ(x)=lnx este o funcţie monoton crescătoare. Prin urmare
estimatorul lui θ va fi ~
care maximizează funcţia lnL, deci pentru care
26
0ln
L
Soluţiile acestei ecuaţii sunt punctele staţionare ale funcţiei de verosimilitate.
Dacă θ0 = Tn(x1,x2,...,xn) este o soluţie a acestei ecuaţii şi
2
01
2 ),,...,(
nxxL < 0
atunci θ0 este o estimaţie de maximă verosimilitate pentru parametrul θ, iar statistica Tn(x1,x2,...,xn) corespunzătoare
este un estimator de maximă verosimilitate a lui θ.
În cazul în care θ este un parametru vectorial real definiţiile rămân valabile, iar procedeul de determinare a
estimatorului de maximă verosimilitate vectorial este identic cu metodologia de determinare a punctelor de extrem
local pentru funcţii de mai multe variabile reale.
Există şi alte metode de estimare ca de exemplu metoda momentelor (K.Pearson), metoda minimului lui 2x sau estimarea prin intervale de încredere hi.
În teoria de specialitate s-a demonstrat că „idealul” este distribuţia normală a erorii generate de model.
Această distribuţie a unei erori înseamnă de fapt o concentrare a valorii sale în jurul valorii aşteptate a erorii, care
este zero.
De exemplu, dacă pentru un şir de relaţii
nnn ubxay
ubxay
ubxay
222
111
se vor alterna mai multe perechi de valori a şi b, pentru ca după un număr de încercări să se obţină o serie estimată
''
2
'
1 ,, nuuu , astfel încât să fie satisfăcută condiţia de distribuţie normală atunci se va obţine un model de
maximă verosimilitate.
2
222
212
1exp
2
1,,, inn uuuup
Dacă se admite
22
iii bxayu
atunci funcţia de verosimilitate L va fi
2
222 2
1exp
2
1iin
bxayL
cum
i
ii bxaynn
L2
2
2
2
1ln
22ln
2ln
şi maximizarea lui L cere anularea derivatelor parţiale de ordinul întâi, se obţine
02
1
2
1)(ln
1)(ln
01)(ln
2
422
2
2
i
ii
i
iii
i
ii
bxayL
bxayxb
L
bxaya
L
Se obţin astfel ecuaţiile
2iiii
ii
xbxayx
xbnay
2
2
4 22
1
nbxay ii
adică
22 1
ii bxayn
27
şi anume abaterea medie pătratică a erorii este şi estimarea sa cu maximă verosimilitate. De aceea, econometria
pune mare accent pe modelele cu erori normal distribuite pentru că aşa cum se afirma şi în T.Schattles:
„econometria este tehnica de estimare după principiul verosimilităţii maxime a metodelor matematicii economice”
[65].
3.1.2. Analiza de regresie şi metoda corelaţiei. Analiza de regresie reprezintă o tehnică econometrică ce
stabileşte o legătură între variabile, un model cauzal de previziune în care, din datele istorice se stabileşte o relaţie
funcţională folosită apoi pentru a previziona valorile dependente ale variabilelor.
O variabilă este cunoscută sau estimată şi este folosită pentru a previziona valoarea unei variabile
necunoscute.
În continuare considerăm cea mai simplă situaţie de regresie, pentru doar două variabile şi relaţia lor
funcţională liniară.
Fie două serii statistice {x1, x2,..., xn} şi {y1, y2,..., yn} provenind din variabilele X, respectiv Y. Să
presupunem că mx, my reprezintă mediile variabilelor X, respectiv Y şi σx2 şi σy
2 reprezintă dispersiile lor. Prin
covarianţa seriei de cupluri (xi, yi) ni ,1 numim numărul
yx
n
i
iixy mmyxn
1
1
iar prin coeficientul de corelaţie al celor două serii înţelegem
yx
xy
xyr
În cazul în care se cunosc doar mediile şi dispersiile de sondaj yx, respectiv yx SS~
,~
, se folosesc
formulele:
yxyxn
n
i
iixy 1
1 şi
yx
xy
xy
SSn
nr
~~1
Există şi o formă grafică de a vizualiza legătura liniară (atunci când există) dintre cele două serii statistice,
prin vizualizarea unei drepte de regresie de ecuaţie y=ax+b, ce leagă cuplurile de observaţii, în sensul minimizării
distanţei dintre punctele (xi, yi), corespunzătoare cuplului şi punctele (xi, axi+b) corespunzătoare dreptei de
regresie.
Formulele de calcul ale coeficientului de regresie a şi a constantei b, ce apar în formulele dreptei de
regresie, sunt:
x
y
xya
, b = y – ax
sau
2
11
2
111
2
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
xxn
xyxxy
a
2
11
2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xxn
yxyxn
b
iar ecuaţia primei drepte de regresie este
)( xxyyx
y
xyx
iar a celei de-a doua
)( yyxxy
xxyy
După rezolvarea sistemului de ecuaţii şi aflarea parametrilor a şi b se pot calcula valorile teoretice ale
variabilei dependente pentru fiecare valoare a lui x, ceilalţi factori fiind consideraţi constanţi. Pe baza valorilor
teoretice ale ecuaţiei de regresie se pot face aprecieri cu privire la modificarea şi tendinţa evoluţiei fenomenului
analizat sub influenţa variaţiei factorului independent.
28
În situaţia în care studiul legăturilor dintre fenomenele şi procesele economico-sociale se face pe baza unui
număr mare de date statistice, se impune folosirea tabelului de corelaţii pentru a calcula valorile funcţiei de regresie
astfel
xyiixixi
yixixy
nyxnxbnxa
nynxbna
2
unde xn şi yn sunt frecvenţele grupelor după valorile x şi y xyn - frecvenţele valorilor de funcţii (x,y).
Metoda corelaţiei, specifică statisticii, este utilizată pentru studierea legăturilor statistice dintre
caracteristicile variabilelor. Cu acestă metodă se determină cantitativ direcţia şi intensitatea legăturii de cauzalitate
dintre fenomene. În acest scop este necesară luarea în considerare a factorilor determinanţi, cu acţiune esenţială,
făcând abstracţie de factorii cu acţiune întâmplătoare. În funcţie de numărul factorilor de influenţă sau ale
variabilelor luate în calcul, relaţia poate fi simplă (unifactorială sau bidimensională) sau multiplă. Această metodă
reprezintă de fapt o cuantificare a intensităţii legăturilor dintre fenomenele şi procesele economice.
Pentru determinarea intensităţii acestor legături este necesar să se calculeze coeficientul de corelaţie. În
cazul regresiei liniare simple acesta reprezintă media produselor abaterilor normale normate, iar în practică se
foloseşte expresia
2222
iiii
iiii
xy
yynxxn
yxyxnr
Valorile coeficientului de corelaţie satisfac inegalitatea 11 xyr iar interpretarea lor este următoarea:
- dacă 2,00 xyr între variabilele x şi y nu există legătură sau această legătură este foarte slabă; dacă
5,02,0 xyr legătura este slabă; dacă 75,05,0 xyr legătura este de intensitate medie; dacă 175,0 xyr
există o legătură deterministă sau de tip funcţional. Tipul de legătură dintre cele două variabile este determinat prin
semnul lui r, dacă r este pozitiv legătura este directă, pentru 0r legătura este indirectă. Când 0r variabilele
sunt independente sau necorelate.
Raportul de corelaţie (coeficientul Pearson) este un alt indicator al intensităţii legăturii. El poate fi aplicat atât în
cazul regresiei liniare, cât şi în cazul regresiei neliniare simple sau multiple. Calculul acestui raport are la bază
relaţia dintre variaţia totală a lui iy datorată tuturor categoriilor de cauze, variaţia datorată factorilor neînregistraţi
(consideraţi reziduali) şi variaţia datorată cauzelor esenţiale (variabila factorială ix ):
n
i
xi
n
i
xii
n
i
i yn
yn
yyn
1
2
1
2
1
2 111
iar expresia sa este:
2
2
1
yy
yR
i
xii
XY şi 10
XYR
Dacă 0X
YR variabilele sunt independente şi nu există legătură între ele, iar dacă 1X
YR legătura este
funcţională. Pentru 0X
YR avem o legătură foarte slabă, pe când pentru 1X
YR legătura este intensă, foarte
puternică.
În cazul regresiei liniare multiple se calculează intensitatea legăturii dintre o caracteristică rezultativă y şi
două sau mai multe caracteristici factoriale mixi ,1, , după relaţia
2
2
,,
,,,
21
211
yy
y
i
xxxi
xxxym
m
şi yxirn mi ,1 .
Să mai notăm că numai în anumite cazuri putem vorbi de o regresie liniară consistentă, cu toate că, în
principiu, modelul poate fi aplicat oricăror două variabile aleatoare cuplate. Uzual, înaintea folosirii modelului se
verifică următoarele condiţii:
a) variabila dependentă Y este normal repartizată, pentru orice valoare a variabilei independente X;
b) dispersia lui Y este aceeaşi pentru orice valoare a lui X;
c) relaţia ce leagă cele două variabile trebuie să fie liniară.
Problema care se pune este cum verificăm a priori aceste condiţii. Fără a intra în amănunte este suficientă o
diagramă care să arate „norul” de împrăştiere al valorilor celor două variabile.
29
Exemplul 1. Dacă într-o firmă avem următoarele date numerice pentru publicitatea (reclama) unui produs
şi vânzările acestuia:
Trimestrul Publicitate
(100000$)
Vânzări
(1000000$)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
10
15
12
8
16
15
7
9
10
1
4
5
4
3
4
2
1
4
2
Să încercăm să determinăm relaţia dintre vânzările viitoare (Vt) şi reclame (Xt). Pentru aceasta efectuăm
calculele:
Trimestrul Publicitate Vânzări Xt2 Vt2 XtVt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
10
15
12
8
16
15
7
9
10
1
4
5
4
3
4
2
1
4
2
16
100
225
144
64
256
25
49
81
100
1
16
25
16
9
16
4
1
16
4
4
40
75
48
24
64
10
7
36
20
∑ 96 30 1060 108 328
Folosind formulele de mai sus găsim a=0,29 şi b=0,22, iar dreapta estimată de regresie, relaţia dintre
vânzările viitoare şi publicitate este:
Yt=0,29Xt+0,22
- Fig.3.1 -
Aşadar, pentru trimestrul 11 putem estima vânzările la
Yt=0,22+0,29∙11=3,41 mil.$
30
Exemplul 2 [39]. Se fac 10 serii de câte 15 probe pentru studierea corelaţiei dintre două variabile statistice
X şi Y, obţinându-se pentru X valorile 10,1;15,1, jixij şi pentru valorile Y 10,1;15,1, jiyij (primul
indice, i, este asociat numărului de ordine al probei). Punctele ijij yx , sunt înregistrate în tabelul 3.1; în fiecare
„celulă” prima valoare reprezintă ijx , iar a doua ijy .
