UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIŞOARA FACULTATEA DE ECONOMIE ŞI DE ADMINISTRARE A AFACERILOR

CIPRIAN ŞIPOŞ

ECONOMETRIE

MANUAL ANUL II

5

CUPRINS

CAPITOLUL 1. PRINCIPII ALE MODELĂRII ECONOMETRICE 7

1.1. Tipologia legăturilor dintre variabilele economice …………….. 71.2. Modelul – element fundamental al analizei econometrice …...… 9

CAPITOLUL 2. MODELE ECONOMETRICE UNIFACTORIALE 152.1. Modelul unifactorial liniar ……………………………….…..…. 15

2.1.1. Prezentarea modelului .…………………….……….…… 152.1.2. Estimarea parametrilor ………………………………….. 172.1.3. Verificarea statistică a modelului …………………….…. 20

2.2. Modele unifactoriale neliniare ……………………………..…… 282.2.1. Modelul hiperbolic .…………………….………......…… 29

2.2.2. Modelul parabolic ………………………………........….. 312.2.3. Modelul exponenţial …………………….…..................... 32

CAPITOLUL 3. MODELE ECONOMETRICE MULTIFACTORIALE 35

3.1. Modelul multifactorial liniar …………………………….…..…. 353.1.1. Prezentarea modelului şi estimarea parametrilor .………. 353.1.2. Verificarea statistică a modelului multifactorial .……….. 39

3.2. Modele unifactoriale neliniare ……………………………...…… 443.3. Funcţii de producţie …………………………………..…………. 46

CAPITOLUL 4. MODELE ECONOMETRICE BAZATE PE FACTORUL TIMP 51

4.1. Analiza econometrică a evoluţiei în timp a variabilelor economice 514.2. Funcţii de timp …………………………………………..…..…. 58

4.2.1. Funcţia liniară de timp …………………………..………. 594.2.2. Funcţii de timp neliniare .…………………………….….. 61

4.3. Modele econometrice cu time – lag ……………………………. 644.4. Modele autoregresive ………………………………...…………. 68

4.4.1. Caracterul autoregresiv al variabilelor economice …...…. 684.4.2. Modelul autoregresiv de ordinul k …………………...….. 70

APLICAŢIE ECONOMETRICĂ PE CURSUL VALUTAR ............... 75

6

OBIECTIVELE DISCIPLINEI ECONOMETRIE

� Să argumenteze necesitatea şi posibilitatea utilizării metodelor matematice şi statistice în analiza comportamentului variabilelor economice;

� Să prezinte modul de elaborare şi de interpretare a principalelor categorii de modele cantitative utilizate în cercetarea economică;

� Să formeze studenţilor deprinderea de a exprima în relaţii econometrice fenomenele şi procesele economice;

� Să pună în evidenţă modalităţile de utilizare a modelelor econometrice în analiza la nivel microeconomic, având drept variabile endogene şi exogene principalii indicatori ce reflectă activitatea economică la nivel de firmă;

� Să abordeze problemele legate de elaborarea unor modele de analiză macro–econometrică, la nivel global, care depind în mare măsură de dimensiunile seturilor de date avute la dispoziţie şi de posibilităţile de definire a variabilelor şi a legăturilor dintre acestea;

� Să formeze aptitudini în determinarea caracteristicilor parametrilor modelelor econometrice cu ajutorul aparatului matematic şi statistic adecvat;

7

CAPITOLUL 1. PRINCIPII ALE MODELĂRII

ECONOMETRICE

Rezumat: Asupra fenomenelor social – economice acţionează un număr

mare de factori principali şi secundari, endogeni sau exogeni, care se manifestă de regulă într-un sistem complex de interdependenţe. Modelarea econometrică, cu ajutorul unei game variate de procedee şi metode, poate studia manifestarea concretă a acestor legături, le poate exprima cantitativ şi poate măsura intensitatea cu care acestea se produc şi, mai departe, se pot face estimări asupra tendinţelor în evoluţia fenomenului cercetat.

Din punct de vedere econometric, variabilele economice sunt privite prin prisma interdependenţelor pe care acestea le generează. Varietatea acestor interdependenţe necesită identificarea, selectarea şi ierarhizarea factorilor de influenţă, cu atât mai mult cu cât, în mod curent, sunt întâlniţi factori care nu pot fi cuantificaţi decât cu ajutorul unor metode convenţionale. De aceea, este necesară, în primul rând, determinarea tipologiei variabilelor factoriale (de influenţă) cu ajutorul unei analize calitative multilaterale.

1.1. Tipologia legăturilor dintre variabilele economice

Există numeroase varietăţi de legături între variabilele economice, iar

descrierea lor analitică poate fi făcută cu ajutorul analizei de regresie şi a analizei intensităţii legăturilor (corelaţia). Cunoaşterea lor este condiţie esenţială a interpretării legăturilor de cauzalitate dintre variabila rezultativă şi factorii săi de influenţă (variabilele factoriale). Criteriile avute în vedere sunt numeroase, dar s-au reţinut numai cele uzuale, pe baza cărora s-a alcătuit o posibilă tipologie de interdependenţe între variabilele analizate.

În raport cu numărul variabilelor corelate, legăturile pot fi simple (modele unifactoriale), atunci când variaţia variabilei rezultative este exprimată în funcţie de o singură variabilă factorială, sau multiple (modele multifactoriale), atunci când variaţia variabilei rezultative este exprimată în funcţie de variaţia simultană a mai multor variabile factoriale. În practică, cel mai des întâlnite sunt legăturile multiple, datorită complexităţii relaţiilor economice internaţionale care nu permit, în general, utilizarea unor funcţii cu o singură variabilă de influenţă.

8

După sensul legăturii, acestea pot fi legături directe, atunci când modificarea variabilei rezultative este în acelaşi sens cu modificarea factorului de influenţă analizat, sau legături inverse, atunci când variabila rezultativă se modifică în sens contrar modificării factorului de influenţă. În modelele econometrice pot exista situaţii în care între aceleaşi variabile pe anumite porţiuni să existe legături directe, iar pe alte porţiuni să existe legături inverse, în funcţie de evoluţia factorilor de influenţă.

În funcţie de forma legăturii dintre variabile, folosind clasificarea dihotomică, distingem legături liniare şi legături neliniare. Forma legăturii se determină cel mai adesea intuitiv, prin modul de transpunere a punctelor în planul de reprezentare grafică a variabilelor rezultative şi factoriale. În modele econometrice, legătura liniară ocupă un loc aparte, datorită accesibilităţii prezentării şi a posibilităţilor numeroase de interpretare, cu toate că în natură şi în evoluţia reală a fenomenelor economice este mai puţin întâlnită. Identificarea modelelor neliniare (parabolice, exponenţiale, hiperbolice, logistice, etc.), uneori mult mai adecvate, ridică probleme mari şi diverse în determinarea şi, mai ales, în interpretarea parametrilor. Există şi situaţii în care modele de tip neliniar pot fi liniarizate prin anumite metode (cel mai adesea prin logaritmare) şi interpretate prin prisma legăturilor de tip liniar.

După momentul în care se realizează legătura, legăturile pot fi concomitente sau sincrone, caz în care dacă variabila factorială se modifică şi variabila rezultativă se va modifica în acelaşi timp, ori legături asincrone sau cu

decalaj, caz în care variaţia variabilei rezultative se produce după scurgerea unei perioade de timp de la modificarea variabilei factoriale.

După intensitatea conexiunii cauzale distingem independenţă totală sau lipsa de legături, legături funcţionale sau totale şi legături relative sau statistice. Conexiunea nulă semnifică absenţa oricărei legături între variabila rezultativă şi factorii de influenţă luaţi în considerare, sau în formulare statistică, absenţa reciprocă a corelaţiilor dintre aceste variabile, în timp ce conexiunea funcţională

apare atunci când la fiecare valoare posibilă a variabilei rezultative corespunde o singură valoare a factorului de influenţă. Această conexiune este una specifică ştiinţelor tehnice şi ale naturii, în care pentru o valoare dată a factorului de influenţă există o singură valoare posibilă a variabilei rezultative. Aceste conexiuni sunt rar întâlnite în economie, unde practic nu există astfel de dependenţe totale. Conexiunea relativă sau statistică (stochastică) este tipul de legătură cel mai des întâlnit în studiul fenomenelor din economie.

Interes aparte, prin urmare, îl prezintă acest din urmă tip de legături. Particularitatea lor principală constă în faptul că la o valoare dată a factorului de influenţă corespunde o distribuţie de valori posibile ale variabilei rezultative.

9

1.2. Modelul – element fundamental al analizei econometrice

Modelul econometric reprezintă o imagine simplificată a relaţiilor dintre

variabilele economice, care se referă atât la definirea variabilelor, cât şi la determinarea intercondiţionărilor dintre acestea. El redă ceea ce este esenţial în agregatul economiei, descriind global transformarea cauzelor în efecte. Importanţa modelelor econometrice, ca instrument fundamental de analiză al economistului modern, se afirmă în verificarea consistenţei unei teorii economice, în crearea unei legături cantitativ – econometrice de verificare între teorie şi obiectivul pragmatic şi, în final, în descoperirea unor noi relaţii şi concepte, imposibil de relevat altfel.

Modelul, oricare i-ar fi întrebuinţarea este, înainte de toate, reprezentarea unei teorii prin intermediul căreia se reprezintă, apoi, însăşi realitatea avută în vedere. Aici, teoria explicativă ţinteşte atât fenomenul economic cercetat, cât şi reprezentarea prin model, care întotdeauna este construit pe baza unei teorii (sau cel puţin a unui enunţ cvasiteoretic). Apoi, modelarea econometrică reprezintă o metodă care se defineşte ca instrument de cunoaştere ştiinţifică, având drept scop construirea unor asemenea modele care să contribuie la înţelegerea şi cunoaşterea segmentului investigat.

Principala problemă care se pune cu ocazia elaborării unui model econometric este definirea scopului acestuia, din acest punct de vedere, existând două mari categorii de modele:1

– modele destinate elaborării unei anumite teorii economice, verificării coerenţei sale logice şi testării sale empirice; aceste modele pot fi numite modele teoretice sau modele de cercetare;

– modele destinate explicării faptelor economice observate şi previzionării desfăşurării lor viitoare; aceste modele pot fi numite modele funcţionale sau modele de acţiune şi au la bază, de regulă, metodele de analiză matematico–statistică.

Deşi încadrarea precisă a modelelor utilizate în analiza comportamentului diverselor variabile economice în una sau alta din categoriile amintite este destul de dificilă, pot fi totuşi construite o serie de modele econometrice care să se includă în categoria modelelor funcţionale.

Un model econometric constă, de regulă, dintr-un sistem de ecuaţii, care, în condiţiile fixate prin ipotezele de pornire şi cu o anumită precizie, exprimă 1S. Cerna, Banii şi creditul în economiile contemporane. Elemente de analiză monetară, Vol. I, Editura Enciclopedică, Bucureşti, 1994, pag. 325 – 338

10

legăturile dintre variabilele exogene şi endogene şi, în modul acesta, permite rezolvarea unei serii de probleme economice. Fără îndoială că, privind lucrurile în mod abstract, modelele econometrice sunt întotdeauna de preferat, conferind o calitate maximă analizei. Din păcate, eficacitatea modelelor econometrice este, uneori, destul de limitată, iar aceasta din mai multe motive.

O dependenţă statistică, larg utilizată în econometrie, se prezintă sub forma:

Ci = f(Xi) + εi

unde: Ci reprezintă nivelul variabilei rezultative sau explicate la momentul i;

Xi reprezintă nivelul factorului de influenţă (variabila factorială sau independentă) la momentul i;

f reprezintă funcţia de regresie care cuantifică legătura dintre variabila rezultativă (Ci) şi factorul de influenţă (Xi);

εi reprezintă variabila aleatoare care ia în considerare acţiunea altor factori decât variabila factorială Xi , întâmplători în raport cu legătura studiată.

Variabila aleatoare este cea care distinge o legătură funcţională de una statistică şi, spre deosebire de variabilele rezultative şi factoriale nu este căutată şi introdusă în model într-un mod explicit şi argumentat, ea rezultând dintr-o etapă ulterioară elaborării modelului, în urma comparării valorilor estimate, generate de model, cu valorile empirice, reale. Această variabilă apare datorită unor numeroase cauze, cum ar fi, erorile de specificare a modelului, concretizate prin includerea unui număr prea mic de factori esenţiali, erorile de măsurare care presupun aprecieri numerice greşite sau neconcludente, sau erorile de eşantionare datorate accesului limitat şi probabilist la volumul total al informaţiei.

Construirea şi analiza unui model de regresie care are la bază o legătură de tip stochastic între variabila rezultativă şi factorii de influenţă care îl determină presupune parcurgerea următoarelor etape:

◊ stabilirea ipotezelor de pornire şi a variabilelor factoriale, endogene şi exogene;

◊ construirea corelogramei, adică a reprezentării grafice a perechilor de valori ale variabilelor studiate într-un sistem de axe de coordonate;

◊ aproximarea, pe baza reprezentării grafice, a formei legăturii printr-un model teoretic şi scrierea ecuaţiei corespunzătoare modelului de regresie;

◊ estimarea parametrilor ecuaţiei de regresie, cel mai adesea cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate;

11

◊ testarea statistică a semnificaţiei parametrilor estimaţi; ◊ interpretarea rezultatelor obţinute în funcţie de semnul şi nivelul

parametrilor respectivi; ◊ previzionarea variabilei rezultative pe baza modelului construit.

O altă direcţie în domeniul analizei cantitative a desfăşurării proceselor economice o reprezintă studiul, prin metode statistice, a comportamentului seriilor cronologice. Seriile lungi de date oferite de publicaţiile statistice scot în evidenţă repetabilităţi care pot fi descrise de modele adecvate de analiză şi previziune a evoluţiei în timp a cursurilor de schimb.

În cazul acestor serii cronologice, de timp sau dinamice, cum mai sunt ele denumite, factorii de influenţă utilizaţi în funcţiile de regresie sunt înlocuiţi de către factorul timp înţeles ca o acumulare de perioade de timp egale, aspect exprimat frecvent prin şirul numerelor naturale (1, 2, 3, ….. , t).

Cea mai utilizată formă de analiză a seriilor cronologice este reprezentată de descompunerea evoluţiei seriei pe componente determinate de acţiunea diferiţilor factori de influenţă. Sub acţiunea unui complex de factori de influenţă, consideraţi independenţi unul faţă de celălalt, în cadrul unei serii dinamice se pot identifica următoarele componente:2

◊ trendul sau tendinţa centrală (tt) reflectă legitatea specifică de evoluţie a variabilei rezultative pe o perioadă lungă de timp (de ordinul anilor), făcând abstracţie de abaterile faţă de nivelul mediu, respectiv, de erorile sau valorile reziduale datorite influenţei factorilor aleatori;

◊ variaţiile ciclice (ct) reprezintă oscilaţiile interanuale în jurul tendinţei centrale cu un caracter mai puţin sistematic, în sensul că atât intervalele la care oscilaţiile se manifestă, cât şi intensitatea lor, prezintă o relativă inconstanţă în decursul timpului;

◊ variaţiile sezoniere (st) sunt acea componentă sistematică ce se manifestă prin oscilaţii de perioadă mai mică sau cel mult egală cu un an, repetabile în timp. Sezonalitatea se manifestă sub forma unor abateri de la medie care revin regulat de-a lungul unui an şi are un caracter mai mult sau mai puţin pregnant în funcţie de specificul domeniului studiat;

◊ variaţiile aleatoare (εt) apar datorită unor factori necuantificabili şi cu acţiuni imprevizibile. În funcţie de proprietăţile variabilei aleatoare pot fi aplicate anumite tehnici de estimare şi previziune a seriei cronologice.

În măsura în care volumul de date studiat este suficient de mare, în analiza unei serii cronologice se regăsesc mai multe tipuri de scheme de descompunere.

2 T. Andrei, S. Stancu – Statistica. Teorie şi aplicaţii, Editura ALL, Bucureşti, 1995, pag. 385

12

O primă schemă o reprezintă schema aditivă în care cele patru componente ale seriei studiate sunt însumabile direct, astfel:

Ct = tt + ct + st + εt ,

unde Ct reprezintă variabila rezultativă la momentul t.

În literatura de specialitate primele două componente, trendul şi variaţiile ciclice, se analizează împreună sub forma componentei extrasezoniere (dt), după relaţia:

dt = tt + ct

O a doua schemă este cea multiplicativă care are două variante: 1. Atunci când componenta sezonieră este proporţională cu

componenta extrasezonieră, schema de compunere se prezintă în felul următor:

Ct = dt + dt ⋅ st + εt = dt (1 + st) + εt

2. Atunci când componenta aleatoare este proporţională cu suma celorlalte componente, schema este următoarea:

Ct = dt (1 + st)(1 + εt)

Această ultimă schemă, prin logaritmare, poate fi transformată într-o schemă aditivă, având forma:

ln Ct = ln dt + ln(1 + st) + ln(1 + εt)

Seriile cronologice trebuie să ţină însă seama de caracteristica

fenomenelor economice de a-şi manifesta influenţa cu o întârziere mai mică sau mai mare în timp. Acest fapt a dus la utilizarea termenului de “time–lag” (decalaj în timp) care evită pericolul falselor corelaţii în situaţiile în care se analizează serii de date care includ tendinţe de evoluţie.

Efectul întârziat manifestat ca urmare a inerţiei sau autodeterminării se manifestă frecvent sub forma autocorelării variabilei rezultative, ceea ce infirmă ipoteza independenţei factorilor care generează componentele seriei cronologice şi limitează aplicarea metodei schemelor de descompunere.

Din acest considerent în studiul seriilor cronologice s-au impus modelele autoregresive, reprezentate sub conform relaţiei:

13

Ct = f(Ct-1, Ct-2, …… ,Ct-k) + εt

unde prin k s-a desemnat numărul perioadelor din trecut care acţionează asupra valorii prezente a cursului de schimb.

Aceste modele econometrice, fie ele regresii sau serii cronologice, nu pot fi utilizate fără a se ţine cont de principiile stabilite de teoriile economice care analizează comportamentul variabilelor economice, fapt pentru care se impune evitarea matematizării lor excesive, care duce de cele mai multe ori la ruperea legăturii cu realităţile economice studiate.

Desigur, econometria prezintă numeroase avantaje, dar şi destule limite, important fiind ca soluţiile noi oferite de către aceasta, care se dovedesc a fi serios argumentate şi rezistente la rigorile practicii economice, să fie preluate în rândul metodelor general acceptate, astfel încât rolul econometriei în cadrul analizei economice să fie consolidat. ÎNTREBĂRI TEORETICE DE AUTOEVALUARE LA CAPITOLUL 1: 1. Ce tipuri de legături se pot stabili între variabilele economice? 2. Ce reprezintă modelul econometric? 3. Care sunt etapele care trebuie parcurse în elaborarea unui model econometric? 4. Care sunt componentele unei serii dinamice?

14

15

CAPITOLUL 2. MODELE ECONOMETRICE UNIFACTORIALE

Rezumat: Aşa cum s-a arătat anterior, comportamentul variabilelor

economice este rezultatul acţiunii unui număr mai mare sau mai mic de factori, esenţiali sau nesemnificativi, cu un impact determinant sau accidental. În aceste condiţii, dependenţa dintre variabile nu se manifestă individual, pentru fiecare caz în parte, ci numai în general, ca tendinţă a unui număr suficient de mare de cazuri. Variaţiile unei mărimi economice y pot fi mai mari sau mai mici decât cele determinate de un factor oarecare x, sau chiar contrare celor aşteptate.

Cu alte cuvinte, între variabilele economice există, de regulă, o dependenţă stochastică, caracterizată prin faptul că unei valori oarecare a factorului de influenţă x îi corespunde o distribuţie de valori posibile ale variabilei rezultative y. Acest tip de dependenţă este studiat cu ajutorul modelelor econometrice unifactoriale.

Alegerea unui anumit tip de model unifactorial, care să descrie legătura dintre variabilele corelate, depinde în mare măsură de volumul eşantioanelor avute la dispoziţie. Cu cât acestea sunt mai mari, cu atât numărul de puncte din cadrul “norului de puncte” este mai mare şi posibilităţile de găsire a unei funcţii care să exprime corect legătura dintre variabile cresc.

2.1. Modelul unifactorial liniar

2.1.1. Prezentarea modelului

Modelul unifactorial liniar studiază legătura dintre variabila factorială x şi variabila rezultativă y cu ajutorul unei funcţii stochastice de forma:

y = α + β ⋅ x + ε

în care α şi β se numesc parametrii sau coeficienţii modelului şi reprezintă valori necunoscute ce urmează a fi estimate, iar ε este variabila aleatoare (reziduală sau perturbatoare)3.

3J.H. Stock, M.W. Watson, Introduction to Econometrics, Addison – Wesley, 2003, pag. 93 – 96

16

Parametrul α reprezintă valoarea pe care o ia variabila rezultativă y atunci când variabila factorială are valoarea zero şi poate avea relevanţă în model sau nu, în funcţie de cazul concret analizat.

Parametrul β , numit şi coeficient de regresie, reprezintă panta dreptei de regresie, adică valoarea cu care se modifică variabila rezultativă y atunci când variabila factorială x se modifică cu o unitate.

Semnul şi valoarea parametrului β prezintă o importanţă majoră în descrierea interdependenţei dintre variabila rezultativă şi cea factorială.

Astfel, dacă β > 0, atunci legătura dintre variabila factorială x şi variabila rezultativă y este directă (când x are evoluţie crescătoare, creşte şi y, iar când x

are evoluţie descrescătoare, scade şi y). Când β este pozitiv se pot distinge trei situaţii: dacă β < 1, atunci influenţa variabilei factoriale asupra celei rezultative este mai slabă (la variaţia cu o unitate a variabilei factoriale x, variabila rezultativă y variază cu o valoare subunitară); dacă β > 1, atunci influenţa variabilei factoriale asupra celei rezultative este foarte puternică (la variaţia cu o unitate a variabilei factoriale x, variabila rezultativă y variază cu o valoare supraunitară); dacă β = 1, atunci variabila rezultativă y variază direct proporţional cu variaţia variabilei factoriale x.

Dacă β < 0, atunci legătura dintre variabila factorială x şi variabila rezultativă y este inversă, de sens contrar (când x evoluează crescător, y are o evoluţie descrescătoare, iar când x evoluează descrescător, y are o evoluţie crescătoare).

În situaţia în care β = 0, variabila rezultativă y este complet independentă în raport cu variabila factorială x.

Analiza de regresie în cazul modelului unifactorial liniar constă în

estimarea parametrilor α şi β, prin determinarea a doi estimatori α şi β .

Aceşti estimatori trebuie calculaţi astfel încât diferenţa dintre valorile reale ale variabilei rezultative (yi) şi valorile estimate cu ajutorul parametrilor

calculaţi ( ii xˆˆy ⋅+= βα ) să fie cât mai mică ( imminyy ii =− ).

Deoarece funcţia de regresie utilizată este de tip stochastic, parametrii α şi β nu sunt valori unice, ci au conţinut de medii, care se estimează cu ajutorul metodelor specifice oferite de matematică şi statistică4.

4R.S. Pindyck, D.L. Rubinfeld, Econometric Models and Economic Forecasts, Fourth Edition, McGraw – Hill, 1998, pag. 57 – 66

17

2.1.2. Estimarea parametrilor

Dacă se ia în studiu un set de date reale referitoare la variabila rezultativă, respectiv la variabila factorială, se va observa că reprezentarea grafică a modelului liniar aproximează mai mult sau mai puţin exact legătura dintre cele două variabile. Este puţin probabil ca cele două variabile să fie legate strict printr-o relaţie liniară, de tip funcţional.

O cuantificare deterministă, exactă a valorilor parametrilor α şi β este imposibil de realizat, deoarece nu se pot cuprinde în model absolut toate influenţele existente. Acest lucru a determinat introducerea în model a variabilei aleatoare, perturbatoare ε, care însumează efectul tuturor factorilor rămaşi în afara modelului, fie ei nesemnificativi sau necuantificabili.

Variabila aleatoare se presupune că are o repartiţie normală de medie nulă şi varianţă constantă pentru eşantionul de date analizat. Cu cât volumul eşantionului este mai mare, cu atât aceste presupuneri sunt mai apropiate de realitate.

În aceste condiţii, fiecărei valori date xi a variabilei factoriale îi corespunde o distribuţie normală de valori yi ale variabilei rezultative, de medie α + β ⋅ xi şi varianţă constantă.

Aceste ipoteze permit abordarea în condiţii de rigurozitate ştiinţifică a problematicii estimării parametrilor α şi β.

Valorile estimatorilor parametrilor, notate mai sus cu α şi β pot fi

determinate cu ajutorul mai multor metode matematice şi statistice. Una din metodele care ţine seama de restricţiile prezentate este

metoda celor mai mici pătrate iniţiată de matematicianul francez A.M. Legendre şi îmbunătăţită de K. Gauss, P.S. Laplace, P.L. Cebîşev şi A.A. Markov.5 Aplicarea ei are la bază câteva ipoteze fundamentale:

� datele privind variabila rezultativă şi cea factorială sunt obţinute fără erori de observare sau măsurare;

� variabila aleatoare sau reziduală ε este de distribuţie normală, de medie nulă (E(εi) = 0) şi de varianţă constantă şi diferită de zero;

� variabila aleatoare ε urmează o distribuţie independentă de valorile variabilei factoriale x;

� valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate. Principiul metodei celor mai mici pătrate constă în minimizarea sumei

pătratelor erorilor de estimare, conform relaţiei:

5E. Pecican, Econometrie, Editura ALL, Bucureşti, 1994, pag. 50

18

( ) ( ) ( ) minxˆˆyyyn

1i

2

ii

n

1i

2

ii

n

1i

2

i =∑ ⋅−−=∑ −=∑===

βαε

Condiţia necesară pentru îndeplinirea acestei restricţii este ca

derivatele parţiale ale sumei pătratelor erorilor de estimare în raport cu α şi β să fie egale cu zero, deoarece aceasta ne conduce la un extrem al funcţiei respective, conform teoremei lui Fermat.

Se poate demonstra că acest extrem este un minim deoarece pentru ca el să fie un maxim ar trebui ca α şi β să fie egali cu ±∞, iar posibilitatea de a fi un punct de inflexiune este exclusă dată fiind natura pătratică a funcţiei6.

Derivatele parţiale ale funcţiei în raport cu parametrii α şi β se egalează cu zero şi rezultă relaţiile:

( )( ) 01xˆˆy2n

1iii =−∑ ⋅−−

=

βα

( )( ) 0xxˆˆy2 i

n

1iii =−∑ ⋅−−

=

βα

Din aceste două relaţii se poate ajunge la un sistem de două ecuaţii cu

necunoscutele α şi β , de forma:

∑=∑⋅+∑⋅

∑=∑⋅+⋅

===

==

n

1iii

n

1i

2

i

n

1ii

n

1ii

n

1ii

yxxˆxˆ

yxˆˆn

βα

βα

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii se obţin valorile estimatorilor

α şi β . Estimatorii astfel determinaţi corespund obiectivului urmărit dacă

valoarea medie a estimatorului este egală cu valoarea reală a parametrului corespunzător, iar varianţa fiecărui estimator este relativ mică în raport cu numărul de eşantioane pe baza cărora s-a efectuat analiza.

