formule bacaualaureat

Formule de algebr

Ecuaia de gradul doi

Ecuaia .Se calculeaz

Dac atunci ecuaia de gradul doi are dou rdcini reale diferite date de formula

Dac atunci ecuaia de gradul doi are dou rdcini reale egale date de formula

Dac atunci ecuaia de gradul doi are dou rdcini complexe diferite date de formula

Relaiile lui Viete pentru ecuaia de gradul doi :

Alte formule folositoare la ecuaia de gradul doi:

Funcia de gradul doi

R R

Graficul funciei de gradul doi este o parabol cu varful in punctul .

Dac a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minim a funciei este

Dac af(x1)f(x2)

-f(x1)=f(x2); x1,x2A =>x1=x2 - o functie numerica e injectiva , daca orice paralela dusa la axa Ox printr-un punct al codomeniului , taie graficul functiei , in cel mult un punct.

II f : AR e surjectiva, daca are loc una dintre afirmatiile echivalente:

() yB; exista xA, astfel incat f(x)=y.

Pt orice yB, ecuatia f(x)=y are cel mult o solutie xA. Imf=f(A)=B

O functie numerica e surjectiva, daca orice paralela la axa Ox, dusa printr-un punct al codomeniului, taie graficul functiei, in cel putin un punct.

III f : AB bijectiva , daca are loc una dintre afirmatiile echivalente:

functia e injectiva si surjectiva

oricare yB, ecuatia f(x)=y are o unica solutie xA,

O functie numerica e bijectiva, daca orice paralela la axa Ox, dusa printr-un punct al codomeniului, taie graficul functiei, intr-un singur punct.

FUNCTII TRIGONOMETRICE INVERSE1. FUNCIA ARCSINUS ,

, , , este impara , Semnul: este pozitiva pe intervalul si negativa pe intervalul Monotonia: este strict crescatore;

Tabel de valori:

Graficul:

n tabelul de mai jos prezentm principalele caracteristici ale funciei arcsinusProprieti

1. Intersecia graficului cu axele de coordonate

2. ParitateImpar arcsin(-x)= - arcsin(x)

3. Simetria graficuluin raport cu originea

4. Monotonia funcieiStrict cresctoare pe

5. Mrginire

Valori extreme funcie mrginit

min arcsin(x)=A

max arcsin(x)=

6. Convexitate i concavitate- Concav pe

- Convex pe

7. ContinuitateCurb continu

8. Semnul funcieiArcsin x

Arcsin x

9. BijectivitateaDa

10. Funci invers

Sin(arcsin x)= x,

Arcsin(sin x)= x,

2. FUNCIA ARCCOSINUS , ,, ;

, ;

Semnul: este pozitiva;

Monotonia: este strict descrescatore;

Tabel de valori:

Graficul:

n tabelul de mai jos prezentm principalele caracteristici ale funciei arccosinus

Proprieti


2. ParitateNu arccos(-x)= - arccos(x),

3. Simetria graficuluin raport cu punctual

4. Monotonia funcieiStrict descresctoare pe

5. Mrginire

Valori extreme funcie mrginit

min arccos(x)=A

max arccos(x)=

6. Convexitate i concavitate- Convex pe

- Conc pe av


8. Semnul funcieiArcc xos

9. BijectivitateaDa

10. Funci invers

cos(arccos x)= x,

Arccos(cos x)= x,

3. FUNCIA ARCTANGENT

, , , , ; este impara , ; Semnul: este pozitiva pe intervalul si negativa pe intervalul . Monotonia: este strict crescatore; Tabel de valori:

Graficul:

n tabelul de mai jos prezentm principalele caracteristici ale funciei arctangent

Proprieti


2. ParitateImpar arctg(-x)= - arctg(x),

3. Simetria graficuluin raport cu originea

4. Monotonia funcieiStrict cresctoare pe R

5. Mrginire

Valori extreme funcie mrginit:

asimptot orizontal la +

asimptot orizontal la -

6. Convexitate i concavitate- convex pe

- concav pe


8. Semnul funciei- arctg x < 0, dac x

- arctg x >0, dac x

9. BijectivitateaDa

10. Funci invers

Tg(arctgx)= x,

Arctg(tgx)= x,

4. FUNCIA ARCCOTANGENT

, ,, ;

,

Semnul: este strict pozitiva; Monotonia: functia arcctg este strict descrescatoare; Tabel de valori:10

Graficul:

Modulul 7: Funcii elementare. Ecuaii. Inecuaii

1. Logaritmul unui numr (real pozitiv). Proprietile logaritmilor. CLASA a 10-aDefiniie: Se numete logaritmul n baza a (unde a>0 i ) a numrului strict pozitiv b, exponentul puterii la care trebuie ridicat numrul a pentru a obine numrul b.

