UNIVERSITATEAPOLITEHNICA

TIMIOARA

FACULTATEA DE CONSTRUCII DEPARTAMENTUL DE CONSTRUCII METALICE I

MECANICA CONSTRUCIILOR Centrul de Excelenta pentru Mecanica Materialelor i Sigurana Structurilor

CEMSIGIoan Curea 1, 300224 Timioara, ROMNIA

TelefonDepartament: ++40.256.403911CEMSIG: ++40.256.403932

e-mail: dan.dubina@ct.upt.ro

Fax++40.256.403917++40.256.403932

http://cemsig.ct.upt.ro

Contract nr. 424/08.12.2009Verificarea la stabilitate a elementelor din oel n

conformitate cu SR EN 1993-1-1Recomandri de calcul, comentarii i exemple de

aplicare

Redactarea a II-a (final)

Timioara, Decembrie 2011

1COLECTIV DE ELABORARE

ef Proiect

Prof. Dr. Ing. Dan DUBIN _____________________

Membri:

Conf. Dr. Ing. Viorel UNGUREANU _____________________

Conf. Dr. Ing. Raul ZAHARIA _____________________

S.l. Dr. Ing. Adrian DOGARIU _____________________

Dr. Ing. Andrei CRIAN _____________________

Dr. Ing. Clin NEAGU _____________________

Drd. Ing. Iulia UCA _____________________

2CUPRINS

1. SCOP SI DOMENIU DE APLICARE

2. FENOMENUL DE PIERDERE A STABILITII. ASPECTE GENERALE

2.1 Pierderea stabiliti prin bifurcarea i prin limitarea echilibrului

2.1.1 Stri de echilibru

2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului

2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric2.3 Instabilitatea barelor ncovoiate2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu perei subiri

3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE3.1 Calculul ncrcrii critice de flambaj la prin ncovoiere la bare ideale comprimate centric. Determinarea lungimilor de flambaj3.2 Efectul imperfeciunilor

3.3 Flambajul prin rsucire. Flambajul prin ncovoiere-rsucire

3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a seciunilor transversale pentru profile cu perei subiri

3.5 Verificarea la flambaj a barelor comprimate centric n conformitate cu SR EN 1993-1-13.6 Voalarea elementelor realizate din plci plane

3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centric

3.7.1 Bare compuse din ramuri puin deprtate

3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu zbrele respectiv cu plcue

Exemplul E.1. Verificarea stabilitii generale a unui stlp solicitat la compresiune uniform (flambaj)Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilitii generale a unui element cu seciunea de clasa 4 solicitat la compresiune uniform

Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stlp cu blocaje lateraleExemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stlp dintr-un cadru multietajatExemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stlp in trepteExemplul E.6. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii a unui element compus solicitat la compresiune uniform

Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profil cu seciune de tip C format la rece, solicitat la compresiune

Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profil cu seciune de tip C format la rece, solicitat la ncovoiere

Exemplul E.9. Calculul unui stlp cu seciune transversal de tip C format la rece, solicitat la compresiune

34. ELEMENTE SOLICITATE LA NCOVOIERE4.1. Determinarea mom entuluicritic elastic pentru bare solicitate la ncovoiere4.2 Efectul modului de ncrcare i al condiiilor de rezemare

4.3 Efectul imperfeciunilor i efectul plasticizrii

4.4 Verificarea la flambaj lateral prin ncovoiere rsucire a barelor ncovoiate n conformitate cu SR EN 1993-1-1

4.4.1. Metoda general de calcul

4.4.2 Metoda alternativ de calcul pentru profile laminate sau seciuni sudate echivalente

4.5 Calculul momentului critic pentru grinzi cu seciune nchis din eav laminat

4.6 Metode pentru mbuntirea capacitii elementului structural ncovoiat

4.7 Metoda simplificat pentru grinzi cu legturi transversale, fcnd parte din structuri

Exemplul E.10. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire

Exemplul E.11. Determinarea rezistentei la pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire a unui element cu legaturi transversale continueExemplul E.12. Calculul unei grinzi cu seciune transversal de tip C format la rece, solicitat la ncovoiere

5. BARE SOLICITATE LA COMPRESIUNE I NCOVOIERE

5.1 Aspecte generale. Producerea fenomenelor5.2 Rezistena barelor comprimate i ncovoiate la pierderea stabilitii generale

5.2.1 Bazele teoretice5.2.2 Flambajul prin ncovoiere i flambajul prin ncovoiere-rsucire

5.3 Bare solicitate la ncovoiere i compresiune cu seciune transversal uniform. Utilizarea factorilor de interaciune folosind metoda din anexa A (Metoda 1), respectiv anexa B (Metoda 2) conform SR EN 1993-1-15.4 Metoda general de verificare a elementelor structurale la flambaj prin ncovoiere i flambaj prin ncovoiere rsucire a componentelor structurale

Exemplul E.13. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii interaciunea M-N

Exemplul E.14. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii a unui cadru portal

Exemplul E.15. Determinarea unei seciunii echivalente pentru verificarea elementelor cu seciune variabila solicitate la M-NExemplul E.16. Calculul unui stlp cu seciune transversal de tip C format la rece, solicitat la compresiune cu ncovoiere

ANEXA I: Coeficientul de zveltee transformat pentru barele cu seciuni cu o ax de simetrie solicitat la compresiune axial care flambeaz prin ncovoiere-rsucire

ANEXA II: Lungimi de flambaj ale stlpilor structurilor multietajateII.1 Baze teoreticeII.2 Determinarea lungimilor de flambaj ale stlpilor structurilor multietajate cu metodaWoodII.3 Metoda Merchant - Rankine

4ANEXA III: Lungimi de flambaj ale stlpilor structurilor parter

ANEXA IV: Lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zbrele

ANEXA V: Monogramele pentru coeficieni C1 i C2, pentru elemente structurale sub efectulcombinat al momentelor ncovoietoare aplicate la capete i al ncrcrilor transversale direct aplicate

ANEXA VI: Clase de seciuni

ANEXA VII: Calculul prin metoda elementului finit (MEF) conform Anexei C din SR EN 1993-1-5

VII.1 Utilizarea imperfeciunilor VII.2 Proprietile materialelor VII.3 ncrcri

ANEXA VIII: Imperfeciuni VIII.1 Imperfeciuni pentru analiza global a cadrelor VIII.2 Imperfeciuni pentru calculul sistemului de contravntuiri VIII.3 Imperfeciunile elementelor

ANEXA IX ncrcarea critic de flambaj elastic pentru cadre portal IX.1 Grinzi pereche de coam IX.1 Grinzi pereche de coam IX.3 Stlp interior i grind de fiecare parte IX.4 Cadru parter cu stlpi dublu articulai sau cu grind de dolie

BIBLIOGRAFIE

51. SCOP SI DOMENIU DE APLICARE

Lucrarea de fa poate fi utilizat la proiectarea, verificarea i expertizarea cldirilor i construciilor inginereti cu structura din oel.

Obiectul lucrrii l constituie verificarea la stabilitate a elementelor din oel n conformitate cu standardul SR EN 1993-1-1 Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oel. Partea 1-1: Reguli generale i reguli pentru cldiri.

Lucrarea are la baz prevederile standardelor SR EN 1993-1-1:2006 Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oel. Partea 1-1: Reguli generale i reguli pentru cldiri, SR EN 1993-1-3:2007 Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oel. Partea 1-3: Reguli generale. Reguli suplimentare pentru elemente structurale i table formate la rece, SR EN 1993-1-5:2007 Eurocod 3: Proiectarea structurilor din oel. Partea 1-5: Elemente structurale din plci plane solicitate n planul lor, SR EN 1990:2004 Eurocod: Bazele proiectrii structurilor, cu eratele/amendamentele si anexele naionale la acestea.

Recomandrile de verificare la stabilitate, comentariile i aplicaiile prezentate au drept scop clarificarea i explicitarea prevederilor, modelelor i metodelor de calcul privind comportarea elementelor din oel la pierderea stabilitii prezentate n standardul SR EN 1993-1-1, care reprezint versiunea n limba romn a EN 1993-1-1 Eurocode 3: Design of steel structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings.

Documentul trateaz verificarea la stabilitate a barelor din oel si nu trateaz verificarea la stabilitate a structurilor din plci plane solicitate la ncrcri n plan sau n afara planului i nici verificarea la stabilitate a plcilor curbe subiri.

Lucrarea se adreseaz proiectanilor de structuri din oel, executanilor de lucrri, precum i, dup caz, organismelor de verificare i control (verificarea i/sau expertizarea proiectelor; verificarea, controlul i / sau expertizarea lucrrilor).

Problemele de stabilitate a structurilor metalice sunt nu numai complicate dar i cu pondere major n asigurarea siguranei structurilor. Ca atare, sub coordonarea unor asociaii profesionale i institute de specialitate, la nivel european (Marea Britanie, Germania, Frana) i internaional (SUA) au fost elaborate numeroase ghiduri i manuale dedicate verificrilor i calculelor de stabilitate a diferitelor tipuri de elemente structurale (ECCS, 1976-1977), (Galambos, 1988),(ESDEP, 1994), (SSDATA, 1999), (daSilva et al, 2010), etc.

Pe plan naional nu exist recomandri de proiectare care s abordeze problema verificrilor de stabilitate n format Eurocode, n condiiile n care verificrile de stabilitate, n format SR EN 1993-1-1, difer formal de cele cu care proiectanii romni erau obinuii in conformitate cu STAS 10108/0-78. Versiunea final a Eurocodurilor se bazeaz pe cercetri recente i introduc astfel, formule de calcul noi, care permit o proiectare mai economic. De asemenea, n cadrul SR EN 1993-1-1 sunt date metodologii de rezolvare cu ajutorul programelor de calcul structural aunor probleme de stabilitate. Prin urmare, procedurile SR EN 1993-1-1 sunt noi nu numai nconinut, dar i ca form, n comparaie cu procedurile din STAS 10108/0-78.

Documentul de fa este conceput ca un instrument de explicitare i aplicare a SR EN 1993-1-1, avnd n vedere faptul c standardul european are o abordare complex, uneori confuz a problemelor de stabilitate a structurilor din bare. Spre exemplu, pentru elementele care i pot pierde stabilitatea prin ncovoierersucire, se dau trei metode, din care se alege, de ctre proiectant, cea care se aplic, existnd ns condiii impuse i restricii n aplicarea acestora la anumite cazuri sau clase de probleme.

6Lucrarea conine i informaii complementare, strict necesare n calcule, unele dintre acestea fiind prezentate datorit caracterului lor practic.

ntruct n standarde nu se dau indicaii pentru o serie de aspecte utile i necesare n activitatea de proiectare (determinarea momentului ncovoietor critic sau a altor formule similare;verificarea la stabilitate general a elementelor cu seciuni de clasa 4, care necesit consultarea SR EN 1993-1-1, SR EN 1993-1-3 i SR EN 1993-1-5; prevederi explicite pentru stlpii cu seciune variabil, liniar sau n trepte i cu condiii de rezemare altele dect cele corespunztoare cazurilor fundamentale), n lucrarea de fa sunt prezentate numeroase recomandri de calcul. Recomandrile au ca baz documentar pe lng nome europene de proiectare a structurilor din oel, i manuale de proiectare i rezultate ale unor programe de cercetare la nivel european, documente normative americane i lucrri de specialitate publicate de elaboratorii lucrrii.

n principiu, n SR EN 1993-1-1 modelele de calcul (formulele de calcul) au la baz modelele clasice din Rezistena materialelor i Teoria Elasticitii. Din acest punct de vedere, nu exist deosebiri fundametale ntre SR EN1993-1-1 i STAS 10108/78. Formatul este ns diferit n SR EN 1993-1-1, utiliznd n general noiunea de efort capabil, i nu pe cea de tensiune, aa cum era obinuit inginerul proiectant n Romnia, n baza STAS 10108/78. Raiunea pentru care se opereaz cu eforturi capabile este c, n acest fel, se face comparaia n mod direct cu solicitrile (eforturile) care se obin din calculul static.

n cuprinsul documentului s-au utilizat coeficienii de siguran stabilii prin Anexele Naionale. n SR EN 1993-1-1:2006/NA:2008 s-a pstrat valoarea recomandat n cadrul EN 1993-1-1, adic valoarea unitar pentru coeficientul parial de siguran M1 pentru verificarea destabilitate. n cadrul SR EN 1993-1-3/NB:2008, s-a adoptat coeficientul M1 =1,10 (fa de valoarea unitar recomandat n EN 1993-1-3) datorit fenomenului de interaciune a modurilor de flambaj local i general, care caracterizeaz comportarea profilelor cu perei subiri. n zona de interaciune, influena imperfeciunilor crete, producnd eroziunea ncrcrii critice teoretice.

