Facultatea de Finante, Asigurari,Banci si Burse de Valori

Modelarea deciziei nanciar-monetareProfesor Virgil Damianhttp://virgildamian.com

Appendix 00: Preliminarii matematice

Notiunea de functie

Denitia functiei

Denitia 0.1 Fie A si B doua multimi. Daca ecarui element al multimiiA facem sa-i corespunda unul si numai unul, din multimea B, spunem ca amdenit o functie pe A cu valori n B sau o aplicatie a lui A n B (sau, nca,o transformare a lui A n B). Notam acest fapt prin f : A ! B.Daca elementului a 2 A i corespunde prin functia f elementul b 2 B,

spunem ca b este imaginea lui a prin functia f sau ca b este transformatul lui aprin functia f .Fie f : A ! B o functie. O variabila x a domeniului de denitie se numeste

variabila independenta a functiei f sau argument al functiei f .

Functii surjective, injective si bijective

Fie f : A ! B o functie.Denitia 0.2 Functia f se numeste surjectiva daca pentru 8b 2 B, 9a 2 Aastfel nct b = f (a).

Echivalent, daca multimea valorilor lui f este egala cu multimea n care fia valori, adica f (A) = B, spunem ca functia f este surjectiva sau ca f este oaplicatie a lui A pe B.

Recunoastere graca: Orice paralela la axa Oy intersecteaza gracul functiei(surjective) cel putin o data.

1

Denitia 0.3 Se spune ca functia f este injectiva daca n puncte diferite iavalori diferite:

8x1; x2 2 A astfel nct x1 6= x2 =) f (x1) 6= f (x2) :Observatia 0.4 La capitolul Logica matematica a fost studiata echivalenta

[p =) q]() [q =) p] :Observatia anterioara argumenteaza denitia echivalenta a functiilor injec-

tive: functia f este injectiva daca

f (x1) = f (x2) =) x1 = x2: Recunoastere graca: Orice paralela la axa Ox intersecteaza gracul functiei(injective) cel mult o data.

Denitia 0.5 Functia f se numeste bijectiva daca

este o aplicatie injectiva a lui A pe B.

O operatie prin care se obtin functii noi plecnd de la functii date esteoperatia de compunere a functiilor: daca sunt considerate functiile f si g ca nsituatia de mai jos

Af! B g! C;

atunci corespondentaA 3 x ! g (f (x)) 2 C

deneste o noua aplicatie a lui A n C, notata g f si numita functia compusaa lui g cu f :

(g f) (x) = g (f (x)) , pentru x 2 A.

Inversa unei functii

Fie f : A ! B o aplicatie bijectiva. Aceasta nseamna ca orice element bdin B este imaginea prin f a unui element a din A si numai a unuia. n acestfel, putem stabili o corespondenta b ! a de la B la A, anume:

ecarui b 2 B i corespunde acel element unic a 2 A pentru careb = f (a).

Aceasta corespondenta deneste o aplicatie a lui B n A, numita functiainversa a lui f si notata f1. Asadar, f1 : B ! A si

f1 (b) = a() b = f (a) :Functia inversa f1 este, de asemenea, o bijectie si inversa ei este f . Com-

punnd cele doua functii f si f1, obtinem:

f1 f = IdA si f f1 = IdB :

2

Functii monotone

Fie A R si f : A ! R o functie (reala de variabila reala). Spunem ca functia f este crescatoare pe o multime A0 A; daca oricarear punctele x1 < x2 din A0, avem f (x1) f (x2).

Spunem ca functia f este strict crescatoare pe o multime A0 A; dacaoricare ar punctele x1 < x2 din A0, avem f (x1) < f (x2).

Spunem ca functia f este descrescatoare pe o multime A0 A; dacaoricare ar punctele x1 < x2 din A0, avem f (x1) f (x2).

Spunem ca functia f este strict descrescatoare pe o multime A0 A; dacaoricare ar punctele x1 < x2 din A0, avem f (x1) > f (x2).

Functiile crescatoare si functiile descrescatoare se numesc functii monotone.Functiile strict crescatoare si functiile strict descrescatoare se numesc functiistrict monotone. Evident, orice functie strict monotona este monotona (dar nusi reciproc).Functiile constante sunt n acelasi timp crescatoare si descrescatoare (si sunt

singurele cu aceasta proprietate).

