geometrie analitic a ˘si diferent˘ial a · 2014-06-20 · geometrie analitic a ˘si diferent˘ial...
Embed Size (px)
TRANSCRIPT
-
Geometrie analitică şidiferenţială
asist. Ciprian DeliuUniversitatea Tehnică ”Gh. Asachi” Iaşi
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului
2014
-
Cuprins
1 Conice 31.1 Dreapta ı̂n plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Conice pe ecuaţii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Schimbări de repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Rotaţia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Translaţia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Reducerea conicelor la forma canonică . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1 Invarianţii unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Forma canonică a conicelor cu centru . . . . . . . . . . 141.4.3 Forma canonică a conicelor fără centru . . . . . . . . . 17
1.5 Exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Cuadrice 262.1 Cuadrice pe ecuaţii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.2 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.3 Hiperboloidul cu o pânză . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.4 Hiperboloidul cu două pânze . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.5 Conul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.6 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.7 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.8 Cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.9 Generatoare rectilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Reducerea cuadricelor la forma canonică . . . . . . . . . . . . . 392.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Generări de suprafeţe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.1 Suprafeţe cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1
-
2.3.2 Suprafeţe conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.3 Suprafeţe de rotaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Geometria diferenţială a curbelor şi suprafeţelor 503.1 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.2 Tangenta şi normala la o curbă plană . . . . . . . . . . 523.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane . . . . . . . . . . 543.1.4 Curbura unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.5 Înfăşurătoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . 57
3.2 Curbe ı̂n spaţiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1 Reprezentări analitice. Puncte ordinare . . . . . . . . . 593.2.2 Triedrul Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.3 Elementul de arc. Curbură şi torsiune . . . . . . . . . . 63
3.3 Suprafeţe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.1 Generalităţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.2 Plan tangent şi normală la o suprafaţă . . . . . . . . . 673.3.3 Prima formă fundamentală a unei suprafeţe . . . . . . 69
3.4 Exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2
-
Capitolul 1
Conice
1.1 Dreapta ı̂n plan
Fie {O,Ð→i ,Ð→j } un reper cartezian ortogonal ı̂n plan. Ecuaţia canonicăa dreptei determinată de punctul M0(x0, y0) şi de vectorul director Ð→v =lÐ→i +mÐ→j (cu l2 +m2 > 0) este
x − x0l
= y − y0m
sau echivalentmx − ly −mx0 + ly0 = 0
Notând a =m, b = −l şi c = −mx0 + ly0, obţinem ecuaţia
ax + by + c = 0
cu a2+b2 > 0, ecuaţie care se numeşte ecuaţia generală a dreptei ı̂n plan.Dacă egalăm rapoartele din ecuaţia dreptei cu λ:
x − x0l
= y − y0m
= λ
se obţin ecuaţiile parametrice ale dreptei:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + λly = y0 + λm
De asemenea ecuaţia canonică a dreptei determinată de două puncteM1(x1, y1) şi M2(x2, y2) este:
x − x1x2 − x1
= y − y1y2 − y1
3
-
ecuaţie care se poate rescrie
RRRRRRRRRRRRRR
x y 1x1 y1 1x2 y2 1
RRRRRRRRRRRRRR= 0
Cazuri particulare
Ecuaţia axei Ox: y = 0
Ecuaţia unei drepte paralele cu Ox: y = y0
Ecuaţia axei Oy: x = 0
Ecuaţia unei drepte paralele cu Oy: x = x0
Ecuaţia primei bisectoare: y = x
Ecuaţia celei de-a doua bisectoare: y = −x
Ecuaţia dreptei prin tăieturi:Fie o dreaptă care nu trece prin origine şi nu este paralelă cu axele decoordonate şi fie A(a,0),B(0, b) punctele de intersecţie ale dreptei cuaxele de coordonate, cu a ⋅ b ≠ 0. Obţinem:
x − a0 − a
= y − 0b − 0
⇔ bx + ay − ab = 0⇔ xa+ yb− 1 = 0.
Fie o dreaptă d de ecuaţie
ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0
Atunci şi λax + λby + λc = 0, λ ∈ R∗ este o ecuaţie a dreptei d, deci odreaptă are o infinitate de ecuaţii. Două ecuaţii reprezintă aceeaşi dreaptădacă şi numai dacă au coeficienţii proporţionali.
Dacă dreapta d nu este paralelă cu Oy (deci b ≠ 0), ecuaţia dreptei sepoate rescrie:
y = −abx − c
b
Notănd m = −ab, n = −c
bobţinem
y =mx + n
care se numeşte ecuaţia explicită a dreptei d. Coeficientul m se numeştepanta dreptei, iar n este ordonata intersecţiei dreptei cu axa Oy.
4
-
Fie A(xA, yA) şi B(xB, yB) două puncte distincte pe dreapta d. Dreaptanefiind paralelă cu Oy, avem că xA ≠ xB. Punând condiţia ca cele douăpuncte să verifice ecuaţia dreptei obţinem
yA =mxA + n şi yB =mxB + n.
Scăzând cele două ecuaţii obţinem
yB − yA =m(xB − xA)⇒m =yB − yAxB − xA
= tg θ
unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitivă a axei Ox şi semidreapta de pedreapta d situată deasupra axei Ox. Avem:
m > 0⇔ θ unghi ascuţit
m < 0⇔ θ unghi obtuz
m = 0⇔ dreapta este paralelă cu OxObservaţii
1. Dreapta d care are ecuaţia explicită y = mx + n trece prin punctelede coordonate (0, n) şi (1,m + n), deci ecuaţia canonică a dreptei estex
1= y − n
m, aşadar un vector director al dreptei este Ð→v = 1 ⋅Ð→i +m ⋅Ð→j
2. O dreaptă este unic determinată de un punct M0(x0, y0) şi de pantam. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreaptă avem
m = y − y0x − x0
⇔ y − y0 =m(x − x0)
3. Două drepte d1 şi d2 neparalele cu Oy având pantele m1 şi m2 suntparalele dacă şi numai dacă m1 =m2.
4. Două drepte d1 şi d2 neparalele cu Oy având pantele m1 şi m2 suntperpendiculare dacă şi numai dacă m1 ⋅m2 = −1.
1.2 Conice pe ecuaţii reduse
Definiţia 1.1. Se numeşte conică o curbă plană definită ı̂n reperul cartezian
ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j } printr-o ecuaţie algebrică de gradul al doilea de forma
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,
unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a212 + a222 > 0 (adică cel puţin unul dintrecoeficienţii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordo-natele euclidiene ı̂n reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.
5
-
Conicele se mai numesc şi curbe de gradul al doilea. Exemple de conice:cercul, elipsa, hiperbola, parabola.
1.2.1 Cercul
Definiţia 1.2. Fie un punct fixat C(a, b) şi r > 0 un număr real fixat. Senumeşte cerc de centru C şi rază r este locul geometric al punctelor M(x, y)care satisfac egalitatea
∥ÐÐ→CM∥ = r. (1.1)
AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j , deci (1.1) se rescrie
√(x − a)2 + (y − b)2 = r
sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (1.2)
care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a cercului de centru C(a, b)şi rază r.
Efectuând calculele ı̂n ecuaţia (1.2) obţinem:
x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0.
Notând m = −a, n = −b şi p = a2 + b2 − r2, ecuaţia se rescrie
x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0,
care se numeşte ecuaţia generală a cercului .Ecuaţia (1.2) este de asemenea echivalentă cu ecuaţiile
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = a + r cos ty = b + r sin t
, t ∈ [0,2π)
numite ecuaţiile parametrice ale cercului.
1.2.2 Elipsa
Definiţia 1.3. Fie F,F ′ două puncte ı̂n plan şi a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea
MF +MF ′ = 2a
se numeşte elipsă.
6
-
Punctele F,F ′ se numesc focarele elipsei
Dreapta FF ′ se numeşte axă focală.
Distanţa dintre focare se numeşte distanţă focală:
FF ′ = 2c < 2a
distanţele MF şi MF ′ se numesc raze focale
Pentru a găsi ecuaţia elipsei alegem ca axă a absciselor axa focală FF ′, iarca axă a ordonatelor mediatoarea segmentului FF ′. Originea reperului estemijlocul segmentului FF ′, deci focarele au coordonatele F (c,0) şi F ′(−c,0).Din definiţia elipsei, punctul M(x, y) aparţine elipsei dacă şi numai dacă
√(x − c)2 + y2 +
√(x + c)2 + y2 = 2a⇔
√(x + c)2 + y2 = 2a −
√(x − c)2 + y2 ⇔
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a√
(x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 ⇔a√
(x − c)2 + y2 = a2 − cx⇔ a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)
Notând b2 = a2 − c2, ecuaţia anterioară devine
b2x2 + a2y2 = a2b2 ⇔ x2
a2+ y
2
b2= 1,
ecuaţie care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a elipsei.Observaţii
Dacă M(x, y) este un punct pe elipsă, atunci şi simetricul lui faţă deOx, punctul de coordonate (x,−y) verifică ecuaţia elipsei, deci Ox esteaxă de simetrie a elipsei.
Simetricul lui M faţă de Oy, punctul de coordonate (−x, y) verificăecuaţia elipsei, deci Oy este axă de simetrie a elipsei.
Simetricul lui M faţă de O, punctul de coordonate (−x,−y) verificăecuaţia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei.
Intersecţiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a,0), A′(−a,0),B(0, b), B′(0,−b) se numesc vârfurile elipsei.
∥Ð→OA∥ = a şi ∥
Ð→OB∥ = b se numesc semiaxa mare şi respectiv semiaxa
mică a elipsei.
7
-
Raportul e = ca< 1 se numeşte excentricitatea elipsei. Avem:
e2 = c2
a2= a
2 − b2a2
= 1 − ( ba)
2
⇒ ba=√
1 − e2
deci excentricitatea caracterizează forma elipsei.
Ecuaţia carteziană a elipsei este echivalentă cu ecuaţiile
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = a cos ty = b sin t
, t ∈ [0,2π)
numite ecuaţiile parametrice ale elipsei.
Ecuaţia tangentei la elipsă dusă printr-un punct M0(x0, y0) de pe elipsăse obţine prin dedublare:
xx0a2
+ yy0b2
− 1 = 0.
1.2.3 Hiperbola
Definiţia 1.4. Fie F,F ′ două puncte ı̂n plan şi a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea
∣MF −MF ′∣ = 2a
se numeşte hiperbolă.
Punctele F,F ′ se numesc focarele hiperbolei
Dreapta FF ′ se numeşte axă focală.
Distanţa dintre focare se numeşte distanţă focală:
FF ′ = 2c > 2a
distanţele MF şi MF ′ se numesc raze focale
Pentru a găsi ecuaţia carteziană implicită a hiperbolei alegem ca axă aabsciselor axa focală FF ′, iar ca axă a ordonatelor mediatoarea segmentuluiFF ′. Originea reperului este mijlocul segmentului FF ′, deci focarele au
8
-
coordonatele F (c,0) şi F ′(−c,0). Prin definiţie, punctul M(x, y) aparţinehiperbolei dacă şi numai dacă
√(x + c)2 + y2 −
√(x − c)2 + y2 = ±2a⇔
√(x + c)2 + y2 =
√(x − c)2 + y2 ± 2a⇔
x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 − 2cx + c2 + y2 ± 4a√
(x − c)2 + y2 + 4a2 ⇔±a
√(x − c)2 + y2 = cx − a2 ⇔
a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2 ⇔(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)⇔
b2x2 − a2y2 = a2b2 ⇔ x2
a2− y
2
b2= 1.
