fiabilitate pu rezis capacit

44
  CAPITOLUL 7 FIABILITATE 7.1. Indicatori de fiabilitate Fiabilitatea reprezintă, calitativ vorbind, proprietatea unui produs de a- şi conserva performanţele în limite stabilite, într-un anumit interval de timp şi în condiţii determinate. Cantitativ, fiabilitatea este descrisă de un ansamblu de indicatori, cu ajutorul cărora se poate prevedea comportarea produsului în condiţii specificate, respectiv se poate anticipa momentul defect ării sale.  Defectarea este înţeleasă ca o depăşire a limitelor prescrise de către cel  puţin una din caracteristicile produsului. Limitele prescrise, constituind criterii de defectare, difer ă de la un exemplar la altul în funcţie de misiunea atribuită şi de sistemul în care urmează să fie integrat. În particular, fiabilitatea metrologică reprezintă probabilitatea ca mijloacele de măsurare să furnizeze informaţia de măsurare cu erori mai mici decât erorile tolerate. Previziunile date de teoria fiabilităţii nu pot fi deterministe deoarece  procesele de degradare sunt influenţate de o multitudine de factori incomplet cunoscuţi. De aceea, modelul matematic al fiabilităţii se întemeiază pe teoria  probabilităţilor şi statistica matematică. Pentru construirea acestui model matematic, respectiv pentru definirea indicatorilor de fiabilitate, se consider ă timpul de funcţionare al unui produs, de la punerea sa în func ţiune până la defectare, ca variabilă aleatoare continuă. Aceasta înseamnă că dintr-o colectivitate mare de produse principial identice, funcţionând simultan în aceleaşi condiţii, nu vor exista două exemplare care să se defecteze la acelaşi moment de timp. Astfel, o producţie poate fi uniformă din punctul de vedere al  performanţelor realizate, fiind variabilă în privinţa capacităţii de conservare a acestora. Fie T  durata de funcţionare până la defectare a unui produs şi F (t ) funcţia de repartiţie a acestei variabile aleatoare continue. Func ţiile şi caracteristicile numerice asociate unei variabile aleatoare continue au o interpretare particular ă în domeniul teoriei fiabilit ăţii, putând fi considerate deci ca indicatori de fiabilitate. Astfel, funcţia de repartiţie F (t ), adică probabilitatea ca variabila aleatoare T  să ia valori mai mici decât t , reprezintă probabilitatea de defectare a  produsului în intervalul (0, t ) : ) ( ) ( t T P t F  = . (7.1)

Upload: lilianbelous

Post on 22-Jul-2015

350 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

CAPITOLUL 7 FIABILITATE 7.1. Indicatori de fiabilitate Fiabilitatea reprezint, calitativ vorbind, proprietatea unui produs de a-i conserva performanele n limite stabilite, ntr-un anumit interval de timp i n condiii determinate. Cantitativ, fiabilitatea este descris de un ansamblu de indicatori, cu ajutorul crora se poate prevedea comportarea produsului n condiii specificate, respectiv se poate anticipa momentul defectrii sale. Defectarea este neleas ca o depire a limitelor prescrise de ctre cel puin una din caracteristicile produsului. Limitele prescrise, constituind criterii de defectare, difer de la un exemplar la altul n funcie de misiunea atribuit i de sistemul n care urmeaz s fie integrat. n particular, fiabilitatea metrologic reprezint probabilitatea ca mijloacele de msurare s furnizeze informaia de msurare cu erori mai mici dect erorile tolerate. Previziunile date de teoria fiabilitii nu pot fi deterministe deoarece procesele de degradare sunt influenate de o multitudine de factori incomplet cunoscui. De aceea, modelul matematic al fiabilitii se ntemeiaz pe teoria probabilitilor i statistica matematic. Pentru construirea acestui model matematic, respectiv pentru definirea indicatorilor de fiabilitate, se consider timpul de funcionare al unui produs, de la punerea sa n funciune pn la defectare, ca variabil aleatoare continu. Aceasta nseamn c dintr-o colectivitate mare de produse principial identice, funcionnd simultan n aceleai condiii, nu vor exista dou exemplare care s se defecteze la acelai moment de timp. Astfel, o producie poate fi uniform din punctul de vedere al performanelor realizate, fiind variabil n privina capacitii de conservare a acestora. Fie T durata de funcionare pn la defectare a unui produs i F(t) funcia de repartiie a acestei variabile aleatoare continue. Funciile i caracteristicile numerice asociate unei variabile aleatoare continue au o interpretare particular n domeniul teoriei fiabilitii, putnd fi considerate deci ca indicatori de fiabilitate. Astfel, funcia de repartiie F(t), adic probabilitatea ca variabila aleatoare T s ia valori mai mici dect t, reprezint probabilitatea de defectare a produsului n intervalul (0, t) :

F (t ) = P(T t ) .