Propozitia 0.6 (a) Functiile strict monotone sunt injective;(b) O functie strict monotona si surjectiva f : A ! B este bijectiva, deci

are inversa f1 : B ! A;(c) Daca f este strict crescatoare, atunci si f1 este strict crescatoare, iar

daca f este strict descrescatoare, atunci si f1 este strict descrescatoare.(d) Gracele functiilor f si f1 sunt simetrice fata de prima bisectoare.

Partea I

Algebra liniara1 Sisteme liniare

Fie un sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute x1; :::; xn:8>>>:a11x1 + a12x2 + :::+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + :::+ a2nxn = b2

::::::::::::::::::::::::::::::::::am1x1 + am2x2 + :::+ amnxn = bm

: (1.1)

Matricea A = (aij)1im1jn

se numeste matricea sistemului, iar matricea

Ae =

0BB@a11 a12 : : : a1n b1a21 a22 : : : a2n b2: : : : : : : : : : : : : : :am1 am2 : : : amn bm

1CCA3

se numeste matricea extinsa.

Denitia 1.1 Sistemul (1.1) se numeste compatibil daca exista cel putin osolutie a sa. Sistemul (1.1) se numeste nedeterminat daca are mai mult deo solutie (de fapt, o innitate de solutii) si determinat daca solutia sa esteunica.

Teorema 1.2 (Kronecker-Cappelli) Sistemul (1.1) este compatibil daca sinumai daca rang A = rang Ae.

Observatia 1.3 Sa admitem ca sistemul (1.1) este compatibil. Atunci el estenedeterminat daca si numai daca rang A < n.

Denitia 1.4 Sistemul (1.1) se numeste omogen daca b1 = ::: = bm = 0.

Teorema 1.5 Sistemul liniar si omogen admite solutii nenule daca si numaidaca rang A < n.

Observatia 1.6 Fie m = n. Sistemul liniar si omogen admite solutii nenuledaca si numai daca detA = 0.Un sistem omogen care are numarul de ecuatii strict mai mic dect numarul

necunoscutelor admite solutii nenule.

Sa presupunem, acum, ca m = n. Atunci, matricea sistemului (1.1) va patratica, A 2 Mn (R). Sa presupunem, n continuare, ca rang A = r < n sica, fara a restrnge generalitatea,

P =

0BB@a11 a12 a1;r1 a1;ra21 a22 a2;r1 a2;r ar1 ar2 ar;r1 ar;r

1CCA 2Mr (R)este matricea coecientilor necunoscutelor principale

XP =

0BB@x1x2 xr

1CCA 2Mr;1 (R) :Sa notam cu

S =

0BB@a1;r+1 a1;r+2 a1na2;r+1 a2;r+2 a2n ar;r+1 ar;r+2 ar;n

1CCA 2Mr;nr (R) ;respectiv,

XS =

0BB@xr+1xr+2 xn

1CCA 2Mnr;1 (R) si B0 =0BB@b1b2 br

1CCA 2Mr;1 (R) .

4

Teorema 1.7 Solutiile sistemului (1.1) sunt aceleasi cu solutiile sistemului

PXP + SXS = B0:

Cum matricea P este inversabila, solutia sistemului (1.1) se scrie

XP = P1B0 P1SXS :Exemplul 1.8 Determinantul matricei sistemului8>>>:

2x1 x2 +x3 x4 = 12x1 x2 3x4 = 23x1 x3 +x4 = 32x1 +2x2 2x3 +5x4 = 6

este egal cu 9. Prin urmare, sistemul este compatibil determinat si solutia sase scrie

X = A1 B; unde A1 = 1detA

A

(cu A s-a notat matricea adjuncta). Astfel, se obtine

x1 =0

9 ; x2 =189 = 2; x3 =

159 =

5

3; x4 =

12

9 = 4

3:

Exemplul 1.9 Fie sistemul8

Exemplul 1.11 Matricea sistemului8>>>:x1 +2x2 +4x3 3x4 = 03x1 +5x2 +6x3 4x4 = 04x1 +5x2 2x3 +3x4 = 03x1 +8x2 +24x3 19x4 = 0

are rangul 2. Cum 2 < 4, sistemul admite solutii nenule. Multimea solutiilorsistemului este

x1 = 8 7; x2 = 6+ 5; x3 = ; x4 = ;

; 2 R:

Cteva completari

Reamintim ca daca A;B 2Mn (R), atunci are loc relatia

det (A B) = detA detB:

Notam cu At transpusa matricei A, adica matricea care se obtine din Anlocuind liniile cu coloanele. Are loc relatia (AB)t = BtAt.Ca o consecinta, rezulta ca dacaA este inversabila, atuunci (At)1 =

A1

t.

