2.2. Variabile aleatoare continue

O variabil aleatoare continu se poate defini, fie prin funcia de repartiie, fie prin densitatea de probabilitate, ambele putnd fi considerate funcii de variabile aleatoare reale.

Funcia de repartiie

Definiia 1. Notm cu X o variabil aleatoare continu. Pentru fiecare numr real x, notm )(xF

probabilitatea cu care X ia valori mai mici dect x,

adic:

)Pr()( xXxF Funcia F astfel definit se numete funcia

de repartiie a variabilei aleatoare X.

Densitatea de probabilitate

Se definete astfel o funcie densitatea de probabilitate a lui X prin egalitatea:

)()(

lim)()(

lim)( '00

xFdx

xdF

dx

xFdxxFxf

dxdx

cu excepia (eventual) unui numr de puncte n care f nu este derivabil.

verific egalitatea:

.1)( dxxf

Legtura dintre funcia de repartiie F i

densitatea de probabilitate f este dat de egalitatea:

x

dxxfxF )()(

Sperana matematic a unei variabile continue X este definit astfel:

dxxxfXE )()(

Variana unei variabile continue X are urmtoarea expresie de calcul:

dxxfXExXV )())(()( 2

Legea normal redus (standard)

Aceast lege de probabilitate se mai numete i legea Laplace-Gauss, dup numele celor doi care au descoperit-o.

Definiia 5. O variabil aleatoare continu

urmeaz o lege normal redus dac funcia sa de repartiie este de urmtoarea form:

xt dtexxF 2/

2

)2/1()()( unde t este variabila de integrare, iar x marginea

superioar a integralei, putnd lua orice valoare real.

2/2)2/1()( xexf

Densitatea de probabilitate )(xf este o funcie

simetric n raport cu axa ordonatelor, admind un maxim n 0x i dou puncte de inflexiune pentru

.1x funcia de repartiie, este ntotdeauna cresctoare, admind un punct de inflexiune pentru 0x i un centru de simetrie de coordonate (0,1/2).

,0)( xE

.1)()( 2 XVXE Notm )1,0(NX o variabil X normal

redus.Doc1.doc

Legea normal

Definiia 6. Dac X este o variabil aleatoare normal redus, )1,0(NX , atunci variabila

aleatoare , XY unde este un numr real strict

pozitiv iar un numr real oarecare, se numete

variabil normal.

Vom nota cu ),( NY faptul c variabila

Y urmeaz o lege normal. Din definiia de mai sus rezult:

domeniul de definiie pentru o variabil normal este mulimea numerelor reale, deoarece este pozitiv;

valoarea medie

)()()( XEXEYE

variana

.)()()(22 XVXVYV

Din relaia XY rezult:

)1,0(NY

X

ceea ce constituie standardizarea variabilei Y.

Legea log-normal

n teoria probabilitilor , o distributie log-normala este o distribuie continu de probabilitate a unei variabile aleatoare al crui logaritm este distribuit n mod normal. Astfel, dac variabila aleatoare este

distribuita log-normal, atunci are o

distribuie normal. De asemenea, n cazul n care este

distribuit normal, atunci are o distribuie logaritmic normal. O variabil aleatoare, care este distribuit log- normal este definita doar pe multimea

valori reale pozitive.

Legea 2

Definiia 8. Fiind dat un ir nU de variabile

aleatoare centrate i independente, variabila

n

i

iUn1

22 )(

se numete variabil hi-ptrat cu n grade de libertate. Pentru cazul particular cnd:

,

2

2

ii

XU

ni ,1

iar ),( NX i i sunt independente, variabila

n

i

iUn1

22 )(

urmeaz legea de probabilitate hi-ptrat.

.

Tabelul cu valorile teoretice ne permite s calculm probabilitile de forma:

pp ))(Pr(22

cnd se cunosc i 2p . CaptureValorile hi

patrat.JPGFolosind acelai tabel, cunoscndu-se i p

se poate gsi 2p .

De exemplu, pentru =21 i p= 0,975 rezult

2

975,0 =10,3.