3.1.3. Erori de măsurare şi estimare. „Cercetarea cantitativă în termenii teoriei probabilităţilor prezintă interes ca
instrument de evaluare a utilităţii predictive a datelor obţinute”. Firesc, cunoscând doar statistica comportării unui
proces economic, orice proiectare predictivă sau previzională va conţine un element de eroare. În momentul în care
se evaluează diferite metode de previziune este nevoie şi de calculul măsurii eficienţei lor. Eroarea de previziune
este mecanismul de ţinere a evidenţei acestei eficienţe. Când deciziile importante se bazează pe previziuni, erorile
mari pot avea ca rezultat greşeli foarte costisitoare. Unele tipuri de erori de estimare sunt mai costisitoare decât
altele. „În unele cazuri, direcţia erorii este critică; în alte cazuri mărimea erorii este cea mai importantă. Deşi
costurile exacte ale erorilor sunt adesea dificil de determinat, erorile de previziune pot fi şi trebuie convertite în
costuri, chiar dacă o astfel de conversie trebuie aproximată intuitiv”. Studii recente investighează impactul erorilor
de previziune asupra costului de producţie-stocare. Aceste studii ilustrează modul în care reducerea erorii de
previziune poate avea ca rezultat scăderea costurilor totale de producţie. Eroarea de previziune reprezintă diferenţa
numerică dintre cererea previzionată şi cererea reală. Teoria probabilităţilor este cea care ne furnizează conceptele
şi metodele unei teorii a erorii de măsurare şi previziune, pentru că, evident, o metodă de previziune care duce la
erori mai mari este mai puţin de dorit decât una care duce la erori mai mici.
Definim acum valoarea medie absolută (întâlnită cu notaţia MAD în cărţile de specialitate). MAD
reprezintă o măsură a erorii de previziune care reprezintă eroarea de previziune, indiferent de direcţie şi se
calculează ca sumă a valorii absolute a erorii de previziune pentru toate perioadele, raportată la numărul total de
perioade evaluat.
n
i
ripi
n
i
pi ccn
en
MAD
11
11
unde n este numărul de perioade, ep – eroarea de previziune, cp – cererea previzionată iar cr - cererea reală.
Se observă că dacă previziunea este perfectă cererea reală este egală cu cererea previzionată şi eroarea de
previziune este zero. MAD exprimă magnitudinea dar nu şi direcţia erorii, se afirmă în [75]. Această măsurare a
valorilor absolute se numeşte deviaţie absolută.
Între deviaţia medie absolută şi măsurarea clasică a dispersiei pentru eroarea de previziune există o relaţie
atunci când erorile de previziune au o distribuţie normală:
δe 1,25MAD
O altă măsură a erorii de previziune, dar mai puţin folosită este abaterea. Abaterea reprezintă media
erorilor de previziune, în funcţie de direcţie şi arată orice tendinţă constantă referitoare la supra sau subestimare.
Este suma erorilor reale de previziune pentru toate perioadele raportată la numărul total de perioade evoluat.
n
i
ripi
n
i
pi ccn
en
A
11
11
Spre deosebire de MAD, abaterea indică tendinţa direcţională a erorilor de previziune. Dacă previziunea
supraestimează repetat cererea reală, abaterea va avea o valoare pozitivă; subestimarea repetată va fi indicată
printr-o valoare negativă.
Aceste serii permit econometricianului să facă comparaţii între diferitele modele, însă pot fi nefolositoare
dacă variabilele tind către zero. În asemenea cazuri trebuie folosite alternativele
n
i
pi
n
i
ripi
c
cc
MAD
1
1'
sau
nc
ncc
An
i
pi
n
i
ripi
/
/
1
1'
În cadrul extrapolării nu sunt de dorit erori foarte mari. Acestea le putem detecta apelând la analiza erorilor
medii pătratice:
n
i
ripi ccn
MSE1
21
31
Această eroare poate fi descompusă astfel
n
i
n
i
ripiripiripiripi ccccccn
ccn
1 1
222 11
adică, se poate scrie ca diferenţă între eroarea medie şi o abatere la pătrat, acest lucru fiind relevant deoarece
componenta abatere se poate ajusta în eventualitatea unei simulări
Un alt grup de mărimi folosite pentru evaluarea prognozelor ex-post sunt coeficienţii de inegalitate Theil
[Applied Economic Forecasting, North-Holland, Amsterdam, 1966] care apar sub diferite forme:
n
i
ri
n
i
pi
n
i
ripi
cn
cn
ccn
T
1
2
1
2
1
2
1
11
1
pentru o prognoză ideală T1 = 0, iar în caz opus T1 = 1.
Deoarece numitorul lui T1 nu are nici o interpretare s-a propus
n
i
pi
n
i
ripi
cn
ccn
T
1
2
1
2
2
1
1
ca şi pentru T1, o prognoză ideală se obţine dacă T2 = 0.
Erori similare pot fi formulate în funcţie de schimbarea diferenţelor de ordinul întâi:
1
1
rrr
ppp
ccc
ccc
sau a schimbărilor procentuale
11 loglog~;loglog~ rrrppp cccccc
Apare astfel interpretarea
n
i
pi
n
i
ripi
cn
ccn
T
1
2
1
2
2
1
1
unde 2T = 1 este echivalentul prognozei status quo, deci 0 rc , iar valorile mai mari decât unitatea indică faptul
că prognoza actuală este mai „proastă” decât un simplu model de lucru aleator.
De exemplu, dacă o firmă producătoare de piese de schimb pentru automobile a previzionat 500 lunar
pentru o perioadă de trei luni iar cererea reală a fost de 400, 560 şi 700 lunar:
1203
700500560500400500
MAD unităţi
533
700500560500400500
A unităţi
Putem afirma că firma producătoare nu dispune de un model foarte exact deoarece eroarea medie absolută este
destul de mare, 24% din numărul previzionat de piese. În acest exemplu, deoarece cererea reală este în medie 553
de unităţi, s-a efectuat o „subestimare” de 9,6%.
3.2. Elemente de teoria echilibrului şi a stabilităţii. Asupra obiectelor, fenomenelor şi proceselor din
natură şi societate acţionează în permanenţă factori contradictorii, care tind să menţină starea de repaus sau de
mişcare a acestora, denumită echilibru. Ştiinţa economică a împrumutat termenul de echilibru din fizică, chimie,
psihologie, însă sistemul economic este mult mai complicat decât oricare corp sau sistem natural. Noţiunea de
echilibru, în economie are numeroase valenţe: echilibrul producătorului, echilibrul consumatorului, echilibrul
dintre cerere şi ofertă, echilibrul pieţelor, echilibrul macroeconomic şi afirmă că unele caracteristici ale sistemului
economic pot fi asemănătoare cu cele ale sistemelor din orice domeniu al realităţii.
Starea de echilibru în economie este expresia compatibilităţii deciziilor luate de agenţii producători şi
consumatori, o concordanţă relativă a acestora care se menţine o anumită perioadă de timp, până intervin factori
perturbatori cu acţiune contrarie [44].
Echilibrul macroeconomic exprimă acea stare spre care tind structurile economiei, fluxurile şi pieţele
bunurilor şi serviciilor, piaţa monetară, piaţa capitalului şi piaţa muncii, adică piaţa în ansamblul ei, caracterizată
32
printr-o concordanţă relativă a cererii şi ofertei, în diferitele lor segmente, abaterile dintre ele fiind nesemnificative
pentru a se produce dificultăţi (dezechilibre) în funcţionarea economiei naţionale.
În raport cu modul de manifestare în timp se disting echilibrul macroeconomic static şi dinamic. Echilibrul
static se caracterizează prin manifestarea unor schimbări imperceptibile, nesemnificative între diferite procese sau
subsisteme ale economiei naţionale, încât starea generală a acesteia rămâne nemodificată. Condiţia necesară pentru
ca o economie naţională să se afle în echilibru static este:
S = D
adică oferta globală (S) să fie egală cu cererea globală (D), neexistând nici un exces de ofertă (ΔS = 0) şi nici un
exces de cerere globală (ΔD = 0).
Bazându-se pe tradiţia folosirii matematicii în economie W.St.Jevons, L.Walras, F.Y.Edgeworth şi
V.Pareto au dat amploare, s-au preocupat, cu cercetări care s-au concretizat în teoria echilibrului economic general
al lui Leon Walras, curbele de indiferenţă elaborate de F.Y.Edgeworth şi teoria optimului parţial formulată de
Vilfredo Pareto.
În lucrarea sa „Elemente de economie politică pură” Walras elaborează un model abstract de
comportament raţional în economia de piaţă, pornind de la interdependenţa care există între preţurile tuturor
categoriilor de bunuri, precum şi dintre diferitele sfere ale activităţii economice. Modelul urmăreşte să demonstreze
posibilitatea înfăptuirii unui echilibru economic general, cu condiţia ca libera concurenţă să funcţioneze
nestânjenit. Teoria echilibrului economic general are la bază următoarele idei [73]:
- în economia modernă de piaţă există două feluri de pieţe: piaţa produselor, piaţa serviciilor productive
(furnizate de muncă, pământ şi capital);
- fiecare dintre pieţe şi interdependenţa dintre ele sunt guvernate de aceleaşi legi ale echilibrului, consecinţă a
propagării schimbărilor ce intervin în diferite segmente la scara întregii economii;
- mijlocul prin intermediul căruia se poate înfăptui echilibrul parţial şi general îl constituie mişcarea (oscilaţia)
preţurilor în funcţie de raportul dintre cererea şi oferta pentru diferite bunuri finale şi factori de producţie pentru
obţinerea lor;
- agentul economic cel mai important care are un rol hotărâtor în realizarea acestor multiple interdependenţe
este întreprinzătorul, care face legătura dintre diferite pieţe şi are un rol esenţial în adoptarea deciziilor economice;
pe piaţa serviciilor el apare în calitate de cumpărător de factori de producţie, iar pe piaţa produselor în calitate de
vânzător de bunuri finale şi intermediare;
- în contrast cu rolul său esenţial în funcţionarea acestui model, agentul economic se găseşte într-o situaţie
paradoxală (după părerea lui Walras) în ceea ce priveşte rezultatele obţinute: dacă procesele economice se
desfăşoară normal, el plăteşte serviciile factorilor de producţie la preţul lor normal, în funcţie de utilitatea lor
finală, vinde produse fabricate cu ajutorul acestor factori la preţuri care îi permit să recupereze cheltuielile făcute
cu achiziţionarea factorilor de producţie, deci costul de producţie este egal cu preţul de vânzare şi, în principiu, nu
există profit, prin diferenţa dintre preţul de vânzare şi preţul de cost, acesta este numit de Walras „rentă de
dezechilibru”;
- preţul serviciilor productive coincide cu veniturile proprietarilor acestor factori (salariul, dobânda, renta
funciară) ceea ce înseamnă că totalul producţiei oferite pe piaţă poate fi cumpărat cu veniturile respective, cu alte
cuvinte, creşterea ofertei atrage după sine creşterea cererii corespunzătoare, făcând imposibile crizele economice.
Modelul elaborat de Walras şi susţinut printr-un sistem de ecuaţii corespunzător numărului de necunoscute
constituie un remarcabil efort de sintetizare a acţiunii unui ansamblu de pârghii economice şi a rezultatului final al
interdependenţei dintre acestea.
Influenţa benefică a gândirii lui Walras se resimte în numeroase lucrări şi scrieri contemporane, de la
analiza input-output a lui W.Leontief, la lucrări recente semnate de prestigioşi economişti, unii dintre ei laureaţi ai
premiului Nobel.
De exemplu, pe o anumită piaţă, pentru un anumit bun sau serviciu, sub acţiunea legilor cererii şi ofertei se
ajunge la o situaţie sau un anumit punct în care acestea sunt în echilibru, stabilind nivelul preţului.
