A. Prezentarea problemein vederea realizrii prezentului proiect am utilizat aplicaia Excel din Microsoft Office i formularea concluziilor care se pot determina pe baza outputului din Excel. Pentru analiza modelului de regresie simpl, am folosit date referitoare la venitul mediu per capita i consumul mediu per capita, date specifice celor 27 de ri membre din Uniunea Europeana.

Am sintetizat informaiile despre cele 27 ri, membre ale Uniunii Europene i cele 2 variabile pentru anul 2009, in tabelul urmator:

Nr. Crt.TaraConsum mediu xVenit mediu y

1Austria16600.0034733.27

2Belgia14500.0033850.91

3Bulgaria4300.004531.40

4Cehia10300.0012943.66

5Cipru18600.0020144.55

6Danemarca13400.0044162.47

7Estonia7800.0010513.45

8Finlanda13600.0034351.91

9Franta14500.0031869.36

10Germania15200.0031742.24

11Grecia16800.0021714.83

12Irlanda15800.0033110.63

2

Tabel 1: Consumul mediu si venitul mediu per capita pentru cele 27 de tari membre ale UniuniiEuropene.Surse: www.insse.ro, Eurostat, www.bnr.ro

Pentru a determina n ce msur variabila independenta contribuie la modificarea variabilei dependente vom elabora un model de regresie liniar simpl, vom determina dac acesta poate fi considerat valid, adic dac exist, sau nu, o legtur liniar ntre venitul mediu per capita i consumul mediu per capita, iar dac acesta va fi valid, vom realiza o previziune a venitului mediu pentru o alta perioada, caracterizata de anumite valori ale variabilei independente.

Venitul mediu reprezint salariul mediu brut per persoanaConsum mediu reprezinta cheltuielile unei persoane pentru toate serviciile si produsele necesare

B. Definirea modelului de regresie liniar simpla. forma, variabilele i parametrii modelului de regresie

In cazul nostrum modelul econometric este unui unifactorial dat fiind faptul ca avem o influenta ai variabilei rezultative y consumul mediuc - de catre un factor determinant x venitul mediu.Pornind de la datele aplicaiei se poate construi un model econometric unifactorial de forma:

unde:

y f ( x) u

(1)

y = valorile reale ale variabilelor dependente;

x = valorile reale ale variabilelor independente;u =variabila rezidual, reprezentnd influenele celorlali factori ai variabilei y, nespecificai n model, considerai factori ntmpltori, cu influene nesemnificative asupra variabilei y.

Analiza datelor din tabel, n raport cu procesul economic descris conduce la urmtoarea specificare a variabilelor:

y = Consumul mediu (endogen) variabila independenta;

x = Venitul mediu (exogen) variabila dependenta respectiv factorul considerat prin ipoteza de lucru cu influena cea mai puternic asupra variabilei y.

Identificarea modelului unifactorial const n alegerea unei funcii care s aproximeze valorile variabilei endogene y numai n funcie de valorile variabilei exogene x.

Aplicaia aleas de mine conine ca variabil efect, consumul mediu, consum care este dat de ecuaia de regresieProiect EconometrieCulea Sorin Constantin

unde:x= Venitul mediu

y a bx u

(2)

In baza acestei reprezentari grafice de la punctu b. se poate vedea clar o legatura liniara intre cele doua variabile astfel modelul devine un model unifactorial liniar. Si dat fiind ca dependent variabilei endogene y consumul mediu fata de valorile variabilei exogene x venitul mediu se realizeaza in aceeasi perioada de timp modelul devine un model unifactorial liniar static.

b. aproximarea grafic a modelului legturii dintre variabile

Procedeul cel mai des folosit, n cazul unui model unifactorial, l constituie reprezentarea grafic a celor dou iruri de valori cu ajutorul corelogramei. Corelograma care reprezinta legtura consumul mediu si venitul mediu este prezentat n graficul de mai zos in baza datelor din primul tabel.

c. estimarea parametrilor modelului i. estimarea punctualii. estimarea cu ajutorul intervalelor de ncredere

Deoarece parametrii modelului sunt necunoscuti, valorile acestora se pot estima cu ajutorul mai multor moment, in mod curent fiind folosita M.C.M.M.P. Utilizarea metodei porneste de la urmatoarea relatie:

Unde:valorile teoretice ale variabilei y obtinute numai in functie de valorile factorului x si de valorile estimatorilor parametrilor a si b, respectiv si

Estimatiile valorilor variabilei reziduale:

In mod concret MCMMP consta in a minimize functia

Conditiile de minim a acestei functii rezulta din:

27 + 626402.66 = 347200.00 626402.66 + 19192854479.37 = 9332908414.35

Se determina si :

