tema 7 (2012) pu studenti

7/31/2019 TEMA 7 (2012) pu studenti

1/23

TEMA 7. IMPACTUL FACTORULUI TIMP ASUPRA PROCESULUIINVESTIIONAL

7.1. Semnificaia factorului timp n procesul investiional. Proceselecompunerii i actualizrii

7.1.1. Valoarea viitoare a unui flux de numerar7.1.2. Valoarea prezent a unui flux de numerar7.1.3. Actualizarea fluxurilor de numerar cu valori variabile7.1.4. Perioade de compunere mai mici dect un an

7.2. Noiunea de anuitate. Valoarea viitoare i valoarea prezent a uneianuiti

7.2.1.Valoarea viitoare a unei anuiti ordinare7.2.2. Valoarea viitoare a unei anuiti speciale (cuvenite)

7.2.3. Valoarea prezent a unei anuiti ordinare7.2.4. Valoarea prezent a unei anuiti speciale (cuvenite)

1. Semnificaia factorului timp n procesul investiional. Procesele compunerii iactualizrii

Procesul investiional se desfoar ntr-o ndelungat perioad de timp.

Odat cu punerea n funciune a obiectivului de investiii, viaa economic aacestuia trece ntr-o nou faz dominant de furnizare ctre societate a rezultatelor

obinute n urma procesului investiional, concretizate n produse finite. Ca o

consecin imediat a vnzrii de produse finite, se obine profit.

n calculele de eficien economic se compar mrimea profitului, ce se

sconteaz a fi obinut dintr-o aciune productiv, cu fondurile de investiii

necesare. Trebuie s se in cont de faptul c fondurile de investiii se cheltuiescntr-o anumit perioad, iarprofitul se obine ntr-o alt perioad. De aici,

calculele de eficien economic nu trebuie s aib un caracterstatic, adic s nu se

fc abstracie de influena factorului timp asupra efectelor finale. Or, timpul

acioneaz ca unfactor distinct. Aciunea respectiv se cunoate sub denumirea de

influena factorului timp asupra investiiilor i a rezultatelor lor. Analiza, ce ine

cont de influena factorului timp asupra investiiilor, se consider analiza

dinamic.

1


2/23

Orice decizie investiional presupune sacrificiul unui consum prezent n

perspectiva unui consum viitor mai sporit.

Deciziile investiionale pot fi optime numai atunci, cnd investitorii au

posibilitatea s evalueze n perioada curent care sunt implicaiile viitoare ale

deciziilor luate.

Altfel spus, un investitor trebuie s dispun de posibilitatea de a cuantifica

o decizie din punct de vedere al efectelor ei peste un numr T de perioade de timp.

Deci, la evaluarea corect a veniturilor generate de o investiie este necesar

de a lua n consideraie c veniturile se obin n viitor. Aceste sume monetare

trebuiesc exprimate n termenii valorii prezente pentru a aprecia rentabilitatea

investiiei.

Conceptul de valoare prezent este crucial n teoriile financiare, inclusiv in

cea a finanelor firmei. Investitorii ncredineaz resursele loracum (n prezent) n

ateptarea obinerii unor profituri viitoare.

Se tie c banii au o valoare diferit n timp.

Un flux monetar viitor Fh este ntotdeauna considerat ca depreciat n raport

cu un flux prezent F0 de aceeai sum. Aceast depreciere n viitor ine de faptul

c o ncasare obinut mai trziu priveaz beneficiarul de posibilitile de utilizare

pe care i le-ar permite o ncasare imediat. n acelai context, inflaia erodeaz

puterea de cumprare a oricrei uniti monetare n decursul timpului dac este

pstrat sub form lichid (dac nu este investit).

Astfel, fluxurile de numerarefectuate la diferitedate pe scara timpului nu

sunt comparabile direct dect folosind un anumit procedeu ce poart numele detehnica actualizriiipresupune transferarea tuturor valorilor dispersate n timp

la un singur moment, care, de regul, este cel actual.

Aceasta este una din cele mai importante tehnici folosite n finane, de

aceea este absolut vital ca ea s fie neleas n ntregime.

n activitatea practic, indictorii care se actualizeaz profitul, costurile etc.

2


3/23

Una din componentele principale ale analizei valorii n timp a banilor este

axa temporal, care ne permite s vizualizm n timp ceea ce se petrece ntr-o

anumit situaie ce vizeaz investirea banilor.

Pentru a ilustra conceptul de ax temporal, se va analiza ca exemplu

urmtoarea diagram:

0 1 2 4 53T imp

Figura 1. Axa temporal

Timpul 0 este momentul actual; timpul 1 se afl poziionat la o perioada i

reprezint momentul final al perioadei 1 ncepnd fa de momentrul actual; timpul

2 se afl poziionat la dou perioade fa de momentul actual i reprezint

momentul final al perioadei 2 i aa mai departe.

Astfel, valorile nscrise n diagram reprezint valori de sfrit de perioad.

De multe ori aceste perioade reprezint ani, dar ele pot semnifica i alte intervale

de timp, spre exemplu semestre, trimestre, luni sau chiar zile.

