econometrie - proiect

53

Click here to load reader

Upload: alexandru-marghidanu

Post on 15-Jan-2016

126 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

proiect econometrie finante corporative

TRANSCRIPT

Page 1: Econometrie - proiect

BUCUREȘTI

2013

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE

FACULTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ȘI BURSE DE VALORI

MODELE ECONOMETRICE. REGRESIA LINIARĂ SIMPLĂ MODELUL SHARPE.MODELUL CAPM

STRATEGIA BOX - JENKINS

Mărghidanu Alexandru

Page 2: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

2

Finanțe-Corporative, grupa II

Cuprins

Capitolul 1. Prezentarea generală a datelor folosite ..................................................................... 3

1.1 Generalitați ........................................................................................................................ 3

1.2 Indicatori statistici și grafice semnificative ........................................................................... 3

1.2.1 Indicatori statistici și grafice semnificative - Apple ............................................................................... 3

1.2.2 Indicatori statistici și grafice semnificative – Microsoft ........................................................................ 4

1.2.3 Indicatori statistici și grafice semnificative – Google ............................................................................ 6

1.2.4 Indicatori statistici și grafice semnificative – Amazon .......................................................................... 7 1.2.5 Indicatori statistici și grafice semnificative – NASDAQ-C ................................................................... 9

Capitolul 2. Prezentarea rezultatelor econometrice pentru modelul lui Sharpe .......................... 11 2.1 Estimații pentru coeficienții modelului și pentru indicatorii de bonitate ............................... 11

2.1.1 APPLE ................................................................................................................................................. 11

2.1.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 11

2.2 Validarea modelelor ......................................................................................................... 12

2.2.1 APPLE ................................................................................................................................................. 12

2.2.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 16

2.3 Calcularea unor statistici importante ................................................................................. 20

2.3.1 APPLE ................................................................................................................................................. 20

2.3.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 20

Capitolul 3. Prezentarea rezultatelor econometrice pentru modelul CAPM .............................. 21 3.1 Estimații pentru coeficienții modelului și pentru indicatorii de bonitate ................................ 21

3.1.1 APPLE ................................................................................................................................................. 21

3.1.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 21

3.2 Validarea modelelor ......................................................................................................... 22

3.2.1 APPLE ................................................................................................................................................. 22

3.2.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 25

3.3 Analiza și interpretarea coeficientului βi ............................................................................. 28

3.3.1 APPLE ................................................................................................................................................. 28

3.3.2 MICROSOFT ....................................................................................................................................... 29

CAPITOLUL 4. Strategia Box - Jenkins ................................................................................... 30

4.1 Verificarea stționarității seriilor ........................................................................................ 30

4.1.1 Verificarea staționarității pe baza corelogramei ................................................................................... 30

4.1.2 Verificarea staționarității pe baza testului Dickey-Fuller ..................................................................... 31

4.2 Determinarea ordinelor p și q ............................................................................................ 33

4.2.1 Determinarea ordinelor p și q pentru seria rentabilităților activului. Previziuni .................................. 33

4.2.2 Determinarea ordinelor p și q pentru seria rentabilităților indicelui pieței. Previziuni ........................ 38

ANEXA I ................................................................................................................................... 44 I.1 Structura MA(7), MA(8) ............................................................................................................................. 44

I.2 Modelul MA(7), MA(8), MA(10) ................................................................................................................. 45

I.3 Modelul MA(7), MA(8), MA(10), MA(12), MA(18) .................................................................................... 46

Anexa II .................................................................................................................................... 48 II.1 Modelul ARMA (2,2) ................................................................................................................................. 48

II.2 Modelul ARMA (9,4) ................................................................................................................................. 49

II.3 Modelul AR(4), AR(10) ............................................................................................................................. 50

II.4 Modelul MA(4), MA(6) .............................................................................................................................. 52

Page 3: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

3

CAPITOLUL 1. PREZENTAREA GENERALĂ A DATELOR FOLOSITE

1.1 GENERALITAȚI

Piața de pe care au fost culese datele este piața americană, NASDAQ. Activele alese

au fost: Apple (aapl), Microsoft (msft), Amazon (amzn) și Google (goog). Perioada urmărită

în cercetare este de 161 zile, de la 27.martie.2012 până la 01.noiembrie.2012. Pentru indicele

pieței am ales NASDAQ-Composite, iar pentru activul fără risc am ales obligațiunile

americane pe termen mediu și lung.

1.2 INDICATORI STATISTICI ȘI GRAFICE SEMNIFICATIVE

1.2.1 Indicatori statistici și grafice semnificative - Apple

Figura 1.1 Evoluția rentabilităților acțiunilor Apple

Figura 1.2 Statistici descriptive pentru rentabilitățile acțiunilor Apple

-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

.08

.10

2012:04 2012:07 2012:10

AAPL_R

0

4

8

12

16

20

24

-0.025 0.000 0.025 0.050 0.075

Series: AAPL_R

Sample 3/27/2012 11/01/2012

Observations 158

Mean -0.000618

Median -0.001211

Maximum 0.088741

Minimum -0.043184

Std. Dev. 0.018347

Skewness 0.740788

Kurtosis 6.423822

Jarque-Bera 91.62438

Probability 0.000000

Page 4: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

4

Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților -0,000618 și dispersia

0,00034. Distribuția rentabilităților este omogenă, coeficientul de variație fiind de 29,68%,

determinat ca raport între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică

prezintă asimetrie spre dreapta (coeficientul de asimetrie Skewness = 0,7407) și leptokurtică

(coeficientul de boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 6,4238).

Figura 1.3 Distribuția rentabilităților acțiunilor Apple

1.2.2 Indicatori statistici și grafice semnificative – Microsoft

Figura 1.4 Evoluția rentabilităților acțiunilor Microsoft

0

5

10

15

20

25

30

-.04 .00 .04 .08

AAPL_R

Kernel Density (Normal, h = 0.0046)

-.12

-.08

-.04

.00

.04

.08

.12

2012:04 2012:07 2012:10

MSF_R

Page 5: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

5

Figura 1.5 Statistici descriptive pentru rentabilitățile acțiunilor Microsoft

Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților -0,000726 și dispersia

0,00035. Distribuția rentabilităților este omogenă, coeficientul de variație fiind de 25,62%,

determinat ca raport între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică

este ușor asimetrică spre dreapta (coeficientul de asimetrie Skewness = 0,415890) și

leptokurtică (coeficientul de boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 15,64788).

