econometrie - proiect
DESCRIPTION
proiect econometrie finante corporativeTRANSCRIPT
BUCUREȘTI
2013
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE
FACULTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ȘI BURSE DE VALORI
MODELE ECONOMETRICE. REGRESIA LINIARĂ SIMPLĂ MODELUL SHARPE.MODELUL CAPM
STRATEGIA BOX - JENKINS
Mărghidanu Alexandru
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
2
Finanțe-Corporative, grupa II
Cuprins
Capitolul 1. Prezentarea generală a datelor folosite ..................................................................... 3
1.1 Generalitați ........................................................................................................................ 3
1.2 Indicatori statistici și grafice semnificative ........................................................................... 3
1.2.1 Indicatori statistici și grafice semnificative - Apple ............................................................................... 3
1.2.2 Indicatori statistici și grafice semnificative – Microsoft ........................................................................ 4
1.2.3 Indicatori statistici și grafice semnificative – Google ............................................................................ 6
1.2.4 Indicatori statistici și grafice semnificative – Amazon .......................................................................... 7 1.2.5 Indicatori statistici și grafice semnificative – NASDAQ-C ................................................................... 9
Capitolul 2. Prezentarea rezultatelor econometrice pentru modelul lui Sharpe .......................... 11 2.1 Estimații pentru coeficienții modelului și pentru indicatorii de bonitate ............................... 11
2.1.1 APPLE ................................................................................................................................................. 11
2.1.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 11
2.2 Validarea modelelor ......................................................................................................... 12
2.2.1 APPLE ................................................................................................................................................. 12
2.2.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 16
2.3 Calcularea unor statistici importante ................................................................................. 20
2.3.1 APPLE ................................................................................................................................................. 20
2.3.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 20
Capitolul 3. Prezentarea rezultatelor econometrice pentru modelul CAPM .............................. 21 3.1 Estimații pentru coeficienții modelului și pentru indicatorii de bonitate ................................ 21
3.1.1 APPLE ................................................................................................................................................. 21
3.1.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 21
3.2 Validarea modelelor ......................................................................................................... 22
3.2.1 APPLE ................................................................................................................................................. 22
3.2.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 25
3.3 Analiza și interpretarea coeficientului βi ............................................................................. 28
3.3.1 APPLE ................................................................................................................................................. 28
3.3.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 29
CAPITOLUL 4. Strategia Box - Jenkins ................................................................................... 30
4.1 Verificarea stționarității seriilor ........................................................................................ 30
4.1.1 Verificarea staționarității pe baza corelogramei ................................................................................... 30
4.1.2 Verificarea staționarității pe baza testului Dickey-Fuller ..................................................................... 31
4.2 Determinarea ordinelor p și q ............................................................................................ 33
4.2.1 Determinarea ordinelor p și q pentru seria rentabilităților activului. Previziuni .................................. 33
4.2.2 Determinarea ordinelor p și q pentru seria rentabilităților indicelui pieței. Previziuni ........................ 38
ANEXA I ................................................................................................................................... 44 I.1 Structura MA(7), MA(8) ............................................................................................................................. 44
I.2 Modelul MA(7), MA(8), MA(10) ................................................................................................................. 45
I.3 Modelul MA(7), MA(8), MA(10), MA(12), MA(18) .................................................................................... 46
Anexa II .................................................................................................................................... 48 II.1 Modelul ARMA (2,2) ................................................................................................................................. 48
II.2 Modelul ARMA (9,4) ................................................................................................................................. 49
II.3 Modelul AR(4), AR(10) ............................................................................................................................. 50
II.4 Modelul MA(4), MA(6) .............................................................................................................................. 52
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
3
CAPITOLUL 1. PREZENTAREA GENERALĂ A DATELOR FOLOSITE
1.1 GENERALITAȚI
Piața de pe care au fost culese datele este piața americană, NASDAQ. Activele alese
au fost: Apple (aapl), Microsoft (msft), Amazon (amzn) și Google (goog). Perioada urmărită
în cercetare este de 161 zile, de la 27.martie.2012 până la 01.noiembrie.2012. Pentru indicele
pieței am ales NASDAQ-Composite, iar pentru activul fără risc am ales obligațiunile
americane pe termen mediu și lung.
1.2 INDICATORI STATISTICI ȘI GRAFICE SEMNIFICATIVE
1.2.1 Indicatori statistici și grafice semnificative - Apple
Figura 1.1 Evoluția rentabilităților acțiunilor Apple
Figura 1.2 Statistici descriptive pentru rentabilitățile acțiunilor Apple
-.06
-.04
-.02
.00
.02
.04
.06
.08
.10
2012:04 2012:07 2012:10
AAPL_R
0
4
8
12
16
20
24
-0.025 0.000 0.025 0.050 0.075
Series: AAPL_R
Sample 3/27/2012 11/01/2012
Observations 158
Mean -0.000618
Median -0.001211
Maximum 0.088741
Minimum -0.043184
Std. Dev. 0.018347
Skewness 0.740788
Kurtosis 6.423822
Jarque-Bera 91.62438
Probability 0.000000
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
4
Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților -0,000618 și dispersia
0,00034. Distribuția rentabilităților este omogenă, coeficientul de variație fiind de 29,68%,
determinat ca raport între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică
prezintă asimetrie spre dreapta (coeficientul de asimetrie Skewness = 0,7407) și leptokurtică
(coeficientul de boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 6,4238).
Figura 1.3 Distribuția rentabilităților acțiunilor Apple
1.2.2 Indicatori statistici și grafice semnificative – Microsoft
Figura 1.4 Evoluția rentabilităților acțiunilor Microsoft
0
5
10
15
20
25
30
-.04 .00 .04 .08
AAPL_R
Kernel Density (Normal, h = 0.0046)
-.12
-.08
-.04
.00
.04
.08
.12
2012:04 2012:07 2012:10
MSF_R
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
5
Figura 1.5 Statistici descriptive pentru rentabilitățile acțiunilor Microsoft
Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților -0,000726 și dispersia
0,00035. Distribuția rentabilităților este omogenă, coeficientul de variație fiind de 25,62%,
determinat ca raport între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică
este ușor asimetrică spre dreapta (coeficientul de asimetrie Skewness = 0,415890) și
leptokurtică (coeficientul de boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 15,64788).