Dac perioadele considerate sunt ani, atunci intervalul de la 0 la 1 reprezint

anul 1 i timpul 1 reprezint att sfritul anului 1, ct i nceputul anului 2.

Fluxurile de numerar se plaseaz, de regul, direct sub numerele care

reprezint timpul.

Fluxurile de numerar care reprezint o ieire de numerar (pli, cheltuieli)

(cash outflow) vor avea semnul minus i invers, intrrile de numerar (toate

ncasrile) (cash inflow) vor avea semnul plus.

S considerm urmtoarea situaie: are loc o ieire de numerar n valoare de

1000 u.m. n momentul prezent i doua intrri a cte 1000 u.m., respectiv la sfritul

perioadei 1 i la sfritul perioadei 2.

3


4/23

Timp 0 1 2

-1000 +1000 +1000Fluxuri de

numerar

Figura 2. Ieiri i intrri de numerar

Procesul compunerii (actualizrii princompunere) este un proces aritmetic

prin care se ajunge de la valorile prezente (present value) (VP sau PV) la valorile

viitoare (future value) (VV sau FV) a unei sume sau a unui flux de numerar.

Pentru ilustrarea compunerii, presupunem c o sum de 1 leu este investit

productiv ntr-un anumit domeniu la nceputul unui an. Dup trecerea primului

an, ca urmare a folosirii ei n procesul de producie, suma dat va aduce un profit

a.

n anul urmtor, fondul utilizat va fi 1+a, iar rezultatul (1+a)2 .a.m.d., astfel

nct dup h ani suma de 1 leu devine (1+a)h, adic:

- la nceputul anului unu avem suma de 1 leu;

- la sfritul anului unu se obine: 1+ a x 1 = (1+a) lei;

- la sfritul anului doi se obine: (1+a)+a(1+a)=(1+a)2;

- la sfritul anului trei se obine: (1+a)2+a(1+a)2=(1+a)3 lei i aa mai

departe, astfel, c dup h ani se obine suma de (1+a)hlei.

n consecin, innd seama de influena factorului timp, se va considera c,

o investiie de 1 leu va echivala peste h ani nu cu o sum de 1 leu, ci cu o sum de

(1+a)h lei.

Expresia (1+a)h poart denumirea defactor de fructificare sau factor de

compunere (FC).

Factorul de compunere (FC) se folosete la actualizarea prin compunere a

unor sume investite n trecut(aducerea n prezent a unor sume investite n trecut)

sau la transferarea n viitor a sumelor investite n prezent, mrindaceste sume,

deoarece acest factor ntotdeauna este mai mare ca unu.

Dar, problema se poate pune i invers, adic, dac 1 leu investit n prezent

devine peste h ani (1+a)h, atunci, care va fi valoarea actual a 1-i leu ce se vaobine n anul h? (sauct s investim acum, ca peste h ani s obinem 1 leu?).

4


5/23

Rspunsul l va oferi procedura de actualizarea prin discontare. Generic

aceast procedur se numete procedura de actualizare.n acest caz se va face apel

lafactorul de actualizare - FA.

Factorul de actualizare (factorul de discontare) este folosit la aducerea din

viitor n prezenta unei sume de 1 leu i exrim ct valoreaz zi 1 leu, luat la o dat

viitoare peste h ani.

Dar dac se investesc X lei?

Dac se noteaz cu Y suma total cumulat peste h ani a X lei investii n

prezent, atunci se va obine

Y = X x (1+a)h, de unde:

X = Y x 1/(1+a)h,

n care: X reprezint valoarea actual a Y lei obinui n anul h.

Astfel, FA (factorul de discontare)va fireprezentat de relaia1/(1+a)h.

Reieind din cele menionate, factorul de actualizare se folosete la

aducerea n prezenta unor sume ce se vor realiza (se vor cheltui sau se vor obine)

n viitor, micorndaceste sume, deoarece acest factor ntotdeauna este mai mic ca

unu.

Se mai impune nc o remarc deosebit de important i anume:

- n cazul aplicrii factorului de actualizare, h ia valorile 1,2,t;

- n cazul aplicrii factorului de compunere, h ia valorile 0,1,2,t-1, unde

t reprezint intervalul de timp cuprins ntre momentul la care se face actualizarea i

momentul n care se obine ultima sum ce se actualizeaz. Valoarea 0pentru h n

cazul aplicrii factorului de compunere se exprim tocmai prin faptul c suma ceurmeaz a fi actualizat a fost nregistrat la sfritul anului.

n ceea ce privete simbolul a, acesta reprezint eficiena anual a sumei

unitare cheltuite; el corespunde eficienei medii obinute la obiective similare, din

ramura sau subramura n care se investete suma respectiv.

n literatura de specialitate simbolul a este denumit coeficient de

actualizare (rata de actualizare). Semnificaia economic a coeficientului deactualizare este urmtoarea: el reprezint profitul ce poate fi obinut ntr-un an ca

5


6/23

urmare a sumei de 1 leu investite productiv la nceputul acelui an. Mrimea lui

decurge din proprietatea fundamental a oricrui proces economic: ca, n urma

desfurrii unei activiti productive, rezultatul s compenseze integral resursele

consumate i pe deasupra s se obin un profit pentru societate i pentru agentul

economic care a desfurat activitatea respectiv.

