Formule Algebra

Cuprins ALGEBRA

Media aritmetica

Media geometrica (proportionala):

Media aritmetica ponderata:

, unde a1, a2, ..., an reprezinta numerele, cu ponderile p1, p2, ..., pn.

Puteri:

              

                  

                                          proprietatile radicalilor >>

Alte formule calcul prescurtat:

                                  

                                  

  şi, mai mult, avem:

                                  

                                  

 

Proprietăţile radicalilor:

                                  

Logaritmi

                                                    

                                

       Schimbarea bazei unui logaritm                    

                                                

                                                

                  

                    

Formule de calcul prescurtat:

Ecuatia de gradul I:    O ecuatie de gradul I are forma: ax+b=0. Solutia acestei ecuatii este x=-b/a, cu a diferit de 0. Daca a=0 si b diferit de 0, solutia este multimea vida. Altfel, adica daca a=0 si b=0, solutia este intreaga multime de definitie.

Ecuatia de gradul al II-lea:    Forma canonica a unei ecuatii de gradul al II-lea este: ax2+bx+c=0. Etapele rezolvarii acestei ecuatii sunt:

Calcularea discriminantului:

Evaluarea discriminantului:daca discriminantul este negativ, ecuatia nu are solutii reale; daca discriminantul este nul, ecuatia are o singura solutie (x1=x2); daca discriminantul este strict pozitiv, ecuatia are doua solutii, care se calculeaza dupa cum urmeaza:

Calcularea solutiilor:

Relaţii între  rădăcinile ecuaţiei  de gradul al doilea

Permutari

          Formula de recurenta a permutarilor:

          

Aranjamente

     , sau

               Formula de recurenta a aranjamentelor:

        

Combinari

     , sau

               Formula de recurenta a aranjamentelor:

         Demonstratie:     

     Formula combinarilor complementare:

        

Binomul lui Newton     Formula Binomului lui Newton este:

            Termenul general al dezvoltarii binomului lui Newton:

            Observam ca,

     Gasirea rangului celui mai mare termen din dezvoltarea (a + b)n se face dupa formula

      

     Observatie. Pentru o multime cu n elemente, numarul de submultimi cu k elemente este egal cu Cn

k.

     Pentru a = b = 1, avem

.

Observatie. Numarul de submultimi ale unei multimi cu n elemente este 2n.

Progresii aritmetice şi progresii geometrice

 

Progresii aritmetice

Definitia. Sirul de numere (an)n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat

an+1 - an = d,   ( n N )

adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu precedentul plus unul si acelasi numar (ratia).

Elementul an se numeste termen general al progresiei sau termen de rang n.

Progresiile aritmetice sunt de forma a1, a2, ..., an sau a1 , a1 + r , a1 + 2r , ... , a1 + (n-1)r unde:

n este numărul de elemente din progresie, ak = a1 + (k - 1)r , pentru toţi k între 1 şi n, numită şi formula general a

termenului unei progresii aritmetice. r este raţia : r = ak - ak-1 numită şi formula de recurenţă. Suma primelor n numere dintr-o progresie artimetică finită se poate calcula

astfel:

Exemplu : -1 , 2 , 5, 8, ... cu r = 3 şi a1 = -1 .

 

Progresii geometrice

Definitia. Sirul de numere (bn)n N se numeste progresie geometrica, daca exista un numar q, numit ratia progresiei, astfel incat

bn+1 = bn·q,     (n  N)

adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu produsul dintre termenul precedent si unul si acelasi numar (ratia).

Elementul bn se numeste termen general al progresiei de rang n.

Exemple: 1, 2, 4, 8, ..., 2n, ...  cu b1 = 1 si q = 2,

5, 15, 45, … cu b1 = 5 si q = 3.

 

Termenul de rang n al progresiei geometrice se determine prin formula

bn = b1·qn-1,     (n N).

Patratul termenului de rang n este egal cu produsul termenilor echidistanti de el:

in caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi

Daca k + n = m + p (k, n, m, p N), atunci bk·bn = bm·bp,

unde bk, bn, bm, bp - termeni ai progresiei geometrice b1, b2, ....

Numerele a, b, c formeaza o progresie geometrica (in ordinea indicata) daca si numai daca

b2 = ac.