Figura 1.6 Distribuția rentabilităților acțiunilor Microsoft

0

10

20

30

40

50

60

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Series: MSF_R

Sample 3/27/2012 11/01/2012

Observations 158

Mean -0.000726

Median -0.001276

Maximum 0.111278

Minimum -0.104377

Std. Dev. 0.018605

Skewness 0.415890

Kurtosis 15.64788

Jarque-Bera 1057.684

Probability 0.000000

0

5

10

15

20

25

30

35

-.08 -.04 .00 .04 .08

MSF_R

Kernel Density (Normal, h = 0.0041)

Page 6: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

6

1.2.3 Indicatori statistici și grafice semnificative – Google

Figura 1.7 Evoluția rentabilităților acțiunilor Google

Figura 1.8 Statistici descriptive pentru rentabilitățile acțiunilor Google

Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților 0,000288 și dispersia

0,00021. Distribuția rentabilităților este eterogenă (distribuția nu mai este aleatoare, ci a fost

influențată de anumiți factori), coeficientul de variație fiind de 50,40%, determinat ca raport

între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică este ușor asimetrică

spre stânga (coeficientul de asimetrie Skewness = -1,099572) și leptokurtică (coeficientul de

boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 8,201015).

-.10

-.08

-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

2012:04 2012:07 2012:10

GOOG_R

0

4

8

12

16

20

24

28

-0.075 -0.050 -0.025 0.000 0.025

Series: GOOG_R

Sample 3/27/2012 11/01/2012

Observations 158

Mean 0.000288

Median 0.000451

Maximum 0.035216

Minimum -0.080067

Std. Dev. 0.014515

Skewness -1.099572

Kurtosis 8.201015

Jarque-Bera 209.9214

Probability 0.000000

Page 7: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

7

Figura 1.9 Distribuția rentabilităților acțiunilor Google

1.2.4 Indicatori statistici și grafice semnificative – Amazon

Figura 1.10 Evoluția rentabilităților acțiunilor Amazon

0

4

8

12

16

20

24

28

32

-.05 .00

GOOG_R

Kernel Density (Normal, h = 0.0040)

-.04

.00

.04

.08

.12

.16

2012:04 2012:07 2012:10

AMZN_R

Page 8: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

8

Figura 1.11 Statistici descriptive pentru rentabilitățile acțiunilor Amazon

Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților 0,000822 și dispersia

0,000430. Distribuția rentabilităților este omogenă, coeficientul de variație fiind de 25,24%,

determinat ca raport între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică

este asimetrică spre dreapta (coeficientul de asimetrie Skewness = 3,25085) și leptokurtică

(coeficientul de boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 23,42042).

Figura 1.12 Distribuția rentabilităților acțiunilor Amazon

0

5

10

15

20

25

30

0.00 0.05 0.10 0.15

Series: AMZN_R

Sample 3/27/2012 11/01/2012

Observations 158

Mean 0.000822

Median -0.001572

Maximum 0.157457

Minimum -0.031267

Std. Dev. 0.020750

Skewness 3.250851

Kurtosis 23.42042

Jarque-Bera 3023.498

Probability 0.000000

0

5

10

15

20

25

30

.00 .05 .10 .15

AMZN_R

Kernel Density (Normal, h = 0.0046)

Page 9: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

9

1.2.5 Indicatori statistici și grafice semnificative – NASDAQ-C

Figura 1.13 Evoluția rentabilităților indicelui NASDAQ-C

Figura 1.14 Statistici descriptive pentru rentabilitățile indicelui NASDAQ-C

Parametrii distribuției empirice sunt media rentabilităților -0,000402 și dispersia

0,000105. Distribuția rentabilităților este omogenă, coeficientul de variație fiind de 25,43%,

determinat ca raport între abaterea standard (Std. Dev.) și medie (Mean). Distribuția empirică

este ușor asimetrică (coeficientul de asimetrie Skewness = 0,090542) și ușor leptokurtică

(coeficientul de boltire este mai mare decât 3, kurtosis = 3,458040). Putem spune că

distribuția acestei serii se apropie de distribuția normală – gaussiană.

-.03

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

.04

2012:04 2012:07 2012:10

NASDAQC_R

0

4

8

12

16

20

24

-0.025 0.000 0.025

Series: NASDAQC_R

Sample 3/27/2012 11/01/2012

Observations 158

Mean -0.000402

Median -0.000319

Maximum 0.030026

Minimum -0.028246

Std. Dev. 0.010226

Skewness 0.090542

Kurtosis 3.458040

Jarque-Bera 1.597068

Probability 0.449988

Page 10: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

10

Figura 1.15 Distribuția rentabilităților indicelui NASDAQ-C

0

10

20

30

40

50

-.03 -.02 -.01 .00 .01 .02 .03

NASDAQC_R

Kernel Density (Normal, h = 0.0030)

Page 11: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

11

CAPITOLUL 2. PREZENTAREA REZULTATELOR ECONOMETRICE

PENTRU MODELUL LUI SHARPE

2.1 ESTIMAȚII PENTRU COEFICIENȚII MODELULUI ȘI PENTRU INDICATORII

DE BONITATE

2.1.1 APPLE

Figura 2.1 Output pentru Apple

= -0.000124 + 1.229022* (0.001068) (0.104643) La o modificare cu 1% a indicatorului global, rentabilitatea activului se va modifica

(în medie) cu 1.23%. Dacă indicatorul global nu variază, atunci rentabilitatea activului va

scădea cu 0.000124%.

R2 = 0.4693 Varianța variabilei dependente este explicată în procent de 46,93% de

varianța variabilei independente. Se poate observa că mare parte din variația randamentului

acțiunii este determinată de factori neincluși în model, specifici firmei.

R2 ajustat = 0.4659

Eroarea estimată a modelului este 0.013408 (S.E. of regression). Aceasta indică o

dispersie a erorii în model de 1.34%.

Putem considera că acest model este valid, p-value asociată testului este mică, deci

putem respinge ipoteza nulă (coeficientul variabilei independente este semnificativ diferit de

zero).

2.1.2 MICROSOFT

Figura 2.2 Output pentru Microsoft

Page 12: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

12

= -0.000326 + 0.994419*

(0.001244) (0.121980)

La o modificare cu 1% a indicatorului global, rentabilitatea activului se va modifica

(în medie) cu 1%. Dacă indicatorul global nu variază, atunci rentabilitatea activului va scădea

cu 0.000326%.

