manual stabilitate redactare i-a vs 2 02.09

UNIVERSITATEA “POLITEHNICA”

TIMIŞOARA

FACULTATEA DE CONSTRUCŢII DEPARTAMENTUL DE CONSTRUCŢII METALICE ŞI

MECANICA CONSTRUCŢIILOR Centrul de Excelenta pentru Mecanica Materialelor şi Siguranţa Structurilor

CEMSIG Ioan Curea 1, 300224 Timişoara, ROMÂNIA

Telefon Departament: ++40.256.403911 CEMSIG: ++40.256.403932

e-mail: [email protected]

Fax ++40.256.403917 ++40.256.403932

http://cemsig.ct.upt.ro

Contract nr. 424/08.12.2009

Verificarea la stabilitate a elementelor din oţel în conformitate cu SR EN 1993-1.1

Recomandări de calcul, comentarii şi exemple de aplicare

Redactarea I-a

Timişoara, august 2010

COLECTIV DE ELABORARE

Şef Proiect Prof. Dr, Ing. Dan DUBINĂ _____________________ Membri: Conf. Dr. Ing. Viorel UNGUREANU _____________________ Conf. Dr. Ing. Raul ZAHARIA _____________________ Asist. Dr. Ing. Adrian DOGARIU _____________________ Drd. Ing. Andrei CRIŞAN _____________________ Drd. Ing. Iulia ŢUCA _____________________ Drd. Ing. Călin NEAGU _____________________

CUPRINS 1. INTRODUCERE 2. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILITĂŢII. ASPECTE GENERALE

2.1 Pierderea stabilităţi prin bifurcarea şi prin limitarea echilibrului

2.1.1 Stări de echilibru

2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului

2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului

2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric

2.3 Instabilitatea barelor încovoiate

2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu pereţi subţiri 3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE

3.1 Calculul încărcării critice de flambaj la prin încovoiere la bare ideale comprimate centric. Determinarea lungimilor de flambaj

3.2 Efectul imperfecţiunilor

3.3 Flambajul prin răsucire. Flambajul prin încovoiere-răsucire

3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a secţiunilor transversale pentru profile cu pereţi subţiri

3.5 Verificarea la flambaj a barelor comprimate centric în conformitate cu SR EN 1993-1-1

3.6 Voalarea elementelor realizate din plăci plane

3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centrică

3.7.1 Bare compuse din ramuri puţin depărtate

3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu zăbrele respectiv cu plăcuţe

Exemplul E.1. Verificarea stabilităţii generale a unui stâlp supus la compresiune uniformă (flambaj)

Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilităţii generale a unui element cu secţiunea de clasa 4 supus la compresiune uniformă

Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stâlp cu blocaje laterale

Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stâlp dintr-un cadru multietajat

Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stâlp in trepte

Exemplul E.6. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii a unui element compus supus la compresiune uniformă

Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C formată la rece, solicitată la compresiune

Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere

Exemplul E.9. Calculul unui stâlp cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune

4. ELEMENTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

4.1. Determinarea momentului critic elastic pentru bare solicitate la încovoiere

4.2 Efectul modului de încărcare şi al condiţiilor de rezemare

4.3 Efectul imperfecţiunilor şi efectul plasticizării

4.4 Verificarea la flambaj lateral prin încovoiere – răsucire a barelor încovoiate în conformitate cu SR EN 1993-1-1

4.4.1. Metoda generală de calcul

4.4.2 Metoda alternativă de calcul pentru profile laminate sau secţiuni sudate echivalente

4.4.3 Metode pentru îmbunătăţirea capacităţii elementului structural încovoiat

4.5 Metoda simplificată pentru grinzi cu legături transversale, făcând parte din structuri

Exemplul E.10. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire

Exemplul E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire a unui element cu legaturi transversale continue

Exemplul E.12. Calculul unei grinzi cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere

5. BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE ŞI ÎNCOVOIERE

5.1 Aspecte generale. Producerea fenomenelor

5.2 Rezistenţa barelor comprimate şi încovoiate la pierderea stabilităţii generale

5.2.1 Bazele teoretice

5.2.2 Flambajul prin încovoiere şi flambajul prin încovoiere-răsucire

5.3 Bare supuse la încovoiere şi compresiune cu secţiune transversală uniformă. Utilizarea factorilor de interacţiune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1

5.4 Metoda generală de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoiere – răsucire a componentelor structurale

Exemplul E.13. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii – interacţiunea M-N

Exemplul E.14. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii a unui cadru portal

Exemplul E.15. Determinarea unei secţiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu secţiune variabila supuse la M-N

Exemplul E.16. Calculul unui stâlp cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere

ANEXA I: Coeficientul de zvelteţe transformat pentru barele cu secţiuni cu o axă de simetrie supusă la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire ANEXA II: Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate

II.1 Baze teoretice II.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate cu metoda Wood II.3 Metoda Merchant - Rankine

ANEXA III: Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor parter ANEXA IV: Lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele ANEXA V: Monogramele pentru coeficienţi C1 şi C2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate ANEXA VI: Clase de secţiuni ANEXA VII: Calculul prin metoda elementului finit (MEF) conform Anexei C din SR EN 1993-1-5

VII.1 Utilizarea imperfecţiunilor VII.2 Proprietăţile materialelor VII.3 Încărcări

ANEXA VIII: Imperfecţiuni

VIII.1 Imperfecţiuni pentru analiza globală a cadrelor VIII.2 Imperfecţiuni pentru calculul sistemului de contravântuiri VIII.3 Imperfecţiunile elementelor

BIBLIOGRAFIE

1. INTRODUCERE Problemele de stabilitate a structurilor metalice sunt nu numai complicate dar şi cu pondere majoră în asigurarea siguranţei structurilor. În SUA se elaborează de către SSRC – Structural Stability Research Council, periodic (la 5 ani), Ghidul pentru verificarea la stabilitate a structurilor metalice, care conţine circa 600 de pagini. În Europa, Convenţia Europeana pentru Construcţii Metalice a editat şi publicat în 2008 un Manual explicativ pentru calculul la stabilitate a structurilor metalice, în conformitate cu EN 1993-1-1 cu exemple, având 250 de pagini. În Marea Britanie, Steel Construction Institute a elaborat o serie întreaga de documente dedicate verificărilor şi calculelor de stabilitate a diferitelor tipuri de elemente structurale. La fel, astfel de materiale au fost elaborate în Franţa, la CTIM şi OTUA, sau în Germania documentaţiile DASt. Pe plan naţional nu există documente cu caracter normativ sau ghiduri de proiectare care să abordeze problema verificărilor de stabilitate în format Eurocode (SR EN 1993-1-1), în condiţiile în care verificările de stabilitate, în format SR EN 1993-1-1, diferă formal de cele cu care proiectanţii români erau obişnuiţi in conformitate cu STAS 10108/0-78. În ultimele decade s-au investit eforturi uriaşe în dezvoltarea Eurocodurilor pentru construcţii, a căror scop este de a dispune de un set de documente care sa formeze o bază comună în Europa pentru proiectarea structurilor realizate din diverse materiale. Versiunea finală a Eurocodurilor se bazează pe cercetări recente şi introduc astfel, formule de calcul noi, care permit o proiectare mai economică. De asemenea, în EN 1993 sunt date metodologii de rezolvare cu ajutorul programelor de calcul structural a unor probleme de stabilitate. Prin urmare, procedurile SR EN 1993 sunt noi nu numai în conţinut, dar şi ca formă, în comparaţie cu procedurile din STAS 10108/0-78. Documentul de faţă este conceput ca un instrument de explicitare şi aplicare a SR EN 1993-1-1. Versiunea finală a SR EN 1993-1-1 are o abordare complexă, uneori confuză a problemelor de stabilitate a structurilor din bare. Pentru elementele care îşi pot pierde stabilitatea prin încovoiere–răsucire, în norma se dau trei metode, din care se alege, de către proiectant, cea care se aplică, existând însă condiţii impuse şi restricţii în aplicarea acestora la anumite cazuri sau clase de probleme. În normă nu se dau indicaţii pentru determinarea momentului încovoietor critic sau a altor formule similare. Nu sunt precizări explicite pentru verificarea la stabilitate generală, a elementelor cu secţiuni de clasa 4, trebuind combinate prevederile din EN 1993-1-1 cu cele din EN 1993-1-3 şi EN 1993-1-5. Nu sunt prevederi explicite pentru stâlpii cu secţiune variabilă, liniară sau în trepte şi cu condiţii de rezemare altele decât cele corespunzătoare cazurilor fundamentale. Toate aceste aspecte (şi nu numai) sunt tratate în cadrul prezentului manual, care prezintă baza normativă (SR EN 1993-1-1, SR EN 1993-1-3, SR EN 1993-1-5) pentru verificarea la stabilitate a elementelor structurale din oţel, cu relaţiile de calcul şi prevederile de proiectare, respectiv comentarii privind aplicarea acestora, însoţite de aplicaţii. Manualul tratează verificarea la stabilitate a barelor din oţel. Manualul nu tratează verificarea la stabilitate a structurilor din plăci plane solicitate la încărcări în plan sau în afara planului şi nici verificarea la stabilitate a plăcilor curbe subţiri. Manualul prezintă si informaţii complementare neconflictuale cu prevederile SR EN 1993. Unele dintre aceste informaţii sunt strict necesare în calcule, altele sunt prezentate datorită caracterului practic. Ca sursă de documentare s-a folosit şi baza Access Steel (www.access-steel.com, 2006). În cuprinsul manualului s-au utilizat coeficienţii de siguranţa stabiliţi prin Anexele Naţionale. În Anexa Naţionala SR EN 1993-1-1:2006/NA:2008 s-a păstrat valoarea recomandată în cadrul EN 1993-1-1, adică valoarea unitară pentru coeficientul parţial de siguranţă γM1 pentru verificarea de stabilitate. În cadrul SR EN 1993-1-3/NB:2008, s-a adoptat coeficientul γM1 =1,10 (faţă de

valoarea unitară recomandată în EN 1993-1-3) datorită fenomenului de interacţiune a modurilor de flambaj local şi general, care caracterizează comportarea profilelor cu pereţi subţiri. În zona de interacţiune, influenţa imperfecţiunilor creşte, producând eroziunea încărcării critice teoretice. Capitol 2 al manualului debutează cu prezentarea unor aspecte generale referitoare la fenomenul de pierdere al stabilităţii. Se prezintă noţiunea de încărcare critică de flambaj şi problema de bifurcare a echilibrului, după care se prezintă metoda divergenţei echilibrului cu considerarea imperfecţiunilor structurale şi a celor geometrice. În acest capitol se prezintă flambajul prin încovoiere, prin răsucire şi prin încovoiere – răsucire a barelor comprimate centric, respectiv pierderea stabilităţii barelor încovoiate. Tot în acest capitol se prezintă problemele specifice de stabilitate pentru profile cu pereţi subţiri. Capitolul 3 este destinat fenomenului de pierdere a stabilităţii elementelor comprimate centric. Capitolul debutează cu calculul încărcării critice de flambaj prin încovoiere la bare ideale comprimate centric, însoţit de determinarea lungimilor de flambaj pentru cazurile elementare de rezemare. Sunt date în continuare formulele de calcul pentru încărcarea critică de flambaj prin răsucire şi pentru încărcarea critică de flambaj prin încovoiere-răsucire. Ca informaţie complementară neconflictuală cu prevederile SR EN1993-1-1, în relaţie cu acest capitol, Anexa I prezintă calculul coeficientului de zvelteţe transformat pentru barele cu secţiuni cu o axă de simetrie supusă la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire. Tot in cadrul acestui capitol se prezintă modul de determinare a caracteristicilor eficace a secţiunilor transversale pentru profile cu pereţi subţiri, pentru a ţine cont de efectul voalării pereţilor secţiunii transversale (flambajul local). Capitolul prezintă în continuare efectul imperfecţiunilor şi procedura de verificare la flambaj a barelor comprimate centric în conformitate cu SR EN 1993-1-1. Pentru cazul general al unui element într-o structură, pentru stabilirea încărcării critice şi implicit a lungimii de flambaj, în Anexa II se prezintă o metodologie de determinare a lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor în cadre multietajate (metoda Wood), iar în Anexa III se prezintă tabele pentru determinarea lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor parter cu secţiune constantă sau în trepte. De asemenea, în Anexa II, se prezintă o metodă de determinare a încărcării ultime de cedare (Metoda Merchant-Rankine) pentru structuri multietajate cu noduri rigide. Deşi aceste metodologii de verificare nu apar în norma SR EN 1993-1-1, s-a considerat utilă prezentarea acestora, ca informaţie complementara neconflictuală, necesară în calculul de verificare la stabilitate, sau având în vedere caracterul practic al acestora (Metoda Merchant-Rankine). Capitolul tratează în final particularităţile verificării la flambaj a barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centrică (cazul barelor comprimate compuse ale căror ramuri sunt în contact sau sunt puţin depărtate şi legate cu fururi), respectiv a barelor comprimate solidarizate cu zăbrele respectiv cu plăcuţe. Exemplele de calcul aferente acestui capitol conţin verificarea stabilităţii generale a barelor supuse la compresiune uniformă, inclusiv a celor cu secţiunea de clasa 4 (cu determinarea caracteristicilor eficace) şi a barelor cu secţiune compusă solidarizată cu plăcuţe, influenţa blocajelor laterale, determinarea lungimii de flambaj a stâlpilor dintr-un cadru multietajat, respectiv determinarea lungimii de flambaj a stâlpilor cu secţiune variabilă în trepte. Capitol 4 este destinat fenomenului de pierdere a stabilităţii elementelor încovoiate. Se prezintă instabilitatea în domeniul elastic, urmată de instabilitatea în domeniul inelastic, cu determinarea momentului critic elastic pentru elemente solicitate la încovoiere. Se studiază efectele modului

de încărcare şi a condiţiilor de rezemare la capetele barei asupra momentului critic elastic, precum şi efectul imperfecţiunilor şi efectul plasticizării. Se prezintă metodele de verificare la flambaj prin încovoiere – răsucire, conform SR EN 1993-1-1, atât Metoda generală de calcul, cât şi Metoda alternativă de calcul pentru profile laminate sau secţiuni sudate echivalente. Se prezintă şi metoda simplificată pentru grinzi cu legături transversale, făcând parte din structuri. Ca informaţie complementară neconflictuală cu prevederile SR EN 1993-1-1, în relaţie cu acest capitol, Anexa V prezintă o procedură de calcul pentru coeficienţi C1 şi C2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate. Exemplele de calcul aferente acestui capitol conţin determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire a barelor încovoiate pentru cazul barei simplu rezemate nefixate lateral (se prezintă de asemenea, determinarea momentului critic pentru diverse situaţii de încărcare, rezemare, respectiv fixare laterala), respectiv a unei pane de acoperiş solicitată alternant (se verifică condiţiile în care tabla asigură fixarea tălpii superioare şi se consideră de asemenea ipoteza utilizării unor tiranţi de fixare laterală). Exemplele de calcul prezintă de asemenea verificarea barelor cu secţiuni de clasa 4. Capitolul 5 prezintă stabilitatea elementelor solicitate la încovoiere cu compresiune axială. La început se tratează aspecte legate de producerea fenomenului, respectiv bazele metodelor de calcul aplicate în practică. În continuare se prezintă metodele de verificare a elementelor conform SR EN 1993-1-1: (1) Bare supuse la încovoiere şi compresiune cu secţiune transversală uniformă. Utilizarea factorilor de interacţiune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1; (2) Metoda generală de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoiere – răsucire: aplicare la componentele structurale şi la cadre parter. Exemplele de calcul aferente acestui capitol conţin determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii a barelor cu secţiune constantă, a barelor cu secţiune variabilă (3 tălpi) şi a barelor cu secţiune compusă solidarizate cu plăcuţe. De asemenea, se prezintă determinarea secţiunii echivalente pentru verificarea barelor cu secţiune variabilă supuse la interacţiunea M-N, precum şi verificarea barelor cu secţiuni de clasa 4. Manualul se adresează firmelor de proiectare, experţilor, verificatorilor, precum şi unităţilor de învăţământ de profil.

2. FENOMENUL DE PIERDERE AL STABILITĂŢII. ASPECTE GENERALE 2.1 Pierderea stabilităţi prin bifurcarea şi prin limitarea echilibrului 2.1.1 Stări de echilibru Teoria clasică a stabilităţii stabileşte condiţiile în care un sistem structural, sau un element structural aflat iniţial în stare de echilibru, încetează a mai fi stabil. În termeni generali, stabilitatea unui sistem fizic poate fi definită ca abilitatea sistemului respectiv de a se întoarce în starea de echilibru iniţială, după ce a fost uşor perturbat. Pentru un sistem mecanic (fenomenul de pierdere a stabilităţii elementelor de rezistenţă utilizate în construcţii poate fi descris utilizând noţiunile de mecanică clasică) poate fi adoptată definiţia dată de Dirichlet: “Echilibrul unui sistem mecanic este stabil, dacă prin deplasarea punctelor sistemului din poziţia de echilibru cu o cantitate infinitezimală şi dând fiecărui punct o viteză iniţială, deplasările diferitelor puncte ale sistemului rămân, în timpul mişcării, conţinute între anumite limite”. În spiritul definiţiei date de Dirichlet, dacă se consideră un sistem elastic conservativ aflat iniţial în stare de echilibru sub acţiunea unui set de forţe, sistemul va părăsi starea de echilibru doar dacă va fi acţionat de o forţă exterioară sistemului iniţial în echilibru (în conformitate cu prima lege a Mecanicii Clasice aşa cum a fost enunţată de Newton – Legea inerţiei). Considerând energia totală, E, introdusă în sistem de către forţa perturbatoare, se poate scrie următoarea ecuaţie de echilibru, în virtutea legii de conservare a energiei:

E = Ec + Ep = constant (2.1) în care Ec este energia cinetică a sistemului, respectiv Ep este energia potenţială a acestuia. O creştere a energiei cinetice este însoţită de o scădere a energiei potenţiale şi invers, în conformitate cu legea conservării energiei. Dacă sistemul este iniţial într-o configuraţie de echilibru cu energie potenţială minimă, atunci energia potenţială din ecuaţia de conservare a energiei creşte şi în aceste condiţii energia cinetică datorată mişcării sistemului, trebuie să scadă. Astfel, deplasarea din starea iniţială de echilibru în urma perturbării sistemului cu o forţă exterioară va rămâne mică şi starea de echilibru este una stabilă. Acest fenomen poate fi foarte bine ilustrat pe modelul mecanic binecunoscut din Figura 2.1, cu ajutorul unui corp rigid sferic pe o suprafaţă curbă. Dacă în starea iniţială de echilibru sfera se află pe o suprafaţă concavă (a se vedea Figura 2.1a), atunci echilibrul este stabil; dacă sfera este scoasă din poziţia iniţială cu energie potenţială minimă, aceasta va începe să oscileze şi, în cele din urmă, va reveni la poziţia de echilibru. Dacă sfera se afla pe o suprafaţă convexă, într-o poziţie de energie potenţială maximă (a se vedea Figura 2.1c), atunci o perturbare a poziţiei iniţiale conduce la creşterea energiei cinetice, respectiv la scăderea energiei potenţiale şi sfera se va îndepărta cu viteză tot mai mare de poziţia iniţială de echilibru. În acesta situaţie se spune că echilibrul este instabil. Starea de echilibru indiferent este ilustrată de modelul mecanic prin sfera pe un plan orizontal (a se vedea Figura 2.1b), în care pentru orice vecinătate a poziţiei iniţiale de echilibru, energia potenţială este aceeaşi. Se poate face mai departe o analogie între comportamentul modelului mecanic cu corp rigid şi comportamentul unui element structural (bara comprimată) pentru definirea stărilor de echilibru ale acestuia. Se presupune bara ideală comprimată (perfect dreaptă, fără imperfecţiuni, cu un

comportament de material perfect elastic) din Figura 2.1a, aflată iniţial în stare nedeformată, solicitată la o forţă axială de compresiune N.

a) echilibru stabil b) echilibru indiferent c) echilibru instabil

Fig. 2.1: Analogia între comportamentul modelului mecanic cu corp rigid şi comportamentul unui element structural pentru definirea stărilor de echilibru

Dacă se perturbă poziţia de echilibru a acesteia, spre exemplu cu o forţă concentrată de intensitate redusă aplicată orizontal la mijlocul înălţimii, bara va suferi o încovoiere. Poziţia de echilibru stabil, prin analogie cu modelul mecanic, presupune ca după anularea forţei perturbatoare, bara revine în poziţia dreaptă sub acţiunea forţei N. Dacă se măreşte treptat forţa N, se constată că bara revine din ce în ce mai greu la poziţia iniţială nedeformată după anularea forţei perturbatoare. Pentru o anumită valoare a forţei de compresiune N = Ncr, bara nu mai revine în poziţia iniţială după anularea forţei perturbatoare şi va rămâne în poziţia deformată sub acţiunea forţei Ncr. Aceasta este situaţia de echilibru indiferent pentru bara comprimată, în care, la limită, pot exista sub acţiunea forţei de compresiune Ncr, două configuraţii de echilibru a barei: poziţia iniţială dreaptă, în absenţa forţei perturbatoare, sau poziţia deformată, după acţiunea forţei perturbatoare cu intensitate redusă. Dacă forţa de compresiune este mai mare decât valoarea Ncr, bara se deformează accentuat la cea mai mică forţă perturbatoare. Depăşirea lui Ncr conduce la pierderea stabilităţii echilibrului (cedarea elementului prin pierdere de stabilitate, sau cedarea elementului prin flambaj). Situaţia N > Ncr corespunde situaţiei de echilibru instabil. 2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului Exemplele intuitive prezentate mai sus arată că stabilitatea unui sistem este legată de energia potenţială a acestuia. Cu toate acestea, stabilitatea unui sistem elastic (a unui element structural sau a unei structuri) poate fi exprimată şi prin conceptul de rigiditate al sistemului. Cu referire la Figura 2.1a, în cazul modelului mecanic, derivata energiei potenţiale în raport cu deplasarea este rigiditatea sistemului dată de panta suprafeţei.

În cazul barei comprimate, rigiditatea sistemului este dată de rigiditatea la încovoiere a acesteia, care depinde de secţiunea transversală, lungimea barei, modulul de elasticitate al materialului din care este alcătuită şi nu în ultimul rând de condiţiile de rezemare. Toate aceste caracteristici reprezintă, în calculul structurilor pentru construcţii, parametrii care condiţionează fenomenul de instabilitate. În consecinţă, o rigiditate pozitivă a sistemului implică o stare stabilă de echilibru, în timp ce în situaţia de echilibru indiferent rigiditatea devine nulă. Pentru o structură de rezistenţă, rigiditatea este dată sub forma matriceală (matrice de rigiditate a structurii), care dacă este pozitiv definită garantează starea de echilibru stabil a structurii. Punctul în care starea unui element sau sistem structural elastic trece din starea de echilibru stabil în cea de echilibru indiferent defineşte “starea limită de stabilitate” a elementului sau a structurii. Comportamentul barei ideale comprimate din Figura 2.1 poate fi definită prin caracteristica forţă de compresiune – săgeată la mijlocul barei deformate, aşa cum se arată în graficul din Figura 2.2 (ESDEP, 1994). Punctul critic din acest grafic, corespunzător atingerii forţei Ncr, după care, pentru o forţa perturbatoare foarte mică deplasările sistemului devin mari şi se produce flambajul barei, se numeşte “punct de bifurcare”. Acest tip de pierdere a stabilităţii echilibrului unui element structural (sau a unei structuri), în care în punctul de bifurcare sunt posibile două forme de echilibru, aşa cum se arată şi în Figura 2.2, una descrisă de caracteristica forţa-deplasare primară de echilibru (echilibru instabil în configuraţia nedeformată), respectiv de caracteristica secundară de echilibru, în configuraţia deformată (curba post-critică), se numeşte pierdere de stabilitate prin bifurcarea echilibrului, sau flambaj prin bifurcare.

Fig. 2.2: Stabilitatea barei comprimate drepte fără imperfecţiuni – flambaj

prin bifurcarea echilibrului (ESDEP, 1994) Dacă bara nu este iniţial dreaptă (există imperfecţiuni, definite printr-o curbură iniţială a barei) săgeata creşte odată cu încărcarea N şi nu se mai produce o pierdere de stabilitate bruscă prin bifurcarea echilibrului; în acest caz există o creştere continuă accentuată a deplasărilor, aşa cum se arată în Figura 2.3 (ESDEP, 1994). Acest fenomen este numit “divergenţă a echilibrului” şi nu mai există, în acest caz, o limită strictă de stabilitate. Dacă materialul rămâne elastic, aşa cum s-a

presupus iniţial, rigiditatea barei comprimate (dată aici de panta caracteristicii forţă - deplasare) este întotdeauna pozitivă, dar o creştere mică de forţă axială implică un spor important de deplasare.

(a) Bara comprimata cu imperfecţiuni (b) caracteristica forţă axială - deplasare Fig. 2.3: Stabilitatea barei comprimate drepte cu imperfecţiuni iniţiale (ESDEP, 1994)

Reducerea rigidităţii unui element structural se datorează în general schimbării în geometria acestuia, sau a proprietăţilor mecanice. Reducerea rigidităţii datorită doar modificării geometriei elementului în cazul elementelor ideale, cu un comportament de material perfect elastic, nu cauzează întotdeauna pierderea de stabilitate, dar conduce la deplasări mari. Pe de altă parte, reduceri substanţiale de rigiditate ale elementului pot fi rezultatul schimbării proprietăţilor mecanice, care conduc la cedarea elementului. Acest aspect important va fi discutat în secţiunea 3.2. Este de menţionat aici, totuşi, faptul că modelul fizic cel mai apropiat de realitatea fenomenului de instabilitate este cel al divergenţei echilibrului, aşa cum a fost definit de către Dutheil (1966), care stă la baza calculului de stabilitate al elementelor structurale din oţel, în conformitate cu normele de calcul europene. Acest model se aplică la bara reală, afectată de imperfecţiuni, care pot fi asimilate cu o curbură iniţială (a se vedea Figura 2.2a). Dacă în acest model se ţine cont şi de plasticizarea materialului, odată cu creşterea încărcării, gradul de plasticizare a celei mai solicitate secţiuni transversale (secţiunea de la mijlocul barei, pentru modelul de bară dublu-articulată la capete cu curbură iniţială, solicitată la compresiune cu încovoiere), micşorează la un moment dat gradientul de creştere al momentului încovoietor, obţinut prin reducerea forţelor interioare. Astfel, creşterea efortului moment încovoietor ajunge în “divergenţă” cu creşterea momentului exterior (dat de forţa de compresiune prin săgeata barei) şi echilibrul devine instabil, producându-se astfel cedarea barei (Mateescu ş.a., 1980). Aşa cum s-a menţionat anterior, aspectele legate de plasticizare vor fi reluate în secţiunea 3.2. În continuare, în această secţiune, se vor prezenta doar aspectele legate de cedarea prin flambaj a elementelor care prezintă un comportament al materialului perfect elastic. După punctul de bifurcare, aşa cum a fost definit în Figura 2.2, pentru caracteristica de comportament forţă – deplasare post-critică pot să apară trei situaţii, funcţie de tipul sistemului structural. Figura 2.4 prezintă curbele de echilibru ale sistemului perfect, respectiv a sistemului cu imperfecţiuni (imperfect) pentru cele trei situaţii menţionate. În această figură, N este încărcarea aplicată, este o deplasare a unui punct din structură şi este amplitudinea imperfecţiunii.

Figura 2.4a (ESDEP, 1994) prezintă situaţia flambajului prin bifurcare simetrică stabilă. În această situaţie, comportamentul post-critic nu este afectat de semnul imperfecţiunilor (spre exemplu, la bara comprimată cu imperfecţiuni din Figura 2.3, nu contează sensul curburii iniţiale în comportamentul post-critic). Imperfecţiunile pozitive sau negative au efect similar şi conduc la o curbă post-critică stabilă, în care creşterea deplasărilor se face odată cu creşterea încărcărilor. Acest tip de comportament apare spre exemplu la bara dreaptă comprimată (a se vedea Figura 2.2), la plăci plane, sau la structuri, cum este cazul cadrului dublu-articulat din Figura 2.5 (ESDEP, 1994). Figura 2.4b (ESDEP, 1994) prezintă situaţia flambajului prin bifurcare simetrică instabilă. În aceasta situaţie, imperfecţiunile joacă un rol important în modificarea comportării sistemului structural, acestea introducând o încărcare de cedare mai mică decât încărcarea critică. Acest tip de comportament apare spre exemplu la cilindrul circular comprimat sau la arcul dublu-articulat încărcat radial, aşa cum se arată în Figura 2.6 (ESDEP, 1994).

a) Bifurcare simetrică stabilă

b) Bifurcare simetrică instabilă

c) Bifurcare nesimetrică

Fig. 2.4: Comportamentul post-critic (ESDEP, 1994)

Figura 2.4c (ESDEP, 1994) prezintă situaţia flambajului prin bifurcare nesimetrică. În această situaţie, comportamentul post-critic depinde de sensul imperfecţiunilor. Pentru valori mici ale imperfecţiunilor negative, spre exemplu, aşa cum se arată în Figura 2.4c, curba post-critică este stabilă. Pentru valori mici ale imperfecţiunilor pozitive, sistemul îşi poate pierde stabilitatea la o încărcare limită (încărcare ultimă Nu) mult redusă faţă de încărcarea critică Ncr. Un exemplu tipic de structură cu acest tip de comportament este prezentat în Figura 2.7 (ESDEP, 1994) (bara cotită, pentru care imperfecţiunea pozitivă sau negativă este dată de punctul de aplicare al forţei concentrate, spre exteriorul cadrului în cazul comportării post-critice stabile, respectiv spre interiorul cadrului în cazul comportării post-critice instabile).

Fig. 2.5: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetrică stabilă (ESDEP, 1994)

Fig. 2.6: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetrică instabilă (ESDEP, 1994)

Fig. 2.7: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetrică instabilă (ESDEP, 1994)

În concluzie, flambajul prin bifurcarea echilibrului apare în general la structuri ideale, fără imperfecţiuni, sau la structuri pentru care deformaţia primară a componentei pre-critice nu cuprinde deformaţia de instabilitate. În cazul în care deformata primară pre-critică cuprinde deformata de instabilitate, pierderea de stabilitate se produce, la fel ca în exemplul din Figura 2.7 pentru imperfecţiuni pozitive, prin limitarea echilibrului şi încărcarea limită în această situaţie se numeşte încărcare ultimă Nu. Nu toate structurile ideale, fără imperfecţiuni, îşi pierd stabilitatea prin bifurcare; pot să apară situaţii în care o structură fără imperfecţiuni îşi pierde stabilitatea prin limitarea echilibrului, aşa cum se arată în continuare. 2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului Aşa cum s-a menţionat în 2.1.2, flambajul prin bifurcarea echilibrului nu este singura formă de instabilitate care poate să apară. Pentru anumite structuri elastice, pentru care deformata pre-critică cuprinde deformata de instabilitate, flambajul prin limitarea echilibrului apare atunci când caracteristica încărcare-deplasare iniţială stabilă devine instabilă la atingerea unui maxim local al încărcării (încărcarea ultimă Nu), denumită punct limită al sistemului structural, aşa cum se arată în Figura 2.8 (ESDEP, 1994). În aceeaşi figură, se arată că pentru astfel de sisteme structurale, răspunsul aceluiaşi sistem cu imperfecţiuni este similar cu cel al sistemului perfect, diferenţa constând în valoarea încărcării ultime a sistemului cu imperfecţiuni, care poate fi superioară sau inferioară încărcării ultime a sistemului perfect, funcţie de sensul imperfecţiunilor. Tipic pentru acest mod de pierdere al stabilităţii este că după atingerea încărcării ultime deplasările cresc fără creşterea suplimentară a încărcărilor.

Fig. 2.8: Flambaj prin limitarea echilibrului pentru un sistem fără imperfecţiuni geometrice,

respectiv pentru un sistem cu imperfecţiuni (imperfect) (ESDEP, 1994) Există structuri cu o configuraţie similară care îşi pot pierde stabilitatea în cele două moduri diferite. Acesta este, spre exemplu, cazul arcului pleoştit ideal, fără imperfecţiuni, care în cazul rezemării articulate îşi poate pierde stabilitatea prin bifurcare (deformata primului mod de flambaj nesimetrică, corespunzătoare încărcării critice minime, aşa cum se arată în Figura 2.6), în acest caz deformata primară fiind diferită de deformata post-critică, respectiv care în cazul rezemării încastrate îşi pierde stabilitatea prin limitarea echilibrului (deformata simetrică după atingerea încărcării ultime), în acest caz deformata primară fiind aceeaşi cu deformata de după atingerea încărcării ultime.

2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric Flambajul barelor zvelte comprimate centric se produce, în general, prin încovoiere în jurul axei principale minime de inerţie a secţiunii transversale, sub forţa de compresiune critică, Ncr, aşa cum se arata în Figura 2.9a. În cazul barelor cu secţiune transversală deschisă, dublu-simetrică (centrul de tăiere coincide cu centrul de greutate), sau chiar cu secţiune mono-simetrică (T, corniere cu aripi egale), la care rigidităţile la încovoiere în raport cu axele principale sunt apropiate ca valoare, poate să apară flambajul prin răsucire sau torsiune, sub forţa de compresiune critică, Ncr,T. Flambajul prin răsucire se produce prin rotirea secţiunii transversale în jurul axei longitudinale, aşa cum se arată în Figura 2.9b (daSilva ş.a., 2010). Flambajul prin încovoiere–răsucire, sub forţa critică de compresiune, Ncr,TF, apare la barele cu secţiune transversală deschisă mono-simetrică sau cu secţiune oarecare, la care centrul de tăiere nu coincide cu centrul de greutate şi pentru care rigiditatea la încovoiere în raport cu axa de simetrie are valori apropiate de rigiditatea la încovoiere în raport cu axa perpendiculară cu axa de simetrie. Flambajul prin încovoiere – răsucire se produce prin rotirea secţiunii transversale în jurul axei longitudinale, concomitent cu încovoierea elementului în lungul axei, aşa cum se arată în Figura 2.9c (daSilva ş.a., 2010). Pierderea de stabilitate prin încovoiere – răsucire este caracteristica elementelor comprimate cu secţiune transversală deschisă, cum ar fi spre exemplu corniere, profile U, sau secţiuni în T, pentru care rigiditatea la torsiune este redusă. Evident, există întotdeauna posibilitatea pierderii stabilităţii prin încovoiere în raport cu axa de inerţie principală minimă şi o astfel de verificare trebuie efectuată. Pentru barele comprimate cu secţiune I sau H, modul critic de pierdere a stabilităţii este, în mod normal, flambajul prin încovoiere. Totuşi, în prezenţa imperfecţiunilor, inerente, şi aceste bare îşi pot pierde stabilitatea prin răsucire, prin urmare o verificare din acest punct de vedere este necesară. Doar barele comprimate cu secţiuni tubulare, circulare sau rectangulare, pot fi considerate la adăpost de pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire.

a) Încovoiere b) Răsucire c) Încovoiere-răsucire

Fig. 2.9: Flambaj prin încovoiere, răsucire şi încovoiere – răsucire pentru bare comprimate centric (daSilva ş.a., 2010)

2.3 Instabilitatea barelor încovoiate Dimensionarea barelor sub acţiunea momentului încovoietor conduce la secţiuni cu rigiditate la încovoiere mare în planul de acţiune al momentului încovoietor şi mult mai redusă în plan

perpendicular. Flambajul lateral prin încovoiere – răsucire este caracterizat printr-o translaţie a zonei comprimate a secţiunii transversale (talpa comprimată, spre exemplu, în cazul profilelor I sau H), perpendicular pe planul de simetrie al secţiunii care conţine axa principală minimă de inerţie, concomitent cu o răsucire a secţiunii elementului în jurul axei longitudinale. Această parte a secţiunii transversale se comportă ca un element comprimat, care îşi pierde stabilitatea prin încovoiere, dar are deplasarea împiedicată de zona întinsă din secţiune, care nu are iniţial tendinţa de a se deplasa lateral. Aşa cum se arată în Figura 2.10, în care flambajul lateral prin încovoiere - răsucire este ilustrat pentru o grindă în consolă, deformarea rezultantă a secţiunii transversale include atât încovoierea laterală (după axa minimă de inerţie a profilului) cât şi torsiunea, de unde şi denumirea fenomenului.

Fig. 2.10: Flambajul lateral prin încovoiere - răsucire pentru elemente încovoiate

2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu pereţi subţiri Utilizarea profilelor cu grosimi reduse şi a oţelurilor cu rezistenţe ridicate implică rezolvarea unor probleme de proiectare deosebite, care nu sunt întâlnite în proiectarea structurilor din oţel clasice. Instabilitatea structurală se produce mai repede, ca rezultat al voalării pereţilor secţiunii transversale, care interacţionează cu flambajul global al elementului. Utilizarea oţelurilor cu rezistenţe ridicate poate face însă ca tensiunea critică corespunzătoare voalării pereţilor secţiunii transversale să fie aproximativ egală cu limita de curgere. În analiza comportării barelor cu pereţi subţiri trebuie să se ţină cont de cele trei moduri specifice de pierdere a stabilităţii care apar, după cum se prezintă în Figura 2.11: 1. Modurile de instabilitate locale, care se produc prin voalarea unuia sau mai multor pereţi

componenţi ai profilului. În acest caz nodurile care descriu secţiunea transversală îşi păstrează poziţia iniţială şi, are loc deformarea pereţilor între aceste noduri.

2. Modurile de instabilitate distorsionale, sunt moduri de instabilitate care se produc atunci când rebordurile secţiunii transversale nu au suficientă rigiditate şi, astfel, are loc o rotire a ansamblului talpă-rebord în jurul inimii, deci nodurile care descriu secţiunea transversală nu îşi mai păstrează poziţia iniţială ca în cazul voalării.

3. Moduri globale de instabilitate, care au loc prin flambajul barei prin încovoiere, prin încovoiere-răsucire (în cazul elementelor comprimate) sau prin încovoiere laterală cu încovoiere-răsucire (denumit în literatura de specialitate şi „lateral-torsional buckling” sau „deversement”, caracteristic barelor solicitate la încovoiere pură).

Modurile locale şi distorsionale de instabilitate apar cu precădere în cazul zvelteţilor de bară reduse, şi sunt caracterizate de lungimi de semiundă diferite. Flambajul local şi cel distorsional

pot fi considerate ca fiind moduri de flambaj secţional şi pot interacţiona atât între ele cât şi cu moduri globale de flambaj (Dubina, 1996). Din punct de vedere al analizei de stabilitate, o bară cu pereţi subţiri se caracterizează prin:

- zvelteţea redusă de bară ;

- zvelteţea redusă de perete ( p ); - forţa critică elastică (Ncr) sau momentul critic elastic (Mcr) pentru flambajul de bară,

instabilitatea globală; - forţa critică (NL) pentru voalarea pereţilor (instabilitatea locală).

Funcţie de valorile zvelteţilor reduse şi ( p ), respectiv de valoarea raportului (Ncr/NL), se disting trei categorii de bare:

- bare scurte, care sunt caracterizate de instabilitatea locală sau distorsională; - bare lungi, care sunt caracterizate de instabilitatea globală; - bare de lungime medie, la care apar şi interacţionează ambele moduri de instabilitate.

În Figura 2.10 se prezintă câteva moduri de flambaj simple şi cuplate pentru o secţiune C solicitată la compresiune. Rezultatele au fost obţinute printr-o analiză de stabilitate cu element finit.

(a) (b) (c) (d) (e)

(f) (g) (h) (i) (j) (k) Fig. 2.11: Moduri de flambaj pentru un profil C format la rece comprimat

Moduri simple: (a) local (L); (b) distorsional (D); (c) încovoiere (F); (d) torsional (T); (e) încovoiere-răsucire (FT). Moduri cuplate (interacţiune): (f) L + D; (g) F + L; (h) F + D; (i) FT + L; (j) FT + D; (k) F + FT.

Pentru o secţiune dată se pot obţine diferite moduri de pierdere a stabilităţii funcţie de lungimea de flambaj, aşa cum se arată în Figura 2.12 (Hancock, 1998). Figura 2.12 s-a obţinut în urma unei analize cu un program bazat pe metoda fâşiilor finite şi descrie modificarea forţei critice de flambaj funcţie de lungimea de semiundă. Primul minim (punctul A) apare pe curbă la o lungime de semiundă de 65mm şi reprezintă flambajul local. Flambajul local se produce prin deformarea inimii elementului, fără rotirea ansamblului talpă-rigidizarea în jurul punctului de legătura dintre inimă şi talpă. Al doilea minim pe curbă apare în punctul B, la o lungime de semiundă de 280mm. Acesta este modul de flambaj prin distorsiune, şi se produce prin rotirea ansamblului talpă-rigidizarea faţă de inima profilului, fără o deplasare de ansamblu a secţiunii transversale. Efortul corespunzător flambajului distorsional (în punctul B) este uşor mai mare decât efortul corespunzător flambajului local (în punctul A) şi în cazul unui profil lung solicitat la compresiune, împiedicat să flambeze global, este de aşteptat ca acesta să îşi piardă stabilitatea prin flambaj local, mai repede decât printr-un flambaj distorsional. Elementul îşi pierde stabilitatea generală prin încovoiere sau încovoiere-răsucire la lungimi de semiundă mari (punctele C, D şi E). În acest caz particular, pentru secţiunea considerată în Figura 2.12, pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire apare până la lungimi de semiundă de aproximativ 1800mm. La lungimi de semiundă mai mari se produce flambajul prin încovoiere. Linia punctată din Figura 2.12, adăugată figurii originale a lui Hancock (1998), reprezintă curba modurilor cuplate de flambaj. Efectul interacţiunii dintre modurile de flambaj secţionale şi globale constă în creşterea sensibilităţii elementului la imperfecţiuni, conducând la eroziunea încărcării critice de flambaj (zonele haşurate în Figura 2.12). De fapt, în realitate, datorită prezenţei imperfecţiunilor, interacţiunea modurilor de flambaj apare întotdeauna în cazul profilelor formate la rece cu pereţi subţiri, în special în cazul barelor cu lungimi medii şi lungi.

Incovoiere-rasucire

AB

Rez

iste

nta

la f

lam

baj (

Mpa

)

800

700

600

500

400

300

200

100

010 100 1000 10000

Lungime de semi-unda (mm)

VoalareDistorsiune

Flambaj prinincovoiere-

rasucire

Toate modurile (interactiune)

65mm 280mm

C

D E

Fig. 2.12: Moduri de flambaj funcţie de lungimea de semiundă pentru un profil C

solicitat la compresiune (Hancock, 1998) Figura 2.13 arată diferenţa de comportament dintre o bară cu pereţi groşi şi o bară de aceeaşi lungime cu pereţi subţiri. Atât cazul barei ideale cât şi cazul barei cu imperfecţiuni sunt prezentate. Pentru prima situaţie (bara cu pereţi groşi), se poate observa că în punctul B, când fibrele marginale încep să se plasticizeze, bara începe să îşi piardă rigiditatea până la atingerea stării limită ultime, Nu, în punctul C, după care tinde asimptotic spre curba teoretică de comportament rigid-plastic. Teoria elastică este capabilă să determine deplasările şi tensiunile

până în punctul în care se atinge limita de curgere. Poziţia curbei rigid-plastice determină limita absolută a capacităţii portante. În cazul în care bara este cu pereţi subţiri, fenomenul de instabilitate prin voalare locală a pereţilor apare înaintea începutului plastificării secţiunii, în punctul L. Prin voalarea pereţilor apare o pierdere prematură de rigiditate a barei, însă nu se produce cedarea acesteia. Plastificarea începe în punctul B, la colţurile secţiunii transversale, cu puţin înainte de cedarea elementului, când flambajul secţional se transformă într-un mecanism plastic local, simultan cu apariţia flambajului general (Dubina, 2000). În acest caz, încărcarea ultimă a barei este mai mică decât cea a unei bare la care nu apare voalarea. De fapt, flambajul secţional apare înaintea flambajului general, iar în practica proiectării se operează cu caracteristici geometrice reduse ale secţiunii transversale.

f0

f

N

N

N

Npl Ncr Nu

f0

Initiatiere plastificare

B

C D

Elasto-plastic

Rigid-plastic

Ideal elastic

Elastic cu imperfectiuni

f

N

Npl Ncr Nu NL

f0

Aparitie voalare

L

C D

Elasto-plastic

Rigid-plastic

Ideal elastic

Elastic cu imperfectiuni

f

Initiatiere plastificare

B

Fig. 2.13: Comportarea unui profil comprimat cu (a) secţiune obişnuită şi (b) pereţi subţiri

3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE 3.1 Calculul încărcării critice de flambaj la prin încovoiere la bare ideale comprimate centric. Determinarea lungimilor de flambaj Aşa cum s-a arătat în 2.1, încărcarea critică elastică de flambaj prin încovoiere, Ncr (încărcarea critică Euler), se defineşte ca fiind valoarea forţei de compresiune pentru care, o bară ideală, încărcat exclusiv cu forţa axială, poate să prezinte şi deplasări laterale. Flambajul prin încovoiere a unei bare ideale comprimate centric este ilustrat în Figura 3.1 (daSilva ş.a., 2010). Încărcarea critică corespunde punctului de bifurcare a echilibrului. Pentru calculul încărcării critice elastice a barei comprimate rezemata articulat la ambele capete, cu secţiune transversală constantă pe toata lungimea elementului, se consideră următoarele ipoteze:

- materialul are un comportament liniar elastic; - nu există imperfecţiuni geometrice şi nici tensiuni reziduale; - încărcarea se aplică perfect centric; - este valabilă teoria micilor deplasări.

Fig. 3.1: Flambajul prin încovoiere al barei ideale (Euler) (daSilva ş.a., 2010)

Până în momentul atingerii încărcării critice elastice de pierdere a stabilităţii, bara se deformează doar axial. După pierderea stabilităţii, bara este încovoiată şi apar deplasări laterale. Condiţia de echilibru static în poziţia deformată, luând în considerare şi momentul încovoietor produs de forţa axială (după axa z) prin deplasările laterale, este dată de următoarea ecuaţie:

02

2

Nydx

ydEI (3.1)

în care E este modulul de elasticitate al materialului şi I este momentul de inerţie al secţiunii transversale după axa perpendiculară pe planul încovoierii (după axa z). Ecuaţia diferenţială are soluţia:

kxCkxCy cossin 21 (3.2)

în care: 2 /k N EI .

Impunând condiţiile de margine (deplasările laterale sunt nule pe reazeme), rezultă: pentru y(x = 0) = 0 C2 = 0; pentru y(x = L) = 0 C1 sin (k L) = 0;

soluţia C1 = 0, care nu interesează, deoarece înseamnă că bara nu se deformează, sau rămâne rezolvarea ecuaţiei sin (k L) = 0:

soluţia k = 0 nu interesează, deoarece înseamnă că P = 0 şi deci nu ar exista forţa de compresiune, soluţia ecuaţiei este, în aceste condiţii kL = nπ.

Încărcarea critică de pierdere a stabilităţii se obţine în consecinţă din:

EI

N

L

nknkL

2

222 (3.3)

Încărcarea critică minimă, corespunzătoare configuraţiei deformate din Figura 3.1 este dată de formula:

2

2

L

EINcr

(3.4)

În concluzie, pentru o bară ideală, încărcarea critică elastică de pierdere a stabilităţii depinde de rigiditatea la încovoiere, de lungimea acesteia şi de condiţiile de rezemare. Pentru alte condiţii de rezemare, ca alternativă la rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, încărcarea critică poate fi obţinută direct, înlocuind în formulă lungimea reală L cu lungimea de flambaj Lcr. Lungimea de flambaj Lcr a unui element este definită ca lungimea barei echivalente dublu articulate, pentru care încărcarea critică este egală cu încărcarea critică a barei reale. Lungimea de flambaj mai poate fi definită ca fiind distanţa dintre două puncte de inflexiune succesive pe deformata de pierdere a stabilităţii barei, egală cu lungimea unei semiunde. Aceasta interpretare este ilustrată în Figura 3.2 (daSilva ş.a., 2010), în care sunt arătate lungimile de flambaj pentru bara ideală cu diverse condiţii de rezemare.

Fig. 3.2: Lungimea de flambaj Lcr funcţie de lungimea reală a barei, pentru

diverse condiţii de rezemare (daSilva ş.a., 2010)

Tensiunea critică se obţine împărţind încărcarea critică la aria secţiunii transversale a barei:

2

2

2

2

E

AL

EI

Ecr (3.5)

în care λ = Lcr / i este zvelteţea barei şi /i I A este raza de giraţie a secţiunii. Pentru o bară fără imperfecţiuni, cu un material având un comportament elasto-plastic (aşa cum se poate considera, în mod ideal, pentru oţelul obişnuit pentru construcţii), cedarea se produce prin flambaj în domeniul elastic, dacă tensiunea critică este inferioară limitei de curgere fy. Pentru o bară scurtă, cu zvelteţe redusă, cedarea se produce prin curgerea secţiunii transversale, când tensiunea aplicată este egală cu limita de curgere, adică atunci când σ = N·A = fy. Limita dintre cele două tipuri de comportament este dată de o valoare a zvelteţii, notată λ1, care depinde de limita de curgere a materialului, dată de:

2

121

cr yy

E Ef

f

(3.6)

Funcţie de zvelteţea λ1, zvelteţea relativă a barei (adimensională) se obţine cu formula:

cr

y

N

Af

1 (3.7)

Comportamentul unei bare fără imperfecţiuni, solicitată la compresiune, funcţie de zvelteţea acesteia, este reprezentat în Figura 3.3.

