geometrie - formule

4
1. Produse de vectori: Produsul scalar: < v 1 , v 2 >= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 , k vk = p x 2 1 + y 2 1 + z 2 2 , cos( \ v 1 , v 2 )= < v 1 , v 2 > k v1k·k v2k . Ortogonalitate: < v 1 , v 2 >= 0. Dacˇa Δ - dreaptˇa de vector director u, k uk = 1, atunci Pr Δ v 1 =(k vk cos( d v 1 , u)) usi pr Δ v 1 = k vk cos( d v 1 , u). Produsul vectorial: v 1 × v 2 = i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ¸ si k v 1 × v 2 k = k v 1 k·k v 2 k sin( \ v 1 , v 2 ). Avem: σ triunghi = 1 2 k v 1 × v 2 k, σ paralelogr = k v 1 × v 2 k. Coliniaritate: v 1 × v 2 = 0. Produsul mixt: ( v 1 ; v 2 ; v 3 )=< v 1 , v 2 × v 3 >= x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 . Avem: V paralelipiped =( v 1 ; v 2 ; v 3 ), V tetraedru = 1 6 ( v 1 ; v 2 ; v 3 ). Coplanaritate: ( v 1 ; v 2 ; v 3 ) = 0. 2. Mi¸ scˇ ari: Translat ¸ie de vector r = x 0 i + y 0 j + z 0 k : x 0 = x - x 0 y 0 = y - y0 z 0 = z - z 0 sau x = x 0 + x 0 y = y 0 + y0 z = z 0 + z 0 . Rotat ¸ie de unghi θ ˆ ın jurul originii: x 0 y 0 = cos θ sin θ - sin θ cos θ · x y sau x y = cos θ - sin θ sin θ cos θ · x 0 y 0 . 3. Dreapta: Un punct ¸ si direct ¸ia: x = x 0 + tl y = y 0 + tm z = z 0 + tn sau x - x 0 l = y - y 0 m = z - z 0 n . Douˇ a puncte: l = x 1 - x 0 , m = y 1 - y 0 , n = z 1 - z 0 ¸ si se ˆ ınlocuie¸ ste mai sus. 4. Planul: Un punct ¸ si douˇa direct ¸ii: x = x 0 + t 1 l 1 + t 2 l 2 y = y 0 + t 1 m 1 + t 2 m 2 z = z 0 + t 1 n 1 + t 2 n 2 sau x - x 0 y - y 0 z - z 0 l 1 m 1 n 1 l 2 m 2 n 2 = 0. Trei puncte: l 1 = x 1 - x 0 , m 1 = y 1 - y 0 , n 1 = z 1 - z 0 , l 2 = x 2 - x 0 , m 2 = y 2 - y 0 , n 2 = z 2 - z 0 ¸ si se ˆ ınlocuie¸ ste mai sus. Prin tˇaieturi: x a + y b + z c = 1. Dat de un punct ¸ si de normala A i + B j + C k:(x - x 0 )A +(y - y 0 )B +(z - z 0 )C =0. 5. Intersect ¸ii, proiect ¸ii, unghiuri: d(M,D)= k M 0 M × v D k k v D k ,M 0 D, d(M,α)= |Ax M +By M +Cz M +D| A 2 + B 2 + C 2 , d(D 1 ,D 2 )= |( M 1 M 2 ; v D 1 ; v D 2 )| k v D 1 × v D 2 k ,M 1 D 1 ,M 2 D 2 Perpendiculara comunˇ a: direct ¸ie v = v D1 × v D2 , ec. - la intersect ¸ia planelor (M 1 , v, v D1 si (M 2 , v, v D2 ), M 1 D 1 ,M 2 D 2 . 6. Sfera: (x - a) 2 +(y - b) 2 +(z - c) 2 = R 2 sau x 2 + y 2 + z 2 + mx + ny + pz + q = 0. Cerc=sferˇa plan. Planul tangent - prin dedublare: x 2 xx 0 , x x+x0 2 . 7. Conice: H(x, y)= a 11 x 2 +a 22 y 2 +2a 12 xy +2a 13 x+2a 23 y +a 33 =0. Invariant ¸i: Δ= a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 , δ = a 11 a 12 a 12 a 22 , I = a 11 + a 22 . 8. Cuadrice: Σ 2 : (a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 +2a 12 xy +2a 13 xz +2a 23 yz) + (2a 14 x +2a 24 y +2a 34 z)+ a 44 = 0, D = a 11 a 12 a 13 a 14 a12 a22 a23 a24 a 13 a 23 a 33 a 34 a 14 a 24 a 34 a 44 , A = a 11 a 12 a 13 a12 a22 a23 a 13 a 23 a 33 . Invariant ¸i: Δ = det D, δ = det A, ρ = rangD, r = rangA, p=nr. de pˇatrate pozitive. 9. Suprafet ¸e cilindrice, conice, de rotat ¸ie: Ec. supr. cilindrice care se sprijinˇa pe curba Γ: f (x, y, z)=0 g(x, y, z)=0 ¸ si are generatoareaparalelˇacu dreapta D : P 1 (x, y, z)=0 P 2 (x, y, z)=0 se obt ¸ineeliminˆand λ, μ din sist. a). Ec. supr. cilindrice tangente la supr. F (x, y, z)=0¸ si cu generatoarea paralelˇa cu D : P 1 (x, y, z)=0 P 2 (x, y, z)=0 se obt ¸ineeliminˆand λ, μ din sist. b). Conul de vˆarf V (sist. c)) care se sprijinˇa pe curba Γ: f (x, y, z)=0 g(x, y, z)=0 se obt ¸ineeliminˆand λ, μ din sist. d). Conul devˆarf V (sist. c)) tangent la supr. F (x, y, z) = 0 se obt ¸ineeliminˆand λ, μ din sist. e). Suprafat ¸a de rotat ¸ie generatˇ a de rotirea curbei Γ: f (x, y, z)=0,g(x, y, z)=0ˆ ın jurul dreptei D : x - x 0 l = y - y 0 m = z - z 0 n se obt ¸ineeliminˆand λ, μ din sist. f). 1

