stabilitate structurala - iacob bors - reduced

236

Upload: pocol-ioana

Post on 22-Jun-2015

190 views

Category:

Documents


26 download

TRANSCRIPT

ECHILIBRULISTEMELOR MATERIALE CAPITOLUL 1 ECIDLIBRUL SISTEMELOR MATERIALE 1.1. DESPRE ECHILIBRU CALITATEA ECHILIBRUL UI Fundamentareacadruluimatematicnecesarexprimariicondi!iilorde echilibrustaticalsistemelormaterialeesteoproblemaimportantaa Mecanicii.SestudiazaInStatica,fiind Invirtuteaprincipiului inef!ieilaechivalentacuzeroasistemelordeforte,iarInMecanica analitica, la principiullucrului mecanic virtual. Putemastfeldeterminaconfiguratiiledeechilibrualeunuisistem material,faralnsaaprecizacalitateaechilibrului:stabil,labilsauinstabil. Pentru a putea aprecia calitatea echilibrului, trebuie postulat un criteriu sau o axiomacaresafacaacestlucru.Unastfeldepostulat, natural,evident,este oferitde,criteriulmecanic"deapreciereacalitatiiechilibrului,care afirma urmatoarele:un sistemmaterial este in pozipe deechilibru stabil, dacascosdinaceastapozipe prin deplasarimici(sau)vitezemici,el ramaneinvecinatateaacesteipozip.i;dacaefectueazadeplasarimaricu vitezecrescande,lndepartandu-sedelapozitiadeechilibru,echilibruleste instabil,iardaca Woaltapozitieadiacentadeechilibru,echilibrul estelabil, indiferent sau critic. Studiul calitatii echilibrului ceredeCinematica,DinamicaMecanicaanalitica.Paraacestecalitateaechilibruluiunuisistem material relativa unei anumite pozitii, poate fidoar ,banuita".Daca reducem sistemulmaterialla unpunct material,o bila,ca Infigura1.1,conform enuntului ,criteriului mecanic", ca pozitia1 este deechilibru stabil, pozitia 2 estedeechilibruinstabil,iar pozitia 3 deechilibrulabil,indiferent sau critic. 7 ST ABILIT ATESTRUCTURALA (1)(2)(3) Fig.1.1. Dacase depozitiesauconfiguratiedeechilibru,insearnnaca sistemul materialstudiat poseda gradedelibertate,posibilitatidedeplasare. Existaunnumardeparametriindependenticaredefinescconfiguratia sistemuluimaterial,numaregalcunumarulgradelorluidelibertate.A determina pozitia deechilibrusau configuratia deechilibru insearnna agasi marimile parametrilor corespunzator acestei configuratii. 1.1.1. Echilibrulin Statidi InStatica,problemasetrateaza eelmaielementar.Saconsideram sistemul material, un sistem depuncte materiale actionat deforteexterioare, supuslalegaturiexterioareinterioare( echivalentelalegaturisimple-caresuprimaungraddelibertate).NotamcuNnumaruldepuncte materiale,cumnumarullegaturilorrezultacasistemuldepuncte materiale are n grade delibertate, n =3N- m.( 1.1) Inscrierearelatiei( 1.1)s-aavutinvederecaunpunctinspatiuare3 gradedelibertatecafiecarelegatura(simpla)suprimaciite1gradde libertate.Fiecarelegaturaintroducecateonecunoscutafortadelegaturacu careesteechivalentadinpunctdevederemecanic.Astfel,problema echilibruluisistemuluimaterialintroducecanecunoscute,mreactiuni(sau fortedelegatura)nparametricaredefinescconfiguratiasistemului.In total(m+n)necunoscute.Ecuatiideechilibru,putandscriecate3ecuatii pentrufiecarepunct, intotalsevor putea scrie3N ecuatii.Pentru un sistem - -depunctematerialeAi,i = 1, N,supuslalegaturile A Cazul 2dintabelul2.2putea fiobtinut dincazul 2prezentat intabelul 2.1.Cazul1 dintabelul2.2poatefiinterpretat astfel:daca rigiditatea keste mare,atuncibarasecomportacaunaelasticasimplurezemata,iardaca rigiditateakaresortuluiestemica,atuncibarasecomportacaunarigida ( exemplul figura1.8). 78 ST ABILIT ATEABAREl ELASTICE Rigiditatilelegaturilorelasticek,rA,r8 suntdatedestructuradincare facepartebaraABdupaeliminareaacesteia.Catevaexemplesunt utilein aceasta etapa; in to ate exemplele, cerinta este P cr 1. r hEI 2EI [ a) hEI d) EI I I I I I I I I \ ..._ ----_.... b) e) Fig.2.9. \ \ I I I I I """'"" I I I I I I I I I I I I I I I -- ...,..... .... / __,. """'"" c) f) Modeluldecalculesteeelprezentatinfigura2.9d,incarerAeste minimulcalculatdintresituatiilee)~ f).SeaplicametodaMaxwell-Mohr, SA=1.Insituatia e),pierderea stabilitatii pe forma simetrica 114EI r 1[ - -=8=1r=- A22EIA'A[ 79 STABILIT ATE STRUCTURALi\ Insitua!ia f),pierderea stabilitalii pe forma antisimetridi fA{1' ~ ' ~ + 1' ~ ' ~ ' ~ -1'' . ~ }2~ = 8 A= 1 r. (+ _!__- _!_)._1_ = 1;r. _r- = 1;r= 12EI . A812242EIA12EIA[ Cazul 3) din tabelul 2. 1 conduce la sau h 4EI tgv =[, vEl 4h tgv=-. v[ Saconsideramunraporthi[=2~ i obtinemecuatiadestabilitatesub forma finala 8 tgv =-. v PrimaradacinapozitivaaacesteiecuatiiesteVcrAceastasesepara folosind graficele din figura 2.1 0. Fig.2.10. 80 Jncadrclndradacinainin erYaluJcrE1 0;2,0),aplicand0metoda numerica (s-a aplicat metoda bieqieise obpne cr= 1,398 deunde p=~ r E I crh2 Se observa capierderea stabilitatiiseproduce pe formasimetrica.Facem observatiaca ingeneralostructurasimetricageometric,elastic~ i staticW pierde stabilitatea pe o forma antisimetrica; este o exceptie de la regula. 2. p 4 EI 6m a) Fig.2.11. (k) b) ' I I I I I I I I I I I EI=20.000 kNm2 c) Modelulesteeeldinfigura2.11 b,cazul4dintabelul2.1.Aicikeste rigiditatealaterala,datadecadrulincastrat(figura2.11c).Pentru determinarealuik,determinammaiinta.ipe8( coeficientuldeflexibilitate) ~ i apoik=1/8.indeterminarealui8,aplicammetodadeplasarilor,cu sistemul debaza prezentat in figura 2.12a. 81 STABILIT ATE STRUCTURALA a) Sistemul ecuatiilor de echilibru in metoda deplasarilor sescrie {riizi+ r12Z2+riO= 0 r2lzi+ rz2Zz + rzo= 0 unde r11 = (4EI + 6 4EI). 2 = 10EI =80EI' 468 r= - (4EI + 2EI) . .!.. 2 = _ 3EI= _ 6EI 21 44448' r= _ 6EI . 2 = _ 3EI= _ 6EI 124248' r ?J=12EI _2=3EI ' -- 43 8 [JO=0, 8 r= -1 = --zo8 Explicitat sistemul este { 80z1 - 6z2 = -6z+3z=- I2EI Obtinem O; = 1+u2. 2u Suntemastfella y"1 J(1+y'2Y12 dx -y)+C1 Daca seamplifica cu conjugata + y', se obtine 85 (2.71) STABILIT ATE STRUCTURALA y''y' f dx =+C' , (1+y' 2y/2~ + y'2 (2.72) unde C' =1 + C t 2.2.5.2.Formularea problemei staticii barei cu deplasari mari ConsiderambaraInconsoHi,lncarcatli,ca1nfigura2.14.Deplaslirile efectuatedesectiunilebareifiindmari,selnregistreazliatatdeplasliri verticale,cat~ i orizontale.Astfel,unpunctA(x,O)vaaveapozitiadupa deformare in A'(X,Y) . p p [ y Fig.2.14. Dacaneglijamalungireabareidinincovoiere,ecuatiilecarerezolvli problema determinarii deformatei sunt: Y"M(x) =---(1+ Y'2 Y12 EI X (2.73) f.Jt + Y'2dX =X. 0 S-anotatcuYdeplasareapenormalalaaxaOx,iarpedirectiaOx, deplasarea este x- X. EsteevidenteliecuatiaaxeideformateabareiesteY=Y(X),ceeace explica scrierea cu litere mari in relatiile (2.73). Ultima relatie (2.73), pentru X= L se scrie 86 STABIUTATE-\ BAREl ELASTICE (2.74) 0 legaturadintreL{,inipotezacalungimeabareidupa incovoiere este egala cu cea dinaintea incovoierii. Notam - fM(X) dX = F(X) + C EI 2 suntemla relatia 1 =F(X)+C. .J1 + Y'2 (.J1+ Y'2 - Y') Dinrelatia(2.76)gasimconditiipentrudeterminarea integrare C. Notam f(X)=F(X) + C, din relatia (2.76) gasim Y' 2=(f(X) -1)2 2f(X) - f2 (X) ' sau Y'=lf(X) -II