Fig. 3.3: Relaţia tensiune – zvelteţe pentru bara comprimată fără imperfecţiuni

3.2 Efectul imperfecţiunilor În structurile reale, imperfecţiunile nu pot fi evitate şi, în general, cedarea se produce înainte de atingerea valorii încărcării critice, aşa cum a fost definită anterior. Imperfecţiunile pot fi

clasificate în două tipuri: imperfecţiuni geometrice (curburi ale elementelor, excentricităţi ale încărcărilor) şi imperfecţiuni de material (tensiuni reziduale). Pentru a determina efectul imperfecţiunilor, se consideră bara comprimata din Figura 3.4a (daSilva ş.a., 2010), cu o configuraţie iniţial deformată cu o curbură sinusoidală:

L

xey

sin00 (3.8)

Ecuaţia diferenţială a echilibrului barei dublu-articulate cu imperfecţiuni este:

0)( 02

2

yyNdx

ydEI (3.9)

a) Deformata iniţială sinusoidală b) relaţia încărcare – deplasare laterala

Fig. 3.4: Bara cu imperfecţiune iniţială (daSilva ş.a., 2010) Introducând expresia (3.8) în ecuaţia (3.9) şi considerând condiţiile de margine y(0)=0 şi y(L)=0, se obţine următoarea soluţie:

L

x

N

Ne

ycr

sin

1

0 (3.10)

în care Ncr este încărcarea critica elastică Euler. Ecuaţia deformatei totale a elementului se obţine funcţie de încărcarea aplicata N cu formula:

L

xe

N

Nyyy

cr

t

sin

1

100 (3.11)

Valoarea maximă, notată cu e, care se obţine pentru x=L/2, este dată de formula:

crN

Ne

e

1

0 (3.12)

O deformată iniţială a barei, chiar pentru valori reduse ale forţei axiale N, produce un moment încovoietor, dat de formula:

L

xe

N

NNyyNxM

cr

sin

1

1)()( 00 (3.13)

care cauzează o creştere progresiva a deplasării laterale. Relaţia dintre deplasarea laterală maximă şi încărcarea aplicată este reprezentată în Figura 3.4.b. Pentru un element cu un comportament de material perfect elastic, cu o configuraţie iniţială deformată, deplasările încep să crească de la valori reduse ale încărcării, în mod asimptotic, pe măsură ce încărcarea aplicată tinde spre încărcarea critică (pentru bara fără imperfecţiuni). În această situaţie, nu mai există punct de bifurcare a echilibrului. Referitor la imperfecţiunile de material, în cazul elementelor din oţel, tensiunile reziduale apar datorită răcirii diferenţiate pe secţiunea transversală, în urma laminării la cald sau a altor procese tehnologice care implică temperaturi înalte (sudare, tăiere cu flacără etc.), sau în urma formării secţiunilor transversale la rece prin îndoire. Aceste tensiuni schimbă comportamentul secţiunii transversale pe ansamblu, chiar dacă formează un sistem în echilibru, aşa cum se arată în Figura 3.5 (daSilva ş.a., 2010), în care se exemplifică distribuţia tensiunilor reziduale care apar pe secţiunea transversală a unui profil I în urma laminării la cald.

Fig. 3.5: Tensiuni reziduale într-un profil I laminat la cald (daSilva ş.a., 2010)

Figura 3.6 (daSilva ş.a., 2010) ilustrează rezultatele unor teste experimentale pe bare comprimate, având zvelteţi diferite, în comparaţie cu comportamentul teoretic al elementelor fără imperfecţiuni (ECCS, 1976). Se observă că pentru valori reduse ale zvelteţii relative, cedarea barei se produce prin plastificarea secţiunii transversale (valorile raportului tensiune / limită de curgere mai mari decât unitatea apar datorită ecruisării). Pentru valori mari ale zvelteţii relative, cedarea se produce prin flambaj în domeniul elastic, imperfecţiunile neavând o influenţă importantă. Pentru valori intermediare ale zvelteţii relative, cedarea se produce prin flambaj elasto-plastic. Acesta este domeniul în care imperfecţiunile joacă un rol important, în care rezultatele experimentale deviază mult de la curba teoretică.

compresiune

întindere

Calculul rezistenţei barelor comprimate centric în SR EN 1993-1-1, se bazează pe curbele europene de flambaj (ECCS, 1977), care relaţionează raportul tensiune şi limita de curgere (dată de factorul de reducere χ = / fy) şi zvelteţea adimensională . Ca rezultat al unui important program experimental şi numeric (ECCS, 1976), care a considerat toate imperfecţiunile posibile ale elementelor reale (curbura iniţială, excentricitate a încărcării, tensiuni reziduale), au fost stabilite cinci curbe de flambaj, funcţie de tipul secţiunii transversale şi axa principală a secţiunii transversale după care se produce flambajul. Imperfecţiunile au fost definite statistic în urma unei campanii extinse de măsurători (Strating şi Vos, 1973) care a permis adoptarea unor imperfecţiuni iniţiale sinusoidale în simulările numerice.

Fig. 3.6: Rezultate experimentale pe elemente comprimate (daSilva ş.a., 2010)

Formularea analitică a curbelor de flambaj (determinarea factorului de reducere χ), prezentată în continuare, a fost realizată de către Maquoi şi Rondal (1978), fiind bazată pe formula Ayrton-Perry, considerând o deformată iniţială sinusoidală, în care amplitudinea deformatei a fost calibrată astfel încât să reproducă efectul tuturor imperfecţiunilor. Pentru a calcula factorul de reducere χ, se consideră elementul comprimat centric, dublu-articulat, cu o configuraţie a deformatei iniţiale sinusoidală, dată de formula (3.8). Considerând că elementul nu are tensiuni reziduale, plastificarea fibrelor extreme ale secţiunii transversale se produce când este îndeplinită următoarea condiţie:

yel

fW

eN

A

N maxmax (3.14)

în care: Nmax este valoarea maximă a forţei de compresiune N (limitată de Ncr); e este deplasarea laterală corespunzătoare forţei Nmax; Wel este modulul de rezistenţă elastic al secţiunii transversale. Relaţia poate fi scrisă într-o forma adimensională înlocuind amplitudinea deformatei cu formula (3.12) şi împărţind toţi termenii la fy:

1

1 max

0maxmax

plcr

pl

plel

plN

N

N

N

NW

AeN

N

N (3.15)

curba Euler

Dacă se notează plNN /max se obţine:

1)1(

02

elW

Ae

(3.16)

sau

elW

Ae02)1)(1( (3.17)

care reprezintă forma de bază a ecuaţiei Ayrton-Perry (Maquoi şi Rondal, 1978). Notaţia η reprezintă imperfecţiunea generalizată iniţială care poate fi utilizată pentru estimarea efectelor tuturor imperfecţiunilor care apar într-un element real. Deoarece influenţa unora dintre aceste imperfecţiuni este legată de lungimea elementului, s-a ales exprimarea termenului η prin următoarea formulă:

)2.0( (3.18) în care factorul de imperfecţiune α depinde de forma secţiunii transversale, axa principală după care se produce flambajul etc., iar 0.2 defineşte lungimea platoului în lungul căruia factorul de reducere χ are valoare unitara. Formula (3.17) poate fi astfel rescrisă astfel:

)2.0()1)(1(2

(3.19) iar soluţia minimă a ecuaţiei este:

2

22

(3.20)

în care

])2.0(1[5.02

(3.21) Expresia finală a factorului de reducere, care ţine cont de riscul de pierdere al stabilităţii elementului comprimat prin încovoiere, aşa cum se regăseşte şi în SR EN 1993-1-1, este (funcţie de zvelteţea adimensională şi de factorul de imperfecţiune):

22

1

(3.22)

3.3 Flambajul prin răsucire. Flambajul prin încovoiere-răsucire Aşa cum s-a arătat în paragraful 2.2, în cazul barelor cu secţiune transversală deschisă, este posibil ca rezistenţa barei la flambaj prin răsucire sau prin încovoiere-răsucire să fie inferioară rezistenţei la flambaj prin încovoiere. Încărcarea critică de flambaj prin răsucire pentru elemente comprimate centric se calculează cu formula:

2

, 2 2

1 wcr T t

o T

EIN GI

i L

(3.23)

Încărcarea critică de flambaj prin încovoiere-răsucire pentru elemente comprimate centric se calculează cu formula (a se vedea Figura 2.9c):

2, , , , , , ,

1( ) ( ) 4

2cr TF cr y cr T cr y cr T cr y cr TN N N N N N N

(3.24)

în care:

io este raza de giraţie polară, 2 2 ( ) /o o y zi y I I A ;

G It este rigiditatea la torsiune a secţiunii transversale; It este momentul de inerţie la răsucire liberă al secţiunii transversale; E Iw este rigiditatea la răsucire împiedicată a secţiunii transversale; Iw este momentul de inerţie la răsucire împiedicată al secţiunii transversale; LT este o lungime de flambaj echivalentă care depinde de condiţiile de rezemare din punct de vedere al răsucirii şi deplanării la capetele secţiunii; Ncr,y este încărcarea critică pentru flambaj prin încovoiere după axa de inerţie y-y a secţiunii transversale (axa y-y este axă de simetrie); Atunci când secţiunea este simetrică după axa z-z, în ecuaţia (3.24), Ncr,y trebuie înlocuit cu Ncr,z. β este un factor care se calculează cu formula β =1−(yo / io)

2, în care yo este distanţa în lungul axei y dintre centrul de tăiere şi centrul de greutate al secţiunii transversale. În Anexa I se prezintă coeficientul de zvelteţe transformat pentru barele cu secţiuni cu o axă de simetrie supusă la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire. 3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a secţiunilor transversale pentru profile cu pereţi subţiri În secţiunea 2.4 s-au prezentat problemele specifice de stabilitate pentru profilele din oţel cu pereţi subţiri. Reducerea rigidităţii barei cu secţiune transversală de acest tip, ca urmare a voalării, poate fi modelată cu ajutorul unei secţiuni transversale reduse a profilului în comparaţie cu secţiunea sa brută. Această secţiune se numeşte “secţiune eficace” şi se obţine evaluând “lăţimile eficace” ale pereţilor. Pentru definirea lăţimii eficace de perete, se poate utiliza exemplul unui element comprimat. De exemplu, inima profilului se comportă ca o placă rectangulară lungă, perfect plană iniţial, articulată după cele două laturi longitudinale şi supusă în sens longitudinal unei solicitări de compresiune uniformă (a se vedea Figura 3.7). Când această compresiune uniformă depăşeşte efortul unitar critic de voalare cr al plăcii, apar

unde de voalare care se amplifică pe măsură ce creşte tensiunea. Fibrele longitudinale situate în zona undelor, datorită curburii lor, prezintă o rezistenţă mai mică la compresiune, care se va descărca asupra zonelor mai rigide, către reazeme. Rezultă o diagramă de efort unitar care prezintă o adâncitură la mijlocul lungimii ei, respectiv valori majorate către reazeme. În final, aceste valori majorate pot atinge limita elastică a materialului fy (a se vedea Figura 3.8).

Fig. 3.7: Voalarea pereţilor comprimaţi

b b b

1max2max

fy< 1max < cr 2max = fy

Fig. 3.8: Starea de efort unitar într-un perete plan care voalează

Pornind de la aspectul diagramelor din Figura 3.8, a apărut ideea înlocuirii plăcii în stare voalată prin două fâşii longitudinale, având fiecare lăţimea beff/2 şi reprezentând zona eficace (activă) a secţiunii. Astfel, rezultă efortul unitar majorat max considerat uniform pe întreaga lăţime

eficace, aşa cum se vede din Figura 3.9.

P>Pcrb

a

yx

P>Pcrmax

med

x

P>Pcrb

P>Pcr

a

ybef/2

x(y)

max

bef/2

Fig. 3.9: Secţiunea eficace a unui perete voalat

Se admite că rezistenţa ultimă a plăcii se atinge atunci când max devine egal cu fy. Pentru a

determina lăţimea eficace beff a plăcii în stare limită ultimă, se utilizează ipoteza lui Von Karman (autorul conceptului de lăţime eficace) conform căreia tensiunea max corespunzând

domeniului post – critic, este egală cu tensiunea critică elastică corespunzând lăţimii eficace, deci max cr eff

.

Ştiind că în general tensiunea critică de voalare a plăcii se scrie:

2

p2

2

cr b

t

)1(12

Ek

(3.25)

rezultă:

2 22

max 2( )

12(1 )

pcr eff cr

eff eff

bE tk

b b

(3.26)

în care: k este coeficient de voalare; E este modul de elasticitate; este coeficientul lui Poisson. La starea limită ultimă:

2

max .p

cr yefeff

bf

b

(3.27)

sau:

eff cr

p y

b

b f

(3.28)

Deci, conform ultimei relaţii, lăţimea eficace, beff, se obţine înmulţind lăţimea plană totală a plăcii, bp, cu un coeficient de reducere 1 (deci eff pb b ), în care:

py

cr 1

f

(3.29)

iar cr

yp

f

este zvelteţea redusă de placă.

Coeficientul de voalare k ia valori diferite funcţie de modul cum este rezemată placa şi de tipul

solicitării în planul plăcii (compresiune, încovoiere, forfecare). Astfel, se poate face deosebirea între pereţii rigidizaţi (plăci rezemate pe cele două laturi longitudinale) şi pereţii nerigidizaţi (plăci rezemate pe o singură latură longitudinală). Pe baza lăţimilor eficace determinate, se pot obţine mai departe caracteristicile eficace ale secţiunii. Procedeul de fabricaţie influenţează anumite caracteristici mecanice şi geometrice ale profilelor formate la rece. În primul rând, formarea la rece produce modificarea curbei caracteristice a oţelului. Prin ecruisare, laminarea la rece conduce la creşterea limitei de curgere, uneori şi a rezistenţei la rupere, fenomen mai accentuat în colţurile profilelor şi apreciabil în inimi şi tălpi. Presarea la rece lasă aceste caracteristici aproape neschimbate în inimi şi tălpi. Profilele laminate la cald sunt afectate de tensiuni reziduale de tip membrană, care depind de forma secţiunii transversale şi au o influenţă semnificativă asupra comportamentului la stabilitate. De aceea, tensiunile reziduale au constituit factorul cel mai important pentru încadrarea profilelor laminate la cald pe diferite curbe de flambaj în normele de calcul europene. În cazul profilelor formate la rece, tensiunile reziduale sunt în principal de încovoiere, iar influenţa acestora asupra comportamentului la stabilitate este mai puţin importantă decât cele de tip membrană. Pe de altă parte, procedeul de formare la rece influenţează mărimea tensiunilor reziduale; laminarea la rece produce tensiuni reziduale de încovoiere mai mari decât presarea la rece. Datorită faptului că proprietăţile mecanice ale profilelor formate la rece sunt diferite de cele ale profilelor formate la cald, ar trebui luate în considerare curbe de flambaj distincte, dar pentru

simplitatea procesului de proiectare se utilizează aceleaşi curbe de flambaj ca şi pentru profilele formate la cald. În Figura 3.10 se prezintă comparaţia dintre curbele de flambaj pentru un profil C solicitat la compresiune, calculate în conformitate SR EN 1993-1-1, considerând caracteristicile brute ale secţiunii transversale (fără considerarea flambajului local) şi caracteristicile reduse ale secţiunii (caz în care se produce interacţiunea dintre modul secţional şi cel global).

N=N/Npl (Npl=Afy)

NE (Euler)

Sectiune redusa (Aeff)

1.0 N=Aeff/A<1

0 0.2 1.0 2.0 Zveltete element ( )

Sectiune bruta (A)

Eroziune datorita imperfectiunilor

Eroziune datorita imperfectiunilor

+ efectul voalarii

Fig. 3.10: Efectul voalării pereţilor secţiunii transversale asupra capacităţii portante

a unui profil comprimat 3.5 Verificarea la flambaj a barelor comprimate centric în conformitate cu SR EN 1993-1-1 În conformitate cu clauza 6.2.4 (1) din SR EN 1993-1-1, rezistenţa secţiunii transversale a unui element încărcat axial centric se verifică cu următoarea formulă:

,1.0Ed

c Rd

N

N (3.29)

în care NEd este valoarea de calcul a efortului de compresiune pe secţiune şi Nc,Rd este valoarea de calcul a rezistenţei secţiunii transversale, dată de 6.2.4(2) din SR EN 1993-1-1, după cum urmează:

- pentru secţiunile transversale din Clasa1, 2 sau 3

. 0 /c Rd y MN A f (3.30)

- pentru secţiunile transversale din Clasa 4

. 0/c Rd eff y MN A f (3.31)

în care A este aria brută a secţiunii transversale, Aeff este aria eficace a secţiunii transversale pentru o secţiune de clasa 4, iar γM0 este coeficientul parţial de siguranţă pentru rezistenţa

secţiunilor transversale. În evaluarea Nc,Rd, găurile pentru şuruburi pot fi neglijate, dacă în acestea se afla şuruburi de prindere, cu excepţia găurilor ovalizate şi a celor de dimensiuni mari, aşa cum sunt definite în EN 1090. Caracteristicile eficace ale secţiunilor de clasă 4 se calculează în conformitate cu normele SR EN 1993-1-3 şi SR EN 1993-1-5 şi se prezintă în subcapitolul. În Anexa VI se prezintă clasificarea secţiunilor transversale în clase de secţiuni, funcţie de supleţea pereţilor secţiunii şi de distribuţia şi semnul tensiunilor σ. Pentru elemente comprimate trebuie verificată de asemenea rezistenţa la flambaj cu următoarea formula:

,1Ed

b Rd

N

N (3.32)

în care Nb,Rd este rezistenţa de calcul a elementului comprimat la flambaj, care controlează, de obicei, dimensionarea secţiunii transversale. Rezistenţa de calcul la flambaj a unei bare comprimate este egală cu:


, 1 /b Rd y MN A f (3.33)


, 1 /b Rd eff y MN A f (3.34)

în care χ este factorul de reducere pentru modul de flambaj considerat, iar γM1 este coeficientul parţial de siguranţă pentru rezistenţa elementelor la flambaj. Aşa cum s-a arătat în paragraful 3.2, factorul de reducere se calculează cu formula:

,1

22

dar 0.1 (3.35)

În această expresie, ])2.0(1[5.02

, iar zvelteţea adimensională se calculează cu următoarele formule:


1

1/ cr

y crL

Af Ni

(3.36)


1

//

effcreff y cr

A ALA f N

i

(3.37)

în care: α este factorul de imperfecţiune; Ncr este efortul axial critic de flambaj elastic, corespunzător modului de flambaj considerat,

calculat pe baza caracteristicilor secţiunii transversale brute; Lcr este lungimea de flambaj corespunzătoare modului de flambaj considerat;

i este raza de giraţie a secţiunii transversale, corespunzătoare modului de flambaj considerat;

9.93)/(1 yfE ;

yf/235 cu fy în N/mm2.

Efectul imperfecţiunilor este inclus în factorul de imperfecţiune α, care are valorile 0.13, 0.21, 0.34, 0.49 şi 0.76, pentru curbele de flambaj a0, a, b, c, şi d, respectiv, în conformitate cu notaţiile SR EN 1993-1-1 (curbele europene de flambaj) şi prezentate în Tabelul 3.1. Aceste curbe de flambaj, în formularea matematică dată de formula (3.35), sunt ilustrate în Figura 3.11. Factorul de imperfecţiune α şi curbele de flambaj asociate pentru proiectarea unui element comprimat centric depind de geometria secţiunii transversale, de calitatea oţelului, de procesul de fabricaţie şi de planul de flambaj, aşa cum se arată în Tabelul 3.2.

Tabelul 3.1: Factorii de imperfecţiune pentru curbele de flambaj

Curba de flambaj a0 a b c d

Factorul de imperfecţiune α

0.13 0.21 0.34 0.49 0.76

Fig. 3.11: Curbele de flambaj europene în conformitate cu SR EN 1993-1-1

În conformitate cu 6.3.1.2(4) din SR EN 1993-1-1, pentru valori ale zvelteţii adimensionale mai mici de 0.2, sau dacă NEd/Ncr < 0.04, flambajul poate fi neglijat şi elementele se dimensionează funcţie de rezistenţa secţiunii transversale. Proiectarea elementelor comprimate centric care îşi pot pierde stabilitatea prin răsucire sau prin

încovoiere-răsucire se face în mod similar, prin înlocuirea zvelteţii adimensionale cu zvelteţea adimensionala T , calculată cu următoarele formule:

pentru secţiunile transversale din Clasa 1, 2 sau 3

/T y crAf N (3.38)

pentru secţiunile transversale din Clasa 4

/T eff y crA f N , (3.39)

în care Ncr este cea mai mică dintre valorile Ncr,T şi Ncr,TF, unde Ncr,T este efortul critic de flambaj elastic prin răsucire, iar Ncr,TF este efortul critic de flambaj elastic prin încovoiere – răsucire (date în 3.2, respectiv, de formulele 3.23 şi 3.24). În Anexa I se prezintă modul de calcul al coeficientului de zvelteţe transformat pentru barele cu secţiuni cu o axă de simetrie supuse la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire, pentru diverse tipuri de secţiuni. Pentru ambele moduri de flambaj, factorul de imperfecţiune, α, se poate considera corespunzător flambajului prin încovoiere după axa minimă de inerţie z, aşa cum se arată în Tabelul 6.2 din SR EN 1993-1-1 şi prezentat în Tabelul 3.2 de mai jos.

Tabelul 3.2: Alegerea curbei de flambaj pentru diverse secţiuni transversale (Tabel 6.2-SREN1993-1-1)

Curbă de flambaj

Secţiune transversală Limite Flambaj după

axa

S235 S275 S355 S400

S460

tf ≤ 40 mm y-y z-z

a b

a0 a0

h/b>

1.2

40 mm< tf ≤ 100 mm y-y z-z

b c

a a


b c

a a

Pro

file

lam

inat

e

h/b≤

1.2

tf > 100 mm y-y z-z

d d

c c


b c

b c

Secţiu

ni I

-su

date

tf >40 mm y-y z-z

c d

c d

finisate la cald oricare a a0

Secţiu

ni

tubu

lare

formate la rece oricare c c

în general oricare b b

Che

soan

e su

date

grosime pereţi: a>0.5tf b/tf<30 h/tf<30

oricare c c

Secţiu

ni U

, T ş

i se

cţiu

ni p

line

oricare c c

Cor

nier

oricare b b

În ceea ce priveşte alegerea lungimii de flambaj a elementelor dintr-o structură, se face precizarea că utilizarea valorilor pentru cazurile de rezemare ideală a barelor prezentate în secţiunea 3.1, pot fi utilizate doar în cazuri izolate. Pentru cazul general al unui element într-o structură, pentru stabilirea încărcării critice şi implicit a lungimii de flambaj, poate fi utilizată teoria clasică a barelor pe rezeme elastice. În baza acesteia, în Anexa II se prezintă o metodologie de determinare a lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor în cadre multietajate, iar în Anexa III se prezintă tabele pentru determinarea lungimilor de flambaj pentru stâlpii structurilor parter cu secţiune constantă sau în trepte. De asemenea, în Anexa II, se prezintă o metodă de determinare a încărcării ultime de cedare (Metoda Merchant-Rankine) pentru structuri multietajate cu noduri rigide. Deşi această metodă nu apare în norma SR EN 1993-1-1, s-a considerat utilă prezentarea acesteia, având în vedere caracterul practic al acesteia. 3.6 Voalarea elementelor realizate din plăci plane Efectul voalării pereţilor (flambajul local) se ia în considerare prin utilizarea caracteristicilor geometrice eficace, determinate pe baza conceptului de lăţime eficace ale pereţilor componenţi expuşi fenomenului de voalare, aşa cum se arată în SR EN 1993-1-3 şi SR EN 1993-1-5. Caracteristicile eficace ale secţiunilor transversale de clasă 4 (Aeff, Ieff, Weff) se utilizează în verificările secţiunilor transversale sau a elementelor la flambaj, respectiv în determinarea rigidităţii acestora, conform SR EN 1993-1-1. Acestea se determină pe baza distribuţiei liniare a tensiunilor în secţiune, cu atingerea limitei de curgere în planul median al plăcii comprimate. Caracteristicile secţiunii eficace ale elementelor se bazează pe ariile eficace ale elementelor comprimate şi pe ariile eficace ale elementelor întinse datorită efectului de „shear lag”. Aria efectivă, Aeff, se determinată presupunând că secţiunea transversală este supusă doar la tensiuni din compresiunea axială uniformă. Pentru secţiunile nesimetrice, are loc deplasarea, eN, a centrului de greutate al ariei eficace Aeff în raport cu centrul de greutate al secţiunii brute, aşa cum se arată în Figura 3.12, ceea ce conduce la un moment încovoietor suplimentar, care trebuie luat în considerare la verificarea secţiunii transversale, aşa cu se va prezenta în 5.3.

Secţiune transversală brută Secţiunea transversală eficace

G centrul de greutate al secţiunii brute

G´ centrul de greutate al secţiunii eficace

1 axa neutră a secţiunii brute

2 axa neutră a secţiunii eficace

3 zonă neeficace Fig. 3.12: Secţiune transversală de clasă 4 solicitată la compresiune

Modulul de rezistenţă al secţiunii eficace Weff se determină presupunând că secţiunea transversală este solicitată doar la încovoiere, aşa cum se prezintă în Figura 3.13. Pentru încovoiere biaxială module de rezistenţă eficace trebuie determinate pentru ambele axe principale.

G1

2

3

3

G

G´e N

GG´

G´G

1

1

2

2

3

3

Secţiunea transversală brută Secţiunea transversală eficace

G centrul de greutate al secţiunii brute

G´ centrul de greutate al secţiunii eficace

1 axa neutră a secţiunii brute 2 axa neutră a secţiunii eficace 3 zonă neeficace

Fig. 3.13: Secţiune transversală de clasă 4 solicitată la încovoiere Ariile eficace ale elementelor comprimate plane se vor obţine folosind Tabelul 4.1 pentru elemente comprimate rezemate pe două laturi şi Tabelul 4.2 pentru elemente comprimate în consolă. Aria eficace a zonei comprimate a unei plăci cu secţiunea brută Ac se va obţine din:

Ac,eff = ρ Ac (3.40) unde ρ este factorul de reducere care ţine cont de voalarea plăcii. Factorul de reducere ρ poate fi considerat după cum urmează:

– pentru elemente interne comprimate:

= 1.0 pentru 0.673p (3.41a)

2

0,055 31.0

p

p

pentru 0.673p , unde 03 (3.41b)

– pentru elemente comprimate în consolă:

= 1.0 pentru 0.748p (3.42a)

2

0.1881.0

p

p

pentru 0.748p (3.42b)

unde /

28.4y

p

cr

f b t

k

ψ este raportul de tensiuni;

b este lăţimea peretelui (pentru definiţii, vezi Tabelul 5.2 din SR EN 1993-1-1) bw pentru inimi; b pentru elemente interne de talpă (exceptând secţiunile tubulare rectangulare); b - 3 t pentru tălpi ale secţiunilor tubulare rectangulare (RHS); c pentru tălpi în consolă; h pentru corniere cu aripi egale; h pentru corniere cu aripi inegale; kσ este coeficientul de pierdere a stabilităţii corespunzător raportului de tensiuni ψ şi condiţiilor

de margine (kσ se prezintă în Tabelul 3.3 sau Tabelul 3.4, după caz);

t este grosimea; σcr este efortul unitar critic de voalare;

2

235

/yf N mm

.

Tabelul 3.3: Elemente comprimate rezemate pe două laturi

Distribuţia tensiunilor (compresiune pozitivă) Lăţimea eficace beff

ψ = 1: beff = ρb be1 = 0.5 beff be2 = 0.5 beff

1 > ψ ≥ 0: beff = ρb

effe bb

5

21 be2 = beff - be1

ψ < 0: beff = ρ bc = ρb / (1-ψ) be1 = 0.4 beff be2 = 0.6 beff

ψ = σ2/σ1 1 1 > ψ > 0 0 0 > ψ > -1 -1 -1 > ψ > -3 Factor de voalare kσ

4.0 8.2 / (1.05 + ψ) 7.81 7.81 – 6.29ψ + 9.78ψ2 23.9 5.98 (1 - ψ)2

Tabelul 3.4: Elemente comprimate în consolă

Distribuţia tensiunilor (compresiune pozitivă) Lăţimea eficace beff

1 > ψ ≥ 0: beff = ρ c

ψ < 0: beff = ρ bc = ρ c / (1-ψ)

ψ = σ2/σ1 1 0 -1 1 ≥ ψ ≥ -3 Factor de voalare kσ 0.43 0.57 0.85 0.57 – 0.21ψ + 0.07ψ2

1 > ψ ≥ 0: beff = ρ c

ψ < 0: beff = ρ bc = ρ c / (1-ψ)

ψ = σ2/σ1 1 1 > ψ > 0 0 0 > ψ > -1 -1 Factor de voalare kσ 0.43 0.578 / (ψ + 0.34) 1.70 1.7 - 5ψ + 17.1ψ2 23.8

b

1 2

b b e2e 1

b

1

2

b b e2e1

b

1

2b

b

b

b

e2

t

e1

c

21

b

c

eff

2

1

b b

b eff

t c

1

2

b

c

eff

1

2

b

cb b

eff

t

Pentru elemente de talpă ale secţiunilor de tip I şi închise, raportul de tensiuni utilizat în Tabelul 3.3 şi Tabelul 3.4 trebuie să se bazeze pe proprietăţile secţiunii transversale brute, datorită faptului că se permite efectul de „shear lag” în tălpi, dacă e cazul. Pentru elemente de inimă raportul tensiunilor ψ folosit în Tabelul 3.3 va fi obţinut utilizând o distribuţie a tensiunilor bazată pe aria eficace a tălpii comprimate şi aria brută a inimii. 3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centrică Barele compuse cu secţiune uniformă se analizează în conformitate cu subcapitolul 6.4 din SR EN 1993-1-1. 3.7.1 Bare compuse din ramuri puţin depărtate În cazul barelor comprimate compuse ale căror ramuri sunt în contact sau sunt puţin depărtate şi legate cu fururi, a se vedea Figura 3.14, sau ale căror ramuri sunt corniere dispuse în cruce şi legate prin perechi de plăcuţe, ele însăşi dispuse în cruce, a se vedea Figura 3.15, pot fi proiectate împotriva pierderii stabilităţii ca o bară cu secţiune unitară, omogenă, neglijând efectul rigidităţii la forfecare (SV = ∞), cu condiţia respectării distanţei maxime dintre prinderi. Pentru elemente legate cu şuruburi sau cordoane de sudură, distanţa maximă este de 15imin, iar pentru elementele legate cu perechi de plăcuţe, distanţa maximă este de 70imin, în care imin este raza de giraţie minimă a secţiunii transversale a unuia dintre elementele solidarizate.

y

z

z

y y

z

z

y y

z

z

y y

z

z

y

Fig. 3.14: Bare compuse din elemente puţin depărtate

Fig. 3.15: Bare compuse din corniere dispuse în cruce legate prin perechi de plăcuţe în cruce

3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu zăbrele respectiv cu plăcuţe În secţiunea 3.6.1 s-a prezentat cazul barelor compuse cu secţiune uniformă, ale căror ramuri sunt în contact sau sunt puţin depărtate şi legate cu fururi, pentru care se poate neglija efectul rigidităţii la forfecare (rigiditatea la forfecare se poate considera infinită). Verificarea de stabilitate pentru acest tip de bare se poate face la fel ca şi în cazul barelor uniforme cu secţiune unitară, încadrând secţiunea în curbele de flambaj corespunzătoare.

Barele cu secţiune compusă din elemente îndepărtate pot fi realizate prin solidarizare cu zăbrele sau cu plăcuţe, aşa cum se arată în Figura 3.16.

(a) (b) Fig. 3.16: Bare cu secţiune compusă solidarizate cu (a) zăbrele sau (b) plăcuţe

Problema specifică pentru acest tip de bare compuse este flambajul în raport cu axa care nu taie profilele care compun secţiunea transversală, deoarece rigiditatea la forfecare nu mai poate fi presupusă a fi infinită. Deformaţiile din forţa tăietoare în elementele de solidarizare sunt importante şi nu pot fi neglijate. Deformaţiile din forţa tăietoare a elementelor de solidarizare reduc rigiditatea la încovoiere şi forţa critică “capabilă” a barei compuse. Forţa critică a barei compuse poate fi determinată cu relaţia:

v

crcr

vcr

compcr

S

NN

SN

N

1

111

1, (3.43)

în care: Ncr este forţa critică Euler, calculată neglijând forfecarea cu formula

2

2

L

EIN eff

cr

(3.44)

Ieff este momentul de inerţie efectiv a secţiunii compuse care se poate calcula astfel:

- pentru cazul barelor compuse cu zăbrele:

205.0 hAI cheff (3.45a)

- pentru cazul barelor compuse cu plăcuţe

200.5 2eff ch chI A h I (3.45b)

unde: Ach este aria secţiunii transversale a unei ramuri (a se vedea Figura 3.16); h0 este distanţa între centrele de greutate ale ramurilor;

Ich este momentul de inerţie la încovoiere al unei ramuri în plan; Sv este rigiditatea la forfecare a sistemului de solidarizare, cu zăbrele sau plăcuţe:

echv GAS

unde: G este modulul de elasticitate transversal; Aech este aria inimii pline echivalente a stâlpului,

aşa cum se prezintă în Figura 3.17.

Fig. 3.17: Secţiune compusă echivalentă (principiu de calcul)

SR EN 1993-1-1 abordează calculul de stabilitate al acestor tipuri de bare printr-un calcul de ordinul II, considerând efectul imperfecţiunilor de ansamblu conţinut intr-o deformată echivalentă sinusoidală cu o amplitudine iniţială L/500, aşa cum se arată în Figura 3.18. Modelul de calcul al barei compuse se aplică dacă zăbrelele sau plăcuţele de solidarizare alcătuiesc în lungul barei compuse panouri identice cu ramuri paralele şi există minim trei panouri în bara compusă. Aceste condiţii minimale permit considerarea unei structuri ordonate ale cărei elemente structurale discrete pot fi considerate ca un mediu continuu.

Fig. 3.18: Deformata iniţială echivalentă

Relaţia de verificare a ramurilor secţiunii compuse se face cu expresia (6.4.2.1(1) din SR EN 1993-1-1):

,

,1.0ch Ed

b Rd

N

N (3.46)

în care Nch,Ed este valoarea de calcul a efortului de compresiune în ramură, care acţionează la jumătatea

lungimii barei compuse; Nb,Rd este valoarea de calcul a rezistenţei ramurii la flambaj; lungimea de flambaj se consideră

distanţă între elementele de prindere; pentru cazuri speciale de alcătuire a sistemului de solidarizare se consideră valorile precizate în Figura 6.8 din SR EN 1993-1-1.

Efortul axial de calcul într-o ramură Nch,Ed rezultă prin suprapunerea efortului axial de compresiune al barei compuse care se distribuie pe ramurile secţiunii transversale, la care se adaugă forţa axială rezultată din efectul momentului de ordinul II, calculat funcţie de excentricitatea echivalentă e0 la mijlocul înălţimii barei (a se vedea Figura 3.18). În calculul efortului Nch,Ed intervine şi este rigiditatea la forfecare Sv a modulelor de zăbrele sau de plăcuţe de solidarizare, care se calculează diferit pentru cele două cazuri (tabelul din Figura 6.9, respectiv formula (6.73) din SR EN 1993-1-1).

0, 0.5

2Ed ch

ch Ed Edeff

M h AN N

I (3.46)

în care

0

1

IEd Ed

EdEd Ed

cr v

N e MM

N N

N S

NEd este valoarea de calcul a efortului de compresiune care acţionează în bara compusă; MEd este valoarea de calcul a momentului de încovoiere maxim, care acţionează la jumătatea

lungimii barei compuse, luând în considerare efectele de ordinul doi; IEdM este valoarea de calcul a momentului de încovoiere maxim, care acţionează la jumătatea

lungimii barei compuse, fără a lua în considerare efectele de ordinul doi. Anexa BB.1 din SR EN 1993-1-1 oferă informaţii pentru alegerea lungimilor de flambaj în cazul flambajului prin încovoiere a barelor din structurile cu zăbrele. În general, pentru evaluarea rezistenţei la flambaj a tălpilor grinzilor cu zăbrele, lungimea de flambaj Lcr se poate lua egală cu lungimea efectivă L, în afară de cazul când o valoare inferioară poate fi justificată printr-o analiză. Lungimea de flambaj a unei tălpi cu secţiune I sau H poate fi luată egală cu 0.9L, pentru flambaj în planul structurii. Lungimea de flambaj a unei tălpi cu secţiunea tubulară, poate fi luată egală cu 0.9L atât pentru flambajul în plan perpendicular cât şi pentru flambajul în plan, (L este lungimea efectivă în planul considerat). Lungimea efectivă în plan este distanţa între două noduri consecutive. Lungimea efectivă în plan perpendicular este distanţa între reazemele laterale, dacă acestea există, în afară de cazul în care o valoare inferioară este justificată printr-o analiză. Zăbrelele pot fi calculate pentru flambajul în plan utilizând o lungime de flambaj inferioară lungimii lor efective, cu condiţia ca tălpile să realizeze o încastrare adecvată la extremităţile lor şi ca prinderile la extremităţi să asigure un grad de fixare corespunzător (cel puţin două şuruburi în caz de prindere cu şuruburi). În aceste condiţii, în structurile triunghiulare obişnuite, lungimea de flambaj Lcr a zăbrelelor pentru flambajul în plan poate fi luată egală cu 0.9L, cu excepţia barelor alcătuite din corniere. În Anexa IV se prezintă lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele, conform STAS 10108/0-78, respectiv normei belgiene NB51-002.

În continuare se prezintă exemple de calcul ce acoperă partea teoretică a acestui capitol, şi anume:

Exemplul E.1. Verificarea stabilităţii generale a unui stâlp supus la compresiune uniformă (flambaj);

Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilităţii generale a unui element cu secţiunea de clasa 4 supus la compresiune uniformă;

Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stâlp cu blocaje laterale;

Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stâlp dintr-un cadru multietajat;

Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stâlp in trepte;

Exemplul E.6. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii a unui element compus supus la compresiune uniformă;

Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C formată la rece, solicitată la compresiune;

Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere;

Exemplul E.9. Calculul unui stâlp cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune. EXEMPLE DE CALCUL

E.1. Verificarea stabilităţii generale a unui stâlp supus la compresiune uniformă (flambaj)

Descrierea problemei Se consideră o structură parter. Stâlpul cadrului transversal este realizat din profile

laminate I şi are înălţimea de 6m. Rigla este realizată în soluţie grindă cu zăbrele rezemată articulat pe stâlp. Cadrele longitudinale sunt contravântuite. Se cere să se facă verificarea stabilităţii generale a stâlpului cadrului.

Schema statică

N

L

z

y

N

L

zy

Figura E.1.1. Schema statica si lungimea de flambaj după axele zz, respectiv yy

Datele problemei

Pentru verificarea de rezistenţă şi flambaj a stâlpului sunt necesare următoarele date: Forţa axială NEd = 900 kN Lungimea elementului L = 6,00 m Marca oţelului S355 Clasa secţiunii Clasa 1

Determinarea lungimii de flambaj Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); fL_y = 2,00 Lungimea de flambaj (y-y); Lcr,y = fL_y L = 12,00 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 1,00 Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z L = 6,00 m

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale HE 100 B - Marca S355; Înălţimea h = 100,0 mm Lăţimea tălpilor b = 100,0 mm Grosimea inimii tw = 6,0 mm Grosimea tălpilor tf = 10,0 mm Raza de racord r = 12,0 mm Aria secţiunii transversale A = 26,0 cm2

Momentul de inerţie / yy Iy = 450 cm4 Momentul de inerţie / zz Iz = 167 cm4

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z

Figura E.1.2. Secţiunea transversala

Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oţel S355 Deoarece grosimea maximă a pereţilor secţiunii transversale este 10 mm 40 mm, limita

de curgere este fy = 355 N/mm2 SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

Coeficienţii parţiali de siguranţă M1 = 1,00

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

Verificarea de rezistenţă a secţiunii transversale a stâlpului

Rezistenţa la compresiune Pentru a determină rezistenţa de calcul a secţiunii transversale a stâlpului la compresiune

uniformă se foloseşte relaţia de definiţie corespunzătoare clasei de secţiune 1:

2

,0

26 10 355923000 N 923 kN

1,0y

c RdM

A fN

SREN 1993-1-1 (6.10) După determinarea capacităţii portante se trece la verificarea condiţiei:

,

9000,975 1,0

923Ed

c Rd

N

N Secţiunea verifică

SREN 1993-1-1 (6.9)

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniformă Pentru a determină rezistenţa la flambaj a stâlpului Nb,Rd, este necesară determinarea

factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere corespunzător curbei de flambaj pentru secţiunea transversală a stâlpului. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteţii relative λ. λ se calculează în funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat şi rezistenţa de calcul a secţiunii transversale stâlpului la compresiune uniformă. Se calculează folosind proprietăţile secţiunii transversale brute.

Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaţie de definiţie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 450 1064704 N 64,7 kN

12000y

cr ycr y

E IN

L

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 167 1096049 N 96 kN

6000z

cr zcr z

E IN

L

Efortul axial critic (3.4)

unde E este modulul de elasticitate longitudinal ,E = 210000 N/mm2 şi Lcr este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat, Lcr,y = 12,00 m şi Lcr,z = 6,00 m

Zvelteţea relativă Zvelteţea relativă se calculează cu ajutorul formulei:

2

,

26 10 3553,77

64704y

ycr y

A f

N

2

,

26 10 3553,10

96049y

zcr z

A f

N

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Pentru elemente cu zvelteţea λ ≤ 0.2 sau cu raportul NEd / Ncr ≤ 0.04 verificarea de pierdere

a stabilităţii generale a elementului nu este necesară fiind suficientă verificarea de rezistenţă a secţiunii transversale.

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (4)

Factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere În cazul elementelor supuse la compresiune uniformă valoarea factorului de reducere χ

depinde de zvelteţea redusă ce trebuie determinată ţinând seama de curbele de flambaj corespunzătoare:

2 2

1

însă 1

în care:

20,5 1 ( 0,2) ;

este factor de imperfecţiune. SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secţiunea transversală trebuie să luăm în considerare următoarele condiţii (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2):

HEB 100 – profil laminat;

Raportul 100

1 1,2100

h

b ;

Grosimea tălpilor 10 mm 100 mmft

Marca de oţel S355

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei y-y Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1);

2 20,5 1 ( 0,2) 0.5 1 0,34 (3,77 0,2) 3,77 8,213y y y y

2 2 2 2

1 10,0645

8,213 8,213 3,77y

y y y

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei z-z Curba de flambaj c, factorul de imperfecţiune αZ = 0.49

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (3,10 0,2) 3,10 6,016z z z z

2 2 2 2

1 10,0895

6,016 6,016 3,10z

z z z

χ = min (1.0, χ y, χ z) = 0.0645 (în cazul în care χ > 1 atunci χ = 1)

Rezistenţa la flambaj Rezistenţa la flambaj se determină cu următoarei relaţie:

2

,26 10 355

0,0645 59533 N 59,5 kN1,00

yb Rd

A fN

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) Verificarea condiţiei:

,

90015,2 1

59.3Ed

b Rd

N

N elementul nu verifică şi trebuie aleasă o altă secţiune

transversală (profil).

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

Observaţie: Cu toate ca elementul satisface cerinţele de rezistenţă, rezistenţa la pierderea stabilităţii generale este depăşită de peste 15 ori ceea ce subliniază necesitatea efectuării verificărilor de stabilitate în cazul elementelor de oţel.

În concluzie este nevoie să alegem o altă secţiune transversală. Vom alege HEB 220. Dimensiuni şi caracteristici geometrice ale secţiunii transversale

HE 220 B - Marca de oţel S355; Înălţimea; h = 220,0 mm Lăţimea tălpilor b = 220.,0 mm Grosimea inimii tw = 9,5 mm Grosimea tălpilor tf = 16,0 mm Raza de racord r = 18,0 mm Aria secţiunii transversale A = 91,0 cm2


Efortul critic de flambaj Ncr Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaţie de definiţie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 8091 101163371 N 1163 kN

12000

ycr y

cr y

E IN

L

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 2834 101629956 N 1630 kN

6000z

cr zcr z

E IN

L


unde, E este modulul de elasticitate longitudinal E = 210000 N/mm2 şi Lcr este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat, Lcr,y = 12,00 m şi Lcr,z = 6,00 m Zvelteţea relativă

2

,

91 10 3551,666

1163371y

ycr y

A f

N

2

,

91 10 3551,408

1629956y

zcr z

A f

N

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) Factorul de reducere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secţiunea transversala trebuie să luam în considerare următoarele condiţii (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2): HEB 220 – profil laminat

Raportul 220

1 1,2220

h

b


Marca de oţel S355 Pierderea stabilităţii generale în jurul axei y-y:

Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0,34 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1); 2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (1,666 0,2) 1,666 2,137y y y y

2 2 2 2

1 10,288

2,137 2,137 1,666y

y y y

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei z-z: Curba de flambaj c, factorul de imperfecţiune αZ = 0.49

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (1,408 0,2) 1,408 1,784z z z z

2 2 2 2

1 10.346

1,748 1,748 1,408z

z z z

χ = min (1,0, χ y, χ z) = 0,288 (în cazul în care χ > 1 atunci χ = 1) Rezistenţa la flambaj

Rezistenţa la flambaj se determină cu următoarei relaţie:

2

,91 10 355

0,288 930384 N 930 kN1,00

yb Rd

A fN


,

9000,968 1

930Ed

b Rd

N

N elementul verifică

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

E.2. Verificarea de pierdere a stabilităţii generale a unui element cu secţiunea de clasa 4 supus la compresiune uniformă

Descrierea problemei Se consideră o grinda cu zăbrele cu diagonale în V cu tălpi paralele realizată din ţeavă

pătrată formata la rece. Tălpile executate din SHS 350 x 350 x 12. Se cere să se efectueze verificarea la flambaj a diagonalei comprimate realizate din SHS 200 x 200 x 5. Schema statică

N

L

Figura E.2.1. Schema statica

Element dublu articulat.

Datele problemei Pentru verificarea de rezistenţă a stâlpului sunt necesare următoarele date:

Forţa axială NEd = 1000 kN Lungimea elementului L = 2.75 m Marca oţelului S355

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale SHS 300 x 300 x 5 – Marca S355; Înălţimea h = 200.0 mm Lăţimea b = 200.0 mm Grosimea t = 5.0 mm Aria secţiunii transversale A = 39.0 cm2 Clasa secţiunii Clasa 4 (ex.2) Aria eficace Aeff = 35.22 cm2 Momentul de inerţie / yy Iy = 2,473 cm4 Momentul de inerţie / zz Iz = 2,473 cm4

Determinarea clasei de secţiune Pentru a determină clasa secţiunii transversale trebuie calculată supleţea pereţilor comprimaţii.

Toţi pereţii secţiunii sunt pereţi interiori supuşi la compresiune. Parametrul ε depinde de limita de curgere a mărcii de oţel:

2

235 2350.81

355[ / ]yf N mm

Perete interior supus la compresiune

2 200 3 5

37 425

c h t

t t

secţiune de clasa IV

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2(1)

Determinarea secţiunii efective Întreaga secţiune este supusa la compresiune deci raportul între tensiunile unitare de la

capetele peretelui 1 factorul de flambaj k 4.0

beff1 beff2

beff

1be

ff2

eficace

Figura E.2.2. Aria eficace

0,903 200 181

0.5 0,5 181 90,5

ef

el eff

b b mm

b b mm

EN 1993-1-5 Tabel 4.1

Factorul de reducere ρ al lăţimii se calculează pentru pereţii interiori:

2 2

0,055 (3 ) 0,804 0,055 (3 1)0,903

0,804

p

p

EN 1993-1-5 §4.4 (2)

Zvelteţea redusă a plăcii se calculează:

/ (200 3 5) /5

0,80428,4 28,4 0,81 4,00

pb t

k

Calculul ariei efective

20,903 3900 3522 mmeffA A

EN 1993-1-5 §4.4 (1)

Alternativ aria efectivă poate fi calculată astfel:

24 ( ) 3900 4 5 (200 181) 3520 mmeff effA A t b b

Rezistenţa la compresiune Pentru a determină rezistenţa de calcul a secţiunii transversale stâlpului la compresiune


2

,0

35,22 10 3551250310 N 1250 kN

1,0net y

c RdM

A fN

SREN 1993-1-1 (6.11)

După determinarea capacităţii portante se trece la verificarea condiţiei:

,

10000,8 1,0

1250Ed

c Rd

N


SREN 1993-1-1 (6.9)

Determinarea lungimii de flambaj Deoarece grinda cu zăbrele este cu tălpi paralele, cu diagonale în V, şi tălpile executate

din SHS 350 x 350 x 12 se poate consideră că multiplicatorul lungimii de flambaj este 0,75 în ambele planuri.

SREN 1993-1-1 §BB1.3 (2) B

200

0,57 0,6350

diagonala

talpa

h

h

Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); fL_y = 0,75 Lungimea de flambaj (y-y); Lcr,y = fL_y L = 2,06 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 0,75 Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z L = 2,06 m

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniformă Pentru a determină rezistenţa la flambaj a diagonalei Nb,Rd, este necesară determinarea

factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere χ corespunzător curbei de flambaj pentru secţiunea transversală a diagonalei. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteţii relative λ funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat pe proprietăţile secţiunii transversale brute şi rezistenţa de calcul a secţiunii transversale stâlpului la compresiune uniformă.


