masura lebesque

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 9 APROXIMARI ALE FUNCTIILOR MASURABILE

Cursul 7

9 Aproximari ale functiilor masurabile

I^n acest paragraf vom aproxima functiile masurabile cu functii etajate (care reprezinta cea mai simpla forma defunctii masurabile) si, ^n anumite conditii, cu functii continue.

I^n continuare, vom considera (X;A; ) un spatiu cu masura completa.

Teorema 9.1 (Teorema de aproximare a functiilor masurabile cu functii etajate) Fie f 2M(X;A).1. Daca f(X) [0;1], atunci exista un sir (fn) E(X;A) asa ^nca^t fn(X) [0;1] si fn fn+1; 8n 2 N, iarfn

p!X

f .

2. Daca f(X) [0;M ], unde M > 0, atunci exista un sir (fn) E(X;A) asa ^nca^t fn(X) [0;M ] sifn fn+1; 8n 2 N, iar fn u!

Xf .

3. Daca f(X) [0; 1), exista un sir ('n) E(X;A) asa ^nca^t 'n(X) =0;

1

2n

;8n 2 N, iar

1Xn=1

'n converge

uniform pe X la functia f .

4. Daca f(X) R, atunci exista un sir (fn) E(X;A) asa ^nca^t fn p!X

f .

Demonstratie. 1. Pentru n = 0, e functia f0 = 0.Fie n 2 N. Pentru ecare i 2 0; n2n 1, consideram multimile

Ei;n = f1

i

2n;i+ 1

2n

si Fn = f

1 ([n;1]) :

Cum f 2M(X;A), rezulta ca Ei;n; Fn 2 A, 8i 2 0; n2n 1. I^n plus, Fn\Ei;n = ?; 8i 2 0; n2n 1, Ei;n\Ej;n =?, pentru i 6= j si

X = Fn [n2n1[i=0

Ei;n: (90)

Fie functia fn : X ! [0;1), denita prin

fn(x) =

(i

2n; daca x 2 Ei;n

n; daca x 2 Fn:

Deoarece Ei;n; Fn 2 A, rezulta fn 2 E(X;A). Fie x 2 X.Daca x 2 Fn, atunci f(x) n si deci fn(x) = n f(x).Daca x 62 Fn, din (90), 9i 2 0; n2n 1 asa ^nca^t x 2 Ei;n. Atunci i

2n f(x) < i+ 1

2nsi deci fn(x) =

i

2n f(x).

Prin urmare fn(x) f(x);8x 2 X.Vom demonstra ^n continuare ca sirul (fn)n2N este monoton crescator. Fie x 2 X si n 2 N. Avem urmatoarele:Daca x 2 Fn+1, cum Fn+1 Fn, rezulta x 2 Fn, de unde obtinem fn(x) = n < n+ 1 = fn+1(x).Daca x 2 FnnFn+1, atunci n f(x) < n + 1. Cum x 62 Fn+1, din relatia (90) (aplicata pentru n + 1),9i 2 0; (n+ 1)2n+1 1 astfel ^nca^t x 2 Ei;n+1, adica i

2n+1 f(x) < i+ 1

2n+1. Cum n f(x), urmeaza ca

n f(x) < i+ 12n+1

si deci n2n+1 < i + 1, adica n2n+1 i. Cum fn(x) = n si fn+1(x) = i2n+1

, rezulta

fn(x) fn+1(x).Daca x 62 Fn, atunci x 62 Fn+1 si deci 9i 2 0; (n+ 1)2n+1 1 asa ^nca^t x 2 Ei;n+1. Prin urmare fn+1(x) = i

2n+1.

Cum x 2 Ei;n+1, avem i2n+1

f(x) < i+ 12n+1

. Daca i este numar par, atunci

i

22n

f(x) 0; exista o functie -continua g : X ! R astfel ^nca^t (fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g) < ":Demonstratie. Etapa 1. Presupunem ca f(X) [0; 1).Deoarece f 2M(X;A), din Teorema 9.1(3), exista un sir ('n) E(X;A) asa ^nca^t 'n(X) =

0;

1

2n

; 8n 2 N,

iar1Xn=1

'n converge uniform pe X la functia f . Pentru ecare n 2 N consideram multimea An = '1n (1

2n).

I^ntruca^t 'n 2 E(X;A), avem An 2 A.Fie un " > 0. Deoarece este -regulata, pentru orice n 2 N, 9Fn 2 F si 9Dn 2 asa ^nca^t

Fn An Dn si (DnnFn) < "2n

:

Fie multimea E =[n2N

(DnnFn). Cum A, rezulta F A si atunci DnnFn 2 A; 8n 2 N. Deci E 2 A.