6E. Pecican, op. cit., pag. 51

19

Calitatea estimatorilor calculaţi poate fi apreciată în funcţie de îndeplinirea de către aceştia a unor condiţii absolut necesare unei analize corecte: să conducă spre un grad înalt de determinare, să fie nedistorsionaţi, eficienţi şi consistenţi. Atunci când se utilizează metoda celor mai mici pătrate este necesar să fie cunoscute câteva consideraţii privind calitatea estimatorilor rezultaţi7:

� ridicarea la pătrat a abaterilor ( ii yy − ) conduce la pătratele de arie

minimă a erorilor de estimare, ceea ce reprezintă un element pozitiv. Trebuie avut însă în vedere faptul că această modalitate de calcul atribuie o importanţă destul de mare abaterilor mari, în sus sau în jos, faţă de medie, deoarece acestea prin ridicare la pătrat devin extrem de mari, afectând corespunzător estimaţiile. De aceea, atunci când se studiază perioadele cu fluctuaţii foarte mari ale variabilei rezultative în raport cu media, este indicată minimizarea sumei abaterilor luate în calcul la valoarea lor

absolută: ∑ −=

n

1iii yy = min;

� calitatea estimatorilor de a fi nedistorsionaţi nu implică neapărat egalităţile

αα =ˆ şi ββ =ˆ , ci presupune ca media estimatorului, obţinută pe

baza unui număr cât mai mare de eşantioane, să fie egală cu valoarea reală a parametrului corespunzător. Din acest punct de vedere, este importantă repartiţia valorilor variabilei aleatoare ε , precum şi varianţa valorilor estimate în jurul mediei. Cu cât această varianţă este mai mică, cu atât estimatorii sunt mai puţin distorsionaţi;

� pentru eşantioane mai mici de 30 de valori este dificil să se ajungă la estimatori ai parametrilor modelului care să respecte toate restricţiile. Repartiţia variabilei aleatoare se modifică, varianţa estimatorilor creşte, iar distorsiunea devine tot mai mare, pe măsură ce volumul eşantionului scade. De aceea, modelele cu cele mai mari şanse de reuşită sunt cele bazate pe eşantioane de volum mare.

Obţinerea valorilor estimate ale parametrilor α şi β înseamnă finalizarea analizei de regresie a modelului unifactorial liniar.

Analiza corelaţiei în cazul modelului unifactorial liniar se realizează cu ajutorul coeficientului de corelaţie liniară simplă, a raportului de corelaţie simplă şi a coeficientului de determinaţie, dacă variabilele sunt cantitative, iar dacă variabilele sunt calitative, se utilizează metodele neparametrice de măsurare a intensităţii legăturii.

7C. Şipoş, C. Preda, Statistică Economică, Editura Mirton, Timişoara, 2004, pag. 129 – 130

20

2.1.3. Verificarea statistică a modelului

În urma analizei de regresie şi a analizei corelaţiei s-au stabilit forma, sensul şi intensitatea legăturii dintre variabila rezultativă şi variabila factorială. Modelul rezultat în urma parcurgerii acestor etape îşi propune să aproximeze cât mai bine realitatea economică studiată. Gradul de îndeplinire a acestui deziderat se determină printr-un ansamblu de metode şi teste statistice care sunt numite generic verificarea statistică a modelului.

Această etapă de verificare a modelelor econometrice pe baza unor teste statistice este absolut necesară, datorită faptului că estimarea parametrilor modelelor se realizează pe baza unor eşantioane de date, mai mult sau mai puţin reprezentative. Astfel, luând în considerare un număr destul de redus de valori (uneori sub 30 de date) se doreşte să se ajungă la estimări valabile pentru o colectivitate generală formată din sute sau chiar mii de cazuri. Orice modificare a volumului eşantionului duce, de regulă, la modificarea valorilor estimate, ceea ce înseamnă că aceste valori au un grad ridicat de relativitate.8

În aceste condiţii, apar probleme legate de măsura în care soluţiile unui model pot fi generalizate, de faptul că estimaţiile obţinute pot fi semnificative sau doar întâmplătoare, rezultat al unei conjuncturi de valori din cadrul eşantionului, precum şi de limitele între care estimatorii pot varia fără a influenţa aprecierile iniţiale şi concluziile referitoare la semnificaţia lor.

Aceste probleme sunt rezolvate, în general, cu ajutorul testelor statistice, care studiază semnificaţia parametrilor modelului econometric şi calitatea acestuia de a descrie relaţia de dependenţă dintre variabila rezultativă şi factorii de influenţă luaţi în considerare. Pentru aceasta, în primul rând, trebuie cunoscută legea de repartiţie care caracterizează comportamentul variabilelor studiate – rezultativă, factorială şi aleatoare.

Legea de repartiţie a unei variabile aleatoare x exprimă probabilitatea P ca variabila respectivă să ia o anumită valoare.

Funcţia de repartiţie F(x) se referă la probabilitatea ca variabila x să ia o valoare mai mică decât un anumit nivel dat xi:

F(x) = P(x < xi) = ( )∫ix

0

dxxf

sau la probabilitatea ca variabila x să se situeze în intervalul dat de două valori x1 şi x2:

8C. Şipoş, Modelarea comportamentului cursului de schimb al leului, Editura Universităţii de Vest, Timişoara, 2003, pag. 80

21

F(x) = P(x1 < x < x2) = ( )∫2

1

x

x

dxxf

unde f(x) este prima derivată a funcţiei de repartiţie şi exprimă densitatea, aglomerarea variabilei în punctul x.

De regulă, legea care guvernează variabilele şi frecvenţa apariţiei acestora în economie este legea de repartiţie normală, notată cu N(m, σ). Distribuţia normală prezintă importanţă atât din motive teoretice cât şi practice, reprezentând un model adecvat ori de câte ori o variabilă este dependentă de unul sau mai mulţi factori care exercită asupra ei influenţe de intensitate relativ mică şi în diverse sensuri.

Dacă x este o variabilă aleatoare continuă care urmează o repartiţie normală de medie m şi abatere medie pătratică σ, N(m, σ), atunci densitatea de probabilitate este:

( )( )

2

2

2

mx

e2

1xf σ

πσ

−−

⋅=

Calculul diferitelor valori ale densităţii de repartiţie pentru diverse

valori ale mediei şi abaterii medii pătratice este destul de dificil şi, din acest motiv, se preferă o transformare a repartiţiei normale prin utilizarea variabilei standardizate z:

σ

mxz

−=

Atunci densitatea de probabilitate a variabilei z este:

( )2z

2

1

e2

1zf

⋅−

⋅=πσ

şi se numeşte densitatea de probabilitate a variabilei normale de medie nulă şi abatere medie pătratică egală cu unitatea N(0, 1).

Funcţia de repartiţie, care dă ponderea unităţilor care au valoarea caracteristicii mai mică decât o valoare x fixată este:

22

( ) ( ) ( )( )

∫∫∞−

−−

∞−

⋅==<=x

2

mtx

dte2

1dttfxXPxF

2

2

σ

πσ

Din ecuaţia f(x) = 0 se obţine x = m şi valoarea maximă a densităţii de

probabilitate este atinsă în punctul (m, πσ 2

1). 9

Această lege de repartiţie a fost luată în considerare atunci a fost

caracterizată variabila aleatoare şi când au fost apreciate valorile iy în funcţie

de un nivel dat al variabilei factoriale xi. Dacă se au în vedere parametrii α şi β

din modelul liniar unifactorial, atunci, deoarece variabila εi urmează o repartiţie

normală, iar α şi β sunt combinaţii liniare ale variabilei εi , înseamnă că

aceşti parametri sunt ei înşişi normal distribuiţi. Media estimatorului fiecărui parametru, în ipoteza unei estimaţii

nedistorsionate, este mărimea parametrului din colectivitatea generală. Varianţa estimatorului fiecărui parametru, în cazul unei estimaţii eficiente, depinde de împrăştierea variabilei aleatoare şi de împrăştierea valorilor variabilei factoriale.

Verificarea statistică este, de fapt, o operaţiune de validare a modelului, în funcţie de concluziile ei luându-se decizia de confirmare sau de infirmare a posibilităţilor acestuia de a reflecta corect situaţia reală. Setul de metode statistice care stă la baza verificării unui model econometric unifactorial este compus din mai multe tipuri de teste specifice, prezentate sintetic în cele ce urmează.

O primă verificare constă în determinarea şi interpretarea erorilor

standard generate de model. Erorile standard reprezintă abateri ale valorilor estimate de la valorile reale şi se împart în două categorii:

• prima categorie, calculată ca abatere a valorilor estimate ale variabilei rezultative $yi faţă de cele reale yi, se numeşte eroare standard a

modelului (sε) şi se determină cu relaţia:

( )( )∑ −

−=

=

n

1i

2

ii yy2n

1sε

9C. Chilărescu, O. Ciorîcă, C. Preda, C. Şipoş, N. Surulescu, Bazele statisticii, Editura Universităţii de Vest, Timişoara, 2002, pag. 110 – 114

23

În principiu, cu cât această eroare este mai mică în raport cu valorile variabilei rezultative, cu atât modelul aproximează mai corect realitatea economică studiată. Interpretarea calităţii modelului în funcţie de valoarea erorii standard a modelului este destul de relativă, fapt pentru care utilitatea acesteia constă mai degrabă în a fi folosită în determinarea altor parametri statistici de verificare a modelului;

• a doua categorie reprezintă abateri ale valorilor estimate ale parametrilor funcţiei de regresie de la valorile lor reale şi se numesc erori

standard ale parametrilor modelului. Ele se determină pentru fiecare parametru în parte. În cazul modelului unifactorial liniar, cele două erori standard ale parametrilor α şi β, notate cu sα , respectiv, sβ sunt:

2n

1ii

n

1i

2

i

n

1i

2

i

xxn

x

ss

∑−∑⋅

∑=

==

=εα

2n

1ii

n

1i

2

i xxn

nss

∑−∑⋅

=

==

εβ

Cu cât aceste erori ale parametrilor modelului sunt mai mici în raport

cu valorile absolute ale parametrilor pe care îi caracterizează, cu atât valorile estimate ale parametrilor respectivi sunt mai apropiate de cele reale.

Pentru ca modelul elaborat să fie corect din punct de vedere statistic, el trebuie să îndeplinească condiţia de normalitate a variabilei aleatoare ε, prezentată în etapa formulării ipotezelor iniţiale10. Aceasta se poate verifica cu ajutorul mai multor teste statistice, dintre care mai des utilizat este testul χ2, care constă în compararea frecvenţelor absolute efective, ni, ataşate valorilor variabilei aleatoare, cu valorile teoretice, pi.

Efectuarea testului χ2 presupune parcurgerea următoarelor etape: 1. Se formulează ipoteza nulă H0, prin care se presupune că distribuţia

variabilei aleatoare este normală; 2. Se calculează valorile standardizate zi, conform relaţiei:

10 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

24

σ

mxz i

i

−=

3. Se determină din tabelul Laplace valorile ϕ(zi) corespunzătoare; 4. Se calculează valorile teoretice pi = ϕ(zi) – ϕ(zi–1); 5. Se determină o valoare calculată χ2

c , astfel:

χ2c =

( )∑=

−k

1i i

2

ii

np

npn

6. Valoarea calculată a testului χ2 se compară cu valoarea tabelară

corespunzătoare. Dacă valoarea calculată este mai mică sau cel mult egală cu valoarea tabelară, rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se acceptă şi modelul este corect, iar dacă valoarea calculată este mai mare decât valoarea tabelară, rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se respinge şi modelul nu respectă condiţia iniţială impusă. În această a doua situaţie sunt necesare corecţii, fie în sensul suplimentării factorilor de influenţă, fie în sensul creşterii volumului eşantionului de date pe care se face analiza.

Verificarea unei alte ipoteze iniţiale a modelului, cea referitoare la autocorelarea variabilei aleatoare se realizează cu ajutorul testului Durbin –

Watson11, care presupune parcurgerea următoarelor etape:

Se stabileşte ipoteza nulă H0 conform căreia variabila aleatoare este autocorelată;

Se determină valoarea calculată a testului, d, după relaţia:

d =

( )

∑

∑

=

=−−

n

1i

2

i

n

2i

2

1ii

ε

εε

Se determină din tabelele statistice aferente testului Durbin – Watson

două valori tabelare, una inferioară şi alta superioară, notate dL şi dU . Valorile respective se iau din tabele în funcţie de nivelul de semnificaţie al testului, α, în funcţie de numărul de observaţii, N, precum şi în raport de numărul de variabile factoriale, k (care în cazul modelului unifactorial este egal cu unu);

Se compară d cu valorile tabelare şi pot rezulta trei situaţii:

11C. Chilărescu, Modele econometrice aplicate, Editura Mirton, Timişoara, 1994, pag. 25 – 26

25

– dacă d < dL, înseamnă că ipoteza autocorelării variabilei aleatoare se acceptă, adică valorile variabilei aleatoare sunt dependente una faţă de cealaltă, ceea ce implică faptul că şi înregistrările de date în eşantioane sunt dependente unele de altele şi modelul trebuie corectat;

– dacă dL ≤ d ≤ dU, testul este neconcludent şi trebuie refăcut pe alte eşantioane de date;

– dacă d > dU, înseamnă că ipoteza autocorelării variabilei aleatoare se respinge, adică valorile variabilei aleatoare sunt independente între ele, ceea ce implică faptul că şi înregistrările de date în eşantioane au fost independente. În această situaţie, modelul este corect din punct de vedere statistic. În practica econometrică, având în vedere faptul că, rareori, valorile tabelare ale acestui test depăşesc valoarea 2 se spune că dacă valoarea calculată d este mai mare decât 2, atunci modelul este corect. Pentru rigurozitate ştiinţifică, însă, este de preferat să se tragă concluziile după compararea lui d cu valorile tabelare aferente testului Durbin – Watson.12

În prima situaţie, cea în care modelul trebuie corectat, se parcurge un algoritm de corecţie, după cum urmează:

Având în vedere faptul că variabila aleatoare este autocorelată, înseamnă că între fiecare pereche de valori (εi; εi-1 ) există o relaţie care poate fi descrisă cu ajutorul unei funcţii de regresie de forma:

εi = r⋅ εi-1 + ui

unde r este panta dreptei de regresie, iar ui este perturbaţia aferentă acestei funcţii.

Deoarece variabila aleatoare este autocorelată, r va fi un estimator al coeficientului de corelaţie ρ care arată intensitatea legăturii între εi şi εi-1

13 şi se

determină cu relaţia:

∑

∑ ⋅=

=

=−

n

1i

2

i

n

2i1ii

r

ε

εε

Dacă valoarea lui r este cunoscută, se poate ajusta regresia liniară

simplă astfel încât parametrii modelului să fie eficienţi. Algoritmul de corectare

12 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006 13 W.H. Greene, Econometric Analysis, Fifth Edition, Prentice Hall, 2003, pag. 268 – 271

26

implică utilizarea metodei diferenţelor generalizate14, care conduce la un model

în care valorile variabilei aleatoare sunt independente între ele. Astfel, presupunând că modelul analizat este valabil pentru orice moment luat în considerare, se poate spune că, la momentul i – 1 este valabilă relaţia:

yi-1 = α + β ⋅ xi-1 + εi-1

Înmulţind ecuaţia cu r şi scăzând-o din ecuaţia iniţială a modelului, se

obţine funcţia corectată, cu variabila aleatoare cu o distribuţie independentă de medie nulă şi varianţă constantă, conform relaţiei:

yi* = α (1 – r)+ β ⋅ xi

* + ui

unde yi

*, xi* şi ui sunt diferenţele generalizate ale lui y, x şi ε, definite de

relaţiile:

yi* = yi – r ⋅ yi-1

xi

* = xi – r ⋅ xi-1

ui = εi – εi-1

Aplicând metoda celor mai mici pătrate se obţin parametri

nedistorsionaţi şi eficienţi, iar parametrul α din ecuaţia originală se va obţine prin împărţirea valorii estimate obţinute la 1 – r.

O altă modalitate de testare statistică o constituie testul Fisher de

verificare a variaţiei variabilei rezultative, care stabileşte capacitatea modelului de a reconstitui valorile empirice ale variabilei rezultative yi prin intermediul

valorilor estimate $yi . Această verificare se realizează prin parcurgerea mai

multor etape: Etapa I. Se stabileşte ipoteza nulă, H0, conform căreia împrăştierea

valorilor ajustate ale variabilei rezultative $yi datorită influenţei variabilei

factoriale nu diferă semnificativ de împrăştierea aceloraşi valori datorită întâmplării. Această ipoteză presupune, de fapt, că modelul este irelevant, iar etapele următoare ale testului o vor confirma sau o vor infirma;

Etapa II. Se alege repartiţia utilizată pentru efectuarea testului şi nivelul de semnificaţie α. Repartiţia pe baza căreia se realizează acest test este cea cunoscută sub numele de repartiţia Fisher – Snedecor;

14 R.S. Pindyck, D.L. Rubinfeld, op. cit., pag. 161 – 162

27

Etapa III. Se determină valoarea calculată (Fc) ca raport între estimatorul varianţei explicate s2

y/x şi estimatorul varianţei reziduale sε2, după relaţia:

2

2

x/y

cs

sF

ε

=

Etapa IV. Se alege valoarea tabelară sau critică (Ft) din tabelul

repartiţiei Fisher – Snedecor în funcţie de nivelul de semnificaţie α şi de numărul de grade de libertate;

Etapa V. Se compară valoarea calculată Fc cu valoarea tabelară Ft şi pot rezulta două situaţii:

– dacă Fc ≤ Ft, ipoteza nulă se acceptă cu probabilitatea p = 1 – α, ceea ce înseamnă că modelul trebuie reconsiderat, fie în sensul alegerii altui factor de influenţă, fie în sensul optării pentru o altă formă a funcţiei de regresie;

– dacă Fc > Ft, ipoteza nulă se respinge cu probabilitatea p = 1 – α, ceea ce înseamnă că modelul a rezistat verificării, adică variabila factorială are o influenţă semnificativă asupra variabilei rezultative.

Pentru a cerceta dacă parametrii obţinuţi în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate sunt consistenţi se utilizează testul Student de verificare a

semnificaţiei parametrilor modelului. Media estimatorului fiecărui parametru, în ipoteza unei estimaţii nedistorsionate, este mărimea reală a parametrului. Varianţa estimatorului fiecărui parametru, în cazul unei estimaţii eficiente, depinde de împrăştierea variabilei aleatoare şi de împrăştierea valorilor variabilelor factoriale.

Ceea ce interesează în mod deosebit este semnificaţia parametrului corespunzător variabilei factoriale, β, dată fiind importanţa lui în măsurarea influenţei acesteia asupra evoluţiei variabilei rezultative.

Etapele verificării semnificaţiei parametrilor cu ajutorul testului Student sunt următoarele:

Etapa I. Se stabileşte ipoteza nulă H0 conform căreia parametrii

estimaţi α şi β nu diferă semnificativ de zero. Acest lucru înseamnă că se

porneşte de la presupunerea că modelul este irelevant; Etapa II. Se stabileşte nivelul de semnificaţie al testului, notat cu α ; Etapa III. Se determină valorile calculate ale testului Student pentru

fiecare parametru în parte, ca raport între valoarea absolută a parametrului estimat şi eroarea sa standard, conform relaţiilor:

28

αα

α

s

ˆt =

β

β

β

s

ˆ

t =

Etapa IV. Se determină din tabelul aferent repartiţiei Student valoarea

tabelară a variabilei standardizate (tcritic) în funcţie de ν = n – 1 grade de libertate şi de probabilitatea α/2;

Etapa V. Se compară valorile calculate cu valoarea tabelară şi, în raport cu mărimea lor, rezultă următoarele situaţii:

– dacă nivelul calculat al ambilor parametri ai modelului este mai mic sau cel mult egal cu valoarea critică (tα , tβ < tcritic), ipoteza nulă se acceptă şi se

poate spune cu probabilitatea p = 1 – α că estimatorii α şi β nu diferă

semnificativ de zero. În aceste condiţii, datele nu confirmă existenţa legăturii între variabila factorială şi cea rezultativă, fiind necesară fie alegerea altui factor de influenţă, fie găsirea unei noi forme a legăturii;

– dacă nivelul calculat al ambilor parametri ai modelului este mai mare decât valoarea critică (tα , tβ > tcritic), ipoteza nulă se respinge şi se poate spune

cu probabilitatea p = 1 – α că estimatorii α şi β diferă semnificativ de zero,

adică parametrii estimaţi sunt semnificativi, iar modelul este corect din punct de vedere statistic.

Parcurgerea tuturor acestor etape ale verificării statistice a modelului unifactorial liniar, poate conduce la ideea unei anumite nesiguranţe privind calitatea rezultatelor obţinute. În urma verificărilor, însă, această nesiguranţă dispare şi, chiar dacă nu există certitudini, există convingerea că, pentru o probabilitate suficient de mare, concluzia la care se ajunge este cea adevărată.

2.2. Modele unifactoriale neliniare

De multe ori, în economie, dependenţa dintre două variabile nu este de tip liniar, ci urmează diverse funcţii analitice neliniare. Linia dreaptă nu poate fi utilizată pentru a descrie orice legătură, deoarece, în multe cazuri, “norul de puncte” sugerează diverse curbe. În aceste situaţii trebuie găsite funcţiile matematice corespunzătoare tipului de curbă sugerată de reprezentarea grafică.

29

Existenţa sau absenţa unei legături liniare între variabila rezultativă y şi variabila factorială x se probează cel mai simplu prin verificarea egalităţii dintre raportul de corelaţie R şi valoarea absolută a coeficientului de corelaţie liniară simplă, ρ, astfel:

– dacă cei doi parametri ai corelaţiei (prezentaţi în paragraful 3.1.1) sunt

egali (R = ρ ), legătura este liniară;

– dacă cei doi parametri sunt diferiţi (R ≠ ρ ), legătura este neliniară.

În afara acestui procedeu, în alegerea formei funcţiei de regresie au un rol important, pe lângă cunoştinţele teoretice şi procedeele econometrice, şi experienţa practică şi rezultatele cercetărilor similare.

În principiu, o funcţie de regresie neliniară este acea funcţie a cărei pantă, dată de parametrul β, nu este constantă pentru orice valoare a lui x. Estimarea parametrilor unei astfel de funcţii se realizează fie direct prin metoda celor mai mici pătrate, fie prin diverse transformări care duc la liniarizarea funcţiei, fie prin utilizarea unor metode numerice de estimare.

În econometrie, cele mai cunoscute şi mai des întâlnite modele unifactoriale neliniare sunt: modelul hiperbolic, modelul parabolic şi modelul exponenţial.

2.2.1. Modelul hiperbolic

Ajustarea cu ajutorul hiperbolei se utilizează atunci când “norul de puncte” urmează o traiectorie de tip hiperbolă. În acest caz, dependenţa dintre cele două variabile poate fi inversă sau directă, iar reprezentarea grafică este de forma:

Figura 1. Reprezentarea grafică a funcţiei hiperbolice

α

yi

0 xi

β < 0

β > 0

30

Modelul hiperbolic are la bază următoarea ecuaţie:

i

i

ix

1y εβα +⋅+=

Parametrii α şi β ai modelului pot fi estimaţi cu ajutorul metodei celor

mai mici pătrate, prin utilizarea transformării de variabilă: i

'

ix

1x = .

Modelul devine, astfel:

i

'

ii xy εβα +⋅+=

În aceste condiţii, sistemul de ecuaţii care conduce la valorile estimate

ale parametrilor α şi β, obţinut conform algoritmului prezentat în cazul modelului unifactorial liniar, este:

( ) ( )

∑ ⋅=∑⋅+∑⋅

∑=∑⋅+⋅

===

==

n

1ii

'

i

2n

1i

'

i

n

1i

'

i

n

1ii

n

1i

'

i

yxxˆxˆ

yxˆˆn

βα

βα

Ajustarea prin hiperbolă se recomandă atunci când variabila

rezultativă y scade, respectiv, creşte asimptotic către o valoare reală dată de parametrul α, fapt ilustrat şi de figura 1.

Analiza de corelaţie în cazul modelului hiperbolic se realizează cu ajutorul raportului de corelaţie R şi a coeficientului de determinaţie simplă R2.

Verificarea statistică a modelului şi discuţiile referitoare la homoscedasticitatea variabilei aleatoare sunt similare cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar.

În funcţie de reprezentarea grafică a legăturii, pot fi utilizate variante

ale funcţiei hiperbolice, care au la bază diverse ecuaţii: xey

β

α ⋅= ;

x

1y

+

=

α

β;

x

1y

⋅+=

βα etc.

31

2.2.2. Modelul parabolic

Acest model, numit şi modelul pătratic, este folosit, de regulă, atunci când ritmul de evoluţie al caracteristicii urmează o curbă de tip U, cu vârfurile în jos sau în sus. Pentru exprimarea modelului parabolic se utilizează funcţia de gradul doi, după relaţia:

yi = α + β1⋅xi +β2⋅xi

2 + εi

Reprezentarea grafică a unei funcţii parabolice este următoarea:

Figura 2. Reprezentarea grafică a funcţiei parabolice

Şi în cazul acestei funcţii, pentru estimarea parametrilor α, β1 şi β2 se

poate aplica metoda celor mai mici pătrate, rezultând următorul sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute:

∑=∑⋅+∑⋅+∑⋅

∑=∑⋅+∑⋅+∑⋅

∑=∑⋅+∑⋅+⋅

====

====

===

n

1ii

2

i

n

1i

4

i2

n

1i

3

i1

n

1i

2

i

n

1iii

n

1i

3

i2

n

1i

2

i1

n

1ii

n

1ii

n

1i

2

i2

n

1ii1

yxxˆxˆxˆ

yxxˆxˆxˆ

yxˆxˆˆn

ββα

ββα

ββα

yi

0 xi

β2 < 0

β2 > 0

32

Dacă β2 > 0, vârful parabolei va fi dat de minimul funcţiei (parabola este cu ramurile în sus), iar dacă β2 < 0, vârful parabolei este dat de maximul funcţiei (parabola este cu ramurile în jos).

Analiza de corelaţie în cazul modelului parabolic, similar cu modelul hiperbolic, are la bază determinarea şi interpretarea raportului de corelaţie R şi a coeficientului de determinaţie simplă R2.

Verificarea statistică a modelului şi discuţiile referitoare la homoscedasticitatea variabilei aleatoare sunt, de asemenea, similare cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar.

Modelul parabolic are, la rândul său, foarte multe variante de

exprimare, cum ar fi: 2

21 xxylg ⋅+⋅+= ββα ; 2xy ⋅+= βα ;

2

21 xxey

⋅+⋅⋅= ββα ; ( )2

21 xlgxlgy ⋅+⋅+= ββα etc.