72. FENOMENUL DE PIERDERE A STABILITII. ASPECTE GENERALE

2.1 Pierderea stabiliti prin bifurcarea i prin limitarea echilibrului

2.1.1 Stri de echilibru

Teoria clasic a stabilitii stabilete condiiile n care un sistem structural, sau un element structural aflat iniial n stare de echilibru, nceteaz a mai fi stabil. n termeni generali, stabilitatea unui sistem fizic poate fi definit ca abilitatea sistemului respectiv de a se ntoarce n starea de echilibru iniial, dup ce a fost uor perturbat.

Pentru un sistem mecanic (fenomenul de pierdere a stabilitii elementelor de rezisten utilizate n construcii poate fi descris utiliznd noiunile de mecanic clasic) poate fi adoptat definiia dat de Dirichlet: Echilibrul unui sistem mecanic este stabil, dac prin deplasarea punctelor sistemului din poziia de echilibru cu o cantitate infinitezimal i dnd fiecrui punct o vitez iniial, deplasrile diferitelor puncte ale sistemului rmn, n timpul micrii, coninute ntre anumite limite.

n spiritul definiiei date de Dirichlet, dac se consider un sistem elastic conservativ aflat iniial n stare de echilibru sub aciunea unui set de fore, sistemul va prsi starea de echilibru doar dac va fi acionat de o for exterioar sistemului iniial n echilibru (n conformitate cu prima lege a Mecanicii Clasice aa cum a fost enunat de Newton Legea ineriei). Considernd energia total, E, introdus n sistem de ctre fora perturbatoare, se poate scrie urmtoarea ecuaie de echilibru, n virtutea legii de conservare a energiei:

E = Ec + Ep = constant (2.1)

n care Ec este energia cinetic a sistemului, respectiv Ep este energia potenial a acestuia.

O cretere a energiei cinetice este nsoit de o scdere a energiei poteniale i invers, n conformitate cu legea conservrii energiei. Dac sistemul este iniial ntr-o configuraie de echilibru cu energie potenial minim, atunci energia potenial din ecuaia de conservare a energiei crete i n aceste condiii energia cinetic datorat micrii sistemului, trebuie s scad. Astfel, deplasarea din starea iniial de echilibru n urma perturbrii sistemului cu o for exterioar va rmne mic i starea de echilibru este una stabil.

Acest fenomen poate fi foarte bine ilustrat pe modelul mecanic binecunoscut din Figura 2.1, cuajutorul unui corp rigid sferic pe o suprafa curb. Dac n starea iniial de echilibru sfera se afl pe o suprafa concav (a se vedea Figura 2.1a), atunci echilibrul este stabil; dac sfera este scoas din poziia iniial cu energie potenial minim, aceasta va ncepe s oscileze i, n cele din urm, va reveni la poziia de echilibru. Dac sfera se afla pe o suprafa convex, ntr-o poziie de energie potenial maxim (a se vedea Figura 2.1c), atunci o perturbare a poziiei iniiale conduce la creterea energiei cinetice, respectiv la scderea energiei poteniale i sfera se va ndeprta cu vitez tot mai mare de poziia iniial de echilibru. n acesta situaie se spune c echilibrul este instabil. Starea de echilibru indiferent este ilustrat de modelul mecanic prin sfera pe un plan orizontal (a se vedea Figura 2.1b), n care pentru orice vecintate a poziiei iniiale de echilibru, energia potenial este aceeai.

Se poate face mai departe o analogie ntre comportamentul modelului mecanic cu corp rigid i comportamentul unui element structural (bara comprimat) pentru definirea strilor de echilibru ale acestuia. Se presupune bara ideal comprimat (perfect dreapt, fr imperfeciuni, cu un

8comportament de material perfect elastic) din Figura 2.1a, aflat iniial n stare nedeformat, solicitat la o for axial de compresiune N.

a) echilibru stabil b) echilibru indiferent c) echilibru instabilFig. 2.1: Analogia ntre comportamentul modelului mecanic cu corp rigid i comportamentul

unui element structural pentru definirea strilor de echilibru

Dac se perturb poziia de echilibru a acesteia, spre exemplu cu o for concentrat de intensitate redus aplicat orizontal la mijlocul nlimii, bara va suferi o ncovoiere. Poziia de echilibru stabil, prin analogie cu modelul mecanic, presupune ca dup anularea forei perturbatoare, bara revine n poziia dreapt sub aciunea forei N.

Dac se mrete treptat fora N, se constat c bara revine din ce n ce mai greu la poziia iniial nedeformat dup anularea forei perturbatoare. Pentru o anumit valoare a forei de compresiune N = Ncr, bara nu mai revine n poziia iniial dup anularea forei perturbatoare i va rmne n poziia deformat sub aciunea forei Ncr. Aceasta este situaia de echilibru indiferent pentru bara comprimat, n care, la limit, pot exista sub aciunea forei de compresiune Ncr, dou configuraii de echilibru a barei: poziia iniial dreapt, n absena forei perturbatoare, sau poziia deformat, dup aciunea forei perturbatoare cu intensitate redus.

Dac fora de compresiune este mai mare dect valoarea Ncr, bara se deformeaz accentuat la cea mai mic for perturbatoare. Depirea lui Ncr conduce la pierderea stabilitii echilibrului (cedarea elementului prin pierdere de stabilitate, sau cedarea elementului prin flambaj). Situaia N > Ncr corespunde situaiei de echilibru instabil.

2.1.2 Flambajul prin bifurcarea echilibrului

Exemplele intuitive prezentate mai sus arat c stabilitatea unui sistem este legat de energia potenial a acestuia. Cu toate acestea, stabilitatea unui sistem elastic (a unui element structural sau a unei structuri) poate fi exprimat i prin conceptul de rigiditate al sistemului. Cu referire la Figura 2.1a, n cazul modelului mecanic, derivata energiei poteniale n raport cu deplasarea este rigiditatea sistemului dat de panta suprafeei.

9n cazul barei comprimate, rigiditatea sistemului este dat de rigiditatea la ncovoiere a acesteia, care depinde de seciunea transversal, lungimea barei, modulul de elasticitate al materialului din care este alctuit i nu n ultimul rnd de condiiile de rezemare. Toate aceste caracteristici reprezint, n calculul structurilor pentru construcii, parametrii care condiioneaz fenomenul de instabilitate.

n consecin, o rigiditate pozitiv a sistemului implic o stare stabil de echilibru, n timp ce n situaia de echilibru indiferent rigiditatea devine nul. Pentru o structur de rezisten, rigiditatea este dat sub forma matriceal (matrice de rigiditate a structurii), care dac este pozitiv definit garanteaz starea de echilibru stabil a structurii. Punctul n care starea unui element sau sistem structural elastic trece din starea de echilibru stabil n cea de echilibru indiferent definete starea limit de stabilitate a elementului sau a structurii.

Comportamentul barei ideale comprimate din Figura 2.1 poate fi definit prin caracteristica for de compresiune sgeat la mijlocul barei deformate, aa cum se arat n graficul din Figura 2.2 (ESDEP, 1994). Punctul critic din acest grafic, corespunztor atingerii forei Ncr, dup care, pentru o fora perturbatoare foarte mic deplasrile sistemului devin mari i se produce flambajul barei, se numete punct de bifurcare. Acest tip de pierdere a stabilitii echilibrului unui element structural (sau a unei structuri), n care n punctul de bifurcare sunt posibile dou forme de echilibru, aa cum se arat i n Figura 2.2, una descris de caracteristica fora-deplasare primar de echilibru (echilibru instabil n configuraia nedeformat), respectiv de caracteristica secundar de echilibru, n configuraia deformat (curba post-critic), se numete pierdere de stabilitate prin bifurcarea echilibrului, sau flambaj prin bifurcare.

Fig. 2.2: Stabilitatea barei comprimate drepte fr imperfeciuni flambaj prin bifurcarea echilibrului (ESDEP, 1994)

Dac bara nu este iniial dreapt (exist imperfeciuni, definite printr-o curbur iniial a barei) sgeata crete odat cu ncrcarea N i nu se mai produce o pierdere de stabilitate brusc prin bifurcarea echilibrului; n acest caz exist o cretere continu accentuat a deplasrilor, aa cum se arat n Figura 2.3 (ESDEP, 1994). Acest fenomen este numit divergen a echilibrului i nu mai exist, n acest caz, o limit strict de stabilitate. Dac materialul rmne elastic, aa cum s-a

10

presolicitat iniial, rigiditatea barei comprimate (dat aici de panta caracteristicii for deplasare) este ntotdeauna pozitiv, dar o cretere mic de for axial implic un spor important de deplasare.

(a) Bara comprimata cu imperfeciuni (b) caracteristica for axial - deplasare Fig. 2.3: Stabilitatea barei comprimate drepte cu imperfeciuni iniiale (ESDEP, 1994)

Reducerea rigiditii unui element structural se datoreaz n general schimbrii n geometria acestuia, sau a proprietilor mecanice. Reducerea rigiditii datorit doar modificrii geometriei elementului n cazul elementelor ideale, cu un comportament de material perfect elastic, nucauzeaz ntotdeauna pierderea de stabilitate, dar conduce la deplasri mari. Pe de alt parte, reduceri substaniale de rigiditate ale elementului pot fi rezultatul schimbrii proprietilor mecanice, care conduc la cedarea elementului. Acest aspect important va fi discutat n seciunea 3.2. Este de menionat aici, totui, faptul c modelul fizic cel mai apropiat de realitatea fenomenului de instabilitate este cel al divergenei echilibrului, aa cum a fost definit n (Dutheil, 1966), care st la baza calculului de stabilitate al elementelor structurale din oel, n conformitate cu normele de calcul europene. Acest model se aplic la bara real, afectat de imperfeciuni, care pot fi asimilate cu o curbur iniial (a se vedea Figura 2.3a). Dac n acest model se ine cont i de plasticizarea materialului, odat cu creterea ncrcrii, gradul de plasticizare a celei mai solicitate seciuni transversale (seciunea de la mijlocul barei, pentru modelul de bar dublu-articulat la capete cu curbur iniial, solicitat la compresiune cu ncovoiere), micoreaz la un moment dat gradientul de cretere al momentului ncovoietor, obinut prin reducerea forelor interioare. Astfel, creterea efortului moment ncovoietor ajunge n divergen cu creterea momentului exterior (dat de fora de compresiune prin sgeata barei) i echilibrul devine instabil, producndu-se astfel cedarea barei (Mateescu .a., 1980). Aa cum s-a menionat anterior, aspectele legate de plasticizare vor fi reluate n seciunea 3.2. n continuare, n aceast seciune, se vor prezenta doar aspectele legate de cedarea prin flambaj a elementelor care prezint un comportament al materialului perfect elastic.