Matricea A 2 Mn (R) se numeste simetrica daca At = A (sau, echivalent,aij = aji, pentru orice i; j, presupunand A = (aij)1i;jn). Reamintim, aici, cadaca matricea A este simetrica, atunci si inversa ei este, de asemenea, simetrica.

2 Valori si vectori proprii

2.1 Polinomul caracteristic al unei matrice

Fie A 2Mn (R).

Denitia 2.1 Polinomul PA () = det (A In) se numeste polinomul car-acteristic al matricei A, iar ecuatia PA () = 0 se numeste ecuatia carac-teristica a matricei A.

Teorema 2.2 Polinomul caracteristic are expresia

PA () = (1)nn 1n1 + 2n2 :::+ (1)n n

;

unde i, i 2 f1; 2; :::; ng reprezinta suma minorilor principali de ordinul i aimatricei A.

Minorii principali sunt acei minori ai matricei a caror diagonala principala se supra-pune peste diagonala principala a matricei.

6

2.2 Teorema Cayley-Hamilton si aplicatii

Denitia 2.3 Daca A 2Mn (R), atunci denim

P (A) = amAm + am1Am1 + :::+ a1A+ a0In;

unde Ak = A A ::: A| {z }k factori

. P (A) se numeste polinom de matrice.

Teorema 2.4 (Cayley-Hamilton) Daca A 2 Mn (R) si PA este polinomulsau caracteristic, atunci PA (A) = 0 (0 este matricea nula).

Aplicatie: DacaA 2Mn (R) este inversabila si PA () = anAn+an1An1+:::+ a1+ a0 atunci

A1 = 1a0

anA

n1 + an1An2 + :::+ a1In:

Se observa ca daca matricea A este inversabila, atunci a0 6= 0, deoarece a0 =detA.

2.3 Valori si vectori proprii pentru matrici

Fie A 2Mn (R), X 2Mn;1 (R) nenula si 0 2 |, unde | 2 fR;Cg.

Denitia 2.5 Daca AX = 0X, atunci X se numeste vector propriu pentrumatricea A, iar 0 se numeste valoare proprie pentru matricea A.

Valorile proprii ale lui A sunt radacinile ecuatiei caracteristice PA () = 0,unde PA () = det (A In) este polinomul caracteristic al matricei A. Ordinulde multiplicitate al valorii proprii 0, ca radacina a polinomului caracteristic,se numeste multiplicitatea algebrica a lui 0 si se noteaza ma (0). Numarulmg (0) = n rang (A 0In) se numeste multiplicitatea geometrica a lui 0Are loc inegalitatea

1 mg (0) ma (0) :Matricile A;B 2 Mn (R) se numesc asemenea daca exista C 2 Mn (R),

inversabila, astfel nct B = C1 A C. Doua matrici asemenea au acelasipolinom caracteristic.Fie A 2 Mn (R) o matrice simetrica, adica A = At. Atunci toate valorile

proprii ale lui A sunt reale.

Denitia 2.6 Fie D = (dij)1i;jn 2Mn (R). D se numeste diagonala dacadij = 0, pentru i 6= j.

Denitia 2.7 O matrice A 2 Mn (R) se numeste diagonalizabila daca esteasemenea cu o matrice diagonala (adica exista D 2 Mn (R) diagonala si C 2Mn (R) inversabila astfel nct A = C D C1).

7

Teorema 2.8 Urmatoarele armatii sunt echivalente:(a) Matricea A este diagonalizabila;(b) Exista o matrice inversabila ale carei coloane sa e vectorii proprii ai

lui A;(c) ma () = mg (), oricare ar o valoare proprie a lui A.Astfel, A = C D C1, unde D este matrice diagonala, daca si numai daca

coloanele lui C sunt vectorii proprii ai lui A si pe diagonala lui D se aa valorileproprii ale lui A, ecare valoare proprie gasindu-se de ma () ori.

Utilizari:

Ecuatii diferentiale (e.g., Metoda valorilor proprii n determinarea solutieigenerale a sistemelor de ecuatii diferentiale liniare);

Descompunerea (diagonalizarea) matricilor (Econometrie, Modele macro-economice);

Analiza componentelor principale.

Partea II

Analiza realaEchipamentele contemporane de calcul permit studii riguroase ale unor fenomenecomplexe. Modelarea corecta a acestora presupune o buna pregatire n domeniulanalizei matematice.