(7.1)

7-2 Funcia de repartiie (7.1) caracterizeaz produsul n orice interval de timp avnd drept origine momentul punerii n funciune (t=0). ntr-un interval de timp oarecare (t, t+x) probabilitatea de defectare este

P(t T t + x) = F (t + x) F (t ) .

(7.2)

Probabilitatea (7.2) este o probabilitate total de defectare. n analiza fiabilitii ns intereseaz probabilitatea de defectare F(t, t+x) ntr-un interval de timp (t, t+x) a unui produs despre care se tie c este bun la momentul iniial t al intervalului. Conform definiiei probabilitilor condiionate se poate scrie:

F (t , t + x) =

P (t T t + x) F (t + x) F (t ) = . P(T t ) 1 F (t )

(7.3)

Se observ c pentru t=0, (7.3) se reduce la (7.1). n teoria fiabilitii se prefer caracterizarea comportrii produselor n intervale finite de timp prin probabilitatea de bun funcionare n interval, n locul probabilitii de defectare. De aceea, se definete funcia de fiabilitate R(t) ca probabilitatea de bun funcionare a produsului ntr-un anumit interval de timp, condiionat de buna sa funcionare la momentul iniial al intervalului. Considernd complementarele expresiilor (7.1) i (7.3) se poate scrie funcia de fiabilitate R(t) a unui sistem n intervalul (0, t), respectiv R(t, t+x) n intervalul (t, t+x):

R(t ) = P(T t ) = 1 F (t )R(t , t + x) = 1 F (t , t + x) = R(t + x) . R (t )

(7.4) (7.5)

Funciile definite pn acum descriu fiabilitatea sistemului n diferite intervale de timp. Variaia lor tipic este prezentat n fig. 7.1.R(t),F(t) 1 R(t) F(t)

0,5

Fig. 7.1. Exemplu de funcii de fiabilitate i de repartiie. t 0

7-3 Comportarea produsului n jurul unui moment dat este descris cu ajutorul densitii de probabilitate a timpului de funcionare pn la defectare, definit conform relaieif (t ) = lim F (t + t ) F (t ) dF (t ) = . t dt t 0 (7.6)

Densitatea de probabilitate caracterizeaz legea de repartiie a timpului de funcionare pn la defectare, avnd semnificaia unei probabiliti totale de defectare n jurul momentului t, indiferent de comportarea anterioar a produsului. Pentru a descrie pericolul de defectare instantanee a unui produs aflat n stare bun, se definete un alt indicator care descrie comportarea local a produsului, anume rata de defectare. Rata de defectare z(t) este probabilitatea de defectare n jurul unui moment dat, condiionat de buna funcionare a produsului pn n acel moment. Ea se obine raportnd expresia (7.3) a probabilitii de defectare la mrimea intervalului i trecnd la limit cnd aceasta tinde ctre zero:z (t ) = lim F (t + t ) F (t ) f (t ) . = R(t )t R (t ) t 0

(7.7)

Din relaiile (7.6) i (7.7) rezultz (t ) = 1 dR(t ) . R(t ) dt (7.8)

Integrnd ecuaia diferenial (7.8) cu condiia iniial R(0)=1, se obine:

R(t ) = exp[ z (u )du ]0

t

(7.9)

i introducnd n (7.5) R(t , t + x) = exp[t+x t

z (u )du ]

(7.10)

Media timpului de funcionare este, conform definiiei valorii medii a unei variabile aleatoare

7-4 m = tf (t )dt0

(7.11)

care, integrat prin pri conduce la m = R(t )dt .0

(7.12)

Pentru valoarea medie m a timpului de funcionare se utilizeaz dou notaii consacrate n fiabilitate, i anume: MTBF (Mean Time Between Failures) n cazul produselor reparabile i MTTF (Mean Time To Failure) n cazul produselor nereparabile.

n practic, uneori nu se face distincie ntre cele dou situaii, folosindu-se aceeai notaie (MTBF). O generalizare a expresiei (7.12) se poate obine considernd funcia de fiabilitate ntr-un interval oarecare (t, t+x):1 m(t ) = R (t , t + x)dx = R(u )du. R (t ) t 0

(7.13)

Expresia (7.13) reprezint media timpului de funcionare rmas pn la defectare ncepnd de la un moment arbitrar t. Evident, pentru t=0, (7.13) se reduce la (7.12). Cele dou valori medii sunt interpretate n fig. 7.2.R(t) 1 m m(t)-R(t)

0

t

t

Fig. 7.2. Explicativ pentru mediile m i m(t). Indicatorii de fiabilitate definii pn acum sunt legai ntre ei prin relaii uor de dedus, care sunt prezentate n tabelul 7.1.