respectiv (2.75) (2.76) constanteide (2.77) (2.78) 1+ Y'2 = 1 (2.79) 2f(X)-f2(X) Pentru ca relatiile (2. 77-2. 79)sa fiecalculabile, trebuie ca Im f c(0,2).(2.80) Functia deplasare Y(X) se obtine din (2.78) fi Y= fif(X)-11dX+C(8) .Jf(X)(2- f(X)) 0 ' 2. 1 constanta deintegrareCodeterminandu-sedinconditiipuseasupra luiY,in functie de conditiile de rezemare. 87 STABrLIT ATE STRUCTURAL.\. 2.2.5.3. Exemple Consola incarcata cumoment concentrat Consideramconsolacumomentdeineqieconstant,dedeschidere[, 1ndircaUicumomentconcentratMincapat(fig.2.15),barafiindsolicitata la incovoiere pura. y In acest caz, Relatia (2.76) se va scrie [ Fig.2.15. M f(X)=-X+C. EI 1=M X+C -J1 + Y'2 (-J1 + Y'2 - Y')EI' M in care punand condifia Y'(O) =0, rezulta valoarea constantei de integrare C =1. Determinam mai intai relatia dintre [ L,cu formula L fdX=[, sau cu schimbarea de variabila M -X+1=t, EI 88 STABILITATEABAREl ELASTICE :O.!L- 1 EIEIdt M! -J2t -t2 =. Efectmlnd integrala punand t =2sin2cp,se obtine relatia dintreL ~ i [ L = EI sin M [ .(2.82) MEI Observafie Consoladinfigura2.15fiindsolicitatalaincovoierepura,relatia(2.82) poatefigasita~ i peca1egeometrica, ~ cumrezulta dinfigura2.16,curba deformata fiind un cere de raza p, constanta. L Fig.2.16. Astfel,se observa ca L =p sine, iar din r=P e, tinand cont de relatia (2.66), rezulta (2.82). 89 STABILITATE STRUCTURALA Datfiindsituatiaparticulara,relatia(2.82)estevalabilaintreXx, putand scrie X= Eisin Mx MEI' deplasarea pe axa barei fiind x- X. Deplasarea pe axa y sepoate gasi cu relatia deforma (2.81), adica X(M X+1)-1 Y= fEIdx, 0

care conduce, tinand cont ca Y(O)=0,la (2.84) Daca X =L, punem Y =H, H = 2EI sin 2Mf. M2EI (2.85) Relatia (2.85) se poate obtine pe cale geometrica din figura (2.16), ceea ce valideaza teoria propusa.Totodata, relatia (2.85)este valabila pentru un x oarecare se va putea scrie y= 2EI sin z Mx.(2.86) M2EI Cazuri particulare y 0 90 M p= EI.M = EI M'p [ 8=-8= Mf EI p p ST ABfLITATE-\ BAREl ELASTICE _________... x2np = [;p =2[ 41t

