scheme clasice de probabilitate

66
Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare I.1. Elemente de analiză combinatorică și teoria mulțimilor O ramură a teoriei probabilităților des folosită și cu aplicații importante în cibernetică, logică și teoria mulțimilor este combinatorica. Acest domeniu al matematicii studiază modul în care putem alege dintr-o mulțime oarecare un anumit tip de obiecte sau submulțimi de obiecte, modul în care am putea aranja elementele într-o anumită ordine, modul în care putem determina numărul de submulțimi de un anumit tip. Pentru a putea rezolva aceste probleme, numite probleme combinatorii, vom avea nevoie să determinăm cum se pot forma combinații diferite și care este numărul lor. I.1.1. Mulțimi Adeseori matematica și aplicațiile ei în viața cotidiană sau în alte științe ajung să folosească obiecte care tind să se organizeze după anumite caracteristici specifice în colecții sau mulțimi. Noțiunea de mulțime fiind o noțiune primară, nu poate fi definită, poate fi explicată la modul intuitiv. Cantor spunea că o mulțime este „o colecție de obiecte (elementele mulțimii) de natură oarecare, bine determinate și distincte”. 1

Upload: irinel-cozma

Post on 15-Dec-2015

75 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

scheme clasice de probabilitate

TRANSCRIPT

Page 1: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Capitolul I

Noțiuni și rezultate intermediare

I.1. Elemente de analiză combinatorică și teoria mulțimilor

O ramură a teoriei probabilităților des folosită și cu aplicații importante în

cibernetică, logică și teoria mulțimilor este combinatorica. Acest domeniu al

matematicii studiază modul în care putem alege dintr-o mulțime oarecare un anumit tip

de obiecte sau submulțimi de obiecte, modul în care am putea aranja elementele într-o

anumită ordine, modul în care putem determina numărul de submulțimi de un anumit

tip. Pentru a putea rezolva aceste probleme, numite probleme combinatorii, vom avea

nevoie să determinăm cum se pot forma combinații diferite și care este numărul lor.

I.1.1. Mulțimi

Adeseori matematica și aplicațiile ei în viața cotidiană sau în alte științe ajung să

folosească obiecte care tind să se organizeze după anumite caracteristici specifice în

colecții sau mulțimi. Noțiunea de mulțime fiind o noțiune primară, nu poate fi definită,

poate fi explicată la modul intuitiv. Cantor spunea că o mulțime este „o colecție de

obiecte (elementele mulțimii) de natură oarecare, bine determinate și distincte”.

În continuare vom nota mulțimile cu : A, B, C, … X, Y, … , iar elementele lor

cu a, b, c, … x, y, … și vom utiliza o serie de simboluri logice a căror sensuri le

considerăm cunoscute , , , , , .

Apartenența unui obiect la o mulțime, faptul că x este element al mulțimii A sau

x aparține mulțimii A se notează cu „x A” , simbolul „ „ exprimând sensul concret al

relației de apartenență. Dacă un element y nu este element al mulțimii A, altfel spus nu

aparține mulțimii A se notează prin „y A”.

Definirea unei mulțimi se poate face în trei moduri :

1. prin enumerarea elementelor.

Exemplul I.1.1.1. .

.

1

Page 2: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

2. prin specificarea unei proprietăți caracteristice pe care o au toate elementele mulțimii

respective.

Exemplul I.1.1.2 A = {x N / x este cifră impară}.

.

3. prin intermediul diagramelor Veen – Euler.

Exemplul I.1.1.3.

A B

Analizând numărul de elemente al unei mulțimi, putem clasifica mulțimile în

două categorii : mulțimi finite și mulțimi infinite.

Exemplul I.1.1.4. A = {x Z / -5 < 3x + 18 11} - mulțime finită .

B = {x R / -5 < 3x + 18 11} - mulțime infinită .

În exemplul I.1.1.4 am observat că modificând tipul elementelor (din numere

întregi în numere reale) s-a modificat și tipul de mulțime (din mulțime finită în mulțime

infinită). Dacă am modifica însă tipul elementelor în numere naturale, am obține o

mulțime care nu conține nici un element. O astfel de mulțime se numește mulțimea vidă

și se notează cu Ø.

Exemplul I.1.1.5 C = {x N / -5 < 3x + 18 11} = Ø .

Definiția I.1.1.1. Fie A și B două mulțimi. Spunem că mulțimea A este

submulțime a mulțimii B, sau că este inclusă în mulțimea B, sau că este parte a mulțimii

B dacă : . Acest fapt îl vom nota cu A B.

Definiția I.1.1.2. Dacă A B și B A vom spune că mulțimile A și B sunt

egale. Acest fapt îl vom nota cu A = B.

Deci A = B dacă și numai dacă x B.

2

1

3

5

7

9

mateică

Page 3: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Negația acestei propoziții o vom nota A B.

Dacă A B și A B atunci A se numește submulțime proprie a mulțimii B.

În marea majoritate a problemelor rezolvarea se face într-o anumită clasă de

elemente. Aceste clase le vom numi mulțimi de bază (sau de referință) și le vom nota

prin . Un exemplu în acest sens poate fi considerat mulțimea numerelor reale care este

mulțime de bază pentru submulțimile sale N, Z, Q, R+ .

Mulțimea tuturor submulțimilor (părților) lui se notează cu P( ) și pe această

mulțime se consideră operațiile de reuniune, intersecție, diferență și complementarizare.

Definiția I.1.1.3. Numim reuniunea mulțimilor A și B mulțimea notată

A B = {x / x A sau x B }.

Definiția I.1.1.4. Numim intersecția mulțimilor A și B mulțimea notată

A B = {x / x A și x B}.

Dacă A B = Ø spunem că mulțimile A și B sunt disjuncte.

Definiția I.1.1.5. Numim diferența mulțimilor A și B mulțimea notată

A \ B ={x / x A și x B }.

Definiția I.1.1.6. Dacă B A atunci A \ B se numește complementara mulțimii B

în raport cu mulțimea A și se notează CAB . Dacă A este o mulțime de bază atunci CAB

se notează cu .

În P( ) avem următoarele proprietăți caracteristice :

1. P( ) .

2. Ø P( ) .

3. Dacă A P( ) atunci P( ) .

4. Dacă A, B P( ) atunci A B P( ) și A B P( ) .

TeoremaI.1.1.1. Fie A o mulțime cu n elemente, n N. Atunci card este

egal cu .

Demonstrație :

Se aplică metoda inducției matematice.

Notăm P(n) : card = .

Etapa 1 : P(0) : card = 1.

Dacă n = 0 atunci A = Ø, deci P(A) = {Ø}. Atunci card = = 1 .

3

Page 4: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

P(1) : card = 2 .

Dacă n = 1 atunci A = {a1}, deci P(A) = {Ø, A}. Atunci card = = 2 .

Etapa 2 : P(k) P(k+1).

P(k) : dacă card(A) = k atunci card =

P(k+1) : dacă card(A) = k+1 atunci card =

Să considerăm A = {a1, a2, a3, … ak, ak+1}

Pentru a determina numărul de submulțimi care nu îl conțin pe ak+1 notăm :

n0 = număr submulțimi cu 0 elemente care nu îl conțin pe ak+1.

n1 = număr submulțimi cu 1 elemente care nu îl conțin pe ak+1.

n2 = număr submulțimi cu 2 elemente care nu îl conțin pe ak+1.

………………………………………………………………

nk-1 = număr submulțimi cu k – 1 elemente care nu îl conțin pe ak+1 .

nk = număr submulțimi cu k elemente care nu îl conțin pe ak+1 .

Conform P(k) vom avea n0 + n1 + n2 + …. + nk-1 + nk = .

Pentru a determina numărul de submulțimi care îl conțin pe ak+1 trebuie adăugat

elementul ak+1 la fiecare dintre submulțimile considerate mai sus. Se obține astfel :

n0 = număr submulțimi cu 1 elemente care îl conțin pe ak+1.

n1 = număr submulțimi cu 2 elemente care îl conțin pe ak+1.

n2 = număr submulțimi cu 3 elemente care îl conțin pe ak+1.

………………………………………………………………

nk-1 = număr submulțimi cu k elemente care îl conțin pe ak+1 .

nk = număr submulțimi cu k+1 elemente care îl conțin pe ak+1 .

Conform P(k) vom avea n0 + n1 + n2 + …. + nk-1 + nk = .

Ca urmare card = + =

Conform metodei inducției matematice rezultă că card = , n N.

I.1.2. Mulțimi finite ordonate

4

Page 5: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Fie n N* un număr natural și An = {1, 2, 3, … , n} mulțimea primelor n

numere naturale nenule.

Definiția I.1.2.1. O mulțime A se numește mulțime finită dacă este mulțimea

vidă sau dacă există n N* și o funcție bijectivă f : An → A.

Numărul natural n reprezintă numărul de elemente (cardinalul) mulțimii A și se

notează n = card(A) sau n = .

Exemplul I.1.2.1. Mulțimea A = {16, 25, 36, 49, 64, 81} este finită deoarece

există funcția bijectivă f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → A, f(x) = . Din acest motiv

cardinalul mulțimii A este card(A) = 6.

Exemplul I.1.2.2. Mulțimea A = {m, a, t, e} este finită deoarece există funcția

bijectivă f : {1, 2, 3, 4}→A, f(1) = m, f(2) = a , f(3) = t, f(4) = e. Cardinalul mulțimii A

este card(A) = 4.