Figura 1.6 Distribuția rentabilităților acțiunilor Microsoft
0
10
20
30
40
50
60
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10
Series: MSF_R
Sample 3/27/2012 11/01/2012
Observations 158
Mean -0.000726
Median -0.001276
Maximum 0.111278
Minimum -0.104377
Std. Dev. 0.018605
Skewness 0.415890
Kurtosis 15.64788
Jarque-Bera 1057.684
Probability 0.000000
0
5
10
15
20
25
30
35
-.08 -.04 .00 .04 .08
MSF_R
Kernel Density (Normal, h = 0.0041)
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
6
1.2.3 Indicatori statistici și grafice semnificative – Google
Figura 1.7 Evoluția rentabilităților acțiunilor Google
Figura 1.8 Statistici descriptive pentru rentabilitățile acțiunilor Google
Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților 0,000288 și dispersia
0,00021. Distribuția rentabilităților este eterogenă (distribuția nu mai este aleatoare, ci a fost
influențată de anumiți factori), coeficientul de variație fiind de 50,40%, determinat ca raport
între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică este ușor asimetrică
spre stânga (coeficientul de asimetrie Skewness = -1,099572) și leptokurtică (coeficientul de
boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 8,201015).
-.10
-.08
-.06
-.04
-.02
.00
.02
.04
2012:04 2012:07 2012:10
GOOG_R
0
4
8
12
16
20
24
28
-0.075 -0.050 -0.025 0.000 0.025
Series: GOOG_R
Sample 3/27/2012 11/01/2012
Observations 158
Mean 0.000288
Median 0.000451
Maximum 0.035216
Minimum -0.080067
Std. Dev. 0.014515
Skewness -1.099572
Kurtosis 8.201015
Jarque-Bera 209.9214
Probability 0.000000
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
7
Figura 1.9 Distribuția rentabilităților acțiunilor Google
1.2.4 Indicatori statistici și grafice semnificative – Amazon
Figura 1.10 Evoluția rentabilităților acțiunilor Amazon
0
4
8
12
16
20
24
28
32
-.05 .00
GOOG_R
Kernel Density (Normal, h = 0.0040)
-.04
.00
.04
.08
.12
.16
2012:04 2012:07 2012:10
AMZN_R
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
8
Figura 1.11 Statistici descriptive pentru rentabilitățile acțiunilor Amazon
Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților 0,000822 și dispersia
0,000430. Distribuția rentabilităților este omogenă, coeficientul de variație fiind de 25,24%,
determinat ca raport între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică
este asimetrică spre dreapta (coeficientul de asimetrie Skewness = 3,25085) și leptokurtică
(coeficientul de boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 23,42042).
Figura 1.12 Distribuția rentabilităților acțiunilor Amazon
0
5
10
15
20
25
30
0.00 0.05 0.10 0.15
Series: AMZN_R
Sample 3/27/2012 11/01/2012
Observations 158
Mean 0.000822
Median -0.001572
Maximum 0.157457
Minimum -0.031267
Std. Dev. 0.020750
Skewness 3.250851
Kurtosis 23.42042
Jarque-Bera 3023.498
Probability 0.000000
0
5
10
15
20
25
30
.00 .05 .10 .15
AMZN_R
Kernel Density (Normal, h = 0.0046)
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
9
1.2.5 Indicatori statistici și grafice semnificative – NASDAQ-C
Figura 1.13 Evoluția rentabilităților indicelui NASDAQ-C
Figura 1.14 Statistici descriptive pentru rentabilitățile indicelui NASDAQ-C
Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților -0,000402 și dispersia
0,000105. Distribuția rentabilităților este omogenă, coeficientul de variație fiind de 25,43%,
determinat ca raport între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică
este ușor asimetrică (coeficientul de asimetrie Skewness = 0,090542) și ușor leptokurtică
(coeficientul de boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 3,458040). Putem spune că
distribuția acestei serii se apropie de distribuția normală – gaussiană.
-.03
-.02
-.01
.00
.01
.02
.03
.04
2012:04 2012:07 2012:10
NASDAQC_R
0
4
8
12
16
20
24
-0.025 0.000 0.025
Series: NASDAQC_R
Sample 3/27/2012 11/01/2012
Observations 158
Mean -0.000402
Median -0.000319
Maximum 0.030026
Minimum -0.028246
Std. Dev. 0.010226
Skewness 0.090542
Kurtosis 3.458040
Jarque-Bera 1.597068
Probability 0.449988
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
10
Figura 1.15 Distribuția rentabilităților indicelui NASDAQ-C
0
10
20
30
40
50
-.03 -.02 -.01 .00 .01 .02 .03
NASDAQC_R
Kernel Density (Normal, h = 0.0030)
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
11
CAPITOLUL 2. PREZENTAREA REZULTATELOR ECONOMETRICE
PENTRU MODELUL LUI SHARPE
2.1 ESTIMAȚII PENTRU COEFICIENȚII MODELULUI ȘI PENTRU INDICATORII
DE BONITATE
2.1.1 APPLE
Figura 2.1 Output pentru Apple
= -0.000124 + 1.229022* (0.001068) (0.104643) La o modificare cu 1% a indicatorului global, rentabilitatea activului se va modifica
(în medie) cu 1.23%. Dacă indicatorul global nu variază, atunci rentabilitatea activului va
scădea cu 0.000124%.
R2 = 0.4693 Varianța variabilei dependente este explicată în procent de 46,93% de
varianța variabilei independente. Se poate observa că mare parte din variația randamentului
acțiunii este determinată de factori neincluși în model, specifici firmei.
R2 ajustat = 0.4659
Eroarea estimată a modelului este 0.013408 (S.E. of regression). Aceasta indică o
dispersie a erorii în model de 1.34%.
Putem considera că acest model este valid, p-value asociată testului este mică, deci
putem respinge ipoteza nulă (coeficientul variabilei independente este semnificativ diferit de
zero).
2.1.2 MICROSOFT
Figura 2.2 Output pentru Microsoft
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
12
= -0.000326 + 0.994419*
(0.001244) (0.121980)
La o modificare cu 1% a indicatorului global, rentabilitatea activului se va modifica
(în medie) cu 1%. Dacă indicatorul global nu variază, atunci rentabilitatea activului va scădea
cu 0.000326%.