Dup punctul de bifurcare, aa cum a fost definit n Figura 2.2, pentru caracteristica de comportament for deplasare post-critic pot s apar trei situaii, funcie de tipul sistemului structural. Figura 2.4 prezint curbele de echilibru ale sistemului perfect, respectiv a sistemului cu imperfeciuni (imperfect) pentru cele trei situaii menionate. n aceast figur, N estencrcarea aplicat, este o deplasare a unui punct din structur i este amplitudineaimperfeciunii.

11

Figura 2.4a (ESDEP, 1994) prezint situaia flambajului prin bifurcare simetric stabil. n aceast situaie, comportamentul post-critic nu este afectat de semnul imperfeciunilor (spre exemplu, la bara comprimat cu imperfeciuni din Figura 2.3, nu conteaz sensul curburii iniiale n comportamentul post-critic). Imperfeciunile pozitive sau negative au efect similar i conduc la o curb post-critic stabil, n care creterea deplasrilor se face odat cu creterea ncrcrilor. Acest tip de comportament apare spre exemplu la bara dreapt comprimat (a se vedea Figura 2.2), la plci plane, sau la structuri, cum este cazul cadrului dublu-articulat din Figura 2.5 (ESDEP, 1994).

Figura 2.4b (ESDEP, 1994) prezint situaia flambajului prin bifurcare simetric instabil. n aceasta situaie, imperfeciunile joac un rol important n modificarea comportrii sistemului structural, acestea introducnd o ncrcare de cedare Nu mai mic dect ncrcarea critic. Acest tip de comportament apare spre exemplu la cilindrul circular comprimat sau la arcul dublu-articulat ncrcat radial, aa cum se arat n Figura 2.6 (ESDEP, 1994).

a) Bifurcare simetric stabil

b) Bifurcare simetric instabil

c) Bifurcare nesimetric Fig. 2.4: Comportamentul post-critic (ESDEP, 1994)

12

Figura 2.4c (ESDEP, 1994) prezint situaia flambajului prin bifurcare nesimetric. n aceast situaie, comportamentul post-critic depinde de sensul imperfeciunilor. Pentru valori mici ale imperfeciunilor negative, spre exemplu, aa cum se arat n Figura 2.4c, curba post-critic este stabil. Pentru valori mici ale imperfeciunilor pozitive, sistemul i poate pierde stabilitatea la o ncrcare limit Nu mult redus fa de ncrcarea critic Ncr. Un exemplu tipic de structur cu acest tip de comportament este prezentat n Figura 2.7 (ESDEP, 1994) (bara cotit, pentru care imperfeciunea pozitiv sau negativ este dat de punctul de aplicare al forei concentrate, spre exteriorul cadrului n cazul comportrii post-critice stabile, respectiv spre interiorul cadrului n cazul comportrii post-critice instabile).

Fig. 2.5: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric stabil (ESDEP, 1994)

Fig. 2.6: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric instabil (ESDEP, 1994)

Fig. 2.7: Exemplu de flambaj prin bifurcare simetric instabil (ESDEP, 1994)

13

n concluzie, flambajul prin bifurcarea echilibrului apare n general la structuri ideale, fr imperfeciuni, sau la structuri pentru care deformaia primar a componentei pre-critice nu cuprinde deformaia de instabilitate. n cazul n care deformata primar pre-critic cuprinde deformata de instabilitate, pierderea de stabilitate se produce, la fel ca n exemplul din Figura 2.7pentru imperfeciuni pozitive, prin limitarea echilibrului i ncrcarea limit n aceast situaie se numete ncrcare de limitare a echilibrului Nu. Nu toate structurile ideale, fr imperfeciuni, i pierd stabilitatea prin bifurcare; pot s apar situaii n care o structur fr imperfeciuni i pierde stabilitatea prin limitarea echilibrului.

2.1.3 Flambajul prin limitarea echilibrului

Aa cum s-a artat n 2.1.2, flambajul prin bifurcarea echilibrului nu este singura form de instabilitate care poate s apar. Pentru anumite structuri elastice, pentru care deformata pre-critic cuprinde deformata de instabilitate, flambajul prin limitarea echilibrului apare atunci cnd caracteristica ncrcare-deplasare iniial stabil devine instabil la atingerea unui maxim local al ncrcrii (ncrcarea de limitare a echilibrului Nu), denumit punct limit al sistemului structural, aa cum se arat n Figura 2.8 (ESDEP, 1994). n aceeai figur, se arat c pentru astfel de sisteme structurale, rspunsul aceluiai sistem cu imperfeciuni este similar cu cel al sistemului perfect, diferena constnd n valoarea ncrcrii Nui a sistemului cu imperfeciuni, care poate fi superioar sau inferioar ncrcrii Nu a sistemului perfect, funcie de sensul imperfeciunilor. Tipic pentru acest mod de pierdere al stabilitii este c dup atingerea ncrcrii Nu deplasrile cresc fr creterea suplimentar a ncrcrilor.

Fig. 2.8: Flambaj prin limitarea echilibrului pentru un sistem fr imperfeciuni geometrice, respectiv pentru un sistem cu imperfeciuni (imperfect) (ESDEP, 1994)

n cazul structurilor reticulate intr-un singur strat sau a arcelor pleotite, la care sgeata (nlimea) este mic n raport cu deschiderea, se produce aa numitul flambaj prin traversare, sau salt al echilibrului. n aceste situaii, dup atingerea ncrcrii de limitare a echilibrului, structura gsete alt poziie de echilibru, la care ajunge dup parcurgerea unor deplasri mari, aa cum se arat n figura 2.9 (ESDEP, 1994), pentru cazul unui sistem static determinat cu doua bare articulate. La aplicarea ncrcrii, caracteristica ncrcare-deplasare urmrete curba 0-1 din figura. n punctul 1 se atinge ncrcarea de limitare a echilibrului i sistemul trece brusc n poziia de echilibru 2, trecnd prin curba 1-3 de echilibru instabil (care nu este accesibila n procesul de ncrcare), respectiv prin curba 3-2 de echilibru stabil. In punctul 2 sistemul se gsete n poziie inversat fata de poziia iniial, aa cum se arat n figura 2.9 i suport creterea ncrcrii, care se produce pe o caracteristic ncrcare-deplasare stabil.

NUi

NUi

NU

14

Fig. 2.9: Saltul echilibrului (ESDEP, 1994)

2.2 Forme de instabilitate a barelor comprimate centric

Flambajul barelor zvelte comprimate centric se produce, n general, prin ncovoiere n jurul axeiprincipale minime de inerie a seciunii transversale, sub fora de compresiune critic, Ncr, aa cum se arata n Figura 2.10a.

n cazul barelor cu seciune transversal deschis, dublu-simetric (centrul de tiere coincide cu centrul de greutate), sau chiar cu seciune mono-simetric (T, corniere cu aripi egale), la care rigiditile la ncovoiere n raport cu axele principale sunt apropiate ca valoare, poate s apar flambajul prin rsucire sau torsiune, sub fora de compresiune critic, Ncr,T. Flambajul prinrsucire se produce prin rotirea seciunii transversale n jurul axei longitudinale, aa cum se arat n Figura 2.10b (da Silva .a., 2010).

Flambajul prin ncovoierersucire, sub fora critic de compresiune, Ncr,TF, apare la barele cuseciune transversal deschis mono-simetric sau cu seciune oarecare, la care centrul de tiere nu coincide cu centrul de greutate i pentru care rigiditatea la ncovoiere n raport cu axa de simetrie are valori apropiate de rigiditatea la ncovoiere n raport cu axa perpendicular cu axa de simetrie. Flambajul prin ncovoiere rsucire se produce prin rotirea seciunii transversale n jurul axei longitudinale, concomitent cu ncovoierea elementului n lungul axei, aa cum se arat n Figura 2.10c (da Silva .a., 2010).

Pierderea de stabilitate prin ncovoiere rsucire este caracteristica elementelor comprimate cu seciune transversal deschis, cum ar fi spre exemplu corniere, profile U, sau seciuni n T, pentru care rigiditatea la torsiune este redus. Evident, exist ntotdeauna posibilitatea pierderii stabilitii prin ncovoiere n raport cu axa de inerie principal minim i o astfel de verificare trebuie efectuat. Pentru barele comprimate cu seciune I sau H, modul critic de pierdere a stabilitii este, n mod normal, flambajul prin ncovoiere. Totui, n prezena imperfeciunilor, inerente, i aceste bare i pot pierde stabilitatea prin rsucire, prin urmare o verificare din acest

15

punct de vedere este necesar. Doar barele comprimate cu seciuni tubulare, circulare sau rectangulare, pot fi considerate la adpost de pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire.

a) ncovoiere b) Rsucire c) ncovoiere-rsucireFig. 2.10: Flambaj prin ncovoiere, rsucire i ncovoiere rsucire pentru bare comprimate

centric (da Silva .a., 2010)

2.3 Instabilitatea barelor ncovoiate

Dimensionarea barelor sub aciunea momentului ncovoietor conduce la seciuni cu rigiditate la ncovoiere mare n planul de aciune al momentului ncovoietor i mult mai redus n plan perpendicular. Flambajul lateral prin ncovoiere rsucire este caracterizat printr-o translaie a zonei comprimate a seciunii transversale (talpa comprimat, spre exemplu, n cazul profilelor I sau H), perpendicular pe planul de simetrie al seciunii care conine axa principal minim de inerie, concomitent cu o rsucire a seciunii elementului n jurul axei longitudinale (denumit n literatura de specialitate i lateral-torsional buckling, deversement sau flambajul general al grinzii conform STAS 10108/0-78, caracteristic barelor solicitate la ncovoiere pur). Aceast parte a seciunii transversale se comport ca un element comprimat, care i pierde stabilitatea prin ncovoiere, dar are deplasarea mpiedicat de zona ntins din seciune, care nu are iniial tendina de a se deplasa lateral. Aa cum se arat n Figura 2.11, n care flambajul lateral prin ncovoiere - rsucire este ilustrat pentru o grind n consol, deformarea rezultant a seciunii transversale include att ncovoierea lateral (dup axa minim de inerie a profilului) ct i torsiunea, de unde i denumirea fenomenului.

Fig. 2.11: Flambajul lateral prin ncovoiere - rsucire pentru elemente ncovoiate

16

2.4 Probleme specifice de stabilitate pentru profile cu perei subiri

Utilizarea profilelor cu grosimi reduse i a oelurilor cu rezistene ridicate implic rezolvarea unor probleme de proiectare deosebite, care nu sunt ntlnite n proiectarea structurilor din oel clasice. Instabilitatea structural se produce mai repede, ca rezultat al voalrii pereilor seciunii transversale, care interacioneaz cu flambajul global al elementului. Utilizarea oelurilor cu rezistene ridicate poate face ns ca tensiunea critic corespunztoare voalrii pereilor seciunii transversale s fie aproximativ egal cu limita de curgere.

n analiza comportrii barelor cu perei subiri trebuie s se in cont de cele trei moduri specifice de pierdere a stabilitii care apar, dup cum se prezint n Figura 2.12: 1. Modurile de instabilitate locale, care se produc prin voalarea unuia sau mai multor perei

componeni ai profilului. n acest caz nodurile care descriu seciunea transversal i pstreaz poziia iniial i, are loc deformarea pereilor ntre aceste noduri.

2. Modurile de instabilitate distorsionale, se produc atunci cnd rebordurile seciunii transversale nu au suficient rigiditate i, astfel, are loc o rotire a ansamblului talp-rebord n jurul inimii, deci nodurile care descriu seciunea transversal nu i mai pstreaz poziia iniial ca n cazul voalrii.