Observaţii
Axele Ox şi Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei;
Intersecţiile hiperbolei cu axaOx, puncteleA(a,0), A′(−a,0), se numescvârfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeşte axa transversă a hiper-bolei;
Dreptele de ecuaţii y = ± bax sunt asimptotele hiperbolei şi se obţin ca
asimptote oblice ale funcţiilor
f1(x) =b
a
√x2 − a2 şi f2(x) = −
b
a
√x2 − a2;
Dacă a = b, hiperbola are ecuaţia x2 − y2 = a2 şi se numeşte hiperbolăechilateră, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x şi y = −x;
O ecuaţie de forma xy = ±a2 reprezintă tot o hiperbolă echilateră, avândca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoareleaxelor.
Raportul e = ca< 1 se numeşte excentricitatea hiperbolei. Avem:
e2 = c2
a2= a
2 + b2a2
= 1 + ( ba)
2
⇒ ba=√e2 − 1
deci excentricitatea caracterizează forma hiperbolei.
9
-
Ecuaţia carteziană a elipsei este echivalentă cu ecuaţiile
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = a ch ty = b sh t
, t ∈ R
numite ecuaţiile parametrice ale hiperbolei.
Ecuaţia tangentei la hiperbolă dusă printr-un punct M0(x0, y0) de pehiperbolă se obţine prin dedublare:
xx0a2
− yy0b2
− 1 = 0.
1.2.4 Parabola
Definiţia 1.5. Fie o dreaptă fixă d ı̂n plan şi un punct fix F ∉ d. Loculgeometric al punctelor M din plan cu proprietatea că distanţa la punctul Feste egală cu distanţa la dreapta d se numeşte parabolă.
Punctul F se numeşte focar;
Dreapta d se numeşte dreaptă directoare;
Distanţa de la focar la dreapta directoare se numeşte parametrulparabolei şi se notează cu p.
Pentru a găsi ecuaţia parabolei alegem ca axă a absciselor perpendicularadusă prin F la d, care intersectează dreapta d ı̂n punctul A şi are sensulpozitiv de la directoare către focar, iar axa ordonatelor este mediatoareasegmentului AF .
Focarul F are coordonatele (p2 ,0), iar prin definiţie un punct oarecareM(x, y) se află pe parabolă dacă şi numai dacă ∥
ÐÐ→MF ∥ = ∥
ÐÐ→MB∥ unde B este
proiecţia lui M pe dreapta d şi are coordonatele (−p2 , y). Obţinem:√
(x − p2)
2
+ y2 = x + p2⇔ x2 − px + p
2
4+ y2 = x2 + px + p
2
4
de unde se obţine ecuaţia carteziană implicită a parabolei:
y2 = 2px
Axa Ox se numeşte axa parabolei (sau axa transversă a parabolei) şieste axă de simetrie pentru parabolă, iar punctul O(0,0) se numeşte vârfulparabolei.
Observaţii
10
-
Ecuaţia carteziană a parabolei este echivalentă cu ecuaţiile
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = t2
2py = t
, t ∈ R
numite ecuaţiile parametrice ale parabolei;
Ecuaţia tangentei la parabolă dusă printr-un punct M0(x0, y0) de peparabolă se obţine prin dedublare:
yy0 = p(x + x0);
Ecuaţia y2 = −2px, p > 0 reprezintă tot o parabolă cu axa transversăOx, vârful ı̂n origine, dar situată ı̂n semiplanul din stânga axei Oy;
Ecuaţiile x2 = 2py şi x2 = −2py, cu p > 0 reprezintă parabole având axatransversă Oy şi vârful ı̂n origine.
1.3 Schimbări de repere carteziene
1.3.1 Rotaţia
Fie {O;Ð→i ′,Ð→j ′} un reper cartezian ortonormat obţinut prin rotirea reperului{O;Ð→i ,Ð→j } cu un unghi θ ∈ [0, π). Notăm cu (x, y) coordonatele unui punctoarecare M din plan ı̂n reperul iniţial şi cu (x′, y′) coordonatele aceluiaşipunct ı̂n reperul rotit. Avem:
ÐÐ→OM = xÐ→i + yÐ→j = x′Ð→i ′ + y′Ð→j ′
Înmulţind scalar această egalitate cuÐ→i , respectiv
Ð→j , obţinem:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
xÐ→i ⋅Ð→i + yÐ→j ⋅Ð→i = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→i
xÐ→i ⋅Ð→j + yÐ→j ⋅Ð→j = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j
AvemÐ→i ⋅Ð→i =Ð→j ⋅Ð→j = 1 şi Ð→i ⋅Ð→j =Ð→j ⋅Ð→i = 0, deci
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→iy = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j
(1.3)
Avem ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Ð→i ′ ⋅Ð→i = cos θ, Ð→j ′ ⋅Ð→i = cos (θ + π2 ) = − sin θÐ→i ′ ⋅Ð→j = cos (π2 − θ) = sin θ,
Ð→j ′ ⋅Ð→j = cos θ
11
-
şi ı̂nlocuind ı̂n (1.3) găsim
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ
sau echivalent
( xy
) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
)( x′
y′) .
Matricea C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
) este o matrice ortogonală (C−1 = CT ), deci
rotaţia ı̂n plan de unghi θ este o transformare ortogonală.
1.3.2 Translaţia
Fie reperul {O;Ð→i ,Ð→j }, un punct A(x0, y0) şi considerăm reperul cartezianortonormat {A;Ð→i ,Ð→j }. Notăm cu (x, y) coordonatele unui punct oarecareM din plan ı̂n reperul iniţial şi cu (x′, y′) coordonatele aceluiaşi punct ı̂nreperul nou . Avem:
ÐÐ→OM =
Ð→OA +
ÐÐ→AM ⇔ xÐ→i + yÐ→j = x0
Ð→i + y0
Ð→j + x′Ð→i + y′Ð→j
de unde obţinem⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + x′
y = y0 + y′.
Prin compunerea unei translaţii cu o rotaţie se obţine rototranslaţia deecuaţii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 +X cos θ − Y sin θy = y0 +X sin θ + Y cos θ
,
unde (X,Y ) sunt coordonatele punctului M ı̂n {A;Ð→i ′,Ð→j ′}.
1.4 Reducerea conicelor la forma canonică
Fie o conică de ecuaţie
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.
Prin schimbarea reperului, se schimbă şi coordonatele punctelor de pe conică,deci se schimbă şi ecuaţia pe care o verifică acestea. Vom căuta reperul ı̂n careecuaţia conicei are o formă particulară (de elipsă, hiperbolă sau parabolă),numită formă canonică.
12
-
1.4.1 Invarianţii unei conice
Definiţia 1.6. Fie o conică de ecuaţie
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶f(x,y)
= 0, (1.4)
cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a212 + a222 > 0. Numerele reale
I = a11 + a22, δ = ∣a11 a12a12 a22
∣ , ∆ =RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRRse numesc invarianţii conicei.
Teorema 1.1. Invarianţii I, δ,∆ nu se schimbă la translaţii sau rotaţii.
Demonstraţie:
Înlocuind ecuaţiile translaţiei
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + x′
y = y0 + y′ı̂n (1.4) obţinem
a11x′2 + 2a12x′y′ + a22y′2 + 2a′13x′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.5)
unde
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
a′13 = a11x0 + a12y0 + a13a′23 = a12x0 + a22y0 + a23a′33 = f(x0, y0)
, deci coeficienţii termenilor de grad 2 nu se
modifică, aşadar I şi δ rămân neschimbaţi. Efectuând operaţii pe coloane ı̂n∆′ avem:
∆′ =RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a′13a12 a22 a′23a′13 a
′23 a
′33
RRRRRRRRRRRRRR
C3 − x0C1=
C3 − y0C2
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13a12 a22 a23a′13 a
′23 a13x0 + a23y0 + a33
RRRRRRRRRRRRRREfectuând operaţii pe linii ı̂n ∆′ avem :
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13a12 a22 a23a′13 a
′23 a13x0 + a23y0 + a33
RRRRRRRRRRRRRR
L3 − x0L1=
L3 − y0L2
RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRR= ∆.
Fie acum o rotaţie de unghi θ. Avem:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ
⇔ ( xy
) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
)( x′
y′)⇔X = CX ′,
13
-
unde C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ
) , X = ( xy
) , X ′ = ( x′
y′).
Introducem de asemenea notaţiileA = ( a11 a12a12 a22
) , B = ( a13 a23 ). Ecuaţia
conicei se rescrie matriceal XTAX + 2BX + a33 = 0.Înlocuind ecuaţiile rotaţiei X = CX ′ ı̂n ecuaţia matriceală anterioară
obţinemX ′T (CTAC)X ′ + 2B(CX ′) + a33 = 0
Matricea C fiind ortogonală, A şi CTAC au acelaşi polinom caracteristic, iarcoeficienţii acestuia fiind chiar I şi δ, deducem că aceştia nu se schimbă laefectuarea unei rotaţii. Introducem notaţiile
Ā =⎛⎜⎝
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
⎞⎟⎠, C̄ =
⎛⎜⎝
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
⎞⎟⎠, Ā′ =
⎛⎜⎝
a′11 a′12 a
′13
a′12 a′22 a
′23
a′13 a′23 a
′33
⎞⎟⎠
Considerăm forma pătratică având matricea Ā ı̂n baza canonică din R3.Atunci Ā′ este matricea aceleiaşi forme pătratice ı̂n baza dată de matriceaC̄, deci avem
∆′ = det Ā′ = det(C̄T ĀC̄) = det C̄T det Ādet C̄ = det Ā = ∆.
1.4.2 Forma canonică a conicelor cu centru
Fie conica de ecuaţie
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶f(x,y)
= 0, (1.6)
cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a212 + a222 > 0. Căutăm o translaţie de ecuaţii⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 + x′
y = y0 + y′astfel ı̂ncât ı̂n noile coordonate ecuaţia conicei
a11x′2 + 2a12x′y′ + a22y′2 + 2a′13x′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.7)
să nu conţină termeni de grad 1, adică
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a′13 = a11x0 + a12y0 + a13 = 0a′23 = a12x0 + a22y0 + a23 = 0
.