Într-o economie de piaţă, formarea preţului este rezultatul acţiunii legii cererii şi ofertei sub incidenţa
concurenţei (fig.3.3).
33
Modelul de interacţiune între cerere, ofertă şi preţ
- Fig.3.3 -
unde: Q = cantitatea de bunuri (oferte); q = cantitatea de bunuri (cerere); PE = preţul de echilibru; L – intersecţia
cererii cu oferta; 0P2 – nivelul preţului de echilibru la care se vinde cantitatea 0Q2 din produsul Q.
Modificarea condiţiilor tehnico-economice ale ofertei (modificarea procesului de producţie, a
tehnologiilor) determină deplasarea curbei spre dreapta sau stânga. Preţul care în mod continuu reflectă egalitatea
dintre cantitatea cerută de consumatori şi cea oferită de producători se numeşte preţ de echilibru.
Dacă preţul scade, atunci se vor găsi cumpărători, iar cantitatea vândută va fi mai mare.
Modificarea stării economiei sub acţiunea contradictorie a factorilor dezvoltării şi creşterii economice, a
raportului dintre resurse şi nevoi, dintre cererea globală şi oferta globală, ca şi dintre subsistemele economiei
naţionale defineşte starea de echilibru macroeconomic dinamic, care se poate manifesta atât pe termen scurt cât şi
pe termen lung.
Condiţia existenţei echilibrului economic dinamic este:
Y ≠ D
excesele (ΔY şi ΔD), respectiv deficitele globale de cerere sau ofertă (-ΔY,-ΔD) soluţionându-se, în timp, prin
folosirea integrală şi cu eficienţă sporită a factorilor de producţie existenţi, atragerea de noi factori şi redistribuirea
resurselor pe activităţi economice, în funcţie de oscilaţiile preţurilor pe piaţă, ca expresie concentrată a modificării
raportului dintre structurile ofertei globale şi structurile sistemului de trebuinţe. Echilibrul macroeconomic dinamic
presupune mişcarea structurilor economiei naţionale, ruperea coerenţei structurilor existente şi crearea de noi
compatibilităţi structurale, adică restabilirea unui nou echilibru între componentele structurale ale economiei, după
care urmează repartiţia dezacordurilor între structurile interne ale economiei naţionale etc [44].
Pentru ca economia unei ţări să se afle în stare de echilibru este necesară respectarea unor condiţii, şi
anume:
- oferta globală (Y) să fie egală cu cererea globală D, adică Y = D, condiţie în care cererea excedentară este
nulă, De = 0.
Mărimea produsului naţional brut sau a venitului naţional (Y) se repartizează pentru consum (C) şi pentru
economii (S), adică Y = C + S
Cererea globală (D) se concretizează în mărimea cererii de bunuri de consum (C) şi bunuri investiţionale
(I), adică D = C + I
Cererea excedentară (De) este diferenţa dintre cantităţile de bunuri materiale şi servicii cerute de
consumatori şi producţia curentă (Qc) la care se adaugă rezervele necesare (Rn). De = D – (Qc + Rn)
Condiţia de echilibru pe piaţa unui anumit bun economic este dată de relaţia piieD = 0 în condiţiile în care
0ieD şi 0ip unde pi – preţul bunului economic i şi
ieD este cererea excedentară pentru bunul economic
respectiv.
O componentă a condiţiei de echilibru, relaţie cunoscută sub numele de legea lui Walras este 0 eDp .
Această relaţie are loc în cadrul unei pieţe cu concurenţă perfectă unde cererea este egală cu oferta, deci cererea
excedentară este nulă.
Dacă Y = D, cum Y = C + S şi D = C + I se obţine C + S = C + I, de unde S = I
- Dacă se ia în considerare importul (H) şi exportul (E) de bunuri economice, relaţia de echilibru pe piaţa
producătorului este
Y + H = D + E
sau C + S + H = C + I + E
adică S + H = I + E ↔ S – I = E - H
- Cum starea de echilibru economic general depinde şi de situaţia pieţei monetare, avem Ym = Dm, unde Ym
este oferta de monedă, iar Dm cererea de monedă.
Curba cererii
Curba ofertei Excedentul
de bunuri
L
Deficitul de
bunuri
cantitate
preţ
P1
P2
P3
0 q1 Q1 Q2 q3 Q3
PE
34
Deoarece acestea sunt influenţate de masa monetară (M), viteza de mişcare a banilor (V), volumul global al
tranzacţiilor de pe piaţă (T) şi de nivelul general al preţurilor, condiţia de echilibru al pieţei monetare revine la MV
= PT, unde MV este oferta reală de monedă, iar PT cererea reală de monedă.
- Condiţia de echilibru pe piaţa muncii este dată de YL = DL, adică oferta de locuri de muncă este egală cu
cererea de forţă de muncă pe piaţă.
Leon Walras este cel care a elaborat prima reprezentare de model al echilibrului general într-o economie
„pură şi perfectă”. În cadrul teoriei echilibrului economic, modelele economice semnificative sunt cele ale lui
Walras – Wald şi Arron – Debreu – McKenzie.
3.3. Seriile dinamice în econometrie. Un şir de valori pe care le înregistrează la momente sau intervale de
timp succesive o anumită caracteristică statistică la o unitate sau o colectivitate statistică reprezintă o serie
dinamică (sau cronologică).
Prin studierea seriilor dinamice se studiază variaţia în timp a unui fenomen evidenţiindu-se creşterile sau
descreşterile de nivel, modificările de structură. În funcţie de scopul urmărit, există mai multe metode de observare
şi analiză a acestor serii [51,pag.128]:
Pentru a stabili nivelul şi modificarea de nivel, în timp, a unui fenomen se folosesc indicatorii de nivel,
exprimaţi în mărimi absolute, relative sau medii;
Pentru a determina variaţia de la o perioadă la alta şi influenţa factorilor se foloseşte metoda indicilor
dinamicii fenomenelor;
Pentru estimarea tendinţai (trendului), a oscilaţiilor sezoniere şi a variaţiilor aleatoare se foloseşte metoda de
analiză a componentelor;
Pentru extrapolarea trendului se folosesc metode de prognoză statistică.
Din punct de vedere econometric, aceste serii ajută la dezvăluirea unor regularităţi într-un proces evolutiv,
ceea ce înseamnă un pas înainte spre specificarea precisă a unor variabile care acţionează în timp, reprezentând
totodată „măsura artificială” a unor variabile necuantificabile dar care sunt elemente ale mecanismului economic
studiat.
În cadrul econometriei se urmăresc, în determinarea trendului trei tendinţe:
Trendul direct, ce se referă la anumite fenomene ce nu pot fi nemijlocit specificate;
Trendul ca factor auxiliar în funcţii în care nu toţi factorii care acţionează asupra unui proces pot fi
explicitaţi;
Trendul care face separare analitică a acelor factori care sunt specificaţi dar nu sunt în acelaşi timp
cuantificabili.
Majoritatea seriilor dinamice întâlnite în economie au o tendinţă de lungă durată, peste care, acolo unde
este cazul se suprapun componente ce conţin modificări:
Ciclice reprezentate de oscilaţii în jurul tendinţei generale, oscilaţii care au o anumită periodicitate în
manifestare;
Sezoniere, generate de acţiunea unor factori sezonieri, care apar de obicei pe parcursul unui an. Aceste
oscilaţii se produc sub influenţa unor factori naturali – climatici (producţia agricolă) sau cu caracter social
(concedii, sărbători, tradiţii), lungimea lor fiind de regulă constantă;
Accidentale, care apar datorită unor factori întâmplători, cu acţiune imprevizibilă. Se manifestă sub forma
unor abateri de la ceea ce este sistematic în evoluţia fenomenului analizat. Erorile de observare a datelor se înscriu
tot în această categorie.
- Fig.3.6 -
În funcţie de aceste componente, prezentăm schematic câteva modele de evoluţii în dinamică (fig.3.6).
Metoda de determinare şi analiză a trendului
Deoarece sistemul de indicatori ai unei serii dinamice nu este suficient pentru a releva schimbările care au
loc în fiecare an, cele datorate unei mişcări de durată (chiar cu tendinţă seculară), cele cu oscilaţii nesistematice sau
cele ciclice (care pot fi periodice sau neperiodice) este necesar să apelăm la modelarea acestora. În general
agregarea celor patru componente ale unei serii dinamice: trendul (T), componenta ciclică (C), componenta
Model de trend
liniar
Model de trend
liniar şi ciclu
Model de trend liniar
şi modificări
sezoniere
35
sezonieră (S) şi componenta aleatoare (E) se face prin combinarea acestora fie ca model aditiv (fig.3.7) de
combinare a componentelor unei serii dinamice T = C + S + E,
Model aditiv de combinare a componentelor unei serii dinamice
- Fig.3.7 -
fie ca model multiplicativ T = C · S · E (fig.3.8) de combinare a componentelor unei serii dinamice
Model multiplicativ de combinare a componentelor unei serii dinamice
- Fig.3.8 -
În practică, însă, această analiză nu urmează întotdeauna un anumit model şi atunci trebuie ales un model
care să aproximeze cel mai bine evoluţia reală a fenomenului studiat. Cunoaşterea tendinţei, a legii de evoluţie a
procesului economic studiat nu este însă posibilă decât prin măsurarea acţiunii fiecărei categorii de factori
implicaţi.
În sens larg, a determina trendul unei serii dinamice sau a ajusta o astfel de serie înseamnă a înlocui
termenii săi yi, ni ,1 cu termenii yi* ai unei serii teoretice, yi
* fiind obţinuţi prin metode de cuantificare şi
eliminare a abaterilor provocate de factori cu caracter periodic şi aleator.
Analiza acestor serii de date statistice pentru elaborarea studiilor previzionale porneşte de la început de la
ipotezele formulate de ştiinţele economice, pentru că din datele respective nu rezultă de cele mai multe ori dacă
între fenomene există sau nu o legătură cauzală sau de asociere. Dacă dependenţa dintre date a fost admisă, trebuie
stabilită forma acestei dependenţe, adică descrierea legăturii dintre fiecare valoare a variabilei dependente şi fiecare
valoare a variabilei sau variabilelor interdependente ale seriilor de date statistice. Conceptul de ajustare porneşte de
la ipoteza că legătura poate fi descrisă dar nu neapărat şi explicată [A]. Funcţia econometrică ce formalizează
matematic legătura dintre două variabile generează, pentru variabila dependentă, o nouă serie de date yi*.
Descrierea cu suficientă precizie a formei legăturii dintre variabile presupune cunoaşterea unor serii de date
statistice suficient de lungi, ceea ce de multe ori este greu de asigurat. Subliniem că în calcule nu se urmăreşte
stabilirea unor corelaţii exacte ci a unora convenabile, cu abateri minime faţă de datele reale, iar rezultatele
obţinute cu ajutorul funcţiilor econometrice trebuie neapărat asociate şi cu alte metode de analiză sau cercetare
prospectivă, atât pentru compararea rezultatelor cât şi pentru sporirea gradului de siguranţă.