3. Modurile globale de instabilitate, se produc prin flambajul barei prin ncovoiere, prinncovoiere-rsucire (n cazul elementelor comprimate) sau prin ncovoiere lateral cu ncovoiere-rsucire (denumit n literatura de specialitate i lateral-torsional buckling, deversement sau flambajul general al grinzii conform STAS 10108/0-78, caracteristicbarelor solicitate la ncovoiere pur).

Modurile locale i distorsionale de instabilitate apar cu precdere n cazul zvelteilor de bar reduse, i sunt caracterizate de lungimi de semiund diferite. Flambajul local i cel prin distorsiune pot fi considerate ca fiind moduri de flambaj secional i pot interaciona att ntre ele ct i cu moduri globale de flambaj (Dubin, 1996).

Din punct de vedere al analizei de stabilitate, o bar cu perei subiri se caracterizeaz prin:

- zvelteea redus de bar ;- zvelteea redus de perete ( p );- fora critic elastic (Ncr) sau momentul critic elastic (Mcr) pentru flambajul de bar,

instabilitatea global; - fora critic (NL) pentru voalarea pereilor (instabilitatea local).

Funcie de valorile zvelteilor reduse i ( p ), respectiv de valoarea raportului (Ncr/NL), sedisting trei categorii de bare:

- bare scurte, care sunt caracterizate de instabilitatea local sau distorsional; - bare lungi, care sunt caracterizate de instabilitatea global; - bare de lungime medie, la care apar i interacioneaz ambele moduri de instabilitate.

n Figura 2.12 se prezint cteva moduri de flambaj simple i cuplate pentru o seciune C solicitat la compresiune. Rezultatele au fost obinute printr-o analiz de stabilitate cu element finit.

Pentru o seciune dat se pot obine diferite moduri de pierdere a stabilitii funcie de lungimea de flambaj, aa cum se arat n Figura 2.13 (Hancock, 1998). Rezultatele din Figura 2.13 s-au obinut n urma unei analize cu un program bazat pe metoda fiilor finite i descrie modificarea

17

forei critice de flambaj funcie de lungimea de semiund. Primul minim (punctul A) apare pecurb la o lungime de semiund de 65mm i reprezint flambajul local. Flambajul local se produce prin deformarea inimii elementului, fr rotirea ansamblului talp-rigidizarea n jurul punctului de legtura dintre inim i talp. Al doilea minim pe curb apare n punctul B, la olungime de semiund de 280mm. Acesta este modul de flambaj prin distorsiune, i se produce prin rotirea ansamblului talp-rigidizarea fa de inima profilului, fr o deplasare de ansamblu a seciunii transversale. Efortul corespunztor flambajului prin distorsiune (n punctul B) este uor mai mare dect efortul corespunztor flambajului local (n punctul A) i n cazul unui profil lung solicitat la compresiune, mpiedicat s flambeze global, este de ateptat ca acesta s i piard stabilitatea prin flambaj local, mai repede dect printr-un flambaj prin distorsiune. Elementul i pierde stabilitatea general prin ncovoiere sau ncovoiere-rsucire la lungimi de semiund mari (punctele C, D i E). n acest caz particular, pentru seciunea considerat n Figura 2.13, pierderea stabilitii prin ncovoiere-rsucire apare pn la lungimi de semiund de aproximativ 1800mm. La lungimi de semiund mai mari se produce flambajul prin ncovoiere.

(a) (b) (c) (d) (e)

(f) (g) (h) (i) (j) (k)Fig. 2.12: Moduri de flambaj pentru un profil C format la rece comprimat

Moduri simple: (a) local (L); (b) distorsional (D); (c) ncovoiere (F); (d) torsional (T); (e) ncovoiere-rsucire (FT). Moduri cuplate (interaciune): (f) L + D; (g) F + L; (h) F + D; (i) FT + L; (j) FT + D; (k) F + FT.

Linia punctat din Figura 2.13, adugat figurii originale (Hancock, 1998), reprezint curba modurilor cuplate de flambaj. Efectul interaciunii dintre modurile de flambaj secionale i globale const n creterea sensibilitii elementului la imperfeciuni, conducnd la eroziunea ncrcrii critice de flambaj (zonele haurate n Figura 2.13). De fapt, n realitate, datorit

18

prezenei imperfeciunilor, interaciunea modurilor de flambaj apare ntotdeauna n cazul profilelor formate la rece cu perei subiri, n special n cazul barelor cu lungimi medii i lungi.

Incovoiere-rasucire

AB

Rez

iste

nta

lafla

mba

j(M

pa)

800

700

600

500

400

300

200

100

010 100 1000 10000

Lungime de semi-unda (mm)

VoalareDistorsiune

Flambaj prinincovoiere-

rasucire

Toate modurile (interactiune)

65mm 280mm

C

D E

Fig. 2.13: Moduri de flambaj funcie de lungimea de semiund pentru un profil C solicitat la compresiune (Hancock, 1998)

Figura 2.14 arat diferena de comportament dintre o bar cu perei groi i o bar de aceeai lungime cu perei subiri. Att cazul barei ideale ct i cazul barei cu imperfeciuni sunt prezentate. Pentru prima situaie (bara cu perei groi), se poate observa c n punctul B, cndfibrele marginale ncep s se plasticizeze, bara ncepe s i piard rigiditatea pn la atingerea strii limit ultime, Nu, n punctul C, dup care tinde asimptotic spre curba teoretic de comportament rigid-plastic. Teoria elastic permite determinarea deplasrilor i tensiunilor pn n punctul n care se atinge limita de curgere. Poziia curbei rigid-plastice determin limita absolut a capacitii portante.

f0

f

N

N

N

Npl

Ncr

Nu

f0

Initiatiere plastificare

B

C DElasto-plastic

Rigid-plastic

Ideal elastic

Elastic cu imperfectiuni

f

N

Npl

Ncr

Nu

NL

f0

Aparitie voalare

L

C DElasto-plastic

Rigid-plastic

Ideal elastic

Elastic cu imperfectiuni

f

Initiatiere plastificare

B

Fig. 2.14: Comportarea unui profil comprimat cu (a) seciune obinuit i (b) perei subiri

n cazul n care bara este cu perei subiri, fenomenul de instabilitate prin voalare local a pereilor apare naintea nceputului plastificrii seciunii, n punctul L. Prin voalarea pereilor

19

apare o pierdere prematur de rigiditate a barei, ns nu se produce cedarea acesteia. Plastificarea ncepe n punctul B, la colurile seciunii transversale, cu puin nainte de cedarea elementului, cnd flambajul secional se transform ntr-un mecanism plastic local, simultan cu apariia flambajului general (Dubina, 2000). n acest caz, ncrcarea ultim a barei este mai mic dect cea a unei bare la care nu apare voalarea. De fapt, flambajul secional apare naintea flambajului general, iar n practica proiectrii se opereaz cu caracteristici geometrice reduse ale seciunii transversale.

20

3. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE

3.1 Calculul ncrcrii critice de flambaj la prin ncovoiere la bare ideale comprimate centric. Determinarea lungimilor de flambaj

Aa cum s-a artat n 2.1, ncrcarea critic elastic de flambaj prin ncovoiere, Ncr (ncrcarea critic Euler), se definete ca fiind valoarea forei de compresiune pentru care, o bar ideal, ncrcat exclusiv cu fora axial, poate s prezinte i deplasri laterale. Flambajul prin ncovoiere a unei bare ideale comprimate centric este ilustrat n Figura 3.1 (da Silva .a., 2010). ncrcarea critic corespunde punctului de bifurcare a echilibrului.

Pentru calculul ncrcrii critice elastice a barei comprimate rezemata articulat la ambele capete, cu seciune transversal constant pe toata lungimea elementului, se consider urmtoarele ipoteze:

- materialul are un comportament liniar elastic;- nu exist imperfeciuni geometrice i nici tensiuni reziduale; - ncrcarea se aplic perfect centric; - este valabil teoria micilor deplasri.

Fig. 3.1: Flambajul prin ncovoiere al barei ideale (Euler) (da Silva .a., 2010)

Pn n momentul atingerii ncrcrii critice elastice de pierdere a stabilitii, bara se deformeaz doar axial. Dup pierderea stabilitii, bara este ncovoiat i apar deplasri laterale. Condiia de echilibru static n poziia deformat, lund n considerare i momentul ncovoietor produs de fora axial (dup axa z) prin deplasrile laterale, este dat de urmtoarea ecuaie:

022

Nydx

ydEI (3.1)

n care E este modulul de elasticitate al materialului i I este momentul de inerie al seciunii transversale dup axa perpendicular pe planul ncovoierii (dup axa z).

Ecuaia diferenial are soluia:

kxCkxCy cossin 21 (3.2)n care: 2 /k N EI .

21

Impunnd condiiile de margine (deplasrile laterale sunt nule pe reazeme), rezult: pentru y(x = 0) = 0 C2 = 0;pentru y(x = L) = 0 C1 sin (k L) = 0;

soluia C1 = 0, care nu intereseaz, deoarece nseamn c bara nu se deformeaz, sau rmne rezolvarea ecuaiei sin (k L) = 0:

soluia k = 0 nu intereseaz, deoarece nseamn c P = 0 i deci nu ar exista fora de compresiune, soluia ecuaiei este, n aceste condiii kL = n.

ncrcarea critic de pierdere a stabilitii se obine n consecin din:

EIN

LnknkL 2

222 (3.3)

ncrcarea critic minim, corespunztoare configuraiei deformate din Figura 3.1 este dat de formula:

2

2

LEINcr

(3.4)

n concluzie, pentru o bar ideal, ncrcarea critic elastic de pierdere a stabilitii depinde de rigiditatea la ncovoiere, de lungimea acesteia i de condiiile de rezemare. Pentru alte condiii de rezemare, ca alternativ la rezolvarea ecuaiei difereniale, ncrcarea critic poate fi obinut direct, nlocuind n formul lungimea real L cu lungimea de flambaj Lcr. Lungimea de flambajLcr a unui element este definit ca lungimea barei echivalente dublu articulate, pentru care ncrcarea critic este egal cu ncrcarea critic a barei reale. Lungimea de flambaj mai poate fi definit ca fiind distana dintre dou puncte de inflexiune succesive pe deformata de pierdere a stabilitii barei, egal cu lungimea unei semiunde. Aceasta interpretare este ilustrat n Figura 3.2 (da Silva .a., 2010), n care sunt artate lungimile de flambaj pentru bara ideal cu diverse condiii de rezemare.

Fig. 3.2: Lungimea de flambaj Lcr funcie de lungimea real a barei, pentru diverse condiii de rezemare (da Silva .a., 2010)

22

Tensiunea critic se obine mprind ncrcarea critic la aria seciunii transversale a barei:

2

2

2

2

EAL

EIE

cr (3.5)

n care = Lcr / i este zvelteea barei i /i I A este raza de giraie a seciunii.

Pentru o bar fr imperfeciuni, cu un material avnd un comportament elasto-plastic (aa cum se poate considera, n mod ideal, pentru oelul obinuit pentru construcii), cedarea se produce prin flambaj n domeniul elastic, dac tensiunea critic este inferioar limitei de curgere fy.Pentru o bar scurt, cu zveltee redus, cedarea se produce prin curgerea seciunii transversale, cnd tensiunea aplicat este egal cu limita de curgere, adic atunci cnd = NA = fy.

Limita dintre cele dou tipuri de comportament este dat de o valoare a zvelteii, notat 1, caredepinde de limita de curgere a materialului, dat de:

2

121

cr yy

E Eff

(3.6)

Funcie de zvelteea 1, zvelteea relativ a barei (adimensional) se obine cu formula:

cr

y

NAf

1

(3.7)

Comportamentul unei bare fr imperfeciuni, solicitat la compresiune, funcie de zvelteea acesteia, este reprezentat n Figura 3.3.