1

1 2063 1 35220,322

79,63 76,4 3900effcr

y

AL

i A

1 93,9 76,4y

E

f

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Pentru determinarea ariei eficace vezi exemplu de calcul 2.8.3.


depinde de zvelteţea redusă λ ce trebuie determinată ţinând seama de curbele de flambaj corespunzătoare:

2 2

1

însă 1

în care: 20,5 1 ( 0,2) ;

este factor de imperfecţiune. SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secţiunea transversală trebuie să luăm în considerare următoarele condiţii : (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.2): SHS 200 x 5 – secţiune tubulară formată la rece Pierderea stabilităţii generale în jurul axei y-y sau z-z:

Curba de flambaj c, factorul de imperfecţiune αy = 0,49 (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.1):

2

2

0,5 1 ( 0,2)

0,5 1 0,49 (0,322 0,2) 0,322 0,582

y z z z z

2 2 2 2

1 10,937

0,582 0,582 0,322y z

z z z

χ = min (1.0, χy, χz) = 0.937 (în cazul în care χ > 1 atunci χ = 1)

Rezistenţa la flambaj Rezistenţa la flambaj se determină cu următoarea relaţie:

2

,1

35,22 10 3550,937 1171540 N 1172 kN

1,00eff y

b RdM

A fN


,

10000,85 1

1172Ed

b Rd

N


SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stâlp cu blocaje laterale

Descrierea problemei Se consideră stâlpul de colţ al unei hale parter, cu prinderea la bază realizata în soluţie

articulată pe ambele direcţii. Atât cadrul longitudinal cât şi cadrul transversal de fronton sunt contravântuite. Rigla cadrului transversal reazemă articulat pe stâlp transmiţându-i acestuia doar efort axial. Închiderile structurii sunt realizate din tablă cutată ce sprijină pe riglele de perete fixate pe stâlpi cadrului longitudinal din 2.5 m în 2.5m.

Schema statică

L1

z

y

L2

L3

N

L

zy

N

Figura E.3.1. Schema statica si lungimile de flambaj după axa yy, respectiv zz

Datele problemei Pentru verificarea de rezistenţă şi flambaj a stâlpului sunt necesare următoarele date:

Forţa axială NEd = 1100 kN Lungimea elementului L = 7,50 m Marca oţelului S235 Clasa secţiunii Clasa 1

Determinarea lungimii de flambaj Prezenta riglelor de perete nu modifica comportarea elementului la pierderea stabilităţii în

planul cadrului: Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y) fL_y = 1.00 Lungimea de flambaj (y-y) Lcr,y = fL_y L = 7,50 m

În cazul în care se ţine cont de prezenta riglelor de perete care fixează elementul în afara planului cadrului:

Lungimea de flambaj (z-z) pe cele 3 intervale: Lcr,z,1 = 2,50 m

Lcr,z,2 = 2,50 m Lcr,z,3 = 2,50 m Lcr,z = max(Lcr,z,1; Lcr,z,2; Lcr,z,3) = 2,50 m În cazul în care nu se ţine cont de prezenta riglelor de perete care fixează elementul în

afara planului cadrului: Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 1,00 Lungimea de flambaj (z-z); Lcr,z = fL_z L = 7,50 m

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale HE 200 B – Marca de oţel S235; Înălţimea; h = 200,0 mm Lăţimea tălpilor b = 200,0 mm Grosimea inimii tw = 9,0 mm Grosimea tălpilor; tf = 15,0 mm Raza de racord; r = 18,0 mm Aria; A = 78,1 cm2

Momentul de inerţie / yy; Iy = 5696 cm4 Momentul de inerţie / zz Iz = 2003 cm4

Caracteristici mecanice – limita de curgere Marca S235 Deoarece grosimea maximă a pereţilor secţiunii transversale este 15,0 mm ≤ 40 mm, limita

de curgere este fy = 235 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

Coeficienţii parţiali de siguranţă M0 = 1,00 M1 = 1,00

SREN 1993-1-1 §6.1 (1)


factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere χ corespunzător curbei de flambaj pentru secţiunea transversală a stâlpului. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteţii relative λ funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat pe proprietăţile secţiunii transversale brute şi rezistenţa de calcul a secţiunii transversale stâlpului la compresiune uniformă.


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 5696 102098778 N 2099 kN

7500y

cr ycr y

π EIN

L

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 2003 106642323 N 6642 kN

2500z

cr zcr z

π E IN

L

(3.4) În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

2 2 5 4

0 z, 2 2

,

3,14 2,1 10 2003 10738036 N 738 kN

7500cr z

cr z

π E IN

L


2

y,

78,1 10 2350,937

2089778y

cr y

A f λ

N

2

,

78,1 10 2350,526

6642323y

zcr z

A f λ

N

În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

2

0

,

78,1 10 2351,577

738036y

zcr z

A f λ

N

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1) Factorul de reducere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secţiunea transversală trebuie să luam în considerare următoarele condiţii: HEB 200 - profil laminat

Raportul 200

1 1,2200

h

b


Marca de oţel S235

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0,34

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,937 0,2) 0,937 1,064y yy y

2 2 22

1 10,638

1,064 1,064 0,937y

yy y

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei z-z: Curba de flambaj c, factorul de imperfecţiune αz = 0.49

2 2z0,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,526 0,2) 0,526 0,718zz z

2 2 22

1 10,829

0,718 0,718 0,526 - z

zz z

În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei z-z in cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

Curba de flambaj c, factorul de imperfecţiune αz = 0.49

20 2z0,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (1,577 0,2) 1,577 2,081zz z

0

0 2 20 0 2 2

1 10,291

2,081 2,081 1,577( ) ( )z

zz z

χ = min (1.0, χ y, χ z) = 0,638 (în cazul în care χ > 1 atunci χ = 1)

Rezistenţa la flambaj

2

y,

1

78,1 10 2350,638 1170953 N 1171 kN

1,00b RdM

A fN

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3)

Verificarea condiţiei:

,

11000,94 1.0

1171Ed

b Rd

N


SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1) În cazul în care riglele de perete nu ar asigura fixarea laterală:

2

0 0,

1

78,1 10 2350,291 534087 N 534 kN

1,00y

b RdM

A fN


0,

11002,06 1,0

534Ed

b Rd

N

N elementul nu verifică

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stâlp dintr-un cadru multi-etajat

Descrierea problemei Acest exemplu de calcul îşi propune să determine lungimea de flambaj şi rezistenţa la

pierderea stabilităţii generale prin încovoiere a unui stâlp dintr-un cadru multietajat cu noduri rigide. Vor fi considerate două situaţii de comportare globală a cadrului. În prima ipoteza cadrul va fi considerat cu noduri fixe, iar în a doua situaţie va fi considerat cu noduri deplasabile. Va fi analizat un stâlp interior alcătuit dintr-un profil laminat european HEM.

Determinarea comportării globale a cadrului per ansamblu nu face obiectul acestui exemplu, însă clasificarea se face conform SREN 1993-1-1 paragraful 5.2.1 (3) – analiza globala. Datele problemei


SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

Date geometrice Deschiderea grinzii superioare stânga l11 = 6,00 m Deschiderea grinzii superioare dreapta l12 = 6,00 m Deschiderea grinzii inferioare stânga l21 = 6,00 m Deschiderea grinzii inferioare dreapta l22 = 6,00 m Înălţimea stâlpului studiat lc = 3,50 m Înălţimea stâlpului de la etajul superior l1 = 3,50 m Înălţimea stâlpului de la etajul superior l2 = 3,80 m Marca oţelului S275 Clasificarea secţiunii transversale Clasa 1

Caracteristici geometrice ale secţiunilor transversale Stâlpul studiat HE 220 M Iy = 14600 cm4; A = 149,4 cm2; Stâlpul superior HE 200 M Iy = 10642 cm4; A = 131,3 cm2; Stâlpul inferior HE 240 M Iy = 24290 cm4; A = 199,6 cm2; Grindă superioară stânga IPE 400 Iy = 23128 cm4; A = 84,5 cm2; Grindă superioară dreapta IPE 400 Iy = 23128 cm4; A = 84,5 cm2; Grindă inferioară stânga IPE 450 Iy = 33743 cm4; A = 98,8 cm2; Grindă inferioară dreapta IPE 400 Iy = 23128 cm4; A = 84,5 cm2;

a) Cadru cu noduri fixe

lc

l1

l11,l21 l12,l22

l2

c

11

21 22

12

1

2

Figura E.4.1. Cadru transversal cu noduri fixe

b) Cadru cu noduri deplasabile

l2

lc

l1

l11,l21

c

11

21 22

12

1

2

l12,l22

Figura E.4.2. Cadru transversal cu noduri deplasabile

Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oţel S275 Deoarece grosimea maximă a pereţilor secţiunii transversale este 26,0 mm ≤ 40 mm, limita

de curgere este : fy = 275 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

k11

k21

k12

k22

kc

k2

k1

Figura E.4.3. Notaţiile folosite pentru rigidităţile elementelor

Cadru cu noduri fixe

k11

k21

k12

k22

kcl

N1

Figura E.4.4. Forma de pierdere a stabilităţii a unui stâlp parte a unei structuri cu noduri fixe

Determinarea lungimii de flambaj în cele două ipoteze de comportare globală a cadrului Determinarea lungimii de flambaj se face în conformitate cu P100/2006 anexa F paragraful F.5. (vezi anexa II.2)

Factori de distribuţie a rigidităţii 1 şi 2 Se consideră că grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale şi rămân în domeniul elastic

sub acţiunea momentelor de calcul. Rotirea la capătul opus poate fi considerată egală şi de semn opus cu cea de la capătul studiat (simplă curbură). (P100/2006 – Tabel F.3.(1)).

Rigiditatea poate fi calculată astfel:

Rigiditatea stâlpilor cc

c

Ik

l

Rigiditatea grinzilor 0.5 ijij

ij

Ik

l (vezi Tabel II.1)

astfel obţinem următori factori de distribuţie:

11

1 11 12

14600 10462350 350 0,652

14600 10462 23128 231280,5 0,5

350 350 600 600

c

c

k k

k k k k

(vezi II.1)

22

2 21 22

14600 24290350 380 0,690

14600 24290 33743 231280,5 0,5

350 380 600 600

c

c

k k

k k k k

(vezi II.2)

Raportul între Lcr/L se poate obţine din diagrama prezentată în Figura F.4. P100/2006

(vezi Fig. II.4) sau aplicând formula (II.3):

2

1 2 1 2

2

0,5 0,14 ( ) 0,055 ( )

0,5 0,14 (0,652 0,690) 0,055 (0,652 0,690) 0,787

crL

L

Lungimea de flambaj a stâlpului se poate obţine:

_ 0,787 3500 2755 mmcr cr yL f L

Anexa F - P100-1/2006 (Fig. II.4)


factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere χ corespunzător curbei de flambaj pentru secţiunea transversală a stâlpului. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteţii relative funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat, bazat pe proprietăţile secţiunii transversale brute şi rezistenţa de calcul a secţiunii a transversale stâlpului la compresiune uniformă. Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr

Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaţie de definiţie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 14605 1039842 kN

2755y

cr ycr y

π E IN

L


2

y,

149,4 10 2750,321

39841616y

cr y

A f

N

Printr-o formulare alternativă zvelteţea relativă poate fi calculată astfel:

y1

27,850,321

86,81y

, 275527,85

98,94cr y

y

L

i

1 93,9 86,81y

E

f

Factorul de reducere Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secţiunea transversală trebuie să luăm în

considerare următoarele condiţii: HEM 240 - profil laminat

Raportul 240

1,062 1,2226

h

b


Marca de oţel S275

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0.34;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,321 0,2) 0,321 0,572y yy y

2 2 22

1 10,957

0,572 0,572 0,321y

yy y


2

,1

149,4 10 2750,957 3931835 N 3932 kN

1,00y

b RdM

A fN

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) Cadru cu noduri deplasabile

k11

k21

k12

k22

kc

N1

N2

Figura E.4.5. Forma de pierdere a stabilităţii a unui stâlp parte a unei structuri cu noduri

deplasabile

Factori de distribuţie a rigidităţii 1 şi 2 Se consideră că grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale şi rămân în domeniul elastic sub

acţiunea momentelor de calcul. Rotirea la capătul opus poate fi considerată egală cu cea de la capătul studiat (dublă curbură).(P100/2006 - Tabel F.3. (1)).

Rigiditatea poate fi calculată astfel:

Rigiditatea stâlpilor cc

c

Ik l

l

Rigiditatea grinzilor 1,5 ijij

ij

Ik

l (vezi Tabel II.2)

astfel obţinem următori factori de distribuţie:

11

1 11 12

14600 10462350 350 0,384

14600 10462 23128 231281,5 1,5

350 350 600 600

c

c

k k

k k k k

(vezi II.1)

22

2 21 22

14,600 24,290

350 380 0.42614,600 24,290 33,734 23,128

1.5 0.5350 380 600 600

c

c

k k

k k k k

(vezi II.2)

Anexa F - P100/2006 (Fig. II.5)

Raportul între Lcr/L se poate obţine din diagrama prezentata în Figura F.5. P100/2006 sau aplicând formula:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 0,2 ( ) 0,12

1 0,8 ( ) 0,6

1 0,2 (0,384 0,426) 0,12 0,384 0,4260,957

1 0,8 (0,384 0,426) 0,4 0,384 0,426

crL

L

(vezi formula II.4)

Lungimea de flambaj a stâlpului se poate obţine:

_ 1,348 3500 4719 mmcr cr yL f L

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere a elementului supus la compresiune uniformă Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 14605 1013579 kN

4719y

cr ycr y

π E IN

L


2

,

149,4 10 2750,55

13579388y

ycr y

A f

N

Factorul de reducere Alegerea curbei de flambaj este aceiaşi ca în ipoteza cu noduri fixe.

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei y-y: Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0.34

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,55 0,2) 0,55 0,711y yy y

2 2 22

1 10,861

0,711 0,711 0,55y

yy y


2

,1

149,4 10 2750,861 3537419 N 3537 kN

1,00y

b RdM

A fN

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3)

E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stâlp in trepte

Descrierea problemei Se consideră o structură parter. Stâlpul cadrului transversal este realizat in trepte.

Ramura superioara este I din table sudate 500x200x6x12mm şi are înălţimea de 3,50m, iar ramura inferioara I 1000x200x10x12. Se considera ca acoperişul şi sistemul de contravântuiri împiedica deplasarea laterala a capătului superior al stâlpului. Se cere să se determine lungimile de flambaj ale celor doua ramuri stâlpului cadrului.

Schema statică

Figura E.5.1. Schema statica si secţiunile transversale

Datele problemei

Pentru verificarea de rezistenţă şi flambaj a stâlpului sunt necesare următoarele date: Raport forţa axială Efort axial ramura inferioara / ramura superioara P1/P2 = 3 Lungimea elementului Ramura superioara L2 = 3,50 m Ramura inferioara L1 = 7,00 m Marca oţelului S355 Clasa secţiunii Clasa 1

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale

Ramura superioara; Înălţimea h = 500,0 mm Lăţimea tălpilor b = 200,0 mm Grosimea inimii tw = 6,0 mm Grosimea tălpilor tf = 12,0 mm Momentul de inerţie / yy Iy2 = 3398 cm4

Ramura inferioara; Înălţimea h = 1000,0 mm Lăţimea tălpilor b = 200,0 mm

Grosimea inimii tw = 10,0 mm Grosimea tălpilor tf = 12,0 mm Momentul de inerţie / yy Iy1 = 19460 cm4

Multiplicatorul lungimii de flambaj Pentru alegerea determinarea multiplicatorului lungimii de flambaj pentru un stâlp cu

secţiune variabila cu o sigura treapta sunt necesare următoarele rapoarte:

2

1

42

41

1

2

35000,5

7000

3398 100,175

19460 10

3

L

L

I

I

P

P

Relaţiile de calcul al coeficienţilor 1 si 2 pentru determinarea lungimii de flambaj in planul cadrului:

2 2 2 211 12

1

12

1

1 4 1 0,945 1,78751,2118

41,2118

2,026 30,598

c

c

c

1 2

2

2 11

1 2

4

1 1 10,5 0,598

4 0,175

N Nc

N

L Ic

L c I

Deoarece capătul superior este cu rotiri libere si deplasări împiedecate pentru determinarea 11 si 12 se va folosi Tabelul 22 din STAS 10108/0-78:

12

11

1,7875

0,945

valorile se obţin prin interpolare liniara

Lungimii de flambaj:

In planul cadrului:

, 1 1 1

, 2 2 2

1,2118 7000 8483

2,026 3500 7089

cr y

cr y

L L mm

L L mm

Normal pe planul cadrului:

, 1 1

, 2 2

1 7000 7000

1 3500 3500cr z

cr z

L L mm

L L mm

E.6. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii a unui element compus supus la compresiune uniformă

Descrierea structurii Se consideră grinda de acoperiş alcătuita in soluţie ferma metalică a unei hale parter.

Grinda cu zăbrele este simetrică de formă bitrapezoidală cu montanţi si diagonale alternante. Talpa superioară are o pantă de = 7o35’. Se consideră ca acoperişul asigură legătura transversală a tălpii superioare la deplasare laterală datorită rigidităţii suficiente a tablei de acoperiş si a sistemului de contravântuiri din acoperiş. Tălpile grinzii sunt alcătuite din profile U spate in spate depărtate (cu axa maximă de inerţie perpendiculară pe planul tălpii), solidarizate

cu ajutorul unor plăcuţe cu lungimea de 100 mm aşezate la distanta de 650mm. Panele rezemă pe talpa superioară tot la al doilea nod asigurând fixarea laterală (in afara planului fermei) pe deschiderea a două panouri). Se cere verificarea tălpii superioare.

Schema statică Grinda cu zăbrele, cu barele articulate in noduri, simplu rezemata cu deschiderea de 21 m.

12 panouri a cate 1,75m.

1750 1750 1750 1750 1750 1750

1400

2600

175017501750175017501750

21000

Figura E.6.1. Grinda cu zăbrele

Datele problemei

Pentru verificarea de rezistenţă şi flambaj a stâlpului sunt necesare următoarele date:

Talpa superioara (11-13) Forţa axială Ipoteze de încărcare

Greutate proprie (G) NEd = -143,22 kN Greutatea zăpezii (Z) NEd = -107,42 kN

Combinaţia de încărcare 1,35 G + 1,5 Z NEd = -354,5 kN

Lungimea teoretica elementului L = 1513 mm Marca oţelului S235 Clasa secţiunii Clasa 1


tftw

yuys ys

z z

y

SECTIUNE TRANSVERSALA

100 650 100

2 UPN 120

Pl. 120x6

Figura E.6.2. Secţiunea transversala şi poziţionarea plăcuţelor de solidarizare

2 UPN 120; Înălţimea h = 120,0 mm Lăţimea tălpilor b = 50,0 mm Grosimea inimii tw = 7,0 mm Grosimea tălpilor tf = 9,0 mm Aria secţiunii transversale A = Ach = 17,0 cm2

Momentul de inerţie / yy Iy = 364 cm4 Momentul de inerţie / zz Iz = 43,2 cm4

Modul de rezistenţă plastic / zz Wpl,z = 21,2 cm3 Poziţia centrului de greutate ys = 16,0 mm Distanta intre profile (UPN100) yu = 50,0 mm Distanta intre elementele de solidarizare a = 750 mm

Determinarea lungimii de flambaj Conform Anexei BB (BB1.1), lungimea de flambaj Lcr a unei tălpi cu secţiunea de forma I

sau H poate fi luată egală cu 0,9L pentru flambajul în plan şi 1,0L pentru flambajul în plan perpendicular. În acest exemplu se va folosi pentru talpa lungimea de flambaj 1,0L pentru flambajul în plan şi în plan perpendicular (STAS 10108/0-78).

y

z

x

x

Figura E.6.3. Lungimile de flambaj

În structurile triunghiulare obişnuite, lungimea de flambaj Lcr a zăbrelelor pentru flambajul în

plan poate fi luată egală cu 0,9L şi 1,0L pentru flambajul în plan perpendicular. Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); fL_y = 1,00; L = 1765 mm Lungimea de flambaj (y-y); Lcr,y = fL_y L = 1765 mm Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 1,00; L = 3530 mm Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z L = 3530 mm

Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oţel S235 Deoarece grosimea maximă a pereţilor secţiunii transversale este 9,0 mm 40 mm, limita



SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

Verificarea de rezistenţă a secţiunii transversale a tălpii superioare

Rezistenţa la compresiune

Pentru a determină rezistenţa de calcul a secţiunii transversale a stâlpului la compresiune uniformă se foloseşte relaţia de definiţie corespunzătoare clasei de secţiune 1:

2

2,

0

17 10 235799000 N 799 kN

1,0U y

c RdM

A fN

SREN 1993-1-1 (6.10) După determinarea capacităţii portante se trece la verificarea condiţiei:

,

354,50,444 1,0

799Ed

c Rd

N


SREN 1993-1-1 (6.9)

Rezistenţa la pierderea stabilităţii Pentru a determină rezistenţa la flambaj a stâlpului Nb,Rd, este necesară determinarea

factorului de reducere pentru flambaj prin încovoiere corespunzător curbei de flambaj pentru secţiunea transversală a stâlpului. Acest factor se determină cu ajutorul zvelteţii relative . se calculează în funcţie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat şi rezistenţa de calcul a secţiunii transversale stâlpului la compresiune uniformă. Se calculează folosind proprietăţile secţiunii transversale brute. In planul grinzii Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 2 364 104839 kN

1765

ycr y

cr y

E IN

L

Efortul axial critic Euler (4.3)

unde E este modulul de elasticitate longitudinal, E = 210000 N/mm2 şi Lcr este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat, Lcr,y = 1765 mm


2

,

2 17 10 2350,406 0,2

483900y

ycr y

A f

N

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)


depinde de zvelteţea redusă ce trebuie determinată ţinând seama de curbele de flambaj corespunzătoare:

2 2

1

însă 1

în care:

20,5 1 ( 0,2) ;

este factor de imperfecţiune funcţie de curba de flambaj SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei y-y Curba de flambaj c (SREN 1993-1-1 Tabel 6.2), factorul de imperfecţiune αy = 0,49 (SREN

1993-1-1 Tabel 6.1);

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,406 0,2) 0,406 0,633y y y y

2 2 2 2

1 10,894

0,633 0,633 0,409y

y y y

Rezistenţa la flambaj in planul cadrului Rezistenţa la flambaj se determină cu următoarei relaţie:

2

2,

2 17 10 2350,894 714,4 kN

1,00U y

b Rd

A fN

SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (3) După determinarea capacităţii portante se trece la verificarea condiţiei:

,

354,50,496 1,0

714,4Ed

b Rd

N


In afara planului grinzii

Momentele de inerţie după axa minima de inerţie se calculează cu ajutorul formulei lui Steiner:

22 2 4 4 40

,2 0,5 82 17 10 2 43,2 10 657,9 102z ch z chh

I A I mm

0 2 2 16 50 82s uh y y mm Momentele de inerţie la încovoiere ale barelor compuse cu plăcuţe de solidarizare pot fi

calculate astfel: 200,5 2eff ch ch I h A I

SREN 1993-1-1 § 6.4.3.1 (3) (6.74)

unde: – = factor de eficacitate ce depinde de zvelteţea maximă elementului compus (Tabel 6.8);

4

0 2

657,9 1043,99

2 2 17 10z

ch

Ii mm

A

0

2 1765 80,2580,25 2 2 0,93

43.99 75 75

L

i

2 2 2 4 4 400,5 2 0,5 82 17 10 2 0,93 43,2 10 651,9 10eff ch ch I h A I mm


2 2 5 4

,, 2 2

,

3,14 2,1 10 651,9 101083199 N 1083,2 kN

3530

eff zcr z

cr z

E IN

L


unde Lcr,z este lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat, Lcr,z= 3530 mm (distanta intre doua pane)

Rigiditatea la forfecare Sv Sv trebuie calculată astfel:

2 2 5 4

2 2

2 2 3,14 2,1 10 43,2 103180

750ch

vEI

S kNa

SREN 1993-1-1 § 6.4.3.1 (3) (6.73)

Eforturile de calcul În general barele compuse cu secţiune uniformă, solicitate la compresiune concentrică şi

articulate la extremităţi se considerată ca un stâlp având o imperfecţiune în arc e0 = L/500 = 7,06

mm. În cazul verificării tălpii superioare se poate aplica modelul barei compuse cu secţiune constantă supusă la compresiune concentrică deoarece elementele de solidarizare alcătuiesc în lungul barei compuse panouri identice cu ramuri paralele si numărul de panouri în bara compusă este mai mare de trei.

În cazul unei bare compuse alcătuite din două ramuri identice, efortul de calcul Nch,Ed trebuie determinat astfel:

6 230

, 4

4,459 10 82 17 100,5 0,5 354,5 10 224,93

2 2 651,9 10Ed ch

ch Ed Edeff

M h A N N kN

I

30

3 3

3 3

354,5 10 7,06 04,459

354,5 10 354,5 101 11083 10 3180 10

IEd Ed

EdEd Ed

cr v

N e MM kNm

N NN S

SREN 1993-1-1 § 6.4.1 (6)

unde: Ncr – este efortul critic eficace în bara compusă; NEd – valoarea de calcul a efortului de compresiune care acţionează în bara compusă; MEd

I – este valoarea de calcul a momentului de încovoiere maxim, care acţionează la jumătatea lungimii barei compuse, luând în considerare efectele de ordinul doi; h0 – este distanţa între centrele de greutate ale ramurilor; Ach – este aria secţiunii transversale a unei ramuri; Ieff – este momentul de inerţie efectiv al barei compuse; Sv – este rigiditatea la forfecare a elementelor de solidarizare; Ach – este aria secţiunii transversale a unei ramuri;

Pierderea stabilităţii în afara planului a unei ramuri În cazul verificării unei ramurii in afara planului Lcr,z = a =750 mm. Efortul critic de

flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaţie de definiţie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 43,2 101590 kN

750z

cr z acr z a

E IN

L



2

3,

2 17 10 2350,709 0,2

1590 10

yz

cr z a

A f

N

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei z-z

Curba de flambaj c (SREN 1993-1-1 Tabel 6.2), factorul de imperfecţiune αz = 0,49 (SREN 1993-1-1 Tabel 6.1);

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,709 0,2) 0709 0,876z z z z

2 2 2 2

1 10,719

0,876 0,876 0,709z

z z z

Rezistenţa la flambaj in planul cadrului Rezistenţa la flambaj se determină cu următoarei relaţie:

2

, ,17 10 235

0,719 287,2 kN1,00

ch yz b Rd z

A fN


.

,

224,90,783 1

287,2ch Ed

b Rd

N


SREN 1993-1-1 §6.3.1.1 (1)

De regulă, verificarea zăbrelelor barelor compuse cu zăbrele sau verificarea pentru eforturile care rezultă din efectul de cadru în barele compuse cu plăcuţe de solidarizare, trebuie făcută în panourile de la extremităţile barei, pornind de la forţa tăietoare globală VEd , care acţionează în bara compusă şi se determină prin:

64,459 103,14 3,967

3530Ed

EdM

V kNL

3

,3,967 10 750

0,7444 4

Edch Ed

V aM kNm

Rezistenţa la forfecare Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare în absenţa răsucirii depinde de aria de

forfecare, care pentru un profil U solicitat paralel cu tălpile se defineşte ca fiind aria celor două tălpi:

22 ( ) 2 (55 7 9) 9 702 mmvy w fA b t r t

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3)

Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare În absenţa răsucirii, rezistenţei plastice la forfecare a secţiunii compuse este dată de relaţia:

, ,0

2 ( / 3) 2 702 235190,5 kN

3 1,0vy y

pl y RdM

A fV

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2)

Trebuie să fie satisfăcută condiţia:

,

3,9670,021 0,5

190,5Ed

c Rd

V

V nu e necesară nicio reducere a capacităţii la flambaj a

elementului

Verificarea interacţiunii M-N In secţiunea din dreptul elementelor de solidarizare trebuie făcuta verificarea la acţiunea M-

N. Relaţia de verificare (6.62) devine simplificat: ,

, ,

1z EdEdzz

b Rd z Rd

MNk

N M , unde NEd = Nch,Ed; Nb,Rd = Nz,b,Rd; Mz,Ed = Mch,Ed; Mz,Rd = Mpl,Rd;

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Pentru o secţiune de clasa 1 rezistenţa de calcul a unei secţiuni transversale supusă la

încovoiere în raport cu axa principală de inerţie se determină astfel:

3

,, ,

0

21,2 10 2354,982 kNm

1,0pl z y

z Rd pl RdM

W fM M

Calculul factorilor de interacţiune kzz Factorii de interacţiune kyy , kyz , kzy , kzz depind de metoda de calcul aleasă. Se pot calcula

folosind două metode alternative. În acest exemplu valorile acestor factori au fost determinate conform anexei B (metoda alternativă 2). kzz se determina conform Tabel B.2 (elemente sensibile la deformaţii prin răsucire), ce face trimitere la Tabel B.1, profilul U putând fi asimilat cu secţiuni I:

, ,

, ,

1 2 0,6 1 1,4ch Rd ch Rdzz mz z mz

b Rd b Rd

N Nk C C

N N

Calculul factorilor de moment uniform Cmz Deoarece profilul U intre doua elementele de solidarizare are cu mod de instabilitate cu

noduri deplasabile trebuie să se ia ca factor de moment uniform echivalent Cmz = 0,9. SREN 1993-1-1 Anexa B (Tabel B.3)

,

,

,

,

224,91 2 0,6 0,9 1 2 0,709 0,6

287,3

224,91,476 1 1,4 0,9 1 1,4 1,886

287,3

ch Rdzz mz z

b Rd

ch Rdmz

b Rd

Nk C

N

NC

N


3 6,

3 6, ,

224,9 10 0,744 101,476 1,003 1

287,3 10 4,982 10z EdEd

zzb Rd z Rd

MNk

N M

elementul nu verifică şi trebuie

aleasă o altă secţiune transversală

E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C formată la rece, solicitată la compresiune

Descrierea problemei Exemplul prezintă calculul caracteristicilor eficace pentru o secţiune de tip C, formată

la rece, solicitată la compresiune.

Datele problemei Marca oţelului S355

Modulul de elasticitate 2210000 N mmE Coeficientul lui Poisson 0,3

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale Înălţimea totală a inimii 150 mmh Lăţimea totală a tălpii comprimate 1 47 mmb Lăţimea totală a tălpii întinse 41 mm2b

Lăţimea totală a rebordului 16mmc Raza interioară 3 mmr Grosimea nominală 1 mmnomt

Grosimea miezului de oţel 0,96 mmt (calculată conform paragrafului § 3.2.4(3) din EN1993-1-3)

Dimensiunile secţiunii pe axa mediană (vezi Figura E.x.1): Înălţimea inimii 150 1 149 mmh h tp nom

Lăţimea tălpii comprimate 47 1 46 mm1 1b b tp nom

Lăţimea tălpii întinse 41 1 40 mm2 2b b tp nom

Lăţimea rebordului 2 16 1 2 15,5mmc c tnomp

Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca de oţel S355 Deoarece grosimea maximă a pereţilor secţiunii transversale este 1.0 mm 40 mm, limita



SREN 1993-1-3 § 2(3)

Figura E.7.1. Secţiunea transversală

Verificarea proporţiilor geometrice Metoda de calcul conform SR EN1993-1-3 poate fi aplicată dacă următoarele condiţii

sunt satisfăcute: 60b t 1 47 0,96 48,96 60b t – verifică 50c t 16 0,96 16,67 50c t – verifică 500h t 150 0,96 156,25 500h t – verifică

SREN 1993-1-3 §5.2

Pentru a asigura o rigiditate suficientă a elementului de rigidizare sau pentru a evita voalarea prematură a acesteia, dimensiunile rigidizării trebuie să se încadreze între următoarele limite:

0,2 0,6c b 1 16 47 0,34c b 0,2 0,34 0,6 – verifică 2 16 41 0,39c b 0,2 0,39 0,6 – verifică

Influenţa rotunjirii colţurilor poate fi neglijată dacă: 5r t 3 0,96 3,125 5r t – verifică

p 0,10r b p1 3 47 0,06 0.10r b – verifică

p2 3 64 0,05 0,10r b – verifică

SREN 1993-1-3 §5.1(3) Aria secţiunii transversale brute:

2br p p1 p2 p2 0,96 2 15,5 46 40 149 255,36 mmA t c b b h

Poziţia axei neutre în raport cu talpa comprimată:

2 2p p p p2 p p p

b1br

2 2 272,82 mm

c h c b h h c tz

A

Determinarea caracteristicilor geometrice eficace ale tălpii şi rebordului în compresiune În conformitate cu paragraful §5.5.3.2 din SR EN1993-1-3, în calculul caracteristicilor

eficace ale tălpii şi rebordului în compresiune, se aplică procedura iterativă. Calculul se conduce în trei paşi, astfel: Pasul 1:

Conform punctului §5.5.3.2(3) din SR EN1993-1-3 se obţine pentru rigidizarea marginală o arie eficace iniţială, folosind lăţimea eficace a tălpii comprimate şi considerând că talpa comprimată este un perete interior, rigidizarea fiind considerată cu rigiditate infinită ( K ) şi folosind o rezistenţă de calcul neredusă ( com,Ed yb 0/ Mf ).

Lăţimea eficace a tălpii comprimate Raportul tensiunilor: 1 (compresiune uniformă), rezultă coeficientul de flambaj este:

σ 4k pentru pereţi comprimaţi interiori (conform § 5.5.2 din SR EN1993-1-3 şi §4.4 din EN1993-1-5).

yb235 f

o Pentru talpa superioară:

Zvelteţea redusă este:

p1p,b1

σ

46 0,961,03

28,4 28,4 235 350 4

b t

k

Factorul de reducere al lăţimii tălpii este:

p,b12 2

p,b

0,055 3 1,03 0,055 3 10,764

1,03

Rezultă lăţimea eficace a tălpii comprimate: eff1 1 p1 0,764 46 35,14 mmb b

e11 e12 eff10,5 0,5 35,14 17,57 mmb b b

o Pentru talpa inferioară:


p2p,b2

σ

40 0,960,895

28,4 28,4 235 350 4

b t

k

Factorul de reducere al lăţimii tălpii este:

p,b22 2

p,b2

0,055 3 0,895 0,055 3 10,843

0,895

Rezultă lăţimea eficace a tălpii comprimate: eff2 2 p2 0,843 40 33,72 mmb b

e21 e22 eff20,5 0,5 33,72 16,86 mmb b b

Lăţimea eficace a rebordului comprimat o Pentru rebordul de la partea superioară:

Coeficientul de voalare este: dacă p,c p1 0,35b b : σ 0,5k

dacă p,c p10,35 0,6b b : 23σ p,c p10,5 0,83 0,35k b b

p,c p1 15,5 46 0,337 0,35b b rezultă σ 0,5k

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(5a)


pp,c1

σ1

15,5 0,960,981

28,4 28,4 235 350 0,5

c t

k

SREN 1993-1-5 §4.4

Factorul de reducere al lăţimii rebordului:

p,c11 2 2

p,c1

0,188 0,981 0,1880,824

0,981

, 1

Lăţimea eficace a rebordului este: eff p 0,824 15,5 12,77 mmc c

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(5a)

Aria eficace a rigidizării marginale de la partea superioară se calculează astfel:

2s e2 eff 0,96 17,57 12,77 29,126mmA t b c

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(6)

o Pentru rebordul de la partea inferioară:

Coeficientul de voalare este:

p,c p2 15,5 40 0,388 0,35b b rezultă 23σ 0,5 0,83 0,388 0,35 0,594k

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(5a)


pp,c2

σ2

15,5 0,960,900

28,4 28,4 235 350 0,594

c t

k

SREN 1993-1-5 §4.4


p,c22 2 2

p,c2

0,188 0,900 0,1880,879

0,900

, 1

Lăţimea eficace a rebordului este: eff2 p2 0,879 15,5 13,62 mmc c

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(5a)

Aria eficace a rigidizării marginale de la partea superioară se calculează astfel:

2s2 e22 eff2 0,96 16,86 13,62 29,26mmA t b c

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(6) Pasul 2:

În conformitate cu §5.5.3.2(3) din EN1993-1-3, se utilizează secţiunea transversală eficace a rigidizării marginale, pentru determinarea coeficientului de reducere, luându-se în considerare efectele legăturii elastice între:

Tensiunea critică de flambaj elastic pentru rigidizarea marginală este:

,2 s

cr ss

K E I

A

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(7)

unde: K este rigiditatea resortului pe unitatea de lungime; Is este momentul de inerţie a secţiunii eficace a rigidizării.

o Pentru rebordul de la partea superioară:

Rigiditatea resortului este: 3

1 2 2 31 p 1 1 2 p f1

1

4(1 ) 0,5

E tK

b h b b b h k

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(5)

cu: e2 e2

1 p1e2 eff

2 17,57 0,96 17,57 / 246 40,913 mm

( ) (17,57 12,77) 0,96

b t bb b

b c t

e22 e222 p2

e22 eff2

2 16,86 0,96 16,86 240 35,34 mm

( ) (16,86 13,62) 0,96

b t bb b

b c t

s2f1

s1

29,261,004

29,13

Ak

A pentru un element supus la compresiune axială

21 0,12 N mmK

Momentul de inerţie al secţiunii eficace a rigidizării este:

223 3 2 2e12 eff1 eff1 eff1 eff1

s1 e12 eff1e12 eff1 e12 eff112 12 2 2 2

b t c t c c cI b t c t

b c b c

4s1 457,32 mmI

Rezultă, tensiunea critică de flambaj elastic pentru rigidizarea marginală de la partea

superioară:

2cr,s

2 0,161 210000 457,32270,011 N mm

29,126


Rigiditatea resortului este: 3

2 2 2 32 p 2 1 2 p f2

1

4(1 ) 0,5

E tK

b h b b b h k

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(5)

cu: e2 e2

1 p1e2 eff

2 17,57 0,96 17,57 / 246 40,913 mm

( ) (17,57 12,77) 0,96

b t bb b

b c t

s1f2

s2

29,130,996

29,26

Ak

A pentru un element supus la compresiune axială

22 0,151 N mmK


223 3 2 2e22 eff2 eff2 eff2 eff2

s2 e22 eff2e22 eff2 e22 eff212 12 2 2 2


b c b c

4s2 538,02 mmI

Rezultă, tensiunea critică de flambaj elastic pentru rigidizarea marginală de la partea

inferioară:

2cr,s

2 0,151 210000 538,02282,33 N mm

29,26

Coeficientul de reducere χd al grosimii rigidizării marginale, conform § 5.5.3.2(3), Figura 5.10d din SR EN1993-1-3

o Pentru rebordul de la partea superioară:


d1 yb cr,s1 350 233,1 1,225f

SREN 1993-1-5 §4.4

Factorul de reducere rezultă: dacă d 0,65 d 1,0

dacă d0,65 1,38 d d1,47 0,723

dacă d 1,38 d d0,66

d10,65 1,225 1,38 deci d1 1,47 0,723 1,225 0,584 SREN 1993-1-5 § 4.4(2)



d2 yb cr,s2 350 282,33 1,113f

SREN 1993-1-5 §4.4

Factorul de reducere rezultă:

d10,65 1,113 1,38 deci d1 1,47 0,723 1,113 0,665 Pasul 3:

Conform §5.5.3.2(3), Figura 5.10e şi §5.5.3.2 (10) din EN1993-1-3, dacă factorul de reducere χd < 1, se iterează pentru îmbunătăţirea valorii factorului de reducere pentru flambajul rigidizării.

com,Ed,i d yb M0f şi p,red p d

Procesul iterativ se opreşte când factorul de reducere converge. o Pentru rebordul de la partea superioară:

Valori iniţiale (iteraţia 1): Valori finale (iteraţia n): d1 0,584 d1 d1,n 0,622

e12 17,57 mmb e12 e12,n 20,65mmb b

eff1 12,77 mmc eff1 eff1,n 15,16 mmc c


Valori iniţiale (iteraţia 1): Valori finale (iteraţia n): d2 0,665 d2 d2,n 0,693

e22 16,57 mmb e22 e22,n 18,92mmb b

eff2 13,62 mmc eff2 eff2,n 15,49 mmc c

Valorile finale ale caracteristicilor eficace pentru talpa şi rebordul solicitate la compresiune

sunt (§5.5.3.2(12) din EN1993-1-3):

o Pentru talpa si rebordul de la partea superioară:

d1 0,622 e12 20,65 mmb eff1 15,16 mmc şi e11 17,57 mmb o Pentru talpa si rebordul de la partea superioară:

d2 0,693 e22 18,92 mmb eff2 15,49 mmc şi e21 16,86 mmb

Conform (§5.5.3.2(12) din EN1993-1-3, rezultă: red,1 d1 0,96 0,622 0,597 mmt t

red,2 d2 0,96 0,693 0,665 mmt t

Determinarea caracteristicilor geometrice ale secţiunii eficace a inimii: Raportul tensiunilor: 1 (compresiune uniformă), astfel încât coeficientul de flambaj, conform §4.4 din EN1993-1-5 este σ 4k .

yb235 f

Zvelteţea redusă:

pp,h

σ

149 0,963,335

28,4 28,4 235 350 4

h t

k

Factorul de reducere este:

p,h2 2

p,h

0,055 3 3,335 0,055 3 10,280

3,335

Lăţimea eficace a inimii este:

eff c 0,280 149 41,72 mmh h

e1 e2 eff0,5 0,5 41,72 20,86 mmh h h

Caracteristicile secţiunii eficace:

Aria secţiunii eficace: eff e11 e21 e1 e2 e12 eff1 d1 e22 eff2 d2A t b b h h b c b c

2eff 117,37 mmA

Poziţia axei neutre în raport cu talpa superioară:

2 2

eff2 e2 e1 eff1 d1eff2 d2 p p e22 d2 e21 e2 p

G1eff

2 2 2 2

c h h ct c h h b b h h

zA

G1 74,92 mmz

Poziţia axei neutre în raport cu talpa inferioară: 2 p 1 149 74,92 74,08mmG Gz h z

E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale secţiunii transversale a unui profil cu secţiune de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere

Descrierea problemei Exemplul prezintă calculul caracteristicilor eficace pentru o secţiune de tip C, formată

la rece, solicitată la încovoiere după axa maximă de inerţie.



Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale Înălţimea totală a inimii 150 mmh Lăţimea totală a tălpii comprimate 1 47 mmb Lăţimea totală a tălpii întinse 41 mm2b

Lăţimea totală a rebordului 16mmc Raza interioară 3 mmr Grosimea nominală 1 mmnomt

Grosimea miezului de oţel 0,96 mmt (calculată conform paragrafului § 3.2.4(3) din SR EN1993-1-3)

Dimensiunile secţiunii pe axa mediană (vezi Figura E.x.1): Înălţimea inimii 150 1 149 mmh h tp nom

Lăţimea tălpii comprimate 47 1 46 mm1 1b b tp nom

Lăţimea tălpii întinse 41 1 40 mm2 2b b tp nom

Lăţimea rebordului 2 16 1 2 15,5mmc c tnomp

Figura E.8.1. Secţiunea transversală




SREN 1993-1-3 § 2(3)

Verificarea proporţiilor geometrice Metoda de calcul conform SR EN1993-1-3 poate fi aplicată dacă următoarele condiţii

sunt satisfăcute: 60b t 1 47 0,96 48,96 60b t – verifică 50c t 16 0,96 16,67 50c t – verifică 500h t 150 0,96 156,25 500h t – verifică

SREN 1993-1-3 §5.2

Pentru a asigura o rigiditate suficientă a elementului de rigidizare sau pentru a evita voalarea prematură a acesteia, dimensiunile rigidizării trebuie să se încadreze între următoarele limite:

0,2 0,6c b 1 16 47 0,34c b 0,2 0,34 0,6 – verifică 2 16 41 0,39c b 0,2 0,39 0,6 – verifică

Influenţa rotunjirii colţurilor poate fi neglijată dacă: 5r t 3 0,96 3,125 5r t – verifică

p 0,10r b p1 3 47 0,06 0.10r b – verifică

p2 3 64 0,05 0,10r b – verifică

SREN 1993-1-3 §5.1(3) Aria secţiunii transversale brute:

2br p p1 p2 p2 0,96 2 15,5 46 40 149 255,36 mmA t c b b h


2 2p p p p2 p p p

b1br

2 2 272,82 mm

c h c b h h c tz

A

Determinarea caracteristicilor geometrice eficace ale tălpii şi rebordului în compresiune În conformitate cu paragraful §5.5.3.2 din SR EN1993-1-3, în calculul caracteristicilor

eficace ale tălpii şi rebordului în compresiune, se aplică procedura iterativă. Calculul se conduce în trei paşi, astfel:

Pasul 1: Conform punctului §5.5.3.2(3) din SR EN1993-1-3 se obţine pentru rigidizarea marginală

o arie eficace iniţială, folosind lăţimea eficace a tălpii comprimate şi considerând că talpa comprimată este un perete interior, rigidizarea fiind considerată cu rigiditate infinită ( K ) şi folosind o rezistenţă de calcul neredusă ( com,Ed yb 0/ Mf ).

Lăţimea eficace a tălpii comprimate Raportul tensiunilor: 1 (compresiune uniformă), rezultă coeficientul de flambaj este:

σ 4k pentru pereţi comprimaţi interiori (conform § 5.5.2 din SR EN1993-1-3 şi §4.4 din SR EN1993-1-5).

yb235 f


p1p,b

σ

46 0,961,03

28,4 28,4 235 350 4

b t

k

Factorul de reducere al lăţimii tălpii este: p,b

2 2p,b

0,055 3 1,03 0,055 3 10,764

1,03

Rezultă lăţimea eficace a tălpii comprimate:

eff p1 0,764 46 35,14 mmb b

e1 e2 eff0,5 0,5 35,14 17,57 mmb b b

Lăţimea eficace a rebordului comprimat Coeficientul de voalare este:

dacă p,c p1 0,35b b : σ 0,5k

dacă p,c p10,35 0,6b b : 23σ p,c p10,5 0,83 0,35k b b

p,c p1 15,5 46 0,337 0,35b b rezultă σ 0,5k

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(5a)


pp,c

σ

15,5 0,960,981

28,4 28,4 235 350 0,5

c t

k

SREN 1993-1-5 §4.4


p,c2 2

p,c

0,188 0,981 0,1880,824

0,981

, 1

Lăţimea eficace a rebordului este:

eff p 0,824 15,5 12,77 mmc c

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(5a)

Aria eficace a rigidizării marginale se calculează astfel:

2s e2 eff 0,96 17,57 12,77 29,126mmA t b c

SREN 1993-1-3 § 5.5.3.2(6)

Pasul 2:

În conformitate cu §5.5.3.2(3) din SR EN1993-1-3, se utilizează secţiunea transversală eficace a rigidizării marginale, pentru determinarea coeficientului de reducere, luându-se în considerare efectele legăturii elastice între:

Tensiunea critică de flambaj elastic pentru rigidizarea marginală este:

,2 s

cr ss

K E I

A

SREN 1993-1-3 §5.5.3.2(7)

Unde rigiditatea resortului este: 3

2 2 31 p 1 1 2 p f

1

4(1 ) 0,5

E tK

b h b b b h k

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(5)

cu: e2 e2

1 p1e2 eff

2 17,57 0,96 17,57 / 246 40,913 mm

( ) (17,57 12,77) 0,96

b t bb b

b c t

f 0k pentru încovoierea după axa y-y 0,161 N mmK


2 23 3 2 2e2 eff eff eff eff

s e2 effe2 eff e2 eff12 12 2 2 2


b c b c

4s 457,32 mmI

Rezultă, tensiunea critică de flambaj elastic:

2cr,s

2 0,161 210000 457,32270,011 N mm

29,126

Coeficientul de reducere χd al grosimii rigidizării marginale, conform § 5.5.3.2(3), Figura 5.8d din SR EN1993-1-3


d yb cr,s 350 270,011 1,139f

SREN 1993-1-3 §5.5.3.1(7)

Factorul de reducere rezultă: dacă d 0,65 d 1,0

dacă d0,65 1,38 d d1,47 0,723

dacă d 1,38 d d0,66

d0,65 0,992 1,38 deci d 1,47 0,723 1,139 0,646 SREN 1993-1-5 § 4.4(2)

Pasul 3:

Conform §5.5.3.2(3), Figura 5.10e şi §5.5.3.2 (10) din SR EN1993-1-3, dacă factorul de reducere χd < 1, se iterează pentru îmbunătăţirea valorii factorului de reducere pentru flambajul rigidizării.

com,Ed,i d yb M0f şi p,red p d

Procesul iterativ se opreşte când factorul de reducere converge.

Valori iniţiale (iteraţia 1): Valori finale (iteraţia n): d 0,646 d d,n 0,614

e2 17,57 mmb e2 e2,n 20,736 mmb b

eff 12,77 mmc eff eff,n 12,77 mmc c

Valorile finale ale caracteristicilor eficace pentru talpa şi rebordul solicitate la compresiune

sunt (§5.5.3.2(12) din EN1993-1-3):

d 0,614 e2 20,736 mmb eff 12,77 mmc şi e1 17,57 mmb

red d 0,96 0,614 0,589 mmt t

Determinarea caracteristicilor geometrice eficace a inimii: Poziţia axei neutre în raport cu talpa comprimată (a se vedea Figura E.8.2):

2 2p p p p2 p p eff d

cp p2 p e1 e2 eff d

2 2 2c h c b h h ch

c b h b b c

c 79,5 mmh

Raportul tensiunilor:

c p

c

79,5 1490,874

79,5

h h

h

Coeficientul de flambaj este: 2

σ 7,81 6,29 9,78k σ 20,76k SREN 1993-1-5 § 4.4(Tabelul 4.1)

Zvelteţea redusă:

pp,h

σ

149 0,961,464

28,4 28,4 235 350 20,76

h t

k

Factorul de reducere este:

p,h2 2

p,h

0,055 3 1,464 0,055 3 0,8740,629

1,464

Lăţimea eficace a zonei comprimate a inimii este:

eff c 0,629 79,5 50 mmh h Porţiunea cea mai apropiată de talpa în compresiune:

e1 eff0,4 0,4 50 20 mmh h Porţiunea cea mai apropiată de axa neutră:

e2 eff0,6 0,6 50 30 mmh h

Figura E.8.2

Lăţimea eficace a inimii: Porţiunea cea mai apropiată de talpa în compresiune:

1 e1 20 mmh h Porţiunea cea mai apropiată de talpa întinsă:

2 p c e2 149 79,5 30 99,5 mmh h h h

Caracteristicile secţiunii eficace (vezi Figura E.8.3): eff p p2 1 2 e1 e2 eff d[ ( ) ]A t c b h h b b c

2eff 0,96 15,5 40 20 99,5 17,57 20,736 12,77 0,614 204,62 mmA

Figura E.8.3


2 2p p p p2 p 2 p 2 1 eff d

ceff

2 2 2 2t c h c b h h h h h cz

A

c 85,75 mmz

Poziţia axei neutre în raport cu talpa întinsă: t p c 149 85,75 63,25mmz h z

Momentul de inerţie al secţiunii eficace este:

3 3 3 3 33 3p2 p e1 e2 d eff d1 2

eff,y

2 2 2 2p t p p2 t 2 t 2 1 c 1

2 2 2e1 c e2 d c eff d c eff

( ) ( )

12 12 12 12 12 12 12

( 2) ( 2) ( 2)

( ) ( )( 2)

b t c t b t b t c th t h tI

c t z c b tz h t z h h t z h

b t z b t z c t z c

4eff,y 668103 mmI

Modulul de rezistenţă al secţiunii eficace:

- în raport cu talpa comprimată

eff,y 3eff,y,c

c

6681037791 mm

85,75

IW

z

- în raport cu talpa întinsă

eff,y 3eff,y,t

t

66810310563 mm

63,25

IW

z

E.9. Calculul unui stâlp cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune

Descrierea structurii Exemplul descrie calculul unui montant de perete dublu-articulat supus la compresiune.

