7. legi clasice de probabilitate · 11.1. repartiţia binomială (legea de probabilitate bernoulli)...

7. LEGI CLASICE DE PROBABILITATE

Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f : Ω → R, o variabilă aleatoare. Am văzut că varibilei f i se poate asocia o funcţie de repartiţie F, continuă la stânga şi o funcţie caracteristică ϕ, care este o funcţie continuă. Uneori funcţia de repartiţie F este definită de o densitate de repartiţie ρ. Din punct de vedere probabilistic, variabila aleatoare f poate fi studiată prin intermediul la oricare din funcţiile asociate mai sus. Dacă ne oprim la funcţiile de repartiţie, observăm că acestea sunt, de fapt, probabilităţi pe câmpul de evenimente (R, RB ). Aceste funcţii de repartiţie nedescrescătoare, continue la stânga, cu F(-∞) = 0 şi F(∞) = 1 împart variabilele aleatoare în clase de echivalenţă, iar odată cunoscută, clasa de echivalenţă a unei variabile aleatoare, adică cunoscând la ce funcţie de repartiţie corespunde, caracteristicile variabilei aleatoare sunt deduse imediat, din cele ale funcţiei de repartiţie corespunzătoare. Prin frecvenţa cu care sunt întâlnite, în rezolvarea unor probleme practice din diferite domenii, anumite funcţii de repartiţie (probabilităţi pe dreapta reală) au primit denumirea de legi (clasice) de probabilitate. De câteva din aceste legi ne vom ocupa în cele ce urmează.

7.1. Repartiţia binomială (Legea de probabilitate Bernoulli)

Această repartiţie descrie un experiment care poate avea două rezultate posibile şi anume, unul de succes S cu probabilitatea constantă p, ori de câte ori se repetă experimentul, şi unul de insucces I, deasemenea cu probabilitatea constantă q = 1 - p, ori de câte ori se repetă experimentul. Întrucât experimentele ce generează evenimentele le considerăm independente, un exemplu de variabilă aleatoare ce corespunde unei repartiţii Bernoulli este dată prin “Schema bilei revenite”. Cazul cel mai simplu este cel al unui singur experiment, când variabila aleatoare a numărului de reuşite este:

Legi clasice de probabilitate - 7 150

fp p

:0 1

1−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ,

care are media M(f) = p şi varianţa D f p p2 1( ) ( )= − . Să presupunem că variabila aleatoare f ia ca valori numărul de apariţii a unui succes în cursul a n experimente independente. Probabilitatea ca în cele n experimente să avem o secvenţă de forma

SS S II IK123 Kde k ori de n-k ori

este p qk n k− , iar numărul de secvenţe posibile care diferă între

ele este de Cnk .

Din cele de mai sus deducem că variabila aleatoare f, a numărului de succese obţinute în repetarea experimentului de n ori, are distribuţia dată prin tabloul:

(7.1.1) fk n

q C pq C p q pnn

nnk k n k n:

0 11 1

L L

L L− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Câmpul de probalitate corespunzător experimentului de mai sus poate fi considerat

Ω = 0 1, n , K = P(Ω), P A pii A

( ) =∈∑ unde, pentru ( )i n= ε ε ε1 2, , ,K cu ε j = 0

sau 1, ( )p p pin kk

= − −1 , iar k card j j= =:ε 1 . Evenimentele care ne

interesează sunt de forma A i k i nΩ Ω Ω= = =: ( ) , , , ,0 1K . Repartiţia Bernoulli de parametri n ∈ N şi p ∈ (0, 1) se mai notează prin:

(7.1.2) ( )[ ]

B n p x C p qnk k n k

k

x

, ( ) = −

=

−

∑0

1

.

Aici [x] reprezintă partea întreagă a lui x, q = 1 - p. Graficul funcţiei de repartiţie dată de (2) are n trepte corespunzătoare celor n + 1 puncte de discontinuitate. Definiţia 1. Spunem că o variabilă aleatoare f are o distribuţie binomială cu parametrii n ∈ N şi p ∈ (0, 1) dacă, f ia valorile k, k = 0, 1,…, n, cu probabilităţile p k p f k C p qn n n

k k n k( ) ( )= = = − , q = 1 - p, adică are distribuţia dată prin “tabloul” (1). Teorema 1. Dacă f este o variabilă aleatoare binomială de parametri n şi p atunci M(f) = n⋅p, iar D f np q2 ( ) = ⋅ , unde q = 1 - p.

11.1. Repartiţia binomială (legea de probabilitate Bernoulli) 151

Demonstraţie: M f kC p qnk k n k

k

n( ) = −

=∑

1. Pentru calculul acestei sume considerăm

identitatea ( ) ( )pt q C pt qnnk k n k

k

n+ = −

=∑

0 şi o derivăm în raport cu variabila t,

rezultă ( ) ( )np pt q kC p pt qnnk k n k

k

n+ =− − −

=∑1 1

1, pentru t = 1, ţinând seama că

p + q = 1, avem kC p q npnk k n k

k

n−

=

=∑1

, de unde rezultă că M(f) = n⋅p.

Pentru calculul dispersiei folosim relaţia ( ) [ ]D f M f M f2 2 2( ) ( )= − .

( )M f 2 poate fi calculat în mod direct, cum am procedat pentru M(f) sau putem

utiliza funcţia caracteristică ϕ, a variabilei aleatoare f.

( ) ( )ϕ( )t C p q e C pe q pe qnk k n k ikt

k

n

nk it k n k

k

nit n

= = = +−

=

−

=∑ ∑

0 0

( )M fi

ddt t

22

2

20

1=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

ϕ

( )ddt

n pe q pieit n itϕ= +

−1,

( )( ) ( )ddt

n n pe q p i e n pe q pi eit n it it n it2

22 2 2 2 1 21

ϕ= − + + +

− −.

Obţinem ( )M f n p np np2 2 2 2= − + şi ( )D f np np np p2 2 1( ) = − = − = npq.

Experimentele binomiale, ca cel prezentat mai sus, se întâlnesc la tot pasul, de fapt, el este echivalent cu aruncarea unei monezi la care ne interesează numărul de apariţii a unei feţe “ban”, când aruncăm moneda de un număr de ori. Evident, în acest

caz parametrul p =12

.