Fig. 3.3: Relaia tensiune zveltee pentru bara comprimat fr imperfeciuni

3.2 Efectul imperfeciunilor

n structurile reale, imperfeciunile nu pot fi evitate i, n general, cedarea se produce nainte de atingerea valorii ncrcrii critice, aa cum a fost definit anterior. Imperfeciunile pot fi

23

clasificate n dou tipuri: imperfeciuni geometrice (curburi ale elementelor, excentriciti ale ncrcrilor) i imperfeciuni de material (tensiuni reziduale).

Pentru a determina efectul imperfeciunilor, se consider bara comprimata din Figura 3.4a (da Silva .a., 2010), cu o configuraie iniial deformat cu o curbur sinusoidal:

Lxey sin00 (3.8)

Ecuaia diferenial a echilibrului barei dublu-articulate cu imperfeciuni este:

0)( 022

yyNdx

ydEI (3.9)

a) Deformata iniial sinusoidal b) relaia ncrcare deplasare laterala Fig. 3.4: Bara cu imperfeciune iniial (da Silva .a., 2010)

Introducnd expresia (3.8) n ecuaia (3.9) i considernd condiiile de margine y(0)=0 i y(L)=0,se obine urmtoarea soluie:

Lx

NN

eycr

sin1

0 (3.10)

n care Ncr este ncrcarea critica elastic Euler.

Ecuaia deformatei totale a elementului se obine funcie de ncrcarea aplicata N cu formula:

Lxe

NNyyy

cr

tsin

1

100 (3.11)

Valoarea maxim, notat cu e, care se obine pentru x=L/2, este dat de formula:

24

crNN

ee

1

0 (3.12)

O deformat iniial a barei, chiar pentru valori reduse ale forei axiale N, produce un momentncovoietor, dat de formula:

Lxe

NNNyyNxM

cr

sin1

1)()( 00 (3.13)

care cauzeaz o cretere progresiva a deplasrii laterale.

Relaia dintre deplasarea lateral maxim i ncrcarea aplicat este reprezentat n Figura 3.4.b. Pentru un element cu un comportament de material perfect elastic, cu o configuraie iniial deformat, deplasrile ncep s creasc de la valori reduse ale ncrcrii, n mod asimptotic, pe msur ce ncrcarea aplicat tinde spre ncrcarea critic (pentru bara fr imperfeciuni). n aceast situaie, nu mai exist punct de bifurcare a echilibrului.

Referitor la imperfeciunile de material, n cazul elementelor din oel, tensiunile reziduale apar datorit rcirii difereniate pe seciunea transversal, n urma laminrii la cald sau a altor procese tehnologice care implic temperaturi nalte (sudare, tiere cu flacr etc.), sau n urma formrii seciunilor transversale la rece prin ndoire. Aceste tensiuni schimb comportamentul seciunii transversale pe ansamblu, chiar dac formeaz un sistem n echilibru, aa cum se arat n Figura 3.5 (daSilva .a., 2010), n care se exemplific distribuia tensiunilor reziduale care apar pe seciunea transversal a unui profil I n urma laminrii la cald.

Fig. 3.5: Tensiuni reziduale ntr-un profil I laminat la cald (da Silva .a., 2010)

Figura 3.6 (da Silva .a., 2010) ilustreaz rezultatele unor teste experimentale pe bare comprimate, avnd zveltei diferite, n comparaie cu comportamentul teoretic al elementelor fr imperfeciuni (ECCS, 1976). Se observ c pentru valori reduse ale zvelteii relative, cedarea barei se produce prin plastificarea seciunii transversale (valorile raportului tensiune / limit de curgere mai mari dect unitatea apar datorit ecruisrii). Pentru valori mari ale zvelteii relative, cedarea se produce prin flambaj n domeniul elastic, imperfeciunile neavnd o influen important. Pentru valori intermediare ale zvelteii relative, cedarea se produce prin flambaj elasto-plastic. Acesta este domeniul n care imperfeciunile joac un rol important, n care rezultatele experimentale deviaz mult de la curba teoretic.

compresiune

ntindere

25

Calculul rezistenei barelor comprimate centric n SR EN 1993-1-1, se bazeaz pe curbele europene de flambaj (ECCS, 1977), care relaioneaz raportul tensiune i limita de curgere (dat

de factorul de reducere = / fy) i zvelteea adimensional . Ca rezultat al unui importantprogram experimental i numeric (ECCS, 1976), care a considerat toate imperfeciunile posibile ale elementelor reale (curbura iniial, excentricitate a ncrcrii, tensiuni reziduale), au fost stabilite cinci curbe de flambaj, funcie de tipul seciunii transversale i axa principal a seciunii transversale dup care se produce flambajul. Imperfeciunile au fost definite statistic n urma unei campanii extinse de msurtori (Strating i Vos, 1973) care a permis adoptarea unor imperfeciuni iniiale sinusoidale n simulrile numerice.

Fig. 3.6: Rezultate experimentale pe elemente comprimate (da Silva .a., 2010)

Formularea analitic a curbelor de flambaj (determinarea factorului de reducere ), prezentat n continuare (Maquoi i Rondal, 1978), este bazat pe formula Ayrton-Perry, considernd o deformat iniial sinusoidal, n care amplitudinea deformatei a fost calibrat astfel nct s reproduc efectul tuturor imperfeciunilor.

Pentru a calcula factorul de reducere , se consider elementul comprimat centric, dublu-articulat, cu o configuraie a deformatei iniiale sinusoidal, dat de formula (3.8). Considernd c elementul nu are tensiuni reziduale, plastificarea fibrelor extreme ale seciunii transversale se produce cnd este ndeplinit urmtoarea condiie:

yel

fW

eNA

N maxmax (3.14)

n care:Nmax este valoarea maxim a forei de compresiune N (limitat de Ncr);e este deplasarea lateral corespunztoare forei Nmax;Wel este modulul de rezisten elastic al seciunii transversale.

Relaia poate fi scris ntr-o forma adimensional nlocuind amplitudinea deformatei cu formula (3.12) i mprind toi termenii la fy:

11 max

0maxmax

plcr

pl

plel

pl NNN

NNW

AeNNN (3.15)

curba Euler

26

Dac se noteaz plNN /max se obine:

1)1(

02

elWAe

(3.16)

sau

elWAe02 )1)(1( (3.17)

care reprezint forma de baz a ecuaiei Ayrton-Perry (Maquoi i Rondal, 1978). Notaia reprezint imperfeciunea generalizat iniial care poate fi utilizat pentru estimarea efectelor tuturor imperfeciunilor care apar ntr-un element real. Deoarece influena unora dintre aceste imperfeciuni este legat de lungimea elementului, s-a ales exprimarea termenului prinurmtoarea formul:

)2.0( (3.18)

n care factorul de imperfeciune depinde de forma seciunii transversale, axa principal dup care se produce flambajul etc., iar 0.2 definete lungimea platoului n lungul cruia factorul de reducere are valoare unitara.

Formula (3.17) poate fi rescris:

)2.0()1)(1(2

(3.19)

iar soluia minim a ecuaiei este:

2

22

(3.20)

n care

])2.0(1[5.02

(3.21)

Expresia final a factorului de reducere, care ine cont de riscul de pierdere al stabilitii elementului comprimat prin ncovoiere, aa cum se regsete i n SR EN 1993-1-1, este (funcie de zvelteea adimensional i de factorul de imperfeciune):

22

1

(3.22)

3.3 Flambajul prin rsucire. Flambajul prin ncovoiere-rsucire

Aa cum s-a artat n paragraful 2.2, n cazul barelor cu seciune transversal deschis, este posibil ca rezistena barei la flambaj prin rsucire sau prin ncovoiere-rsucire s fie inferioar rezistenei la flambaj prin ncovoiere.

ncrcarea critic de flambaj prin rsucire pentru elemente comprimate centric se calculeaz cu formula:

27

2

, 2 21 w

cr T to T

EIN GI

i L

(3.23)

ncrcarea critic de flambaj prin ncovoiere-rsucire pentru elemente comprimate centric se calculeaz cu formula (a se vedea Figura 2.9c):

2, , , , , , ,

1 ( ) ( ) 42cr TF cr y cr T cr y cr T cr y cr T

N N N N N N N

(3.24)

n care:io este raza de giraie polar, 2 2 ( ) /o o y zi y I I A ;G It este rigiditatea la torsiune a seciunii transversale; It este momentul de inerie la rsucire liber al seciunii transversale; E Iw este rigiditatea la rsucire mpiedicat a seciunii transversale; Iw este momentul de inerie la rsucire mpiedicat al seciunii transversale; LT este o lungime de flambaj echivalent care depinde de condiiile de rezemare din punct de vedere al rsucirii i deplanrii la capetele seciunii; Ncr,y este ncrcarea critic pentru flambaj prin ncovoiere dup axa de inerie y-y a seciunii transversale (axa y-y este ax de simetrie); Atunci cnd seciunea este simetric dup axa z-z, n ecuaia (3.24), Ncr,y trebuie nlocuit cu Ncr,z. este un factor care se calculeaz cu formula =1(yo / io)2, n care yo este distana n lungul axei y dintre centrul de tiere i centrul de greutate al seciunii transversale.

n Anexa I se prezint coeficientul de zveltee transformat pentru barele cu seciuni cu o ax de simetrie solicitat la compresiune axial care flambeaz prin ncovoiere-rsucire.

3.4 Determinarea caracteristicilor eficace a seciunilor transversale pentru profile cu perei subiri

n seciunea 2.4 s-au prezentat problemele specifice de stabilitate pentru profilele din oel cu perei subiri. Reducerea rigiditii barei cu seciune transversal de acest tip, ca urmare a voalrii, poate fi modelat cu ajutorul unei seciuni transversale reduse a profilului n comparaie cu seciunea sa brut. Aceast seciune se numete seciune eficace i se obine evalund limile eficace ale pereilor.

Pentru definirea limii eficace de perete, se poate utiliza exemplul unui element comprimat. De exemplu, inima profilului se comport ca o plac rectangular lung, perfect plan iniial, articulat dup cele dou laturi longitudinale i solicitat n sens longitudinal unei solicitri de compresiune uniform (a se vedea Figura 3.7).

Cnd aceast compresiune uniform depete efortul unitar critic de voalare cr al plcii, apar

unde de voalare care se amplific pe msur ce crete tensiunea. Fibrele longitudinale situate nzona undelor, datorit curburii lor, prezint o rezisten mai mic la compresiune, care se va descrca asupra zonelor mai rigide, ctre reazeme. Rezult o diagram de efort unitar care prezint o adncitur la mijlocul lungimii ei, respectiv valori majorate ctre reazeme. n final, aceste valori majorate pot atinge limita elastic a materialului fy (a se vedea Figura 3.8).

28

Fig. 3.7: Voalarea pereilor comprimai

b b b

1max2max

fy< 1max < cr 2max = fy

Fig. 3.8: Starea de efort unitar ntr-un perete plan care voaleaz

Pornind de la aspectul diagramelor din Figura 3.8, a aprut ideea nlocuirii plcii n stare voalat prin dou fii longitudinale, avnd fiecare limea beff/2 i reprezentnd zona eficace (activ) a seciunii. Astfel, rezult efortul unitar majorat max considerat uniform pe ntreaga lime

eficace, aa cum se vede din Figura 3.9.