Specialitii estimeaz c, n condiii normale, mrimea acestui coeficient, pe

ansamblul unei economii naionale, cum ar fi, spre ex., economia Romaniei, poate

fi de 0,15 sau 15% (cu diferenieri de ar, ramur, subramur etc.). n cazurile n

care se apreciaz c n perioadele urmtoare va interveni o inflaie pe piaa intern

sau internaional, o sporire considerabil a dobnzilor la capital sau cnd

investiiile se efectueaz n condiii de risc accentuat, mrimea coeficientului de

actualizare trebuie s in cont de rata inflaiei, rata dobnzii, coeficientul de risc i

eficiena medie din domeniul de activitate, n care se realizeaz investiia. n

consecin, coeficientul de actualizare a va reprezenta funcia respectivelor

variabile i se va nota astfel:

a = f (ri; rd; rr; e;), n care

ri rata inflaiei;

rdrata dobnzii;

rr rata de risc investiional;

e - eficiena medie din domeniul de activitate, n care se realizeaz investiia.

n activitatea practic, indicatorii care se actualizeaz sunt: profitul,

costurile, producia etc.

7.1.1. Valoarea viitoare (VV) a unui flux de numerar

Generaliznd cele enunate anterior cu privire la valoarea viitoare a unei

sume sau a unui flux de numerar, pentru calcularea acesteia se va aplica formula:

VV = VP(1+a)h (1.1),

unde:

VV- valoarea viitoare a unei sume;

VP- valoarea prezent a unei sume;

6


7/23

(1+a)h - factorul de compunere (FC).

Valoarea viitoare a unei sume prezente indic valoarea pe care o va avea

aceast sum n viitor datorit creterii ei pe seama ratei de actualizare.

Utilizarea formulei de calcul a valorii viitoare a unui flux de numerar se

propune prin intermediul aplicaiei practice nr.1.

Aplicaia practic nr.1:Se presupune, c1000 u.m. sunt investite sub forma

depunerii banilor ntr-un cont bancar, la o rat a dobnzii de 8% anual. Care va fi

suma ce se va obine peste 5 ani, dac se va utiliza tehnica compunerii?

Rezolvare: Se va folosi n acest caz relaia (1.1). Conform acesteia:

VV VP a1 1= +( ); VV VV a VP a a VP a2 121 1 1 1= + = + + = +( ) ( )( ) ( ) .a.m.d.

Continund acelai raionament, se poate conchide c:

VV VP a551= +( ) .

Rezultatele determinrii VV5sunt prezentate n tabelul 1.

Tabelul 1

Calcularea VV, aplicnd dobnda compus

Perioad

(h)

Valoarea sumei la nceputul

perioadei (u.m.)

1+a Valoarea sumei la sfritul

perioadei (u.m.)1 2 3 4

1 1000 1,08

1080

2 1080 1,08

1166,4

3 1166,4 1,08

1259,71

4 1259,71 1,0

8

1360,49

5 1360,49 1,08

1469,33

Astfel: VV5510001 008 146933= + =( , ) ,

Acest exemplu poate fi ilustrat folosind axa temporal:

7


8/23

Factorul de compunere sau de fructificare poate fi calculat cu ajutorul

oricrui calculator simplu. ns pentru majoritatea valorilor posibile ale lui ai ale

lui h au fost elaborate tabele speciale cu factori de compunere i cu factori de

discontare, care dau valorile acestora pentru diferite rate de actualizare (prin

compunere sau discontare) i diferite perioade de timp, ceea ce uureaz mult

calculele.

Utilizarea tabelelor cu factori de compunere are loc astfel: s presupunem,

c, reieind din condiiile aplicaiei practice 1, analizate anterior, dorim s aflm

factorul de compunere pentru o rat a dobnzii de 8% pentru 5 ani, adica FC8%, 5.

Din tabelele speciale se gsete numrul corespunztor acestor date 1,469

(vezi tabelul 3).

Tabelul 3Tabel cu factori de compunereFCa,h = (1+a)h

(varianta prescurtat a tabelului)

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1.010 1.020 1.030 1.040 1.050 1.060 1.070 1.080 1.090 1.1002 1.020 1.040 1.061 1.082 1.102 1.124 1.145 1.166 1.188 1.2103 1.030 1.061 1.093 1.125 1.158 1.191 1.225 1.260 1.295 1.3314 1.041 1.082 1.126 1.170 1.216 1.262 1.311 1.360 1.412 1.4645 1.051 1.104 1.159 1.217 1.276 1.338 1.403 1.469 1.539 1.611

6 1.062 1.126 1.194 1.265 1.340 1.419 1.501 1.587 1.677 1.772

Deoarece ecuaia (1.1) se poate scrie, utiliznd factorul de compunere, dup

cum urmeaz:

VV VP FCa h= * , (1.1a),

iar VP, conform datelor din aplicaia practic nr.1 reprezint 1000 u.m.,

rezultatul se va obine printr-o simpl substituie i anume:

VV=1000 x FC8%, 5 = 1000 x 1,469 = 1469 u.m.