R2 = 0.2988 Varianța variabilei dependente este explicată în procent de 29,88% de
varianța variabilei independente. Se poate observa că mare parte din variația randamentului
acțiunii este determinată de factori neincluși în model, specifici firmei.
R2 ajustat = 0.2943
Eroarea estimată a modelului este 0.015630 (S.E. of regression).
Aceasta indică o dispersie a erorii în model de 1.56%.
Putem considera că acest model este valid, p-value asociată testului este mică, deci
putem respinge ipoteza nulă (coeficientul variabilei independente este semnificativ diferit de
zero).
2.2 VALIDAREA MODELELOR
2.2.1 APPLE
Testul t
H0: β = β*
H1: β ≠ β*
Pentru termenul liber valoarea statisticii t este -0.116249 cu probabilitatea p-value =
0.9076, ceea ce înseamnă că se poate accepta ipoteza nulă.
Pentru coeficientul variabilei independente valoarea statisticii t este 11.74491 cu
probabilitatea p-value = 0.000, ceea ce înseamnă că se acceptă ipoteza alternativă.
Testul lui Ramsey
H0: modelul este liniar
H1: modelul nu este liniar
Figura 2.3 Output pentru testul lui Ramsey (RESET)
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
13
În cazul acestui test decizia se va lua pe baza statisticii F, F-stat = 0.135411 cu
probabilitatea asociată p-value = 0.9388. Putem astfel accepta ipoteza nulă, modelul de
regresie fiind liniar.
Analizând statistica t a fiecărui coeficient se poate observa că putem accepta ipoteza
nulă pentru fiecare coeficient.
Testul de homoscedasticitate (Testul lui White)
H0: βi = 0
H1: βj ≠ 0
Figura 2.4 Output pentru testul lui White
Analizând outputul de mai sus, se poate observa valoarea F-stat = 5.7966 și p-value =
0.0172, putem respinge astfel ipoteza nulă. Reziduurile modelului de regresie nu respectă
ipoteza de homoscedasticitate. Acest lucru se poate observa și din analiza valorilor
probabilităților asociate statisticii t pentru fiecare coeficient.
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
14
Testul de autocorelare a erorilor
a) Testul de autocorelare de ordinul I (Durbin-Watson)
Figura 2.5 Output pentru testul Durbin-Watson
Coeficientul de autocorelație = -0.010041, dar valoarea p-value = 0.9002 este mare,
de aceea acceptăm ipoteza nulă. Rezultă că nu avem autocorelare de ordinul I. De asemenea
dacă ne uităm la valoarea statisticii DW =1.99 putem spune că aceasta se încadrează în
intervalul (1.80;2.20), deci nu există autocorelare de ordinul I.
b) Testul de autocorelare de ordin superior (Breuch-Godfrey)
Figura 2.6 Output pentru testul Breuch-Godfrey
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
15
Analizând outputul de mai sus se poate observa că suntem într-o zonă de indecizie ( p-
value = 0.3640). Analizând valoarea probabilităților asociate fiecărui coeficient se poate
observa ca reziduurile sunt autocorelate de ordinul III (p-value = 0.077).
Testul de normalitate (Jarque-Bera)
H0: skewness = 0 și kurtosis = 3
H1: reziduurile nu sunt distribuite normal
Figura 2.7 Output pentru testul de normalitate
Distribuția empirică a reziduurilor prezintă o ușoară asimetrie spre dreapta
(coeficientul de asimetrie, skewness = 0.6338) și este leptokurtică (coeficientul de boltire,
kurtosis = 5.19).
Din analiza statisticii Jarque-Bera = 42.0675 și a probabilității asociate p-value =
0.000 se poate respinge ipoteza nulă, deci seria reziduurilor nu este distribuită normal.
Testul lui Chow
H0: coeficienții sunt stabili
H1: coeficienții nu sunt stabili
Figura 2.8 Output pentru testul lui Chow
0
4
8
12
16
20
24
28
-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
Series: Residuals
Sample 3/27/2012 11/01/2012
Observations 158
Mean 8.62E-19
Median -0.000712
Maximum 0.060634
Minimum -0.039303
Std. Dev. 0.013366
Skewness 0.633824
Kurtosis 5.187025
Jarque-Bera 42.06758
Probability 0.000000
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
16
Din analiza statisticii F din outputul de mai sus și p-value asociate se poate spune că
suntem într-o zonă de indecizie (p-value = 0.6472).
2.2.2 MICROSOFT
Testul t
H0: β = β*
H1: β ≠ β*
Pentru termenul liber valoarea statisticii t este -0.261668 cu probabilitatea p-value =
0.7939, deci putem accepta ipoteza nulă. Pentru coeficientul variabilei independente t-stat =
8.15233 cu probabilitatea p-value = 0.0000, deci putem respinge ipoteza nulă.
Testul lui Ramsey
H0: modelul este liniar
H1: modelul nu este liniar
Figura 2.9 output pentru testul lui Ramsey
Analizând statistica F și p-value = 0.460507 din outputul de mai sus putem spune că
suntem într-o zonă de indecizie și nu putem afirma nimic despre liniaritatea modelului.
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
17
Testul de homoscedasticitate (Testul lui White)
H0: βi = 0
H1: βj ≠ 0
Figura 2.10 Output pentru testul lui White
Analizând statistica F și probabilitatea asociată acesteia ne situăm în zona de
indecizie, însă eroarea pe care o facem respingând ipoteza nulă este foarte mare (p-value
=0.7598) astfel că putem accepta ipoteza nulă, deci modelul este homoscedastic (erorile au
varianța constantă).
Testul de autocorelare a erorilor
a) Testul de autocorelare de ordinul I (Durbin-Watson)
Figura 2.11 Output pentru testul Durbin-Watson
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
18
Analizând outputul de mai sus observăm că valoarea statisticii DW = 2.0545, putem
deci accepta ipoteza nulă, erorile modelului nu sunt autocorelate de ordinul I. Pe baza analizei
testului t putem afirma că valoarea coeficientului nu este semnificativ diferită de zero (p-
value asociată testului este mică, deci putem respinge ipoteza nulă).
b) Testul de autocorelare de ordin superior (Breuch-Godfrey)
Figura 2.12 Output pentru testul Bruch-Godfrey
Analizând outputul de mai sus se poate observa valoarea mică a statisticii F asociată
modelului. În acest caz putem respinge ipoteza nulă, deci erorile sunt autocorelate de ordin
superior. Aceeași concluzie o obținem și din analiza statisticii t asociate fiecărui coeficient și
din analiza probabilităților.