Montantul de perete e realizat dintr-un profil C cu pereţi subţiri format la rece, care are ataşate plăci pe ambele tălpi, care previn flambajul pe direcţia slabă şi flambajul prin răsucire. În Figura E.9.1(a) se prezintă schema statică şi încărcarea ce acţionează pe montant.

Schema statică

(a) (b)

Figura E.9.1. Schema statică şi secţiunea transversală


Modulul de elasticitate 2210000 N mmE

Coeficientul lui Poisson 0,3

Modulul de elasticitate transversal

281000 N mm2 1

EG

Înălţimea montantului 3,1 mH Deschiderea planşeului 5 mL Distanţa dintre grinzile de planşeu 0,6 mS Încărcarea distribuită aplicată pe planşeu:

- încărcarea permanentă – planşeu uşor: 21,2 kN m G 1,2 0,6 0,72 kN mq

- încărcarea utilă: 22,5 kN m Q 2,5 0,6 1,50 kN mq

Forţa concentrată corespunzătoare stării limită ultime, provenită de la nivelul superior şi de la acoperiş:

15,0 kNQ

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale Înălţimea totală a inimii 150 mmh Lăţimea totală a tălpii 40 mmb Lăţimea totală a rebordului 15 mmc Raza interioară 3 mmr Grosimea nominală nom 1 mmt Grosimea miezului de oţel 0,96 mmt (conform §3.2.4(3) din SR EN1993-1-3)

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale eficace: Conform §5.5.3.1, §5.5.3.2 din SR EN1993-1-3 şi §4.4 din SR EN1993-1-5, respectiv

conform modelului de calcul prezentat în Exemplele E.7 şi E.8.

Aria eficace a secţiunii transversale solicitate la compresiune rezultă:

2198 mmeffA

Poziţia axei z-z a secţiunii transversale eficace în raport cu inima: c,eff 15,92 mmy

Modulul de rezistenţă eficace, din solicitarea de încovoiere după axa minimă de inerţie rezultă:

3eff,z,com 1274 mmW

3eff,z,ten 2585 mmW




SREN 1993-1-3 § 2(3)

G 1,35 – încărcări permanente

Q 1,50 – încărcări variabile

SREN 1990 Forţa concentrată totală, de compresiune, aplicată montantului, conform EN1990, se

calculează astfel:

Ed G G Q Q 1,35 0,6 1,50 1,50 5 10 25,3 kNN q q L Q

Verificarea rezistenţei secţiunii transversale: Următorul criteriu trebuie îndeplinit:

y,Ed y,EdEd

c,Rd cy,Rd,com

1M MN

N M

SREN 1993-1-3 §6.1.9 unde: c,Rd eff yb M0N A f

SREN 1993-1-3 §6.1.3 cz,Rd,com eff,com yb M0/M W f

SREN 1993-1-3 §6.1.4 iar, conform §6.1.9(2) din SR EN1993-1-3, reprezintă momentele adiţionale y,Ed Ed NyM N e ,

datorate deplasării centrului de greutate Nye pe axa y-y. (pentru acest caz particular, datorită

faptului că secţiunea transversală este dublu simetrică, Ny 0e ).

Verificarea rezistenţei:

25300 0 25300 3,040,785 1

118 350 1,0 1274 350 1,0

– verifică

4. ELEMENTE SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE 4.1. Determinarea momentului critic elastic pentru bare solicitate la încovoiere Proiectarea unei bare solicitate la încovoiere cu forţă tăietoare presupune verificarea rezistenţei secţiunii transversale şi verificarea stabilităţii elementului. Aşa cum s-a arătat în 2.3, atunci când o bară încovoiată este încărcată după axa maximă de inerţie, există tendinţa de a-şi pierde stabilitatea printr-un mod de flambaj care implică atât o deplasare laterală (încovoiere după axa minimă de inerţie) cât şi o rotire a secţiunii (răsucire în jurul axei longitudinale a barei). Acest mod de pierdere a stabilităţii barelor încovoiate este denumit flambaj lateral prin încovoiere-răsucire. Cu referire la Figura 2.10, presupunând grinda în consolă perfect dreaptă şi materialul perfect elastic, capătul consolei s-ar deplasa doar în plan vertical, pană când momentul încovoietor aplicat atinge o valoare critică, pentru care grinda îşi pierde stabilitatea prin încovoiere-răsucire şi apar deplasări în afara planului vertical. O metodă de proiectare pentru bare încovoiate, care îşi pot pierde stabilitatea prin încovoiere – răsucire, trebuie să ia în considerare un număr mare de factori, incluzând forma secţiunii transversale, prezenţa reazemelor laterale, modul de încărcare, distribuţia tensiunilor reziduale şi imperfecţiunile iniţiale. În continuare se va prezenta modul de calcul al momentului critic de pierdere a stabilităţii prin încovoiere – răsucire pentru un caz simplu, care va fi dezvoltat mai departe, pentru a include cazuri mai generale. Se consideră grinda simplu-rezemată din Figura 4.1 (daSilva ş.a., 2010), încărcată cu momente încovoietoare pe capăt, astfel încât bara este încărcată cu moment uniform pe toată lungimea. Reazemele împiedică deplasările laterale şi răsucirea secţiunilor de capăt, dar permit deplanarea şi rotirea în jurul axelor secţiunii transversale (y şi z). Acest caz se mai denumeşte în continuare cazul standard. Pentru calcul, se consideră următoarele ipoteze:

- bara este perfect dreaptă, fără nici un tip de imperfecţiuni (geometrice sau de material); - secţiunea este dublu-simetrică; - materialul are o comportare liniar elastică; - deplasările sunt mici.

Considerând configuraţia deformată din Figura 4.1 cu sistemul de axe x’, y’, z’, se pot scrie trei ecuaţii de echilibru, pentru aflarea deplasărilor necunoscute φ, v şi w. În conformitate cu ipoteza micilor deplasări, pentru secţiunea transversală, se pot considera caracteristicile din poziţia nedeformată. Pentru încovoiere după axa y’, considerând My’= My cos φ ≈ My, ecuaţia de echilibru se poate scrie:

2

20y y

d w xEI M

dx (4.1)

Pentru încovoiere după axa z’, considerând Mz’= My sin φ ≈ φ My, ecuaţia de echilibru este:

2

20z y

d xEI x M

dx

(4.2)

Pentru răsucire în jurul axei x’, considerând T= My sin (dv/dx) ≈ My (dv/dx), ecuaţia diferenţială pentru torsiune neuniformă este:

3

30w T y

d x d x d xEI GI M

dx dxdx

(4.3)

Vedere segmentul A-C Secţiunea C-C

Fig. 4.1: Flambaj prin încovoiere – răsucire pentru o bară cu secţiune I dublu-simetrică sub acţiunea unui moment încovoietor constant pe lungimea barei (daSilva ş.a., 2010)

Ecuaţia (4.1) este ecuaţia diferenţială utilizată în mod obişnuit pentru încovoierea după axa maximă de inerţie şi depinde doar de deplasarea verticală a grinzii w(x). Ecuaţiile (4.2) şi (4.3) sunt cuplate. Derivând ecuaţia (4.3) în raport cu x (poziţia în lungul axei barei) şi înlocuind expresia d2v(x)/dx2 din ecuaţia (4.2), se obţine următoarea ecuaţie diferenţială de ordinul patru:

24 2

4 20

yw T

z

Md x d xEI GI x

EIdx dx

(4.4)

Impunând condiţiile de margine (rotirile φ în jurul axei grinzii sunt nule în dreptul reazemelor) se obţine un sistem de ecuaţii omogene. Punând condiţia ca acest sistem să aibă soluţie diferită de soluţia banală (adică rotirea în jurul axei grinzii, care reprezintă necunoscuta ecuaţiei, să nu fie nulă, ceea ce ar presupune că bara încovoiată rămâne nedeformată şi deci nu îşi pierde stabilitatea), se obţine valoarea momentului My în această situaţie, adică a momentului critic elastic de flambaj prin încovoiere-răsucire:

2

21E w

cr T zT

EIM GI EI

L L GI

(4.5)

în care: Iz este momentul de inerţie după axa minimă de inerţie z; IT este momentul de inerţie la răsucire liberă; Iw este momentul de inerţie la răsucire împiedicată; L este distanta între reazemele laterale ale grinzii.

Poziţie iniţială

Poziţie deformată

Prezenţa concomitentă în ecuaţia (4.5) a rigidităţii la încovoiere (EIz) şi a rigidităţilor la răsucire (GIT, EIw) este o consecinţă a modului de deformare a barei prin cele două componente: deplasare laterală şi răsucire. Importanţa relativă a acestor rigidităţi în valoarea momentului critic este dată de forma secţiunii transversale. Figura 4.2 prezintă comparaţia între momentul critic al unei secţiuni închise, cu o rigiditate mare la răsucire, cu momentul critic al unor secţiuni deschise. Se observă că, faţă de o secţiune închisă, un profil I obişnuit are o valoare mult redusă a momentului critic. Acesta este motivul pentru care, în anumite situaţii, pentru a mări momentul capabil al unei grinzi cu secţiune I laminată sau sudată, predispusă la flambaj prin încovoiere-răsucire, se poate mari substanţial rigiditatea la răsucire, transformând secţiunea I într-o secţiune închisă, prin sudarea a două platbenzi laterale de tălpile profilului, aşa cum se arată în Figura 4.3.

Rap

ort M

cr s

ecţi

une

cure

ntă /

Mcr

secţ

iune

ţeavă

rect

angu

lară

Raport lungime / înălţime

Fig. 4.2: Efectul formei secţiunii transversale asupra momentului critic elastic (SSDATA, 1999)

Fig. 4.3: Secţiune I cu rigiditate sporită la răsucire

În Figura 4.4 se prezintă comparativ valorile momentului critic elastic de flambaj prin încovoiere – răsucire pentru două grinzi I laminate la cald, de tip IPE, respectiv HEA (cu tălpi late), având

valori aproximativ egale pentru momentul capabil plastic (Mp). Bara încovoiată cu secţiune I cu tălpi late, care are atât rigiditatea laterală (după axa minimă de inerţie) cât şi rigiditatea la răsucire mult mai mari, prezintă, pentru aceeaşi deschidere, un raport superior între momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere – răsucire şi momentul capabil plastic al secţiunii transversale.

Fig. 4.4: Comparaţie între momentele critice elastice între secţiuni IPE şi HEB

În paragrafele următoare se vor prezenta efectele: modului de încărcare, al condiţiilor de rezemare şi al imperfecţiunilor în verificarea stabilităţii barelor încovoiate. 4.2 Efectul modului de încărcare şi al condiţiilor de rezemare Expresia (4.5) este valabilă pentru determinarea momentului critic elastic de flambaj prin încovoiere – răsucire pentru bara simplu rezemată cu secţiune dublu-simetrică, solicitată la încovoiere cu moment constant, cu rotirea după axa minimă de inerţie şi deplanarea liberă pe reazeme. În realitate pot să apără şi alte situaţii, cum ar fi bare cu secţiune transversală nesimetrică, cu alte condiţii de rezemare, atât în plan vertical cât şi pentru rotirea după axa minimă de inerţie, respectiv pentru deplanare, alte încărcări şi în consecinţă cu altă formă a diagramei de moment încovoietor. Determinarea momentului critic pentru fiecare caz presupune rezolvarea unor ecuaţii diferenţiale complexe şi de aceea, în practică, se utilizează expresii aproximative, aplicabile unui set mai larg de situaţii. Pentru cazul uzual al grinzilor cu secţiune constantă, dublu-simetrice sau mono-simetrice, în raport cu axa minimă de inerţie, aşa cum se arată în Figura 4.5, momentul critic elastic poate fi determinat cu expresia (4.6) (Clark & Hill, 1960; Galea, 1981). Această expresie este aplicabilă elementelor structurale încovoiate după axa maximă de inerţie, pentru diverse rezemări şi tipuri de încărcare.

0.522 22

1 2 3 2 32 2

( )( ) ( )

( )wz z z T

cr g j g jw zz z

IEI k k L GIM C C z C z C z C z

k Ik L EI

(4.6)

În această expresie, coeficienţii C1, C2 şi C3 depind de modul de încărcare şi de condiţiile de rezemare la capetele barei. Valorile acestor coeficienţi sunt prezentate în Tabelele 4.1 şi 4.2 pentru câteva situaţii uzuale (Boissonade et al, 2006).

Fig. 4.5: Secţiuni mono-simetrice in raport cu axa minima de inerţie

Produsul C2zg din expresia (4.6) ţine cont de poziţia punctului de aplicare al încărcării pe bara încovoiată, în relaţie cu poziţia centrului de tăiere. Aşa cum se arată în Figura 4.6, o încărcare gravitaţională aplicată sub centrul de tăiere C al secţiunii transversale (care coincide cu centrul de greutate G al secţiunii în cazul secţiunilor dublu-simetrice) are un efect stabilizator, în timp ce aceeaşi încărcare aplicată deasupra centrului de tăiere are un efect destabilizator. Termenul zg se calculează cu formula:

( )g a sz z z (4.7)

în care za şi zs sunt coordonatele punctului în care se aplică încărcarea, respectiv a centrului de tăiere C, relativ la centrul de greutate G al secţiunii transversale. Valorile sunt pozitive când punctul de aplicare al încărcării şi centrul de tăiere se găsesc în zona comprimată, respectiv negative când se găsesc în zona întinsă a secţiunii transversale a barei încovoiate.

Fig. 4.6: Efectul punctului de aplicare a încărcării

În Tabelul 4.1 se prezintă valorile coeficienţilor C1-C3 pentru elemente structurale încărcate cu momente pe capăt. În acest tabel, având în vedere modul de încărcare, produsul C2zg este prin definiţie nul, deci coeficientul C2 nu mai apare în tabel. Coeficientul C3 are valoare unitară atunci când momentele încovoietoare de pe capetele elementului structural produc compresiune pe aceeaşi talpă, pe toata lungimea grinzii. În caz contrar, în Tabelul 4.1, coeficientul C3 se calculează funcţie de parametrul ψf care se determină cu formula:

fc ftf

fc ft

I I

I I

(4.8)

în care Ifc şi Ift reprezintă momentul de inerţie a tălpii comprimate, respectiv întinse a secţiunii transversale, calculate în raport cu axa minimă de inerţie z. În cazul profilelor I mono-simetrice, Tabelele 4.1 şi 4.2 se pot utiliza doar dacă următoarea condiţie este verificată:

0.9 0.9f (4.9)

Mărimea zj din expresia (4.6) ţine cont de asimetria secţiunii transversale în raport cu axa maximă de inerţie y. Formula de calcul al acestei mărimi este:

2 20.5 /j s y

A

z z y z z I dA

(4.10)

Mărimea zj este nulă pentru secţiuni dublu-simetrice (spre exemplu secţiuni I sau H cu tălpi egale) şi are valori pozitive în cazul în care talpa comprimată a secţiunii este talpa cu momentul de inerţie cel mai mare în raport cu axa minimă de inerţie a secţiunii, în secţiunea cu moment încovoietor maxim. În Tabelele 4.1 şi 4.2, condiţiile de rezemare sunt cele din modelul de calcul pentru cazul simplificat prezentat în subcapitolul 4.1 (rotire liberă după axa minimă de inerţie z şi deplanare liberă a secţiunii transversale pe reazeme). Pentru a putea considera şi alte condiţii de rezemare la capete, în expresia momentului critic elastic (4.6) există coeficienţii lungimii de flambaj prin încovoiere după axa minimă de inerţie kz, respectiv prin răsucire kw. În cazul unor situaţii complexe, elemente cu momente la capete (elemente dublu încastrate sau porţiuni între două blocaje transversale) încărcate cu sarcini uniform distribuite sau concentrate, se recomandă procedura din www.access-steel.com (SN003a-EN-EU – NCCI: Elastic critical moment for lateral torsional buckling) sau utilizarea unui software specializat (de exemplu: LTBeam versiunea 1.0.8 (2002-2009) – Lateral Torsional Buckling of Beams by Yvan Galea produs de CTICM (www.cticm.com)). În Anexa V se prezintă monogramele pentru coeficienţi C1 şi C2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate (SN003a-EN-EU – www.access-steel.com), valabile pentru kz = 1 şi kw = 1. Se consideră două cazuri distincte:

Cazul a) momente încovoietoare la capete şi încărcărilor transversale uniform distribuite; Cazul b) momente încovoietoare la capete şi încărcări transversale concentrate la mijlocul deschiderii.

Coeficientul kz se referă la posibilitatea de rotire a secţiunii transversale pe reazeme, după axa minimă de inerţie a secţiunii, iar coeficientul kw se referă la posibilitatea deplanării secţiunii transversale pe reazeme. Aceşti coeficienţi variază între 0.5 (fixare perfectă la ambele capete), 0.7 (fixare perfectă la un capăt şi celalalt capăt liber) şi 1.0 (liber la ambele capete). Dacă nu s-au luat măsuri speciale pentru fixarea deplanării secţiunii transversale în dreptul reazemelor, coeficientul kw poate fi considerat, în mod conservativ, egal cu unitatea. Dealtfel, având în vedere că în multe situaţii practice fixarea atât din punct de vedere al încovoierii după axa minimă de inerţie cât şi din punct de vedere al deplanării este doar parţială, ambii coeficienţi pot fi consideraţi în mod conservativ egali cu unitatea. Cu toate acestea, există detalii structurale de îmbinare sau de rezemare a grinzilor pentru care se poate considera o fixare perfectă. Proiectantul trebuie să aibă în vedere relaţia între modul de alcătuire al detaliilor structurale şi alegerea coeficienţilor lungimilor de flambaj pentru calculul momentului critic elastic pentru flambaj prin încovoiere – răsucire. În Figura 4.7 sunt prezentate câteva exemple cu detalii

structurale (îmbinare rigidă şi articulată rigla-stâlp, îmbinare articulată grindă secundară – grindă principală, reazem articulat grindă) pentru care sunt precizate condiţiile de fixare. Tabelul 4.1: Coeficienţi C1, C3 pentru elemente structurale încovoiate, cu momente pe capete

C3 Încărcare şi condiţii de rezemare

Diagrama de momente

kz C1 0f 0f

1.0

0.5

1.00

1.05

1.000

1.019

1.0

0.5

1.14

1.19

1.000

1.017

1.0

0.5

1.31

1.37

1.000

1.000

1.0

0.5

1.52

1.60

1.000

1.000

1.0

0.5

1.77

1.86

1.000

1.000

1.0

0.5

2.06

2.15

1.000

1.000

0.850

0.650

1.0

0.5

2.35

2.42

1.000

0.950

f2.13.1

f77.0

1.0

0.5

2.60

2.45

1.000

0.850

f55.0

f35.0

1.0

0.5

2.60

2.45

f

0.125 0.7 f

f

f7.0125.0

Tabelul 4.2: Coeficienţi C1, C2 şi C3 pentru elemente structurale încovoiate cu încărcări direct aplicate

Încărcare şi condiţii de rezemare

Diagrama de moment încovoietor

kz C1 C2 C3

1.0 0.5

1.127 0.97

0.454 0.36

0.525 0.478

1.0 0.5

1.348 1.05

0.630 0.48

0.411 0.338

1.0 0.5

1.04 0.95

0.42 0.31

0.562 0.539

- Încastrat pentru încovoiere după axa y - Articulaţie pentru încovoiere după axa y

- Rotire după axa z împiedicată - Rotire după axa z liberă - Deplanarea împiedicată - Deplanare liberă a) Îmbinare rigidă grindă – stâlp b) Îmbinare articulată grindă – stâlp

- Articulaţie pentru încovoiere după axa y - Articulaţie pentru încovoiere după axa y - Rotire după axa z liberă - Rotire după axa z parţial împiedicată - Deplanare liberă - Deplanare liberă c) Îmbinare grindă secundară-principală d) Reazem articulat-secţiune de capăt liberă

- Articulaţie pentru încovoiere după axa y - Rotire după axa z împiedicată - Deplanare împiedicată e) Reazem articulat – secţiune de capăt rigidizată

Fig. 4.7: Detalii de îmbinări Chiar dacă, aşa cum s-a precizat anterior, în general este conservativ să se considere lungimea de flambaj egală cu lungimea grinzii (prin coeficienţii k, kw unitari), există situaţii care conduc la o rezistenţă redusă la răsucire, pentru care lungimea de flambaj trebuie majorată, cum ar fi cazul grinzilor rezemate la talpa de jos, fără rigidizare în dreptul reazemului (a se vedea Figura 4.7d). În această situaţie, chiar dacă rotirea în jurul axei minime de inerţie este parţial împiedicată, funcţie de zvelteţea inimii, în deformata de pierdere a stabilităţii poate să apără o componentă de distorsiune a secţiunii transversale (a se vedea Figura 4.8), ceea ce conduce la un moment critic de flambaj lateral prin încovoiere – răsucire redus. În absenţa unor detalii constructive pentru a preveni acest fenomen (spre exemplu rigidizare pe capătul secţiunii, ca în Figura 4.7e), Bradford (1989) a propus ca pentru calculul lungimii de flambaj a elementului să se utilizeze următoarele formule:

- pentru momente încovoietore aplicate la capete:

3 1

6 2s w s

ff

bh t h

L Lt

(4.11)

- pentru încărcare concentrată aplicată la mijlocul deschiderii:

3/2 1

106 2

s w sf

f

bh t h

L Lt

(4.12)

În ambele situaţii, L reprezintă deschiderea grinzii, hs este distanţa dintre centrele de greutate ale tălpilor, b este lăţimea tălpii, tf şi tw sunt grosimile tălpilor, respectiv inimilor, iar este dat de relaţia 24 7 4 , unde ψ este raportul momentelor de capăt.

Fig. 4.8: Distorsiunea secţiunii transversale (vezi Figura 4.7d)

În cazul elementelor structurale încovoiate cu rezemări intermediare cum este de exemplu cazul tiranţilor pentru pane de acoperiş (a se vedea Figura 4.9), sau al grinzilor secundare pentru grinzile principale (a se vedea Figura 4.10), segmentele de grindă dintre acestea pot fi tratate în mod izolat, dimensionarea barei încovoiate bazându-se pe segmentul critic (cel mai solicitat, sau cu lungimea de flambaj cea mai mare). Lungimile de flambaj considerate în calcul între reazemele intermediare pot fi calculate considerând factorul k unitar, având în vedere alura deformatei de flambaj a grinzii pe toată lungimea. Nu se consideră, în această discuţie, cazul elementelor structurale încovoiate care au legături transversale discrete, care va fi tratat separat, în paragraful 4.6.

Fig. 4.9: Rezemări intermediare – tiranţi pentru pane de acoperiş

Fig. 4.10: Rezemări intermediare – grinzi secundare pentru grinzi principale

Grinzile continue pe mai multe reazeme pot fi, de asemenea, tratate ca segmente individuale între reazeme, ţinând cont de alura diagramei de moment încovoietor, ca rezultat al continuităţii elementului structural. Verificarea stabilităţii tălpii libere (doar talpa inferioară, în cazurile uzuale) pentru panele de acoperiş cu tiranţi se verifică în conformitate cu 10.1.4.2 din SR EN1993-1-3, în care sunt date expresii de calcul cu coeficienţi care ţin cont de numărul de tiranţi de pe deschidere, precum şi de tipul deschiderii (marginală sau intermediară). De asemenea, se face diferenţa între tipul de solicitare, în cazul panelor realizate ca şi grindă continuă, adică încărcare gravitaţională (când porţiunea de talpă liberă comprimată este în apropierea reazemelor) sau sucţiune (când porţiunea de talpă liberă comprimată este în câmp). Dacă nu se asigură continuitatea panelor peste reazeme, atunci verificarea de stabilitate este necesară doar pentru sucţiune, în cazul uzual al panelor cu talpă inferioară liberă. 4.3 Efectul imperfecţiunilor şi efectul plasticizării În verificarea stabilităţii barelor încovoiate, este necesar să se ţină cont de efectul următoarelor imperfecţiuni:

- deplasări laterale iniţiale; - răsuciri iniţiale; - excentricitatea încărcărilor relativ la poziţia centrului de tăiere al secţiunii transversale; - tensiuni reziduale.

Datorită prezenţei imperfecţiunilor, comportamentul real al barelor încovoiate diferă de cel teoretic şi momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere – răsucire nu este de fapt atins niciodată. Considerând analogia între Ncr şi Mcr, abordarea flambajului prin încovoiere-răsucire a barei încovoiate este similară cu abordarea flambajului barei comprimate. Astfel:

- rezistenţa barelor scurte depinde de momentul capabil elastic sau plastic al secţiunii transversale (funcţie de clasa secţiunii);

- rezistenţa barelor cu zvelteţe mare depinde de valoarea momentului critic Mcr, asociat cu flambajul lateral prin încovoiere – răsucire;

- rezistenţa barelor cu valori intermediare ale zvelteţii depinde de interacţiunea între fenomenul de pierdere a stabilităţii şi plasticizarea secţiunii transversale.

Efectul imperfecţiunilor geometrice poate fi introdus în procedura de verificare a elementului structural încovoiat după axa maximă de inerţie, în mod similar elementelor solicitate la compresiune axiala. Pentru aceasta, se consideră cazul simplu al barei încovoiate dublu-articulate din Figura 3.1, cu condiţiile de rezemare precizate în subcapitolul 4.1, cu secţiune transversală dublu-simetrică I sau H, la care se aplică o imperfecţiune iniţială sub forma unei deformate sinusoidale cu amplitudine e0, de forma:

0 0 sinx

y eL

(4.13)

Printr-o analiză elastică de ordinul II (Boissonade et al, 2006) starea limită de pierdere a stabilităţii poate fi definită prin atingerea limitei de curgere pe secţiunea transversală prin expresia:

22

,, , ,,

0 2 22, , ,,

2

1 2 1.0

1

cr zy Ed y Ed y Edcr z

y Rd z Rd cr z Rd cry Ed

cr

hNM M MN

eM M M M MM

M

(4.14)

în care: Mcr este momentul critic elastic; My,Rd şi Mz,Rd sunt momentele capabile elastice ale secţiunii transversale; Ncr,z este încărcarea critică elastică Euler, pentru flambajul în raport cu axa minimă de inerţie z; h este înălţimea secţiunii transversale între centrele de greutate ale tălpilor. În expresia (4.14), al doilea şi al treilea termen reprezintă efectul momentelor încovoietoare de ordinul II (primul termen), respectiv efectul bimomentelor, datorită deformării spaţiale a barei încovoiate. Impunând ca valoarea de calcul a momentului încovoietor My,Ed să fie egală cu rezistenţa barei încovoiate la flambaj lateral prin încovoiere –răsucire, dată de produsul χLTMy,Rd, din expresia (4.14) se poate determina valoarea amplitudinii imperfecţiunii iniţiale laterale e0, funcţie de factorul de reducere pentru flambaj lateral prin încovoiere răsucire, χLT:

2

420 4

2

1 11 1

12

zzLTLT

LT LTLT

y z

We

A hAW

(4.15)

în care: Wy şi Wz sunt modulele de rezistenţa ale secţiunii transversale în raport cu axele y şi z;

z este zvelteţea redusă pentru flambaj prin încovoiere în raport cu axa z;

0.5

, /LT y Rk crM M este zvelteţea redusă pentru flambajul lateral prin încovoiere răsucire;

My,Rk este valoarea caracteristică a rezistenţei la încovoiere în raport cu axa y-y. La fel ca în cazul barelor comprimate, tensiunile reziduale şi alte imperfecţiuni geometrice, menţionate la începutul acestui capitol, afectează rezistenţa la flambaj lateral prin încovoiere – răsucire a barelor încovoiate. În mod simplificat, analog cazului barelor comprimate, aceste imperfecţiuni sunt luate în considerare în proiectarea elementelor structurale solicitate la încovoiere cu ajutorul conceptului de imperfecţiune echivalentă.

Imperfecţiunea echivalentă laterală iniţială dată de expresia (4.14) are o semnificaţie similară cu cea din expresia (3.17) pentru cazul barelor comprimate centric, chiar dacă parametrii conţinuţi în cele două expresii sunt diferiţi. În consecinţă, este posibilă definirea unei proceduri similare pentru flambajul lateral prin încovoiere – răsucire al barelor încovoiate. Pentru a putea aplica aceasta procedură, a fost necesară calibrarea imperfecţiunilor laterale ale barelor reale. În baza unui program extins de simulări numerice şi de teste (Boissonade et al, 2006), s-a concluzionat că proiectarea majorităţii elementelor structurale din oţel solicitate la încovoiere (inclusiv a elementelor cu secţiune I şi H laminate la cald sau sudate) poate fi realizată utilizând curbele de flambaj europene obţinute anterior pentru proiectarea barelor comprimate axial. Metodologia de verificare a elementelor structurale încovoiate la flambaj prin încovoiere–răsucire în conformitate cu SR EN 1993-1-1 se prezintă în secţiunea următoare. 4.4 Verificarea la flambaj lateral prin încovoiere – răsucire a barelor încovoiate în conformitate cu SR EN 1993-1-1 Rezistenţa unui element structural solicitat la încovoiere după axa maximă de inerţie presupune verificarea următoarei condiţii (a se vedea 6.3.2.1(1) din SR EN1993-1-1):

,

1.0Ed

b Rd

M

M (4.16)

în care: MEd este valoarea de calcul a momentului încovoietor; Mb,Rd este momentul capabil al elementului, ţinând cont de posibilitatea pierderii stabilităţii prin încovoiere-răsucire (calculat cu expresia 6.3.2.1(3) din SR EN 1993-1-1):

, 1/b Rd LT y y MM W f (4.17)

în care: Wy=Wpl,y este modulul de rezistenţă plastic pentru secţiuni de clasă 1 şi 2; Wy=Wel,y este modulul de rezistenţă elastic pentru secţiuni de clasă 3; Wy=Weff,y este modulul de rezistenţă efectiv pentru secţiuni de clasă 4; χLT este factorul de reducere pentru flambajul lateral prin încovoiere–răsucire. În Anexa VI se prezintă clasificarea secţiunilor transversale în clase de secţiuni, funcţie de supleţea pereţilor secţiunii şi de distribuţia şi semnul tensiunilor σ. SR EN1993-1-1 oferă două metode de calcul a factorului de reducere χLT pentru bare încovoiate: o metodă generală, mai conservativă, care poate fi aplicată oricărui tip de secţiune transversală şi o metodă alternativă care poate fi aplicată barelor din profile laminate la cald sau sudate echivalente. 4.4.1. Metoda generală de calcul În conformitate cu metoda generală (a se vedea 6.3.2.2 din SR EN 1993-1-1), factorul de reducere χLT se determină cu expresia:

0.522

1LT

LTLT LT

, dar 1LT (4.18)

în care:

20.5 1 0.2LT LTLT LT

0.5/LT y y crW f M

LT este factorul de imperfecţiune care depinde de curba de flambaj considerată;

Mcr este momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere-răsucire. Curbele de flambaj care se adoptă în calcul depind de geometria secţiunii transversale a barei încovoiate şi sunt prezentate în Tabelul 4.3 (a se vedea Tabelul 6.4 din SR EN1993-1-1). Pentru factorul de imperfecţiune αLT asociat diverselor curbe de flambaj se vor considera valorile date în secţiunea 3.5 pentru factorul de imperfecţiune α pentru cazul barelor solicitate la compresiune axială.

Tabelul 4.3: Curbe de flambaj prin încovoiere-răsucire pentru metoda generala de calcul Secţiune Limite Curbe de flambaj

2/ bh a Secţiuni I or H laminate h/b>2 b

2/ bh c Secţiuni I or H sudate h/b>2 d

Alte secţiuni --- d În conformitate cu 6.3.2.2(4) din SR EN 1993-1-1, verificarea rezistenţei la flambaj prin încovoiere-răsucire a elementelor structurale încovoiate poate fi neglijată daca cel puţin una

dintre următoarele condiţii este îndeplinită: ,0LT LT sau 2

,0/ LTEd crM M .

4.4.2 Metoda alternativă de calcul pentru profile laminate sau secţiuni sudate echivalente În conformitate cu metoda alternativă (a se vedea 6.3.2.3 din SR EN1993-1-1), factorul de reducere χLT pentru profile laminate sau sudate echivalente se determină cu expresia:

0.522

1LT

LTLT LT

, dar 2/1

0.1

LTLT

LT

(4.19)

în care:

2,00.5 1 LT LT LTLT LT

;

,0LT şi β sunt parametrii definiţi în Anexa Naţională; valorile recomandate sunt

,0 0.4LT (valoare maximă), respectiv 0.75 (valoare minimă);

LT este zvelteţea redusă, calculată la fel ca în metoda generală; Mcr este momentul critic elastic. La fel ca pentru metoda generală, curbele de flambaj care se adoptă în calcul depind de geometria secţiunii transversale a barei încovoiate şi sunt date, pentru metoda alternativă, în Tabelul 4.4 (a se vedea Tabelul 6.5 din SR EN 1993-1-1). Pentru factorul de imperfecţiune αLT asociat diverselor curbe de flambaj se vor considera şi în această situaţie valorile date în secţiunea 3.5 pentru factorul de imperfecţiune α pentru cazul barelor solicitate la compresiune axială.

Tabelul 4.4: Curbe de flambaj prin încovoiere-răsucire pentru metoda alternativă de calcul

Secţiune Limite Curbe de flambaj

Secţiuni I or H laminate 2/ bh

h/b>2 b c

Secţiuni I or H sudate 2/ bh

h/b>2 c d

În această metodă, alura diagramei de moment încovoietor între legăturile transversale ale elementului structural verificat este considerată în calcul printr-un factor de reducere modificat χLT,mod:

,modLT

LT f

, dar ,mod 1.0LT (4.20)

Parametrul f poate fi indicat în Anexa Naţională, iar valoarea recomandată minimă este dată de expresia:

21 0.5 1 1 0.2 0.8LTcf k

dar 1.0f (4.21)

Valoarea factorului de corecţie kc este dată în Tabelul 4.5 (Tabelul 6.6 din SR EN 1993-1-1).

Tabelul 4.5: Factorul de corecţie kc

Diagrama de momente încovoietoare kc

1

1 1

1.0

1

1.33 0.33

0.94

0.90

0.91

0.86

0.77

0.82 este raportul dintre momentele de capăt, cu 1 1

În Tabelul 4.5 sunt prezentate trei seturi de diagrame de moment încovoietor. Primul set se referă la bare încovoiate cu momente pe capete. Al doilea set de diagrame poate reprezenta cazul

încărcării uniform distribuite pe lungimea barei, combinate cu momente pe capăt. Pentru cel de al treilea set, diagramele pot reprezenta cazul unei încărcări concentrate aplicate la mijlocul deschiderii barei, combinate cu momente pe capăt. Condiţiile de rezemare nu sunt relevante, deoarece sunt deja reproduse prin diagramele de moment. Valorile kc prezentate în Tabelul 4.5 corespund unor situaţii uzuale; unele valori sunt exacte, altele aproximative. 4.4.3 Metode pentru îmbunătăţirea capacităţii elementului structural încovoiat Rezistenţa la flambaj prin încovoiere – răsucire a elementelor structurale încovoiate poate fi îmbunătăţită în proiectare în două moduri:

- prin sporirea rigidităţii la încovoiere laterală şi/sau răsucire, prin schimbarea profilelor I cu profile H (din profile de tip IPE în profile de tip HEA sau HEB) sau cu profile cu secţiune închisă (pătrată, rectangulară, circulară); o alternativă este şi sudarea de tălpile profilului a unor platbenzi, aşa cum s-a arătat în Figura 4.3;

- prin introducerea de legături laterale în lungul barei încovoiate, pentru zonele comprimate ale secţiunii transversale (talpa comprimată în cazul profilelor I sau H).

În mod obişnuit, cea de a doua alternativă este mai economică, chiar dacă în anumite cazuri nu este uşor de realizat, deoarece, pentru aceasta, este necesar ca legăturile transversale să fixeze zona comprimată a secţiunii transversale de alte puncte din structură, care trebuie să prezinte deplasări transversale neglijabile. Secţiunea 4.5 prezintă în continuare o metodă simplificată de calcul pentru verificarea rezistenţei la flambaj prin încovoiere – răsucire pentru grinzi cu legături transversale, făcând parte din structuri (6.3.2.4 din SR EN1993-1-1). 4.5 Metoda simplificată pentru grinzi cu legături transversale, făcând parte din structuri Aşa cum s-a arătat în secţiunea anterioară, rezistenţa la flambaj prin încovoiere – răsucire a elementelor structurale solicitate la încovoiere poate fi îmbunătăţită prin introducerea unor legături transversale discrete în lungul barei încovoiate, care să fixeze zona comprimată a secţiunii transversale de alte puncte din structură. Un exemplu tipic în acest sens este fixarea tălpii inferioare a unei grinzi de panele de acoperiş, aşa cum se arată în Figura 4.11. În acest caz, fixarea tălpii superioare se realizează direct prin pane, în zonele de rezemare a acestora pe grindă, iar talpa inferioară se fixează de pane prin contrafişe.

Fig. 4.11: Fixarea tălpii inferioare a grinzii de panele de acoperiş (SR EN 1993-1-1)

Barele încovoiate a căror talpă comprimată este prevăzută cu legături transversale discrete nu

trebuie verificate la stabilitate generală dacă lungimea Lc dintre legături sau zvelteţea f tălpii comprimate echivalente, definită mai jos, satisface următoarea condiţie:

,0

, 1 .

c Rdc cf c

f z y Ed

Mk L

i M

(4.22)

în care: Lc este lungimea barei încovoiate între legături (distanţa dintre legături); My,Ed este valoarea de calcul maximă a momentului încovoietor între legături;

1,

M

yyRdc

fWM

Wy este modulul de rezistenţă în raport cu talpa comprimată; kc este un factorul de corecţie al zvelteţii, care ţine seamă de distribuţia momentului de

încovoiere între legături (a se vedea Tabelul 4.5 din subcapitolul 4.4); if,z raza de giraţie a secţiunii formate de talpa comprimată a grinzii plus o treime din

partea comprimată a inimii, în raport cu axa minimă de inerţie a secţiunii;

,0c parametrul de zvelteţe limită a tălpi comprimate echivalente;

1 93.9y

E

f

2235 (f in N/mm )y

yf

Parametrul de zvelteţe limită ,0c este specificat Anexa Naţională, valoarea recomandată fiind

,0 ,0 0.1c LT (a se vedea subcapitolul 4.4.2).

Dacă zvelteţea tălpii comprimate echivalente, f , depăşeşte limita dată în relaţia (4.22), atunci momentul capabil al barei încovoiate pentru flambaj prin încovoiere – răsucire poate fi calculat astfel:

, ,b Rd fl c RdM k M dar , ,b Rd c RdM M (4.23)

în care: χ este factorul de reducere pentru talpa comprimată echivalentă, determinat funcţie de

zvelteţea tălpii comprimate echivalente; kfl este un factor de modificare care ia în considerare faptul că metoda tălpii comprimate

echivalente oferă rezultate conservative; valoarea recomandată pentru acest factor în Anexa Naţională este 1.10.

Pentru aplicarea relaţiei (4.23), se consideră următoarele curbe de flambaj:

curba d pentru secţiunile sudate, cu condiţia: 44ft

h;

curba c pentru toate celelalte secţiuni; în care h este înălţimea secţiunii transversale, iar tf este grosimea tălpii comprimate. Anexa BB.3 din SR EN 1993-1-1 oferă valori limită ale distanţelor dintre legăturile transversale pentru diverse situaţii. În cazul în care se prevăd legături transversale la distanţe cel puţin egale cu aceste valori limită, nu mai este necesară efectuarea unui verificări de rezistenţă la flambaj prin încovoiere – răsucire a elementelor structurale încovoiate respective.

În continuare se prezintă exemple de calcul ce acoperă partea teoretică a acestui capitol, şi anume: Exemplul E.10. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire; Exemplul E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire a unui element cu legaturi transversale continue; Exemplul E.12. Calculul unei grinzi cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitată la încovoiere. EXEMPLE DE CALCUL

E.10. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire

Descrierea problemei Să se facă toate verificările de rezistenţă şi stabilitate pentru grinda simplu rezemată,

realizată din profile europene IPE 400 - S420, încărcată cu o sarcină uniform distribuită cu intensitatea de 22,65 kN/m. Grinda nu este fixată lateral decât în dreptul reazemelor. Nu sunt prevăzute dispozitive speciale în rezemări care să prevină deplanarea liberă a secţiunii, iar secţiunea este liberă să se rotească în jurul axei minime de inerţie.

Schema statică şi de încărcare Grinda simplu rezemată încărcată cu o încărcare uniform distribuită:

blocaje laterale

blocaje laterale

L

Figura E.10. Schema statica si modul de încărcare

Rezemările sunt de tip furcă - blocaje lateral ce previn răsturnarea.

Datele problemei Datele geometrice ale elementului sunt prezentate în continuare:

Deschiderea L = 7500 mm Marca oţelului S420

Caracteristicile dimensionale şi geometrice ale secţiunii transversale: Profil laminat european IPE 400 - Marca S420 Înălţimea h = 400,0 mm Înălţimea libera a inimii hw = 373,0 mm Lăţimea tălpilor b = 180,0 mm Grosimea inimii tw = 8,6 mm

Grosimea tălpilor tf = 13,5 mm Raza de racord r = 21,0 mm Aria secţiunii transversale A = 84,5 cm2

Momentul de inerţie maxim /yy Iy = 23128 cm4

Momentul de inerţie minim /zz Iz = 1318 cm4

Momentul de inerţie la torsiune It = 51,08 cm4

Moment de inerţie sectorial Iw = 490000 cm6 Modulul de rezistenţă elastic Wel,y = 1156,4 cm3 Modulul de rezistenţă plastic Wpl,y = 1307,1 cm3 Raza de giraţie / zz iz = 3,95 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z

Figura E.10.2 Secţiunea transversală

Determinarea eforturilor de calcul

+-

+

M

V

Vz,Ed

My,Ed

Figura E.10.3. Diagramele de eforturi

2, 0,125 22,65 159,260y EdM L kNm

, 0,5 22,65 84,339z EdV L kN

Caracteristici mecanice Marca oţelului S420; Grosimea maximă de perete este tf = 13,5 mm < 40 mm, astfel încât limita de curgere este

fy = 420 N/mm2.

Determinarea clasei secţiunii Parametrul ε depinde de limita de curgere a materialului:

2

235 2350,75

420[N/mm ]yf

Talpă în consolă supusă la compresiune:

+c

Figura E.10.4. Talpa in consola supusa la compresiune

2 180 8,6 2 21

64,7 mm2 2

wb t rc

64,7

4,973 9 9 0,75 6,7513,5f

c

t talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Perete interior supus la încovoiere:

+

-

f y

f y

c

Figura E.10.5. Perete interior (inima) supus la încovoiere 2 2 400 2 13,5 2 21 331 mmfc h t r

331

38,49 72 72 0,75 548,6w

c

t inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Clasa unei secţiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puţin favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de faţă: Clasa 1.

Deoarece avem de-a face cu o secţiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastică a secţiunii transversale.

Verificarea la încovoiere Pentru o secţiune de clasa 1 rezistenţa de calcul a unei secţiuni transversale supusă la


3

, ,0

1307,1 10 420548980000 Nmm 548,98 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M

SREN 1993-1-1 (6.13)

Valoarea de calcul MEd a momentului încovoietor în fiecare secţiune transversală trebuie să satisfacă condiţia:

,

159,30,29 1,0

549Ed

c Rd

M

M secţiunea verifică

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1

Observaţie: Pentru elementele supuse la încovoiere este necesară şi verificarea elementului la pierderea stabilităţii prin încovoiere răsucire.


forfecare, care se defineşte:

22 ( 2 ) 6450 2 180 13,5 13,5 (8,6 2 21) 4273 mmvz f f wA A b t t t r

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3)

Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare În absenţa răsucirii, aceasta este dată de relaţia:

, ,0

( / 3) 4273 4201036 kN

3 1,0vz y

pl z RdM

A fV

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2)


,

84,940,082 1,0

1036Ed

c Rd

V

V

Pentru inimile grinzilor, care nu sunt prevăzute cu rigidizări transversale, rezistenţa la voalare din forfecare nu este necesară dacă e îndeplinită condiţia:

400 2 13,5 0.75

72 43,37 72 548,6 1

w

w

h

t

η – se consideră acoperitor egal cu 1,0.

Rezistenţa la încovoiere-răsucire Determinarea factorului de reducere pentru pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire

Pentru a determină momentul de rezistentă de calcul la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire pentru o grindă nefixată lateral trebuie determinat în prealabil factorul de reducere pentru încovoiere-răsucire. Acest factor depinde de valoarea momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire.

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere-răsucire Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire poate fi calculat folosind

următoarea expresie (4.6): 2 22

21 2 3 2 32 2

( )( ) ( )

( )w tz

cr g j g jw z z

I kL GIEI kM C C z C z C z C z

k IkL EI

, unde

2 2( )

02

Aj s i

y

z y z dA

z z zI

(4.10) pentru secţiuni dublu simetrice si expresia devine:

2 22

21 2 22 2

( )( )

( )w tz

cr g gw z z

I k L G IE I kM C C z C z

k Ik L E I

unde: E – modulul de elasticitate longitudinal E = 210000 N/mm2 G – modulul de elasticitate transversal G = 80770 N/mm2 L – deschiderea grinzii L = 7500 mm k ţine cont de posibilitatea de rotire în plan – în jurul axei minime de inerţie zz. kw ţine cont de posibilitatea deplanării libere din răsucire a secţiunii transversale.

În calculul Mcr, au fost introduse următoarele valori pentru factori: k = 1 deoarece talpa comprimată e libera să se rotească în jurul axei minime de inerţie, kw = 1 deoarece nu sunt prevăzute măsuri speciale de împiedecare a deplasării libere a

capetelor grinzii. zg distanţa de la punctul de aplicare al încărcării la centru de tăiere (zg are valori pozitive când încărcarea este aplicata spre centru de tăiere - efect favorabil). În cazul de faţă încărcare acţionează la talpa superioară (situaţia uzuală în cazul grinzilor):

400

200 mm2 2gh

z

C1 şi C2 – coeficienţi ce depind de forma diagramei de moment încovoietor, de proprietăţile secţiunii transversale şi de condiţiile de margine (rezemare). Pentru o încărcare uniform distribuită şi k = 1, avem următoarele valori (vezi Tabelul 4.2):

C1 = 1,127 C2 = 0,454

Datorită complexităţii expresiei, a posibilităţii inerente a unor erori algebrice este recomandată efectuarea aritmeticilor pe termeni, pentru urmărirea mai facilă a calculelor:

2 2 5 4 130 3,14 2,1 10 1318 10 2,732 10zT E I

2 13

31 1 2 2

2,732 101,127 547,31 10

( ) (1 7500)zE I

T Ck L

2 2 9

32 4

1 490 1037,18 10

1 1318 10w

w z

k IT

k I

2 2 4

33 2 13

( ) (1 7500) 80770 51 1084,81 10

2,732 10t

z

k L G I T

E I

4 2 0,454 200 90,8gT C z

2

1 2 3 4 4

3 3 3 2547,13 10 37,18 10 84,81 10 90,8 90,8 147,78 kNm

crM T T T T T

Pentru exemplificarea determinării momentului critic elastic de flambaj prin încovoie-

răsucire, se vor considera mai multe situaţii de rezemare la capete si de încărcare ale aceluiaşi element IPE400 L=7500m:

Element simplu rezemat cu încărcare uniform distribuita cu rotirea blocata in jurului axei minime de inerţie la capete kz = 0.5:

C1 = 0,97; C2 = 0,36 (Tabel 4.2) 220,27kNmcrM

Element simplu rezemat cu încărcare concentrata si legătura transversala la jumătatea deschiderii cu rotirea libera in jurului axei minime de inerţie la capete kz = 1,0:

3,75mL distanta intre doua legăturii transversale C1 = 1,35; C2 = 0,630 395,724kNmcrM

Element dublu încastrat cu încărcare uniform distribuita cu rotirea libera in jurului axei minime de inerţie la capete kz = 1,0:

C1 = 2,578; C2 = 1,554 (vezi Anexa V) 415,026kNmcrM

Zvelteţea redusă pentru încovoiere-răsucire Zvelteţea redusă pentru flambajul prin încovoiere-răsucire se determină cu următoarele

relaţii:

3

,6

1307,1 10 4201,927

147,78 10

pl y yLT

cr

W f

M

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1) Pentru profile laminateLT,0 = 0,4

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (1)

Deoarece λLT = 1,927 > λLT,0 efectele deversării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilităţii prin încovoiere - răsucire fiind obligatorie.