P>Pcrb

a

yx

P>Pcrmax

med

x

P>Pcrb

P>Pcr

a

ybef/2

x(y)

max

bef/2

Fig. 3.9: Seciunea eficace a unui perete voalat

Se admite c rezistena ultim a plcii se atinge atunci cnd max devine egal cu fy. Pentru adetermina limea eficace beff a plcii n stare limit ultim, se utilizeaz ipoteza lui Von Karman (autorul conceptului de lime eficace) conform creia tensiunea max corespunznddomeniului post critic, este egal cu tensiunea critic elastic corespunznd limii eficace, deci max cr eff .

tiind c n general tensiunea critic de voalare a plcii se scrie:

2

p2

2cr b

t)1(12

Ek

(3.25)

rezult:

29

2 22

max 2( ) 12(1 )p

cr eff creff eff

bE tkb b

(3.26)

n care:k este coeficient de voalare;E este modul de elasticitate; este coeficientul lui Poisson.

La starea limit ultim:

2

max .p

cr yefeff

bf

b

(3.27)

sau:

eff cr

p y

bb f

(3.28)

Deci, conform ultimei relaii, limea eficace, beff, se obine nmulind limea plan total a plcii, bp, cu un coeficient de reducere 1 (deci eff pb b ), n care:

py

cr 1f

(3.29)

iarcr

yp

f

este zvelteea redus de plac.

Coeficientul de voalare k ia valori diferite funcie de modul cum este rezemat placa i de tipul solicitrii n planul plcii (compresiune, ncovoiere, forfecare). Astfel, se poate face deosebirea ntre pereii rigidizai (plci rezemate pe cele dou laturi longitudinale) i pereii nerigidizai (plci rezemate pe o singur latur longitudinal). Pe baza limilor eficace determinate, se pot obine mai departe caracteristicile eficace ale seciunii.

Procedeul de fabricaie influeneaz anumite caracteristici mecanice i geometrice ale profilelor formate la rece. n primul rnd, formarea la rece produce modificarea curbei caracteristice aoelului. Prin ecruisare, laminarea la rece conduce la creterea limitei de curgere, uneori i a rezistenei la rupere, fenomen mai accentuat n colurile profilelor i apreciabil n inimi i tlpi. Presarea la rece las aceste caracteristici aproape neschimbate n inimi i tlpi.

Profilele laminate la cald sunt afectate de tensiuni reziduale de tip membran, care depind de forma seciunii transversale i au o influen semnificativ asupra comportamentului la stabilitate. De aceea, tensiunile reziduale au constituit factorul cel mai important pentruncadrarea profilelor laminate la cald pe diferite curbe de flambaj n normele de calcul europene.n cazul profilelor formate la rece, tensiunile reziduale sunt n principal de ncovoiere, iarinfluena acestora asupra comportamentului la stabilitate este mai puin important dect cele de tip membran. Pe de alt parte, procedeul de formare la rece influeneaz mrimea tensiunilor reziduale; laminarea la rece produce tensiuni reziduale de ncovoiere mai mari dect presarea larece. Datorit faptului c proprietile mecanice ale profilelor formate la rece sunt diferite de cele ale profilelor formate la cald, ar trebui luate n considerare curbe de flambaj distincte, dar pentru

30

simplitatea procesului de proiectare se utilizeaz aceleai curbe de flambaj ca i pentru profilele formate la cald.

n Figura 3.10 se prezint comparaia dintre curbele de flambaj pentru un profil C solicitat la compresiune, calculate n conformitate SR EN 1993-1-1, considernd caracteristicile brute aleseciunii transversale (fr considerarea flambajului local) i caracteristicile reduse ale seciunii (caz n care se produce interaciunea dintre modul secional i cel global).

N=N/Npl(Npl=Afy)

NE (Euler)

Sectiune redusa (Aeff)

1.0

N=Aeff/A

31

seciunilor transversale. n evaluarea Nc,Rd, gurile pentru uruburi pot fi neglijate, dac n acestea se afl uruburi de prindere, cu excepia gurilor ovalizate i a celor de dimensiuni mari, aa cum sunt definite n SR EN 1090-2. Caracteristicile eficace ale seciunilor de clas 4 se calculeaz n conformitate cu SR EN 1993-1-3 i SR EN 1993-1-5.

n Anexa VI se prezint clasificarea seciunilor transversale n clase de seciuni, funcie de supleea pereilor seciunii i de distribuia i semnul tensiunilor .

Pentru elemente comprimate trebuie verificat de asemenea rezistena la flambaj cu urmtoarea formula:

,1Ed

b Rd

NN

(3.32)

n care Nb,Rd este rezistena de calcul a elementului comprimat la flambaj, care controleaz, de obicei, dimensionarea seciunii transversale.

Rezistena de calcul la flambaj a unei bare comprimate este egal cu: - pentru seciunile transversale din Clasa1, 2 sau 3

, 1/b Rd y MN A f (3.33)

- pentru seciunile transversale din Clasa 4

, 1/b Rd eff y MN A f (3.34)

n care este factorul de reducere pentru modul de flambaj considerat, iar M1 este coeficientulparial de siguran pentru rezistena elementelor la flambaj.

Aa cum s-a artat n paragraful 3.2, factorul de reducere se calculeaz cu formula:

,122

dar 0.1 (3.35)

n aceast expresie, ])2.0(1[5.02

, iar zvelteea adimensional se calculeaz cu

urmtoarele formule: - pentru seciunile transversale din Clasa1, 2 sau 3

1

1/ cry crL

Af Ni

(3.36)

- pentru seciunile transversale din Clasa 4

1

// effcreff y cr

A ALA f Ni

(3.37)

n care: este factorul de imperfeciune; Ncr este efortul axial critic de flambaj elastic, corespunztor modului de flambaj considerat,

calculat pe baza caracteristicilor seciunii transversale brute; Lcr este lungimea de flambaj corespunztoare modului de flambaj considerat;

32

i este raza de giraie a seciunii transversale, corespunztoare modului de flambaj considerat;

9.93)/(1 yfE ;

yf/235 cu fy n N/mm2.

Efectul imperfeciunilor este inclus n factorul de imperfeciune , care are valorile 0.13, 0.21,0.34, 0.49 i 0.76, pentru curbele de flambaj a0, a, b, c, i d, respectiv, n conformitate cu notaiile SR EN 1993-1-1 prezentate n Tabelul 3.1. Aceste curbe de flambaj, n formularea matematic dat de formula (3.35), sunt ilustrate n Figura 3.11. Factorul de imperfeciune i curbele de flambaj asociate pentru proiectarea unui element comprimat centric depind de geometriaseciunii transversale, de calitatea oelului, de procesul de fabricaie i de planul de flambaj, aa cum se arat n Tabelul 3.2.

Tabelul 3.1: Factorii de imperfeciune pentru curbele de flambaj

Curba de flambaj a0 a b c d

Factorul de imperfeciune 0.13 0.21 0.34 0.49 0.76

Fig. 3.11: Curbele de flambaj n conformitate cu SR EN 1993-1-1

n conformitate cu 6.3.1.2(4) din SR EN 1993-1-1, pentru valori ale zvelteii adimensionale mai mici de 0.2, sau dac NEd/Ncr < 0.04, flambajul poate fi neglijat i elementele se dimensioneaz funcie de rezistena seciunii transversale.

Proiectarea elementelor comprimate centric care i pot pierde stabilitatea prin rsucire sau prin

ncovoiere-rsucire se face n mod similar, prin nlocuirea zvelteii adimensionale cu zvelteea

adimensional T , calculat cu urmtoarele formule:

pentru seciunile transversale din Clasa 1, 2 sau 3

/T y crAf N (3.38)

pentru seciunile transversale din Clasa 4

33

/T eff y crA f N (3.39)

n care Ncr este cea mai mic dintre valorile Ncr,T i Ncr,TF, unde Ncr,T este efortul critic de flambajelastic prin rsucire, iar Ncr,TF este efortul critic de flambaj elastic prin ncovoiere rsucire (date n 3.2, respectiv, de formulele 3.23 i 3.24). n Anexa I se prezint modul de calcul al coeficientului de zveltee transformat pentru barele cu seciuni cu o ax de simetrie solicitate la compresiune axial care flambeaz prin ncovoiere-rsucire, pentru diverse tipuri de seciuni. Pentru ambele moduri de flambaj, factorul de imperfeciune se poate considera corespunztor flambajului prin ncovoiere dup axa minim de inerie z, aa cum se arat n Tabelul 6.2 din SR EN 1993-1-1 i prezentat n Tabelul 3.2 de mai jos.

Tabelul 3.2: Alegerea curbei de flambaj pentru diverse seciuni transversale (Tabel 6.2-SR EN 1993-1-1)

Curb de flambaj

Seciune transversal Limite Flambaj dup

axa

S235S275S355S400

S460

tf 40 mm y-yz-z

ab

a0a0

h/b>

1.2

40 mm< tf 100 mm y-yz-z

bc

aa

tf 100 mm y-yz-z

bc

aa

Prof

ilela

min

ate

h/b

1.2

tf > 100 mmy-yz-z

dd

cc

tf 40 mm y-yz-z

bc

bc

Sec

iu

ni

I-su

date

tf >40 mmy-yz-z

cd

cd

finisate la cald oricare a a0

Sec

iu

ni

tub

ula

re

formate la rece oricare c c

n general oricare b b

Che

soan

esu

date

grosime perei: a>0.5tfb/tf

34

n ceea ce privete alegerea lungimii de flambaj a elementelor dintr-o structur, se face precizarea c utilizarea valorilor pentru cazurile de rezemare ideal a barelor prezentate n seciunea 3.1, pot fi utilizate doar n cazuri izolate. Pentru cazul general al unui element ntr-o structur, pentru stabilirea ncrcrii critice i implicit a lungimii de flambaj, poate fi utilizat teoria clasic a barelor pe rezeme elastice. n baza acesteia, n Anexa II se prezint o metodologie de determinare a lungimilor de flambaj pentru stlpii structurilor n cadremultietajate, iar n Anexa III se prezint tabele pentru determinarea lungimilor de flambaj pentru stlpii structurilor parter cu seciune constant sau n trepte. De asemenea, n Anexa II, se prezint o metod de determinare a ncrcrii ultime de cedare (Metoda Merchant-Rankine) pentru structuri multietajate cu noduri rigide. Dei aceast metod nu apare n SR EN 1993-1-1, s-a considerat util prezentarea acesteia, avnd n vedere caracterul sau practic.

3.6 Voalarea elementelor realizate din plci plane

Efectul voalrii pereilor (flambajul local) se ia n considerare prin utilizarea caracteristicilor geometrice eficace, determinate pe baza conceptului de lime eficace ale pereilor componeni expui fenomenului de voalare, aa cum se arat n SR EN 1993-1-3 i SR EN 1993-1-5. Caracteristicile eficace ale seciunilor transversale de clas 4 (Aeff, Ieff, Weff) se utilizeaz n verificrile seciunilor transversale sau a elementelor la flambaj, respectiv n determinarea rigiditii acestora, conform SR EN 1993-1-1. Acestea se determin pe baza distribuiei liniare a tensiunilor n seciune, cu atingerea limitei de curgere n planul median al plcii comprimate.

Caracteristicile seciunii eficace ale elementelor se bazeaz pe ariile eficace ale elementelor comprimate i pe ariile eficace ale elementelor ntinse datorit efectului de shear lag.

Aria efectiv, Aeff, se determinat presupunnd c seciunea transversal este solicitat doar la tensiuni din compresiunea axial uniform. Pentru seciunile nesimetrice, are loc deplasarea, eN,a centrului de greutate al ariei eficace Aeff n raport cu centrul de greutate al seciunii brute, aa cum se arat n Figura 3.12, ceea ce conduce la un moment ncovoietor suplimentar, care trebuie luat n considerare la verificarea seciunii transversale, aa cu se va prezenta n 5.3.