2.2.3. Modelul exponenţial

Este utilizat atunci când “norul de puncte” are un trend curbiliniu crescător sau descrescător, de tip exponenţial. Ecuaţia modelului este de forma:

ix

iy βα ⋅=

Reprezentarea grafică a funcţiei exponenţiale este dată de figura 3:

Figura 3. Reprezentarea grafică a funcţiei exponenţiale

yi

0 xi

0 < β < 1

β > 1

33

În cazul acestei funcţii, pentru a estima parametrii α şi β este necesar, în primul rând, să se liniarizeze funcţia prin logaritmare, astfel:

log yi = log α + xi ⋅ log β

Apoi, se aplică metoda celor mai mici pătrate şi se obţine sistemul de

ecuaţii:

( )

( )

∑ ⋅=∑⋅+∑⋅

∑=∑⋅+⋅

===

==

n

1iii

n

1i

2

i

n

1ii

n

1ii

n

1ii

ylogxxˆlogxˆlog

ylogxˆlogˆlogn

βα

βα

Acest model se utilizează, de obicei, atunci când unei variaţii în

progresie aritmetică a variabilei factoriale x îi corespunde o variaţie în progresie geometrică a variabilei rezultative y.

Analiza de corelaţie în cazul modelului exponenţial, similar cu celelalte modele neliniare, se realizează prin determinarea şi interpretarea raportului de corelaţie R şi a coeficientului de determinaţie simplă R2.

Verificarea statistică a modelului şi discuţiile referitoare la homoscedasticitatea variabilei aleatoare sunt, ca şi în celelalte cazuri neliniare, similare cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar.

Modelul exponenţial are, la rândul său, numeroase variante de

exprimare, cum ar fi: x

ey⋅⋅= βα ;

xey

⋅+= βα etc.

În afara acestor tipuri de modele neliniare simple, pot fi luate în considerare multe altele, în funcţie de modul de dispunere a punctelor din reprezentarea grafică.

Trebuie observată, însă, importanţa deosebită a modelului unifactorial liniar, deoarece aproape toate modelele se raportează la acesta într-o formă sau alta. Cu toate acestea, principalul dezavantaj al unui model unifactorial este acela că ia în considerare prea puţine variabile factoriale, fapt pentru care este necesar să se apeleze la modele care studiază dependenţa dintre variabila rezultativă şi mai mulţi factori de influenţă, care acţionează simultan.

34

ÎNTREBĂRI TEORETICE DE AUTOEVALUARE LA CAPITOLUL 2: 1. Cum se interpretează valorile parametrilor α şi β ale modelului liniar unifactorial? 2. Ce reprezintă verificarea statistică a modelului econometric? 3. Care sunt etapele testului Durbin-Watson? 4. Care sunt principalele tipuri de modele unifactoriale neliniare?

35

CAPITOLUL 3. MODELE ECONOMETRICE

MULTIFACTORIALE

Rezumat: Problema fundamentală a modelelor unifactoriale este dată de faptul că, în activitatea socio–economică se întâmplă destul de rar ca o variabilă, de orice natură ar fi ea, să depindă semnificativ de un singur factor de influenţă. În marea majoritate a cazurilor, variabilele economice sunt rezultanta îmbinării mai multor factori importanţi la care se adaugă şi influenţa unor factori nesemnificativi sau necuantificabili.

Astfel, deseori, modelele unifactoriale nu reuşesc să respecte restricţiile impuse de metodele de estimare a parametrilor, deoarece sunt omise din analiză variabile factoriale cu impact semnificativ asupra variabilei rezultative. În aceste condiţii, variabila aleatoare nu mai are comportamentul presupus de către ipotezele iniţiale ale modelului şi, drept urmare, estimatorii obţinuţi nu sunt de calitate (deplasaţi, neconsistenţi, ineficienţi).

3.1. Modelul multifactorial liniar

3.1.1. Prezentarea modelului şi estimarea parametrilor

Funcţia de regresie care stă la baza modelului multifactorial liniar este de forma:

yi = α + β1⋅ x1i + β2⋅ x2i + … + βk⋅ xki + ε

în care: yi reprezintă valorile variabilei rezultative;

x1i, x2i, …, xki sunt valorile variabilelor factoriale luate în considerare; α, β1, …, βk sunt parametrii modelului, corespunzători variabilelor

factoriale x1i, x2i, …, xki; εi este variabila aleatoare sau reziduală. Estimarea parametrilor regresiei liniare multiple se realizează tot cu

metoda celor mai mici pătrate, utilizată şi la modelele unifactoriale. Aplicarea ei porneşte de la aceleaşi ipoteze fundamentale:

• datele privind variabila rezultativă şi variabilele factoriale sunt obţinute fără erori de observare sau măsurare;

• variabila aleatoare sau reziduală εi este de distribuţie normală, de medie nulă (E(εi) = 0) şi de varianţă constantă şi diferită de zero (homoscedastică);

36

• variabila aleatoare εi urmează o distribuţie independentă de valorile variabilelor factoriale x1i, x2i, …, xki;

• variabilele factoriale nu sunt corelate liniar unele faţă de celelalte (ipoteza absenţei multicoliniarităţii);

• valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate. Conform principiului metodei celor mai mici pătrate, valorile

variabilei aleatoare εi prin ridicare la pătrat, urmată de însumarea acestora, conduc la obţinerea expresiei:

( ) ( )∑ ⋅−−⋅−−=∑ −=∑===

n

1i

2

iki1i

n

1i

2

ii

n

1i

2

i xkˆ...1xˆˆyyy ββαε

în care $yi reprezintă valorile estimate ale variabilei rezultative corespunzătoare

nivelurilor variabilelor factoriale x1i, x2i, …, xki, iar k1ˆ,...,ˆ,ˆ ββα sunt

estimatorii parametrilor α, β1, …, βk. Obţinerea unor valori diferite pentru parametrii estimaţi

k1ˆ,...,ˆ,ˆ ββα conduce la valori diferite pentru suma pătratelor erorilor de

estimare. Ceea ce interesează, însă, este obţinerea acelui set de estimatori ai parametrilor modelului care determină cea mai mică sumă, adică cele mai mici erori de estimare. Aşadar, obiectivul urmărit este obţinerea unei astfel de soluţii pentru parametri, încât să fie valabilă următoarea relaţie:

∑=

n

1i

2

iε = minim

În acest scop, condiţia necesară este ca derivatele parţiale ale sumei

date în raport cu k1ˆ,...,ˆ,ˆ ββα să fie egale cu zero, deoarece aceasta ne

conduce la minim (demonstraţia afirmaţiei este similară cu cazul unifactorial), rezultând relaţiile:

( ) 0xkˆ...2xˆ1xˆˆy2n

1iiki2i1i =∑ −−−−−−

=

βββα

( )[ ] 0xkˆ...2xˆ1xˆˆy1x2n

1iiki2i1ii =∑ −−−−−−

=

βββα

37

( )[ ] 0xkˆ...2xˆ1xˆˆy2x2n

1iiki2i1ii =∑ −−−−−−

=

βββα

M

( )[ ] 0xkˆ...2xˆ1xˆˆyxk2n

1iiki2i1ii =∑ −−−−−−

=

βββα

Din relaţiile anterioare rezultă sistemul de k + 1 ecuaţii cu k + 1

necunoscute:

∑ ∑ ∑ ∑ ⋅=++⋅+⋅+∑

∑ ∑ ∑ ∑ ⋅=⋅+++⋅+∑

∑ ∑ ∑ ∑ ⋅=⋅++⋅++∑

∑ ∑ ∑ ∑=++++

= = = ==

= = = ==

= = = ==

= = = =

n

1i

n

1i

n

1i

n

1iii

2

ikii2ii1

n

1ii

n

1i

n

1i

n

1i

n

1iiiiik

2

i2ii1

n

1ii

n

1i

n

1i

n

1i

n

1iiiiikii2

2

i1

n

1ii

n

1i

n

1i

n

1i

n

1iiiki2i1

yxkxkˆ...xk2xˆxk1xˆxkˆ

y2xxk2xˆ...2xˆ2x1xˆ2xˆ

y1xxk1xˆ...2x1xˆ1xˆ1xˆ

yxkˆ...2xˆ1xˆˆn

βββα

βββα

βββα

βββα

M

În urma rezolvării acestui sistem se obţin valorile estimate ale

parametrilor modelului k1ˆ,...,ˆ,ˆ ββα .

Similar cu modelul unifactorial, estimatorii determinaţi cu metoda celor mai mici pătrate corespund obiectivului urmărit dacă valoarea aşteptată pentru fiecare estimator este egală cu valoarea reală a parametrului, iar varianţa fiecărui estimator este cea mai mică posibilă în raport cu numărul de eşantioane.

Informaţiile oferite de parametrii de regresie se referă la cuantificarea efectelor variaţiilor variabilelor factoriale luate în considerare asupra variaţiei variabilei rezultative.

Estimaţia termenului liber α, similar cu ceea ce s-a prezentat la modelul unifactorial, arată nivelul variabilei rezultative atunci când toate variabilele de influenţă (x1i, x2i, …, xki) au valoarea zero.

Din punct de vedere economic, această valoare are relevanţă numai atunci când variabila rezultativă poate lua valori diferite de zero şi în condiţiile în care toate variabilele factoriale sunt nule. Dacă este vorba însă de variabile

38

fundamentale, în absenţa cărora variabila rezultativă nu există, atunci termenului liber α nu are relevanţă economică şi trebuie eliminat din funcţie. Acest lucru se realizează prin construirea unei ecuaţii liniare multiple fără termen liber, conform relaţiei:

yi = β1⋅ x1i + β2⋅ x2i + … + βk⋅ xki + εi

Estimarea parametrilor β1, β2, …, βk se realizează tot cu ajutorul

metodei celor mai mici pătrate, rezultând următorul sistem de k ecuaţii cu k

necunoscute:

∑ ∑ ∑ ∑ ⋅=++⋅+⋅

∑ ∑ ∑ ∑ ⋅=⋅+++⋅

∑ ∑ ∑ ∑ ⋅=⋅++⋅+

= = = =

= = = =

= = = =

n

1i

n

1i

n

1i

n

1iii

2

ikii2ii1

n

1i

n

1i

n

1i

n

1iiiiik

2

i2ii1

n

1i

n

1i

n

1i

n

1iiiiikii2

2

i1

yxkxkˆ...xk2xˆxk1xˆ

y2xxk2xˆ...2xˆ2x1xˆ

y1xxk1xˆ...2x1xˆ1xˆ

βββ

βββ

βββ

M

Estimaţiile parametrilor β1, β2, …, βk, atât în cazul modelului cu

termen liber, cât şi în cazul modelului fără termen liber, arată cu cât variază variabila rezultativă atunci când factorul de influenţă corespunzător parametrului respectiv variază cu o unitate, în condiţiile în care toţi ceilalţi factori sunt constanţi.

De exemplu, valoarea lui β1 arată cu cât se modifică variabila rezultativă y atunci când x1 se modifică cu o unitate, iar x2, x3, …, xk sunt constante. Din acest motiv parametrul β1 mai este numit efectul parţial al acţiunii variabilei x1 asupra lui y.

Dacă β1 > 0, atunci legătura dintre variabila factorială x1 şi variabila rezultativă y este directă (când x1 are evoluţie crescătoare, creşte şi y, iar când x1 are evoluţie descrescătoare, scade şi y). Când β1 este pozitiv se pot distinge trei situaţii: dacă β1 < 1, atunci influenţa variabilei factoriale asupra celei rezultative este mai slabă (la variaţia cu o unitate a variabilei factoriale x1, variabila rezultativă y variază cu o valoare subunitară); dacă β1 > 1, atunci influenţa variabilei factoriale asupra celei rezultative este foarte puternică (la variaţia cu o unitate a variabilei factoriale x1, variabila rezultativă y variază cu o valoare supraunitară); dacă β1 = 1, atunci variabila rezultativă y variază direct proporţional cu variaţia variabilei factoriale x1.

39

Dacă β1 < 0, atunci legătura dintre variabila factorială x1 şi variabila rezultativă y este inversă, de sens contrar – când x1 evoluează crescător, y are o evoluţie descrescătoare, iar când x1 evoluează descrescător, y are o evoluţie crescătoare.

În situaţia în care β1 = 0, variabila rezultativă y este complet independentă în raport cu variabila factorială x1.

Similar se interpretează şi valorile lui β2, β3, …, βk.

Obţinerea valorilor estimate ale parametrilor α, β1, β2, …, βk înseamnă finalizarea analizei de regresie a modelului multifactorial liniar.

Analiza corelaţiei în cazul modelului multifactorial liniar cu variabile cantitative se realizează cu ajutorul raportului de corelaţie multiplă, a coeficientului de determinaţie multiplă, precum şi a coeficienţilor de corelaţie şi determinaţie parţială .

Dacă modelul multifactorial conţine variabile calitative, se utilizează metodele neparametrice de măsurare a intensităţii legăturii.

3.1.2. Verificarea statistică a modelului multifactorial

Prin analiza de regresie şi corelaţie a modelului multifactorial s-au stabilit forma, sensul şi intensitatea legăturii dintre variabila rezultativă şi variabilele factoriale. În principiu, modelul a fost elaborat astfel încât să aproximeze cât mai bine realitatea economică studiată. Măsura în care s-a reuşit acest lucru se determină în cadrul etapei de verificare statistică a modelului

multifactorial, care în mare parte se bazează pe metode statistice similare cu cele utilizate în cazul modelului unifactorial.

Aşa cum s-a arătat la modelul unifactorial, această etapă de verificare a modelelor de regresie pe baza unor teste statistice este absolut necesară, datorită faptului că estimarea parametrilor modelelor se realizează pe seama unor eşantioane de date, mai mult sau mai puţin reprezentative.

Setul de metode statistice care stă la baza verificării unui model multifactorial conţine mai multe componente, unele dintre ele similare cu modelul unifactorial:

Determinarea erorilor standard. Erorile standard reprezintă abateri ale valorilor estimate de la valorile reale şi se determină astfel:

1. Ca abatere a valorilor estimate ale variabilei rezultative $yi faţă de

cele reale yi, caz în care se numeşte eroare standard a modelului multifactorial, se notează sε şi se determină după relaţia:

40

( )( )s

n ky yi i

i

n

ε =− −

−=

∑1

1

2

1

$

unde k reprezintă numărul de variabile factoriale.

În principiu, se consideră că, cu cât această eroare este mai mică în raport cu valorile variabilei rezultative, cu atât modelul aproximează mai corect realitatea economică studiată. Aşa cum s-a arătat şi în cazul modelului unifactorial, interpretarea calităţii modelului în funcţie de valoarea erorii standard a regresiei este destul de relativă, fapt pentru care utilitatea acesteia constă mai degrabă în a sta la baza la determinării altor parametri statistici de validare a modelului;

2. Ca abateri ale valorilor estimate ale parametrilor funcţiei de regresie

k21ˆ,...,ˆ,ˆ,ˆ βββα de la valorile lor reale α, β1, β2, …, βk, caz în care se

numesc erori standard ale parametrilor modelului şi se determină pentru fiecare parametru în parte.

Pentru modelele multifactoriale, determinarea erorilor standard ale parametrilor α, β1, β2, …, βk este puţin mai dificilă decât în cazul modelului unifactorial.

Erorile standard ale parametrilor depind de eroarea standard a funcţiei de regresie sε şi de varianţele variabilelor factoriale x1, x2 , … ,xk . Aceste varianţe sunt date de elementele de pe diagonala inversei matricei asociate sistemului de ecuaţii al modelului.

Dacă se notează elementele respective cu cjj, unde j = k + 1, atunci eroarea standard a parametrului βj se determină conform relaţiei15:

jjcssj

⋅= εβ

Cu cât aceste erori sunt mai mici în raport cu valorile absolute ale parametrilor pe care îi caracterizează (|βj|), cu atât valorile estimate ale parametrilor respectivi sunt mai apropiate de cele reale.

Condiţia de normalitate a variabilei aleatoare εi, prezentată în etapa formulării ipotezelor iniţiale, se poate verifica cu ajutorul testului χ2, care constă în compararea frecvenţelor absolute efective, ni, ataşate valorilor variabilei aleatoare, cu valorile teoretice, pi. Efectuarea testului χ2 presupune parcurgerea următoarelor etape:

15E. Pecican, Econometrie, Editura ALL, Bucureşti, 1994, pag. 75 – 82

41

Etapa 1. Se formulează ipoteza nulă H0, prin care se presupune că distribuţia variabilei aleatoare este normală;

Etapa 2. Se calculează valorile standardizate zi, conform relaţiei:

σ

ε mz i

i

−=

Etapa 3. Se determină, din tabelul Laplace, valorile ϕ(zi)

corespunzătoare; Etapa 4. Se calculează valorile teoretice pi = ϕ(zi) – ϕ(zi–1); Etapa 5. Se determină o valoare calculată χ2

c , astfel:

χ2c =

( )∑=

−k

1i i

2

ii

np

npn

Valoarea calculată a testului χ2 se compară cu valoarea tabelară

corespunzătoare. Dacă valoarea calculată este mai mică sau cel mult egală cu valoarea tabelară, rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se acceptă şi modelul este corect, iar dacă valoarea calculată este mai mare decât valoarea tabelară, rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se respinge şi modelul nu respectă condiţia iniţială impusă. În această a doua situaţie sunt necesare corecţii, fie în sensul suplimentării factorilor de influenţă, fie în sensul creşterii volumului eşantionului de date pe care se face analiza.

Verificarea unei alte ipoteze iniţiale a modelului, cea referitoare la autocorelarea variabilei aleatoare se realizează cu ajutorul testului Durbin –

Watson, ale cărui etape au fost prezentate pe larg pe cazul modelului unifactorial.

Testul Fisher de analiză a variaţiei variabilei rezultative verifică modalitatea în care modelul reuşeşte să conducă la reconstituirea valorilor

empirice ale variabilei rezultative yi prin intermediul valorilor estimate $yi .

Testarea capacităţii modelului de a reconstitui valorile reale ale variabilei rezultative prin intermediul valorilor estimate se realizează astfel:

Etapa 1. Se stabileşte ipoteza nulă H0, conform căreia împrăştierea

valorilor ajustate ale variabilei rezultative $yi datorită factorilor de influenţă nu

diferă semnificativ de împrăştierea aceloraşi valori datorită întâmplării; Etapa 2. Se alege nivelul de semnificaţie α;

Etapa 3. Se determină valoarea calculată F ca raport între estimatorul varianţei explicate (s2

y/x1, x2, …, xk) şi estimatorul varianţei reziduale (sε2), astfel:

42

2

2

xk,...,2x,1x/y

s

sF

ε

=

Etapa 4. Se alege valoarea critică Fcritic din tabelul repartiţiei Fisher –

Snedecor în funcţie de nivelul de semnificaţie α şi de numărul de grade de libertate;

Etapa 5. Se compară valoarea calculată F cu valoarea critică Fcritic şi pot rezulta două situaţii:

– dacă F < Fcritic, ipoteza nulă se acceptă cu probabilitatea p = 1 – α, ceea ce înseamnă că modelul trebuie reconsiderat, fie în sensul alegerii altor factori de influenţă sau a suplimentării lor, fie în sensul optării pentru o altă formă a modelului;

– dacă F > Fcritic, ipoteza nulă se respinge cu probabilitatea p = 1 – α, ceea ce înseamnă că modelul a rezistat verificării, fiind util analizei şi previzionării variabilei rezultative.

O altă ipoteză importantă a metodei celor mai mici pătrate referitoare la modelele multifactoriale este aceea că variabilele factoriale nu sunt corelate

liniar între ele. Dacă există o astfel de relaţie liniară între două sau mai multe variabile factoriale din cadrul modelului, apare efectul de multicoliniaritate

16. În aceste condiţii, nu mai poate fi cuantificat efectul unei variabile factoriale xk asupra variabilei rezultative y, deoarece celelalte variabile factoriale nu sunt constante când aceasta variază, fiind corelate între ele. Estimatorii corespunzători variabilelor corelate între ele nu mai pot fi definiţi şi interpretaţi. Efectul de multicoliniaritate face practic imposibilă interpretarea estimatorilor parametrilor modelului, chiar dacă ei matematic pot fi calculaţi pe baza ecuaţiilor sistemului rezultat în urma aplicării metodei celor mai mici pătrate, deoarece erorile standard devin foarte mari, ceea ce afectează semnificativ calitatea estimatorilor.

Nu s-au elaborat până la ora actuală teste statistice suficient de sigure de determinare a multicoliniarităţii. De aceea, efectul se determină, cel mai adesea, prin calcularea coeficienţilor de corelaţie liniară între variabilele factoriale. Dacă valorile acestor coeficienţi sunt nule sau foarte apropiate de zero, multicoliniaritatea nu există sau este foarte slabă. Dacă, însă, valorile coeficienţilor de corelaţie liniară sunt apropiate de unu, efectul există şi trebuie înlăturat. De asemenea, existenţa multicoliniarităţii într-o măsură semnificativă

16 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

43

este semnalată şi de valorile mari ale erorilor standard ale parametrilor şi de nivelurile de semnificaţie mici ale acestora.

De obicei, în economie, variabilele factoriale nu sunt complet independente unele de celelalte. Acest lucru înseamnă că, întotdeauna într-un model econometric va exista un anumit efect de multicoliniaritate. Problema care se pune este a gradului de multicoliniaritate peste care modelul devine ineficient.

Eliminarea efectelor multicoliniarităţii se face cel mai sigur prin eliminarea variabilelor factoriale corelate (eventual, păstrarea uneia dintre ele şi eliminarea celorlalte). Acest lucru este posibil, însă, numai dacă modelul cuprinde suficient de multe variabile factoriale.

O altă modalitate de evitare a multicoliniarităţii este segmentarea eşantionului de date în mai multe părţi şi analizarea separată a fiecărei porţiuni, cu condiţia ca eşantioanele rezultate în urma segmentării să fie suficient de mari.

Un ultim test utilizat în cadrul acestei etape este testul Student de

verificare a semnificaţiei parametrilor modelului. Calitatea parametrilor corespunzători variabilelor factoriale este foarte importantă, dat fiind rolul lor în măsurarea impactului fiecărei variabile factoriale asupra evoluţiei variabilei rezultative.

Pentru aceasta se calculează estimatorii varianţelor acestor parametri 2ˆ

k

sβ în funcţie de varianţa variabilei aleatoare sε

2 şi de varianţele variabilelor

factoriale. Etapele verificării semnificaţiei parametrilor cu ajutorul testului

Student sunt următoarele: Etapa 1. Se stabileşte ipoteza nulă H0 conform căreia parametrii

estimaţi k21ˆ,...,ˆ,ˆ,ˆ βββα nu diferă semnificativ de zero;

Etapa 2. Se stabileşte nivelul de semnificaţie al testului, α ;

Etapa 3. Se determină valorile calculate ale testului Student k

tβ

pentru fiecare parametru în parte, ca raport între valoarea absolută a

parametrului estimat kβ şi eroarea sa standard k

sβ , conform relaţiei:

k

k s

ˆ

tk

ββ

β=

44

Etapa 4. Se determină din tabelul aferent repartiţiei Student valoarea tabelară a variabilei standardizate tcritic în funcţie de ν = n – 1 grade de libertate şi de probabilitatea α/2;

Etapa 5. Se compară valoarea calculată cu valoarea tabelară şi, în raport cu mărimea lor, pot rezulta trei situaţii:

– dacă toate valorile calculate sunt mai mari decât nivelul critic (k

tβ >

tcritic), ipoteza nulă se respinge şi se poate spune cu probabilitatea p = 1 – α că toţi estimatorii determinaţi cu metoda celor mai mici pătrate diferă semnificativ de zero, adică parametrii estimaţi sunt semnificativi, iar modelul este corect din punct de vedere statistic;

– dacă unele valori calculate sunt mai mari decât nivelul critic, iar altele sunt mai mici, parametrii aferenţi valorilor calculate mai mari decât nivelul critic sunt semnificativi şi trebuie păstraţi în model, în timp ce parametrii aferenţi valorilor calculate mai mici decât nivelul critic sunt nesemnificativi şi trebuie eliminaţi din model. În această situaţie, modelul se va reface în raport de variabilele factoriale rămase semnificative;

– dacă toate valorile calculate sunt mai mici decât nivelul critic ( tak<

tcritic), ipoteza nulă se acceptă şi se poate spune cu probabilitatea p = 1 – α că estimatorii nu diferă semnificativ de zero şi rezultatul obţinut este întâmplător. În aceste condiţii, datele studiate nu confirmă existenţa legăturii între variabila rezultativă şi factorii de influenţă analizaţi, fiind necesară fie alegerea altor factori, fie găsirea unei noi forme a legăturii.

3.2. Modele multifactoriale neliniare Modelele liniare au o largă aplicabilitate în econometrie datorită

relativei uşurinţe cu care parametrii acestor modele pot fi estimaţi şi interpretaţi. O dată, însă, cu dezvoltarea unor programe computerizate specializate, a apărut posibilitatea utilizării unor modele mai complexe, care au la bază diverse tipuri de funcţii, liniare sau neliniare, cu variabile cantitative şi calitative. Problema principală care trebuie rezolvată la ora actuală cu privire la utilizarea acestor instrumente computerizate este cea referitoare la alegerea funcţiei cele mai potrivite în raport cu fenomenul studiat.

Astfel, modelele multifactoriale neliniare pot fi de diverse forme, în funcţie de curba descrisă de graficul “norului de puncte”. Cel mai des întâlnite modele neliniare multiple care descriu evoluţia unor variabile economice sunt funcţiile exponenţiale şi funcţiile de putere.

45

Funcţiile exponenţiale pot fi, la rândul lor, de diverse forme, cele mai utilizate fiind cele care pot fi uşor liniarizate prin diverse transformări. O funcţie exponenţială multifactorială cunoscută este de forma:

y = α ⋅ β1

x1 ⋅ β2

x2 ⋅ … ⋅ βk

xk ⋅ ε

Liniarizarea acestei funcţii se realizează prin logaritmare:

log y = log α + x1⋅ log β1 + … + xk⋅ log βk + log ε

În acest fel, modelul este unul multifactorial liniar cu parametrii log α,

log β1, …, log βk, care pot fi estimaţi cu metoda celor mai mici pătrate. O altă funcţie exponenţială utilizată destul de des în econometrie este

de forma:

εα βββ ⋅⋅⋅⋅⋅= xk2x1x k21 e...eey

Liniarizarea acestei funcţii se realizează prin logaritmare cu logaritm

natural şi se obţine: ln y = ln α + β1⋅ x1 + β2⋅ x2 + … + βk⋅ xk + ln ε Din nou se ajunge la un model multifactorial liniar care poate fi

analizat cu metodele cunoscute. A doua categorie de funcţii multifactoriale neliniare sunt funcţiile de

putere. Ecuaţia cea mai cunoscută care stă la baza unui model de putere este următoarea:

y = α ⋅ x1

β1 ⋅ x2 β2⋅ …⋅ xk

βk⋅ ε Liniarizarea unei astfel de funcţii se realizează tot prin logaritmare,

rezultând o ecuaţie de forma:

log y = log α + β1 ⋅ log x1 + … + βk ⋅ log xk + log ε Similar cu funcţiile exponenţiale, în urma efectuării operaţiunii de

logaritmare, estimarea parametrilor funcţiei rezultate se poate realiza tot cu metoda celor mai mici pătrate.

46

Pe lângă funcţiile liniarizabile există, însă, şi numeroase funcţii neliniare care nu se pretează la liniarizare şi ale căror parametri trebuie estimaţi ca atare. Acest lucru, de obicei, este dificil de realizat cu metode mai simple, fapt pentru care se apelează la metodele computerizate specializate, iar analistul interpretează doar rezultatele obţinute.