Plecând de la exemplele I.1.2.1. și I.1.2.2. observăm că mulțimea A este

imaginea funcției bijective f. Generalizând putem afirma că dacă f :{1, 2, 3, … , n} → A

este o funcție bijectivă și mulțimea A are card(A) = n, elementele mulțimii A pot fi

ordonate cu ajutorul funcției f . Fiecărui element al mulțimii A i se poate atribui o

poziție într-un șir ordonat, numită rangul elementului. Vom spune că mulțimea A este

ordonată de funcția bijectivă f , sau că funcția bijectivă f induce pe mulțimea A o ordine

de dispunere a elementelor ei. Notând ak = f(k), unde k {1, 2, 3, … n}, mulțimea A

poate fi scrisă astfel : A = {a1, a2, a3, … , an}.

Perechea (A, f) se numește mulțime ordonată și se folosește scrierea

f = (a1, a2, … , an) sau (a1, a2, a3, … , an).

Definiția I.1.2.2. Două mulțimi ordonate (a1, a2, a3, … , an) și (b1, b2, b3, … , bm)

sunt egale dacă au aceleași elemente și aceeași ordine de dispunere a acestora, adică

m = n și ai = bi .

Exemplu I.1.2.3. Fie mulțimea A = {a, b, c}. Se pot forma mai multe mulțimi

ordonate distincte : (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).

I.1.3. Permutările unei mulțimi finite

5

Page 6: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

În paragraful I.1.2. am observat că mulțimea A = {a, b, c} poate fi ordonată în 6

moduri diferite, obținându-se 6 mulțimi ordonate distincte.

Definiția I.1.3.1. Se numește permutare a mulțimii A orice mulțime ordonată

care se formează cu elementele sale.

Considerând o mulțime A care are n elemente, numărul tuturor permutărilor

posibile îl vom nota cu Pn. Dacă mulțimea A este vidă ea poate fi ordonată într-un singur

fel, atunci P0 = 1.

Vom demonstra prin metoda inducției matematice că Pn = n!

P(n) : Pn = n!

Etapa 1 : P(1) : P1 =1!

O mulțime A = {a1} poate fi ordonată într-un singur mod, atunci P1 = 1 = 1!.

P(2) : P2 =2!

O mulțime A={a1, a2} poate fi ordonată în două moduri : (a1, a2) și (a2, a1),

atunci P2 = 2 = 2!

Etapa 2 : P(k) P(k+1).

P(k) : Pk = k!

P(k+1) : Pk+1 = (k+1)!

Conform P(k) o mulțime A care are k elemente poate fi ordonată în k! moduri. Să

considerăm (a1, a2, a3, ... , ak-1, ak) o permutare a mulțimii A. Dacă am dori să

completăm această permutare cu elementul ak+1, am putea face acest lucru în

k+1 moduri : (ak+1, a1, a2, a3, ... , ak-1, ak ), (a1, ak+1, a2, a3, ... , ak-1, ak), (a1, a2,

ak+1, a3, ... ak-1, ak), ... , (a1, a2, a3, … ak-1, ak+1, ak), (a1, a2, a3, ….. , ak-1, ak, ak+1).

Dacă fiecare permutare de k elemente poate fi completată cu un element în k +1

moduri, atunci Pk+1 = Pk ∙ (k + 1) = k! ∙ (k + 1) = (k + 1)!

Conform metodei inducției matematice rezultă că Pn = n!, n N.

Observație : În paragraful I.1.2. am justificat, pentru o mulțime A cu n elemnte,

existența mulțimilor ordonate prin existența unor funcții bijective f :{1, 2, 3, … , n}→

A. Dacă numărul de mulțimi ordonate este egal cu n!, putem deduce că și numărul de

fucții bijective definite pe o mulțime cu n elemente este tot de n!.

I.1.4. Combinări și aranjamente

6

Page 7: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Fie A = {a1, a2, … an} o mulțime finită, nevidă cu n elemente și k {1, 2, …

n}. Conform teoremei I.1.1.1. mulțimea A are submulțimi.

Definiția I.1.4.1. Submulțimile ordonate ale mulțimii A, fiecare având câte k

elemente se numesc aranjamente de n elemente luate câte k.

Numărul aranjamentelor de n elemente luate câte k se notează cu .

Definiția I.1.4.2. Submulțimile mulțimii A, fiecare având câte k elemente se

numesc combinări de n elemente luate câte k.

Numărul combinărilor de n elemente luate câte k se notează cu .

Observație : două aranjamentelor de n elemente luate câte k se deosebesc fie

prin natura elementelor, fie prin ordinea acestor elemente și două combinări de n

elemente luate câte k se deosebesc prin natura elementelor.

Conform paragrafului I.1.3. orice mulțime cu k elemente poate fi ordonată în k!

moduri. Rezultă că :

= k! ∙ și (1)

Teorema I.1.4.1. Fie A o mulțime finită cu n elemente și k {1, 2, 3, … , n}.

Atunci :

(2)

Demonstrație : Să considerăm un aranjament de n elemente luate câte k.

Înseamnă că rămân n – k elemente care pot fi ordonate în (n – k)! moduri. Atunci vor

exista (n - k)! mulțimi ordonate de n elemente care să conțină aranjamentul considerat

inițial. Dar o mulțime cu n elemente poate fi ordonată în n! moduri. Putem deduce de

aici o relație referitoare la numărul de aranjamente de n elemente luate câte k : (n - k)! ∙

= n! . În acest fel relația (2) este demonstrată.

Teorema I.1.4.2. Fie A o mulțime finită cu n elemente și k {1, 2, 3, … , n}.

Atunci :

. (3)

Demonstrație :

7

Page 8: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

.

Proprietăți ale aranjamentelor și combinărilor :

1. = 1, = 1, = 1, = 1;

2. = ; (formula combinărilor complementare)

3. = (n - k) ∙ ;

4. = n ∙ ;

5. = + k ∙ ; (formula de descompunere a aranjamentelor)

6. = ∙ ;

7. = ∙ ;

8. = ∙ ;

9. = + ; (formula de descompunere a combinărilor)

I.1.5. Binomul lui Newton

Folosind noțiunile de calcul algebric se pot deduce cu ușurință următoarele

formule : ;

;

;

Formulele anterioare pot fi scrise însă și cu ajutorul combinărilor astfel :

;

;

;

Având în vedere modul în care se pot scrie aceste formule, putem prezenta și

demonstra următorul rezultat generalizat, cunoscut sub numele de Formula lui Newton

sau Binomul lui Newton.

8

Page 9: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Teorema I.1.5.1. Fie a, b două numere reale și n un număr natural nenul.

Atunci are loc egalitatea :

(4)

Demonstrație : Vom demonstra formula de mai sus prin metoda inducţiei

matematice :

Notăm P(n) :

.

Etapa 1 : P(1) :

- adevarat.

P(2) :

- adevarat .

Etapa 2 : P(k) P(k+1).

P(k) :

P(k+1) :

(a+b) =

=

=

=

= .

Conform metodei inducţiei matematice rezultă că :

.

Observaţii :

1. Membrul drept al formulei lui Newton se numeşte dezvoltarea binomului la putere.

2. Numerele se numesc coeficienţi binomiali.

3. Termenii dezvoltării binomului la putere sunt în număr de n + 1, iar termenul de rang

k+1 se numeşte termen general şi se notează cu .

9

Page 10: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

4. Există o diferenţă clară între coeficientul unui termen şi coeficientul binomial al

acestuia.

Exemplu I.1.5.1. Pornind de la dezvoltarea să calculăm termenul al treilea :

Coeficientul termenului este 9 = 9 ∙ 21 = 189, iar coeficientul binomial este = 21.

I.2. Corp de părţi şi -corp de părţi

I.2.1. Corp de părţi

Fie o mulţime oarecare şi P( ) mulţimea tuturor părţilor.

Definiţia I.2.1.1. Numim corp de părţi o familie nevidă finită K P( ) cu

proprietăţile :

1. A K K .

2. A, B K K .

Proprietăţi :

1. Ø K , K .

2. Dacă K atunci K .

3. A, B K K .

I.2.2. - corp de părţi

Definiţia I.2.2.1. Se numeşte - corp de părţi (corp borelian) o familie nevidă

infinită K P( ) cu proprietăţile :

1. A K K .

2. Dacă K atunci K .

Fie un -corp de părţi ale lui . Numim măsură pe K o aplicaţie : K → R+

pentru care , oricare ar fi şirul finit sau infinit de

10

Page 11: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

elemente incompatibile două câte două şi există cel puţin un element K care are

măsură finită.

Proprietăţi :

1. (Ø) = 0 .

2. Dacă A, B K şi atunci (A) (B).

3. Dacă A, B K şi atunci (A \ B) = (A) - (B).

4. Pentru orice şir K atunci avem

I.3. Câmp infinit de probabilitate

Să considerăm un câmp infinit de probabilitate cu un număr infinit de

evenimente distincte A1, A2, A3, ………., An, … .Vom nota cu E spaţiul evenimentelor

elementare.

Definiţia I.3.1. Numim reuniunea evenimentelor A1, A2, A3, ………., An, … un

eveniment a cărui realizare constă în realizarea cel puţin a unuia din evenimentele date.

Vom nota acest eveniment cu A = .

Definiţia I.3.2. Numim intersecţie a evenimentelor A1, A2, A3, ………., An, … un

eveniment a cărui realizare constă în realizarea simultană a tuturor evenimentelor date.

Vom nota acest eveniment cu B = .

Definiţia I.3.3. Numim câmp infinit de evenimente, perechea (E, K) unde K este

un corp borelian definit pe E.