Seciune transversal brut Seciunea transversal eficace

G centrul de greutate alseciunii brute

Gcentrul de greutate alseciunii eficace

1 axa neutr a seciunii brute

2 axa neutr a seciunii eficace

3 zon neeficace Fig. 3.12: Seciune transversal de clas 4 solicitat la compresiune

Modulul de rezisten al seciunii eficace Weff se determin presupunnd c seciunea transversal este solicitat doar la ncovoiere, aa cum se prezint n Figura 3.13. Pentru ncovoiere biaxial (ncovoiere oblic) trebuie determinate modululele de rezisten eficace pentru ambele axe principale.

G1

2

3

3

G

GeN

35

GG

GG1

1

2

2

3

3

Seciunea transversal brut Seciunea transversal eficace

G centrul de greutate al seciunii brute

G centrul de greutate al seciunii eficace

1 axa neutr a seciunii brute 2 axa neutr a seciunii eficace 3 zon neeficace

Fig. 3.13: Seciune transversal de clas 4 solicitat la ncovoiere

Ariile eficace ale elementelor comprimate plane se vor obine folosind Tabelul 3.1 pentru elemente comprimate rezemate pe dou laturi i Tabelul 3.2 pentru elemente comprimate n consol. Aria eficace a zonei comprimate a unei plci cu seciunea brut Ac se va obine din:

Ac,eff = Ac (3.40)

unde este factorul de reducere care ine cont de voalarea plcii.

Factorul de reducere poate fi considerat dup cum urmeaz: pentru elemente interne comprimate:

= 1.0 pentru 0.673p (3.41a)

2

0,055 31.0

p

p

pentru 0.673p , unde 03 (3.41b)

pentru elemente comprimate n consol:

= 1.0 pentru 0.748p (3.42a)

20.188 1.0p

p

pentru 0.748p (3.42b)

unde /28.4

yp

cr

f b tk

este raportul de tensiuni;b este limea peretelui (pentru definiii, vezi Tabelul 5.2 din SR EN 1993-1-1)

bw pentru inimi;b pentru elemente interne de talp (exceptnd seciunile tubulare rectangulare); b - 3 t pentru tlpi ale seciunilor tubulare rectangulare (RHS); c pentru tlpi n consol; h pentru corniere cu aripi egale;h pentru corniere cu aripi inegale;

k este coeficientul de pierdere a stabilitii corespunztor raportului de tensiuni i condiiilor de margine (k se prezint n Tabelul 3.3 sau Tabelul 3.4, dup caz);

36

t este grosimea;cr este efortul unitar critic de voalare;

2

235/yf N mm

.

Tabelul 3.3: Elemente comprimate rezemate pe dou laturi

Distribuia tensiunilor (compresiune pozitiv) Limea eficace beff = 1:beff = bbe1 = 0.5 beff be2 = 0.5 beff1 > 0:beff = b

effe bb

5

21 be2 = beff - be1

< 0:beff = bc = b / (1-)be1 = 0.4 beff be2 = 0.6 beff

= 2/1 1 1 > > 0 0 0 > > -1 -1 -1 > > -3Factor devoalare k

4.0 8.2 / (1.05 + ) 7.81 7.81 6.29 + 9.782 23.9 5.98 (1 - )2

Tabelul 3.4: Elemente comprimate n consol

Distribuia tensiunilor (compresiune pozitiv) Limea eficace beff

1 > 0:beff = c

< 0:beff = bc = c / (1-)

= 2/1 1 0 -1 1 -3 Factor de voalare k 0.43 0.57 0.85 0.57 0.21 + 0.072

1 > 0:beff = c

< 0:beff = bc = c / (1-)

= 2/1 1 1 > > 0 0 0 > > -1 -1Factor de voalare k 0.43 0.578 / ( + 0.34) 1.70 1.7 - 5 + 17.12 23.8

b

1 2

bb e2e1

b

12

bb e2e1

b

1

2b

b

b

b

e2

t

e1

c

21

b

c

eff

2

1

b b

beff

t c

12

b

c

eff

1

2

b

cb b

eff

t

37

Pentru elemente de talp ale seciunilor de tip I i nchise, raportul de tensiuni utilizat nTabelul 3.3 i Tabelul 3.4 trebuie s se bazeze pe proprietile seciunii transversale brute, datorit faptului c se permite efectul de shear lag n tlpi, dac e cazul. Pentru elemente de inim raportul tensiunilor folosit n Tabelul 3.3 va fi obinut utiliznd o distribuie a tensiunilor bazat pe aria eficace a tlpii comprimate i aria brut a inimii.

3.7 Flambajul barelor compuse uniforme solicitate la compresiune centric

Barele compuse cu seciune uniform se analizeaz n conformitate cu subcapitolul 6.4 din SR EN 1993-1-1.

3.7.1 Bare compuse din ramuri puin deprtate

n cazul barelor comprimate compuse ale cror ramuri sunt n contact sau sunt puin deprtate i legate cu fururi, a se vedea Figura 3.14, sau ale cror ramuri sunt corniere dispuse n cruce i legate prin perechi de plcue, ele nsi dispuse n cruce, a se vedea Figura 3.15, pot fi proiectate mpotriva pierderii stabilitii ca o bar cu seciune unitar, omogen, neglijnd efectul rigiditii la forfecare (SV = ), cu condiia respectrii distanei maxime dintre prinderi. Pentru elemente legate cu uruburi sau cordoane de sudur, distana maxim este de 15imin, iar pentru elementelelegate cu perechi de plcue, distana maxim este de 70imin, n care imin este raza de giraie minim a seciunii transversale a unuia dintre elementele solidarizate.

Distana maxim de 15imin poate prea conservativ, cel puin n raport cu prevederile STAS 10108/78 (40imin, fr referire la tipul de prindere). Pe de alt parte, dac se dorete aplicarea unei soluii n care prinderile s fie mai ndeprtate, proiectantul are oricnd posibilitatea verificrii stabilitii ramurilor, sub aciunea efortului de calcul, sau s prevad solidarizri cu perechi de plcue, situaie n care distana maxim devine 70imin. n exemplul de calcul E6distana dintre plcuele de solidarizare s-a considerat mai mare dect limita impus de 15imin i s-a luat n considerare i posibilitatea pierderii stabilitii a unei singure ramuri ntre dou plcue, printr-o verificare independent.

y

z

z

y y

z

z

y y

z

z

y y

z

z

y

Fig. 3.14: Bare compuse din elemente puin deprtate

Fig. 3.15: Bare compuse din corniere dispuse n cruce legate prin perechi de plcue n cruce

38

3.7.2 Flambajul elementelor componente ale barelor comprimate solidarizate cu zbrele respectiv cu plcue

n seciunea 3.6.1 s-a prezentat cazul barelor compuse cu seciune uniform, ale cror ramuri sunt n contact sau sunt puin deprtate i legate cu fururi, pentru care se poate neglija efectul rigiditii la forfecare (rigiditatea la forfecare se poate considera infinit). Verificarea de stabilitate pentru acest tip de bare se poate face la fel ca i n cazul barelor uniforme cu seciune unitar, ncadrnd seciunea n curbele de flambaj corespunztoare. Barele cu seciune compus din elemente ndeprtate pot fi realizate prin solidarizare cu zbrele sau cu plcue, aa cum se arat n Figura 3.16.

(a) (b)Fig. 3.16: Bare cu seciune compus solidarizate cu (a) zbrele sau (b) plcue

Problema specific pentru acest tip de bare compuse este flambajul n raport cu axa care nu taie profilele care compun seciunea transversal, deoarece rigiditatea la forfecare nu mai poate fi presolicitat a fi infinit. Deformaiile din fora tietoare n elementele de solidarizare sunt importante i nu pot fi neglijate. Deformaiile din fora tietoare a elementelor de solidarizare reduc rigiditatea la ncovoiere i fora critic capabil a barei compuse. Fora critic a barei compuse poate fi determinat cu relaia:

v

crcr

vcr

compcr

SNN

SN

N

1

111

1, (3.43)

n care:Ncr este fora critic Euler, calculat neglijnd forfecarea cu formula

2

2

LEI

N effcr

(3.44)

Ieff este momentul de inerie efectiv a seciunii compuse care se poate calcula astfel: - pentru cazul barelor compuse cu zbrele:

205.0 hAI cheff (3.45a)

39

- pentru cazul barelor compuse cu plcue

200.5 2eff ch chI A h I (3.45b)

unde:Ach este aria seciunii transversale a unei ramuri (a se vedea Figura 3.16); h0 este distana ntre centrele de greutate ale ramurilor; Ich este momentul de inerie la ncovoiere al unei ramuri n plan; Sv este rigiditatea la forfecare a sistemului de solidarizare, cu zbrele sau plcue:

echv GAS

unde: G este modulul de elasticitate transversal; Aech este aria inimii pline echivalente a stlpului,aa cum se prezint n Figura 3.17.

Fig. 3.17: Seciune compus echivalent (principiu de calcul)

SR EN 1993-1-1 abordeaz calculul de stabilitate al acestor tipuri de bare printr-un calcul de ordinul II, considernd efectul imperfeciunilor de ansamblu coninut intr-o deformat echivalent sinusoidal cu o amplitudine iniial L/500, aa cum se arat n Figura 3.18.

Fig. 3.18: Deformata iniial echivalent

40

Modelul de calcul al barei compuse se aplic dac zbrelele sau plcuele de solidarizare alctuiesc n lungul barei compuse panouri identice cu ramuri paralele i exist minim trei panouri n bara compus. Aceste condiii minimale permit considerarea unei structuri ordonate ale crei elemente structurale discrete pot fi considerate ca un mediu continuu.

Relaia de verificare a ramurilor seciunii compuse se face cu expresia (6.4.2.1(1) din SR EN 1993-1-1):

,

,1.0ch Ed

b Rd

NN

(3.46)

n careNch,Ed este valoarea de calcul a efortului de compresiune n ramur, care acioneaz la jumtatea

lungimii barei compuse;Nb,Rd este valoarea de calcul a rezistenei ramurii la flambaj; lungimea de flambaj se consider

distan ntre elementele de prindere; pentru cazuri speciale de alctuire a sistemului de solidarizare se consider valorile precizate n Figura 6.8 din SR EN 1993-1-1.

Efortul axial de calcul ntr-o ramur Nch,Ed rezult prin suprapunerea efortului axial de compresiune al barei compuse care se distribuie pe ramurile seciunii transversale, la care se adaug fora axial rezultat din efectul momentului de ordinul II, calculat funcie de excentricitatea echivalent e0 la mijlocul nlimii barei (a se vedea Figura 3.18). n calculul efortului Nch,Ed intervine i este rigiditatea la forfecare Sv a modulelor de zbrele sau de plcue de solidarizare, care se calculeaz diferit pentru cele dou cazuri (tabelul din Figura 6.9, respectiv formula (6.73) din SR EN 1993-1-1).

0, 0.5 2

Ed chch Ed Ed

eff

M h AN NI

(3.46)

n care

0

1

IEd Ed

EdEd Ed

cr v

N e MM N NN S

NEd este valoarea de calcul a efortului de compresiune care acioneaz n bara compus; MEd este valoarea de calcul a momentului de ncovoiere maxim, care acioneaz la jumtatea

lungimii barei compuse, lund n considerare efectele de ordinul doi;IEdM este valoarea de calcul a momentului de ncovoiere maxim, care acioneaz la jumtatea

lungimii barei compuse, fr a lua n considerare efectele de ordinul doi.