Factorul de reducere Pentru profilele laminate sau secţiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χLT

pentru zvelteţea redusă corespunzătoare pot fi determinate astfel:

2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LT LT

unde

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) αLT factorul de imperfecţiune pentru pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire:

Pentru 400

2,222 2180

h

b curba c (LT = 0,49)

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5, Tabel 6.3

Valorile recomandate: LT,0 = 0,4 şi = 0,75 SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)

2,0

2

0,5 1 ( )

0,5 1 0,49 (1,927 0,4) 0,75 1,927 2,267

LT LT LTLT LT

2

22 2

1

1 10,263 0,269

2,267 2,267 0,75 1,927

LT

LTLT LT

LT

Pentru a lua în considerare distribuţia momentelor între legăturile laterale ale barelor se calculează factorul f:

kc = 0,94 - diagramă de moment parabolică – zero la capete. SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2

2

1 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8)

1 0,5 (1 0,94) 1 2 (1,927 0,8) 1,046 1,00 1

LTcf k

f

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)

Factorul de reducere χLT poate fi definit astfel:

,0,263

0,2631

LTLT mod f

Momentul rezistent de calcul la încovoiere-răsucire

3, ,

1

4200,263 1307,1 10 144,37 kNm

1,00y

b Rd LT pl yM

fM W

Verificarea la deversare O grindă care nu este fixată lateral şi este supusă la încovoiere după axa maximă de inerţie,

trebuie verificată astfel:

,

,

159,261,10 1,00

144,37y Ed

b Ed

M

M Grinda nu verifică

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1

E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire a unui element cu legaturi transversale continue

Descrierea structurii Să se facă toate verificările de rezistenţă şi stabilitate pentru o pană de acoperiş simplu

rezemată, realizată din profile europene IPE 160 S235 dispuse la distanta de 2,2 m. Pana este încărcată cu o sarcină uniform distribuită, rezultată din combinaţia 1,35P + 1,5Z (presiune), respectiv 1P + 1,5 V (sucţiune). Grinda este fixată lateral în dreptul reazemelor si la talpa superioară prin intermediul tablei de acoperiş.

Schema statică şi de încărcare Grinda simplu rezemată încărcată cu o încărcare uniform distribuită:

blocaje laterale

L

Figura E.10.1 Schema statica si modul de încărcare

Talpa superioara este fixata de către tablă cutata LTP20/0.7 S350. Rezemările sunt blocaje lateral ce previn răsturnarea.

Ipotezele de încărcare / Combinaţii de încărcări Permanenta p = 0,30 kN/m2 Zăpada z = 0,618 kN/m2 Vânt (sucţiune) v = -0,73 kN/m2

Presiune 21,35 1,5 1,35 0,3 1,5 0,618 1,332 /P Z kN m

Sucţiune 21,35 1,5 1,35 0,3 1,5 ( 0,73) 0,69 /P V kN m

Datele problemei Datele geometrice sunt prezentate în continuare:

Deschiderea L = 6200 mm Distanta intre pane s = 2200 mm Marca oţelului S235

Caracteristicile dimensionale şi geometrice ale secţiunii transversale:

Profil laminat european IPE 160 - Marca S235 Înălţimea h = 160,0 mm Înălţimea libera a inimii hw = 145,2 mm Lăţimea tălpilor b = 82,0 mm Grosimea inimii tw = 5,0 mm Grosimea tălpilor tf = 7,4 mm Raza de racord r = 9,0 mm Aria secţiunii transversale A = 20,09 cm2

Aria de forfecare Avz = 9,66 cm2

Momentul de inerţie maxim / yy Iy = 869,3 cm4

Momentul de inerţie minim / zz Iz = 68,31 cm4

Momentul de inerţie la torsiune It = 3,60 cm4

Moment de inerţie sectorial Iw = 3960 cm6 Modulul de rezistenţă elastic Wel,y = 108,7 cm3 Modulul de rezistenţă plastic Wpl,y = 123,9 cm3 Raza de giraţie / zz iz = 1,84 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z


Dimensiunile tablei cutate: Tabla cutata LINBAD LTP20/0.7 – S350 Înălţimea h = 17,4 mm Grosimea t = 0,7 mm Înălţimea htw = 18 mm Greutatea G = 7 kg/m2

Determinarea eforturilor de calcul

Presiune

+-

+

M

V

Vz,Ed

My,Ed

Figura E.11.3. Diagramele de eforturi

2, 0,125 2,2 1,332 14,081y EdM L kNm

, 0,5 2,2 1,332 9,084z EdV L kN

Sucţiune

2, 0,125 2,2 0,69 7,294y EdM L kNm

, 0,5 2,2 0,69 4,706z EdV L kN

Caracteristici mecanice

Marca oţelului S235; Grosimea maximă de perete este tf = 7,4 mm < 40 mm, astfel încât limita de curgere este fy

= 235 N/mm2.


2

235 2351,0

235[N/mm ]yf


+c

Figura E.11.4. Talpa in consola supusa la compresiune

2 82 5 2 9

29,5 mm2 2

wb t rc

29,5

3,99 9 9 1 97,4f

c

t talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Perete interior supus la încovoiere:

+

-

f y

f y

c

Figura E.11.5. Perete interior (inima) supus la încovoiere 2 2 160 2 7,4 2 9 127,2 mmfc h t r

127,2

25,44 72 72 1 725w

c

t inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Clasa unei secţiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puţin favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de faţă: Clasa 1.

Deoarece avem de-a face cu o secţiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastică a secţiunii transversale.

Verificarea la încovoiere Pentru o secţiune de clasa 1 rezistenţa de calcul a unei secţiuni transversale supusă la


3

, ,0

123,9 10 23529116500 Nmm 29,12 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M

SREN 1993-1-1 (6.13)


,

14,0810,484 1,0

29,12Ed

c Rd

M


SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1

Observaţie: Pentru elementele supuse la încovoiere este necesară şi verificarea elementului la pierderea stabilităţii prin încovoiere răsucire.


forfecare, care se defineşte:

2 22 ( 2 ) 2009 2 82 7,4 7,4 (5 2 9) 965,6 mm 966 mm ( )vz f f wA A b t t t r tabele

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3)

Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare În absenţa răsucirii, aceasta este dată de relaţia:

, ,0

( / 3) 966 235131,1 kN

3 1,0vz y

pl z RdM

A fV

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2)


,

9,0840,069 1,0

131,1Ed

c Rd

V

V

Pentru inimile grinzilor, care nu sunt prevăzute cu rigidizări transversale, rezistenţa la voalare din forfecare nu este necesară dacă e îndeplinită condiţia:

160 2 7,4 1

72 29,04 72 725 1

w

w

h

t

η – se consideră acoperitor egal cu 1,0.

Rezistenţa la încovoiere-răsucire

Determinarea legături transversale Dacă o tablă cu profil trapezoidal (LTP20/0.7) este fixată pe o grindă, această grindă poate fi

considerată ca fixată lateral în planul tablei, la nivelul legăturilor, dacă condiţia este îndeplinită: 2 2

2min 2 2 2

700.25w t zS S EI GI EI h

L L h

SREN 1993-1-1 BB2.1.(1)B

unde: S - este rigiditatea la forfecare conferită grinzii de către tablă, în raport cu deformaţia acesteia în planul tablei, considerată fixată în dreptul fiecărei nervuri; Iw - este moment de inerţie sectorial al grinzii; It - este moment de inerţie la răsucire al grinzii; Iz - este moment de inerţie la încovoiere a secţiunii transversale a grinzii în raport cu axa slabă; L - este lungimea grinzii; h - este înălţimea grinzii; Dacă tabla este fixată doar în dreptul unei nervuri din două, S se va înlocui cu 0,20S.

2 22

min 2 2 2

700.25 9973000 / 9973 /w t zS EI GI EI h Nmm mm kNm m

L L h

S, rigiditatea la forfecare în planul tablei se determina conform EN 1993 – 1 – 3 (§ 10.1.1 (10)):

3 3

3 3

1000 50 10

22001000 0.7 50 10 6200 16730000 / 16730 /

18

actw

sS t b

h

Nmm mm kNm m

unde: S - este rigiditatea la forfecare conferită grinzii de către tablă, în raport cu deformaţia acesteia în planul tablei, considerată fixată în dreptul fiecărei nervuri; bac – lungimea tablei – deschiderea panei; s – deschiderea tablei – distanta intre doua pane consecutive; htw - este înălţimea tablei cutate.

min 9973 / 16730 /S kNm m S kNm m tabla cutată are suficientă rigiditate pentru a fi considerată la deplasare laterală ca o legătura transversală continuă la talpă superioară a panei. Determinarea factorului de reducere pentru pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire

Pierderea stabilităţii este posibila doar in cazul in care talpa nefixată – cea inferioară – este supusă la compresiune, adică in situaţia de încărcare “sucţiune”.

Pentru a determină momentul de rezistentă de calcul trebuie determinat în prealabil factorul de reducere pentru încovoiere-răsucire. Acest factor depinde de valoarea momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire.

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoiere-răsucire Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire poate fi calculat folosind un

software specializat si anume LTBeam versiunea 1.0.8 (2002-2009) (Lateral Torsional Buckling of Beams by Yvan Galea) produs de CTICM (www.cticm.com):

22,862 kNmcrM (fata de 12,136 kNmcrM in cazul lipsei legăturii transversale). S-a considerat talpa superioara fixata continuu (la 80 mm de centru de taiere) si

încărcarea aplicata in centrul de taiere.


relaţii:

3

,6

123,9 10 2351,129

22,862 10pl y y

LTcr

W f

M

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1) Pentru profile laminateLT,0 = 0,4

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (1)

Deoarece λLT = 1,129 > λLT,0 efectele deversării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilităţii prin încovoiere - răsucire fiind obligatorie.

Factorul de reducere Pentru profilele laminate sau secţiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χLT


2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LT LT

unde

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1) αLT factorul de imperfecţiune pentru pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire:

Pentru 160

1,951 282

h

b curba b (LT = 0,34)

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5, Tabel 6.3


2,0

2

0,5 1 ( )

0,5 1 0,34 (1,129 0,4) 0,75 1,129 1,101

LT LT LTLT LT

2

22 2

1

1 10,621 0,785

1,101 1,101 0,75 1,129

LT

LTLT LT

LT


kc = 0,94 - diagramă de moment parabolică – zero la capete. SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2

2

1 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8)

1 0,5 (1 0,94) 1 2 (1,129 0,8) 0,903

LTcf k

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)


,0,621

0,6880,903

LTLT mod f

Momentul rezistent de calcul la încovoiere-răsucire

3, ,

1

2350,688 123,9 10 20,042 kNm

1,0y

b Rd LT pl yM

fM W

Verificarea la deversare O grindă a cărei tălpii comprimate nu este fixată lateral şi este supusă la încovoiere după axa

maximă de inerţie, trebuie verificată astfel:

,

,

7,2940,364 1,00

20,042y Ed

b Ed

M

M Pana verifică condiţiile SLU

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1

Ipoteza dispunerii unui tirant In ipoteza dispunerii unui tirant de legătura la mijlocul deschiderii, acesta va reduce lungimea

elementului intre doua legaturi. Barele a căror talpă comprimată este prevăzută cu legături transversale discrete nu trebuie verificate la stabilitate generală dacă lungimea Lc dintre legături sau zvelteţea λf a tălpii comprimate:

Rd,y

Rd,c0c

1z,f

ccf M

M

i

Lk

if,z raza de giraţie a secţiunii formate de talpa comprimată a grinzii plus 1/3 din partea comprimată a inimii, în raport cu axa slabă a secţiunii.

mm62,218,727

340262

A

Ii

f

f,zz,f

kc este un factor de corecţie al zvelteţi, care ţine seama de distribuţia momentului de încovoiere între legături (SREN 1993-1-1 Tabelul 6.6); kc = 0,94

445,13,9362,21

360094,0f

λc0 parametrul de zvelteţe limită a tălpi comprimate:

5,01,04,01,00,LT0c

Nota (2)B si SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3

,1

29,12yc Rd y

M

fM W kNm

,0

,

29,120,5 1,603

9,084c Rd

cy Ed

M

M

Astfel condiţia (SREN 1993-1-1 (6.59)) devine:

603,1445,1f elementul nu trebuie verificate la stabilitate generală

Verificarea săgeţii SLS

441

4

5 0,918 2,2 6200521,29 ~ / 300

384 384 210000 869,3 10y

p Lv mm L

EI

presiune

4 42

4

5 5 ( 0,43 2,2) 62009,97 ~ / 620

384 384 210000 869,3 10y

p Lv mm L

EI

suctiune

E.12. Calculul unei grinzi cu secţiune transversală de tip C formată la rece,

solicitată la încovoiere

Descrierea problemei Exemplul prezintă calculul unei grinzi de planşeu solicitată la încovoiere. Grinda de

planşeu se consideră că este simplu rezemată la capete, iar secţiunea transversală este realizată dintr-un profil cu pereţi subţiri formate la rece de tip C. Se consideră că atât talpa superioară cât şi cea inferioară a secţiunii grinzii sunt împiedicate continuu lateral. În Figura E.12.1(a) se prezintă schema statică şi încărcarea ce acţionează. De asemenea, în exemplu este inclusă şi verificarea la starea limită de serviciu.

Schema statică

(a) (b)





281000 N mm2 1

EG

Deschiderea grinzii 4 mL Distanţa dintre grinzi 0,6 mS Încărcarea uniform distribuită aplicată pe grindă: Greutatea proprie a grinzii G,grinda 0,06 kN mq

Planşeu uşor: 20,75 kN m G,planseu 0,75 0,6 0,45 kN mq

Încărcarea permanentă G G,grinda G,planseu 0,51 kN mq q q

Încărcarea utilă: 23 kN m Q 3 0,6 1,80 kN mq

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale Înălţimea totală a inimii 200 mmh Lăţimea totală a tălpii comprimate 1 74 mmb Lăţimea totală a tălpii întinse 2 66 mmb Lăţimea totală a rebordului 20,8 mmc Raza interioară 3 mmr Grosimea nominală nom 2 mmt Grosimea miezului de oţel 1,96 mmt (conform §3.2.4(3) din EN1993-1-3)




SREN 1993-1-3 § 2(3)



SREN 1990

Verificarea la Starea Limită Ultimă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale eficace: Momentul de inerţie al secţiunii transversale eficace în raport cu axa maximă de inerţie:

4

eff,y 4139861 mmI

Poziţia axei neutre: - în raport cu talpa comprimată: c 102,3 mmz - în raport cu talpa întinsă: t 95,7 mmz

Modulul de rezistenţă eficace: - în raport cu talpa comprimată:

eff,y 3eff,y,c

c

413986140463 mm

102,3

IW

z

- în raport cu talpa întinsă:

eff,y 3eff,y,t

t

413986143264 mm

95,7

IW

z

3eff,y eff,y,c eff,y,tmin , 40463 mmW W W

Încărcarea care acţionează pe grindă aferentă stării limită ultime(ULS), conform EN1990. d G G Q Q 1,35 0,51 1,50 1,80 3,39 kN mq q q

Momentul încovoietor maxim (la mijlocul deschiderii), în raport cu axa maximă de inerţie y-y, din încărcările de calcul:

2 2Ed d 8 3,39 4 8 6,78 kNmM q L

Verificarea rezistenţei la încovoiere la Starea Limită Ultimă Momentul încovoietor capabil al secţiunii transversale pentru încovoiere după axa maximă

de inerţie este: 9 3

c,Rd eff,y yb M0 40463 10 350 10 1,0 14,16 kNmM W f

SREN 1993-1-3 §6.1.4.1(1) Următoarea condiţie trebuie îndeplinită la încovoiere: Ed

c,Rd

6,780,479 1

14,16

M

M – verifică

SREN 1993-1-1 §6.2.5(1) Verificarea rezistenţei la forfecare la Starea Limită Ultimă

Calculul la forţă tăietoare Forţa tăietoare maximă din încărcările de calcul este:

Ed d 2 3,39 4 2 6,78 kNV q L Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare este:

ybv ybpl,Rd

M0 M0

33 sinwh

t fA fV

SREN 1993-1-1 §6.2.6(2) unde:

vA – aria de forfecare

w nomh h t – înălţimea inimii măsurată între axele tălpilor 90 – unghiul de înclinare a inimii faţă de tălpi.

3

3 3

pl,Rd

200 2 101,96 10 350 10 3

sin90 78,42 kN1,0

V

Forţa capabilă la forfecare este: w

bv

b,RdM0

sin

htf

V

SREN 1993-1-3 §6.1.5 unde:

bvf este rezistenţa la flambajul prin forfecare Pentru inimi cu rigidizări în secţiunea de reazem:

bv yb0,58f f dacă w 0,83

bv yb w0,48f f dacă w 0,83

Zvelteţea redusă w pentru inimi fără rigidizări longitudinale:

yb ybw nomw

200 2 3500,346 0,346 0,346 1,427

1,96 210000

f fs h t

t E t E

w 1,427 0,83 astfel: 2

bv yb w0,48 0,48 350 1,427 117,73 N mmf f

33 3

b,Rd

200 2 101,96 10 117,73 10

sin90 45,7 kN1,0

V

Efortul capabil la forfecare:

c,Rd pl,Rd b,Rdmin , min 78,42 ; 45,7 45,7 kNV V V

Valoarea de calcul VEd a forţei tăietoare în fiecare secţiune transversală trebuie să satisfacă relaţia:

Ed

c,Rd

6.780,148 1

45,7

V

V – verifică

SREN 1993-1-1 §6.2.6(1) Verificarea rezistenţei la forţe transversale concentrate la Starea Limită Ultimă

Reacţiunea: Ed d 2 3,39 4 2 6,68 kNF q L

Pentru o secţiune transversală cu o singură inimă nerigidizată, următoarele condiţii trebuiesc satisfăcute:

w 200h t 198 1,96 101,02 200 – verifică 6r t 3 1,96 1,53 6 – verifică

45 90 unde este unghiul de înclinare a inimii faţă de tălpi: 90 – verifică

SREN 1993-1-3 §6.1.7.2(1) Rezistenţa inimii la cedarea prin deformare locală se determină astfel: Lungimea de rezemare: s 80 mms Pentru s 80 1,96 40,816 60s t rezistenţa inimii la cedarea prin deformare locală w,RdR

este: 2w s

1 2 3 yb

w,RdM1

5,92 1 0,01132

h t sk k k t f

tR

SREN 1993-1-3 §6.1.7.2(2) unde:

1 1,33 0,33k k cu yb 228 350 228 1,535k f

1 1,33 0,33 1,535 0,823k

2 1,15 0,15 1,15 0,15 3 1,96 0,92k r t

2 23 0,7 0,3 90 0,7 0,3 90 90 1k

SREN 1993-1-3 §6.1.7.2(3)

2

w,Rd

198 1,96 800,823 0,92 1 5,92 1 0,01 1,96 350

132 1,967396 N

1,0R

sau w,Rd 7,396 kNR

Pentru cazul verificării la forţe transversale concentrate trebuie îndeplinită condiţia:

Ed w,Rd6,68 kN 7,396 kNF R – verifică

SREN 1993-1-3 §6.1.7.1(1)

Verificarea la Starea Limită de Serviciu Încărcarea aplicată grinzii, aferentă stării limită de serviciu, conform EN1990 este:

d,ser G Q 0,51 1,80 2,31 kN mq q q

Momentul încovoietor maxim (la mijlocul deschiderii), în raport cu axa maximă de inerţie y-y:

2 2Ed,ser d,ser 8 2,31 4 8 4,62 kNmM q L

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale eficace, corespunzătoare stării limită de serviciu (conform §7.1(3) din EN1993-1-3)

Momentul de inerţie corespunzător stării limită de serviciu este:

grfic gr gr eff

I I I I

cu: 4

gr 4495921 mmI – momentul de inerţie al secţiunii transversale brute

gr – valoarea maximă negativă a tensiunii din încovoiere corespunzătoare stării limită de

serviciu

c,gr 96,88 mmz – poziţia axei neutre în raport cu talpa comprimată 6

Ed,ser Ed,ser 2gr

gr gr c,gr

4,62 1099,55 N mm

4495921 96,88

M M

W I z

2yb 350 N mmf

4eff,yff

4139861 mme

I I

4fic

99,554495921 4495921 4139861 4394644 mm

350I

Verificarea săgeţi 4 4

d,ser

fic

5 5 2.31 40008.34 mm

384 384 210000 4394644

q L

EI

, adică / 480L

Săgeata admisă / 250 16 mmadm L – verifică

5. BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE ŞI ÎNCOVOIERE 5.1 Aspecte generale. Producerea fenomenelor Elementele construcţiilor metalice solicitate axial prezintă anumite excentricităţi, conducând la apariţia unor momente încovoietoare suplimentare. În subcapitolul 3.2 s-a arătat că, în cazul flambajului barelor comprimate centric, ţinând cont de efectul imperfecţiunilor, cedarea se produce prin compresiune excentrică. Astfel, comportarea barelor comprimate şi încovoiate apare ca un caz general de comportare, deosebindu-se de comportarea barelor comprimate centric, prin faptul că excentricităţile sunt mai mari, sau prin faptul că încovoierea poate fi produsă şi de acţiunea unor momente încovoietoare, sau a unor forţe transversale care acţionează asupra barei. Una din limitele de comportare a barelor comprimate şi încovoiate o reprezintă bara comprimată centric (M = 0), iar cealaltă limită o reprezintă bara încovoiată (N = 0), la care, de asemenea, apar fenomenele de pierdere a stabilităţii (Dalban ş.a., 1997). Cedarea barelor comprimate şi încovoiate se produce fie prin plastificarea secţiunilor celor mai solicitate, datorate în special solicitării de încovoiere, fie prin pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire, în funcţie de raportul dintre cele două solicitări (moment încovoietor şi forţă axială), de forma secţiunii transversale a barei, de legăturile de la capete sau de pe lungimea barei etc. Fenomenele pot fi iniţiate în domeniul elastic sau elasto-plastic. În stadiul final de cedare, deformaţiile barei au un pronunţat caracter plastic. În Figura 5.1 se prezintă două exemple de elemente solicitate la compresiune şi încovoiere. Comportarea acestor elemente rezultă din combinaţia celor două efecte şi variază cu zvelteţea acestora. În domeniul zvelteţilor mici rezistenţa secţiunii transversale domină fenomenul, descrisă prin relaţia de interacţiune pentru starea limita elastică sau plastică. Pentru domeniile de zvelteţe medii şi mari, efectele de ordinul doi devin importante, comportarea fiind influenţată semnificativ de imperfecţiunile geometrice şi tensiunile reziduale. În domeniul zvelteţilor mari, cedare se produce prin flambaj în domeniul elastic. Cedarea se produce fie prin flambajul prin încovoiere (tipic elementelor solicitate la compresiune pură), fie prin flambaj prin încovoiere laterală cu răsucire (tipic elementelor solicitate la încovoiere).

Fig. 5.1: Exemple de elemente solicitate la compresiune şi încovoiere

Comportarea elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere rezultă din interacţiunea dintre pierderea stabilităţii şi plasticizarea secţiunii transversale şi este influenţată de imperfecţiunile geometrice şi de material. Comportarea acestor elemente este foarte complexă. O prezentare în detaliu a comportării elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere, precum şi bazele teoretice ale relaţiilor de interacţiune în ceea ce priveşte stabilitatea, care sunt prezentate în SR EN 1993-1-1, a fost făcută de Boissonnade ş.a. (2006).

Verificarea elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere se realizează în doi paşi: a) verificarea rezistenţei secţiunii transversale; b) verificarea de flambaj a barei.

În continuare se vor prezenta aspectele teoretice în ceea ce priveşte stabilitatea elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere, respectiv relaţiile de interacţiune în conformitate cu SR EN 1993-1-1. 5.2 Rezistenţa barelor comprimate şi încovoiate la pierderea stabilităţii generale 5.2.1 Bazele teoretice În cazul unei bare solicitate la compresiune şi încovoiere, pe lângă momentele încovoietoare de ordinul întâi şi deformaţiile aferente (obţinute pe configuraţia nedeformată), trebuie luate în considerare şi momentele încovoietoare şi deformaţiile de ordinul doi, adiţionale (efectele P-). În Figura 5.2 se prezintă comportarea unui element solicitat la compresiune şi încovoiere, cu o curbură iniţială de forma unei sinusoide cu săgeata maximă e0. Diagrama de moment încovoietor include momentele încovoietoare de ordinul întâi şi doi, care rezultă din deformarea laterală.

Fig. 5.2: Comportarea unei bare solicitate la compresiune şi încovoiere (da Silva ş.a., 2010)

Verificarea în secţiunea transversală a barei nu ţine cont de distribuţia momentului încovoietor M, în lungul barei. În Figura 5.3 se prezintă deformata barei ca rezultat al acţiunii simultane a forţei axiale de compresiune şi a momentelor încovoietoare aplicate la capete, egale ca mărime (încovoierea în curbură simplă). După cum s-a precizat, momentul încovoietor în fiecare secţiune în lungul bare poate fi considerat ca fiind compus din doi termeni:

- momentul încovoietor de ordinul întâi M; - momentul încovoietor de ordinul doi N v.

Utilizând teoria de bară, în domeniul elastic, se poate obţine săgeata maximă la mijlocul barei (Trahair şi Bradford, 1988):

max,

sec 12 cr y

M Nv

N N

(5.1)

unde 2

, 2y

cr yEI

NL

este forţa critică de flambaj după axa maximă, respectiv momentul

încovoietor maxim:

max,

sec2 cr y

NM M

N

(5.2)

Fig. 5.3: Momentul încovoietor de ordinul întâi şi doi (SSDATA, 1999)

În ecuaţiile (5.1) şi (5.2) de mai sus, termenul ce conţine secanta poate fi înlocuit cu termenul din relaţia (5.3), observând că ecuaţiile deformatei şi momentului încovoietor de ordinul întâi M sunt aproximativ egale, aşa cum se prezintă în Figura 5.4.

,

1

1 / cr yN N (5.3)

Fig. 5.4: Săgeata şi momentul încovoietor maxim pentru bara solicitată la compresiune cu

încovoiere (momente încovoietoare egale aplicate la capetele barei) (SSDATA, 1999)

Aproximare Ecuaţiile (5.4) şi (5.5)

Soluţia exactă pentru săgeată, ecuaţia (5.1)

Soluţia exactă pentru moment, ecuaţia (5.2)

/

Astfel, relaţiile (5.1) şi (5.2) devin:

2

max,

1

8 1 /y cr y

MLv

EI N N

(5.4)

max,

1

1 / cr yM M

N N

(5.5)

Efortul unitar maxim în secţiunea transversală cea mai solicitată va fi:

maxmax c b

M

M (5.6)

unde, c este efortul unitar din compresiune, iar b este efortul unitar din încovoiere.

Ecuaţia (6) poate fi rescrisă astfel:

,1.0

(1 / )c b

y y cr yf f N N

(7)

Ecuaţia (5.7) poate fi rezolvată pentru valorile c şi b care produc plasticizarea secţiunii,

luând diferite valori ale forţei critice ,cr yN (care depinde de zvelteţe). Această ecuaţie generează

o serie de curbe după cum se prezintă în Figura 5.5, care indică faptul că dacă 0b , atunci

c tinde către valoarea limitei de curgere fy. Astfel, ecuaţia (5.7) nu identifică posibilitatea de

flambaj sub forţa axială pură, la un nivel dat al efortului unitar critic ,cr y , dat de relaţia:

2 2

,, 2 2

cr y ycr y

y

N EI E

A AL

(5.8)

Fig. 5.5: Reprezentarea grafică a ecuaţiei (5.14) (SSDATA, 1999)

Utilizarea ambelor ecuaţii (5.7) şi (5.8), asigură că ambele condiţii sunt acoperite, după cum se prezintă în Figura 5.6.

Fig. 5.6: Reprezentarea grafică a ecuaţiilor (5.7) şi (5.8) (SSDATA, 1999) După cum s-a prezentat în subcapitolul 3.2, stabilitatea unei bare cu o imperfecţiune iniţială e0 solicitată la compresiune axială NEd, poate fi exprimată prin relaţia (5.9), astfel:

011

1 /Ed Ed

Rd Ed cr Rd

N N e

N N N M

(5.9)

unde cu e0 se notează imperfecţiunea geometrică echivalentă.

2,

0,

(1 )(1 ) el Rd

pl Rd

Me

N

(5.10)

Când bara este solicitată la momente încovoietoare suplimentare celor de ordinul întâi, atunci ecuaţia (5.9) poate fi scrisă astfel.

II0, max1

11 /

Ed dEd Ed

Rd Ed cr Rd Rd

N eN M

N N N M M

(5.11)

unde II maxEdM reprezintă momentul încovoietor de ordinul doi maxim, indus de momentul

încovoietor de ordinul întâi suplimentar. Deoarece ecuaţia (5.11) reprezintă relaţia de verificare în secţiunea cea mai solicitată, este necesar să se determine poziţia acestei secţiuni pentru a putea

evalua momentul încovoietor II maxEdM . Atunci când există un momentul încovoietor de ordinul

întâi EdM , apare şi un braţ de forţă suplimentar pentru forţa axială EdN , ce conduce la o

amplificare a deformatei şi a momentului încovoietor, în acelaşi sens cu imperfecţiunea iniţială e0, aşa cum se prezintă în Figura 5.7.

Fig. 5.7: Momentul încovoietor de ordinul doi şi forma sinusoidală

echivalentă (Boissonade ş.a, 2006) Pentru a evita determinarea poziţiei secţiunii transversale cea mai solicitată din efectele de ordinul doi, se utilizează conceptul de moment încovoietor echivalent. Acesta constă în înlocuirea sistemului încovoietor de ordinul întâi de pe elementul deja solicitat la acelaşi efort axial, cu un moment încovoietor de ordinul întâi sinusoidal, care produce acelaşi moment încovoietor amplificat. Acesta din urmă se exprimă de regulă prin termenul m EdC M (a se vedea

forma sinusoidală echivalentă din Figura 5.7).

Momentul încovoietor de ordinul doi maxim IImaxEdM poate fi exprimat astfel:

II max

max

1 /m Ed

EdEd cr

C MM

N N

(5.12)

Astfel, verificarea în secţiunea cea mai solicitată se va efectua cu formula:

0, 1 11

1 / 1 /Ed dEd m Ed

Rd Ed cr Rd Ed cr Rd

N eN C M

N N N M N N M

(5.13)

momentul încovoietor iniţial fiind produs de momentele încovoietoare de la capete şi sau forţele transversale aplicate în lungul barei. Ecuaţia (5.13) reprezintă forma generală şi a fost folosită în majoritatea normelor de proiectare. O exprimare similară a acestei relaţii este şi:

11

1 /Ed m Ed

Rd Ed cr Rd

N C M

N N N M

(5.14)

unde 1 /

1 /Ed cr

Ed cr

N N

N N

(5.15)

Relaţia (5.14) este prezentată într-o formă mai convenabilă, permiţând exprimarea separată a termenului ce conţine termenul de flambaj. Totuşi, termenul nu este izolat, acesta depinzând de forţa axială de compresiune NEd. 5.2.2 Flambajul prin încovoiere şi flambajul prin încovoiere-răsucire Cele trei moduri de comportare a barelor solicitate la compresiune cu încovoiere sunt ilustrate în Figura 5.8.

Stâlpul se deformează doar în

planul zx Stâlpul se deformează în planul zx, apoi flambează în planul yx şi se

răsuceşte după axa x

Stâlpul se deformează în planurile zx şi yx şi se răsuceşte după axa x

(a) comportarea în plan (b) comportarea la încovoiere cu răsucire

(c) încovoierea biaxială

Fig. 5.8: Moduri de flambaj ale elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere Dacă un element este încovoiat după axa minimă de inerţie, sau dacă este împiedicat să se deformeze lateral atunci când este încovoiată după axa maximă de inerţie, aşa cu se prezintă în Figura 5.8a, atunci comportarea barei va fi limitată la planul de flambaj. Atunci când un element cu secţiunea transversală deschisă (simplu conexă), este solicitat la încovoiere după axa maximă de inerţie, aşa cum se arată în Figura 5.8b, atunci acesta poate flamba în afara planului încărcării prin deformare laterală şi răsucire. Acest fenomen este similar cu flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire a grinzilor (a se vedea capitolul 4). Cazul cel mai general este cazul prezentat în Figura 5.8c, atunci când încovoierea este biaxială, iar comportarea elementului este tridimensională, care implică încovoierea biaxială şi răsucirea. Când un element fără legături / rezemări laterale este solicitat la compresiune şi încovoiere în planul de rigiditate maximă (a se vedea Figura 5.8a), acesta îşi pierde stabilitatea, de regulă, prin încovoiere-răsucire, la o forţă care este semnificativ mai mică decât cea dintr-o analiză în plan. Acest mod de pierdere a stabilităţii este întâlnit atât la bare încovoiate, cât şi la bare comprimate. Flambajul prin încovoierea laterală cu răsucire poate sa apară în timp ce elementul este încă în domeniul elastic (a se vedea curba 1 din Figura 5.9), sau după ce are loc plastificarea secţiunii (a se vedea curba 2 din Figura 5.9), datorită compresiunii şi încovoierii în planul de rigiditate maximă.

(1) Flambaj elastic

(2) Flambaj inelastic

Forta

Deformatie in afara planului

(1) Flambaj elastic

(2) Flambaj inelastic

Forta

Deformatie in plan

Prima articulatie plastica

(a) comportare în afara planului (b) comportare în plan

Fig. 5.9: Flambajul prin încovoierea laterală cu răsucire a elementelor solicitate la compresiune şi încovoiere (SSDATA, 1999)

Legături laterale

Se consideră flambajul prin încovoierea - răsucire a unui element cu secţiunea transversală dublu T, fără legături / rezemări laterale, încovoiat după axa maximă de inerţie. Considerând o comportarea elastică şi schema statică şi modul de încărcare aşa cum se prezintă în Figura 5.10, combinaţia critică N – M se poate obţine din soluţia ecuaţiei de mai jos (Chen şi Atsuta, 1976):

2

2, ,0 , ,

1 1cr z cr Tcr z cr T

M N N

N Ni N N

(5.16)

unde

0y zI I

iA

este raza de inerţie polară;

2

, 2z

cr zEI

NL

este forţa critică de flambaj după axa minimă de inerţie;

2

, 2 20

1 wcr T t

T

EIN GI

i l

este forţa critică de flambaj prin răsucire.

Fig. 5.10: Flambajul prin încovoierea laterală cu răsucire. Cazul standard: reazemele marginale

împiedică deformarea laterală şi răsucirea, dar nu împiedică deplanarea Ecuaţia (5.16) se reduce la flambajul unei grinzii atunci când N 0 şi la flambajul unui stâlp prin încovoiere (Ncr,z) sau răsucire (Ncr,T) când M 0. În primul caz, valoarea momentul critic elastic se calculează cu relaţia:

2

21 w

cr z tt

EIM EI GI

L L GI

(5.17)

unde EIz este rigiditatea la încovoiere după axa minimă; GIt este rigiditatea la răsucire EIw este rigiditatea la deplanare.

În relaţia (5.16) nu se ţine cont de amplificarea momentului încovoietor M datorită prezenţei

forţei axiale. Aceasta se poate aproxima prin ,1 / cr y

M

N N. În acest caz ecuaţia (5.16) devine:

2

2, , ,0 , ,

1 1 1cr y cr z cr Tcr z cr T

M N N N

N N Ni N N

(5.18)

Ţinând cont de importanţa relativă a forţelor Ncr,y, Ncr,z şi Ncr,T, şi prin rearanjarea termenilor se obţine următoarea aproximare:

, , 0 , ,

11

1 /cr z cr y cr z cr T

N M

N N N i N N

(5.19)

sau

, ,

11

1 /cr z cr y cr

N M

N N N M

(5.20)

În trecut, au fost propuse diverse formule de interacţiune pentru a reprezenta această situaţie pentru întreg domeniul de zvelteţi. Prezenta abordare din SR EN 1993-1-1 se bazează pe formula de interacţiune liniară, reprezentată prin ecuaţia (5.21). În conformitate cu această abordare, efectele forţei axiale de compresiune şi ale momentelor încovoietoare se adună liniar, iar efectele neliniare produse de forţa axială de compresiune sunt luate în considerare prin factori de interacţiune specifici.

, , 1.0y z

u uy uz

M MNf

N M M

(5.21)

unde N, My şi Mz sunt eforturile de calcul şi Nu, Muy şi Muz sunt rezistenţele de calcul, care iau în considerare fenomenele de pierdere a stabilităţii asociate. Evoluţia relaţiilor de calcul, şi în particular a celor adoptate de norma SR EN 1993-1-1, este complexă, deoarece acestea trebuie să includă, printre alte aspecte, două moduri de pierdere a stabilităţii, şi anume flambajul prin încovoiere şi flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire, sau o combinaţie a celor două, diferite forme ale secţiunii transversale, diferite tipuri de diagrame de moment încovoietor etc. Aceste formule, care se bazează pe teoria de ordinul doi, trebuie să includă mai multe concepte comune, cum ar fi: momentul echivalent, definirea lungimii de flambaj şi conceptul de amplificare. Aceste formule s-au bazat în principal pe secţiuni dublu-simetrice, deşi studii recente (Kaim, 2004) au arătat că acestea ar putea oferi soluţii aproximative bune pentru secţiuni mono-simetrice. Boissonade ş.a (2006), pentru elemente solicitate la compresiune şi încovoiere (NEd + My,Ed + Mz,Ed), a exprimat prin următoarele ecuaţii stabilitatea elastică la încovoiere în ambele planuri principale (planul x-y şi planul x-z), fără a ţine cont de modul de cuplare complex dintre modurile de pierdere a stabilităţii în ambele planuri, astfel:

, ,

,, ,, ,

,,

1.0

11

my y Ed mz z EdEdy

y pl Rd EdEdel z Rdel y Rd

cr zcr y

C M C MN

N NNMM

NN

(5.22)

, ,

,, ,, ,

,,

1.0

11

my y Ed mz z EdEdz

z pl Rd EdEdel z Rdel y Rd

cr zcr y

C M C MN

N NNMM

NN

(5.23)

unde Cmy şi Cmz sunt factori ai momentului uniform echivalent cu privire la diagramele My şi Mz, respectiv la parametrii y şi z definiţii prin următoarele formule:

,

,

1 /

1 /Ed cr y

yy Ed cr y

N N

N N

(5.24)

,

,

1 /

1 /Ed cr z

zz Ed cr z

N N

N N

(5.25)

Formulele generale exprimate prin relaţiile (5.22) şi (5.23) se bazează pe teoria elastică de ordinul doi, astfel că sunt valabile doar pentru secţiuni de clasă 3. Secţiunile de clasă 1 şi 2 pot flamba prin încovoiere în domeniul elasto-plastic, conducând la următoarele ecuaţii modificate:

, ,*

,, ,, ,

,,

1.0

11

my y Ed mz z EdEdy

y pl Rd EdEdyz pl z Rdyy pl y Rd

cr zcr y

C M C MN

N NNC MC M

NN

(5.26)

, ,*

,, ,, ,

,,

1.0

11

my y Ed mz z EdEdz

z pl Rd EdEdzz el z Rdzy pl y Rd

cr zcr y

C M C MN

N NNC MC M

NN

(5.27)

unde Cyy, Cyz, Czy şi Czz factori introduşi pentru a simula efectele plasticizării, iar α* şi β* sunt factori ce depind de comportarea neliniară a materialului. Formulele prezentare mai sus reprezintă comportarea elementelor pentru care modul de cedare posibil este flambajul prin încovoiere într-unul din planurile principale. Acesta ar putea fi cazul elementelor cu secţiune închisă (dublu conexă), sau elementelor cu rezemări laterale. În cazul

elementelor cu secţiune deschisă, fără rezemări laterale, modul de cedare este flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire. Se consideră o bară cu secţiune I sau H dublu-simetrică, cu cazul standard de rezemare la capete, solicitat la compresiune axială şi moment încovoietor uniform My,Ed. Considerând o curbură laterală sinusoidală iniţială şi un prim criteriu de cedare, Kaim (2004) a obţinut următoarea formulă de flambaj:

,,

,

22 ,, ,,0 2 22 , ,( ) ( ),

,2 ,

1

1 2 1

11

yEd

pl Rd Edy Rd

cr y

cr zy Ed y Edcr zEd

z Rd z Rdcr N cr NEdy Edz Rd

cr zcr

MN

N NM

N

hNM MNN

eM MM MNM

MNM

(5.28)

unde Mcr(N) este momentul critic pentru flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire sub efectul suplimentar al forţei axiale de compresiune (Boissonade ş.a, 2006; da Silva ş.a., 2010), iar My,Rd şi Mz,Rd sunt momentele capabile elastice după axa y, respectiv axa z-z. Ecuaţia (5.28) descrie modul de flambaj prin încovoiere laterală cu răsucire a unui element solicitat la compresiune şi încovoiere în planul xz (My). Totuşi această relaţie trebuie simplificată într-un format mai adecvat pentru proiectare. Ecuaţiile (5.21) – (5.28) stau la baza celor două metode de proiectare pentru elemente solicitate la compresiune şi încovoiere prezentate în norma SR EN 1993-1-1. Pentru a obţine relaţiile actuale din normă, au fost făcute unele simplificări şi câţiva parametri au fost calibraţi prin investigaţii experimentale şi numerice. Cele două metode, denumite Metoda 1 şi Metoda 2, se prezintă în paragraful următor. 5.3 Bare supuse la încovoiere şi compresiune cu secţiune transversală uniformă. Utilizarea factorilor de interacţiune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-1 Pierderea stabilităţii unui element cu secţiunea transversală dublu-simetrică, care nu este sensibilă la deformaţi de distorsiune, şi solicitată la compresiune şi încovoiere, se poate datora flambajului prin încovoiere sau flambajului prin încovoiere laterală cu răsucire. Astfel, clauza 6.3.3(1) din SR EN 1993-1-1, consideră două situaţii distincte:

- bare care nu sunt sensibile la deplanarea secţiunii prin răsucire, de exemplu barele cu secţiuni tubulare circulare sau alte barele care au secţiunile prevăzute cu legături împotriva răsucirii. Flambajul prin încovoiere este modul relevant de pierdere a stabilităţii.

- bare sensibile la deplanarea secţiunii prin răsucire, de exemplu barele cu secţiuni transversale deschise (secţiuni I şi H), care nu sunt prevăzute cu legături împotriva răsucirii. Flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire este modul relevant de pierdere a stabilităţii.

Se consideră „cazul standard” al unei bare cu o singură deschidere, care la extremităţi are reazeme simple tip „furcă” (împiedică deplasările laterale şi răsucirea, dar permite deplanarea şi rotirile după axele secţiunii transversale y şi z) solicitată la compresiune axială şi momente încovoietoare la extremităţi. Următoarele condiţii trebuiesc îndeplinite:

, , , ,

1 , 1 , 11.0

/ / /y Ed y Ed z Ed z EdEd

yy yzy Rk M LT y Rk M z Rk M

M M M MNk k

N M M

(5.29a)

, , , ,

1 , 1 , 11.0

/ / /y Ed y Ed z Ed z EdEd

zy zzz Rk M LT y Rk M z Rk M

M M M MNk k

N M M

(5.29b)

în care NEd, My,Ed şi Mz,Ed sunt valorile de calcul ale efortului de compresiune şi ale momentelor încovoietoare maxime în element, în raport cu axele y-y respectiv z-z; ΔMy,Ed, ΔMz,Ed sunt momentele încovoietoare datorate deplasării centrului de greutate, în cazul secţiunilor eficace, de clasă 4 (a se vedea Tabelul 5.1); χy şi χz sunt factori de reducere pentru flambajul prin încovoiere (după axa y-y, respectiv axa z-z), conform 6.3.1 din SR EN 1993-1-1; χLT este factorul de reducere datorat pierderii stabilităţii prin încovoiere laterală cu răsucire, conform 6.3.2 din SR EN 1993-1-1 (pentru elemente care nu sunt sensibile la deplanarea secţiunii prin răsucire χLT = 1); kyy, kyz, kzy, kzz sunt factori de interacţiune care depind de fenomenul de pierdere a stabilităţii, respectiv plasticizării, obţinuţi conform Metodei 1 (a se vedea Anexa A din SR EN 1993-1-1), sau Metodei 2 (a se vedea Anexa B din SR EN 1993-1-1).

iyRk AfN , iyRki WfM , şi ,i EdM se calculează conform Tabelului 5.1, în funcţie de clasa

de secţiune a elementului. Tabelul 5.1: Valorile pentru calcul NRk, Mi,Rk şi Mi,Ed

Clasa de secţiune 1 2 3 4

Ai A A A Aeff

Wy Wpl,y Wpl,y Wel,y Weff,y

Wz Wpl,z Wpl,z Wel,z Weff,z

,y EdM 0 0 0 ,N y Ede N

,z EdM 0 0 0 ,N z Ede N

În SR EN 1993-1-1 sunt oferite două metode pentru calculul factorilor de interacţiune kyy, kyz, kzy, kzz, şi anume Metoda 1, dezvoltată de grupul de cercetătorii francezi şi belgieni, şi Metoda 2, dezvoltată de grupul de cercetătorii austrieci şi germani (Boissonade ş.a, 2006). În cazul elementelor care nu sunt sensibile la deplanarea secţiunii prin răsucire, se presupune că nu există riscul flambajului prin încovoiere-răsucire. Verificarea stabilităţii elementelor se efectuează ţinând cont de flambajul prin încovoiere după axa y-y şi axa z-z. Această procedură impune aplicarea expresiilor (5.29a) pentru flambajul după axa y-y şi (5.29b) pentru flambajul după axa z-z, considerând χLT = 1 şi calculând factorii de interacţiune kyy, kyz, kzy, kzz pentru un element care nu este sensibil la deformaţii de torsiune. În cazul elementelor care sunt sensibile la deplanarea secţiunii prin răsucire, se presupune că nu există modul critic de flambaj este flambajului prin încovoiere-răsucire. În acest caz se aplică expresiile (5.29a) şi (5.29b), iar coeficientul χLT se determină în conformitate cu procedura din paragraful 6.3.2 din SR EN 1993-1-1 şi calculând factorii de interacţiune kyy, kyz, kzy, kzz pentru un element care este sensibil la deformaţii de torsiune.

În conformitate cu Metoda 1, un element nu este sensibil la deformaţii din torsiune dacă IT Iy, unde IT este moment de inerţie la răsucire Saint-Venant, iar Iy este moment de inerţie la încovoiere în raport cu axa y-y. Dacă IT < Iy, dar există rezemări laterale în lungul elementului, atunci şi această situaţie poate fi considerată că nu este sensibil la deformaţii din torsiune, dacă următoarea condiţie este îndeplinită:

40 1, ,

0.2 1 1Ed Ed

cr z cr T

N NC

N N

(5.30)

unde C1 este un coeficient care depinde forma diagramei de moment încovoietor între punctele de fixare, Ncr,z şi Ncr,T reprezintă forţa critică elastică pentru flambajul prin încovoiere după axa

z-z, respectiv pentru flambajul prin răsucire, iar 0 este zvelteţea redusă pentru flambajul prin

încovoiere laterală cu răsucire, evaluată pentru situaţia cu moment încovoietor constant. Dacă condiţia (5.30) nu este satisfăcută, atunci elementul trebuie considerat ca element sensibil la deformaţii din torsiune. În continuare se prezintă următoarele tabele din Anexa A a SR EN 1993-1-1 pentru calculul factorilor de interacţiune în conformitate cu Metoda 1. În Tabelul 5.2 se prezintă valorile factorilor de interacţiune kij în conformitate cu Metoda 1. Tabelul 5.2: Factori de interacţiune kij în conformitate cu Metoda 1

Factori de interacţiune Caracteristici elastice ale secţiunilor

(Secţiuni de clasă 3 sau 4)

Caracteristici plastice ale secţiunilor


kyy

ycr

Ed

ymLTmy

N

NCC

,

1

yy

ycr

Ed

ymLTmy C

N

NCC

1

1,

kyz

zcr

Ed

ymz

N

NC

,

1

y

z

yz

zcr

Ed

ymz w

w

CN

NC 6.0

1

1,

kzy ycr

Ed

zmLTmy

N

NCC

,

1

z

y

zy

ycr

Ed

zmLTmy w

w

CN

NCC 6.0

1

1,

kzz

zcr

Ed

zmz

N

NC

,

1

zz

zcr

Ed

zmz C

N

NC

1

1,

În Tabelul 5.3 se prezintă o serie de termeni auxiliari. De asemenea, sunt furnizate informaţii şi despre factorii Cyy, Cyz, Czy, şi Czz; aceştia depind de gradul de plasticizare al secţiunii transversale la cedarea elementului. Aceşti termeni iau valori diferite, în funcţie de faptul dacă elementul este sensibil sau nu la deformaţii din torsiune.

Tabelul 5.3: Termeni auxiliari pentru calculul factorilor de interacţiune kij din Tabelul 5.2 Termeni auxiliari:

,

,

1

1

Ed

cr yy

Edy

cr y

N

N

N

N

; ,

,

1

1

Ed

cr zz

Edz

cr z

N

N

N

N

;,

,1.5

pl yy

el y

Ww

W ;

,

,1.5

pl zz

el z

Ww

W

1/Ed

plRk M

Nn

N ; 1 0T

LTy

I

I ;

Cmy and Cmz sunt factori ai momentului uniform echivalent, determinaţi în Tabelul 5.4.

Pentru secţiunile de clasă 3 şi 4, se consideră wy=wz=1.0.

