stabilit ate

Sisteme cu circuite integrate analogiceSisteme cu circuite integrate analogiceStabilitatea amplificatoarelor cu reacție

Gabor CsipkesDepartamentul de Bazele Electronicii

Din conținut...

modelul general al unui amplificator cu reacție – inversor, neinversor

tipuri de reacție – câștig, impedanța de intrare, impedanța de ieșire

câștigul buclei, criterii de stabilitate, transmitanța diportului de reacție

diagramele Bode și Nyquist

indicatori de stabilitate – marginea de fază, marginea de modul

răspunsul la treaptă al unui sistem cu reacție

Sisteme cu circuite integrate analogice – Stabilitatea amplificatoarelor cu reacție 2

frecvența de oscilație

compensarea în frecvență a amplificatoarelor operaționale

Modelul amplificatorului neinversor cu reacție

xin – semnalul de intrarexout – semnalul de ieșirexr – semnalul dat de diportul de reacție rxɛ – semnalul de eroarea – amplificarea căii directe de semnala – amplificarea căii directe de semnalr – transmitanța diportului de reacție

Sistemul de ecuații care descrie funcționarea:

outx a x x a a câștigul buclei

Observație: semnalele x pot fi tensiuni sau curenți !


r out

in r

x r xx x x

1 1out

in

x a aAx a r T

câștigul buclei

A – amplificarea în buclă închisă Dacă a>> atunci: 1Ar

Modelul amplificatorului inversor cu reacție

Parametrii au aceeași semnificație ca și la neinversor.

Sistemul de ecuații care descrie funcționarea:

*

out

r out

in r

x a xx r xx x x

1 1

out

in

x a b a bAx a r T


*

in r

in in

x x xx b x

1 1inx a r T

Dacă a>> atunci: bAr

Amplificarea –b modelează inversiunea specifică amplificatorului.

Tipuri de reacție – teorema lui Thevenin

Teoremă: Orice circuit poate fi înlocuit cu o sursă de tensiune vech în serie cu o rezistență echivalentă rech

Cum se calculează vech? Se înlocuiește RL cu o întrerupere → iL=0 Tensiunea de mers în gol este vech

Cum se calculează rech?



Se înlocuiește RL cu o întrerupere → iL=0 Se pasivizează toate sursele din circuit Rezistența echivalentă a rețelei va fi rech

Teorema lui Thevenin se aplică atunci când rezistența de sarcină se conectează în paralel cu ieșirea circuitului (ieșire în tensiune) !

Tipuri de reacție – teorema lui Norton

Teoremă: Orice circuit poate fi înlocuit cu o sursă de curent iech în paralel cu o rezistență echivalentă rech.

Cum se calculează iech? Se înlocuiește RL cu scurt circuit → vL=0 Curentul de mers în scurt circuit este iech




Se înlocuiește RL cu scurt circuit → vL=0 Se pasivizează toate sursele din circuit Rezistența echivalentă a rețelei va fi rech

Teorema lui Norton se aplică atunci când rezistența de sarcină se conectează în serie cu ieșirea circuitului (ieșire în curent) !

Tipuri de reacție

Observație: într-un circuit cu reacție sunt necesare două operații: măsurarea (eșantionarea) semnalului de ieșire xout însumarea semnalului de reacție xr cu semnalul de intrare xin

Observație: tensiunea se măsoară în paralel și se însumează în serie curentul se măsoară în serie și se însumează în paralel

Semnal de intrare(se însumează)

Semnal de ieșire(se măsoară) Tip amplificator Tip reacție


tensiune – vin tensiune – vout de tensiune serie-paraleltensiune – vin curent – iout transconductanță serie-serie

curent – iin tensiune – vout transimpedanță paralel-paralelcurent – iin curent – iout de curent paralel-serie

Reacția serie-paralel

1out

in

v aAv a r

Amplificator de tensiune: xin = vin, xout = vout

1inv a r

*

:

inin

in

vZi

v i Z r vZ

*

:

outout

out

vZi

v v r vZ

* 1in inZ Z a r *

1out

out

ZZa r


Zin (ieșire în tensiune → măsurare paralel → Thevenin → iout=0): Zout (intrare în tensiune → însumare serie → Norton → vin=0):