Anexa BB.1 din SR EN 1993-1-1 ofer informaii pentru alegerea lungimilor de flambaj n cazul flambajului prin ncovoiere a barelor din structurile cu zbrele. n Anexa IV se prezint o sintez a acestor informaii, precum i, ca alternativa, prevederile pentru lungimi de flambaj pentru bare care fac parte din grinzi cu zbrele, conform STAS 10108/0-78.

n continuare se prezint exemple de calcul ce acoper partea teoretic a acestui capitol, i anume:Exemplul E.1. Verificarea stabilitii generale a unui stlp solicitat la compresiune uniform (flambaj);Exemplul E.2. Verificarea de pierdere a stabilitii generale a unui element cu seciunea de clasa 4 solicitat la compresiune uniform;

Exemplul E.3. Determinarea rezistentei la flambaj a unui stlp cu blocaje laterale;

41

Exemplul E.4. Determinarea lungimii de flambaj a unui stlp dintr-un cadru multietajat;Exemplul E.5. Determinarea lungimilor de flambaj pentru un stlp in trepte;Exemplul E.6. Determinarea rezistenei la pierderea stabilitii a unui element compus solicitat la compresiune uniform;

Exemplul E.7. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profil cu seciune de tip C format la rece, solicitat la compresiune;

Exemplul E.8. Calculul caracteristicilor geometrice eficace ale seciunii transversale a unui profil cu seciune de tip C format la rece, solicitat la ncovoiere;

Exemplul E.9. Calculul unui stlp cu seciune transversal de tip C format la rece, solicitat la compresiune.

EXEMPLE DE CALCUL

E.1. Verificarea stabilitii generale a unui stlp solicitat la compresiune uniform (flambaj)

Descrierea problemeiSe consider o structur parter. Stlpul cadrului transversal este realizat din profile

laminate I i are nlimea de 6m. Rigla este realizat n soluie grind cu zbrele rezemat articulat pe stlp. Cadrele longitudinale sunt contravntuite. Se cere s se fac verificarea stabilitii generale a stlpului cadrului.

Schema static

N

L

z

y

N

L

zy

Figura E.1.1. Schema statica si lungimea de flambaj dup axele z-z, respectiv y-y

Datele problemeiPentru verificarea de rezisten i flambaj a stlpului sunt necesare urmtoarele date:

Fora axial NEd = 900 kNLungimea elementului L = 6,00 mMarca oelului S355 Clasa seciunii Clasa 1

Determinarea lungimii de flambajMultiplicatorul lungimii de flambaj (y-y); fL_y = 2,00Lungimea de flambaj (y-y); Lcr,y = fL_y L = 12,00 mMultiplicatorul lungimii de flambaj (z-z); fL_z = 1,00Lungimea de flambaj (z-z) Lcr,z = fL_z L = 6,00 m

42

Observaie: Adoptarea lungimilor de flambaj egale cu 2L (dup axa maxim de inerie a stlpului), respectiv egale cu L (dup axa minim de inerie a stlpului) reprezint o soluie acoperitoare. Se subliniaz faptul c: - dac la extremitatea superioar a stlpului exist o contravntuire longitudinal de tip

band n planul acoperiului, lucrnd eficient i care transmite solicitrile din stlp la frontoane, respectiv dac se evalueaz rigiditatea acestei contravntuiri, se poate lucra cu un reazem tip resort liniar la vrful stlpului, iar lungimea de flambaj pe aceasta direcie scade n consecin. Similar, s-ar putea opera n anumite cazuri, cu efectul de diafragm al nvelitorii. Ajungnd aici se poate extinde discuia i n legtur cu eficiena diafragmei acoperiului funcie de lungimea halei: la hale cu lungimi mari (unde frontoanele contravntuire sunt foarte departe de zona din mijlocul halei) probabil acest efect esteneglijabil i ar fi perfect valabil ipoteza lungimii de flambaj egala cu 2L. Dimpotriv, la halele scurte, unde efectul de diafragm se poate manifesta mai pregnant, se poate conta pe o rezemare elastic la extremitatea stlpului i lungimea de flambaj luat n calcul se poate reduce;

- referitor la baza stlpului analizat, trebuie menionat c efectul de articulaie dup direcia axei minime de inerie se obine, de fapt, foarte rar n practic. Aceast ipotez (acoperitoare i ea) este mai aproape de realitate pentru stlpii de hal prini cu o singur pereche de buloane de ancoraj: un singur bulon n interiorul halei i un singur bulon la exteriorul halei dispuse dup direcia axei minime de inerie a stlpului. Este o soluie utilizat pn pe la mijlocul anilor 1980 i care corespundea bine ipotezei acoperitoare a lungimii de flambaj egale cu L dup axa minim. Pentru cazul stlpilor ncastrai prini n fundaie cu grupuri de buloane, rigiditatea prinderii se poate evalua pe baza metodei componentelor, rezultnd o lungime de flambaj cuprins n intervalul [0,7L....1,0L]. Pentru cazul unei prinderi rigide la baz i n prezena unei contravntuiri longitudinale eficiente, care s fixeze vrful stlpului, rezult dup axa minim de inerie o lungime de flambaj egala cu 0,7L.

Consecina aplicrii celor dou abordri de mai sus ar fi reducerea lungimilor de flambaj dup ambele direcii i, n consecin, posibilitatea adoptrii unei seciuni mai mici pentru stlp (deci o economie de material).

Dimensiunile i caracteristicile geometrice ale seciunii transversale

HE 100 B - Marca S355;nlimea h = 100,0 mmLimea tlpilor b = 100,0 mmGrosimea inimii tw = 6,0 mmGrosimea tlpilor tf = 10,0 mmRaza de racord r = 12,0 mmAria seciunii transversale A = 26,0 cm2Momentul de inerie / y-y Iy = 450 cm4Momentul de inerie / z-z Iz = 167 cm4+

Caracteristici mecanice - limita de curgereMarca de oel S355 Deoarece grosimea maxim a pereilor seciunii transversale este 10 mm 40 mm, limita

de curgere este fy = 355 N/mm2SR EN 1993-1-1 Tabel 3.1

Coeficienii pariali de siguran

M1 = 1,00SR EN 1993-1-1 6.1 (1)

43

z

y

b

h

tw

tf

r

y

z

Figura E.1.2. Seciunea transversal

Verificarea de rezisten a seciunii transversale a stlpului

Rezistena la compresiune

Pentru a determin rezistena de calcul a seciunii transversale a stlpului la compresiune uniform se folosete relaia de definiie corespunztoare clasei de seciune 1:

2

,0

26 10 355 923000 N 923 kN1,0

yc Rd

M

A fN

SR EN 1993-1-1 (6.10)Dup determinarea capacitii portante se trece la verificarea condiiei:

,

900 0,975 1,0923

Ed

c Rd

NN

Seciunea verific

SR EN 1993-1-1 (6.9) Rezistena la flambaj prin ncovoiere a elementului solicitat la compresiune uniform

Pentru a determin rezistena la flambaj a stlpului Nb,Rd, este necesar determinarea factorului de reducere pentru flambaj prin ncovoiere corespunztor curbei de flambaj pentru seciunea transversal a stlpului. Acest factor se determin cu ajutorul zvelteii relative . se calculeaz n funcie de efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat i rezistena de calcul a seciunii transversale stlpului la compresiune uniform. Se calculeaz folosind proprietile seciunii transversale brute.

Efortul critic de flambaj, elastic, pentru modul de flambaj considerat NcrEfortul critic de flambaj, elastic se determin folosind urmtoarea relaie de definiie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 450 10 64704 N 64,7 kN12000

ycr y

cr y

E IN

L

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 167 10 96049 N 96 kN6000

zcr z

cr z

E INL

Efortul axial critic (3.4)unde E este modulul de elasticitate longitudinal, E = 210000 N/mm2 i Lcr este lungimea deflambaj n planul de flambaj considerat, Lcr,y = 12,00 m i Lcr,z = 6,00 m Zvelteea relativ

Zvelteea relativ se calculeaz cu ajutorul formulei:

2

,

26 10 355 3,7764704

yy

cr y

A fN

44

2

,

26 10 355 3,1096049

yz

cr z

A fN

SR EN 1993-1-1 6.3.1.2 (1)Pentru elemente cu zvelteea 0.2 sau cu raportul NEd / Ncr 0.04 verificarea de pierdere

a stabilitii generale a elementului nu este necesar fiind suficient verificarea de rezisten a seciunii transversale.

SR EN 1993-1-1 6.3.1.2 (4) Factorul de reducere pentru flambaj prin ncovoiere

n cazul elementelor solicitate la compresiune uniform valoarea factorului de reducere

depinde de zvelteea redus ce trebuie determinat innd seama de curbele de flambaj corespunztoare:

2 2

1

ns 1

n care:20,5 1 ( 0,2) ;

este factor de imperfeciune. SR EN 1993-1-1 6.3.1.2 (1)

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru seciunea transversal trebuie s lum n considerare urmtoarele condiii (SR EN 1993-1-1 Tabelul 6.2):

HEB 100 profil laminat;

Raportul 100 1 1,2100

hb ;

Grosimea tlpilor 10 mm 100 mmft

Marca de oel S355

Pierderea stabilitii generale n jurul axei y-y Curba de flambaj b, factorul de imperfeciune y = 0,34 (SR EN 1993-1-1 Tabelul 6.1);

2 20,5 1 ( 0,2) 0.5 1 0,34 (3,77 0,2) 3,77 8,213y y y y

2 2 2 2

1 1 0,06458,213 8,213 3,77

yy y y

Pierderea stabilitii generale n jurul axei z-z Curba de flambaj c, factorul de imperfeciune z = 0.49

2 20,5 1 ( 0,2) 0,5 1 0,49 (3,10 0,2) 3,10 6,016z z z z

2 2 2 2

1 1 0,08956,016 6,016 3,10

zz z z

= min (1.0, y, z) = 0.0645(n cazul n care > 1 atunci = 1)

Rezistena la flambaj

Rezistena la flambaj se determin cu urmtoarei relaie: 2

,26 10 3550,0645 59533 N 59,5 kN

1,00y

b RdA f

N

SR EN 1993-1-1 6.3.1.1 (3)

45

Verificarea condiiei:

,

900 15,2 159.3

Ed

b Rd

NN

elementul nu verific i trebuie aleas o alt seciune

transversal (profil).

SR EN 1993-1-1 6.3.1.1 (1)Observaie: Cu toate ca elementul satisface cerinele de rezisten, rezistena la pierderea

stabilitii generale este depit de peste 15 ori ceea ce subliniaz necesitatea efecturii verificrilor de stabilitate n cazul elementelor de oel.

n concluzie este nevoie s alegem o alt seciune transversal. Vom alege HEB 220.

Dimensiuni i caracteristici geometrice ale seciunii transversale

HE 220 B - Marca de oel S355; nlimea; h = 220,0 mmLimea tlpilor b = 220.,0 mmGrosimea inimii tw = 9,5 mmGrosimea tlpilor tf = 16,0 mmRaza de racord r = 18,0 mmAria seciunii transversale A = 91,0 cm2Momentul de inerie / y-y Iy = 8091 cm4Momentul de inerie / z-z Iz = 2843 cm4

Efortul critic de flambaj NcrEfortul critic de flambaj, elastic se determin folosind urmtoarea relaie de definiie:

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 8091 10 1163371 N 1163 kN12000

ycr y

cr y

E IN

L

2 2 5 4

, 2 2,

3,14 2,1 10 2834 10 1629956 N 1630 kN6000

zcr z

cr z

E INL

Efortul axial critic (3.4)

unde, E este modulul de elasticitate longitudinal E = 210000 N/mm2 i Lcr este lungimea deflambaj n planul de flambaj considerat, Lcr,y = 12,00 m i Lcr,z = 6,00 m Zvelteea relativ

2

,

91 10 355 1,6661163371

yy

cr y

A fN

2

,

91 10 355 1,4081629956

yz

cr z

A fN

SR EN 1993-1-1 6.3.1.2 (1) Factorul de reducere

Pentru alegerea curbei de flambaj pentru seciunea transversala trebuie s luam n considerare urmtoarele condiii (SR EN 1993-1-1 Tabelul 6.2): HEB 220 profil laminat

Raportu