Se noteaz: . Se citete: 1) logaritmul n baza a al numrului b; 2) logaritmul numrului b n baza a;

3) logaritmul n baza a al lui b; 4) logaritmul lui b n baza a.

Numrul a se numete baza logaritmului;

Numrul b se numete numrul de sub logaritm;

Numrul se numete logaritmul n baza a al numrului b.

Conform definiiei: a) b)

Proprietile logaritmilor:1) (formula condensat a logaritmilor)2) , unde a>0, a (1

3) , unde a>0, a (1

4) , (a>0, a(1, b>0)

5)

6) , unde x>0 i y>0 (logaritmul produsului)7) , unde x>0 i y>0 (logaritmul ctului)8) = (formula de trecere de la baza a la baza b)9) = (formula de trecere de la baza a la baza c)10) (formula de trecere de la baza a la baza 10)11) == (formula de trecere de la baza a la baza e)12) ; 0 = ; 1=

13) se numete logaritm zecimal al numrului b14) se numete logaritm natural al numrului b15)

(Se aplic la rezolvarea unor ecuaii i la demonstrarea unor identiti).

Remarc: 1) Numrul iraional e=2,71828182se numete numrul lui Euler.

2) Funcia logaritmic este: f: , f (x)=, .

Definiia 1: Partea ntreag a logaritmului zecimal al unui numr pozitiv se numete caracteristica lui.

Caracteristica logaritmului zecimal a numrului pozitiv b este numrul ntreg k, unde k =.

Definiia 2: Partea fracionar a logaritmului zecimal al unui numr pozitiv se numete mantisa lui.

Mantisa logaritmului zecimal a numrului b este numrul m =.

2. Funcia exponenial

Definiie: Funcia de forma , unde i se numete funcie exponenial.

a) Graficul funciei exponeniale , unde i :

Fig. 26.1 Fig. 26.2

b) Proprieti ale funciei exponeniale:

P1: Domeniul de definiie al funciei este: .

P2: Mulimea valorilor funciei este: .

P3: Funcia nu este nici par i nici impar , deoarece .

P4: Funcia nu este periodic.

P5: Graficul funciei exponeniale intersecteaz axa Oy n punctul , deoarece . Graficul funciei exponeniale nu intersecteaz axa Ox.

P6: Semnele funciei exponeniale: pentru .

P7: Monotonia funciei:

a) Pentru funcia exponenial este strict cresctoare pe R;

b) Pentru funcia exponenial este strict descresctoare pe R..

P8: Funcia exponenial este bijectiv i inversabil i inversa ei este funcia logaritmic , unde i .

P9: Funcia exponenial este mrginit inferior (de jos) i este nemrginit superior, deoarece , , iar .

P10: Graficul funciei exponeniale este convex pe R.

P11: Axa Ox, adic dreapta de ecuaie este asimptot orizontal a graficului funciei exponeniale i anume:

a) Pentru graficul funciei exponeniale are asimptot orizontal spre dreapta de ecuaie , deoarece ;

b) Pentru graficul funciei exponeniale are asimptot orizontal spre dreapta de ecuaie , deoarece .

P12: Graficul funciei exponeniale nu admite asimptote verticale, deoarece funcia este continu pe R.3. Funcia logaritmic

Definiie: Funcia de forma , unde i se numete funcie logaritmic.

a) Graficul funciei logaritmice , unde i :

Fig. 2.1 Fig. 2.2b) Proprieti ale funciei logaritmice:

P1: Domeniul de definiie al funciei logaritmice este: .

P2: Mulimea valorilor funciei logaritmice este: .

P3: Funcia logaritmic nu este nici par i nici impar, deoarece domeniul ei de definiie nu este simetric fa de originea sistemului de coordonate .

P4: Funcia logaritmic nu este periodic.

P5: Graficul funciei logaritmice intersecteaz axa Ox n punctul , deoarece .

Graficul funciei logaritmice nu intersecteaz axa Oy, deoarece .

P6: Semnele funciei logaritmice:

a) Dac , atunci pentru i pentru ;

b) Dac , atunci pentru i pentru .