Exemplul 1. Să presupunem că există aproximativ 1.000.000 de potenţiali cumpărători ai unui produs al unei fabrici, ne interesează ce proporţie dintre aceştia preferă acest produs, în faţa aceluiaşi produs al altor concurenţi. Vrem să vedem dacă acest experiment este unul binomial şi să determinăm parametrul p. Selectăm 1.000 de cumpărători din cei 1.000.000, fiecare având aceeaşi şansă de a fi selectat, şi întrebăm, dacă preferă produsul acelei fabrici, faţă de ceilalţi concurenţi. Pentru ca un experiment aleator să fie binomial trebuie să posede următoarele caracteristici: a) să constea din n încercări identice; b) fiecare încercare să se finalizeze prin unul din două rezultate; c) probabilitatea de a obţine un rezultat, într-o singură încercare, rămâne aceeaşi în

fiecare încercare, dacă pe această probabilitate o notăm cu p, atunci cea a evenimentului contrar este q = 1 - p;

d) încercările sunt independente; e) legat de experiment suntem interesaţi de observarea numărului de realizări a

uneia din cele două rezultate în cele n încercări. Constatăm că cele cinci caracteristici ale unui experiment binomial sunt verificate în exemplul considerat. Dacă ne concentrăm atenţia asupra caracteristicii d), observăm însă că, dacă la prima încercare am avut un cumpărător care preferă produsul fabricii în cauză, atunci la a doua încercare, probabilitatea alegerii tot a unui astfel de cumpărător s-a modificat, atât numărul cazurilor favorabile cât şi cel al cazurilor posibile a scăzut cu o

unitate, dacă la prima extragere probabilitatea p a fost fs

, la a doua ea a devenit

fs−−

11

. Se pare astfel, că acea condiţie d), de independenţă nu este verificată şi acest

fapt ar duce la o restrângere a sferei experimentelor aleatoare de tip binomial. Dacă însă, numărul de încercări n este mai mic în raport cu numărul de elemente ale populaţiei din care se face extragerea, probabilitatea p poate fi

considerată constantă fs

fs

≈−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

.

Exemplul 2. Într-o intreprindere numărul zilelor lucrătoare într-o perioadă de timp (lună, an, etc.) în care ritmul zilnic este îndeplinit reprezintă o variabilă aleatoare.

Probabilitatea ca acest ritm zilnic să fie realizat este p =34

.

Se cere legea de repartiţie a acestei variabile aleatoare pe o perioadă de o lună, formată din 21 de zile lucrătoare, valoarea medie şi dispersia acestei variabile aleatoare.

11.1. Repartiţia binomială (legea de probabilitate Bernoulli) 153

Se constată că variabila aleatoare, a cărei repartiţie se cere, respectă legea

binomială de parametrii n = 21 şi p =34

. Să o notăm cu f. Avem:

f

k

C Ckk k:

0 1 21

14

34

14

34

14

34

21

211

20

21

21 21

L L

L L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

−

M f n p( ) ,= ⋅ = = =2134

634

15 75; D f2 2134

14

6316

3 93( ) ,= = = .

Exemplul 3. Să presupunem că sunt date pentru o variabilă aleatoare f, valorile înregistrate, x x xn1 2, , ,K şi frecvenţele relative ale acestora f f fn1 2, , ,K . Dacă experimentul aleator ce a generat variabila aleatoare f permite aplicarea legii binomiale, se pune problema ajustării frecvenţelor înregistrate (empiric) prin probabilităţile unei legi binomiale corespunzătoare. Pentru identificarea repartiţiei binomiale care ajustează seria frecvenţelor relative empirice, trebuie determinaţi parametri n şi p. Cum iniţial se cunoaşte volumul eşantionului şi media variabilei f, pe baza formulei mediei repartiţiei binomiale B(n, p), M(f) = np, se calculează

probabilitatea p după relaţia pM f

n=

( ).

Să presupunem că se recepţionează un lot de produse alimentare. Pentru aceasta au fost preluate un lot de 50 de cutii, fiecare cuprinzând 20 de produse. Repartizarea celor 50 de cutii după numărul de produse, ce nu corespund standardelor, se reprezintă în tabelul următor:

Număr de produse

defecte Xi 1

Număr de cutii Ni

2

X Ni i

3

fi

4

P(f = i)

5

0 12 0 0,24 0,189 1 18 18 0,36 0,328 2 9 18 0,18 0,271 3 5 15 0,10 0,141 4 4 1,6 0,08 0,052 5 2 10 0,04 0,015

Total 50 77 1,00 0,996


Considerăm că piesele ce nu corespund calităţii, în fiecare cutie recepţionată, urmează o lege binomială de probabilitate p şi n = 20. Din totalul de 50 de cutii observate, rezultă o medie de produse defecte, pe

cutie, de f = =7750

1 54, . Din ipoteza făcută rezultă 20p = 1,54, de unde rezultă

p = =1 5420

0 08,

, . Deci, produsele defecte într-o cutie respectă o lege binomială B(20;

0,08). Coloana a cincea a tabelului de mai sus conţine ajustările date pe baza repartiţiei binomiale B(20: 0,08) a frecvenţelor relative (empirice) conţinute în coloana a patra. Există diferite teste statistice pentru măsurarea conformităţii între cele două serii de frecvenţe.

7.2. Repartiţia Poisson (Legea evenimentelor rare)

Am văzut că o variabilă aleatoare binomială, de parametri n şi p, are ca valori numărul de apariţii ale unui eveniment A în n încercări independente, în fiecare încercare probabilitatea evenimentului A este constantă P(A) = p. Probabilitatea ca

variabila aleatoare să ia valoarea k este dată de ( )P k C p pn nk k n k( ) = − −1 .

Să considerăm că, numărul n al probelor este foarte mare, iar probabilitatea p a apariţiei evenimentului A într-o probă este foarte mic, evident, evenimentul A a devenit, în urma acestor presupuneri, un eveniment rar, motiv pentru care legea de probabilitate a variabilei aleatoare ce are ca valori numărul de apariţii ale evenimentului A, în cele n probe, poartă numele de legea evenimentelor rare. Să presupunem că, în condiţiile de mai sus, produsul np rămâne constant, np = λ, λ fiind numit parametrul repartiţiei Poisson, şi să determinăm probabilităţile P kn ( ) , în cazul când λ tinde la ∞.

( ) ( ) ( ) ( ) =−+−−

=−= −

∞→

−

∞→

knk

n

knkknnk p1p

!k1kn1nnlimp1pClimP K

( ) ( )=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ λ+−−

=−

∞→

knk

n n1

n!k1kn1nnlim K

( ) ( ) λ−−

∞→∞→

λ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−

λ+−−= e

!k1

n1lim

!kn1kn1nnlim

kkn

n

k

kn

K.

