9.3. Formule şi scheme clasice de probabilitate

9.3.1. Formule pentru calcularea unor probabilităţi

1)

Fie n numărul cazurilor egal posibile ale experienţei în raport cu care A şi B sunt evenimente, m

numărul cazurilor favorabile lui A şi s numărul cazurilor favorabile lui B. Să presupunem că din cele m

cazuri favorabile lui A, t sunt favorabile lui .

Numărul cazurilor favorabile lui este m + s – t (şi nu m + s) deoarece în acest caz , t cazuri ar fi

numărate de 2 ori şi la A şi la B).

Rezultă:

şi deci relaţia

se poate scrie

2) Relaţia precedentă se extinde în cazul a trei evenimente astfel

Într-adevăr, conform relaţiei precedente avem

Extinsă pentru n evenimente, relaţia se scrie

Demonstrarea acestei relaţii se face prin inducţie.

Aplicaţie. O urnă conţine 3 bile albe şi 7 bile negre, iar alta conţine 7 bile albe şi 3 negre. Din fiecare

urnă se extrage câte o bilă.Care este probabilitatea să obţinem cel putin o bilă albă ?

Solutie. Fie A evenimentul extragerii unei bile albe din prima urnă şi B evenimentul extragerii unei bile

albe din a doua urnă. Avem de calculat probabilitatea evenimentului

Deoarece A şi B sunt independente

şi deci

9.3.2. Scheme clasice de probabilitate

Schema lui POISSON

Se dau n urne U1, U2, …, Un care conţin bile albe si negre in proporţii date. Cunoaştem deci

probabilitătile pi (i = 1, 2,…, n) cu care este extrasa o bilă albă din urnă Ui . Se cere probabilitatea de a

extrage k bile albe si n-k bile negre, atunci când din fiecare urnă se extrage cate o bilă. Să notăm cu qi =

1 – pi (i = 1, 2, …, n) probabilitatea de a extrage o bilă neagră din urna Ui.

Fie Ai (i = 1, 2, …,n) evenimentul de a extrage o bilă albă din urna Ui si

evenimentul contrar al lui Ai .

Evident, evenimentele si sunt independente in totalitatea lor.

Pentru a extrage k bile albe si n- k negre, trebuie să se realizeze k evenimente si n-k

evenimente .

Evenimentul

se realizează cu probabilitatea

,

unde litera p apare de k ori cu diferiţi indici , iar q de n-k ori cu indici care nu apar la p de k ori cu diferiţi

indici, iar q de n-k ori cu indici care nu apar la p.

Se observă uşor că după aceeaşi regulă se calculează coeficientul lui xk in polinomul

Schema lui Poisson ajută la rezolvarea problemelor in care se cere probabilitatea realizării de k ori a unui

eveniment intr-o experienţă ce consta in efectuarea a n experiente independente, atunci când cunoaştem

probabilitatea realizării evenimentului in fiecare din cele n experienţe.

Aplicaţie. Intr-un atelier sunt 3 maşini. Prima dă 0,9% rebuturi, a doua 1% si a treia 1,3% . Se ia la

întâmplare cate o piesa de la fiecare maşină si se cere probabilitatea ca 2 din piesele luate să fie bune si

una sa fie rebut.

Suntem in cadrul schemei lui Poisson . Probabilitatea căutată va fi coeficientul lui x2 din

produsul

,

unde

p1 = 0,991; p2 = 0,99; p3 = 0,987.

q1 = 0,009; q2 = 0,01; q3 = 0,013.

Schema lui BERNOULLI

Să presupunem că in schema lui Poisson urnele U1, U2, …, Un sunt identice. Atunci putem

lua

p1 = p2 = …=pn = p; q1 = q2 = …= qn = q = 1- p.

Probabilitatea extragerii a k bile albe va fi in acest caz coeficientul lui xk din polinomul

adică va fi egala cu .

Recunoaştem in această expresie termenul general al ridicării la puterea n a binomului px + q. Pentru

acest motiv schema se mai numeşte binomială.