Testul de normalitate (Jarque-Bera)
H0: skewness = 0 și kurtosis = 3
H1: reziduurile nu sunt distribuite normal
Figura 2.13 Output pentru testul Jarque-Bera
0
10
20
30
40
50
60
70
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10
Series: Residuals
Sample 3/27/2012 11/01/2012
Observations 158
Mean 6.37E-19
Median -0.000622
Maximum 0.099878
Minimum -0.103404
Std. Dev. 0.015580
Skewness 0.004879
Kurtosis 24.53201
Jarque-Bera 3052.215
Probability 0.000000
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
19
Distribuția empirică a seriei reziduurilor este leptokurtică (kurtosis = 24.54) și
simetrică (skewness = 0.004). Din analiza statisticii Jarque-Bera putem afirma că seria
reziduurilor nu este distribuită normal (p-value asociată testului Jarque-Bera este 0.000).
Testul lui Chow
H0: coeficienții sunt stabili
H1: coeficienții nu sunt stabili
Figura 2.14 Output pentru testul lui Chow
Din analiza outputului de mai sus putem spune despre coeficienții modelului că sunt
stabili (eroarea pe care o facem respingând ipoteza nulă este foarte mare, p-value = 0.7737).
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
20
2.3 CALCULAREA UNOR STATISTICI IMPORTANTE
2.3.1 APPLE
E(Ri) = αi + βi*E(Rm)
E(Ri) = -0.000124 + 1.229022*E(Rm)
La o modificare cu 1% a valorii medii a rentabilităților indicelui pieței, valoarea medie
a rentabilităților activului se modifică în sens invers cu 1,23%. În cazul în care valoarea medie
a rentabilităților indicelui pieței nu se modifică, valoarea medie a activului se modifică în sens
invers cu 0.000124.
( )
( )
( )
La o modificare cu 1% a varianței rentabilităților indicelui pieței, valoarea medie a
rentabilităților activului se modifică cu 1.51%. Adică la o modificare a varianței
rentabilităților indicelui pieței cu 1%, riscul pentru activul respectiv la momentul i crește cu
1.51%. În cazul în care varianța indicelui pieței rămâne constantă, riscul pentru activul
respectiv crește cu 0,000169%.
2.3.2 MICROSOFT
E(Ri) = αi + βi*E(Rm)
E(Ri) = -0.000326 + 0.994419*E(Rm)
La o modificare cu 1% a valorii medii a rentabilităților indicelui pieței, valoarea medie
a rentabilităților activului se modifică în sens invers cu 0.995%. În cazul în care valoarea
medie a rentabilităților indicelui pieței nu se modifică, valoarea medie a activului se modifică
în sens invers cu 0.000326.
( )
( )
( )
La o modificare cu 1% a varianței rentabilităților indicelui pieței, valoarea medie a
rentabilităților activului se modifică cu 0.990%. Adică la o modificare a varianței
rentabilităților indicelui pieței cu 1%, riscul pentru activul respectiv la momentul i crește cu
0.990%. În cazul în care varianța indicelui pieței rămâne constantă, riscul pentru activul
respectiv crește cu 0.000225%.
Se poate observa că intre cele două active există o corelație pozitivă.
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
21
CAPITOLUL 3. PREZENTAREA REZULTATELOR ECONOMETRICE
PENTRU MODELUL CAPM
3.1 ESTIMAȚII PENTRU COEFICIENȚII MODELULUI ȘI PENTRU INDICATORII
DE BONITATE
3.1.1 APPLE
Figura 3.1 Output modelul CAPM – Apple
= -7.08E-05 + 1.160238* (0.001077) (0.096485)
La o modificare cu 1% a indicatorului global, rentabilitatea activului se va modifica
(în medie) cu 1.16%. Dacă indicatorul global nu variază, atunci rentabilitatea activului va
scădea cu 0.00000708%.
R2 = 0.481042 Varianța variabilei dependente este explicată în procent de 48,10% de
varianța variabilei independente.
R2 ajustat = 0.4777
Eroarea estimată a modelului este 0.013494 (S.E. of regression).
3.1.2 MICROSOFT
Figura 3.2 Output modelul CAPM – Microsoft
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
22
= -0.000319 + 1.004651* (0.001248) (0.111757)
La o modificare cu 1% a indicatorului global, rentabilitatea activului se va modifica
(în medie) cu 1.00%. Dacă indicatorul global nu variază, atunci rentabilitatea activului va
scădea cu 0.000319%.
R2 = 0.341251 Varianța variabilei dependente este explicată în procent de 34.12% de
varianța variabilei independente.
R2 ajustat = 0.337028
Eroarea estimată a modelului este 0.01563 (S.E. of regression).
3.2 VALIDAREA MODELELOR
3.2.1 APPLE
Testul t
H0: β = β*
H1: β ≠ β*
Pentru termenul liber valoarea statisticii t este -0.065779 cu probabilitatea p-value =
0.9476, ceea ce înseamnă că se poate accepta ipoteza nulă.
Pentru coeficientul variabilei independente valoarea statisticii t este 12.02506 cu
probabilitatea p-value = 0.000, ceea ce înseamnă că se acceptă ipoteza alternativă.
Testul lui Ramsey
H0: modelul este liniar
H1: modelul nu este liniar
Figura 3.3 Output pentru testul lui Ramsey (RESET)
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
23
În cazul acestui test decizia se va lua pe baza statisticii F, F-stat = 0.147984 cu
probabilitatea asociată p-value = 0.9308. Putem astfel accepta ipoteza nulă, modelul de
regresie fiind liniar.
Analizând statistica t a fiecărui coeficient se poate observa că suntem într-o zonă de
indecizie.
Testul de homoscedasticitate (Testul lui White)
H0: βi = 0
H1: βj ≠ 0
Figura 3.4 Output pentru testul lui White
Analizând outputul de mai sus, se poate observa valoarea F-stat = 3.46 și p-value =
0.0339, putem respinge astfel ipoteza nulă. Reziduurile modelului de regresie nu respectă
ipoteza de homoscedasticitate. Acest lucru se poate observa și din analiza valorilor
probabilităților asociate statisticii t pentru fiecare coeficient.