I^n plus, (E) 1Xn=1

(DnnFn) 0, exista o functie -continua g : X ! [0; 1] asa ^nca^t (fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g) < ".

Etapa 2. Presupunem ca 9M > 0 astfel ^nca^t f(X) [0;M).Deci

1

Mf(X) [0; 1) si cum f 2 M(X;A), rezulta 1

Mf 2 M(X;A). Atunci, pentru un " > 0, din etapa 1,

exista o functie -continua g1 : X ! [0; 1] astfel ^nca^t

x 2 Xj 1M

f(x) 6= g1(x)

< ".

Consideram functia g : X ! [0;M ], denita prin g = Mg1. Functia g este -continua si fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g =x 2 Xj 1

Mf(x) 6= g1(x)

, de unde obtinem (fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g) < ".

Deci, pentru orice " > 0, exista o functie -continua g : X ! [0;M ] asa ^nca^t (fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g) < ".

Etapa 3. Presupunem ca f(X) [0;1].Pentru orice n 2 N consideram multimea Bn = fx 2 Xj f(x) ng. Deoarece f este A-masurabila, rezultaBn 2 A. De asemenea avem Bn+1 Bn; 8n 2 N si limBn =

\n2N

Bn = fx 2 Xj f(x) =1g.Cum functia f este nita -a.p.t., rezulta

limn!1 (Bn) = (limBn) = (fx 2 Xj f(x) =1g) = 0:

De aici, pentru un " > 0, 9n 2 N astfel ^nca^t

(Bn) 0, exista o functie -continua g : X ! [0; n] astfel ^nca^t

(fx 2 Xj f2(x) 6= g(x)g) < "2: (94)

Daca f1(x) = 0 si f2(x) = g(x), deoarece f(x) = f1(x) + f2(x), rezulta f(x) = g(x). Prin urmare

fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g fx 2 Xj f1(x) 6= 0g [ fx 2 Xj f2(x) 6= g(x)g = Bn [ fx 2 Xj f2(x) 6= g(x)g :

58

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 9 APROXIMARI ALE FUNCTIILOR MASURABILE

De aici obtinem

(fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g) (Bn) + (fx 2 Xj f2(x) 6= g(x)g)(93);(94) 0, exista o functie -continua g : X ! [0;1) asa ^nca^t (fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g) < ".

Etapa 4. Presupunem ca f(X) R.Atunci exista f+; f : X ! [0;1], doua functii A-masurabile astfel ^nca^t f = f+ f.Fie un " > 0 arbitrar. Din etapa 3, pentru ", exista functiile -continue g+; g : X ! [0;1) astfel ^nca^t

x 2 Xj f+(x) 6= g+(x) < "

2si

x 2 Xj f(x) 6= g(x) < "

2: (95)

Consideram functia g : X ! R, denita prin g = g+ g. Cum g+ si g sunt -continue, rezulta ca g este -continua.Fie un x 2 X. Daca f+(x) = g+(x) si f(x) = g(x), atunci f(x) = g(x). Prin urmare

fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g x 2 Xj f+(x) 6= g+(x) [ x 2 Xj f(x) 6= g(x) ;de unde obtinem

(fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g) x 2 Xj f+(x) 6= g+(x)+ x 2 Xj f(x) 6= g(x) (95)< ":Deci, pentru orice " > 0, exista o functie -continua g : X ! R asa ^nca^t (fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g) < ".

Corolar 9.7 Fie (X;A) un spatiu masurabil si e o topologie pe X astfel ^nca^t A, iar (X; ) este unspatiu normal. Fie : A ! [0;1] o masura completa si -regulata. Daca f 2 F (X;A), atunci exista un sir defunctii -continue gn : X ! R, 8n 2 N, astfel ^nca^t gn ! f .Demonstratie. Din Teorema lui Borel, pentru ecare n 2 N, exista o functie -continua gn : X ! R astfel^nca^t

(fx 2 Xj f(x) 6= gn(x)g) < 1n:

Fie > 0. Cum fx 2 Xj jgn(x) f(x)j g fx 2 Xj jgn(x) f(x)j > 0g = fx 2 Xj f(x) 6= gn(x)g, obtinem

(fx 2 Xj jgn(x) f(x)j g) (fx 2 Xj f(x) 6= gn(x)g) < 1n; 8n 2 N;

de unde rezulta ca limn!1 (fx 2 Xj jgn(x) f(x)j g) = 0. Cum a fost luat arbitrar, gn

! f .

