geometrie analitic a ˘si diferent˘ial a · 2014-06-20 · geometrie analitic a ˘si diferent˘ial...

Geometrie analitica sidiferentiala

asist. Ciprian DeliuUniversitatea Tehnica ”Gh. Asachi” Iasi

Facultatea de Hidrotehnica, Geodezie si Ingineria Mediului

2014

Cuprins

1 Conice 31.1 Dreapta ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Conice pe ecuatii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Schimbari de repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Rotatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Translatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Reducerea conicelor la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1 Invariantii unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Forma canonica a conicelor cu centru . . . . . . . . . . 141.4.3 Forma canonica a conicelor fara centru . . . . . . . . . 17

1.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Cuadrice 262.1 Cuadrice pe ecuatii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.2 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.3 Hiperboloidul cu o panza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.4 Hiperboloidul cu doua panze . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.5 Conul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.6 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.7 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.8 Cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.9 Generatoare rectilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Reducerea cuadricelor la forma canonica . . . . . . . . . . . . . 392.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Generari de suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.1 Suprafete cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1

2.3.2 Suprafete conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.3 Suprafete de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Geometria diferentiala a curbelor si suprafetelor 503.1 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.2 Tangenta si normala la o curba plana . . . . . . . . . . 523.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane . . . . . . . . . . 543.1.4 Curbura unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.5 Infasuratoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . 57

3.2 Curbe ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 Reprezentari analitice. Puncte ordinare . . . . . . . . . 593.2.2 Triedrul Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.3 Elementul de arc. Curbura si torsiune . . . . . . . . . . 63

3.3 Suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.1 Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.2 Plan tangent si normala la o suprafata . . . . . . . . . 673.3.3 Prima forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . 69

3.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2

Capitolul 1

Conice

1.1 Dreapta ın plan

Fie {O,Ð→i ,Ð→j } un reper cartezian ortogonal ın plan. Ecuatia canonicaa dreptei determinata de punctul M0(x0, y0) si de vectorul director Ð→v =lÐ→i +mÐ→j (cu l2 +m2 > 0) este

x − x0

l= y − y0

m

sau echivalentmx − ly −mx0 + ly0 = 0

Notand a =m, b = −l si c = −mx0 + ly0, obtinem ecuatia

ax + by + c = 0

cu a2+b2 > 0, ecuatie care se numeste ecuatia generala a dreptei ın plan.Daca egalam rapoartele din ecuatia dreptei cu λ:

x − x0

l= y − y0

m= λ

se obtin ecuatiile parametrice ale dreptei:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + λly = y0 + λm

De asemenea ecuatia canonica a dreptei determinata de doua puncteM1(x1, y1) si M2(x2, y2) este:

x − x1

x2 − x1

= y − y1

y2 − y1

3

ecuatie care se poate rescrie

RRRRRRRRRRRRRR

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

RRRRRRRRRRRRRR= 0

Cazuri particulare

� Ecuatia axei Ox: y = 0

� Ecuatia unei drepte paralele cu Ox: y = y0

� Ecuatia axei Oy: x = 0

� Ecuatia unei drepte paralele cu Oy: x = x0

� Ecuatia primei bisectoare: y = x

� Ecuatia celei de-a doua bisectoare: y = −x

� Ecuatia dreptei prin taieturi:Fie o dreapta care nu trece prin origine si nu este paralela cu axele decoordonate si fie A(a,0),B(0, b) punctele de intersectie ale dreptei cuaxele de coordonate, cu a ⋅ b ≠ 0. Obtinem:

x − a0 − a

= y − 0

b − 0⇔ bx + ay − ab = 0⇔ x

a+ yb− 1 = 0.

Fie o dreapta d de ecuatie

ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0

Atunci si λax + λby + λc = 0, λ ∈ R∗ este o ecuatie a dreptei d, deci odreapta are o infinitate de ecuatii. Doua ecuatii reprezinta aceeasi dreaptadaca si numai daca au coeficientii proportionali.

Daca dreapta d nu este paralela cu Oy (deci b ≠ 0), ecuatia dreptei sepoate rescrie:

y = −abx − c

b

Notand m = −ab, n = −c

bobtinem

y =mx + n

care se numeste ecuatia explicita a dreptei d. Coeficientul m se numestepanta dreptei, iar n este ordonata intersectiei dreptei cu axa Oy.

4

Fie A(xA, yA) si B(xB, yB) doua puncte distincte pe dreapta d. Dreaptanefiind paralela cu Oy, avem ca xA ≠ xB. Punand conditia ca cele douapuncte sa verifice ecuatia dreptei obtinem

yA =mxA + n si yB =mxB + n.

Scazand cele doua ecuatii obtinem

yB − yA =m(xB − xA)⇒m = yB − yAxB − xA

= tg θ

unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitiva a axei Ox si semidreapta de pedreapta d situata deasupra axei Ox. Avem:

� m > 0⇔ θ unghi ascutit

� m < 0⇔ θ unghi obtuz

� m = 0⇔ dreapta este paralela cu Ox

Observatii

1. Dreapta d care are ecuatia explicita y = mx + n trece prin punctelede coordonate (0, n) si (1,m + n), deci ecuatia canonica a dreptei estex

1= y − n

m, asadar un vector director al dreptei este Ð→v = 1 ⋅Ð→i +m ⋅Ð→j

2. O dreapta este unic determinata de un punct M0(x0, y0) si de pantam. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreapta avem

m = y − y0

x − x0

⇔ y − y0 =m(x − x0)

3. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntparalele daca si numai daca m1 =m2.

4. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntperpendiculare daca si numai daca m1 ⋅m2 = −1.

1.2 Conice pe ecuatii reduse

Definitia 1.1. Se numeste conica o curba plana definita ın reperul cartezian

ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j } printr-o ecuatie algebrica de gradul al doilea de forma

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0 (adica cel putin unul dintre

coeficientii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordo-natele euclidiene ın reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.

5

Conicele se mai numesc si curbe de gradul al doilea. Exemple de conice:cercul, elipsa, hiperbola, parabola.

1.2.1 Cercul

Definitia 1.2. Fie un punct fixat C(a, b) si r > 0 un numar real fixat. Senumeste cerc de centru C si raza r este locul geometric al punctelor M(x, y)care satisfac egalitatea

∥ÐÐ→CM∥ = r. (1.1)

AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j , deci (1.1) se rescrie

√(x − a)2 + (y − b)2 = r

sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (1.2)

care se numeste ecuatia carteziana implicita a cercului de centru C(a, b)si raza r.

Efectuand calculele ın ecuatia (1.2) obtinem:

x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0.

Notand m = −a, n = −b si p = a2 + b2 − r2, ecuatia se rescrie

x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0,

care se numeste ecuatia generala a cercului .Ecuatia (1.2) este de asemenea echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a + r cos t

y = b + r sin t, t ∈ [0,2π)

numite ecuatiile parametrice ale cercului.

1.2.2 Elipsa

Definitia 1.3. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea

MF +MF ′ = 2a

se numeste elipsa.

6

� Punctele F,F ′ se numesc focarele elipsei

� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.

� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:

FF ′ = 2c < 2a

� distantele MF si MF ′ se numesc raze focale

Pentru a gasi ecuatia elipsei alegem ca axa a absciselor axa focala FF ′, iarca axa a ordonatelor mediatoarea segmentului FF ′. Originea reperului estemijlocul segmentului FF ′, deci focarele au coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0).Din definitia elipsei, punctul M(x, y) apartine elipsei daca si numai daca

√(x − c)2 + y2 +

√(x + c)2 + y2 = 2a⇔

√(x + c)2 + y2 = 2a −

√(x − c)2 + y2 ⇔

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 ⇔a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx⇔ a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Notand b2 = a2 − c2, ecuatia anterioara devine

b2x2 + a2y2 = a2b2 ⇔ x2

a2+ y

2

b2= 1,

ecuatie care se numeste ecuatia carteziana implicita a elipsei.Observatii

� Daca M(x, y) este un punct pe elipsa, atunci si simetricul lui fata deOx, punctul de coordonate (x,−y) verifica ecuatia elipsei, deci Ox esteaxa de simetrie a elipsei.

� Simetricul lui M fata de Oy, punctul de coordonate (−x, y) verificaecuatia elipsei, deci Oy este axa de simetrie a elipsei.

� Simetricul lui M fata de O, punctul de coordonate (−x,−y) verificaecuatia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei.

� Intersectiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a,0), A′(−a,0),B(0, b), B′(0,−b) se numesc varfurile elipsei.

� ∥Ð→OA∥ = a si ∥

Ð→OB∥ = b se numesc semiaxa mare si respectiv semiaxa

mica a elipsei.

7

� Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea elipsei. Avem:

e2 = c2

a2= a

2 − b2

a2= 1 − ( b

a)

2

⇒ b

a=√

1 − e2

deci excentricitatea caracterizeaza forma elipsei.

� Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a cos t

y = b sin t, t ∈ [0,2π)

numite ecuatiile parametrice ale elipsei.

� Ecuatia tangentei la elipsa dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pe elipsase obtine prin dedublare:

xx0

a2+ yy0

b2− 1 = 0.

1.2.3 Hiperbola

Definitia 1.4. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea

∣MF −MF ′∣ = 2a

se numeste hiperbola.

� Punctele F,F ′ se numesc focarele hiperbolei

� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.

� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:

FF ′ = 2c > 2a

� distantele MF si MF ′ se numesc raze focale

Pentru a gasi ecuatia carteziana implicita a hiperbolei alegem ca axa aabsciselor axa focala FF ′, iar ca axa a ordonatelor mediatoarea segmentuluiFF ′. Originea reperului este mijlocul segmentului FF ′, deci focarele au

8

coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0). Prin definitie, punctul M(x, y) apartinehiperbolei daca si numai daca

√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a⇔

√(x + c)2 + y2 =

√(x − c)2 + y2 ± 2a⇔

x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 − 2cx + c2 + y2 ± 4a√

(x − c)2 + y2 + 4a2 ⇔±a

√(x − c)2 + y2 = cx − a2 ⇔

a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2 ⇔(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)⇔

b2x2 − a2y2 = a2b2 ⇔ x2

a2− y

2

b2= 1.

Observatii

� Axele Ox si Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei;

� Intersectiile hiperbolei cu axaOx, puncteleA(a,0), A′(−a,0), se numescvarfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeste axa transversa a hiper-bolei;

� Dreptele de ecuatii y = ± bax sunt asimptotele hiperbolei si se obtin ca

asimptote oblice ale functiilor

f1(x) =b

a

√x2 − a2 si f2(x) = −

b

a

√x2 − a2;

� Daca a = b, hiperbola are ecuatia x2 − y2 = a2 si se numeste hiperbolaechilatera, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x si y = −x;

� O ecuatie de forma xy = ±a2 reprezinta tot o hiperbola echilatera, avandca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoareleaxelor.

� Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea hiperbolei. Avem:

e2 = c2

a2= a

2 + b2

a2= 1 + ( b

a)

2

⇒ b

a=√e2 − 1

deci excentricitatea caracterizeaza forma hiperbolei.

9

� Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a ch t

y = b sh t, t ∈ R

numite ecuatiile parametrice ale hiperbolei.

� Ecuatia tangentei la hiperbola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pehiperbola se obtine prin dedublare:

xx0

a2− yy0

b2− 1 = 0.

1.2.4 Parabola

Definitia 1.5. Fie o dreapta fixa d ın plan si un punct fix F ∉ d. Loculgeometric al punctelor M din plan cu proprietatea ca distanta la punctul Feste egala cu distanta la dreapta d se numeste parabola.

� Punctul F se numeste focar;

� Dreapta d se numeste dreapta directoare;

� Distanta de la focar la dreapta directoare se numeste parametrulparabolei si se noteaza cu p.

Pentru a gasi ecuatia parabolei alegem ca axa a absciselor perpendicularadusa prin F la d, care intersecteaza dreapta d ın punctul A si are sensulpozitiv de la directoare catre focar, iar axa ordonatelor este mediatoareasegmentului AF .

Focarul F are coordonatele (p2 ,0), iar prin definitie un punct oarecare

M(x, y) se afla pe parabola daca si numai daca ∥ÐÐ→MF ∥ = ∥

ÐÐ→MB∥ unde B este

proiectia lui M pe dreapta d si are coordonatele (−p2 , y). Obtinem:

√(x − p

2)

2

+ y2 = x + p2⇔ x2 − px + p

2

4+ y2 = x2 + px + p

2

4

de unde se obtine ecuatia carteziana implicita a parabolei:

y2 = 2px

Axa Ox se numeste axa parabolei (sau axa transversa a parabolei) sieste axa de simetrie pentru parabola, iar punctul O(0,0) se numeste varfulparabolei.

Observatii

10

� Ecuatia carteziana a parabolei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = t2

2py = t

, t ∈ R

numite ecuatiile parametrice ale parabolei;

� Ecuatia tangentei la parabola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de peparabola se obtine prin dedublare:

yy0 = p(x + x0);

� Ecuatia y2 = −2px, p > 0 reprezinta tot o parabola cu axa transversaOx, varful ın origine, dar situata ın semiplanul din stanga axei Oy;

� Ecuatiile x2 = 2py si x2 = −2py, cu p > 0 reprezinta parabole avand axatransversa Oy si varful ın origine.

1.3 Schimbari de repere carteziene

1.3.1 Rotatia

Fie {O;Ð→i ′,Ð→j ′} un reper cartezian ortonormat obtinut prin rotirea reperului

{O;Ð→i ,Ð→j } cu un unghi θ ∈ [0, π). Notam cu (x, y) coordonatele unui punct

oarecare M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasipunct ın reperul rotit. Avem:

ÐÐ→OM = xÐ→i + yÐ→j = x′Ð→i ′ + y′Ð→j ′

Inmultind scalar aceasta egalitate cuÐ→i , respectiv

Ð→j , obtinem:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

xÐ→i ⋅Ð→i + yÐ→j ⋅Ð→i = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→i

xÐ→i ⋅Ð→j + yÐ→j ⋅Ð→j = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j

AvemÐ→i ⋅Ð→i =Ð→j ⋅Ð→j = 1 si

Ð→i ⋅Ð→j =Ð→j ⋅Ð→i = 0, deci

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→iy = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j

(1.3)

Avem ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→i ′ ⋅Ð→i = cos θ,

Ð→j ′ ⋅Ð→i = cos (θ + π

2) = − sin θ

Ð→i ′ ⋅Ð→j = cos (π2 − θ) = sin θ,

Ð→j ′ ⋅Ð→j = cos θ

11

si ınlocuind ın (1.3) gasim

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

sau echivalent

( xy

) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

)( x′

y′) .

Matricea C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

) este o matrice ortogonala (C−1 = CT ), deci

rotatia ın plan de unghi θ este o transformare ortogonala.

1.3.2 Translatia

Fie reperul {O;Ð→i ,Ð→j }, un punct A(x0, y0) si consideram reperul cartezian

ortonormat {A;Ð→i ,Ð→j }. Notam cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare

M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasi punct ınreperul nou . Avem:

ÐÐ→OM =

Ð→OA +

ÐÐ→AM ⇔ x

Ð→i + yÐ→j = x0

Ð→i + y0

Ð→j + x′Ð→i + y′Ð→j

de unde obtinem⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′.