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
24
Testul de autocorelare a erorilor
a) Testul de autocorelare de ordinul I (Durbin-Watson)
Figura 3.5 Output pentru testul Durbin-Watson
Valoare statisticii Durbin-Watson pentru acest test este 2.0547, deci putem accepta
faptul că erorile nu sunt autocorelate de ordinul I.
b) Testul de autocorelare de ordin superior (Breuch-Godfrey)
Figura 3.6 Output pentru testul Breuch-Godfrey
Analizând outputul de mai sus se poate observa că suntem într-o zonă de indecizie ( p-
value = 0.3559). Analizând valoarea probabilităților asociate fiecărui coeficient se poate
observa că reziduurile sunt autocorelate de ordinul III (p-value = 0.077).
Testul de normalitate (Jarque-Bera)
H0: skewness = 0 și kurtosis = 3
H1: reziduurile nu sunt distribuite normal
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
25
Figura 3.7 Output pentru testul de normalitate
Distribuția empirică a reziduurilor prezintă o ușoară asimetrie spre dreapta
(coeficientul de asimetrie, skewness = 0.6778) și este leptokurtică (coeficientul de boltire,
kurtosis = 5.44).
Din analiza statisticii Jarque-Bera = 51.47357 și a probabilității asociate p-value =
0.000 se poate respinge ipoteza nulă, deci seria reziduurilor nu este distribuită normal.
Testul lui Chow
H0: coeficienții sunt stabili
H1: coeficienții nu sunt stabil
Figura 3.8 Output pentru testul lui Chow
Din analiza statisticii F din outputul de mai sus și p-value asociate se poate spune că
respingem ipoteza nulă, deci coeficienții nu sunt stabili.
3.2.2 MICROSOFT
Testul t
H0: β = β*
H1: β ≠ β*
Pentru termenul liber valoarea statisticii t este -0.2558 cu probabilitatea p-value =
0.7984, deci putem accepta ipoteza nulă. Pentru coeficientul variabilei independente t-stat =
8.9895 cu probabilitatea p-value = 0.0000, deci putem respinge ipoteza nulă.
Testul lui Ramsey
H0: modelul este liniar
H1: modelul nu este liniar
0
4
8
12
16
20
24
28
-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
Series: Residuals
Sample 3/27/2012 11/01/2012
Observations 158
Mean -3.84E-19
Median -0.000771
Maximum 0.062254
Minimum -0.039627
Std. Dev. 0.013451
Skewness 0.677834
Kurtosis 5.445595
Jarque-Bera 51.47357
Probability 0.000000
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
26
Figura 3.9 Output pentru testul lui Ramsey
Analizând statistica F și p-value = 0.5850 din outputul de mai sus putem spune că
suntem într-o zonă de indecizie și nu putem afirma nimic despre liniaritatea modelului.
Testul de homoscedasticitate (Testul lui White)
H0: βi = 0
H1: βj ≠ 0
Figura 3.10 Output pentru testul lui White
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
27
Analizând statistica F și probabilitatea asociată acesteia ne situăm în zona de
indecizie, însă eroarea pe care o facem respingând ipoteza nulă este foarte mare (p-value
=0.7222) astfel că putem accepta ipoteza nulă, deci modelul este homoscedastic (erorile au
varianța constantă).
Testul de autocorelare a erorilor
a) Testul de autocorelare de ordinul I (Durbin-Watson)
Figura 2.11 Output pentru testul Durbin-Watson
Analizând outputul de mai sus observăm că valoarea statisticii DW = 2.0545, putem
deci accepta ipoteza nulă, erorile modelului nu sunt autocorelate de ordinul I.
b) Testul de autocorelare de ordin superior (Breuch-Godfrey)
Figura 3.12 Output pentru testul Bruch-Godfrey
Analizând outputul de mai sus se poate observa valoarea mică a statisticii F asociată
modelului. În acest caz putem respinge ipoteza nulă, deci erorile sunt autocorelate de ordin
superior. Aceeași concluzie o obținem și din analiza statisticii t asociate fiecărui coeficient și
din analiza probabilităților.
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
28
Testul de normalitate (Jarque-Bera)
H0: skewness = 0 și kurtosis = 3
H1: reziduurile nu sunt distribuite normal
Figura 3.13 Output pentru testul Jarque-Bera
Distribuția empirică a seriei reziduurilor este leptokurtică (kurtosis = 24.47) și
simetrică (skewness = -0.001). Din analiza statisticii Jarque-Bera putem afirma că seria
reziduurilor nu este distribuită normal (p-value asociată testului Jarque-Bera este 0.000).
Testul lui Chow
H0: coeficienții sunt stabili
H1: coeficienții nu sunt stabili
Figura 3.14 Output pentru testul lui Chow
Din analiza outputului de mai sus putem spune despre coeficienții modelului că sunt
stabili (eroarea pe care o facem respingând ipoteza nulă este foarte mare, p-value = 0.7768).
3.3 ANALIZA ȘI INTERPRETAREA COEFICIENTULUI ΒI
3.3.1 APPLE
Ecuația pentru modelul CAPM atașat activului Apple este:
= -7.08E-05 + 1.160238* (0.001077) (0.096485)
H0: αi = 0 H0: βi = 1
și
H1: αi ≠ 0 H1: βi > 1
Pentru a testa aceste perechi de ipoteze alegem testul t-Student.
Pentru coeficientul α avem valoare estimată a coeficientului = 0.0000708 și valoarea
erorii standard SE( ) = 0.001077. Calculăm statistica t pentru coefientul :
tcalc
( )
= 0.06574
0
10
20
30
40
50
60
70
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10
Series: Residuals
Sample 3/27/2012 11/01/2012
Observations 158
Mean 7.03E-19
Median -0.000669
Maximum 0.099747
Minimum -0.103398
Std. Dev. 0.015580
Skewness -0.001340
Kurtosis 24.47952
Jarque-Bera 3037.352
Probability 0.000000
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
29
Această valoare o comparăm cu valoarea critică din tabele tcrit = t0,025;156 = 2,2632. Se
poate observa că tcalc<tcrit, putem accepta ipoteza nulă. Construind intervalul de încredere
avem:
( - tcrt * SE( ), + tcrt * SE( )) = (-0.0024,0.0025)
Se poate observa că intervalul de încredere conține valoarea 0, deci și în acest caz
putem accepta ipoteza nulă.