7-5

Tabelul 7.1. Relaii ntre indicatorii de fiabilitate

Indicator F(t) F(t)--

Exprimat n funcie de indicatorul f(t) R(t)

z(t)1 exp[ z (u )du ]0 t

f (u )du0

t

1-R(t)

f(t)

dF (t ) dt

--

dR (t ) dt--

z (t ) exp[ z (u )du ]0

t

R(t)

1-F(t)

f (u )dut

exp[ z (u )du ]0

t

z(t)

1 dF (t ) 1 F (t ) dt

f (t ) t

f (u )du0

1 dR(t ) R(t ) dt0

--

m

[1 F (t )]dt0

tf (t )dt

R(t )dt

0

exp[ z (u )du ]dt0

t

7-6 n afara indicatorilor enumerai, fiabilitatea unui produs poate fi descris prin caracteristici numerice ca: abaterea medie ptratic, dispersia i cuantila timpului de funcionare. Dispersia D i abaterea medie ptratic indic gradul de uniformitate al unei colectiviti de produse din punctul de vedere al fiabilitii. Dac procesul tehnologic este bine controlat, D i vor fi mici. Un alt indicator de fiabilitate este cuantila t de ordinul a timpului de funcionare, definit ca rdcin a ecuaiei F(t)=. (7.14)

Din aceast relaie rezult posibila interpretare a cuantilei ca timp de garanie, adic timp n care proporia de elemente defectate dintr-o anumit colectivitate nu depete o valoare prestabilit .7.2. Legi de repartiie asociate timpului de funcionare

Descrierea complet a fiabilitii unui produs necesit cunoaterea legii de repartiie a timpului de funcionare, respectiv a indicatorilor de fiabilitate ca funcii de timp. Exist dou direcii de abordare a problemei stabilirii legii de repartiie a timpului de funcionare pn la defectare pentru un anumit produs. Prima se bazeaz pe cunoaterea mecanismelor fizico-chimice ale defectrii, n scopul deducerii pe cale teoretic a legii de repartiie. A doua direcie const n alegerea, pe baza concordanei cu rezultatele experimentale, a celei mai adecvate legi de repartiie dintre cele studiate n statistica matematic: normal, log-normal, exponenial, Weibull etc. n practic se constat o combinare a celor dou direcii, raionamentele de ordin fizic fiind coroborate cu rezultatele experimentale obinute n ncercrile de fiabilitate sau n exploatarea produselor. Pe baza experienei anterioare se adopt iniial un grup de legi de repartiie din care se elimin cele ce nu concord cu rezultatele experimentale. Alegerea final ntre legile de repartiie rmase se face din considerente de ordin fizic, legate n primul rnd de caracterul uzurii produsului. n ce privete uzura, se spune c un produs este cu uzur pozitiv dac rata sa de defectare este cresctoare n timp, cu uzur negativ dac rata de defectare este descresctoare i fr uzur, dac rata de defectare este constant. Practica arat c, n general, orice produs trece prin trei faze de evoluie, caracterizate printr-o uzur negativ, nul i respectiv pozitiv (fig. 7.3).

7-7z(t) A I II III

B

C

0

t1

t2

t

Fig.7.3. Forma tipic de variaie a ratei de defectare. Prima faz, a defectrilor timpurii, corespunde rodajului, prin care se mbuntesc caracteristicile de fiabilitate ale produsului, rata de defectare a acestuia micorndu-se. n a doua faz, numit perioada util de funcionare, nu se manifest fenomene de uzur, rata de defectare rmnnd constant. n ultima faz, de mbtrnire, rata de defectare crete accentuat datorit fenomenelor de mbtrnire. Duratele celor trei faze difer mult de la un produs la altul. Produsele electronice sunt caracterizate de o durat extins a perioadei utile de funcionare i de o pondere nsemnat a perioadei defectrilor timpurii. Perioada uzurii nule poate fi modelat cu ajutorul legii de repartiie exponeniale, aceasta fiind singura lege cu o rat de defectare constant. Perioadele de rodaj i de mbtrnire pot fi modelate cu ajutorul celorlalte legi, alegnd convenabil valorile parametrilor lor.7.2.1. Repartiia exponenial

n cazul repartiiei exponeniale densitatea de probabilitate f(t), probabilitatea de defectare F(t) i funcia de fiabilitate R(t) au expresiile: f (t ) = e t (7.15)