Valoarea

investi ieirafic (fig. c (fig. nr.ru

la sf.fiec rei

perioade

Timp

-1000

1080

0 1 2

VV1 VV2

1166,4

8%

8


9/23

Astfel, utilizndtabelele cu factori de compunere, valoarea viitoare a sumei

de 1000 u.m., investit pe 5 ani la o rat a dobnzii de 8% pe an, va fi de 1469 u.m.

De remarcat, c toate calculele de actualizare se bazeaz pe formula

dobnzii compuse.

Acelai caz, soluionat cu ajutorul dobnzii simple (VV= VP(1+h xa)), va

prezenta un alt rezultat.

Aplicnd datele din enunul corespunztor Aplicaiei 1, se va dovedi (vezi

rezultatele n tabelul 2) diferena dintre rezultate obinute prin aplicarea celor dou

tipuri de dobnd.

Tabelul 2

Rezultatele multiplicrii cu ajutorul dobnzii simple i celei compuse

Anul Suma acumulat cu ajutoruldobnzii simple:VV= VP(1+hxa)

Suma acumulat cu ajutorul dobnziicompuse:VV = VP(1+a)h

1 1000 + (1000 x 0,08) = 1080 1000 + (1000 x 0,08) = 10802 1000 + (1000 x 0,08) = 1080 1080 + (1080 x 0,08) = 1166,43 1000 + (1000 x 0,08) = 1080 1166,4 + (1166,4 x 0,08) = 1259,714 1000 + (1000 x 0,08) = 1080 1259,71 + (1259,71 x 0,08) =1360,495 1000 + (1000 x 0,08) = 1080 1360,49+ (1360,49 x 0,08) =1469,33Sumafinal

1000(1+5x8%)=1000 + (1000x5x0,08) = 1000+400 = 1400

1469,33

Din datele prezentate n tabel se observ, c n cazul multiplicrii cu ajutorul

dobnzii simplebaza, fa de care se efectueaz multiplicrile, rmne neschimbat

(1000 u.m.), pe cnd n cazul multiplicrii cu ajutorul dobnzii compuse baza, fa

de care se efectueaz multiplicrile este n cretere. Pe lng aceasta, rezultatele

obinute (1400 u.m. i 1469,33 u.m.) confirm ipoteza, c pentru investitor

multiplicarea cu ajutorul dobnzii simple nu este profitabil.

Raionamentul, care se degaj este c, n cazul multiplicrii cu ajutorul

dobnzii simple, veniturile generate trebuie s fie:

- reinvestite;

9


10/23

- utilizate pentru finanarea activitii curente etc.

7.1.2. Valoarea prezent (VP) a unui flux de numerar

Determinarea valorii prezente a unui flux de numerar viitor este, pur i

simplu, inversul operaiei de compunere.

Dup cum a fost menionat, valoarea prezent - VP (present value) este

valoarea de astzia unei pli (ncasri) sau a unor serii de pli (ncasri) viitoare,

actualizate cu o rat de actualizare corespunztoare. Altfel spus, valoarea prezent

a unui flux de numerar, generat dup h ani n viitor, este reprezentat de suma care,

dac ar fi disponibil n momentul prezent va crete cu o rat de actualizare

corespunztoare, astfel nct s ating valoarea respectiv n viitor.

Pentru a determina ecuaia de actualizare, se va porni de la ecuaiile:

(1.1) i (1.1a) , adic : VV VP a VP FCh a h= + =( ) * ,1

Ultima ecuaie poate fi rezolvat ca necunoscut pentru VP, i poate fi

scris n urmtoarele forme echivalente:

VPVV

aVV

aVV FAh h a h= +

=+

=( )

*( )

* ;1

1

1(1.2)

Amintim, c factorul 1/(1+a)h = FAa,h este factorul de actualizare sau de

discontare.

n calculele de eficien economic a investiiilor cea mai obinuit utilizare

a acestui factor este de a afla valoarea prezent a costurilor sau a profitului viitor,

dar aria sa de aplicare este mul mai extins.

Utilizarea formulei de calcul a valorii prezente a unui flux de numerar, se

propune prin intermediul aplicaiilor practice nr.3 i 4.

Aplicaia practic nr.3: S se determine valoarea prezent a unui flux de

numerar n valoare de 1000 u.m., generat n urmtorii 5 ani, dac rata deactualizare este de 5% anual.

10


11/23

$53.783)05.01(

1*$1000

5=

+

=VP

Utiliznd axa temporal, cele de mai sus pot fi reprezentate astfel:

0 1 2 3 4 5

VP786,53$

VV1000$

5%Timp

Dup cum a fost menionat, i pentru factorul de actualizare (FA) exist

tabele speciale (tabele cu factori de actualizare (discontare) FA a,h= 1/(1+a)h). Astfel,

din aceste tabele se poate extrage valoarea FA pentru a = 5% i h = 5, care este de

0,783526 (vezi tabelul 4).