Pentru coeficientul β avem valoarea estimată a coeficientului = 1.1602 și valoarea
erorii standard SE( ) = 0.0965. Calculăm statistica t pentru coeficientul
tcalc =
( )
1.6601
Această valoare o comparăm cu valoarea critică din tabele tcrit =t5%,156 = 1.9753. Se
poate observa că tcalc<tcrit, nu putem respinge ipoteza nulă, și nu putem accepta ipoteza
alternativă.
În această situație avem o ipoteză unilateral dreapta ( > 1). Deci tcalc trebuie să
aparțină intervalului (1.9753;+ ). Se poate observa că pentru un interval de încredere de
95%, valoarea tcalc = 1,6601 nu aparține acestui interval, deci putem să acceptăm ipoteza nulă.
3.3.2 MICROSOFT
Ecuația pentru modelul CAPM atașat activului Apple este:
= -0.000319 + 1.004651* (0.001248) (0.111757)
H0: αi = 0 H0: βi = 1
și
H1: αi ≠ 0 H1: βi > 1
Pentru a testa aceste perechi de ipoteze alegem testul t-Student.
Pentru coeficientul α avem valoare estimată a coeficientului = -0.000319 și valoarea
erorii standard SE( ) = 0.001248. Calculăm statistica t pentru coefientul :
tcalc
( )
= 0.2556
Această valoare o comparăm cu valoarea critică din tabele tcrit = t0,025;156 = 2,2632. Se
poate observa că tcalc<tcrit, putem accepta ipoteza nulă. Construind intervalul de încredere
avem:
( - tcrt * SE( ), + tcrt * SE( )) = (-0.0025,0.0032)
Se poate observa că intervalul de încredere conține valoarea 0, deci și în acest caz
putem accepta ipoteza nulă.
Pentru coeficientul β avem valoarea estimată a coeficientului = 1.0046 și valoarea
erorii standard SE( ) = 0.1118. Calculăm statistica t pentru coeficientul
tcalc =
( )
Această valoare o comparăm cu valoarea critică din tabele tcrit =t5%,156 = 1.9753. Se
poate observa că tcalc<tcrit, nu putem respinge ipoteza nulă, și nu putem accepta ipoteza
alternativă.
În această situație avem o ipoteză unilateral dreapta ( > 1). Deci tcalc trebuie să
aparțină intervalului (1.9753;+ ). Se poate observa că pentru un interval de încredere de
95%, valoarea tcalc = 0.0412 nu aparține acestui interval, deci putem să acceptăm ipoteza nulă.
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
30
CAPITOLUL 4. STRATEGIA BOX - JENKINS
Pentru această aplicație am ales acțiunile Apple (aapl) si indicele pieței NASDAQ
(nasdaq_c). 4.1 VERIFICAREA STAȚIONARITĂȚII SERIILOR
4.1.1 Verificarea staționarității pe baza corelogramei
Figura 4.1 Output pentru seriile de date ale activului Apple și indicelui pieței
Din analiza corelogramei, se poate observa că toți coeficienții sunt zero, putem
afirma că cele două serii sunt staționare. Un interval de încredere 95% pentru este de forma
(
√
√ ) ( ). Se poate observa că toți coeficienții sunt în
interiorul intervalului. Pentru a testa ipoteza conform căreia mai mulți coeficienți sunt
concomitent nuli folosim statistica Q introdusă de Box și Pierce:
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
31
∑
Pentru a verifica dacă 10 coeficienți sunt concomitent nuli calculăm statistica Q.
Aceasta are valoarea 15.73, urmând o repartiție ( ) Valoarea statisticii Q, 15.73 < 18.30,
acceptăm ipoteza nulă, seria rentabilităților activului fiind staționară. Pentru seria
rentabilităților indicelui pieței valoarea statisticii Q = 18.01 < 18.30, acceptăm ipoteza nulă,
seria rentabilităților indicelui pieței fiind staționară.
4.1.2 Verificarea staționarității pe baza testului Dickey-Fuller
H0: seria este nestaționară, are o rădăcină unitate
H1: seria este staționară
a) pentru seria de date a activului
Figura 4.2 Output pentru testul Augmented Dickey-Fuller – activ
Cum = -13.022, putem respinge H0, deoarece pentru un nivel de semnificație de 5%
avem , seria fiind staționară.
Coeficienții modelului sunt: ( )
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
32
b) pentru seria de date a indicelui pieței
Figura 4.3 output pentru testul ADF – indice piață
Cum = -12.311, putem respinge H0, deoarece pentru un nivel de semnificație de 5%
avem . Deci seria este staționară.
Coeficienții modelului sunt: (-1)
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
33
4.2 DETERMINAREA ORDINELOR P ȘI Q
4.2.1 Determinarea ordinelor p și q pentru seria rentabilităților activului. Previziuni
Cum nu avem un profil foarte clar de model AR(p), MA(q) sau ARMA(p,q) încercăm
mai multe modele sugerate de corelograma.
Cum mai degrabă modelul cel mai bun ar fi de tip MA, încercăm câteva dintre aceste
modele.
a) modelul MA (7), MA(8) obținem următorul rezultat:
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
34
- coeficienții estimați ai modelului MA(7), MA(8) sunt . Conform testului de semnificație sunt statistic diferiți de zero.
b) modelul MA(7), MA(8), MA(10)
- coeficienții estimați sunt
conform testului de semnificație fiind diferiți de zero.
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
35
c) modelul MA(7), MA(8), MA(10), MA(12), MA(18)
- coeficienții estimați sunt conform testului de semnificație fiind diferiți de zero.
Toate cele trei modele îndeplinesc condițiile de validare (a se vedea Anexa I).
Nr. crt. Tipul modelului SIC AIC HQIC
1. MA(7), MA(8) -5,190813 -5,235376 -5,217270
2. MA(7), MA(8), MA(10) -5,267221 -5,334066 -5,306906
3. MA(7), MA(8), MA(10), MA(12), MA(18) -5,251464 -5,362871 -5,317606
Pe baza tabelului de mai sus alegem cel mai bun model. În alegerea modelului luăm ca
indicator Akaike. Cea mai mică valoare a acestui indicator este asociată modelului 3.