Prin compunerea unei translatii cu o rotatie se obtine rototranslatia deecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 +X cos θ − Y sin θ

y = y0 +X sin θ + Y cos θ,

unde (X,Y ) sunt coordonatele punctului M ın {A;Ð→i ′,Ð→j ′}.

1.4 Reducerea conicelor la forma canonica

Fie o conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.

Prin schimbarea reperului, se schimba si coordonatele punctelor de pe conica,deci se schimba si ecuatia pe care o verifica acestea. Vom cauta reperul ın careecuatia conicei are o forma particulara (de elipsa, hiperbola sau parabola),numita forma canonica.

12

1.4.1 Invariantii unei conice

Definitia 1.6. Fie o conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (1.4)

cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0. Numerele reale

I = a11 + a22, δ = ∣ a11 a12

a12 a22∣ , ∆ =

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRRse numesc invariantii conicei.

Teorema 1.1. Invariantii I, δ,∆ nu se schimba la translatii sau rotatii.

Demonstratie:

Inlocuind ecuatiile translatiei

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′ın (1.4) obtinem

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + 2a′13x

′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.5)

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

a′13 = a11x0 + a12y0 + a13

a′23 = a12x0 + a22y0 + a23

a′33 = f(x0, y0), deci coeficientii termenilor de grad 2 nu se

modifica, asadar I si δ raman neschimbati. Efectuand operatii pe coloane ın∆′ avem:

∆′ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a′13

a12 a22 a′23

a′13 a′23 a′33

RRRRRRRRRRRRRR

C3 − x0C1

=C3 − y0C2

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33

RRRRRRRRRRRRRREfectuand operatii pe linii ın ∆′ avem :

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33

RRRRRRRRRRRRRR

L3 − x0L1

=L3 − y0L2

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR= ∆.

Fie acum o rotatie de unghi θ. Avem:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


⇔ ( xy

) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

)( x′

y′)⇔X = CX ′,

13

unde C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

) , X = ( xy

) , X ′ = ( x′

y′).

Introducem de asemenea notatiileA = ( a11 a12

a12 a22) , B = ( a13 a23 ). Ecuatia

conicei se rescrie matriceal XTAX + 2BX + a33 = 0.Inlocuind ecuatiile rotatiei X = CX ′ ın ecuatia matriceala anterioara

obtinemX ′T (CTAC)X ′ + 2B(CX ′) + a33 = 0

Matricea C fiind ortogonala, A si CTAC au acelasi polinom caracteristic, iarcoeficientii acestuia fiind chiar I si δ, deducem ca acestia nu se schimba laefectuarea unei rotatii. Introducem notatiile

A =⎛⎜⎝

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

⎞⎟⎠, C =

⎛⎜⎝

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

⎞⎟⎠, A′ =

⎛⎜⎝

a′11 a′12 a′13

a′12 a′22 a′23

a′13 a′23 a′33

⎞⎟⎠

Consideram forma patratica avand matricea A ın baza canonica din R3.Atunci A′ este matricea aceleiasi forme patratice ın baza data de matriceaC, deci avem

∆′ = det A′ = det(CT AC) = det CT det Adet C = det A = ∆.

1.4.2 Forma canonica a conicelor cu centru

Fie conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (1.6)

cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0. Cautam o translatie de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′astfel ıncat ın noile coordonate ecuatia conicei

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + 2a′13x

′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.7)

sa nu contina termeni de grad 1, adica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a′13 = a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a′23 = a12x0 + a22y0 + a23 = 0.

Caz 1. Daca δ ≠ 0, sistemul anterior are solutie unica, iar ın reperul translatatcu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (1.8)

14

Daca punctul de coordonate (x′, y′) verifica (1.8), atunci si punctul decoordonate (−x′,−y′) verifica (1.8), deci O′ este centru de simetrie pentruconica, iar coordonatele lui sunt:

x0 =− ∣ a13 a12

a23 a22∣

δ, y0 =

− ∣ a11 a13

a12 a23∣

δ(1.9)

Termenul liber f(x0, y0) din (1.8) se rescrie astfel:

f(x0, y0) = a11x20 + 2a12x0y0 + a22y

20 + 2a13x0 + 2a23y0 + a33

= (a11x0 + a12y0 + a13)x0 + (a12x0 + a22y0 + a23)y0 ++a13x0 + a23y0 + a33 = a13x0 + a23y0 + a33

Avem ∆ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR= a13x0δ + a23y0δ + a33δ = δf(x0, y0)

Ecuatia (1.8) devine

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + ∆

δ= 0, (1.10)

Daca a12 = 0, atunci (1.10) este forma canonica.Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica

Φ ∶ R2 → R, Φ(x′, y′) = a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2,

avand matricea A = ( a11 a12

a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza ortonor-

mata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1X2 + λ2Y 2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:

∣ a11 − λ a12

a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0.

In noile coordonate ecuatia conicei (1.10) devine

λ1X2 + λ2Y

2 + ∆

δ= 0, (1.11)

deci are forma canonica. Putem presupune ca baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ın care avem

forma canonica se obtine din baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotatie de unghi θ ∈

15

(0, π2 ), asadar

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ

Ð→j

Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ

Ð→j

. CumÐ→v 1 siÐ→v 2 sunt vectori proprii

corespunzatori matricei A obtinem:

( a11 a12

a12 a22)( cos θ

sin θ) = λ1 (

cos θsin θ

)⇒ λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ

( a11 a12

a12 a22)( − sin θ

cos θ) = λ2 (

− sin θcos θ

)⇒ −λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ

Inmultind prima relatie cu sin θ, pe a doua cu cos θ si sumandu-le obtinem

(λ1 − λ2) sin θ cos θ = a12

Cum a12 ≠ 0 si θ ∈ (0, π2 ), deducem ca λ1 ≠ λ2 si λ1 − λ2 are acelasi semncu a12. Din cele doua formule anterioare se poate obtine unghiul θ:

λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ⇒ tg θ = λ1 − a11

a12

−λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ⇒ tg θ = a12

a11 − λ2

Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avemforma canonica sunt:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 +X cos θ − Y sin θ

y = y0 +X sin θ + Y cos θ.

Coeficientii formei canonice λ1X2 + λ2Y 2 + ∆δ = 0 fiind radacinile ecuatiei

caracteristice λ2 − Iλ + δ = 0, distingem urmatoarele cazuri:

1. δ > 0, I > 0,∆ < 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ < 0⇒ elipsa

2. δ > 0, I > 0,∆ = 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ = 0⇒ un punct

3. δ > 0, I > 0,∆ > 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ > 0⇒ ∅

4. δ > 0, I < 0,∆ < 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ < 0⇒ ∅

5. δ > 0, I < 0,∆ = 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ = 0⇒ un punct

6. δ > 0, I < 0,∆ > 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ > 0⇒ elipsa

7. δ < 0,∆ ≠ 0⇒ hiperbola

16

8. δ < 0,∆ = 0⇒ doua drepte concurente

Daca ∆ ≠ 0 conica se numeste nedegenerata, iar daca ∆ = 0 conica senumeste degenerata.

Caz 2. Daca δ = 0 si rang( a11 a12 a13

a12 a22 a23) = 1, sistemul

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0

are o infinitate de solutii, deci conica are o infinitate de centre.Daca (x0, y0) este o solutie a sistemului anterior, atunci ın reperul trans-

latat cu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (1.12)

unde f(x0, y0) = a13x0 + a23y0 + a33. Distingem cazurile:

1. Daca a12 = 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0, deci conica

degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate sau multimea vida.

2. Daca a12 ≠ 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 si a22 au acelasi semn . Inmultind

eventual ecuatia (1.12) cu −1, putem presupune ca a11 > 0 si a22 > 0,iar (1.12) devine

(√a11x

′ ±√a22y

′)2 ± f(x0, y0) = 0

deci conica degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate saumultimea vida.

1.4.3 Forma canonica a conicelor fara centru

Fie din nou conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (1.13)

cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0.

Caz 3. Daca δ = 0 si rang( a11 a12 a13

a12 a22 a23) = 2, sistemul

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0

este incompatibil, deci nu exista o translatie ın urma careia sa dispara ter-menii de grad 1 din ecuatie, altfel spus conica nu are centru de simetrie.

Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica

Φ ∶ R2 → R, Φ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2,

17

avand matricea A = ( a11 a12

a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza ortonor-

mata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1x′2 + λ2y′2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:

∣ a11 − λ a12

a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0

Cum δ = 0 ⇒ λ1λ2 = 0. Presupunem λ1 = 0, λ2 = I ≠ 0 (daca ambele valoriproprii ar fi nule, ar rezulta a11 = a12 = a22 = 0). In noile coordonate x′, y′

ecuatia conicei devine

Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y

′ + a33 = 0 (1.14)

Putem presupune ca baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ın care avem forma canonica se obtine

din baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotatie de unghi θ ∈ (0, π2 ), asadar

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ

Ð→j

Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ

Ð→j

⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


Cum Ð→v 1 este vector propriu corespunzator valorii proprii 0 obtinem:

( a11 a12

a12 a22)( cos θ

sin θ) = ( 0

0)⇒ a11 cos θ + a12 sin θ = 0⇒ tg θ = −a11

a12

Prin calcul se obtine de asemenea

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a′13 = a13 cos θ + a23 sin θ

a′23 = −a13 sin θ + a23 cos θ

Daca a′13 = 0 ⇒ a13

a23

= − tg θ = a11

a12

⇒ rang( a11 a12 a13

a12 a22 a23) = 1, deci a′13 ≠ 0

ın Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y

′ + a33 = 0.Grupand corespunzator termenii ın ecuatia anterioara obtinem

I (y′ + a′23

I)

2

+ 2a′13 (x′ +c

a′23

) = 0

unde c = a33−a′223

I. Efectuand translatia

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

X = x′ + ca′23

Y = y′ + a′23I

ecuatia conicei devine

IY 2 + 2a′13X = 0

18

Cum ∆ este invariant la rotatii si translatii, avem

∆ =RRRRRRRRRRRRRR

0 0 a′13

0 I 0a′13 0 0

RRRRRRRRRRRRRR= −a′213I ⇒ a′213 = −

∆

I

deci gasim forma canonica

Y 2 = ±2pX, unde p =√

−∆

I3.

Semnul ± ın ecuatia anterioara se alege ın functie de pozitia paraboleifata de axele de coordonate ale reperului initial, intersectand parabola cuaceste axe.

Ecuatia axei de simetrie a parabolei este

a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0

iar coordonatele varfului parabolei se obtin intersectand parabola cu axade simetrie, deci rezolvand sistemul format din ecuatia anterioara si ecuatiainitiala a conicei.

Daca a12 = 0, din δ = 0 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0. Pentru a11 = 0, ecuatiaconicei devine

a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

a13 = 0⇒ conica degenerata.a13 ≠ 0⇒ parabola (facand o translatie ca mai sus).

Exemplu:Fie conica de ecuatie x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0.

� coeficientii a11 = 1, a22 = 4, a12 = −2, a13 = −3, a23 = 1, a33 = 1;

� invariantii I = 5, δ = ∣ 1 −2−2 4

∣ = 0,∆ =RRRRRRRRRRRRRR

1 −2 −3−2 4 1−3 1 1

RRRRRRRRRRRRRR= −25

deci conica este o parabola nedegenerata

� p =√

−∆

I3= 1√

5⇒ forma canonica Y 2 = ± 2√

5X

� axa de simetrie: a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0⇒ x − 2y − 1 = 0

� varful

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0

x − 2y − 1 = 0⇒ V (1

5,−2

5)

19

� intersectia parabolei cu axa Ox:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0

y = 0⇒ x1,2 =

6 ±√

32

2

x

y

parabola

−1 0 1 2 3 4 5 6

−2

−1

0

1

2

3

4

Concluzii:In functie de semnul invariantilor distingem cazurile:

δ ∆ Forma canonica Tip

> 0≠ 0

X2

a2+ Y

2

b2− 1 = 0 elipsa

X2

a2+ Y

2

b2+ 1 = 0 ∅

= 0X2

a2+ Y

2

b2= 0 punct

< 0≠ 0

X2

a2− Y

2

b2− 1 = 0 hiperbola

= 0X2

a2− Y

2

b2= 0 doua drepte concurente

= 0

≠ 0 Y 2 − 2pX = 0 parabola

= 0Y 2 − a2 = 0 doua drepte paraleleY 2 = 0 doua drepte confundate

Y 2 + a2 = 0 ∅

20

1.5 Exercitii

1. Sa se scrie ecuatiile cercurilor determinate de:

(a) centrul ın C(2,−3) si raza r = 7

(b) centrul ın C(1,1) si o tangeta la cerc este dreapta 3x + 4y + 8 = 0

(c) extremitatile unui diametru sunt A(3,2) si B(−1,6)(d) trece prin punctele M1(−1,5), M2(−2,−2), M3(5,5)(e) trece prin origine si are centrul C(2,0)

2. Sa se determine centrul si raza urmatoarelor cercuri; sa se scrie ecuatiileparametrice si sa se reprezinte grafic:

(a) x2 + y2 − 6x − 4y + 9 = 0

(b) x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0

(c) x2 + y2 − 2x = 0

(d) x2 + y2 − y = 0

(e) x2 + y2 − 4x + 3 = 0

(f) x2 + y2 − 2x − 2y = 0

3. Sa se determine intersectia cercului cu dreapta:

(a) (C) ∶ x2 + y2 − 2y = 0, (d) ∶ x + y = 1

(b) (C) ∶ x2 + y2 − x = 0, (d) ∶ x = y

4. Sa se scrie ecuatiile elipselor date prin elementele:

(a) F ′(−1,0), F (1,0) si semiaxa mare 5

(b) axa mare 10 si distanta dintre focare 8

(c) axa mica 16 si F (3,0)(d) semiaxele 4 si 2

(e) distanta dintre focare 6 si semiaxa mare 5

(f) semiaxa mare 25 si excentricitatea 0,6

5. Sa se determine semiaxele, focarele si excentricitatea elipselor, si sa sescrie ecuatiile lor parametrice:

(a) x2

9 + y2

4 − 1 = 0

21

(b) 9x2 + 25y2 = 225

(c) 3x2 + 4y2 = 12

(d) x2 + 2y2 − 6 = 0

(e) 25x2 + 169y2 = 225

6. Sa se afle punctele de intersectie ale elipsei cu dreapta:

(a) x2

4 + y2 − 1 = 0, 2x + 2y − 3 = 0

(b) 5x2 + 8y2 − 77 = 0, x + 2y − 7 = 0

7. Sa se scrie ecuatia tangentei la elipsa 2x2+y2−6 = 0 ın punctul M(2,−3)de pe elipsa

8. Sa se scrie ecuatiile hiperbolelor avand focarele pe axa Ox si cunoscandurmatoarele elemente:

(a) semiaxele sunt 4 si 3

(b) distanta dintre varfuri 6 iar distanta ıntre focare 10

(c) semiaxa transversa este 12 si e = 54

(d) F ′(0,−10), F (0,10) si distanta ıntre varfuri 8

9. Sa se afle semiaxele, focarele, excentricitatea si asimptotele hiperbolelor

(a) 16x2 − 25y2 = 400

(b) x2

9 − y2

16 = 1

(c) 2x2 − 5y2 − 10 = 0

10. Sa se reprezinte hiperbolele si asimptotele lor:

(a) x2 − y2 = 1

(b) x2 − 4y2 − 4 = 0

(c) 4y2 − 9x2 − 36 = 0

(d) xy = 2; xy = −2

(e) x2

25 −y2

49 − 1 = 0

11. Sa se scrie ecuatia tangentei la hiperbola

x2

5− y

2

4= 1

ın punctul M0(5,−4)

22

12. Sa se scrie ecuatiile tangentelor duse din M0(2,−1) la hiperbola

x2 − 4y2 − 1 = 0

si sa se afle punctele de contact.