Tabelul 4

Tabel cu factori de actualizare (discontare) FA a,h= 1/(1+a)h


1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0.990 .980 .971 .962 .952 .943 .935 .926 .917 .909

2 .980 .961 .943 .925 .907 .890 .873 .857 .842 .825

3 .971 .942 .915 .889 .864 .840 .816 .794 .772 .751

4 .961 .924 .888 .855 .823 .792 .763 .735 .708 .683

5 .951 .906 .863 .822 .783526 .747 .713 .681 .650 .621

Aplicnd raionamentele cunoscute, conform crora haFAVVVP ,*= , aplicaia

practic 3 se va rezolva, prin substituie de date, rezultnd urmtoarea ecuaie:

$53.783783526.0*$1000 ==VP

Astfel, utiliznd tabelele cu factori de discontare, valoarea prezent a unuiflux de numerar n valoare de 1000 u.m., generat n urmtorii 5 ani la o rata de

actualizare de 5% anual este de 783,53 $.

Aplicaia practic nr.4:

Un utilaj va mai funciona nc 8 ani de aici nainte. Dac valoare sa n acel

moment este considerat a fi costul de nlocuire a acestuia, care se ridic la 180

11


12/23

milioane lei, se pune ntrebarea stabilirii valorii prezente a utilajului, discontat la

10%?

Rezolvare: Dac durata de funcionare (D) este de 8 ani, iar rata de

discontare este de 10%, atunci valoarea prezent se va stabili prin urmtoarea

relaie:

VP= VV x 1/ (1+a)D = 180 x 1/ (1+0,1)8 = 180 x 0,466 = 83,88 milioane lei.

Comentariu: Cele 180 milioane lei, care reprezint valoarea de nlocuire, a

utilajului valoreaz astzi 83,88 milioane lei.

Remarc: Acest calcul este mai puin folosit, deoarece nu au fost luate n

consideraie i efectele economice (producia i profitul) ce se obin pe parcursul

celor 8 ani de funcionare a utilajului.

Un compartiment aparte al teoriei i practicii financiare este consacrat

actualizrii fluxurilor de numerarcu valori variabile.

Pentru a calcula VV sau VP a unei serii de cash flow-uri cu valori variabile,

este necesar:

s se efectueze actualizarea valorii fiecrui cash flow anual n parte

i apoi

s se cumuleze valorile actualizate.

Derularea actualizrii prin compunere a unei serii de cash flow-uri cu valori

variabile este exemplificat n aplicaiile practice nr. 5 i 6.

Aplicaia practic nr.5:

Se estimeaz c un proiect investiional va genera fluxuri de numerar n

urmtorii 3 ani, dup cum urmeaz:

n anul 1 1 000 mii u.m.;

n anul 2 3 000 mii u.m.;

n anul 3 4 000 mii u.m.

S se determine valoarea viitoare a fluxului de numerar total generat de

proiectul investiional, dac rata anual de actualizare constituie 10%.

12


13/23

Rezolvare: Valoarea viitoare a fluxului de numerar total, la sfritul anului 3,

se va calcula n modul urmtor: FV = 1 000 000 (1+0,10)2 + 3 000 000 (1+0,10)1

+ 4 000000 = 8 510 000 u.m.

Rspuns: Valoarea viitoare a fluxului de numerar total la sfritul anului 3

constituie 9 361 000 u.m.

Derularea actualizrii prin discontare a unei serii de cash flow-uri cu vlori

variabile este exemplificat n aplicaia practic nr. 6.

Aplicaia practic nr.6. Se presupune, c cash flow-ul anual de la

exploatarea investiiei va constitui n urmtorii 3 ani, dup cum urmeaz:

n anul 1 15 000 u.m.;

n anul 2 13 000 u.m.;

n anul 3 9 000 u.m.

S se determine valoarea prezent a fluxului de numerar total generat de

proiectul investiional, dac rata anual de actualizare constituie 10%.

Rezolvare: Valoarea prezent a fluxului de numerar total se va calcula n

modul urmtor: PV= [15000/ (1+0,1)] + [13000/ (1+0,1)2] + [9000/ (1+0,1)3] u.m.

Rspuns: Valoarea prezent a fluxului de numerar total constituie 31142u.m.

7.1.3. Perioade de compunere diferite de (mai mici dect) un an

n exemplele prezentate mai sus, s-a pornit de la ipoteza unei rate anuale a

dobnzii. ns formulele prezentate mai sus pot fi aplicate, prin modificare, i n

cazul n care dobnda se compune la intervale mai mici dect un an de zile

(semestru, trimestru, lun).

Dac compunerea are loc la perioade mai mici dect un an, atunci formulele

(1.1) i (1.2) vor avea urmtoarea form:

VV VPa

m

nom h m= +

( )1

(1.3)i respectiv:

13


14/23

VP VV a

mnom h m

=+

1

1( )(1.4)

unde : a - rata anual a dobnzii (rata nominal)

m - numrul de perioade din an cnd se compune dobnda

h - numrul de ani.

n acest context, apare necesitatea prezentrii termenilor de rat nominal a

dobnzii (nominal sau quoted interest rate) i rat efectiv anual a dobnzii

(effective annual rate).