R2 = 0.2988 Varianța variabilei dependente este explicată în procent de 29,88% de

varianța variabilei independente. Se poate observa că mare parte din variația randamentului

acțiunii este determinată de factori neincluși în model, specifici firmei.

R2 ajustat = 0.2943

Eroarea estimată a modelului este 0.015630 (S.E. of regression).

Aceasta indică o dispersie a erorii în model de 1.56%.

Putem considera că acest model este valid, p-value asociată testului este mică, deci

putem respinge ipoteza nulă (coeficientul variabilei independente este semnificativ diferit de

zero).

2.2 VALIDAREA MODELELOR

2.2.1 APPLE

Testul t

H0: β = β*

H1: β ≠ β*

Pentru termenul liber valoarea statisticii t este -0.116249 cu probabilitatea p-value =

0.9076, ceea ce înseamnă că se poate accepta ipoteza nulă.

Pentru coeficientul variabilei independente valoarea statisticii t este 11.74491 cu

probabilitatea p-value = 0.000, ceea ce înseamnă că se acceptă ipoteza alternativă.

Testul lui Ramsey

H0: modelul este liniar

H1: modelul nu este liniar

Figura 2.3 Output pentru testul lui Ramsey (RESET)

Page 13: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

13

În cazul acestui test decizia se va lua pe baza statisticii F, F-stat = 0.135411 cu

probabilitatea asociată p-value = 0.9388. Putem astfel accepta ipoteza nulă, modelul de

regresie fiind liniar.

Analizând statistica t a fiecărui coeficient se poate observa că putem accepta ipoteza

nulă pentru fiecare coeficient.

Testul de homoscedasticitate (Testul lui White)

H0: βi = 0

H1: βj ≠ 0

Figura 2.4 Output pentru testul lui White

Analizând outputul de mai sus, se poate observa valoarea F-stat = 5.7966 și p-value =

0.0172, putem respinge astfel ipoteza nulă. Reziduurile modelului de regresie nu respectă

ipoteza de homoscedasticitate. Acest lucru se poate observa și din analiza valorilor

probabilităților asociate statisticii t pentru fiecare coeficient.

Page 14: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

14

Testul de autocorelare a erorilor

a) Testul de autocorelare de ordinul I (Durbin-Watson)

Figura 2.5 Output pentru testul Durbin-Watson

Coeficientul de autocorelație = -0.010041, dar valoarea p-value = 0.9002 este mare,

de aceea acceptăm ipoteza nulă. Rezultă că nu avem autocorelare de ordinul I. De asemenea

dacă ne uităm la valoarea statisticii DW =1.99 putem spune că aceasta se încadrează în

intervalul (1.80;2.20), deci nu există autocorelare de ordinul I.

b) Testul de autocorelare de ordin superior (Breuch-Godfrey)

Figura 2.6 Output pentru testul Breuch-Godfrey

Page 15: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

15

Analizând outputul de mai sus se poate observa că suntem într-o zonă de indecizie ( p-

value = 0.3640). Analizând valoarea probabilităților asociate fiecărui coeficient se poate

observa ca reziduurile sunt autocorelate de ordinul III (p-value = 0.077).

Testul de normalitate (Jarque-Bera)

H0: skewness = 0 și kurtosis = 3

H1: reziduurile nu sunt distribuite normal

Figura 2.7 Output pentru testul de normalitate

Distribuția empirică a reziduurilor prezintă o ușoară asimetrie spre dreapta

(coeficientul de asimetrie, skewness = 0.6338) și este leptokurtică (coeficientul de boltire,

kurtosis = 5.19).

Din analiza statisticii Jarque-Bera = 42.0675 și a probabilității asociate p-value =

0.000 se poate respinge ipoteza nulă, deci seria reziduurilor nu este distribuită normal.

Testul lui Chow

H0: coeficienții sunt stabili

H1: coeficienții nu sunt stabili

Figura 2.8 Output pentru testul lui Chow

0

4

8

12

16

20

24

28

-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

Series: Residuals

Sample 3/27/2012 11/01/2012

Observations 158

Mean 8.62E-19

Median -0.000712

Maximum 0.060634

Minimum -0.039303

Std. Dev. 0.013366

Skewness 0.633824

Kurtosis 5.187025

Jarque-Bera 42.06758

Probability 0.000000

Page 16: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

16

Din analiza statisticii F din outputul de mai sus și p-value asociate se poate spune că

suntem într-o zonă de indecizie (p-value = 0.6472).

2.2.2 MICROSOFT

Testul t

H0: β = β*

H1: β ≠ β*

Pentru termenul liber valoarea statisticii t este -0.261668 cu probabilitatea p-value =

0.7939, deci putem accepta ipoteza nulă. Pentru coeficientul variabilei independente t-stat =

8.15233 cu probabilitatea p-value = 0.0000, deci putem respinge ipoteza nulă.

Testul lui Ramsey

H0: modelul este liniar

H1: modelul nu este liniar

Figura 2.9 output pentru testul lui Ramsey

Analizând statistica F și p-value = 0.460507 din outputul de mai sus putem spune că

suntem într-o zonă de indecizie și nu putem afirma nimic despre liniaritatea modelului.

Page 17: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

17

Testul de homoscedasticitate (Testul lui White)

H0: βi = 0

H1: βj ≠ 0

Figura 2.10 Output pentru testul lui White

Analizând statistica F și probabilitatea asociată acesteia ne situăm în zona de

indecizie, însă eroarea pe care o facem respingând ipoteza nulă este foarte mare (p-value

=0.7598) astfel că putem accepta ipoteza nulă, deci modelul este homoscedastic (erorile au

varianța constantă).

Testul de autocorelare a erorilor

a) Testul de autocorelare de ordinul I (Durbin-Watson)

Figura 2.11 Output pentru testul Durbin-Watson

Page 18: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

18

Analizând outputul de mai sus observăm că valoarea statisticii DW = 2.0545, putem

deci accepta ipoteza nulă, erorile modelului nu sunt autocorelate de ordinul I. Pe baza analizei

testului t putem afirma că valoarea coeficientului nu este semnificativ diferită de zero (p-

value asociată testului este mică, deci putem respinge ipoteza nulă).

b) Testul de autocorelare de ordin superior (Breuch-Godfrey)

Figura 2.12 Output pentru testul Bruch-Godfrey

Analizând outputul de mai sus se poate observa valoarea mică a statisticii F asociată

modelului. În acest caz putem respinge ipoteza nulă, deci erorile sunt autocorelate de ordin

superior. Aceeași concluzie o obținem și din analiza statisticii t asociate fiecărui coeficient și

din analiza probabilităților.

