3. METODA DEPLASRILOR3.1 INTRODUCERE

Este o metod general de rezolvare a structurilor static nedeterminate avnd drept necunoscute deplasrile distincte ale nodurilor (rotiri i translri), care se determin exprimnd condiiile de echilibru static pe diecia acestora.

OBSERVAIE: n cadrul acestei metode, prin nod se nelege orice capt de bar sau intersecii de bare. Astfel, se disting noduri interioare (nodurile obinuite) i noduri exterioare (reazeme i capete libere). n ceea ce privete nodurile interioare, se disting trei tipuri de noduri:- noduri integral rigide

Fig. 3.1

- noduri parial rigide

Fig. 3.2

- noduri articulate

Fig. 3.3

n cadrul acestei metode, toate nodurile se numeroteaz de la 1 la n, ncepnd cu cele intergal rigide, parial rigide, articulate i terminnd cu nodurile de contur (reazeme, extremiti libere). Pentru o interpretare corect a deplasrilor distincte ale nodurilor (rotiri i translri) se face ipoteza neglijrii defomatelor axiale ale barelor produse de forele axiale i de momentele ncovoietoare. Dup modul n care o structur static nedeterminat trece n poziie deformat sub aciunea ncrcrilor, se disting dou tipuri de structuri:

Fig. 3.4

2A. Structuri cu noduri fixe la care trecerea n poziie deformat sub aciunea aciunilor se realizeaz doar prin rotirea nodurilor (fig. 3.4). n cazul unei astfel de structuri, dac se introduc articulaii n toate nodurile rigide, parial rigide i rezemrile ncastrate, rezult o structur static determinat (fig. 3.5).

Fig. 3.5

Necunoscute vor fi doar rotirile nodurilor rigide interioare, al cror numr se noteaz n general prin N (N = 2, pentru cadrul din (fig. 3.4).

B. Structuri cu noduri translabile la care trecerea n poziia deformat sub aciunea ncrcrilor exterioare se realizeaz att prin rotirea nodurilor, ct i prin translareaacestora. n cazul unor astfel de structuri, dac se introduc articulaii n toate nodurile rigide i rezemrile ncastrate, rezult sistemul cinematic al crui numr de deplasri cinematice este egal cu numrul translaiilor distincte ale nodurilor.

Numrul translrilor distincte ale nodurilor poart denumirea de grade de libertate elastic i se noteaz prin m.

Fig. 3.6

Numrul de deplasri cinematice ale unui mecanism sau sistem cinematic este (fig. 3.7): 1143653 crnm s (3.1)

Fig. 3.7

3Pentru structura din fig. 3.1a: 114365 snmSistemul din fig. 3.7 are o singur deplasare cinematic.Numrul de translri distincte ale nodurilor 1 snm . n cazul acestor tipuri de structuri,

numrul total de necunoscute va fi egal cu numrul rotirilor nodurilor rigide (N) i plane numrul gradelor de libertate (m). Numrul total de necunoscute se noteaz cu Z i poart denumirea de nedeterminare cinematic elastic. Relaia de calcul este: mNZ , cu precizarea c n cazul structuriilor cu noduri fixe (tipul A) m = 0.

3.2 SISTEMUL DE BAZ (SB) n metoda deplasrilor SB se obine blocnd nodurile rigide i parial rigide la rotire i

introducnd penduli (reazeme simple) pe direcia translrilor distincte ale nodurilor. Blocarea nodurilor rigide i parial rigide la rotire se realizeaz cu ajutorul unui aa numit blocaj de nod, care se reprezint sub forma unui ptrat ce mbrac capetele legate rigid n nodul respectiv (fig. 3.8):

Fig. 3.8

Blocajul de nod este astfel conceput nct s mpiedice rotirea capetelor barelor, permind translarea acestora (ncastrare glisant).

Fig. 3.9

n general, numrul total de legturi ce se introduc pentru a realiza SB este egal cu numrul nodurilor rigide sau parial rigide N plus numrul translaiilor distincte ale nodurilor(gradele de libertate m), deci este egal cu Z. Un astfel de SB cu noduri blocate la rotire i translaii mpiedicate pe direcia gradelor de libertate poart denumirea de sistem de baz geometric determinat (fig. 3.11).