7.2. Repartiţia Poisson (legea evenimentelor rare) 155

Am obţinut λ−λ= e

!kP

k

k .

Se verifică imediat că P ek

e ekk

k

k=

∞−

=

∞−∑ ∑= = =

0 01λ λ λλ

!.

Definiţia 2. Repartiţia de probabilitate discretă, determinată de probabilităţile

Pk

ek

k= −λ λ

!, k = 0, 1, 2, ... se numeşte repartiţia lui Poisson de parametru λ, iar o

variabilă aleatoare descrisă de repartiţie:

(7.2.1) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛λλλ λ−λ−λ−λ− ...e

!K...e

!2e

!1e

...K...210:f K2

se numeşte repartiţie aleatoare Poisson. Teorema 2. Dacă f este o variabilă aleatoare de repartiţie Poisson, de parametru λ,

atunci, aceasta are valoarea medie M(f) = λ, dispersia ( )D f2 = λ şi funcţia

caracteristică ( ) ( )ϕ λt e eit= −1

.

Demonstraţie: ( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

λλ−−

λ−λ− λ=λ=−

λλ=

λ=

0k 1k

1kk.ee

!1kee

!kkfM

( ) ( ) ( )∑∑∞

=

λ−λ−∞

==

λ⋅+−=

λ==

0k

k2

k

0k

222 e

!kkkke

!kkfMfM

( ) ,eee!k

ke!k1kk 22

0k

k

0k

kλ+λ=λ+λ=

λ+

λ−= λλ−λ−

∞

=

∞

=

λ− ∑∑

de unde ( ) ( ) ( )[ ]D f M f M f2 2 2 2 2= − = + − =λ λ λ λ

( ) ( ) ( )∑∑∞

=

−λλλ−λ−λ−∞

===

λ=

λ=ϕ

0k

1eekitk

0k

ikt ititeee

!keee

!ket .


7.3. Repartiţia hipergeometrică

Să considerăm schema bilei nerevenite. Fie U o urnă cu a bile albe, b bile negre şi a + b = N. Din urnă se fac n extracţii succesive fără a pune bila extrasă înapoi în urnă. Să notăm cu f variabila aleatoare care ia ca valori numărul de bile albe extrase. Presupunem n ≤ min(a, b). Variabila aleatoare f poate lua valorile k, unde max(n-b, 0) ≤ k ≤ min(a, n). Probabilităţile cu care f ia valorile respective sunt:

(7.3.1) ( ) ( )P k P f kC C

Cnak

N an k

Nk= = = −−

, k = 0,1,...,min(a, n)

Definiţia 3. Spunem că variabila aleatoare discretă f are o repartiţie hipergeometrică dacă distribuţia ei este dată prin:

(7.3.2) f

k

C CC

nak

N an k

Nk

:. . .

...

...

...

... .

0 1 2−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Repartiţia de probabilitate corespunzătoare variabilei f se numeşte lege de probabilitate hipergeometrică.

Teorema 3. Valoarea medie şi dispersia unei variabile aleatoare hipergeometrice sunt date prin:

( ) ( )M f np D f npqN nn

= =−−

, ,21

unde pa

a biar q

ba b

=+

=+

, , deci p + q = 1.

Se observă că o variabilă aleatoare hipergeometrică, definită de (5), are aceaşi valoare medie cu o variabilă aleatoare binomială de parametri n şi p, iar dispersiile lor diferă. În cazul variabilei aleatoare hipergeometrice dispersia este cu atât mai mică cu cât numărul valorilor pe care le poate lua variabila aleatoare este mai mare. Repartiţia hipergeometrică are un rol important în controlul calităţii produselor.

Exemplul 4. Fie un lot de 200 de aparate, din care 13% nu se încadrează în limitele de funcţionare admise. Alegând la întâmplare 10 aparate se cere: a) Să se stabilească legea de repartiţie a variabilei aleatoare care reprezintă numărul

de aparate, din cele 10, care nu se încadrează în limitele de funcţionare. b) Să se calculeze valoarea medie şi dispersia acestei variabile aleatoare.

7.4. Repartiţia uniformă 157

Rezolvare: a) Variabila aleatoare cerută urmează o lege hipergeometrică, unde a = 26,

b = 174, k = 0,1,2,...,10. Deci ( )P f kC C

C

k k= =

−26 174

10

20010 şi f este descrisă de tabloul

f

k

C CC

k k:. . .

...

...

...

... .

0 1 2 1026 174

10

20010

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

b) ( )M f n p na

a b= ⋅ =

+=

⋅=

10 26200

1 3, ;

( )D f npqN nN

21

1026200

174200

200 10200 1

1 08=−−

= ⋅ ⋅−−

= , .

7.4. Repartiţia uniformă

Definiţia 4. Spunem că o variabilă aleatoare continuă f are o repartiţie uniformă, pe segmentul [a, b], dacă densitatea ei de repartiţie este dată prin:

(7.4.1) ( )[ ]

ρ x b apentru x a b

pentru x a x b= −

∈

< >

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1

0

,

,

Teorema 4. a) Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare uniforme f, pe segmentul [a, b] este:

( )F x

pentru x a

x ab a

pentru a x b

pentru x b

=

≤

−−

< ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

0

1

b) Valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare uniforme f, sunt date prin:

( ) ( )( )

M fa b

D fb a

=+

=−

2 122

2,


Demonstraţie: ( ) ( )F x t dtx

=−∞∫ ρ .

Integrând pentru valori ale lui x ∈ ( - ∞,a], x ∈ (a, b] şi x ∈ (b, +∞) rezultă expresia lui F(x).

( ) ( ) ( )M f x x dxb a

xdxb a

b aa b

a

b

= =−

=−−

=+

−∞

∞

∫ ∫ρ1

2 2

2 2

( ) ( ) ( )[ ] ( )D x M f M f

b ax dx

a b b a

a

b2 2 2 2

2 212 12

= − =−

−+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

−∫

7.5. Repartiţia normală (Legea de probabilitate Gauss - Laplace)

Această repartiţie are un rol fundamental în teoria probabilităţiilor, ea stă la baza metodelor de prelucrare a datelor de măsurare şi are o importanţă deosebită în statistică. Definiţia 5. O variabilă aleatoare f continuă are o repartiţie normală, de parametri m şi σ2 (sau este supusă unei legi normale de probabilitate N (m, σ2 ) ) dacă densitatea sa de repartiţie este dată prin:

(7.5.1.) ( )( )

,e2

1,m,x 2

2

2mx

2 σ

−−

πσ=σρ x ∈ R,

0 a b x

1b a−

ρ(x)

0 a b x

1

F(x)

7.5. Repartiţia normală (legea de probabilitate Gauss - Laplace) 159

unde m şi σ2 sunt parametri. Rezultă imediat că funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare normale este dată prin:

(7.5.2.) ( )( )

,dte2

1xFx

2mt

2

2

∫∞−

σ

−−

πσ= x ∈ R.