3 Cazul functiilor reale de o variabila reala

Vor recapitulate, n cele ce urmeaza, notiunile fundamentale ale analizeimatematice pentru cazul functiilor f : R ! R. Acestea sunt strict necesaren parcurgerea si ntelegerea conceptelor specice disciplinei Modelare.

3.1 Denitia continuitatii unei functii

Fie A R un interval al axei reale si f : A! R o functie.

Denitia 3.1 Se spune ca functia f : A ! R este continua ntr-un punctx0 2 A daca f are limita n x0 si daca aceasta limita este egala cu f (x0):

limx!x0

f (x) = f (x0) :

Teorema 3.2 Functia f este continua n punctul x0 2 A daca si numai dacapentru orice sir xn ! x0 de puncte din A, avem f (xn) ! f (x0).

8

Teorema 3.3 Functia f este continua n punctul x0 2 A daca si numai dacaduce vecinatati n vecinatati, adica

f este continua n x0 daca 8x 2 Vx0 ) f (x) 2 Vf(x0):

Denitia 3.4 Se spune ca functia f : A ! R este continua pe multimea(intervalul) A daca este continua n ecare punct din A.

Teorema 3.5 Daca f este o functie continua pe un interval A, atunci multimeavalorilor f (A) este, de asemenea, un interval.

Corolarul 3.6 Daca f este o functie continua pe un interval A si daca ia valoride semne contrare n doua puncte a < b din A, atunci f ia valoarea 0 cel putinntr-un punct cuprins ntre a si b.

Corolarul 3.7 Daca f este o functie continua pe un interval A si nu se an-uleaza pe intervalul A, atunci f pastreaza acelasi semn pe A.

3.2 Denitia derivatei unei functii

Denitia 3.8 Se spune ca functia f : A ! R este derivabila n punctul x0daca limita

limx!x0

f (x) f (x0)x x0

exista si este nita. Limita nsasi se numeste derivata functiei f n punctulx0 si se noteaza f 0 (x0).

Se obisnuieste, de asemenea, sa se noteze derivata f 0 (x0) cu Df (x0) saudf(x0)dx .

Derivata f 0 (x0) este limita raportuluif(x)f(x0)

xx0 dintre cresterea functiei sicresterea argumentului, cnd cresterea argumentului tinde catre 0.Daca functia f are derivata n punctul x0, gracul sau admite tangenta n

punctul corespunzator M0 (x0; f (x0)), anume: daca derivata este nita, coe-cientul unghiular al tangentei este egal cu f 0 (x0), iar daca derivata este innita,tangenta este paralela cu axa Oy.

Teorema 3.9 Orice functie derivabila ntr-un punct este continua n acest punct.

Denitia 3.10 Se spune ca o functie f : A! R este derivabila pe o multimeA daca este derivabila n orice punct din A.

Daca ecarui punct x 2 A facem sa-i corespunda numarul f 0 (x), se obtineo functie denita pe A, care se noteaza f 0 (sau Df , sau dfdx ) si care se numestefunctia derivata a functiei f (sau, mai simplu, derivata lui f).

Derivatele unor functii elementare

9

Functia Derivataf (x) c 0f (x) = x 1

f (x) = jxj jxjxf (x) = x x1

f (x) = mpx 1 1

mmpxm1

f (x) = sinx cosxf (x) = cosx sinxf (x) = lnx 1xf (x) = loga x

1x ln a

Derivate de ordin superior

Fie f : A ! R o functie derivabila. Derivata sa, f 0, este, de asemenea, ofunctie denita pe A, deci se poate pune problema derivabilitatii sale.

Denitia 3.11 Se spune ca functia f este derivabila de doua ori ntr-unpunct x0 2 A, daca f 0 este derivabila n x0. Derivata lui f 0 n x0 se numestederivata de ordinul doi a lui f n x0 si se noteaza f 00 (x0):

f 00 (x0) = limx!x0

f 0 (x) f 0 (x0)x x0 :

Se obisnuieste, de asemenea, sa se noteze derivata de ordinul doi a lui f nx0 prin D2f (x0) sau

d2f(x0)dx2 .

n general, derivata de ordinul n (n natural) se deneste ca ind derivataderivatei de ordin n 1 si se noteaza f (n) sau D(n)f :

f (n) =f (n1)

0sau Dnf = D

Dn1f

:

3.3 Operatii cu functii derivabile

n acest paragraf, se va arata ca, daca se aplica functiilor derivabile f; g : A !R operatiile algebrice, se obtin tot functii derivabile.