Rata nominal a dobnzii este rata contractat sau rata stabilit pentru

calcularea dobnzii. Astfel, rata anual, la care multe mprumuturi i instrumente

financiare (aciuni, obligaiuni etc.) fac referire, este rata nominal a dobnzii.Se consider, c rata efectiv este acea rat, utilizarea creia odat n an

permite obinerea aceluiai rezultat ca i prin utilizarea ratei nominale de m ori pe

an.

Rata anual efectiv este rata care se realizeaz la finele perioadei de

compunere i care ajusteaz rata nominal n funcie de frecvena folosit pentru

compunere. Rata efectiv anual poate fi determinat, cunoscnd rata nominal i

numrul de perioade de compunere pe an, prin urmtoarea formul:

aa

mef

nom m= + ( )1 1 (1.5)

unde: aef. - rata anual efectiv a dobnzii

anom- rata anual nominal a dobnzii

m- numrul de perioade de compunere pe an .

Utilizarea formulei de calcul pentru compuneri, care au loc n perioade mai

mici dect un an, se propune prin intermediul aplicaiei practice nr.7.

14


15/23

Aplicaia practic nr.7: Suma de 1000 u.m. se depune la o banc pentru 3 ani

cu rata dobnzii de 6% pe an cu compunere semestrial (semianual). Care va fi

valoarea disponibil n cont la sfritul celui de-al treilea an ?

Rezolvare:Determinarea rezultatelor compunerii semestriale (sau orice alt tip

de compunere care nu se face anual, ci pe perioade diferite de un an (mai mici ca

anul) se poate efectua prin dou metode i anume:

I metod: exprimarea tuturor datelor disponibile pornind de la perioadele de

compunere.

Compunerea semianual presupune c dobnda se pltete la fiecare 6 luni.

Aa dar, dac se face o compunere semianual, exist h x m = 3 x 2 = 6 perioade

(fiecare perioad a cte 6 luni), astfel la fiecare 6 luni obinem un ctig din

dobnd de:a

m= =

6

23%.

n exemplul analizat vom utiliza 6 perioade (h=6) i nu 3 perioade, precum

i o rat a dobnzii a=3%, care reprezint rata dobnzii pe perioada respectiv

(semestru) i nu a=6%, care reprezint rata dobnzii pe an.

Astfel, conform formulei (1.3), se va obine obine:

VV = + = + = =1000 1006

21000$(1 003 1000$ 1194052 119405$3 2 6$(

.) . ) . .

Acest rezultat poate fi prezentat, utiliznd axa temporal :

0 1 2 3 4 52

-1000$

6

1194.05$

3%Timp Semestre

1 3 Ani

II metod: presupune determinarea ratei anuale efective a dobnzii i apoi

utilizarea acesteia ca rat anual corespunztoare numrului de ani.

a) Dat fiind formula ratei anuale efective:aa

mef

nom m= + ( )1 1, se va obine

prin substituie aef = + = = =(.

) . ( . ) . . . .1006

210 103 10 10609 10 609%2 2 ;

15


16/23

b) Dat fiind formula de calcul a valorii viitoare a unei sume (1.1),

( )VV VP a h= +1 , se va obine prin substituie

VV = 1000 u.m. X (1+ 0,0609)3 = 1194,05 u.m.

Trebuie de menionat c, n toate tipurile de contracte, dobnda estentotdeauna specificat ca rat anual a dobnzii, iar dac procedeul de

compunere are loc mai frecvent dect odat la un an, acest fapt este specificat

mpreun cu rata.

Dac nu exista condiia compunerii semestriale, valoarea viitoare se va

calcula ca: VV= 1000 u.m. X FC6%,3= 1000 u.m. X 1,191=1191 u.m.

Este important de remarcat, c VV este mai mare n cazul compunerii

semestriale dect n cazul compunerii anuale deoarece se ctig mai frecvent

dobnd din dobnd.

Pentru exemplul precedent, n care rata nominal a dobnzii este de 6%, iar

compunerea se efectueaz semestrial, se poate uor stabili, c rata efectiv anual a

dobnzii = + = =(.

) . *( . ) . . . .1006

210 103 10 10609 10 609%2 2 este > dect rata nominal

(6%), de aici i rezultatul: 1194,05 u.m. > 1191 u.m.

Concluzie general: Valoarea viitoare a sumei capitalizate peste anumite

perioade de timp, mai mici ca anul, este cu att mai mare, cu ct perioadele de

compunere pe parcursul unui an sunt mai numeroase i viceversa.

7.2. Noiunea de anuitate. Valoarea viitoare i valoarea prezent a unei anuiti

Anuitatea reprezint o form special a fluxului de numerar (de venit sau

cheltuieli), n care plile au loc n mod regulat i egal n decursul unei perioade de

timp. Ea poate avea loc fie la nceputul, fie la sfritul perioadei.

Anuitatea, care are loc lafinele perioadeise numete anuitate obinuit sau

ordinar (ordinary annuity) i este cel mai frecvent ntlnit.

Anuitatea, care are loc la nceput de perioad poart numele de anuitate

cuvenit sau special (annuity due).

16


17/23

Deoarece anuitile ordinare sunt cel mai des utilizate n finane, termenul de

anuitate se folosete pentru a desemna efectuarea plilor la sfrit de perioad,

dac nu se specific n mod expres contrariul.