Repartiţia discretă binomială se apropie de distribuţia normală, când numărul probelor devine foarte mare. În statistică, spunem că o distribuţie urmează o lege normală N(m, σ) dacă, secvenţele empirice se apropie de probabilităţile date prin (7.5.2). Următoarea teoremă precizează interpretarea parametrilor m şi σ2 din legea

normală N(m, σ2 ). Teorema 5. Dacă f este o variabilă aleatoare ce se supune legii normale N(m, σ2 ), atunci valoarea medie şi dispersia lui f sunt date prin:

M(f) = m, ( )D f2 2= σ

Demonstraţie: Să observăm că ρ(x, m, σ2 ) îndeplineşte condiţiile unei densităţii de

repartiţie ρ(x) ≥ 0 şi ( )ρ σx m dx, , ,2 1=−∞

∞

∫ ceea ce rezultă în urma schimbării de

variabilă x → t prin x = tσ + m.

( )( )

M f xe dxx m

=−

−

−∞

∞

∫12

2

22σ

σΠ

.

În integrala de mai sus se efectuează schimbarea de variabilă x → t, dată prin

tx m

=−σ

sau x = tσ + m şi se obţine:

( ) ( ) mdte2mdtte

2dtemt

21fM 2

t2t

2t 222

=π

+π

σ=+σ

π= ∫∫∫

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−.


Am ţinut seama că te dtt

−

−∞

∞

∫ =

2

2 0 , fiind o integrală dintr-o funcţie impară,

iar e dtt

−

−∞

∞

∫2

2 este integrala improprie a lui Poisson ce are valoarea π2 .

Dispersia variabilei aleatoare f, de repartiţie normală N(m, σ2 ), se calculează prin:

( ) ( )[ ] ( )( )

dxemx2

1mfMfD 2

2

2mx

222 ∫∞

∞−

σ

−−

−πσ

=−=

şi după efectuarea aceleeaşi schimbări de variabilă se obţine:

( )

22

2t

2t2

2t

22

2t

222

22

dtete2

dtet2

dtet21fD

22

22

σ=π⋅π

σ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

∞−

∞−

πσ

=

=π

σ=σ

π=

∫

∫∫

∞

∞−

−−

∞

∞−

−∞

∞−

−

Am utilizat integrarea prin părţi, considerând funcţiile u(t) = t şi

( )v t tet

=−

2

2 şi am ţinut seama de integrala Poisson.

Observăm că parametrii m şi σ2 ai repartiţiei normale N(m, σ2 ) reprezintă valoarea medie şi respectiv dispersia unei variabile aleatoare ce urmează această lege. În acelaşi timp, funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare normale este complet determinată de valoarea medie m şi de dispersia σ. Reprezentând grafic densitatea de repartiţie normală, acest grafic are forma unui clopot, numit clopotul lui Gauss. Pentru diferite valori ale lui m şi σ2 se obţin diferite curbe ale densităţii de repartiţie normale . Toate aceste curbe au însă următoarele proprietăţi: a) admit ca asimptotă orizontală axa absciselor, Ox;


b) admit un punct de maxim ,2

1,mM ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛πσ

ţinând seama de coordonatele acestui

punct rezultă că “clopotul lui Gauss” este cu atât mai ascuţit cu cât σ este mai mic; c) sunt simetrice faţă de paralela la axa Oy, de ecuaţie x = m; d) admit două puncte de inflexiune de abscise m - σ şi m + σ.

m + σmm - σ x

ρ σ( , , )x m 2

Fie f o variabilă aleatoare care se supune legii normale ( )N m,σ2 . Să

considerăm variabila aleatoare gf m

=−σ

. Constatăm imediat că,

[ ]M g M f m( ) ( )= − =1

0σ

;

( )D g M g M f mf m2 22

2 212( ) ( )= = − + =

σ

( )[ ] ( )= − + = + − + =1

21

2 122 2

22 2 2 2

σ σσM f mM f m m m m( ) ,

adică variabila aleatoare g se supune unei legi normale N (0, 1). Definiţia 6. Spunem că variabila aleatoare g are o repartiţie normală redusă, dacă densitatea sa de repartiţie se obţine din (7) făcând m = 0 şi σ = 1, adică are ca densitate de repartiţie funcţia:


(7.5.3) r x ex

( ) =−1

2

2

2π

.

Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare normale reduse este dată prin:

(7.5.4) Φ( ) ( )x r u du e duuxx

= =−

−∞−∞∫∫ 1

2

2

2π

,

şi ea este cunoscută sub numele de funcţia lui Laplace. Să observăm că:

Φ

Φ

( )

( ),

− = = − =

= − = −

−

−∞

−−

−

∞

−

−∞

∫ ∫

∫

x e du e du

e du x

ux u

x

ux

12

112

112

1

2 2

2

2 2

2

π π

π

deci are loc: (7.5.4) Φ(-x) + Φ(x) =1.

Fie f o variabilă aleatoare de repartiţie normală N m( , )σ2 şi numerele reale a < b date. Atunci:

( ) ( )P a f b x m dx e dxa

b x m

a

b

< < = =∫ ∫−

−

ρ σσ π

σ, ,( )

2 212

2

2 .

În urma aceleiaşi schimbări de variabilă x m

t x t−

= →σ

( ) se obţine:

( )P a f b e dt

e dt e dtb m a m

t

a m

b m

tb m

ta m

< < = =

= − =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

−

−

−

−∞

−

−

−∞

−

∫

∫ ∫

12

12

2

2 2

2

2 2

π

π σ σ

σ

σ

σ σ

Φ Φ


Deci, chiar dacă variabila aleatoare f se supune unei legi de repartiţie normală N m( , )σ2 de parametrii m şi σ2 probabilitatea P(a < f < b) se poate exprima cu ajutorul funcţiei de repartiţie corespunzătoare variabilei aleatoare normale reduse, funcţia lui Laplace Φ(x), motiv pentru care, de obicei, valorile ei se găsesc înregistrate şi pot fi utilizate pentru determinarea probabilităţilor evenimentelor legate de o variabilă aleatoare normală. Fie acum α > 0, atunci:

( ) ( )P m f m P f m− < < + = − < =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =α α α

ασ

ασ

Φ Φ

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −Φ Φ Φ

ασ

ασ

ασ

1 2 1.