F (t ) = 1 e t R (t ) = e t innd cont de relaia (7.7), rata de defectare z(t) devinef (t ) e t z (t ) = = = = constant. R(t ) e t

(7.16) (7.17)

(7.18)

Media m (sau MTBF) i abaterea medie ptratic au valori egale

7-8

MTBF = =Observaii

1 .

(7.19)

1). Dup scurgerea unui interval de timp egal cu MTBF, valoarea funciei de fiabilitate este R( MTBF ) = e 1 = e 1 0,37 ,

(7.20)

ceea ce nseamn c exist doar 37% anse ca produsul s funcioneze un timp mai lung dect MTBF. 2). Dispersia valorilor timpilor de bun funcionare este extrem de mare (ca o consecin a faptului c z(t)=constant), neputndu-se practic vorbi de o grupare a timpilor de funcionare n jurul valorii medii MTBF. 3). Distribuia exponenial se caracterizeaz printr-o rat constant de defectare, adic dac un sistem a funcionat pn la momentul t, probabilitatea ca el s funcioneze n momentul urmtor este aceeai ca i cum sistemul tocmai atunci ar fi fost pus n funciune. Aceast presupunere neglijeaz defectele datorate dereglrii i uzurii. Pentru un produs oarecare este normal ca n timp, din cauza uzurii, rata de defectare s creasc. O rat de defectare constant pune n eviden faptul c, pentru un produs care se afl n funcionare la un moment dat, nu are nici o importan vrsta lui, adic timpul ct a funcionat anterior. Cu alte cuvinte, probabilitatea ca un produs s se afle n stare de funcionare la momentul t+t atunci cnd el se afl n funcionare la momentul t va fi dat de expresia p = exp(t ) . (7.21)

Acelai lucru rezult mai clar din urmtorul exemplu: dac la t=0 se pune n funciune un lot de N0 produse, la momentul t vor mai fi n funciune N(t)=N0exp(-t) produse, iar la momentul t+t vor fi N(t+t)=N0exp[-(t+t)]= N(t)exp(-t), adic pentru un produs care se afl n stare de funcionare la momentul t, probabilitatea de funcionare la t+t va fiN (t + t ) N (t )e t p= = = e t . N (t ) N (t ) (7.22)

7-9 Acest lucru este foarte important deoarece simplific calculul fiabilitii sistemelor reparabile. Astfel, un sistem n care a fost nlocuit un bloc defect cu unul nou, va avea o funcie de fiabilitate R(t)=exp(-t), unde originea timpului coincide cu momentul repunerii n stare de funcionare, dei blocurile care nu au fost nlocuite pot avea o vrst apreciabil. Distribuia exponenial se folosete n cazul mecanismelor de defectare complexe, cnd defectrile elementelor componente se produc cu rate diferite, astfel nct rata global de defectare este constant. Dac elementele componente au o repartiie exponenial a timpului de funcionare, atunci echipamentul care conine aceste elemente va avea de asemenea o repartiie exponenial, iar rata de defectare rezultant va fi suma ratelor de defectare ale componentelor, cu condiia ca defectele componentelor s fie independente.7.2.2. Repartiia Weibull

Repartiia Weibull este caracterizat de densitatea de probabilitate

f (t ) = t 1e t ,

(7.23)

unde este un parametru de scar iar un parametru de form (fig. 7.4).f(t)

1

>1

0

t

Fig. 7.4. Densitatea de probabilitate a repartiiei Weibull. Funcia de repartiie i funcia de fiabilitate sunt date de relaiile:F (t ) = 1 e t ,

(7.24) (7.25)

R(t ) = e t . Rata de defectare, calculat pe baza relaiei (7.7), este

7-10 z (t ) = t 1 . Media, calculat conform relaiei (7.12), este1 1 m = ( + 1) ,

(7.26)

(7.27)

unde (z) este funcia Euler de spea I ( z ) = t z 1e t dt .0

(7.28)

Dispersia are expresia2 2 1 = [(1 + ) 2 (1 + )] . 2

(7.29)

Alura curbei z(t) depinde de valoarea parametrului de form (fig. 7.5).z(t) >2 1