Folosim principiul de previziune ex post. Modelul de mai sus a fost obținut folosind
128 dintre valorile seriei de timp, urmând ca pentru valorile de la 129 înainte să obținem
previziuni. Astfel obținem următorul output:
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
36
Evaluarea bonității este dată de următorii indicatori:
1. Mean Abs. Percent Error (MAPE) – indică abaterile relative medii ale valorilor
previzionate de la cele observate. Valoarea indicatorului este foarte mare, ceea ce indică o
abatere foarte mare a valorilor previzionate de la valorile observate.
2. Coeficientul Theil – coeficient de apreciere a evaluării ia valori în intervalul (0,1).
În cazul nostru valoarea acestui indicator este foarte mare (Coeficient Theil = 0.77).
3. a) Bias Proportion – exprimă pătratul abaterii între valorile medii;
b) Variance Proportion – exprimă pătratul diferenței abaterilor standard
corespunzătoare;
c) Covariance Proportion – exprimă componenta reziduală.
În exemplul nostru ultima componentă, Cov. Prop., are o valoare foarte mare,
apropiată de 80% ceea ce indică o previziune bună.
-.020
-.016
-.012
-.008
-.004
.000
.004
.008
.012
.016
-.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06
AAPL_R
AA
PL_R
F
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
37
În figura de mai jos am prezentat evoluția valorilor observate completată, pe orizontul
de previziune, cu evoluția valorilor previzionate (pentru a fi observată cât mai bine această
evoluție a realizat graficul pe o serie de valori mai restrânsă înaintea orizontului de
previziune):
-.06
-.04
-.02
.00
.02
.04
.06
4 6 10 12 14 18 20 24 26 28 2 4 8 10 12 16 18 22 24 26 30 1
M9 M10
AAPL_R AAPL_RF
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
38
4.2.2 Determinarea ordinelor p și q pentru seria rentabilităților indicelui pieței.
Previziuni
Cum nu avem un profil foarte clar de model AR(p), MA(q) sau ARMA(p,q) încercăm
mai multe modele sugerate de corelograma.
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
39
a) modelul ARMA(2,2)
- coeficienții estimați ai modelului ARMA(2,2) sunt: conform testului de semnificație fiind statistic
diferiți de zero.
b) modelul ARMA(9,4)
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
40
- coeficienții estimați ai modelului ARMA(4,4) sunt: conform testului de semnificație fiind statistic diferiți de zero.
c) modelul AR(4), AR(10)
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
41
- coeficienții estimați ai modelului AR(4), AR(10) sunt: conform testului de semnificație fiind statistic diferiți de zero.
d) modelul MA(4), MA(6)
- coeficienții estimați ai modelului MA(4), MA(6) sunt: conform testului de semnificație fiind statistic diferiți de zero.
Toate cele 4 modele au îndeplinit condițiile de validare. (a se vedea Anexa II)
Nr. crt. Model AIC SIC HQIC
1. ARMA(2,2) -6,346239 -6,256199 -6,309659
2. ARMA(9,4) -6,445066 -6,141465 -6,321783
3. AR(4), AR(10) -6,336064 -6,289104 -6,316997
4. MA(4), MA(6) -6,340093 -6,295530 -6,311987
Decizia o luăm pe baza indicatorului Akaike. Cel mai mic indicator este asociat
modelului 2.
Folosim principiul de previziune ex post. Modelul de mai sus a fost obținut folosind
128 dintre valorile seriei de timp, urmând ca pentru valorile de la 129 înainte să obținem
previziuni. Astfel obținem următorul output:
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
42
Evaluarea bonității este dată de următorii indicatori:
1. Mean Abs. Percent Error (MAPE) – indică abaterile relative medii ale valorilor
previzionate de la cele observate. Valoarea indicatorului este foarte mare, ceea ce indică o
abatere foarte mare a valorilor previzionate de la valorile observate.
2. Coeficientul Theil – coeficient de apreciere a evaluării ia valori în intervalul (0,1).
În cazul nostru valoarea acestui indicator este foarte mare (Coeficient Theil = 0.7026).
3. a) Bias Proportion – exprimă pătratul abaterii între valorile medii;
b) Variance Proportion – exprimă pătratul diferenței abaterilor standard
corespunzătoare;
c) Covariance Proportion – exprimă componenta reziduală.
În exemplul nostru ultima componentă, Cov. Prop., are o valoare foarte mare,
apropiată de 90% ceea ce indică o previziune bună.
În figura de mai jos am prezentat evoluția valorilor observate completată, pe orizontul
de previziune, cu evoluția valorilor previzionate (pentru a fi observată cât mai bine această
-.015
-.010
-.005
.000
.005
.010
.015
-.03 -.02 -.01 .00 .01 .02
NASDAQC_R
NA
SD
AQ
C_R
F
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
43
evoluție a realizat graficul pe o serie de valori mai restrânsă înaintea orizontului de
previziune):
-.03
-.02
-.01
.00
.01
.02
4 6 10 12 14 18 20 24 26 28 2 4 8 10 12 16 18 22 24 26 30 1
M9 M10
NASDAQC_R NASDAQC_RF
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
44
ANEXA I I.1 STRUCTURA MA(7), MA(8)
Graficul rădăcinilor unitate
Graficul corelogramei
Output testul Breusch-Godfrey
Se poate observa că erorile nu sunt
autocorelate de ordin superior. Statistica F
asociată testului are o probabilitate
asociată, p-value = 0,1393, situată în zona
de indecizie. Din analiza probabilităților
asociate testului t pentru fiecare coeficient,
pentru un nivel de semnificație de 5%,
putem accepta ipoteza nulă. Deci
coeficienții
reziduurilor întârziate cu trei momente de
timp nu sunt semnificativ diferiți de zero.
Output testul lui White
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
MA
ro
ots
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Auto
corr
ela
tion
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Part
ial auto
corr
ela
tion
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
45
Din analiza statisticii F asociate acestui
test putem spune că suntem în zona de
indecizie (p-value asociată statisticii F este
0,1233). Deci nu ne putem pronunța asupra
homoscedasticității reziduurilor. Aceeași
concluzie o obținem și din analiza
probabilităților asociate testului t pentru
fiecare coeficient.
Output testul Jarque-Bera
Se poate observa că erorile au repartiție
leptokurtică, specifică datelor financiare.