Metoda folosită frecvent pentru elaborarea studiilor previzionale prin „prelungirea tendinţelor trecute ale
variabilelor”, care se bazează pe cunoaşterea relaţiilor cauzale este metoda extrapolării. „Extrapolarea transportă în
mod simplist trecutul spre viitor” [15,pag234]. Există două modalităţi de aplicare a acestei metode: extrapolarea
mecanică şi extrapolarea euristică şi mai multe procedee de extrapolare: extrapolarea analitică; extrapolarea prin
curbe înfăşurătoare; extrapolarea fenomenologică.
Extrapolarea mecanică presupune că relaţiile formate între variabile nu se modifică în viitor, admiţând
astfel, prin continuitate, prelungirea tendinţelor manifestate în trecut.
În cadrul extrapolării euristice, pornindu-se de la analiza perioadei precedente, se introduc anumite
corecţii în curba de evoluţie viitoare a fenomenului în funcţie de modificarea previzibilă a desfăşurării fenomenului
sau de anumite opţiuni ale factorilor de decizie.
Extrapolarea analitică pleacă de la o serie de valori ale seriei dinamice, valori pe care le prelucrează
putând astfel să estimeze comportarea ulterioară a fenomenului descris de seria respectivă. Această extrapolare se
realizează cu ajutorul sporului mediu absolut, al ritmului mediu anual şi al funcţiilor de corelaţie. Formula folosită
în această situaţie este:
ynyy tt 0
y y
t t
t
y y
t
36
unde yt este valoarea variabilei de previziune în anul final al orizontului, y0 valoarea variabilei în anul de bază, y
sporul mediu absolut al variabilei de previziune în perioada statistică, iar nt este numărul anilor din perioada de
previziune.
În cazul unei extrapolări euristice, sporul mediu absolut se corectează prin înmulţire cu un coeficient k
(subunitar sau supraunitar, după cum se apreciază modificarea tendinţei evoluţiei):
kynyy tt 0
Extrapolarea cu ajutorul ritmului mediu anual se aplică în special când este vorba despre fenomene ce
evoluează sub formă de progresie geometrică:
t
t ryy )1(0
în care )1( r este ritmul mediu anual de creştere a variabilei, iar t numărul de ani ai perioadei de previziune.
La fel ca mai sus, în cadrul extrapolării euristice se utilizează coeficientul k:
t
t ryy )1(0 k
Alegerea şi estimarea unei curbe. Cea mai dificilă problemă de determinare a trendului este alegerea tipului
de funcţii şi estimarea parametrilor. Funcţia aleasă trebuie să descrie în modul cel mai adecvat tendinţa de evoluţie
din perioada precedentă, tendinţă care se presupune că se va afirma şi în viitor. De aceea sunt necesare următoarele
succesiuni [15,pag.236]:
Definirea obiectului previziunii care condiţionează, fixarea orizontului de previziune şi stabilirea gradului de
siguranţă al acesteia;
Alegerea variabilelor independente;
Determinarea perioadei pentru analiza retrospectivă;
Alegerea funcţiei de extrapolare care descrie cel mai bine evoluţia trecută a variabilei dependente;
Estimarea parametrilor funcţiei de extrapolare sau parametrizarea acesteia;
Aprecierea calităţii funcţiilor de extrapolare cu ajutorul estimatorilor statistici;
Efectuarea calculului de previziune (particularităţi în raport cu modelul econometric al funcţiei de
extrapolare);
Analiza economică a rezultatelor obţinute, pentru a selecta cea mai bună variantă din mai multe posibile.
Reprezentarea grafică este metoda cea mai simplă şi poate da rezultate satisfăcătoare în cazul funcţiilor de
trend şi de corelaţie simplă.
O metodă cu mai mare precizie este metoda Hanstein sau analitică. Aplicarea acestei metode necesită
următoarele operaţii:
Calculul fucţiilor asociate unei funcţii de extrapolare;
Reprezentarea grafică a funcţiilor asociate;
Analiza comparativă a reprezentărilor respective cu graficele corespunzătoare asociatelor unor funcţii de
extrapolare.
Fiecare funcţie de extrapolare are trei funcţii asociate, cu ajutorul cărora se pot aprecia direcţiile de
creştere, natura procesului, simetria etc [A].
Derivata absolută:
t
yt
)( ceea ce în cazul diferenţelor finite devine 1)( tt yyt
Derivata relativă:
yt
yt :)(
ceea ce pentru diferenţe finite înseamnă
1
1)(
t
tt
y
yyt
Funcţia de elasticitate:
t
t
y
yt
:)( sau, pentru diferenţe finite t
y
yyt
t
tt
1
1)(
Revenind asupra celor trei tendinţe urmărite în econometrie în determinarea trendului subliniem că
funcţiile de extrapolare pot fi funcţii de corelaţie, când variabila sau variabilele independente sunt mărimi
economice sau tehnice, ca de exemplu y = f(x) sau y = f(xi) şi, funcţii de tendinţă, adică y = f(t). Cele mai
cunoscute modele matematice ale funcţiilor de extrapolare sunt funcţiile liniare, parabolice, exponenţiale,
hiperbolice, logaritmice, logistice etc. Pentru estimarea parametrilor acestor funcţii se foloseşte metoda celor mai
mici pătrate pe care am prezentat-o în subcapitolul 2.2.
Extrapolarea cu ajutorul curbei înfăşurătoare constă în reprezentarea grafică a mai multor curbe de evoluţie
a unor activităţi şi extrapolarea tendinţelor pe o înfăşurare, chiar dacă nu se cunoaşte cu siguranţă soluţia concretă
ce va apare în viitor.
37
În literatura economică noţiunea de curbă înfăşurătoare este definită de profesorul M.Botez în cursul său de
prognoză astfel [15,pag151]:
Curba înfăşurătoare de speţa I
- Fig.3.9 -
Dacă {yα = fα(x)} este o familie finită de funcţii pozitive fα(x) ≥ 0 definite pe intervalele Iα = (aα,bα) şi {gα}
curbele care reprezintă grafic aceste funcţii se numeşte înfăşurătoare de gradul I a acestei familii funcţia care este
definită pe
II , care asociază oricărui Ix numărul )(max)( xfxy
. Notăm C1 curba înfăşurătoare a
acestei funcţii (fig.3.9) care este, de fapt, o reuniune de porţiuni ale unei curbe gα.
Considerând aceeaşi familie de curbe {gα} numim înfăşurătoare de speta a II-a a acestei familii, curba C2,
tangentă tuturor curbelor acestei familii (fig.3.10).
Curba înfăşurătoare de speţa a II-a
- Fig.3.10 -
O analiză globală a fenomenului în urma căruia să se deducă legile ce guvernează variabila respectivului
fenomen se face cu ajutorul extrapolării fenomenologice. Această metodă urmăreşte identificarea unor legi în
evoluţia fenomenului studiat şi încearcă să descrie variaţia pe baza acestora, concentrându-se pe analiza factorilor
ce modifică tendinţele manifestate în perioada trecută. De exemplu, o funcţie de forma
y = a ± bkt
este pusă în evidenţă de studierea variaţiei randamentelor agregatelor şi a consumului specific de combustibil în
analizarea evoluţiei producţiei de energie electrică.
3.4. Elemente de dinamică economică. Majoritatea lucrurilor din lumea naturală nu se conformează cu
uşurinţă ecuaţiilor liniare, astfel că formele neliniare sunt mai degrabă regulă decât excepţie. Tehnicile matematice
au avut mare succes în prezicerea fenomenelor excepţionale, care sunt aproape liniare, cum ar fi traiectoriile
proiectilelor, planetelor şi particulelor. Subiecte mai haotice cum ar fi vremea, cutremurele, curgerea fluidelor şi
crizele economice au înşelat cu încăpăţânare previziunile.
Astfel, în economie, pentru a prezice corect piaţa este nevoie nu numai să detectăm elementele
constructive sau modelele sistemelor neliniare dar şi să descifrăm sensul neliniar al interacţiunilor multiple dintre
modele succesive.
Astăzi, dinamica economică constituie unul din demersurile de vârf ale cercetării economice, ducând la o
cunoaştere aprofundată a mecanismelor care determină creşterea şi dezvoltarea economică, ciclurile şi fluctuaţiile
proceselor economice. Această teorie s-a constituit şi dezvoltat utilizând cele mai noi concepte şi metode de analiză
şi sinteză ale sistemelor economice reale şi pune la dispoziţia cercetătorului tehnici şi instrumente cu ajutorul
cărora să reprezinte şi să interpreteze în mod coerent, sistematic şi raţional procesele evolutive din economie.
1 2
3
5
4
a1 a2 b1 a3 a4 b2 a5 b4 b3 b5
x
y
0
C1
a1 a2 b1 a3 b2 a4 b3 b4
x
y
0
C2
38
Munca lui Newton, Leibnitz şi von Neumann ne dă exemple despre interacţiunea dintre matematică şi alte
ştiinţe. Economia modernă este caracterizată prin aplicarea matematicii în problemele complexe care apar. Astăzi,
răspunsul la cea mai simplă întrebare din domeniul economic nu se poate obţine fără a aplica matematica.
Conceptele de echilibru – dezechilibru, stabilitate – instabilitate, haos sunt dificil de explicat fără
matematică. Încă de la începutul sec.IXX calculul diferenţial a fost folosit în economie (Cournnot 1838). Mai apoi,
Walras (1874) şi Pareto (1908) au creat teoria generală a echilibrului economic, care în timpul celui de-al doilea
război mondial a culminat cu „Valoarea şi Capitalul” a lui Hicks (1939) şi „Fundamentele analizei economice”
(Samuelson, 1947).
Ulterior, au mai apărut aplicaţii ale matematicii avansate (teoria convexităţii, topologia) în economie
(Nikaido 1968, Arrow şi Hahn 1971, Takayama 1985, Anderson, Arroe şi Pines 1988).
Recent teoria bifurcaţiei, teoria catastrofelor şi chiar teoria practală sunt foarte utilizate în studiul evoluţiei
proceselor economice.
3.5. Ciclicitatea proceselor economice şi crizele economice. Incertitudinea este o caracteristică esenţială
a economiei de piaţă, intemeiată pe proprietatea privată şi deciziile individuale ale agenţilor economici. Extinderea
ariei de cuprindere a economiei de piaţă în decursul ultimelor secole şi mai ales accelerarea ritmului creşterii
economice în condiţiile progresului ştiinţific şi tehnic din secolul XX au dus la accentuarea oscilaţiilor şi
fluctuaţiilor care însoţesc această economie [65]. Apar astfel diferite forme de fluctuaţii economice, începând cu
fluctuaţiile conjuncturale, de mică amplitudine, continuând cu fluctuaţiile periodice mai pronunţate care se
manifestă în mod repetat sub formă de crize economice, imprimând activităţii economice un caracter ciclic.
Ciclicitatea reprezintă acea formă de mişcare a activităţii economice dintr-o ţară, în care fazele de
expansiune alternează cu cele de stagnare şi descreştere. Ciclul economic reprezintă unitatea de timp pentru
mişcarea ciclică.