Caz 1. Dacă δ ≠ 0, sistemul anterior are soluţie unică, iar ı̂n reperul translatatcu centrul ı̂n O′(x0, y0) ecuaţia conicei este
a11x′2 + 2a12x′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (1.8)
14
-
Dacă punctul de coordonate (x′, y′) verifică (1.8), atunci şi punctul decoordonate (−x′,−y′) verifică (1.8), deci O′ este centru de simetrie pentruconică, iar coordonatele lui sunt:
x0 =− ∣ a13 a12
a23 a22∣
δ, y0 =
− ∣ a11 a13a12 a23
∣
δ(1.9)
Termenul liber f(x0, y0) din (1.8) se rescrie astfel:
f(x0, y0) = a11x20 + 2a12x0y0 + a22y20 + 2a13x0 + 2a23y0 + a33= (a11x0 + a12y0 + a13)x0 + (a12x0 + a22y0 + a23)y0 +
+a13x0 + a23y0 + a33 = a13x0 + a23y0 + a33
Avem ∆ =RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRR= a13x0δ + a23y0δ + a33δ = δf(x0, y0)
Ecuaţia (1.8) devine
a11x′2 + 2a12x′y′ + a22y′2 +
∆
δ= 0, (1.10)
Dacă a12 = 0, atunci (1.10) este formă canonică.Dacă a12 ≠ 0, considerăm forma pătratică
Φ ∶ R2 → R, Φ(x′, y′) = a11x′2 + 2a12x′y′ + a22y′2,
având matricea A = ( a11 a12a12 a22
) ı̂n baza canonică. Există o bază ortonor-
mată formată din vectori proprii ai lui A ı̂n care Φ are forma canonicăλ1X2 + λ2Y 2, unde λ1 şi λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adică rădăcinileecuaţiei caracteristice:
∣ a11 − λ a12a12 a22 − λ
∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0.
În noile coordonate ecuaţia conicei (1.10) devine
λ1X2 + λ2Y 2 +
∆
δ= 0, (1.11)
deci are formă canonică. Putem presupune că baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ı̂n care avemforma canonică se obţine din baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotaţie de unghi θ ∈
15
-
(0, π2 ), aşadar⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θÐ→j
Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θÐ→j
. CumÐ→v 1 şiÐ→v 2 sunt vectori proprii
corespunzători matricei A obţinem:
( a11 a12a12 a22
)( cos θsin θ
) = λ1 (cos θsin θ
)⇒ λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ
( a11 a12a12 a22
)( − sin θcos θ
) = λ2 (− sin θcos θ
)⇒ −λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ
Înmulţind prima relaţie cu sin θ, pe a doua cu cos θ şi sumându-le obţinem
(λ1 − λ2) sin θ cos θ = a12
Cum a12 ≠ 0 şi θ ∈ (0, π2 ), deducem că λ1 ≠ λ2 şi λ1 − λ2 are acelaşi semncu a12. Din cele două formule anterioare se poate obţine unghiul θ:
λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ⇒ tg θ =λ1 − a11a12
−λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ⇒ tg θ =a12
a11 − λ2Legătura ı̂ntre coordonatele iniţiale x, y şi coordonatele X,Y ı̂n care avem
forma canonică sunt:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x0 +X cos θ − Y sin θy = y0 +X sin θ + Y cos θ
.
Coeficienţii formei canonice λ1X2 + λ2Y 2 + ∆δ = 0 fiind rădăcinile ecuaţieicaracteristice λ2 − Iλ + δ = 0, distingem următoarele cazuri:
1. δ > 0, I > 0,∆ < 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ < 0⇒ elipsă
2. δ > 0, I > 0,∆ = 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ = 0⇒ un punct
3. δ > 0, I > 0,∆ > 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ > 0⇒ ∅
4. δ > 0, I < 0,∆ < 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ < 0⇒ ∅
5. δ > 0, I < 0,∆ = 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ = 0⇒ un punct
6. δ > 0, I < 0,∆ > 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ > 0⇒ elipsă
7. δ < 0,∆ ≠ 0⇒ hiperbolă
16
-
8. δ < 0,∆ = 0⇒ două drepte concurente
Dacă ∆ ≠ 0 conica se numeşte nedegenerată, iar dacă ∆ = 0 conica senumeşte degenerată.
Caz 2. Dacă δ = 0 şi rang( a11 a12 a13a12 a22 a23
) = 1, sistemul⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a11x0 + a12y0 + a13 = 0a12x0 + a22y0 + a23 = 0
are o infinitate de soluţii, deci conica are o infinitate de centre.Dacă (x0, y0) este o soluţie a sistemului anterior, atunci ı̂n reperul trans-
latat cu centrul ı̂n O′(x0, y0) ecuaţia conicei este
a11x′2 + 2a12x′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (1.12)
unde f(x0, y0) = a13x0 + a23y0 + a33. Distingem cazurile:
1. Dacă a12 = 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0, deci conicadegenerează ı̂n două drepte paralele sau confundate sau mulţimea vidă.
2. Dacă a12 ≠ 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 şi a22 au acelaşi semn . Înmulţindeventual ecuaţia (1.12) cu −1, putem presupune că a11 > 0 şi a22 > 0,iar (1.12) devine
(√a11x
′ ±√a22y
′)2 ± f(x0, y0) = 0
deci conica degenerează ı̂n două drepte paralele sau confundate saumulţimea vidă.
1.4.3 Forma canonică a conicelor fără centru
Fie din nou conica de ecuaţie
a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶f(x,y)
= 0, (1.13)
cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a212 + a222 > 0.
Caz 3. Dacă δ = 0 şi rang( a11 a12 a13a12 a22 a23
) = 2, sistemul⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a11x0 + a12y0 + a13 = 0a12x0 + a22y0 + a23 = 0
este incompatibil, deci nu există o translaţie ı̂n urma căreia să dispară ter-menii de grad 1 din ecuaţie, altfel spus conica nu are centru de simetrie.
Dacă a12 ≠ 0, considerăm forma pătratică
Φ ∶ R2 → R, Φ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2,
17
-
având matricea A = ( a11 a12a12 a22
) ı̂n baza canonică. Există o bază ortonor-
mată formată din vectori proprii ai lui A ı̂n care Φ are forma canonicăλ1x′2 + λ2y′2, unde λ1 şi λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adică rădăcinileecuaţiei caracteristice:
∣ a11 − λ a12a12 a22 − λ
∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0
Cum δ = 0 ⇒ λ1λ2 = 0. Presupunem λ1 = 0, λ2 = I ≠ 0 (dacă ambele valoriproprii ar fi nule, ar rezulta a11 = a12 = a22 = 0). În noile coordonate x′, y′ecuaţia conicei devine
Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y′ + a33 = 0 (1.14)
Putem presupune că baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ı̂n care avem forma canonică se obţinedin baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotaţie de unghi θ ∈ (0, π2 ), aşadar
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θÐ→j
Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θÐ→j
⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ
Cum Ð→v 1 este vector propriu corespunzător valorii proprii 0 obţinem:
( a11 a12a12 a22
)( cos θsin θ
) = ( 00
)⇒ a11 cos θ + a12 sin θ = 0⇒ tg θ = −a11a12
Prin calcul se obţine de asemenea
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a′13 = a13 cos θ + a23 sin θa′23 = −a13 sin θ + a23 cos θ
Dacă a′13 = 0 ⇒a13a23
= − tg θ = a11a12
⇒ rang( a11 a12 a13a12 a22 a23
) = 1, deci a′13 ≠ 0
ı̂n Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y′ + a33 = 0.Grupând corespunzător termenii ı̂n ecuaţia anterioară obţinem
I (y′ + a′23
I)
2
+ 2a′13 (x′ +c
a′23) = 0
unde c = a33−a′223I
. Efectuând translaţia
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
X = x′ + ca′23Y = y′ + a
′23
I
ecuaţia conicei devine
IY 2 + 2a′13X = 0
18
-
Cum ∆ este invariant la rotaţii şi translaţii, avem
∆ =RRRRRRRRRRRRRR
0 0 a′130 I 0a′13 0 0
RRRRRRRRRRRRRR= −a′213I ⇒ a′213 = −
∆
I
deci găsim forma canonică
Y 2 = ±2pX, unde p =√
−∆I3.
Semnul ± ı̂n ecuaţia anterioară se alege ı̂n funcţie de poziţia paraboleifaţă de axele de coordonate ale reperului iniţial, intersectând parabola cuaceste axe.
Ecuaţia axei de simetrie a parabolei este
a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0
iar coordonatele vârfului parabolei se obţin intersectând parabola cu axade simetrie, deci rezolvând sistemul format din ecuaţia anterioară şi ecuaţiainiţială a conicei.
Dacă a12 = 0, din δ = 0 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0. Pentru a11 = 0, ecuaţiaconicei devine
a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0
a13 = 0⇒ conică degenerată.a13 ≠ 0⇒ parabolă (făcând o translaţie ca mai sus).
Exemplu:Fie conica de ecuaţie x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0.
coeficienţii a11 = 1, a22 = 4, a12 = −2, a13 = −3, a23 = 1, a33 = 1;
invarianţii I = 5, δ = ∣ 1 −2−2 4 ∣ = 0,∆ =RRRRRRRRRRRRRR
1 −2 −3−2 4 1−3 1 1
RRRRRRRRRRRRRR= −25
deci conica este o parabolă nedegenerată
p =√
−∆I3
= 1√5⇒ forma canonică Y 2 = ± 2√
5X
axa de simetrie: a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0⇒ x − 2y − 1 = 0
vârful
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0x − 2y − 1 = 0
⇒ V (15,−2
5)
19
-
intersecţia parabolei cu axa Ox:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0y = 0
⇒ x1,2 =6 ±
√32
2
x
y
parabola
−1 0 1 2 3 4 5 6
−2
−1
0
1
2
3
4
Concluzii:În funcţie de semnul invarianţilor distingem cazurile:
δ ∆ Forma canonică Tip
> 0 ≠ 0X2
a2+ Y
2
b2− 1 = 0 elipsă
X2
a2+ Y
2
b2+ 1 = 0 ∅
= 0 X2
a2+ Y
2
b2= 0 punct
< 0 ≠ 0X2
a2− Y
2
b2− 1 = 0 hiperbolă
= 0 X2
a2− Y
2
b2= 0 două drepte concurente
= 0
≠ 0 Y 2 − 2pX = 0 parabolă
= 0Y 2 − a2 = 0 două drepte paraleleY 2 = 0 două drepte confundate
Y 2 + a2 = 0 ∅
20
-
1.5 Exerciţii
1. Să se scrie ecuaţiile cercurilor determinate de:
(a) centrul ı̂n C(2,−3) şi raza r = 7(b) centrul ı̂n C(1,1) şi o tangetă la cerc este dreapta 3x + 4y + 8 = 0(c) extremităţile unui diametru sunt A(3,2) şi B(−1,6)(d) trece prin punctele M1(−1,5), M2(−2,−2), M3(5,5)(e) trece prin origine şi are centrul C(2,0)
2. Să se determine centrul şi raza următoarelor cercuri; să se scrie ecuaţiileparametrice şi să se reprezinte grafic:
(a) x2 + y2 − 6x − 4y + 9 = 0(b) x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0(c) x2 + y2 − 2x = 0(d) x2 + y2 − y = 0(e) x2 + y2 − 4x + 3 = 0(f) x2 + y2 − 2x − 2y = 0
3. Să se determine intersecţia cercului cu dreapta:
(a) (C) ∶ x2 + y2 − 2y = 0, (d) ∶ x + y = 1(b) (C) ∶ x2 + y2 − x = 0, (d) ∶ x = y
4. Să se scrie ecuaţiile elipselor date prin elementele:
(a) F ′(−1,0), F (1,0) şi semiaxa mare 5(b) axa mare 10 şi distanţa dintre focare 8
(c) axa mică 16 şi F (3,0)(d) semiaxele 4 şi 2
(e) distanţa dintre focare 6 şi semiaxa mare 5
(f) semiaxa mare 25 şi excentricitatea 0,6
5. Să se determine semiaxele, focarele şi excentricitatea elipselor, şi să sescrie ecuaţiile lor parametrice:
(a) x2
9 +y2
4 − 1 = 0
21
-
(b) 9x2 + 25y2 = 225(c) 3x2 + 4y2 = 12(d) x2 + 2y2 − 6 = 0(e) 25x2 + 169y2 = 225
6. Să se afle punctele de intersecţie ale elipsei cu dreapta:
(a) x2
4 + y2 − 1 = 0, 2x + 2y − 3 = 0(b) 5x2 + 8y2 − 77 = 0, x + 2y − 7 = 0
7. Să se scrie ecuaţia tangentei la elipsa 2x2+y2−6 = 0 ı̂n punctul M(2,−3)de pe elipsă
8. Să se scrie ecuaţiile hiperbolelor având focarele pe axa Ox şi cunoscândurmătoarele elemente:
(a) semiaxele sunt 4 şi 3
(b) distanţa dintre vârfuri 6 iar distanţa ı̂ntre focare 10
(c) semiaxa transversă este 12 şi e = 54(d) F ′(0,−10), F (0,10) şi distanţa ı̂ntre vârfuri 8
9. Să se afle semiaxele, focarele, excentricitatea şi asimptotele hiperbolelor
(a) 16x2 − 25y2 = 400
(b) x2
9 −y2
16 = 1(c) 2x2 − 5y2 − 10 = 0
10. Să se reprezinte hiperbolele şi asimptotele lor:
(a) x2 − y2 = 1(b) x2 − 4y2 − 4 = 0(c) 4y2 − 9x2 − 36 = 0(d) xy = 2; xy = −2
(e) x2
25 −y2
49 − 1 = 0
11. Să se scrie ecuaţia tangentei la hiperbola
x2
5− y
2
4= 1
ı̂n punctul M0(5,−4)
22
-
12. Să se scrie ecuaţiile tangentelor duse din M0(2,−1) la hiperbola
x2 − 4y2 − 1 = 0
şi să se afle punctele de contact.