13. Sa se scrie ecuatia unei parabole cu varful ın originea reperului stiindca:

(a) focarul este F (1,0)(b) focarul este F (0,2)(c) axa de simetrie este Ox, cu p = 0,5, situata ın semiplanul stang

(d) axa de simetrie este Oy, p = 3 si situata ın semiplanul inferior

14. Sa se determine focarul, axa de simetrie, si sa se reprezinte graficparabolele:

(a) y2 = 2x

(b) y2 = −4x

(c) x2 = −5y

(d) x2 = y

15. Sa se scrie ecuatia tangentei si ecuatia normalei la parabola y2 = 3x ınpunctul de abscisa x = 3

16. Sa se recunoasca si sa se reprezinte grafic curbele:

(a) 4x2 − 5y2 = 20

(b) x2 + y2 − 9 = 0

(c) y2 − x = 0

(d) x2 + y2 − 2x = 0

(e) 2x2 + y2 − 4 = 0

(f)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 2 cos t

y = sin t, t ∈ [0,2π]

(g) y + 2x2 = 20

(h) 16x2 − 9y2 + 144 = 0

(i) 2x2 + 2y2 − 1 = 0

(j)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 1 + 2 cos t

y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]

(k) y2 + 4x = 0

(l)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 3 cos t

y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]

23

17. Sa se reprezinte domeniile din plan marginite de curbele:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y2 = xx2 = y

b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

y = 1c)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y = xy = −xx = 2

18. Sa se reprezinte domeniile din plan determinate de:

a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 2y

y ≤ x2

x ≥ 0

b)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 4

x2 + y2

4 ≥ 1

x ≥ 0

c)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 4

x2 + y2 ≥ 2xd)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 2

x ≤ y2

x ≥ −y2

y ≤ 0

19. Sa se aduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conicele:

(a) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0

R: X2

1 + Y 2

9 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(b) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x − 16y − 16 = 0

R: X2

4 + Y 2

16 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(c) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0

R: X2

18 + Y 2

6 − 1 = 0, C(3,1), α = π4 .

(d) 3x2 − 2xy + 3y2 − 4x − 4y − 36 = 0

R: X2

20 + Y 2

10 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(e) 5x2 − 8xy + 5y2 − 12x + 6y = 0

R: X2

9 + Y 2

1 − 1 = 0, C(2,1), α = π4 .

(f) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0

R: X2

18 + Y 2

6 − 1 = 0, C(3,1), α = π4 .

(g) 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0

R: X2

1 − Y 2

4 − 1 = 0, C(2,−1), α = π4 .

(h) x2 − 8xy + 7y2 + 6x − 6y + 9 = 0

R: X2

9 − Y 2

1 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 12 .

(i) 3xy + 6x − y − 8 = 0

R: X2

4 − Y 2

4 − 1 = 0, C(13 ,−2), α = π

4 .

(j) 6xy + 8y2 − 12x − 26y + 11 = 0

R: X2

1 − Y 2

9 − 1 = 0, C(−1,2), α = arctg 3.

(k) 5x2 + 12xy − 22x − 12y − 19 = 0

R: X2

4 − Y 2

9 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 23 .

24

(l) 5x2 − 6xy + 5y2 + 2x − 14y + 21 = 0

R: X2

4 + Y 2 + 1 = 0

(m) 5x2 − 2xy + 5y2 + 12x − 12y + 12 = 0R: 2X2 + 3Y 2 = 0, C(−1,1)

(n) 2x2 + 3xy + y2 − x − 1 = 0R: y = −x + 1, y = −2x − 1.

(o) 3x2 − 7xy + 2y2 − 4x + 3y + 1 = 0R: x − 2y − 1 = 0, 3x − y − 1 = 0

(p) x2 − 2xy + y2 − 10x − 6y + 25 = 0R: ∆ = −64, Y 2 = 4

√2X, x − y − 1 = 0, V (2,1).

(q) x2 + 4xy + 4y2 + 2x − y − 1 = 0R: ∆ = −25

4 , Y2 = − 1√

5X, x + 2y = 0, V (2

5 ,−15).

(r) x2 − 4xy + 4y2 − 4x − 2y + 10 = 0R: ∆ = −25, Y 2 = 2√

5X, x − 2y = 0, V (2,1).

(s) x2 − 4xy + 4y2 − 26x − 38y + 25 = 0R: ∆ = −2025, Y 2 = 18√

5X, x − 2y + 5 = 0, V (−1,2).

(t) 4x2 − 4xy + y2 − 8x − 8y + 4 = 0R: ∆ = −144, Y 2 = 24

5√

5X, 10x − 5y − 4 = 0, V (23

50 ,325).

(u) x2 + 4xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0R: x + 2y = 1, x + 2y = −2.

(v) x2 − 4xy + 4y2 + 10x − 20y + 25 = 0R: x − 2y + 5 = 0.

(w) x2 − 4xy + 4y2 + 3x − 6y + 2 = 0R: x − 2y + 1 = 0, x − 2y + 2 = 0.

25

Capitolul 2

Cuadrice

Definitia 2.1. Se numeste cuadrica o suprafata ın spatiu definita ın reperul

cartezian ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } printr-o ecuatie algebrica de gradul al

doilea de forma

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,

unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3,4}, j ≥ i, iar coeficientii termenilor de gradul aldoilea a11, a22, a33, a12, a13, a23 nu sunt toti nuli.

Asadar o cuadrica este o multime de puncte ın spatiu ale caror coordonate(x, y, z) verifica o ecuatie de gradul al doilea de forma celei de mai sus.

� cuadricele se mai numesc si suprafete algebrice de ordinul al doilea

� exemple de cuadrice: sfera, elipsoid, hiperboloizi, paraboloizi

2.1 Cuadrice pe ecuatii reduse

2.1.1 Sfera

Definitia 2.2. Fie un punct fixat C(a, b, c) si R > 0 un numar real fixat.Sfera de centru C si raza R este locul geometric al punctelor M(x, y, z)care satisfac egalitatea

∥ÐÐ→CM∥ = R. (2.1)

AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j + (z − c)

Ð→k , deci (2.1) se rescrie

√(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R

26

sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (2.2)

care se numeste ecuatia carteziana implicita a sferei de centru C(a, b, c)si raza R.

Efectuand calculele ın ecuatia (2.2) obtinem:

x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (2.3)

unde d = a2+b2+c2−R2. Se pune problema daca orice ecuatie de forma (2.3)reprezinta ecuatia unei sfere. Cum (2.3) este echivalenta cu

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = a2 + b2 + c2 − d,

distingem urmatoarele cazuri:

1. daca a2 + b2 + c2 − d > 0 atunci multimea punctelor care satisfac (2.3)

reprezinta sfera cu centrul C(a, b, c) si raza R =√a2 + b2 + c2 − d;

2. daca a2 + b2 + c2 − d = 0 atunci multimea punctelor care satisfac (2.3) sereduce la punctul de coordonate (a, b, c);

3. daca a2 + b2 + c2 − d < 0 atunci multimea punctelor care satisfac (2.3)este multimea vida.

Ecuatia (2.3) ın care a2 + b2 + c2 − d > 0 se numeste ecuatia generala asferei.

Fie M(x, y, z) un punct din spatiu si M ′(x, y,0) proiectia lui M pe planulxOy. Introducem notatiile:

� ρ = ∥ÐÐ→OM∥ - distanta de la M la origine

� θ ∈ [0, π] - unghiul dintre Oz siÐÐ→OM

� ϕ ∈ [0,2π) - unghiul dintre Ox siÐÐ→OM ′

Numerele reale ρ, θ,ϕ se numesc coordonatele sferice ale lui M .Relatiile de legatura ıntre coordonatele carteziene si coordonatele sferice alepunctului M sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ρ sin θ cosϕ

y = ρ sin θ sinϕ

z = ρ cos θ

, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).

27

Considerand coordonatele sferice ale punctelor din sistemul de coordonatecu centrul ın C(a, b, c) si axele paralele cu cele initiale, obtinem ecuatiileparametrice ale sferei cu centrul ın C si raza R:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a +R sin θ cosϕ

y = b +R sin θ sinϕ

z = c +R cos θ

, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).

Consideram un plan (p) si notam cu d distanta de la C la acest plan. Avemurmatoarele situatii posibile:

� d > R ⇒ intersectia dintre plan si sfera este vida, deci planul esteexterior sferei;

� d = R⇒ intersectia dintre plan si sfera este un punct, deci planul estetangent la sfera;

� d < R ⇒ intersectia dintre plan si sfera este un cerc, deci planul estesecant la sfera.

2.1.2 Elipsoidul

Definitia 2.3. Se numeste elipsoid o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2− 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Fie M(x0, y0, z0) un punct pe elipsoid. Atunci:

� punctele de coordonate (x0, y0,−z0), (x0,−y0, z0), (−x0, y0, z0) apartinelipsoidului, deci planele xOy,xOz, yOz sunt plane de simetrie ale elip-soidului;

� punctele de coordonate (x0,−y0,−z0), (−x0, y0,−z0), (−x0,−y0, z0) apartinelipsoidului, deci axele Ox,Oy,Oz sunt axe de simetrie ale elipsoidului;

� punctul de coordonate (−x0,−y0,−z0) apartine elipsoidului, deci O estecentru de simetrie al elipsoidului.

Intersectiile elipsoidului de ecuatiex2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2− 1 = 0 cu planele si axele

de coordonate sunt:

28

� intersectia cu xOy(z = 0): x2

a2+ y

2

b2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu xOz(y = 0): x2

a2+ z

2

c2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu yOz(x = 0): y2

b2+ z

2

c2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu Ox(y = z = 0): x2

a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′(−a,0,0)

� intersectia cu Oy(x = z = 0): y2

b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′(0,−b,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): z2

c2− 1 = 0⇒ C(0,0, c),C ′(0,0,−c)

Numerele a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Daca a = b = c, elip-soidul este o sfera. Ecuatiile parametrice ale elipsoidului sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a sin θ cosϕ

y = b sin θ sinϕ

z = c cos θ

, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).

29

2.1.3 Hiperboloidul cu o panza

Definitia 2.4. Se numeste hiperboloid cu o panza o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Ca si ın cazul elipsoidului, avem:

� planele de coordonate sunt plane de simetrie

� axele de coordonate sunt axe de simetrie

� originea este centru de simetrie

Tot hiperboloizi cu o panza sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− y

2

b2+ z

2

c2− 1 = 0 sau

x2

a2− y

2

b2− z

2

c2+ 1 = 0.

Intersectiile hiperboloidului cu o panza de ecuatiex2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0 cu

planele si axele de coordonate sunt:

30


a2+ y

2

b2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu xOz(y = 0) :x2

a2− z

2

c2− 1 = 0⇒ hiperbola


b2− z

2

c2− 1 = 0⇒ hiperbola


a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′(−a,0,0)


b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′(0,−b,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): −z2

c2− 1 = 0⇒ ∅

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2

a2+ y

2

b2− z

20

c2+ 1 = 0 ⇒

elipsa

2.1.4 Hiperboloidul cu doua panze

Definitia 2.5. Se numeste hiperboloid cu doua panze o cuadrica pentrucare exista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2+ 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

31

Ca si ın cazurile anterioare, avem:




Tot hiperboloizi cu doua panze sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− y

2

b2+ z

2

c2+ 1 = 0 sau

x2

a2− y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0.

Intersectiile hiperboloidului cu doua panze de ecuatiex2

a2+ y

2

b2− z

2

c2+ 1 = 0

cu planele si axele de coordonate sunt:


a2+ y

2

b2+ 1 = 0⇒ ∅


a2− z

2

c2+ 1 = 0⇒ hiperbola


b2− z

2

c2+ 1 = 0⇒ hiperbola


a2+ 1 = 0⇒ ∅


b2+ 1 = 0⇒ ∅


c2+ 1 = 0⇒ C(0,0, c), C ′(0,0,−c)


a2+ y

2

b2− z

20

c2+ 1 = 0 ⇒

elipsa sau punct sau ∅

2.1.5 Conul

Definitia 2.6. Se numeste con o cuadrica pentru care exista un reper or-togonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2= 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

32

Ca si ın cazurile anterioare, avem:




Tot conuri sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− y

2

b2+ z

2

c2= 0 sau

x2

a2− y

2

b2− z

2

c2= 0.

Intersectiile conului de ecuatiex2

a2+ y2

b2− z2

c2= 0 cu planele si axele de

coordonate sunt:


a2+ y

2

b2= 0⇒ O(0,0,0)


a2− z

2

c2= 0⇒ doua drepte


b2− z

2

c2= 0⇒ doua drepte

33


a2= 0⇒ O(0,0,0)


b2= 0⇒ O(0,0,0)


c2= 0⇒ O(0,0,0)


a2+ y

2

b2− z

20

c2= 0⇒ elipsa

2.1.6 Paraboloidul eliptic

Definitia 2.7. Se numeste paraboloid eliptic o cuadrica pentru care existaun reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2= 2z,

unde a > 0, b > 0.

Avem:

� planele xOz si yOz sunt plane de simetrie

� axa Oz este axa de simetrie

Tot paraboloizi eliptici sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2+ z

2

c2= 2y sau

y2

b2+ z

2

c2= 2x.

34

Intersectiile paraboloidului eliptic de ecuatiex2

a2+ y

2

b2= 2z cu planele si

axele de coordonate sunt:


a2+ y

2

b2= 0⇒ O(0,0,0)


a2= 2z ⇒ parabola


b2= 2z ⇒ parabola


a2= 0⇒ O(0,0,0)


b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)


a2+ y

2

b2= 2z0 ⇒ elipsa

(pentru z0 > 0)

2.1.7 Paraboloidul hiperbolic

Definitia 2.8. Se numeste paraboloid hiperbolic o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2− y

2

b2= 2z,

unde a > 0, b > 0.

Avem:

� planele xOz si yOz sunt plane de simetrie

� axa Oz este axa de simetrie

Tot paraboloizi eliptici sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− z

2

c2= 2y sau

y2

b2− z

2

c2= 2x.

Intersectiile paraboloidului hiperbolic de ecuatiex2

a2− y

2

b2= 2z cu planele

si axele de coordonate sunt:

35


a2− y

2

b2= 0⇒ doua drepte


a2= 2z ⇒ parabola

� intersectia cu yOz(x = 0): −y2

b2= 2z ⇒ parabola


a2= 0⇒ O(0,0,0)


b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)


a2− y

2

b2= 2z0 ⇒ hiperbola

2.1.8 Cilindri

Definitia 2.9. 1. Se numeste cilindru eliptic o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata areecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.