Funcţiile exponenţiale şi cele de putere prezentate au o largă utilizare în econometrie, o aplicaţie foarte cunoscută a lor constituind-o funcţiile de

producţie.

3.3. Funcţii de producţie Un caz particular al funcţiilor multifactoriale de putere îl reprezintă un

model bifactorial neliniar, care pune în evidenţă legătura la nivel macroeconomic dintre venitul obţinut şi factorii de producţie fundamentali care concură la realizarea venitului respectiv. Acest model este cunoscut sub numele de funcţia de producţie Cobb – Douglas

17, după numele autorilor săi şi are la bază următoarea ecuaţie:

Y = L

α⋅ K β

în care: Y reprezintă venitul realizat la nivelul economiei naţionale pe timp de

un an, cuantificat iniţial de către autori cu ajutorul venitului naţional, iar, mai recent, prin produsul naţional brut sau produsul intern brut ;

L este forţa de muncă utilizată în economie în timpul unui an, cuantificată prin cuantumul salariilor;

K reprezintă capitalul fix productiv aferent aceleiaşi perioade; α şi β sunt coeficienţii de elasticitate ai venitului în raport cu L şi K. Prin logaritmare, rezultă funcţia liniară de forma:

log Y = α ⋅ log L + β ⋅ log K Estimatorii parametrilor α şi β se obţin prin aplicarea metodei celor

mai mici pătrate, în urma căreia rezultă sistemul de două ecuaţii cu două necunoscute de forma:

17 C. Chilărescu, Modele econometrice aplicate, Editura Mirton, Timişoara, 1994, pag. 81 – 85

47

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∑ ⋅=∑⋅+∑ ⋅⋅

∑ ⋅=∑ ⋅⋅+∑⋅

===

===

n

1iii

n

1i

2

i

n

1iii

n

1iii

n

1iii

n

1i

2

i

KlogYlogKlogˆKlogLlogˆ

LlogYlogKlogLlogˆLlogˆ

βα

βα

în care Yi, Li şi Ki reprezintă valorile venitului, ale forţei de muncă şi ale

capitalului fix aferente perioadei de timp analizate, iar α şi β sunt estimatorii

elasticităţilor α şi β . Valoarea estimată pentru elasticitatea α arată, în valoare procentuală,

cu cât se modifică venitul Y, atunci când forţa de muncă L se modifică cu o unitate.

Similar, valoarea estimată a elasticităţii β arată, în valoare procentuală, cu cât se modifică venitul Y, atunci când capitalul fix K se modifică cu o unitate.

Iniţial, autorii au ajuns la concluzia că, pe termen lung, într-o economie deschisă de piaţă, suma elasticităţilor α şi β tinde către 1, ipoteză infirmată, însă, de cercetări ulterioare18.

O altă funcţie de producţie, care este o completare a funcţiei Cobb – Douglas, o reprezintă funcţia de producţie Solow, care pe lângă forţa de muncă şi capitalul fix, ia în considerare şi impactul tehnologic (progresul tehnic sau inovarea) ca fiind factor esenţial de producţie. Această funcţie are la bază următoarea ecuaţie:

Y = L

α⋅ Kβ⋅ eγ t

în care, termenul nou introdus eγ⋅t semnifică impactul tehnologic. Liniarizarea

funcţiei se realizează prin logaritmare cu logaritmul natural, astfel:

ln Y = α ⋅ ln L + β ⋅ ln K + γ ⋅ t

unde γ reprezintă elasticitatea venitului Y la modificările tehnologice, iar t cuantifică factorul timp.

Estimatorii parametrilor α, β şi γ se obţin prin aplicarea metodei celor mai mici pătrate, în urma căreia rezultă sistemul de trei ecuaţii cu trei necunoscute de forma:

18 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

48

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∑ ⋅=∑⋅+∑ ⋅⋅+∑ ⋅⋅

∑ ⋅=∑ ⋅⋅+∑⋅+∑ ⋅⋅

∑ ⋅=∑ ∑ ⋅⋅+⋅⋅+∑⋅

====

====

== ==

n

1iii

n

1i

2

i

n

1iii

n

1iii

n

1iii

n

1iii

n

1i

2

i

n

1iii

n

1iii

n

1i

n

1iiiii

n

1i

2

i

YlnttˆKlntˆLlntˆ

KlnYlnKlntˆKlnˆKlnLlnˆ

LlnYlnLlntˆKlnLlnˆLlnˆ

γβα

γβα

γβα

unde α , β şi γ sunt estimatorii elasticităţilor α, β şi γ.

O altă funcţie de producţie cunoscută în econometrie este funcţia de

producţie CES,19 care porneşte de la ipoteza elasticităţii constante a substituţiei factorilor de producţie L şi K. Ecuaţia acestei funcţii este de forma:

( )[ ] εδδρ

νγ ρρ +−+−= −−

L1KlnlnYln

O aproximare de tip serie Taylor a acestei funcţii în jurul punctului ρ

= 0 este:

( ) ( ) ( ) '2LlnKln

2

11Lln1KlnlnYln εδρνδδννδγ +

−−−+−++=

= β1 ⋅ x1 + β2 ⋅ x2 + β3 ⋅ x3 + β4 ⋅ x4 + ε’

unde: x1 = 1; x2 = ln K; x3 = ln L; ( )L/Kln2

14x 2−= , iar transformările

efectuate sunt:

γ = eβ1

; δ = β2/(β2 + β3); ν = β2 + β3;

ρ = β4(β2 + β3)/ (β2β3)

Valorile estimate ale parametrilor β1, β2, β3 şi β4 se pot obţine cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate aplicată funcţiei liniare. Pe baza acestora se obţin valorile estimate ale parametrilor γ, δ, ν şi ρ.

19 W.H. Greene, Econometric Analysis, Fifth Edition, Prentice Hall, 2003, pag. 128 – 130

49

ÎNTREBĂRI TEORETICE DE AUTOEVALUARE LA CAPITOLUL 3: 1. Cum se interpretează valorile parametrilor α, β1 ,..., βk ale modelului liniar multifactorial? 2. Ce este efectul de multicoliniaritate? 3. Care sunt principalele tipuri de modele multifactoriale neliniare? 4. Ce sunt funcţiile de producţie?

50

51

CAPITOLUL 4. MODELE ECONOMETRICE BAZATE

PE FACTORUL TIMP

Rezumat: Analiza econometrică a evoluţiei în timp a fenomenelor şi proceselor economice reprezintă o latură distinctă a cercetării variabilelor economice cu ajutorul metodelor cantitative. În cazul modelelor care includ factorul timp – serii de timp, cronologice sau dinamice, cum mai sunt ele denumite – variabilele factoriale sunt înlocuite de un şir de valori care exprimă, de regulă, o acumulare de perioade egale de timp. Modelele econometrice bazate pe factorul timp sunt reprezentate, de obicei, prin două şiruri de date paralele, în care primul şir arată variaţia caracteristicii de timp, iar cel de-al doilea şir arată variaţia caracteristicii studiate de la o unitate de timp la alta.

4.1. Analiza econometrică a evoluţiei în timp a variabilelor economice

O serie de timp care redă evoluţia unei variabile economice Y pe o

anumită perioadă de timp t1, t2, … , ti, …, tn poate fi reprezentată astfel20:

ni

ni

tttt

yyyy

......

......

21

21

Un model econometric bazat pe influenţa timpului asupra evoluţiei unei

variabile economice prezintă câteva caracteristici fundamentale: 1. Variabilitatea termenilor unei serii de timp, care este dată de faptul că

fiecare termen se obţine prin centralizarea unor date individuale cu caracteristici diferite. Cu cât acţiunea caracteristicilor individuale este mai pregnantă, cu atât apar diferenţe mai mari între comportamentele termenilor seriei, ceea ce face ca variaţiile, fluctuaţiile în cadrul seriei să fie mai puternice. Având în vedere această trăsătură, este necesar ca, în analiza unei serii de timp, să se măsoare atât influenţa factorilor esenţiali, care imprimă fenomenului o anumită tendinţă specifică de evoluţie, cât şi marja de abatere de la această tendinţă, rezultată din influenţa factorilor neesenţiali;

20C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

52

2. Omogenitatea termenilor, care constă în includerea în cadrul unei serii de timp numai a fenomenelor de acelaşi gen, care sunt rezultatul acţiunii aceloraşi cauze esenţiale. Pentru a asigura omogenitatea seriei, trebuie păstrată aceeaşi metodologie de culegere a datelor, de calcul a indicatorilor şi evaluare a rezultatelor, precum şi menţinerea lungimii intervalelor de grupare şi a unităţii de măsurare a timpului. Atunci când se analizează o serie de timp, este necesar să se verifice dacă datele provin din aceeaşi sursă, cu acelaşi grad de cuprindere şi dacă au fost folosite aceleaşi principii şi metode de culegere şi prelucrare a datelor;

3. Periodicitatea termenilor, care presupune asigurarea continuităţii datelor în raport cu timpul şi reprezintă o caracteristică foarte importantă în utilizarea metodelor analitice de analiză a seriilor dinamice. Variabila timp poate fi înregistrată cu periodicităţi diferite, începând de la unităţi de timp de ordinul minutelor, orelor sau zilelor şi continuând cu perioade de ordinul anilor, deceniilor sau chiar secolelor, în funcţie de specificul variabilelor economice analizate;

4. Interdependenţa termenilor seriei de timp, care înseamnă existenţa unor legături între valorile înregistrate la perioade diferite de timp, adică relevarea unor interdependenţe între nivelul curent al variabilei şi nivelurile înregistrate în perioadele anterioare. Dacă aceste interdependenţe sunt foarte puternice, atunci se poate vorbi despre un caracter “autoregresiv” al variabilei analizate, care poate fi studiat cu ajutorul unor modele specifice, cu largă utilizare în econometrie.

Un element fundamental al analizei econometrice cu ajutorul seriilor de timp îl reprezintă alegerea lungimii seriei de date, de regulă, fiind necesar un număr suficient de mare de termeni, astfel încât să poată fi aplicate principiile legii numerelor mari şi să poată fi fundamentate corect previziunile pe diferite perioade de timp.

Un alt element fundamental îl reprezintă alegerea formei optime de analiză a seriei de date. Din acest punct de vedere, cea mai utilizată modalitate de analiză a seriilor de timp o reprezintă descompunerea evoluţiei seriei dinamice pe componente determinate de acţiunea diferiţilor factori de influenţă.

Sub acţiunea unui sistem complex de variabile factoriale sau aleatoare, considerate independente una faţă de cealaltă, în cadrul unei serii dinamice se pot identifica următoarele componente:21

1. Trendul sau tendinţa centrală Tt, care reflectă legitatea specifică de evoluţie a variabilelor economice studiate pe o perioadă lungă de timp, făcând abstracţie de abaterile faţă de nivelul mediu, respectiv, de erorile sau valorile

21 T. Andrei, S. Stancu, Statistica. Teorie şi aplicaţii, Editura ALL, Bucureşti, 1995, pag. 385

53

reziduale datorate influenţei factorilor aleatori. Identificarea trendului unei serii de timp se realizează cu ajutorul a diverse metode econometrice, cunoscute generic sub numele de “ajustarea seriilor de timp”;

2. Variaţiile ciclice Ct, care reprezintă oscilaţiile interanuale în jurul tendinţei centrale cu un caracter nesistematic, în sensul că atât intervalele la care oscilaţiile se manifestă, cât şi intensitatea lor, sunt diferite de-a lungul timpului;

3. Variaţiile sezoniere St sunt acea componentă sistematică ce se manifestă prin oscilaţii de perioadă mai mică sau cel mult egală cu un an, repetabile în timp. Sezonalitatea se manifestă sub forma unor abateri de la medie care apar regulat în timpul unui an şi are un caracter mai mult sau mai puţin pregnant în funcţie de specificul domeniului studiat;

4. Variaţiile aleatoare sau reziduale (perturbatoare) εt apar datorită unor factori necuantificabili şi cu acţiuni absolut imprevizibile. În funcţie de proprietăţile atribuite variabilei aleatoare pot fi aplicate anumite tehnici de estimare şi previziune a comportamentului seriei de date.

În măsura în care volumul de date studiat este suficient de mare, în analiza unei serii de timp se regăsesc mai multe tipuri de scheme de descompunere a influenţelor pe cele patru componente22

. Schema cea mai simplă şi mai des utilizată este schema aditivă, în care

cele patru componente ale seriei se însumează direct, conform relaţiei:

yt = Tt + Ct + St + εt ,

unde yt reprezintă valoarea variabilei studiate la momentul t. Primele două componente, trendul şi variaţiile ciclice, se pot analiza

împreună sub forma componentei extrasezoniere Dt, după relaţia:

Dt = Tt + Ct

A doua schemă este cea multiplicativă, cu două variante: 1. Atunci când componenta sezonieră este proporţională cu componenta

extrasezonieră, schema de compunere se prezintă în felul următor:

yt = Dt + Dt ⋅ St + εt = Dt (1 + St) + εt

2. Atunci când componenta aleatoare este proporţională cu suma celorlalte componente, schema este următoarea: 22 P. Newbold, W.L. Carlson, Betty Thorne, Statistics for Business and Economics, Fifth Edition, Pearson Prentice Hall, 2003, pag. 668 – 671

54

yt = Dt (1 + St)(1 + εt)

Această ultimă schemă, prin logaritmare, poate fi transformată într-o schemă aditivă, astfel:

ln yt = ln Dt + ln(1 + St) + ln(1 + εt)

Modelele econometrice bazate pe factorul timp trebuie să ţină însă seama,

între altele, şi de caracteristica fenomenelor economice de a-şi manifesta influenţa cu o întârziere mai mică sau mai mare în timp. Acest fapt a dus la utilizarea termenului de time – lag (decalaj în timp) care evită pericolul falselor corelaţii în situaţiile în care se analizează serii de date care includ tendinţe de evoluţie.

Având în vedere caracteristicile lor, se poare observa că modelele care include factorul timp sunt diverse, fapt pentru care este necesară o clasificare a lor, în vederea stabilirii metodelor optime de ajustare.

Astfel, în raport de perioada de timp la care se referă datele, seriile de timp pot fi:

• serii de timp de intervale (continue), în cazul cărora fiecare nivel al caracteristicii se referă la o perioadă de timp. Seriile pe intervale se utilizează, de regulă, în cazul variabilelor exprimate în unităţi monetare şi au drept trăsătură esenţială faptul că termenii lor sunt însumabili (de exemplu, profitul din anul 2005 poate fi adunat cu profitul aceleiaşi firme înregistrat în anii 2004, 2003 ş.a.m.d.) ;

• serii de timp de momente (discrete), în cazul cărora fiecare nivel al caracteristicii se referă la un moment dat. În această situaţie, termenii seriei nu sunt însumabili, deoarece conţin înregistrări repetate (de exemplu, populaţia României din anul 2005 nu poate fi însumată cu populaţia României din anul 2004, datorită faptului că cele două valori se includ una pe cealaltă).

Un alt criteriu important de clasificare este cel în raport cu modul de exprimare a termenilor seriei:

• serii de timp bazate pe indicatori absoluţi, care reprezintă forma fundamentală de exprimare a unei serii de timp şi pe baza căreia se pot obţine indicatori generalizatori aferenţi întregii perioade studiate;

• serii de timp bazate pe indicatori relativi, care arată variaţii de la o perioadă la alta, exprimate, de obicei, sub formă procentuală. În cazul acestei modalităţi de exprimare este foarte importantă alegerea şi specificarea clară a perioadei luate ca bază de referinţă;

• serii de timp bazate pe indicatori medii, care sunt exprimate sub forma unor indicatori calculaţi ca medii, folosite îndeosebi atunci când se analizează

55

fenomene care se produc în anumite perioade de timp (media anuală sau lunară a producţiei, numărul mediu anual de lucrători etc.) sau în anumite unităţi de spaţiu (recolta medie la hectar, producţia medie a unui utilaj etc.).

Scopul principal al analizei econometrice a unei serii de date este acela de a studia evoluţia fenomenelor şi proceselor economice pe o perioadă de timp trecută, istorică, în vederea extrapolării rezultatelor pentru fundamentarea unor previziuni pentru perioadele viitoare. Această analiză econometrică se realizează diferenţiat în funcţie de tipul seriei (de intervale sau de momente), de lungimea seriei de date, de periodicitatea şi variaţiile acesteia şi de alte elemente specifice variabilei studiate.

Ajustarea unei serii de timp constă în determinarea trendului sau a tendinţei centrale prin diverse metode, care au la bază principiul înlocuirii termenilor seriei studiate cu termenii unei serii teoretice, obţinuţi prin calcule. Termenii teoretici pot fi determinaţi prin aplicarea a diverse procedee de cuantificare a legităţii specifice de dezvoltare pe termen lung datorată unor factori esenţiali şi de eliminare a fluctuaţiilor periodice sau aleatoare.

Varianţa totală a termenilor seriei, care semnifică variaţia medie produsă de influenţa tuturor factorilor, atât esenţiali, cât şi întâmplători, este compusă din variaţia datorată factorului timp, cuantificată cu ajutorul varianţei valorilor ajustate faţă de medie şi din variaţia reziduală, cuantificată prin varianţa termenilor reali faţă de valorile ajustate.

Valorile teoretice (ajustate) în funcţie de timp se pot determina folosind numeroase metode, unele mai simple, altele mai complexe. O condiţie esenţială, comună tuturor acestor metode, este aceea că numărul termenilor seriei trebuie să fie suficient de mare pentru a se putea aplica legea numerelor mari şi, astfel, să se asigure caracterul de tendinţă al analizei.

În econometrie, cele mai des utilizate metode de ajustare a seriilor de timp sunt cele de tip analitic, bazate pe funcţii matematice care descriu evoluţia fenomenului cercetat. Ele pornesc, însă, de la încercarea de a determina forma şi sensul legăturii cu ajutorul unor metode elementare de tipul metodei grafice, a metodei sporului mediu sau a ritmului mediu. O metodă mai elaborată, care ajută semnificativ abordările analitice ulterioare aplicării ei, este ajustarea pe baza mediilor mobile.

Metoda grafică este una dintre cele mai simple modalităţi de determinare a trendului unei serii de timp. Ea reprezintă o metodă preliminară altor metode de ajustare, servind la alegerea modelului de evoluţie care descrie cel mai bine evoluţia fenomenului sau procesului economic studiat.

Aplicarea acestei metode constă în reprezentarea grafică a seriei de date empirice avute la dispoziţie şi în trasarea vizuală a segmentului de dreaptă sau curbă care uneşte punctele extreme ale seriei, astfel încât să existe abateri

56

minime faţă de poziţia valorilor reale. Ajustarea vizuală porneşte de la premisa că acţiunea factorilor de influenţă a fost relativ constantă pe toată perioada studiată, imprimând, astfel, termenilor seriei o regulă de variaţie comună, care poate fi descrisă de segmentul de dreaptă sau curbă trasat.

Reprezentarea grafică poartă numele de cronogramă şi este prezentată în figura 4:

Figura 4. Cronograma

Dacă “norul de puncte” sugerează o linie dreaptă, ca în figura 4, se va

utiliza o funcţie analitică de tip liniar, iar dacă reprezentarea grafică sugerează o curbă, atunci se va utiliza funcţia neliniară care ajustează cel mai bine curba respectivă.

Metoda sporului mediu se utilizează în cazul în care seria de date evoluează aproximativ după o progresie aritmetică. Termenii seriei ajustate se vor calcula după relaţia termenului general al unei progresii aritmetice, astfel:

yt = y1 + (t – 1)⋅ ∆

în care, yt reprezintă un termen ajustat al seriei, y1 reprezintă primul termen al

seriei empirice, t este factorul timp, iar ∆ este sporul mediu. Metoda, destul de simplă dealtfel, se recomandă numai în cazurile în care

variaţiile nivelurilor absolute sunt relativ constante pe parcursul perioadei studiate. Dacă fluctuaţiile înregistrează valori extreme, ajustarea pe baza

•

0 t1 tn

y1

yn

ti

yi •

•

•

•

•

•

•

• •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

57

sporului mediu va da rezultate eronate, care vor afecta negativ acurateţea trendului obţinut.

Metoda ritmului mediu se utilizează atunci când termenii seriei de timp urmează aproximativ o progresie geometrică. Termenii ajustaţi rezultă în urma

înmulţirii primului termen al seriei y1 cu ritmul mediu de variaţie I , ridicat la puterea t – 1, conform relaţiei:

1t

1t Iyy−⋅=

Metoda ritmului mediu este similară cu metoda sporului mediu, doar că

trendul urmează o progresie geometrică în loc de una aritmetică. Drept urmare, şi această metodă prezintă aceeaşi limită, conform căreia nu poate fi utilizată decât în cazul unui trend relativ stabil. Oricum, ambele metode dau rezultate destul de aproximative, dar prezintă avantajul major al simplităţii şi operativităţii aplicării lor, reprezentând o bază de pornire pentru utilizarea funcţiilor analitice de ajustare a trendului.

Ajustarea pe baza mediilor mobile este o metodă mai elaborată decât cele anterioare, care se foloseşte atunci când seria de timp prezintă un pronunţat caracter ciclic sau sezonier. Prin ajustarea cu medii mobile se înlocuiesc termenii empirici ai seriei de date cu termeni calculaţi sub formă de medii parţiale, astfel încât seria ajustată să aibă o variaţie lină, continuă, cu o tendinţă de evoluţie uşor de observat23.

Aplicarea metodei mediilor mobile constă în determinarea mediilor aritmetice a unui număr par sau impar de termeni şi în înlocuirea termenilor empirici ai seriei cu mediile astfel obţinute.

Dacă numărul de termeni luaţi în considerare la determinarea mediilor mobile este impar, valorile obţinute corespund poziţiilor valorilor reale şi pot fi înlocuite direct, caz în care avem de-a face cu medii mobile definitive, care se plasează în dreptul termenilor seriei şi cu care se face ajustarea termenilor iniţiali.

Dacă numărul de termeni luaţi în calcul la determinarea mediilor mobile este par, valorile obţinute vor fi poziţionate între două valori reale. În aceste condiţii, avem de-a face cu medii mobile provizorii, care se centrează prin calcularea mediei aritmetice simple a două medii provizorii consecutive şi se obţin mediile mobile centrate, ce vor înlocui termenii iniţiali.24

23 R.S. Pindyck, D.L. Rubinfeld, Econometric Models and Economic Forecasts, Fourth Edition, McGraw–Hill, 1998, pag. 476 – 478 24 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

58

Transpuse grafic, valorile medii mobile corespund liniei tendinţei centrale, iar abaterile de la tendinţa centrală redau fluctuaţiile ciclice sau sezoniere.

Un inconvenient al acestei metode este acela că, indiferent că se ia un număr par sau impar de termeni, se pierd informaţiile referitoare la primii şi la ultimii termeni ai seriei.

Toate aceste metode elementare de ajustare a seriilor de timp sunt etape preliminare analizei econometrice propriu-zise, care presupune utilizarea funcţiilor matematice şi statistice de ajustare a trendului.

Cele mai cunoscute modele analitice de ajustare sunt: funcţiile de timp liniare şi neliniare, modelele cu time – lag şi modelele autoregresive.

4.2. Funcţii de timp

Prima categorie de metodele care folosesc modele matematice sunt cunoscute sub numele generic de funcţii de timp şi au drept caracteristică principală exprimarea trendului unei serii de timp sub forma unei funcţii de forma:

yt = f(t) + εt

în care, yt reprezintă valorile seriei de date studiate, considerate variabila rezultativă sau dependentă, t este factorul timp, privit ca variabilă factorială, independentă, f reprezintă funcţia matematică (deterministă) care modelează evoluţia în timp a fenomenului studiat, iar εt este variabila aleatoare, care arată influenţa factorilor aleatori la momentul t.

Utilizarea unei funcţii analitice de determinare a trendului stabileşte cu o exactitate mai mare sau mai mică legea de dezvoltare pe termen lung a fenomenului sau procesului economic studiat, în funcţie de împrăştierea valorilor în jurul tendinţei centrale.

Pentru a determina forma funcţiei ce urmează a fi utilizată, se construieşte mai întâi corelograma. În raport de curba relevată de corelogramă, se poate lua în considerare utilizarea unei funcţii liniare de timp, dacă reprezentarea grafică sugerează o linie dreaptă sau se poate utiliza o funcţie de timp neliniară, dacă reprezentarea grafică sugerează o curbă.

După cum se poate observa, tendinţa de variaţie se aproximează, de cele mai multe ori, cu ajutorul funcţiilor ale căror curbe şi ecuaţii de estimare au fost prezentate în capitolul de modele unifactoriale, variabila x din modelele respective devenind acum factorul timp t. Parametrii acestor funcţii de timp,

59

similar cu cei ai modelelor de regresie, se estimează în cele mai multe cazuri cu metoda celor mai mici pătrate.

4.2.1. Funcţia liniară de timp

Funcţia liniară de timp studiază legătura dintre factorul timp t şi variabila rezultativă yt cu ajutorul unei funcţii de forma:

yt = α + β ⋅ t + εt

în care α şi β sunt parametrii sau coeficienţii funcţiei de timp şi reprezintă valori necunoscute ce urmează a fi estimate, iar εt este variabila aleatoare, reziduală sau perturbatoare care acţionează la momentul t.

Factorul timp t este reprezentat, de obicei, în cadrul acestor funcţii de şirul numerelor naturale (0, 1, 2, …, n).

Parametrul α al funcţiei liniare de timp reprezintă valoarea pe care o ia variabila rezultativă yt la momentul zero (y0 = α) şi poate avea relevanţă în model sau nu, în funcţie de cazul concret analizat.

Parametrul β, reprezintă panta dreptei de regresie, adică valoarea cu care se modifică variabila rezultativă yt în perioada dintre două momente consecutive t – 1 şi t.

Semnul şi valoarea parametrului β prezintă o importanţă deosebită în descrierea evoluţiei în timp a variabilei studiate.

Astfel, dacă β > 0, atunci variabila rezultativă yt are o evoluţie crescătoare în timp (y0 < y1 < … < yn). Pot fi distinse trei situaţii: dacă β < 1, creşterea de la o perioadă la alta este mai puţin accentuată; dacă β > 1, creşterea variabilei rezultative este mai puternică, iar dacă β = 1, creşterea este direct proporţională cu timpul.

Dacă β < 0, atunci variabila rezultativă yt are o evoluţie descrescătoare în timp (y0 > y1 > … > yn), iar dacă β = 0, variabila rezultativă yt se menţine constantă în timp (y0 = y1 = … = yn).

Estimarea valorilor parametrilor α şi β, se face, similar cu modelul

unifactorial liniar, prin determinarea a doi estimatori α şi β . Aceşti estimatori

trebuie calculaţi astfel încât diferenţa dintre valorile reale ale variabilei rezultative yt şi valorile estimate cu ajutorul parametrilor calculaţi

tˆˆyt ⋅+= βα să fie cât mai mică ( imminyy tt =− ).