Pentru structura din fig. 3.13: mNZ

84

544;

63

233

52

322;

71

41

31

1

4N

Pentru determinarea numrului gradelor de libertate la deplasare se introduc articulaii n toate nodurile rigide i parial rigide i reazeme ncastrate (fig. 3.10):

4Fig. 3.10

44391853 clrnm sStructura are patru grade de libertate elastic i patru translri distincte de noduri:

844 mNZ .

Fig. 3.11

Sistemul de baz (fig. 3.11), geometric determinat se obine blocnd cele N=4 noduri rigide i parial rigide i introducnd un numr de m=4 penduli pe direcia celor 4 grade de libertate elastic (4 translri distincte ale nodurilor). Blocarea celor 4 noduri rigide i parial rigide se face cu ajutorul blocajelor de nod care se comport ca nite ncastrri glisante(mpiedic rotirea, permind translarea). Relaia (3.1) furnizeaz doar o informaie cantitativ, precizeaz doar numrul gradelor de libertate elastic (numr de translri), fr a preciza direcia translrii lor, deci pentru a introduce cei patru penduli astfel nct toate nodurile (toate capetele de bar) s fie fixate trebuie analizate efectiv posibilitile de translare ale capetelor de bar.

OBSERVAIE: Pentru anumite tipuri de structuri particulare, relaia (3.1) furnizeaz rezolvri eronate; este recomandabil ca, odat cu determinarea lui m, s se analizeze structura respectiv.Exemple:a)

Fig. 3.12 Fig. 3.1303345 nm

5Conform relaiei, structura este cu un nod fix.n realitate structura are un singur grad de libertate la deplasare (SB din fig. 3.13).

b)

Fig. 3.14 Fig. 3.1504366 snm

n realitate structura are dou grade de libertate la deplasare (SB din fig. 3.15).

3.3 MOMENTE DE CAPT DE BARElementele constitutive ale SB din fig. 3.11 sunt fie bare dublu ncastrate (barele 3-2, 3-6).

Barele dublu articulate nu se iau n considerare, nu se pot deforma i nici nu se pot deplasa. Sub aciunea ncrcrilor (fore, rotiri de capete rigide ale barelor sau deplasri relative transversale ntre capetele de bar) n capetele rigide ale acestor bare iau natere momente ce poart denumirea de momente de capt de bar de ncastrare perfect. Ele se pot figura avnd concavitatea ctre bar momente spre bar sau avnd concavitatea ctre nod momente spre nod. Se noteaz cu M nsoit de doi indici M ij, n care primul indice i precizeaz captul de bar n care se produce acel moment; al doilea indice j precizeaz captul opus de bar.

3.4 CONVENIA DE SEMNEMomentele spre nod sau spre bar care rotesc n sens orar, se consider +, iar cele care

rotesc n sens antiorar -.

3.5 MOMENTE DE NCASTRARE PERFECT3.5.1 Aciunea forelorSunt momentele de capt de bar ce iau natere datorit prezenei pe bar a forelor

exterioare. Se noteaz prin M ij i sunt precalculate n funcie de tipul barei (dublu ncastrat sau ncastrat-articulat) i de ncrcrile exterioare (dac nu se dispun de tabele, momentele de ncastrare perfect se determin rezolvnd grinda dublu n castrat sau ncastrat-articulat, prin metoda forelor) (fig. 3.16).

3.6 CARACTERISTICI DE RIGIDITATEElementele constitutive ale SB pot fi ncrcate cu rotiri ale capetelor rigide i cu deplasri

transversale ntre capetele de bar. Dac aceste rotiri ale capetelor rigide sau deplasri relative ntre capetele de bar sunt egale cu 1, momentele din capetele de bar ce iau natere poart denumirea de caracteristici de rigiditate.

6Fig. 3.16

3.7 RIGIDITATEA ABSOLUTA LA ROTIRE. FACTORI DE TRANSMITERERigiditatea kij - reprezint momentul ce ia natere n captul i al barei ij, atunci cnd captul i

sufer o rotire egal cu 1 (fig. 3.17).A. Grinda dublu ncastrat

Fig. 3.17

Rigiditatea kij se determin rezolvnd grinda dublu ncastrat prin metoda forelor la o cedare de reazem i .