Să considerăm α = 3σ. Obţinem:

( )P f m− < = −3 2 3 1σ Φ( ) .

Apelând la valorile funcţiei lui Laplace obţinem că Φ(3) = 0,9987 şi deci,

( )P f m− < = ⋅ − =3 2 0 9987 1 0 9974σ , , ,

ceea ce susţine afirmaţia că valorile unei variabile aleatoare normale nu se abat de la valoarea medie m cu mai mult de 3σ sau cu alte cuvinte, aceste valori se abat de la valoarea medie cu mai mult de 3σ, cu o probabilitate foarte mică (1 - 0,9974 = 0,0026).

Exemplul 4. Să considerăm un ansamblu statistic de valori, reprezentând o caracteristică a unui lot de produse (cost, consum electric, etc.), care sunt repartizate după o lege normală N (200, 64). Luând la întâmplare 100 din aceste produse, care

a bm

P a m b( )< <

fm

P f m( )− < 3σ

fm - 3σ m + 3σ


este probabilitatea de a se abate cu mai mult de 8 unităţi de la valoarea nominală de 200? Rezolvare: Să notăm cu f variabila aleatoare care ia aceste valori şi se supune legii normale N(200, 64). Trebuie să determinăm P(m - σ < f <m + σ) = = P(200 - 8 < f < 200 + 8) = 2 Φ(1) - 1. Din tabelul cu valorile funcţiei lui Laplace Φ obţinem Φ(1) = 0,8413 şi deci probabilitatea căutată este p = 0,6826, q = 1 - p = 0,3174, adică 31,74% de produse se abat cu mai mult de 8 unităţi de la valoarea medie de 200 unităţi. O proprietate importantă a repartiţiei normale este dată de faptul că, suma unui număr finit de variabile aleatoare independente de repartiţie normală este o variabilă aleatoare ce se supune aceleeiaşi legi normale. Mai exact are loc: Teorema 6. Dacă variabilele aleatoare f şi g sunt independente şi urmează o lege normală, atunci f + g urmează de asemenea o lege normală. Legea normală a lui Gauss - Laplace se prezintă ca limită a altor legi de probabilitate. Teorema 7. Fie ( )fλ λ>0 o familie de variabile aleatoare, de distribuţie de

probabilitate Poisson cu parametrul λ > 0. Atunci funcţia de repartiţie a variabilei

aleatoare gf

λλ λλ

=−

tinde către funcţia de repartiţie normală redusă (cu parametrii

0 şi 1) când λ tinde la ∞. Teorema 8. Fie ( )fn n≥1 un şir de variabile aleatoare de distribuţie binomială, fn de

parametri n şi p (p nu depinde de n) şi f o variabilă aleatoare de distribuţie normală redusă. Atunci are loc

( )P a f b P af np

npqb

nn< < = <−

<⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

→∞lim ,

unde q = 1- p. Teorema de mai sus poartă numele lui Moivre - Laplace şi este un caz particular al Teoremei limită centrală care arată că, funcţia de repartiţie a unei sume de variabile aleatoare independente tinde, în condiţii destul de generale, când numărul termenilor sumei tinde la ∞, către funcţia de repartiţie normală. Ea arată, în acelaşi timp, că putem utiliza, când n este foarte mare, repartiţia normală redusă pentru studiul variabilelor aleatoare distribuite binomial.


Următoarea teoremă arată importanţa repartiţiei normale în prelucrarea datelor de măsurare.


Fie a o mărime pentru care se determină prin n măsurători valorile a a a n1 2, ,..., . Cantităţile n,1k,aae kk =−= se numesc erori accidentale (de măsurare) în cele n măsurători. Teorema 9. (Teorema lui Laplace - Gauss). Variabila aleatoare care ia ca valori erorile accidentale (de măsurare) ek , k n= 1, urmează o repartiţie normală. Exemplul 5. Variabila aleatoare f care indică erorile de măsurare ale unui aparat se supune legii normale N (0, 9). Se cere probabilitatea ca din trei măsurători

independente eroarea să aparţină cel puţin o dată intervalului 0125

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Rezolvare: Notăm cu A evenimentul a cărui probabilitate este cerută.

P A P A( ) ( )= −1 ,

[ ]P A P f( ) ( , )= − < <1 0 2 4 3 , iar

P f( , )

,( , )

, , .

0 2 412

2 43

03

12

0 8

12

0 5763 0 2881

< < =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = =

= ⋅ =

Φ Φ Φ

Se obţine P(A) = 0,6392.

7.6. Repartiţia Gama

Vom prezenta mai întâi câteva proprietăţi ale funcţiei gama ( Γ ) a lui Euler, care intervine în repartiţia cu acelaşi nume, cât şi în alte repartiţii de probabilitate. Pentru x > 0

(7.6.1) ∫∞

−−=Γ0

t1x dtet(x)

de parametrul x. Utilizând criteriile de convergentă pentru astfel de integrale se arată că ea este convergentă pentru orice x > 0 .

Dacă facem schimbarea de variabilă (t → y) prin 2yt

2

= rezultă

Integrala din membrul drept este o integrală improprie generalizată depinzând

7.6. Repartiţia Gama 167

(7.6.2) ∫∞

−−−=Γ0

12xx1 dyey2(x) 2

2y

iar pentru cazul particular 21x = se obţine

π=π

⋅==Γ ∫∞ −

22dye2)(

0

2y

21

2

Sa considerăm Γ(x+1) şi să integrăm prin părţi , avem :

x)(xdtetxetdtet1)(x0

t1x0

tx

0

tx Γ=+−==+Γ ∫∫∞

−−∞−∞

−

Deci funcţia Γ(gama) verifică ecuaţia funcţională (7.6.3) )x(x1)(x Γ=+Γ , x > 0

Dând succesiv lui x valorile naturale :1,2,3,…,n şi ţinând seama că 1)1( =Γ rezultă că pentru orice n întreg (7.6.4) Γ (n+1)=n! Din cele de mai sus rezultă că

(7.6.5) π=Γ=+Γ=Γ 21

21

21

21

23 )()1()(

şi din aproape în aproape putem calcula )( 212n+Γ pentru orice n întreg .