Suma primilor n termeni Sn ai unei progresii geometrice se determina prin formula

unde b1 - primul termen, q - ratia, si bn - termenul general al progresiei geometrice.

Matricea

O matrice este un tabel dreptunghiular de numere. 

Exemplu: . Putem defini o matrice astfel:

Fie M={1, 2, 3, ..., m} si N={1, 2, 3, ..., n}. A: M x N -> R, A(i,j) = ai,j se numeste matrice de tipul (m, n), cu m linii si n coloane.

O matrice care are o dimensiune egala cu 1 se numeste vector. O matrice A[1,n] (1 linie si n coloane) se numeste vector linie, iar o  matrice B[m,1] ( o coloana si m linii) se numeste vector coloana.Exemple:

  Este o matrice de tipul 4x3. Elementul A[3,1] sau a3,1 este 12.

este o matrice de tipul (1, 7)  sau vector linie.

O matrice A(m,n) care are m = n  se numeste matrice patratica. Deci, o matrice patratica este matricea care are numarul de linii egal cu numarul de coloane.

Adunarea matricilor

Dacă A si B sunt două matrici de tipul m x n, atunci C = A + B, unde ci,j = ai,j + bi,j este suma lor (unde i<m+1, j<n+1).Exemplu:

Inmultirea cu un scalar

Dându-se matricea A  şi scalarul (constanta) c, avem matricea B = cA, unde  bi,j = cai,j

care este produsul dintre matricea A si scalarul c.  De exemplu,

Inmultirea matricilor

Fie A o matrice de tip m x n si B o matrice de tip n x p. Atunci, produsul lor este C = AB o matrice de tip m x p, cuci,j = ai,1b1,j + ai,2b2,j + ... + ai,nb1,n. De exemplu,

Proprietatile înmulţirii matricilor

1. - asociativitate

2. - element neutru, unde In  este matricea unitate definita astfel

           

3.

4. - distributivitate.

O matrice patratica  A, de ordin n, este inversabila (sau nesingulara) daca exista o matrice patratica  B, de ordin n,  astfel incat, sa avem

  AB = In = BA

In acest caz, matricea B se numeste inversa matrcii A, si se noteaza A-1. 

Determinanţi

Fie matricea    

                            . Se numeste determinantul   matricei A, numărul

                                     

Se noteaza                          .

Algoritmul simplex

            Se consideră problema de programare (2) şi un program de bază

nedegenerat . După unele renumerotări şi rearanjări putem considera

; deci variabilele  sunt principale iar  

secundare, iar vectorii coloană  formează baza B a programului de bază

. Fie

Mai notând:

   problema (2) poate fi scrisă:

            Înmulţind  la stânga cu obţinem:

care reprezintă transcrierea sistemului de restricţii în baza B, căci dacă scriem

 (exprimarea vectorilor coloană în funcţie de vectorii bazei B) vom avea:

   Corespunzător programului problema (2) devine:

Deci  sunt componentele vectorului L în baza B.

Deci relaţia (8) devine:

 de unde

  şi atunci

:  

sau explicit:

Notând:  atunci:

Observăm că

          Acum putem asocia problemei PL- min următorul tabel:

 

 

          Teorema II.4.1. Dacă este un program de bază nedegenerat pentru PL -

min şi în tabelul asociat (S) avem  atunci  este program optim.

 

          Demonstraţie: Din (13) avem:

 pentru orice program admisibil X. Deci este optim.

 

          Teorema II.4.2. Dacă este un program de bază nedegenerat şi în tabelul

simplex asociat (S) există un t,  astfel încât , atunci PL - min nu are optim finit.

 

          Demonstraţie: Fie: unde:

Astfel avem

Pentru  avem:

 c1     c2            cn

a1      a2            an

  vectorii bazei

componentele nenule ale lui

.........................................

(S)

       Deci  este soluţie admisibilă. Avem:

 

din definirea lui .

          Deoarece  atunci , adică funcţia obiectiv nu are optim finit.

 

            Teorema II.4.3. Dacă este un program de bază nedegenerat pentru PL - min, iar în tabelul simplex asociat (S) există un t,  şi cel puţin un

indice i, , astfel încât , atunci alegând , după criteriul:

se poate substitui în baza B vectorul cu vectorul , obţinând o bază , corespunzătoare unui program de bază care ameliorează valoarea funcţiei obiectiv.