Teorema 3.12 Daca functiile f si g sunt derivabile, atunci suma (diferenta)lor f g este o functie derivabila si

(f g)0 = f 0 g0:

Teorema 3.13 Daca functiile f si g sunt derivabile, atunci produsul lor f geste o functie derivabila si

(f g)0 = f 0 g + f g0:1 n punctul 0 functia radical nu este derivabila, dar are derivata +1.

10

Prin inductie completa, se arata ca produsul f1f2:::fn a n functii derivabileeste , de asemenea, o functie derivabila si

(f1 f2 ::: fn)0 = f 01 f2 ::: fn + f1 f 02 ::: fn + :::+ f1 f2 ::: f 0n:Teorema 3.14 Daca functia f este derivabila, iar c este o constanta, atuncifunctia c f este derivabila si

(c f)0 = c f 0:Teorema 3.15 Daca functiile f si g sunt derivabile, atunci functia fg estederivabila n toate punctele n care este denita (n care numitorul nu se an-uleaza) si

f

g

0=f 0 g f g0

g2:

FieA

f! B g! Cdoua functii si e h = g f : A ! C functia compusa:

h (x) = g (f (x)) ; x 2 A.Teorema 3.16 Daca functiile f si g sunt derivabile, atunci functia compusah = g f este derivabila si

(g f)0 = (g0 f) f 0:Se demonstreaza ca, pentru trei functii

Af! B g! C h! D;

functia compusa u = h g f : A ! D este derivabila si(h g f)0 = (h0 g f) (g0 f) f 0:

3.4 Diferentiala unei functii

Fie f o functie derivabila pe un interval A si x0 un punct din A; e f 0 derivatalui f n punctul x0:

f 0 (x0) = limx!x0

f (x) f (x0)x x0 :

Daca se noteaza

(x) = f 0 (x0) f (x) f (x0)x x0 (x 6= x0);

atuncif (x) f (x0)

x x0 = f0 (x0) (x) (x 6= x0)

11

si

limx!x0

(x) = f 0 (x0) limx!x0

f (x) f (x0)x x0 = 0:

Deoarece limx!x0

(x) = 0, rezulta ca pentru valori ale lui x sucient de apropiate

de x0 se poate realiza ca (x) sa e ct de mic dorim; deci, pentru astfel devalor ale lui x, raportul f(x)f(x0)xx0 este aproximativ egal cu f

0 (x0):

limx!x0

f (x) f (x0)x x0 f

0 (x0) :

Asadar,f (x) f (x0) f 0 (x0) (x x0) :

Daca se noteaza xx0 = h, atunci x = x0+h; relatia precedenta se scrie astfel:f (x0 + h) f (x0) f 0 (x0)h

si exprima faptul ca, pentru cresteri h sucient de mici ale argumentului, de lax0 la x0 + h, cresterea corespunzatoare f (x0 + h) f (x0) a functiei poate aproximata cu produsul f 0 (x0)h. Evident, cu ct cresterea h este mai mica, cuatt f 0 (x0)h este mai apropiat de f (x0 + h) f (x0), deci eroarea comisa naproximatie este cu att mai mica.

Denitia 3.17 Functia f 0 (x0)h (cu argumentul h) se numeste diferentialafunctiei f n punctul x0 si se noteaza df (x0):

df (x0) = f0 (x0)h:

Diferentiala functiei f ntr-un punct oarecare x 2 A se scriedf (x) = f 0 (x)h:

Diferentiala d (x) functiei identice ' (x) = x este egala cu cresterea h (justicati!)a argumentului. n loc de d (x) se obisnuieste sa se scrie, mai simplu, dx :

dx = h:

n loc de diferentiala functiei identice, dx se numeste, mai simplu, diferentialaargumentului sau variatia innitezimala a argumentului. Rezulta, asadar,

df (x) = f 0 (x) dx:

Facnd raportul dintre diferentiala lui f si diferentiala argumentului, se obtine

df (x)

dx=f 0 (x)hh

= f 0 (x) :

Reguli de diferentiere

Din ecare regula de derivare se obtine o regula de diferentiere, nlocuindderivata unei functii cu diferentiala sa:

12

1. d (f g) = df dg;2. d (f g) = g df + f dg;3. d (c f) = c df ;

4. dfg

= gdff dgg2 ;

5. d [g (f)] = (g0 f) df .

Daca f este de n ori diferentiabila ntr-un punct x 2 A, atunci

dnf (x) = f (n) (x) (dx)n:

De exemplu, pentru n = 2, d2f (x) = d (df (x)) = d (f 0 (x) dx) = f 00 (x) (dx)2.