2 M = EI= nEI 2[2[ 0 y[ [ 1tp = [;p=-1t M y y ----+X [ 1t EI M=--[ ,....._, _____[_________... x3 2np = [.p = 4'3n [ 91 M = EI= 3nEI 2[2[ 37t [ 2np=[;p=-2n M = EI= 2n EI [[ 2n STABILITATE STRUCTURALA suprapunere y suprapunere de n ori + a y 2.2.5.4. Consolafncarcata cuforfa concentrata S= Sn.p ~2'Sn M =EI= 5nEI 2[2[ Sn Snp= [ 2 n 2np + a.p = [ [ p=---a.+2nn 9=a.+2nn M= EI = (a.+2nn)EI p[ Incazul consolei din figura 2.17, incarcata cu ofort:aconcentrata P, se va tine cont ca p(x2) f(X)=- LX-- +1. EI2 (2.87) p [ y,y Fig.2.17. 92 ST ABILIT ATEA BAREl ELASTICE Rezultatelesuntdateinfigura2.18.S-aconsideratoconsolacuEI= 43,75kNm2,avand [ =1 m,incarcata cufoqa concentrata P, care ia diverse valoride1 kN,10 kN,100 kN 200 kN. 0,190 0,365 Fig.2.18. Se observa ca pentru P =1 kN,sageata de0,0761mpoateficalculata cu relatia Pe y=-max3EI (2.87) rezultand exact valoarea, capatul consolei deplasandu-se peverticala. PentruP=10kN,sageatacalculata cu metoda propusa estede0,0765m, diferenta fatadevaloarea calculata, cu relatia (2.87) fiindde0,41 %,punctul inregistrand o deplasare pe axa Ox de 0,00351m. Daca P =100kN,deplasarea verticala estede0,520m,diferenta fatade valoareadatade(2.87)fiindde7,8%,darseinregistreazadeplasaripe directia barei (tara a fiaxiale) de0,19 m,care nu pot fideterminate cu teoria clasica, a staticii barei drepte. Semaiobservacadeplasariletransversale1ntr-oteoriececonsidera curburaexacta,suntmaimici,decatinceeacareseconsideracurbura aproximativa.Explicatia rezulta din faptulca,curbura aproximativa este mai mare,decat curbura exacta. intr-o teorie exacta, fata de o teorie aproximativa, seimpun restrictii suplimentare, care conduc Iao sporire a rigiditapi. 93 STABILITATE STRUCTURALA 2.2.5.5.Bara simplu rezematii,fnciircatii cu momente concentrate la capete X M X L [ y,y Fig.2.19. Incazul barei din figura 2.19, se va tine cont ca f(x)este dea c e e a ~ i forma ca~ i incazulconsoleidinfigura2.15,constantadeintegrareCmodifi-candu-se, avand valoarea ce rezulta din Y'(L/2) = 0,adica,C =- ML. 2EI Relatiadintre[i L estea c e e a ~ i stabilita derelatia (2.82),darL~ L/2, r[/2,adica ML.M[ --=sm-. 2EI2EI (2.88) Relatia (2.88) poate fistabilita ~ i geometric cain figura2.20. Axa deformata este cere ~ i pot fipuse in evidenta urmatoarele situatii: Centrul cercului este deasupra axeix 0 L [ Fig.2.20. 94 STABIUTATE.-\ BAREl ELASTICE [ -=pa ; 2 [ a =- 2p 1 p M M[ a =-EI2EI L. -=psma; L = 2psina;L = 2EI sinM[ 2M2EI Centrul cercului este pe axa x( axa deformata este un semi cere) [ Fig.2.21. M= EI =reEl p[ L = !_ ; centrul cercului este sub axa x 2 a> TC;cat trebuie sa fieM? 2 95 STABILIT ATE STRUCTURAL.\ _j_ - - ~ - - - - - ~ ~ ~ ~ - - - - - - = 2 - - - - - - ~ B ~ - X ({) il= Fig.2.22. [2EI.M[Msin t[1 -=-sm-;-=t;--=-2M2EI2EIt[2 2sin t[- t[ = 0 ~ t[ =1,8955;t = 1'8955 ~ = 1,8955.M= 3,791EI ' 2EI[[ Deformata este uncere 1ntreg.L =0:M =? Centrul cercului este pe axa y;a=n. [ 11= [ - - - - ~ ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ 8y ({) Fig.2.23. 96 STABILIT ATEA BAREl ELASTICE a=n;[ =2np; 127t p[ M = 2nEI [ DacliM > 2nEI, reazemul B' se deplaseaza in stanga celui din A, a> n. [ zona de suprapunere (() L [ Fig. 2.24. 2.2.6. Stabilitatea barei foarte elastice;un calcul de ordinul al 3-lea y Fig.2.25. Pentru bara din figura 2.25, relatia moment-curbura 1M -=--pEI conducela 97 STABILIT ATE STRUCTURALA M(x)+P y EI (2.89) incareamtinutcantdeexpresiaexactaacurburii~ i decontributiafoqei axiale la momentul1ncovoietor din sectiune. Ecuatia (2.89)descrie comportarea barei 1ntr-un calcul geometric neliniar deordinul al3-lea. Deformatay=y(x)sepoatedeterminaprinintegrareaecuatiei diferentiale neliniare deordinul aldoilea (2.89)ca problema la limite. Dacabaranueste1ncarcatatransversal,M(x)= 0,ecuatiadiferentiala (2.89)devine y"p --;==== = --y ~ 1 + y'2YEI (2.90) ~ i descrie problema flambajului barei (fig.2.26) cu considerarea exacta a curburii. EI [ y Fig.2.26. Daca tinem cant dedefinitia curburii ecuatia se scrie K =_!_=dS pds' 98 (2.91) STABILITATEA BAREl ELASTICE d8p -=--y, dsEI sau d8 EI-+Py=O.(2.92) ds 2.2.6.1.Integra/a curburii inraport cu s Derivam in raport cu s ecuatia (2.92)~ i obtinem EI d2S + P dy= 0 dy =sin 8 ds2 ds'ds d28 El-+ Psin 8 = 0.(2.93) ds2 Inmultim ecuatia (2.93) cudS ''ds EI d2S(d8)+ Psine(de) = o(2.94) ds2 dsds echivalenta cu d[EI(d8)2 l--- -Pcos8=0 , ds2ds (2.95) de unde EI(d8)2 -- -Pcos8=C 2ds (2.96) sau EI(d8)2 -- =Pcos8+C. 2ds (2.97) Constanta deintegrare C se determina din conditia ca8(0) =a ~ iM(O) = EI K(O)= EI ~ : (0) = 0 . Se obtine Pcosa + C = 0;C = -Pcosa ~ EI ( d8)2 - - = P(cos8- cos a). 2ds (2.98) 99 Notam, de unde sau STABILITATE STRUCTURALA n 2 = _!_(coeficient decompresiune ), EI (d8)2 ds=2n2(cos8-cosa) dS= -n.J2..Jcos8-cosa. ds (2.99) (2.100) In(2 .1 00)s-atinutcontcaIncazulbareisimplurezematedinfigura (2.26) rotirea 8 =S(s) este o functie descrescatoare 8::::;a. Ecuatia (2.1 00) se maiscrie ds =dS.