Testul de normalitate (Jarque-Bera)

H0: skewness = 0 și kurtosis = 3

H1: reziduurile nu sunt distribuite normal

Figura 2.13 Output pentru testul Jarque-Bera

0

10

20

30

40

50

60

70

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 3/27/2012 11/01/2012

Observations 158

Mean 6.37E-19

Median -0.000622

Maximum 0.099878

Minimum -0.103404

Std. Dev. 0.015580

Skewness 0.004879

Kurtosis 24.53201

Jarque-Bera 3052.215

Probability 0.000000

Page 19: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

19

Distribuția empirică a seriei reziduurilor este leptokurtică (kurtosis = 24.54) și

simetrică (skewness = 0.004). Din analiza statisticii Jarque-Bera putem afirma că seria

reziduurilor nu este distribuită normal (p-value asociată testului Jarque-Bera este 0.000).

Testul lui Chow

H0: coeficienții sunt stabili

H1: coeficienții nu sunt stabili

Figura 2.14 Output pentru testul lui Chow

Din analiza outputului de mai sus putem spune despre coeficienții modelului că sunt

stabili (eroarea pe care o facem respingând ipoteza nulă este foarte mare, p-value = 0.7737).

Page 20: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

20

2.3 CALCULAREA UNOR STATISTICI IMPORTANTE

2.3.1 APPLE

E(Ri) = αi + βi*E(Rm)

E(Ri) = -0.000124 + 1.229022*E(Rm)

La o modificare cu 1% a valorii medii a rentabilităților indicelui pieței, valoarea medie

a rentabilităților activului se modifică în sens invers cu 1,23%. În cazul în care valoarea medie

a rentabilităților indicelui pieței nu se modifică, valoarea medie a activului se modifică în sens

invers cu 0.000124.

( )

( )

( )

La o modificare cu 1% a varianței rentabilităților indicelui pieței, valoarea medie a

rentabilităților activului se modifică cu 1.51%. Adică la o modificare a varianței

rentabilităților indicelui pieței cu 1%, riscul pentru activul respectiv la momentul i crește cu

1.51%. În cazul în care varianța indicelui pieței rămâne constantă, riscul pentru activul

respectiv crește cu 0,000169%.

2.3.2 MICROSOFT

E(Ri) = αi + βi*E(Rm)

E(Ri) = -0.000326 + 0.994419*E(Rm)

La o modificare cu 1% a valorii medii a rentabilităților indicelui pieței, valoarea medie

a rentabilităților activului se modifică în sens invers cu 0.995%. În cazul în care valoarea

medie a rentabilităților indicelui pieței nu se modifică, valoarea medie a activului se modifică

în sens invers cu 0.000326.

( )

( )

( )

La o modificare cu 1% a varianței rentabilităților indicelui pieței, valoarea medie a

rentabilităților activului se modifică cu 0.990%. Adică la o modificare a varianței

rentabilităților indicelui pieței cu 1%, riscul pentru activul respectiv la momentul i crește cu

0.990%. În cazul în care varianța indicelui pieței rămâne constantă, riscul pentru activul

respectiv crește cu 0.000225%.

Se poate observa că intre cele două active există o corelație pozitivă.

Page 21: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

21

CAPITOLUL 3. PREZENTAREA REZULTATELOR ECONOMETRICE

PENTRU MODELUL CAPM

3.1 ESTIMAȚII PENTRU COEFICIENȚII MODELULUI ȘI PENTRU INDICATORII

DE BONITATE

3.1.1 APPLE

Figura 3.1 Output modelul CAPM – Apple

= -7.08E-05 + 1.160238* (0.001077) (0.096485)

La o modificare cu 1% a indicatorului global, rentabilitatea activului se va modifica

(în medie) cu 1.16%. Dacă indicatorul global nu variază, atunci rentabilitatea activului va

scădea cu 0.00000708%.

R2 = 0.481042 Varianța variabilei dependente este explicată în procent de 48,10% de

varianța variabilei independente.

R2 ajustat = 0.4777

Eroarea estimată a modelului este 0.013494 (S.E. of regression).

3.1.2 MICROSOFT

Figura 3.2 Output modelul CAPM – Microsoft

Page 22: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

22

= -0.000319 + 1.004651* (0.001248) (0.111757)

La o modificare cu 1% a indicatorului global, rentabilitatea activului se va modifica

(în medie) cu 1.00%. Dacă indicatorul global nu variază, atunci rentabilitatea activului va

scădea cu 0.000319%.

R2 = 0.341251 Varianța variabilei dependente este explicată în procent de 34.12% de

varianța variabilei independente.

R2 ajustat = 0.337028

Eroarea estimată a modelului este 0.01563 (S.E. of regression).

3.2 VALIDAREA MODELELOR

3.2.1 APPLE

Testul t

H0: β = β*

H1: β ≠ β*

Pentru termenul liber valoarea statisticii t este -0.065779 cu probabilitatea p-value =

0.9476, ceea ce înseamnă că se poate accepta ipoteza nulă.

Pentru coeficientul variabilei independente valoarea statisticii t este 12.02506 cu

probabilitatea p-value = 0.000, ceea ce înseamnă că se acceptă ipoteza alternativă.

Testul lui Ramsey

H0: modelul este liniar

H1: modelul nu este liniar

Figura 3.3 Output pentru testul lui Ramsey (RESET)

Page 23: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

23

În cazul acestui test decizia se va lua pe baza statisticii F, F-stat = 0.147984 cu

probabilitatea asociată p-value = 0.9308. Putem astfel accepta ipoteza nulă, modelul de

regresie fiind liniar.

Analizând statistica t a fiecărui coeficient se poate observa că suntem într-o zonă de

indecizie.

Testul de homoscedasticitate (Testul lui White)

H0: βi = 0

H1: βj ≠ 0

Figura 3.4 Output pentru testul lui White

Analizând outputul de mai sus, se poate observa valoarea F-stat = 3.46 și p-value =

0.0339, putem respinge astfel ipoteza nulă. Reziduurile modelului de regresie nu respectă

ipoteza de homoscedasticitate. Acest lucru se poate observa și din analiza valorilor

probabilităților asociate statisticii t pentru fiecare coeficient.