Dacă se ia în studiu un set de date istorice referitoare la variabila rezultativă, se va observa că reprezentarea grafică a funcţiei liniare de timp aproximează mai mult sau mai puţin exact evoluţia în timp a variabilei studiate. Este puţin probabil ca variabila rezultativă să evolueze în timp strict liniar. În

60

aceste condiţii, este uşor de înţeles că o cuantificare deterministă, exactă a valorilor parametrilor α şi β este imposibil de realizat, deoarece nu se pot cuprinde în model absolut toate influenţele existente. Acest lucru a determinat introducerea în model a variabilei aleatoare, perturbatoare εt, care însumează efectul tuturor factorilor rămaşi în afara modelului, fie ei nesemnificativi sau necuantificabili.

Cu cât volumul seriei de date este mai mare, cu atât estimările sunt mai apropiate de realitate.

În aceste condiţii, fiecărui moment dat t îi corespunde o distribuţie normală de valori yt ale variabilei rezultative, de medie α + β ⋅ t şi varianţă constantă.

Valorile estimatorilor parametrilor, notate cu α şi β , pot fi

determinate cu ajutorul mai multor metode matematice şi statistice, dintre care mai des utilizată, ca şi în cazul modelului unifactorial liniar, este metoda celor mai mici pătrate.

În principiu, aplicarea metodei presupune respectarea aceloraşi restricţii:

• datele privind variabila rezultativă sunt obţinute fără erori de observare sau măsurare;

• variabila aleatoare εt este de distribuţie normală, de medie nulă (E(εt)

= 0) şi de varianţă constantă şi diferită de zero în timp; • variabila aleatoare εt urmează o distribuţie independentă faţă de timp; • valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate.

În urma aplicării metodei se ajunge la un sistem de două ecuaţii cu

necunoscutele α şi β , de forma:

∑ ⋅=∑⋅+∑⋅

∑=∑⋅+⋅

===

==

n

1tt

n

1t

2n

1t

n

1tt

n

1t

yttˆtˆ

ytˆˆn

βα

βα

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii se obţin valorile estimatorilor

α şi β . Aşa cum s-a mai arătat, estimatorii determinaţi cu această metodă

corespund obiectivului urmărit dacă valoarea medie a estimatorului este egală cu valoarea reală a parametrului corespunzător, iar varianţa fiecărui estimator este relativ mică în raport cu numărul de date pe baza cărora s-a efectuat analiza.

61

Analiza corelaţiei în cazul funcţiei liniare de timp are un caracter aparte, deoarece toate variabilele economice sunt influenţate de timp, mai mul sau mai puţin. Dacă în cazul modelelor unifactoriale sau multifactoriale se poate înregistra corelaţie nulă, în cadrul funcţiilor de timp acest lucru este practic imposibil, deoarece nici o variabilă economică nu este constantă în timp, decât, eventual, pe perioade foarte scurte.

Se pot calcula şi aici valorile coeficientului de corelaţie liniară (pentru a verifica existenţa evoluţiei liniare în timp), a raportului de corelaţie şi a coeficientului de determinaţie, care, în principiu, au aceeaşi interpretare: dacă valorile lor sunt apropiate de 1, variabila studiată are o evoluţie stabilă în timp şi se poate determina un trend liniar, iar dacă valorile acestor coeficienţi sunt apropiate de 0, evoluţia este haotică, instabilă şi nu poate fi ajustată cu un trend liniar.

Şi în cazul funcţiilor de timp este necesară parcurgerea etapelor de verificarea statistică a modelului. În general, acestea sunt similare cu cele parcurse în cazul modelului unifactorial.

4.2.2. Funcţii de timp neliniare

Atunci când corelograma evoluţiei în timp a fenomenului studiat sugerează o curbă, înseamnă că modelarea econometrică trebuie să utilizeze diverse funcţii analitice neliniare. Aşa cum s-a mai arătat, linia dreaptă nu poate fi utilizată pentru a descrie orice legătură, deoarece, în multe cazuri, “norul de puncte” sugerează diverse curbe. În aceste situaţii trebuie găsite funcţiile matematice corespunzătoare tipului de curbă sugerată de reprezentarea grafică.

Existenţa sau absenţa unei evoluţii liniare a variabilei rezultativă yt se probează prin verificarea egalităţii dintre raportul de corelaţie R şi valoarea absolută a coeficientului de corelaţie liniară simplă, ρ, astfel: dacă cei doi

parametri ai corelaţiei sunt egali (R = ρ ), evoluţia este liniară, iar dacă cei

doi parametri sunt diferiţi (R ≠ ρ ), evoluţia este neliniară.

În afara acestui procedeu, ca şi în cazul modelelor unifactoriale neliniare, în alegerea formei funcţiei de timp au un rol important, pe lângă cunoştinţele teoretice, şi experienţa practică şi rezultatele cercetărilor similare.

În principiu, o funcţie de timp neliniară este acea funcţie a cărei pantă, dată de parametrul β, nu este constantă pentru orice valoare a lui t. Estimarea parametrilor unei astfel de funcţii se realizează fie direct prin metoda celor mai mici pătrate, fie prin diverse transformări care duc la liniarizarea funcţiei, fie prin utilizarea unor metode numerice de estimare.

În econometrie, cele mai cunoscute şi mai des întâlnite funcţii de timp neliniare sunt: funcţia hiperbolică, funcţia parabolică şi funcţia exponenţială.

62

Funcţia de timp hiperbolică se utilizează atunci când “norul de puncte” urmează o traiectorie de tip hiperbolă. Funcţia hiperbolică are la bază următoarea ecuaţie:

ttt

1y εβα +⋅+=

Parametrii α şi β ai modelului pot fi estimaţi cu ajutorul metodei celor

mai mici pătrate, prin utilizarea transformării de variabilă: t

1t' = .

Modelul devine, astfel:

t

'

t ty εβα +⋅+=

În aceste condiţii, sistemul de ecuaţii care conduce la valorile estimate

ale parametrilor α şi β este:

( ) ( )

∑ ⋅=∑⋅+∑⋅

∑=∑⋅+⋅

===

==

n

1tt

'2n

1t

'n

1t

'

n

1tt

n

1t

'

yttˆtˆ

ytˆˆn

βα

βα

Ajustarea prin hiperbolă se recomandă atunci când variabila

rezultativă yt scade, respectiv, creşte asimptotic către o valoare reală dată de parametrul α al funcţiei.

Analiza de corelaţie în cazul modelului hiperbolic se realizează cu ajutorul raportului de corelaţie R şi a coeficientului de determinaţie simplă R2, a căror interpretare este similară cu cele prezentate la funcţia de timp liniară.

De asemenea, verificarea statistică a funcţiei este aceeaşi cu verificarea modelului unifactorial liniar.

În funcţie de reprezentarea grafică a legăturii, pot fi utilizate variante

ale funcţiei hiperbolice, care au la bază diverse ecuaţii: tt ey

β

α ⋅= ;

t

1yt

+

=

α

β;

t

1yt

⋅+=

βα etc.

63

Funcţia de timp parabolică, sau pătratică, este folosită, de regulă, atunci când ritmul de evoluţie al variabilei studiate urmează o curbă de tip U, cu vârfurile în jos sau în sus. Pentru exprimarea funcţiei de timp parabolică se utilizează funcţia de gradul doi, după relaţia:

yt = α + β1⋅ t +β2⋅ t

2 + εt

Şi în cazul acestei funcţii, pentru estimarea parametrilor α, β1 şi β2 se

poate aplica metoda celor mai mici pătrate, rezultând următorul sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute:

( )

( )

∑ ⋅=∑⋅+∑⋅+∑⋅

∑ ⋅=∑⋅+∑⋅+∑⋅

∑=∑⋅+∑⋅+⋅

====

====

===

n

1tt

2n

1t

4

2

n

1t

3

1

n

1t

2

n

1tt

n

1t

3

2

n

1t

2

1

n

1t

n

1tt

n

1t

2

2

n

1t1

yttˆtˆtˆ

yttˆtˆtˆ

ytˆtˆˆn

ββα

ββα

ββα

Dacă β2 > 0, vârful parabolei va fi dat de minimul funcţiei (parabola

este cu ramurile în sus), iar dacă β2 < 0, vârful parabolei este dat de maximul funcţiei (parabola este cu ramurile în jos).

Analiza de corelaţie în cazul funcţiei de timp parabolică, similar cu funcţia hiperbolică, are la bază determinarea şi interpretarea raportului de corelaţie R şi a coeficientului de determinaţie simplă R2.

Verificarea statistică a funcţiei este, de asemenea, similară cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar.

Funcţia parabolică are, la rândul său, foarte multe variante de

exprimare, cum ar fi: 2

21t ttylg ⋅+⋅+= ββα ; 2

t ty ⋅+= βα ; 2

21 tt

t ey⋅+⋅⋅= ββα ; ( )2

21t tlgtlgy ⋅+⋅+= ββα etc.

Funcţia de timp exponenţială este utilizată atunci când “norul de puncte” are un trend curbiliniu crescător sau descrescător, de tip exponenţial. Ecuaţia funcţiei este de forma:

t

ty βα ⋅=

64

În cazul acestei funcţii, pentru a estima parametrii α şi β este necesar, în primul rând, să se liniarizeze funcţia prin logaritmare, astfel:

log yt = log α + t ⋅ log β

Pe ecuaţia dată de relaţia 6.18 se aplică metoda celor mai mici pătrate şi

se obţine sistemul de ecuaţii:

( )

( )

∑ ⋅=∑⋅+∑⋅

∑=∑⋅+⋅

===

==

n

1tt

n

1t

2n

1t

n

1tt

n

1t

ylogttˆlogtˆlog

ylogtˆlogˆlogn

βα

βα

Acest model se utilizează, de obicei, atunci când variabila rezultativă

yt prezintă o evoluţie în timp de tip progresie geometrică. Analiza de corelaţie în cazul funcţiei exponenţial, similar cu celelalte

funcţii de timp neliniare, se realizează prin determinarea şi interpretarea raportului de corelaţie R şi a coeficientului de determinaţie simplă R2.

Verificarea statistică a modelului este, ca şi în celelalte cazuri neliniare, similară cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar.

Funcţia de timp exponenţială are, şi ea, numeroase variante de

exprimare, după cum urmează: t

t ey⋅⋅= βα ;

t

t ey ⋅+= βα etc.

În afara acestor tipuri de funcţii de timp neliniare, pot fi luate în considerare multe altele, în funcţie de modul de dispunere a punctelor din reprezentarea grafică.

4.3. Modele econometrice cu time – lag

Modelele prezentate până acum au presupus o transmitere instantanee a influenţei dinspre variabilele factoriale spre variabila rezultativă. De multe ori, însă, în economie, efectele se transmit cu o oarecare întârziere, fapt care duce la un decalaj mai mare sau mai mic între momentul modificării variabilei factoriale şi momentul modificării corespunzătoare a variabilei factoriale. Modelele care studiază astfel de legături cu efecte decalate în timp sunt cunoscute în econometrie sub numele de modele cu time – lag.

Aceste modele trebuie utilizate atunci când decalajul, lag-ul, este suficient de mare încât să influenţeze semnificativ analiza (de exemplu, un

65

decalaj de câteva zile nu are nici o importanţă pentru variabilele înregistrate anual, dar este foarte important pentru variabile înregistrate zilnic).

Cea mai generală formă a unui model cu time – lag porneşte de la premisa că efectele acţiunii unei variabile factoriale sunt distribuite în timp, unele cu efect mai rapid, altele cu efecte mai îndepărtate în timp. Acest model are la bază o ecuaţie de forma:

yt = α + β0⋅ xt + β1⋅ xt-1 + β2⋅ xt-2 + … + βk⋅ xt-k + εt

unde: yt este variabila rezultativă la momentul t;

α, β0, β1, …, βk sunt parametrii modelului;

xt , xt-1 , …, xt-k sunt valorile înregistrate de către variabila factorială la momentele t, t – 1, …, t – k;

εt reprezintă variabila reziduală la momentul t.

Relaţia poate fi scrisă pe scurt astfel:

t

t

0kktkt xy εβα +∑ ⋅+=

=−

Dacă numărul de perioade k pe care se manifestă în urmă influenţele este

suficient de mic25, atunci estimarea parametrilor modelului se poate face cu metoda celor mai mici pătrate. În această situaţie, ipotezele de pornire ale modelului sunt date de restricţiile metodei celor mai mici pătrate, în care variabila aleatoare este de repartiţie normală, de medie nulă şi homoscedastică, iar variabila factorială şi cea aleatoare nu sunt autocorelate (nivelurile anterioare nu au nici o influenţă asupra nivelului prezent). Valorile estimate ale parametrilor se obţin şi se interpretează similar cu modelele multifactoriale.

Probleme apar în momentul în care influenţele sunt decalate cu multe perioade în urmă, iar informaţiile deţinute despre ceea ce s-a întâmplat în trecut sunt insuficiente. În aceste condiţii, aplicarea directă a metodei celor mai mici pătrate poate genera estimatori deplasaţi şi neconsistenţi, datorită posibilităţii apariţiei fenomenului de multicoliniaritate.

Deficienţele aplicării metodei celor mai mici pătrate pot fi eliminate prin specificarea unor restricţii referitoare la distribuţia decalajelor. Există mai multe variante de atingere a acestui deziderat.

25 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

66

O primă modalitate este cea care porneşte de la presupunerea că parametrii modelului aferenţi variabilelor decalate sunt pozitivi subunitari (0 < η < 1) şi descresc în progresie geometrică. Modelul, numit al decalajului în

progresie geometrică, este de forma:

( ) tkt

k

2t

2

1ttt x...xxxy εηηηβα +⋅++⋅+⋅+⋅+= −−−

Forma scurtă a modelului este:

t

t

0kkt

k

t xy εηβα +∑ ⋅⋅+==

−

Deoarece valorile parametrilor descresc pe măsură ce ne îndepărtăm în

timp, dar nu devin niciodată nule, înseamnă că influenţa în timp este luată în considerare pentru perioade foarte lungi, dar de la un moment dat devine nesemnificativă. Astfel, modelul ia în considerare influenţele din perioade considerate rezonabil de îndepărtate în timp, dar după aceea efectele decalate sunt neglijabile.

Este util să fie descrisă structura influenţelor modelului sub forma comportamentului pe termen lung a variabilei rezultative în urma modificării influenţelor suferite. Acest lucru se realizează prin calcularea decalajului mediu

al influenţelor d , după relaţia:

( )( ) η

η

η

ηη

η

ηβ

ηβ

ηβ

−=

−

−=

∑

∑ ⋅⋅=

∑ ⋅

∑ ⋅⋅=

=

=

=

=

11/1

1/kk

d

2

t

0k

k

t

0k

k

t

0k

k

t

0k

k

Astfel, dacă, de exemplu, η = 0,5 ⇒ d = 1, ceea ce înseamnă că jumătate din efectul total resimţit de către yt se datorează momentului t, iar restul se datorează perioadelor mai vechi de timp.

Pentru a estima parametrii acestui model se apelează la o formă simplificată a acestuia. Din ecuaţia iniţială a modelului se poate scrie ecuaţia aferentă momentului t – 1, astfel:

( ) 1t1kt

k

2t1t1t x...xxy −−−−−− +⋅++⋅+⋅+= εηηβα

67

Apoi, dacă se calculează efectul ponderat al variaţiei lui y de la un moment la altul, se obţine:

yt – η⋅ yt-1 = α⋅ (1 – η) + β⋅ xt + ut

unde ut = εt – η⋅εt-1.

Din relaţia anterioară se poate deduce că:

yt = α⋅ (1 – η) + η⋅ yt-1 + β⋅ xt + ut

Această ultimă ecuaţie face uşor de măsurat efectul modificărilor

anterioare asupra nivelului curent, printr-un model combinat. O altă modalitate de a uşura estimarea parametrilor modelului cu time –

lag este apelarea la modelul aşteptărilor adaptive. Acest model presupune că modificările variabilei rezultative y se datorează modificărilor în nivelul aşteptat (sau dorit) al variabilei factoriale x, notat cu xt

*. Ecuaţia modelului este de

forma:

yt = α + β ⋅ xt* + εt

Nivelul aşteptat al lui x se defineşte printr-o relaţie care porneşte de la

presupunerea că aşteptările se modifică de la o perioadă la alta sub forma unei permanente ajustări între valoarea curentă reală a lui x şi valoarea anterioară aşteptată a lui x, astfel:

xt

* – xt-1

* = λ⋅( xt – xt-1

*)

unde 0 < λ ≤ 1.

Ecuaţia poate fi rescrisă sub forma:

xt* = λ⋅( xt – xt-1

*) + xt-1

* = λ⋅ xt + (1 –λ)⋅ xt-1*

Astfel, nivelul aşteptat al lui x este o medie ponderată dintre nivelul

prezent al lui x şi nivelul anterior aşteptat al lui x. În acest mod, nivelurile aşteptate ale lui x se ajustează permanent, luând în considerare valorile reale ale lui x.

Prin inducţie matematică, se poate obţine forma generalizată a modelului, scrisă scurt:

68

( )∑ ⋅−⋅==

−

t

0kkt

k*

t x1x λλ

În acest model, valoarea aşteptată a lui x este media ponderată a tuturor

valorilor prezente şi trecute ale lui x. Înlocuind valoarea lui xt* din relaţia de mai

sus în ecuaţia iniţială a modelul aşteptărilor adaptive, se obţine:

yt = α + β⋅ ( )∑ ⋅−⋅=

−

t

0kkt

kx1 λλ + εt

Parametrii modelului astfel obţinut pot fi estimaţi cu metoda celor mai

mici pătrate. Aceste modele cu time – lag pot fi diversificate prin introducerea în

model a unor variabile factoriale cu influenţă instantanee, care să acţioneze în paralel cu variabilele cu influenţă decalată.

4.4. Modele autoregresive

4.4.1. Caracterul autoregresiv al variabilelor economice

De obicei, în practica economică, variabilele economice, pe lângă influenţele importante pe care le suferă din partea unor variabile factoriale, au şi un caracter autoregresiv, de memorare a comportamentului anterior.

Din punct de vedere econometric, termenul de autoregresiv defineşte măsura în care o variabilă economică prezintă caracteristica de a se autocorela, în sensul că nivelul curent al acesteia este determinat într-o măsură semnificativă de nivelurile sale anterioare, decalate cu una sau mai multe perioade în urmă.26

În această situaţie, efectul asupra variabilei rezultative nu este cauzat de influenţa directă a unor variabile factoriale, ci este unul retroactiv, indus de încărcătura informaţională a variabilei studiate.

În principal, efectul autoregresiv se concretizează în modul mai mult sau mai puţin pregnant în care nivelul actual al cursului este influenţat de nivelurile sale anterioare, decalajul în timp a influenţelor putând avea diferite valori. În general, cu cât acest decalaj este mai mare, adică deplasarea în urmă faţă de

26 C. Şipoş, Modelarea comportamentului cursului de schimb al leului, Editura Universităţii de Vest, Timişoara, 2003, pag. 133 – 135

69

momentul prezent este mai accentuată, cu atât influenţele sunt mai slabe, problema care apare fiind cea a determinării momentului când acestea devin nesemnificative, pentru a fi eliminate din model, similar cu cele prezentate la modelele cu time – lag.

Această caracteristică ţine de capacitatea mediului înconjurător de a reţine comportamentele anterioare ale variabilei studiate şi de a acţiona în funcţie de acestea în formarea anticipaţiilor pentru perioadele următoare.

Mecanismul de formare al anticipaţiilor în condiţii de informare incompletă, are, de regulă, o natură mixtă, anticipaţiile fiind atât adaptive, în sens friedmanian, cât şi raţionale, adică bazate pe cunoaşterea, fie şi parţială, a situaţiei actuale. În lipsa unor informaţii actuale complete, agenţii economici acţionează ţinând cont şi de informaţiile din perioadele precedente, fiind, de asemenea, capabili să înveţe din erorile de anticipaţie comise în aceste perioade.

Volatilitatea crescută şi, uneori, imprevizibilă a anticipaţiilor din economie fac din acestea o categorie specifică, pseudo–adaptivă, ceea ce înseamnă că principiul de formare poate fi de tip bulgăre de zăpadă, viteza de propagare fiind foarte mare, iar sensul de evoluţie contrar teoriei.

O problemă importantă este aceea că între diversele categorii de agenţi economici există o importantă asimetrie informaţională, ceea ce echivalează cu forme diferite ale funcţiilor ce descriu formal mecanismele lor anticipaţionale. Această asimetrie poate fi însă atenuată prin realizarea estimaţiilor pe perioade de timp distincte. Totuşi, se pot distinge cel puţin două mari categorii de operatori.

Comportamentul operatorilor din prima categorie se consideră că are impact cu precădere pe termen mediu şi lung, iar efectul anticipaţiilor este indirect pus în evidenţă, prin intermediul variabilelor factoriale luate în considerare. Această categorie de anticipaţii este înglobată de informaţia dată de variabilele factoriale incluse într-un model multifactorial şi nu necesită un studiu aparte a fenomenului anticipaţiilor.

Subiecţii economici din a doua categorie, interesaţi în formularea unor anticipaţii cu grad sporit de acurateţe – mai precis, interesaţi de aspectul cantitativ al modificărilor survenite în variabila studiată – urmăresc de o manieră sistematică această evoluţie, orientându-se în estimarea nivelului anticipat al variabilei în funcţie de nivelul său din perioadele precedente. Desigur, această formulare reprezintă o particularizare a celor enunţate anterior, subiecţii economici tinzând să-şi formuleze anticipaţiile prin extrapolarea cvasi–mecanică a situaţiei curente, introducând, eventual, o anumită corecţie în raport de evoluţiile precedente.

Această afirmaţie echivalează cu adoptarea ipotezei existenţei unei relaţii de dependenţă liniară între nivelul estimat al variabilei studiate şi nivelurile sale

70

anterioare. O astfel de relaţie poate fi studiată cu ajutorul modelelor autoregresive de diverse ordine.

6.4.2. Modelul autoregresiv de ordinul k

Un model autoregresiv este un model econometric care presupune că între nivelul curent al variabilei studiate şi comportamentul său anterior există o legătură liniară sau neliniară. În funcţie de numărul de perioade cu care analiza este decalată în urmă există mai multe tipuri de modele, începând cu modelul autoregresiv de ordinul întâi – în cazul căruia efectul în timp este analizat pe o perioadă în urmă – şi continuând cu modelele de ordine superioare – doi, trei, etc. – în cazul cărora efectul în timp este studiat pe k perioade în urmă.

Cel mai simplu model care pune în evidenţă caracterul autoregresiv al unei variabile economice este cel care ia în considerare influenţele liniare pe care le exercită nivelul precedent yt–1 asupra nivelului curent al variabilei yt, după relaţia:

yt = α + β1⋅ yt–1 + εt

unde α şi β1 sunt parametrii modelului, iar εt este variabila reziduală.

Acest model este cunoscut sub numele de model autoregresiv de

ordinul întâi AR(1), deoarece pune în evidenţă memoria operatorilor referitoare la o singură perioadă din urmă. El se bazează pe o capacitate de memorare şi asimilare a informaţiilor pe termen foarte scurt, fără a ţine seama de ceea ce s-a întâmplat cu mai multe perioade în urmă.

În funcţie de condiţiile existente în economie, anticipaţiile operatorilor pot să se bazeze nu numai pe nivelul imediat anterior al variabilei, evidenţiat de modelul de ordinul întâi, ci şi pe comportamentul mai vechi al acesteia, decalat cu două sau mai multe perioade în urmă. În modul acesta, se pot construi modele autoregresive de ordine superioare.

Astfel, următorul model este modelul autoregresiv de ordinul doi

AR(2), care are la bază următoarea ecuaţie:

yt = α + β1⋅ yt–1 + β2⋅ yt–2 + εt

Acest model evidenţiază memoria operatorilor decalată cu două perioade în urmă, deci, practic, se bazează pe o capacitate de memorare şi asimilare a informaţiilor pe termen mai lung decât modelul de ordinul întâi. Relaţia presupusă între nivelul curent şi nivelurile anterioare este de tip liniar.

71

În anumite situaţii s-ar putea ca modelul de ordinul doi să poată fi utilizat pentru previzionarea variabilei studiate în condiţii mai bune decât modelul anterior. Anticipaţiile operatorilor pot avea o memorie mai lungă decât perioada imediat anterioară, ei luând în considerare şi ceea ce s-a întâmplat cu două perioade în urmă, realizând o anticipaţie bazată pe informaţiile aferente ambelor perioade.

Pentru a studia dacă memoria operatorilor se întinde şi mai mult în trecut, se pot elabora modele autoregresive de diverse ordine, care analizează evoluţia variabilei studiate în funcţie de ceea ce s-a întâmplat în perioadele t – 1, t – 2, …, t – k.

Modelul general care studiază caracterul autoregresiv al unei variabile economice se numeşte model autoregresiv de ordinul k AR(k) şi are la bază următoarea ecuaţie:

yt = α + β1⋅ yt–1 + β2⋅ yt–2 + … + βk⋅ yt–k + εt

în care: yt reprezintă nivelul curent al variabilei rezultative;

yt–1, yt–2, …, yt–k sunt nivelurile decalate cu una, două, respectiv, k perioade în urmă ale variabilei studiate;

α, β1, …, βk sunt parametrii modelului autoregresiv de ordinul k; εt este variabila aleatoare.

Cu cât influenţa nivelurilor anterioare asupra nivelului curent al variabilei studiate este mai mare, cu atât sunt mai importante anticipaţiile operatorilor în determinarea comportamentului variabilei respective. Dacă modelul autoregresiv arată o legătură puternică între nivelurile anterioare şi nivelul curent, înseamnă că o proporţie semnificativă a evoluţiei variabilei studiate se bazează pe anticipaţii şi mai puţin pe influenţele obiective pe care aceasta le suferă din partea celorlalte variabile factoriale.

Un modelul autoregresiv semnificativ evidenţiază importanţa sporită a factorilor subiectivi în determinarea evoluţiei variabilelor economice în detrimentul factorilor obiectivi.

Parametrii unui model autoregresiv de ordin k se estimează direct cu metoda celor mai mici pătrate, dacă valoarea lui k este suficient de mică încât să existe informaţii despre perioadele anterioare analizate.

Dacă valoarea lui k este mai mare, se utilizează metodele de estimare prezentate la modelele cu time – lag, unde în locul valorilor variabilei factoriale cu influenţă decalată în timp xt-1, xt-2, …, xt-k se introduc valorile anterioare ale variabilei rezultative yt-1, yt-2, …, yt-k .

Estimarea corectă a parametrilor unui model autoregresiv se poate realiza numai dacă acesta îndeplineşte condiţia de staţionaritate. Această condiţie

72

înseamnă că media variabilei rezultative este considerată constantă, iar varianţa este nulă de-a lungul timpului, conform relaţiei:

E(yt) = E(yt-1) = E(yt-2) = … = E(yt-k) = m

De aici rezultă că modelul autoregresiv de ordinul k poate fi scris sub forma:

m = α + β1⋅ m + β2⋅ m + … + βk⋅ m

Din relaţia 6.37 rezultă media m:

k21 ...1m

βββ

α

−−−−=

Dacă media m calculată pentru modelul autoregresiv analizat verifică

această relaţie, înseamnă că modelul îndeplineşte condiţia de staţionaritate şi estimatorii parametrilor α, β1, β2, …,βk sunt consistenţi şi nedeplasaţi.