Teorema 9.8 (Teorema lui Frechet) Fie (X;A) un spatiu masurabil si e o topologie pe X astfel ^nca^t A, iar (X; ) este un spatiu normal. Fie : A ! [0;1] o masura completa si -regulata. Daca f 2 F (X;A),atunci exista un sir de functii -continue hk : X ! R, 8k 2 N, astfel ^nca^t hk a:p:t:! f .Demonstratie. Din Corolarul 9.7, exista un sir de functii -continue gn : X ! R, 8n 2 N, astfel ^nca^t gn ! f .Din Teorema 8.21(4), sirul (gn) este fundamental ^n masura si deci, conform Teoremei lui Riesz (teorema 8.26),exista un subsir (gnk) (gn) astfel ^nca^t (gnk) este convergent aproape uniform. Pentru orice k 2 N, notamhk = gnk . Cum sirul (hk) este convergent aproape uniform, exista o functie h : X ! R astfel ^nca^t hk a:u:! h.Din Teorema 8.22 rezulta hk

! h.Cum gn

! f si (hk) este subsir al sirului (gn), din Teorema 8.21(5) obtinem ca hk ! f . Atunci, din Teorema8.21(3) obtinem ca h = f -a.p.t..

Pe de alta parte, deoarece hka:u:! h, din Teorema 8.15 rezulta hk a:p:t:! h si cum h = f -a.p.t., obtinem

hka:p:t:! f .

I^n concluzie, exista un sir de functii -continue hk : X ! R, 8k 2 N, astfel ^nca^t hk a:p:t:! f .

Observatia 9.9 Din Teorema lui Frechet deducem ca, ^n conditiile date, orice functie masurabila si nita -a.p.t. poate aproximata -a.p.t. cu functii continue.Fie X = [a; b], ^nzestrat cu masura Lebesgue . Cum spatiul cu masura ([a; b];M[a;b]; ) ^ndeplineste conditiileteoremei lui Frechet relativ la topologia = (0)[a;b], rezulta ca orice functie masurabila Lebesgue si nita -a.p.t. este limita -a.p.t. a unui sir de functii continue pe [a; b]. Dar, din teorema lui Weierstrass, orice functiecontinua pe [a; b] este limita uniforma a unui sir de polinoame. Prin urmare, orice functie masurabila Lebesguesi nita -a.p.t. este limita -a.p.t. a unui sir de polinoame si deci poate aproximata -a.p.t. cu polinoame.

59

D.Rusu, Teoria masurii si integrala Lebesgue 10 INTEGRALA LEBESGUE

Exercitiul 9.10 Fie X = [a; b] si B = (B0)[a;b], urma lui B0 pe [a; b]. Sa se arate ca orice functie continuaf : [a; b]! R este limita ^n sensul convergentei uniforme a unui sir de functii B-etajate.

Teorema 9.11 (Teorema lui Luzin) Fie (X;A) un spatiu masurabil si o topologie pe X astfel ^nca^t A,iar (X; ) este un spatiu normal. Fie : A ! [0;1] o masura completa si -regulata si e o functie f : X ! R.Atunci f 2 F (X;A) daca si numai daca 8" > 0, 9F 2 F cu (XnF ) < ", f(F ) R si f jF este -continua.Demonstratie.

")":

Fie un " > 0. Din Teorema lui Borel deducem ca exista o functie -continua g : X ! R astfel ^nca^t (fx 2 Xj f(x) 6= g(x)g) < "

2.

Consideram multimea A = fx 2 Xj f(x) = g(x)g. Deci A 2 A si (cA) < "2. Cum masura este -regulata,

pentru ", exista F 2 F si D 2 asa ^nca^t

F A D si (DnF ) < "2:

Atunci obtinem (XnF ) = ((A [ cA) nF ) (AnF ) + (cAnF ) (DnF ) + (cA) < "2+"

2< ".

Deoarece F A, avem f jF = gjF si cum g(X) R, iar g este -continua, rezulta ca f(F ) R si f jF este -continua.

"(":Din ipoteza, pentru ecare n 2 N, exista Fn 2 F asa ^nca^t (cFn) < 1

n, f(Fn) R si f jFn este -continua.

Fie F =[n2N

Fn. Cum A, avem F A si deci F 2 A. Prin urmare cF 2 A si cF cFn;8n 2 N. Atunci

(cF ) (cFn) < 1n; 8n 2 N, de unde rezulta (cF ) = 0.