Pe baza probabilității asociate testului
putem respinge ipoteza nulă.
I.2 MODELUL MA(7), MA(8), MA(10)
Graficul rădăcinilor unitate.
Graficul corelogramei asociate structurii
MA(7), MA(8), MA(10)
Output pentru testul Breusch-Godfrey
Din analiza statisticii F asociate testului
putem accepta ipoteza nulă (F*<Fcrit ,
F(3,122)5%=2,6789 >2,3714), deci erorile
nu sunt autocorelate. Aceeași concluzie o
obținem și din analiza probabilităților
asociate testului t pentru fiecare coeficient.
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
MA
ro
ots
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
-.4
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Auto
corr
ela
tion
-.4
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Part
ial a
uto
corr
ela
tion
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
46
Output testul lui White
Dina analiza statisticii F asociate testului
putem respinge ipoteza nulă, erorile fiind
heteroscedastice. Analizând probabilitățile
asociate testului t se poate observa că toți
coeficienții sunt zero.
Output testul Jarque-Bera
I.3 MODELUL MA(7), MA(8), MA(10),
MA(12), MA(18)
Graficul rădăcinilor unitate
Graficul corelogramei asociate structurii
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
MA
ro
ots
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Auto
corr
ela
tion
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Part
ial auto
corr
ela
tion
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
47
Output testul Breusch-Godfrey
Din analiza statisticii t asociate fiecărui
coeficient, pentru un nivel de semnificație
de 5%, aceștia sunt zero, erorile nu sunt
autocorelate.
Output testul lui White
Dina analiza statisticii t asociate fiecărui
coeficient, pentru un nivel de semnificație
de 5%, coeficienții sunt statistic zero,
erorile fiind homoscedastice. Pe baza
statisticii F respingem ipoteza nulă, erorile
fiind heteroscedastice.
Analizând probabilitățile asociate testului t
se poate observa că toți coeficienții sunt
zero.
Output Testul Jarque-Bera
Seria are o repartiție leptokurtică, specifică
datelor financiare, dar este și ușor
asimetrică spre dreapta.
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
48
ANEXA II II.1 MODELUL ARMA (2,2)
a)
b)
Graficele structurii ARMA:
a) rădăcinile unitate;
b) corelograma structurii.
Output testul Breusch-Godfrey
Se poate observa că erorile nu sunt
autocorelate de ordin superior
(probabilitatea asociată testului F, dar și
probabilitățile asociate testului t sunt mai
mari decât nivelul de semnificație de 5%).
Output testul lui White
Dina analiza testului F se poate spune că
reziduurile modelului sunt homoscedastice.
De asemenea, coeficienții termenilor
ecuației de regresie pentru testul lui White
sunt statistic zero.
Output testul Jarque-Bera
Reziduurile au o repartiție normală
gaussiană, r ~ N(0, ), probabilitatea
asociată testului este foarte mare, 0.8741.
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
AR roots
MA roots
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Auto
corr
ela
tion
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Part
ial a
uto
corr
ela
tion
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
49
II.2 MODELUL ARMA (9,4)
a)
b)
Graficele structurii ARMA:
a) rădăcinile unitate;
b) corelograma structurii.
Output testul Breusch-Godfrey
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
AR roots
MA roots
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
-.4
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Auto
corr
ela
tion
-.4
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Part
ial a
uto
corr
ela
tion
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
50
Output testul White
Dina analiza coeficienților termenilor
ecuației de regresie pentru testul White se
poate observa că toți acești coeficienți sunt
statistic zero.
Output testul Jarque-Bera
Putem accepta ipoteza nulă, reziduurile a o
repartiție gaussiană (probabilitatea testului
este mai mare decât nivelul de semnificație
de 5%).
II.3 MODELUL AR(4), AR(10)
a)
0
2
4
6
8
10
12
-0.020 -0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
Series: Residuals
Sample 4/09/2012 9/20/2012
Observations 119
Mean 0.000389
Median 0.000207
Maximum 0.019781
Minimum -0.019991
Std. Dev. 0.008673
Skewness -0.064902
Kurtosis 2.483773
Jarque-Bera 1.404888
Probability 0.495373
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
AR
ro
ots
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
51
b)
Graficele structurii ARMA:
a) rădăcinile unitate;
b) corelograma structurii.
Output testul Breusch-Godfrey
Putem accepta ipoteza nulă, conform
căreia erorile nu sunt autocorelate de ordin
superior.
Output testul White
Se poate observa că toți coeficienții sunt
statistic zero. Statistica F are o
probabilitate mai mare decât nivelul de
semnificație de 5%, fapt ce ne determină să
acceptăm ipoteza nulă, conform căreia
erorile sunt homoscedastice.
Output testul Jarque-Bera
Pe baza probabilității asociate putem
accepta ipoteza nulă, conform căreia
erorile sunt repartizate normal.
-.4
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Auto
corr
ela
tion
-.4
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Part
ial a
uto
corr
ela
tion
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
52
II.4 MODELUL MA(4), MA(6)
a)
b)
Graficele structurii ARMA:
a) rădăcinile unitate;
b) corelograma structurii.
Output testul Breusch-Godfrey
Din analiza probabilității asociate statisticii
F, dar și probabilităților asociate testului t
pentru coeficienții ecuației de regresie, se
poate observa că erorile nu sunt
autocorelate de ordin superior.
Output test White
Se poate observa că probabilitatea asociată
statisticii F este mai mare decât nivel de
semnificație de 5%, deci erorile sunt
homoscedastice. Aceeași concluzie o
obținem și din analiza coeficienților
ecuației, care conform testului este mai
mare decât nivel de semnificație de 5%,
deci erorile sunt homoscedastice. Aceeași
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
MA
ro
ots
Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)
-.4
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Auto
corr
ela
tion
-.4
-.2
.0
.2
.4
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Actual Theoretical
Part
ial a
uto
corr
ela
tion
Modele econometrice. Regresia liniară simplă
53
concluzie o obținem și din analiza
coeficienților ecuației, care conform
testului t sunt statistic zero.
Output testul Jarque-Bera
Probabilitatea asociată acestui test este
foarte mare, 90,83%. Acceptăm deci
ipoteza nulă, conform căreia erorile sunt
repartizate normal, urmând o distribuție
Gauss.