36

2. Se numeste cilindru hiperbolic o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2− y

2

b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.

3. Se numeste cilindru parabolic o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

y2 = 2px, unde p ∈ R.

37

2.1.9 Generatoare rectilinii

Conul si cilindrii sunt suprafete riglate, adica pot fi scrise ca reuniunea uneifamilii de drepte. In afara de acestea, hiperboloidul cu o panza si paraboloidulhiperbolic sunt de asemenea suprafete riglate.

Ecuatia hiperboloidului cu o panza

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0

se poate rescrie sub forma

x2

a2− z

2

c2= 1 − y

2

b2⇔ (x

a+ zc) ⋅ (x

a− zc) = (1 + y

b) ⋅ (1 − y

b) (2.4)

Consideram familia de drepte dα,β ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(xa+ zc) = β (1 + y

b)

β (xa− zc) = α(1 − y

b)

unde α si β

nu sunt simultan nuli. Reuniunea acestei familii de drepte este chiar hiper-boloidul cu o panza anterior.

Fie M0(x0, y0, z0) ∈ dα,β, deci

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(x0

a+ z0

c) = β (1 + y0

b)

β (x0

a− z0

c) = α(1 − y0

b)

.

� daca αβ ≠ 0, atunci ınmultind ecuatiile anterioare si ımpartind prin αβ

obtinemx20a2 +

y20b2 −

z20c2 − 1 = 0 deci M0 este pe hiperboloid;

� daca α = 0, β ≠ 0⇒ 1+ y0b = 0, x0

a −z0c = 0, asadar ın (2.4) ambii membri

sunt nuli, deci M0 verifica ecuatia hiperboloidului;

� daca α ≠ 0, β = 0⇒ 1− y0b = 0, x0

a +z0c = 0, asadar ın (2.4) ambii membri

sunt nuli, deci M0 verifica ecuatia hiperboloidului;

Asadar orice dreapta din familia dα,β este inclusa ın hiperboloid.Reciproc, se poate arata ca petru orice punct M0(x0, y0, z0) de pe hiperbo-

loid exista α,β ∈ R astfel ıncat

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(x0

a+ z0

c) = β (1 + y0

b)

β (x0

a− z0

c) = α(1 − y0

b)

asadar M0 ∈ dα,β.

Dreptele din familia dα,β se numesc generatoare rectilinii ale hiper-boloidului cu o panza.

38

O alta familie de generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o panzax2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0 este

dλ,µ ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

λ(xa+ zc) = µ(1 − y

b)

µ(xa− zc) = λ(1 + y

b)

.

In mod analog gasim pentru paraboloidul hiperbolicx2

a2− y

2

b2= 2z urmatoarele

familii de generatoare rectilinii:

dα,β ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(xa+ yb) = 2βz

β (xa− yb) = α

si dλ,µ ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

λ(xa+ yb) = µ

µ(xa− yb) = 2λz

.

2.2 Reducerea cuadricelor la forma canonica

Fie cuadrica definita prin ecuatia generala

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶f(x,y,z)

= 0,

Ca si ın cazul conicelor, pentru orice cuadrica se poate determina un repercartezian ortogonal convenabil ın raport cu care ecuatia cuadricei are formacea mai simpla, numita forma canonica sau redusa. La aceasta formase poate ajunge printr-o translatie si o rotatie adecvata a reperului initial

{O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k }.

Un punct C se numeste centru de simetrie al cuadricei daca simetriculoricarui punct M al cuadricei ın raport cu C apartine de asemenea cuadricei.

Elipsoidul, hiperboloizii si conul sunt cuadrice cu centru, iar paraboloiziisunt cuadrice fara centru.

Cautam o translatie a sistemului Oxyz astfel ıncat originea noului sistemde coordonate C(x0, y0, z0) sa fie centru de simetrie al cuadricei. Relatiile

dintre coordonatele x, y, z din reperul initial {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } si coordonatele

x′, y′, z′ din sistemul translatat {C;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′

z = z0 + z′

39

Inlocuind ın ecuatia initiala a cuadricei obtinem

a11x′2+a22y

′2+a33z′2+2a12x

′y′+2a13x′z′+2a23y

′z′+2a′14x′+2a′24y

′+2a′34z′+a′44 = 0,

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

a′14 = a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14

a′24 = a12x0 + a22y0 + a23z0 + a24

a′34 = a13x0 + a23y0 + a33z0 + a34

, iar a′44 = f(x0, y0, z0).

Pentru ca C(x0, y0, z0) sa fie centru de simetrie, trebuie ca ecuatia ın noilecoordonate sa nu contina termeni de gradul 1, asadar a′14 = a′24 = a′34 = 0, deci(x0, y0, z0) sunt solutii ale sistemului

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14 = 0

a12x0 + a22y0 + a23z0 + a24 = 0

a13x0 + a23y0 + a33z0 + a34 = 0

.

Daca δ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR≠ 0, sistemul anterior are solutie unica, iar ecuatia

cuadricei este

a11x′2 + a22y

′2 + a33z′2 + 2a12x

′y′ + 2a13x′z′ + 2a23y

′z′ + f(x0, y0, z0) = 0.

Daca a12 = a13 = a23 = 0, atunci cuadrica este ın forma canonica.Daca cel putin unul din coeficientii a12, a13, a23 este nenul, atunci efectuam

o rotatie a reperului cartezian, folosind metoda valorilor si vectorilor proprii.Consideram forma patratica Φ ∶ R3 → R,

Φ(x′, y′, z′) = a11x′2 + a22y

′2 + a33z′2 + 2a12x

′y′ + 2a13x′z′ + 2a23y

′z′

Se determina valorile proprii λ1, λ2, λ3 ale matricei

A =⎛⎜⎝

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

⎞⎟⎠,

precum si vectorii proprii ortonormati corespunzatori Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3 .

In reperul cartezian {C;Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3}, cuadrica are ecuatia canonica

λ1X2 + λ2Y

2 + λ3Z2 + f(x0, y0, z0) = 0

iar relatiile dintre coordonatele x′, y′, z′ si X,Y,Z sunt

⎛⎜⎝

x′

y′

z′

⎞⎟⎠= SBB′

⎛⎜⎝

XYZ

⎞⎟⎠

40

unde SBB′ este matricea de trecere de la baza B = {Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } la baza B′ =

{Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3}.

Daca δ = 0, atunci cuadrica este fara centru. In acest caz se efectueazamai ıntai o rotatie folosind metoda valorilor si vectorilor proprii, urmata deo translatie adecvata.

2.2.1 Exemple

1. Reducerea la forma canonica a cuadricei de ecuatie

5x2 + 7y2 + 5z2 + 2xy + 2xz + 2yz − 6y + 4z + 1 = 0.

� a11 = a33 = 5, a22 = 7, a12 = a13 = a23 = 1,a14 = 0, a24 = −3, a34 = 2, a44 = 1

� δ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR=RRRRRRRRRRRRRR

5 1 11 7 11 1 5

RRRRRRRRRRRRRR= 160 ≠ 0

� centrul de simetrie:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

5x0 + y0 + z0 = 0

x0 + 7y0 + z0 − 3 = 0

x0 + y0 + 5z0 + 2 = 0

⇒ C (0, 12 ,−

12)

� translatia

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 0 + x′

y = 12 + y′

z = −12 + z′

� 5x′2 + 7y′2 + 5z′2 + 2x′y′ + 2x′z′ + 2y′z′ − 32 = 0

� valorile proprii

RRRRRRRRRRRRRR

5 − λ 1 11 7 − λ 11 1 5 − λ

RRRRRRRRRRRRRR= 0⇒ λ1 = 4, λ2 = 5, λ3 = 8

� vectorii proprii Ð→v1 = (1,0,−1),Ð→v2 = (1,−1,1),Ð→v3 = (1,2,1)

� rotatia⎛⎜⎝

x′

y′

z′

⎞⎟⎠=⎛⎜⎜⎝

1√2

1√3

1√6

0 − 1√3

2√6

− 1√2

1√3

1√6

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

XYZ

⎞⎟⎠

� ecuatia canonica

4X2 + 5Y 2 + 8Z2 − 3

2= 0⇔ X2

38

+ Y2

310

+ Z2

316

− 1 = 0

deci cuadrica este un elipsoid.

41

2. Reducerea la forma canonica a cuadricei de ecuatie

2y2 + 4xy − 8xz − 4yz + 6x − 5 = 0.

� a11 = a33 = 0, a22 = 2, a12 = 2, a13 = −4, a23 = −2, a14 = 3, a24 = a34 = 0, a44 = −5

� δ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR=RRRRRRRRRRRRRR

0 2 −42 2 −2−4 −2 0

RRRRRRRRRRRRRR= 0

� valorile proprii

RRRRRRRRRRRRRR

−λ 2 −42 2 − λ −2−4 −2 −λ

RRRRRRRRRRRRRR= 0⇒ λ1 = 0, λ2 = 6, λ3 = −4

� vectorii proprii Ð→v1 = (−1,2,1),Ð→v2 = (1,1,−1),Ð→v3 = (1,0,1)

� rotatia⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠=⎛⎜⎜⎝

− 1√6

1√3

1√2

2√6

1√3

01√6

− 1√3

1√2

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

x′

y′

z′

⎞⎟⎠

� 6y′2 − 4z′2 −√

6x′ + 2√

3y′ + 3√

2z′ − 5 = 0

� 6(y′ +√

3

6)

2

− 4(z′ − 3√

2

8)

2

−√

6(x′ + 35

8√

6) = 0

� translatia

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

X = x′ + 35

8√

6

Y = y′ +√

3

6

Z = z′ − 3√

2

8� ecuatia canonica

6Y 2 − 4Z2 −√

6X = 0

deci cuadrica este un paraboloid hiperbolic.

2.3 Generari de suprafete

Prin ecuatia unei suprafete ın spatiu se ıntelege o ecuatie ın 3 variabile deforma

F (x, y, z) = 0, unde F ∶D ⊂ R3 → R,

ecuatie care este satisfacuta de coordonatele tuturor punctelor de pe suprafataın raport cu un reper fixat, dar nu este satisfacuta de coordonatele nici unuialt punct din afara suprafetei.

42

Orice curba ın spatiu poate fi privita ca intersectia a doua suprafete carecontin acea curba si care nu mai au alte puncte comune. Asadar o curba ınspatiu poate fi definita prin doua ecuatii de forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Exemple: o dreapta este intersectia dintre doua plane , un cerc este intersectiadintre o sfera si un plan, etc.

2.3.1 Suprafete cilindrice

Definitia 2.10. Fie Ð→v = lÐ→i +mÐ→j +nÐ→k ≠ 0 si o curba (C) ∶

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Se numeste suprafata cilindrica o suprafata generata prin miscarea uneidrepte de directie Ð→v , numita generatoare, care se sprijina pe curba C,numita curba directoare a suprafetei.

Ecuatiile unei drepte oarecare de directie Ð→vx − x0

l= y − y0

m= z − z0

n

pot fi rescrise sub forma de intersectie de plane

dλ,µ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

nx − lz = λny −mz = µ

,λ,µ ∈ R. (2.5)

Suprafata cilindrica este generata de acele drepte din familia dλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acelevalori ale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

nx − lz = λny −mz = µF (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(2.6)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λsi µ

Φ(λ,µ) = 0 (2.7)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata cilindrica este formata dintoate dreptele dλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia de

43

compatibilitate (2.7), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satisfacecuatia

Φ(nx − lz, ny −mz) = 0

Exemplu: Sa se gaseasca ecuatia cilindrului avand curba directoare de

ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − y2 = zx + y + z = 0

iar generatoarele sunt perpendiculare pe planul curbei.

�Ð→v =Ð→i +Ð→j +

Ð→k ⇒ generatoarele

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − z = λy − z = µ

� sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − z = λy − z = µx2 − y2 = zx + y + z = 0

este compatibil

� conditia de compatibilitate (2λ − µ)2 − (2µ − λ)2 + 3(µ + λ) = 0

� ecuatia suprafetei cilindrice

x2 − y2 − 2xz + 2yz + x + y − 2z = 0

2.3.2 Suprafete conice

Definitia 2.11. Fie V (x0, y0, z0) si o curba (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. Se

numeste suprafata conica o suprafata generata prin miscarea unei drepte,numita generatoare , care trece prin punctul fix V si se sprijina pe curbaC, numita curba directoare a suprafetei.

Ecuatiile unei drepte oarecare care trece prin V

x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n

pot fi rescrise sub forma

dλ,µ ∶x − x0

λ= y − y0

µ= z − z0

1, λ = l

n, µ = m

n∈ R. (2.8)

Suprafata conica este generata de acele drepte din familia dλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acele

44

valori ale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − x0

λ= y − y0

µ= z − z0

1F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(2.9)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λsi µ

Φ(λ,µ) = 0 (2.10)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata conica este formata din toatedreptele dλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia decompatibilitate (2.13), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satis-fac ecuatia

Φ(x − x0

z − z0

,y − y0

z − z0

) = 0

Exemplu: Sa se gaseasca ecuatia conului cu varful ın origine si curba

directoare de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 = 1

z = 1.

� generatoarelex

λ= yµ= z

1

� sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x

λ= yµ= z

1x2 + y2 = 1

z = 1

este compatibil

� conditia de compatibilitate λ2 + µ2 = 1

� ecuatia suprafetei conice

(xz)

2

+ (yz)

2

= 1⇔ x2 + y2 = z2

2.3.3 Suprafete de rotatie

Definitia 2.12. Fie o curba (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. Se numeste suprafata de

rotatie o suprafata generata prin rotirea curbei C ın jurul unei drepte d, numitaaxa de rotatie.

45

Presupunem ca axa de rotatie are ecuatiile

d ∶ x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n.

Prin rotirea ın jurul lui d, fiecare punct de pe curba C va descrie un cerc (numitcerc generator) care se afla ıntr-un plan perpendicular pe d si are centrul pe d. Unastfel de cerc poate fi scris ca intersectia dintre o sfera cu centrul pe d si un planperpendicular pe d:

Cλ,µ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2

lx +my + nz = µ(2.11)

Suprafata de rotatie este generata de acele cercuri din familia Cλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acele valoriale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2

lx +my + nz = µF (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(2.12)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λ si µ

Φ(λ2, µ) = 0 (2.13)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata de rotatie este formata din toatecercurile Cλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia de compa-tibilitate (2.13), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satisfac ecuatia

Φ ((x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2, lx +my + nz) = 0.

Exemplu: Sa se gaseasca ecuatia suprafetei obtinute prin rotirea dreptei de

ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + z = 2

y = 0ın jurul dreptei de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − 2 = 0

y − 2 = 0.