7.2.1. Valoarea viitoare a unei anuiti ordinare

n cazul unei anuiti anuale obinuite valoarea viitoare a acestei anuiti se

calculeaz dup cum urmeaz :

=

+=+=+++++=1

0

021 1)1()1(*)1(....)1()1(h

t

hthh

a

aCaCaCaCaCVVA (1.6)

sau: haFCACVVA ,*= (1.6a)

unde: C factor de anuitate (valoarea cash flow-ului anual constant);

FCA a,h - este factorul de compunere pentru o anuitate (n literatura de

specialitate acest factor mai poart denumirea de factor de compunere multipl) i

este egal cu aa h 1)1( +

.

Utilizarea formulei de calcul pentru valoarea viitoare a unei anuiti simple,

se propune prin urmtoarea aplicaie practic nr.8.

Aplicaia practic nr.8: Se presupune, c o anuitate de 1000 u.m. va fi

primit la sfritul fiecrui an pe o perioad de 4 ani ce urmeaz. Fiecare din

sumele primite va fi depus imediat n contul bancar i va aduce o dobnd de 6%

anual. S se determine, care va fi suma disponibil la sfritul perioadei de 4 ani?

Aa dar, trebuie gsit valoarea viitoare a unei anuitiordinare peste 4 ani.

Fiecare plat este supus procedeului de compunere pn la sfritul anului 4, iar

suma plilor, astfel constituite, va forma valoarea viitoare a anuitii.

Valoarea viitoare a anuitii se deduce cu ajutorul formulei (1.6) sau (1.6a).

VVA = + + + + + + =

=+

= =

10001 006 10001 006 10001 006 1000

10001 006 1

0061000 437462 437462$

3 2 1

4

( . .) ( . ) ( . )

( . )

.* . .

Valoarea factorului de compunere pentru anuitate )1)1(( , aaFCAh

ha += de

asemenea poate fi extras din tabele speciale.

17


18/23

Tabel cu factori de compunere multipl )1)1(

( ,a

aFCA

h

ha

+=


1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 3.000 1.000 1.000

2 2.010 2.020 2.030 2.040 2.050 2.060 2.070 2.080 2.090 2.1003 3.030 3.060 3.091 3.122 3.152 3.184 3.215 3.246 3.278 3.310

4 4.060 4.122 4.184 4.246 4.310 4.375 4.440 4.506 4.573 4.641

5 5.101 5.204 5.309 5.416 5.526 5.637 5.751 5.867 5.985 6.105

Pentru a ilustra mai clar exemplul, vom folosi axa temporal:

0 1 2 3 4

1123.6

1000

Valoarea viitoare a anuitatii =4374.62

1191.02

6%Timp

1060

100010001000

7.2.2.Valoarea viitoare a unei anuiti cuvenite (speciale)

n aplicaiapractic nr.9 se vor prelua datele enunului din aplicaia practicnr.8, cu condiia c anuitile de 1000 u.m. vor fi primite i reinvestite imediat la

fiecare nceput de an pe aceeai perioad de 4 ani la o rat a dobnzii de 6%,

adic vom avea de a face cu o anuitate cuvenit.

Vom determina valoarea viitoare a anuiti speciale, modificnd formulele

(1.6) i (1.6a) dup cum urmeaz:

VVA anuit spec C FCA aa h( . .) * *( ),= +

1 (1.7)Astfel, pentru exemplul analizat vom obine:

..1.463706.137462.4..1000.).( mumuspecanuitVVA ==

Pentru ilustrare se va folosi aceeai ax temporal, numai c fiecare plat se

va deplasa sprestnga.

18


19/23

0 1 2 3 4

1123.6

1000

Valoarea viitoare a anuitatii cuvenite = 4637.1

1191.02

6%Timp

1060

100010001000

1262.48

Deoarece, n cazul anuitii speciale, plile se efectueaz mai de vreme,

dobnda care se acumuleaz este mai mare; 4637,1 u.m. n loc de 4374,62 u.m.

pentru o anuitate ordinar.

7.2.3.Valoarea prezent a unei anuiti ordinare

Se presupune, c o sum C este primit la finele fiecreia din urmtoarele h

perioade de timp. Se admite, n acelai timp, c rata dobnzii pentru fiecare

perioad este constant i este egal cu a.

n acest caz, valoarea prezent a unei sume, ce se va obine la sfritul

primei perioade, va fi de Ca

1

1

1

+

, valoare prezent a urmtoarei sume va fi de

Ca

1

1

2

+

.a.m.d.

Astfel, valoarea prezent a unei anuiti pentru h perioade va fi urmtoare:

+

=

+

++

++

=

++

++

++

+=

=

h

tt

h

h

aCVPA

aaaCVPA

a

C

a

C

a

C

a

CVPA

1

2

32

)1(

1

)1(1

......)1(

11

1

)1(........

)1()1(1

(1.8)

De asemenea, se poate demonstra, c expresiile de mai sus sunt similare cu:

19


20/23

+

+=

+

=h

h

h aa

aC

aaaCVPA

)1(1)1(

)1(11

sau

VPA = C x [(1+a)h- 1/a(1+a)h] = C x

a

a)(1-1

h+

1

(1.8a)

Expresia (1+a)h- 1/a(1+a)h saua

a)(1-1

h+

1

poart denumirea de factor de

discontare multipl.