7Fig. 3.18

Se scrie sistemul:

02222121

1212111

c

ic

XX

XX

Fig. 3.19

Fig. 3.20

Se determin coeficienii principali i laterali i termenii liberi la cedri de rezeme:

EIEIdx

EI

MM

EIEIdx

EIMM

EIEIdx

EIMM

61

3

11

2

11

31

32

1211

31

32

1211

0

212112

0

2222

0

1111

0

0

2

1

2

1

ced

KKc

ced

KKc

R

R

deci:

8

iji

iiji

EIMX

EIMX

XEI

XEI

XEI

XEI

2

4

033

63

2

1

21

21

Pentru EI

kiji4

1 (3.2)

Factorul de transmitere se noteaz prin ij i reprezint moementul ce ia natere n captul j al barei ij cnd n captul i exist un moment egal cu 1 i satisface relaia:

ijjiji MM

502

142.

EIEIij

iij

i

(3.3)

B. Grinda ncastrat articulat

Fig. 3.21

Rigiditatea kij se obine rezolvnd grinda ncastrat articulat prin metoda forelor la o cedare de reazeme i .

Fig. 3.22

icX 1111

Fig. 3.23

9iiji

ced

KKc

EIMXX

EI

R

EIEIdx

EI

MM

3

3

1

0

31

3

21

2

11

11

11

0

1111

Pentru EI

kij3

11 (3.4) (rigiditatea absolut la rotirea barei ncastrat articulat). Deoarece momentul din captul j este nul, rezult c n cazul barei ncastrat articulate, factorul de transmitere 0ij (3.5).

3.8 RIGIDITATEA ABSOLUT LA DEPLASARESe noteaz cu ijk i reprezint momentul ce ia natere n captul i al barei ij cnd ntre

capetele barei se produce o deplasare relativ transversal egal cu 1.

A. Bara dublu ncastrat

Fig. 3.24

Rigiditatea ijk se obine rezolvnd grinda dublu ncastrat la o cedare de reazem ij .

Fig. 3.25

0

0

2222121

1212111

c

c

XX

XX

10

Fig. 3.26

Fig. 3.27

ijij

ced

KKc

ijij

ced

KKc

e

e

R

R

EIEIdx

EI

MM

EIEIdx

EI

MM

EIEIdx

EI

MM

1

1

61

3

11

2

11

31

3

21

2

11

31

3

21

2

11

22

11

0

212112

0

2222

0

1111

221

21

21 6

033

063

EI

MMXX

XEI

XEI

XEI

XEI

jiijij

ij

Pentru 2

61

EIkk jiijij

(3.6) rigiditatea absolut la deplasare a barei dublu

ncastrate.

11

B. Bara ncastrat-articulat

Fig. 3.28

Valoarea rigiditii absolute ijk se obine rezolvnd grinda ncastrat articulat prin metoda forelor la o cedare de reazem ij

Fig. 3.29

01111 cX

Fig. 3.30

ijijij

ijij

ced

KKc

ijijkcedKc

EIMXX

EI

l

R

R

EIEIdx

EI

MM

211

2

1

0

1111

30

3

1

1

31

3

21

2

11*

1

1

Pentru 23

EI

k ijij (rigiditatea absolut la deplasare a barei ncastrat-articulat).

12

3.9 DEFORMAREA BARELOR CA URMARE A DEPLASRILOR NODURILOR (ROTIRI I TRANSLRI)n figura 3.31 sunt cteva exemple de rotiri ale nodurilor i implicit deformarea barelor

concurente n noduri:

Fig. 3.31

n figura 3.32 sunt cteva exemple de translri ale nodurilor:

Fig. 3.32

13

3.10 FORMA ANALITIC A METODEI DEPLASRILOR CU NECUNOSCUTE DEPLASRI DISTINCTE ALE NODURILOR (ROTIRI I TRANSLRI)

Fie structura din figur (fig.3.33).

Fig. 3.33

SB geometric determinat se obine blocnd la rotire nodurile complet rigide 1 i 2 i nodul parial rigid 3 i introducnd penduli pe direcia celor dou grade de libertate la deplasare.