:

0

in in in outin

out out out

out

v i Z r vZv a v i Zi

:

0

in outout

out out out

in

v v r vZv a v i Zv

Reacția serie-serie

1out

in

i aAv a r

Amplificator transconductanță: xin = vin, xout = iout

*

:

inin

in

in out

vZi

v v r iZ

*

:

outout

out

in out

vZi

v v r vZ

* 1in inZ Z a r * 1out outZ Z a r


Zin (ieșire în curent → măsurare în serie → Norton → vout=0): Zout (intrare în tensiune → însumare serie → Norton → vin=0):

:

0

in outin

outout

out

out

v v r iZ

vi a vZ

v

:

0

in outout

outout

out

in

Zvi a vZ

v

Reacția paralel-paralel

1out

in

v aAi a r

Amplificator transrezistență: xin = iin, xout = vout

*

:

inin

in

vZi

v i r vZ

*

:

outout

out

vZi

i i r vZ

*

1in

in

ZZa r

*

1out

out

ZZa r


Zin (ieșire în tensiune → măsurare în parelel → Thevenin → iout=0): Zout (intrare în curent → însumare paralel → Thevenin → iin=0):

:

0

in outin

out out out

out

v i r vZv a i i Zi

:

0

in outout

out out out

in

i i r vZi a i i Zi

Reacția paralel-serie

1out

in

i aAi a r

Amplificator de curent: xin = iin, xout = iout

*

:

inin

in

in out

vZi

v i r iZ

*

:

outout

out

in out

vZi

i i r iZ

*

1in

in

ZZa r

* 1out outZ Z a r


Zin (ieșire în curent → măsurare în serie → Norton → vout=0): Zout (intrare în curent → însumare paralel → Thevenin → iin=0):

:

0

in outin

outout

out

out

v i r iZ

vi a iZ

v

:

0

in outout

outout

out

in

Zvi a iZ

i

Răspunsul buclei la fluctuații aleatoare

Răspunsul buclei de reacție negativă la o fluctuație în circuit:

j tin Av V et j t a j

out Av a V ejt

* j t a rj jin Av a r V ej jt

| |T j T j

După k cicluri de parcurgere a buclei: k

out Av T Vjt

Dacă defazajul buclei este 180T j


Semnalul este reîmprospătat la fiecare parcurgere a buclei → reacțiadevine pozitivă → fluctuația inițială este amplificată la inifinit

Pentru o fluctuație inițială cauzată de zgomotul aleator → amplificare și limitare a benzii → rezultă oscilații sinusoidale

Criterii de stabilitate

stabilitatea unui amplificator cu reacție depinde de câștigul buclei T(jω) instabilitatea cauzează răspuns oscilant la orice variație într-unul din nodurile circuitului, chiar și în lipsa semnalului de intrare variațiile pot fi dorite (ex. semnal treaptă) sau nedorite (ex. zgomot)variațiile pot fi dorite (ex. semnal treaptă) sau nedorite (ex. zgomot) oscilații sinusoidale întreținute → zgomot amplificat, limitat în bandă pentru a crea semnal periodic sinusoidal este necesar ca A → ∞

daca 1A T

Condițiile de stabilitate la limită:

1T j


Condițiile de stabilitate la limită: 180T j

Cum verificăm stabilitatea unui amplificator cu reacție pornind de la funcția de transfer a amplificatorului de pe calea directă ?

Câștigul buclei la amplificatoarele cu AO

primul pas: determinarea T(jω) dacă se cunoaște a(jω)

T a rj j j ? 1

1 2

out

test

v Rrv R R

Neinversor

1 2testv R R

Transmitanța diportului de

Inversor

Neinversor


diportului de reacție nu depinde de

configurație !

Câștigul buclei la amplificatoarele cu AO

pasul 2: pentru un caz tipic de a(jω) și r rezistivă se obține

0 1

1 1

z

jaa j

j j

0 1

1z

ja RT j

1 2

1

1 2

1 1p p

j j

RrR R

0 1

1 2

1 2

1 1

z

p p

T jR R j j

pasul 3: pentru a verifica criteriile de stabilitate → |T(jω)|, T(jω)

2

0 1

1za RT j

|T(jω)| si T(jω) se adapteazăîn funcție de a(jω) și r !