3.5 Studiul functiilor cu ajutorul derivatelor

3.5.1 Puncte de extrem ale unei functii

Fie f o functie denita pe un interval A al axei reale.

Denitia 3.18 Se spune ca un punct x 2 A este un punct de maxim (local)al functiei f daca exista o vecinatate V 2 Vx n care functia are valori maimici dect n x:

f (x) f (x) pentru orice x 2 A \ V .

Denitia 3.19 Se spune ca un punct x 2 A este un punct de minim (local)al functiei f daca exista o vecinatate W 2 Vx n care functia are valori maimici dect n x:

f (x) f (x) pentru orice x 2 A \W .

Teorema 3.20 (Fermat) O functie f derivabila pe un interval A are derivatanula n orice punct de extrem din interiorul intervalului.

Teorema 3.21 Daca o functie are derivata nula pe un interval, atunci ea esteconstanta pe acel interval.

Teorema 3.22 Fie f o functie derivabila pe un interval A.Daca derivata f 0 este strict pozitiva pe A, atunci functia f este strict cresca-

toare pe A.Daca derivata f 0 este strict negativa pe A, atunci functia f este strict de-

screscatoare pe A.

13

3.5.2 Rolul derivatei a doua n studiul functiilor

Fie f : A ! R o functie derivabila si e A0 A un interval din A. Fie G0portiunea din gracul functiei f , corespunzatoare intervalului A0:

G0 = f(x; f (x)) : x 2 A0g :Se spune ca functia f este convexa pe intervalul A0 daca tangenta n orice

punct al gracului G0 se aa sub acest grac.Se spune ca functia f este concava pe intervalul A0 daca tangenta n orice

punct al gracului G0 se aa deasupra acestui grac.Daca derivata a doua f 00 este strict pozitiva (+) pe intervalul A0,

atunci functia f este convexa pe A0.Daca derivata a doua f 00 este strict negativa () pe intervalul A0,

atunci functia f este concava pe A0.

Intervale de convexitate si de concavitate

Fie f : A ! R o functie derivabila de doua ori. Avem urmatoarele douaproprietati:

1. Daca derivata a doua f 00 nu se anuleaza pe un interval A0 A,atunci f 00 pastreaza acelasi semn pe A0.

2. Daca derivata a doua f 00 este strict pozitiva (+) pe un intervalA0 A, atunci functia f este convexa pe A0.

3. Daca derivata a doua f 00 este strict negativa () pe un intervalA0 A, atunci functia f este concava pe A0.

Algoritm pentru determinarea intervalelor de convexitate si con-cavitate ale functiei f :

1. Se calculeaza derivata a doua, f 00;

2. Se rezolva ecuatia f 00 (x) = 0;

3. Cu ajutorul radacinilor derivatei a doua se determina intervalelepe care derivata a doua pastreaza acelasi semn;

4. Dupa cum semnul derivatei a doua este + sau , se stabilestedaca functia este convexa sau concava pe aceste intervale.

Punctele de extrem

Studiind semnul derivatei nti de o parte si de alta a unui punct de extrem,putem stabili daca acesta este un punct de maxim sau de minim. Uneori putemstabili aceeasi concluzie studiind semnul derivatei a doua numai n punctul deextrem. Este, astfel, valabila urmatoarea propozitie:

14

Propozitia 3.23 Fie f : A ! R o functie derivabila de doua ori si e x0 unpunct de extrem n interorul unui interval A0 A.Daca f 00 (x0) > 0, atunci x0 este punct de minim.Daca f 00 (x0) < 0, atunci x0 este punct de maxim.

4 Cazul functiilor de mai multe variabile reale

4.1 Derivate partiale si diferentiale de ordin I

Denitia 4.1 Fie A Rn. Punctul P (x1; x2; :::; xn) 2 Rn se numeste punctinterior al lui A daca exista o vecinatate a sa V 2 VP , continuta n A.

Fie f : D R2 ! R o functie de doua variabile reale si P (x0; y0) un punctinterior multimii D.