A. Alctuirea ecuaiilor de condiieSB geometric determinat a fost obinut prin introducerea blocajelor de nod (care se

comport ca nite ncastrri glisante) i a pendulilor (reazeme simple) pe direcia gradelor de libertate elastic (pe direcia translrilor posibile ale nodurilor). Ca urmare, n aceste legturi vor lua natere reaciuni dup cum urmeaz: reaciuni moment n blocajele de nod (datorit comportrii acestora ca nite ncastrri) i reaciuni fore pe direcia reazemelor simple introduse pe direcia translrilor posibile. n structura real, aceste blocaje de nod i grade de libertate nu exist, deci implicit nu exist nici reaciunile pe direcia lor. Pentru ca S.B. s aib aceeai comportare ca i structura real, este suficient s punem condiiile ca reaciunile ce apar n blocajele introduse s fie nule. Deci, n cadrul acestei metode condiiile sunt de natur static. Se disting dou tipuri de reaciuni:

1. Reaciuni moment din blocaje de nod, Si (i = 1,..., N)2. Reaciuni for pe direcia reazemelor introduse, Sq (q = a,..., m).Particulariznd pentru exemplul considerat, vor rezulta condiiile:

14

0

0

0

0

0

2

2

1

b

a

S

S

S

S

S

(3.7)

Aceste reaciuni, momente sau fore se expliciteaz aplicnd principiul suprapunerii efectelor, avnd n vedere c acestea sunt produse de rotirile nodurilor, de translarea pe direcia gradelor de libertate i de ncrcrile exterioare. Plecnd de la acest considerent, se disting ase componente ale reaciunilor:

! Sij (i, j = 1,, N sunt indici de nod) reprezint reaciunea moment din blocarea nodului i produs de rotirea yj a nodului j;! ! Siq (i = 1,, N indice de nod i q = a,, m indice de grad de libertate) reprezint reaciunea moment din blocarea nodului i produs de translarea yq pe direcia gradului de libertate q;! ! ! Sqj (q = a,, m indice de grad de libertate i j = 1,, N indice de nod) reprezint reaciunea for din blocarea gradului de libertate q produs de rotirea yj a nodului j;! ! Sqr (q, r = a,, m sunt indici de grad de libertate) reprezint reaciunea for din blocarea gradului de libertate q produs de translarea yr pe directia gradului de libertate r;A Sip (i, j = 1,, N indice de nod) reprezint reaciunea moment din blocajul nodului i produs de ncrcrile exterioare;B Sqp (q = a,, m indice de grad de libertate) reprezint reaciunea for din blocajul gradului de libertate q produs de ncrcrile exterioare. n baza acestor definiii sau precizri, cele cinci condiii de echilibru static pentru structura

considerat devin:

Din cele ase tipuri de reaciuni practic se pot calcula doar dou i anume: reaciunea de tipul A i cea de tipul B, deoarece ncrcrile exterioare sunt cunoscute. Celelalte patru tipuri de reaciuni nu se pot determina, deoarece nu se cunosc deplasrile nodurilor rotite i translate. Pentru a putea explicita aceste patru tipuri de reaciuni, se ine seama de comportarea liniar-elastic a strcturii (reaciunile sunt direct proporionale cu deplasrile care le produc). Astfel, corespunztor celor 4 tipuri de reaciuni produse de deplasrile egale cu 1 ale nodurilor (rotiri yi = 1, translaii yq = yr = 1):

! ijs (i, j = 1,, N sunt indici de nod) reprezint reaciunea moment din blocarea nodului i produs de rotirea yj = 1 a nodului j;! ! iqs (i = 1,, N indice de nod i q = a,, m indice de grad de libertate) reprezint reaciunea moment din blocarea nodului i produs de translarea yj=1 pe direcia gradului de libertate j;! ! ! qjs (q = a,, m indice de grad de libertate i j = 1,, N indice de nod) reprezint reaciunea for din blocarea gradului de libertate q produs de rotirea yj=1 a nodului j;! ! qrs (q, r = a,, m sunt indici de grad de libertate) reprezint reaciunea for din blocarea gradului de libertate q produs de translarea yr=1 pe direcia gradului de libertate r.