Upload: holban-ciprian

Post on 19-Apr-2015

243 views

Category:

Documents


24 download

TRANSCRIPT

Page 1: Geometrie - Formule

1. Produse de vectori: Produsul scalar: < v1, v2 >= x1x2 + y1y2 + z1z2, ‖v‖ =√

x21 + y2

1 + z22 , cos(v1, v2) = <v1,v2>

‖v1‖·‖v2‖ .

Ortogonalitate: < v1, v2 >= 0. Daca ∆ - dreapta de vector director u, ‖u‖ = 1, atunci Pr∆v1 = (‖v‖ cos(v1, u))u, si

pr∆v1 = ‖v‖ cos(v1, u). Produsul vectorial: v1 × v2 =

∣∣∣∣∣∣

i j kx1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣si ‖v1 × v2‖ = ‖v1‖ · ‖v2‖ sin(v1, v2). Avem:

σtriunghi = 12‖v1× v2‖, σparalelogr = ‖v1× v2‖. Coliniaritate: v1× v2 = 0. Produsul mixt: (v1; v2; v3) =< v1, v2× v3 >=∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣. Avem: Vparalelipiped = (v1; v2; v3), Vtetraedru = 1

6 (v1; v2; v3). Coplanaritate: (v1; v2; v3) = 0.

2. Miscari: Translatie de vector r = x0i + y0j + z0k :

8<:

x′ = x− x0

y′ = y − y0

z′ = z − z0

sau

8<:

x = x′ + x0

y = y′ + y0

z = z′ + z0

. Rotatie de unghi θ ın jurul

originii:(

x′

y′

)=

(cos θ sin θ− sin θ cos θ

)·(

xy

)sau

(xy

)=

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)·(

x′

y′

).

3. Dreapta: Un punct si directia:

x = x0 + tly = y0 + tmz = z0 + tn

saux− x0

l=

y − y0

m=

z − z0

n. Doua puncte: l = x1−x0, m = y1− y0,

n = z1 − z0 si se ınlocuieste mai sus.