● cercurile generatoare

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2

z = µ

● sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2

z = µx + z = 2

y = 0

este compatibil

● conditia de compatibilitate 2µ2 − λ2 + 4 = 0

● ecuatia suprafetei de rotatie

(x − 2)2 + (y − 2)2 − z2 = 4

46

2.4 Exercitii

1. Sa se scrie ecuatia sferei ın urmatoarele cazuri:

(a) C(1,−2,2), R = 3

(b) C = O, R =√

2

(c) C = O si trece prin punctul A(3,−1,2)(d) C(2,−1,3) si trece prin punctul B(−2,0,1)(e) Punctele A(1,2,−1) si B(3,4,5) sunt extremitatile unui diametru

(f) C(1,2,3) si este tangenta planului 6x + 7y − 6z + 31 = 0

(g) Sfera trece prin O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,5,0), C(0,0,3)R: a = 1, b = 5

2 , c =32

2. Sa se determine centrul si raza sferelor:

(a) x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z + 5 = 0

(b) x2 + y2 + z2 − 8x − 4y + 2z + 17 = 0

(c) x2 + y2 + z2 + 2x − 6y + 4z − 11 = 0

(d) x2 + y2 + z2 − x + 3y − 4z + 1 = 0

(e) 2(x2 + y2 + z2) + 4x − y + 2z − 5 = 0

3. Fie sfera de ecuatie

(S) ∶ x2 + y2 + z2 − 6x + 4y − 2z − 86 = 0

si planul (p) ∶ 2x − 2y − z + 9 = 0.

(a) Sa se afle centrul si raza sferei

(b) Sa se arate ca S ∩ p ≠ ∅(c) Sa se afle centrul si raza cercului de intersectie a sferei S cu planul p

R: C(3,−2,1),R = 10,C1(−1,2,3), r = 8Aceleasi cerinte pentru:

(a) (S) ∶ x2 + y2 + z2 − 4x − 2y + 6z + 1 = 0, (p) ∶ x + 2y − z − 3 = 0

(b) (S) ∶ (x − 4)2 + (y − 7)2 + (z + 1)2 − 36 = 0, (p) ∶ 3x + y − z − 9 = 0

4. Sa se scrie ecuatiile planelor tangente la sfera

(S) ∶ x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 6z + 8 = 0

ın punctele de intersectie ale sferei cu dreapta

(d) ∶ x − 1

1= y

−1= z − 1

2

R: S ∩ d = {M1(1,0,1),M2(3,−2,5)}

47

5. Fie elipsoidulx2

4+ y

2

9+ z

2

16− 1 = 0. Sa se afle:

(a) curbele de intersectie ale elipsoidului cu planele de coordonate

(b) intersectiile elipsoidului cu axele de coordonate

(c) ecuatiile parametrice ale elipsoidului dat

6. Sa se afle pozitia dreptei d fata de elipsoidul

x2

16+ y

2

12+ z

2

4− 1 = 0

unde (d) ∶ x − 4

2= y + 6

−3= z + 2

−2.

7. Sa se scrie ecuatia planului tangent la elipsoidul x2+ y2

9+ z

2

4−1 = 0 ın punctul

M0(1,0,0). Sa se reprezinte grafic elipsoidul dat.

8. Fie elipsoidulx2

4+ y

2

3+ z

2

9− 1 = 0 si dreapta (d) ∶ x = y = z. Sa se scrie

ecuatia planului tangent la elipsoid ın punctele de intersectie ale elipsoiduluicu dreapta d.

9. Fie hiperboloidul cu o panza x2 + y2

4 − z2

9 − 1 = 0.

(a) sa se reprezinte grafic

(b) sa se afle punctele de intersectie cu dreapta x−11 = y+2

0 = z−11

(c) sa se scrie ecuatiile planelor tangente la hiperboloid ın puncteleA(1,2,3), B(2,2,6)

10. Fie hiperboloidul cu doua panze x2 + y2

4 − z2

9 + 1 = 0.

(a) sa se reprezinte grafic

(b) sa se afle punctele de intersectie cu dreapta x−11 = y−3

1 = z−63

(c) sa se scrie ecuatia planului tangent la suprafata ın punctul M(2,4,−9)

11. Fie conul x2 + y2

4 − z2

9 = 0.

(a) sa se afle intersectiile cu planele de coordonate si cu axele de coordonate

(b) sa se afle intersectiile conului cu planele z = 3 si z = −3

(c) sa se reprezinte grafic

12. Fie suprafetele x2

4 + y2

9 = 2z si x2

4 − y2

9 = 2z.

(a) sa se reprezinte grafic cele doua suprafete

48

(b) sa se afle punctele de intersectie cu dreapta x2 = y

3 = z1

13. Fie suprafata x2

2 + y2

4 = 9z si dreapta x = y = z. Sa se scrie ecuatiileplanelor tangente la suprafata data ın punctele de intersectie ale suprafeteicu dreapta.

14. Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii ale suprafetei S care trec prinpunctul M ın urmatoarele cazuri:

(a) S ∶ x2 + y2 − z2 = 1, M(1,1,1)(b) S ∶ 16x2 + 36y2 − 9z2 − 144 = 0, M(6,2,8)(c) S ∶ 4x2 + 9y2 − 36z2 − 36 = 0, M(6,−2,2)

(d) S ∶ x2

9 − y2

4 + z2

5 − 1 = 0, M(3,2,√

5)(e) S ∶ 4x2 − 9y2 = 36z, M(3,0,1)(f) S ∶ 4x2 − z2 = y, M(1,3,−1)(g) S ∶ 4y2 − z2 = 2x, M(6,2,2)

15. Sa se recunoasca urmatoarele cuadrice:

(a) x2 + 2y2 + 3z2 − 4 = 0

(b) x2 + 2y2 − 3z2 − 4 = 0

(c) x2 − 2y2 − 3z2 − 4 = 0

(d) x2 − 2y2 − 3z2 = 0

(e) x2 − 2y − 3z2 = 0

(f) x2 − 2y + 3z2 = 0

(g) x2 − 2y = 0

(h) x2 − 2y2 − 4 = 0

(i) x2 + 3z2 − 4 = 0

49

Capitolul 3

Geometria diferentiala acurbelor si suprafetelor

3.1 Curbe plane

3.1.1 Introducere

Definitia 3.1. Fie un interval de numere reale I = [a, b]. Se numeste curbaplana o multime de puncte din R2 ale caror coordonate sunt date prin

(Γ) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]; (3.1)

� Ecuatiile (3.1) se numesc ecuatiile parametrice ale curbei, iar t se numesteparametrul curbei ;

� Ecuatiile (3.1) asociaza fiecarei valori a parametrului t ∈ [a, b] un punctM(x(t), y(t)) de pe curba.

� Reprezentarea parametrica poate fi scrisa sub forma vectoriala

Ð→r =Ð→r (t) = x(t)Ð→i + y(t)Ð→j (3.2)

� Daca functiile x(t), y(t) sunt continue pe [a, b], atunci reprezentarile para-metrice de mai sus se numesc drumuri.

� O curba poate fi data prin mai multe parametrizari, deci poate fi imagineamai multor drumuri echivalente.

� De exemplu, un cerc cu centrul ın origine si de raza R are reprezentareaparametrica

x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0,2π].

50

In acelasi timp, semicercul de deasupra axei Ox mai poate fi reprezentat siprin

x = t, y =√R2 − t2, t ∈ [−R,R].

Definitia 3.2. Fie r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] un drum ın plan. Spunem ca acestdrum este:

1. ınchis daca x(a) = x(b), y(a) = y(b);

2. simplu daca r(t) este o functie injectiva. Asadar curba corespunzatoare nuare puncte multiple, nu se autointersecteaza;

3. neted daca x(t), y(t) au derivata continua si nu exista nicio valoare t ∈ [a, b]pentru care x′(t) = y′(t) = 0.

� In mod similar se pot defini notiunile de mai sus si pentru curbe ın spatiu.

� Un punct corespunzator unei valori t0 ∈ [a, b] cu proprietatea ca x′(t0) =y′(t0) = 0 se numeste punct singular al curbei.

Pe langa ecuatiile parametrice din definitie, o curba plana mai poate fi dataprin urmatoarele reprezentari analitice:

� ecuatie carteziana explicita

y = f(x), x ∈ [a, b] (3.3)

� ecuatie carteziana implicita

F (x, y) = 0, (x, y) ∈D ⊂ R2 (3.4)

� ecuatie polara explicita

ρ = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2] (3.5)

unde ρ si θ sunt coordonatele polare ale unui punct de pe curba:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ, ρ > 0, θ ∈ [0,2π]

Definitia 3.3. 1. O curba plana data prin una din reprezentarile (3.1), (3.3)sau (3.5) se numeste curba de clasa Ck (k ∈ N∗) daca functiile care apar ınreprezentarile respective admit derivate continue pana la ordinul k inclusiv.

2. O curba plana data prin reprezentarea vectoriala (3.2) se numeste curbade clasa Ck daca functia vectoriala Ð→r (t) are componentele x(t) si y(t) declasa Ck (admit derivate continue pana la ordinul k inclusiv).

51

3. O curba plana data prin reprezentarea implicita (3.4) se numeste curba declasa Ck daca functia F (x, y) admite derivate partiale continue pana laordinul k inclusiv.

In continuare vom presupune ca toate curbele plane la care ne referim sunt celputin de clasa C1.

Definitia 3.4. 1. Fie Γ o curba plana de clasa C1 data prin ecuatia vectoriala(3.2) si M0(Ð→r (t0)) un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numeste punctordinar (sau regulat) al curbei Γ daca ın acest punct derivata functieivectoriale Ð→r (t) este diferita de vectorul nul, adica

Ð→r ′(t0) = x′(t0)Ð→i + y′(t0)

Ð→j ≠Ð→0 .

2. Fie Γ o curba plana de clasa C1 data prin ecuatia implicita (3.4) si M0(x0, y0)un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numeste punct ordinar al curbeiΓ daca derivatele partiale ∂F

∂x (x0, y0) si ∂F∂y (x0, y0) nu sunt simultan nule,

adica

(∂F∂x

(x0, y0))2

+ (∂F∂y

(x0, y0))2

≠ 0.

3.1.2 Tangenta si normala la o curba plana

Fie Γ o curba plana de clasa cel putin C1 reprezentata prin ecuatia vectoriala

Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b] (3.6)

si fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzator valorii t0 a parametru-lui . Consideram de asemenea un punct ordinar variabil M(Ð→r (t)). Avem:

ÐÐ→OM0 =Ð→r (t0),

ÐÐ→OM =Ð→r (t)

ÐÐÐ→M0M =ÐÐ→OM −ÐÐ→OM0 =Ð→r (t) −Ð→r (t0)

ÐÐÐ→M0M

t − t0=Ð→r (t) −Ð→r (t0)

t − t0

asadar vectorulÐÐÐ→M0M are aceeasi directie cu

Ð→r (t) −Ð→r (t0)t − t0

.

Trecand la limita

limt→t0

Ð→r (t) −Ð→r (t0)t − t0

=Ð→r ′(t0)

deci directia secantei M0M converge catre directia vectorului Ð→r ′(t0) atunci candM →M0.

Definitia 3.5. Dreapta limita a secantei M0M cand punctul M tinde catre M0

pe curba se numeste tangenta la curba ın punctul M0.

52

Ecuatia analitica a tangentei la curba ın punctul M0(x(t0), y(t0)) este

x − x(t0)x′(t0)

= y − y(t0)y′(t0)

(3.7)

Observatii:1. Cand curba este data printr-o ecuatie explicita de forma y = f(x), folosindparametrizarea

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ty = f(t)

ecuatia (3.7) a tangentei ın punctul M0(x0, f(x0)) devine:

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0) (3.8)

2. Cand curba este data printr-o ecuatie implicita de forma F (x, y) = 0, folosindteorema functiilor implicite ıntr-o vecinatate a punctului ordinar M0, exista oreprezentare explicita locala y = f(x), deci

F (x, f(x)) = 0.

Prin derivare obtinem∂F

∂x+ ∂F∂y

⋅ f ′(x) = 0

de unde rezulta ca

f ′(x0) = −∂F

∂x(x0, y0)

∂F

∂y(x0, y0)

Inlocuind ın ecuatia tangentei (3.8) obtinem

∂F

∂x(x0, y0) ⋅ (x − x0) +

∂F

∂y(x0, y0) ⋅ (y − y0) = 0. (3.9)

Daca∂F

∂y(x0, y0) = 0, ecuatia tangentei ın M0 este x − x0 = 0.

Definitia 3.6. Se numeste normala la curba Γ ın punctul M0 dreapta care treceprin M0 si este perpendiculara pe tangenta la curba ın M0.

In functie de tipul reprezentarii analitice prin care este data curba Γ, avemurmatoarele cazuri:

� Γ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, ecuatia normalei la curba ın M0(t = t0) este

x′(t0)(x − x(t0)) + y′(t0)(y − y(t0)) = 0

53

� Γ ∶ y = f(x), ecuatia normalei la curba ın M0(x0, y0) este

x − x0 + f ′(x0)(y − y0) = 0

� Γ ∶ F (x, y) = 0, ecuatia normalei la curba ın M0(x0, y0) este

x − x0

∂F∂x (x0, y0)

= y − y0

∂F∂y (x0, y0)

ExempluSa se scrie ecuatia tangentei si ecuatia normalei la curba de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = t3 − 2t

y = t2 + 1, t ∈ [0,4]

ın punctul M0(t0 = 2).

� coordonatele carteziene: M0(4,5);

�

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′ = 3t2 − 2

y′ = 2t⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′(2) = 10

y′(2) = 4

� tangenta:x − 4

10= y − 5

4⇔ 2x − 5y + 17 = 0

� normala: 10(x − 4) + 4(y − 5) = 0⇔ 5x + 2y − 30 = 0

3.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane

Fie Γ o curba plana de clasa cel putin C1 reprezentata parametric si presupunemca toate punctele ei sunt ordinare. Fie M0 si M1 doua puncte ale curbei Γ core-spunzatoare valorilor t0 si respectiv t1 ale parametrului. Lungimea arcului decurba M0M1 este

l(M0M1) = ∫t1

t0

√(x′(t))2 + (y′(t))2dt

Pentru un punct oarecare M al curbei corespunzator valorii t a parametrului,definim functia

s(t) = ∫t

t0

√(x′(u))2 + (y′(u))2du

care reprezinta lungimea arcului de curba cuprins ıntre punctul fix M0 si punctulvariabil M .

Derivata acestei functii este

ds

dt=√

(x′(t))2 + (y′(t))2

54

de unde deducem

ds2 = [(x′(t))2 + (y′(t))2]dt2 = dx2 + dy2

Diferentiala ds =√dx2 + dy2 se numeste elementul de arc al curbei Γ. Cand

curba Γ este data printr-o ecuatie explicita y = f(x), elementul de arc este

ds =√

1 + (f ′(x))2dx

Deoarece functia s = s(t) are derivata nenula, putem explicita pe t ın functiede s. Inlocuind t = t(s) ın ecuatiile parametrice obtinem

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t(s)) =X(s)y = y(t(s)) = Y (s)

care se numeste parametrizare naturala a curbei . Parametrul s se numesteparametrul natural al curbei si este dat chiar de lungimea curbei pana lapunctul curent.

Parametrizarea naturala are proprietatea

(dXds

)2

+ (dYds

)2

= 1.