Ca formă de mişcare a reproducţiei şi creşterii economice, ciclicitatea se caracterizează sub două aspecte
principale:
Succesiunea şi repetabilitatea în timp a unor stări ale economiei, numite fazele ciclului, care seamănă în linii
generale de la un ciclu la altul, în fiecare fază, starea economiei şi performanţele sale agregate – ritmul creşterii
produsului intern brut, o producţie industrială şi agricolă, gradul de ocupare a forţei de muncă, evoluţia eficienţei
economice, dinamica nivelului de trai şi a calităţii vieţii – au anumite caracteristici şi înregistrează fluctuaţii
semnificative de la o fază la alta;
În înlănţuirea lor, aceste faze pregătesc premisele ce conduc la schimbări calitative în condiţiile creşterii
economice şi ale reproducţiei, care le asigură continuitatea ca şi progresul economic.
Ciclul economic surprinde succesiunea în timp a condiţiilor şi rezultatelor reproducţiei şi creşterii
economice. Un ciclu economic sau un ciclu al afacerilor se caracterizează prin creşterea simultană a nivelului
majorităţii activităţilor economice, urmată de o scădere a acestor niveluri, după care urmează faze de expansiune a
ciclului următor.
Pentru evidenţierea fluctuaţilor ciclice se prelucrează serii cronologice de date referitoare la anumiţi
indicatori: produsul intern brut şi net, volumul vânzărilor cu amănuntul sau cu ridicata, nivelul dobânzilor bancare,
nivelul şomajului, venitul personal etc. Prelucrarea statistică a seriilor respective permite identificarea trendului sau
tendinţei principale, a variaţiei sezoniere şi a variaţiei întâmplătoare, pentru evidenţierea componentei ciclice, a
variaţiei totale. Cu ajutorul unor metode statistice adecvate (vezi serii cronologice!) se calculează curba trendului,
care reprezintă variaţia medie a fenomenului analizat.
Un alt mod, mai complex, de a pune în evidenţă ciclurile economice este acela de determinare a ciclurilor
limită corespunzătoare unui sistem dinamic ce modelează fenomenul economic studiat.
Începând cu anii ’30, observăm o proliferare a modelelor formale care folosesc variante de tipul investiţie-
accelerator şi consum-multiplicator (Harrod 1936, Kalecki 1937, Samuelson 1939, Metzler 1941, Hicks 1950). O
clasă mai generală de modele sunt cele care au la bază principiul capitalului ajustat (sau „acceleratorul flexibil”):
investiţiile curente sunt egale cu raportul dintre capitalul dorit (aşteptat) şi cel actual. Stocul aşteptat variază direct
cu outputul. Investiţiile nete depind de asemenea, direct de output şi invers de stocul iniţial de capital (Kalecki
1935, Kaldor 1940, Goodwin 1951). Dinamica acestor modele este determinată de neliniarităţi. Neliniarităţile sunt
folosite în teoria ciclurilor economice şi au fost sistematic explorate în literatura recentă de specialitate. Astfel,
metodele analitice ale teoriei bifurcaţiei şi teoriei catastrofelor au fost aplicate în analizarea fluctuaţiilor
economice, a crizelor economice, depresiunilor, revenirilor rapide.
Studiul ciclurilor economice este foarte vast, foloseşte termeni din macroeconomie şi are o mare
aplicabilitate în creşterea economică, economia monetară, studiul inflaţiei, instabilitatea financiară şi ajustarea
graduală a preţurilor. Iată câteva din rezultate matematice privind ciclurile economice:
A. Teorema Poincaré-Bendixson şi aplicaţiile sale în economie
Fie sistemul bidimensional de ecuaţii diferenţiale ordinare
39
212
211
,
,
xxgdt
dx
xxfdt
dx
unde 2
21 ,, RUUxxxT
şi funcţiile f şi g sunt netede în raport cu x. Un studiu asupra ciclurilor limită
corespunzătoare unui astfel de sistem este dat de Ye (1986).
Punctul x* este punct limită pentru x dacă există un şir astfel încât *lim xxWtt
unde Wt(x) este
curentul (fluxul) sistemului.
Teorema Poincaré-Bendixson. O mulţime limită a unui flux plan, compactă, nevidă şi care nu conţine
puncte fixe este o orbită închisă. Dacă traiectoria prin x intră şi nu părăseşte un domeniu închis, mărginit D, care nu
conţine puncte staţionare atunci există cel puţin o orbită periodică în D.
Să notăm că această teoremă nu exclude posibilitatea unor cicluri limită multiple.
Teorema Bendixson. Să presupunem că f şi g au derivate parţiale de ordinul întâi continue pe D. Dacă
suma
21 x
g
x
f are semn constant pe tot domeniul D atunci nu există soluţie periodică pe D.
Această teoremă redă condiţiile în care putem exclude existenţa unor cicluri pe un domeniu.
Teorema De Baggis. Fie un sistem structural stabil. Atunci el are numai un număr finit de cicluri limită în
domeniul D care sunt alternativ stabile şi instabile în sens asimptotic.
Aceste teoreme au multiple şi importante aplicaţii în economie (Schinasi 1982, Semmler 1985, 1986). O
mare importanţă o are, de fapt,
Ciclul comercial al lui Kaldor (1940).
Modelul este studiat de Kaldor în 1940. El este prezent în diferite forme în teoria afacerilor. Prezentarea originală a
fost nematematică şi a fost studiată cu tehnici bazate pe grafică (Marama 1946). Primul studiu riguros matematic a
fost dat de Ichimura în 1955, apoi a fost studiat de Chang şi Smyth în 1971, cu ajutorul teoremei Poincaré-
Bendixson. Modelul propus de aceştia este
KYIdt
dK
KYSKYIdt
dY
,
,,
unde Y, K, S şi I reprezintă venitul real, capitalul, funcţia consum şi funcţia investiţie netă, respectiv. Se mai
presupune că SK < 0 şi KK SI .
Se poate observa că produsul valorilor proprii este α(SKIY - SYIK) în punctul de echilibru. Acest număr trebuie să fie
pozitiv pentru a exclude posibilitatea apariţiei unui punct şa. Suma valorilor proprii este α(IY – SY) + IK care trebuie
de asemenea să fie strict pozitivă dacă dorim ca echilibrul determinat să fie instabil. Chang şi Smyth au demonstrat
următoarea teoremă:
Teoremă (Chang şi Smyth). Dacă sistemul considerat este definit pe 2
R şi are următoarele proprietăţi:
a) IK < SK < 0; IY > 0; SY > 0;
b) la echilibrul (K0,Y0), α(IY – SY) + IK > 0 şi SKIY < SYIK;
c) 0dt
dK intersectează axa 0K într-un număr finit K(0) > 0;
d) 0dt
dY intersectează axa 0Y pentru Y1 > Y0 finit iar
K
Y 0lim ∞
e) sistemul este structural stabil
atunci fiecare traiectorie este un ciclu limită sau aproximează un ciclu limită (fig.3.29):
40
- Fig.3.29 -
Această teoremă găseşte condiţiile de existenţă ale ciclului limită dar nu spune nimic despre unicitatea sa sau
despre tipul oscilaţiilor.
Lorenz a încercat să rezolve problema unicităţii ciclului limită folosind:
Teorema (Levinson and Smyth 1942). Ecuaţia generalizată de tip Liénard
)(
)(
xgdt
dy
xfydt
dx
sau 0)()('2
2
xgdt
dxxf
td
xd are o soluţie unică dacă sunt satisfăcute condiţiile:
a) f’ şi g sunt de clasă C’
b) pentru orice x1 > 0 şi x2 > 0 astfel încât –x1 < x < x2 are loc f’(x1)<0 şi f’(x2)>0
c) xg(x) > 0 oricare ar fi x ≠ 0
d)
)(lim)(lim xGxFxx
unde x
dvvfxF0
)(')( ; x
dvvgxG0
)()(
e) G(-x1) = G(x2)
Aplicând această teoremă sistemul iniţial poate fi scris sub forma
dt
dkSI
dt
dYSI
td
YdkKYY
2
2
şi diferenţiind în raport cu timpul obţinem
02
2
ISIdt
dYSI
td
YdkkYY
Aplicând teorema şi presupunând că stocul de capital este determinat de deciziile economice, adică
Sdt
dK unde S = S(Y) şi că expresia W(Y) = IK - SK este independentă de stocul de capital ecuaţia poate fi
rescrisă astfel
0)(2
2
SIdt
dYYW
td
YdK
Cu aceste presupuneri, destul de acceptabile Lorenz (1986) a demonstrat că dacă investiţia şi economiile sunt
funcţii simetrice în raport cu Y atunci sistemul iniţial considerat admite un ciclu limită unic.
Prin importanţa neliniarităţii, ciclul comercial al lui Kaldor stimulează încă cercetarea. Recent Grasman şi
Wenzel (1994) au arătat că în acest model este posibilă coexistenţa unui echilibru stabil cu un ciclu limită stabil.
IV.MODELE ECONOMETRICE SAU STRATEGII DE CREŞTERE ŞI DEZVOLTARE ECONOMICĂ
4.1. Model economic. Modelarea. În dicţionarul de matematică şi cibernetică în economie [19] se arată că
modelul reprezintă „unul din cele mai importante instrumente de cunoaştere ştiinţifică, o imagine convenţională a
obiectului de cercetare. Modelul se construieşte de către modelul cercetării astfel încât să reflecte caracteristicile
obiectului (atributele, relaţiile reciproce, parametrii structurali şi funcţionali) esenţiale pentru scopul cercetării. De
aceea, problema calităţii acestei reflectări, adică a măsurii în care modelul este adecvat obiectului, poate fi corect
K
0
K
0
Y
Y
K
K
Y
0K
0Y 0
41
rezolvată numai în raport cu scopul stabilit” . Mircea Maliţa îl defineşte ca „o reprezentare mintală sau scrisă,
calitativă sau matematică a unei părţi dintr-o realitate ce constituie un sistem (adică un set având părţile
interconenctate). Modelul selectează componentele cele mai reprezentative ale sistemului şi descrie relaţiile care le
leagă”.
Crearea unui model nu serveşte numai cunoaşterii, ci are şi scopuri practice, constituind o bază de
experimentare.
Datorită complexităţii proceselor reale, în construirea modelelor trebuie adoptată o anumită limită de
detaliere, reţinând elementele esenţiale şi principalele dependenţe dintre ele. De aceea, modelul trebuie să fie
întotdeauna o reprezentare simplificată a realităţii care să permită acţiuni, bazate pe raţionament, asupra procesului
modelat. Limita de detaliere este diferită de la epocă la epocă, ea crescând cu timpul.
Modelarea constă în fapt din construirea unei reprezentări cu grad de dificultate variabil al lumii reale sau
ale unei părţi componente ale acesteia. Înţelegerea fenomenului sau segmentului de realitate abordat, cunoaşterea
amănunţită, cât şi acţiunea asupra fenomenului analizat motivează raţiunea de a apela la astfel de reprezentări. Cel
mai des limbaj utilizat este limbajul matematic. Folosirea modelării matematice ajută la fundamentarea unei decizii
în condiţii de eficienţă, oferind posibilitatea de a se gândi mai bine şi mai repede fără a denatura realitatea.
Formalizarea matematică nu este singura formă posibilă de abstractizare, dar „este treapta superioară a
abstractizării ştiinţifice, care ne epropie de hotarele certitudinii în măsura în care nu sunt falsificate premisele”
după cum afirma T. Shattles.
Plecând de la ideea că orice model se bazează pe date şi parametri reali devine necesar faptul de a obţine
date de încredere care să permită o reprezentare convenabilă a realităţii prin model. Astfel, se identifică, atunci
când este cazul, aspectul ciclic sau periodic al fenomenului studiat, implicit orizontul de timp la care se referă.