Definiţia I.3.4. Să considerăm câmpul infinit de evenimente (E, K). Vom numi

probabilitate o aplicaţie P : K → R care respectă următoarele axiome :

1. P(A) 0 , A K .

2. P(E) = 1 .

3. unde Ai K , i I, Ak ∩ Aj = Ø, k, j I, k j unde I este o

mulțime cel mult numărabilă de indici.

Definiția I.3.5. Numim câmp infinit de probabilitate tripletul (E, K, P) în care

(E, K) este un câmp infinit de evenimente iar P : K → R este o probabilitate pe acest

câmp.

11

Page 12: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Definiția I.3.6. Numim probabilitate geometrică o aplicație P : K → [0, 1] dată

prin formula , ( ) A K , .

Dacă alegem E =[a, b] R și A E un subinterval de forma [a1, b1], atunci luând

la întâmplare un punct din intervalul E, probabilitatea ca acest punct să aparțină și lui A

este dată de formula

Dacă am extinde selecția de la R la R2, mulțimile E și A vor fi domenii plane, iar

măsurile lor vor fi arii. Din acest motiv se consideră că .

Exemplu I.3.1. Să consideram problema tragerii la țintă. Dacă evenimentul

considerat este A „atingerea unei submulțimi A din mulțimea tuturor punctelor țintei”

atunci realizarea evenimentului A se poate produce în atâtea moduri câte are mulțimea A

(deci, în general o infinitate de moduri). Vom defini .

I.4. Variabile aleatoare definite pe câmpuri Laplace

Caracteristici numerice

I.4.1. Noțiunea de variabilă aleatoare

Ca mărime variabilă susceptibilă de diferite valori pe care le poate lua în cursul

unei experiențe sub influența unor factori cu acțiune aleatorie, deci cu anumite

probabilități, o variabilă aleatoare se caracterizează cel mai bine prin repartiția sa în care

sunt menționate valorile sale și probabilitățile cu care ia aceste valori.

Dacă considerăm X ca fiind o variabilă aleatoare care poate lua valorile xk cu

probabilitățile Pk unde k = 1, 2, …..n, atunci Pk = P, deoarece X = xk și repartiția sa este

X : .

Dacă variabila este simplă, mulțimea valorilor xk este finită, iar în cazul unei

variabile discrete acestă mulțime este numărabilă. Pe lângă aceste tipuri de variabile

aleatoare există și variabile continue. O variabilă continuă are ca mulțime a valorilor

12

Page 13: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

toate valorile dintr-un interval. În cele ce urmează vom considera doar variabile

aleatoare simple.

Fie deci variabila X : notată X : , k = 1, 2, …..n.

Ținând seama de faptul că xk reprezintă toate valorile posibile ale variabilei X,

evenimentele X = xk vor fi incompatibile două câte două, iar mulțimea lor

va fi o descompunere a evenimentului sigur . Atunci vom avea pk (0,

1) k = 1, 2, …..n și

I.4.2. Caracteristici numerice pentru variabilele aleatoare

a) Valoarea medie (media) a variabilei aleatoare X : , k = 1, 2, …..n

este

Proprietăți :

1. Dacă X = a (constantă) atunci M[X] = a;

2. Dacă a este constantă atunci M[a + X] = a + M[X];

M[aX] = a M[X];

3. Dacă a = min{x1, x2, x3, ….., xn} și b = max{x1, x2, x3, ….., xn} atunci ;

4. Dacă X și Y sunt două variabile aleatoare atunci M[X + Y] = M[X] + M[Y];

Dacă cele două variabile sunt independente atunci M[XY] = M[X] ∙ M[Y] ;

b) Momentul de ordin r al variabilei X : , k = 1, 2, …..n notat Mr[X]

este valoarea medie a variabilei Xr deci Mr[X] = M[Xr]= .

c) Momentul centrat de ordin r al variabilei X : , k = 1, 2, …..n este

momentul de ordin r al variabilei X – m deci Mr[X – m] = M[(X – m)r]= .

13

Page 14: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Variabila X – m este abaterea de la medie a variabilei X.

d) Dispersia (notată cu sau D2) unei variabile aleatoare X este momentul său

centrat de ordin 2 deci = D2 [X] = M2[X – m] = M[(X – m)2] = M[X2] – m2 .

Ea caracterizează cel mai bine gradul de împrăștiere a valorilor xk ale variabilei

X în jurul valorii sale medii m .

Proprietăți :

1. D2 [X + a] = D2 [X] ;

2. D2 [X] 0 ;

3. D2 [X] = 0 X = a ;

4. D2 [aX] = a2 D2 [X], unde a este o constantă ;

5. Dacă variabilele X și Y sunt independente atunci D2 [X + Y] = D2 [X] + D2 [Y] ;

Numărul se numște abatere medie pătratică.

e) Modulul unei variabile aleatoare X este valoarea ceam mai probabilă adică

valoarea xj care are proprietatea că pj pj-1 și pj pj+1 .

f) Corelația sau covarianța unei variabile aleatoare X este dată de formula

cov(X, Y) = M[XY] - M[X] ∙M[Y] ;

g) coeficientul de corelație a unei variabile aleatoare X este dat de formula

.

Capitolul II

Scheme clasice de probabilitate

II.1. Câmp finit de probabilitate

14

Page 15: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

În general vorbind activitatea ştiinţifică se bazează pe informaţii şi date precise

şi exacte şi generează la rândul ei rezultate clare care pot fi interpretate şi aplicate în

diverse domenii sociale sau economice. Cu toate acestea există fenomene a căror

evoluţie este greu de anticipat deoarece depind de mai mulţi factori care uneori nu pot fi

controlaţi de către cercetători. Nu putem preciza cu exactitate care va fi temperatura în

ziua următoare, sau cât de înalt va creşte un copac, sau ce carte de joc se poate extrage

dintr-un pachet de cărţi, sau de câte ori consecutiv poate nimeri un arcaş o ţintă. Pentru

astfel de fenomene care depind de factori aleatori vom folosi noţiunea de fenomene

aleatoare, iar latura ştiinţei care îşi propune să studieze aceste fenomene se numeşte

calculul probabilităţilor.

Definiţia II.1.1. Numim experiment aleatoriu (experienţă aleatoare) o activitate

a cărei rezultate nu pot fi anticipate cu certitudine. Notăm această activitate cu .

Definiţia II.1.2. Numim probă o repetare a unui experiment aleatoriu.

Definiţia II.1.3. Numim mulţime a cazurilor posibile sau domeniu de posibilităţi

mulţimea tuturor rezultatelor posibile pe care le putem obţine în urma unui experiment

aleatoriu. Notăm această mulţime cu E.

Definiţia II.1.4. Numim eveniment aleatoriu sau eveniment o situaţie generată

de unul sau mai multe rezultate posibile ale experimentului. În general notăm

evenimentele cu litere mari de tipar : A, B, C, ….. .

Observaţia II.1.1. Evenimentele sunt de fapt submulţimi ale domeniului de

posibilităţi.

Exemplul II.1.1. Să considerăm activitatea de a extrage bile dintr-un bol cu 30

de bile numerotate de la 1 la 30. Legate de această activitate putem identifica noţiunile

definite anterior :

Experimentul aleatoriu : activitatea de a extrage bile;

Probă : extragerea unei singure bile;

Domeniu de posibilităţi : E = {1, 2, 3, ….. 29, 30} ;

Evenimente aleatoare : diversele tipuri de numere inscripţionate pe bilele

extrase :

A1 : apariţia bilei numerotate cu numărul 30;

A2 : apariţia unei bile numerotate cu un număr care nu este pătrat perfect;

15

Page 16: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

A3 : apariţia bilei numerotate cu numărul 10 sau numerotate cu numărul 20;

A4 : apariţia unei bile numerotate cu un număr mai mic sau egal cu 30;

A5 : apariţia unei bile numerotate cu numărul 50 ;

A6 : apariţia unei bile numerotate cu 1, 4, 9, 16, 25;

În urma efectuării unei probe a unui experienţe se înregistrează în mod automat

realizarea sau nerealizarea unui eveniment. Referitor la exemplul II.1.1., dacă în urma

unei extrageri apare o bilă numerotată cu numărul 16 atunci evenimentele A4, A6 au fost

realizate, iar evenimentele A1, A2, A3, A5 nu au fost realizate.

Putem concluziona că fiecărui experiment îi corespunde o mulţime de cazuri

favorabile, între acestea şi evenimentul în sine existând o determinare reciprocă. Din

acest motiv un eveniment se identifică cu mulţimea cazurilor favorabile. Pentru

exemplul II.1.1. putem face următoarele notaţii :

A1 = {30};

A2 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12,13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,

24, 26, 27, 28, 29, 30};

A3 = {10, 20};

A4 = {1, 2, 3, ….. 29, 30};

A5 = {50};

A6 = {1, 4, 9, 16, 25};

Vom spune că un eveniment s-a realizat dacă rezultatul experimentului este un

element din mulţimea care îl defineşte.

Considerând mulţimea tuturor evenimentelor legate de un experiment şi familia

P(E) a tuturor părţilor domeniului de probabilitate E, cele două noţiuni se identifică.

Definiţia II.1.5. Numim câmp de evenimente asociat unui experiment cuplul

(E, P(E)).

Definiţia II.1.6. Numim eveniment imposibil evenimentul care nu se realizează

în nici o probă a experienţei date. Notăm acest eveniment cu Ø.

Exemplul II.1.2. Evenimentul A5 este un eveniment imposibil.

Definiţia II.1.7. Numim eveniment sigur acel eveniment care se realizează cu

certitudine în orice probă. Evenimentul sigur corespunde mulţimii totale E asociată unui

experiment.

