1

FORMULE UZUALE

Nr.crt Expresii matematice / numere In EXCEL 1. e=2,71… EXP(1) 2. e2=(2,71…)2, e3=(2,71…)3, etc. EXP(2) , EXP(3), etc. ߨ .3 = 3.14 … PI() 4. Radicalul unui numar: x SQRT(x) 5. Pentru a calcula de exemplu 5 x POWER(x,1/5) sau x^1/5 6. Modulul unui numar : |x| ABS(x) 7. Factorialul unui numar: x FACT(x) 8.

Sinusul unui numar: x, 6 . SIN(x), SIN(PI()/6)

9. Cosinusul unui numar: : x,

6 . COS(x), COS(PI()/6)

10. Suma mai multor numere introduce intr-o foaie Excel incepand, de exemplu de la A1 pana la A10

SUM(A1 :A10)

11. Produsul mai multor numere introduce intr-o foaie Excel incepand, de exemplu de la A1 pana la A10

PRODUCT(A1 :A10)

12.

SUMX2MY2

13.

SUMX2PY2

14.

SUMXMY2

Observatie: Unde am pus x in tabel, evident in Excel voi pune adresa fiecarui x pentru care vreau sa fac un anumit calcul.

2

VECTORI

Norma unui vector : Se calculeaza ca si radical din suma patratelor componentelor. Exemplu :

Produsul scalar dintre 2 vectori:

Se poate face in EXCEL prin 2 metode:

Metoda I

1. Introducem in 2 coloane separate valori pentru x si pentru y 2. Intr-o alta coloana facem produsul dintre elementele lui x si ale lui y : 3. In final facem suma elementelor de pe ultima coloana folosind SUM si obtinem produsul

scalar.

Exemplu:

3

Metoda II

Folosim functia predefinita in Excel SUMPRODUCT. Aceasta functie ia ca si argumente vectorul x si vectorul y. (Se numesc argumentele unei functii in Excel adresele pe care le introduc in parantezele care urmeaza functia)

Exemplu:

|

Rezultatul va fi accelasi ca si in cazul metodei I.

Produsul vectorial dintre 2 vectori :

Este neaparat necesar sa pastram ordinea asezarii elementelorr in interiorul determinantilor si ordinea calcularii determinantilor pentru a obtine rezulatul corect al inmultirii vectoriale.

Exemplu :

4

Produsul mixt a 3 vectori

Se calculeaza mai intai produsul vectorial dintre ultimii doi vectori si apoi se face produsul scalar dintre primul vector si vectorul obtinut ca si rezultat al inmultirii vectoriale. Atentie : pentru a putea calcula produsul scalar, ambii vectori trebuie sa fie asezati fie pe linie, fie pe coloana.

OPERATII CU MATRICI

Adunarea matricilor :

pentru a aduna 2 matrici ele trebuie sa aiba dimensiuni egale :

Calculul determinantului unei matrici

Determinantul unei matrici in EXCEL se calculeaza cu functia MDETERM. Pentru a putea calcula valoareea unui determinant matricea trebuie sa fie patratica (adica sa aiba numarul de linii egal cu numarul de coloane).

Exemplu :

5

In acest caz valoarea determinantului este 63.7 .

Calculul inversei unei matrici

In EXCEL calculul inversei unei matrici se face cu functia MINVERSE

Observatie !

Daca matricea este de dimensiune m x n atunci inversa ei este de acceasi dimensiune. Daca valoarea determinantului este zero atunci matricea nu admite inversa.

Exemplu :

Inversa matricei M de mai sus va fi de 3 linii si 3 coloane, deci selectam o zona de celule de 3x3 si apelam functia MINVERSE(O37 :Q39). Terminam operatia cu CTRL + SHIFT + ENTER.

Inmultirea matricilor

In Excel avem functia MMULT pentru inmultirea a 2 matrici.

Atentie ! Pentru a inmulti de exemplu matricea A cu matricea B este necesar ca numarul de coloane de la A sa fie egal cu nuumarul de linii de la B. Dimensiunea matricii rezultat va fi data de numarul de linii ale matricii A si nnumarul de coloane ale matricii B.

Exemplu :

6

SISTEME MATRICIALE

Un sistem de forma :

se poate rezolva prin doua metode : Metoda matriciala si metoda Cramer.

Indiferent prin care din metode hotaram sa rezolvam trebuie mai intai sa scriem matricea sistemului, sa identificam vectorul necunoscutelor si vectorul termenilor liberi.

In sistemul de mai sus avem : matricea sistemului :

vectorul ncunoscutelor :

vectorul termenilor liberi :

7

I. Metoda matriceala :

Se gasesc necunoscutele facand urmatoarea operatie :

X=A-1B, unde A-1 este inversa matricei A si se calculeaza cu functia Excel MINVERSE

Pentru a afla valoarea lui X aplic functia MMULT (pentru a inmulti A-1 cu B)

Solutia este vectorul de componente:

Deci x=0, y=2, z=1.66,t=-1.33.