Matematizarea disciplinelor economice a dus la cristalizarea analizei macro şi microeconomice, indiferent
de particularităţile de ramură, abordând probleme comune oricărui sector al economiei. Microeconomicul este
conceput ca un element izolat dintr-un sistem mai mare, dar nu ca ceva existând pentru sine. Sistemele economice
sunt sisteme sinergetice ierarhice, diferitele dinamici economice corespunzând scării la care este studiat fenomenul
economic. Modelele microeconomice (de microscară) constituie nuclee sau „cărămizi” din care se compun
modelele macroeconomice (de macroscară). Estimarea parametrilor modelelor macroeconomice în dependenţă de
caracteristicile microeconomice este, de fapt, scopul principal al econometriei, ca şi al altor domenii ale economiei
cantitative, de mare utilitate din punctul de vedere al politicii economice şi al planificării.
Modelul econometric se bazează pe teoria economică şi pe datele statistice privind evoluţia variabilelor.
Rolul unui astfel de model constă, în general, în cunoaşterea implicaţiilor pe care unele modificări previzibile în
politica economică, dar şi unele schimbări generate de conjunctura economică internă sau internaţională le pot avea
asupra diverselor sectoare din economie. În fig.4.1 este prezentat locul, dar şi rolul unui astfel de model [3,pag.18].
- Fig.4.1 -
Analiza fenomenelor economice poate câştiga în rigurozitate prin utilizarea cu discernământ a metodelor
econometrice.
În anii 1930 Jan Tinberger şi-a început cercetările şi a elaborat primele modele macroeconomice cu mai
multe ecuaţii. Prototipul lor modern, cristalizat, este modelul Klein - Goldberger (1955) care leagă diferite variabile
macroeconomice - venit, consum, impozite, cheltuieli, investiţii - de un şir de variabile microeconomice - de
exemplu, funcţii de cerere.
Modelul este „bun”, „robust”, când structura procesului la care se aplică nu suferă schimbări prea grave la
variaţia datelor, deci sistemul dinamic corespunzător este structural stabil. De exemplu, dacă modelul prevede o
Teoria economică Metode econometrice Date statistice
Condiţii şi
obiective urmărite
Elabor rea modelului
Aplicarea modelului
econometric
Prezumţii privind
evoluţia var.fact.
Verificări, reevaluări,
actualizări de date
Rezultate utile
analizei şi prognozei
Decizii privind politica economică
în prezent şi în viitor
42
evoluţie într-o anumită ciclicitate, atunci confirmarea acesteia are loc numai dacă în sistem nu s-au produs mutaţii
structurale, cum ar fi o masivă intervenţie de stat care modifică întregul mecanism de reacţii ale sistemului.
Problema modelelor economice este o problemă a tipului de proces dinamic la care se aplică şi în consecinţă a
tipului de serie de date corespunzătoare procesului.
Pe măsura dezvoltării şi maturizării ştiinţei economice au avut loc progrese însemnate în ce priveşte
metodele şi instrumentele de cercetare, de analiză economică. Aceste progrese au rezultat din ample controverse
metodologice, ca de pildă, între susţinătorii metodei inductive şi promotorii metodei deductive şi ai abstractizării,
între partizanii legilor naturale (obiective) din economie şi partizanii legilor psihologice, între adepţii analizei
cantitative şi cei ai analizei calitative (structurale, sistemice), între speciliştii în probleme statice şi cei care
cercetează dinamica economică.
Studiul econometric al mecanismelor de producţie - micro sau macroeconomice - presupune construirea
anticipată a unor modele matematice, neempirice, raţionale. „Pentru economist, cercetarea statistică - econometrică
echivalează cu cercetarea de laborator din domeniul altor ştiinţe şi dacă are ceva în comun cu ele în privinţa
tehnicii de cercetare, atunci aceasta constă tocmai în construcţia prealabilă cercetării empirice a unor modele
matematice” [65].
O expresie a progreselor realizate în epoca modernă o constituie folosirea modelelor economico-
matematice şi practica modelării economice şi matematice. Modelele economico-matematice sunt construite cu
ajutorul metodelor economico-matematice, create la zona de contact dintre economie, matematică şi cibernetică
[19].
În functie de mijloacele de modelare alese modelele se clasifică în modele abstracte sau conceptuale
(modele logice, matematice, numerice) şi modele materiale sau fizice (machete).
Modelele care urmăresc să explice structura sau comportamentul obiectului cercetat se numesc descriptive
(ex. Modelul lui Keynes), iar cele ce urmăresc să determine starea optimă se numesc normative.
În esenţă, un model matematic admite trei categorii importante de elemente [30]:
a) variabilele care constau fie din indicatori economici (venit, cerere, ofertă, consum) fie din rata lor;
b) relaţiile dintre variabile date cu ajutorul unor ecuaţii (de definiţie şi comportamentale) şi inegalităţi,
precum şi interdependenţa dintre ele redată cu ajutorul unor funcţii (funcţia ocupării, funcţia ofertei, funcţia cererii
globale, funcţia investiţiilor);
c) parametrul multiplicator investiţional cu ajutorul căruia se exprimă gradul de intensitate a influenţei unei
variabile (ex.: cheltuiala de venit) asupra altora (ex.:consumul, economia).
Modelele economice pot fi clasificate după multiple criterii. Destinaţia (de prognozare sau planificare),
gradul de agregare, starea de cuprindere (globale sau sectoriale), tehnica de elaborare (de optimizare, simulare,
echilibru sau mixte), modul în care iau în consideraţie factorul timp (statice sau dinamice) sunt câteva din acestea.
Din punct de vedere didactic cele mai importante criterii sunt nivelul la care se abordează problemele (micro,
macro şi mondoeconomice) şi baza teoretică de la care pleacă (keynesism, neoclasicism, marxism, radicalism etc).
În modelele clasice salariile sunt determinate de nevoile de subzistenţă ale muncitorilor, iar profitul este
„un surplus rezidual” pe când în modelele neoclasice „rata dobânzii este preţul de ofertă al capitalului şi salariile
reprezintă restul”, iar în modelele keynesiste „repartiţia este guvernată de investiţii şi de economisire” [6].
N.Kaldor face un pas înainte în modelarea şi analiza creşterii economice pe baze keynesiste prin includerea
în model a problemei repartiţiei venitului naţional şi prin analiza funcţiei progresului tehnic. Progresul realizat de
acesta constă în faptul că nu a examinat numai categoriile globale (cerere, ofertă, venit, economii, investiţii) ci a
început analiza structurală a unora dintre ele, făcând distincţie între economiile făcute de întreprinzători din profitul
obţinut şi economiile făcute de muncitori din salariile încasate. Kaldor consideră că dezvoltarea economică
presupune un echilibru economic însoţit de folosirea deplină a mâinii de lucru pe termen lung.
Există însă mari deosebiri în ce priveşte modul în care este perceput şi utilizat factorul timp. Astfel
modelele de creştere economică neoclasice au în vedere timpul istoric, ceea ce înseamnă că se bazează pe
învăţămintele trecutului dar şi pe anticipările viitorului.
Apariţia unor probleme globale, planetare, ce influenţează procesul creşterii, al dezvoltării la scară
naţională, zonală sau globală, cum ar fi epuizarea unor resurse naturale neregenerabile, structura populaţiei,
deteriorarea mediului natural, dezvoltarea tehnicii, problema alimentaţiei, criza datoriei externe, urbanizarea
excesivă, subdezvoltarea economică, economia politică a dus la investigarea multiplelor probleme teoretice şi
practice în domeniul echilibrului economic. Cele mai semnificative modele din teoria echilibrului economic sunt
cele ale lui Walras - Wald şi Arrow - Debreu - Mekenzie. De asemenea, un model de creştere economică cu o
bază teoretică mixtă este modelul input - output elaborat de W. Leontief, un buncunoscător al matematicii şi
statisticii ca şi al istoriei multor economii naţionale, ce a contribuit în mod substanţial la perfecţionarea
instrumentarului analitic de cercetare empirică şi cantitativă. Modelul său a fost conceput ca instrument
multifuncţional - static şi dinamic - de studiere a economiei naţionale.
Îmbinarea teoriei economice cu statistica şi matematica economică au condus la dezvoltarea analizei şi
modelării sistemelor economice. Acestea sunt abordate matematic în scopul identificării, cunoaşterii şi
43
perfecţionării mecanismelor interne de reglare şi control, structuri prin intermediul cărora variabile sau părţi ale
unui sistem interacţionează în scopul determinării celui mai bun răspuns (comportament optim) la acţiunea
mediului înconjurător.
Din punct de vedere econometric metodele clasice, bazate pe continuitate, liniaritate şi stabilitate s-au
dovedit inadecvate pentru a putea reprezenta fenomene şi procese economice cu un grad de complexitate mai
ridicat. Cercetătorii sunt obligaţi să urmărească aceste procese în mod dinamic, să studieze schimbările de ordin
cantitativ care intervin între variabilele economice implicate precum şi rezultatele obţinute cu ajutorul lor.
Pe lângă alte caracteristici modelele matematice permit introducerea unui izomorfism între sistemul
economic real şi cel ideal, reprezentat prin model. Astfel modelul de reglare al lui Metzler, modelul de stabilizare
al lui Phillips, modelul ciclurilor economice al lui Goodwin, modelul de creştere cu două sectoare al lui Uzawa
reprezintă doar câteva din modelele în care au putut fi evidenţiate matematic mecanismele economice care intervin,
reuşind să fie subliniate modalităţile prin care sistemul economic poate fi reglat şi controlat pentru a evolua în
sensul dorit.
Alături de modelele statistice, stocastice sau algebrice cele bazate pe sisteme dinamice au cunoscut în
ultima perioadă o adevărată reevaluare dorită apariţiei şi dezvoltării teoriei sistemelor haotice şi, strâns legată de
aceasta, a concepţiei sinergetice. Devine astfel posibilă abordarea comportamentelor instabile ale diferitelor
sisteme economice neliniare subliniindu-se tot mai des faptul că liniaritatea şi stabilitatea sunt de fapt cazuri
particulare ale evoluţiei economice.
Dacă dinamica economică tradiţională se baza pe celebrul principiu de corespondenţă al lui Samuelson,
conform căruia perturbaţiile mici ale parametrilor din sisteme determină schimbări mici ale variabilelor, noua
concepţie, care devine dominantă în dinamica actuală, consideră că schimbări mici ale parametrilor pot duce la
modificări calitative ale comportamentului dinamic. Astfel, sistemele pot deveni din stabile, instabile, din
deterministe, haotice, din liniare, neliniare.
In 1965, teoria mulţimilor fuzzy a lui Zadeh (de unde şi modelele fuzzy) a fost întâmpinată cu neîncredere
şi rezistenţă, generând reacţii de respingere iar astăzi decidenţii operează de la sine înţeles în condiţii de
incertitudine şi vaguitate generate de mediul extern, abordarea deterministă fiind privită doar ca un caz particular.
Descoperirea haosului şi progresele înregistrate în teoria sistemelor dinamice au introdus o nouă paradigmă
în dinamica economică. Astfel, Benhabib şi Day (şi mai târziu Tobin) au propus un model al fenomenelor
monetare intergeneraţii, iar Grantmont un model dinamic al comportamentului consumatorului cu preferinţe
endogene care pun în evidenţă existenţa unei dinamici haotice. Haosul a mai fost pus în evidenţă în modelele de
duopol (Day 1983), Deneckere şi Pelikan (1986) respectiv Dana şi Montrucchio (1986).