Page 24: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

24

Testul de autocorelare a erorilor

a) Testul de autocorelare de ordinul I (Durbin-Watson)

Figura 3.5 Output pentru testul Durbin-Watson

Valoare statisticii Durbin-Watson pentru acest test este 2.0547, deci putem accepta

faptul că erorile nu sunt autocorelate de ordinul I.

b) Testul de autocorelare de ordin superior (Breuch-Godfrey)

Figura 3.6 Output pentru testul Breuch-Godfrey

Analizând outputul de mai sus se poate observa că suntem într-o zonă de indecizie ( p-

value = 0.3559). Analizând valoarea probabilităților asociate fiecărui coeficient se poate

observa că reziduurile sunt autocorelate de ordinul III (p-value = 0.077).

Testul de normalitate (Jarque-Bera)

H0: skewness = 0 și kurtosis = 3

H1: reziduurile nu sunt distribuite normal

Page 25: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

25

Figura 3.7 Output pentru testul de normalitate

Distribuția empirică a reziduurilor prezintă o ușoară asimetrie spre dreapta

(coeficientul de asimetrie, skewness = 0.6778) și este leptokurtică (coeficientul de boltire,

kurtosis = 5.44).

Din analiza statisticii Jarque-Bera = 51.47357 și a probabilității asociate p-value =

0.000 se poate respinge ipoteza nulă, deci seria reziduurilor nu este distribuită normal.

Testul lui Chow

H0: coeficienții sunt stabili

H1: coeficienții nu sunt stabil

Figura 3.8 Output pentru testul lui Chow

Din analiza statisticii F din outputul de mai sus și p-value asociate se poate spune că

respingem ipoteza nulă, deci coeficienții nu sunt stabili.

3.2.2 MICROSOFT

Testul t

H0: β = β*

H1: β ≠ β*

Pentru termenul liber valoarea statisticii t este -0.2558 cu probabilitatea p-value =

0.7984, deci putem accepta ipoteza nulă. Pentru coeficientul variabilei independente t-stat =

8.9895 cu probabilitatea p-value = 0.0000, deci putem respinge ipoteza nulă.

Testul lui Ramsey

H0: modelul este liniar

H1: modelul nu este liniar

0

4

8

12

16

20

24

28

-0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

Series: Residuals

Sample 3/27/2012 11/01/2012

Observations 158

Mean -3.84E-19

Median -0.000771

Maximum 0.062254

Minimum -0.039627

Std. Dev. 0.013451

Skewness 0.677834

Kurtosis 5.445595

Jarque-Bera 51.47357

Probability 0.000000

Page 26: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

26

Figura 3.9 Output pentru testul lui Ramsey

Analizând statistica F și p-value = 0.5850 din outputul de mai sus putem spune că

suntem într-o zonă de indecizie și nu putem afirma nimic despre liniaritatea modelului.

Testul de homoscedasticitate (Testul lui White)

H0: βi = 0

H1: βj ≠ 0

Figura 3.10 Output pentru testul lui White

Page 27: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

27

Analizând statistica F și probabilitatea asociată acesteia ne situăm în zona de

indecizie, însă eroarea pe care o facem respingând ipoteza nulă este foarte mare (p-value

=0.7222) astfel că putem accepta ipoteza nulă, deci modelul este homoscedastic (erorile au

varianța constantă).

Testul de autocorelare a erorilor

a) Testul de autocorelare de ordinul I (Durbin-Watson)

Figura 2.11 Output pentru testul Durbin-Watson

Analizând outputul de mai sus observăm că valoarea statisticii DW = 2.0545, putem

deci accepta ipoteza nulă, erorile modelului nu sunt autocorelate de ordinul I.

b) Testul de autocorelare de ordin superior (Breuch-Godfrey)

Figura 3.12 Output pentru testul Bruch-Godfrey

Analizând outputul de mai sus se poate observa valoarea mică a statisticii F asociată

modelului. În acest caz putem respinge ipoteza nulă, deci erorile sunt autocorelate de ordin

superior. Aceeași concluzie o obținem și din analiza statisticii t asociate fiecărui coeficient și

din analiza probabilităților.

Page 28: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

28

Testul de normalitate (Jarque-Bera)

H0: skewness = 0 și kurtosis = 3

H1: reziduurile nu sunt distribuite normal

Figura 3.13 Output pentru testul Jarque-Bera

Distribuția empirică a seriei reziduurilor este leptokurtică (kurtosis = 24.47) și

simetrică (skewness = -0.001). Din analiza statisticii Jarque-Bera putem afirma că seria

reziduurilor nu este distribuită normal (p-value asociată testului Jarque-Bera este 0.000).

Testul lui Chow

H0: coeficienții sunt stabili

H1: coeficienții nu sunt stabili

Figura 3.14 Output pentru testul lui Chow

Din analiza outputului de mai sus putem spune despre coeficienții modelului că sunt

stabili (eroarea pe care o facem respingând ipoteza nulă este foarte mare, p-value = 0.7768).

3.3 ANALIZA ȘI INTERPRETAREA COEFICIENTULUI ΒI

3.3.1 APPLE

Ecuația pentru modelul CAPM atașat activului Apple este:

= -7.08E-05 + 1.160238* (0.001077) (0.096485)

H0: αi = 0 H0: βi = 1

și

H1: αi ≠ 0 H1: βi > 1

Pentru a testa aceste perechi de ipoteze alegem testul t-Student.

Pentru coeficientul α avem valoare estimată a coeficientului = 0.0000708 și valoarea

erorii standard SE( ) = 0.001077. Calculăm statistica t pentru coefientul :

tcalc

( )

= 0.06574

0

10

20

30

40

50

60

70

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10

Series: Residuals

Sample 3/27/2012 11/01/2012

Observations 158

Mean 7.03E-19

Median -0.000669

Maximum 0.099747

Minimum -0.103398

Std. Dev. 0.015580

Skewness -0.001340

Kurtosis 24.47952

Jarque-Bera 3037.352

Probability 0.000000

Page 29: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

29

Această valoare o comparăm cu valoarea critică din tabele tcrit = t0,025;156 = 2,2632. Se

poate observa că tcalc<tcrit, putem accepta ipoteza nulă. Construind intervalul de încredere

avem:

( - tcrt * SE( ), + tcrt * SE( )) = (-0.0024,0.0025)

Se poate observa că intervalul de încredere conține valoarea 0, deci și în acest caz

putem accepta ipoteza nulă.