Daca x 2 F , atunci 9n 2 N cu x 2 Fn si cum f(Fn) R, rezulta f(x) 2 R. Deci fx 2 Xj jf(x)j = 1g cF .Deoarece (cF ) = 0 si este o masura completa, rezulta fx 2 Xj jf(x)j =1g 2 A si (fx 2 Xj jf(x)j =1g) =0, adica f este nita -a.p.t..Aratam ^n continuare ca f este A-masurabila. Fie D 2 0. Atunci avem

f1(D) = f1(D) \X = f1(D) \ (F [ cF ) = (f1(D) \ F ) [ (f1(D) \ cF ): (96)Fie n 2 N. Deoarece f jFn : Fn ! R este -continua, avem ca f j1Fn (D) 2 Fn . Dar Fn = fG \ Fnj G 2 g Asi atunci f1(D) \ Fn = f j1Fn (D) 2 A. Prin urmare f1(D) \ F =

[n2N

(f1(D) \ Fn) 2 A.

Cum f1(D) \ cF cF si (cF ) = 0, obtinem f1(D) \ cF 2 A.Atunci, din (96) urmeaza ca f1(D) 2 A.Cum f1 (f1g) cF si (cF ) = 0, rezulta de asemenea ca f1 (f1g) 2 A. Analog f1 (f1g) 2 A.I^n consecinta, din Teorema 7.10 obtinem ca f este A-masurabila.

Observatia 9.12 Teorema lui Luzin arma ca ^n conditiile date, o functie A-masurabila admite o restrictiecontinua pe o multime de masura

"orica^t de apropiata" de masura multimii de denitie. Deci structura functiilor

masurabile este stra^ns legata de cea a functiilor continue.

10 Integrala Lebesgue

Desi foarte utila, integrala Riemann are si o serie de lipsuri, ^ntruca^t exista functii relativ simple care nu pot integrate cu aceasta. Un exemplu este functia lui Dirichlet:

f : [0; 1]! f0; 1g; f(x) =

1; x 2 [0; 1] \Q0; x 2 [0; 1] nQ :

De asemenea, ^n general lungimea unei curbe recticabile nu se poate calcula cu ajutorul integralei Riemann,asa cum se ^nta^mpla ^n cazul curbelor netede. Reamintim ca lungimea unei curbe netede , cu parametrizareax = f(t); y = g(t); t 2 [a; b], este data de formula

l() =

bZa

p(f 0(t))2 + (g0(t))2dt:

60


Decientele integralei Riemann sunt datorate ^n primul ra^nd procedeului riemannian de sumare. I^n constructiasumelor Riemann, valorile functiei sunt grupate ^n mod fortat ^n raport cu o divizare impusa valorilor variabileisi deci depind de relatia de ordine. Este ca si cum am suma un numar mare de monezi de valori diferite lua^ndu-lela ra^nd. Daca aceste monezi ar ^nsa grupate dupa valoare, sumarea lor ar mult mai rapida ^ntruca^t s-arreduce la numararea monezilor din ecare categorie si la ca^teva ^nmultiri si adunari.

Analiza^nd procedeul de integrare al lui Riemann, Lebesgue si-a dat seama de carentele acestuia si a propus ^n1902 un nou procedeu de integrare, mult mai general. I^n esenta, procedeul lui Lebesgue se bazeaza pe grupareapunctelor multimii de denitie ^n submultimi de puncte ^n care functia ia valori apropiate. Prin urmare trebuiesa masuram cumva aceste multimi, adica este necesara o teorie prealabila a masurii. Putem arma ca cele douamari idei ale lui Lebesgue au fost: renuntarea la ordinea punctelor din multimea de denitie a functiei si utilizareaunei teorii a masurii ^n constructia sumele integrale.

Fie o functie marginita f : [a; b] ! R si = fx0; x1; :::; xng o divizare a intervalului [a; b]. Sumele Darboux,superioara si inferioara, se denesc prin:

S(f; ) =

nXk=1

supx2[xk1;xk]

f(x) (xk xk1)

S(f; ) =nX

k=1

infx2[xk1;xk]

f(x) (xk xk1) :

Spre exemplu, pentru functia f : [0; 10] ! R; f(x) = sin(x) + arctg(x) si divizarea = fx0 = 0; x1 = 2; x2 =4; x3 = 6; x4 = 8; x5 = 10g, sumele Darboux asociate pot reprezentate astfel

unde S(f; ) este suma ariilor dreptunghiurilor colorate ^n gri ^nchis, iar S(f; ) este suma ariilor tuturor drept-unghiurilor (gri ^nchis si gri deschis).Functia f : [a; b] ! R este integrabila Riemann pe [a; b] daca diferenta dintre cele doua sume poate facutaorica^t de mica pentru divizari sucient de ne.