Definiţia 7. Spunem despre o variabilă aleatoare f ca urmează o repartiţie gama dacă densitatea ei de repartiţie este data prin

(7.6.6) ρ(x)= 0 n, x 0 , (n)xe 1-n-x

>∞<≤Γ

pentru x < 0 considerăm ρ(x) = 0. Evident ρ(x) este o densitate de repartiţie : ρ(x) ≥ 0 şi

1)n()n(dxxedx)x(

0

1nx)n(

1

0=

ΓΓ

==ρ ∫∫∞

−−Γ

∞

Vom nota prin ℘(n) mulţimea variabilelor aleatoare a căror densitate de probabilitate este funcţia ρ(x) data mai sus.


O astfel de variabilă aleatoare posedă momentele de un ordin k oarecare date prin:

(7.6.8) 1)k2).....(n1)(nn(n)n(

)kn(dxxe(f)M0

k1nx)n(

1k −+++=

Γ+Γ

== ∫∞

+−−Γ

Pentru momentele acestea găsim:

(7.6.9)

........................................6n3n(f)m

3n(f)mnn1)n(n[M(f)](f)M(f)m

24

3

2222

+=

==−+=−=

Funcţia caracteristică asociată unei variabile aleatoare de repartiţie gama este:

nk

1k

0k 0

k

0

k1knx

0 0k

1nxk

0

1nxitxf

it)1(it)(k!

1)k(n1)........n(n1

(it)k!

k)(nΓ)n(

1dx(it)xek!1

n)(1

dxxek!x)(i

n)(1dxxee

)n(1)t(

−∞

=

∞

=

∞∞−+−

∞ ∞

=

−−∞

−−

−=−++

+=

=+

Γ=

Γ=

=+

Γ=

Γ=ϕ

∑

∑ ∑∫

∫ ∑∫

Referitor la operaţii cu variabile aleatore de repartiţie gama are loc. Teorema 10. Dacă variabilele aleatoare independente sunt de repartiţie gama aparţinând claselor )n(f 11 ∈℘ , respectiv )n(f 22 ∈℘ , atunci 21 ff + este de repartiţie gama şi aparţine clasei )nn( 21 +℘ . Demonstraţie. Funcţia caracteristică corespunzătoare variabilei aleatoare 21 ff + este

)n(nnnff

212121

it)(1it)(1it)(1(t) +−−−+ −=−−=ϕ ,

care corespunde repartiţiei )nn( 21 +℘ Următoarea teoremă stabileşte o relaţie de legătură între repartiţia gama şi repartiţia normală (Gauss-Laplace) Teorema 11. Dacă variabila aleatoare f este normală de parametrii m şi σ(f∈N(m,σ)), atunci variabila aleatoare

7.7. Repartiţia Beta 169

(7.6.10) 2

2

2)mf(g

σ−

=

este de repartitie gama şi aparţine clasei )( 21℘

Demonstraţie. Fie x > 0, atunci funcţia de repartiţie asociată variabilei aleatore este:

G(x) = P(g < x) = P(ω ∈ Ω : g(ω)<xş) = P( x2

mfx <σ

−<− ) =

= ∫ ∫ =π

=π

=<σ−

<− −−x2

x2

x2

0due

22due

21)x2mfx2(P 2

2u22u

∫−−

Γ=

x

0

v

21 dvve)(

121

(am efectuat schimbarea de variabilă u → v , v =2u2

, am înlocuit )( 21Γ=π ).

De aici rezultă că densitatea de repartiţie asociată variabilei aleatoare g este 21

xe)(

1dx

)x(dG)x( x

21g

−−

Γ==ρ , adică g )( 2

1℘∈ .

7.7. Repartiţia Beta

Repartiţia de probabilitate beta este definită prin funcţia beta a lui Euler

(7.7.1) ∫ >>−= −−1

0

1q1p 0q , 0p ,dx x)(1xq)B(p,

Prin schimbarea de variabilă yx → , x = 1 - y , rezultă imediat că

(7.7.2) )p,q(B)q,p(B =

De asemenea prin schimbarea de variablă θ→x , θ= 2sinx obţinem următoarea exprimare a funcţiei beta :

(7.7.3) θθθ= ∫π

−− d cossin2)q,p(B2

0

1g21p2 ,


iar prin schimbarea de variabilă yx → , y1

1x+

= obţinem

(7.6.4) ∫∞

+

−

+=

0qp

1qdy

)y1(y)q,p(B

Între funcţiile lui Euler beta şi gama se stabileşte următoarea relaţie de legătură

(7.6.5) )q,p(

)q()p()q,p(BΓ

Γ⋅Γ=

Definitia 8. Spunem despre o variabilă aleatoare f că urmează o repartiţie de probabilitate beta dacă densitatea sa de probabilitate este de forma:

(7.6.6) ,)n,m(B)x1(x)x(

1n1m −− −=ρ

unde 0 ≤ x ≤ 1, m > 0 , n > 0 Evident, ρ(x) este o densitate de probabilitate deoarece ρ(x) ≥ 0 şi

∫ =− −−1

0

1n1m )n,m(Bdx)x1(x

implică ∫∞

∞−

=ρ 1dx)x( .

Vom nota β(m,n) mulţimea tuturor variabilelor aleatoare a căror densitate de repartiţie este dată prin relaţia (7.6.6). Momentele de ordinul k ale unei variabile aleatoare de repartiţie β sunt:

(7.6.7)

)1knm)...(1nm)(nm()1km)...(1m(m

)n,m(B)n,km(Bdx)x1(x

)n,m(B1)f(M 1n

1

0

1mkk

−+++++−++

=

=+

=−= −−+∫

În particular avem :

nmm)f(M+

= ,)1nm)(nm(

)1m(m)f(M 2 ++++

=

(7.6.8) )1nm()nm(

mn)]f(M[)f(M)f()f(m 22

22

2+++

=−=σ=

7.8. Repartiţia lognormală 171

Între variabilele aleatoare de repartiţie beta şi gama există următoarea relaţie de legatură . Teorema 12. Dacă f 1 şi f 2 sunt variabile aleatoare independente de repartiţie gama

)n(f si )m(f 21 ∈℘∈℘ atunci, variabila aleatoare

(7.6.9) 21

1

fffg+

=

urmează o repartiţie beta de parametri m si n (g∈β(m,n)) . De asemenea se poate construi o variabilă aleatoare de repartiţie beta pornind de la variabile aleatoare de repartiţie normală Teorema13. Dacă variabilele aleatoare independente mi1),f( i ≤≤ , nj1);g( j ≤≤

urmează o repartiţie normală de parametrii o si 2σ , atunci variabila aleatoare

(7.6.10) 2n

21

21

2m

22

21

2m

22

21

g.....ggf......fff.....ffh

++++++++++

=

este de distribuţie beta aparţinând clasei ),( 2n

2mβ .