15

n aceste condiii, reaciunile S devin:

rqrqr

jqjqj

qiqiq

jijij

ysS

ysS

ysS

ysS

(3.9)

iar sistemul de ecuaii (3.8) se scrie:

0Sysysysysys

0Sysysysysys

0Sysysysysys

0Sysysysysys

0Sysysysysys

bpbbbaba33b22b11b

apbabaaa33a22a11a

p3bb3aa3333232131

p2bb2aa2323222121

p1bb1aa1313212111

(3.10a)

sau:

N

1j

m

aqqprqrjqj

N

1j

m

aqipqiqjij

(q) 0Sysys

(N) 0Sysys(3.10b)

3.11 CALCULUL COEFICIENILORA. Calculul coeficienilor de tip I:Se ncarc sucesiv SB cu rotiri egale cu 1 (unu) ale nodurilor blocate, se construiesc

deformatele corespunztoare punndu-se n eviden momente de capt de bar spre nod i spre bar. Se pun pentru fiecare deformat n parte condiiile de chilibru: momente nule pe nod. Se opereaz cu momente spre nod.

Convenia de semne: pentru moment i rotire n sens orar +; pentru fore i translaii + de la stnga la dreapta i de sus n jos.A1 Se d SB-ului o rotire egal cu 1 (unu) nodului 1 (fig. 3.34)

Fig. 3.34

0

0

0

0

0

0

31

21

141311141311

3

2

1

s

s

kkskks

M

M

M

16

A2 Se d SB-ului o rotire egal cu 1 (unu) nodului 2 (fig. 3.35):

Fig. 3.35

23322332

262322262322

12

3

2

1

2

10

2

1

0

0

0

0

0

ksks

kkskks

s

M

M

M

A3 Se d S.B. cu o rotire egal cu 1 (unu) nodului 3 (fig. 3.36):

Fig. 3.36

323533323533

32233223

13

3

2

1

02

10

2

1

0

0

0

0

kkskks

ksks

s

M

M

M

Concluzii:1. Un coeficient principal

iijii ks (3.11) adic egal cu suma rigiditilor absolute la rotire

ale capetelor de bar concurente n nodul i (vezi s11, s22, s33);2. Dac dou noduri i i j nu sunt legate printr-o bar comun sau dac ntre cele dou noduri se interpune o articulaie interioar, atunci 0ss jiij (3.12) (vezi s21, s31, s12, s13);

17

3. Dac dou noduri sunt legate ntre ele printr-o bar:

ijjiijjiij ksskk 2

1 (vezi s13, s32).

B. Calculul coeficienilor de tip II:Se ncarc succesiv SB cu translaii egale cu 1 (unu) pe direcia fiecrui grad de libertate n

parte, se construiesc deformatele, punndu-se n evident momentele de capt de bar spre bar i spre nod. Se pun condiii de echilibru static de momente nule operndu-se cu momente spre nod.

B1 Pentru o deplasare ya=1 (fig.3.37):

Fig. 3.37

3532332353

232232

141141

3

2

1

0

0

0

0

0

0

kkskks

ksks

ksks

M

M

M

aa

aa

aa

B2 Pentru o deplasare yb=1 (fig.3.38):

Fig. 3.38

0

0

0

0

0

3

262262

131131

3

2

1

b

bb

bb

s

ksks

ksks

M

M

M

Concluzii:1. Dac ntr-un nod i concur o singur bar care s-a deformat ntr-un grad de libertate q,

atunci ijiq ks (3.13) ( as1 );

2. Dac ntr-un nod concur m. bare ce se deformeaz ntr-un grad de libertate q,

i

ijiq ks (3.14) egal cu suma algebric a rigiditii absolute la deplasare din capetele de bar deformate n gradul de libertate q ( a3s );3. Dac ntr-un nod i concur bare ce nu s-au deformat n gradul de libertate q, atunci 0iqs(3.15) bs3 .

18

CALCULUL COEFICIENILOR DE TIPUL IIIFie structura din fig. 3.39

Fig. 3. 39

Aceti coeficieni se determin din condiia ca LMV produs de momentele din capete de bar determinate de rotirea nodurilor i reaciunile din blocajele gradelor de libertate, parcurgnd deplasarea pe direcia lor n deplasatele obinute prin introducerea unor articulaii n toate nodurile rigide i reazeme ncastrate, s fie egal cu zero. n acest scop, dup introducerea de articulaiilor n toate nodurile rigide i reazeme ncastrate se impun succesiv deplasri virtuale egale cu 1 i se construiesc deplasatele corespunztoare, punndu-se n eviden rotirile barelor; a1 este deplasata pe direcia forei P1, b2 este deplasata pe direcia forei P2 fig. 3.40, 3.41.