II. Metoda Cramer. Se vor urma pasii :

Calculam determinantul matricii A(cu functia MDETERM) pe care il notam cu D

Se calculeaza minorii Dx, Dy, Dz, Dt. Pentru a calcula acesti minori : inlocuiesc prima coloana din matricea A cu coloana termenilor liberi

si apoi folosind functia MDETERM calculez valoarea lui Dx. inlocuiesc a doua coloanaa din matricea A cu coloana termenilor

liberi si folosind functia MDETERM calculez valoarea lui Dy. inlocuiesc a treia coloanaa din matricea A cu coloana termenilor liberi

si folosind functia MDETERM calculez valoarea lui Dz. inlocuiesc a patra coloanaa din matricea A cu coloana termenilor

liberi si folosind functia MDETERM calculez valoarea lui Dt. Se calculeaza valorile necunoscutelor :

Observatie : Se obtin aceleasi valori ca si in cazul primei metode.

8

SIRURI SI SERII

Siruri

Pentru verificarea convergentei unui sir cu ajutorul foilor de calcul EXCEL, in primul rand trebuie sa introduceti pe o coloana valorile lui n (care se numesc indici), deoarece un sir este dat de obicei prin intermediul termenul lui general. De exemplu :

Pe o coloana alaturata calculati primul termen (sau asa cum il mai numim noi, termenul de rang 1 al sirului), apoi facem autofill pana la ultimul indice (adica pana la ultima vaoare a lui n).

Conform valorilor termenilor sirului, se poate observa ca sirul este monoton crescator si dupa 1000 de termeni el converge la limita e=2,71… .

Observatie ! Daca valorile sirului descresc de la primul pana la ultimul termen spunem ca

sirul este monoton descrescator Daca valorile unui sir cresc incepand cu al doilea termen, iar mai apoi

descresc (adica daca avem alternanta de valori pozitive si negative) spunem ca nu putem stabili daca sirul este crescator sau descrescator

In cazul in care valorile lui unui sir tind catre un numar foarte mare (infinit) spunem ca sirul este divergent.

Daca dorim sa estimam ca diferenta dintre termenii sirului si limita nu depasesc o anumita eroare sa vom face urmatorul calcul :

|Un-e|

9

In EXCEL vom calcula aceste diferente intr-o coloana alaturata celei in care am calculat termenii sirului.

Daca ne uitam pe ultima coloana observam ca la rangul n=998 diferenta intre termenii sirului si limita sa este mai mica decat ε = 0.001. Serii Pentru a calcula termenii unei serii trebuie sa stim calcula sume partiale. In EXCEL se calculeaza astfel :

Introducem pe o coloana valorile lui n Pe o alta coloana calculam valorile termenilor sirului Pe o coloana alaturata calculam suma de rang n astfel : S1=u1 (prima suma este exact

primul termen al sirului), S2=u1+u2, S3=u1+u2+u3, etc.

10

GRAFICE DE FUNCTII

Se da functia . Sa se reprezinte grafic functia pe o restrictie [-15,15] a domeniului de definitie.

a) Pasul cu care se parcurge intervalul este 1 b) Pasul cu care se parcurge intervalul este 0.6

In EXCEL : -se introduce o coloana cu valorile lui x (incepand cu prima valoare din interval si terminand cu ultima valoare din interval)

a) Pentru punctul a) se observa ca avem pasul 1

b) Pentru punctul b) se observa ca pasul este 0.6

11

PUNCTE DE EXTREM

Daca avem de exemplu functia f= 2x2 + 3y2

In primul rand pentru a gasi punctele de extrem ale functiei trebuie sa rezolvam sistemul :

Apoi, daca puntele/ ul de extrem exista trebuie sa decidem ce fel de punctee sunt : de minim, de maxim, puncte sa. Pentru a decide acest lucru trebuie sa calculam urmatorul determinant :

In EXCEL pentru a vizualiza punctele de extrem trebuie sa reprezentam functia f astfel :

Vom avea valorile lui x pe coloana iar valorile lui y pe linie .Apoi se vor calcula valorile functiei in aceste puncte.

12

Se poate observa, de exemplu ca in celula B6 se va calcula valoarea functiei pentru x=-7 si y=-9. Se mai poate observa de asemenea ca am fixat cu $ coloana A pentru ca atunci cand folosim comanda Autofill pe linie sa pastrez mereu coloana A ca fiind coloana de unde se iau valorile pentru x. De asemenea am fixat cu $ linia 1 pentru ca atunci cand facem Autofill pe coloana sa pastrez mereu linia 1 ca fiind linia de unde se iau valorile pentru y. Estimarea erorilor Fie o functie N :RR, N(P,V,T) = PV/RT (functia este data in raport cu 3 variabile : P,V, T). Se cere calculul numarului de moli si apoi estimarea erorii de calcul. Numarul de moli se calculeaza inlocuind in expresia functiei valorile numerice. Pentru estimarea erorilor de calcul se foloseste formula diferentialei totale :

Eroarea absoluta de calcul este data de formula :

Eroarea relativa este data de :

NN