(2.101) n .J2 (cos e - cos a) Tinem cont ca lungimea bareideformate este egala cu lungimea initiala a barei, [,adica [= rJds=--JadS= aJdS.(2.102) 0a n.J2(cos8-cosa)-an.J2(cos8-cosa) Utilizam relatiile cunoscute cos e = 1- 2 sin 2 cos a= 1- 2 sin 2 a; 22 cos8-cosa=2(sin2 -sin2 obtinem r = _1 }de;r = _!__f-r===de== 2na1 .2a.2en o.2a.2e - 2-sm 2 sm 2-sm 2 (2.103) Dacafacemschimbareadevariabila= sin asin 0 Cu acestea matricea de rigiditate a barei incastrat-anticalculate este c'(v) c'(v) 1 K= c'(v)r'(v) --1 12 c'(v)r'(v) --1 12 c'(v) 1 r'(v) --e r'(v) --12 EI 1 cum seobserva in acest caz,matricea K este singulara. Dintabelareavalorilor functiilordestabilitatec'(v),r'(v) seobservaeli pentru valorialefactoruluide compresiune mai micidedit eel corespunzator caruiabara pierdestabilitatea,coeficientiiderigiditatesuntmaimici decatincazulbareinecomprimate.Capetelebareiserotescrespectivse deplaseaza,mailaobaracomprimatadecatlaunanecomprimata.In generalrigiditateabareicomprimateestemaimicadecatabarei necomprimate.Evidentcaobaraintinsaarerigiditateamaimaredecato bara comprimata. 3.7. Momente reacpuni de capat Incazul barelor comprimate Pentruincadrareauneibareintr-ostructura,pelangamatriceaeide rigiditate K, intereseaza efectul incarcarii asupra capetelor ei.Se va studia bara detipincastrat-incastratincastrat-articulat supusafortelordistribuite al fortelor concentrate. 172 CURSUL 5"TE-\ CADRELOR PLANE 3.7.1. Bara dub urratii Cazul mcar-rii uniform distribuite (fig. 3.35) Fig. 3.35. Ecuatiadiferentialaafibreimediideformateincalcululdeordinulal doilea sescrie (3.167) unde zN n=-EI Solutiageneralaaecuatieineomogene(3.167)esteformatadinsolutia generalaaecuatieiomogene,cumembruldreptnul,lacareseadaugao solutieparticularaaecuatieineomogene.Cumsolutiageneralaaecuatiei omogeneestedeforma(3.9)~ solutiaparticularaaecuatieineomogene qx z este 20 2 EI, solutia generala a ecuatiei (3 .167) se va scrie 173 deplasareST ABILITATE STRUCTURALA Constantele deintegrare C2, C3,C4 se determina din conditiile limita y(O)= 0 Tinem cont ca y'(O)= 0 y(l) = 0 y'(l) = 0. y' = C2 + nC3 cosnx- n2C4 sinnx +suntemla sistemul deecuatii C1 +C4 =O C2 + nC3 = 0 f C1 +C2l+C3sinnl+C4cosnl+q2 =0 2nEI C2 + nC3 cos nl- nC4 sin nl +--*-- = 0. n-EI (3.169) (3.170) (3.171) Pentru rezolvarea sistemului (3. 171), eliminam pe C1C2 se ajunge la !C3(nl-sinnl) + C4(1- cosnl) = + (nl) 2nEI(3.172) C3(1-cosnl)+C4 sinnl =+2, 2nEI respectiv C=qlC= -nC= -nql 3 2n3EI' 23 2n3EI C=nl- 2sin nl + nlcosnl.ql 4 2-2cosnl-nlsinnl2n3EI cl = -c4. Yom putea scrie 174 rotireSTABILITATEA CADRELOR PLANE [nl - 2sin nl + n1cosn1. y =- nx + sm nx -2 - 2 cos n1 - n1 sin n1 - cos nx+ --=---nl- 2sinn1+n1cosn1]q1qx2 2-2cosn1-n1sinn12n3EI2n2EI ,[ 1 n1- 2 sin n1+ n1 cos n1.]q1qx(3 _173) y=- + cos nx +sm nx 7 + -7 -2-2 cos n1- n1sin n12n -mn -m ,[.n1- 2 sin n1+ n1 cos n1]q1q y=-smnx+cosnx--+--2- 2 cos n1- n1sin n12nEIn 2EI ,,[n1- 2 sin n1 + n1 cos n1.]ql y=- cos nx - sm nx--. 2- 2 cos n1- n1sin n12EI Dadi se trece 1afactoruldecompresiune v =n1,re1atii1e(3.173)devin: [ v - 2 sin v + v cos vvx.vx y=--+sm--2 - 2 cos v - v sin vll v-2sinv+vcosvvx]ql4 q12x2 - cos- --+ _:_=--2-2cosv-vsinv12v3EI2v2EI (3.174) ,[ 1 vxv-2sinv+vcosv.vx]ql3 qfx y=- +cos-+sm- +--12- 2cosv- vsin vl2v2EIv2EI ,[.vxv-2sinv+vcosvvx]ql2 ql2 y=-sm-+cos- --+--12 -2cos v-vsinv12vEIv2EI "'[vxv- 2 sin v + v cos v.vx]q1 y=-cos-- sm---. 12 - 2 cos v - v sin v12EI Mai ca1cuHim "(O)_v - 2 sin v + v cos vqfq12 y- --+--2-2cosv-vsinv2vEIv2EI "(1)[.v- 2 sin v + v cos v]ql2 ql2 y=-smv+COSY--+--2-2cosv-vsinv2vEIv2EI = [- 2sin v + 2sin vcosv + vsin2 v + vcosv- 2sin vcosv + vcos2 v] + 2-2cosv -vsinv2vEI 175 ST ABILITATE STRUCTURALA + =Y-2sinY+YcosY . + q12 =y"(O). Y2EI2- 2cosY- Ysin Y2YEIY2EI y"'(O)=- "'(1)[Y-2sinY+YcosY.]q1 y=-COSY- SillY-= 2- 2 cosY- Ysin Y2EI - 2 cosY+ 2 cos2 Y + Ysin YcosY- Ysin Y + 2 sin 2 Y- Ysin YcosYq1 =-= 2- 2cosv- Ysin Y =2-2cosY-YsinY 2 - 2 cosY - Ysin Y2EI2EI 2EI Seobtinastfe1momente1edeincastrareperfectaM(O),M(1)foqe1e taietoare 1acapete T(O), T(l). adica Din (3.151) M(O)= -Eiy"(O);M(1)= -Ely"(1) T(O)= -Eiy"'(O) ;T(l) = -Eiy'"(1) , M(O)=M(l) = [- Y- 2sin Y 1= 2-2cosY-YsmY 2Yy-4+Y2 -4YsinY-4cosY+Y2 cosY 12 =2Y2 (2- 2 cosY- Ysin Y). q T(O)=;T(l) = - . ()() y 2 (1- cosy) cY+sY=-------2- 2cosY -Ysin Y (3.175) asociata cu identitatea trigonometrica rezulta ca 4+Y2 -4YsinY-4cosY+Y2 cosY 2 y 2 ( 2 - 2 cosY - Ysin Y) q1 2 M(O)= M(l) =2[c(Y) + s(Y)] 2 - 2 cosY - Ysin Y 2Y2(1-cosY) (3.176) astfel ca diagramele M, Tdin figura 3.35sunt defmitivate. 176 STABILITA TEACADRE LOR PLANE Observapi La capete V(O)= T(O);V(l) = T(l). Dadi v = 0; :M(O)= M(l) =- ql z lim1=qlz 2HOc(v) + s(v)12 Momentul maxim in camp este =M v-2sinv+vcosv