Lebesgue a avut ideea de a inversa lucrurile, considera^nd o divizare = fy0; y1; :::; yng a multimii valorilorfunctiei f , deci pe axa Oy. I^n locul sumelor Riemann, el a considerat o suma de forma

(f;) =

nXk=1

yk (fx 2 [a; b]j yk1 f(x) < ykg| {z }not. Ek

);

unde (Ek) este masura Lebesgue a multimii Ek.

Pentru functia f(x) = sin(x) + arctg(x) si divizarea = fy0 = 0; y1 = 12; y2 = 1; y3 =

3

2; y4 = 2; y5 =

5

2g avem

61


Suma Lebesgue (f;) poate interpretata de asemenea ca o arie deoarece y1 (E1) este suma ariilor drept-unghiurilor galbene, y2 (E2) este suma ariilor dreptunghiurilor verzi, s.a.m.d.Functia f : [a; b]! R este integrabila Lebesgue pe [a; b] daca sumele (f;) au limita ca^nd kk ! 0.

Integrala Lebesgue a functiilor masurabile si nenegative

I^n cele ce urmeaza vom face urmatoarea conventie de calcul: 0 1 =1 0 = 0.

Fie (X;A; ) un spatiu cu masura completa si e f : X ! [0;1] o functie A-etajata. Atunci exista a1; a2; :::; an 2[0;1] astfel ^nca^t f(X) = fa1; a2; :::; ang si f1 (faig) 2 A;8i 2 1; n. Nota^nd Ai = f1 (faig) ; 8i 2 1; n, familiafAij i 2 1; ng este o partitie A-masurabila a lui X si f =

nXi=1

aiAi .

Denitia 10.1 1. Se numeste integrala Lebesgue a functiei f pe multimea X numarul

nXi=1

ai(Ai)not.=

ZX

fd:

2. Spunem ca functia f este integrabila Lebesgue pe X daca

ZX

fd


3.

ZX

(f + g) d =

ZX

fd+

ZX

gd.

4.

ZX

(cf) d = c

ZX

fd; 8c 2 [0;1].

5. Daca (Ek)k2N A cu Ek \ El = ? pentru k 6= l, atunciZSk

Ek

fd =

1Xk=0

ZEk

fd.

6. Daca f g, atunciZX

fd ZX

gd.

Demonstratie. Deoarece f 2 E(X;A), avem f =nXi=1

aiAi , unde a1; a2; :::; an 2 [0;1] si Ai 2 A; 8i 2 1; n asa

^nca^t Ai \Ai0 = ? pentru i 6= i0, iarn[i=1

Ai = X.

Deoarece g 2 E(X;A), avem g =mXj=1

bjBj , unde b1; b2; :::; bm 2 [0;1] si Bj 2 A;8j 2 1;m asa ^nca^t Bj\Bj0 = ?

pentru j 6= j0 , iarm[j=1

Bj = X.

1. Fie I = fi 2 1; nj ai 6= 0g si e A = fx 2 Xj f(x) 6= 0g =[i2I

Ai.

Daca

ZX

fd = 0, atunci

nXi=1

ai(Ai) = 0, de unde obtinem ai(Ai) = 0; 8i 2 1; n. Prin urmare (Ai) = 0;8i 2 I.Atunci (A) = 0 si deci f = 0 -a.p.t.Reciproc, daca f = 0 -a.p.t., atunci (A) = 0, de unde deducem ca (Ai) = 0;8i 2 I. AtunciZ

X

fd =nXi=1

ai(Ai) =Xi2I

ai(Ai) +Xi 62I

ai(Ai) =Xi2I

ai 0 +Xi62I

0 (Ai) = 0:

2. Deoarece (A) = 0, rezulta (Ai \A) = 0, 8i 2 1; n si atunciZA

fd =nXi=1

ai (Ai \A) = 0:

3. Pentru orice i 2 1; n, avem Ai = Ai \ X = Ai \m[j=1

Bj =m[j=1

(Ai \ Bj) si cum (Ai \ Bj) \ (Ai \ Bj0) = ?

pentru j 6= j0, obtinem Ai =mXj=1

Ai\Bj . Analog, pentru orice j 2 1;m, avem Bj =nXi=1

Ai\Bj .