Pentru coeficientul β avem valoarea estimată a coeficientului = 1.1602 și valoarea

erorii standard SE( ) = 0.0965. Calculăm statistica t pentru coeficientul

tcalc =

( )

1.6601

Această valoare o comparăm cu valoarea critică din tabele tcrit =t5%,156 = 1.9753. Se

poate observa că tcalc<tcrit, nu putem respinge ipoteza nulă, și nu putem accepta ipoteza

alternativă.

În această situație avem o ipoteză unilateral dreapta ( > 1). Deci tcalc trebuie să

aparțină intervalului (1.9753;+ ). Se poate observa că pentru un interval de încredere de

95%, valoarea tcalc = 1,6601 nu aparține acestui interval, deci putem să acceptăm ipoteza nulă.

3.3.2 MICROSOFT

Ecuația pentru modelul CAPM atașat activului Apple este:

= -0.000319 + 1.004651* (0.001248) (0.111757)

H0: αi = 0 H0: βi = 1

și

H1: αi ≠ 0 H1: βi > 1

Pentru a testa aceste perechi de ipoteze alegem testul t-Student.

Pentru coeficientul α avem valoare estimată a coeficientului = -0.000319 și valoarea

erorii standard SE( ) = 0.001248. Calculăm statistica t pentru coefientul :

tcalc

( )

= 0.2556

Această valoare o comparăm cu valoarea critică din tabele tcrit = t0,025;156 = 2,2632. Se

poate observa că tcalc<tcrit, putem accepta ipoteza nulă. Construind intervalul de încredere

avem:

( - tcrt * SE( ), + tcrt * SE( )) = (-0.0025,0.0032)

Se poate observa că intervalul de încredere conține valoarea 0, deci și în acest caz

putem accepta ipoteza nulă.

Pentru coeficientul β avem valoarea estimată a coeficientului = 1.0046 și valoarea

erorii standard SE( ) = 0.1118. Calculăm statistica t pentru coeficientul

tcalc =

( )

Această valoare o comparăm cu valoarea critică din tabele tcrit =t5%,156 = 1.9753. Se

poate observa că tcalc<tcrit, nu putem respinge ipoteza nulă, și nu putem accepta ipoteza

alternativă.

În această situație avem o ipoteză unilateral dreapta ( > 1). Deci tcalc trebuie să

aparțină intervalului (1.9753;+ ). Se poate observa că pentru un interval de încredere de

95%, valoarea tcalc = 0.0412 nu aparține acestui interval, deci putem să acceptăm ipoteza nulă.

Page 30: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

30

CAPITOLUL 4. STRATEGIA BOX - JENKINS

Pentru această aplicație am ales acțiunile Apple (aapl) si indicele pieței NASDAQ

(nasdaq_c). 4.1 VERIFICAREA STAȚIONARITĂȚII SERIILOR

4.1.1 Verificarea staționarității pe baza corelogramei

Figura 4.1 Output pentru seriile de date ale activului Apple și indicelui pieței

Din analiza corelogramei, se poate observa că toți coeficienții sunt zero, putem

afirma că cele două serii sunt staționare. Un interval de încredere 95% pentru este de forma

(

√ ) ( ). Se poate observa că toți coeficienții sunt în

interiorul intervalului. Pentru a testa ipoteza conform căreia mai mulți coeficienți sunt

concomitent nuli folosim statistica Q introdusă de Box și Pierce:

Page 31: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

31

Pentru a verifica dacă 10 coeficienți sunt concomitent nuli calculăm statistica Q.

Aceasta are valoarea 15.73, urmând o repartiție ( ) Valoarea statisticii Q, 15.73 < 18.30,

acceptăm ipoteza nulă, seria rentabilităților activului fiind staționară. Pentru seria

rentabilităților indicelui pieței valoarea statisticii Q = 18.01 < 18.30, acceptăm ipoteza nulă,

seria rentabilităților indicelui pieței fiind staționară.

4.1.2 Verificarea staționarității pe baza testului Dickey-Fuller

H0: seria este nestaționară, are o rădăcină unitate

H1: seria este staționară

a) pentru seria de date a activului

Figura 4.2 Output pentru testul Augmented Dickey-Fuller – activ

Cum = -13.022, putem respinge H0, deoarece pentru un nivel de semnificație de 5%

avem , seria fiind staționară.

Coeficienții modelului sunt: ( )

Page 32: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

32

b) pentru seria de date a indicelui pieței

Figura 4.3 output pentru testul ADF – indice piață

Cum = -12.311, putem respinge H0, deoarece pentru un nivel de semnificație de 5%

avem . Deci seria este staționară.

Coeficienții modelului sunt: (-1)

Page 33: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

33

4.2 DETERMINAREA ORDINELOR P ȘI Q

4.2.1 Determinarea ordinelor p și q pentru seria rentabilităților activului. Previziuni

Cum nu avem un profil foarte clar de model AR(p), MA(q) sau ARMA(p,q) încercăm

mai multe modele sugerate de corelograma.

Cum mai degrabă modelul cel mai bun ar fi de tip MA, încercăm câteva dintre aceste

modele.

a) modelul MA (7), MA(8) obținem următorul rezultat:

Page 34: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

34

- coeficienții estimați ai modelului MA(7), MA(8) sunt . Conform testului de semnificație sunt statistic diferiți de zero.

b) modelul MA(7), MA(8), MA(10)

- coeficienții estimați sunt

conform testului de semnificație fiind diferiți de zero.

Page 35: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

35

c) modelul MA(7), MA(8), MA(10), MA(12), MA(18)

- coeficienții estimați sunt conform testului de semnificație fiind diferiți de zero.

Toate cele trei modele îndeplinesc condițiile de validare (a se vedea Anexa I).

Nr. crt. Tipul modelului SIC AIC HQIC

1. MA(7), MA(8) -5,190813 -5,235376 -5,217270

2. MA(7), MA(8), MA(10) -5,267221 -5,334066 -5,306906

3. MA(7), MA(8), MA(10), MA(12), MA(18) -5,251464 -5,362871 -5,317606

Pe baza tabelului de mai sus alegem cel mai bun model. În alegerea modelului luăm ca

indicator Akaike. Cea mai mică valoare a acestui indicator este asociată modelului 3.