Deoarece urnele sunt identice, putem considera că toate extragerile se fac dintr-o singura urnă,

bila extrasa punându-se înapoi in urna după fiecare extragere.

Obţinem astfel schema lui Bernoulli:

Probabilitatea de a scoate k bile albe din n extrageri dintr-o urnă, punând de fiecare data bila înapoi, este

unde p este probabilitatea obţinerii unei bile albe dintr-o singură extragere si q = 1 – p.

Schema lui Bernoulli rezolvă problemele in care se cere probabilitatea realizării unui eveniment de

k ori intr-o serie de n efectuări a unei experienţe ,atunci când se cunoaşte probabilitatea evenimentului la

o singură efectuare a experienţei.

Aplicaţia 1. Se aruncă o monedă de 4 ori. Se cere probabilitatea de a obţine o singură dată stema.

Avem

.

Aplicaţia 2. Se aruncă un zar de 5 ori. Se cere probabilitatea ca faţa cu un punct să apară de 2 ori si de

3 ori sa nu apară.

Avem

Probleme

1. O urnă conţine 10 bile numerotate cu 1, 2, …,10. Se face o extragere la întâmplare din aceasta urnă.

Care este probabilitatea obţinerii unei bile cu un număr mai mare ca 5, sau a unei bile cu un număr par ?

2. Doi trăgători trag cate un foc asupra unei ţinte. Primul nimereşte ţinta cu probabilitatea 7/9, iar al doilea

cu probabilitatea 9/11.

Care este probabilitatea ca ţinta să fie atinsă ?

3. O urnă conţine 12 bile numerotate cu 1, 2, …, 12. Se face o extragere din aceasta urnă. Care este

probabilitatea obţinerii sau a unui număr par ,sau a unui număr mai mic ca 5, sau a unui pătrat perfect ?

4. 3 tragatori trag cate un foc asupra unei ţinte, independent unul de altul. Primul nimereşte ţinta cu

probabilitatea 3/4 , al doilea cu probabilitatea 4/5, iar al treilea cu probabilitatea 5/6. Care este

probabilitatea ca ţinta sa fie atinsă ?

5. Intr-o clasă sunt 14 băieti si 16 fete, in altă clasă sunt 15 băieţi si 15 fete, iar in altă clasă 18 băieţi si

14 fete. Din fiecare clasă este luat din întâmplare cate un elev. Care este probabilitatea sa fie aleşi doi

băieţi si o fată ?

6. Intr-o cutie sunt 4 pachete a cate 20 de ţigări. In primul pachet este o ţigară ruptă, in al doilea sunt 2

ţigări rupte, in al treilea sunt 3 ţigări rupte, iar in al patrulea sunt 4 ţigări rupte. Din fiecare pachet se ia

cate o ţigară. Care este probabilitatea să iasă 3 ţigări bune si una ruptă ? Dar probabilitatea să iasă cel

puţin 3 ţigări rupte ?

7. Se dau 4 urne: U1 conţine 3 bile albe si 4 negre, U2 conţine 2 bile albe si 5 negre, U3 conţine 5 bile albe

si 2 negre, U4 conţine 4 bile albe si 3 negre. Din prima urnă se fac 3 extrageri punându-se de fiecare data

bila înapoi in urnă, iar din celelalte 3 urne se face cate o extragere.

Care este probabilitatea obţinerii sau a 2 bile albe si una neagră din prima urnă ,sau a 2 bile albe si una

neagră din următoarele 3 urne ?

8. Sa considerăm urnele U1, U2, U3, U4, având compoziţiile U1 = 5 bile albe, 5 negre; U2 = 4 bile albe ,6

negre; U3 = 4 bile albe ,5 negre; U4 = 4 bile albe, 4 negre. Din fiecare urnă se extrag cate 5 bile,

punându-se bila extrasa înapoi in urnă. Care este probabilitatea ca din 2 urne sa obţinem 2 bile albe si 3

negre, iar din a treia urna sa obţinem altă combinaţie ?