4. Planul: Un punct si doua directii:

x = x0 + t1l1 + t2l2y = y0 + t1m1 + t2m2

z = z0 + t1n1 + t2n2

sau

∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

∣∣∣∣∣∣= 0. Trei puncte:

l1 = x1 − x0, m1 = y1 − y0, n1 = z1 − z0, l2 = x2 − x0, m2 = y2 − y0, n2 = z2 − z0 si se ınlocuieste mai sus. Prin taieturi:xa + y

b + zc = 1. Dat de un punct si de normala Ai + Bj + Ck: (x− x0)A + (y − y0)B + (z − z0)C = 0.

5. Intersectii, proiectii, unghiuri:

d(M, D)=‖M0M × vD‖

‖vD‖ , M0 ∈ D, d(M,α)=|AxM +ByM +CzM +D|√

A2 + B2 + C2, d(D1, D2)=

|(M1M2; vD1 ; vD2)|‖vD1 × vD2‖

,M1 ∈ D1,M2 ∈ D2

Perpendiculara comuna: directie v=vD1× vD2 , ec. - la intersectia planelor (M1, v, vD1) si (M2, v, vD2), M1 ∈ D1,M2 ∈ D2.

6. Sfera:

(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 sau x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + q = 0.Cerc=sfera ∩ plan.Planul tangent - prin dedublare: x2 → xx0, x → x+x0

2 .

7. Conice: H(x, y) = a11x2+a22y

2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33 = 0. Invarianti: ∆ =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣, δ =

∣∣∣∣a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣,

I = a11 + a22.

8. Cuadrice: Σ2 : (a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz) + (2a14x + 2a24y + 2a34z) + a44 = 0,

D =

0BB@

a11 a12 a13 a14

a12 a22 a23 a24

a13 a23 a33 a34

a14 a24 a34 a44

1CCA, A =

0@

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

1A. Invarianti: ∆ = det D, δ = det A, ρ = rangD, r = rangA,

p=nr. de patrate pozitive.9. Suprafete cilindrice, conice, de rotatie: Ec. supr. cilindrice care se sprijina pe curba Γ :

{f(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0 si are

generatoarea paralela cu dreapta D :{

P1(x, y, z) = 0P2(x, y, z) = 0 se obtine eliminand λ, µ din sist. a). Ec. supr. cilindrice tangente

la supr. F (x, y, z) = 0 si cu generatoarea paralela cu D :{

P1(x, y, z) = 0P2(x, y, z) = 0 se obtine eliminand λ, µ din sist. b). Conul de

varf V (sist. c)) care se sprijina pe curba Γ :{

f(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0 se obtine eliminand λ, µ din sist. d). Conul de varf V (sist.

c)) tangent la supr. F (x, y, z) = 0 se obtine eliminand λ, µ din sist. e). Suprafata de rotatie generata de rotirea curbei

Γ : f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0 ın jurul dreptei D :x− x0

l=

y − y0

m=

z − z0

nse obtine eliminand λ, µ din sist. f).

1

Page 2: Geometrie - Formule

a)

8>><>>:

P1(x, y, z) = λP2(x, y, z) = µf(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0

, b)

8<:

P1(x, y, z) = λP2(x, y, z) = µF (x, y, z) = 0

, c) V :

8<:

P1(x, y, z) = 0P2(x, y, z) = 0P3(x, y, z) = 0

, d)

8>><>>:

P1(x, y, z) = λP3(x, y, z)P2(x, y, z) = µP3(x, y, z)f(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0

,

e)

8<:

P1(x, y, z) = λP3(x, y, z)P2(x, y, z) = µP3(x, y, z)F (x, y, z) = 0

, f)

8>><>>:

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = λ2

l(x− x0) + m(y − y0) + n(z − z0) = µf(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0

.