Denitia 4.2 Functia f se numeste continua n P (x0; y0) 2 D daca

lim(x;y)!(x0;y0)

f (x; y) = f (x0; y0) :

Denitia 4.3 Functia f are n P derivata partiala n raport cu variabilax (respectiv, y) daca exista

limx!x0

f (x; y0) f (x0; y0)x x0

respectiv, lim

y!y0f (x0; y) f (x0; y0)

y y0

:

Valoarea limitei se numeste derivata partiala a functiei f n raport cu x(respectv, y) n punctul (x0; y0) si se noteaza cu:

fx (x0; y0) sau@f

@x(x0; y0) ,

respectiv, fy (x0; y0) sau

@f

@y(x0; y0)

:

Denitia 4.4 Functia f este numita diferentiabila n punctul P (x0; y0) 2 D,daca pentru (x; y) 2 D exista constantele reale si si o functie ! : D ! R,continua, cu

! (P ) = lim(x;y)!(x0;y0)

! (x; y) = 0;

astfel nct

f = f (x; y) f (x0; y0) = (x x0) + (y y0) + ! (x; y) (x; y) ; (4.1)

unde (x; y) =q(x x0)2 + (y y0)2.

Teorema 4.5 Daca f este diferentiabila n P (x0; y0) 2 D, atunci = @f@x (x0; y0), = @f@y (x0; y0) si (4.1) devine, pentru h = x x0, k = y y0:

f = f (x; y) f (x0; y0) = fx (x0; y0) h+ fy (x0; y0) k + ! (x; y) (x; y) :

15

Teorema 4.6 Daca f este diferentiabila n P (x0; y0) 2 D, atunci f este con-tinua n P .

Observatia 4.7 Reciproca teoremei nu este adevarata.

Denitia 4.8 Se numeste diferentiala lui f n punctul P (x0; y0) 2 D obiectulmatematic

df (x0; y0) = fx (x0; y0) h+ fy (x0; y0) k (4.2)Observatia 4.9 Pentru f (x; y) = x, avem fx 1 si fy 0, iar din (4.2)rezulta dx = h. Analog, pentru f (x; y) = y, se obtin fx 0 si fy 1, decidy = k.

Diferentiala functiei va , atunci, de forma

df (x0; y0) = fx (x0; y0) dx+ fy (x0; y0) dy:

Denitia 4.10 Se numeste operator diferential de ordinul nti obiectulmatematic

d =@

@xdx+

@

@ydy:

Daca f este diferentiabila pe D, diferentiala de ordinul nti ntr-un punctoarecare (x; y) 2 D se poate scrie

df (x; y) =

@

@xdx+

@

@ydy

f (x; y) =

@f

@x(x; y) dx+

@f

@y(x; y) dy:

4.2 Derivate partiale si diferentiale de ordin superior

Fie f : D R2 ! R derivabila partial n raport cu x si cu y n punctulP (x0; y0).

Denitia 4.11 Daca exista derivatele partiale ale functiilor fx si fy n P ,atunci acestea se numesc derivate partiale de ordinul al doilea ale functieif n P si se noteaza

fxx (P ) =@2f

@x2(P ) ; fxy (P ) =

@2f

@y@x(P ) ;

fyx (P ) =@2f

@x@y(P ) ; fyy (P ) =

@2f

@y2(P ) :

Teorema 4.12 (Schwarz) Fie f : D R2 ! R astfel nct f si derivatelesale partiale de ordinul nti si doi sunt continue pe multimea D. Atunci

@2f

@x@y=@2f

@y@xpe D:

Fie f : D R2 ! R ndeplinind conditiile teoremei lui Schwarz. Atuncidiferentiala de ordinul doi a functiei este de forma

d2f (x; y) =@2f

@x2(dx)

2+ 2

@2f

@x@y(dx) (dy) +

@2f

@y2(dy)

2:

16

4.3 Extreme libere ale functiilor de doua variabile

Fie f : D R2 ! R si a = (a1; a2) 2 D.

Denitia 4.13 Se spune ca functia f are un maxim local n punctul a, dacaexista o vecinatate V 2 Va astfel nct

f (x) f (a) , pentru orice x = (x1; x2) 2 D:

Denitia 4.14 Se spune ca functia f are un minim local n punctul a, dacaexista o vecinatate V 2 Va astfel nct

f (x) f (a) , pentru orice x = (x1; x2) 2 D:

Algoritm pentru determinarea punctelor de extrem local libere

Formularea problemei Fie f : D R2 ! R. Se cere sa se determine,daca exista, punctele de extrem local ale functiei f si sa se precizeze naturaacestora.

Pasul 1 Se rezolva sistemul algebric8 0 si 2 > 0, functia f are un minim local n punctul(x; y), iar valoarea sa minima este f (x; y);

17

(b) daca 1 < 0 si 2 > 0, functia f are un maxim local n punctul(x; y), iar valoarea sa maxima este f (x; y);

(c) daca 2 < 0, atunci indiferent de semnul numarului real 1,punctul (x; y) nu este punct de extrem pentru f si se numestepunct sa.

