Lecia: Media Geometric

Maxim Bogdan - Facultatea de Matematic

Captarea ateniein aceast lecie vom vorbi despre media geometric a dou numere. Pentru nceput s intro-

ducem conceptul de medie. Acesta apare consemnat nc de la anticii greci, mai precis la coalaPitagoreic. n cartea lui Pappus din Alexandria (290-350) intitulat Mathematicae Collectiones,ce conine o prezentare sistematic a rezultatelor predecesorilor si, apar menionate 10 tipuri demedii, construite prin metoda proporiilor, dup cum vom vedea n continuare.

(a) Mathematicae Collectiones (b) Pitagora din Samos (c) Eudoxus din Knitos

Pitagora din Samos (570 .Hr-495 .Hr) cunotea media aritmetic, media geometric i mediaarmonic pe care le-a construit plecnd de la trei numere, dintre care unul necunoscut (media) idou xate, impunnd condiia ca raportul a dou diferene s e egal cu raportul a dou dintrecele trei numere (nu neaprat distincte). Mai precis, e a > m > b > 0. Atunci numrul mreprezint:

1. media aritmetic a numerelor a i b dac:

amm b =

a

a= m = a

b.;

1

2. media geometric a numerelor a i b dac:

amm b =

a

m=m

b= m =

ab.

3. media armonic a numerelor a i b dac:

amm b =

a

b= m = 2ab

a+ b.

Eudoxus din Knidos (408 . Hr - 355 . Hr) a mai denit 3 medii i anume:

4. media contraarmonic a numerelor a i b dac:

amm b =

b

a= m = a

2 + b2

a+ b.

5. prima medie contrageometric a numerelor a i b dac:

amm b =

b

m= m = a b+

(a b)2 + 4b22

.

6. a doua medie contrageometric a numerelor a i b dac:

amm b =

m

a= m = b a+

(a b)2 + 4a22

.

Ultimele 4 medii rmase care nu au nume specice, au fost introduse de Temnoides iEuphranor:

7.ama b =

b

a= m = a

2 ab+ b2a

.

8.ama b =

m

a= m = a

2

2a b.

9.a bm b =

a

b= m = b(2a b)

a.

10.a bm b =

m

b= m = b+

b(4a 3b)2

.

2

Urmeaz acum s adresez clasei cteva ntrebri, de tipul: Putei da/inventa exemple de altemedii? Cnd v-ai ntlnit cu mediile n via i n ce circumstane?

Comunicarea obiectivelorntruct media geometric se a ascuns n multe domenii precum tiitele sociale, afaceri i

statistic, probleme practice de geometrie, optic, alegerea formatului ecranelor i altele, sunteminteresai n cele ce urmeaz s gsim metode eciente de calcul algebric al acesteia. De asemenea,din punct de vedere geometric ne dorim s gsim modaliti de construire a mediei geometricea dou numere (reprezentnd lungimi de segmente, sau uniti de arie). La nal, vom rezolvacteva probleme practice din a de lucru.

Predarea efectiv

Deniia 1 Media geometric (sau proporional) a numerelor pozitive a i b este numrul(pozitiv)m, obinut prin extragerea rdcinii ptrate din produsul celor dou numere:

m =a b.

Exemplu: Media geometric a numerelor 2 i 8 este2 8 = 16 = 4.

Observaii:

b La fel ca media aritmetic, i media geometric a dou numere reale pozitive este mai maredect cel mai mic dintre numere i este mai mic dect cel mai mare dintre numere. nexemplul nostru avem: 2 < 4 =

2 8 < 8.

b Numele de medie proporional provine de la faptul c m veric urmtoarea egalitate derapoarte:

m

a=

b

m.

Reprezentnd pe axa real puncteleA(a),M(ab), B(b) observm c originea mparte seg-

mentele [AM ] i [MB] n rapoarte egale, adic:

OA

OM=OM

OB.

n continuare vom descrie, pe un exemplu concret un algoritm de calculare mai rapid amedieigeometrice bazat pe inegalitatea mediilor. S o amintim:

a, b > 0 = a+ b2ab 2ab

a+ b.

3

. S zicem c dorim s calculm media geometric a numerelor 2 i 3. Primul pas estes punem a = 2 i b = 3. Apoi scriem inegalitatea mediilor, i obinem:

2, 5 =2 + 3

2=a+ b

2ab =

2 3 2ab

a+ b=

2 2 32 + 3

=12

5= 2, 4.