Clasificarea conicelor

∆ 6= 0δ > 0

I∆ < 0elipsa

–2

–1

0

1

2

3

y

–2 –1 1 2 3 4

x

x2

a2+

y2

b2= 1 centru:

{

a11x + a12y + a13 = 0a12x + a22y + a23 = 0

,

axe: a12k2 + (a11 − a22)k − a12 = 0,

ec. axe:∂H

∂x+ k1,2

∂H

∂y= 0

δ < 0 hiperbola

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

y

–8 –6 –4 –2 2 4 6 8

x

x2

a2−

y2

b2= 1 centru:

{

a11x + a12y + a13 = 0a12x + a22y + a23 = 0

,

axe: a12k2 + (a11 − a22)k − a12 = 0,

asimpt.: a22k2 + 2a12k + a11 = 0,

ec. axe/asimpt:∂H

∂x+ k1,2

∂H

∂y= 0

δ = 0 parabola

–6

–4

–2

2y

2 4 6 8 10x

Y 2 = 2pX p = ±

−∆

I3 , axa: Y = 0, tg. ın

varf: X = 0

∆ = 0 δ > 0 drepte imaginare intersectia este un punct realδ < 0 drepte realeδ = 0 dreapta

1

Clasificarea cuadricelor

∆ 6= 0 δ 6= 0 p = 3 elipsoid

–1

–0.5

0.5

1

z

–1

–0.5

0.5

1

y

–1

–0.5

0.5

1

x

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

ρ = 4 r = 3 p = 2 hiperboloidcu o panza

–1

–0.5

0.5

1

z

–1

–0.5

0.5

1

y

–1

–0.5

0.5

1

x

x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 1

x

a∓

z

c= λ

(

1 −y

b

)

x

z

c=

1

λ

(

1 +y

b

)

p = 1 hiperboloidcu douapanze

–4

–2

2

4

z

–4

–2

2

4

y

–4

–2

2

4

x

x2

a2−

y2

b2−

z2

c2= 1

δ = 0 p = 2 paraboloideliptic

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

–1

–0.5

0.5

1

y

–2

–1

1

2

x

x2

a2+

y2

b2= 2pz

r = 2 p = 1 paraboloidhiperbolic

–1

–0.5

0.5

1

z

–1

–0.5

0.5

1

y

–1

–0.5

0.5

1

x

x2

a2−

y2

b2= 2pz

x

a∓

z

c= λ · 2p

x

z

c=

1

λ· z

∆ = 0 δ 6= 0 p = 3 punct dublu (y1)2 + (y2)

2 + (y3)2 = 0

ρ = 3 r = 3 p = 2, 1 con circular

–1

–0.5

0.5

1

z

–2

–1

1

2

y

–2

–1

1

2

x

x2

a2+

y2

b2=

z2

c2

δ = 0 p = 2 cilindru elip-tic

–1

–0.5

0.5

1

z

–1

–0.5

0.5

1

y

–1

–0.5

0.5

1

x

x2

a2+

y2

b2= 1

r = 2 p = 1 cilindruhiperbolic

–1

–0.5

0.5

1

z

–1

–0.5

0.5

1

y

–1

–0.5

0.5

1

x

x2

a2−

y2

b2= 1

δ = 0 p, r = 1 cilindru par-abolic

–0.4

–0.2

0.2

0.4

z

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

–1

–0.5

0.5

1

x

(y1)2 = 2 · (y2)

∆ = 0 δ = 0 p = 2 dreaptadubla

(y1)2 + (y2)

2 = 0

ρ = 2 r = 2 p = 1 plane se-cante

(y1)2 − (y2)

2 = 0

δ = 0 p, r = 1 planeparalele

(y1)2 = 1

plane con-fundate

(y1)2 = 0

1

2

Page 3: Geometrie - Formule

10. Curbe plane: Reprezentare: vectorial: r = r(t), t ∈ R, parametric:{

x = x(t)y = y(t) , cartezian explicit: y = y(x),

cartezian implicit: F (x, y) = 0. Elementul de arc: ds = ‖dr‖; parametric: ‖dr‖ =√

x2(t) + y2(t) dt; cartezian

explicit: ds =√

1 + y2(x) dx. Lungimea arcului M0(t0)M1(t1): lM0M1 =∫ t1

t0

ds. Tangenta ın M0(t0): vectorial:

R = r(t0) + λr(t0), parametric:{

x = x(t0) + λx(t0)y = y(t0) + λy(t0)