= 6497.8252

= 0.2741

CoefficientsIntercept 6497.825219Venit mediu X 0.274198577

Dispunand de estimatiile parametrilor se pot calcula valorile teoretice (estimate) ale variabilei endogene cu ajutorul relatiei:

6497.8252 + 0.2741 si valorile rezidualei

Predicted Consum mediu YResiduals

16021.63716578.3628393

15779.69748-1279.697482

7740.328994-3440.328994

10046.95729253.0427098

12021.431116578.568889

18607.11119-5207.111188

9380.598005-1580.598005

15917.07001-2317.070011

15236.35837-736.3583719

15201.50266-1.502655449

12452.001734347.998273

15576.71419223.2858084

13696.55584803.4441616

9038.191849-338.1918488

8837.258895-437.258895

22225.954693374.045307

9919.8364421880.163558

14980.066342019.933661

16433.75475-2633.75475

9011.537477-311.5374773

10990.11197909.8880288

8205.755326-2405.755326

9805.017611294.9823889

11320.21611679.7838905

13083.50532116.494704

16511.66753-2911.667528

9159.161688-459.1616883

Estimarea prin interval de ncredere a parametrilor modelului de regresie liniara.

=> [6671.365825 , 10728.63417] => [-2028.359976 , 2028.908373]Valorile variabilei reziduale se calculeaz dup relaia:

Pe baza acestor valori se pot calcula abaterea medie ptratica a variabilei reziduale si abaterile medii ptratice ale celor doi estimatori: 158944876.65

Abaterea medie ptratica a valorii reziduale:

= 6357795.066 = 2521.466848k= nr. Parametrilor = 2

Abaterea medie ptratica a estimatorului :

= 969779.5775 = 984.7738713Abaterea medie ptratica a estimatorului :

= 0.00136426 = 0.036935894In urma acestor calcule, modelul econometric se poate scrie:

(984.7738713) (0.036935894)

d. testarea semnificaiei corelaiei i a parametrilor modelului de regresie i. testarea semnificatiei corelatieiii. testarea parametrilor unui model de regresie

Estimatorii sunt semnificativ diferii de zero, cu un prag de semnificaie urmtoarele relaii:

in exemplu:

, daca se verifica

Pe baza calculelor se observa faptul ca ambii estimatori sunt semnificativ diferii de zero, cu un prag de semnificaie

Pentru a verifica ipoteza de liniaritate se calculeaz coeficientul de corelatie liniara:

ceea ce indica o corelatie foarte puternica intre export si import.

Verificarea verosimilitatii modelului se face cu ajutorul analizei dispersionale.

ANOVA

df SS MS F

Significanc e F

Regression 1 350380308.5 350380308.5 55.11034956 8.93E-08Residual 25 158944876.7 6357795.066Total 26 509325185.2

Testul Fisher-Snedecor indica faptul ca rezultatele obinute sunt semnificative pentru pragul de semnificaie de 5%:

Pe baza datelor din tabel se poate calcula si raportul de corelaie:

Se poate demonstra ca in cazul unei legturi liniare, raportul de corelaie este egal cu coeficientul de corelaie liniara:

Verificarea semnificaiei raportului de corelaie si, implicit, a coeficientului de corelaie liniara se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor:

Rx,y este semnificativ daca: Pentru exemplu nostru:

Deoarece raportul de corelaie este semnificativ diferit de zero cu un prag de semnificaie modelul descrie corect dependenta dintre venit si consum, explicand in masura a 68,79% influenta factorului de influenta asupra variabilei dependente.

e. testarea ipotezelor clasice asupra modelului de regresie simpli. ipoteze statistice clasice asupra modelului de regresie simpl ii. testarea liniaritii modelului propusiii. testarea normalitii eroriloriv. testarea ipotezei de homoscedasticitatev. testarea ipotezei de autocorelare a erorilor

Estimatorii obtinuti cu ajutorul M.C.M.M.P. sunt estimatori de maxima verosimilitate daca pot fi acceptate urmatoarele ipoteze:1. variabilele observate nu sunt afectate de erori de msura.

Aceasta condiie se verifica cuurmtoarelor relaii:

regula celor trei sigma, regula care consta in verificarea

Deoarece valorile acestor variabile apartin intervalelor si

, ipoteza de mai sus poate fi acceptata fara rezerve.

2. variabila reziduala (aleatoare) este de medie nula , iar dispersia ei, , este constanta si independenta de X ipoteza de homoscedasticitate, pe baza creia se poate admite ca legtura dintre X si Y este relativ stabila.

Acceptarea se poate face folosind mai multe metode:

2.1 care consta in construirea corelogramei privind valorile variabilei factoriale si ale variabilei reziduale .