16

Page 17: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Exemplul II.1.3. Evenimentul A4 este un eveniment sigur.

Definiţia II.1.8. Numim eveniment elementar acel eveniment care are un singur

caz favorabil. Astfel, orice caz posibil al unui experiment este un eveniment elementar.

Exemplul II.1.4. Evenimentul A1 este un eveniment elementar.

Definiţia II.1.9. Numim eveniment compus acel eveniment care are mai multe

cazuri favorabile.

Exemplul II.1.5. Evenimentul A6 este un eveniment compus.

Pornind de la operaţiile cu mulţimi din teoria mulţimilor (reuniune, intersecţie,

diferenţă, incluziune, complementară) şi corelându-le cu operaţiile logice întâlnite în

logica matematică (sau, şi, non, implică) putem defini operaţii cu evenimente.

Fie (E, P(E)) un câmp de evenimente şi A, B P(E). Definim următoarele

operaţii cu evenimente :

Reuniunea : numim reuniune a evenimentelor A şi B evenimentul a cărui

realizare este îndeplinită dacă se realizează cel puţin unul din evenimentele A, B.

Reuniunea mai este considerată ca fiind evenimentul „A sau B” şi notăm această

operaţie cu A U B.

Observaţii : a) A U Ø = A , A P(E);

b) A U E = E , A P(E);

c) Evenimentul sigur este reuniune tuturor evenimentelor

elementare asociate experimentului.

Intersecţia : numim intersecţie a evenimentelor A şi B evenimentul a cărui

realizare este îndeplinită dacă se realizează concomitent cele două evenimente.

Intersecţia mai este considerată ca fiind evenimentul „A şi B” şi notăm această operaţie

cu A ∩ B.

Observaţii : a) A ∩ Ø = Ø , A P(E);

b) A ∩ E = A , A P(E);

Negaţia : numim negaţie a evenimentului A, evenimentul a cărui realizare

constă în nerealizarea evenimentului A. Negaţia mai este considerată ca fiind

evenimentul „non A” şi se numeşte evenimentul contrar evenimentului A.

Observaţii : a) \ A (operaţia „non” corespunde complementarei);

b) A ∩ = A \ B ;

17

Page 18: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

c) = A ;

d) A ∩ = Ø ;

Implicaţia : Spunem că „A implică B” dacă realizarea evenimentului A conduce

către realizarea evenimentului B. „A implică B” (mulţimea cazurilor favorabile

lui A este inclusă în cea a lui B).

Observaţii : a) Evenimentul imposibil implică orice alt eveniment al

experienţei :

Ø A , A P(E);

b) Orice eveniment implică evenimentul sigur :

A E , A P(E);

Definiţia II.1.10. Numim evenimente echivalente două evenimente A şi B care

se implică reciproc. Vom nota acest fapt cu A = B.

Exemplul II.1.6. A6 = ;

A4 = E ;

Definiţia II.1.11. Numim evenimente incompatibile două evenimente A şi B

care nu se pot realiza simultan în nici o probă.

Incompatibilitatea a două evenimente poate fi exprimată şi prin intermediul

operaţiilor cu evenimente definite anterior :

Dacă A ∩ B = Ø atunci evenimentele A şi B sunt incompatibile;

Dacă „A implică ” şi „B implică ” atunci evenimentele A şi B sunt incompatibile;

Dacă şi atunci evenimentele A şi B sunt incompatibile;

Exemplul II.1.7. Evenimentul imposibil şi evenimentul sigur sunt

incompatibile;

Evenimentele A1 şi A6 sunt incompatibile;

Definiţia II.1.12. Numim evenimente compatibile două evenimente A şi B care

au cel puţin un caz favorabil comun : A ∩ B Ø.

Exemplul II.1.8. Evenimentele A2 şi A4 sunt evenimente compatibile.

Să considerăm următoarea situaţie : avem două urne fiecare cu câte 10 bile

numerotate cu numere de la 1 la 10. Considerăm experimentul aleatoriu care constă în

extragerea a două bile (câte una din fiecare urnă) şi se pune următoarea întrebare : Care

18

Page 19: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

este şansa ca atunci când efectuăm o extragere să obţinem două bile numerotate cu

numere pătrate perfecte ?

Rezolvare : Notăm evenimentul sigur ataşat experimentului cu

E = {(i, j) / i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}} unde i reprezintă numărul inscripţionat pe

bila extrasă din prima urnă şi j reprezintă numărul inscripţionat pe bila extrasă din a

doua urnă.

Notăm cu A evenimentul ce constă în extragerea a două bile numerotate cu

numere pătrate perfecte, A={(1, 1),(1, 4), (1, 9), (4, 1), (4, 4), (4, 9), (9, 1), (9, 4), (9,

9)}.

card E = 10 ∙ 10 = 100 card A = 3 ∙ 3 = 9

Pentru realizarea evenimentului A există 9 cazuri favorabile din totalul de 36 de

cazuri posibile, ceea ce înseamnă că şansa de a extrage două bile numerotate cu numere

pătrate perfecte este de . Referindu-ne la această „şansă“ o vom numi probabilitatea

realizării evenimentului.

Fie (E, P(E)) un câmp de evenimente aleatoare E = {e1, e2, e3, ….. , en} .

Evenimentul sigur îl putem scrie ca o reuniune a evenimentelor care îl compun

şi obţinem : E = {e1} U {e2} U {e3} U….. U {en}

Definiţia II.1.13. Numim evenimente egal probabile două sau mai multe

evenimente elementare care au aceiaşi şansă de realizare într-o probă.

Definiţia II.1.14. Numim număr de cazuri posibile ale experienţei, numărul

evenimentelor elementare care compun evenimentul sigur.

Definiţia II.1.15. Numim număr de cazuri favorabile producerii unui eveniment

A, numărul nA al evenimentelor elementare care îl compun.

Definiţia II.1.16. Numim probabilitatea evenimentului aleatoriu A, notată P(A)

raportul dintre numărul cazurilor favorabile producerii evenimentului a şi numărul

tuturor cazurilor posibile ale experienţei : .

Exemplul II.1.9. Să considerăm experimentul aruncării concomitente a două

zaruri de culori diferite, unul albastru şi unul verde. Să calculăm probabilitatea pentru

următoarele evenimente :

19

Page 20: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

A : apariţia aceluiaşi număr şi pe zarul albastru şi pe zarul verde.;

B : apariţia a două numere a căror sumă este egală cu 8;

C : apariţia pe zarul albastru a unui număr prim (2, 3 sau 5) şi pe zarul verde a unui

număr care nu este prim (1, 4, sau 6);

Rezolvare : Notăm evenimentul sigur ataşat experimentului cu

E = {(i, j) / i, j {1, 2, 3, 4, 5, 6}} unde i reprezintă numărul inscripţionat pe zarul

albastru şi j reprezintă numărul inscripţionat zarul verde.

n = card E = 6 ∙ 6 = 36.

Cazurile favorabile evenimentului A sunt (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

şi conform formulei de mai sus .

Cazurile favorabile evenimentului B sunt (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) şi

conform formulei de mai sus .

Cazurile favorabile evenimentului C sunt (2, 1), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 4), (3,

6), (5, 1), (5, 4), (5, 6) şi conform formulei de mai sus .

Definiţia II.1.17. Fie (E, P(E)) un câmp de evenimente asociate unui experiment

. Se numeşte probabilitate o funcţie P : P(E) → R cu proprietăţile :

a) , A P(E);

b) P(E) = 1;

c) P(A U B) = P(A) + P(B); unde A ∩ B = Ø.

Numărul P(A) se numeşte probabilitatea evenimentului A.

Definiţia II.1.18. Tripletul (E, P(E), P) se numeşte câmp de probabilitate.

Proprietăţi ale funcţiei de probabilitate :

P1. P(A) = 1 – P( ), A P(E) ;

P2. P(Ø) = 0 ;

P3. A, B P(E), A B P(A) P(B) ;

P4. P(A \ B) = P(A) – P(B), dacă B A ;

P5. P(A \ B) = P(A) – P(A ∩ B), A, B P(E) ;

P6. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), A, B P(E) ;

20

Page 21: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Demonstraţie :

P1. Deoarece pentru oricare A P(E) avem A ∩ = Ø şi A U = E, aplicând definiţia

funcţiei de probabilitate se obţine P(A U ) = P(E) P(A) + P( ) = 1 (A) = 1 –

P( );

P2. E = P(E) = P( )

dar P( ) = 1 – P(Ø) 1 = 1 – P(Ø) P(Ø) = 0;

P(E) = 1

P3. Dacă A B B = A U ( ∩ B) P(B) = P(A) + P( ∩ B) P(B) P(A) ;

dar A ∩ ( ∩ B) = Ø

P4.

A

Dacă B A A = B U (A \ B)

mulţimile B, A \ B sunt disjuncte P(A) = P(B U (A \ B)) = P(B) + P(A \ B)

evenimentele B, A \ B sunt incompatibile P(A \ B) = P(A) – P(B) ;

P5.

A B

A \ B = A \ (A ∩ B)

Deoarece A \ B = A \ (A ∩ B) și A ∩ B B aplicând P4. vom obține

P(A \ B) = P(A) – P(A ∩ B);

P6.