7.8. Repartiţia lognormală

Definitia 9. O variabilă aleatoare f continuă are o repartitie lognormală dacă densitatea sa de repartiţie este dată prin :

(7.8.1) e 2

2

2)ax(ln

2

2x1),a,x( σ

−−

πσ=σρ ,

unde +∈ IRx , iar a şi 2σ sunt valoarea medie şi respectiv, dispersia logaritmului lui f. Să considerăm variabila aleatoare

(7.8.2) )af(ln1g −σ

= ,

atunci avem :

(7.8.3) e gaf σ+= ,

iar variabila aleatoare g este repartizată dupa legea normală redusă )1,0(Ng( ∈ )


Teorema 14. Valoarea medie a unei variabile aleatoare lognormale f de parametrii a şi 2σ este

(7.8.4) e 22

a)f(Mσ+= ,

iar dispersia este dată prin

(7.8.5) e )1e(a2222

)f(D −σ+ σ

= .

Demonstraţie: =σρ= ∫∞

0

2 dx),a,x(x)f(M ∫∞

σ

−−

πσ 02

)ax(lndx

21

e 2

2

.

Efectuând schimbarea de variabilă (x → u) prin σ−

=axlnu şi efectuând calculele

rezultă valoarea medie dată de (35).

dxx

)x(2

1dx),a,x())f(Mx()f(D0 0

2)ax(ln2

2a

222 ee 2

22

∫ ∫∞ ∞

σ

−−σ

+−

πσ=σρ−=

Efectuând aceeaşi schimbare de variabilă şi calculele rezultă dispersia dată prin (15) .

Observaţia 1. 0),a,x(lim),a,0( 2

0x0x

2 =σρ=σρ>→

ceea ce constituie o proprietate

importantă a variabilei aleatoare lognormale când x are semnificaţia timp , proprietate ce nu este îndeplinită în cazul unei variabile aleatoare normale .

Observaţia 2. Fie n21 f,.....,f,f variabile aleatoare de repartiţie lognormală independente .

Atunci, variabila aleatoare produs (7.8.6) n21 f,........,f,fg =

este o variabilă aleatoare lognormală. Într-adevăr n,1k,fk = fiind de repartiţie lognormală, atunci variabilele

aleatoare n,1k,fln k = sunt de repartiţie normală şi folosind proprietatea de aditivitate a variabilelor aleatoare independente de repartiţie normală rezultă că

variabila aleatoare ∑=

=n

1kkflngln este de repartiţie normală şi deci g este de repartiţie

lognormală.

7.9. Repartiţia student 173

7.9. Repartiţia Student

Definitia 10 . Spunem că o variabilă aleatoare f are o repartiţie Student cu n grade de libertate, dacă densitatea sa de probabilitate este dată prin :

(7.9.1) 21n2

2n

21n

)n

x1()(n

)()x(

+−+

+Γπ

Γ=ρ

unde x ∈ R, *Nn∈ iar Γ este funcţia lui Euler de speţa a doua ∫∞

−−=Γ0

t1u )dtet)u((

. Funcţia ρ(x) definită de (38) indeplineşte condiţiile unei densităţi de probabilitate: a) ρ(x) ≥ 0 , pentru orice x ∈ R este vizibil.

b) ∫∞

∞−

=ρ 1dx)x( , rezultă din calcul .

Într-adevăr

∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞ +−+

−+

+Γπ

Γ=+

Γπ

Γ=ρ

+

0

21n

nx

2n

21n

nx

2n

21n

dx)1()(n

)(2dx)1(

)(n)(

dx)x( 22

1n2 ,

deoarece ρ(x) este o funcţie pară. Efectuând schimbarea de variabila (x → y) prin

2xy

2

= se obţine

,)(

)()(2n

)2n,

21(

2ndy)y1(y

2ndx)

nx1(

21n

2n

21

0 0

2)1n(

21

2)1n(2

+

∞ ∞ +−−

+−

Γ

ΓΓ=

=β=+=+∫ ∫

de unde rezultă că ∫∞

∞−

=ρ 1dx)x( .


Deoarece densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare student este o funcţie pară, valoarea medie şi momentele de ordin impar a unei variabile f repartizate student sunt zero: M(f) = 0 , 0)f(M 1k2 =+ . Pentru momentele de ordin par se obţin în urma aceleiaşi schimbări de variabile, utilizate mai sus, rezultatele:

(7.9.2) )(

)k()k(

2n)f(M

2n

2n

21k

k2 Γ

−Γ+Γ

π= , k <

2n

Cum

π−−=Γ−−=+Γ21)...

23k)(

21k()

21(

21).....

23k)(

21k()

21k( ,

)k2n()k

2n)......(2

2n)(1

2n()

2n( −Γ⋅−−−=Γ

obţinem pentru momentele de ordin par exprimările:

(7.9.3) )k2n)....(4n)(2n(

)1k2.......(321n)f(Mk

k2 −−−−⋅⋅⋅

= , k<n/2

iar pentru cazul particular al dispersiei avem

(7.9.4) 2n

n)f(M)f(m)f(D 222

−===

În continuare dăm fără demonstraţie următoarea teoremă care arată legătura asimptotică dintre repartiţia student şi repartiţia normală .

Teorema 15. a) Dacă )x(nρ este densitatea de repartiţie student cu n grade de libertate , atunci : (7.9.5) )1,0,x()x(lim Nnn

ρ=ρ∞→

unde )1,0,x(Nρ este densitatea de repartiţie normală de parametri 0 si 1 . b) Dacă variabilele aleatoare independente 1nn21 f,f,..,f,f + au fiecare o densitate de

repartiţie normală de parametrii 0 si 2σ , atunci variabila aleatoare

(7.9.6)

∑=

+= n

1k

2k

1nn

f

fng

are o distribuţie de probabilitate student cu n grade de libertate .

7.10. Repartiţia Helmert 175

În statistică o variabilă aleatoare student cu n grade de libertate se mai notează prin nt , iar α-cuantila superioară se notează prin n,tα şi ea este determinată de

relaţia

(7.9.7) α=> α )tt(P n,n

Geometric α reprezintă aria suprafeţei cuprinse între axa Ox, graficul densităţii de repartiţie student, situată la dreapta paralelei cu Oy de ecuaţie

n,tx α= .Mulţimea variabilelor aleatoare ce urmează o repartiţie de probabilitate

Student cu n grade de libertate se notează de obicei cu S(n). Repartiţia Student este utilizată pentru efectuarea de teste statistice în vederea verificării unor ipoteze statistice referitoare la mediile populaţiilor etc.În cadrul acestor teste densitatea de repartiţie Student cu n grade de libertate se mai notează cu f(t,n), iar valorile ei şi ale α-cuantilei superioare se găsesc tabelate (înregistrate).