13. Să se scrie ecuaţia unei parabole cu vârful ı̂n originea reperului ştiindcă:
(a) focarul este F (1,0)(b) focarul este F (0,2)(c) axa de simetrie este Ox, cu p = 0,5, situată ı̂n semiplanul stâng(d) axa de simetrie este Oy, p = 3 şi situată ı̂n semiplanul inferior
14. Să se determine focarul, axa de simetrie, şi să se reprezinte graficparabolele:
(a) y2 = 2x(b) y2 = −4x(c) x2 = −5y(d) x2 = y
15. Să se scrie ecuaţia tangentei şi ecuaţia normalei la parabola y2 = 3x ı̂npunctul de abscisă x = 3
16. Să se recunoască şi să se reprezinte grafic curbele:
(a) 4x2 − 5y2 = 20
(b) x2 + y2 − 9 = 0
(c) y2 − x = 0
(d) x2 + y2 − 2x = 0
(e) 2x2 + y2 − 4 = 0
(f)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = 2 cos ty = sin t
, t ∈ [0,2π]
(g) y + 2x2 = 20
(h) 16x2 − 9y2 + 144 = 0
(i) 2x2 + 2y2 − 1 = 0
(j)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = 1 + 2 cos ty = 2 sin t
, t ∈ [0,2π]
(k) y2 + 4x = 0
(l)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = 3 cos ty = 2 sin t
, t ∈ [0,2π]
23
-
17. Să se reprezinte domeniile din plan mărginite de curbele:
a)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
y2 = xx2 = y
b)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
y = x2
y = 1c)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
y = xy = −xx = 2
18. Să se reprezinte domeniile din plan determinate de:
a)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x2 + y2 ≤ 2yy ≤ x2
x ≥ 0b)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x2 + y2 ≤ 4x2 + y
2
4 ≥ 1x ≥ 0
c)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 + y2 ≤ 4x2 + y2 ≥ 2x
d)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x2 + y2 ≤ 2x ≤ y2
x ≥ −y2
y ≤ 0
19. Să se aducă la forma canonică şi să se reprezinte grafic conicele:
(a) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0R: X
2
1 +Y 2
9 − 1 = 0, C(1,1), α =π4 .
(b) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x − 16y − 16 = 0R: X
2
4 +Y 2
16 − 1 = 0, C(1,1), α =π4 .
(c) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0R: X
2
18 +Y 2
6 − 1 = 0, C(3,1), α =π4 .
(d) 3x2 − 2xy + 3y2 − 4x − 4y − 36 = 0R: X
2
20 +Y 2
10 − 1 = 0, C(1,1), α =π4 .
(e) 5x2 − 8xy + 5y2 − 12x + 6y = 0R: X
2
9 +Y 2
1 − 1 = 0, C(2,1), α =π4 .
(f) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0R: X
2
18 +Y 2
6 − 1 = 0, C(3,1), α =π4 .
(g) 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0R: X
2
1 −Y 2
4 − 1 = 0, C(2,−1), α =π4 .
(h) x2 − 8xy + 7y2 + 6x − 6y + 9 = 0R: X
2
9 −Y 2
1 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg12 .
(i) 3xy + 6x − y − 8 = 0R: X
2
4 −Y 2
4 − 1 = 0, C(13 ,−2), α =
π4 .
(j) 6xy + 8y2 − 12x − 26y + 11 = 0R: X
2
1 −Y 2
9 − 1 = 0, C(−1,2), α = arctg 3.(k) 5x2 + 12xy − 22x − 12y − 19 = 0
R: X2
4 −Y 2
9 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg23 .
24
-
(l) 5x2 − 6xy + 5y2 + 2x − 14y + 21 = 0R: X
2
4 + Y 2 + 1 = 0(m) 5x2 − 2xy + 5y2 + 12x − 12y + 12 = 0
R: 2X2 + 3Y 2 = 0, C(−1,1)(n) 2x2 + 3xy + y2 − x − 1 = 0
R: y = −x + 1, y = −2x − 1.(o) 3x2 − 7xy + 2y2 − 4x + 3y + 1 = 0
R: x − 2y − 1 = 0, 3x − y − 1 = 0(p) x2 − 2xy + y2 − 10x − 6y + 25 = 0
R: ∆ = −64, Y 2 = 4√
2X, x − y − 1 = 0, V (2,1).(q) x2 + 4xy + 4y2 + 2x − y − 1 = 0
R: ∆ = −254 , Y 2 = −1√5X, x + 2y = 0, V (25 ,−
15).
(r) x2 − 4xy + 4y2 − 4x − 2y + 10 = 0R: ∆ = −25, Y 2 = 2√
5X, x − 2y = 0, V (2,1).
(s) x2 − 4xy + 4y2 − 26x − 38y + 25 = 0R: ∆ = −2025, Y 2 = 18√
5X, x − 2y + 5 = 0, V (−1,2).
(t) 4x2 − 4xy + y2 − 8x − 8y + 4 = 0R: ∆ = −144, Y 2 = 24
5√
5X, 10x − 5y − 4 = 0, V (2350 ,
325).
(u) x2 + 4xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0R: x + 2y = 1, x + 2y = −2.
(v) x2 − 4xy + 4y2 + 10x − 20y + 25 = 0R: x − 2y + 5 = 0.
(w) x2 − 4xy + 4y2 + 3x − 6y + 2 = 0R: x − 2y + 1 = 0, x − 2y + 2 = 0.
25
-
Capitolul 2
Cuadrice
Definiţia 2.1. Se numeşte cuadrică o suprafaţă ı̂n spaţiu definită ı̂n reperul
cartezian ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } printr-o ecuaţie algebrică de gradul al
doilea de forma
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,
unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3,4}, j ≥ i, iar coeficienţii termenilor de gradul aldoilea a11, a22, a33, a12, a13, a23 nu sunt toţi nuli.
Aşadar o cuadrică este o mulţime de puncte ı̂n spaţiu ale căror coordonate(x, y, z) verifică o ecuaţie de gradul al doilea de forma celei de mai sus.
cuadricele se mai numesc şi suprafeţe algebrice de ordinul al doilea
exemple de cuadrice: sferă, elipsoid, hiperboloizi, paraboloizi
2.1 Cuadrice pe ecuaţii reduse
2.1.1 Sfera
Definiţia 2.2. Fie un punct fixat C(a, b, c) şi R > 0 un număr real fixat.Sfera de centru C şi rază R este locul geometric al punctelor M(x, y, z)care satisfac egalitatea
∥ÐÐ→CM∥ = R. (2.1)
AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j + (z − c)
Ð→k , deci (2.1) se rescrie
√(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R
26
-
sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (2.2)
care se numeşte ecuaţia carteziană implicită a sferei de centru C(a, b, c)şi rază R.
Efectuând calculele ı̂n ecuaţia (2.2) obţinem:
x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (2.3)
unde d = a2+b2+c2−R2. Se pune problema dacă orice ecuaţie de forma (2.3)reprezintă ecuaţia unei sfere. Cum (2.3) este echivalentă cu
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = a2 + b2 + c2 − d,
distingem următoarele cazuri:
1. dacă a2 + b2 + c2 − d > 0 atunci mulţimea punctelor care satisfac (2.3)reprezintă sfera cu centrul C(a, b, c) şi rază R =
√a2 + b2 + c2 − d;
2. dacă a2 + b2 + c2 − d = 0 atunci mulţimea punctelor care satisfac (2.3) sereduce la punctul de coordonate (a, b, c);
3. dacă a2 + b2 + c2 − d < 0 atunci mulţimea punctelor care satisfac (2.3)este mulţimea vidă.
Ecuaţia (2.3) ı̂n care a2 + b2 + c2 − d > 0 se numeşte ecuaţia generală asferei.
Fie M(x, y, z) un punct din spaţiu şi M ′(x, y,0) proiecţia lui M pe planulxOy. Introducem notaţiile:
ρ = ∥ÐÐ→OM∥ - distanţa de la M la origine
θ ∈ [0, π] - unghiul dintre Oz şiÐÐ→OM
ϕ ∈ [0,2π) - unghiul dintre Ox şiÐÐ→OM ′
Numerele reale ρ, θ,ϕ se numesc coordonatele sferice ale lui M .Relaţiile de legătură ı̂ntre coordonatele carteziene şi coordonatele sferice alepunctului M sunt:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = ρ sin θ cosϕy = ρ sin θ sinϕz = ρ cos θ
, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).
27
-
Considerând coordonatele sferice ale punctelor din sistemul de coordonatecu centrul ı̂n C(a, b, c) şi axele paralele cu cele iniţiale, obţinem ecuaţiileparametrice ale sferei cu centrul ı̂n C şi rază R:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = a +R sin θ cosϕy = b +R sin θ sinϕz = c +R cos θ
, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).
Considerăm un plan (p) şi notăm cu d distanţa de la C la acest plan. Avemurmătoarele situaţii posibile:
d > R ⇒ intersecţia dintre plan şi sferă este vidă, deci planul esteexterior sferei;
d = R⇒ intersecţia dintre plan şi sferă este un punct, deci planul estetangent la sferă;
d < R ⇒ intersecţia dintre plan şi sferă este un cerc, deci planul estesecant la sferă.