0 1

2 21 2

1 21 1

p p

T jR R

1 2

arctan arctan arctanp p z

T aj j

Parametrul comun între modul și fază este frecvența !

Verificarea stabilității

analitică → utilă dacă a(jω) este suficient de simplă varianta 1:

1. se consideră |T(jω)|=1;1. se consideră |T(jω)|=1;2. rezolvând ecuația se calcuează f0dB la care câștigul buclei este unitar;3. se verifică defazajul T(jω) la f0dB. Dacă T(jω)|f0dB ≤ -180º, atunci

amplificatorul este instabil varianta 2:

1. se consideră T(jω)= -180º;2. rezolvând ecuația se calcuează f-180 la care defazajul buclei este -180º3. se verifică modulul |T(jω)| la f-180. Dacă |T(jω)|f-180 ≥ 1, atunci amplificatorul

este instabil grafică → utilă dacă diagramele Bode pot fi ridicate relativ ușor


grafică → utilă dacă diagramele Bode pot fi ridicate relativ ușor prin simulare → analiza numerică a amplificatorului și a diportului de reacție

1. model comportamental2. circuit real cu tranzistoare

Diagrame Bode, diagrama Nyquist

f0dB120lgr

11T aj jr

r

ω crește de la 0 la ∞ în


f-180

sens trigonometric

Stabil? Cum evaluăm stabilitatea? → indicatori de stabilitate: margine de modul (mG) și margine de fază (mφ) 180T j

Indicatori de stabilitate

f0dB f-180

120lgr mr

mφ

mG


180 odBm T j 180

120lgGmT j

Răspunsul la treaptă al unui amplificator

( ) ( )1( ) [ ( )]

in

in

x t u t

X s u ts

L

1 1 ( )( ) [ ( ) ( )] A sx t X s A s L L

Observații: timpul de stabilizare și supracreșterea se accentuează cu scăderea marginii de fază ! viteza de variație a semnalului de ieșire 1 1 ( )( ) [ ( ) ( )]out in

A sx t X s A ss

L L

supracreștere (overshoot)

viteza de variație a semnalului de ieșire (Slew Rate) scade cu creșterea marginii de fază


timp de stabilizare

(settling time)

Răspunsul optim se obține pentru o mφde aproximativ 65º.

Determinarea frecvenței de oscilație

oscilație întreținută = transfer de energie fără pierderi între elementele reactive ale unui sistem (funcția de circuit este pur rezistivă) → rezonanță analogie cu circuitele RLC

1 Re{ } Im{ }vZ R j L Z j Z Re{ } Im{ }Z R j L Z j Zi j C

2 1Im{ } 0ZLC

01

LC

frecvența de oscilație este cea pentru care partea imaginară a funcției de circuitse anulează frecvența de oscilație nu depinde de un eventual semnal de intrare


Im{ ( )} 0 ( )T j T j k

( ) 180T j 180oscf f

Compensarea în frecvență a AO

compensare în frecvență = modificarea configurației de poli și zerouri pentru a obține stabilitate necondiționată și un răspuns dinamic satisfăcător stabilitate necondiționată = amplificator stabil în configurația de repetor (T0=A0=1)

Observații:Observații: circuitele de ordinul I sunt inerent stabile (nu există f-180) circuitele de ordinul II pot fi aproape de limita stabilității cu o margine de fază mică

odBf

Ordinul I Ordinul II


90m m

Compensarea cu pol dominant

pol dominant = polul cu frecvența cea mai mică, de regulă mult mai mică decât a celorlalte singularități compensare = accentuarea polului dominant (translatarea la frecvențe mai joase) dezavantaj = Cc poate fi foarte mare pentru o compensare eficientă → altfel?