Deoarece graficul punctelor empirice prezinta o distributie oscilanta, se poate accepta ipoteza ca cele doua variabile sunt independente si necorelate..

2.2 Procedeul dispersiilor variabilei reziduale

In cazul de fata nu se recomanda utilizeazarea acestui procedeu, deoarece nu s-ar obtine rezultate concludente datorita numarului mic de date.3. valorile variabilei reziduale ( sunt independente, respectiv nu exista fenomenul de autocorelare.

Acceptarea sau respingerea acestei condiii se poate face cu:

3.1 procedeul grafic (corelograma dintre valorile variabilei dependente si valorile variabilei reziduale

Ca si in graficul precedent se observa ca distribuia punctelor empirice este oscilanta, deci se poate accepta ipoteza de independenta a erorilor.

3.2 Testul Durbin-Watson (DW) consta in calcularea termenului empiric:

si compararea acestei mrimi d cu doua valori teoretice d1 si d2, preluate din tabela Durbin-Watson

in funcie de un prag de semnificaie valorile observate n.

, arbitrar ales, de numrul variabilelor exogene (k) si de

Acceptarea sau respingerea ipotezei de independenta a erorilor se bazeaz pe o anumita regula, care consta in:

autocorelare pozitiva;

indecizie;

erorile sunt independente;

indecizie;

autocorelare negativa;

Pentru exemplul nostru d=2.2152; d1=1.30; d2=1.46

se poate accepta ipoteza de independenta a valorilor variabilei reziduale.

3.3 coeficientul de autocorelaie de ordinul 1 este:

Stiind ca:

Deoarece coeficientul tinde catre zero inseamna ca poate fi acceptata ipoteza de independenta a valorilor variabilei reziduale.

4. verificarea ipotezei de normalitate a valorilor variabilei reziduale.

Se stie ca, daca erorile urmeaza legea normala de medie 0 si de abatere medie patratica (consecinta ipotezelor 1,2,3) atunci are loc relatia:

Pe baza acestei relaii, in funcie de diferite praguri de semnificaie , din tabela distribuiei normale se vor prelua valorile corespunztoare ale lui

Lucrnd cu din tabelul Student se preia valoarea variabilei, cu un numr de grade de libertate

v = n-2 = 27-2 = 25

iar, pentru avem

Cu ajutorul acestor date, verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza urmtorului grafic: pe axa Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei y (, iar pe axa Oy se vor trece valorile variabilei reziduale .

Se observa ca valorile variabilei reziduale se inscriu in banda construita pentru pragul de

semnificaie

. Ca urmare, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptata cu

acest prag de semnificaie.

f. previziunea valorii variabilei y stiind ca o tara are un venit mediu de 30000 euro.

In continuare este calculat consumul estimat pentru un venit mediu de 30000 euro (in conditiile modelului econometric construit ).

ConcluziiModelul de regresie multipl estimat s-a dovedit a fi unul precis are un coeficient de determinare mare = 0.687930459, adic consumul se explic n msur de aproape 70% de ctre variabila independente inclusa n model. n plus, sunt perfect verificabile ipotezele metodei celor mai mici ptrate (MCMMP) erorile sunt homoscedastice, nu sunt autocorelate, iar variabilele nu sunt coliniare. Valoarea testului F este suficient de mare pentru a determina validitatea global a modelului pentru un prag de semnificaie de cel puin Significance F = 8.93232E-08, cu mult mai mic dect ales.

SUMMARY OUTPUT

Anexa 1

Utiliznd funcia de regresie din EXCEL, i anume selectnd TOOLS DATA ANALYSIS REGRESSION, am obinut urmtoarele rezultate, care vor fi interpretate fiecare in parte.

Regression Statistics

Multiple R0.829415734

R Square Adjusted R Square0.687930459

0.675447678

Standard Error2521.466848

Observations27

ANOVA

df SS MS F Significance F

Regression 1 350380308.5 350380308.5 55.11034956 8.93232E-08Residual 25 158944876.7 6357795.066

Total 26 509325185.2

CoefficientsStandard Errort StatP-valueLower 95%Upper 95%Lower 95.0%Upper 95.0%

Intercept6497.825219984.77387136.5982916576.50863E-074469.6454828526.0049564469.6454828526.004956

Venit mediu X0.2741985770.0369358947.4236345258.93232E-080.198127680.3502694740.198127680.350269474

RESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted Residuals

Consummediu Y

116021.63716578.3628393

215779.69748-1279.697482

37740.328994-3440.328994

410046.95729253.0427098

512021.431116578.568889

618607.11119-5207.111188

79380.598005-1580.598005

815917.07001-2317.070011

915236.35837-736.3583719

1015201.50266-1.502655449

1112452.001734347.998273

1215576.71419223.2858084

1313696.55584803.4441616

149038.191849-338.1918488

158837.258895-437.258895

1622225.954693374.045307

179919.8364421880.163558

1814980.066342019.933661

1916433.75475-2633.75475

209011.537477-311.5374773

2110990.11197909.8880288

228205.755326-2405.755326

239805.017611294.9823889

2411320.21611679.7838905

2513083.50532116.494704

2616511.66753-2911.667528

279159.161688-459.1616883

Anexa 2

Interpretarea generala a rezultatelor

SUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsMultiple R 0.829415734R Square 0.687930459Adjusted RSquare 0.675447678Standard Error 2521.466848Observations 27

Multiple R (coeficientul multiplu de corelaie sau r) = 0.829415734. Observm c valoarea lui r este > 0, ceea ce inseamn ca ntre cele dou variabile considerate: consumul mediu si venitul mediu exist o legatur directa.R Square (coeficientul de determinare sau R2) este egal cu patratul coeficientului de corelatie multipla). Poate fi gandit, exprimat procentual, drept proportia din variatia variabilei dependente explicata de variatia variabilelor independenteR Square (R) (coeficientul de determinaie), exprim ct din variaia frecvenei consumului mediu este explicat de variaia venitului mediu. El poate lua valori in intervalul [0,1]. Cu ct valoarea lui este mai apropiat de 1, cu att partea din variaia lui Y, explicat de X, este mai mare, i legtura dintre ele este mai puternic. In cazul nostru, R Square are valoarea 0.687930459; exprimnd procentual 68,79% din variaia consumului mediu poate fi explicat de variabila venitul mediu.Adjusted R Square (Raportul de corelatie ajustat) = 0.675447678 arata ca 0.675447678 din variaia total este datorat liniei de regresie, innd cont de numrul de grade de libertate (n-k=27-2=25).Standard Error (eroarea standard a estimatiei). Se calculeaz ca abaterea standard a reziduurilor si este estimatia abaterii standard a erorilor (in ipoteza normalitatii acestora). In cazul nostru are valoarea 2521.466848Observations (numarul de observatii din esantion) = in acest caz sunt 27 observatii in esantion.

Rezultatele din tabelul ANOVAANOVA

dfSSMSFSignificance F

Regression1350380308.5350380308.555.110349568.93232E-08

Residual25158944876.76357795.066

Total26509325185.2

Testul ANOVA (analysis of variance) este folosit pentru validarea modelului de regresie utilizat.

Variaia explicat prin modelul de regresie este de 350380308.5, iar media variaiei explicat, corectata prin numarul de grade de libertate (2), este 350380308.5. Variaia rezidual (variaia neexplicat de modelul de regresie) este de 158944876.7, iar media variatiei reziduale corectat cu numrul de grade de libertate (25) = 6357795.066.

n tabel este calculat testul F (Fisher). Intrucat F= 55.11034956, iar Significance F (pragul de semnificatie)= 8.93232 (mult mai mare decat = 0,05) modelul de regresie construit este valid pentru o probabilitate de cel mult 95% i poate fi utilizat pentru analiza dependenei dintre variabilele consum mediu si venit mediu.df (numrul gradelor de libertate): k 1=1, n k=25, n 1=26, unde k = 2 este numrul de variabile ale modelului (variabila x, respectiv y), iar n = 27 este numrul de observaii.SS (sumele de patrate) potrivit descompunerii:Suma global de ptrate = Suma de ptrate datorata regresiei + Suma de ptrate rezidual;MS (media sumelor de ptrate): SS mparit la numrul respectiv de grade de libertate.Valoarea de pe linia a doua (Residual) este estimaia dispersiei pentru repartiia erorilor i este ptratul erorii standard a estimaiei.F (valoarea statisticii F) pentru testul caracterizat de: H0 : modelul nu este valid statistic;H1 : modelul este valid statistic;Significance F (probabilitatea critic unilateral). Dac valoarea rezultat este mai mic dect pragul de semnificaie fixat, atunci se respinge ipoteza nul n favoarea ipotezei alternative.

Coefficie ntsStandardErrort StatP- valueLower95%Upper95%Lower95.0%Upper95.0%

Interce6497.825984.77386.5982916.50864469.6458526.0044469.6458526.004

pt2197136573E-07482956482956

Venit

mediu0.2741980.0369357.4236348.93230.1981270.3502690.1981270.350269

X5778945252E-086847468474

Intercept este termenul liber, deci coeficientul b1= 6497.825219. Termenul liber este punctul n care variabila explicativ este 0. Deoarece t statistic = 6.598291657, iar P-value 6.50863E-07