A B

A U B = A U (B \ A)

Pornind de la faptul că A U B = A U (B \ A) și A, B \ A sunt disjuncte vom avea :

P(A U B) = P(A) + P(B \ A) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

21

A \ B

B

A \ B A∩B

B \ A

Page 22: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Să considerăm următoarea situație : într-o cutie avem 16 jetoane colorate în

galben și roșu. Jetoanele galbene sunt numerotate cu numerele 1, 2, 3, 4, 5 și 6 iar

jetoanele roșii sunt numerotate cu numerele 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Din cutie

se extrage un jeton. Fie evenimentele :

A : „Jetonul extras este numerotat cu un număr impar”;

B : „Jetonul extras este roșu”;

Să se determine probabilitatea obținerii unui jeton numerotat cu un număr impar

și care este roșu.

Trebuie de fapt să determinăm probabilitatea evenimentului A știind că

evenimentul B s-a realizat. Deoarece evenimentul B s-a realizat, cazurile favorabile

pentru acesta devin cazuri posibile pentru evenimentul A (numerele impare înscrise pe

jetoanele roșii sunt 7, 9, 11, 13, 15). Ca urmare probabilitatea evenimentului A când

evenimentul B s-a realizat este de și notăm această probabilitate cu PB(A)

probabilitatea evenimentului A condiționată de evenimentul B.

.

Definiția II.1.19. Fie (E, P(E), P) un câmp de probabilitate și A, B două

evenimente astfel încât P(B) 0. Se numește probabilitatea evenimentului A

condiționată de evenimentul B numărul .

Pornind de la definiția de mai sus obținem .

Definiția II.1.20. Fie (E, P(E), P) un câmp de probabilitate și A, B două

evenimente. Evenimentele A și B se numesc independente dacă realizarea sau

nerealizarea unuia nu influențează cu nimic realizarea sau nerealizarea celuilalt.

Dacă evenimentele A și B sunt independente, atunci P(A) nu depinde de

realizarea sau nerealizarea evenimentului B și vom avea

.

22

Page 23: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

În concluzie, evenimentele A și B sunt independente dacă și numai dacă

.

Exemplul II.1.10. Într-un coș avem 8 pere și 12 mere și în alt coș avem 6 pere și

16 mere. Din fiecare coș extragem câte un fruct. Să se determine probabilitatea ca din

primul coș să extragem un măr și din al doilea coș să extragem o pară.

Rezolvare : Fie evenimentele :

A : Fructul extras din primul coș este un măr;

B : Fructul extras din al doilea coș este o pară;

Întrucât evenimentele A și B sunt independente putem folosi definiția II.1.20 :

Capitolul III

Aplicații și probleme pentru gimnaziu

La nivelul gimnaziului, probabilitățile se studiază în clasele a VI-a și a VII-a și

se bazează în cea mai mare măsură pe formula clasică de calculare a probabilităților :

. Principala dificultate a elevilor este identificarea

corectă a cazurilor posibile și a cazurilor favorabile și determinarea numărului acestora.

În această lucrare am considerat ca fiind utilă prezentarea unor metode de bază care

permit obținerea unor scheme utile în problemele practice. Problemele propuse au fost

23

Page 24: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

selectate din cele date la examenele de Evaluare Națională, diverse concursuri și

olimpiade școlare precum și probleme care ar putea fi rezolvate la nivelul cercurilor

matematice din școala sau la centrele de excelență.

III.1. Exerciții și probleme rezolvate și comentate

Problema III.1.1. : Într-o urnă sunt 30 de bile numerotate de la 1 la 30. Fără a

ne uita extragem o bilă din urnă.

a) Care este probabilitatea de a extrage o bilă inscripţionată cu un număr prim ?

b) Care este probabilitatea de a extrage o bilă inscripţionată cu un număr mai mic de

13 ?

c) Care este probabilitatea de a extrage o bilă inscripţionată cu un număr divizibil cu

7 ?

Rezolvare : Numărul cazurilor posibile este egal cu numărul bilelor adică 30.

a) Numerele prime dintre 1 şi 30 sunt : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 deci .

b) Numerele mai mici decât 13 sunt în număr de 12 deci .

c) Numerele divizibile cu 7 sunt : 7, 14, 21, 28 deci .

Problema III.1.2. : Într-un sertar avem 40 de creioane colorate diferit : 17 sunt

albastre, 9 sunt roşii şi restul sunt verzi. Fără a ne uita extragem un creion din sertar.

a) Care este probabilitatea de a extrage un creion verde ?

b) Care este probabilitatea de a extrage un creion roşu sau un creion albastru ?

c) Care este probabilitatea de a extrage un creion negru ?

Rezolvare:Numărul cazurilor posibile este egal cu numărul creioanelor adică

40.

a) Numărul creioanelor verzi este egal cu 14, ca urmare .

b) Numărul cazurilor favorabile este egal cu suma dintre numărul creioanelor roşii şi

numărul creioanelor albastre, adică 26. Ca urmare .

24

Page 25: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

c) Neexistând creioane negre înseamnă că numărul de cazuri favorabile apariţiei acestui

eveniment este 0, ca urmare .

Problema III.1.3. : Florin se joacă cu două zaruri aruncându-le concomitent.

a) Care este probabilitatea ca Florin să obţină în urma aruncării o pereche de numere

identice ?

b) Care este probabilitatea ca Florin să obţină în urma aruncării o pereche de numere a

cărei sumă să fie egală cu 10 ?

c) Care este probabilitatea ca Florin să obţină în urma aruncării o pereche de numere a

cărei sumă să fie un număr pătrat perfect ?

Rezolvare : În problemele care implică existenţa a două sau mai multe mulţimi

a căror elemente formează perechi, numărul cazurilor posibile este egal cu cardinalul

produsului cartezian al respectivelor mulţimi. În cazul de faţă vom avea 6 ∙ 6 = 36

cazuri posibile.

a) Perechile de numere identice sunt în număr de 6 : (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5),

(6, 6) .

b) Suma punctelor este 10 pentru perechile (4, 6), (5, 5), (6, 4) .

c) Perechile a căror sumă este egală cu un număr pătrat perfect sunt : (1, 3), (3, 1), (2,

2), (3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4) .

Problema III.1.4. : Să considerăm următoarele două mulţimi de numere :

A = {3, 4, 5, 6, 7, 8} şi B = {5, 8, 11, 14}. Extragem un număr din mulţimea A şi îl

notăm cu a, apoi extragem un număr din mulţimea B şi îl notăm b.

a) Care este probabilitatea ca cele două numere extrase să fie egale ?

b) Care este probabilitatea ca suma celor două numere extrase să fie un număr pătrat

perfect ?

c) Care este probabilitatea ca numărul b să fie mai mic decât numărul a ?

Rezolvare : Ca şi la problema anterioară numărul de cazuri posibile este egal cu

cardinalul produsului cartezian : 6 ∙ 4 = 24

25

Page 26: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

a) Perechile care au numerele egale sunt (5, 5) şi (8, 8). Atunci .

b) Perechile care au suma numerelor un număr pătrat perfect sunt (4, 5), (5, 11), (8, 8) .

Atunci .

c) Perechile în care b < a sunt (6, 5), (7, 5), (8, 5). Atunci .

Problema III.1.5. : Să considerăm următoarele două mulţimi de numere :

A = {a Z / Z} şi B = { b Z / }. Extragem un număr din

mulţimea A şi îl notăm cu a, apoi extragem un număr din mulţimea B şi îl notăm b.

a) Care este probabilitatea ca a B ?

b) Care este probabilitatea ca a + b = a2 ?

c) Care este probabilitatea ca ?

Rezolvare : Prima etapă de rezolvare a acestei probleme constă în determinarea

elementelor celor două mulţimi .

Z 2a – 3 / 3a + 5 2a – 3 / 6a + 10

dar 2a – 3 / 2a – 3 2a – 3 / - 6a + 9

2a – 3 / 19 2a – 3 {-19, -1, +1, +19} a {-8, 1, 2, 11} A = {-8, 1, 2, 11}.

-5 ≤ 4b – 3 ≤ +5

-2 ≤ 4b ≤ +8

≤ b ≤ +2 b {0, 1, 2} B = {0, 1, 2}.

Card (A x B) = 4 ∙ 3 = 12

a) Dintre cele patru elemente ale mulţimii A, două aparţin şi mulţimii B, deci .

b) Condiţia a + b = a2 este verificată de următoarele perechi : (1, 0) şi (2, 2), deci

.

26

Page 27: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

c) Dacă atunci a + b este un divizor întreg a lui 10, condiţie verificată de

următoarele perechi de numere : (1, 0), (1, 1), (2, 0). Deci .

Problema III.1.6. : Care este probabilitatea ca alegând o submulţime nevidă a

unei mulţimi cu 8 elemente, cardinalul acesteia să fie egal cu 7 ?

Rezolvare : Numărul de submulţimi nevide al unei mulţimi este egal cu 2n – 1.

Atunci numărul de submulţimi nevide al unei mulţimi cu 8 elemente este egal cu 255.

Pentru a determina numărul de mulţimi cu 7 elemente nu putem folosi la nivelul

claselor de gimnaziu formula cu combinări. Pentru o structurare mai clară şi pentru a

evita pierderea unor soluţii vom pleca de la ideea că pentru a ajunge la o mulţime de 7

elemente plecând de la o mulţime de 8 elemente, practic trebuie eliminat un element.

Acest lucru poate fi făcut în 8 moduri, numărul de submulţimi cu 7 elemente va fi de 8.

Atunci .

Problema III.1.7. : Vasilică se joacă cu un pachet de cărţi de joc care nu

conţine jokeri şi vrea să calculeze care sunt şansele de a extrage o anumită carte .

a) Care este probabilitatea ca Vasilică să extragă o carte de inimă roşie ?

b) Care este probabilitatea ca Vasilică să extragă o carte cu cifra 10 ?

c) Care este probabilitatea ca Vasilică să extragă o carte cu un valet de treflă ?