_ql2 22-2cosv-vsinv22vv2 Cazulindircarii concentrate (fig. 3.36) lp t_jN

ab 1 M(l) T(l) Fig. 3.36. Inacestcaz,ecuatiadiferentialacaretrebuieintegratainvederea determinariifibreimedii deformate esteomogena Yiv+ nzy"= 0. 177 STABILITATE STRUCTURALA Trebuieintegra Hipeinterva1e1e xE[ 0, a]xE[a, 1] .Funqii1e y, y', y" suntcontinueInx=a,iar ym prezintaodiscontinuitatedeprima speta, sa1tu1avand va1oarea P/EI.Ca1cu1e1econduc la va1ori1e: M(O)= 1 p.1 [c(v)(b sin v- sin bvJ- v- sin avJ] v- sm v1111 M(1)= 1 p.1 avJ-s(v)(.!:sinv-sin bvJ] v- sm v1111 T(o) P{bc(v) + s(v) [2b -1..av.bv]} =-+--smv+sm--sm-1v2 sin v111 (3.177) T(1) P{ac(v) + s(v) [2a -1..bv.av]} =- -+ 1 --smv+sm--sm- . 1v- sin v111 Observafii Rotiri1e1acapete fiindnu1e,avem V(O)=T(O);V(l) =T(1) Daca a =b =1/2 P1rJ(sinv.VJ M(O)= M(l) = 1 Lc(v)- s(v)--sm-v- sm v22 (3.178) pp T(O)= 2;T(1)= -2. 178 ATE-\ CADRELOR PLANE 3.7.2. Bara mcastrat-articulata Cazul incarcarii uniform distribuite (fig. 3.37) q arctg y'(l) Fig. 3.37. Solutia ecuatiei diferentiale (3.167) qx 2 y = C 1 + C 2 x + C 3 sin nx + C 4 cos nx + 2 2nEI trebuie sa satisfaca conditiile limita y(O)= 0 y'(O) = 0 y(l) = 0 y"(l) = 0. Conditiile (3 .179) con due la CI+C4=0 C2 + nC3 = 0 (3.179) 12 C1 +C2l+C3sinnl+C4cosnl+q2 =0 2nEI -n2C3 sinnl-n2C4 cosnl++ = 0 nEI 179 STABILIT ATEsistem care dupa e1iminarea constantelor C1C2va fi (n1-sinn1)C3 +(1-cosn1)C4 =;(n1)2 2nEI Din acest sistem gasim C=2 - 2 cos n1- n 212 cos n1q 3 sinn1-n1cosn12n4EI c=- 2n1- 2 sin n1- n 2e sin n1q 4 sin n1- n1cos n12n 4EI cl = -c4 C2 =-nC3 Vom putea scrie: [2n1- 2sinn1- n2esinn12- 2cosn1- n2ecosn1 y=- nx+ sinnl- n1cosn1sinn1- n1cosn1 (3.180) +s1nnx - cosnx+ 2-2cosn1-n2ecosn1.2n1-2sinn1-n212sinn1l q sinn1- nlcosnlsinnl- nlcosnl2n 4El qx2 +--2n2EI ,[2 - 2 cos nl - n 212 cos n12 - 2 cos nl - n 212 cos n1 y=- +cosnx+ sin n1- n1 cos n1sin n1- n1 cos nl +smnx+--2n1 - 2 sin n1- n 212 sin n1.l qqx sin n1- nl cos n12n 3EIn 2EI "[2 - 2 cos nl - n 212 cos nl. y=- smnx+ sin nl - n1 cos n1 2n1-2sinn1-n212 sinn1l qq ---------cosnx 7 +--sinn1-n1cosn12n-EIn2EI '"[2 - 2 cos n1- n 212 cos n1 y=- cosnx-sin n1- n1 cos n1 180 (3.181) 2nl-_ -innl - n.:fsinnl.]q - srnnx--. sin nl - nlos nl2nEI Tree em 1afactoruldecompresiuneadimensiona1 Y =n1~ re1atii1e(3 .181) de Yin: [2Y --SinY - Y2sinY2-2cosY-Y2cosYYX y=- -+ sinY- YcosYsinY- YCOSY1 2 - 2cosY - Y2cosY.YX2Y- 2sinY- Y2sinYYx]q14 +sm-- cos- --+ sinY- YCOSY1sinY- YCOSY12Y4El q1zxz +--2Y2El (3.182) 1 [2-2cosY-Y2 cosy2-2cosY-Y2 cosYYX y=- +cos-+ sin Y- YcosYsin Y - YcosY1 2Y- 2sin Y- Y2 sin Y.YX]q13 q12x +sm- +--sinY-YcosY12Y3ElY2El 11 [2 - 2 COSY- Y 2 COSY.YX y=- sm-+ sin Y- YcosY1 2Y- 2sin Y- Y2 sin YYX]q12 q12 --------cos- +--sinY-YcosY12Y2EIY2EI ,1 [2-2cosY-Y2cosyYX2Y-2sinY-Y2sinY.YX]q1 y=- cos-- sm- --. sinY-YCOSY1sinY-YCOSY12YEI InYedereadeterminariimomentu1uideincastrareperfectaM(O)~ a forte1ortaietoare T(O),T(l) calculam: y"(O)=2Y-2sinY-Y2 sinY .L+= sin Y-YcosY2Y2EIY2El = 2Y - 2sinY-Y2sinY+2sinY-2YcosY . ql2 _2-2cosY-YsinYqf 2Y2(sinY-YCOSY)EI- 2Y(sinY-YcosY).EI ' y"'(O)= _2 - 2 cosY- Y2 cosY. _g!_ 2Y(sin Y- YcosY)EI 181 STABILITATE STRUCTURAL.\ y'"(l)= 2+Y2 -2YsinY-2cosY ,_9!_ 2Y(sin Y- YcosY)EI y'(1) =4+ Y2 + Y2 cosY -4cosY- 4Ysin Y.qe 2Y3(sinY-YcosY)EI 2 '(1)_ Y2 '(1)- 4+Y2+Y2cosY-4cosY-4YsinYq1 ny--y-- -. 12 2 Y( sin Y - YcosY)EI Cu acestea putem ca1cu1a M(O) = -Ely"(1) = _ 2--Ysin Y. ql2 2v(smY-YcosY) T(O) = -Eiy'"(O) = 2- Y2 cosY. ql 2Y(smY-YcosY) V(O)= T(O) M(l) =0 T(l) =-Ely'"=_ 2+ Y2 -_2Ysin Y- 2cosY. q1 2Y(sm Y- YcosY) V (l)= T(l)- Ny' (l) = T(l)- n 2 Ely' (l) = 2 = T(l) -;-Eiy'(1) 1 V(l) = [- 2 + Y2 -2Ysin Y- 2cosY + 2Y(sin Y- YcosY) +4+Y2 +Y2