P7: Monotonia funciei logaritmice:

a) Pentru funcia logaritmic este strict cresctoare pe ;

b) Pentru funcia logaritmic este strict descresctoare pe .

P8: Funcia logaritmic este bijectiv i inversabil i inversa ei este funcia exponenial , i .

P9: Funcia logaritmic este nemrginit, deoarece .

P10: Graficul funciei logaritmice este convex pe R pentru i este concav pe R pentru .

P11: Axa Oy, adic dreapta de ecuaie este asimptot vertical de dreapta (din stnga graficului) a graficului funciei logaritmice, deoarece:

a) Pentru avem: .

b) Pentru avem: .

P12: Funcia logaritmic este continu pe i graficul ei nu admite asimptote orizontale i oblice spre .n tabelul de mai jos prezentm principalele caracteristici ale funciei arccotangent

Proprieti

1. Intersecia graficului cu axele de coordonate, Graficul nu taie axa Ox

2. ParitateNu arcctg(-x)= - arcctg(x),

3. Simetria graficuluin raport cu punctual

4. Monotonia funcieiStrict descresctoare pe R

5. Mrginire

Valori extremefuncie mrginit:

asimptot orizontal la +

, asimptot orizontal la -

6. Convexitate i concavitate- concav pe

- convex pe


8. Semnul funciei- arcctg x >0, dac x

9. BijectivitateaDa

10. Funci invers

ctg(arcctgx)= x,

Arcctg(ctgx)= x,

http://staticlb.didactic.ro/uploads/material/100/27/36//puteri_si_radicali.pdf

Formule pentru transformarea sumelor in produse

EMBED Equation.DSMT4

Formule pentru transformarea produselor in sume

EMBED Equation.DSMT4

Calculeaz numrul de submulimi ordonate cu k elemente ale unei mulimi cu n elemente.

Calculeaz numrul de submulimi cu k elemente ale unei mulimi cu n elemente.

formula fundamental a trigonometriei

funcia sin este impar

funcia cos este par

y

P

EMBED Equation.3

O

x

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

B

A

Arii,volume i alte formule

-Triunghi EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; formula lui Heron: EMBED Equation.3

-triunghiul echilateral EMBED Equation.3 ; nlimea triunghiului echilateral EMBED Equation.3

-triunghiul dreptunghic EMBED Equation.3 ; nlimea triunghiului dreptunghic EMBED Equation.3

-raza cercului nscris n triunghi EMBED Equation.3 ; raza cercului circumscris triunghiului EMBED Equation.3

-Paralelogram A=bh ;Dreptunghi A=Ll (sau bh); Romb EMBED Equation.3 (sau bh) ;ptrat A=l

-diagonala ptratului EMBED Equation.3 ; Trapez EMBED Equation.3 ; Cerc L=2R,A=R, 3,14

-Poligon regulat:apotema an=Rcos 180/n ; latura ln=2Rsin 180/n ; unghiul u=(n2)180/n

-Prisma V=ABh, aria lateral=suma ariilor feelor laterale, AT=AL+2AB

-diagonala paralelipipedului dreptunghic EMBED Equation.3 ; diagonala cubului EMBED Equation.3

-Piramida EMBED Equation.3 , aria lateral=suma ariilor feelor laterale, AT=AL+AB

-apotem=nlimea unei fee laterale

-Trunchiul de piramid EMBED Equation.3 aria lateral=suma ariilor feelor laterale

AT=AL+AB+Ab

x

f(x)

Semnul lui a

Daca EMBED Equation.3 EMBED Equation.3


Semnul lui a 0 Semnul lui a

f(x)

x


Semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

f(x)

x

X1

x1 x2

X1

EMBED Equation.3

Semn contrar lui a 0 Semnul lui a

f(x)

x

Modulul unui numar complex

Conjugatul unui numar complex

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Rolul derivatei I-intervalele de monotonie(crescator, descrescator)

-punctele de extrem(max, min)

f(x), EMBED Equation.3

xx1x2

+ + + + + + + + 0 - - - - - - -- - - - 0 + + + + +

EMBED Equation.3 f(x1) f(x2)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Rolul derivatei a II-a-intervalele de convexitate si concavitate

-punctele de inflexiune

EMBED Equation.3

xx1x2

+ + + + + + + + 0 - - - - - - -- - - - 0 + + + + +

EMBED Equation.3 f(x1) f(x2)

0

formule bacaualaureat

Documents