Rezolvare : Un pachet de cărţi de joc standard conţine 52 de cărţi organizate în

patru seturi de câte 13 cărţi cu următoarele simboluri : inimă roşie, inimă neagră, treflă

şi caro.

a) Numărul de cazuri favorabile apariţiei evenimentului reprezentat de cartea de inimă

roşie este 13, în concluzie .

b) În pachet există patru cărţi cu cifra 10, în concluzie .

c) În pachet există o unică carte cu simbolul valet de treflă, în concluzie .

27

Page 28: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Problema III.1.8. : Într-un coş sunt 14 fructe : 8 mere şi 6 pere. Iulia extrage

din coş un fruct şi îl pune într-o farfurie şi apoi mai extrage un fruct şi îl pune în

farfurie.

a) Ştiind că primul fruct este un măr, care este probabilitatea ca al doilea fruct să fie tot

un măr ?

b) Neştiind ce este primul fruct, care este probabilitatea ca al doilea fruct să fie o pară ?

Rezolvare : Pentru determinarea numărului de cazuri posibile vom considera că

avem două mulţimi şi vom calcula cardinalul produsului cartezian.

a) Ştiind că la prima extragere apare un măr înseamnă că numărul de posibilităţi

(cardinalul primei mulţimi) este egal cu 8. Pentru a doua extragere în coş mai rămân 13

fructe, deci 13 posibilităţi, în concluzie cardinalul celei de-a doua mulţimi este 13.

Numărul de cazuri posibile va fi egal cu 8 ∙ 13 = 104. Numărul de cazuri favorabile

extragerii unui măr de două ori, îl vom calcula tot ca un cardinal al unui produs

cartezian. La prima extragere avem 8 mere, deci 8 posibilităţi, la a doua extragere avem

7 mere, deci 7 posibilităţi. Numărul de cazuri favorabile va fi de 8 ∙ 7 = 56, iar

probabilitatea ca al doilea fruct extras să fie un măr va fi .

b) Pentru a doua situaţie numărul de cazuri posibile este de 14 ∙ 13 = 182 deoarece

numărul de posibilităţi pentru fiecare extragere este egal cu numărul de fructe existent

în coş la momentul extragerii. Numărul de cazuri favorabile obţinerii unei pere la cea

de-a doua extragere va fi calculat luând în considerare două cazuri :

1) Dacă primul fruct extras este un măr vom avea 8 ∙ 6 = 48 cazuri (8 posibilităţi

favorabile de a extrage un măr şi 6 posibilităţi de a extrage o pară).

2) Dacă primul fruct este o pară vom avea 6 ∙ 5 = 30 cazuri (6 posibilităţi favorabile

de a obţine o pară la prima extragere şi 5 posibilităţi favorabile de a obţine o

pară la a doua extragere).

În total vom avea 48 + 30 = 78 cazuri favorabile şi probabilitatea va fi de .

Problema III.1.9. : Mihai şi tatăl său joacă şah. Înainte de aranjarea pieselor

Mihai se distrează luând cu ochi închişi piese pe care le aşează pe tabla de şah şi

încearcă să ghicească ce piesă este.

28

Page 29: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

a) Care este probabilitatea ca Mihai să aleagă o piesă de culoare albă ?

b) Care este probabilitatea ca Mihai să aleagă un pion şi să îl aşeze pe un pătrat de

culoare albă ?

c) Care este probabilitatea ca Mihai să aleagă un cal de culoare neagră şi să îl aşeze pe

un pătrat de culoare neagră ?

Rezolvare : Datele iniţiale ce trebuie determinate pentru rezolvarea problemei

sunt : numărul de piese albe = numărul de piese negre = 16, numărul de pătrate de

culoare albă = numărul de pătrate de culoare neagră = 32.

a) .

b) Numărul de cazuri posibile este egal cu cardinalul produsului cartezian dintre

mulţimea pieselor (32 piese albe şi negre) şi mulţimea pătratelor de pe tabla de joc (64

pătrate albe şi negre) : 32 ∙ 64 = 2048. Numărul cazurilor favorabile este egal cu

cardinalul produsului cartezian dintre mulţimea pionilor (16 pioni albi şi negri) şi

mulţimea pătratelor de culoare albă de pe tabla de joc : 16 ∙ 32 = 512. Va rezulta că

.

c) Numărul de cazuri posibile este identic cu cel de la punctul anterior, 2048. Numărul

cazurilor favorabile este egal cu produsul cartezian dintre numărul pieselor sub formă de

cal de culoare neagră (2) şi numărul de pătrate negre (32) : 2 ∙ 32 = 64.Va rezulta că

.

Problema III.1.10. : Zarurile de la jocul „Nu te supăra frate” sunt colorate în

mod diferit : o parte din feţe sunt colorate în albastru şi o parte sunt colorate în roşu.

Ştiind că primul zar are două feţe colorate în albastru şi patru feţe colorate în roşu şi că

probabilitatea de a apărea două feţe colorate în albastru atunci când aruncăm ambele

zaruri este de 0,(2), să se determine numărul de feţe roşii a celui de-al doilea zar.

Rezolvare : Vom nota cu a1, r1 şi a2, r2 numărul de feţe albastre şi respectiv

numărul de feţe roşii de la primul zar, respectiv al doilea zar. Din datele problemei

avem următoarele relaţii :

a1 = 2 şi r1 = 4

29

Page 30: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

a2 + r2 = 6

Numărul de cazuri posibile la aruncarea a două zaruri este 6 ∙ 6 = 36.

Numărul de cazuri favorabile apariţiei a două feţe colorate în albastru este a1∙a2 = 2 ∙ a2 .

a2 = 4 r2 = 2

Problema III.1.11. : Gigel a primit cadou de la mătuşa sa cartea „Toate pânzele

sus” de Radu Tudoran. Curios din fire el se uită şi observă că prima filă a cărţii este o

foaie albă nenumerotată şi a doua filă, unde începe primul capitol al cărţii, are prima

pagină numerotată cu cifra 1. Uitându-se la cuprins observă că în această carte ultima

filă este numerotată cu numărul 386 şi nu există o filă albă la final. Apoi Gigel vrea să

vadă dacă cartea are şi ilustraţii şi o deschide la întâmplare. Care este probabilitatea ca

numărul paginii impare unde s-a deschis cartea să aibă suma cifrelor egală cu 14 ?

Rezolvare : În rezolvarea acestei probleme elevii pot să cadă uşor în capcana de

a considera că numărul de cazuri posibile este 386 sau 388 (numărul de pagini al cărţii),

dar de fapt numărul de cazuri posibile este egal cu numărul de spaţii dintre foi. Numărul

de foi este 386 : 2 + 1 = 194, ceea ce înseamnă că numărul de spaţii dintre foi este 195

(există un spaţiu şi între prima copertă şi fila albă). Numărul de cazuri favorabile este

egal cu 26 deoarece numerele naturale cuprinse între 1 şi 386 care au suma cifrelor

egală cu 14 sunt : 59, 68, 77, 86, 95, 149, 158, 167, 176, 185, 194, 239, 248, 257, 266,

275, 284, 293, 329, 338, 347, 356, 365, 374, 383. În concluzie probabilitatea de a se

produce evenimentul indicat este de .

Problema III.1.12. : Florin, Geo şi Roxana sunt desenatori de graffiti şi se

hotărăsc să celebreze ziua de 1 Decembrie desenând pe un zid abandonat drapelul

României, fiecare urmând să deseneze una din părţile tricolorului. Cei trei tineri au mai

multe tuburi de spray colorat dar toate sunt identice ca aspect. Ştiind că Florin are trei

tipuri de spray-uri (verde, roșu și violet), Geo are două tipuri de spray-uri (galben și

negru) iar Roxana are trei tipuri de spray-uri (alb, orange și albastru) care este

30

Page 31: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

probabilitatea ca de la prima încercare toți trei să nimerească culorile corecte pentru

desenarea drapelului ?

Rezolvare : Numărul de cazuri posibile este dat de numărul de combinaţii de

trei culori ce se pot forma, adică 3 ∙ 2 ∙ 3 = 18. În ceea ce priveşte numărul cazurilor

favorabile, acesta este egal cu 1, deoarece există o singură combinaţie de culori care să

conducă la desenarea corectă a drapelului (roşu – galben - albastru). Probabilitatea ca

drapelul desenul să fie realizat corect de la prima încercare este .

Problema III.1.13. : Albert are într-o cutie 30 de cartonaşe galbene şi verzi. El

extrage două cartonaşe din cutie şi observă că probabilitatea ca al doilea cartonaş extras

să fie unul verde este de 0,4. Să îl ajutăm pe Albert să determine câte cartonaşe galbene

şi câte cartonaşe verzi sunt în cutie.

Rezolvare : Notăm cu g numărul de cartonaşe galbene şu cu v numărul de

cartonaşe verzi, g + v = 30. Referitor la probabilitatea ca al doilea cartonaş extras să fie

unul verde, numărul de cazuri posibile este egal cu 30 ∙ 29 = 870. Numărul cazurilor

favorabile îl calculăm în două etape :

1) Dacă primul cartonaş extras este galben, numărul cazurilor favorabile este g ∙ v.

2) Dacă primul cartonaş extras este verde, numărul cazurilor favorabile este v ∙ (v – 1) .

Numărul total de cazuri favorabile va fi g ∙ v + v ∙ (v – 1) = v ∙ (g + v - 1) = v ∙ 29.

v = 12 g = 18.