Totodată, este necesar ca valoarea mediei m să fie finită, altfel procesul evoluează tot mai departe de punctul de referinţă (în formă de spirală) şi nu mai este staţionar. Dacă media m este finită, înseamnă că numitorul relaţiei anterioare trebuie să fie nenul, adică:

β1 + β2 + … + βk ≠ 1

Analiza de corelaţie în cazul modelelor autoregresive se realizează cu

ajutorul a doi coeficienţi similari cu cei utilizaţi în cazul modelelor multifactoriale, raportul de autocorelaţie şi coeficientul de autodeterminaţie. Conţinutul acestor coeficienţi este similar cu cel al raportului de corelaţie, respectiv, al coeficientului de determinaţie, numai că, în locul variabilelor factoriale x1, x2, …, xk se introduc valorile anterioare ale variabilei rezultative yt-1, yt-2, …, yt-k .

73

ÎNTREBĂRI TEORETICE DE AUTOEVALUARE LA CAPITOLUL 4: 1. Care sunt caracteristicile fundamentale ale unui model econometric bazat pe influenţa factorului timp? 2. Care sunt componentele unei serii dinamice ? 3. Cum se interpretează valorile parametrilor α şi β ale funcţiei liniare de timp? 4. Ce reprezintă un model econometric cu time–lag? 5. Ce înseamnă „caracter autoregresiv” al unei variabile economice?

BIBLIOGRAFIE PARTE TEORETICĂ

1. Andrei T., Stancu S., Statistica. Teorie şi aplicaţii, Editura ALL, Bucureşti, 1995

2. Baron T., Anghelache C., Ţiţan E., Statistică, Editura Economică,

Bucureşti, 1996 3. Chilărescu C., Modele econometrice aplicate, Editura Mirton, Timişoara,

1994 4. Chilărescu C., Ciorîcă O., Preda C., Şipoş C., Surulescu N., Bazele

statisticii, Editura Universităţii de Vest, Timişoara, 2002 5. Greene W.H., Econometric Analysis, Fifth Edition, Prentice Hall, 2003 6. Levine D.M., Stephan D., Krehbiel T.C., Berenson M.L., Statistics for

Managers using Microsoft Excel, Third Edition, Prentice Hall, 2002

7. Newbold P., Carlson W.L., Thorne B., Statistics for Business and

Economics, Fifth Edition, Pearson Prentice Hall, 2003 8. Pecican E., Econometrie, Editura ALL, Bucureşti, 1994

74

9. Pecican E., Macroeconometrie – Politici economice guvernamentale şi

econometrice, Editura Economică, Bucureşti, 1994 10. Pindyck R.S., Rubinfeld D.L., Econometric Models and Economic

Forecasts, McGraw–Hill, Fourth Edition, 1998 11. Şipoş C., Modelarea comportamentului cursului de schimb al leului,

Editura Universităţii de Vest, Timişoara, 2003 12. Şipoş C., Preda C., Statistică Economică, Editura Mirton, Timişoara, 2004 13. Şipoş C., Preda C., Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006 14. Ţiţan E., Statistică macroeconomică, A.S.E., Bucureşti, 1996

75

APLICAŢIE ECONOMETRICĂ PE CURSUL VALUTAR

1. Premisele modelării econometrice a cursului valutar

Abordarea cursurilor valutare prin perspectiva modelării econometrice poate găsi o puternică relevanţă atât în analiza comportamentului acestora, cât şi în previzionarea lor pentru perioadele următoare. Pentru a se putea analiza în detaliu evoluţia cursului valutar în raport cu factorii de influenţă cei mai semnificativi, s-a luat în considerare cazul României, în perioada 2003 – 2005.

Alegerea acestei perioade de analiză a avut la bază, în principal, faptul că o dată cu ajustarea structurală începută în anul 2000 şi consolidată în ultimii ani, regimul valutar şi, implicit, evoluţia cursului leului au devenit mult mai echilibrate, mai predictibile. Perioadele anterioare, caracterizate prin multiple intervenţii administrative, mai mult sau mai puţin justificate, se pretează într-o măsură redusă la abordări de tip econometric. Insuficienta legitimitate a guvernelor din perioadele respective, unele imixtiuni ale factorilor politici în deciziile macroeconomice, precum şi rigiditatea instituţională a administraţiei, inconsistenţa mecanismelor de guvernare de ansamblu şi inadaptabilitatea unor manageri şi întreprinderi la mediul economic au creat o divergenţă semnificativă între obiectivele politicii economice şi rezultatele concrete ale acesteia, fapt explicat adesea prin comportamente necooperante ale agenţilor economici şi prin ineficienţa pârghiilor de transmitere a deciziilor macroeconomice. Datorită acestor stări de lucruri, evoluţia cursului leului a fost caracterizată de numeroase puncte de inflexiune, greu de explicat economic şi, astfel, dificil de analizat cu ajutorul metodelor econometrice.27

În aceste condiţii, ca şi alte mecanisme vitale ale economiei naţionale, regimul valutar nu a putut fi reorientat dintr-o dată, etapele parcurse conformându-se, în esenţă, concepţiei reformei economice din România, în condiţiile concrete determinate de schimbările politice. Reglementarea parţială şi treptată a regimului valutar şi imposibilitatea adoptării unei legi a gestionării

27 C. Şipoş, Modelarea comportamentului cursului de schimb al leului, Editura Universităţii de Vest, Timişoara, 2003, pag. 89 – 101

76

valutelor au fost determinate de condiţiile impuse de evoluţia parametrilor economiei naţionale şi de schimbările instituţionale apărute de-a lungul timpului. Astfel, o dată cu cristalizarea opţiunilor şi strategiei de reformă economică, s-a putut contura regimul valutar, ca un proces desfăşurat de-a lungul mai multor etape, cu evoluţii oscilante, modificări abrupte şi, în unele cazuri, cu decizii ineficiente.28

Economia românească a evoluat pozitiv în ultima perioadă, ceea ce a avut ca rezultat îmbunătăţirea substanţială a poziţiei externe şi a pus bazele revenirii la o creştere economică pozitivă începând cu anul 2001, după o perioadă destul de lungă de scădere a produsului intern brut. Cu toate progresele în procesul de stabilizare şi reformă din ultimii ani, performanţele economice ale României continuă să fie nefavorabile comparativ cu alte economii din Europa centrală şi de est, candidate la integrarea europeană. Creşterea produsului intern brut în aceşti ani şi accentuarea deficitului balanţei comerciale reflectă creşterea rapidă a cererii interne, în special pe seama creşterilor salariale în sectorul public şi a slabelor performanţe financiare din întreprinderile de stat. Menţinerea la acest nivel ridicat, ar putea pune în pericol obiectivele de dezinflaţie şi echilibrul extern.

Leul se apreciază gradual, în termeni nominali şi reali, faţă de moneda europeană, iar prin ajustarea susţinută a preţurilor relative se va reduce treptat decalajul României faţă de Uniunea Europeană. Acest lucru va conduce la atingerea concomitentă a celui mai important criteriu al convergenţei nominale – reducerea ratei inflaţiei – şi a celui mai important criteriu al convergenţei reale – creşterea PIB/locuitor (la paritatea puterii de cumpărare). Respectivele criterii pot fi îndeplinite, însă, numai cu condiţia ca problema competitivităţii externe să fie rezolvată printr-un set coerent de politici macroeconomice (politica salarială, politica ocupării forţei de muncă) şi microeconomice (creşterea productivităţii muncii, reducerea costurilor de regie etc.).

Luând ca punct de pornire aceste considerente, se pune problema construirii unor modele econometrice care să reflecte cât mai corect evoluţia cursului leului. Abordarea econometrică a cursului leului se înscrie în tentativa modernă de explicare mai riguroasă, mai exactă a efectelor pe care acesta le are asupra celorlalte variabile micro sau macroeconomice şi, mai ales, în ce măsură este el influenţat de mediul în care se manifestă.

Lansarea economiei pe un trend crescător, cu toate efectele pozitive implicate, precum şi consecvenţa mixului de politici economice aplicate, au condus spre o relativă stabilitate a politicii monetare şi valutare, ceea ce oferă

28 Rapoartele anuale ale Băncii Naţionale a României, anii 1991 – 2005

77

toate premisele efectuării unei analize econometrice consistente a comportamentului cursului de schimb al leului.

Din acest punct de vedere, există o multitudine de posibilităţi de abordare, posibilităţi cărora le corespund diverse tipuri de modele, unele mai simple, altele mai complexe, în funcţie de variabilele luate în considerare.

2. Model multifactorial al cursului leului

Modelul multifactorial care poate fi utilizat cu rezultate optime în studiul evoluţiei cursului leului este modelul de regresie liniar, în care cursul valutar este variabila rezultativă sau explicată, iar factorii de influenţă ai acestuia

reprezintă variabilele factoriale sau independente. Variabila aleatoare a modelului ia în considerare acţiunea altor factori decât variabilele factoriale,

întâmplători în raport cu legătura studiată. Elaborarea şi utilizarea unui model econometric al cursului leului

presupune, în primul rând, parcurgerea unei etape preliminare de formulare a ipotezelor de lucru şi a restricţiilor care vor sta la baza elaborării modelului.

2.1. Ipotezele iniţiale ale modelului

Aşa cum s-a arătat în partea teoretică, metoda care ţine seama de majoritatea condiţiilor implicate este metoda celor mai mici pătrate, aplicarea ei în cazul datelor statistice privind variabilitatea cursului de schimb şi a factorilor săi de influenţă pornind de la următoarele ipoteze:

Ipoteza 1. Datele privind variabilele rezultative şi cele factoriale sunt obţinute fără erori de observare sau măsurare. O importanţă deosebită din acest punct de vedere o prezintă omogenitatea datelor, în sensul că obţinerea lor trebuie să aibă o singură sursă sau surse similare din punct de vedere calitativ. Neomogenitatea pune sub semnul întrebării comparabilitatea datelor şi, în ultimă instanţă, calitatea concluziilor. De aceea, datele aferente cursului leului, precum şi cele aferente celorlalţi parametri ai economiei româneşti sunt culese dintr-o singură sursă, rapoartele anuale ale Băncii Naţionale a României, ceea ce face ca ele să îndeplinească această restricţie.

Un alt aspect legat de calitatea datelor este cel de natură cantitativă în sensul că se referă la volumul eşantionului studiat, care trebuie să fie suficient de mare, astfel încât legea numerelor mari să se manifeste nedistorsionat, iar indicatorii sintetici obţinuţi să prezinte stabilitate. Şi din acest punct de vedere ipoteza de lucru este îndeplinită, deoarece volumul eşantionului analizat este satisfăcător: 30 de date lunare, aferente unei perioade de aproape 3 ani: ianuarie 2003 – iunie 2005.

78

Ipoteza 2. Variabilele factoriale sunt independente unele de celelalte, exercitându-şi influenţa numai asupra variabilei rezultative. Dacă nu se acordă importanţă acestei ipoteze, analiza are toate şansele să devină irelevantă, având în vedere că pot apărea mari erori şi distorsiuni în estimarea parametrilor modelului şi, implicit, în interpretarea valorilor acestora. Dacă variabilele factoriale fac parte dintr-un sistem complex de interdependenţe, ne aflăm în situaţia de multicoliniaritate, studiată în cadrul capitolului cinci. Aşa cum s-a arătat, semnalele referitoare la fenomenul de multicoliniaritate sunt date de valorile apropiate de ± 1 ale coeficienţilor de corelaţie calculaţi pentru legăturile dintre variabilele factoriale sau de valorile apropiate de 100% ale coeficientului de determinare multiplă, în condiţiile în care estimatorii parametrilor de regresie sunt nesemnificativi din punct de vedere statistic.

Multicoliniaritatea, alături de erorile de sondaj şi de inconstanţa în timp a relaţiilor dintre variabile, reprezintă principalele surse de instabilitate ale estimaţiilor parametrilor de regresie. Atenuarea sau chiar eliminarea multicoliniarităţii s-a realizat prin utilizarea unor eşantioane de dimensiuni cât mai mari, pentru a evita riscul corelării datelor, şi prin înlocuirea, acolo unde a fost necesar, a datelor exprimate în unităţi naturale sau valorice cu variabile rezultate în urma unor prelucrări simple (ritmuri de creştere, sporuri sau indici). Totodată, s-au eliminat unele variabile corelate strâns cu altele, rămânând în analiză doar factorii de influenţă reprezentativi.

Ipoteza 3. Variabila aleatoare sau reziduală (εi) este de distribuţie normală, de medie nulă (E(εi) = 0) şi de dispersie constantă şi diferită de zero. Verificarea acestei ipoteze se realizează prin determinarea mediei şi a varianţei valorilor reziduale şi prin efectuarea unui test fundamentat pe presupunerea că variabila aleatoare (εi) urmează o lege normală, Gauss-Laplace.

Normalitatea repartiţiei variabilei aleatoare este confirmată atunci când valorile acesteia se situează între limitele (± zα/2 ⋅ s(εi)). Această ipoteză se va testa în secţiunea de verificare statistică a modelului şi normalitatea repartiţiei variabilei aleatoare se va confirma, datorită volumului suficient de mare de date studiat (un număr mai mare de unităţi poate pune mai pregnant în evidenţă caracterul normal al repartiţiei), precum şi datorită gradului ridicat de omogenitate şi comparabilitate a datelor analizate.

Ipoteza 4. Variabila reziduală (εi) urmează o distribuţie independentă de valorile variabilelor factoriale, adică este homoscedastică. Prin urmare, varianţa variabilei aleatoare (σ2

(εi)) nu diferă semnificativ în raport cu segmentele de valori ale variabilelor factoriale, ceea ce denotă o relativă stabilitate a legăturii dintre cursul valutar şi factorii de influenţă luaţi în considerare. Această ipoteză se va verifica în etapa de testare statistică a modelului final.

79

Ipoteza 5. Valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate. Acest lucru înseamnă că valorile respective sunt independente între ele, ceea ce implică faptul că şi înregistrările de date în eşantioane au fost independente. Autocorelarea poate apare în condiţiile în care s-a omis introducerea în model a unei variabile factoriale importante, cu influenţă puternică asupra cursului valutar. Efectele negative ale unei eventuale autocorelări a variabilei aleatoare se răsfrâng asupra calităţii parametrilor de a fi nedistorsionaţi şi asupra testării semnificaţiei acestora. Verificarea ipotezei autocorelării variabilei aleatoare se va realiza, cu ajutorul testului Durbin – Watson, tot în secţiunea de verificare statistică a modelului final.

2.2. Alegerea variabilelor factoriale

În cadrul acestei etape sunt selectaţi şi definiţi factorii de influenţă ai cursului valutar sau variabilele factoriale. În acest sens, se analizează dependenţa cursului valutar în raport cu posibilii factori de influenţă, ţinând seama de ceea ce admite teoria domeniului, de aspectele scoase în evidenţă de practica economică în perioada şi spaţiul avute în vedere, precum şi de volumul şi structura datelor disponibile sau posibil de a fi obţinute. Apoi, se verifică premisele teoretice prin prisma comportamentului variabilelor luate în considerare, aşa cum este el relevat de către datele analizate, ceea ce implică utilizarea unor metode statistice specifice.29

Acţiunea variabilelor factoriale asupra cursului leului va fi studiată pe baza unui set de 30 de date lunare ajustate, aferente perioadei ianuarie 2003 – iunie 2005.

Cursul valutar considerat variabilă rezultativă este cursul real al leului în raport cu euro, deflatat cu indicele preţurilor industriale (PPI).

În cele ce urmează, vor fi elaborate modele unifactoriale care analizează, pe rând, influenţa variabilelor considerate semnificative. Astfel, un prim parametru al economiei naţionale, care influenţează decisiv comportamentul cursului de schimb al leului, îl reprezintă balanţa de plăţi externe a României. În condiţiile actuale ale dezvoltării relaţiilor economice externe ale României, componenta fundamentală a balanţei de plăţi externe o constituie contul curent al acesteia, care se exprimă cu ajutorul unor parametri ca: volumul exporturilor, volumul importurilor, gradul de acoperire al importurilor prin exporturi şi soldul comerţului exterior.

Cel mai semnificativ parametru s-a dovedit a fi soldul comerţului exterior (SCE), fapt pentru care se va încerca ilustrarea influenţei condiţiilor comerţului exterior românesc asupra cursului valutar al leului cu ajutorul acestui indicator,

29 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

80

determinat ca diferenţă între nivelul lunar al exportului şi nivelul importului aferent aceleiaşi luni şi exprimat în milioane EUR.. Ecuaţia pe care se fundamentează acest model este următoarea:

Ci = a0 + a1 ⋅ SCEi + εi Pe baza unei analize statistice preliminare, s-a ajuns la concluzia că

influenţa soldului comerţului exterior asupra cursului de schimb prezintă un time–lag de o lună. Pe baza eşantionului format din cele 30 valori lunare ajustate ale cursului leului şi ale soldului comerţului exterior, modelul este următorul:

Tabelul 1

Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaţii: 29 după ajustare CURS LEU/EUR = a0 + a1 * SCE(-1)

Coeficienţi Eroarea standard

t-Statistic Probabilitatea

0a 36424,689 1141,991 31,89576 0,000

1a 6,7010391 2,610693 2,566766 0,016

Coef. de determinaţie 0,196 Curs mediu 33.749 Eroarea standard 2510,819 F-statistic 6,588 Durbin – Watson 2,248 F-critic 1,882

Se observă că valoarea coeficientului de determinaţie este destul de

mică, ceea ce înseamnă că influenţa soldului comerţului exterior asupra cursului de schimb real nu este foarte puternică la ora actuală, ceea ce arată că există alţi factori mai semnificativi, care ţin, mai ales, de politica monetară a statului. Eroarea standard a regresiei este, însă, relativ mică în raport cu media cursului de schimb, deci, distorsiunile de estimare ale parametrilor modelului sunt destul de mici.

Nivelurile de semnificaţie ale parametrilor estimaţi 0a şi 1a (coloana t-

Statistic), luate în mărime absolută, se compară cu valorile tabelate aferente repartiţiei Student, conform cărora pentru n – 1 = 28 grade de libertate şi pentru

81

o probabilitate P (t≤ t0)= 0,05 nivelul critic (minim acceptat) este de 2,048 30. Se

observă că ambele valori ale nivelurilor de semnificaţie sunt peste valoarea critică, ceea ce înseamnă că parametrii 0a şi 1a sunt corecţi.

Probabilităţile ca parametrii 0a şi 1a să fie incorect estimaţi (coloana

Probabilitatea) sunt foarte mici, iar valoarea F-statistic este mai mare decât F-critic, ceea ce înseamnă că modelul este semnificativ din toate punctele de vedere, soldul comerţului exterior reprezentând, deci, un factor important de influenţă al cursului de schimb al leului.

O altă variabilă cu impact semnificativ asupra cursului leului o reprezintă masa monetară (M2). În ipoteza că oferta de monedă naţională va creşte, aceasta va face ca agenţii economici care ajung, pe diverse căi, în posesia acestei cantităţi suplimentare de monedă, să-şi modifice cererea pentru diferite active, reale şi financiare, în scopul realizării unei structuri optimale a patrimoniului lor. Dacă randamentul altor active financiare sau reale este inferior randamentului activelor financiar-valutare, atunci agenţii economici vor încerca să procedeze la substituirea acestor genuri de active financiare sau reale cu deţinerile de mijloace de plată străine, ceea ce va conduce la creşterea cererii pentru astfel de mijloace pe piaţa valutară internă şi la modificarea nivelului cursului de schimb al monedei naţionale. 31

Masa monetară în sens larg, M2, este formată, după cum se ştie, din masa monetară în sens restrâns M1 (care include numerarul din afara sistemului bancar şi disponibilităţile la vedere) şi cvasi-banii (care includ economiile populaţiei, depozitele în lei la termen şi condiţionate), exprimate în miliarde lei, la sfârşitul perioadei. Se precizează că nu sunt luate în calculul masei monetare M2 depozitele în valută ale rezidenţilor, deoarece s-a considerat că includerea acestora poate distorsiona concluziile analizei. Acest lucru se datorează faptului că depozitele în valută reprezintă o componentă exprimată indirect în moneda naţională, prin înmulţirea valorii lor, exprimate în valută, cu cursul de schimb oficial.

Ecuaţia pe care se fundamentează acest model este următoarea:

Ci = a0 + a1 ⋅ M2i + εi

Pe baza eşantionului format din cele 30 valori lunare ale cursului real al leului şi ale masei monetare în sens larg, modelul este de forma:

30 R.L. Iman, W.J. Conover, Modern Business Statistics, John Wiley & Sons, Second Edition, 1989, pag. 788 – 789 31 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

82

Tabelul 2

Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaţii: 30 după ajustare CURS LEU/EUR = a0 + a1 * M2

Coeficienţi Eroarea standard

t-Statistic Probabilitatea

0a 44711,54 885,046 50,5188 0,000

1a -21,53359 1,70621 -12,6206 0,000

Coef. de determinaţie 0,850 Curs mediu 33.819 Eroarea standard 1074,075 F-statistic 159,282 Durbin – Watson 2,536 F-critic 1,860

Masa monetară are o puternică influenţă asupra cursului leului. Valoarea

coeficientului de determinaţie este foarte mare (0,850), ceea ce conduce la concluzia că variaţia cursului de schimb al leului este influenţată foarte puternic de variaţia masei monetare. Erorile standard sunt mici în raport cu valorile parametrilor 0a şi 1a , nivelurile de semnificaţie t-Statistic, luate în valoare

absolută sunt mari, peste nivelul critic, iar probabilităţile ca parametrii 0a şi

1a să fie incorect estimaţi sunt nule, ceea ce arată că acest model este foarte

corect. Valoarea F-statistic este mult mai mare decât F-critic, ceea ce înseamnă că modelul este semnificativ din toate punctele de vedere.

Masa monetară constituie, aşadar, un factor de influenţă esenţial în determinarea comportamentului cursului de schimb al leului şi va reprezenta o componentă de bază a modelului final.

În continuare, o altă variabilă care influenţează semnificativ cursul de schimb al leului o constituie rata dobânzii (d), exprimată procentual, conform următoarei ecuaţii:

Ci = a0 + a1 ⋅ di + εi

Influenţa ratei dobânzii asupra cursului leului, conform analizei

preliminare, nu are time–lag, de unde rezultă, pe baza eşantionului format din cele 30 valori lunare ale cursului leului şi ale ratei medii a dobânzii, că modelul este următorul:

83

Tabelul 3

Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaţii: 30 după ajustare CURS LEU/EUR = a0 + a1 * d

Coeficienţi Eroarea standard

t-Statistic Probabilitatea

0a 23501,6 1348,537 17,4274 0,000

1a 575,9124 73,58392 7,82660 0,000

Coef. de determinaţie 0,686 Curs mediu 33.819 Eroarea standard 1555,84 F-statistic 61,255 Durbin – Watson 2,321 F-critic 1,860

Se observă că valoarea coeficientului de determinaţie este cu ceva mai

mică decât în cazul masei monetare, ceea ce înseamnă că influenţa ratei dobânzii asupra cursului valutar al leului este puţin mai slabă decât cea exercitată de către masa monetară. Cu toate acestea, dobânda rămâne un factor semnificativ de influenţă, având în vedere faptul că, din punct de vedere statistic, modelul acesta este mai bun decât cel al soldului comerţului exterior. Erorile standard sunt mici, nivelurile de semnificaţie ale parametrilor 0a şi

1a sunt mult peste nivelul critic, iar probabilităţile ca parametrii 0a şi 1a să fie

incorect estimaţi sunt nule, ceea ce înseamnă că modelul este corect. Valoarea F-statistic este destul de mare în raport cu F-critic, ceea ce înseamnă că modelul este semnificativ din toate punctele de vedere.

Valoarea parametrului 1a este pozitivă, ceea ce înseamnă că între cursul

valutar şi rata dobânzii există o legătură directă, ambele variază în acelaşi sens. Drept urmare, se poate spune că rata dobânzii este un factor de influenţă

semnificativ al cursului de schimb al leului, chiar dacă are un impact ceva mai mic decât cel al masei monetare.

Un alt parametru utilizat în modelarea cursului de schimb al leului îl constituie rezervele internaţionale brute ale BNR (RIB), care includ aurul, valutele convertibile (efective şi cecuri, disponibil la BRI, FED şi la bănci străine), bonurile de tezaur SUA, disponibilul libelat în DST la Fondul Monetar Internaţional şi alte active externe convertibile (bonuri de tezaur pe termen mediu şi lung) exprimate în milioane EUR, la sfârşitul perioadei. Ecuaţia este următoarea:

84

Ci = a0 + a1 ⋅ RIBi + εi

Pe baza eşantionului format din cele 30 valori lunare ale cursului leului şi ale rezervelor internaţionale brute şi având în vedere faptul că, în urma analizei preliminare, s-a ajuns la concluzia că nu există time–lag în transmiterea influenţei, modelul este următorul:

Tabelul 4

Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaţii: 30 după ajustare CURS LEU/EUR = a0 + a1 * RIB

Coeficienţi Eroarea standard

t-Statistic Probabilitatea

0a 43176,098 456,61391 94,5571 0,000

1a -0,898894 0,0422597 -21,2706 0,000

Coef. de determinaţie 0,941 Curs mediu 33.819 Eroarea standard 670,598 F-statistic 452,442 Durbin – Watson 2,985 F-critic 1,860

Valoarea coeficientului de determinaţie este foarte mare, cea mai mare de

până acum, ceea ce înseamnă că influenţa rezervelor internaţionale brute ale BNR asupra cursului de schimb al leului este substanţială. Acest lucru se datorează faptului că, la ora actuală, politica monetară şi valutară a băncii naţionale este foarte importantă în determinarea cursului valutar şi a ratei inflaţiei, existând o implicare semnificativă a autorităţilor în acest domeniu.

Erorile standard sunt mai mici decât în majoritatea cazurilor anterioare, deci distorsiunile de estimare ale parametrilor modelului sunt suficient de mici. Nivelurile de semnificaţie ale parametrilor 0a şi 1a , luate în valoare absolută,

sunt mari, mult peste nivelul critic, iar probabilităţile ca parametrii 0a şi 1a să

fie incorect estimaţi sunt nule, ceea ce înseamnă că modelul este, la rândul său, corect din punct de vedere statistic. Valoarea lui F-statistic este foarte mare în raport cu F-critic, ceea ce arată o legătură foarte puternică între cursul leului şi rezervele internaţionale brute ale BNR, fapt pentru care acestea vor fi incluse în modelul final.

Se observă valoarea negativă a parametrului 1a , care arată faptul că între

cursul valutar şi rezervele internaţionale brute există o corelaţie inversă. Acest

85

lucru înseamnă că atunci când rezervele internaţionale brute cresc, cursul valutar va scădea, ceea ce înseamnă o apreciere a cursului şi, invers, dacă rezervele internaţionale brute scad, cursul va creşte, adică se va deprecia.

Pe lângă influenţele majore pe care cursul de schimb le suferă din partea unor variabile economice de tipul celor studiate până acum, prin natura sa, cursul valutar are şi o puternică latură autoregresivă, de memorare a comportamentului său istoric.

Din punct de vedere tehnic, termenul de autoregresiv defineşte măsura în care o variabilă economică, în speţă cursul valutar al leului, prezintă caracteristica de a se autocorela, în sensul că nivelul curent al acesteia este determinat într-o măsură semnificativă de nivelurile sale anterioare, decalate cu una sau mai multe perioade în urmă. Întocmai ca şi în cazul altor preţuri, aici efectul nu este cauzat de influenţa directă a unei variabile factoriale, ci este unul retroactiv, indus de încărcătura informaţională a cursului de schimb asupra comportamentului operatorilor de pe piaţa valutară, care, pe această bază, formulează anticipaţii.