Legea de probabilitate Student

Definiia 9. O variabil Student, notat cu t, este raportul dintre o variabil U normal centrat i

rdcina ptrat a unei variabile )(2 mprit prin

numrul gradelor de libertate. Cu alte cuvinte

n

X

/)(2U

t

este o variabil Student (variabil t). Variabila Student admite ca valori posibile

numere reale a cror semn este dat de valorile variabilei U. Variabila Student este utilizat n teoria sondajelor.

Fie un ir de variabile iX independente i

.,1),,( niNX i Dac

n

X

unde XnXn

i

i 1

, este o variabil normal standard de

medie 1 i abatere 0.

tiind c

n

i

i SnXX1

22 ,)1()( atunci variabila

t

n

S

X

este o variabil Student cu 1 n grade de

libertate.testul t tabel.docx

Pentru o variabil X, care urmeaz legea Student cu grade de libertate, folosind tabelul cu

valori teoretice, se poate gsi t astfel nct:

ptX )Pr(

pentru o probabilitate p dat. Cum intervalul tt , este centrat pe origine p este repartizat n mod egal.

Legea de probabilitate Fisher-Sndcor1

1 Florea.I,...2000, pg 91.

Definiia 10. O variabil Fisher-Sndcor, notat cu F, este raportul dintre dou variabile )( 1

2 i

)( 22 ponderate respectiv prin numrul de grade de

libertate 1 i 2 , de urmtoarea form:

)(

)()(:

)(),(

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

21

F

Fie iX , i= n,1 i jY , j= m,1 dou mulimi de

variabile aleatoare de varian 2X (pentru orice i= n,1 ),

respectiv 2Y ( pentru orice j = m.1 ).

Dac lum:

n

i

i nXX1

/

n

i

i

Xn

XXS

1

2

2

1

)(

m

j

j mYY1

/

m

j

j

Ym

YYS

1

2

2

1

)(

atunci n virtutea celor artate n cazul legii Student, avem:

).1,1(1

)1(:

1

)1(:

22

2

2

2

2

mnF

m

m

n

nSS

Y

Y

X

X

n cazul particular 2X = 2

Y , avem:

)1,1(2

2

mnFS

S

Y

X

Tabelul repartiiei teoretice, pentru o variabil F Fisher-Sndcor, cu 1 i 2 grade de

libertate, ne permite s gsim acea valoare 1F , astfel

nct: pFF p )),(Pr( 21

unde p poate fi egal cu 0,05 sau 0,01.Fisher.jpg

Legea exponenial

Aceast lege de probabilitate este urmat n special de acele fenomene care se deruleaz n timp. Acest lucru presupune o divizare a perioadei de timp n

subintervale suficient de mici, astfel nct s existe cel mult o realizare a fenomenului ntr-un astfel de

subinterval.

Definiia 4. O variabil aleatoare continu X, urmeaz o lege de probabilitate exponenial, dac funcia sa de repartiie are urmtoarea form:

00

01)(

x

xexF

x

unde este un parametru real i pozitiv.

Densitatea de probabilitate a unei variabile ce

urmeaz o lege exponenial, se obine prin derivarea funciei de repartiie i are forma:

00

0)(

x

xexf

x

Caracteristicele acestei variabile X au urmtoarele expresii de calcul:

/1)( XE , 22 /2)( XE

i 1)( XV .

Pentru nevoi practice, n cele ce urmeaz voi prezenta un tabel sintetic privind convergena n lege a unor variabile aleatoare.

Nr

.

crt

Legea de

probabilitate

iniial

Legea de

probabilitate spre

care converge

Condiii de

convergen

1 Binomial(n,p) Normal(np, npq

)

n este mare, np

i nq>15

2 Binomial(n,p) Poisson( np ) n mare, p mic

(15

4 Hipergeometrica Binomial(n,p) N , n/N

(N,n,p) foarte mic

5 Hipergeometrica

(N,n,p)

Normala(

)1(,N

nnpqnp )

N , n

nefiind

neglijabil in

raport cu N