2Y(sin Y- YcosY) V(l) = 2- 2Ysin Y- 2cosY + y2 cosY. ql. 2Y(sin Y- YcosY) (3.183) (3. 184) Pentruverificareconsidedimbaracureactiunilelacapete(momentede incastrareperfectareactiuniverticale)determinatecainfigura3.38 trebuie ca ecuatiile de echilibru sa devina identitati. 182 STABILITATEA CADRELOR PLANE M(O)~ ql V ( ~ . - - - - - - - - - - - - - - - - - - . i ~ X y! Fig. 3.38. Ecuatia L, X = 0 , ecuatia L, Y = 0 conduce la V(O)+ V(l) = ql. inlocuim pe V(O)~ i V(l) cu expresiile gasite maisus~ i putem scrie V(O) + V(l) =2- 2cosv -v2 cosv -_2 + 2vsin v + 2cosv -v2 cosv ql = 2v(smv-vcosv) = 2v(sin v- v cos v) ql = ql. 2v(sin v- v cos v) AicitrebuieprecizatcaV(l)s-aluatcusemnschimbatdeoarecein expresialuiestesemnulcunoscutdinRezistentamaterialelordarca reactiune este indreptata in sus. Ecuatia L, M = 0 se scrie deexemplu in capatul din dreapta ~ i obtinem 1 M(O) -lV(O) + ql l= 2-2cosv -vsinv 1?2-2cosv-v2 cosv 12 12 - q-- q+q-= 2v(sin v- v cos v)2v(sin v- v cos v)2 = -vsinv+v2cosv ql 2+ ql2 = 2v(sin v- v cos v)2 =- v(sinv-vcosv)ql 2+ ql2 =- ql2 + ql2 =O. 2v(sinv - vcosv)222 183 ST ABfLIT ATE STRUCTURAL.\. Cazullndirdirii concentrate (fig. 3.39) arctg y'(l) arctg y'(l) V(l) Fig. 3.39. Inacest caz ecuatia diferentiaUi a deformatei este cea omogena y IV+ n 2 y"= Q . Solutiaeitrebuieconsideratapeintervale1edecontinuitatein y"' , adicax E[O,ahix E[a, l]. Vom avea {c, + C2x + c 3 sin nx + c 4cosnx, XE[O,a] y= O,+ 02x + D3 sinnx + 04 cosnx, x E[a,l] 1 {C2 + nC3 cos nx- nC4 sin nx,x E[O,a] y= 02 + n03 cosnx- n04 sinnx, x E[a,l] ,_ {- n2C3 sin nx- n 2C4 cosnx, x E[O, a] y- ?? - n-03 sm nx- n-04 cosnx, x E[a, 1] 1,{-n3C3 cosnx + n3C4 sinnx, x E[O,a] y= - n303 cosnx + n304 sinnx,x E[a, l]. 184 (3.186) (3.187) (3. 188) (3. 189) STABILITATEA CADRELOR PLANE Condipile la limite ale problemei sunt y(O)= 0 y'(O)= 0 Yst (a) =Ydr (a) Y:t(a)= Y;t (a)=(a) p vst (a) =v dr (a) +-El y(l) = 0 y"(l) = 0 (3.190) Conditiaa6-adinrelatiile(3 .190)trebuietranspusa 1n y' y'".Pentru aceasta tinem cont ca in orice sectiune x, V(x) =T(x)- Ny'(x), adica V(x) = -Ely'"(x)- n 2Ely'(x) conditia a 6-a devine -Ely: (a)- n2Ely:1 (a)= -Ely: (a)- n 2 (a)+ P cum seobtine -Ely: (a)= -Ely: (a)+ P sau (3.190') Suntemla sistemul de ecuatii liniare 185 ST ABILIT ATE STRUCTURALA C1 + C4 = o C2 + nC3 = 0 C1 + C2a + C3 sinna + C4 cosna = =D1 + D2a + D3 sinna + 04 cosna C2 + nC3 cos na- nC4 sin na = =D 2 + nO 3 cos na - nD 4 sin na C 3 sin na + C 4 cos na =D 3 sin na + D 4 cos na C3 cosna- C4 sinna =03 cosna- D4 sinna +-i-nEI D 1 + D 21+ D 3 sin n1 + D 4 cos n1= 0 D3 sin n1+ D 4 cos n1=0. (3.191) Este un sistem de ecuatii 1iniare in necunoscute1e Ci,Di,i =1,2,3,4. Scriemecuatii1e3,4,5,6,careexprimacondi!ii1edinsectiuneax=a, sub forma (C1- D1)+ (C2- D2)a + (C3- D3) sinna + (C4- D4)cosna = 0 (C2- 02)+ n(C3- D3)cosna -n(C4- D4) sinna = 0 (C3 -D3)sinna+(C4 -D4)cosna=0 (C3- D3 )cosna- (C4- D4) sinna = -i-nEI din care putem determina marimi1e Ct-Dt, CrD2, C3-D3, C4-D4. Ultime1e2 ecuatii conduc 1a smnacosna ~ = =-1 cosna-smna 0 ~ =1 cosnap = -sinnan3EI smna ~ 4 =cosna 186 (3.1 92) S"":".-illATE-\CADRELOR PLANE adidi C_ D,= P cos na.C_ D= _ P sin na 3 .,n 3EI 44 n 3 EI (3.193) Seobservaca,ultimele2ecuap.idin(3.192)considerate in primeledoua conduc la Din acestea rezulta (c-D)=--P-2zn zEI Pa (CI-DI)=-?-. n-EI (3.194) (3.195) Dinsistemuldeecuatii(3 .191)auramasnefolositeprimeledoua~ ultimele doua ecuatii. Relatiile (3.193), (3.194), (3.195) se mai scriu Pa cl=Dl +-?-n-EI p Cz=Dz --?-n-EI C= D+ Pcosna 33n3EI C= D_Psinna 44n3EI iar ecuatiile nefolosite, care se scriu C1+C4=0 C2 + nC3 = 0 D1 +D21=0 D 3 sin nl + D 4 cos nl = 0, 187 (3.196) (3.197) ST ABILITATE STRUCTURALA conduc la sistemul D PaDP sin na_ 0+--+- -1 n2EI 4 n3EI D__P_+nD+Pcosna= 0 2 n2El 3 n 2El D1 + D21 = 0 D3 sinnl+ D4 cosnl = 0 Din acest sistem deecuatii rezulta D _ sinnl-sinnb-nacosnl l-n2EIsinnl- nlcosnl 0 2 Psinnl-sinnb-nacosnl ln 2 EIsin nl- nl cos nl D _Pcosnl_ nb-nlcosna+sinnal 3 -n 3EIsin nl- nlcos nl D=Psinnl_ nb-nlcosna+sinna 4 n3EIsinnl-nlcosnl iar cu relatiile (3.196) se gasesc C 1 n2EIsinnl-nlcosnl C? = __P_.nb- nb cos nl - n 2EIsmnl- nlcosnl C3 =- C2=-p- sinnb-nbcosnl nn3Elsinnl-nlcosnl C --C 4 - I- n 2Elsin nl- nl cos nl Constantele Ci,Di; i =1,2,3,4, fiind determinate, scriem: 188 (3.198) (3.199) (3.200) inn- ncos nl.n1 sin nb - nb sin n1][O] -'---------'-smnx- cosnx;x E,a in nl - nl cos nlsin n1- n1 cos n1 P[ sin nb - sin n1 + na cos n1(1 ) -- n-x + n 3Elsin n1- n1 cos n1 y= nb - n1 cos na + sin na.(1 )][ 1] +sm n- x; xEa, sin n1 - n1 cos n1 P[sin nb- nbcosn1sin nb- nbcosnl -- - +cosnx+ n2EIsinnl-n1cosn1sin nl- nlcosn1 y'= n1sinnb-nbsinn1.][O] +smnx;x E,a sin n1- n1 cos n1 ___!___[-sin nb- sin n1 + na cos n1_ n2Elsinn1-n1cosn1 nb - n1 cos na + sin na(1 )][ 1] - COS n- X; XEa, sin nl- n1 cos n1 P[sin nb - nb cos n1. -- smnx+ nEIsin n1- n1 cos n1 y"= n1 sin nb - nb sin nll[O] +cos nx; xE, a sin n1- n1 cos nl (3.201) P[nb - n1 cos na + sin na.