Lucrarea nr. 2 1

SISTEME DE PRELUCRARE CU ATEPTARE

2.1. Modelul teoretic M/M/s n cazul modelului multi-server i cu ir infinit, M/M/s, intrarea clienilor este de tip Poisson i servirile sunt exponeniale, cu aceeai rat pentru toate cele s servere din dotare. Analiza acestui modelul poate pleca prin a considera relaia general:

= +

=1

0 10

j

k k

kj pp (2.1)

ce furnizeaz probabilitatea oricrei stri n raport cu probabilitatea strii vide, considernd ratele de sosire i servire dependente de stare. Relaia se particularizat pentru cazul de fa, i anume:

- rata de sosire a clienilor este independent de stare, adic: = j , pentru orice 0j (2.2) - rata de servire, ea este ntradevr dependent de stare:

(1 )( )j

j j ss j s

Lucrarea nr. 2 2

2) numrul mediu de clieni din irul de ateptare:

[ ] ( )sACpsjN jsj

q ,1)( E

== =

(2.7)

3) timpul mediu de ateptare:

[ ] [ ] == 1 ),(1 E E sACsNW q (2.8) 4) timpul mediu de staionare n sistem:

[ ] [ ] [ ]

+=+= As

sACWT ),(11 E E E (2.9)

5) numrul mediu de servere ocupate, care este egal cu numrul mediu al clienilor servii i care constituie traficul servit:

[ ] ApspjNsj

j

s

jjs =+=

+== 10 E (2.10)

Rezultatul este evident, avnd n vedere c nu exist n acest caz vreun "eec" de prelucrare, toi clienii oferii sistemului avnd acces la unitile de servire, imediat sau dup o oarecare ateptare.

6) numrul mediu de clieni prezeni n sistem: [ ] [ ] [ ] [ ]sq NNTN E E E E +== (2.11) 2.2. Modelul teoretic M/M/s//r/FIFO Nevoile practice impun considerarea acestui model, cu numr finit de stri, datorate prevederii unui ir de ateptare cu capacitate finit. Rezult c i numrul clienilor acceptai n sistem este finit, anume: maxim s sunt n serviciu i maxim srk = sunt poziionai n irul de ateptare. Un asemenea sistem poate prelucra orice mrime de trafic oferit de o surs extern, dar el funcioneaz n regim cu ateptare i pierderi, deoarece clienii prezentai la intrare se pot afla n urmtoare situaii:

- acceptare la serviciu chiar n momentul prezentrii dac serverele nu sunt blocate, - acceptare n coada de ateptare, dac cele s servere sunt blocate n momentul sosirii

dar nc mai sunt poziii de ateptare disponibile din cele k, - respingere, dac sistemul este n ntregime blocat (toate cele ksr += poziii sunt

ocupate de clieni anteriori). Tratarea matematic respect aceleai considerente ca i pentru sistemul ideal M/M/s anterior, dar n evaluarea indicatorilor de performan apar trei diferene i anume: - relaia de normalizare aplicndu-se unui set finit de stri, n numr de 1+r , probabilitatea strii vide se calculeaz cu expresia:

1

1

00 !!

= =

+= s

j

r

sj

sjsj

sA

jAp (2.12)

- probabilitatea de ateptare este evaluat ca suma finit a probabilitilor strilor n care ateptarea este permis: 1ra jj sp p

== (2.13)

- probabilitatea de pierderi este cea a strii finale, adic: rskL ppp == + (2.14) Din cadrul indicatorilor de performan se detaeaz: - traficul scurs, a crui intensitate este:

Lucrarea nr. 2 3

[ ] [ ] )1(EE Lefs pAN == (2.15) - timpul de tranzit prin sistem al clienilor acceptai:

[ ] [ ])1(

EE 0L

r

jj

ef p

pjNT

==

= (2.16)

Aplicaia 2.1 Realizai n mediul de programare MATLAB un program care calculeaz pentru un sistem

M/M/s probabilitatea de ateptare, ( ),C A s , aplicnd relaiile (2.4)-(2.6). * * * Aplicaia 2.2

Realizai n mediul de programare MATLAB un program prin care s se poat analiza variaia performanelor unui sistem M/M/s n raport cu traficul oferit i cu dimensiunea grupei serverelor, prin intermediul probabilitii de ateptare i a timpului de tranzit. Cazuri particulare:

a) s 6= pentru 0 6A = erlangi b) 5A = erlangi pentru 1 10s = servere

* * * Aplicaia 2.3

Lund n considerare indicatorul de performan timp de tranzit, [ ]E T , realizai o analiz comparativ a modelelor M/M/2 i M/M/1 ce prelucreaz acelai volum de trafic oferit i cu aceeai rat de servire 80= clieni/sec. Pentru sistemul uniserver va fi luat n considerare i cazul unei serviri mai rapide a clienilor, anume cu o rat 2 .

Analiza se va efectua folosind un program Matlab ce traseaz toate curbele de variaie, n raport cu rata de sosire a clienilor, de exemplu n domeniul 0 200 = clieni/sec. * * * Aplicaie 2.4

Realizai n MATLAB un program care calculeaz probabilitile de stare pentru un sistem M/M/2//4/FIFO i care traseaz graficul de variaie al acestora n raport cu numrul strii sistemului. Evaluai prin program parametrii de performan ai sistemului (probabilitate de pierderi i de ateptare, numr mediu de servere ocupate, numr mediu de clieni prezeni i timp mediu de tranzit) i comparai rezultatele cu cele oferite de formulele teoretice. Caz particular 3=A E.

Indicaie: Plecnd de la graful de stri i tranziii se scriu ecuaiile de echilibru pentru cele 5 stri ale sistemului. Valorile probabilitilor de stare rezult din rezolvarea sistemului matriceal P = L/C, n care matricea C conine coeficienii ecuaiilor n funcie de A (o linie conine coeficienii ce corespund aceleiai necunoscute din toate ecuaiile), matricea L este matricea linie a termenilor liberi ai ecuaiilor, iar P este matricea probabilitilor de stare ( )410 ,,, ppp . Pentru ca sistemul ecuaiilor de balans s fie compatibil determinat (cu soluie unic), trebuie ca una din ecuaiile de balans (oricare dintre ele) s se nlocuiasc cu relaia de normalitate, ceea ce face ca n matricea L un singur element este 1 iar toi ceilali sunt 0. * * * Aplicaia 2.5 Efectuai, cu ajutorului unui program MATLAB, o analiz grafic a variaiei cu dimensiunea irului de ateptare, q r s= , a performanei unui sistem M/M/ / /s r . Indicatorii de performan urmrii vor fi probabilitatea de ateptare i probabilitatea de pierderi. Comparai rezultatele analizei cu valorile de referin ( , )C A s i ( , )B A s adecvate. Caz particular: 3A = erlangi, 6s = , 0 20q = . Prin intermediul graficelor de variaie stabilii dimensiunea optim a componentei de memorie, aa fel nct probabilitatea de pierderi s fie sub 310 .