2.1.2 Elipsoidul
Definiţia 2.3. Se numeşte elipsoid o cuadrică pentru care există un reperortogonal ı̂n spaţiu ı̂n raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică
x2
a2+ y
2
b2+ z
2
c2− 1 = 0,
unde a > 0, b > 0, c > 0.
Fie M(x0, y0, z0) un punct pe elipsoid. Atunci:
punctele de coordonate (x0, y0,−z0), (x0,−y0, z0), (−x0, y0, z0) aparţinelipsoidului, deci planele xOy,xOz, yOz sunt plane de simetrie ale elip-soidului;
punctele de coordonate (x0,−y0,−z0), (−x0, y0,−z0), (−x0,−y0, z0) aparţinelipsoidului, deci axele Ox,Oy,Oz sunt axe de simetrie ale elipsoidului;
punctul de coordonate (−x0,−y0,−z0) aparţine elipsoidului, deci O estecentru de simetrie al elipsoidului.
Intersecţiile elipsoidului de ecuaţiex2
a2+ y
2
b2+ z
2
c2− 1 = 0 cu planele şi axele
de coordonate sunt:
28
-
intersecţia cu xOy(z = 0): x2
a2+ y
2
b2− 1 = 0⇒ elipsă
intersecţia cu xOz(y = 0): x2
a2+ z
2
c2− 1 = 0⇒ elipsă
intersecţia cu yOz(x = 0): y2
b2+ z
2
c2− 1 = 0⇒ elipsă
intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2
a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′(−a,0,0)
intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2
b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′(0,−b,0)
intersecţia cu Oz(x = y = 0): z2
c2− 1 = 0⇒ C(0,0, c),C ′(0,0,−c)
Numerele a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Dacă a = b = c, elip-soidul este o sferă. Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului sunt:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = a sin θ cosϕy = b sin θ sinϕz = c cos θ
, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).
29
-
2.1.3 Hiperboloidul cu o pânză
Definiţia 2.4. Se numeşte hiperboloid cu o pânză o cuadrică pentru careexistă un reper ortogonal ı̂n spaţiu ı̂n raport cu care suprafaţa are ecuaţiacanonică
x2
a2+ y
2
b2− z
2
c2− 1 = 0,
unde a > 0, b > 0, c > 0.
Ca şi ı̂n cazul elipsoidului, avem:
planele de coordonate sunt plane de simetrie
axele de coordonate sunt axe de simetrie
originea este centru de simetrie
Tot hiperboloizi cu o pânză sunt şi cuadricele de ecuaţii
x2
a2− y
2
b2+ z
2
c2− 1 = 0 sau x
2
a2− y
2
b2− z
2
c2+ 1 = 0.
Intersecţiile hiperboloidului cu o pânză de ecuaţiex2
a2+ y
2
b2− z
2
c2− 1 = 0 cu
planele şi axele de coordonate sunt:
30
-
intersecţia cu xOy(z = 0): x2
a2+ y
2
b2− 1 = 0⇒ elipsă
intersecţia cu xOz(y = 0) : x2
a2− z
2
c2− 1 = 0⇒ hiperbolă
intersecţia cu yOz(x = 0): y2
b2− z
2
c2− 1 = 0⇒ hiperbolă
intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2
a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′(−a,0,0)
intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2
b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′(0,−b,0)
intersecţia cu Oz(x = y = 0): −z2
c2− 1 = 0⇒ ∅
intersecţia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2
a2+ y
2
b2− z
20
c2+ 1 = 0 ⇒
elipsă
2.1.4 Hiperboloidul cu două pânze
Definiţia 2.5. Se numeşte hiperboloid cu două pânze o cuadrică pentrucare există un reper ortogonal ı̂n spaţiu ı̂n raport cu care suprafaţa are ecuaţiacanonică
x2
a2+ y
2
b2− z
2
c2+ 1 = 0,
unde a > 0, b > 0, c > 0.
31
-
Ca şi ı̂n cazurile anterioare, avem:
planele de coordonate sunt plane de simetrie
axele de coordonate sunt axe de simetrie
originea este centru de simetrie
Tot hiperboloizi cu două pânze sunt şi cuadricele de ecuaţii
x2
a2− y
2
b2+ z
2
c2+ 1 = 0 sau x
2
a2− y
2
b2− z
2
c2− 1 = 0.
Intersecţiile hiperboloidului cu două pânze de ecuaţiex2
a2+ y
2
b2− z
2
c2+ 1 = 0
cu planele şi axele de coordonate sunt:
intersecţia cu xOy(z = 0): x2
a2+ y
2
b2+ 1 = 0⇒ ∅
intersecţia cu xOz(y = 0): x2
a2− z
2
c2+ 1 = 0⇒ hiperbolă
intersecţia cu yOz(x = 0): y2
b2− z
2
c2+ 1 = 0⇒ hiperbolă
intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2
a2+ 1 = 0⇒ ∅
intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2
b2+ 1 = 0⇒ ∅
intersecţia cu Oz(x = y = 0): −z2
c2+ 1 = 0⇒ C(0,0, c), C ′(0,0,−c)
intersecţia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2
a2+ y
2
b2− z
20
c2+ 1 = 0 ⇒
elipsă sau punct sau ∅
2.1.5 Conul
Definiţia 2.6. Se numeşte con o cuadrică pentru care există un reper or-togonal ı̂n spaţiu ı̂n raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică
x2
a2+ y
2
b2− z
2
c2= 0,
unde a > 0, b > 0, c > 0.
32
-
Ca şi ı̂n cazurile anterioare, avem:
planele de coordonate sunt plane de simetrie
axele de coordonate sunt axe de simetrie
originea este centru de simetrie
Tot conuri sunt şi cuadricele de ecuaţii
x2
a2− y
2
b2+ z
2
c2= 0 sau x
2
a2− y
2
b2− z
2
c2= 0.
Intersecţiile conului de ecuaţiex2
a2+ y
2
b2− z
2
c2= 0 cu planele şi axele de
coordonate sunt:
intersecţia cu xOy(z = 0): x2
a2+ y
2
b2= 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu xOz(y = 0): x2
a2− z
2
c2= 0⇒ două drepte
intersecţia cu yOz(x = 0): y2
b2− z
2
c2= 0⇒ două drepte
33
-
intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2
a2= 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2
b2= 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu Oz(x = y = 0): −z2
c2= 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2
a2+ y
2
b2− z
20
c2= 0⇒ elipsă
2.1.6 Paraboloidul eliptic
Definiţia 2.7. Se numeşte paraboloid eliptic o cuadrică pentru care existăun reper ortogonal ı̂n spaţiu ı̂n raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică
x2
a2+ y
2
b2= 2z,
unde a > 0, b > 0.
Avem:
planele xOz şi yOz sunt plane de simetrie
axa Oz este axă de simetrie
Tot paraboloizi eliptici sunt şi cuadricele de ecuaţii
x2
a2+ z
2
c2= 2y sau y
2
b2+ z
2
c2= 2x.
34
-
Intersecţiile paraboloidului eliptic de ecuaţiex2
a2+ y
2
b2= 2z cu planele şi
axele de coordonate sunt:
intersecţia cu xOy(z = 0): x2
a2+ y
2
b2= 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu xOz(y = 0): x2
a2= 2z ⇒ parabolă
intersecţia cu yOz(x = 0): y2
b2= 2z ⇒ parabolă
intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2
a2= 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2
b2= 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2
a2+ y
2
b2= 2z0 ⇒ elipsă
(pentru z0 > 0)
2.1.7 Paraboloidul hiperbolic
Definiţia 2.8. Se numeşte paraboloid hiperbolic o cuadrică pentru careexistă un reper ortogonal ı̂n spaţiu ı̂n raport cu care suprafaţa are ecuaţiacanonică
x2
a2− y
2
b2= 2z,
unde a > 0, b > 0.
Avem:
planele xOz şi yOz sunt plane de simetrie
axa Oz este axă de simetrie
Tot paraboloizi eliptici sunt şi cuadricele de ecuaţii
x2
a2− z
2
c2= 2y sau y
2
b2− z
2
c2= 2x.
Intersecţiile paraboloidului hiperbolic de ecuaţiex2
a2− y
2
b2= 2z cu planele
şi axele de coordonate sunt:
35
-
intersecţia cu xOy(z = 0): x2
a2− y
2
b2= 0⇒ două drepte
intersecţia cu xOz(y = 0): x2
a2= 2z ⇒ parabolă
intersecţia cu yOz(x = 0): −y2
b2= 2z ⇒ parabolă
intersecţia cu Ox(y = z = 0): x2
a2= 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu Oy(x = z = 0): y2
b2= 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)
intersecţia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2
a2− y
2
b2= 2z0 ⇒ hiperbolă
2.1.8 Cilindri
Definiţia 2.9. 1. Se numeşte cilindru eliptic o cuadrică pentru careexistă un reper ortogonal ı̂n spaţiu ı̂n raport cu care suprafaţa areecuaţia canonică
x2
a2+ y
2
b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.
36
-
2. Se numeşte cilindru hiperbolic o cuadrică pentru care există un reperortogonal ı̂n spaţiu ı̂n raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică
x2
a2− y
2
b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.
3. Se numeşte cilindru parabolic o cuadrică pentru care există un reperortogonal ı̂n spaţiu ı̂n raport cu care suprafaţa are ecuaţia canonică
y2 = 2px, unde p ∈ R.
37
-
2.1.9 Generatoare rectilinii
Conul şi cilindrii sunt suprafeţe riglate, adică pot fi scrise ca reuniunea uneifamilii de drepte. În afară de acestea, hiperboloidul cu o pânză şi paraboloidulhiperbolic sunt de asemenea suprafeţe riglate.
Ecuaţia hiperboloidului cu o pânză
x2
a2+ y
2
b2− z
2
c2− 1 = 0
se poate rescrie sub forma
x2
a2− z
2
c2= 1 − y
2
b2⇔ (x
a+ zc) ⋅ (x
a− zc) = (1 + y
b) ⋅ (1 − y
b) (2.4)
Considerăm familia de drepte dα,β ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
α(xa+ zc) = β (1 + y
b)
β (xa− zc) = α(1 − y
b)
unde α şi β
nu sunt simultan nuli. Reuniunea acestei familii de drepte este chiar hiper-boloidul cu o pânză anterior.
Fie M0(x0, y0, z0) ∈ dα,β, deci
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
α(x0a+ z0c) = β (1 + y0
b)
β (x0a− z0c) = α(1 − y0
b)
.
dacă αβ ≠ 0, atunci ı̂nmulţind ecuaţiile anterioare şi ı̂mpărţind prin αβobţinem
x20a2 +
y20b2 −
z20c2 − 1 = 0 deci M0 este pe hiperboloid;
dacă α = 0, β ≠ 0⇒ 1+ y0b = 0,x0a −
z0c = 0, aşadar ı̂n (2.4) ambii membri
sunt nuli, deci M0 verifică ecuaţia hiperboloidului;
dacă α ≠ 0, β = 0⇒ 1− y0b = 0,x0a +
z0c = 0, aşadar ı̂n (2.4) ambii membri
sunt nuli, deci M0 verifică ecuaţia hiperboloidului;
Aşadar orice dreaptă din familia dα,β este inclusă ı̂n hiperboloid.Reciproc, se poate arăta că petru orice punct M0(x0, y0, z0) de pe hiperbo-
loid există α,β ∈ R astfel ı̂ncât
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
α(x0a+ z0c) = β (1 + y0
b)
β (x0a− z0c) = α(1 − y0
b)
aşadar M0 ∈ dα,β.