(1 )J[ 1] - - sm n- x xEa nEIsin n1- n1 cos n1'' 189 STABlLITATE STRUCTURALA P[sin nb - nb cos nl - - cosnx-Elsin nl- nl cos nl "'nl sin nb - nb sin nl.l[O] y=- sm nx; xE, a sin nl - nl cos nl Calculam P[ nb- nl cos na +sin na(l)](l] - COS n- X,XEa,. EIsin nl - nl cos nl y"(O)=lsinnb-bsinnlp El(sin nl- nl cos nl) y'"(O)= _sin nb- nb cos nlp El(sin nl- nl cos nl) y'(l) =sin nl- sin nb- na cos nl p n 2EI(sin nl- nl cos nl) y'"(l)=nb- nlcos na +sin nap. El(sin nl- nl cos nl) (3.202) Cuacestemarimi,putemcalculaefectelelacapatM(O),V(O)=T(O), V(l) = T(l)- Ny'(l) cu relatiile: M(O)= -Eiy"(O) V(O)= -Ely'"(O)(3.203) Seobtine V(l) =-Ely"'(I)- n 2 Ely'(I) M(O)=I sin nb- bsin nl p sin nl- nl cos nl V(O)=sin nb- nb cos nl p sin nl- nl cos nl V(l) = sin nl- sin nb - na cos nl p sin nl- nl cos nl 190 (3.204) lATEACADRELORPLANE Verificamrezulele.criindecua!llle deechi1ibru (decorp rigid),figura 3.40. Fig. 3.40. IY=O; V(O)+V(l)=sm n1- n1 cos n1 "M, = 0. V(0)1- Pb =sin nb- nbcosn1 p1_ Pb = 1sin nb- bsinn1 p = M(O). L....'sin n1- n1 cos nlsin n1- n1 cos n1 Foqa axiaHi N fiindconstanta in bara, ecuatiaIx = 0. Daca se trece 1afactoru1decompresiune v = n1,re1atii1e(3.204)devin: .vbb. sm---smv M(O)= 11 P1 sm v -vcosv .vbvb sm---cosv V(O)=11p sm v -vcosv ..vbva smv-sm---cosv V(l) = _ -----=1'----'1'--- p . sm v- vcosv Pentru a =b =112,obtinem: 191 (3.205) STABILIT ATE STRUCTURALA .v1. sm---smv M(O) = 22 Pl sm v-vcosv .vv sm---cosv V(O) =.22p smv-vcosv ..vv sm v- sm-- -cos v V(l)= 22 ------""-----'"'-----p . smv-vcosv (3.205) Incazul incare N=0,trebuiesa seobtina valorile dinstatica deordinul intai. Intr-adevar .v1. sm---smv lim M(O)= lim. 22 Pl= .2_= v ~ o v ~ o sm v - v cos v0 1v1 -cos-- -cos v = Pllim 222 = 0 = v ~ COS V - COS V + V Sin V0 v1.v. cos-- cos v- -sm- + sm v = Pllim2= .2.= Pllim22 = 2v ~ V Sill V02v ~ Sin V+ V COS V 1v1 - -cos-+ cos v--+ 1 = .2_=~ l i m 42=Pl4=3 Pl 02HOcos v + cos v - v sin v21 + 1 .vv sm---cosv limT(O) = Plim. 22 v ~ v ~ Slll V - V COS V 1v1v. = -cos- --cos v + - sm v = Plim 2222 v ~ o cos v - cos v + v sin v v. pcos-- cos v + v sm v =-lim 2 = 2 v ~ o vsin v 192 0 -= 0 0 == 0 16 pt a=b=l/2ST ABILIT A TEA CADRELOR PLANE 1.v.. P --sm-+smv+smv+vcosv 0 =-lim22= 2v-+0sin v + v cos v0 1v2. p--cos- +cos v + cos v - v sm v =-lim 42 2v-+0cos v + cos v - v sin v 1 P- 4 + 3 liP =_.:.____ = 2216 Tinem cont di T(l) = -Eiy"'(l) undey'"(l) are expresia data de ultima relape din (3.202).Se obtine T(l) = _ nb- nlcos na +sin nap sin nl - nl cos nl sau cub= 112 Rezul'ele vv.v - - v cos-+ sm-T(l) = _ 2.22P. sm v -vcosv vv.v --vcos-+sm-lim T(l) = P lim 2 . 22 = 0 v-+0v-+0sm v - v cos v0 1VY.V1V --cos-+-sm-+-cos-0 = p lim222222= v-+0cos v - cos v + v sin v0 l.vl . vvvl . v - sm- +- sm- +-cos---sm-=p lim22224242= sin v + vcosv 1v1v1v1.v1v -cos-+- cos- +-cos- --sm--- cos-=p lim4242428282= cos v + cos v - v sin v 111131 -+-+---= p4448= p=5P 2216 193 ST ABILIT ATE STRUCTURALA M(O)= 3Pl .16 T(O)= liP .T(l) = 5P 16'16 sunt cunoscute din statica deordinul intai. Observafie Daca studiem ..vv sm v - sm---cos v lim V(l) = Plim 22 v-40v-4osm v - v cos v 1v1v. = cos v --cos---cos v +-sm v = Plim2222 0 = 0 0 = v-40cos v - cos v + v sin v0 .l.v1.1.v = - sm v +-sm- +-sm v +-sm v +-cos v = Plim42222 V-40 sin v + vcosv 1V1Y.11 -cos-+-cosv --sm v-+-= Plim 8222= P]_____l_=5P v-40cos v + cos v - v sin v1+ 116 = Estenormalca intr-obaracuv=0,reactiuneaV(l)safieegalacuforta taietoare T(l). 3.8. Aplicarea metodei deplasarilor in calculul de ordinul aldoilea Inparagrafelereferitoareladeterminareamatriceiderigiditateabarei, respectivladeterminareaeforturilorIacapete,baraafostpregatitain vedereaincadrariieiintr-ostructura.incontinuareprezentammetoda deplasarilor incalcululdeordinulaldoilea alstructurilor incadre.Metoda seaplicainprincipiuca~ incalcululdeordinulintai,cuobservatiacain calcululdeordinulaldoileasetineseamadecontributialaincovoierea forteloraxialeNdinbarelestructurii.Daracesteforteaxialenusecunosc apriori.Eletrebuiedeterminate intr-un calculdeordinul intai, sau apreciate. In functiedeacestea se calculeaza factoriidecompresiune Vi, 194 pt. N=0= 1 I .i (3.206) dinbare.poiepoatealculamatriceaderigiditateastructuriicu considerareafunriilorc vi , svi),r(vi), c'(vJ,r'(vJ. Incalcululdeordinul aldoilea funcriilec,src', r' lenumim functiidecorectie.Inbarele incare v < 0,20bara poate fi considerata tara efort axial. Cunosdind imomentele deincastrare perfecta respectiv foqeletaietoare (reactiuniletransversale)decapat,putemscriesistemulconditiilorde echilibru1ncarecanecunoscutefigureazarotirilenodurilorrespectiv deplasarileacestora1ncazulcadrelorcunodurideplasabile.Aceste necunoscutedeterminatepermittrasareadiagramelordemomente,forte taietoareiforteaxialepestructura.Foqeleaxialerezultatedindiagrame suntevidentalteledecatcelerezultatedincalcululdeordinulinHiisau apreciate,cu care s-a plecat in calcul. Aceastafacecasasereiacalculul,cunoilevalorialefactorilorde compresiune(3.206).Calcululesteevidentiterativ.Elsevaconsidera incheiat candladouaiteratiisuccesive,factoriidecompresiune(sau foqele axiale)sunt egali in limitele unor aproximatii prescrise. Experientaarataelifoqeleaxialenudiferapreamultdincalcululde ordinulaldoileafatadeceledincalcululdeordinulintai. ~ a capentru determinareamomentelorintr-uncalculdeordinulaldoileaajungeo singura iteratie. Exemplu Pentru cadruldinfigura3.41secer diagrameleM, T,Nintr-un calculde ordinul aldoilea. 195 STABILITATE STRUCTURALA 50kN rOOkNrOOkN 600kN ' v '\4EI El= 20.000/ EI