2 ,2 2max max

,

1.6 1.61 1 2

el yyy y my my pl LT

y y pl y

WC w C C n b

w w W

,

unde 2 , ,0

, , , ,0.5

y Ed z EdLT LT

LT pl y Rd pl z Rd

M Mb a

M M

22max ,

5,

1 1 2 14 0.6 el zmz zyz z pl LT

y pl zz

WC wC w n c

w Ww

,

unde 2

,04

, ,10

5

y EdLT LT

my LT pl y Rdz

Mc a

C M

22max ,

5,

1 1 2 14 0.6my y el y

zy y pl LTz pl yy

C w WC w n d

w Ww

,

unde , ,0

4, , , ,

20.1

y Ed z EdLT LT

my LT pl y Rd mz pl z Rdz

M Md a

C M C M

2 ,2 2max max

,

1.6 1.61 1 2 el z

zz z mz mz LT plz z pl z

WC w C C e n

w w W

, (vezi erata

N1620E/EN1993-1-1)

unde ,0

4, ,

1.70.1

y EdLT LT

my LT pl y Rdz

Me a

C M

zy ,maxmax

0 zvelteţea redusă pentru flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire datorită momentului încovoietor uniform, considerând 1.0y în Tabelul 5.4;

LT zvelteţea redusă pentru flambajul prin încovoiere laterală cu răsucire;

Tabelul 5.3: Termeni auxiliari pentru calculul factorilor de interacţiune kij (continuare)

Dacă 40 1 ,0 ,0, ,

0.2 1 1 : ; ; 1.0Ed Edmy my mz mz mLT

cr z cr T

N NC C C C C C

N N

;

Dacă 40 1 ,0 ,0, ,

0.2 1 1 : 11

y LTEd Edmy my my

cr z cr T y LT

aN NC C C C

N N a

;

2,0

, ,

; 1

1 1

LTmz mz mLT my

Ed Ed

cr z cr T

aC C C C

N N

N N

;

,

,

y Edy

Ed el y

M A

N W pentru secţiuni de clasa 1, 2 sau 3;

,

,

y Ed effy

Ed eff y

M A

N W pentru secţiuni de clasa 4;

Ncr,y forţă critică de flambaj prin încovoiere după axa y, în domeniul elastic;

Ncr,z forţă critică de flambaj prin încovoiere după axa z, în domeniul elastic;

Ncr,T forţă critică pentru flambajul prin răsucire;

IT moment de inerţie la răsucire Saint-Venant;

Iy moment de inerţie la încovoiere în raport cu axa y; 2

1

1

ckC unde kc este factor de corecţie prezentat în tabelul Table 5.5.

În Tabelul 5.4 se prezintă factorii Cmi,0, care permit obţinerea factorilor momentului încovoietor uniform echivalent, Cmi, care sunt descrişi în Tabelul 5.3. Aceşti coeficienţi ar trebui evaluaţi pe baza diagramelor de moment încovoietor (după axele y-y şi z-z) între punctele de fixare. În Tabelul 4.5 din capitolul 4 se prezintă factorul de corecţie kc. În conformitate cu Metoda 2, următoarele elemente pot fi considerate că nu sunt sensibile la deformaţii din torsiune:

- elemente cu secţiuni tubulare circulare;

- elemente cu secţiuni tubulare rectangulare (dacă este respectată condiţia / 10 / zh b ,

unde h şi b reprezintă înălţimea şi lăţimea secţiunii, iar z reprezintă zvelteţea redusă în raport cu axa z-z, (Kaim, 2004));

- elemente cu secţiune deschisă, considerând acestea sunt împiedicate lateral şi la răsucire. Un element cu secţiune deschisă I sau H, împiedecat continuu, poate fi considerat că nu este sensibil la deformaţii din torsiune, dacă condiţiile prescrise în Anexa BB.2 a SR EN1993-1-1 sunt îndeplinite (Boissonade ş.a, 2006).

Elementele cu secţiune deschisă, de exemplu I sau H, sunt considerate ca fiind sensibile la deformaţii din torsiune dacă acestea nu sunt împiedecate corespunzător lateral şi la torsiune. Împiedecat lateral înseamnă că secţiunea transversală este rezemată lateral la nivelul tălpii comprimate.

Tabelul 5.4: Factori ai momentului încovoietor uniform echivalent Cmi,0

Diagrama de momente Cmi,0

icr

Ediimi N

NC

,0, 33.036.021.079.0

2

,0 2,,

1 1i x Edmi

cr ii Ed

EI NC

NL M x

xM Edi, este momentul maxim My,Ed sau Mz,Ed

În conformitate cu analizele de ordinul întâi

x este săgeata laterală maximă z (datorită My,Ed)

sau y ( datorită Mz,Ed) în lungul elementului

,0,

1 0.18 Edmi

cr i

NC

N

,0,

1 0.03 Edmi

cr i

NC

N

Pentru calculul factorilor de interacţiune în conformitate cu Metoda 2, se prezintă în continuare tabelele din Anexa B a SR EN 1993-1-1. Tabelele 5.5 şi 5.6 prezintă factorii de interacţiune kij. În Tabelul 5.7 se prezintă factori de moment uniform echivalent Cmi, evaluaţi pe baza diagramelor de moment încovoietor, între puntele de fixare. Tabelul 5.5: Factori de interacţiune kij pentru elementele care nu sunt sensibile la deformaţiile din răsucire în conformitate cu Metoda 2 Factorii de interacţiune

Tipul de secţiune

Caracteristici elastice ale secţiunilor


Caracteristici plastice ale secţiunilor(Secţiuni de clasă 1 sau 2)

kyy

Secţiuni I sau H şi secţiuni

tubulare rectangulare

1

1

1 0.6/

1 0.6/

Edymy

y Rk M

Edmy

y Rk M

NC

N

NC

N

1

1

1 0.2/

1 0.8/

Edymy

y Rk M

Edmy

y Rk M

NC

N

NC

N

kyz



kzz 0.6kzz

kzy



0.8kyy 0.6kyy

1

1

1 2 0.6/

1 1.4/

Edzmz

z Rk M

Edmz

z Rk M

NC

N

NC

N

kzz

Secţiuni I sau H

Secţiuni tubulare

rectangulare

1

1

1 0.6/

1 0.6/

Edzmz

z Rk M

Edmz

z Rk M

NC

N

NC

N

1

1

1 0.2/

1 0.8/

Edzmz

z Rk M

Edmz

z Rk M

NC

N

NC

N

Pentru secţiunile I sau H ca şi pentru secţiunile tubulare rectangulare supuse la compresiune axială şi încovoiere pe o singură direcţie (My,Ed), se poate lua kzy = 0.

Pentru a ilustra modul de calcul a factorilor de moment uniform echivalent Cmi (Tabelul 5.8), se consideră un element solicitat la încovoiere biaxială şi compresiune, care la extremităţi are reazeme simple tip „furcă” (împiedică deplasările laterale şi răsucirea, dar permite deplanarea şi rotirile după axele secţiunii transversale y şi z) şi este rezemat lateral în câteva secţiuni intermediare. Se consideră că rezemările intermediare împiedică nu doar deformaţiile din torsiune, ci şi deformaţiile transversale ale secţiunii acolo unde acestea sunt aplicate. În acest caz, factorul Cmy trebuie evaluat pe baza diagramei de moment încovoietor My în lungul elementului. Factorii Cmz şi CmLT trebuie evaluaţi pe baza diagramelor de moment încovoietor Mz şi My, între punctele de fixare laterale. Tabelul 5.6: Factori de interacţiune kij pentru elementele care sunt sensibile la deformaţiile din răsucire în conformitate cu Metoda 2

Factorii de interacţiune

Caracteristici elastice ale secţiunilor (Secţiuni de clasă 3 sau 4)

Caracteristici plastice ale secţiunilor (Secţiuni de clasă 1 sau 2)

kyy kyy din tabelul 5.5 kyy din tabelul 5.5

kyz kyz din tabelul 5.5 kyz din tabelul 5.5

kzy

1

1

0.051

0.25 /

0.051

0.25 /

z Ed

mLT z Rk M

Ed

mLT z Rk M

N

C N

N

C N

1

1

0.11

0.25 /

0.11

0.25 /

z Ed

mLT z Rk M

Ed

mLT z Rk M

N

C N

N

C N

pentru

1

0.4 : 0.6

0.11

0.25 /

z zzy

z Ed

mLT z Rk M

k

N

C N

kzz kzz din tabelul 5.5 kzz din tabelul 5.5

Tabelul 5.7: Factori de moment uniform echivalent Cmi din tabelele 5.5 şi 5.6 Cmy, Cmz şi CmLT Diagrame de momente Domenii

Încărcare uniformă Încărcare concentrată

11 4.04.06.0

10 s 11 4.08.02.0 s 0.2 0.8 0.4s

10 4.08.01.0 s 4.08.0 s

hSh MM / 11 s

01 0.1 1 0.8 0.4s 0.2 0.8 0.4s

10 h 11 h05.095.0 h10.090.0

10 h05.095.0 h10.090.0

/h h sM M 11 h

01 2105.095.0 h 2110.090.0 h

Pentru calculul parametrilor S sau h , momentele încovoietoare deasupra axei barei se consideră

negative, iar momentele încovoietoare de sub axa barei se consideră pozitive. Pentru elementele cu mod de instabilitate cu noduri deplasabile, factor de moment uniform echivalent trebuie să se ia Cmy = 0.9 sau Cmz = 0.9, după caz. Factorii Cmy, Cmz şi CmLT trebuie calculaţi conform diagramelor de momente de încovoiere pe distanţa dintre punctele fixare a secţiunii, astfel:

factor de moment axa de încovoiere puncte fixate pe direcţia

Cmy y-y z-z Cmz z-z y-y CmLT y-y y-y

5.5 Metoda generală de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoire-răsucire a componentelor structurale şi la cadre parter În Figura 5.11 se prezintă un cadru portal, realizat din grinzi şi stâlpi cu secţiune variabilă, la care tălpile exterioare ale secţiunilor transversale sunt împiedecate lateral de pane care, datorită rigidităţii la încovoiere a acestora, introduc o rigiditate la torsiune elementelor cadrului. Totuşi, grinzile şi stâlpii pot fi solicitate şi la distorsiunea secţiunii transversale, datorită flexibilităţii inimilor.

Fig. 5.11: Cadru portal realizat din grinzi şi stâlpi cu secţiune variabilă cu împiedicări la răsucire

şi deplasare elastice introduse de pane

O verificare exactă şi corectă a structurii trebuie să se realizeze pe baza unui model cu elemente finite care să ia în considerare toate efectele suplimentare prezentate mai sus. De asemenea, în modelul cu element finit trebuie considerate şi imperfecţiunile globale şi locale. În Anexa VII se prezintă câteva principii de modelare cu metoda elementului finit (MEF) conform Anexei C din SR EN 1993-1-5, unde se prezintă aspecte legate de utilizarea imperfecţiunilor, proprietăţile materialelor, respectiv introducerea încărcărilor. În anexa VIII sunt prezentate tipurile de imperfecţiuni şi valorile acestora, şi anume:

Imperfecţiuni pentru analiza globală a cadrelor (abatere globală iniţială de la axa verticală şi imperfecţiunile iniţiale locale ale barelor);

Imperfecţiuni pentru calculul sistemului de contravântuiri. În continuare se prezintă o procedură de verificare mai simplă pentru elementele structurii, conform metodei generale de verificare a elementelor structurale la flambaj prin încovoiere şi flambaj prin încovoire-răsucire a componentelor structurale din SR EN 1993-1-1 (a se vedea subcapitolul 6.3.4 din SR EN 1993-1-1). În general, procedura descrisă mai jos necesită programe de calcul performante, capabile să efectueze analize elasto-plastice şi analize de flambaj. Metoda poate fi utilizată atunci când metodele din paragrafele 6.3.1, 6.3.2 şi 6.3.3 din SR EN 1993-1-1 nu pot fi aplicate. Ea permite verificarea rezistenţei la flambaj prin încovoiere sau încovoiere-răsucire a elementelor structurale precum:

- bare izolate, cu secţiune compusă sau nu, cu secţiune uniformă sau nu, cu condiţii de rezemare complexe sau nu, sau

- structuri în cadre plane sau sub-structuri compuse din astfel de bare, supuse la compresiune şi/sau încovoiere mono-axială în planul lor, dar care nu conţin articulaţii plastice. Rezistenţa globală la flambaj în afara planului încărcării a oricărui element structural conform celor enunţate mai sus poate fi efectuată verificând următoarea condiţie:

,

11

op ult k

M

(5.31)

în care

,ult k este factorul minim de amplificare care se aplică încărcărilor de calcul pentru a atinge

rezistenţa caracteristică în secţiunea transversală critică a elementului structural, considerând comportarea sa în planul încărcării, fără a lua în considerare flambajul prin încovoiere lateral sau flambajul prin încovoiere-răsucire, dar luând totuşi în considerare când este necesar, toate efectele datorate deformaţiei geometrice în plan, respectiv imperfecţiunilor globale şi locale;

op este factorul de reducere calculat pentru zvelteţea redusă op , astfel încât să se ia în

considerare flambajul prin încovoiere laterală şi flambajul prin încovoiere-răsucire.

Zvelteţea globală redusă op a elementului structural se poate determina cu ajutorul relaţiei

următoare:

opcr

kultop

,

,

(5.32)

în care

,cr op este factorul minim de amplificare, aplicat încărcărilor de calcul acţionând în plan, pentru

a atinge rezistenţa critică elastică a elementului structural în ceea ce priveşte flambajul prin încovoiere lateral sau încovoiere-răsucire, fără a ţine seama de flambajul prin încovoiere în plan. Pentru determinarea factorilor ,cr op şi ,ult k se pot utiliza programe de calcul bazate pe

Metoda Elementului Finit. Factorul de reducere op poate fi determinat plecând de la una din următoarele metode:

a) valoarea minimă dintre χ pentru flambajul lateral elementului comprimat concentric conform paragrafului 6.3.1 din SR EN 1993-1-1, şi χLT pentru flambajul prin încovoire-răsucire conform paragrafului 6.3.2 din SR EN 1993-1-1

fiecare fiind calculat pentru zvelteţea redusă globală op .

De exemplu, când ,ult k este determinat prin verificarea secţiunii transversale cu relaţia

Rky

Edy

Rk

Ed

kult M

M

N

N

,

,

,

1

, această metodă conduce la:

opMRky

Edy

MRk

Ed

M

M

N

N

1,

,

1 // (5.33)

b) o valoare obţinută prin interpolare între valorile χ şi χLT aşa cum au fost definite la punctul a), utilizând formula care permite determinarea lui ,ult k în secţiunea transversală critică

De exemplu, când ,ult k este determinat prin verificarea secţiunii transversale cu relaţia

Rky

Edy

Rk

Ed

kult M

M

N

N

,

,

,

1

, această metodă conduce la:

1// 1,

,

1

MRkyLT

Edy

MRk

Ed

M

M

N

N

(5.34)

O metodă de calcul alternativă, a rezistenţei critice de flambaj a structurilor în cadre, ce nu necesită un program de calcul se prezintă în Anexa IX (King, 2001) şi are la bază cercetările efectuate de Davies (1990, 1991). Metoda constă în determinarea pentru fiecare combinaţie de încărcări analizată, a unui coeficient cr pentru fiecare din substructurile în care este împărţită

structura, şi apoi, cel mai mic coeficient cr rezultat se utilizează pentru toată structura, pentru

acea combinaţie particulară. Eforturile din stâlpi şi grinzi se vor determina printr-o analiză elastică şi pot fi obţinute prin calcul manual sau automat. În continuare se prezintă exemple de calcul ce acoperă partea teoretică a acestui capitol, şi anume: Exemplul E.13. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii – interacţiunea M-N; Exemplul E.14. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii a unui cadru portal;

Exemplul E.15. Determinarea unei secţiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu secţiune variabila supuse la M-N; Exemplul E.16. Calculul unui stâlp cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere. EXEMPLE DE CALCUL E.13. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii – interacţiunea M-N

Descrierea problemei Se consideră stâlpul unei hale parter cu noduri fixe, cu prinderea la bază realizată în

soluţie articulată pe ambele direcţii. Rigla cadrului transversal transmite stâlpului efort axial, forţa tăietoare şi moment încovoietor. Stâlpul are înălţimea de 6.5 m şi este realizat din profil laminat I cu tălpi late HEB320 marca S235. Se cere să se facă verificările de rezistenţă şi stabilitate necesare.

Schema statică

N

L

z

y

N

L

zy

MV

Figura E.13.1. Schema statica si lungimea de flambaj după axele yy, respectiv zz


Forţa axială NEd = 215 kN Forţa tăietoare VEd = 50 kN Moment încovoietor MEd = 325 kNm Lungimea elementului L = 6,50 m Marca oţelului S235


HE 320 B - Marca de oţel S235; Înălţimea h = 320,0 mm Înălţimea inimii hw = 279,0 mm Înălţimea liberă a inimii dw = 225,0 mm Lăţimea tălpilor b = 300,0 mm Grosimea inimii tw = 11,5 mm Grosimea tălpilor tf = 20,5 mm Raza de racord r = 27,0 mm Aria A = 161,3 cm2

Momentul de inerţie/yy Iy = 30824 cm4

Momentul de inerţie/zz Iz = 9239 cm4 Momentul de inerţie la torsiune It = 230 cm4 Moment de inerţie sectorial Iw = 2071812 cm6 Modul de rezistenţă elastic /yy Wel,y = 1926,5 cm3 Modul de rezistenţă plastic /yy Wpl,y = 2149,2 cm3 Raza de giraţie /zz iz = 7.57 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z


Caracteristici mecanice - limita de curgere Marca S235 Deoarece grosimea maximă a pereţilor secţiunii transversale este 15 mm 40 mm, limita

de curgere este fy = 235 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1

Coeficienţii parţiali de siguranţă M0 = 1.00 M1 = 1.00

SREN 1993-1-1 §6.1 (1) Determinarea lungimii de flambaj

Stâlpul este dublu articulat pe ambele direcţii: Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y) fL_y = 1,00 Lungimea de flambaj (y-y) Lcr,y = fL_y L = 6,50 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z) fL_z = 1.00 Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z L = 6,50 m

Determinarea clasei secţiunii Parametrul depinde de limita de curgere a materialului:

2

235 2351

235[N/mm ]yf

Talpa în consolă supusă la compresiune

2 300 11,5 2 27

117,25 mm2 2

wb t rc

117,25

5,72 9 9 1 920,5f

c

t talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Perete interior supus la încovoiere şi compresiune

3215 10

79,56 mm11,5 235

EdN

w y

Nd

t f

79,5 225

0,677 0,52 2 225N w

w

d d

d

2 2 320 2 20.5 2 27 225 mmw fd h t r

225 396 396 1

19.565 50,7611,5 13 1 13 0,677 1

w

w

d

t

inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Clasa unei secţiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puţin

favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de faţă: Clasa 1 Deoarece avem de-a face cu o secţiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face

bazându-ne pe capacitatea plastică a secţiunii transversale. Verificările de rezistenţă

Pentru a respecta condiţiile de rezistenţă stâlpul trebuie să îndeplinească toate verificările la: Forţă axială N; Forţă tăietoare V; Moment încovoietor M; Interacţiunea M-N-V.

SREN 1993-1-1 §6.2.10 Datorită interacţiunii M-N-V ordinea logică a determinării rezistenţelor este Vpl,Rd, Npl,Rd şi

Mpl,y,Rd. Rezistenţa la forfecare

Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare în absenţa răsucirii depinde de aria de forfecare, care se defineşte:

2

2 ( 2 )

16130 2 300 20,5 (11,5 2 27) 20,5 5173 mm

vz f w fA A b t t r t

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (3) În absenţa răsucirii, este dată de relaţia:

,, ,

0

5173 235701,85 kN

3 3 1,0v z y

pl z RdM

A fV

SREN 1993-1-1 § 6.2.6 (2) Trebuie să fie satisfăcută condiţia:

,

500,071 0,5

701,85Rd

c Rd

V

V

secţiunea verifică, iar forţa tăietoare nu reduce valoarea

momentului încovoietor capabil

Verificarea la forţă axială Pentru a determină rezistenţa de calcul a secţiunii transversale a stâlpului la compresiune


2

,0

161,3 10 2353791 kN

1,0y

c RdM

A fN


,

2150,057 1,0

1791Ed

c Rd

N

N secţiunea verifică

Pentru secţiunile cu doua axe de simetrie I sau H şi alte secţiuni cu doua axe de simetrie cu tălpi, nu este necesar să se ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisfăcute următoarele două criterii:

,215 kN 0,25 0,25 3791 947,75 kNEd pl RdN N

0

0,5 0,5 279 11,5 235215 kN 377 kN

1w w y

EdM

h t fN

SREN 1993-1-1 § 6.2.9.1(4) Condiţiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi

neglijat. Verificarea la încovoiere

Pentru o secţiune de clasa 1 rezistenţa de calcul a unei secţiuni transversale supusă la încovoiere în raport cu axa principală de inerţie se determină astfel:

3

, ,0

2149,2 10 235505,06 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M


,

3250,643 1,0

505Ed

c Rd

M


SREN 1993-1-1 § 6.3.2.1 Verificările de pierdere a stabilităţii

Barele supuse la compresiune axială şi încovoiere trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

, , , ,

, ,

11 1

1y Ed y Ed z Ed z EdEdyy yz

y Rk LT y Rk z Rk

MM M

M M M MNk k

N N M

, , , ,

, ,

1 11

1y Ed y Ed z Ed z EdEdzy zz

z Rk LT y Rk z Rk

M MM

M M M MNk k

N M M

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Deoarece , , 0z Ed z EdM M relaţiile de interacţiune se pot scrie:

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdyy

y Rk LT y Rk

M M

M MNk

N N

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdzy

z Rk LT y Rk

M M

M MNk

N M

Pentru calculul acestor formule de interacţiune este necesar calculul factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere după ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere - răsucire şi factorii de interacţiune kzz, kyy, kyz şi kzy.


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 30824 1015104kN

6500y

cr ycr y

π E IN

L

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 9239 104528 kN

6500z

cr zcr z

π E IN

L


2

,

161,3 10 2350,501

15104y

ycr y

A f

N

2

,

161,3 10 2350,915

4528y

zcr z

A f

N

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere Pentru alegerea curbei de flambaj pentru secţiunea transversala trebuie să luam în

considerare următoarele condiţii: HEB 320 - profil laminat

Raportul 320

1,07 1,2300

h

b

Grosimea tălpilor 20.5 mm 100 mmft


Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0.34;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,501 0,2) 0,501 0,676y y y y

2 2 2 2

1 10,884

0,676 0,676 0,501y

y y y

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei z-z

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,915 0,2) 0,915 1.093z z z z

2 2 2 2

1 10,591

1,093 1,093 0,915z

z z z

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere-răsucire Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire poate fi calculat folosind următoarea expresie:

2 22

21 2 22 2

( )( )

( )w tz

cr g gw z z


k Ik L E I

În calculul Mcr, au fost introduse următoarele valori pentru factori: k = 1; din moment ce talpa comprimată e liberă să se rotească în jurul axei minime de

inerţie, kw = 1; din moment ce nu sunt prevăzute măsuri speciale de împiedicare a deplanării

libere a capetelor grinzii. zg distanţa de la punctul de aplicare al încărcării la centru de tăiere. Deoarece eforturile

sunt transmise prin intermediul rigle – încărcările sunt aplicate în axa neutră a stâlpului: zg = 0.

Coeficientul C1 depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente încărcate doar cu momente la capete – diagrama cu variaţie lineară – şi pentru raportul între momente = 0, avem: C1 = 1.77

Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU Astfel formula momentului critic devine:

22

,1 2 2

,

tcr LTwzcr

z zcr LT

L G IIE IM C

I E IL


2 2 5 4 143,14 2,1 10 9239 10 1,915 10z E I

2 14

61 2 2

1,915 104,532 10

6500zE I

T L

6

42 7

2071812 102,242 10

9239 10w

z

IT

I

2 2 4

43 2 14

6500 80770 230 104,099 10

1,915 10t

z

L G I T

E I

În continuarea calculelor va fi necesar calculul Mcr,0 , momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete – variaţie constantă – ψ = 1, C1,0 = +1,00.

C1 C1

1.00 1.00 -0.25 2.05 0.75 1.14 -0.50 2.33 0.50 1.31 -0.75 2.57 0.25 1.52 -1.00 2.55 0.00 1.77

Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU

6 4 4,0 1 2 3 4,532 10 2,242 10 4,099 10 1141 kNmcrM T T T

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire

1 ,0 1,77 1141 2020 kNmcr crM C M


relaţii:

6

,6

2149.2 10 2350,5

2020 10pl y y

LTcr

W f

M

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1)

Alternativ se poate folosi o metoda simplificata pentru profilele I / H blocate la capete fără forţă destabilizatoare:

/ 6500 / 75.7

0,826104

zLT

s

L i

k

unde ks = 104 (S235); 96 (S275); 85 (S355); 78 (S420), respectiv 75 (S460). NCCI – Access Steel (BS)

Deoarece λLT = 0,5 > λLT,0 = 0,4 (profile laminate) efectele deversării nu pot fi neglijate, verificarea la pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire fiind obligatorie.

Factorul de reducere Pentru profile laminate sau secţiunile sudate echivalente supuse la încovoiere, valorile χLT


2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LT LT

unde :

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)

αLT factorul de imperfecţiune pentru pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire:

Pentru 320

2,222 2300

h

b curba b (LT = 0,34)

SREN 1993-1-1 Tabel 6.5 Tabel 6.3


2,0

2

0,5 1 ( )

0,5 1 0,34 (0,5 0,4) 0,75 0,5 0,618

LT LT LTLT LT

2

22 2

1

1 10,944 1; 3,177

0,618 0,618 0,75 0,5

LT

LTLT LT

LT


1 10,752

1,33 0,33 1,33 0ck

- diagrama de momente lineară

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2

2

1 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8)

1 0,5 (1 0,752) 1 2 (0,5 0,8) 0,898 1

LTcf k

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)


, ,0,944

1,051 1 1,000,898

LTLT mod LT modf

Calculul factorilor de interacţiune kyy şi kzy Factorii de interacţiune kyy , kyz , kzy , kzz depind de metoda de calcul aleasă. Se pot calcula

folosind două metode alternative. În acest exemplu valorile acestor factori au fost determinate conform anexei A (metoda alternativă 1).

Se începe cu calculul factorilor auxiliari:

,

,

2151 115104 0,998

2151 1 0,884

15104

Ed

cr yy

Edy

cr y

NN

NN

,

,

2151 14528 0,98

2151 1 0,591

4528

Ed

cr zz

Edz

cr z

NN

NN

,

,

2149,21,116 1.5

1926,5pl y

yel y

Ww

W

,

,

939,11,525 1,5 1.5

615,9pl z

z zel z

Ww w

W

Efortul axial critic de flambaj elastic prin răsucire se determină:

2

, 2 20 ,

2 5 64

3 2

1

1 3,14 2,1 10 2071812 1080770 230 10 11570kN

24,83 10 6500

wcr T t

cr T

E IN G I

i L

Pentru o secţiune dublu simetrica i0 se defineşte ca fiind:

2 2 2 2 2 2 2 3 20 0 0 138,2 75,7 24,83 10 mmy zi i i y z

unde: y0, z0 sunt coordonatele centrului de tăiere faţă de centrul de greutate; Mcr,0 este momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete: ,0 1141 kNmcrM .

6

,0 6,0

2149.2 10 2350,665

1141 10y y

LTcr

W f

M

40 1, ,

4

0,2 1 1

215 2150,2 1,77 1 1 0,265

4528 11570

Ed Edlim

cr z cr TF

N N C

N N

în care , , 11570 kNcr TF cr TN N (secţiune dublu simetrică).

Deoarece condiţia ,0 0LT lim este îndeplinită, rezultă:

,0 ,0(1 )1

y LTmy my my

y LT

C C C

2

, ,

1.0

1 1

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

C CN N

N N

6 2,

3 3,

325 10 161,3 1012,656

215 10 1926.5 10y Ed

yEd el y

M A

N W

(secţiune clasa I).

şi

3

4

230 101 1 0,999 1

30824 10T

LTy

I

I

Factorul ,0myC se calculează conform tabel A.2, unde 0y :

,0

,

0,79 0,21 0,36 ( 0,33)

2150,79 0,21 0 0,36 (0 0,33) 0,79

15104

Edmy y y

cr y

NC

N

Calculul parametrilor myC şi mLTC

,0 ,0(1 )

1

12,656 0.9990,79 (1 0,79) 0.954

1 12,656 0.999

y LTmy my my

y LT

C C C

2

, ,

2

1 1

0.9990.954 0.94 1 1

215 2151 1

4528 11570

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

mLT

C CN NN N

C

Calculul factorilor yyC şi zyC

max ( ; ) 0,915max y z z

,2 2 2

,

1.6 1.61 ( 1) 1 el y

yy y my max my max pl LTy y pl y

WC w C C n b

w w W

3

2

1 1

215 100,0567

161,3 10 2351,0

Ed Edpl

Rk y y

M M

N Nn

N A f

, ,2,0

, , , ,

1 1

0.5 0 ( 0)y Ed z EdLT LT z Ed

LT pl y Rd pl z Rd

M M

M Mb M

M M

2 2 2

,

,

1,6 1,61 (1,116 1) 1 0,954 0,915 0,958 0,633 0,0567

1,116 1,116

1926,50.9915 0,896

2149,2

yy

el y

pl y

C

W

W

2 2

,5

,

1 ( 1) 2 14 0.6my max y el yzy y pl LT

z pl yy

C w WC w n d

w Ww

, ,0,4

, , , ,0

2 0 ( 0)0.1

y Ed z EdLT LT z Ed

my LT pl y Rd mz pl z Rd

M Md M

C M C M

2 2

5

0,984 0,9151 (1,116 1) 2 14 0,0567

1,116

1,116 1926,50,9726 0,6 0,4639

1,5 2149,2

zyC

Calculul factorilor de interacţiune conform Tabel A.1.

,

1 1 0,998 10,954 1 0,9603

215 0,99151 115104

yy my mLTEd yy

cr z

k C CN CN

,

10,6

1

yzzy my mLT

Ed zy z

cr y

wk C C

N C wN

0,98 1 1,116

0,954 1 0,6 0,5047215 0,9726 1,51

15104

Verificarea formulelor de interacţiune

,

,

1 1

3 6

2 3

215 10 325 100,9603 0,682 1

161,3 10 235 2149,2 10 2350,884 1,0

1,0 1,0

y EdEdyy

y Rk y RkLT

M M

MN k

N M

,

,

1 1

3 6

2 3

215 10 325 100,5047 0,421 1

161,3 10 235 2149,2 10 2350,591 1,0

1,0 1,0

y EdEdzy

z Rk y RkLT

M M

MN k

N M

Stâlpul îndeplineşte condiţiile de interacţiune M-N.

E.14. Determinarea rezistenţei la pierderea stabilităţii a unui cadru portal

E.14.1 Grinda cu secţiune variabila – interacţiunea M-N

Descrierea structurii Se consideră grinda unui cadru transversal al unei hale parter cu deschiderea de 24m

si traveea de 7,20m, cu prinderea la bază a stâlpului realizată în soluţie articulată pe ambele direcţii. Grinda este realizata dintr-un profil laminat IPE 400 marca S355. La margine pe distanta de 2,40 m grinda este vutata, realizându-se o secţiune cu trei tălpi. La începutul vutei si din 4.8m, distanta măsurată orizontal, sunt dispuse legăturile transversale care împiedica torsiunea. Se cere să se facă verificările de rezistenţă şi stabilitate necesare.

Datele problemei Pentru verificarea de rezistenţă şi pierdere a stabilităţii a grinzii sunt necesare eforturile de

calcul in secţiunea cea mai solicitata: - Pentru secţiunea constanta

Forţa axială NEd = 76,59 kN Forţa tăietoare VEd = 84,19 kN Moment încovoietor MEd = 183,77 kNm

- Pentru secţiunea vutata Moment încovoietor MEd = 183,77 kNm Forţa axială NEdV = 78,56 kN Forţa tăietoare VEdV = 106,74 kN Moment încovoietor MEdV = 413,77 kNm

Schema statică şi încărcări

IPE400 IPE400

IPE

450

IPE

450

zapada = 75 daN/mp

permanenta = 30 daN/mp

Figura E.14.1. Cadru transversal

Legãturi transversale

Figura E.14.2. Detaliu de grinda si dispunerea legaturilor transversale


IPE400 - Marca de oţel S355; Înălţimea h = 400,0 mm Înălţimea inimii hw = 373,0 mm Înălţimea liberă a inimii dw = 331,0 mm Lăţimea tălpilor b = 180,0 mm Grosimea inimii tw = 8,6 mm Grosimea tălpilor tf = 13,5 mm Raza de racord r = 21,0 mm Aria A = 84,5 cm2


Momentul de inerţie la torsiune It = 51,08 cm4 Moment de inerţie sectorial Iw = 490000 cm6 Modul de rezistenţă elastic / yy Wel,y = 1156 cm3 Modul de rezistenţă plastic / yy Wpl,y = 1307 cm3

Modul de rezistenţă elastic /zz Wel,z = 146.4 cm3 Modul de rezistenţă plastic /zz Wpl,z = 229 cm3

Raza de giraţie /zz iz = 3,95 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z


Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca de oţel - S355. Deoarece grosimea maximă a pereţilor secţiunii transversale este 13,5 mm 40 mm,

limita de curgere este fy = 355 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1


SREN 1993-1-1 §6.1 (1) Determinarea clasei secţiunii

Parametrul depinde de limita de curgere a materialului:

2

235 2350.814

355[N/mm ]yf


2 180 8.6 2 21

64.7 mm2 2

wb t rc

64.7

4.793 9 9 0.814 7.32313.5f

c

t talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2


383.961 10

27.501 mm8.6 355

EdN

w y

Nd

t f

27.501 331

0,542 0,52 2 331N w

w

d d

d

2 2 400 2 13.5 2 21 331 mmw fd h t r

331 396 396 1

38.488 53,3438.6 13 1 13 0,542 1

w

w

d

t

inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2 Clasa unei secţiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puţin

favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de faţă: Clasa 1 Deoarece avem de-a face cu o secţiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face

bazându-ne pe capacitatea plastică a secţiunii transversale. Verificările de rezistenţă

Pentru a respecta condiţiile de rezistenţă grinda trebuie să îndeplinească toate verificările la: Forţă axială N; Forţă tăietoare V; Moment încovoietor M; Interacţiunea M-N-V.




2

2 ( 2 )

8450 2 180 13.5 (8.6 2 21) 13.5 42.73 mm



,, ,

0

4273 355875,8 kN

3 3 1,0

v z ypl z Rd

M

A fV


,

84,190,096 0,5

875.5Rd

c Rd

V

V



2

,0

84,5 10 3552999,75 kN

1,0y

c RdM

A fN


,

76,590,026 1,0

2999,75Ed

c Rd

N


Pentru secţiunile bisimetrice I sau H şi alte secţiuni bisimetrice cu tălpi, nu este necesar să se ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisfăcute următoarele două criterii:

secţiunea verifică, iar forţa tăietoare nu reduce valoarea momentului încovoietor capabil

,76,59 kN 0,25 0,25 2999,75 749,9 kNEd pl RdN N

0

0,5 0,5 373 8,6 35576,59kN 569,4 kN

1w w y

EdM

h t fN

Condiţiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi neglijat. Verificarea la încovoiere


3

, ,0

1307 10 355463,985 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M

3

, ,0

3430,961 10 3551217,99kNm

1,0plV y

c RdV pl RdM

W fM M

Valoarea de calcul MEd a momentului încovoietor în fiecare secţiune transversală trebuie să

satisfacă condiţia:

Secţiunea constantă ,

183,770,396 1,0

463,985Ed

c Rd

M


Secţiunea vutată ,

413.770,34 1,0

1217,99EdV

c Rd

M



Barele supuse la încovoiere şi compresiune axială trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdyy

y Rk LT y Rk

M M

M MNk

N N

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdzy

z Rk LT y Rk

M M

M MNk

N M

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Pentru calculul acestor formule de interacţiune este necesar calculul factorul de reducere

pentru flambaj prin încovoiere după ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere - răsucire şi factorii de interacţiune kzz, kyy, kyz şi kzy.

Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat Ncr Pentru determinarea lungimii de flambaj a grinzii în planul cadrului, s-a făcut o analiză de

stabilitate în urma căreia s-a determinat factorul de amplificare αcr pentru combinaţia de încărcări care dă cea mai mare valoare a forţei verticale. Pentru această analiză, s-a considerat un reazem fictiv la capătul superior al unui stâlp.

Efortul critic de flambaj, elastic se determină folosind următoarea relaţie de definiţie: , 42,404 83,961 3560,28kNcr y cr EdN N

Figura E.14.4. Modul de pierdere al stabilităţii


2

3,

84,5 10 3550,918

3560,28 10

yy

cr y

A f

N

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)


considerare următoarele condiţii: IPE 400 - profil laminat

Raportul 400

2,22 1,2180

h

b

Grosimea tălpilor 13,5 mm 100 mmft


Curba de flambaj a, factorul de imperfecţiune αy = 0,21;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,21 (0,918 0,2) 0,918 0,997y y y y

2 2 2 2

1 10,722

0,997 0,997 0,918y

y y y

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei z-z Flambaj prin încovoiere

,4,8

4,818cos( )cr zL

m (distanta intre legăturile transversale)

2 2 4

, 2 2,

210000 1318 101177kN

4818z

cr zcr z

E IN

L

Efortul axial critic (3.4) Flambaj prin răsucire

, , 4,818cr T cr zL L m 4 4

0 23130 10 1318 10 24450y zI I I cm4

2 2 2 64

, 2 4 20 ,

84,5 10 210000 490000 1080770 51,08 10 2938kN

24450 10 4818w

cr T tcr T

A E IN G I

I L

, ,min ; min 1177;2938 1177kNcr cr z cr TN N N

2

3

84,5 10 3551,597

1177 10

yz

cr

A f

N

Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0,34;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (1,597 0,2) 0,1,597 2,012z z z z

2 2 2 2

1 10,309

2,012 2,012 1,597z

z z z



2 22

21 2 22 2

( )( )

( )w tz

cr g gw z z


k Ik L E I




sunt transmise prin intermediul rigle – încărcările sunt aplicate în axa neutră a stâlpului: zg = 0. Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU

Astfel formula momentului critic devine:

22

,1 2 2

,

tcr LTwzcr

z zcr LT

L G IIE IM C

I E IL


2 2 5 4 132,1 10 1318 10 2,732 10z E I

2 13

61 2 2

2,732 101,177 10

4818zE I

T L

9

42 4

490 103,718 10

1318 10w

z

IT

I

2 2 4

43 2 13

4818 80770 51,08 103,506 10

2,732 10t

z

L G I T

E I


6 4 4,0 1 2 3 1,177 10 3,718 10 3,506 10 316,3 kNmcrM T T T

Coeficientul C1 depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente încărcate cu momente la capete şi încărcare distribuită, avem:

133.2340,616

183,777

232

6

9.396 4.818 100,148

8 4 183,777 10

q L

M

C1=2,85 (vezi exemplu 1.5 şi Anexa V) Access Steel NCCI: SN003a-EN-EU

Figura E.14.5. Distribuţia de momente intre doua legaturi transversale

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire:

1 ,0 2,85 316,3 901,4 kNmcr crM C M


relaţii:

6

,6

1,307 10 3550,717

901,4 10

pl y yLT

cr

W f

M

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1)




2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LT LT

unde:

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)


Pentru 400

2,222 2180

h




2,0

2

0,5 1 ( )

0,5 1 0,49 (0,717 0,4) 0,75 0,717 0,771

LT LT LTLT LT

2

22 2

1

1 10,815 1; 1,943

0,771 0,771 0,75 0,717

LT

LTLT LT

LT


Figura E.14.6. Distribuţia de momente intre doua legaturi transversale

133.2340,616

183,777

1 10,818

1,33 0,33 1,33 0,33 0,616ck

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2

2

1 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8)

1 0,5 (1 0,818) 1 2 (0,717 0,8) 0,944 1

LTcf k

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)


,0,815

0,8630,944

LTLT mod f




,

,

76,591 13560 1

76,591 0,7221

3560

Ed

cr yy

Edy

cr y

N

N

N

N

,

,

76,591 11177 0.95

76,591 0,3091

1177

Ed

cr zz

Edz

cr z

N

N

N

N

,

,

13071,131 1.5

1156pl y

yel y

Ww

W

,

,

2291,546 1,5 1.5

146,4pl z

z zel z

Ww w

W

3,

0 6,0

1307 10 3551,211

316,3 10

pl y y

cr

W f

M

440 1, ,

76,59 76,590,2 1 1 0,2 2,85 1 1 0,33

1177 2938Ed Ed

limcr z cr TF

N N C

N N

în care , , 2938 kNcr TF cr TN N (secţiune dublu simetrică).


,0 ,0(1 )1

y LTmy my my

y LT

C C C

2

, ,

1.0

1 1

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

C CN N

N N

6 2,

3 3,

183,77 10 84,5 1017,54

76,59 10 1156 10

y Edy

Ed el y

M A

N W

(secţiune clasa I). şi

4

4

51,08 101 1 0,998

23130 10T

LTy

I

I


2

,0 2,max

2 5 4

2 6

1 1

2,1 10 23130 10 164,51 76,591 1 0,986

356024000 413,77 10

y Edmy

cr ytot y

E I NC

NL M

164,51mm deplasarea maximă la SLU


,0 ,017,54 0,998

1 0.986 1 0.986 0.9971 1 17,54 0,998

y LTmy my my

y LT

C C C

2

, ,

2

1 1

0.9980.997 1,04 1

76,59 76,591 1

1177 2938

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

C CN N

N N


max ( ; ) max (0,918;1,597) 1,597max y z

,2 2 2

,

1.6 1.61 ( 1) 1 el y


WC w C C n b

w w W

3

2

1 1

76,59 100,026

84,5 10 355

1,0

Ed Edpl

Rk y y

M M

N Nn

N A f

, ,2,0

, , , ,

1 1


LT pl y Rd pl z Rd

M M

M Mb M

M M

2 2 2

,

,

1,6 1,61 (1,131 1) 2 0.997 1,597 0.997 1,597 0,026

1,131 1,131

11560.986 0,884

1307

yy

el y

pl y

C

W

W

2 2

,5

,


z pl yy

C w WC w n d

w Ww

, ,0,4

, , , ,0

2 0 ( 0)0.1

y Ed z EdLT LT z Ed


M Md M

C M C M

2 2

5

1.012 1.5971 (1,131 1) 2 14 0,028

1,131

1,131 11560,936 0,6 0,461

1,5 1307

zyC

Calculul factorilor de interacţiune conform Tabel A.1.

,

1 1 1 10.997 1.04 1,075

76,59 0,986113560

yy my mLTEd yy

cr z

k C CN CN

,

10,6

1

yzzy my mLT

Ed zy z

cr y

wk C C

N C wN

0,95 1 1,1310,997 1,04 0,6 0,545

76,59 0,936 1,513560

Verificarea formulelor de interacţiune 3 6

,2 3

,

1 1

76,59 10 183,77 101,075 0,558 1

84,5 10 355 1307 10 3550,722 0,815

1,0 1,0

y EdEdyy

y Rk y RkLT

M M

MN k

N M

3 6,

2 3,

1 1

76,59 10 183,77 100,545 0,298 1

84,5 10 355 1307 10 3550,309 1,0

1,0 1,0

y EdEdzy

z Rk y RkLT

M M

MN k

N M

Verificarea la SLS

Deplasarea verticala maximă la coama 113,45 / 211mm L

Secţiunea nu verifică condiţia impusă 24000

96250 250

Lmm

Verificarea secţiunii vutei

Caracteristicile geometrice ale întregii secţiuni Lungimea vutei: Lv=2.409 m Aria: A=148,26 cm2

Moment de inerţie /yy: Iy= 114991,25 cm4 Moment de inerţie /zz: Iz= 2001,4 cm4 Modul de rezistenţă elastic /yy: Wel,y=2852,67 cm3 Modul de rezistenţă elastic /zz: Wel,y=222,38 cm3

Caracteristicile geometrice ale părţii comprimate Talpa comprimata inclusiv 1/6 din înălţimea inimii:

Aria Av=31,63 cm2 Moment de inerţie / yy: Iy= 104,91cm4 Moment de inerţie / zz: Iz= 680,89 cm4

z

y

z

y

IPE400

Figura E.14.7. Secţiunea transversala si zona comprimată

4

2

680,89 1046,4

31,63 10z

zv

Ii mm

A

1210000

76,409355y

E

f

1

24090,679

46,4 76,409v

zz

L

i

Se alege curba de flambaj d pentru profile I cu h/b>2=> α=0.76

2 20,5 1 0,2 0,5 1 0,76 0,679 0,2 0,679 0,913z z z

2 2 2 2

1 10,656

0,913 0,913 0,679z

z z z

Forţa axială de calcul în talpa comprimată se obţine: 6

3 23

31,63 413,77 1076,59 10 31,63 10 475,122

148,26 2852,67 10v Edv

Edf Edv vz

A MN N A kN

A W

Verificarea rezistenţei la flambaj: 3

2

475,122 100,645 1

0,656 31,63 10 355Edf Edf

z Rk z v y

N N

N A f

Secţiunea verifică

E.14.2 Stâlpul cadrului – interacţiunea M-N


Fara imperfectiuni Forţa axială NEd = 113.18 kN Forţa tăietoare VEd = 68.96 kN Moment încovoietor MEd = 413.77 kNm

Cu imperfectiuni Forţa axială NEd = 113.37 kN Forţa tăietoare VEd = 69.33 kN Moment încovoietor MEd = 415.97 kNm Lungimea elementului L = 6,00 m Marca oţelului S355

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a stâlpului

IPE450 - Marca de oţel S355; Înălţimea h = 450,0 mm Înălţimea inimii hw = 420,8 mm Înălţimea liberă a inimii dw = 378,8 mm Lăţimea tălpilor b = 190,0 mm Grosimea inimii tw = 9,4 mm Grosimea tălpilor tf = 14,6 mm Raza de racord r = 21,0 mm Aria A = 98,8 cm2

Momentul de inerţie/yy Iy = 33740 cm4 Momentul de inerţie/zz Iz = 1676 cm4 Momentul de inerţie la torsiune It = 66,87 cm4 Moment de inerţie sectorial Iw = 791000 cm6 Modul de rezistenţă elastic /yy Wel,y = 1500 cm3 Modul de rezistenţă plastic /yy Wpl,y = 1702 cm3

Modul de rezistenţă elastic /zz Wel,z = 176,4 cm3 Modul de rezistenţă plastic /zz Wpl,z = 276,4 cm3

Raza de giraţie /yy iy = 18,48 cm Raza de giraţie /zz iz = 4,12 cm Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

Caracteristici mecanice - limita de curgere

Marca S355 Deoarece grosimea maximă a pereţilor secţiunii transversale este 14,6 mm 40 mm,

limita de curgere este fy = 355 N/mm2. SREN 1993-1-1 Tabel 3.1


SREN 1993-1-1 §6.1 (1)

Efectele imperfecţiunilor

01

0,753 0,866 0,00326200h m

unde 0 1 / 200

2 20,753

7.05h

h

1 10,5 1 0,5 1 0,866

2m m

unde m=2 (numărul stâlpilor)

SREN 1993-1-1 §5.3.2 (3) Imperfecţiunile pot fi neglijate daca 0,15Ed EdH V În cazul în care 0,15Ed EdH V imperfecţiunile iniţiale pot fi înlocuite cu forţe orizontale

echivalente: Eq EdH V

SREN 1993-1-1 §5.3.2 (4)

0

10,00326 1,35 0,30 1,50 0,80 0,75 7.2 24

cos50.736

Eq EdH V

kN

Încărcarea astfel determinată va fi aplicată celor 2 stâlpi HEq1= HEq2= HEq/2=0,37 kN

SREN 1993-1-1 §5.3.2 (7) Determinarea lungimilor de flambaj

Multiplicatorul lungimii de flambaj (y-y) fL_y = 1,00 Lungimea de flambaj (y-y) Lcr,y = fL_y L = 6,00 m Multiplicatorul lungimii de flambaj (z-z) fL_z = 1.00 Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z L = 6,00 m

Determinarea clasei secţiunii Parametrul depinde de limita de curgere a materialului:

2

235 2350,814

355[N/mm ]yf


2 190 9,4 2 21

69,3 mm2 2

wb t rc

69,3

4,75 9 9 0,814 7,32614,6f

c

t talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2


3113,37 10

33,98 mm9,4 355

EdN

w y

Nd

t f

33,98 378,8

0,545 0,52 2 378,8N w

w

d d

d

2 2 450 2 14,6 2 21 378,8 mmw fd h t r

378,8 396 396 0,814

40,3 55,979,4 13 1 13 0,545 1

w

w

d

t

inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Table 5.2

Clasa unei secţiuni transversale este definită prin clasa cea mai mare (cea mai puţin favorabilă) a pereţilor săi comprimaţi: în cazul de faţă: Clasa 1

Deoarece avem de-a face cu o secţiune de clasa 1 toate verificările la SLU se pot face bazându-ne pe capacitatea plastică a secţiunii transversale. Verificările de rezistenţă

Pentru a respecta condiţiile de rezistenţă stâlpul trebuie să îndeplinească toate verificările la: Forţă axială N; Forţă tăietoare V; Moment încovoietor M; Interacţiunea M-N-V.




2

2 ( 2 )

9880 2 190 14,6 (9,4 2 21) 14,6 5082 mm



,, ,

0

5082 3551041,6 kN

3 3 1,0

v z ypl z Rd

M

A fV


,

69,330,067 0,5

1041,6Rd

c Rd

V

V

.