1mG 2mG

odBf

*0dBf

1mG 2mG

0

1 2

( )1 1

p p

aa ss s


*m m m

0dBf

0 1 2 1 2

111

22

12

12

m m out out

pp cout

pout L

a G G R R

fC CR

fR C

polul dominant

Efectul Miller

efectul Miller apare dacă există o cale capacitivă directă între intrarea și ieșirea unui amplificator inversor modifică impedanțele de intrare și de ieșire ale amplificatorului

1 21

2 1

1i sC v v

i sC a vv a v

1 1

2 2 2 1

i sC vi sC v sC a v


1

2

11

C C a a CaC C C

a

C se reflectă la intrarea amplificatorului multiplicată cu un factor aproximativ egal cu a → mărirea virtuală a unei capacități

C se reflectă la ieșirea amplificatorului cu aproximativ aceeași valoare și semnul schimbat

Compensarea de tip Miller

îndepărtarea polilor p1 și p2 (eng. pole splitting)

+ zero pozitiv

(zp)

*m m

odBf*

0dBf0

1 2

1( )

1 1

zp

p p

saa s

s s

0 1 2 1 2m m out outa G G R R

(zp)


m 0 1 2 1 2

11 2 2

22

2

12

2

2

m m out out

pout m out c

mp

L

mzp

C

a G G R R

fR G R C

GfC

GfC

polul dominant

Problemă: zero pozitiv cauzează întârziere de fază adițională → compensarea devine dificilă la bandă largăCum am putea elimina zero pozitiv?

Compensarea de tip Miller cu etaj tampon

se întrerupe calea de curent prin Cc dinspre vout cu ajutorul unui repetor

*m m

0

1 2

( )1 1

p p

aa ss s

zpeliminat


m 0 1 2 1 2

11 2 2

22

12

2

m m out out

pout m out c

mp

L

a G G R R

fR G R C

GfC

polul dominant

Cum am putea lărgi banda în timp ce păstrăm stabilitatea si marginea de fază?

Compensarea de tip pol-zero

pereche pol-zero: Cc în serie cu Rz

zero eliminat complet21

mz

GR

21

mGR

zero pozitiv, nedorit

Cazuri:

0 1 2 1 2

11 2 2

22

12

2

m m out out

pout m out c

mp

a G G R R

fR G R C

GfC

polul dominant

zR

21

mz

GR

zero negativ, ajută defazajul să se îndepărteze de -180° → crește mφ

ajută defazajul să se îndepărteze de -180° → crește mφ

2z pf f

2z pf f zeroul compensează polul p2, sistemul devine cu aproximație de ordinul I

amplificator supracompensatf f


31

2

21

2112

L

pz p

z

c zm

C

fR C

fC R

G

amplificator supracompensat2z pf f

Observații: polul p3 este situat la frecvențe foarte mari → efect redus asupra stabilității diagramele Bode se desenează pentru fiecare caz în parte

perechea pol-zero

Compensarea feed forward

utilă dacă în lanțul de amplificare există un etaj mult mai lent decât celelalte etaje → o cale capacitivă directă poate scurtcircuita acest etaj la frecvențe mari → zero negativ (zn)

0 1 2 1 2

1m m out outa G G R R

polul

Observații: zeroul poate fi folosit pentru a compensa efectul polului de înaltă frecvență


111

22

1

12

12

2

pF pout

pout L

mz

F

fC CR

fR C

GfC

polul dominant

efectul polului de înaltă frecvență diagramele Bode se desenează pentru fiecare caz în parte compensarea nu modifică poziția polului dominant → SR nu este afectat marginea de fază trebuie reglată asigurând o reacție negativă globală a amplificatorului

Bibliografie adițională

http://www.electronics.dit.ie/staff/ypanarin/Lecture%20Notes/K235-1/4%20Feedback%20amplifiers.pdf

http://iweb.tntech.edu/snatarajan/ECE331/Classnotes/Chap10_adobe.pdf

P.E. Allen, D.R. Holberg, CMOS Analog Circuit Design, Oxford University Press, 2nd

edition, 2002

A.S. Sedra, K.C. Smith, Microelectronic Circuits, Oxford University Press, 5th edition, 2004

D. Csipkes, G. Csipkes, Elemente constructive utilizate în proiectarea circuitelor analogice complexe, Casa Cărții de Știință, 2004

Willy M.C Sansen, Analog Design Essentials, Springer Verlag, 2006


Willy M.C Sansen, Analog Design Essentials, Springer Verlag, 2006

stabilit ate

Documents