În principal, efectul autoregresiv se concretizează în modul mai mult sau mai puţin pregnant în care nivelul actual al cursului este influenţat de nivelurile sale anterioare, time-lag-ul (decalajul în timp a influenţelor) putând avea diferite valori. În general, cu cât acest time-lag este mai mare, adică deplasarea în urmă faţă de momentul prezent este mai accentuată, cu atât influenţele sunt mai slabe, problema care apare fiind cea a determinării momentului când acestea devin nesemnificative, pentru a fi eliminate din model. Această caracteristică ţine de capacitatea operatorilor de pe piaţa valutară de a reţine comportamentele anterioare ale cursului de schimb şi de a acţiona în funcţie de acestea în formarea anticipaţiilor lor pentru perioadele următoare, determinând astfel modificări importante în cererea şi oferta de monedă naţională, respectiv de valută.32

În interpretarea capacităţii de memorare de către operatori a comportamentului din trecut, trebuie delimitate diversele categorii de agenţi economici şi motivaţiile specifice acestora. Astfel, dacă ne referim în mod specific la participanţii pe piaţa valutară, din punctul de vedere al termenelor de formare a anticipaţiilor, se poate distinge între operatori care intervin în mod frecvent pe această piaţă şi care, în consecinţă, formulează anticipaţii pe termen scurt şi foarte scurt, şi operatorii care intervin, direct sau indirect, mult mai rar şi care sunt interesaţi în formularea de anticipaţii pe termen mediu şi lung.

Pentru România, volatilitatea crescută a pieţei valutare, gama relativ redusă a activelor monetar – financiare libelate în valută, fragilitatea la diversele

32 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

86

categorii de şocuri, în condiţiile unor cursuri de schimb flotante, distorsionează semnificativ acurateţea predicţiilor şi, deci, valoarea lor decizională. În aceste condiţii, se poate afirma că agenţii economici din prima categorie, interesaţi în formularea unor anticipaţii cu grad sporit de acurateţe – mai precis, interesaţi de aspectul cantitativ al modificărilor survenite în cursul de schimb – urmăresc de o manieră sistematică această evoluţie, orientându-se în estimarea nivelului anticipat al cursului de schimb în funcţie de nivelul său din perioadele precedente. Desigur, această formulare reprezintă o particularizare a celor enunţate anterior, agenţii economici tinzând să-şi formuleze anticipaţiile prin extrapolarea cvasi–mecanică a situaţiei curente, introducând, eventual, o anumită corecţie în raport de evoluţiile precedente.

Introducerea anticipaţiilor în modelul de determinare a cursului leului are la bază modelul autoregresiv de ordinul întâi (AR1), de forma:

Ct = a0 + a1Ct–1 + εt

Modelul pune în evidenţă memoria operatorilor referitoare la o singură perioadă din urmă, deci, practic, se bazează pe o capacitate de memorare şi asimilare a informaţiilor pe termen foarte scurt, fără a ţine seama de ceea ce s-a întâmplat cu mai multe perioade în urmă.

Pe baza eşantionului format din cele 30 de valori lunare ale cursului leului, modelul autoregresiv de ordinul întâi este:

Tabelul 5

Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaţii: 29 după ajustare CURS LEU/EUR = a0 + a1 * C t-1

Coeficienţi Eroarea standard

t-Statistic Probabilitatea

0a 0 0 0 0,000

1a 0,9924 0,003987 248,848 0,000

Coef. de autocorelaţie 0,963 Curs mediu 33.749 Coef. de autodeterminaţie 0,929 F-statistic 366,633 Eroarea standard 732,5082 F-critic 1,882

Se observă că valorile coeficienţilor de autocorelaţie, respectiv, de

autodeterminaţie sunt foarte mari (0,963, respectiv, 0,929), ceea ce înseamnă că

87

evoluţia cursului valutar al leului este puternic autoregresivă, nivelul anterior având o influenţă extrem de mare asupra nivelului curent al cursului. Eroarea standard este mică în comparaţie cu valorile cursului, fapt care ne arată că modelul autoregresiv de ordinul întâi are distorsiuni minime.

Se observă valoarea foarte mare a nivelului de semnificaţie al parametrului 1a , comparativ cu nivelul minim acceptat şi valoarea nulă a

probabilităţii ca parametrul să fie incorect estimat. Parametrul 0a s-a dovedit a

fi nesemnificativ, fapt pentru care a fost anulat. Influenţa puternică pe care o exercită nivelul anterior al cursului asupra a

ceea ce se întâmplă în prezent, dă măsura importanţei anticipaţiilor operatorilor pe piaţa valutară din România. Acest lucru înseamnă că o proporţie importantă a evoluţiei monedei noastre naţionale se bazează încă pe anticipaţii şi mai puţin pe influenţele obiective pe care cursul le suferă din partea celorlalte variabile macroeconomice. Anticipaţiile sunt extrem de importante într-o economie de piaţă liberă, fapt pentru care este necesar ca banca centrală şi celelalte autorităţi să acorde o atenţie maximă semnalelor pe care le transmit spre piaţa valutară, care este foarte sensibilă la informaţii referitoare la eventuale şocuri sau deprecieri bruşte.

Aşa cum s-a putut constata, modelele unifactoriale, elaborate până acum, pun în evidenţă influenţa mai mare sau mai mică pe care fiecare dintre variabilele luate în considerare o exercită asupra cursului de schimb al leului. Ele oferă informaţii utile despre comportamentul cursului de schimb al leului, putând servi la înţelegerea acestuia. Influenţele ce se manifestă asupra cursului de schimb al leului sunt, însă, integrate într-un sistem mai larg şi nu pot fi reflectate decât cu ajutorul modelului multifactorial, care ia în considerare acţiunea simultană a acestor variabile factoriale.

2.3. Estimarea parametrilor modelului

În urma selectării variabilelor factoriale semnificative, se poate trece la elaborarea modelului final, care ia în considerare toţi factorii de influenţă consideraţi importanţi în determinarea comportamentului cursului valutar al leului. Modelul final este construit, prin urmare, pe baza influenţei simultane exercitate de balanţa de plăţi externe (reprezentată de soldul comerţului exterior, SCE), de masa monetară (M2), de rata dobânzii (d), de rezervele internaţionale brute (RIB) şi de cursul de schimb din perioada anterioară (Ct-1), conform ecuaţiei generale:

Ct = a1 ⋅ SCEt-1 + a2 ⋅ M2t + a3 ⋅ dt + a4 ⋅ RIBt + a5 ⋅ Ct-1 + εt

88

Utilizând eşantionul format din cele 30 valori lunare ale cursului leului, ale soldului comerţului exterior, ale masei monetare, ale ratei dobânzii şi ale rezervelor internaţionale brute, se determină valorile estimate ale parametrilor modelului multifactorial, care pune în evidenţă influenţa simultană a celor cinci variabile factoriale asupra comportamentului cursului de schimb al leului, respectiv:

Tabelul 6

Variabila dependentă: CURS LEU/EUR Metoda celor mai mici pătrate Eşantionul: 30 Nr. de observaţii: 29 după ajustare CURS LEU/EUR = a1 ⋅ SCEt-1 + a2 ⋅ M2t + a3 ⋅ dt + a4 ⋅ RIBt + a5 ⋅ Ct-1

Coeficienţi Eroarea standard

t-Statistic Probabilitatea

1a 0,92207 0,95368 0,9668 0,34325

2a 10,8304 7,79124 1,3900 0,17726

3a -121,501 81,3515 -1,4935 0,14832

4a -0,52145 0,33257 -1,568 0,12998

5a 1,06487 0,04735 22,489 0,00000

Coef. de determinaţie 0,9414 Curs mediu 33.749 Eroarea standard 718,629 F-statistic 77,204 Durbin – Watson 1,971 F-critic 1,882

Se observă că valoarea coeficientului de determinaţie (0,9414) este foarte

mare, ceea ce arată că, practic, peste 94% din variaţia cursului de schimb al leului se datorează influenţei cumulate a variaţiei soldului comerţului exterior, a masei monetare, a ratei dobânzii, a rezervelor internaţionale brute şi ale cursului din perioada anterioară. Aceasta înseamnă că legătura dintre cele cinci variabile factoriale şi cursul valutar al leului este foarte puternică.

Erorile standard sunt destul de mici, adică distorsiunile de estimare ale parametrilor sunt acceptabile, ceea ce înseamnă că modelul multifactorial care include cele cinci variabile factoriale este semnificativ. Valoarea F-statistic este destul de mare în raport cu F-critic, ceea ce înseamnă că influenţa celor cinci variabile factoriale asupra cursului leului este puternică.

Din aceste interpretări, rezultă capacitatea relativ bună a modelului multifactorial de a anticipa evoluţia monedei naţionale, el reuşind să se adapteze

89

destul de bine condiţiilor existente. Trebuie reţinut totuşi faptul că modelul este construit pe valori lunare, perioadele aşa-zis scurte fiind, de fapt, de ordinul săptămânilor sau chiar al lunilor. Alte încercări de ameliorare a modelului, în sensul completării sale cu alte variabile de influenţă, nu au dat rezultate, dovedind-se că modelul care ia în considerare influenţa simultană a soldului comerţului exterior, masei monetare, ratei dobânzii, rezervelor internaţional brute şi a cursului din perioada anterioară este cel mai ilustrativ pentru comportamentul cursului valutar al leului în perioada studiată.

Analiza modelului econometric nu se încheie însă aici, urmând o etapă importantă de verificare a rezultatelor obţinute cu ajutorul testelor statistice, în vederea validării sau invalidării acestora, în funcţie de concluziile la care ne conduce verificarea statistică.

2.4. Verificarea statistică a modelului

Etapa de verificare a modelului econometric pe baza unor teste statistice este absolut necesară, datorită faptului că estimarea parametrilor săi se realizează pe seama unor eşantioane de date mai mult sau mai puţin reprezentative. Astfel, pe baza unui număr relativ redus de valori (în cazul nostru, 30 de valori lunare), se doreşte să se ajungă la estimări valabile pentru o colectivitate generală formată din sute de valori. Orice modificare a volumului eşantionului duce, de regulă, la modificarea valorilor estimate, ceea ce înseamnă că aceste valori au un grad ridicat de relativitate.

În aceste condiţii, apar probleme legate de măsura în care soluţiile modelului propus pot fi generalizate, de faptul că estimaţiile obţinute pot fi semnificative sau doar întâmplătoare, rezultat al unei conjuncturi de valori din cadrul eşantionului, precum şi de limitele între care estimatorii pot varia fără a influenţa aprecierile iniţiale şi concluziile referitoare la semnificaţia lor. Aceste probleme sunt rezolvate în general cu ajutorul testelor statistice, care studiază semnificaţia parametrilor modelului econometric şi calitatea acestuia de a descrie relaţia de dependenţă dintre cursul de schimb şi variabilele factoriale luate în considerare.

Pentru ca modelul elaborat să fie corect din punct de vedere statistic, trebuie să îndeplinească, în primul rând, condiţia de normalitate a variabilei aleatoare εi, prezentată în etapa formulării ipotezelor de lucru. Aceasta se poate verifica cu ajutorul mai multor teste statistice, dintre care s-a utilizat testul Helmert33, bazat pe repartiţia χ2, care constă în compararea frecvenţelor absolute efective, ni, ataşate valorilor variabilei aleatoare, cu valorile teoretice, pi.

33 Elisabeta Jaba, Statistica, Editura Sedcom Libris, Iaşi, 1996, pag. 223 – 224

90

Efectuarea testului χ2 presupune parcurgerea următoarelor etape: 7. Se formulează ipoteza nulă H0, prin care se admite normalitatea

distribuţiei variabilei aleatoare; 8. Se calculează valorile standardizate zi; 9. Se determină, din tabelul Gauss–Laplace34, valorile ϕ(zi)

corespunzătoare; 10. Se calculează valorile teoretice pi = ϕ(zi) – ϕ(zi–1); 11. Se determină o valoare calculată χ2

c:

χ2c =

( )∑=

−k

1i i

2

ii

np

npn= 7,42

12. Valorile calculate ale testului χ2 se compară cu valoarea tabelată a

acestuia, χ20,05;4 = 9,487, luată din anexa 3. Se observă că valoarea calculată este

mai mică decât valoarea tabelată, de unde rezultă că ipoteza de normalitate a variabilei aleatoare se acceptă.

În vederea verificării modului în care este confirmată ipoteza homoscedasticităţii de către comportamentul variabilei aleatoare – prezentată în etapa formulării ipotezelor de lucru – se realizează un test Fisher (F). În acest sens, s-a secţionat şirul valorilor variabilei aleatoare în trei segmente a câte 10 valori şi s-au determinat două valori calculate, F1calculat = 1,856 şi F2calculat =

1,942. Aceste valori calculate se compară cu valoarea tabelară, Ftabelar(9; 9;

0,05) = 3,178, corespunzătoare distribuţiei Fisher – Snedecor (anexa 4) şi rezultă că ambele valori Fcalculat < Ftabelar, ceea ce înseamnă că nu există deosebiri semnificative între varianţe, adică variabila aleatoare este homoscedastică.

Verificarea ipotezei autocorelării variabilei aleatoare se realizează cu ajutorul testului Durbin – Watson35, care presupune parcurgerea următoarelor etape:

1. Se stabileşte ipoteza nulă (H0) conform căreia variabila aleatoare este autocorelată;

2. Se determină valoarea dcalculat, după relaţia:

34 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006 35 C. Chilărescu, Modele econometrice aplicate, Editura Mirton, Timişoara, 1994, pag. 25 – 28

91

dcalculat =

( )

∑

∑

=

=−−

n

1i

2

i

n

2i

2

1ii

ε

εε = 1,971

3. Se determină din tabelele Durbin – Watson, pentru nivelul de

semnificaţie α = 0,05, numărul de grade de libertate n – 1 = 28 şi numărul de variabile factoriale k = 5, valorile tabelare dinferior = 1,03 şi dsuperior = 1,85;

4. Se compară dcalculat cu valorile tabelare şi rezultă că dcalculat > dsuperior, ceea ce înseamnă că ipoteza autocorelării variabilei aleatoare se respinge, adică valorile variabilei aleatoare sunt independente între ele, ceea ce implică faptul că şi înregistrările de date în eşantioane au fost independente.

Verificarea capacităţii modelului de a reconstitui valorile empirice ale

cursului de schimb Ct prin intermediul valorilor estimate tC se realizează prin

compararea valorilor empirice Ct cu valorile generate de model tC , precum şi a

valorilor estimate tC cu media acestora, pentru a pune în evidenţă două tipuri

de abateri.

Prima dintre acestea este abaterea valorilor estimate tC în raport cu

media, abateri care se consideră că apar datorită modificării factorilor de

influenţă. Valorile estimate ale cursului de schimb tC se situează fie sub medie,

fie peste medie, în funcţie de valorile variabilelor factoriale X1i, X2i, …, Xki . Existenţa acestor abateri este sintetizată de varianţele cursului valutar datorate variabilelor factoriale (sx1

2, sx2

2, …, sxk

2). A doua categorie o constituie abaterea valorilor empirice Ct de la

valorile estimate tC , ca urmare a acţiunii variabilei aleatoare. Varianţa valorilor

empirice în raport cu dreapta de regresie exprimă, de fapt, împrăştierea

variabilelor aleatoare ( 2

isε ).

Testarea capacităţii modelului de a reconstitui valorile empirice ale

cursului de schimb Ct prin intermediul valorilor estimate tC se realizează prin

parcurgerea următoarelor etape: 1. Se stabileşte ipoteza nulă (H0), conform căreia împrăştierea valorilor

estimate ale cursului valutar tC datorită factorilor de influenţă nu diferă

semnificativ de împrăştierea aceloraşi valori datorită întâmplării; 2. Repartiţia pe baza căreia se realizează acest test este Fisher –

Snedecor, iar nivelul de semnificaţie este α = 0,05;

92

3. Se determină valoarea calculată F-statistic = 77,204 4. Se determină valoarea tabelară, F-critic = 1,882, din tabelul repartiţiei

Fisher – Snedecor (anexa 4) în funcţie de nivelul de semnificaţie α = 0,05 şi de n1 – 1 = 28 şi n2 – 1 = 28 grade de libertate;

5. Se compară valoarea calculată cu valoarea tabelară şi se observă că F-

statistic > F-critic, deci, ipoteza nulă se respinge, ceea ce înseamnă că modelul a rezistat verificării, fiind util analizei şi previzionării cursului de schimb.

Parcurgerea tuturor acestor etape ale verificării statistice a modelului econometric, precum şi ale celor referitoare la verificarea parametrilor modelului, duc la ideea unei anumite nesiguranţe privind calitatea rezultatelor obţinute. În urma acestor multiple verificări, bazate pe ipoteza repartiţiei normale a variabilelor analizate (rezultativă, factoriale, aleatoare), această nesiguranţă dispare şi, chiar dacă nu există certitudini, există convingerea că, pentru o probabilitate suficient de mare, concluzia la care se ajunge este cea adevărată.

2.5. Previzionarea cursului de schimb al leului pe baza modelului econometric multifactorial

Previziunea evoluţiei fenomenelor economice, în general, şi a cursurilor valutare, în special, reprezintă de cele mai multe ori obiectivul final al modelării econometrice, constituind elementul central al verificării validităţii modelului elaborat. Previziunile generate de modelele econometrice urmăresc să prefigureze comportamentul viitor al cursului valutar în raport cu influenţele directe şi indirecte exercitate asupra lor de către variabilele factoriale.

Deoarece previziunea se bazează pe un număr relativ mare de elemente, abordate în interacţiune, şi în contextul relaţiilor cauzale dintre cursul de schimb şi factorii de influenţă, se poate afirma că modelele econometrice reprezintă o modalitate superioară de cunoaştere anticipativă în economie. Este adevărat, însă, că şi această variantă de analiză implică riscul comiterii de erori semnificative, în ciuda aparatului statistic destul de complex pe care se bazează.

Un element extrem de important al previzionării cursului valutar îl reprezintă orizontul de timp care trebuie avut în vedere, care poate fi scurt, mediu sau lung. Nu există o unitate de păreri în ceea ce priveşte definirea exactă a orizontului de timp, dar, în mod convenţional, se poate spune că o previziune pe termen foarte scurt nu depăşeşte şapte zile, una pe termen scurt este cuprinsă între şapte zile şi trei luni, o previziune pe termen mediu vizează un orizont de

93

timp cu o durată cuprinsă între trei luni şi trei ani, iar peste trei ani previziunea este considerată ca fiind pe termen lung.36

Există mai multe metode de previzionare a cursului valutar. Unele se bazează pe o analiză economică care porneşte de la premisa existenţei unor relaţii stabile între cursul valutar şi alte variabile economice. Aceste metode permit elaborarea unor previziuni pe termen mediu şi lung. Altele, se fundamentează pe formularea unor previziuni pe termen foarte scurt pe seama comportamentului din trecut al cursului de schimb al leului, cu ajutorul modelelor autoregresive.

Previziunile bazate pe modelul multifactorial al cursului valutar al leului se realizează astfel: se atribuie variabilelor factoriale (masa monetară, rata dobânzii, soldul comerţului exterior şi rezervele internaţionale brute) valori preconizate – rezultate din aplicarea modelului pe perioade de timp cunoscute şi apoi se determină viitoarele valori ale cursului valutar pe baza modelului.

Corectitudinea acestor previziuni depinde de următoarele condiţii: – valorile atribuite variabilelor factoriale sunt reale; – comportamentul constatat în trecut în ceea ce priveşte relaţiile dintre

variabilele modelului, nu se va modifica semnificativ, astfel încât structura exprimată prin parametrii de regresie va rămâne neschimbată;

– nu vor interveni noi factori semnificativi şi nici situaţii excepţionale care să modifice esenţial comportamentul cursului valutar al leului.

O modalitate importantă de îmbunătăţire a performanţelor modelelor econometrice constă în depăşirea cadrului strict matematic sau statistic al analizei, ceea ce presupune:

– luarea în considerare a soluţiilor previzionate deja pentru cele mai recente perioade de timp, în sensul reevaluării şi ajustării predicţiilor;

– utilizarea informaţiilor de natură calitativă în vederea ajustării previziunilor şi apropierii lor cât mai mult de realitate;

– asigurarea unui anumit rol experienţei şi intuiţiei în analiza rezultatelor obţinute.

În ceea ce priveşte modalitatea de obţinere a valorilor estimate ale cursului de schimb, dacă procedeul în sine nu ridică probleme, în schimb asigurarea acurateţei previziunii presupune parcurgerea unei serii de etape care include analize, verificări, reevaluări care au drept scop final diminuarea erorilor de previzionare.

36 C. Şipoş, C. Preda, Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006

94

Astfel, eroarea de previziune ( tε ′ ) reprezintă abaterea valorii previzionate

tC în raport cu valoarea reală Ct , obţinută sub formă de diferenţă

( ttt CC −=′ε ) şi apariţia ei poate fi atribuită următoarelor cauze:

– acţiunea factorilor întâmplători, care determină abateri aleatoare de distribuţie normală;

– distorsionarea parametrilor estimaţi ca urmare a faptului că datele utilizate provin de multe ori din eşantioane de volum redus, ceea ce le face neconforme cu ipotezele metodei celor mai mici pătrate sau ale altor metode de estimare;

– omiterea unor factori importanţi de influenţă (unii de natură calitativă) sau alegerea unor funcţii neadecvate;

– determinarea unor valori eronate, sub sau supraevaluate, ale variabilelor factoriale prevăzute pentru perioadele de predicţie.

În acest fel, pentru a verifica dacă modelul final al leului a fost corect elaborat, neafectat de distorsiuni sistematice, trebuie să se determine dacă erorile de previzionare sunt minime şi dacă sunt datorate exclusiv unor factori aleatori.

Pentru a putea atinge acest deziderat, se parcurg următoarele etape: 1. Pregătirea elaborării previziunii. În cadrul acestei etape, se verifică

datele, în sensul eliminării erorilor de observare sistematice, se asigură omogenitatea datelor, prin utilizarea unei singure surse de provenienţă, se verifică statistic modelul şi se procedează la stabilirea valorilor cunoscute ale variabilelor factoriale.

2. Elaborarea previziunii în varianta iniţială. Se realizează prin estimarea parametrilor de regresie pentru perioada cunoscută t şi se obţin valorile estimate ale parametrilor modelului: 1a ,

2a , 3a , 4a , 5a conform tabelului 7.6.

3. Analiza erorilor de previzionare rezultate. În această etapă, se studiază abaterile dintre valorile estimate şi cele reale, atât prin prisma dimensiunii şi a capacităţii lor de a reflecta modificările semnificative ale tendinţei de evoluţie, cât şi din punctul de vedere al calităţii acestor abateri de a fi conforme cu ipotezele metodei celor mai mici pătrate.

Pentru a obţine previziuni cât mai precise, se poate verifica modelul şi cu ajutorul previziunilor ex–post. Aceste previziuni se referă la perioade de timp pentru care se cunosc date reale, existând posibilitatea testării preciziei prognozei.

Posibilele distorsiuni aferente previzionării cursului leului cu ajutorul modelului multifactorial se datorează faptului că datele utilizate au fost

95

prezentate sub forma valorilor lunare – deoarece aceasta este perioada de timp minimă pentru care pot fi înregistrate masa monetară, rata dobânzii, comerţul exterior şi rezervele internaţionale brute – date lunare care implică prelucrări suplimentare pentru analiza unei variabile de tipul cursului valutar, care evoluează zilnic. Acest lucru este, însă, în mare măsură compensat de influenţa majoră pe care o au respectivele variabile asupra cursului de schimb al leului. Ca urmare, modelul multifactorial poate fi utilizat cu o probabilitate suficient de mare de acurateţe pentru estimări ale comportamentului cursului de schimb al leului pe termen mediu (pe perioade de până la un an), cu condiţia completării lui permanente cu datele noi care apar pe parcurs şi, mai ales, cu condiţia ca piaţa valutară să nu fie influenţată în mod semnificativ de factori exogeni, care nu au fundament economic, de tip instituţional sau politic.

4. Analiza calitativă a valorilor previzionate ale cursului valutar. Această etapă este una de apreciere a concordanţei evoluţiei previzionate a cursului valutar cu ceea ce se cunoaşte din teoria economică de specialitate sau din experienţa practică.

Pentru a putea aprecia corect concordanţa valorilor previzionate pe baza modelului multifactorial cu evoluţia reală a cursului de schimb al leului, este necesar să ţinem seama de faptul că politica valutară în România se află într-o perioadă de schimbări radicale. Această schombare este rezultatul opţiunii de reducere a subordonării politicii cursului de schimb obiectivului privind echilibrul extern şi de valorificare a tendinţei de apreciere în termeni reali a leului în scopul accelerării dezinflaţiei, prin adoptarea strategiei inflation

targeting. În aceste condiţii, regimul cursului de schimb al leului îşi păstrează, în

anumite limite, caracteristicile flotării controlate, managed floating, trăsătură care însă se estompează, pe măsura creşterii aportului productivităţii la susţinerea productivităţii externe, ceea ce va permite trecerea, în final, la o flotare liberă a cursului de schimb.

Totodată, trebuie să ţină seama şi de faptul că obiectivul major pe termen mediu şi lung al României este integrarea în Uniunea Europeană, care presupune legarea mecanismului cursului de schimb al leului de ERM2 şi, ulterior, când vor fi îndeplinite criteriile necesare, adoptarea euro drept monedă naţională.

5. Actualizarea modelului. Deoarece modelul transpune condiţii trecute în previzionarea evoluţiei viitoare a comportamentului cursului de schimb al leului, orizontul său de predicţie este relativ restrâns, apărând necesitatea obiectivă a actualizării sale permanente. Acest lucru se realizează prin introducerea de noi date, pe măsură ce acestea apar, prin verificarea periodică şi modificarea, dacă este cazul, a valabilităţii relaţiilor descrise de ecuaţiile

96

modelelor, precum şi prin introducerea unor noi variabile factoriale atunci când se consideră că este necesar.

Din prezentarea etapelor de elaborare a modelului econometric, ce caracterizează evoluţia cursului valutar al leului, rezultă că previziunile realizate pe baza acestuia se fundamentează în mare măsură pe ştiinţa modelării cantitative, dar şi pe arta de a aprecia şi corecta rezultatele obţinute cu ajutorul unor analize calitative, răspunzând, în acelaşi timp, necesităţilor activităţii practice.

3. Model econometric de evaluare a riscului valutar

În general, riscul este un concept aplicabil fenomenelor sociale, economice, politice sau naturale, originea sa aflându-se în incertitudinea care poate sau nu să genereze o pagubă, în funcţie de o evoluţie viitoare necunoscută. În fapt, riscul este un element de incertitudine care poate genera o pagubă. Pentru înţelegerea noţiunii de risc, se porneşte de la termenul de incertitudine, termen ce exprimă o stare de nesiguranţă cu privire la viitor, o necunoaştere a ceea ce urmează să se întâmple în legătură cu rezultatele unei decizii luate într-un anumit domeniu.