La al doilea pas, setm a = 2, 4 i b = 2, 5, i din nou scriem inegalitatea mediilor inndcont c produsul ab = 6 rmne neschimbat:

2, 45 =2, 4 + 2, 5

2=a+ b

2ab =

6 2ab

a+ b=

2 2, 4 2, 52, 4 + 2, 5

=120

49= 2, 44897...

Dup acest pas, avem deja calculat6 = 2, 44... cu eroare mai mic dect o su-

time. Repetnd procedeul putem obine aproximri orict de bune. Acest algoritmfuncioneaz mai repede dect algoritmul de extragere al rdcinii ptrate (puteincerca s calculai

1 2 i vei vedea diferena. Ba mai mult, nu necesit ncercri, ci

trebuiesc doar efectuate operaii elementare.

Acum c tim s calculm media geometric a dou numere mai rmne s dm un rspunsurmtoarei ntrebri:

Problem deschis: Dac avem dou segmente de lungime a i respectiv b, putem construi cu riglai compasul un segment de lungimem =

ab?

Soluie. Rspunsul este armativ.

Euclid, Elementele, VI. 13

Punem cele dou segmente cap la cap i le aliniem. Obinem astfel un segment de lungimea + b i un punct de mbinare. Ducnd semicercul avnd ca diametru acest segment mare, iarapoi ridicnd perpendiculara n punctul de mbinare pe segment i intersectnd-o cu semicerculse formeaz un segment de lungime

ab, ceea ce trebuia fcut. (a se vedea gura alturat).

Explicaia vine din Teorema nlimii, aplicat n triunghiul nostru dreptunghic.

4

Fi de lucru - Media Geometric

Probleme uoare

1 Calculai media geometric a urmtoarelor numere:a) 3 i 5b) 0, 4 i 2, 5c)12 i

75

d) 415 i 4 +15.

2 Media geometric a dou numere este egal cu 26 . Calculai valorile numerelor tiind c

unul dintre ele este de ase ori mai mare dect cellalt.

3 Se dau numerele a =128 i b =

162. Calculai media aritmetic, media armonic i

media geometric a acestor dou numere. Ordonai cresctor numerele a, b i numerele calculateanterior. Ce observai?

4 Completai irul de mai jos cu nc 5 termeni, tiind c ecare termen este media geometrica vecinilor si:

6, 12, ..., ..., ..., ..., ....

5 Determinai 3 numere pozitive care sunt invers proporionale cu 2, 23 i respectiv cu

3,

iar media geometric a ultimelor dou este egal cu media armonic a numerelor 90 i 10.

Probleme de dicultate medie

6 Fie a, b > 0 dou numere reale. Notm cuma, mg imh media aritmetic, geometric respectivarmonic a numerelor a i b. Artai c:

mg =ma mh.

7 Cu notaiile de la problema anterioar demonstrai c dacma mg atunci avem cmg mh.

5

8 Calculai media geometric a numerelor 37 i 3+7 folosind algoritmul de calcul descrisn lecie, iar apoi folosind algoritmul de extragere al rdcinii ptrate. Care din cele dou vi separe mai potrivit?

Probleme de geometrie n care apare media geometric

9 Considerm dou numere reale pozitive a, b. Fie 4ABC dreptunghic n C , astfel nct savem c AD = a i DB = b, unde cu D am notat piciorul perpendicularei din C pe AB. Deasemenea lum pe M ca ind mijlocul segmentului [AB]. Argumentai c:

a) CD =ab.

b) CM = a+ b2

.

c) CM CD. Cnd poate avea loc egalitatea?

d) Deducei Inegalitatea Mediilor din cele demonstrate mai sus i problema 7.

10 Avem un triunghi 4ABC dreptunghic n C , i cu D notm piciorul perpendicularei din Cpe AB. Dac AB = a i DB = b, atunci avem c BC =

ab.

11 Demonstrai c lungimea tangentei comune a dou cercuri tangente exterior de diametre ai b este chiar media lor geometric,

ab.

6

12 Fie BAC , 3 puncte coliniare (n aceast ordine) astfel nct AB = b i BC = a (evidenta > b). Construim un semicerc cu capetele A i C iar apoi ducem tangenta din B care va tiasemicercul ntr-un punct P . Demonstrai c BP =

ab.

John Wallis

13 Considerm 4 puncte n plan: O,A,B i T astfel nct4OAT 4OTB i n plus cele doutriunghiuri sunt isoscele. Artai c OT =

OA OB.