Problema III.1.14. : Într-o clasă avem un număr de n elevi. Ştiind că

probabilitatea de a alege un băiat este de 0,3 să se determine probabilitatea de a alege o

fată.

Rezolvare : Problema poate fi rezolvată în două moduri. Să notăm cu P1

probabilitatea de a alege un băiat, P2 probabilitatea de a alege o fată şi P probabilitatea

de a alege un elev.

1) Notăm cu b numărul de băieţi şi cu f numărul de fete.

b + f = n

31

Page 32: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Probabilitatea de a lege un băiat este b = 0,3n

f = n – b = n – 0,3n = 0,7n

Probabilitatea de a lege o fată este

2) O metodă mult mai simplă şi mai directă este să pornim de la relaţia P = P1 + P2

Dar alegerea unui elev reprezintă un eveniment sigur şi atunci P = 1. De aici deducem

că P2 = P – P1 = 0,7

Problema III.1.15. : Darius este plecat în excursie în Munții Apuseni și fiind

pasionat de speologie el vizitează Peștera Urșilor, Peștera Scărișoara și Peștera Cetățile

Ponorului. În fiecare peșteră el face câte o fotografie a unei stalagmite, dar o data ajuns

acasă își dă seama că nu mai știe unde a făcut fiecare poză și atunci își notează după

cum îşi aminteşte pe spatele fiecărei poze unde crede el că a fot făcută respectiva poză.

a) Care este probabilitatea ca fiecare poză să fie notată corect ?

b) Care este probabilitatea ca nici o poză să nu fie notată corect ?

c) Care este probabilitatea ca cel puțin o poză să fie notată corect ?

Rezolvare : Vom considera două mulţimi în care prima reprezintă fotografiile

făcute şi a doua reprezintă notaţiile făcute de Darius : F = {f1, f2, f3} , N = {n1, n2, n3}.

Pentru a stabili numărul cazurilor posibile trebuie să luăm în considerare nu cardinalul

produsului cartezian ci numărul de combinaţii de perechi ce se pot forma :

(f1, n1) , (f2, n2) , (f3, n3) (1)

(f1, n1) , (f2, n3) , (f3, n2) (2)

(f1, n2) , (f2, n1) , (f3, n3) (3)

(f1, n2) , (f2, n3) , (f3, n1) (4)

(f1, n3) , (f2, n1) , (f3, n2) (5)

(f1, n3) , (f2, n2) , (f3, n1) (6)

a) Există o singură posibilitate ca cele trei fotografii să fie notate corect (situaţia 1), deci

.

32

Page 33: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

b) Există două posibilităţi ca toate cele trei fotografii să fie notate incorect (situaţiile 4 şi

5), deci

c) Există 4 posibilităţi ca cel puţin o fotografie să fie notată corect (situaţiile 1, 2, 3 şi 6),

deci . Se observă că nu există situaţii în care două notaţii să fie corecte şi a

treia greşită.

Problema III.1.16. : Doi prieteni buni, Andrei şi Paul, sunt fani ai jocului video

Counter Strike şi pentru a pătrunde cât mai mult în spiritul jocului ei merg la o sală de

pait-ball. Aici fiecăruia i se dă o puşcă cu aer comprimat şi un încărcător cu 25 de bile

cu vopsea. Trăgând la ţintă Andrei nimereşte de 18 ori, iar Paul nimereşte de 20 de ori.

La final, drept bonus, li se oferă posibilitatea să mai tragă fiecare câte un foc şi cei doi

băieţi decid să tragă concomitent în aceeaşi ţintă pentru a vedea cine nimereşte mai

aproape de centru. Ţinând cont de evoluţia lor să se determine :

a) Probabilitatea ca ţinta să fie lovită de amândoi băieţi.

b) Probabilitatea ca ţinta să fie lovită de cel puţin unul din băieţi.

Rezolvare : Notăm cu A1 evenimentul ca Andrei să nimerească ţinta şi cu A2

evenimentul ca Paul să lovească ţinta şi observăm că cele două evenimente sunt

compatibile între ele, dar independente. şi .

a) P(A1 ∩ A2) = P(A1) ∙ P(A2) = .

b) P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2) = + - =

Problema III.1.17. : La faza finală a unui turneu de fotbal participă echipele din

patru şcoli : Băieţi Răi, Umbrele, Campionii şi Roboţii. Ţinând cont de întâlnirile

directe din campionatele anterioare şi de rezultatele obţinute, cronicarii sportivi au putut

calcula pentru fiecare echipă care este probabilitatea de a câştiga campionatul. Astfel

probabilitatea pentru Băieţi Răi este de , probabilitatea pentru Umbre este de ,

33

Page 34: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

probabilitatea pentru Campioni este , iar probabilitatea pentru Roboţi este de . Care

dintre cele 4 echipe va câştiga campionatul ?

Rezolvare : Probabilitatea de a se întâmpla un eveniment reprezintă cât de mare

este posibilitatea să se realizeze acel eveniment şi oferă o garanţie doar în cazul

evenimentului sigur, sau a evenimentului imposibil. Ca urmare nu putem stabili cu

certitudine care echipă va câştiga campionatul, puteam doar să indicăm cine are cele

mai mari şanse comparând probabilităţile. Echipa cu probabilitatea cea mai mare ar

putea câştiga campionatul.

= 0,529 = 0,526 = 0,550 = 0,500

Cele mai mari şanse de a câştiga campionatul le au jucătorii de la echipa Campionii, iar

cele mai mici şanse de a câştiga campionatul le are echipa Roboţilor. Dar În fotbal totul

este posibil !

Problema III.1.18. : Într-un parc de distracţii pe un panou sunt 200 de baloane

numerotate de la 1 la 200. Vizitatorii sunt invitaţi să tragă cu arcul în aceste baloane şi

să încerce să le spargă pentru a câştiga diverse premii. Ionel cumpără un bilet pentru o

tragere.

a) Care este probabilitatea ca Ionel să spargă un balon numerotat cu un număr pătrat

perfect ?

b) Care este probabilitatea ca Ionel să spargă un balon numerotat cu un număr care să

fie cu 2 mai mare decât un multiplu al numărului 5 ?

c) Care este probabilitatea ca Ionel să spargă un balon numerotat cu un număr care să fie

pătrat perfect şi totodată cu 2 mai mare decât un multiplu al numărului 5 ?

d) Care este probabilitatea ca Ionel să spargă un balon numerotat cu un număr care să

fie pătrat perfect sau să fie cu 2 mai mare decât un multiplu al numărului 5 ?

Rezolvare : Numărul de cazuri posibile este egal cu 200

a) între 1 şi 200 există 14 pătrate perfecte .

b) Dacă numărul este cu doi mai mare decât un multiplu al numărului 5 înseamnă că

numărul căutat este de forma 5n + 2

34

Page 35: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

1 5n + 2 200 - 1 5n 198 n n {0, 1, 2, ….. 39} există

40 de cazuri favorabile .

c) Cazurile favorabile sunt reprezentate de acele numere care sunt pătrate perfecte și

sunt de forma 5n + 2. Demonstrăm că acest fapt este imposibil.

Orice număr care are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8 nu este pătrat perfect.

Uc(5n) = 0 sau 5 Uc(5n + 2) = 2 sau 7

Neexistând numere care să verifice ambele condiții, deducem că P = 0.

d) Considerăm următoarele evenimente independente și disjuncte:

A = se sparge un balon numerotat cu un număr pătrat perfect.

B = se sparge un balon numerotat cu un număr de forma 5n + 2.

P(A U B) = P(A) + P(B) = .

Problema III.1.19. : O țintă de darts are forma unui disc pe care sunt desenate

trei cercuri concentrice cu razele de 5cm, 10 cm și respectiv 15 cm. Care este

probabilitatea de obținere a punctajului maxim la aruncarea unei săgeți, presupunând că

ea va atinge ținta.

Rezolvare : Cazurile favorabile și cazurile posibile se referă în această problemă

la suprafețe : suprafața posibilă este cea a discului de rază egală cu 15 cm, iar suprafața

favorabilă este cea a discului de rază egală cu 5 cm.

S1 = ∙ 152 = 225 .

S2 = ∙ 52 = 25 .

.

35

Page 36: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Capitolul IV

Aplicații și probleme pentru liceu

IV.1. Exerciții și probleme rezolvate și comentate

Problema IV.1.1. Diana şi prietena ei Elena se joacă aruncând o monedă în aer şi încercând să ghicească pe ce parte va ateriza : marca sau banul. După un timp Diana spune foarte entuziasmată: „Mi-am dat seama cum trebuie să arunc moneda ! Sunt sigură că dacă arunc moneda de 20 de ori, în 15 din cazuri va ateriza pe partea cu banul !”. Elena, pasionată fiind de matematică, vrea să calculeze care este probabilitatea ca acest lucru să se întâmple.

Rezolvare : Putem modela această problemă pe baza schemei lui Bernoulli . Evenimentul de la care plecăm este A : „apariţia feţei cu banul

atunci când aruncăm o monedă” p = P(A) = q = 1 – p = ;

n = numărul de aruncări = 20 ;

36

Page 37: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

k = de câte ori ar trebui să apară faşa cu banul = 15 ;

.