0

,9880 355

3507,41

yc Rd

M

A fN kN


,

113,370,032 1,0

3507,4Ed

c Rd

N


Pentru secţiunile bisimetrice I sau H şi alte secţiuni bisimetrice cu tălpi, nu este necesar să se

ia în considerare efectul efortului axial asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y , atunci când sunt satisfăcute următoarele două criterii:

,113,37 kN 0,25 0,25 3507,4 876,85 kNEd pl RdN N

0

0,5 0,5 420,8 9,4 355113,37 kN 702,1 kN

1w w y

EdM

h t fN

secţiunea verifică, iar forţa tăietoare nu reduce valoarea momentului încovoietor capabil

Condiţiile fiind îndeplinite efectul efortului axial asupra momentului rezistent poate fi neglijat. Verificarea la încovoiere


3

, ,0

1702 10 355604,21 kNm

1,0pl y

c Rd pl RdM

W fM M


,

413,770,685 1,0

604,21Ed

c Rd

M



Barele supuse la compresiune axială şi încovoiere trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

, , , ,

, ,

11 1

1y Ed y Ed z Ed z EdEdyy yz

y Rk LT y Rk z Rk

MM M

M M M MNk k

N N M

, , , ,

, ,

1 11

1y Ed y Ed z Ed z EdEdzy zz

z Rk LT y Rk z Rk

M MM

M M M MNk k

N M M

SREN 1993-1-1 § 6.3.3 (6.61-62) Deoarece , , 0z Ed z EdM M relaţiile de interacţiune se pot scrie:

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdyy

y Rk LT y Rk

M M

M MNk

N N

, ,

,

1 1

1y Ed y EdEdzy

z Rk LT y Rk

M M

M MNk

N M

Pentru calculul acestor formule de interacţiune este necesar calculul factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere după ambele axe principale, factorul de reducere pentru flambaj prin încovoiere - răsucire şi factorii de interacţiune kzz, kyy, kyz şi kzy.


2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 33740 1019425kN

6000

ycr y

cr y

π E IN

L

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 1676 10964,9 kN

6000z

cr zcr z

π E IN

L



2

3,

98,8 10 3550,425

19425 10

yy

cr y

A f

N

2

3,

98,8 10 3551,906

964,9 10

yz

cr z

A f

N

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2 (1)


considerare următoarele condiţii: IPE450 - profil laminat

Raportul 450

2,37 1,2190

h

b

Grosimea tălpilor 14,6 mm 100 mmft


Curba de flambaj a, factorul de imperfecţiune αy = 0.21; o cu imperfecţiuni

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,21 (0,425 0,2) 0,425 0,614y y y y

2 2 2 2

1 10,95

0,614 0,614 0,425y

y y y

Pierderea stabilităţii generale în jurul axei z-z Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0.34;

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (1,906 0,2) 1,906 2,606z z z z

2 2 2 2

1 10,228

2,606 2,606 1,906z

z z z



2 22

21 2 22 2

( )( )

( )w tz

cr g gw z z


k Ik L E I




sunt transmise prin intermediul rigle – încărcările sunt aplicate în axa neutră a stâlpului: zg = 0. Coeficientul C1 depinde de forma diagramei de moment încovoietor. Pentru o elemente

încărcate doar cu momente la capete – diagrama cu variaţie lineară – şi pentru raportul între momente = 0, avem: C1 = 1.77 (vezi Tabelul 4.2 şi Anexa V).

Astfel formula momentului critic devine:

22

,1 2 2

,

tcr LTwzcr

z zcr LT

L G IIE IM C

I E IL


2 2 5 4 133,14 2,1 10 1676 10 3,473 10z E I

2 13

51 2 2

3,473 109,649 10

6000zE I

T L

6

2 4

791000 1047195,7

1676 10w

z

IT

I

2 2 4

43 2 13

6000 80770 66,87 105,599 10

3,473 10t

z

L G I T

E I


5 4,0 1 2 3 9,649 10 47195,7 5,599 10 309,95 kNmcrM T T T

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire

1 ,0 1,77 309,95 548,61 kNmcr crM C M


relaţii:

3

,6

1702 10 3551,049

548,61 10

pl y yLT

cr

W f

M

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2 (1)




2 2 2

1.01

1.0darLT

LTLT

LT LT LT LT

unde :

2,00,5 1 ( )LT LT LT LT LT

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3(1)


Pentru 450

2,368 2190

h




2 2

,00,5 1 ( ) 0,5 1 0,49 (1,049 0,4) 0,75 1,049 1,072LT LT LTLT LT

22 2 2

1 1 10,609 1; 0,909

1,072 1,072 0,75 1,049LT

LTLTLT LT


1 10,752

1,33 0,33 1,33 0ck

- diagrama de momente lineară

SREN 1993-1-1 Tabel 6.6

2 21 0,5 (1 ) 1 2 ( 0,8) 1 0,5 (1 0,752) 1 2 (0,5 0,8) 0,898 1LTcf k

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.3 (2)


, ,0,944

1,051 1 1,000,898

LTLT mod LT modf




,

,

113,371 119425 0,9997

113,371 0,951

19425

Ed

cr yy

Edy

cr y

N

N

N

N

,

,

113,371 1964,9

0,907113,37

1 0,2281964,9

Ed

cr zz

Edz

cr z

N

N

N

N

,

,

17021,135 1.5

1500pl y

yel y

Ww

W

,

,

276,41,566 1,5 1.5

176,4pl z

z zel z

Ww w

W


2

, 20 ,

2 5 94

3 2

1

1 2,1 10 791 1080770 66,87 10 2562,44

38,85 10 6000

wcr T t

cr T

E IN G I

i L

kN

Pentru o secţiune dublu simetrica i0 se defineşte ca fiind:

2 2 2 2 2 2 2 3 20 0 0 184,8 41,2 38,85 10 mmy zi i i y z

unde: y0, z0 sunt coordonatele centrului de tăiere faţă de centrul de greutate; Mcr,0 este momentul critic corespunzător elementului încărcat cu momente egale la capete:

,0 309,95 kNmcrM .

3

.,0 6

,0

1702 10 3551,396

309,95 10

pl y yLT

cr

W f

M

440 1, ,

113,37 113,380,2 1 1 0,2 1,77 1 1 0,255

964,9 2562,4Ed Ed

limcr z cr TF

N N C

N N

în care , , 2562,44 kNcr TF cr TN N (secţiune dublu simetrică).


,0 ,0(1 )1

y LTmy my my

y LT

C C C

2

, ,

1.0

1 1

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

C CN N

N N

6 2,

3 3,

413,77 10 98,8 1024,08

113,18 10 1500 10

y Edy

Ed el y

M A

N W

(secţiune clasa I).

şi

4

4

66,87 101 1 0,998 1

33740 10T

LTy

I

I


,0

,

0,79 0,21 0,36 ( 0,33)

113,3870,79 0,21 0 0,36 (0 0,33) 0,791

19425

Edmy y y

cr y

NC

N


,0 ,011

24,08 0,9980,791 1 0,791 0,964

1 24,09 0,998

y LTmy my my

y LT

C C C

2

, ,

2

1 1

0.9980.966 0.955 1 1

113,37 113,371 1

19425 2562,44

LTmLT my

Ed Ed

cr z cr TF

mLT

C CN N

N N

C


max ( ; ) 1,906max y z z

,2 2 2

,

1.6 1.61 ( 1) 1 el y


WC w C C n b

w w W

3

2

1 1

113,37 100,032

98,8 10 3551,0

Ed Edpl

Rk y y

M M

N Nn

N A f

, ,2,0

, , , ,

1 1


LT pl y Rd pl z Rd

M M

M Mb M

M M

2 2 2

,

,

1,6 1,61 (1,135 1) 1 0,964 1,906 0,964 1,906 0,032

1,135 1,135

15000.973 0,881

1702

yy

el y

pl y

C

W

W

2 2

,5

,


z pl yy

C w WC w n d

w Ww

, ,0,4

, , , ,0

2 0 ( 0)0.1

y Ed z EdLT LT z Ed


M Md M

C M C M

2 2

5

0,964 1,9061 (1,135 1) 2 14 0,032

1,135

1,135 15000,9002 0,6 0,49

1,5 1702

zyC

Calculul factorilor de interacţiune conform Tabel A.1 a SR EN 1993-1-1.

,

1 0,9997 10,964 1 0,996

113,34 0,9731119425

yyy my mLT

Ed yy

cr z

k C CN CN

,

10,6

1

yzzy my mLT

Ed zy z

cr y

wk C C

N C wN

0,907 1 1,135

0,964 1 0,6 0,5099113,37 0,9002 1,5119427

Verificarea formulelor de interacţiune:

,

,

1 1

3 6

2 3

113,37 10 415,97 100,966 0,739 1

98,8 10 355 1702 10 3550,95 0,944

1,0 1,0

y EdEdyy

y Rk y RkLT

M M

MN k

N M

,

,

1 1

3 6

2 3

113,37 10 415,97 100,5099 0,514 1

98,8 10 355 1702 10 3550,228 0,944

1,0 1,0

y EdEdzy

z Rk y RkLT

M M

MN k

N M

Stâlpul îndeplineşte condiţiile de interacţiune M-N.

E.15. Determinarea unei secţiunii echivalente pentru verificarea elementelor cu secţiune variabila supuse la M-N

Descrierea structurii Se consideră grinda simplu rezemata cu secţiune variabila I, încărcată cu o sarcină

uniform distribuită cu intensitatea de 20 kN/m si supusa la compresiune N = 150 kN. Grinda nu este fixată lateral decât în dreptul reazemelor. Nu sunt prevăzute dispozitive speciale în rezemări care să prezintă deplanarea liberă a secţiunii, iar secţiunea este liberă să se rotească în jurul axei minime de inerţie. Se cere determinarea caracteristicilor geometrice, a eforturilor critice si parametrilor necesari verificării interacţiunii M-N.

hM

AX hM

IN

NEd NEd

L=6000 mm

q

Figura E.15.1.

Datele problemei

Datele geometrice ale elementului sunt prezentate în continuare: Deschiderea L = 6000 mm Marca oţelului S355

Caracteristicile dimensionale ale secţiunii transversale: Înălţimea maxima hMAX = 400,0 mm Înălţimea minima hMIN= 200,0 mm Lăţimea tălpilor b = 180,0 mm Grosimea inimii tw = 6,0 mm Grosimea tălpilor tf = 12,0 mm

Determinarea eforturilor de calcul 2

, 0,125 20 6000 90y EdM kNm

150EdN kN


2

235 2351

235[N/mm ]yf


+c

Figura E.15.2.

Vom considera acoperitor c, neglijând cordoanele de sudura (a = 0):

1 12 200 6 87 mm

2 22 / 2w

ac b t

87

7,25 9 912f

c

t talpa clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

Perete interior supus la încovoiere si compresiune:

Figura E.15.3.

Variatia inaltimii comprimate

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Deschiderea (mm)

Figura E.15.4.

Pentru determinarea clasei secţiunii se folosesc următorii parametrii:

3150 10106,38 mm

6 235Ed

Nw y

Nd

t f

2w fd h t

0,52N w

w

d d

d

- înălţimea comprimata

înălţimea inimii se calculează în fiecare secţiune i, cu relaţia: , 2w i i fd h t , unde

max min,ih h h

w

w

d

t

inima clasa 1

SREN 1993-1-1 Tabel 5.2

In figura următoare sunt prezentate rapoartele maxime intre înălţime si grosime pentru clasele de secţiune. Se poate observa variaţia clasei secţiunii transversale pe deschiderea grinzii:

Determinarea clasei sectiunii

30

40

50

60

70

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Deschiderea x (mm)

Zv

elte

tea

inim

ii /

Rap

oa

rtel

e la

tim

e-g

rosi

me Clasa 4

Clasa 3Clasa 2Zveltetea inimii

Figura E.15.5.

Funcţie de clasa de secţiune se stabileşte rezistenta elementului identificându-se secţiunea

periculoasa de raport maxim intre solicitare si capacitate. Elementul este supus la încovoiere cu forţa axiala.

Capacitatea secţiunii transversale. Verificarea de rezistenta. Pentru secţiunii de clasa 1 sau 2 curba de interacţiune moment încovoietor – forţa axiala

arata astfel:

My

N

(NEd,MEd)

(Nmax,My,max Ny,RdM= )

Figura E.15.6.

Perechea de eforturi (Nmax, My,max) din figura se determina prin rezolvarea următorului

sistem de ecuaţii:

max

,max , , , , , ,

max

,max ,

1

; ( 2 ) /1 0.5

ply N y Rd pl y Rd pl y Rd f

Ed

y y Ed

NN

M M M M unde a A bt Aa

N N

M M

SREN 1993-1-1 § 6.2.9.1(5)

Momentul capabil al sectiunii transversale

9,00E+07

1,10E+08

1,30E+08

1,50E+08

1,70E+08

1,90E+08

2,10E+08

2,30E+08

2,50E+08

2,70E+08

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Deschiderea (mm)

Mo

men

tul

cap

abil

(N

mm

) Momentul redus

Momentul capabil plastic

Figura E.15.7

In situaţia in care forţa axiala nu influenţează momentul încovoietor capabil (vezi SREN

1993-1-1 §6.2.9.1 (4)) atunci , , , ,N y Rd pl y RdM M , cazul de fata.

Gradul de utilizare a secţiunii transversale se determina astfel:

Pentru xi > 1200 mm (clasa 1 sau 2) 2 2

,

2 2max ,max

1,0Ed y Ed

y

N MR

N M

Pentru xi < 1200 mm (clasa 3 sau 4) ,

1,0Ed Ed

y el y y

N MR

A f W f

Coeficientul de utilizare a sectiunii

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Deschiderea (mm)

Co

efi

cien

tul

de

uti

liza

re a

sec

tiu

nii

Figura E.15.8.

Secţiunea cea mai solicitata se afla la xcr = 3600 mm având gradul de solicitare maxim Rmax

= 0,543.

Determinarea parametrilor necesari verificării de stabilitate Se considera proprietăţile secţiunii transversale (la xcr = 3600 mm) in care se face

verificarea si o secţiune echivalenta pentru determinarea proprietăţile secţiunii necesare determinării eforturilor critice. Secţiunea cea mai solicitata s-a determinat in urma verificărilor de rezistenta. Caracteristicile geometrice ale secţiunii sunt:

Înălţimea h = 280,0 mm Înălţimea inimii hw = 256,0 mm Lăţimea tălpilor b = 180,0 mm Grosimea inimii tw = 6,0 mm Grosimea tălpilor tf = 12,0 mm Aria A = 58,56 cm2

Momentul de inerţie / yy Iy = 8601 cm4 Momentul de inerţie / zz Iz = 1167 cm4 Momentul de inerţie la torsiune It = 22,9 cm4 Moment de inerţie sectorial Iw = 209500 cm6 Modul de rezistenţă elastic / yy Wel,y = 614,4 cm3 Modul de rezistenţă plastic / yy Wpl,y = 677,2 cm3

Raza de giraţie /yy iy = 12,12 cm Raza de giraţie /zz iz = 4,46 cm

Modulul de elasticitate E = 210000 N/mm2

Rezistenta caracteristica a secţiunii transversale 5856 235 1376Rk yN A f kN

3, 677 10 235 159,14Rk pl y yM W f kNm

Pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire Se calculează un moment de inerţie echivalent după axa de inerţie maxima yy, cu ajutorul

următoarelor expresii: 4

,min4

,max

18922 100,465

4095 10y

y

Ir

I

(0,08 0,92 ) 0,08 0,92 0,465 0,508C r 4 4 4

, ,max 0,508 18922 10 9612 10y eq yI C I mm

Determinarea efortului axial critic de pierdere a stabilităţii prin încovoiere si a factorilor de reducere

o După axa maxima de inerţie yy 2 2 5 4

,, 2 2

,

3,14 2,1 10 9612 105534 kN

6000y eq

cr ycr y

π E IN

L

3

3,

1376 100,499

5534 10Rk

ycr y

N

N

Curba de flambaj b, factorul de imperfecţiune αy = 0,34; 2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,34 (0,499 0,2) 0,499 0,675y y y y

2 2 2 2

1 10,885

0,675 0,675 0,499y

y y y

o După axa minima de inerţie zz 2 2 5 4

,min, 2 2

,

3,14 2,1 10 1167 10671,74 kN

6000z

cr zcr y

π E IN

L

3

3,

1376 101,431

671,74 10Rk

ycr y

N

N

Curba de flambaj c, factorul de imperfecţiune αy = 0,49; 2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (1,431 0,2) 1,431 1,826y y y y

2 2 2 2

1 10,338

1,826 1,826 1,431y

y y y

Factorii de reducere pentru flambajul prin încovoiere-răsucire

Momentul critic elastic de flambaj prin încovoie-răsucire Pentru calculul momentului critic se folosesc caracteristicile geometrice ale unei secţiuni

echivalente, pentru care se calculează heq , urmând următoarea procedură:

min

max

2000,5

400

h

h

2max

2

0,283 0,434 0,283

400 0,283 0,434 0,5 0,283 0,5 302,2

eqh h

mm

Momentul de inerţie la torsiune se calculează ca media aritmetica a momentelor de inerţie minim si maxim:

4 4,max ,min 4 4

,23,62 10 22,18 10

22,9 102 2

T TT T eq

I II I mm

Momentul de inerţie sectorial se calculează cu caracteristicile geometrice ale secţiunii cu înălţimea echivalenta heq. secţiunii cu o axă de simetrie, momentul de inerţie sectorial poate fi calculat cu următoarea formulă:

22 4, 9 6( ) 1166,94 10 302 12

245,68 104 4

z eq eq fw

I h tI mm

22, ,,,min

1 2 2,min ,min,

2 42 5 4 9

2 4 2 5 4

6000 80770 22,9 102,1 10 1167 10 245,68 101,127 167

6000 1167 10 2,1 10 1167 10

w eq t eqcr LTzcr

z zcr LT

I L G IE IM C

I E IL

kNm

Zvelteţea redusă pentru flambajul prin încovoiere-răsucire se determină cu următoarele relaţii:

6

6

159,14 100,976

167 10Rk

LTcr

M

M

In cazul general valorile χLT pentru zvelteţea redusă corespunzătoare pot fi determinate

astfel:

2 2

1LT

LT LT LT

unde:

20,5 1 ( 0,2)LT LT LT LT

SREN 1993-1-1 § 6.3.2.2(1)


Pentru profile I sudate max 4002,222 2

180

h


SREN 1993-1-1 Tabel 6.4

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (0,976 0,2) 0,976 1,167LT LTLT LT

2 2 2

1 10,553

1,167 1,167 0,976LT

LTLT LT


4 4, 10180 10y eq y eqI I h mm

2,

, , 2, ,min ,

2 2 5 94

4 4 2

59,89 10 2,1 10 245,68 1080770 22,9 10 1722,8

10180 10 1167 10 6000

eq w eqcr T t eq

y eq z cr T

A E IN G I

I I L

kN

Calculul factorilor de interacţiune kyy şi kzy Factorii de interacţiune kyy , kyz , kzy , kzz se pot calcula folosind una dintre metodele

prezentate in SR EN 1993-1-1, Anexa A si Anexa B. E.16. Calculul unui stâlp cu secţiune transversală de tip C formată la rece, solicitat la compresiune cu încovoiere

Descrierea problemei Exemplul descrie calculul unui montant de perete exterior solicitat la compresiune cu

încovoiere uniaxială. Montantul de perete se consideră că este articulat la capete, iar secţiunea transversală este realizată din două profile cu pereţi subţiri formate la rece de tip C, dispuse spate-în-spate. Pentru acest exemplu, legătura dintre cele două profile, în lungul barei, se consideră rigidă (de exemplu îmbinare realizată prin sudură). În Figura E.16.1(a) se prezintă schema statică şi încărcarea ce acţionează pe montant.

Schema statică

(a) (b)





281000 N mm2 1

EG

Înălţimea montantului 3 mH Deschiderea planşeului 4 mL Distanţa dintre grinzile de planşeu 0,6 mS Încărcarea distribuită aplicată pe planşeu:

- încărcarea permanentă – planşeu uşor: 20,75 kN m G 0,75 0,6 0,45 kN mq

- încărcarea utilă: 23 kN m Q 3 0,6 1,80 kN mq

Forţa concentrată corespunzătoare stării limită ultime, provenită de la nivelul superior şi de

la acoperiş: 5,0 kNQ

Presiunea uniformă a vântului: 20,42 kN m w 0,42 0,6 0,252 kN mq

Dimensiunile şi caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale Înălţimea totală a inimii 150 mmh Lăţimea totală a tălpii 40 mmb Lăţimea totală a rebordului 15 mmc Raza interioară 3 mmr Grosimea nominală nom 1,2 mmt Grosimea miezului de oţel 1,16 mmt (conform §3.2.4(3) din EN1993-1-3)

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale brute:

Aria secţiunii transversale brute: 2592 mmA Razele de giraţie: y 57,2 mmi ; z 18 mmi

Momentul de inerţie în raport

cu axa maximă de inerţie y-y: 6 4y 1,936 10 mmI

Momentul de inerţie în raport

cu axa minimă de inerţie z-z: 4 4z 19,13 10 mmI

Momentul de inerţie sectorial: 8 6w 4,931 10 mmI

Momentul de inerţie la răsucire: 4t 266 mmI

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale eficace: Conform §5.5.3.1, §5.5.3.2 din EN1993-1-3 şi §4.4 din EN1993-1-5, respectiv conform

modelului de calcul prezentat în Exemplul E.x.

Aria eficace a secţiunii transversale solicitate doar la compresiune rezultă:

2eff,c 322 mmA

Modulul de rezistenţă eficace, din solicitarea de încovoiere după axa maximă de inerţie rezultă:

în raport cu talpa comprimată: 3eff,y,c 22268 mmW

în raport cu talpa întinsă: 3eff,y,t 25580 mmW

3eff,y,min eff,y,c eff,y,tmin , 22268 mmW W W




SREN 1993-1-3 § 2(3)



SREN 1990

Forţa concentrată totală, de compresiune, aplicată montantului, conform EN1990, se calculează astfel:

Ed G G Q Q 2 1,35 0,45 1,50 1,80 4 2 5 11,62kNN q q L Q

Momentul încovoietor maxim, din încărcarea din vânt este: 2 2

Ed Q w 8 1,5 0,252 3 8 0,43 kNmM q H

Verificarea rezistenţei secţiunii transversale: Următorul criteriu trebuie îndeplinit:

y,Ed y,EdEd

c,Rd cy,Rd,com

1M MN

N M

SREN 1993-1-3 §6.1.9 unde:

c,Rd eff yb M0N A f

SREN 1993-1-3 §6.1.3 cz,Rd,com eff,com yb M0/M W f

SREN 1993-1-3 §6.1.4 iar, conform §6.1.9(2) din EN1993-1-3, reprezintă momentele adiţionale y,Ed Ed NyM N e ,

datorate deplasării centrului de greutate Nye pe axa y-y. (pentru acest caz particular, datorită

faptului că secţiunea transversală este dublu simetrică, Ny 0e ).

Verificarea rezistenţei:

3 611,62 10 0,43 10 00,158 1

322 350 1,0 22268 350 1,0

– verifică

Verificarea rezistenţei barelor la pierderea stabilităţii generale Elementele solicitate la compresiune cu încovoiere uniaxială trebuie să satisfacă

următoarele condiţii:

y,Ed y,EdEd

Rk y,Rky LT

M1 M1

Δ1yy

M MNk

N M

y,Ed y,EdEd

Rk y,Rkz LT

M1 M1

Δ1zy

M MNk

N M

SREN 1993-1-1 §6.3.3 unde:

3Rk yb eff 350 322 112,7 10 N 112,7 kNN f A

6y,Rk yb eff,y,min 350 22268 7,794 10 Nmm 7,794kNmM f W

y,EdΔM – momentul adiţional datorat deplasării centrului de greutate;

y,EdΔ 0M

2 2

1

dar 1,0

SREN 1993-1-1 §6.3.1.2

20,5 1 0,2

– factor de imperfecţiune


eff yb

cr

A f

N

crN – efortul critic elastic asociat modului de flambaj relevant

Determinarea factorilor de reducere y, z, T Conform § 6.3.1.3 din EN1993-1-1:

Flambajul prin încovoiere

eff yb effcrF

cr 1

A f A AL

N i

Lungimea de flambaj:

cr,y cr,z 3000 mmL L H

1yb

21000076,95

350

E

f

Flambajul după axa y-y, conform Tabelului 6.3 din EN1993-1-3 şi Tabelului 6.1 din EN1993-1-1:

cr,y effy

y 1

322 59230000,503

57,2 76,95

L A A

i

y 0,21 – curba de flambaj a

2 2y y y y0,5 1 0,2 0,5 1 0,21 0,503 0,2 0,503 0,658

y 2 2 2 2y y y

1 10,923

0,658 0,658 0,503

Flambajul după axa z-z, conform Tabelului 6.3 din EN1993-1-3 şi Tabelului 6.1 din EN1993-1-1:

cr,z effz

z 1

322 59230001,597

18 76,95

L A A

i

z 0,34 – curba de flambaj b

2 2z z z z0,5 1 0,2 0,5 1 0,34 1,597 0,2 1,597 1,923

z 2 2 2 2z z z

1 10,334

1,923 1,923 1,597

Flambajul prin răsucire (conform §6.2.3(5) din EN1993-1-3):

2w

cr,T t2 2o T

1 EIN GI

i l

SREN 1993-1-3 §6.2.3(5) unde:

2 2 2 2 2o y z o oi i i y z

o o,y z – coordonatele centrului de tăiere în raport cu centrul de greutate al secţiunii transversale brute: o o 0y z

2 2 2 2o 57,2 18 0 0 3594 mmi

T 3000 mml H

Efortul critic elastic pentru flambajul prin răsucire este: 2 8

3cr,T 2

1 210000 4,931 1081000 266 37,59 10 N

3594 3000N

Flambajul prin încovoiere-răsucire (conform §6.2.3(6) din EN1993-1-3) Pentru secţiuni dublu simetrice: cr,TF cr,TN N

Efortul critic elastic de flambaj este:

cr cr,T cr,TF 37,59 kNN N N


eff ybT 3

cr

322 3501,732

37,59 10

A f

N

T 0,34 – curba de flambaj b (conform Tabelului 6.3 din EN1993-1-3 şi Tabelului 6.1 din EN1993-1-1).

2 2T T T T0,5 1 0,2 0,5 1 0,34 1,732 0,2 1,732 2,259

Factorul de reducere pentru flambajul prin răsucire, respectiv încovoiere-răsucire este:

T 2 2 2 2T T T

1 10,269

2,259 2,259 1,732

Determinarea factorului de reducere χLT, corespunzător flambajului lateral prin încovoiere-răsucire:

Flambajului lateral prin încovoiere-răsucire

LT 2 2LT LT LT

1

dar LT 1,0

SREN 1993-1-1 §6.3.2.2

2LT LT LT LT0,5 1 0,2

LT 0,34 – curba de flambaj b SREN 1993-1-1 §6.3.2.2 (Tabelul 6.3)


eff,y,min ybLT

cr

W f

M

crM – momentul critic elastic pentru flambajul lateral prin încovoiere-răsucire 22

w tzcr 1 2 2

z z

I L GIEIM C

IL EI

unde, pentru grinzi simplu rezemate, sub încărcări uniform distribuite 1 1,127C .

2 4 8 2

cr 2 4 2 4

cr

210000 19,13 10 4,932 10 3000 81000 2661,127

3000 19,13 10 210000 19,13 10

2,75 kNm

M

M

eff,y,min ybLT 6

cr

22268 3501,683

2,75 10

W f

M

z 0,34 – curba de flambaj b

2 2LT LT LT LT0,5 1 0,2 0,5 1 0,34 1,683 0,2 1,683 2,169

LT 2 2 2 2LT LT LT

1 10,283

2,169 2,169 1,683

Determinarea factorilor de interacţiune kyy şi kzy – Metoda 1 din EN1993-1-1, Anexa A.

yyy my mLT

Ed

cr,y

1k C C

N

N

zzy my mLT

Ed

cr,y

1k C C

N

N

unde: Ed

cr,yy

Edy

cr,y

1

1

N

N

N

N

;

Ed

cr,zz

Edz

cr,z

1

1

N

N

N

N

2 2 6y 3

cr,y 2 2cr,y

210000 1,936 10445,8 10 N 445,8 kN

3000

EIN

L

2 2 43z

cr,z 2 2cr,z

210000 19,13 1044 10 N 44 kN

3000

EIN

L

Ed

cr,yy

Edy

cr,y

11,621 1445,8

0,99811,62

1 0,9231445,8

N

N

N

N

Ed

cr,zz

Edz

cr,z

11,621 144 0,807

11,621 0,3341

44

N

N

N

N

y LTmy my,0 my,0

y LT

11

aC C C

a

2 LTmLT my

Ed Ed

cr,z cr,T

1 1

aC C

N N

N N

Edmy,0

cr,y

11,621 0,03 1 0,03 1,001

445,8

NC

N

6y,Ed eff

y 3Ed eff,y,min

0,43 10 3220,591

1995611,62 10

M A

N W

tLT 6

y

2661 1 1

1,936 10

Ia

I

my0,591 1

1 1 1,001 11 0,591 1

C

2mLT

11 1,401

11,62 11,621 1

44 37,59

C

Factorii de interacţiune sunt:

yyy my mLT

Ed

cr,y

0,9981 1,401 1,435

11,6211

445,8

k C CN

N

zzy my mLT

Ed

cr,y

0,8071 1,401 1,161

11,6211

445,8

k C CN

N

Verificarea la flambaj:

y,Ed y,EdEdyy

Rk y,Rky LT

M1 M1

Δ 11,62 0,43 01,435 0,389 1

112,7 7,7940,923 0,283

1,0 1,0

M MNk

N M

–verifică

y,Ed y,EdEdzy

Rk y,Rkz LT

M1 M1

Δ 11,62 0,43 01,161 0,532 1

112,7 7,7940,334 0,283

1,0 1,0

M MNk

N M

– verifică

ANEXA I

Coeficientul de zvelteţe transformat pentru barele cu secţiuni cu o axă de simetrie supusă la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire

Prezentul document descrie modalitatea de determinare a coeficientului de zvelteţe pentru barele cu secţiuni cu o axă de simetrie supuse la compresiune axială care flambează prin încovoiere-răsucire. Coeficientul de zvelteţe transformat este dat de relaţia:

crtr N

EA (I.1)

în care A aria secţiunii brute a barei: Ncr forţa critică de flambaj prin încovoiere-răsucire calculată pentru o bară ideală în

domeniul elastic

Tcrzcro

TcrzcrTcrzcr

o

cr NNi

aNNNN

i

aN ,,2

22

,,,,

2

214)(

12

1 (I.2)

în care: Ncr,z forţa critică de flambaj în raport cu axa z-z, care se calculează cu relaţia:

2, )( l

EIN y

zcr

(I.3)

Ncr,T forţa critică de flambaj prin răsucire, care se calculează cu relaţia:

2

, 2 2

1

( )w

cr T to

EIN GI

i l

(I.4)

Astfel se poate obţine expresia directă pentru tr , cu relaţia:

222

220

222

2

22

)(

])1/(093.0[411

2 o

po

ztr ic

aic

c

ic

i

l (I.5)

în care:

z

tw

I

IlllIc

2200

22 )(039.0)/()( (I.6)

În relaţia (I.2) şi (I.5) notaţiile reprezintă: l lungimea barei;

l0 distanţa dintre punctele în care este împiedicată constructiv răsucirea barei în jurul axei longitudinale;

coeficient acre multiplică lungimea barei în funcţie de gradul de încastrare la capetele barei;

0 coeficient care ţine seama de gradul de împiedicare a deplanării barei; 22zyp iii

2220 aiii zy

Iz momentul de inerţie al secţiunii în raport cu axa z-z; It momentul de inerţie la răsucire liberă a barei. Valorile a şi Iw pentru diferitele secţiuni uzuale sunt prezentate în Tabelul I.1. Valorile şi 0 se aleg astfel:

1.00 în cazul legăturilor articulate la capete, răsucirea fiind împiedicată, deplanarea secţiunii fiind liberă;

0.50 când bare este încastrată la ambele capete pentru încovoiere şi deplanarea la răsucire este împiedicată;

0.70 când bare este încastrată la un capăt şi articulată la altul pentru încovoiere, respectiv deplanarea este împiedicată la un capăt şi liberă la altul.

Pentru legăturile intermediare se pot lua valori pentru şi 0 între 0.50 şi 1.00. În cazurile

curente, în practică, 0 .

Tabelul I.1: Caracteristicile sectoriale pentru diferite secţiuni uzuale

Nr. crt.

Secţiunea Suprafaţa, centru de

greutate, momente de inerţie

Centru de răsucire Momentul de inerţie

sectorial 2 2y z

r dAy I y

0 1 2 3 4 5

0I

1

t tz

b bC

G y.zC

btA 2 24

bz ec Ţinând seama de

grosimea pereţilor 3 3 3

18 144

b t AI

22

bry

2

t

t

z

.

C

G y.zC

.yC

.

b1

b2

21 bbtA 32

31

3

36bb

tI

Secţiunea contraindicată pentru flambaj prin încovoiere-răsucire

2 aA bt at ;

aa atA

3 t

z

b

C

Gy.

e.zC

A

aa .taAa,Ia 31

3a aI a t

22

3 26

ac

z

t baz b a

I

2

2

2 a

c z

I b I

z e I

4

2

10

222

2

2

4

2 3

3 2 10

yy

a

y

tbr

I

b e t a b a

Ib e

b a

ab a e

4 t

h G=C y

b

z

22

1

1

2A t b h 0y zC C

3 2

6

b h tI

sau 2

14

hI I

0y zr r

b bA t b ; h hA t h

2h bA A A ; bAe b

A

5

z

G y

h

C

.tb

thAh,Ih

.zc

eb

2

2b bh

I A

;3

12h

ht h

I

2z h bI I I ;

3 22

3y bI b t e A

0cy

bc

z

Iz e b

I

22 2

3b h b

z

I I IbI

I

2

44

1

2

2

y y hy

b

b

r e A e II

e b I

te b e

6

z

A y

C

.th

tiAb,Ib

.zc

eh

.

Ah,Ih

Aa,Ia

Gb.t2

b

.b2

c

h hA t h ; 1 1 1A t b

2 2 2A t b

1 22 2hA A A A

22hA Ae h

A

2

2h hb

I A

; 3

1 11 12

t bI

232 2

2 212 2

t b bI A c

322 2

2 212ht b

I A c

2 12 2z hI I I I

3 2 22

22

3y hI h t A h e A

0cy ; 2

21 24

hc

z z

Ib Az e h

I I

22

22

2

2 2 22

22 2

4

1 24

2

4

y

hz

h

z

h

z

bI I e A

b Ah I

I

Ibch A b heA

I

Ih

I

21 1

44

2

22

1

2

22

yy

h

h

r e A e II

e h I

te h e

h e I

A h e

a aA t a ; b bA t b

h hA t h ;2 2h b aA A A A

2h aA Ae h

A

7

z

A y

b

C

.th

tbAb,Ib

.zc

eh

.

Ah,Ih

Aa,Ia

.ta

G

a

2

2h hb

I A

;3

12b

bt b

I ;

3a

aht

I a

23

12 2a

a at a b a

I A

2 2z h b aI I I I

3 2 222

3y h aI h t A h e A

22

2

2 2

2

4

14

2 2

y

z

ah a

ah

z

bI I e A

b A

I

h I bfh A

Ib e Ah

I

8

z

A y

b

C

. th

tbAb,Ib

.zc

eh

.

Ah,Ih

Aa,Ia

ta

G

a

.

La calcularea valorii aI ,

semnele se iau astfel: semnul (+) pentru cazul

7 semnul ( ) pentru cazul

8

0cy ; cz e 21

24 ah

z

eAbhI

I

/ 2f a

/ 2f a

9

z

yh

t G=C

b

.

.ti

0cy ; 0cz 2

4 zh

I I 0y zr r

10

z

yG=C h

t

. bt

Aa,Ia

Ah,Ih

.ba

.

.tt

ta

e

Ab,Ib

h tA h t t ;

b t a tA b t t ; a a aA b t ;

2 4h b aA A A A

3

12t

h

t h tI

;

3

12b t a

b

t b tI

;

3

12a a

at b

I ;

2

2 42t

z b ab

I I A

2

4

2 42

y h a

b a

I I I

hA A

0cy ; 0cz

2224

2 2z abh

I I I

0y zr r

11

z

yh

ti

G

.t

.

.

ts

CA

. ezc

.bs

bi

Ah,Ih

Ai,Ii

As,Is

1

2h s iA h t t t

;

sss tbA ; i i iA b t

h s iA A A A ;2

2h iA A

e hA

;

3

1

2

12

s i

h

t h t t

I

;

3

12s s

st b

I ;3

12i i

it b

I ;

z s iI I I

2 24y h iI I A h e A

0cy

1c s i

z

z eI h e II

2i s

z

I II h

I

3

3 4

4

1

4

y c z sz

i

r z I A eI

tA h e e

h e

12

z

y

.hiG

.ts C

zc=e

.bs

ti. h

.

s s sA b t : i i iA h t

s iA A A ;2

iAe h

A

3

12s s

zt b

I ;3

2

3i i

yt h

I e A

0cy ; cz e

0I Cu luare în

considerare a grosimii pereţilor

3 3 3 3

144 36s s i it b t h

I

3

344

1

4

y z sy

i

r I e A eI

te h e

13

z

yG=C. t2

.t1

h

b

2 21 2

2 1

2r

b h t tI

bt ht

0c cy z

22 22 1

22 1

1 2

24

bt htb hI

bt ht

bt ht

0y zr r

ANEXA II

Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate II.1 Baze teoretice Cazurile fundamentale pentru lungimile de flambaj ale barelor comprimate prezentate în capitolul 2 au un caracter teoretic, întâlnindu-se arareori în practică. Condiţiile reale de rezemare sau legare în structuri a barelor comprimate diferă de cele mai multe ori de cazurile fundamentale. Condiţiile reale de rezemare se încadrează de regulă între cazurile teoretice fundamentale, aşa cum se arată în Figura II.1.

Fig. II.1: Cazuri teoretice şi reale de rezemare

Pentru determinarea lungimilor de flambaj a stâlpilor structurilor multietajate, trebuie făcută distincţia între structurile cu noduri fixe, sau cele cu noduri deplasabile. O structură poate fi considerată cu noduri fixe dacă este destul de rigidă la încărcări orizontale, pentru a putea considera orice eforturi suplimentare adiţionale generate de deplasările orizontale. Astfel, o structură poate fi considerată cu noduri fixe dacă sistemul de contravântuire reduce deplasările orizontale cu cel puţin 80% faţă de aceeaşi structură, având aceleaşi elemente structurale de rezistenţă, dar necontravântuită. În această situaţie, pentru calculul lungimilor de flambaj ale stâlpilor, se poate considera structura ca fiind împiedicată pentru deplasări laterale, aşa cum se arată în Figura II.2. Orice structură care nu îndeplineşte această condiţie minimală trebuie considerată în calcul ca fiind cu noduri deplasabile. Aşa cum se arată în Figura II.2, un stâlp dintr-o structură cu noduri fixe nu prezintă deplasări relative ale punctelor de legătură cu restul structurii şi în această situaţie, valoarea coeficientului lungimii de flambaj va fi întotdeauna maxim 1. Stâlpul va fi astfel tratat ca o bară cu rezemări elastice la rotire, dar cu reazeme rigide pentru deplasarea laterală, rigiditatea la rotire fiind dată de rigiditatea la încovoiere a elementelor cu care se interconectează stâlpul în structură (stâlpii şi grinzile de la nivelul superior şi inferior). Pentru structurile cu noduri deplasabile, aşa cum se arată în Figura II.3, un stâlp din structură prezintă deplasări relative ale punctelor de legătura cu restul structurii şi în această situaţie valoarea coeficientului de flambaj este întotdeauna mai mare sau la limită egal cu 1 şi are o valoare nelimitată superior. Stâlpul va fi tratat ca o bară cu rezemări elastice atât pentru rotire cât şi pentru deplasarea laterală. O metodă simplificată pentru calculul lungimilor de flambaj a stâlpilor din structurile în cadre multietajate a fost formulată de Wood (1974). Această formulare a fost introdusă în Anexa E a versiunii ENV a EN1993-1-1 (ENV, 1992) şi este prezentată în continuare.

Fig. II.2: Condiţii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri fixe

Fig. II.3: Condiţii de rezemare pentru stâlpi din structuri cu noduri deplasabile

II.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stâlpilor structurilor multietajate cu metoda Wood Lungimea de flambaj Lcr a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe poate fi obţinută din diagrama prezentată în Figura II.4. Lungimea de flambaj Lcr a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile poate fi obţinută din diagrama prezentată în Figura II.5. Factorii de distribuţie a rigidităţii 1 şi 2 (Figura II.6) sunt obţinuţi cu relaţiile:

12111

11 KKKK

KK

C

C

(II.1)

22212

22 KKKK

KK

C

C

(II.2)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,5

0,525

0,55

0,575

0,6250,6

0,65

0,95

0,85

0,9

0,8

0,75

1,0

0,675

0,7

Incastrat Articulat2

Incastrat

Articulat

1

Fig. II.4: Raportul Lcr /L dintre lungimea de flambaj şi

lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri fixe

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,0

1,05

1,1

1,15

1,251,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,81,9

2,0

2,2

2,42,6

2,83,0

4,0

5,0

Incastrat Articulat2

Incastrat

Articulat

1

Fig. II.5: Raportul lf /L dintre lungimea de flambaj şi

lungimea teoretică a unui stâlp dintr-un cadru cu noduri deplasabile

K11

K21

K12

K22

Factor de distributie 1

K1

K1

KC

Factor de distributie 2

Stalp de verificat

Fig. II.6: Factori de distribuţie pentru stâlpii continui

Când grinzile nu sunt solicitate la eforturi axiale, rigiditatea lor poate fi determinată în conformitate cu Tabelul II.1, respectiv Tabelul II.2, cu condiţia rămânerii în domeniul elastic a grinzilor sub acţiunea momentelor de calcul. Tabel II.1

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe

1

0.5I

KL

2

0.7I

KL

3

1.0I

KL

Tabel II.2

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile

1

1.5I

KL

2

0.75I

KL

3

0.75I

KL

Pentru structurile clădirilor în cadre rectangulare cu planşee din beton, cu topologia structurii regulată şi încărcare uniformă, se pot adopta, pentru grinzi, rigidităţile din Tabelul II.3. Tabel II.3

Rigiditatea K a unei grinzi dintr-o structură cu planşee din beton armat

Condiţii de încărcare pentru grindă Structură cu noduri

fixe Structură cu noduri

deplasabile

Grinzi care suportă direct planşeul din beton armat

1.0I

L 1.0

I

L

Alte grinzi încărcate direct 0.75I

L 1.0

I

L

Grinzi solicitate numai la acţiunea momentelor de la extremităţi

0.5I

L 1.5

I

L

Dacă momentul de calcul al unei grinzi depăşeşte momentul de rezistenţă elastic 0/el y MW f , se

poate considera grinda articulată în acel punct. Dacă grinzile sunt supuse la eforturi axiale, rigiditatea lor trebuie corectată în consecinţă. Pentru aceasta se pot utiliza funcţiile de stabilitate. O alternativă simplă constă în neglijarea surplusului de rigiditate datorat întinderii axiale şi considerarea efectelor compresiunii axiale cu valorilor aproximative prezentate în tabelele II.4 şi II.5. Tabel II.4

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri fixe

1.

0.5 1 1.0E

I NK

L N

2.

0.75 1 1.0E

I NK

L N

3.

1.0 1 1.0E

I NK

L N

în care: 22E LEIN

Următoarele relaţii se pot utiliza ca alternativă la valorile date în diagramele din Figurile II.4 şi II.5: (a) cadre cu noduri fixe:

1 2 1 2

1 2 1 2

1 0.145( ) 0.265

2 0.364( ) 0.247fl

L

(II.3)

(b) cadre cu noduri deplasabile:

0.51 2 1 2

1 2 1 2

1 0.2( ) 0.12

1 0.8( ) 0.60fl

L

(II.4)

Tabel II.5

Caz Rigiditatea K a grinzilor în cazul cadrelor cu noduri deplasabile

1.

1.5 1 0.2E

I NK

L N

2.

0.75 1 1.0E

I NK

L N

3.

1.0 1 0.4E

I NK

L N

în care: 22E LEIN

II.3 Metoda Merchant - Rankine Metoda Merchant-Rankine (Merchant, 1954), este o procedură practică de proiectare care permite determinarea rezistenţei ultime a unei structuri multietajate cu noduri deplasabile, în ipoteza că toate îmbinările structurii sunt perfect rigide. Încărcarea ultimă a structurii care cedează printr-o formă de instabilitate inelastică se determină funcţie de încărcarea critică elastică a structurii şi de încărcarea de cedare a structurii prin configuraţie de mecanism, obţinută printr-o analiză plastică de ordinul I. Valoarea multiplicatorului încărcării de calcul pentru a provoca cedarea structurii αf (corespunzător încărcării ultime) se calculează cu expresia:

pcrf 9.011

(II.5)

în care: αcr este coeficientul de multiplicare al încărcărilor de calcul pentru a provoca instabilitatea

elastică a structurii; αp este coeficientul de multiplicare al încărcărilor de calcul pentru a provoca cedarea

structurii prin configuraţie de mecanism (analiza plastica de ordinul I). Limitele de aplicare a acestei metode sunt:

104.0 p

cr

(II.6)

Structura este corespunzătoare din punct de vedere al rezistentei şi stabilităţii dacă valoarea multiplicatorului αf este cel puţin unitara. Dacă structura este cu noduri fixe, este de aşteptat ca raportul αcr/αp să fie mare. În aceste condiţii încărcarea ultimă de cedare a structurii va fi apropiată de încărcarea de cedare a structurii prin configuraţie de mecanism, obţinută printr-o analiză plastică de ordinul I. Dacă structura este cu noduri deplasabile, este de aşteptat ca raportul αcr/αp să fie mic. În aceste condiţii încărcarea ultimă de cedare a structurii va fi apropiată de încărcarea critică elastică a structurii (Maquoi şi Jaspart, 2002). Verificarea unei structuri multietajate este relativ uşor de efectuat cu aceasta metodă, în condiţiile în care există la dispoziţie un program de calcul numeric adecvat pentru analiza de flambaj şi analiză plastică. Limitările metodei exclud stâlpii cu zvelteţe foarte mare şi de aceea nu este necesar să se ia în considerare efectele de ordinul II cauzate de imperfecţiunile elementelor sau de deplasări.

ANEXA III

Lungimi de flambaj ale stâlpilor structurilor parter În cazul barelor cu efort de compresiune constant în lungul lor (a se vedea Figura III.1a), coeficientul de flambaj se prezintă în Tabelul III.1.

.

. .lg2 lg1

Ig2

ls

Ig1

Is

P2

P1Is

Is

P1+P1

.

.

ll1

l2

.

.

ll1

l2I2

I1

P2

P1

P1+P1

.

.

ll1

l2I2

I1

P2

P1

P1+P1

a) b) c)

Fig. III.1: Determinarea lungimii de flambaj a) şi b) stâlpi cu secţiune constantă; c) stâlpi cu secţiune variabilă

Tabelul III.1: Coeficienţi de flambaj pentru stâlpii carelor cu un nivel cu secţiune constantă şi

cu încastrare elastică la partea superioară Coeficienţi pentru stâlpii carelor cu un nivel cu secţiune constantă şi cu încastrare

elastică la partea superioară

s

s

g

g

g

g

s

g

I

l

l

I

l

I

r

rk

2

2

1

1

Prindere în fundaţie

0 0.2 0.3 0.5 1.0 2.0 3.0 10.0

încastrată 2.0 1.50 1.40 1.28 1.16 1.08 1.06 1.0 articulată - 3.42 3.0 2.63 2.33 2.17 2.11 2.0

În cazul barelor cu efort de compresiune variabil, discontinuu în lungul lor (a se vedea Figura III.1b), coeficientul de flambaj se prezintă în Tabelul III.2.

Tabelul III.2

Coeficienţi pentru stâlpii (conform Fig. III.1b) Condiţii de rezemare

Capătul interior

Capătul superior 1

2

l

l 3

2

1 P

P 1

2

1 P

P

cu rotiri şi deplasări libere 0.3 0.6 1.0

1.8 1.5 1.3

2.,0 1,7 1,6

cu rotiri împiedicate şi deplasări libere

0.3 0.6 1.0

1.0 0.9 0.8

1.2 1.0 0.,9

cu rotiri libere şi deplasări împiedicate

0.3 0.6 1.0

0.6 0.5 0.5

0.6 0.6 0.6

Încastrat

cu rotiri şi deplasări împiedicate

0.3 0.6 1.0

0.5 0.4 0.4

0.5 0.4 0.4

În cazul barelor cu secţiune în trepte, lungimile de flambaj depind de raportul dintre rigidităţile părţii superioare şi ale părţii inferioare ale stâlpului, de felul legăturii la cele două extremităţi, respectiv de raportul P1/P2. (a se vedea Figura III.1c). Valorile coeficienţilor 1 şi 2 sunt

prezentate în tabele detaliate în STAS 10108/0-78, în funcţie de tipul de legătură între stâlpi şi riglă şi de posibilitatea de deplasare laterală a capătului superior al stâlpului (a se vedea Figura III.2).

a) b) c) d)

Fig. III.2: Legăturile la capătul superior al stâlpilor halelor a) rotiri şi deplasări libere; b) rotiri împiedicate şi deplasări libere; c) deplasări împiedicate şi

rotiri libere; d) deplasări şi rotiri împiedicate. În cazul în care stâlpii cadrului au o singură treaptă (a se vedea Figura III.1c) şi sunt îndeplinite condiţiile 2 1/ 0.6l l şi 1 2/ 3P P , coeficienţii de flambaj se pot lua din Tabelul III.3.