5 m 2m2m / Fig. 3.41. Cadrul este cu nodurideplasabile.Forma de baza este data in figura 3.42 este valabila atiit in calculul de ordinul intiiicat in eel deordinul aldoilea. 3 Fig. 3.42. 196 .-\ E:\ CADRELORPLANE Intr-unaldoileageometricneliniar,eforturileaxiale pot fi apro.nuu a se Yedeacare este diferenta intre diagramele demomerre- deorclinulaldoileafatadeceledincalcululde ordinul intai. ,-omae ~ calculul deordinul intai din care dacli tot rezultli ~ eforturileauale.levomfolosiindeterrninareafactorilordecompresiune. Sistemul ecuapilor de echilibru (in metode deplaslirilor)se scrie {r,, Z,+ r12Z2 + r10 = 0 rz,Z,+r22Zz+rzo =0. Calculul de ordinul intai (3.207) In vedereadeterminliriimatriceiderigiditateasistemului(3.207)traslim pe formadebazlidinfigura3.42 diagrameledemomentem1 ~ m2 din Z1 = 1,Z2 =0respectiv Zt=0,Z2=1.Acestea sunt prezentate in figurile3.43a, b. Fig. 3.43. 6EI y b) 3El y 1 Diagramademomentedininclircareaexterioarlipeformadebazlieste data in figura 3.44. 197 Yom scrie STABILIT ATE STRUCTURALA Fig. 3.44. 5.300.4 32 _4EI3 4EI_76EI _3 SEI r11 - 5+4- 20- ' r=- 6EI =- 6EI = -0 24EI 215225' r=-6EI=-6EI = -0 24EI 125225' =12EI3EI = O 12EI r22 53+ 53' 33004 r10 == -225KNm 16 r20 =-50KN. (3.208) Sistemul deecuatii, in care ecuatiile le-arn impaf!it cu EI,devine 198 - ~ I . H . ~ TEA CADRE LOR PLANE r 225 t3,Z1 - o,24Z2 =-EI 50 - 0,24Z1 + 0,12Z2 =-EI (3.209) Rezolvarea cu regula luiCramer presupune 3 8-0 24 ~ =''=0,456-0,0576 =0,3984 -0,240,12 225-0,24 127 +1239 ~ --== 1-500,12EIEIEI 3,8225 1190 +54244 ~ 2 = -== -0,2450EIEIEI Rezultli z- ~97,892 ~ - = ~ EI (3.210) . z- ~ 2612,450 2 - = ~ EI Cuacestenecunoscutedeterminate,putemtrasadiagramademomente (ln calculul deordinul intiii) prin suprapunerea efectelor M1 = m1Z1 + m2Z2 + M0(3.211) Acestcalculsefaceinsectiunicaracteristicealestructurii.Aceste sectiuni se vad in diagrama demomente. MCll= 2EI. 97,8926EI. 612,450 = 391568 _146 988 I5EI52 EI'' = -107,8312 kNm Mcz>= 4EI. 97,892_6EI. 612,450= 78 3136 _146 988 I5EI52 EI'' = -68,6760 kNm Mc3> =3 4EI. 97,892 _3 300 4 = 293 676_ 225 = I4EI16' = 68,6760 kNm 199 STABILITATE STRUCTURALA M