Problema IV.1.2. Pentru a afla cum este perceput noul sortiment de ciocolată, o firmă comandă un sondaj de opinie în urma căruia rezultă că din 300 de persoane chestionate 225 ar cumpăra noul tip de ciocolată. a) să se determine probabilitatea ca din 10 persoane, 8 să cumpere noul tip de ciocolată;b) să se determine probabilitatea ca din 8 persoane, minim 6 să cumpere noua ciocolată;c) să se determine probabilitatea ca din 12 persoane, cel mult 2 să nu cumpere;

Rezolvare : folosim schema lui Bernoulli a) evenimentul A : „persoana chestionată cumpără noul produs”

p = P(A) = q = 1 – p = ;

n = numărul total de persoane = 10 ;k = câte persoane ar trebui să cumpere = 8 ;

.

b) evenimentul B : „persoana chestionată cumpără noul produs”

p = P(B) = q = 1 – p = ;

n = numărul total de persoane = 8 ;k1 = câte persoane ar trebui să cumpere = 6 ;k2 = câte persoane ar trebui să cumpere = 7 ;k3 = câte persoane ar trebui să cumpere = 8 ;

P = + + = + +

= .

c) evenimentul C : „persoana chestionată nu cumpără noul produs”

p = P(C) = q = 1 – p = ;

n = numărul total de persoane = 12 ;k1 = câte persoane nu ar trebui să cumpere = 0 ;k2 = câte persoane nu ar trebui să cumpere = 1 ;k3 = câte persoane nu ar trebui să cumpere = 2 ;

P = + + = + +

=

= .

37

Page 38: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

Problema IV.1.3. Raul are o cutie care conține 20 de bile roșii și 10 bile albastre. Raul extrage câte o bile din cutie, își notează ce culoare are, pune bila la loc în cutie, le amestecă și apoi repetă procedeul. a) să se calculeze care este probabilitatea ca din 5 încercări să obțină 5 bile roșii ;b) să se calculeze care este probabilitatea ca din 10 încercări să obțină un număr egal de bile roșii și albastre;c) fratele lui Raul ia jumătate din bilele roșii pentru un joc propriu, după care Raul continuă. Să se calculeze probabilitatea ca din 10 încercări să obțină cel mult o bilă albastră.

Rezolvare : folosim schema lui Bernoulli a) considerăm evenimentul A : „se extrage o bilă roșie”

p = P(A) = q = 1 – p = .

n = numărul de extrageri = 5 ;k = numărul de bile roșii ce ar trebui obținute = 5 ;

.

b) considerăm evenimentul B : „se extrage o bilă roșie”

p = P(A) = q = 1 – p = ;

n = numărul de extrageri = 10 ;k = numărul de bile roșii ce ar trebui obținute = 5 ;

.

c) considerăm evenimentul C : „se extrage o bilă albastră”

p = P(C) = q = 1 – p = ;

n = numărul de extrageri = 10;k1 = numărul de bile albastre ce ar trebui obținute = 0;k2 = numărul de bile albastre ce ar trebui obținute = 1;

P = + = + = .

Problema IV.1.4. La jocul „Nu te supăra frate” se folosește o pereche de două zaruri.a) să se determine probabilitatea ca din 10 aruncări, în 9 cazuri zarurile să fie la fel;b) să se determine probabilitatea ca din 15 aruncări, în 10 cazuri suma zarurilor să fie 10;c) să se determine probabilitatea ca din 12 încercări, în 8 cazuri să obținem numai numere pare.

Rezolvare : în cazul aruncării a două zaruri, avem 36 de variante posibile :(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)a) considerăm evenimentul A : „numerele obținute sunt la fel”

38

Page 39: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

p = P(A) = q = 1 – p = .

n = numărul de extrageri = 10 ;k = numărul de duble ce ar trebui obținute = 9 ;

.

b) ) considerăm evenimentul B : „numerele obținute au suma egala cu 10”

p = P(B) = q = 1 – p = .

n = numărul de extrageri = 15 ;k = numărul de cazuri în care suma numerelor ar trebui să fie 10 = 10 ;

.

c) considerăm evenimentul C : „numerele obținute sunt pare”

p = P(C) = q = 1 – p = .

n = numărul de extrageri = 12 ;k = numărul de cazuri în care numerele sunt pare = 8 ;

.

Problema IV.1.5.

Problema IV.1.9. Într-o cutie avem 10 cartonaşe dintre care 7 sunt galbene şi 3 sunt albastre. Care este probabilitatea ca atunci când extragem la întâmplare o pereche de 3 cartonaşe, acestea să fie toate de culoare albastră ?

Rezolvare : se poate aplica schema hipergeometrică în care vom avea numărul de extrageri n = 3, numărul de cartonaşe cu prima culoare k = 3, numărul total de cartonaşe a + b = 10. Conform schemei vom avea :

Problema IV.1.10. O firmă de transport are de livrat la 3 comercianţi 100 de cutii care conţin vaze de cristal. În timpul transportului, din cauza drumului cu foarte multe gropi, vazele din 7 cutii s-au spart. Ştiind că la primul comerciant sunt descărcate 20 de cutii să se determine :a) care este probabilitatea ca primul comerciant să primească toate cele 7 vaze sparte ?b) care este probabilitatea ca primul comerciant să primească cel puţin 5 vaze sparte ?

Rezolvare : vom aplica schema hipergeometrică în care

a = 7, b = 93, n = 20

39

Page 40: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

a) k = 7 n – k = 13

b) k1 = 5 n – k1 = 15

k2 = 6 n – k2 = 14

k3 = 7 n – k3 = 13

P(C) = + + =

Problema IV.1.11. Loteria Română organizează săptămânal jocul numit “6 din 49” care are următorul principiu : într-o urnă sunt 49 de bile numerotate de la 1 la 49 şi se extrag din urnă 6 bile. Jucătorii cumpără bilete pe care notează mai multe numere. Dacă în urma extragerii pe bilet apar toate cele 6 numere extrase, jucătorul primeşte premiul I, dacă apar 5 numere primeşte premiul al II-lea şi dacă apar 4 numere primeşte premiul al III-lea. Pentru apariţia unui număr mai mic de 4 numere extrase nu se primeşte nici un premiu. Gigel îşi cumpără un bilet cu o schemă mai complexă pe care are voie să noteze 10 numere. În urma extragerii care este probabilitatea ca Gigel să obţină :a) premiul I ;b) un premiu ;c) dacă Gigel ar juca o schemă în care poate să noteze 15 numere cu cât ar creşte şansele lui de a obţine premiul I ?

Rezolvare : putem asocia această problemă cu schema hipergeometrică

în care numărul de bile albe este egal cu a = 10 (numerele

trecute de Gigel pe bilet), numărul de bile negre este egal cu b = 39 (numerele pe care Gigel nu le-a trecut pe bilet) şi numărul de extrageri este n = 6a) pentru a obţine premiul I k = 6

b) pentru a obţine un premiu

k1 = 4

k2 = 5

k3 = 6

40

Page 41: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

P(C) = + + =

Observăm că şansa de a obţine premiul al III-a este de peste 741 ori mai mare decât şansa de a obţine premiul I.c) dacă Gigel joacă o schemă cu 15 numere a = 15, b = 34, n = 6, k = 6

0,000357

probabilitatea de a obţine premiul I creşte de 23,8 ori.Sfat practic : nu încercaţi să obţineţi premiul I la jocul “6 din 49”, cumpăraţi

mai bine o culegere de matematică !

Problema IV.1.12. În jocul de poker există mai multe combinaţii de cărţi câştigătoare, dar în problema de faţă amintim doar câteva : chintă roială (5 cărţi consecutive de aceiaşi culoare în care cea mai mare carte este asul), careul (patru cărţi de acelaşi tip), trei de un fel (trei cărţi de acelaşi tip şi celelalte două diferite între ele) . Vasilică doreşte să calculeze, pentru fiecare caz în parte, care este probabilitatea ca atunci când extrage 5 cărţi dintr-un pachet standard de 52 de cărţi să obţină una din cele trei combinaţii.

Rezolvare : notăm evenimentul de obţinere a unei chinte roiale cu E şi vom modela această problemă folosind schema hipergeometrică. a) există 4 posibilităţi de chintă roială : inimă neagră, inimă roşie, caro şi treflă. Vom analiza mai întâi probabilitatea pentru chinta roială de caro:a = numărul de cărţi ce intră în componenţa unei chinte roiale de caro = 5b = numărul de cărţi care nu intră în componenţa unei chinte roiale de caro= 47n = numărul de cărţi extrase = 5k = numărul de cărţi ce intră în componenţa unei chinte roiale de caro = 5

Existând 4 chinte roiale P(E) =

b) există 13 posibilităţi de careu (pentru fiecare carte în parte : as, doi, ….).Calculăm probabilitatea obţinerii unui careu de aşi :a = numărul de aşi = 4b = numărul de cărţi care nu sunt aşi = 48n = numărul de cărţi extrase = 5k = numărul de aşi necesar obţinerii unui careu = 4

P(E) = =

c) la fel ca la punctul b) există 13 tipuri de cărţiCalculăm probabilitatea obţinerii a trei valeţi :a = numărul de valeţi = 4b = numărul de cărţi care nu sunt valeţi = 48n = numărul de cărţi extrase = 5k = numărul de valeţi necesari obţinerii combinaţiei dorite = 3

41

Page 42: scheme clasice de probabilitate

Capitolul I Noțiuni și rezultate intermediare

P(E) = =

Probleme propuse

1. Într-un lot de 30 de sportivi avem 12 fete și 18 băieți. Înaintea concursului se face un test antidoping în care sunt aleși aleatoriu 6 sportivi.a) să se calculeze probabilitatea ca sportivii testați să fie 3 fete și 3 băieți;b) să se calculeze probabilitatea ca cel mult o fată să fie testată;c) să se calculeze probabilitatea ca sa fie testate numai fete;

42