Exemplul 4.15 Sa se determine, daca exista, punctele de extrem ale functieif : D R2 ! R,

f (x; y) = xy +50

x+20

y:

naintea aplicarii algoritmului, trebuie clar denit domeniul functiei f . nmod evident, acesta este D = R2 n f(0; 0)g.

Pasul 1 Sistemul devine: 8 0, iar 2 = 3 > 0. Prin urmare, punctulstationar obtinut, (x; y) = (5; 2) este un punct de minim al functiei f ,iar valoarea sa minima este f (5; 2) = 30.

4.4 Extreme cu legaturi (conditionate) ale functiilor dedoua variabile

Foarte multe dintre problemele economice se reduc la optimizarea unei functiiobiectiv pe o multime admisibila de solutii. Rezolvarea unei astfel de prob-leme se face cu ajutorul metodei Lagrange, care presupune parcurgerea pasilorenumerati n algoritmul de mai jos.

Algoritm pentru determinarea punctelor de extrem local conditionat

Formularea problemei Fie f : D R2 ! R. Sa se determine extremeleconditionate de restrictia g : E R2 ! R, g (x; y) = 0, pentru orice (x; y) 2 E,si sa se precizeze natura acestora.

Pasul 1 Se construieste functia lui Lagrange asociata problemei:

L : R3 ! R; = (D \ E) R;L (x; y;) = f (x; y) g (x; y) :

18

Pasul 2 Se rezolva sistemul algebric:8 0, atunci punctul (x; y) 2 D \ E,este punct de minim local conditional al functiei f si valoareasa minima a acesteia este f (x; y);

(b) daca d2L (x; y;) < 0, atunci punctul (x; y) 2 D \ E,este punct de maxim local conditional al functiei f si valoareasa maxima a acesteia este f (x; y);

(c) n caz contrar, se afirma ca punctul stationar nu este punctde extrem.

Exemplul 4.16 Sa se determine, daca exista, extremele functiei

f : D R2 ! R; f (x; y) = x 12 y 12 ;conditionate de restrictia x+ y = 4.

19

naintea aplicarii algoritmului, trebuie clar denit domeniul functiei f . nacest caz, D = (0;+1)2 [ (1; 0)2. n plus, restrictia se scrie:

g : E R2 ! R; E = (x; y) 2 R2 j x+ y = 4 ;g (x; y) = x+ y 4:

Pasul 1 Se deneste functia lui Lagrange: L : ! R, = (D \ E) R,

L (x; y;) = x 12 y 12 (x+ y 4) :

Pasul 2 Sistemul algebric devine:

@L@x

= 0 =) 12x

12 y

12 = ; (4.3)

@L@x

= 0 =) 12x12 y

12 = ; (4.4)

@L@x

= 0 =) x+ y = 4: (4.5)Acesta este un sistem neliniar cu trei ecuatii si trei necunoscute. Pentrurezolvarea sa, vom apela la urmatoarea metoda, des ntlnita n rezolvareaproblemelor specice:

Vom mparti relatia (4:3) la relatia (4:4), obtinnd:

(4:3)

(4:4)=) x1y = 1 =) x = y (4.6)

Din relatiile (4:5) si (4:6) rezulta

x = 2 = y: (4.7)

Folosind relatiile (4:3) si (4:7), rezulta

=1

2.

Am obtinut, asadar, punctul stationar (x; y;) =2; 2; 12

.

Pasul 3 Aplicatia L : (D \ E) R2 ! R se deneste, acum:

Lx; y;

1

2

= x

12 y

12 1

2(x+ y 4) :

Pasul 4 Matricea lui Hesse se scrie:

H = 18 18

18 18

:

20

Pasul 5 Forma patratica generata de H devine:

d2L2; 2;

1

2

= 1

8(dx)

2+1

4(dx) (dy) 1

8(dy)

2:

Pasul 6 Se diferentiaza restrictia g (x; y) = x+ y 4, obtinndu-se:

dx+ dy = 0 =) dy = dx:

Pasul 7 Tinnd cont de rezultatele anterioare,

d2L2; 2;

1

2

= 1

2(dx)

2< 0;

deci punctul (x; y) = (2; 2) este punct de maxim local conditionat sivaloarea maxima a functiei este f (2; 2) = 2.

21