Tabelul III.3

Condiţii de fixare ale capetelor Coeficienţi pentru: partea inferioară a

stâlpului 1 când: Capătul interior

Capătul superior 1.03.0

1

2 I

I 5.01.01

2 I

I

partea superioară

2

cu rotiri şi deplasări libere 2.5 3.0 3.0 cu rotiri împiedicate şi deplasări libere 2.0 2.0 3.0 cu rotiri libere şi deplasări împiedicate 1.6 2.0 2.5

Încastrat

cu rotiri şi deplasări împiedicate 1.2 1.5 2.0

ANEXA IV

Lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele În Tabelele IV.1, IV.2 şi IV.3 se prezintă, ca alternativă, lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele, în conformitate cu STAS 10108/0-78 şi NB51-002. În STAS 10108/0-78, pentru tălpi comprimate, lungimea de flambaj în planul grinzii se consideră ca fiind distanţa dintre nodurile teoretice, iar în plan normal grinzii este distanţa între nodurile de fixare împotriva deplasărilor în acest plan. În Tabelul IV.1 se prezintă lungimile de flambaj în planul grinzii şi transversal planului grinzii pentru diferite elemente componente comprimate ale grinzii cu zăbrele. În Tabelul IV.2 sunt prezentate lungimile de flambaj în cazul zăbrelelor încrucişate. Tabelul IV.1: Lungimile de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zăbrele conform STAS 10108/0-78

Grinzi cu zăbrele elementul

talpă diagonale şi montanţi de reazem

celelalte zăbrele Direcţia de flambaj

lf

În planul grinzi l l 0.8l Transversal planului

grinzi l1 l l

în care: l este lungimea elementului între nodurile teoretice l1 este distanţa între nodurile fixate împotriva deplasărilor în planul transversal grinzii

Tabelul IV.2: Lungimile de flambaj pentru zăbrele încrucişate şi prinse la intersecţii conform STAS 10108/0-78

Zăbrele încrucişate şi prinse la intersecţii Schema grinzi Lungimea de flambaj în planul transversal grinzii

felul solicitărilor în barele care se opun flambajului

caracteristica nodului de intersecţie a diagonalei

întindere efort nul compresiune ambele diagonale neîntrerupte 0.5l 0.7l l bara care se opune flambajului

este întreruptă şi barele sunt legate între ele cu guseu

0.7l l 1.4l

Lungimea de flambaj în planul grinzii lf=l1

În Tabelul IV.3 se prezintă lungimile de flambaj, în planul grinzii şi în plan perpendicular pe planul grinzii, conform normei belgiene NB51-002.

Tabelul IV.3: Lungimile de flambaj pentru în planul grinzii şi în plan perpendicular pe planul grinzii conform normei belgiene NB51-002

Caz Elementul considerat Lungime de flambaj 1

talpă ll fl 9.0

2 diagonală marginală

ll fl 9.0

3

montant sau diagonală

ll fl 9.0

Fla

mba

j în

plan

ul g

rinz

ii

4

intersecţie de două bare prinse în mijlocul lor

ll fl 5.0

5

talpă cu noduri contravântuite

ll fl

6

talpă la care un punct nu este contravântuit (F1>F2)

1

225.075.0F

Fll fl

7

montant sau diagonală

0.9 sau fll l l

0.85 0.35 tfl

c

Fl l

F

0.5fll l

8

intersecţie a unei bare întinse cu una comprimată 0.9 0.85 0.35 t

flc

Fl l

F

ll fl 45.0

Fla

mba

j în

plan

per

pend

icul

ar p

e pl

anul

gri

nzii

9 montant de zăbrelire în K (F1>F2)

1

225.075.0F

Fll fl

ANEXA V Monogramele pentru coeficienţi C1 şi C2, pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate În cazul unor situaţii complexe, elemente cu momente la capete (elemente dublu încastrate sau porţiuni între două blocaje transversale) încărcate cu sarcini uniform distribuite sau concentrate, se recomandă procedura din www.access-steel.com (SN003a-EN-EU – NCCI: Elastic critical moment for lateral torsional buckling). Pentru elemente structurale sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete şi al încărcărilor transversale direct aplicate (vezi Figura V.1), coeficienţi C1 şi C2, se pot obţine din monogramele prezentate mai jos (V.2-V.5). Se consideră două cazuri distincte:

Cazul a) momente încovoietoare la capete şi încărcărilor transversale uniform distribuite; Cazul b) momente încovoietoare la capete şi încărcări transversale concentrate la mijlocul deschiderii.

M Mq

L

(a)

M M F

L (b)

Fig. V.1: Momente pe capete şi încărcări transversală Distribuţia momentului încovoietor poate fi determinat folosind doi parametri: este raportul momentelor de capăt. Prin definiţie, M este momentul încovoietor de capăt

maxim, şi astfel: -1 1 ( = 1 pentru momentul încovoietor uniform) este raportul dintre momentul datorat încărcării transversale şi momentul încovoietor de

capăt maxim, M.

Cazul a) M

qL

8

2

Cazul b) M

FL

4

Convenţie de semne pentru : > 0 dacă M şi încărcarea transversală (q sau F), considerate că acţionează

individual, deformează grinda în aceeaşi direcţie (de exemplu ca în Figura V.1);

< 0 dacă M şi încărcarea transversală (q sau F), considerate că acţionează individual, deformează grinda în sensuri diferite.

Coeficienţi C1 şi C2 au fost determinaţi pentru kz = 1 şi kw = 1.

2.0

2.5

3.0

C1

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1,2

0,8

0,7

0,4

1

0,5

0,6

0,3 0,10,2

21,5

2

M

MM

M

> 0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C1

-0,1

-0,9

-1,1

-1,2

-0,7

-0,6

-0,5

-0,3

-0,4

-0,8

-1,8-1,7

-2

-1,3

-1,4

-1,5

-1

-1,6

-0,2

0

MM M M

< 0

Fig. V.2: Momente pe capete şi încărcare uniform distribuită – Factorul C1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,50,6

0,7 0,8

0,9 1

1,21,5

2

M

MM

M

> 0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C2

-0,1-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

-0,8

-0,9

-1

-1,1

-1,2

-1,3

-1,4

-1,5

-1,6

-1,7

-1,8

-1,9

-2

-1,2

MM M M

< 0

Fig. V.3: Momente pe capete şi încărcare uniform distribuită – Factorul C2

1.5

2.0

2.5

3.0

C1

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C

00,10,20,30,40,50,6

0,7

0,8

1

1,2

1,50,9

2

2

0,20,1

1

M

MM

M

> 0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C1

-0,1

-0,9

-1,1-1,2

-0,7

-0,6

-0,5

-0,3

-0,4

-0,8

-1,8

-1,7

-2

-1,3

-1,4

-1,5

-1

-1,6

-0,2

0

MM

M M

< 0

Fig. V.4: Momente pe capete şi încărcare concentrată la mijlocul deschiderii – Factorul C1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,91

1,2

1,5

2

M

MM

M

> 0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

C2

-0,1-0,2

-0,3-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

-0,8

-0,9

-1

-1,1

-1,2

-1,3

-1,4

-1,5

-1,6

-1,7

-1,8

-2

MM

M M

< 0

Fig. V.5: Momente pe capete şi încărcare concentrată la mijlocul deschiderii – Factorul C2

ANEXA VI

Clase de secţiuni Clasificarea secţiunilor transversale se face funcţie de supleţea pereţilor secţiunii şi de distribuţia şi semnul tensiunilor σ. Prin supleţe, se înţelege raportul dintre lăţimea şi grosimea peretelui. Această clasificare este necesară pentru a delimita secţiunile care pot avea incursiuni în domeniul elasto-plastic de celelalte secţiuni (subcapitolul 5.5 din SR EN 1993-1-1:2006). Sunt definite patru clase de secţiuni: Clasa 1 – secţiuni care permit plastificarea lor şi dezvoltarea articulaţiilor plastice (rotire sub

efort constant), fără apariţia voalărilor, până la atingerea unghiurilor de rotire plastică admisibile.

Clasa 2 – secţiuni care permit formarea articulaţiilor plastice, dar care au o capacitate de

rotire plastică redusă şi nu permit redistribuirea plastică a momentelor încovoietoare în structură.

Clasa 3 – secţiuni în care se pot dezvolta compresiuni în fibrele extreme până la nivelul

limitei de curgere (rezistenţa critică de voalare se situează la nivelul limitei de curgere), fără a se putea dezvolta însă articulaţii plastice.

Clasa 4 – secţiuni cu supleţe mare la care fenomenul de voalare (caracterizat de rezistenţe

critice cu valori inferioare limitei de curgere) împiedică atingerea limitei de curgere în fibra extremă comprimată.

Tabelul VI.1 prezintă sintetic clasele de secţiuni în termeni de comportare, moment capabil şi capacitatea de rotire. În ceea ce priveşte calculul de rezistenţă al secţiunilor (calculul ariilor, modulelor de rezistenţă, momentelor de inerţie), acesta se poate face în domeniul plastic sau în domeniul elastic, pe baza întregii secţiuni sau secţiunii eficace, după cum se prezintă în Tabelul VI.2. În tabelul VI.3 sunt date valorile maxime ale supleţilor pereţilor barelor funcţie de forma secţiunii şi de distribuţia tensiunilor.

Tabelul VI.1: Clase de secţiuni în termeni de moment capabil şi capacitatea de rotire

Tabelul VI.2: Metoda de analiză globală şi modul de efectuare al calculului de rezistenţă în funcţie de clasa secţiunii

1 2 3 4 Clasa secţiunii (distribuţia tensiunilor pe

secţiune la încovoiere)

Metoda de analiză globală (calcul static)

plastică* elastică elastică elastică

Calculul de rezistenţă (modul de determinare al tensiunilor)

plastic** plastic** elastic elastic cu

lăţime eficace

* se poate folosi, de asemenea, şi analiza globală elastică ** se poate folosi, de asemenea, şi calculul de rezistenţă în domeniul elastic

Tabelul VI.3: Rapoarte lăţime-grosime maxime pentru pereţii comprimaţi

*) ψ ≤ -1 se aplică fie când tensiunea de compresiune σ ≤ fy, fie când deformaţia specifică de întindere εy > fy/E.

Tabelul VI.3 (continuare)

ANEXA VII

Calculul prin metoda elementului finit (MEF) În Anexa C a normei SR EN 1993–1–5 sunt prezentate recomandări referitoare la modelarea şi calculul pe baza metodei elementului finit pentru starea limită ultimă, starea limită de serviciu sau pentru verificări la oboseală ale structurilor realizate din plăci. În continuare se prezintă câteva aspecte importante referitoare la modelarea cu element finit a structurilor din bare. Alegerea metodei de calcul depinde de problema analizată. Această alegere poate fi bazată pe următoarele ipoteze (vezi Tabelul VII.1):

Tabelul VII.1: Ipoteze referitoare la alegerea metodei bazate pe element finit (Anexa C a normei SR EN 1993–1–5)

Nr. Comportarea materialului

Comportarea geometric

Imperfecţiuni, vezi VII.1

Exemple de utilizare

1 liniar liniar nu efectul „shear lag”1), rezistenţa elastică 2 neliniar liniar nu rezistenţa plastică la SLU 3 liniar neliniar nu încărcarea critică de voalare 4 liniar neliniar da rezistenţa elastică de voalare 5 neliniar neliniar da rezistenţa elasto-plastică la SLU

1) influenţa tensiunilor tangenţiale asupra tensiunilor normale, din încovoiere. În modelarea cu element finit, trebuie acordată o atenţie deosebită următoarelor aspecte:

– modelarea componentelor structurale şi a condiţiilor de margine ale acestora; – alegerea programului de analiză şi a documentaţiei necesare; – introducerea imperfecţiunilor; – modelarea proprietăţilor materialelor; – modelarea încărcărilor; – modelarea criteriilor la starea limită; – coeficienţii parţiali care vor fi aplicaţi.

În ceea ce priveşte modelarea, alegerea modelelor de EF (elemente de bară, suprafaţă sau de volum) şi a dimensiunilor elementelor finite pentru discretizare, determină acurateţea rezultatelor. Pentru validare, se poate efectua un studiu de sensibilitate cu rafinare progresivă. Modelarea cu element finit poate fi efectuată:

– pentru structură, în ansamblul ei sau; – pentru o substructură, ca parte componentă a structurii.

Condiţiile de margine, referitoare la reazeme, legăturile dintre elemente şi detaliile referitoare la introducerea încărcărilor, trebuie alese de o asemenea manieră încât rezultatele obţinute să fie realiste. Proprietăţile geometrice trebuie considerate cu valorile nominale. Toate tipurile de imperfecţiuni trebuie să fie conforme cu formele şi amplitudinile prezentate în Anexa VIII şi subcapitolul VII.1. Proprietăţile materialelor şi comportarea materialului trebuie să fie conforme cu cele prezentate în Figura VII.1. Programul de calcul trebuie să fie corespunzător analizei dorite, iar fiabilitatea acestuia trebuie demonstrată.

VII.1 Utilizarea imperfecţiunilor Atunci când în modelul cu EF trebuie incluse imperfecţiuni, acestea trebuie să includă atât imperfecţiunile geometrice cât şi cele structurale. Cu excepţia cazului când se realizează o măsurare detaliată a imperfecţiunilor geometrice şi structurale, atunci se pot folosi imperfecţiuni geometrice echivalente. Aceste tipuri de imperfecţiuni (globale la nivelul structurii, de bară sau locale la nivelul secţiunii, cât şi tensiunile de materiale), pentru structurile realizate din bare, se prezintă în Anexa VIII. Imperfecţiunile geometrice pot fi introduse şi pe modurile critice de flambaj/voalare, cu amplitudini egale cu 80% din toleranţele de fabricaţie recomandate. Imperfecţiunile structurale în termeni de tensiuni reziduale pot fi reprezentate printr-un câmp de eforturi provenite din procesul de fabricaţie, cu amplitudinile echivalente valorilor medii. Sensul imperfecţiunii trebuie astfel ales încât să conducă la rezistenţa cea mai mică. Pentru aplicarea imperfecţiunilor geometrice echivalente, poate fi folosit Tabelul VII.2 şi datele furnizate în Anexa VIII.

Tabelul VII.2: Imperfecţiuni geometrice echivalente Tipul

imperfecţiunii Componenta Forma Amplitudinea

globală pe structură

abatere de la axa verticală înclinare a se vedea Figura VIII.1 din Anexa VIII

locală pe element

elementul cu lungimea curbură (arc)a se vedea Tabelul VIII.1 şi Figura VIII.2 din Anexa VIII

La nivelul secţiunii

abatere de la forma secţiunii deformarea

secţiunii a se vedea paragraful VIII.3

Pentru combinarea imperfecţiunilor, trebuie aleasă o imperfecţiune principală, iar imperfecţiunile asociate pot avea valori reduse la 70%. Orice tip de imperfecţiune poate fi considerată ca imperfecţiune principală, celelalte imperfecţiuni pot fi considerate ca imperfecţiuni asociate. Imperfecţiunile geometrice echivalente pot fi substituite prin intermediul forţelor echivalente aplicate elementului. VII.2 Proprietăţile materialelor Proprietăţile materialelor trebuie considerate în analiză cu valorile caracteristice. Pentru modulul de elasticitate, E, se va considera valoarea nominală. În funcţie de cerinţele de precizie şi de deformaţiile maxime ce se doresc a se obţine în cadrul analizei, pot fi utilizate următoarele legi pentru comportarea materialului (a se vedea Figura VII.1): a) elastic-plastic fără ecruisaj; b) elastic-plastic cu pseudo-ecruisaj (din motive de simulare numerică); c) elastic-plastic cu ecruisaj liniar; d) curba reală efort-deformaţii.

Modelul

cu platou de curgere

1 E/10000 (sau valori mici similare)

cu ecruisare

1 curba reală efort-deformaţie 2 curba efort-deformaţie rezultată din teste

Fig. VII.1: Modelarea comportamentului materialelor VII.3 Încărcări Încărcările aplicate pe structură trebuie să includă factori relevanţi ai încărcărilor şi de combinare a acestora. Prin simplificare, se poate utiliza un singur multiplicator unic al încărcării, . Factorul de amplificare al încărcării u la starea limită ultimă trebuie să permită obţinerea fiabilităţii cerute. Factorul de amplificare u trebuie să fie compus din 2 factori:

1. 1 pentru a acoperi incertitudinea modelului cu EF folosit. Acesta trebuie obţinut din evaluarea testelor de calibrare, vezi Anexa D din EN 1990;

2. 2 pentru a acoperi dispersia modelelor de încărcare şi rezistenţelor. 2 poate fi considerat egal cu γM1 dacă fenomenul de instabilitate este dominant şi egal cu γM2 dacă fenomenul de rupere este dominant.

Trebuie să se verifice că: u > 1·2. Anexa Naţională a SR EN 1993-1-1 oferă informaţii pentru γM1 şi γM2.

ANEXA VIII

Imperfecţiuni Efectele imperfecţiunilor, adică tensiunile reziduale şi imperfecţiunile geometrice ca abateri de la axa verticală, abateri de la rectiliniaritate, abateri de la planeitate, abateri dimensionale şi orice excentricităţi minore prezente în îmbinările structurii neîncărcate, trebuie luate în considerare, în mod corespunzător în analiza structurală. În general, se utilizează imperfecţiunile geometrice echivalente. În analize trebuie luate în considerare următoarele imperfecţiuni:

a) imperfecţiuni globale pentru cadre şi sistemele de contravântuiri; b) imperfecţiuni locale pentru bare.

VIII.1 Imperfecţiuni pentru analiza globală a cadrelor Forma presupusă a imperfecţiunilor globale şi a imperfecţiunilor locale poate deriva din modul de flambaj elastic al structurii în planul de flambaj considerat. Aceste imperfecţiuni trebuie luate în considerare în forma şi sensul cel mai defavorabil, a flambajului în plan şi a flambajului în plan perpendicular, incluzând şi flambajul prin răsucire cu modurile simetrice şi antisimetrice. Pentru cadrele sensibile la flambaj într-un mod cu noduri deplasabile, trebuie luat în considerare a efectul imperfecţiunilor în analiza cadrului, cu ajutorul unei imperfecţiuni echivalente sub forma unei abateri iniţiale de la verticală şi a imperfecţiunilor locale în arc ale barelor. Imperfecţiunile trebuie determinate astfel: a) abatere globală iniţială de la axa verticală (a se vedea Figura VIII.1)

0 h m (VIII.1)

în care

0 este valoarea de bază: 0 1/ 200 ;

h este coeficientul de reducere aplicabil pentru înălţimea h a stâlpilor:

2 2 dar 1.0

3h hh

h este înălţimea structurii în metri;

m este factor de reducere pentru numărul de stâlpi dintr-un şir:

10.5 1m m

m este numărul de stâlpi într-un şir, introducând aici numai stâlpii care preiau o încărcare verticală NEd mai mare sau egală cu 50% din valoarea medie pe stâlp în planul vertical considerat.

Figura VIII.1: Imperfecţiuni echivalente corespunzătoare abaterii de la axa verticală

b) imperfecţiunile iniţiale locale în arc e0 ale barelor (curburi iniţiale), pentru flambajul prin încovoiere, definite prin:

0 /e L (VIII.2)

unde L este lungimea barei. Valorile recomandate pentru 0 /e L de anexa Naţională a SR EN 1993-1-1 sunt menţionate în tabelul VIII.2.

Tabelul VIII.1: Valorile de calcul ale imperfecţiunilor iniţiale în arc 0 /e L analiză elastică analiză plastică

Curba de flambaj e0/L e0/L

a0 1/350 1/300 a 1/300 1/250 b 1/250 1/200 c 1/200 1/150 d 1/150 1/100

Curburile iniţiale ale barelor pot fi neglijate în cadrul analizei globale a structurii, pentru determinarea forţelor şi momentelor de la extremităţi, necesare verificării barelor la pierderea stabilităţii. Cu toate acestea, în cazul structurilor sensibile la efectele de ordinul doi, în analiza structurală a cadrelor trebuie introduse, în plus, faţă de imperfecţiunile corespunzătoare abaterii de la verticală şi aceste imperfecţiuni locale (curburi), pentru fiecare bară comprimată pentru care sunt satisfăcute următoarele două condiţii:

- cel puţin o legătura de la capătul barei transmite moment

- 0.5 y

Ed

A f

N

(VIII.3)

unde NEd este valoarea de calcul a forţei de compresiune este zvelteţea redusă în plan, calculată pentru bara considerată ca articulată la extremităţile sale. c) imperfecţiunile de torsiune

Contrar abaterilor de la liniaritate (curburi iniţiale), majoritatea normelor actuale nu propun valori pentru imperfecţiunea de torsiune, care să fie luată în considerare în calculul de stabilitate, datorită faptului că în cazul torsiunii iniţiale, a căror valoare nu depăşeşte 1/m, sarcina critică a profilelor nu este afectată de această imperfecţiune. Totuşi, standardul australian AS4100, propune următoarele formule pentru determinare săgeţii iniţiale după axa minimă de inerţie, uo, şi a rotirii iniţiale a secţiunii transversale, o, astfel:

1000 / 1000 ( / ) 1 0.6LTo o cr crf L M N L pentru (VIII.4)

1000 / 1000 ( / ) 0.001 0.6LTo o cr crf L M N L pentru (VIII.5)

unde: Ncr este forţa critică pentru flambajul după axa minimă de inerţie; Mcr este momentul critic al flambajului prin încovoiere laterală-răsucire al grinzilor;

LT este zvelteţea redusă corespunzătoare flambajului prin încovoiere laterală-răsucire. Efectele imperfecţiunilor iniţiale datorită abaterii de la axa verticală şi ale imperfecţiunilor locale (curburi) pot fi înlocuite prin sisteme de forţe orizontale echivalente, introduse pentru fiecare stâlp (a se vedea Figura VIII.2).

Figura VIII.2: Înlocuirea imperfecţiunilor iniţiale prin forţe orizontale echivalente

Aceste imperfecţiuni iniţiale datorate abaterii de la verticală pot fi considerate în toate direcţiile orizontale, dar simultan, într-o singură direcţie. Acolo unde este necesar, trebuie luate în considerare şi eventualele efecte de torsiune ce pot rezulta din aplicarea imperfecţiunilor iniţiale datorate abaterii de la axa verticală, în sens contrar pe două feţe opuse ale unei structuri (a se vedea figura VIII.3).

1 deformaţie din translaţie; 2 deformaţie din rotire

Figura VIII.3: Efecte de translaţie şi torsiune (vedere în plan) VIII.2 Imperfecţiuni pentru calculul sistemului de contravântuiri În calculul sistemului de contravântuiri utilizate pentru asigurarea stabilităţii laterale a grinzilor şi a barelor comprimate, trebuie să se ia în considerare a efectelor imperfecţiunilor cu ajutorul unei imperfecţiuni geometrice echivalente a elementelor stabilizate, sub forma unei imperfecţiuni iniţiale în arc:

0 / 500me L (VIII.6)

în care L este deschiderea sistemului de contravântuiri şi 1

0.5 1m m

, în care m este

numărul de elemente stabilizate.

e0 – imperfecţiune; qd – forţă echivalentă pe unitatea de lungime;

1 – sistem de contravântuiri

Figura VIII.4: Forţă echivalentă de stabilizare

Pentru simplificare, efectele imperfecţiunilor iniţiale în arc (curburile iniţiale) ale elementelor de stabilizat printr-un sistem de contravântuiri, pot fi înlocuite prin forţe echivalente de stabilizare, aşa cum se prezintă în Figura VIII.4:

0

28 q

d Ed

eq N

L

(VIII.7)

unde δq este săgeată sistemului de contravântuiri în planul stabilizat, calculată printr-o analiză de ordinul unu şi provocată de forţele q plus eventualele forţe exterioare. Săgeata δq se poate lua egală cu 0 dacă se utilizează o analiză de ordinul doi. VIII.3 Imperfecţiunile geometrice locale şi tensiuni reziduale pentru barele cu pereţi subţiri În cazul barelor cu pereţi subţiri formate la rece, apar două tipuri suplimentare de imperfecţiuni faţă de cele prezentate pentru barele obţinute prin laminate la cald sau sudare. Ca şi imperfecţiuni geometrice se identifică imperfecţiunile geometrice locale, iar ca şi imperfecţiuni structurale se identifică tensiunile reziduale de tip flexural, care au un rol hotărâtor la pierderea stabilităţii. Un număr mare de cercetători s-au ocupat de investigarea imperfecţiunilor geometrice locale ale barelor cu pereţi subţiri formate la rece şi în ciuda tuturor acestor investigaţii, nu s-a făcut nici o încercare de unificare a imperfecţiunilor geometrice locale. Schafer şi Pekoz (1996, 1997) au fost primii cercetători care au încercat o clasificare a tipurilor de imperfecţiuni locale, şi au pus în evidenţă două tipuri distincte de imperfecţiuni pentru elementele solicitate la încovoiere şi / sau compresiune, şi anume:

imperfecţiuni locale (tip 1) – în cazul elementelor rigidizate (vezi Figura VIII.5a); deviaţia de la poziţia dreaptă (tip 2) pentru cazul tălpilor slab rigidizate sau

nerigidizate (vezi Figura VIII.5b).

d

(a) Tip 1

d

(b) Tip 2

1 2

Fig. VIII.5: Definirea imperfecţiunilor geometrice locale

Imperfecţiunile de tip 1 sunt caracteristice imperfecţiunilor pentru modul local de flambaj, iar imperfecţiunile de tip 2 sunt caracteristice imperfecţiunilor pentru modul distorsional de flambaj. În urma prelucrării pe cale statistică a datelor experimentale culese din literatura de specialitate, Schafer & Pekoz au propus pentru tipul 1 de imperfecţiuni (imperfecţiuni corespunzătoare voalării pereţilor secţiunii transversale) următoarele relaţii pentru a modela imperfecţiunea maximă:

1 0.006d w (VIII.8)

sau 2

1 6 td t e (d1 şi t se introduc în mm) (VIII.9)

unde w este înălţimea inimii sau lăţimea tălpilor rigidizate (în mm), iar t este grosimea peretelui. Imperfecţiunea de tip 2 (corespunzătoare flambajului prin distorsiune) s-a determinat într-o manieră similară şi se poate folosi una din următoarele relaţii:

2 0.014 / 0.5d w t (VIII.10)

sau

2 1.8d mm (VIII.11)

În ceea ce priveşte tensiunile reziduale, în cazul profilelor din oţel formate la rece deformaţiile plastice apărute ca urmare a procesului de formare la rece generează tensiuni reziduale cu valori mai importante în colţurile secţiunii transversale decât pe feţele plane ale acesteia, atât în cazul profilelor laminate la rece, cât şi în cazul celor formate prin îndoire la rece.

Elementele cu pereţi subţiri formate la rece sunt afectate de tensiuni reziduale de încovoiere, variabile pe grosimea elementului, respectiv de tensiunile membranare. În Figura VIII.6 sunt prezentate aceste două tipuri de tensiuni reziduale şi suprapunerea lor.

-

+

-+ =

+

-

gros

ime

flexural membranarexterior

interior

Fig. VIII.6: Variaţia tensiunilor reziduale de încovoiere şi membranare

Experienţa practică a arătat că procedeul de formare la rece influenţează direct mărimea tensiunilor reziduale; procedeul de laminarea la rece produce tensiuni reziduale de încovoiere mai mari decât procedeul prin presarea la rece. Rondal (1986, 1992) a arătat că profilele laminate la cald sunt afectate de tensiuni reziduale care rezultă, în principal, datorită răcirii după laminare, iar aceste tensiuni reziduale sunt de tip membranar, iar pentru profilele formate la rece a arătat că prin procesul de formare, acestea sunt afectate de tensiuni reziduale de încovoiere. Considerare în modelele de calcul a tensiunilor reziduale este o problemă dificilă. După cum a fost prezentat, profilele din oţel cu pereţi subţiri formate la rece sunt afectate de tensiuni reziduale de încovoiere, variabile pe grosimea elementului, respectiv de tensiuni membranare. Variaţia pe grosime a tensiunilor reziduale conduce la o atingerea timpurie a limitei de curgere pe una din feţele elementului, iar în cazul elementelor scurte sau medii amorsează flambajul local. Schafer şi Pekoz (1996, 1997) au obţinut, prin prelucrare statistică a încercărilor experimentale obţinute pe elemente realizate prin presare la rece cât şi prin laminare la rece, o codificare a tensiunilor reziduale. O importanţă deosebită o are distribuţia tensiunilor reziduale pe secţiune (în colţuri, pe elementele plane, pe reborduri). Din analiza statistică a tensiunilor reziduale

membranare, aceştia au arătat că aceste tensiuni sunt aproape nule. Acestea sunt importante doar în zonele de colţ şi pentru rebordurile elementelor laminate la rece. De asemenea, au observat că tensiunile reziduale membranare sunt mai semnificative pentru elementele laminate la rece decât pentru cele obţinute prin presare la rece. Tensiunile reziduale de încovoiere sunt cea mai importantă componentă a tensiunilor reziduale. Valorile medii ale distribuţiei tensiunilor reziduale de încovoiere pe secţiune transversală, pentru cele două metode de formare la rece, sunt prezentate în Figura VIII.7. Se poate observa că tensiunile reziduale sunt mai mari pentru elementele formate prin laminare la rece, decât pentru cele formate prin presare la rece.

39%

23%27% 8%

17%

33%

(a) laminate la rece (b) îndoite la rece Fig. VIII.7: Valorile medii ale tensiunilor reziduale de încovoiere exprimate în %fy

(Schafer şi Pekoz, 1996, 1997) VIII.4 Imperfecţiunile elementelor Efectele imperfecţiunilor barelor sunt cuprinse în formulele de verificare a acestora la flambaj, prin formule din subcapitolul 6.3 din SR EN 1993-1-1, respectiv prin cele prezentate în capitolele 4 şi 5 din prezentul manual. Când stabilitatea barelor este justificată cu ajutorul unui calcul de ordinul doi, atunci trebuie să se adopte imperfecţiunile e0 ale barei comprimate conform celor prezentate în VIII.1. În cazul unui calcul de ordinul doi care ţine cont de pierderea stabilităţii prin încovoiere-răsucire a unei bare supuse la încovoiere, se poate considera o imperfecţiune egală cu ke0,d, în care e0,d este curbura iniţială echivalentă pentru axa minimă de inerţie a profilului considerat. În general, nu este necesară includerea unei imperfecţiuni de torsiune suplimentare. Valoarea coeficientului k se poate defini în Anexa Naţională, iar adoptată este k = 0.5.

ANEXA IX

Încărcarea critică de flambaj elastic pentru cadre portal În această anexă se prezintă o metodă de calcul a rezistenţei critice de flambaj a structurilor în cadre, ce nu necesită un program de calcul (King, 2001). Această metodă are la bază cercetările efectuate de Davies (1990, 1991). Pentru calculul manual se introduc următoarele aproximări:

Forţa critică de flambaj nu este afectată de distribuţia forţei transversale din lungul elementului; doar forţa axială trebuie luată în considerare;

Forţa axială maximă din fiecare element se presupune că acţionează pe întreaga sa lungime, iar efectul de rigidizare al vutelor este neglijat, ceea ce conduce la ipoteze conservative;

Forţele axiale trebuie calculate printr-o analiză elastică, considerând prinderile în fundaţii ca articulaţii sau prinderi rigide.

Se recomandă ca structura să fie considerată ca o serie de subdiviziuni (vezi Figura IX.1), care să includă:

Grinzi pereche de coamă (vezi secţiunea IX.1); Stâlp exterior + grindă (vezi secţiunea IX.2); Stâlp interior + grindă de fiecare parte (vezi secţiunea IX.3); Cadru echivalent pentru cadre cu stâlpi dublu-articulaţi sau grinzi de dolie (vezi

secţiunea IX.4).

Fig. IX.1: Sub-structuri ale cadrului pentru analiză manuală

Perechi de rigle

Stâlp exterior + rigla Stâlp interior + rigle laterale

Stâlpi dublu articulaţi

Grinzi de dolie

Pentru fiecare combinaţie de încărcări analizată, trebuie determinat coeficientul cr pentru

fiecare din substructurile mai sus menţionate, şi apoi cel mai mic cr trebuie utilizat pentru toată

structura, pentru acea combinaţie particulară. Valoarea cea mai mică a lui cr poate fi utilizată şi

pentru toate combinaţiile de încărcări, dar se poate dovedi neeficientă. Eforturile din stâlpi şi grinzi se vor determina printr-o analiză elastică şi pot fi obţinute prin calcul manual sau automat. IX.1 Grinzi pereche de coamă Această metodă verifică că “arcul” format de grinzi nu cedează, aşa cum se prezintă în Figura IX.2.

Fig. IX.2: Cedarea grinzilor înclinate

Metoda a fost dezvoltată de Horne (1977) şi modificată de Davies (1991). Pentru pante ale acoperişului în intervalul 200 r ,

55.7 4 2751 tan 2

1s

cr rr y

L h ID

L I f

(IX.1)

unde L = deschiderea cadrului; D = înălţimea minimă a grinzilor; h = înălţimea stâlpului; Is = momentul de inerţie al stâlpului (se ia zero dacă stâlpul nu este legat rigid de grindă); Ir = momentul de inerţie al grinzii; fy = limita de curgere a materialului grinzii; = raportul de arcuire, adică raportul dintre forţa verticală de pe grinzi şi forţa verticală maximă care ar putea produce cedarea grinzii calculată ca o grindă dublu încastrată de deschidere L;

r = panta acoperişului dacă este simetric, sau altfel 1 12tan

h

L

, unde h1 este diferenţa dintre

înălţimea la coamă şi înălţimea stâlpilor. Când 1 , nu este posibilă cedarea în „arc”. IX.2 Stâlp exterior şi grindă Metoda a fost propusă de Davies (1990), şi apoi modificată pentru a putea lua în considerare, în mod explicit, rigiditatea bazei stâlpului.

Considerând astfel: E = modulul de elasticitate al oţelului = 210 kN/mm2; Ir = momentul de inerţie al riglei în planul cadrului (Iy în EC3); Is = momentul de inerţie al stâlpului în planul cadrului (Iy în EC3); l = lungimea grinzii în planul înclinat; h = înălţimea stâlpului;

R = rigiditatea stalpului

rigiditatea riglei

s

s

r r

II lh

I I hl

;

Ps = forţa axială din stâlp din analiza elastică; Pr = forţa axială din riglă din analiza elastică;

Ps,cr = 2

2sEI

h

= forţa critică de flambaj Euler a stâlpului;

Pr,cr = 2

2rEI

l

= forţa critică de flambaj Euler a riglei;

(a) Pentru baza stâlpului perfect articulată cu rigiditate 0:

3

1.20.3 1

rcr

r s

EI

l P l P hR

(IX.2)

care poate fi exprimat şi în funcţie de forţele de flambaj Euler ale riglei şi stâlpului:

, ,

1

4 3.3cr

sr

r cr s cr

PPR

P P

(IX.3)

(b) Pentru baza stâlpului articulată, dar care poate avea o rigiditate de pana la 10% din rigiditatea stâlpului sau 0.4EIs/h:

4.2 0.4

1.20.42 1.16

rcr

r s

R EI

l P l P hR

(IX.4)

şi care poate fi exprimat şi în funcţie de forţele de flambaj Euler ale riglei şi stâlpului:

, ,

1 0.1

2.9 2.7cr

sr

r cr s cr

R

PPR

P P

(IX.5)

(c) Pentru baza stâlpului rigidă dar care permite o uşoară flexibilitate:

22

5 10 0.8

52.6 4

cr

sr

r s

E R

P hPlR

I I

(IX.6)

care la fel poate fi exprimat şi în funcţie de forţele de flambaj Euler ale riglei şi stâlpului:

, ,

1 0.08

0.8 0.52cr

sr

r cr s cr

R

PPR

P P

(IX.7)

IX.3 Stâlp interior şi grindă de fiecare parte Metoda este similară cu cea din secţiunea IX.1, dar modificată pentru stâlpi interiori: Notaţiile sunt aceleaşi mai puţin: Prs = forţa axială în rigla din stânga din analiza elastică; Prd = forţa axială în rigla din dreapta din analiza elastică; Prs,cr = forţa critică de flambaj Euler a riglei din stânga = 2 2

rs sEI l ;

Prd,cr = forţa critică de flambaj Euler a riglei din dreapta = 2 2rd dEI l ;

Rs =

rigiditatea riglei din stanga

rigiditatea totala a riglelorrs s

rs s rd d

EI l

EI l EI l

;

Rd =

rigiditatea riglei din dreapta

rigiditatea totala a riglelorrd d

rs s rd d

EI l

EI l EI l

;

R2 =

rigiditatea stalpului

rigiditatea totala a riglelors

rs s rd d

EI h

EI l EI l

;

Irs = momentul de inerţie al riglei din stânga; Ird = momentul de inerţie al riglei din dreapta; ls = lungimea riglei din stânga; ld = lungimea riglei din dreapta. (a) Pentru baza stâlpului perfect articulată cu rigiditate 0:

2, , ,

1

4 3.3cr

rs rd cs d

rs cr rd cr c cr

P P PR R R

P P P

(IX.8)

care în cazul forţelor axiale din grinzi, secţiunilor şi lungimilor identice devine ecuaţia (IX.3):

2, ,

1

4 3.3cr

sr

r cr s cr

PPR

P P

(IX.9)


2

2, , ,

1 0.1

2.9 2.7cr

rs rd cs d

rs cr rd cr c cr

R

P P PR R R

P P P

(IX.10)

care în cazul forţelor axiale din grinzi, secţiunilor şi lungimilor identice devine de forma (IX.5):

2

2, ,

1 0.1

2.9 2.7cr

sr

r cr s cr

R

PPR

P P

(IX.11)


2

2, , ,

1 0.08

0.8 0.52cr

rs rd cs d

rs cr rd cr c cr

R

P P PR R R

P P P

(IX.12)

care în cazul forţelor axiale din grinzi, secţiunilor şi lungimilor identice devine de forma (IX.7):

2

2, ,

1 0.08

0.8 0.52cr

sr

r cr s cr

R

PPR

P P

(IX.13)

IX.4 Cadru parter cu stâlpi dublu articulaţi sau cu grindă de dolie Metoda a fost propusă de Davies (1990) şi apoi modificată pentru a putea lua în considerare, în mod explicit, rigiditatea bazei stâlpului. Se presupune că toate îmbinările de dolie ale riglelor înclinate sunt susţinute fie de stâlpi pendulari fie de rigle longitudinale. Se foloseşte un cadru simplu echivalent cu un singur stâlp dublu articulat, reprezentând o deschidere marginală. Contribuţia riglelor aparţinând primei deschideri, la stabilitatea laterală a cadrului este mică, aşa că este neglijată. Grinzile longitudinale de dolie, la fel, nu aduc o contribuţie apreciabilă la stabilitatea portalului şi nu îl destabilizează când sunt rezolvate corect, cu îmbinări rigide, la partea inferioara a două grinzi înclinate. Notaţiile sunt aceleaşi ca în IX.2, mai puţin:

Rp = 2 2

rigiditatea stalpului

rigiditatea perechii de riglesEI h

EI l , unde

pentru rigle de secţiune şi lungime egală I2 = momentul de inerţie al riglei în planul cadrului; l2 = lungimea perechii de rigle adiacente coamei;

dar pentru grinzi înclinate nesimetrice, I2/l2 este valoarea care dă raport dintre rigiditatea stâlpului şi rigiditatea perechii de grinzi înclinate. P2,cr = forţa critică de flambaj Euler a perechii de grinzi adiacente stâlpului exterior.

=

2

2

2

EI

l

pentru o pereche de grinzi înclinate simetrice.

(a) Pentru baza stâlpului perfect articulată cu rigiditate 0:

2 2

3

1.20.3 1 1

rcr

r s

EI

l P l N P hR

(IX.14)

care poate fi exprimat şi în funcţie de forţele de flambaj Euler:

2 , ,

1

4 3.3 1cr

srp

r cr s cr

PPR N

P P

(IX.15)


2 , ,

1 0.1

2.9 2.7 1

p

cr

sr

r cr s cr

R

PPR N

P P

(IX.16)


2 , ,

1 0.08

0.8 0.52

p

cr

srp

r cr s cr

R

PPR

P P

(IX.17)

BIBLIOGRAFIE Allen H.G. şi Bulson P.S. (1980). Background to Buckling. McGraw-Hill, London. Australian Standard AS4100-1990: Steel Structures, Homebush, Australia. Boissonade N., Greiner R., Jaspart J.P., Lindner J. (2006). New design rules in EN 1993-1-1 for

member stability. ECCS Technical Committee 8 – Structural Stability, P119, ECCS, Brussels.

Bradford M.A. (1989). Buckling of beams supported on seats. Structural Engineer, 69(23), 411–414.

BS 5950: The structural use of steelwork in building, Part 1: Code practice for design in simple and continuous construction: Hot rolled sections. British Standards Institutions-BSI, 1990.

Clark J.W. şi Hill H.N. (1960). Lateral buckling for beams. Proceedings ASCE, Journal of Structural Division, vol. 68, no. ST7.

Chen W.F. şi Atsuta T. (1976). Theory of Beam-Columns. Vol. 1 şi 2, McGraw-Hill. Dalban C., Chesaru E., Dima S., Şerbescu C. (1997). Construcţii cu structură metalică. Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti. Davies J.M. (1990). In-plane stability in portal frames. The Structural Engineer, Vol. 68, No. 8,

April 1990. Davies J.M. (1991). The stability of multibay portal frames. The Structural Engineer, Vol. 69,

No. 12, June 1991. Dowling P.J., Owens G.W., Knowles P. (1988). Structural Steel Design, Butterworths. Dubina D. (1996). Coupled instabilities in bar members-General Report. Coupled Instabilities in

Metal Structures – CISM’96 (Rondal J., Dubina D., Gioncu V., Eds.), Imperial College Press, London, 119-132.

Dubina D., Rondal J. şi Vayas I. (1997). Calculul structurilor metalice. Eurocode 3 – Exemple de calcul. Bridgeman, Timişoara.

Dubina D. (2000). Recent research advances and trends on coupled instability of bar members. General Report – Session 3: Bar Members. Coupled Instabilities in Metal Structures – CIMS’2000 (Camotin D., Dubina D., Rondal J., Eds.), Imperial Colleague Press, Lisbon, London, 131-144.

Dubina D., Ungureanu V., Zaharia R., Nagy Zs. (2004). Calculul şi proiectarea construcţiilor din profile metalice cu pereţi subţiri formate la rece. Editura AMM, Colecţia Lindab, Bucureşti, 256 p. ISBN 973-86509-4-1.

Dutheil J. (1966). Vérification des pièces comprimées. Principes Fondamentaux. Construction Métallique, 1966/2, 3.

ECCS (1976). Manual on stability of steel structures, Second edition, P022, ECCS Technical Committee 8, Structural Stability, European Convention for Constructional Steelwork, Brussels.

ECCS (1977). European recomendations for steel construction, P023, European Convention for Constructional Steelwork, Brussels.

EN 1090-2 (2008). Execution of steel structures and aluminium structures. Technical requirements for the execution of steel structures. European Committee for Standardization, Brussels.

EN 1993-1-1 (2005). Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

EN 1993-1-1 (2005). Corrigendum N1620E to EN 1993-1-1. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

EN 1993-1-3 (2006). Eurocode 3: Design of steel structures. Part 1-3: General Rules. Supplementary rules for cold-formed thin gauge members and sheeting. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

EN 1993-1-5 (2006). Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-5: Plated structural elements. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

ENV 1993-1-1 (1992). Eurocode 3: Design of Steel Structures. Part. 1.1: General rules and rules for buildings. Published by European Committee for Standardization, Brussels.

ESDEP (1994). European Steel Design Education Programme, Applied Stability. Lecture 6.1: Concepts of Stable and Unstable Elastic Equilibrium. The ESDEP Society – The Steel Construction Institute, Silwood Park – Ascot – Bekshire, United Kingdom (http://www.fgg.uni-lj.si/kmk/esdep/master/toc.htm).

Galambos T.V. (editor) (1988). Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures. John Wiley and Sons, 4th Edition, New York, 1988.

Galea Y. (1981). Abaques de deversement pour profiles lamines. Construction Metallique, 4, 39-51.

GP078-03: Ghid privind proiectarea halelor uşoare cu structură metalică. Buletinul Construcţiilor, vol.16, 2004.

Hancock G.J. (1998). Design of Cold-formed Steel Structures. 3rd Edition, Australian Institute of Steel Construction, Sydney.

Horne M.R. (1977). Safeguards against frame instability in the plastic design of single storey pitched roof frames. Conference on the Behaviour of Slender Structures, City University, London.

Kaim P. (2004). Spatial buckling behaviour of steel members under bending and compression. PhD Thesis. Graz University of Technology, Austria.

King C.M. (2001). Design of Steel Portal Frames to Eurocode 3. The Steel Construction Institute. Technical Report SCI Publication 164.

Maquoi R. şi Rondal J. (1978). Mise en equation des nouvelles courbes Europeenes de flambement, Construction Metallique, 1, 17-30.

Maquoi R. şi Jaspart J.P. (2002). A simple approach for the design of steel and composite sway building frames. ORBi - Open Repository and Bibliography (Belgium).

Martin L.H., Purkiss J.A. (2008). Structural Design of Steelwork to EN 1993 and EN 1994. Butterworth-Heinemann - imprint of Elsevier, UK. Third edition.

Mateescu D., Appeltauer I. şi Cuteanu E. (1980). Stabilitatea la compresiune a structurilor din bare de oţel. Editura Academiei Române, Bucureşti.

Mateescu D. şi Caraba I. (1979). Calcului şi proiectarea elementelor din oţel. Editura Tehnică, Bucureşti.

Merchant W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, vol. 32, 7, 185 - 190.

NB51-002: Charpentes en Acier. (Stări limită),Belgia, 1998. Nethercot D.A. (1991). Limit State Design of Structural Steelwork. 2nd edition, Chapman and

Hall. Rondal J. şi Maquoi R. (1979). Formulations d'Ayrton-Perry pour le flambement des barres

métalliquées. Construction Métallique, no. 4. Rondal J. şi Maquoi R. (1985). Stub-column strength of thin-walled square and rectangular

hollow sections. Thin-Walled Structures, 3(1985), p. 15-34. Rondal J. (1986). Thin-walled structures - General Report. În: Stability of Steel Structures (Ed.

Ivanyi M.), Akademiai Kiado, Budapest, Vol. 2, p. 849-866. Rondal J. (1992). Determination theoretique des contraintes residuelles dans les elements en acier

profiles a froid. Ce travail a recu le prix N.V. Bekaert S.A. 1992, octroye par le Fonds National de la Recherche Scientifique.

Schafer B. şi Peköz T. (1996). Geometric imperfections and residual stresses members. În: Proc. of the 13th International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures, St. Louis, Missouri, USA, 17-18 October, p. 649-664.

Schafer B. şi Peköz T. (1997). Geometric imperfections and residual stresses for use in the analytical modeling of cold-formed steel members. În: Experimental Model Research and

Testing of Thin-Walled Structures, Prague, Czech Republic, 22-24 September 1997, p. 287-302.

daSilva L.S., Simoes R., Gervasio H. (2010). Design of Steel Structures, Eurocode 3: Design of Steel Structures, Part 1-1: General rules and rules for buildings. Published by ECCS – European Convention for Constructional Steelwork, Eurocode Design Manuals, ISBN (ECCS) 978-92-9147-098-3, Wilhem Ernst & Sohn verlag, GmBH & Co. KG, Berlin.

SN003a-EN-EU NCCI: Elastic critical moment for lateral torsional buckling. Access Steel 2006 (www.access-steel.com).

SR EN 1993-1-1:2006: Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-1: Reguli generale şi reguli pentru clădiri. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-1:2006/NA:2008: Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-1: Reguli generale şi reguli pentru clădiri. Anexa Naţională. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-3:2007: Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-3: Reguli generale. Reguli suplimentare pentru elemente structurale şi table formate la rece. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-3:2007/NB:2008: Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-3: Reguli generale . Reguli suplimentare pentru elemente structurale şi table formate la rece. Anexa Naţională. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-5:2007: Eurocod 3: Proiectarea structurilor din oţel. Partea 1-5: Elemente structurale din plăci plane solicitate în planul lor. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SR EN 1993-1-5:2007/NA:2008: Eurocod 3: Proiectarea structurilor din oţel. Partea 1-5: Elemente structurale din plăci plane solicitate în planul lor. Anexă Naţională. Asociaţia de Standardizare din România (ASRO). Bucureşti.

SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Member design. Lecture 9: Local Buckling and Section.

SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Member design. Lecture 12: Unrestrained Beams.

SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Lecture 13: Columns

SSDATA (1999): Structural Steelwork Eurocodes –Development of a Trans-National Approach. Course: Eurocode 3. Module 4: Lecture 14: Beam-columns

STAS 10108 0-78: Calculul elementelor din oţel. Construcţii civile industriale şi agricole. Institutul Român de Standardizare.

Strating J., Vos H. (1973). Simulation sur ordinateur de la courbe CECM de flambement a l’aide de la methode Monte-Carlo, Construction Metallique, 2, 23-29.

Timoshenko S.P. şi Gere J.M. (1961). Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, 2nd Edition, New York.

Thompson J.M.T. şi Hunt G.W. (1973). A General Theory of Elastic Stability, John Wiley and Sons, London.

Trahair N.S. şi Bradford M.A. (1988). Behaviour and design of steel structures, 2nd edition, Chapman and Hall.

Vayas I., Dubina D. (2004). Cold-formed steel structures (in limba greacă). Kleidarithmos Publ., Athena.

Wood R.H. (1974): Effective Lengths of Columns in Multistorey Buildings. The Structural Engineer, vol. 52, (235-244; 295-302; 341-346).

manual stabilitate redactare i-a vs 2 02.09

Documents