7.10. Repartiţia Helmert

Această repartiţie a fost descoperită în 1876 de către Helmert şi pusă în valoare de K. Pearson cu 30 de ani mai târziu. Ea este un caz particular al repartiţiei

gama, obţinându-se din aceasta pentru 22b , 2na σ==

Definiţia 11. Spunem despre o variabilă aleatoare f că urmează o repartiţie de probabilitate Helmert ( 2χ )de parametrii n si σ dacă densitatea sa de repartiţie este dată prin:

(7.10.1) ex2

22x

12n

n2n

)2n(

1)x( σ

−−

Γ=ρ

σ

pentru orice x∈[0, ∞) , unde n este un număr natural dat, numit numărul gradelor de libertate, iar σ > 0 este de asemenea dat. Se verifică uşor că

∫∞

=ρ0

1dx)x( .


Vom nota cu H(n,σ) mulţimea tuturor variabilelor aleatoare având o repartiţie de probabilitate Helmert de parametrii n, σ. Prin calcul direct se deduce că funcţia caracteristică asociată unei variabile aleatoare hi-pătrat este :

(7.10.2) 2n

2 )ti21()t(−

σ−=ϕ

Derivând succesiv obţinem

(7.10.3)

.)ti21()2k2n)...(2n(nidtd

.....................................................

)ti21()2n(nidt

yd

)ti21(indtdy

k2n

2k2kk

k

22n

2422

2

12n

22

−−

−−

−−

σ−σ−++=

σ−σ+=

σ−σ=

Dând lui t valoarea zero, din relaţiile de mai sus se obţin momentele de diferite ordine pentru o variabilă aleatoare f de repartiţie hi-pătrat

(7.10.4)

,)2k2n)...(2n(ndtd

i1)f(M

....................................................

)2n(ndtd

i1)f(M

ndtd

i1)f(M

k2

0tk

k

kk

4

0t2

2

22

2

0t1

σ−++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ=

σ+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ=

σ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ

=

=

=

=

iar pentru momentele centrate se obţin valorile :

(7.10.5)

.....................................................)4n(n12)f(m

n8)f(m

n2)]f(M[)f(M)f(m

84

63

42122

σ+=

σ=

σ=−=


Cu ajutorul funcţiei caracteristice asociate repartiţiei Helmert se poate arăta că, dacă f este o variabilă aleatoare ce aparţine clasei H(n,σ)atunci variabila aleatoare

(7.10.6) 2

2

n n2nfgσσ−

=

este asimptotic normală (N(0,1)), pentru n → ∞. Să considerăm variabilele aleatoare ),n(Hf 11 σ∈ şi ),n(Hf 22 σ∈ şi funcţiile caracteristice corespunzătoare acestora

2n

21

1

)ti21()t(−

σ−=ϕ , respectiv 2n

22

2

)ti21()t(−

σ−=ϕ .

Atunci variabila aleatoare 21 fff += va avea funcţia caracteristică

,)ti21(

)ti21()ti21()t()t()t(

2nn

2

2n

22n

221

21

21

+−

−−

σ−=

=σ−σ−=ϕϕ=ϕ

de unde rezultă că ),nn(Hfff 2121 σ+∈+= Următoarele teoreme furnizează modalităţi de a obţine variabile aleatoare de repartiţie H(n,σ). Teorema 16. Fie variabilele aleatoare independente 1nn21 f,f,..,f,f + aparţinând clasei N(0,σ). Atunci variabila aleatoare

(7.10.7) g = 2n

22

21 f,..,ff +++

aparţine clasei H(n , σ) . Demonstraţie. Fie x ≥ 0. Funcţia caracteristică a variabilei aleatoare nj1,f 2

j ≤≤ se

obţine prin:

∫−

σ

−

=σπ

=<ω<−Ω∈ω=<ωΩ∈ω=x

x

2t

j2j dte

21)x)(fx:(P)x)(f:(P)x(F 2

2

∫ σ−

σπ=

x

0

2t

.dte22 2

2


2

2

2t

ex2

1dx

)x(dF σ−

σπ=

De aici rezultă că funcţia caracteristică asociată variabilei aleatoare 2jf este

dată de :

∫∞

σ−−

σπ==ϕ

0

2x

21

xtitiff dxexe

21)e(M)t( 22

j2j

Dezvoltând în serie de puteri (Taylor) funcţia ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

∞

=0n

nxtixti

!n)xti( ee , ţinând

seama de definiţia funcţiei Γ a lui Euler şi de expresia seriei binomiale, în urma unui calcul similar cu cel din determinarea funcţiei caracteristice asociate repartiţiei gama se obţine

21

2tiff )ti21()e(M)t(

2j

2j

−σ−==ϕ

Funcţia de repartiţie asociată variabilei aleatoare ∑=

=n

1j

2jfg se obţine prin :

,)ti21(

)ti21()(M

)(M)(M)t(

2n

2

n

1j

n

1j

21

2itf

n

1j

itffitg

e

ee

2j

2j

n

1j

2j

−

= =

−

=

σ−=

=σ−==

==∑=ϕ

∏ ∏

∏=

care este funcţia caracteristică corespunzătoare unei variabile aleatoare de repartiţie Helmert (g∈Η(n,σ)) de parametrii n si σ . Legea de repartiţie χ 2 (hi-pătrat) cu n-grade de libertate se mai notează cu χ 2

n ,

iar α - cuantila superioară corespunzătoare unei variabile aleatoare de repartiţie χ 2n se

notează prin χ 2,n α . Ea se determină prin relaţia


(7.10.8) P(χ 2n > χ 2

,n α ) = α ,

α reprezintă aria haşurată din figura alăturată şi pentru determinarea α-cuantilei superioare χ 2

,n α se găsesc înregistrări (tabele) cu valorile ei în funcţie de α .

Repartiţia χ 2 este utilizată frecvent în statistică la ajustarea repartiţiilor statistice rezultate în analiza statistică.

ρ(x) α

7. legi clasice de probabilitate · 11.1. repartiţia binomială (legea de probabilitate bernoulli)...

Documents