Astfel, o acţiune este considerată incertă atunci când este posibilă obţinerea mai multor rezultate, fără să se cunoască probabilitatea de apariţie a unuia sau altuia dintre ele. Spre deosebire de incertitudine, riscul se caracterizează prin posibilitatea determinării unei legi de probabilitate pentru rezultatele scontate, indicând posibilitatea cunoaşterii acestei legi de către decidenţi. Riscul şi incertitudinea se combină în diverse proporţii, deoarece, în realitate, incertitudinea, nesiguranţa nu pot fi eliminate în totalitate, existând în permanenţă posibilitatea apariţiei unor evenimente imprevizibile, care pot provoca abateri de natură să modifice fundamental condiţiile iniţiale şi care generează pierderi.

Deasemenea, riscul poate fi asimilat cu probabilitatea ca un anumit eveniment nefavorabil să aibă loc, măsurarea lui fiind realizată cu ajutorul unor metode de evaluare bazate pe teoria probabilităţilor. Trebuie subliniat însă faptul că, pe de o parte, probabilitatea şi riscul sunt fenomene ce se însoţesc pe o anumită arie de manifestare, dar, pe de altă parte, sunt concepte diferite. Probabilitatea ne indică în ce măsură este posibilă producerea unui anumit eveniment în condiţii bine determinate, pentru fiecare eveniment posibil existând o anumită probabilitate de apariţie. Riscul este o caracteristică specifică întregii distribuţii de probabilităţi, el fiind asociat unei probabilităţi de apariţie a unor evenimente nedorite.

97

În contextul economiei mondiale contemporane, atitudinea faţă de riscul valutar poate varia de la indiferenţă faţă de acesta, cu suportarea consecinţelor financiare ale acestui risc, care uneori sunt dezastruoase pentru o firmă şi până la o atitudine de conştientizare riguroasă a posibilelor efecte ale acestui risc şi administrarea lui în mod profesional prin intermediul a diverse metode de acoperire. Această gestionare a riscului valutar are ca scop reducerea la minimum a costurilor cu diferenţele de schimb valutar care la un moment dat pot avea un impact negativ serios asupra patrimoniului sau veniturilor firmei, având atât o componentă pe termen scurt, cât şi una pe termen lung.

Pe termen scurt, administrarea riscului valutar are drept scop realizarea unor cheltuieli de evitare a riscului cât mai mici, astfel încât ele să se situeze sub cuantumul sumelor care s-ar pierde în absenţa protecţiei, în timp ce pe termen lung se urmăreşte ca aceste cheltuieli de protejare împotriva riscului valutar să nu reprezinte decât o proporţie redusă din valoarea pierderilor potenţiale.

Pentru exportator există riscul ca, în perioada de derulare a contractului – scursă între data încheierii contractului şi data efectuării plăţii – cursul de schimb al valutei în care este libelată creanţa să scadă în raport cu moneda naţională (aceasta din urmă se repreciază) şi, astfel, preţul pe care îl obţine pentru prestaţia sa, preţ exprimat în unităţi monetare naţionale, să fie mai mic decât cel previzionat, înregistrându-se o pierdere. De cealaltă parte, pentru importator există riscul ca, în perioada de derulare a contractului, cursul de schimb al valutei în care este libelată datoria să crească în raport cu moneda naţională (aceasta din urmă se depreciază), majorându-se astfel, preţul de cumpărare, exprimat în unităţi monetare naţionale, ceea ce provoacă, de asemenea, o pierdere. Aceste două ipoteze se referă la evoluţiile nefavorabile ale cursului de schimb pentru importator şi pentru exportator, însă trebuie avut în vedere şi faptul că evoluţiile cursului de schimb se pot petrece şi în sens invers celui prezentat anterior, ceea ce poate aduce profituri suplimentare, atât importatorului, cât şi exportatorului.

Singura posibilitate de protecţie împotriva riscului valutar este o evaluare cât mai riguroasă a acestuia şi utilizarea selectivă a metodelor de acoperire cele mai indicate la un moment dat. Această selecţie trebuie să aibă ca obiectiv minimizarea pierderilor din diferenţele nefavorabile de curs sau chiar obţinerea unui profit de pe urma acestor diferenţe, dacă gestionarea riscului este corect realizată.

În teoria economică s-au cristalizat, la ora actuală, o serie de modele statistico-matematice care formalizează un obiectiv complex al gestiunii financiare, şi anume, cel al optimizării corelaţiei dintre randamentul unei activităţi şi riscul implicat de realizarea acesteia, în vederea obţinerii unei gestionări eficiente a capitalului deţinut. Această problematică înregistrează o

98

preocupare tot mai evidentă din partea specialiştilor, în condiţiile în care pieţele valutare şi financiare înregistrează volatilităţi sporite, determinând o relaţie directă între randamentul obţinut şi riscul aferent.

De regulă, realizarea unui profit mare într-o perioadă scurtă de timp este însoţită de un risc maxim, care se poate concretiza fie în obţinerea unui profit mai mic decât cel scontat, fie în pierderea totală a sumei investite sau chiar în falimentul firmei care a riscat. Dimpotrivă, dezideratul obţinerii unor profituri mai mici şi pe o perioadă mai lungă de timp este însoţit de cele mai multe ori de un risc minim, existând toate şansele ca activitatea în care s-a investit să aibă rezultatele aşteptate.

Dacă în activitatea financiară în general discutăm despre o anumită rentabilitate a unei investiţii, fie ea direct productivă sau de plasare de capital, pe piaţa valutară putem vorbi despre randamentul cursului de schimb. Astfel, din perspectiva unui exportator autohton care efectuează cheltuieli de obţinere a unui produs exprimate în monedă naţională, iar apoi vinde acest produs în exterior primind un preţ în valută, orice devalorizare a monedei naţionale pe parcursul derulării contractului reprezintă o diferenţă favorabilă care poate fi interpretată ca un profit suplimentar. Acest profit suplimentar care a fost realizat datorită variaţiei cursului de schimb al monedei naţionale faţă de valuta în care a fost libelată creanţa, poate fi interpretat ca un randament al cursului de schimb.

Cu alte cuvinte, dacă variaţia cursului de schimb este în sensul deprecierii monedei naţionale se înregistrează un randament pozitiv al cursului, şi el produce un profit pentru exportator, iar dacă cursul de schimb se apreciază, vom înregistra un randament negativ, adică o pierdere pentru exportator. Bineînţeles că din punctul de vedere al unui importator lucrurile stau exact invers, acestuia fiindu-i favorabilă aprecierea cursului şi înregistrând pierderi în cazul deprecierii acestuia, însă noţiunea de randament al cursului de schimb rămâne neschimbată.

Pentru evaluarea riscului valutar, teoria probabilităţilor a reţinut ca relevanţi următorii parametri statistici:

1. Valoarea medie r a randamentelor ri ponderate cu probabilităţile de apariţie pi:

∑=

⋅=n

1i

ii prr

99

2. Varianţa (dispersia) randamentelor faţă de valoarea medie σ2, calculată ca sumă a pătratelor diferenţelor dintre randamentele ri şi media acestora r ponderate cu probabilităţile de apariţie pi:

( )∑=

⋅−=n

1i

i

2

i

2prrσ

3. Abaterea medie pătratică sau abaterea standard σ, calculată ca

rădăcină pătrată a varianţei:

2σσ =

Din perspectiva evaluării riscului valutar, parametrii respectivi au o

importanţă deosebită, având în vedere faptul că toate studiile sunt efectuate pe baza valorilor pe care le iau aceştia.

Media poate fi asimilată cu randamentul (deprecierea) scontată a cursului de schimb pentru perioada viitoare, respectiv deprecierea care are cea mai mare probabilitate de a se realiza.

Varianţa se poate asimila cu riscul ca deprecierea reală să se abată de la valoarea medie, având în vedere faptul că ea este determinată ca o sumă a abaterilor faţă de medie înregistrate anterior. Deoarece varianţa, prin relaţia ei de calcul, este de ordinul pătratului valorilor analizate, fapt care îngreunează cercetarea, în practica statistică riscul este evaluat de obicei prin intermediul abaterii medii pătratice (standard) care, reprezentând rădăcina pătrată a varianţei, este de ordinul valorilor luate în studiu. Astfel, se poate admite că riscul este măsurabil prin intermediul valorilor negative ale abaterii standard, care înseamnă pierderi de randament, în timp ce valorile pozitive ale abaterii standard reprezintă creşteri de randament, adică prima de risc.

Pe baza parametrilor statistici prezentaţi, care formalizează variabilele economice implicate de analiza riscului valutar, se pot construi diverse modele de evaluare ale acestui risc, luând în considerare datele oferite de evoluţia cursului de schimb pe anumite perioade de timp.

Riscul valutar aferent unor operaţiuni de comerţ internaţional ce presupune utilizarea mai multor monede naţionale este cuantificat şi în principal ajutorul varianţei.

Varianţa sau dispersia (σ2) valorilor cursului de schimb faţă de cursul mediu este un parametru statistic determinat ca sumă a pătratelor diferenţelor dintre valorile cursului de schimb şi media acestora.

100

Relaţia respectivă arată că varianţa se poate asimila cu riscul ca deprecierea reală să se abată de la valoarea medie, având în vedere faptul că ea este determinată ca o sumă a abaterilor faţă de medie înregistrate anterior.

Din acest motiv, analiza dinamicii riscului valutar propusă în continuare se va baza pe analiza dinamicii şi a factorilor de influenţă ce determină apariţia varianţei (a fluctuaţiilor) cursului valutar. Acestea pot fi analizate cu ajutorul unei tehnici cunoscute sub numele de analiză dispersională sau ANOVA.37

Tehnica respectivă reprezintă un procedeu de studiere a varianţei unei variabile – în cazul nostru cursul valutar al leului – în raport cu factorii de influenţă ai acesteia. Procedeul constă în descompunerea variaţiei totale a unui ansamblu de date înregistrate pentru variabila studiată în componente ale variaţiei, definite după sursele acesteia, precum şi compararea componentelor respective pentru a stabili dacă factorii consideraţi cauză au influenţă semnificativă asupra cursului.

În funcţie de cauzele care determină variaţia, componentele acesteia pot fi grupate în două categorii:

– componenta explicativă sau efect, ce reprezintă variaţia determinată de factorii de influenţă luaţi în considerare;

– componenta reziduală, care nu poate fi pusă pe seama unui anumit factor de influenţă, fiind efectul cumulat al tuturor factorilor aleatori ce acţionează asupra cursului valutar.

În funcţie de numărul factorilor de influenţă incluşi în analiză, ANOVA poate fi aplicată fie ca o analiză unifactorială, fie ca una multifactorială. Pentru studiul de faţă, s-a ales varianta bifactorială, cu interacţiune între factori, în scopul separării influenţelor asupra varianţei cursului valutar pe trei componente: una pe termen scurt, una pe termen mediu şi una pe termen lung. Având în vedere faptul că varianţele sunt în principiu neaditive, pentru descompunerea variaţiei se poate recurge la suma pătratelor abaterilor valorilor cursului de schimb de la media acestuia, sumă cunoscută sub numele de variaţie.

În vederea aplicării modelului ANOVA bifactorial pe datele aferente cursului valutar al leului, au fost înregistrate 30 de valori lunare în perioada 2002 – 2005, iar apoi valorile respective au fost separate pe trei eşantioane a câte zece valori consecutive.

Fluctuaţiile (varianţa) cursului de schimb al leului au fost analizate ca şi dinamică şi factori de influenţă pentru o perioadă formată din cele trei perioade rezultate din acest mod de eşantionare, considerându-se că variaţiile pe coloane (date de variaţiile lunare ale cursului) reprezintă factorul de influenţă pe termen 37 T. Baron, C. Anghelache, Emilia Ţiţan, Statistică, Editura Economică, Bucureşti, 1996, pag. 127 – 137; Elisabeta Jaba, op. cit., pag. 303 – 320

101

scurt, iar variaţiile pe linii (date de variaţiile de la un an la altul ale randamentului) reprezintă factorul de influenţă pe termen lung. Interacţiunea dintre acestea reprezintă factorul de influenţă pe termen mediu.

Pentru a putea realiza analiza varianţei, se efectuează următoarele notaţii: se presupune că factorii pe termen scurt se manifestă în nS nivele independente, iar factorii pe termen lung se manifestă în nL nivele independente, în timp ce interacţiunea dintre cele două categorii de factori se manifestă pentru nSL observaţii. Numărul total de observaţii va fi:

n = nS + nL + nSL + nε

Pentru nivelurile factorilor de influenţă, vom avea următorii indecşi de

variaţie: – în raport cu factorul de influenţă pe termen scurt:

i = 1, 2, … , nS; – în raport cu factorul de influenţă pe termen lung:

j = 1, 2, … , nL; – în raport cu interacţiunea dintre factorii de influenţă (termen mediu): k

= 1, 2, … , nSL; Sursele variaţiei cursului valutar sunt sistematizate într-un tablou de tip

şah (tabelul 7), în care sunt reprezentate nivelurile independente nS şi nL ale celor doi factori de influenţă, respectiv cele nSL niveluri ale interacţiunii dintre aceştia:

Tabelul 7

Nivelul

factorilor de

influenţă pe

termen scurt

Nivelul factorilor de influenţă pe

termen lung

Medii pentru

fiecare nivel al

factorului pe

termen scurt

1 ..… j ..… nL

1 c11k ..… c1jk ..… c1nLk 1c

M M M M M

i ci1k ..… cijk ..… cinLk ic

M M M M M

nS cnS1k ..… cnSjk ..… cnSnLk Snc

Medii pentru

fiecare nivel al

factorului pe

termen lung

1c

..…

jc

..…

Lnc

c

102

În ultima coloană şi ultima linie a tabelului şah sunt reprezentate mediile cursului de schimb corespunzătoare fiecărui nivel al celor doi factori de influenţă luaţi independent, calculate pentru cele k eşantioane a câte nSL observaţii.

Cu c s-a notat media cursului de schimb aferentă tuturor celor n observaţii, care se determină după relaţia:

∑ ∑ ∑= = =

=S L SLn

1i

n

1j

n

1kijkc

n

1c

Cu ijc s-a notat media cursului de schimb corespunzătoare fiecărui

eşantion k, determinată după relaţia:

∑=

=SLn

1kijk

SL

ij cn

1c

Cu ic s-a notat media cursului de schimb corespunzătoare tuturor

grupelor asupra cărora acţionează nivelul i al factorului pe termen scurt, care se determină astfel:

∑ ∑= =

=L SLn

1j

n

1kijk

SLS

i cnn

1c

Cu jc s-a notat media cursului de schimb corespunzătoare tuturor

grupelor asupra cărora acţionează nivelul j al factorului pe termen lung, care se determină după relaţia:

∑ ∑= =

=S SLn

1i

n

1kijk

SLL

j cnn

1c

După ce se determină aceste medii ale cursului de schimb al leului,

aferente eşantioanelor respective, pentru a trece la analiza bifactorială, se descompune variaţia totală astfel:

VT = VTS + VTL + VTS+TL + Vε

103

unde VT – variaţia totală a cursului de schimb; VTS – variaţia cursului de schimb datorită influenţei factorilor ce

acţionează pe termen scurt, numită şi variaţie intergrupe; VTL – variaţia cursului de schimb datorită influenţei factorilor ce

acţionează pe termen lung, numită şi variaţie intergrupe; VTS+TL – variaţia cursului de schimb datorită interacţiunii dintre cei doi

factori; Vε – variaţia reziduală datorită factorilor aleatori, numită şi variaţie

intragrupă, deoarece exprimă variaţia din interiorul fiecărei grupe sau eşantion.

Variaţia totală (VT), este definită ca sumă a pătratelor abaterilor valorilor cursului de schimb de la medie şi se determină astfel:

( )∑ ∑ ∑= = =

−=S L SLn

1i

n

1j

n

1k

2

ijkT ccV

Estimatorul varianţei (dispersiei) totale se determină împărţind variaţia

totală la numărul gradelor de libertate asociat, care este n – 1:

1n

Vs T2

T−

=

Variaţia cursului de schimb datorită influenţei factorilor ce acţionează pe

termen scurt (VTS) se determină după relaţia:

( )∑=

−=Sn

1i

2

iSLLTS ccnnV

Estimatorul varianţei pe termen scurt se determină împărţind variaţia pe

termen scurt la numărul gradelor de libertate asociat, care este nS – 1:

1n

Vs

S

TS2

TS−

=

Variaţia cursului de schimb datorită influenţei factorilor ce acţionează pe

termen lung (VTL) se determină astfel:

104

( )∑=

−=Ln

1j

2

jSLSTL ccnnV

Estimatorul varianţei pe termen lung se determină împărţind variaţia pe

termen lung la numărul gradelor de libertate asociat, care este nL – 1:

1n

Vs

L

TL2

TL−

=

Variaţia cursului de schimb datorită interacţiunii factorilor pe termen

scurt şi pe termen lung (VTS+TL) se determină astfel:

( )∑ ∑= =

+ +−−=S Ln

1i

n

1j

2

jiijSLTLTS ccccnV

Estimatorul varianţei interacţiunii factorilor pe termen scurt şi pe termen

lung se determină împărţind variaţia TS+TL la numărul gradelor de libertate asociat, care este (nS – 1) (nL – 1):

( )( )1n1n

Vs

LS

TLTS2

TLTS−−

= ++

Variaţia reziduală (Vε), ce cuantifică influenţa factorilor aleatori asupra

cursului de schimb, se calculează astfel:

( )∑ ∑ ∑= = =

−=S L SLn

1i

n

1j

n

1k

2

ijijk ccVε

Estimatorul varianţei reziduale se determină împărţind variaţia reziduală

la numărul gradelor de libertate asociat, care este nS + nL + (nSL – 1):

( )1nnn

Vs

SLLS

2

−++= ε

ε

Valorile variaţiilor şi ale estimatorilor, calculate pe baza celor trei

eşantioane de date sunt date în tabelul 7.8:

105

Tabelul 8

Sursa variaţiei

Componentele variaţiei totale

Grade de libertate

Estimatorii varianţelor

Factorul pe termen scurt

VTS = 64865730 2 s2

TS = 32432865

Factorul pe termen lung

VTL = 3179174 4 S2TL = 794793

Interacţiunea dintre factori

VTS+TL = 42947881 8 s2

TS+TL = 5368485

Variaţia reziduală Vε = 3160300 15 s2

ε = 210686

Variaţia totală VT = 114153085 29 S2T = 3936313

Pornind de la valorile variaţiilor şi ale estimatorilor varianţelor aferente,

se trece la formularea şi testarea ipotezelor din cadrul analizei bifactoriale cu interacţiune între factori.

Ipotezele pentru ANOVA bifactorială cu interacţiune între factori sunt în număr de trei, şi anume:

1. Ipoteza nulă conform căreia toate mediile de tip ic sunt egale, cu

ipoteza contrară că cel puţin o medie de acest tip este diferită de celelalte:

H0: 1c = … = ic = … = Snc

2. Ipoteza nulă conform căreia toate mediile de tip jc sunt egale, cu

ipoteza contrară că cel puţin o medie de acest tip este diferită de celelalte:

H0: 1c = … = jc = … = Lnc

3. Ipoteza nulă conform căreia toate mediile de tip ijc sunt egale, cu

ipoteza contrară că cel puţin o medie de acest tip este diferită de celelalte:

H0: 11c = 12c = … = Ln1c = 21c = 22c = … =

LSnnc

Primele două ipoteze se testează cu ajutorul testului Fisher, considerând la numărătorul raportului F al acestui test o estimaţie a variaţiei explicată pe

106

seama factorului pe termen scurt, respectiv, pe termen lung, iar la numitor estimatorul varianţei intragrupe (sε

2). Pentru cea de-a treia ipoteză, se foloseşte valoarea testului F, calculată ca

raport între estimatorul varianţei interacţiunii dintre factorii pe termen scurt şi pe termen lung, şi estimatorul varianţei intragrupe (sε

2). Pentru prima ipoteză nulă, calculul valorii F a testului Fisher se face cu

relaţia:

2

2

TSTS

s

sF

ε

=

Valoarea obţinută este FTS = 153,938. Această valoare calculată se

compară cu valoarea tabelară (critică) Fcritic = 3,682 care a fost aleasă din tabelele repartiţiei Fisher.

În urma comparaţiei, rezultă că FTS este mult mai mare decât Fcritic, adică ipoteza nulă se respinge şi se trage concluzia că factorul pe termen scurt influenţează semnificativ fluctuaţiile cursului de schimb.

Pentru a doua ipoteză nulă, valoarea F a testului Fisher se determină cu relaţia:

2

2

TLTL

s

sF

ε

=

Valoarea obţinută este FTL = 3,772. Această valoare calculată se compară

cu valoarea tabelară Fcritic = 3,055 care a fost aleasă din tabelele repartiţiei Fisher.

În urma comparaţiei, se observă că FTL este cu puţin mai mare decât Fcritic, deci ipoteza nulă se respinge şi spunem că şi factorul pe termen lung influenţează semnificativ fluctuaţiile cursului de schimb. Se poate vedea, însă că pe termen lung, fluctuaţiile cursului sunt mult mai slabe, deci riscul aferent este mult mai mic decât pe termen scurt.

Pentru a treia ipoteză nulă, valoarea F a testului Fisher se calculează astfel:

2

2

TLTSTLTS

s

sF

ε

++ =

107

Valoarea calculată este FTS+TL = 25,480 şi se compară cu valoarea tabelară Fcritic = 2,640. În urma comparaţiei, rezultă că FTS+TL este mai mare decât Fcritic, deci ipoteza nulă se respinge şi se trage concluzia că interacţiunea dintre factorii pe termen scurt şi termen lung influenţează semnificativ fluctuaţiile cursului de schimb.

O primă concluzie care se poate trage din rezultatele testării celor trei ipoteze este aceea că toţi factorii de influenţă, atât pe termen scurt, cât şi pe termen lung, precum şi interacţiunea dintre aceştia au influenţe semnificative asupra fluctuaţiilor cursului de schimb al leului, ceea ce înseamnă că acesta prezintă un grad destul de mare de volatilitate pentru fiecare factor temporal analizat.

În al doilea rând, se observă că pentru factorul pe termen scurt apare cea mai mare diferenţă între valoarea calculată şi cea critică, ceea ce înseamnă că pe termen scurt fluctuaţiile şi, în consecinţă, riscul sunt cele mai mari. Altfel spus, volatilitatea pe termen scurt a cursului leului este relativ ridicată.

A treia concluzie este că pe termen lung, această volatilitate se atenuează foarte mult, diferenţa dintre valoarea calculată şi cea tabelară fiind practic nesemnificativă. Înseamnă că, pe termen lung, operaţiunile valutare care implică leul românesc au un risc redus şi că operatorii de pe piaţa valutară trebuie să aibă încredere pe termen lung în moneda noastră naţională.

În fine, interacţiunea dintre factorii pe termen scurt şi pe termen lung are şi ea o oarecare influenţă, aceasta fiind însă şi ea destul de slabă, diferenţa dintre F calculat şi F critic fiind destul de mică, ceea ce înseamnă că influenţele pe termen scurt şi cele pe termen lung se intercondiţionează într-o măsură destul de scăzută.

În principiu, se poate, deci, spune că, în perioada studiată, a existat un anumit grad de risc valutar aferent tranzacţiilor internaţionale care au implicat utilizarea leului, care a acţionat atât pe termen scurt, cât şi pe termen mediu şi lung. De aceea, riscul valutar constituie, încă, un factor perturbator al activităţii exportatorilor şi importatorilor români. Acest lucru se întâmplă, însă, într-o măsură mult mai mică decât în anii anteriori, ceea ce arată o stabilizare semnificativă a pieţei valutare din România.

Concluzia finală este că variaţiile cursului de schimb al leului generează un risc valutar moderat, îndeosebi pe termen scurt. Acest risc este datorat în cea mai mare măsură condiţiilor interne, ceea ce face ca tranzacţiile internaţionale ce implică utilizarea leului să aibă un anumit grad de nesiguranţă, atât pentru operatorii români, cât şi pentru cei străini. Trebuie, totuşi, subliniat că aceeaşi evoluţie arată foarte limpede că aprecierea continuă a leului, controlată într-o anumită măsură de Banca Naţională a României, nu este suficientă. Este necesară finalizarea restructurării economiei româneşti şi orientarea acesteia şi

108

mai pregnant spre economia mondială. Cursul de schimb al leului reprezintă o pârghie importantă de reglare a comerţului exterior românesc, care trebuie însă completată şi cu alte elemente stimulatoare, care să integreze armonios spaţiul economico–social românesc în cel european şi mondial.

Elementele specifice ale modelelor construite de-a lungul acestui capitol fac ca utilizarea lor în modelarea dinamicii cursului de schimb al leului să fie diferită. Modelele bazate pe influenţa parametrilor economiei româneşti sunt mai eficiente pentru perioadele normale, caracterizate de o evoluţie a cursului lipsită de fluctuaţii majore, în timp ce modelele de cuantificare a efectului în timp sunt mai indicate pentru perioadele de criză, de fluctuaţii accentuate ale cursului. Oricare ar fi însă mărimea decalajului în timp a analizei, modelele respective trebuie utilizate pentru previziuni pe termen relativ scurt, având în vedere că ele, de fapt, extrapolează anumite concluzii bazate pe evoluţia anterioară, ceea ce înseamnă că orice modificare semnificativă în condiţiile iniţiale duce la distorsionarea modelului.

Faţă de alte metode de cercetare a cursurilor valutare, metodele cantitative, bazate pe instrumente matematice şi statistice, aduc elemente noi de caracterizare, care altfel nu ar fi putut fi puse în evidenţă, fapt care a constituit motivaţia principală a orientării studiului întreprins spre utilizarea modelelor econometrice ale cursului valutar al leului.

Problematica modelării variabilelor economice este extrem de complexă, elementele specifice procesului de tranziţie adăugându-i noi dimensiuni, neputându-se astfel formula concluzii cu caracter definitiv. Se poate, însă, aprecia că modelele econometrice aduc un aport ştiinţific, teoretic şi operaţional semnificativ în vederea susţinerii unor decizii atât la nivel micro, cât şi la nivel macroeconomic.

109

BIBLIOGRAFIE PARTE APLICATIVĂ

15. Baron T., Anghelache C., Ţiţan E., Statistică, Editura Economică, Bucureşti, 1996

16. Chilărescu C., Modele econometrice aplicate, Editura Mirton, Timişoara,

1994 17. Levine D.M., Stephan D., Krehbiel T.C., Berenson M.L., Statistics for

Managers using Microsoft Excel, Third Edition, Prentice Hall, 2002

18. Pecican E., Econometrie, Editura ALL, Bucureşti, 1994 19. Pindyck R.S., Rubinfeld D.L., Econometric Models and Economic

Forecasts, McGraw–Hill, Fourth Edition, 1998 20. Şipoş C., Modelarea comportamentului cursului de schimb al leului,

Editura Universităţii de Vest, Timişoara, 2003 21. Şipoş C., Preda C., Statistică Economică, Editura Mirton, Timişoara, 2004 22. Şipoş C., Preda C., Econometrie, Editura Mirton, Timişoara, 2006 23. Anuarul Statistic al României, anii 2000 – 2009 24. Rapoartele lunare şi anuale ale Băncii Naţionale a României, anii 2000 -

2009