Pentru o curba data prin parametrizare naturala convenim sa notam vectorul

derivatelor cudÐ→rds

= Ð→r (s). Folosind aceasta notatie, relatia anterioara devine

∥Ð→r (s)∥ = 1⇔ x2(s) + y2(s) = 1

Considerand din nou parametrul initial ca functie de parametrul natural t =t(s), prin derivare ın raport cu s obtinem

Ð→r (s) = dÐ→rds

= dÐ→rdt

⋅ dtds

=Ð→r ′(t) ⋅ dtds

Calculand normele ın egalitatea vectoriala anterioara gasim

dt

ds= 1

∥Ð→r ′(t)∥(3.10)

3.1.4 Curbura unei curbe plane

Fie M0 un punct ordinar al unei curbe plane Γ si M un punct arbitrar al curbei ınvecinatatea lui M0. Notam cu ∆ω unghiul dintre tangentele ın M0 si M la curbasi cu ∆s lungimea arcului de curba M0M .

55

Definitia 3.7. Curbura curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

R= lim

∆s→0∣∆ω∆s

∣

R se numeste raza de curbura a curbei Γ ın punctul M0.

Observatie:Daca limita din definitia curburii este 0, atunci raza de curbura este ∞.

Teorema 3.1. Fie Γ o curba de clasa C2 data prin parametrizarea naturala Ð→r =Ð→r (s). Atunci valoarea curburii ın punctul M0 (Ð→r (s0)) este

1

R= ∥Ð→r (s0)∥ .

Demonstratie: FieM0 (Ð→r (s0)) un punct ordinar al curbei Γ siM (Ð→r (s0 +∆s))punctul de pe curba corespunzator valorii s0 +∆s a parametrului natural.

Notam cu Ð→τ (s0), respectiv Ð→τ (s0 + ∆s) versorii tangentelor ın M0, respectivM la curba si cu ∆ω unghiul dintre acesti vectori. Avem:

Ð→τ (s0) = Ð→r (s0) si Ð→τ (s0 +∆s) = Ð→r (s0 +∆s).

FieÐ→AB si

Ð→AC doi reprezentanti ai acestor versori cu originea ın acelasi punct

A. Avem:

∥Ð→r (s0 +∆s) − Ð→r (s0)∥ = ∥Ð→τ (s0 +∆s) −Ð→τ (s0)∥ = ∥Ð→AC −Ð→AB∥ = ∥Ð→BC∥

Din triunghiul isoscel ABC obtinem:

∥Ð→BC∥ = 2 ∣sin ∆ω

2∣

unde ∆ω este unghiul dintreÐ→AB si

Ð→AC. Impartind prin ∆s gasim:

∥Ð→r (s0 +∆s) − Ð→r (s0)∥∆s

= 2RRRRRRRRRRR

sin ∆ω2

∆s

RRRRRRRRRRR=RRRRRRRRRRR

sin ∆ω2

∆ω2

RRRRRRRRRRR⋅ ∣∆ω

∆s∣

Trecand la limita ∆s→ 0 se obtine

∥Ð→r (s0)∥ = 1 ⋅ lim∆s→0

∣∆ω∆s

∣ = 1

R.

Fie o curba Γ data printr-o ecuatie vectoriala

Ð→r =Ð→r (t)

Scriind parametrul t ın functie de parametrul natural s si derivand ın raportcu s deducem

Ð→r =Ð→r ′ ⋅ dtds

=Ð→r ′

∥Ð→r ′∥

56

Derivam ınca o data ın raport cu s:

Ð→r = d

dt(Ð→r ′

∥Ð→r ′∥) ⋅ dtds

= d

dt(Ð→r ′

∥Ð→r ′∥) ⋅ 1

∥Ð→r ′∥

Dupa efectuarea calculelor obtinem

1

R= ∥Ð→r ∥ = ∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥

∥Ð→r ′∥3.

Observatii

1. Cand curba Γ este data parametric prin

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, obtinem

1

R= ∣x′y′′ − x′′y′∣√

((x′)2 + (y′)2)3

2. Cand curba Γ este data explicit prin y = f(x), obtinem

1

R= ∣f ′′(x)∣√

(1 + (f ′(x))2)3

3. Cand curba Γ este data prin reprezentarea polara explicita ρ = ρ(θ), obtinem

1

R= ∣ρ2 + 2(ρ′)2 − ρρ′′∣√

(ρ2 + (ρ′)2)3

3.1.5 Infasuratoarea unei familii de curbe plane

Fie o ecuatie de formaf(x, y,α) = 0 (3.11)

unde α este un parametru real, iar functia f are derivate partiale continue deordinul 2 ın raport cu x, y,α.

Pentru fiecare valoare a parametrului α, ecuatia (3.11) reprezinta o curba planaΓα de clasa C2. Cand α variaza ın mod continuu ın R (sau ıntr-un interval I ⊂ R),spunem ca ecuatia (3.11) reprezinta o familie de curbe indexata dupa parametrulα.

Definitia 3.8. O curba Γ tangenta la toate curbele familiei (3.11) se numesteınfasuratoarea familiei (3.11).

57

Fie Γα curba din familia (3.11) corespunzatoare valorii α a parametrului sifie M punctul de tangenta al curbei Γα cu ınfasuratoarea Γ. Punctul M se mainumeste punct caracteristic al curbei Γα.

Presupunem ca M este punct ordinar pentru curbele Γα si Γ. Coordonateleacestui punct depind de valoarea parametrului α, asadar atunci cand α variazapunctul M descrie curba Γ, deci putem reprezenta ınfasuratoarea Γ prin ecuatiiparametrice de forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(α)y = y(α)

.

Cum punctul M apartine si curbei Γα, avem:

f(x(α), y(α), α) = 0.

Parametrii directori ai tangentei la curba Γ ın punctul M sunt x′(α) si y′(α),iar parametrii directori ai tangentei la curba Γα ınM sunt

∂f

∂y(x, y,α) si −∂f

∂x(x, y,α).

Impunand conditia ca cele doua curbe sa aiba aceeasi tangenta ın punctul Mobtinem

x′(α)∂f∂y (x, y,α)

= − y′(α)∂f∂x(x, y,α)

sau echivalent

x′(α) ⋅ ∂f∂x

(x, y,α) + y′(α) ⋅ ∂f∂y

(x, y,α) = 0 (3.12)

Derivand f(x(α), y(α), α) = 0 ın raport cu α gasim

∂f

∂x(x, y,α) ⋅ x′(α) + ∂f

∂y(x, y,α) ⋅ y′(α) + ∂f

∂α(x, y,α) = 0 (3.13)

Din (3.12) si (3.13) deducem

∂f

∂α(x, y,α) = 0

asadar coordonatele punctelor de pe ınfasuratoare verifica ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f(x, y,α) = 0∂f∂α(x, y,α) = 0

Rezolvand acest sistem ın necunoscutele x, y se obtin ecuatiile parametrice aleınfasuratoarei, sau eliminand parametrul α din cele doua ecuatii se obtine ecuatiacarteziana implicita a ınfasuratoarei.

Teorema 3.2. Conditia pentru ca familia de curbe (3.11) sa admita o ınfasuratoareeste ca functia f sa verifice relatiile

RRRRRRRRRRRR

∂f∂x

∂f∂y

∂2f∂x∂α

∂2f∂y∂α

RRRRRRRRRRRR≠ 0 si

∂2f

∂α2≠ 0

58

3.2 Curbe ın spatiu

3.2.1 Reprezentari analitice. Puncte ordinare

O curba ın spatiu poate fi data prin una din urmatoarele reprezentari:

1. Reprezentare parametrica:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, t ∈ [a, b]. (3.14)

2. Reprezentare vectoriala:

Ð→r =Ð→r (t) = x(t)Ð→i + y(t)Ð→j + z(t)Ð→k , t ∈ [a, b]. (3.15)

3. Reprezentare carteziana explicita:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = y(x)z = z(x)

, x ∈ [a, b]. (3.16)

4. Reprezentare carteziana implicita:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. (3.17)

Definitia 3.9. 1. O curba ın spatiu data prin una din reprezentarile (3.14) sau(3.16) se numeste curba de clasa Ck (k ∈ N∗) daca functiile care apar ınreprezentarile respective admit derivate continue pana la ordinul k inclusiv.

2. O curba ın spatiu data prin reprezentarea vectoriala (3.15) se numeste curbade clasa Ck daca functia vectoriala Ð→r (t) are componentele x(t), y(t) si z(t)de clasa Ck (admit derivate continue pana la ordinul k inclusiv).

3. O curba ın spatiu data prin reprezentarea implicita (3.17) se numeste curbade clasa Ck daca functiile F (x, y, z) si G(x, y, z) admit derivate partialecontinue pana la ordinul k inclusiv.

Definitia 3.10. 1. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 data prin ecuatia vecto-riala (3.15) si M0(Ð→r (t0)) un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numestepunct ordinar (sau regulat) al curbei Γ daca ın acest punct derivatafunctiei vectoriale Ð→r (t) este diferita de vectorul nul, adica

Ð→r ′(t0) = x′(t0)Ð→i + y′(t0)

Ð→j + z′(t0)

Ð→k ≠Ð→0 .

59

2. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 data prin ecuatia implicita (3.17) siM0(x0, y0, z0) un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numeste punctordinar al curbei Γ daca ın acest punct este verificata conditia

rang⎛⎝

∂F∂x

∂F∂y

∂F∂z

∂G∂x

∂G∂y

∂G∂z

⎞⎠= 2.

Un punct de pe o curba ın spatiu Γ care nu este punct regulat se numestepunct singular.

3.2.2 Triedrul Frenet

Definitia 3.11. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 reprezentata prin ecuatiavectoriala

Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b]si fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzator valorii t0 a parametru-lui. Consideram de asemenea un punct ordinar variabil M(Ð→r (t)). Dreapta limitaa secantei M0M cand punctul M tinde catre M0 pe curba se numeste tangentala curba ın punctul M0.

Directia secantei M0M converge catre directia vectorului Ð→r ′(t0) atunci candM →M0, deci ecuatiile tangentei la curba ın M0 sunt

x − x(t0)x′(t0)

= y − y(t0)y′(t0)

= z − z(t0)z′(t0)

(3.18)

� Pentru o curba data prin ecuatii explicite de forma (3.16), ecuatiile tangenteisunt ın punctul M0(x0, y(x0), z(x0)) sunt:

x − x0

1= y − y(x0)

y′(x0)= z − z(x0)

z′(x0)(3.19)

� Pentru o curba data prin ecuatii implicite de forma (3.17), ecuatiile tangenteisunt ın punctul M0(x0, y0, z0) sunt:

x − x0

D(F,G)D(y,z) (M0)

= y − y0

D(F,G)D(z,x) (M0)

= z − z0

D(F,G)D(x,y) (M0)

(3.20)

unde

D(F,G)D(y, z) =

RRRRRRRRRRR

∂F∂y

∂F∂z

∂G∂y

∂G∂z

RRRRRRRRRRR,D(F,G)D(z, x) = ∣

∂F∂z

∂F∂x

∂G∂z

∂G∂x

∣ , D(F,G)D(x, y) =

RRRRRRRRRRR

∂F∂x

∂F∂y

∂G∂x

∂G∂y

RRRRRRRRRRR.

Definitia 3.12. Planul perpendicular pe tangenta la o curba Γ ın punctul M0 ∈ Γse numeste plan normal la curba Γ ın punctul M0.

60

� pentru o curba data prin ecuatie vectoriala sau ecuatii parametrice, ecuatiaplanului normal ın M0 este:

x′(t0) ⋅ (x − x(t0)) + y′(t0) ⋅ (y − y(t0)) + z′(t0) ⋅ (z − z(t0)) = 0 (3.21)

� pentru o curba data prin ecuatii implicite, ecuatia planului normal ın M0

este:

D(F,G)D(y, z) (M0) ⋅ (x−x0)+

D(F,G)D(z, x) (M0) ⋅ (y−y0)+

D(F,G)D(x, y) (M0) ⋅ (z −z0) = 0

� orice dreapta continuta ın planul normal ın M0 la curba si care continepunctul M0 se numeste normala la curba ın M0.

Definitia 3.13. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C2 reprezentata prin ecuatiavectoriala

Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b]si fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzator valorii t0 a parametru-lui. Consideram de asemenea doua puncte ordinare variabile M1,M2. Planullimita la care tinde planul M0M1M2 cand M1,M2 tind catre M0 pe curba senumeste plan osculator la curba ın punctul M0.

Directia normalei la M0M1M2 converge catre directia vectorului Ð→r ′(t0) ×Ð→r ′′(t0), deci ecuatia planului osculator ın M0 este

RRRRRRRRRRRRRR

x − x(t0) y − y(t0) z − z(t0)x′(t0) y′(t0) z′(t0)x′′(t0) y′′(t0) z′′(t0)

RRRRRRRRRRRRRR= 0. (3.22)

Definitia 3.14. Se numeste binormala la curba Γ ın punctul M0 dreapta per-pendiculara pe planul osculator ın M0;

Un vector director al binormalei este

Ð→b =Ð→r ′(t0) ×Ð→r ′′(t0)

deci ecuatiile binormalei sunt

x − x(t0)A(t0)

= y − y(t0)B(t0)

= z − z(t0)C(t0)

(3.23)

unde

A = ∣ y′ z′

y′′ z′′∣ , B = − ∣ x

′ z′

x′′ z′′∣ , C = ∣ x

′ y′

x′′ y′′∣

Definitia 3.15. Se numeste normala principala la curba Γ ın punctul M0

dreapta de intersectie a planului normal cu planul osculator ın M0.

61

Un vector director al normalei principale este

Ð→n =Ð→b ×Ð→r ′(t0)

deci ecuatiile normalei principale sunt

x − x(t0)l(t0)

= y − y(t0)m(t0)

= z − z(t0)n(t0)

(3.24)

unde

l = ∣ B Cy′ z′

∣ , m = − ∣ A Cx′ z′

∣ , n = ∣ A Bx′ y′

∣

Definitia 3.16. Se numeste plan rectificant la curba Γ ın punctul M0 planuldeterminat de tangenta si binormala la curba Γ ın M0.

Un vector normal la planul rectificant este chiar vectorul director al normaleiprincipale

Ð→n =Ð→b ×Ð→r ′(t0)

deci ecuatia planului rectificant este

l(t0)(x − x(t0)) +m(t0)(y − y(t0)) + n(t0)(z − z(t0)) = 0 (3.25)

Cu notatiile anterioare, ecuatia planului osculator (3.22) se rescrie

A(t0)(x − x(t0)) +B(t0)(y − y(t0)) +C(t0)(z − z(t0)) = 0 (3.26)

Vectorii directori ai tangentei, normalei principale si binormalei (Ð→r ′, Ð→n , siÐ→b )

ın punctul M0 de pe curba Γ sunt ortogonali doi cate doi si formeaza o baza ınspatiul vectorial V3. Versorii corespunzatori acestor 3 vectori sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Ð→τ =Ð→r ′

∥Ð→r ′∥Ð→ν =

Ð→b ×Ð→r ′

∥Ð→b ×Ð→r ′∥Ð→β =

Ð→r ′ ×Ð→r ′′

∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥

(3.27)

si formeaza o baza ortonormata ın V3.