Modelele deterministe ce prezintă haos sunt alcătuite în principal din mecanisme feedback neliniare ce le
determină comportamentul temporal (exemplu: mecanisme feedback neliniar al profitului; Stacey).
Multe procese economice, cum ar fi comportamentul firmei sau al consumatorului, evoluţia şomajului şi
inflaţiei, dependenţa outputului de de factorii de producţie sunt reprezentate cu ajutorul unor funcţii cu proprietăţi
matematice bine definite.
Procesele economice recente din centrul şi estul Europei au dus la apariţia unei noi paradigme în
modelarea matematică: crearea de modele macroeconomice care să încerce descrierea şi previzionarea acestor
procese, deci ale unor modele ale economiilor în tranziţie deoarece modelele care descriu sistemul economiei
centralizate nu mai pot fi utilizate iar modelele economiilor de piaţă nu pot fi utilizate în condiţiile concrete din
cadrul tranziţiei.
Modelele elaborate în cadrul teoriei singularităţilor şi teoriei catastrofelor pot ajuta la analiza problemelor
care implică schimbări calitative bruşte care sunt cele din perioada de tranziţie la economia de piaţă.
De asemenea, utilizarea teoriei bifurcaţiei în modelarea cibernetică a proceselor de tranziţie poate fi
deosebit de promiţătoare având în vedere caracteristicile de instabilitate şi dezechilibru care se manifestă în această
perioadă.
Trebuie să remarcăm că metoda modelării proceselor şi fenomenelor economice este, în prezent, o metodă
de referinţă pentru teoria şi practica modelării matematice. Modelul se construieşte ca o reprezentare izomorfă a
realităţii şi oferă o imagine intuitivă dar totuşi riguroasă a acesteia în sensul structurii logice a fenomenului studiat.
În acest fel, se facilitează descoperirea unor legături şi legităţi care, practic, pe alte căi, ar fi imposibil sau foarte
greu de găsit. Precizarea unor evoluţii se întemeiază pe rezultatele unor astfel de estimări.
Din multitudinea de modele existente ne vom fixa atenţia asupra unora cunoscute pentru care s-a studiat
răspunsul sistemului economic la variaţii ale parametrilor. Cu ajutorul structurilor de date se construiesc diagrame
de tranziţie a stărilor care indică toate operaţiile specifice fiecărui tip de obiect şi de clasă corespunzătoare. În
continuare prezentăm o clasificare a modelelor economice în funcţie de trei mari criterii: matematice, economice şi
matematice-neeconomice.
4.2. Modele cantitative naive. Există mai multe modele din această categorie, şi anume:
Media simplă reprezintă media cererilor înregistrate în toate perioadele anterioare, ponderate în mod egal.
44
n
i
iS Dn
M1
1 unde Di – cererea în perioada i; n – numărul de perioade.
Această medie este reprezentativă pentru model mai ales pe măsură ce numărul de perioade folosite în calcul
creşte; se reduc şi şansele de a fi indus în eroare de fluctuaţiile mari care pot apărea în orice perioadă. Dacă
modelul de bază se modifică însă în timp, această medie nu va detecta modificarea.
Media mobilă simplă este media cererilor înregistrate în mai multe din cele mai recente perioade. Adăugând
cele mai recente perioade cele mai vechi sunt eliminate pentru a păstra corectitudinea calculelor. Această medie
combină datele legate de cerere din ultimele perioade, media lor fiind previziunea pe următoarea perioadă. Esenţial
în calculul acestei medii este ca numărul de perioade să fie constant.
n
i
im Dn
M1
1 unde Di – cererea pentru perioada i iar n – numărul ales de perioade; i = 1 cea mai veche
perioadă în media cu n perioade; i = n cea mai recentă perioadă.
Media mobilă ponderată este o metodă de calcul a mediei care permite ponderarea diferită a cererilor vechi.
n
t
ttmp DCM1
unde 1;101
n
t
tt CC
O astfel de medie permite ponderarea diferită, inegală a cererilor vechi. Alegerea acestor ponderi este critică pentru
succesul sau eşecul modelului. Dacă sunt alese cu atenţie se pot compensa însă tendinţele de sezonalitate.
Nivelarea exponenţială reprezintă o metodă de calcul care scade exponenţial ponderea cererilor mai vechi.
Modelele de nivelare exponenţială sunt disponibile în pachete standard de software şi necesită un volum relativ mic
de stocare a datelor şi de calcul. Aceste modele se disting prin modul special în care ponderează fiecare cerere
trecută. Modelul ponderilor are o formă exponenţială. Cererea pentru perioada cea mai recentă este ponderată cel
mai mult iar ponderile din diferite perioade succesive mai vechi scad exponenţial. În cadrul acestui model se
disting două cazuri ăAEş:
a - Nivelarea exponenţială de prim rang. Ecuaţia de creare a unei previziuni noi sau actualizate foloseşte două
informaţii: cererea reală pentru cea mai recentă perioadă (Dt-1) şi previziunea pentru cererea cea mai recentă (Pt-1).
11 1 ttt PDP unde 10 iar t este perioada.
Acest model este numit nivelare exponenţială deoarece după extrapolări succesive poate fi rescrisă
4
3
3
2
2
1
1
01111 ttttt DDDDP şi se observă că pentru 1,0 ,
termenii 2101,1,1 etc sunt din ce în ce mai mici, cu alte cuvinte ponderile scad exponenţial.
se numeşte coeficient de nivelare. Alegerea sa este foarte importantă deoarece un coeficient ridicat pune o
pondere mare pe majoritatea cererii recente iar unul redus ponderează cererea recentă mai puţin (fig.4.2).
- Fig.4.2 -
Acest coeficient poate fi stabilit pentru clase sau familii de elemente pentru a minimiza costurile şi pentru a
actualiza periodic previziunea. Este nevoie doar de valoarea lui , cererea din ultima perioadă şi previziunea
pentru ultima perioadă, deci de foarte puţine date. Acesta este avantajul nivelării exponenţiale simple.
45
Nivelarea exponenţială adaptivă este o metodă medie în care un coeficient de nivelare nu este fixat, ci este stabilit
iniţial şi apoi permite să fluctueze în timp pe baza modificărilor din evoluţia cererii. Această metodă oferă o bună
alternativă la previziune şi în plus, poate fi modificată pentru a încorpora tendinţa şi componentele sezoniere.
b - Nivelarea exponenţială dublă are tendinţa să elimine prin nivelare distorsiunile într-o serie de timp stabilă a
cererii. Acest model nivelează previziunea exponenţială de prim rang şi vechea previziune exponenţială:
10;1 1 ttt DD
unde Yt este modelul de nivelare exponenţială de prim rang şi trebuie calculat înainte de determinarea YDi.
4.3. Modele liniare. Modelele liniare prezentate în continuare sunt în general constituite cu ajutorul
ecuaţiilor sau al sistemelor de ecuaţii algebrice, diferenţiale sau cu diferenţe finite şi de limitează la descrierea
fenomenului respectiv. Pentru alte detalii indicăm [2], [9], [11], [20], [23], [41], [43], [69], [70], [74].
Modelul trimestrial de investiţii al lui Eisner.
tttttttt KIPPSSI
615241322110 ,
unde tI - investiţia, S - economiile în societate, P - profiturile ( P - modificări profituri ), K - fonduri capitale
existente la începutul perioadei. Să observăm că ecuaţia acestui model este cu argument întârziat, deci acesta este
infinit dimensional.
Model cerere-ofertă
Este un model studiat de Beckmann şi Ryder în 1969 şi de Collel în 1986. Acest model prezintă reacţia pe
care preţul p o produce asupra cantităţii q şi invers. El este dat de
,
,
qCpq
qpFkp
unde pF - excesul de cerere iar qC - costul lui q . De obicei 1k şi 0 este un parametru. Preţul creşte
ca răspuns la excesul de cerere pF sau cantitatea q descreşte în raport cu costul qC .
Model de creştere cu capital uman
Acest model neoclasic simplu, în care capitalul uman are un rol crucial, a fost propus de Mankiw şi conţine
o funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas
1tLtAtHtKtY .
Modelul descrie o evoluţie economică şi are forma
,
,
thgntySth
tkgntyStk
h
k
unde tY - funcţia de producţie, tK - stocul de capital fizic, tH - stocul de capital uman, tL - forţa de
muncă presupusă crescătoare cu rata g şi cantităţile pe unitatea de muncă sunt ALYy , ALKk ,
ALHh .
Politici de stabilizare
Fluctuaţiile economiei pot fi ţinute sub control prin varierea cheltuielilor guvernamentale G , ori de câte
ori acestea scad brusc faţă de un nivel dorit G , adică GGbG
, unde b este constanta pozitivă ce
reprezintă viteza de ajustare. Phillips şi Allen disting trei tipuri de nivele de cheltuieli guvernamentale G şi
anume:
a) YG
1 , când venitul naţional cumulat scade brusc sub nivelul dorit Y presupus egal cu zero pentru
simplicitate;
b)
t
ydyG0
2 , când venitul naţional cumulat scade de asemenea sub un nivel 0 YY ;
c)
YgG3 , când cheltuielile guvernamentale scad odată cu creşterea venitului.
Ţinând seama că venitul naţional brut creşte odată cu excedentul cererii globale X faţă de oferta globală
Y , pentru politicile de stabilizare obţinem trei modele diferite corespunzătoare celor trei tipuri de cheltuieli
guvernamentale.
.3,2,11,
,
GGG
YXhY
i
46
Model pentru productivitatea muncii
Să considerăm sistemul dinamic afin ce descrie corelaţia între dinamica productivităţii muncii jw ,
înzestrarea tehnică a muncii jk , la două sucursale ale unei firme producătoare de autoturisme
,
,
22212
1322111
tkbtwbtw
tkatwatwatw
cea de-a doua sucursală livrându-i primeia o serie de subansamble.
Se cunosc stările iniţiale: 0
11 0 ww (mii lei/persoană) - productivitatea medie lunară, 0
22 0 ww (mii
lei/persoană) - înzestrarea tehnică a muncii 0
11 0 kk , 0
22 0 kk , 1a , 2a , 3a , 1b , 2b - parametri constanţi.
Ciclul comercial al lui Samuelson (1939)
Modelul lui Samuelson este construit cu ajutorul unui multiplicator şi accelerator. Consumul curent tC
este o funcţie liniară descrescătoare de venitul Y pe o anumită perioadă 1tY iar investiţia curentă tI creşte cu
creşterea consumului 1 tt CC . Mai precis 1 tt cYC 10 c , 211 ttttt cvYcvYCCvI
0v , 1tG (nivelul cheltuielilor guvernamentale), tttt GICY , 121 tttt CCvCCC .