Folosim principiul de previziune ex post. Modelul de mai sus a fost obținut folosind

128 dintre valorile seriei de timp, urmând ca pentru valorile de la 129 înainte să obținem

previziuni. Astfel obținem următorul output:

Page 36: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

36

Evaluarea bonității este dată de următorii indicatori:

1. Mean Abs. Percent Error (MAPE) – indică abaterile relative medii ale valorilor

previzionate de la cele observate. Valoarea indicatorului este foarte mare, ceea ce indică o

abatere foarte mare a valorilor previzionate de la valorile observate.

2. Coeficientul Theil – coeficient de apreciere a evaluării ia valori în intervalul (0,1).

În cazul nostru valoarea acestui indicator este foarte mare (Coeficient Theil = 0.77).

3. a) Bias Proportion – exprimă pătratul abaterii între valorile medii;

b) Variance Proportion – exprimă pătratul diferenței abaterilor standard

corespunzătoare;

c) Covariance Proportion – exprimă componenta reziduală.

În exemplul nostru ultima componentă, Cov. Prop., are o valoare foarte mare,

apropiată de 80% ceea ce indică o previziune bună.

-.020

-.016

-.012

-.008

-.004

.000

.004

.008

.012

.016

-.06 -.04 -.02 .00 .02 .04 .06

AAPL_R

AA

PL_R

F

Page 37: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

37

În figura de mai jos am prezentat evoluția valorilor observate completată, pe orizontul

de previziune, cu evoluția valorilor previzionate (pentru a fi observată cât mai bine această

evoluție a realizat graficul pe o serie de valori mai restrânsă înaintea orizontului de

previziune):

-.06

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

4 6 10 12 14 18 20 24 26 28 2 4 8 10 12 16 18 22 24 26 30 1

M9 M10

AAPL_R AAPL_RF

Page 38: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

38

4.2.2 Determinarea ordinelor p și q pentru seria rentabilităților indicelui pieței.

Previziuni

Cum nu avem un profil foarte clar de model AR(p), MA(q) sau ARMA(p,q) încercăm

mai multe modele sugerate de corelograma.

Page 39: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

39

a) modelul ARMA(2,2)

- coeficienții estimați ai modelului ARMA(2,2) sunt: conform testului de semnificație fiind statistic

diferiți de zero.

b) modelul ARMA(9,4)

Page 40: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

40

- coeficienții estimați ai modelului ARMA(4,4) sunt: conform testului de semnificație fiind statistic diferiți de zero.

c) modelul AR(4), AR(10)

Page 41: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

41

- coeficienții estimați ai modelului AR(4), AR(10) sunt: conform testului de semnificație fiind statistic diferiți de zero.

d) modelul MA(4), MA(6)

- coeficienții estimați ai modelului MA(4), MA(6) sunt: conform testului de semnificație fiind statistic diferiți de zero.

Toate cele 4 modele au îndeplinit condițiile de validare. (a se vedea Anexa II)

Nr. crt. Model AIC SIC HQIC

1. ARMA(2,2) -6,346239 -6,256199 -6,309659

2. ARMA(9,4) -6,445066 -6,141465 -6,321783

3. AR(4), AR(10) -6,336064 -6,289104 -6,316997

4. MA(4), MA(6) -6,340093 -6,295530 -6,311987

Decizia o luăm pe baza indicatorului Akaike. Cel mai mic indicator este asociat

modelului 2.

Folosim principiul de previziune ex post. Modelul de mai sus a fost obținut folosind

128 dintre valorile seriei de timp, urmând ca pentru valorile de la 129 înainte să obținem

previziuni. Astfel obținem următorul output:

Page 42: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

42

Evaluarea bonității este dată de următorii indicatori:

1. Mean Abs. Percent Error (MAPE) – indică abaterile relative medii ale valorilor

previzionate de la cele observate. Valoarea indicatorului este foarte mare, ceea ce indică o

abatere foarte mare a valorilor previzionate de la valorile observate.

2. Coeficientul Theil – coeficient de apreciere a evaluării ia valori în intervalul (0,1).

În cazul nostru valoarea acestui indicator este foarte mare (Coeficient Theil = 0.7026).

3. a) Bias Proportion – exprimă pătratul abaterii între valorile medii;

b) Variance Proportion – exprimă pătratul diferenței abaterilor standard

corespunzătoare;

c) Covariance Proportion – exprimă componenta reziduală.

În exemplul nostru ultima componentă, Cov. Prop., are o valoare foarte mare,

apropiată de 90% ceea ce indică o previziune bună.

În figura de mai jos am prezentat evoluția valorilor observate completată, pe orizontul

de previziune, cu evoluția valorilor previzionate (pentru a fi observată cât mai bine această

-.015

-.010

-.005

.000

.005

.010

.015

-.03 -.02 -.01 .00 .01 .02

NASDAQC_R

NA

SD

AQ

C_R

F

Page 43: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

43

evoluție a realizat graficul pe o serie de valori mai restrânsă înaintea orizontului de

previziune):

-.03

-.02

-.01

.00

.01

.02

4 6 10 12 14 18 20 24 26 28 2 4 8 10 12 16 18 22 24 26 30 1

M9 M10

NASDAQC_R NASDAQC_RF

Page 44: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

44

ANEXA I I.1 STRUCTURA MA(7), MA(8)

Graficul rădăcinilor unitate

Graficul corelogramei

Output testul Breusch-Godfrey

Se poate observa că erorile nu sunt

autocorelate de ordin superior. Statistica F

asociată testului are o probabilitate

asociată, p-value = 0,1393, situată în zona

de indecizie. Din analiza probabilităților

asociate testului t pentru fiecare coeficient,

pentru un nivel de semnificație de 5%,

putem accepta ipoteza nulă. Deci

coeficienții

reziduurilor întârziate cu trei momente de

timp nu sunt semnificativ diferiți de zero.

Output testul lui White

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

MA

ro

ots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Auto

corr

ela

tion

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Part

ial auto

corr

ela

tion

Page 45: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

45

Din analiza statisticii F asociate acestui

test putem spune că suntem în zona de

indecizie (p-value asociată statisticii F este

0,1233). Deci nu ne putem pronunța asupra

homoscedasticității reziduurilor. Aceeași

concluzie o obținem și din analiza

probabilităților asociate testului t pentru

fiecare coeficient.

Output testul Jarque-Bera

Se poate observa că erorile au repartiție

leptokurtică, specifică datelor financiare.