Reperul ortonormat {M0;Ð→τ ,Ð→ν ,Ð→β } se numeste triedrul lui Frenet atasatcurbei Γ ın punctul M0.

Tangenta, normala principala si binormala sunt axele (muchiile) triedruluiFrenet, iar planul normal, planul osculator si planul rectificant sunt planele (fetele)triedrului Frenet.

62

3.2.3 Elementul de arc. Curbura si torsiune

Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 reprezentata parametric si presupunem ca toatepunctele ei sunt ordinare. Fie M0 si M1 doua puncte ale curbei Γ corespunzatoarevalorilor t0 si respectiv t1 ale parametrului. Lungimea arcului de curba M0M1 este

l(M0M1) = ∫t1

t0

√(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2dt

Pentru un punct oarecare M al curbei corespunzator valorii t a parametrului,definim functia

s(t) = ∫t

t0

√(x′(u))2 + (y′(u))2 + (z′(u))2du

care reprezinta lungimea arcului de curba cuprins ıntre punctul fix M0 si punctulvariabil M .

Diferentiala acestei functii

ds =√

(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2dt

se numeste elementul de arc al curbei Γ. Ridicand la patrat obtinem:

ds2 = [(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2]dt2 = dx2 + dy2 + dz2 = dÐ→r 2

de unde rezulta

∥dÐ→rds

∥ = 1

Deoarece functia s = s(t) are derivata nenula, putem explicita pe t ın functiede s. Inlocuind t = t(s) ın ecuatiile parametrice obtinem

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t(s)) =X(s)y = y(t(s)) = Y (s)z = z(t(s)) = Z(s)

care se numeste parametrizare naturala a curbei. Parametrul s se numesteparametrul natural al curbei si este dat chiar de lungimea curbei pana la punctulcurent.

Parametrizarea naturala are proprietatea

(dXds

)2

+ (dYds

)2

+ (dZds

)2

= 1.

Pentru o curba data prin parametrizare naturala convenim sa notam vectorul

derivatelor cudÐ→rds

= Ð→r (s). Folosind aceasta notatie, relatia anterioara devine

∥Ð→r (s)∥ = 1⇔ x2(s) + y2(s) + z2(s) = 1

63

Considerand din nou parametrul initial ca functie de parametrul natural t = t(s),prin derivare ın raport cu s obtinem

Ð→r (s) = dÐ→rds

= dÐ→rdt

⋅ dtds

=Ð→r ′(t) ⋅ dtds

Calculand normele ın egalitatea vectoriala anterioara gasim

dt

ds= 1

∥Ð→r ′(t)∥(3.28)

Din∥Ð→r (s)∥ = 1⇔ Ð→r (s) ⋅ Ð→r (s) = 1

prin derivare obtinemÐ→r (s) ⋅ Ð→r (s) = 0

asadar vectorii Ð→r (s) si Ð→r (s) sunt ortogonali. Folosind aceste proprietati, obtinemdin (3.27) urmatoarele expresii pentru versorii triedrului Frenet:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Ð→τ = Ð→rÐ→ν =

Ð→r∥Ð→r ∥

Ð→β =

Ð→r × Ð→r∥Ð→r ∥

(3.29)

Fie M0 un punct ordinar al unei curbe ın spatiu Γ si M un punct arbitrar alcurbei ın vecinatatea lui M0. Notam cu ∆ω unghiul dintre tangentele ın M0 si Mla curba si cu ∆s lungimea arcului de curba M0M .

Definitia 3.17. Curbura curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

R= lim

∆s→0∣∆ω∆s

∣

R se numeste raza de curbura a curbei Γ ın punctul M0.

La fel ca si pentru curbe plane, se poate demonstra ca

1

R= ∥Ð→r ∥ = ∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥

∥Ð→r ′∥3.

Fie M0 un punct ordinar si neinflexionar al unei curbe ın spatiu Γ de clasa C3

si M un punct arbitrar al curbei ın vecinatatea lui M0. Notam cu ∆ϕ unghiuldintre binormalele ın M0 si M la curba si cu ∆s lungimea arcului de curba M0M .

64

Definitia 3.18. Torsiunea curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

T= lim

∆s→0∣∆ϕ∆s

∣

T se numeste raza de torsiune a curbei Γ ın punctul M0 .

Se poate demonstra ca

1

T=

(Ð→r , Ð→r ,...Ð→r )

∥Ð→r ∥2=

(Ð→r ′,Ð→r ′′,Ð→r ′′′)∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥2

.

Derivatele versorilor triedrului Frenet ın raport cu parametrul natural s pot fiscrise astfel:

Ð→τ = 1

RÐ→ν (3.30)

Ð→ν = − 1

RÐ→τ + 1

T

Ð→β (3.31)

Ð→β = − 1

TÐ→ν (3.32)

ecuatii care se numesc formulele lui Frenet.

3.3 Suprafete

3.3.1 Generalitati

O suprafata S poate fi data prin una din urmatoarele reprezentari:

1. Reprezentare parametrica:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈D ⊂ R2. (3.33)

2. Reprezentare vectoriala:

Ð→r =Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k , (u, v) ∈D ⊂ R2. (3.34)

3. Reprezentare carteziana explicita:

z = f(x, y), (x, y) ∈D ⊂ R2. (3.35)

4. Reprezentare carteziana implicita:

F (x, y, z) = 0. (3.36)

65

Definitia 3.19. Spunem ca functia vectoriala

Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k

este de clasa Ck daca are derivate partiale continue pana la ordinul k inclusiv.

� functia vectoriala Ð→r (u, v) este de clasa Ck daca toate componentele salesunt de clasa Ck;

� u si v se numesc parametri sau coordonate curbilinii pe suprafata;

� un punct M0 ∈ S este unic determinat de coordonatele sale curbilinii u = u0

si v = v0.

Definitia 3.20. Spunem ca o suprafata S data prin reprezentarea vectoriala (3.34)este o suprafata elementara daca sunt satisfacute conditiile:

1. suprafata este de clasa C1

2. ecuatia Ð→r = Ð→r (u, v) realizeaza o corespondenta biunivoca ıntre multimeapunctelor de pe suprafata si multimea perechilor (u, v) ∈D

3. Ð→r ′u ×Ð→r ′v ≠Ð→0 , ∀(u, v) ∈D

Definitia 3.21. Punctul M0(u0, v0) se numeste punct ordinar al unei suprafete

S de clasa C1 daca Ð→r ′u ×Ð→r ′v(M0) ≠Ð→0 . In caz contrar, punctul M0 se numeste

punct singular al suprafetei S.

Fie o suprafata elementara S de ecuatie

Ð→r =Ð→r (u, v), (u, v) ∈D ⊂ R2.

O curba pe suprafata S este reprezentata ın mod analog curbelor plane, darfolosind coordonatele curbilinii u si v ın locul coordonatelor carteziene x, y:

1. parametric:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = u(t)v = v(t)

, t ∈ [a, b];

2. explicit: u = ϕ(v) sau v = ψ(u);

3. implicit: g(u, v) = 0.

Pentru o curba Γ de pe suprafata S reprezentata parametric,

Ð→r =Ð→r (u(t), v(t)) , t ∈ [a, b]

reprezinta ecuatia vectoriala a curbei Γ ın spatiu.

66

O curba Γ de pe suprafata S data prin ecuatia explicita u = ϕ(v) sau v = ψ(u)are ecuatia ın spatiu Ð→r =Ð→r (ϕ(v), v) sau Ð→r =Ð→r (u,ψ(u)).

In particular, daca functia ϕ (sau ψ) este constanta, pe curbele corespunzatoarede pe suprafata S variaza doar v (respectiv u).

Notam cu Γ0u curba de pe suprafata S corespunzatoare lui v = v0 si avand

ecuatia ın spatiu Ð→r = Ð→r (u, v0), respectiv cu Γ0v curba de pe suprafata S core-

spunzatoare lui u = u0 si avand ecuatia ın spatiu Ð→r =Ð→r (u0, v).Curbele Γ0

u si Γ0v se numesc curbe de coordonate sau curbe caracteristice

pe suprafata S.Fiecare punct M0 (Ð→r (u0, v0)) este intersectia a doua curbe de coordonate.

3.3.2 Plan tangent si normala la o suprafata

In continuare vom presupune ca suprafata S precum si curbele de pe a aceastasuprafata sunt de clasa C1.

Fie suprafata S de ecuatie

Ð→r =Ð→r (u, v), (u, v) ∈D ⊂ R2,

punctul M0 ∈ S si Γ o curba arbitrara pe S care trece prin M0. Pentru oparametrizare u = u(t), v = v(t) a curbei Γ, obtinem ecuatia vectoriala ın spatiua curbei Γ:

Ð→r =Ð→r (u(t), v(t))Notam cu t0 valoarea parametrului t care corespunde punctului M0 pe curba Γ sicu u0 = u(t0), v0 = v(t0) coordonatele curbilinii ale punctului M0 pe suprafata S.

Tangenta ın M0 la curba Γ are directia data de vectorul

Ð→r ′(t0) =∂Ð→r∂u

(u0, v0) ⋅ u′(t0) +∂Ð→r∂v

(u0, v0) ⋅ v′(t0).

Vectorii Ð→r 0u = ∂Ð→r

∂u(u0, v0) si Ð→r 0

v =∂Ð→r∂v

(u0, v0) depind doar de suprafata S si de

punctul M0 ∈ S, iar vectorul director al tangentei la orice curba de pe S care treceprin M0 este o combinatie liniara de acesti doi vectori.

Definitia 3.22. Se numeste plan tangent la suprafata S ın punctul M0 planuldeterminat de vectorii Ð→r 0

u si Ð→r 0v.

Observatie: Vectorii Ð→r 0u si Ð→r 0

v sunt chiar vectorii directori ai tangentelor lacurbele de coordonate de pe S care trec prin M0.

Ecuatia planului tangent ın M0 este

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

x − x(u0, v0) y − y(u0, v0) z − z(u0, v0)∂x

∂u(u0, v0)

∂y

∂u(u0, v0)

∂z

∂u(u0, v0)

∂x

∂v(u0, v0)

∂y

∂v(u0, v0)

∂z

∂v(u0, v0)

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0

67

sau echivalentA(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0

unde

A = ∣∂y∂u

∂z∂u

∂y∂v

∂z∂v

∣ (M0), B = ∣∂z∂u

∂x∂u

∂z∂v

∂x∂v

∣ (M0), C = ∣∂x∂u

∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

∣ (M0)

iar (x0, y0, z0) sunt coordonatele carteziene ale lui M0.Daca suprafata S este data prin ecuatia explicita z = f(x, y), folosind parametrizarea

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = uy = vz = f(u, v)

obtinem ecuatia planului tangent

p(x − x0) + q(y − y0) − (z − z0) = 0

unde p = ∂f∂x(x0, y0) si q = ∂f

∂y (x0, y0).Daca suprafata S este data prin ecuatia implicita F (x, y, z) = 0, obtinem

ecuatia planului tangent

∂F

∂x(M0)(x − x0) +

∂F

∂y(M0)(y − y0) +

∂F

∂z(M0)(z − z0) = 0

Definitia 3.23. Se numeste normala la suprafata S ın punctul M0(x0, y0, z0) ∈ Sdreapta perpendiculara pe planul tangent la S ın M0.

In functie de tipul reprezentarii suprafetei S, ecuatia normalei este:

1. parametric x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v):

x − x0

A= y − y0

B= z − z0

C

2. explicit z = f(x, y):x − x0

p= y − y0

q= z − z0

−1

3. implicit F (x, y, z) = 0:

x − x0

F ′x

= y − y0

F ′y

= z − z0

F ′z

68

Exemplu 1:Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = u + vın punctul M0(u0 = 1, v0 = 0).

Coordonatele carteziene: M0(1,0,1). Derivatele partiale:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′u = cos v

y′u = sin v

z′u = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′u(1,0) = 1

y′u(1,0) = 0

z′u(1,0) = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′v = −u sin v

y′v = u cos v

z′v = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′v(1,0) = 0

y′v(1,0) = 1

z′v(1,0) = 1

Planul tangent:

RRRRRRRRRRRRRR

x − 1 y z − 11 0 10 1 1

RRRRRRRRRRRRRR= 0⇔ −x − y + z = 0

Normala:x − 1

−1= y

−1= z − 1

1Exemplu 2:

Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata

z(x2 + y2) − 1 = 0 ın punctul M0 (1,1,1

2) .

Derivatele partiale:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂F∂x = 2xz∂F∂y = 2yz∂F∂z = x2 + y2

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂F∂x (M0) = 1∂F∂y (M0) = 1∂F∂z (M0) = 2

Planul tangent:

1 ⋅ (x − 1) + 1 ⋅ (y − 1) + 2 ⋅ (z − 1

2) = 0⇔ x + y + 2z − 3 = 0

Normala:x − 1

1= y − 1

1=z − 1

2

2

3.3.3 Prima forma fundamentala a unei suprafete

Fie suprafata S data prin ecuatia vectoriala

Ð→r =Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k , (u, v) ∈D ⊂ R2

sau prin ecuatii parametrice

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈D ⊂ R2

69

si o curba oarecare Γ pe S de ecuatii parametrice

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = u(t)v = v(t)

.

Definitia 3.24. Se numeste prima forma fundamentala a suprafetei S patratulelementului de arc (ds2) al curbei Γ de pe suprafata S.

Ecuatia vectoriala a curbei Γ este Ð→r =Ð→r (u(t), v(t)). Avem:

∥dÐ→rds

∥ = 1⇔ ds = ∥dÐ→r ∥⇔ ds2 = dÐ→r ⋅ dÐ→r

InlocuinddÐ→r =Ð→r ′udu +Ð→r ′vdv

obtinemdÐ→r ⋅ dÐ→r = ∥Ð→r ′u∥2du2 + 2Ð→r ′uÐ→r ′vdudv + ∥Ð→r ′v∥2dv2

asadar prima forma fundamentala este forma patratica

ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = ∥Ð→r ′u∥2 =Ð→r ′u ⋅Ð→r ′uF =Ð→r ′u ⋅Ð→r ′vG = ∥Ð→r ′v∥2 =Ð→r ′v ⋅Ð→r ′v

E, F siG se numesc coeficientii primei forme fundamentale sau coeficientiilui Gauss .

Scriind vectorii Ð→r ′u si Ð→r ′v pe componente si calculand produsele scalare gasim

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = (x′u)2 + (y′u)2 + (z′u)2

F = x′ux′v + y′uy′v + z′uz′vG = (x′v)2 + (y′v)2 + (z′v)2

Pentru o suprafata S data prin ecuatia explicita

z = f(x, y)

coeficientii primei forme fundamentale sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = 1 + p2

F = pqG = 1 + q2

Pentru o suprafata S data prin ecuatia implicita

F (x, y, z) = 0

70

coeficientii primei forme fundamentale sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

E = (F ′x)2 + (F ′

z)2

(F ′z)2

F =F ′x ⋅ F ′

y

(F ′z)2

G =(F ′

y)2 + (F ′z)2

(F ′z)2

Lungimea unui arc de curba Γ ⊂ S cuprins ıntre punctele M1(t1) si M2(t2) este

t2

∫t1

ds =t2

∫t1

¿ÁÁÀE (du

dt)

2

+ 2Fdu

dt⋅ dvdt

+G(dvdt

)2

dt

Definitia 3.25. Fie Γ1 si Γ2 doua curbe pe suprafata S care se intersecteaza ınpunctul M de pe suprafata. Unghiul θ dintre tangentele duse la cele doua curbe ınM se numeste unghiul dintre curbele Γ1 si Γ2 pe suprafata S.