 

          Demonstraţie. Deoarece  folosind lema substituţiei rezultă că înlocuind  în B cu sistemul de vectori nou obţinut , este o bază. Soluţia de bază

corespunzătoare lui este dată tot de lema substituţiei:

cu toate componentele nenegative (pentru  dacă  atunci

  , deci o sumă de numere nenegative; iar dacă  avem

şi ţinând seama de (14) înseamnă că  este produs de două numere nenegative).

Deci este o soluţie de bază. Valoarea funcţiei obiectiv pentru este:

 

          Acum putem prezenta algoritmul simplex pentru o problemă PL - min în formă standard.

-Pasul 10: Se găseşte un program de bază nedegenerat cu baza B; se construieşte tabelul simplex (S).

-Pasul : Se verifică dacă diferenţele pentru orice . Dacă DA se

trece la pasul 5; dacă NU, dintre toate diferenţele , negative, se alege cea mai mică. Indicele j corespunzător să-l notăm cu t. (Dacă există mai mulţi t se alege

primul de la stânga la dreapta). Vectorul va intra în bază. Se cercetează dacă

 pentru  Dacă DA, se trece la pasul 4, dacă NU, se trece la pasul 3.

-Pasul : Se alege s, astfel încât .

Vectorul va ieşi din bază. Elementul devine pivot. Se construieşte un nou tabel simplex folosind regula dreptunghiului:

a) se împarte linia pivotului la pivot.

b) în coloana pivotului, elementele  se înlocuiesc cu 0

c) elementele  se înlocuiesc cu .

Se obţine un alt program de bază cu baza şi o nouă valoare a funcţiei obiectiv.

Se revine la pasul cu şi

-Pasul 40 .Concluzie: “PL - min nu are optim finit” şI algoritmul se opreşte.

-Pasul .Concluzie: “PL - min are optim iar valoarea minimă ". STOP.

          Exemplul II.4.1. Fie problema:

 

Alegem . Avem:

          Coordonatele vectorilor în baza B sunt , respectiv . Pentru a afla coordonatele lui  se procedează astfel: punem

 , deci:

 ceea ce ne dă . Deci în baza B,

. Analog se găsesc:

Aşadar tabelul simplex corespunzător bazei B are forma:

 

   5      7      9      2      1

 

   

   1       0      1       1      -1

 

 0       1     -1       1              0       0     11    -10    -15

          Deci intră în bază,  iese din bază, z25 - pivot. Se execută pivotajul şi obţinem:

 

 

          Intră în baza şi iese .

 

  15/4    25/4      17/2     0    0

 

          Şi am obţinut Deci programul optim este

.

 3

     1    1/3    2/3             0

 

 0    1/3   -1/3   1/3     1 0     5       6      -5      0

4/3

            Algoritmul se aplică şi problemelor PL - max în forma standard cu observaţia

că  . De asemenea algoritmul se aplică şi în cazul în care funcţia

obiectiv are forma , deoarece punctele de extrem ale acesteia sunt

aceleaşi cu punctele de extrem ale funcţiei:

Formule integrale - tabel primitive uzuale

 

      

   

Reguli de derivare

   

Integrarea prin părţi

     Dacă sunt funcţii derivabile cu   derivate continue, atunci funcţiile fg, f'g şi fg' admit primitive şi mulţimile lor de primitive sunt legate prin formula

Schimbarea de variabilă

      Fie I,J  două intervale din R şi fie şi f două funcţii cu proprietăţile

         1. este derivabilă pe I;         2. g admite primitive (fie G o primitivă a sa).

     Atunci funcţia admite primitive pe I, iar funcţia este o primitivă a lui

, adică

 

Aplicaţii ale integralelor în Geometrie

Calculul ariei unor suprafeţe plane

   Dacă G este subgraficul funcţiei continue f:[a,b]->R+, atunci aria lui G este

Lungimea graficului unei funcţii   Lungimea  graficului funcţiei f:[a,b]->R derivabilă cu derivata continuă, este

 

Aria laterală a  unui corp de rotaţie

   Dacă este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de f are aria laterală egală cu

 

Volumul  unui corp de rotaţie

   Dacă este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de f are volum şi

  Formule Analiza Matematica     pag. 1     >>

 Formule de derivare  - tabel al derivatelor unor funcţii elementare

 

      

      

       

    

Reguli de derivare