, cartezian: y − y0 = kT (x − x0). Panta tangentei: parametric:

kT =y(t0)x(t0)

, cartezian explicit kT = y(x0), cartezian implicit kT = −F ′x(x0, y0)F ′y(x0, y0)

. Normala: y − y0 = kN (x − x0), unde

kN · kT = −1. Puncte singulare sunt solutiile sistemului

F (x, y) = 0F ′x(x, y) = 0F ′y(x, y) = 0

. Panta tangentei ın punctele singulare e solutia

ecuatiei: F′′x2 + 2F

′′xy kT + F

′′y2 k2

T = 0, cu ∆ = 4(F′′xy − F

′′x2F

′′y2). ∆ > 0 ⇒ nod, ∆ = 0 ⇒ punct de ıntoarcere, ∆ < 0 ⇒

punct izolat. Curbura ın M0(t0): parametric: k =x(t0)y(t0)− x(t0)y(t0)

(x(t0)2 + y(t0)2)3/2, cartezian explicit: k =

y(x)(1 + y(x)2)3/2

, cartezian

implicit: k = −F ′x2F′′y2 − 2F ′xF ′yF

′′xy + F ′y

2F′′x2

(F ′x2 + F ′y

2)3/2. Raza de curbura: R(M0) =

1|k| .

11. Curbe spatiale: Reprezentare: vectorial: r = r(t), t ∈ R, parametric:

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, cartezian explicit:{

y = y(x)z = z(x) ,

cartezian implicit:{

f(x, y, z) = 0g(x, y, z) = 0 . Elementul de arc: ds = ‖dr‖; parametric: ‖dr‖ =

√x2(t) + y2(t) + z2(t) dt,

cartezian explicit: ds =√

1 + y2(x) + z2(x) dx. Lungimea arcului M0(t0)M1(t1): lM0M1 =∫ t1

t0

ds.

Triedrul lui Frenet

Muchii: tangenta (TM0(Γ)), cu vect. dir. t, normala principala (Dn(Γ)), cu vect. dir.n, binormala (Db(Γ)), cu vect. dir. b. Vectori directori: t = xi + yj + zk

∣∣t0

, b =

Ai + Bj + Ck∣∣t0

, n = li + mj + nk∣∣t0

, unde: A =∣∣∣∣y zy z

∣∣∣∣t0

, B = −∣∣∣∣x zx z

∣∣∣∣t0

, C =∣∣∣∣x yx y

∣∣∣∣t0

,

l =∣∣∣∣y zB C

∣∣∣∣t0

, m = −∣∣∣∣x zA C

∣∣∣∣t0

, n =∣∣∣∣x yA B

∣∣∣∣t0

. Versori: t0 =

t

‖t‖ , b0

=b

‖b‖ , n0 =n‖n‖ .

Relatii: b× t = n, t× n = b, n× b = t. Plane: planul normal (PN (Γ) = (M0, n, b)), planulosculator (Po(Γ) = (M0, n, t)), planul rectificant (Pr(Γ) = (M0, t, b)).

Curbura: ρ(M0) =√

A2 + B2 + C2

(x2(t0) + y2(t0) + z2(t0))3/2; vectorial:

‖r(t0)× r(t0)‖‖r(t0)‖3 ; raza de curbura: R =

1ρ. Torsiunea:

τ(M0) =∆

A2 + B2 + C2, unde ∆ =

∣∣∣∣∣∣

x y zx y z...x

...y ...

z

∣∣∣∣∣∣t0

, vectorial:(r(t0); r(t0);

...r (t0))

‖r(t0)× r(t0)‖2 ; raza de torsiune: T =1|τ |

13. Suprafete: Reprezentari: vectorial: r=r(u, v), (u, v) ∈ D, parametric:

x=x(u, v)y=y(u, v)z=z(u, v)

, cartezian explicit: z=f(x, y),

cartezian implicit: F (x, y, z) = 0. Plan tangent: vectorial: (R−r; r′u, r′v) = 0, unde r′u = x′ui+y′uj+z′uk, r′v = x′vi+y′vj+z′vk;

parametric:

∣∣∣∣∣∣

X − x0 Y − y0 Z − z0

x′u y′u z′ux′v y′v z′v

∣∣∣∣∣∣M0

= 0, sau:D(y, z)D(u, v)

∣∣∣∣M0

(X−x0) +D(z, x)D(u, v)

∣∣∣∣M0

(Y −y0) +D(x, y)D(u, v)

∣∣∣∣M0

(Z−z0) = 0, unde

D(y, z)D(u, v)

∣∣∣∣M0

=∣∣∣∣y′u z′uy′v z′v

∣∣∣∣M0

,D(z, x)D(u, v)

∣∣∣∣M0

=∣∣∣∣z′u x′uz′v x′v

∣∣∣∣M0

,D(x, y)D(u, v)

∣∣∣∣M0

=∣∣∣∣x′u y′ux′v y′v

∣∣∣∣M0

; cartezian explicit: p(X−x0)+q(Y −y0)−(Z−z0)=0,

unde p =∂z

∂x

∣∣∣∣M0

, q =∂z

∂y

∣∣∣∣M0

; cartezian implicit: F ′x|M0(X−x0) + F ′y

∣∣M0

(Y −y0) + F ′z|M0(Z−z0) = 0. Dreapta normala:

vectorial: n = r′u × r′v, parametric:(X−x0)D(y,z)D(u,v)

∣∣∣M0

=(Y −y0)D(z,x)D(u,v)

∣∣∣M0

=(Z−z0)

D(x,y)D(u,v)

∣∣∣M0

, cartezian explicit:X−x0

p=

Y −y0

q=

Z−z0

−1,

cartezian implicit:(X−x0)F ′x|M0

=(Y −y0)F ′y

∣∣M0

=(Z−z0)F ′z|M0

. Prima forma fundamentala: I = E du2 + 2F du dv + Gdv2;

determinantul primei forme fundamentale: ∆I = EG − F 2. Calculul E, F,G : parametric: E = x′u2 + y′u

2 + z′u2,

F = x′u x′v + y′u y′v + z′u z′v, G = x′v2 + y′v

2 + z′v2; cartezian implicit: E = 1 + p2, F = pq, G = 1 + q2; cartezian explicit: E =

1+(

F ′xF ′z

)2

, F =F ′x F ′y(F ′z)2

, G = 1+(

F ′yF ′z

)2

. A doua forma fundamentala: II = Ldu2 +2M du dv +N dv2; determinantul

3

Page 4: Geometrie - Formule

celei de-a doua forme fundamentale: ∆II = LN − M2. Calculul L,M,N : parametric: L =1√∆I

∣∣∣∣∣∣

x′u y′u z′ux′v y′v z′vx′′u2 y

′′u2 z

′′u2

∣∣∣∣∣∣,

M =1√∆I

∣∣∣∣∣∣

x′u y′u z′ux′v y′v z′vx′′uv y

′′uv z

′′uv

∣∣∣∣∣∣, N =

1√∆I

∣∣∣∣∣∣

x′u y′u z′ux′v y′v z′vx′′v2 y

′′v2 z

′′v2

∣∣∣∣∣∣; cartezian implicit: L =

z′′u2√

1 + p2 + q2, M =

z′′uv√

1 + p2 + q2,

N =z′′v2√

1 + p2 + q2. Elementul de arie: dσ =

√EG− F 2 du dv, vectorial: dσ = ‖r′u × r′v‖ du dv, cartezian explicit:

dσ =√

1 + p2 + q2 dx dy. Aria suprafetei: A =∫∫

D

dσ. Natura unui punct M0: ∆II(M0) > 0 ⇒ punct eliptic,

∆II(M0) = 0 ⇒ punct parabolic, ∆II(M0) < 0 ⇒ punct hiperbolic;E

L=

F

M=

G

N⇒ M0 - punct circular. Curburile

suprafetei se obtin rezolvand ecuatia (EG− F 2)k2 − (EN + GL− 2FM)k + (LN −M2) = 0; avem: curburile principale:

k1, k2, curbura medie:k1 + k2

2, curbura Gauss k1 · k2.

4