Dreptele din familia dα,β se numesc generatoare rectilinii ale hiper-boloidului cu o pânză.
38
-
O altă familie de generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o pânzăx2
a2+ y
2
b2− z
2
c2− 1 = 0 este
dλ,µ ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
λ(xa+ zc) = µ(1 − y
b)
µ(xa− zc) = λ(1 + y
b)
.
În mod analog găsim pentru paraboloidul hiperbolicx2
a2− y
2
b2= 2z următoarele
familii de generatoare rectilinii:
dα,β ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
α(xa+ yb) = 2βz
β (xa− yb) = α
şi dλ,µ ∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
λ(xa+ yb) = µ
µ(xa− yb) = 2λz
.
2.2 Reducerea cuadricelor la forma canonică
Fie cuadrica definită prin ecuaţia generală
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶f(x,y,z)
= 0,
Ca şi ı̂n cazul conicelor, pentru orice cuadrică se poate determina un repercartezian ortogonal convenabil ı̂n raport cu care ecuaţia cuadricei are formacea mai simplă, numită formă canonică sau redusă. La această formăse poate ajunge printr-o translaţie şi o rotaţie adecvată a reperului iniţial
{O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k }.
Un punct C se numeşte centru de simetrie al cuadricei dacă simetriculoricărui punct M al cuadricei ı̂n raport cu C aparţine de asemenea cuadricei.
Elipsoidul, hiperboloizii şi conul sunt cuadrice cu centru, iar paraboloiziisunt cuadrice fără centru.
Căutăm o translaţie a sistemului Oxyz astfel ı̂ncât originea noului sistemde coordonate C(x0, y0, z0) să fie centru de simetrie al cuadricei. Relaţiiledintre coordonatele x, y, z din reperul iniţial {O;Ð→i ,Ð→j ,
Ð→k } şi coordonatele
x′, y′, z′ din sistemul translatat {C;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } sunt:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = x0 + x′
y = y0 + y′
z = z0 + z′
39
-
Înlocuind ı̂n ecuaţia iniţială a cuadricei obţinem
a11x′2+a22y′2+a33z′2+2a12x′y′+2a13x′z′+2a23y′z′+2a′14x′+2a′24y′+2a′34z′+a′44 = 0,
unde
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
a′14 = a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14a′24 = a12x0 + a22y0 + a23z0 + a24a′34 = a13x0 + a23y0 + a33z0 + a34
, iar a′44 = f(x0, y0, z0).
Pentru ca C(x0, y0, z0) să fie centru de simetrie, trebuie ca ecuaţia ı̂n noilecoordonate să nu conţină termeni de gradul 1, aşadar a′14 = a′24 = a′34 = 0, deci(x0, y0, z0) sunt soluţii ale sistemului
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14 = 0a12x0 + a22y0 + a23z0 + a24 = 0a13x0 + a23y0 + a33z0 + a34 = 0
.
Dacă δ =RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRR≠ 0, sistemul anterior are soluţie unică, iar ecuaţia
cuadricei este
a11x′2 + a22y′2 + a33z′2 + 2a12x′y′ + 2a13x′z′ + 2a23y′z′ + f(x0, y0, z0) = 0.
Dacă a12 = a13 = a23 = 0, atunci cuadrica este ı̂n formă canonică.Dacă cel puţin unul din coeficienţii a12, a13, a23 este nenul, atunci efectuăm
o rotaţie a reperului cartezian, folosind metoda valorilor şi vectorilor proprii.Considerăm forma pătratică Φ ∶ R3 → R,
Φ(x′, y′, z′) = a11x′2 + a22y′2 + a33z′2 + 2a12x′y′ + 2a13x′z′ + 2a23y′z′
Se determină valorile proprii λ1, λ2, λ3 ale matricei
A =⎛⎜⎝
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
⎞⎟⎠,
precum şi vectorii proprii ortonormaţi corespunzători Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3 .În reperul cartezian {C;Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3}, cuadrica are ecuaţia canonică
λ1X2 + λ2Y 2 + λ3Z2 + f(x0, y0, z0) = 0
iar relaţiile dintre coordonatele x′, y′, z′ şi X,Y,Z sunt
⎛⎜⎝
x′
y′
z′
⎞⎟⎠= SBB′
⎛⎜⎝
XYZ
⎞⎟⎠
40
-
unde SBB′ este matricea de trecere de la baza B = {Ð→i ,Ð→j ,Ð→k } la baza B′ =
{Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3}.Dacă δ = 0, atunci cuadrica este fără centru. În acest caz se efectuează
mai ı̂ntâi o rotaţie folosind metoda valorilor şi vectorilor proprii, urmată deo translaţie adecvată.
2.2.1 Exemple
1. Reducerea la forma canonică a cuadricei de ecuaţie
5x2 + 7y2 + 5z2 + 2xy + 2xz + 2yz − 6y + 4z + 1 = 0.
a11 = a33 = 5, a22 = 7, a12 = a13 = a23 = 1,a14 = 0, a24 = −3, a34 = 2, a44 = 1
δ =RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRR=RRRRRRRRRRRRRR
5 1 11 7 11 1 5
RRRRRRRRRRRRRR= 160 ≠ 0
centrul de simetrie:
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
5x0 + y0 + z0 = 0x0 + 7y0 + z0 − 3 = 0x0 + y0 + 5z0 + 2 = 0
⇒ C (0, 12 ,−12)
translaţia
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 0 + x′
y = 12 + y′
z = −12 + z′
5x′2 + 7y′2 + 5z′2 + 2x′y′ + 2x′z′ + 2y′z′ − 32 = 0
valorile proprii
RRRRRRRRRRRRRR
5 − λ 1 11 7 − λ 11 1 5 − λ
RRRRRRRRRRRRRR= 0⇒ λ1 = 4, λ2 = 5, λ3 = 8
vectorii proprii Ð→v1 = (1,0,−1),Ð→v2 = (1,−1,1),Ð→v3 = (1,2,1)
rotaţia⎛⎜⎝
x′
y′
z′
⎞⎟⎠=⎛⎜⎜⎝
1√2
1√3
1√6
0 − 1√3
2√6
− 1√2
1√3
1√6
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎝
XYZ
⎞⎟⎠
ecuaţia canonică
4X2 + 5Y 2 + 8Z2 − 32= 0⇔ X
2
38
+ Y2
310
+ Z2
316
− 1 = 0
deci cuadrica este un elipsoid.
41
-
2. Reducerea la forma canonică a cuadricei de ecuaţie
2y2 + 4xy − 8xz − 4yz + 6x − 5 = 0.
a11 = a33 = 0, a22 = 2, a12 = 2, a13 = −4, a23 = −2, a14 = 3, a24 = a34 = 0, a44 = −5
δ =RRRRRRRRRRRRRR
a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33
RRRRRRRRRRRRRR=RRRRRRRRRRRRRR
0 2 −42 2 −2−4 −2 0
RRRRRRRRRRRRRR= 0
valorile proprii
RRRRRRRRRRRRRR
−λ 2 −42 2 − λ −2−4 −2 −λ
RRRRRRRRRRRRRR= 0⇒ λ1 = 0, λ2 = 6, λ3 = −4
vectorii proprii Ð→v1 = (−1,2,1),Ð→v2 = (1,1,−1),Ð→v3 = (1,0,1)
rotaţia⎛⎜⎝
xyz
⎞⎟⎠=⎛⎜⎜⎝
− 1√6
1√3
1√2
2√6
1√3
01√6
− 1√3
1√2
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎝
x′
y′
z′
⎞⎟⎠
6y′2 − 4z′2 −√
6x′ + 2√
3y′ + 3√
2z′ − 5 = 0
6(y′ +√
3
6)
2
− 4(z′ − 3√
2
8)
2
−√
6(x′ + 358√
6) = 0
translaţia
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X = x′ + 358√
6
Y = y′ +√
3
6
Z = z′ − 3√
2
8 ecuaţia canonică
6Y 2 − 4Z2 −√
6X = 0
deci cuadrica este un paraboloid hiperbolic.
2.3 Generări de suprafeţe
Prin ecuaţia unei suprafeţe ı̂n spaţiu se ı̂nţelege o ecuaţie ı̂n 3 variabile deforma
F (x, y, z) = 0, unde F ∶D ⊂ R3 → R,
ecuaţie care este satisfăcută de coordonatele tuturor punctelor de pe suprafaţăı̂n raport cu un reper fixat, dar nu este satisfăcută de coordonatele nici unuialt punct din afara suprafeţei.
42
-
Orice curbă ı̂n spaţiu poate fi privită ca intersecţia a două suprafeţe careconţin acea curbă şi care nu mai au alte puncte comune. Aşadar o curbă ı̂nspaţiu poate fi definită prin două ecuaţii de forma
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
F (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0
.
Exemple: o dreaptă este intersecţia dintre două plane , un cerc este intersecţiadintre o sferă şi un plan, etc.
2.3.1 Suprafeţe cilindrice
Definiţia 2.10. Fie Ð→v = lÐ→i +mÐ→j +nÐ→k ≠ 0 şi o curbă (C) ∶
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
F (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0
.
Se numeşte suprafaţă cilindrică o suprafaţă generată prin mişcarea uneidrepte de direcţie Ð→v , numită generatoare, care se sprijină pe curba C,numită curbă directoare a suprafeţei.
Ecuaţiile unei drepte oarecare de direcţie Ð→vx − x0l
= y − y0m
= z − z0n
pot fi rescrise sub forma de intersecţie de plane
dλ,µ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
nx − lz = λny −mz = µ
,λ,µ ∈ R. (2.5)
Suprafaţa cilindrică este generată de acele drepte din familia dλ,µ care sesprijină pe curba C (deci intersectează această curbă). Aşadar căutăm acelevalori ale lui λ şi µ pentru care sistemul
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
nx − lz = λny −mz = µF (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0
(2.6)
este compatibil. Eliminând x, y, z din acest sistem, obţinem o relaţie ı̂ntre λşi µ
Φ(λ,µ) = 0 (2.7)numită condiţie de compatibilitate. Suprafaţa cilindrică este formată dintoate dreptele dλ,µ corespunzătoare valorilor lui λ şi µ care satisfac condiţia de
43
-
compatibilitate (2.7), aşadar coordonatele punctelor acestei suprafeţe satisfacecuaţia
Φ(nx − lz, ny −mz) = 0
Exemplu: Să se găsească ecuaţia cilindrului având curba directoare de
ecuaţii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 − y2 = zx + y + z = 0
iar generatoarele sunt perpendiculare pe planul curbei.