Vom nota cu d deplasarea de-a lungul curbei Γ1 si cu δ deplasarea de-a lungulcurbei Γ2. Vectorii dÐ→r si δÐ→r dau directiile tangentelor la cele doua curbe ınpunctul M , asadar avem:

cos θ = dÐ→r ⋅ δÐ→r∥dÐ→r ∥ ⋅ ∥δÐ→r ∥

InlocuinddÐ→r =Ð→r ′udu +Ð→r ′vdv si δÐ→r =Ð→r ′uδu +Ð→r ′vδv

obtinem:

dÐ→r ⋅ δÐ→r = (Ð→r ′u)2duδu +Ð→r ′uÐ→r ′v(duδv + δudv) + (Ð→r ′v)2dvδv

= Eduδu + F (duδv + δudv) +GdvδvdÐ→r 2 = ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

δÐ→r 2 = δs2 = Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

cos θ = Eduδu + F (duδv + δudv) +Gdvδv√Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 ⋅

√Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

unde E,F,G sunt coeficientii primei forme fundamentale calculati ın punctul Mcomun celor doua curbe.

In particular pentru curbele de coordonate Γ1 ∶ u = u0 si Γ2 ∶ v = v0, gasimdu = 0 si δv = 0, iar cosinusul unghiului dintre cele doua curbe devine

cos θ = F√E ⋅G

.

71

Definitia 3.26. Se numeste element de arie pe suprafata S ın punctul M ∈S, notat cu dσ, aria paralelogramului construit pe vectorii Ð→r ′udu si Ð→r ′vdv candcresterile parametrilor du si dv au acelasi semn.

Avem:

dσ = ∥Ð→r ′udu ×Ð→r ′vdv∥ = ∥Ð→r ′u ×Ð→r ′v∥dudv=

√A2 +B2 +C2dudv

=√EG − F 2dudv

Daca suprafata este data prin ecuatie carteziana explicita z = f(x, y), elementulde arie este

dσ =√

1 + p2 + q2dxdy.

3.4 Exercitii

1. Fie curba C ∶ Ð→r (t) = (t2 + 3t)Ð→i + (t2 + 2t)Ð→j . Sa se afle:

(a) intersectiile curbei cu axele de coordonate

(b) intersectiile curbei cu prima bisectoare

(c) ecuatia carteziana implicita a curbei

(d) ecuatia tangentei ın punctul M0(t0 = −2)

2. Sa se scrie ecuatia tangentei si normalei la curba data ın punctul indicat:

(a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = t3

1 − t2y = 1 + t2

1 − t2, A(t0 = 2)

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = t3 − 2t

y = t2 + 1, A(t0 = 2)

(c) y = x3 + 2x2 − 4x + 3, M0(−2,5)(d) y = x lnx + 1, M0(x = 1)(e) x3 + 3x2y − y2 − 2x + 9 = 0, A(2,−1)(f) x3 − xy2 + 2x + y − 3 = 0, A(y = 0)

3. Sa se scrie ecuatiile tangentei si normalei la elipsa

x2

4+ y2 − 1 = 0

ın punctul M0 (√

3, 12)

72

4. Sa se calculeze elementul de arc si lungimea arcului de curba AB pentrucurbele:

(a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a(t − sin t)y = a(1 − cos t)

, A(t = 0), B(t = 2π)

(b) y2 = 4x, A(0,0), B(1,2)(c) ρ = a sin3 θ

3 , A(θ = 0), B (θ = 3π2)

5. Sa se calculeze curbura urmatoarelor curbe ın punctele indicate:

(a) Ð→r (t) = t2Ð→i + t3Ð→j , A(1,1)R: 6

13√

13

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = sin t

y = t cos t, M (t = π

2)

R: 4π2

(c) y = x3 − x2 + 2x − 2, A(1,0)R: 2

5√

10

(d) y = x2 − 1, M(1,0)R: 2

5√

5

(e) ρ = a sin 2θ, M (θ = π4)

6. Sa se determine ınfasuratoarea urmatoarelor familii de curbe:

(a) αx − α2y − 1 = 0R: x2 = 4y

(b) α2x − (α − 1)y + 2 = 0R: y2 − 4xy − 8x = 0

(c) (α2 − 1)x − 2αy + 2α2 − 1 = 0R: x3 + xy2 + 4x2 + 3y2 + 4x + 4y+ = 0

(d) (x − α)2 + y2 = 4αR: y2 + 4x + 4 = 0

7. Sa se scrie ecuatiile tangentei si ecuatia planului normal la curba C ın punctulspecificat:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 − cos t

y = sin t

z = t; M0 (t = π

2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

z = 1x3

;A(1,1,1)

73

(c) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a cos2 t

y = a sin t cos t

z = a sin t

; M0 (t = π4)

(d) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + z2 − 4 = 0

x2 + y2 − 4 = 0; M0(

√3,1,1)

(e) (C) ∶Ð→r (t) = tÐ→i + t2Ð→j + t3Ð→k ; A(2,4,8)

8. Sa se calculeze versorii triedrului Frenet ın urmatoarele cazuri:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 − cos t

y = sin t

z = t; M0 (t = π

2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y2 = xx2 = z

; A(1,1,1)

(c) (C) ∶ Ð→r (t) = et(Ð→i cos t +Ð→j sin t +Ð→k )

9. Sa se scrie ecuatiile muchiilor si fetelor triedrului Frenet ın urmatoarelecazuri:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ty = −tz = t2

2

; M0(t0 = 2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 2√

2 cos t

y = 2 + 2 sin t

z = 2(1 − sin t); M0(0,4,0)

10. Sa se calculeze elementul de arc pentru curba

(C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ty = t2

z = 2t3

3

11. Sa se calculeze lungimea arcului (AB), unde:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = et cos t

y = et sin t

z = et, A(t = 0), B (t = π

2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

2

z = x3

6

, A(x = 0), B(x = 6)

74

(c) (C) ∶Ð→r (t) = a cos tÐ→i + a sin t

Ð→j + btÐ→k , A(t = 0),B(t = 1)

12. Sa se afle versorii triedrului Frenet, curbura si torsiunea la curba (C) ınpunctul indicat:

(a) (C) ∶ Ð→r (t) = (2t − 1)Ð→i + t3Ð→j + (1 − t2)Ð→k , M0(t = 0)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = cos t

y = sin t

z = t2

2

, A(t = 0)

(c) (C) ∶ Ð→r (t) = t cos tÐ→i + t sin tÐ→j + atÐ→k ın origine.

13. Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata S ınpunctul specificat:

(a) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u2 + v + 1)Ð→i + (u2 − v + 1)Ð→j + (uv + 2)Ð→k ,M0(u = 1, v = −1)

(b) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 + uvy = u + u2v

z = u2 + u3v

, M0(3,3,3)

(c) (S) ∶ z = x2 + y2, M0(1,−2,5)(d) (S) ∶ x2 + y2 + z2 + 2xy + 4xz + 2x + 4y − 6z + 8 = 0, M0(0,0,2)

(e) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u−v)2Ð→i +(u2−3v2)Ð→j +v(u−2v)Ð→k2 , M0(u = 1, v = 0)

(f) (S) ∶ z = x3 + y3, M1(1,2,9), M2(1,1,2)

(g) (S) ∶ x2

16 +y2

9 − z2

8 = 0, M0(4,3,4)

14. Sa se scrie prima forma fundamentala a urmatoarelor suprafete:

(a) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = u2

(b) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u2 + v)Ð→i + (u + v2)Ð→j + (u + v)Ð→k(c) (S) ∶ z = xy2

(d) (S) ∶ x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0

(e) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = a ⋅ v

(f) (S) ∶ x2 + y2 + z2 − a2 = 0

75

15. Fie suprafata

Ð→r (u, v) = (u2 + v2)Ð→i + (u2 − v2)Ð→j + uvÐ→k .

(a) Sa se scrie prima forma fundamentala a suprafetei S;

(b) Sa se scrie elementul de arc pentru curbele (C1) ∶ u = 2, (C2) ∶ v = 1 si(C3) ∶ v = au;

(c) Sa se calculeze lungimea arcului curbei C3 cuprins ıntre punctele core-spunzatoare lui u = 1 si u = 2.

16. Sa se calculeze elementul de arie pentru suprafetele:

(a) Ð→r (u, v) = u + v2

Ð→i + u − v

2

Ð→j + uv

2

Ð→k ;

(b) Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + u2Ð→k ;

(c) xyz = 2.

17. Se considera suprafata

Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + (u + v)Ð→k

Sa se calculeze unghiul dintre curbele de coordonate pe aceasta suprafata.Pentru ce curbe de coordonate este acest unghi de 600?

18. Fie suprafata

(S) ∶Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + u2Ð→k

si pe aceasta suprafata curbele (C1) ∶ u = 1, (C2) ∶ v = u si (C3) ∶ v = −u. Sase calculeze perimetrul si unghiurile triunghiului curbiliniu determinat pesuprafata S de aceste curbe.

19. Fie suprafata

Ð→r (u, v) = (u2 + v2)Ð→i + (u2 − v2)Ð→j + uvÐ→k

si pe aceasta suprafata curbele (C1) ∶ u = 2, (C2) ∶ v = 1 si (C3) ∶ u = v. Sase calculeze perimetrul si unghiurile triunghiului curbiliniu determinat pesuprafata S de aceste curbe.

76

geometrie analitic a ˘si diferent˘ial a · 2014-06-20 · geometrie analitic a ˘si diferent˘ial...

Documents

C4 MDA-generalitati Analitic(3)

RAPORT privind vizita efectuata la Centrul Reziden^ial

BULETIN INFORMATIV-ANALITIC - aitt.asm.mdaitt.asm.md/userfiles/file/07_09_09/Nr.pdf · Chişinău, R. Moldova, tel./fax: (+373 22) 549-210 e-mail: [email protected], BULETIN INFORMATIV-ANALITIC

Capitolul IV: Derivate si diferent¸iale Lect. dr. Lucian ...maticiuc/didactic/MSI_curs VII, VIII, IX... · Capitolul IV: Derivate si diferent¸iale Lect. dr. Lucian Maticiuc Facultatea

Calcul diferent»ial »si integral (notit»e de curs)fliacob/An1/2014-2015/Resurse auxiliare/02_Structuri... · 52 Propriet•at»i remarcabile ale funct»iilor continue de n variabile

Studiu analitic privind structura administrativ-teritoriala optimala pentru RM

ELEMENTE DE CALCUL DIFERENT¸IAL PE DREAPTA REALA˘ · ELEMENTE DE CALCUL DIFERENT¸IAL PE DREAPTA REALA˘ 7 s¸i au loc urmatoarele propriet˘ at¸i, numite˘ formulele lui de Morgan

CURS 1 - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~todeacos/curs1.pdf · Bibliogra e: 1) V. Mihe˘san, Geometrie analitic a ˘si diferent˘ial a, Ed. Mediamira 2011; 2) V. Pop, Algebr a linar

Analiz 2 - adrianmanea.xyz · 1.2 Metoda eliminării pentru sisteme diferent, iale liniare Putem reduce sistemele diferent,iale de ordinul I la ecuat,ii de ordin superior. De exemplu,

ELEMENTE DE CALCUL DIFERENT¸IAL PE DREAPTA REALA˘images2.wikia.nocookie.net/nccmn/ro/images/2/2e/Analiza_matematica.pdfˆIn general, A B 6= B A. Doua elemente˘ (x 1,y 1) s¸i (x2,y2)

CONTROLUL ANALITIC AL CALIT ĂŢ II PRODUSELOR – NOTE DE CURS 2.pdf · 2014. 7. 7. · Controlul analitic al calit ăţii produselor – Note de curs 3 Plecând de la aceast ă

Probleme informatice (part˘ial) rezolvate matematic...Probleme informatice (part˘ial) rezolvate matematic 2018 FMI - Lect˘ii de preg atire pentru admitere 1/55. Scop Trucuri (matematice)

Geometrie Analitic˘a si Diferential˘a

Raport analitic de bază al sectorului cultural si politicilor culturale din Republica Moldova

Geometria diferent¸ial˘a a curbelor Suport de studiu ...math.ucv.ro/~sterpu/courses/M2303/doc/curbe.pdf · Geometria diferent¸ial˘a a curbelor Suport de studiu pentru seminar

Deviz analitic - adp-sector1.ro

HIPERTENSIUNEA ARTERIAL Ă ESEN Ţ IAL Ă :TULBUR Ă RI NEVROTIFORME Ş I AFECTIVE

3. Programul analitic Pneumoftiziologie Scopul disciplineiusmf.md/wp-content/uploads/2013/07/3.syllabus.pdf · 3. Programul analitic Pneumoftiziologie Numărul total de ore – 40,

Chimie Analitic ă C alitativ ă Ion i . Propri e t ăţi

Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Studiul analitic al literaturii tehnice de specialitate la zi referitoare la

ALGEBRA LINIAR A, GEOMETRIE ANALITICA, DIFERENT˘IAL A …Geometrie Analitic a ˘si Diferent˘ial a ˘si Ecuat˘ii Diferent˘iale" seminarizate la cursurile de algebr a liniar a, geometrie

Cap2 Gest cantit - Aplisoft · si tipul (activ, pasiv sau bifunctional). La introducerea unui cont cu analitic se va tine cont de regula prin care acest analitic va incepe de la al

Geometria Diferent»ial‚a a Curbelor »si Suprafet»elormath.ucv.ro/~slesar/courses/2015-2016/Suport_pentru_curs... · 2016-02-09 · Geometria Diferent»ial‚a a Curbelor »si

Buletinului informativ-analitic “InnoViews”

Capitole de Matematici Speciale - usab-tm.ro Codruta... · 4 Capitole de Matematici Speciale 1.2 Ecuat˘ii diferent˘iale de ordinul I Primele ecuat˘ii diferent˘iale de ordinul

Algebr a Liniar a, Geometrie Analitic a, ˘si Elemente de ... · liniar a, geometrie analitic a ˘si elemente de geometrie diferent˘ial a (teoria curbelor ˘si suprafet˘elor). ^In

Cont i ; e ~,,Fif Ial

&ional de supraveghere macropruden &ial a pie &elor Þ ... · privind supravegherea macropruden ial a sistemului Þ nanciar na ional. 2. Con inutul supravegherii macropruden iale

program analitic MG anII 2013

MATEMATIC˘A (ALGEBR˘A SI ECUAT¸II DIFERENT¸ IALE)

Calcul diferent˘ial ˘si integral Curs - Anul I(Ro)

Controlul Analitic

Probleme informatice (part˘ial) rezolvate matematicfmi.unibuc.ro/ro/pdf/2019/admitere/licenta/FMI_Probleme_rezolvate_part... · Probleme informatice (part˘ial) rezolvate matematic

Program analitic - Teoria Relatiilor Internationale.doc