Cei doi parametri ai modelului sunt c - multiplicator şi cv 11 - accelerator. v reprezintă viteza de
răspuns a lui tI la creşterea consumului. Prin substituţie se obţine o ecuaţie funcţională algebrică
11 21 ttt cvYYvcY , ( 10 ,YY - daţi)
- Fig.4.2 -
a cărei soluţie este cAAY tt
t 112211 , unde cYY pc 11 este o soluţie particulară iar
constantele 1A şi 2A au expresii în care apar 0Y şi 1Y . Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei omogene în tY este
012 cvvc şi are rădăcinile
cvvcvc 411
2
1 22
2,1 . Cei doi parametri c şi v
determină stabilitatea lui tY , în funcţie de natura şi semnele lui 1 şi 2 , deci de cele trei cazuri în care
determinantul cvvc 4122 este pozitiv, nul sau negativ. Astfel, în cazul rădăcinilor complexe ( 0 )
soluţia tY este periodică. În cazul 0 avem că 214 vvvc este o funcţie concavă pentru 2,0v ,
care îşi atinge maximul în 1,1, vc . La 2v , vc are un punct de inflexiune şi apoi devine convexă, adică
01 c , 4128 vvvc şi 0 vc pentru 2v , 0 vc pentru 2v . Sub curba vc
rădăcinile 2,1 sunt reale şi distincte implicând o descreştere monotonă a lui tY (adică fără fluctuaţii) iar deasupra
ei rădăcinile sunt complexe indicând fluctuaţii. Pe curba 214 vvvc soluţia este
tBtBrY t
t sincos 21 , unde cvr . Ea este stabilă dacă 1r şi instabilă dacă 1r . În loc de
stabilă (instabilă) se mai zice convergentă (divergentă). Astfel, cele două curbe 1cv şi 214 vvc împart
spaţiul parametrilor în 4 zone de comportament diferit ale lui tY : monoton divergentă (1), periodic divergentă (2),
47
periodic convergentă (3) şi monoton convergentă (4). Acestea completează ciclul lui Samuelson. În plus, s-a
considerat doar semibanda 10 c , 0v în care c şi v au sens economic.
omogenă în diferenţe
01
121
0
ttttkYYkbY
gY se reduce la o ecuaţie omogenă în diferenţe în
tD , 1tD , 2tD şi arată că 112 gk este condiţia de instabilitate.
Modelul mai poate fi extins prin considerarea comerţului exterior, importurile fiind funcţii de venit:
1 tt mYM , 10 m . Exporturile sunt determinate de cererea externă, care se presupune a creşte cu o rată
proporţională constantă xg , astfel că txt gXX 10 .
4.4. Modele neliniare. Foarte multe relaţii dintre variabilele economice analizate în teoria economică sunt
descrise ca având o formă neliniară. Varietatea relaţiilor de acest tip prezintă importanţă atât din perspectiva
estimării (fiind mai „aproape” de realitate) cât şi din cea a prognozelor pe termen mediu şi, mai ales, lung. În
continuare prezentăm cele mai importante modele neliniare din literatura de specialitate.
Determinarea preţului de maximizare a profitului
Economiştii au elaborat un model de stabilire a preţului pentru ca acesta să contribuie la maximizarea
profitului. Se pleacă de la ideea că firma respectivă cunoaşte care sunt funcţiile cererii şi costului produsului în
cauză. Dacă în urma analizei de regresie ecuaţia cererii are forma
aPbQ
iar funcţia costului ce descrie costul total C al producerii cantităţii Q într-o perioadă de timp este de tip liniar:
vQFC
unde F este costul total fix şi v – costul variabil pe unitatea de produs şi ţinând cont că ecuaţia venitului total V
este:
QPV
unde P – preţul practicat, Q – cantitatea vândută şi profitul total Z
CVZ
firma poate determina raportul dintre profit şi preţ astfel
FvbPvabaPZ
aPbvFaPbPvQFPQCVZ
)(
)()(
2
Deci, profitul total net este o ecuaţie de gradul doi ce are ca necunoscută preţul. Maximul se atinge în
punctul a
vabP
2
*
Modele GARCH pentru analiza riscului de portofoliu
Modelele GARCH (G – generalizat, AR – autoregresiv, C – condiţional, H – heteroschedasticitate) au fost
proiectate pentru a modela serii economice ce nu urmează o distribuţie normală. În cadrul acestor serii există o
abatere largă a valorilor extreme de la media lor, unele fiind chiar asimetrice, ele prezentând şi o evoluţie
neuniformă a dispersiei de-a lungul perioadei de timp analizate. Primul astfel de model a fost realizat de către
Robert Eagle în 1982. El cuprinde o ecuaţie pentru medie şi una pentru dispersie, respectiv [11,pag.4]:
2
1
2
1
2
ttt
ttt xy
unde yt este variabila dependentă în perioada curentă, xt – variabila independentă în perioada curentă, -
coeficientul care arată influenţa variabilei independente asupra variabilei dependente, t - termeni reziduali în
perioada curentă, 2
t - dispersia variabilei dependente în periada curentă, - constanta ecuaţiei dispersiei, α –
coeficientul ARCH, 1t - termeni reziduali din perioada precedentă, 2
1t - dispersia variabilei dependente în
perioada precedentă, β – coeficient GARCH.
O prezentare generalizată a acestui model poate fi găsită în [31,pag.480].
Un alt model asemănător, a fost introdus de Nelson în 1991:
1
1
1
12
1
2 )log()log(
t
t
t
t
tt
iar efectul de levier poate fi testat prin testarea inegalităţii 0 . Să remarcăm că logaritmul transferă modelul
într-unul neliniar.
Modelul lui Goodwin de repartiţie a venitului
48
Să considerăm o economie constând din muncitori şi capitalişti şi să presupunem că muncitorii îşi
cheltuiesc toate veniturile. Iată definiţiile şi relaţiile care descriu cadrul economic de lucru, în care preţurile au fost
normalizate la unitate,
Y - producţie (realizările economiei); L - muncă (identificată cu muncitorii); K - capital investit (identificat cu
capitaliştii); W - salariu (identificat cu salariul mediu lunar); 1pP - preţ produse (bunuri);
teaaLY 0 , - constantă - productivitatea muncii; wL - venitul muncii (venitul muncitorilor);
awYwLu - partea muncii din venit (partea muncitorilor din venit); wLY - venitul capitaliştilor;
aw1 - partea capitaliştilor din venit; Yaw1 - economii; YK (constanţi) - raportul capital-
producţie; nteNN 0 , n - constanţi - număr de muncitori; NLv - rata de ocupare a forţei de muncă;
Presupunând că investiţiile I egalează economiile, atunci creşterea stocului de capital KK
este de
forma awKYawKK
11 . Rata de creştere a stocului de capital este egală cu rata de creştere
a venitului YY
atunci când raportul capital-producţie este constant. Cunoscând productivitatea muncii, a , se
poate determina forţa de muncă L , necesară unei producţii Y , prin formula aYL . Logaritmând şi diferenţiind
această formulă obţinem
awYYLL 1 . Rezumând, avem următoarele rate de creştere
folosite în model: nNN
,
aa , awYYKK
1 ,
YYLL .
Variabilele de stare în modelul lui Goodwin sunt: rata v de ocupare a forţei de muncă şi partea
muncitorilor de venit u . Pentru a deduce ecuaţiile în v şi u să luăm în considerare doar evoluţia ratei de ocupare
a forţei de muncă. Logaritmând, diferenţiind şi efectuând calculele în expresia lui v obţinem
vuuv
1 . Efectuând aceleaşi prelucrări şi în expresia lui u obţinem
wwuu . Goodwin
presupune că salariul muncitorilor evoluează conform curbei standard a lui Philips, adică vfww
, în care f
verifică condiţiile
vfv 1lim , 0lim
0
wvf
v şi 0 vf . Pentru simplicitate această curbă este
aproximată cu o linie v , deci evoluţia părţii din venit ce revine muncitorilor capătă expresia
vuu . De aici deducem imediat: uvu
. Prin urmare ţinând seama de toate
ipotezele de mai sus, evoluţia ratei de ocupare a forţei de muncă şi a părţii din venit ce revine muncitorilor este
descrisă de s.e.d.o. de forma
,
,
11
11
uvdcu
vubav
unde na 11 , 1c , 11 b , 1d .
Problema Cauchy pentru acest sistem poate fi asociată unui sistem dinamic bidimensional cu neliniarităţi
pătratice care depinde de patru parametri reali. El este cunoscut sub numele de modelul lui Goodwin. Acest model
are pentru majoritatea valorilor parametrilor două echilibre, pentru o altă mulţime de măsură nulă având un singur
echilibru. De asemenea el posedă şi un ciclu limită.
Modelul lui Denenbourg, de Palma şi Kahn (1979)
Acest model descrie alegerea dinamică a unei modalităţi de transport.
Fie ix - numărul de drumuri. Dacă 2,1i atunci modelul este dat de iii xDdtdx unde
Dxx 21 . Punând xAxAxDAxD ii 21 , dinamica depinde de fiecare iA . Dacă presupunem că
iA sunt proporţionale cu vitezele iii vAv : şi că nu există interacţiuni între cele două (fie maşină şi autobuz),
atunci avem 11 1 bxav , nn sxcdxv 222 . Dacă, în plus, 1 srn atunci dinamica modalităţii de
transport este dată de
.1
,1
2
221
122
1
221
11
xxcdxxa
xcDdxx
xxcdxxa
xaDx
Model de creştere cu rată de ajustare
49
Sistemul descrie interacţiunea dinamică dintre rata de creştere şi sistemul de asigurări sociale. Este
considerat cazul în care viteza de ajustare a ratei de creştere este optimă dar nu prea rapidă. El are forma
,1
,1
11
2
1
gbazQz
gzbsg
unde g - rata de creştere, s - viteza de ajustare, 1a - viteza de consum, 1b - creşterea raportului capital-producţie,
z - valoarea totală a producţiei.
2122 4121 zPXzQ . zQ trebuie să fie negativ când z este pozitiv; PXz , X -
capacitatea, PX - valoarea totală a capacităţii.
Bibliografie obligatorie
1. Caracotă, Dumitrache; Caracotă Răzvan (2001)- Strategii de dezvoltare. Previziune economică.
Editura Sylvi, Bucureşti; 2. Popescu, A., Ion, Ungureanu Laura (2004) - Previziunea – premisă a dezvoltării durabile, Editura Fundaţiei România de Mâine, Bucureşti. 3. Popescu, A., Ion, Ungureanu Laura (2004) -Econometria sau ştiinţa de a cunoaşte şi proiecta viitorul,
Editura Universităţii “Lucian Blaga”, Sibiu.
Bibliografie facultativa
1. Firică, Oana(2002)- Modele pentru fundamentarea deciziilor în managementul organizaţiei, Editura
Matrix, Bucureşti;
2. Andreea, Iacob; Ovidiu Tanasoiu (2005) – Modele econometrice, Editura ASE, Bucuresti; 3. Valentin, Nicolae (1998)- Previziune şi orientare economică, Editura Economică, Bucureşti; 4. Oprescu, Gheorghe (1995) - Modele dinamice ale economiei de piaţă. Studii de caz, Editura Eficient,
Bucureşti;
5. Pecican Ştefan (2003) - Econometrie pentru economişti, Editura Economică, Bucureşti;
6.Pecican Ştefan (2000) - Piaţa valutară, bănci şi econometrie, Editura Economică, Bucureşti;
7. Popescu, A., Ion, Ungureanu Laura (2004)- Decizia sau demersul antientropic de la cauza la efect,
Editura Universităţii “Lucian Blaga”, Sibiu;