Ð→v =Ð→i +Ð→j +
Ð→k ⇒ generatoarele
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x − z = λy − z = µ
sistemul
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x − z = λy − z = µx2 − y2 = zx + y + z = 0
este compatibil
condiţia de compatibilitate (2λ − µ)2 − (2µ − λ)2 + 3(µ + λ) = 0
ecuaţia suprafeţei cilindrice
x2 − y2 − 2xz + 2yz + x + y − 2z = 0
2.3.2 Suprafeţe conice
Definiţia 2.11. Fie V (x0, y0, z0) şi o curbă (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
F (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0
. Se
numeşte suprafaţă conică o suprafaţă generată prin mişcarea unei drepte,numită generatoare , care trece prin punctul fix V şi se sprijină pe curbaC, numită curbă directoare a suprafeţei.
Ecuaţiile unei drepte oarecare care trece prin V
x − x0l
= y − y0m
= z − z0n
pot fi rescrise sub forma
dλ,µ ∶x − x0λ
= y − y0µ
= z − z01
, λ = ln, µ = m
n∈ R. (2.8)
Suprafaţa conică este generată de acele drepte din familia dλ,µ care sesprijină pe curba C (deci intersectează această curbă). Aşadar căutăm acele
44
-
valori ale lui λ şi µ pentru care sistemul
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x − x0λ
= y − y0µ
= z − z01
F (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0
(2.9)
este compatibil. Eliminând x, y, z din acest sistem, obţinem o relaţie ı̂ntre λşi µ
Φ(λ,µ) = 0 (2.10)
numită condiţie de compatibilitate. Suprafaţa conică este formată din toatedreptele dλ,µ corespunzătoare valorilor lui λ şi µ care satisfac condiţia decompatibilitate (2.13), aşadar coordonatele punctelor acestei suprafeţe satis-fac ecuaţia
Φ(x − x0z − z0
,y − y0z − z0
) = 0
Exemplu: Să se găsească ecuaţia conului cu vârful ı̂n origine şi curba
directoare de ecuaţii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x2 + y2 = 1z = 1
.
generatoarelex
λ= yµ= z
1
sistemul
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x
λ= yµ= z
1x2 + y2 = 1z = 1
este compatibil
condiţia de compatibilitate λ2 + µ2 = 1
ecuaţia suprafeţei conice
(xz)
2
+ (yz)
2
= 1⇔ x2 + y2 = z2
2.3.3 Suprafeţe de rotaţie
Definiţia 2.12. Fie o curbă (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
F (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0
. Se numeşte suprafaţă de
rotaţie o suprafaţă generată prin rotirea curbei C ı̂n jurul unei drepte d, numităaxă de rotaţie.
45
-
Presupunem că axa de rotaţie are ecuaţiile
d ∶ x − x0l
= y − y0m
= z − z0n
.
Prin rotirea ı̂n jurul lui d, fiecare punct de pe curba C va descrie un cerc (numitcerc generator) care se află ı̂ntr-un plan perpendicular pe d şi are centrul pe d. Unastfel de cerc poate fi scris ca intersecţia dintre o sferă cu centrul pe d şi un planperpendicular pe d:
Cλ,µ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2
lx +my + nz = µ(2.11)
Suprafaţa de rotaţie este generată de acele cercuri din familia Cλ,µ care sesprijină pe curba C (deci intersectează această curbă). Aşadar căutăm acele valoriale lui λ şi µ pentru care sistemul
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2
lx +my + nz = µF (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0
(2.12)
este compatibil. Eliminând x, y, z din acest sistem, obţinem o relaţie ı̂ntre λ şi µ
Φ(λ2, µ) = 0 (2.13)numită condiţie de compatibilitate. Suprafaţa de rotaţie este formată din toatecercurile Cλ,µ corespunzătoare valorilor lui λ şi µ care satisfac condiţia de compa-tibilitate (2.13), aşadar coordonatele punctelor acestei suprafeţe satisfac ecuaţia
Φ ((x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2, lx +my + nz) = 0.Exemplu: Să se găsească ecuaţia suprafeţei obţinute prin rotirea dreptei de
ecuaţii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x + z = 2y = 0
ı̂n jurul dreptei de ecuaţii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x − 2 = 0y − 2 = 0
.
● cercurile generatoare⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2
z = µ
● sistemul
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2
z = µx + z = 2y = 0
este compatibil
● condiţia de compatibilitate 2µ2 − λ2 + 4 = 0
● ecuaţia suprafeţei de rotaţie(x − 2)2 + (y − 2)2 − z2 = 4
46
-
2.4 Exerciţii
1. Să se scrie ecuaţia sferei ı̂n următoarele cazuri:
(a) C(1,−2,2), R = 3(b) C = O, R =
√2
(c) C = O şi trece prin punctul A(3,−1,2)(d) C(2,−1,3) şi trece prin punctul B(−2,0,1)(e) Punctele A(1,2,−1) şi B(3,4,5) sunt extremităţile unui diametru(f) C(1,2,3) şi este tangentă planului 6x + 7y − 6z + 31 = 0(g) Sfera trece prin O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,5,0), C(0,0,3)
R: a = 1, b = 52 , c =32
2. Să se determine centrul şi raza sferelor:
(a) x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z + 5 = 0(b) x2 + y2 + z2 − 8x − 4y + 2z + 17 = 0(c) x2 + y2 + z2 + 2x − 6y + 4z − 11 = 0(d) x2 + y2 + z2 − x + 3y − 4z + 1 = 0(e) 2(x2 + y2 + z2) + 4x − y + 2z − 5 = 0
3. Fie sfera de ecuaţie
(S) ∶ x2 + y2 + z2 − 6x + 4y − 2z − 86 = 0
şi planul (p) ∶ 2x − 2y − z + 9 = 0.
(a) Să se afle centrul şi raza sferei
(b) Să se arate că S ∩ p ≠ ∅(c) Să se afle centrul şi raza cercului de intersecţie a sferei S cu planul p
R: C(3,−2,1),R = 10,C1(−1,2,3), r = 8Aceleaşi cerinţe pentru:
(a) (S) ∶ x2 + y2 + z2 − 4x − 2y + 6z + 1 = 0, (p) ∶ x + 2y − z − 3 = 0(b) (S) ∶ (x − 4)2 + (y − 7)2 + (z + 1)2 − 36 = 0, (p) ∶ 3x + y − z − 9 = 0
4. Să se scrie ecuaţiile planelor tangente la sfera
(S) ∶ x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 6z + 8 = 0
ı̂n punctele de intersecţie ale sferei cu dreapta
(d) ∶ x − 11
= y−1 =z − 1
2
R: S ∩ d = {M1(1,0,1),M2(3,−2,5)}
47
-
5. Fie elipsoidulx2
4+ y
2
9+ z
2
16− 1 = 0. Să se afle:
(a) curbele de intersecţie ale elipsoidului cu planele de coordonate
(b) intersecţiile elipsoidului cu axele de coordonate
(c) ecuaţiile parametrice ale elipsoidului dat
6. Să se afle poziţia dreptei d faţă de elipsoidul
x2
16+ y
2
12+ z
2
4− 1 = 0
unde (d) ∶ x − 42
= y + 6−3 =z + 2−2 .
7. Să se scrie ecuaţia planului tangent la elipsoidul x2+ y2
9+ z
2
4−1 = 0 ı̂n punctul
M0(1,0,0). Să se reprezinte grafic elipsoidul dat.
8. Fie elipsoidulx2
4+ y
2
3+ z
2
9− 1 = 0 şi dreapta (d) ∶ x = y = z. Să se scrie
ecuaţia planului tangent la elipsoid ı̂n punctele de intersecţie ale elipsoiduluicu dreapta d.
9. Fie hiperboloidul cu o pânză x2 + y2
4 −z2
9 − 1 = 0.
(a) să se reprezinte grafic
(b) să se afle punctele de intersecţie cu dreapta x−11 =y+2
0 =z−11
(c) să se scrie ecuaţiile planelor tangente la hiperboloid ı̂n puncteleA(1,2,3), B(2,2,6)
10. Fie hiperboloidul cu două pânze x2 + y2
4 −z2
9 + 1 = 0.
(a) să se reprezinte grafic
(b) să se afle punctele de intersecţie cu dreapta x−11 =y−3
1 =z−63
(c) să se scrie ecuaţia planului tangent la suprafaţă ı̂n punctul M(2,4,−9)
11. Fie conul x2 + y2
4 −z2
9 = 0.
(a) să se afle intersecţiile cu planele de coordonate şi cu axele de coordonate
(b) să se afle intersecţiile conului cu planele z = 3 şi z = −3(c) să se reprezinte grafic
12. Fie suprafeţele x2
4 +y2
9 = 2z şix2
4 −y2
9 = 2z.
(a) să se reprezinte grafic cele două suprafeţe
48
-
(b) să se afle punctele de intersecţie cu dreapta x2 =y3 =
z1
13. Fie suprafaţa x2
2 +y2
4 = 9z şi dreapta x = y = z. Să se scrie ecuaţiileplanelor tangente la suprafaţa dată ı̂n punctele de intersecţie ale suprafeţeicu dreapta.
14. Să se scrie ecuaţiile generatoarelor rectilinii ale suprafeţei S care trec prinpunctul M ı̂n următoarele cazuri:
(a) S ∶ x2 + y2 − z2 = 1, M(1,1,1)(b) S ∶ 16x2 + 36y2 − 9z2 − 144 = 0, M(6,2,8)(c) S ∶ 4x2 + 9y2 − 36z2 − 36 = 0, M(6,−2,2)
(d) S ∶ x29 −y2
4 +z2
5 − 1 = 0, M(3,2,√
5)(e) S ∶ 4x2 − 9y2 = 36z, M(3,0,1)(f) S ∶ 4x2 − z2 = y, M(1,3,−1)(g) S ∶ 4y2 − z2 = 2x, M(6,2,2)
15. Să se recunoască următoarele cuadrice:
(a) x2 + 2y2 + 3z2 − 4 = 0(b) x2 + 2y2 − 3z2 − 4 = 0(c) x2 − 2y2 − 3z2 − 4 = 0(d) x2 − 2y2 − 3z2 = 0(e) x2 − 2y − 3z2 = 0(f) x2 − 2y + 3z2 = 0(g) x2 − 2y = 0(h) x2 − 2y2 − 4 = 0(i) x2 + 3z2 − 4 = 0
49
-
Capitolul 3
Geometria diferenţială acurbelor şi suprafeţelor
3.1 Curbe plane
3.1.1 Introducere
Definiţia 3.1. Fie un interval de numere reale I = [a, b]. Se numeşte curbăplană o mulţime de puncte din R2 ale căror coordonate sunt date prin
(Γ) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x(t)y = y(t)
, t ∈ [a, b]; (3.1)
Ecuaţiile (3.1) se numesc ecuaţiile parametrice ale curbei, iar t se numeşteparametrul curbei ;
Ecuaţiile (3.1) asociază fiecărei valori a parametrului t ∈ [a, b] un punctM(x(t), y(t)) de pe curbă.
Reprezentarea parametrică poate fi scrisă sub forma vectorială
Ð→r =Ð→r (t) = x(t)Ð→i + y(t)Ð→j (3.2)
Dacă funcţiile x(t), y(t) sunt continue pe [a, b], atunci reprezentările para-metrice de mai sus se numesc drumuri.
O curbă poate fi dată prin mai multe parametrizări, deci poate fi imagineamai multor drumuri echivalente.