14 Fie A,B,C trei puncte coliniare, iar D i E dou puncte situate de aceeai parte a drepteiAB astfel nct AD BE iar BD CE. Atunci:

Aria(4BDE) =Aria(4ABD) Aria(4BCE).

problem chinezeasc

7

Probleme practice

15 (formatul monitoarelor) V-ai ntrebat vreodat de ce formatul televizoarelor a fost ales16 : 9? nainte de a standardizat aceast raport, exista o gam mare de valori variind de la 4 : 3la obinuitul TV pn la aspectul foarte larg 2, 35 : 1 pentru CinemaScope. Pentru prima datDr. Kerns H. Powers a propus proporia 16 : 9 ca ind cel mai bun compromis dintre cele douextreme, ind chiar media geometric a lor. A ajuns la acest rezultat jucndu-se cu foi de hrtiede diferite dimensiuni pe care le centra n acelai punct u laturile corespondente paralele. Caobservaie 16 : 9 este singurul aspect n care se poate vizualiza formatul DVD.

Cele mai frecvente formate

8

Iat frumoasa problem de geometrie pe care se bazeaz cele spuse mai sus:

FieO un punct din plan iarA1B1C1D1 iA2B2C2D2, dou dreptunghiuri de arii egale,cu centrul n O avnd laturile corespunztoare paralele. Acestea se intersecteaz dupun nou dreptunghi A3B3C3D3. De asemenea se consider i dreptunghiul A4B4C4D4,nfurtoarea convex a primelor dou. Pentru i = 1, 2, 3, 4, notm:

ri =AiBiBiCi

.

Demonstrai c:

r3 = r4 =r1 r2.

16 (Rata anual compus i creterea proporional) S spunem c avem o afacere simpl:suntem fericitul posesor al unui portocal. Noi vindem portocalele care cresc dup voia lui Dum-nezeu n copacul nostru: n primul an 100, n al doilea 180, iar n al treilea 135. Astfel dup unprim an, nregistrm o cretere de 80%, iar n a doua perioad avem de a face cu o scdere de 25%,adic o creere de 25%. Vrem s am care este creerea medie a produciei n acest interval de2 ani.

Indicaie. n mod evident media aritmetic nu lucreaz n acest caz, ntruct: 80%25%2

= 27, 5%,ceea ce nu reect realitatea, cci n acest caz ar trebui s avem la nal:

100 (1 + 27, 5%) (1 + 27, 5%) = 100 127100 127100

= 161, 29 de portocale,

lucru departe de adevr.

Noi ns vrem s gsim un procent x p% care s fac creerea noastr constant, iar la nals ajungem cu 135 de portocale. Obinem aadar ecuaia:

100 (1 + p%) (1 + p%) = 135 = 100 (1 + 80%) (1 + (25)%).De aici reiese imediat c:

1 + p% =(1 + 80%) (1 + (25)%) (media geometric din nou)

n nal, p% =1, 35 1 p% = 16, 189...% . Acum se veric foarte frumos c dup o

creere de 16, 189%, ajungem la: 100 (1+16, 189%) = 116, 189, iar dup o nou cretere cu ace-lai procent se atinge pragul de: 116, 189(1+16, 189%) = 116, 1891, 16189 = 134, 99883721 135. Concluzia este doar una: aceea c mediei geometrice i se cuvine titlul de medie a creterilorproporionale.

9

17 (aplicaii n msurare) Adrian vrea s msoare nlimea unui brad poziionndu-se astfelnct n privirea sa razele ce duc spre baza i spre vrful copacului s formeze un unghi de 90.Ochii lui ind la 1, 6 m deasupra solului, iar distana dintre Adrian i copac cunoscnd-o a 7.8m, credei c a reuit eroul nostru s determine nlimea bradului? Dac da, cum? Iar dac nu,de ce?

Bibliograe[1] Tiberiu SPIRCU, Ioan CRCIUNEL, Lucia CHIIU:Matematic - Algebr, Manual pentru clasa

a VII-a, Editura Didactic i Pedagogic, Bucurei, 1992.

[2] Gheorghe TOADER, Silvia TOADER: Greek means and the arithmetic-geometric mean

[3] Sanjiv JAGGIA, Alison KELLY: Business Statistics Communicating with Numbers, McGraw-Hill/Irwin, 2013.

[4] Alan S. TUSSY, R. David GUSTAFSON: Intermediate Algebra 5e, Brooks/Cole, Cengage Learn-ing, 2013.

Alte resurse:

1. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/GeometricMean.shtml

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_mean

10