Regsit n tabelul cu valori de factori, valoarea acestei expresii servete la

determinarea sumei totale actualizate a unei valori constante pe un numr de h aniviitori la o rat de actualizare a.

Dac se va lua n consideraie faptul, c parantezele de mai sus reprezint

factorul de actualizare pentru anuitate, atunci formulele (1.8) i (1.8a) pot fi scrise:

VPA C FAAa h= * , (1.8b)

unde:

C anuitatea;

FAAa,h - factorul de actualizare a anuitii pentru o rat a dobnzii a i pentru h

perioade (n literatura de specialitate acest factor mai poart denumirea de factor

de discontare multipl).

Valorile FAA se pot extrage, de asemenea, din tabele speciale.

Utilizarea formulei de calcul a valorii prezente a anuitii ordinare se

propune prin intermediul aplicaiei practice nr.10.Aplicaia practic nr.10:Se presupune, c se ofer urmtoarele posibiliti:

1. S se ncaseze o sum chiar n momentul prezent sau

2. S se ncaseze o anuitate pe o perioad de 4 ani cu efectuarea de pli a cte

1000 u.m. la sfritul fiecrui an.

Se presupune, c nu va fi nevoie de suma respectiv de bani n decursul

urmtorilor 4 ani, astfel nct dac se va accepta varianta anuitii, se vor depune

sumele ntr-un cont bancar, care va aduce o dobnd de 6% anual. Care ar trebui

20


21/23

s fie valoarea sumei pltite n prezent pentru ca aceasta s fie echivalent cu

anuitatea oferit?

Soluiile numerice din partea stng a axei temporale sunt obinute n urma

determinrii valorii prezente a fiecreia dintre pli i n final prin nsumarea

acestor valori.

Folosind formula (1.8b), se obine acelai rezultat:

..1.34654651,3*1000 muVPA ==

Pentru verificare, se propune examinarea tabelelor speciale.

Tabel cu factori de discontare multipl: FAA a,h=(1+a)h- 1/a(1+a)h =

r

r)(1-1

n+

1


1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 .990 .980 .971 .962 .952 .943 .935 .926 .917 .909

2 1.970 1.942 1.913 1.886 1.859 1.833 1.808 1.783 - 1.759 1.736

3 2.941 2.884 1829 2.775 2.723 2.673 2.624 2.577 2.531 2.487

4 3.902 3.808 3.717 3.630 3.546 3.465 3.387 3312 3.240 3.170

5 4.853 4.713 4.580 4.452 4.329 4.212 4.100 3.993 3.890 3.791

Se va folosi i n acest caz o ax temporal:

0 1 2 3 4

889.99

1000

Valoarea prezenta aanuitatii

839.62

6%Timp

943.40

10001000 1000

792.093465.1

7.2.4. Valoarea prezent a unei anuiti speciale (cuvenite)

n aplicaia practic nr.11 vom relua enunul aplicaiei precedente nr.10, cu

condiia c plile se efectueaz la nceputulfiecrui an, adic anuitatea respectiveste o anuitate special.

21


22/23

n acest caz, fiecare plat trebuie actualizat pe o perioad mai mic cu un

an, comparativ cu ex. Precedent (dac n ex. precedent h = 0, 1, 2, 3, atunci n

exemplul dat h = 1, 2, 3, 4); iar dac s se prezente situaia analizat pe o ax

temporal, se va observa, c fiecare plat este plasat la stngacu o perioad.

Anuitatea special are o valoare prezent mai mare dect anuitatea obinuit,

deoarece fiecare plat se face cu o perioad mai devreme.

Axa temporal ce urmeaz, prezint procedura de actualizare a fiecrui flux

de numerar din exemplul analizat i arat VPA, care este suma acestor fluxuri de

numerar actualizate.

0 1 2 3 4

889.99

1000

Valoarea prezenta aanuitatii speciale

839.62

6%Timp

943.40

100010001000

3673.01

Acest surplus de valoare se poate calcula prin nmulirea valorii prezente a

unei anuiti obinuite cu factorul (1+a):

VP A anuit spec C FAA aa h( . .) * *( ).= +1

Astfel, n exemplul analizat, se va obine:

..01.3673)06.01(*465106.3*..1000.).( mumuspecanuitVPA =+=

Deoarece plile sunt efectuate mai repede, o anuitate special este mai

valoroas dect una ordinar.

22


23/23

Bibliografie

1. Caraganciu A., Domenti O., Ciobu S., Bazele activitii investiionale,Editura A.S.E.M., Chiinu, 2004, pag.102-119.

2. Vasilescu I., Romnu I., Cicea C., Investiii, ed. Economica, 2000,pag.183-218.

3. Stoian M., Gestiunea investiiilor, ed. ASE Bucureti, 2003.4. .., , . .. ,

-, 2002.5. .. , , .

, , 1998.6. Hncu R., Suhovici A., Luchian I.

, Ed. ASEM. Chiinu, 2008, pag.138-161.

tema 7 (2012) pu studenti

Documents