De exemplu, un cerc cu centrul ı̂n origine şi de rază R are reprezentareaparametrică
x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0,2π].
50
-
În acelaşi timp, semicercul de deasupra axei Ox mai poate fi reprezentat şiprin
x = t, y =√R2 − t2, t ∈ [−R,R].
Definiţia 3.2. Fie r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] un drum ı̂n plan. Spunem că acestdrum este:
1. ı̂nchis dacă x(a) = x(b), y(a) = y(b);
2. simplu dacă r(t) este o funcţie injectivă. Aşadar curba corespunzătoare nuare puncte multiple, nu se autointersectează;
3. neted dacă x(t), y(t) au derivată continuă şi nu există nicio valoare t ∈ [a, b]pentru care x′(t) = y′(t) = 0.
În mod similar se pot defini noţiunile de mai sus şi pentru curbe ı̂n spaţiu.
Un punct corespunzător unei valori t0 ∈ [a, b] cu proprietatea că x′(t0) =y′(t0) = 0 se numeşte punct singular al curbei.
Pe lângă ecuaţiile parametrice din definiţie, o curbă plană mai poate fi datăprin următoarele reprezentări analitice:
ecuaţie carteziană explicită
y = f(x), x ∈ [a, b] (3.3)
ecuaţie carteziană implicită
F (x, y) = 0, (x, y) ∈D ⊂ R2 (3.4)
ecuaţie polară explicită
ρ = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2] (3.5)
unde ρ şi θ sunt coordonatele polare ale unui punct de pe curbă:
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = ρ cos θy = ρ sin θ
, ρ > 0, θ ∈ [0,2π]
Definiţia 3.3. 1. O curbă plană dată prin una din reprezentările (3.1), (3.3)sau (3.5) se numeşte curbă de clasă Ck (k ∈ N∗) dacă funcţiile care apar ı̂nreprezentările respective admit derivate continue până la ordinul k inclusiv.
2. O curbă plană dată prin reprezentarea vectorială (3.2) se numeşte curbăde clasă Ck dacă funcţia vectorială Ð→r (t) are componentele x(t) şi y(t) declasă Ck (admit derivate continue până la ordinul k inclusiv).
51
-
3. O curbă plană dată prin reprezentarea implicită (3.4) se numeşte curbă declasă Ck dacă funcţia F (x, y) admite derivate parţiale continue până laordinul k inclusiv.
În continuare vom presupune că toate curbele plane la care ne referim sunt celpuţin de clasă C1.
Definiţia 3.4. 1. Fie Γ o curbă plană de clasă C1 dată prin ecuaţia vectorială(3.2) şi M0(Ð→r (t0)) un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numeşte punctordinar (sau regulat) al curbei Γ dacă ı̂n acest punct derivata funcţieivectoriale Ð→r (t) este diferită de vectorul nul, adică
Ð→r ′(t0) = x′(t0)Ð→i + y′(t0)
Ð→j ≠Ð→0 .
2. Fie Γ o curbă plană de clasă C1 dată prin ecuaţia implicită (3.4) şi M0(x0, y0)un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numeşte punct ordinar al curbeiΓ dacă derivatele parţiale ∂F∂x (x0, y0) şi
∂F∂y (x0, y0) nu sunt simultan nule,
adică
(∂F∂x
(x0, y0))2
+ (∂F∂y
(x0, y0))2
≠ 0.
3.1.2 Tangenta şi normala la o curbă plană
Fie Γ o curbă plană de clasă cel puţin C1 reprezentată prin ecuaţia vectorială
Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b] (3.6)
şi fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzător valorii t0 a parametru-lui . Considerăm de asemenea un punct ordinar variabil M(Ð→r (t)). Avem:
ÐÐ→OM0 =Ð→r (t0),
ÐÐ→OM =Ð→r (t)
ÐÐÐ→M0M =
ÐÐ→OM −ÐÐ→OM0 =Ð→r (t) −Ð→r (t0)ÐÐÐ→M0M
t − t0=Ð→r (t) −Ð→r (t0)
t − t0
aşadar vectorulÐÐÐ→M0M are aceeaşi direcţie cu
Ð→r (t) −Ð→r (t0)t − t0
.
Trecând la limită
limt→t0
Ð→r (t) −Ð→r (t0)t − t0
=Ð→r ′(t0)
deci direcţia secantei M0M converge către direcţia vectoruluiÐ→r ′(t0) atunci când
M →M0.
Definiţia 3.5. Dreapta limită a secantei M0M când punctul M tinde către M0pe curbă se numeşte tangenta la curbă ı̂n punctul M0.
52
-
Ecuaţia analitică a tangentei la curbă ı̂n punctul M0(x(t0), y(t0)) este
x − x(t0)x′(t0)
= y − y(t0)y′(t0)
(3.7)
Observaţii:1. Când curba este dată printr-o ecuaţie explicită de forma y = f(x), folosindparametrizarea
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = ty = f(t)
ecuaţia (3.7) a tangentei ı̂n punctul M0(x0, f(x0)) devine:
y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0) (3.8)
2. Când curba este dată printr-o ecuaţie implicită de forma F (x, y) = 0, folosindteorema funcţiilor implicite ı̂ntr-o vecinătate a punctului ordinar M0, există oreprezentare explicită locală y = f(x), deci
F (x, f(x)) = 0.
Prin derivare obţinem∂F
∂x+ ∂F∂y
⋅ f ′(x) = 0
de unde rezultă că
f ′(x0) = −∂F
∂x(x0, y0)
∂F
∂y(x0, y0)
Înlocuind ı̂n ecuaţia tangentei (3.8) obţinem
∂F
∂x(x0, y0) ⋅ (x − x0) +
∂F
∂y(x0, y0) ⋅ (y − y0) = 0. (3.9)
Dacă∂F
∂y(x0, y0) = 0, ecuaţia tangentei ı̂n M0 este x − x0 = 0.
Definiţia 3.6. Se numeşte normala la curba Γ ı̂n punctul M0 dreapta care treceprin M0 şi este perpendiculară pe tangenta la curbă ı̂n M0.
În funcţie de tipul reprezentării analitice prin care este dată curba Γ, avemurmătoarele cazuri:
Γ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x(t)y = y(t)
, ecuaţia normalei la curbă ı̂n M0(t = t0) este
x′(t0)(x − x(t0)) + y′(t0)(y − y(t0)) = 0
53
-
Γ ∶ y = f(x), ecuaţia normalei la curbă ı̂n M0(x0, y0) este
x − x0 + f ′(x0)(y − y0) = 0
Γ ∶ F (x, y) = 0, ecuaţia normalei la curbă ı̂n M0(x0, y0) estex − x0
∂F∂x (x0, y0)
= y − y0∂F∂y (x0, y0)
ExempluSă se scrie ecuaţia tangentei şi ecuaţia normalei la curba de ecuaţii
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = t3 − 2ty = t2 + 1
, t ∈ [0,4]
ı̂n punctul M0(t0 = 2).
coordonatele carteziene: M0(4,5);
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x′ = 3t2 − 2y′ = 2t
⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x′(2) = 10y′(2) = 4
tangenta:x − 410
= y − 54⇔ 2x − 5y + 17 = 0
normala: 10(x − 4) + 4(y − 5) = 0⇔ 5x + 2y − 30 = 0
3.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane
Fie Γ o curbă plană de clasă cel puţin C1 reprezentată parametric şi presupunemcă toate punctele ei sunt ordinare. Fie M0 şi M1 două puncte ale curbei Γ core-spunzătoare valorilor t0 şi respectiv t1 ale parametrului. Lungimea arcului decurbă M0M1 este
l(M0M1) = ∫t1
t0
√(x′(t))2 + (y′(t))2dt
Pentru un punct oarecare M al curbei corespunzător valorii t a parametrului,definim funcţia
s(t) = ∫t
t0
√(x′(u))2 + (y′(u))2du
care reprezintă lungimea arcului de curbă cuprins ı̂ntre punctul fix M0 şi punctulvariabil M .
Derivata acestei funcţii este
ds
dt=√
(x′(t))2 + (y′(t))2
54
-
de unde deducem
ds2 = [(x′(t))2 + (y′(t))2]dt2 = dx2 + dy2
Diferenţiala ds =√dx2 + dy2 se numeşte elementul de arc al curbei Γ. Când
curba Γ este dată printr-o ecuaţie explicită y = f(x), elementul de arc este
ds =√
1 + (f ′(x))2dx
Deoarece funcţia s = s(t) are derivată nenulă, putem explicita pe t ı̂n funcţiede s. Înlocuind t = t(s) ı̂n ecuaţiile parametrice obţinem
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x = x(t(s)) =X(s)y = y(t(s)) = Y (s)
care se numeşte parametrizare naturală a curbei . Parametrul s se numeşteparametrul natural al curbei şi este dat chiar de lungimea curbei până lapunctul curent.
Parametrizarea naturală are proprietatea
(dXds
)2
+ (dYds
)2
= 1.
Pentru o curbă dată prin parametrizare naturală convenim să notăm vectorul
derivatelor cudÐ→rds
= Ð̇→r (s). Folosind această notaţie, relaţia anterioară devine
∥Ð̇→r (s)∥ = 1⇔ ẋ2(s) + ẏ2(s) = 1
Considerând din nou parametrul iniţial ca funcţie de parametrul natural t =t(s), prin derivare ı̂n raport cu s obţinem
Ð̇→r (s) = dÐ→rds
= dÐ→rdt
⋅ dtds
=Ð→r ′(t) ⋅ dtds
Calculând normele ı̂n egalitatea vectorială anterioară găsim
dt
ds= 1
∥Ð→r ′(t)∥(3.10)
3.1.4 Curbura unei curbe plane
Fie M0 un punct ordinar al unei curbe plane Γ şi M un punct arbitrar al curbei ı̂nvecinătatea lui M0. Notăm cu ∆ω unghiul dintre tangentele ı̂n M0 şi M la curbăşi cu ∆s lungimea arcului de curbă M0M .
55
-
Definiţia 3.7. Curbura curbei Γ ı̂n punctul M0 este prin definiţie
1
R= lim
∆s→0∣∆ω∆s
∣
R se numeşte raza de curbură a curbei Γ ı̂n punctul M0.
Observaţie:Dacă limita din definiţia curburii este 0, atunci raza de curbură este ∞.
Teorema 3.1. Fie Γ o curbă de clasă C2 dată prin parametrizarea naturală Ð→r =Ð→r (s). Atunci valoarea curburii ı̂n punctul M0 (Ð→r (s0)) este
1
R= ∥Ð̈→r (s0)∥ .
Demonstraţie: FieM0 (Ð→r (s0)) un punct ordinar al curbei Γ şiM (Ð→r (s0 +∆s))punctul de pe curbă corespunzător valorii s0 +∆s a parametrului natural.
Notăm cu Ð→τ (s0), respectiv Ð→τ (s0 + ∆s) versorii tangentelor ı̂n M0, respectivM la curbă şi cu ∆ω unghiul dintre aceşti vectori. Avem:
Ð→τ (s0) = Ð̇→r (s0) şi Ð→τ (s0 +∆s) = Ð̇→r (s0 +∆s).
FieÐ→AB şi
Ð→AC doi reprezentanţi ai acestor versori cu originea ı̂n acelaşi punct