Pe baza probabilității asociate testului

putem respinge ipoteza nulă.

I.2 MODELUL MA(7), MA(8), MA(10)

Graficul rădăcinilor unitate.

Graficul corelogramei asociate structurii

MA(7), MA(8), MA(10)

Output pentru testul Breusch-Godfrey

Din analiza statisticii F asociate testului

putem accepta ipoteza nulă (F*<Fcrit ,

F(3,122)5%=2,6789 >2,3714), deci erorile

nu sunt autocorelate. Aceeași concluzie o

obținem și din analiza probabilităților

asociate testului t pentru fiecare coeficient.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

MA

ro

ots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

-.4

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Auto

corr

ela

tion

-.4

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Part

ial a

uto

corr

ela

tion

Page 46: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

46

Output testul lui White

Dina analiza statisticii F asociate testului

putem respinge ipoteza nulă, erorile fiind

heteroscedastice. Analizând probabilitățile

asociate testului t se poate observa că toți

coeficienții sunt zero.

Output testul Jarque-Bera

I.3 MODELUL MA(7), MA(8), MA(10),

MA(12), MA(18)

Graficul rădăcinilor unitate

Graficul corelogramei asociate structurii

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

MA

ro

ots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Auto

corr

ela

tion

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Part

ial auto

corr

ela

tion

Page 47: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

47

Output testul Breusch-Godfrey

Din analiza statisticii t asociate fiecărui

coeficient, pentru un nivel de semnificație

de 5%, aceștia sunt zero, erorile nu sunt

autocorelate.

Output testul lui White

Dina analiza statisticii t asociate fiecărui

coeficient, pentru un nivel de semnificație

de 5%, coeficienții sunt statistic zero,

erorile fiind homoscedastice. Pe baza

statisticii F respingem ipoteza nulă, erorile

fiind heteroscedastice.

Analizând probabilitățile asociate testului t

se poate observa că toți coeficienții sunt

zero.

Output Testul Jarque-Bera

Seria are o repartiție leptokurtică, specifică

datelor financiare, dar este și ușor

asimetrică spre dreapta.

Page 48: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

48

ANEXA II II.1 MODELUL ARMA (2,2)

a)

b)

Graficele structurii ARMA:

a) rădăcinile unitate;

b) corelograma structurii.

Output testul Breusch-Godfrey

Se poate observa că erorile nu sunt

autocorelate de ordin superior

(probabilitatea asociată testului F, dar și

probabilitățile asociate testului t sunt mai

mari decât nivelul de semnificație de 5%).

Output testul lui White

Dina analiza testului F se poate spune că

reziduurile modelului sunt homoscedastice.

De asemenea, coeficienții termenilor

ecuației de regresie pentru testul lui White

sunt statistic zero.

Output testul Jarque-Bera

Reziduurile au o repartiție normală

gaussiană, r ~ N(0, ), probabilitatea

asociată testului este foarte mare, 0.8741.

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots

MA roots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Auto

corr

ela

tion

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Part

ial a

uto

corr

ela

tion

Page 49: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

49

II.2 MODELUL ARMA (9,4)

a)

b)

Graficele structurii ARMA:

a) rădăcinile unitate;

b) corelograma structurii.

Output testul Breusch-Godfrey

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR roots

MA roots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

-.4

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Auto

corr

ela

tion

-.4

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Part

ial a

uto

corr

ela

tion

Page 50: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

50

Output testul White

Dina analiza coeficienților termenilor

ecuației de regresie pentru testul White se

poate observa că toți acești coeficienți sunt

statistic zero.

Output testul Jarque-Bera

Putem accepta ipoteza nulă, reziduurile a o

repartiție gaussiană (probabilitatea testului

este mai mare decât nivelul de semnificație

de 5%).

II.3 MODELUL AR(4), AR(10)

a)

0

2

4

6

8

10

12

-0.020 -0.015 -0.010 -0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

Series: Residuals

Sample 4/09/2012 9/20/2012

Observations 119

Mean 0.000389

Median 0.000207

Maximum 0.019781

Minimum -0.019991

Std. Dev. 0.008673

Skewness -0.064902

Kurtosis 2.483773

Jarque-Bera 1.404888

Probability 0.495373

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

AR

ro

ots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

Page 51: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

51

b)

Graficele structurii ARMA:

a) rădăcinile unitate;

b) corelograma structurii.

Output testul Breusch-Godfrey

Putem accepta ipoteza nulă, conform

căreia erorile nu sunt autocorelate de ordin

superior.

Output testul White

Se poate observa că toți coeficienții sunt

statistic zero. Statistica F are o

probabilitate mai mare decât nivelul de

semnificație de 5%, fapt ce ne determină să

acceptăm ipoteza nulă, conform căreia

erorile sunt homoscedastice.

Output testul Jarque-Bera

Pe baza probabilității asociate putem

accepta ipoteza nulă, conform căreia

erorile sunt repartizate normal.

-.4

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Auto

corr

ela

tion

-.4

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Part

ial a

uto

corr

ela

tion

Page 52: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

52

II.4 MODELUL MA(4), MA(6)

a)

b)

Graficele structurii ARMA:

a) rădăcinile unitate;

b) corelograma structurii.

Output testul Breusch-Godfrey

Din analiza probabilității asociate statisticii

F, dar și probabilităților asociate testului t

pentru coeficienții ecuației de regresie, se

poate observa că erorile nu sunt

autocorelate de ordin superior.

Output test White

Se poate observa că probabilitatea asociată

statisticii F este mai mare decât nivel de

semnificație de 5%, deci erorile sunt

homoscedastice. Aceeași concluzie o

obținem și din analiza coeficienților

ecuației, care conform testului este mai

mare decât nivel de semnificație de 5%,

deci erorile sunt homoscedastice. Aceeași

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

MA

ro

ots

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

-.4

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Auto

corr

ela

tion

-.4

-.2

.0

.2

.4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Actual Theoretical

Part

ial a

uto

corr

ela

tion

Page 53: Econometrie - proiect

Modele econometrice. Regresia liniară simplă

53

concluzie o obținem și din analiza

coeficienților ecuației, care conform

testului t sunt statistic zero.

Output testul Jarque-Bera

Probabilitatea asociată acestui test este

foarte mare, 90,83%. Acceptăm deci

ipoteza nulă, conform căreia erorile sunt

repartizate normal, urmând o distribuție

Gauss.