Atunci obtinem

f + g =nXi=1

aiAi +mXj=1

bjBj =nXi=1

mXj=1

aiAi\Bj +mXj=1

nXi=1

bjAi\Bj =nXi=1

mXj=1

(ai + bj)Ai\Bj ;

Cum familia fAi \Bj j i 2 1; n; j 2 1;mg A formeaza o partitie a lui X, rezulta ca f + g este A-etajata si cumeste nenegativa, avem

ZX

(f + g) d =nXi=1

mXj=1

(ai + bj) (Ai \Bj) =nXi=1

ai

0@ mXj=1

(Ai \Bj)1A+ mX

j=1

bj

nXi=1

(Ai \Bj)!=

nXi=1

ai 0@Ai \ m[

j=1

Bj

1A+ mXj=1

bj Bj \

n[i=1

Ai

!=

nXi=1

ai (Ai) +

mXj=1

bj (Bj) =

ZX

fd+

ZX

gd.

4. Daca c = 0, tina^nd seama de conventia de calcul, obtinem cf = 0. AtunciZX

(cf)d =

ZX

0d = 0 (X) = 0 = cZX

fd:

Daca c 2 (0;1), atunci avem cf =nXi=1

caiAi si deci

63


ZX

(cf) d =nXi=1

cai(Ai) = cnXi=1

ai(Ai) = c

ZX

fd:

Presupunem acum ca c =1. Fie I = fi 2 1; nj ai 6= 0g si e A = fx 2 Xj f(x) 6= 0g =[i2I

Ai.

Daca f = 0 -a.p.t., atunci cf = 0 -a.p.t. si deci, din (1) obtinemZX

(cf)d = 0 =1 0 = cZX

fd:

Daca f nu este nula -a.p.t., atunci (A) > 0 si cum (A) =Xi2I

(Ai), exista i0 2 I asa ^nca^t (Ai0) > 0.Atunci avem Z

X

(cf)d =1 ai0 (Ai0) +Xi 6=i0

1 ai (Ai) =1+Xi 6=i0

1 ai (Ai) =1:

De asemenea, deoarece f nu este nula -a.p.t., din (1) obtinem ca

ZX

fd > 0 si atunci 1 ZX

fd =1. Prinurmare si ^n acest caz avem Z

X

(cf)d = c

ZX

fd:

5. Fie (Ek) A cu Ek \ El = ?, pentru k 6= l si e E =[k2N

Ek. Atunci avem

ZE

fd =

nXi=1

ai (Ai \ E) =nXi=1

ai

Ai \

[k2N

Ek

!=

nXi=1

ai

[k2N

(Ai \ Ek)!=

nXi=1

ai

1Xk=0

(Ai \ Ek) =1Xk=0

nXi=1

ai (Ai \ Ek) =1Xk=0

ZEk

fd.

6. Cum am vazut ^n demonstratia de la (3),

f =nXi=1

mXj=1

aiAi\Bj si g =nXi=1

mXj=1

bjAi\Bj ,

unde familia fAi \Bj j i 2 1; n; j 2 1;mg A formeaza o partitie a lui X.Fie i 2 1; n si j 2 1;m. Daca Ai \Bj = ?, atunci (Ai \Bj) = 0 si deci ai(Ai \Bj) = bj(Ai \Bj).Daca Ai \Bj 6= ?, atunci 9x 2 Ai \Bj si cum f g, avem ai = f(x) g(x) = bj . Prin urmare ai(Ai \Bj) bj(Ai \Bj). Atunci avem:

ZX

fd =

nXi=1

ai (Ai) =

nXi=1

mXj=1

ai (Ai \Bj) nXi=1

mXj=1

bj (Ai \Bj) =mXj=1

nXi=1

bj (Ai \Bj) =mXj=1

bj (Bj) =

ZX

gd:

Observatia 10.4 Fie f : X ! [0;1] o functie A-etajata si e functia de multime

: A ! [0;1]; (A) =ZA

fd;8A 2 A:

Din teorema anterioara, punctul (5), obtinem ca este numarabil aditiva. Cum (?) = 0


Denitia 10.6 Fie f : X ! [0;1] o functie A-masurabila.1. Se numeste integrala Lebesgue a functiei f pe multimea X numarul

sup

ZX

sdj s 2 E(X;A) si 0 s f

not.=

ZX

fd:

2. Spunem ca functia f este integrabila Lebesgue pe X daca

ZX

fd

masura lebesque

Documents