Fig. 3.40

Pe fiecare deplasat n parte se pun succesiv condiii de LMV = 0 produse de fiecare aciune yj (j = 1, 2, 3) (se opereaz cu momente spre bar):

010

02

110

010

02

110

02

110

02

110

33

26262622

131311

353523323233

23232322

14141411

bb

bbb

bbb

aaaa

aaa

aaa

sL

kksL

ksL

kkksL

kksL

kksL

i rezult:

19

02

3

2

32

32

3

3

26262

13131

353523323

23232

14141

b

ab

bb

aaa

aa

aa

s

ks

ks

kks

ks

ks

(3.16)

Concluzii:1. Dac pe bara sau barele ce s-au rotit apar perechi de momente (n SB barele respectivesunt dublu ncastrate), atunci un coeficient ijijqj qks 2

3(3.17) unde qij este

rigiditatea la rotirea barei ij care s-a rotit n gradul de libertate q (vezi 332 ba,aa s,ss,s );

2. Dac bara ce s-a rotit n grade de libertate q este ncastrat-articulat, atunci ijijqj qks (3.18) 13 , ba ss . Dac n gradul de libertate q nu exist momente pe nici

una din barele care s-au rotit, 0qjs (3.19) ( 3bs ).

3.13 CALCULUL COEFICIENILOR DE TIPUL IVSe determin din aceleai condiii de LMV = 0, dar produse de momentele din capete de

bar i de reaciunile din blocajele gradelor de libertate, ce iau natere ca urmare a translaiilor pe direcia gradelor de libertate corespunztoare (se opereaz cu momente spre bar):

Fig. 3.41

bbbb

bbbb

baba

abab

aaaaa

aaaaa

bb

ba

ab

aa

kkskks

ss

ss

kkks

kkks

L

L

L

L

2626131326261313

232335351414

232335351414

2021

001

001

22

0221

0

0

0

0

(3.20)

Concluzii:1. Dac n S.B. barele deformate ntr-un grad de libertate se gsesc pe o bar dublu ncastrat ce se rotete ntr-o deplasat q, atunci qijijqr rks (3.21) vezi aas parial i

bbs parial;

20

2. Dac o bar ncastrat-articulat n SB se deformeaz ntr-un grad de libertate r i sufer rotire ntr-o deplasat q, atunci qijijqr rks ,n care ijq (r) este rigiditatea absolut la deplasarea barei ij care s-a deformat n gradul de libertate r;3. Dac o bar ij care sufer rotire n deplasata q, nu prezint moment n deformata r

0qrs (3.22) ( abs i bas ).

n relaiile (3.17)(3.21), o rotire q

ij

qij

1 unde qij

este lungimea barei ij care s-a rotit n

deplasata q.

3.14 CALCULUL TERMENILOR LIBERI DIN GRUPA ASe ncarc SB cu forele exterioare date, se construiesc deformatele barelor ncrcate

punndu-se n eviden momentele de ncastrare perfect spre nod i spre bar i reaciunile din blocajele de nod din gradele de libertate (fig.3.42) (se opereaz cu momente spre nod).

Reaciunile momentelor din blocajele de nod (termeni liberi din grupa A), se determin exprimnd condiiile de chilibru de momentul pe nod:

3233233

2322322

1311311

00

00

00

MM

MM

MM

pp

pp

pp

SSM

SSM

SSM

(3.23)

Se opereaz cu momente spre nod.

Concluzii:Dac ntr-un nod i concur una sau mai multe bare, reaciunea momentelor din nod este

i

ijipS M (3.24) n care i

ijM este suma algebric a momentelor de ncastrare perfect

de capt de bar ce concur n nodul blocat i. Dac ntr-un nod blocat i concur bare nencrcate Sip=0 (3.25).

Fig. 3.42

21

3.15 CALCULUL TERMENILOR LIBERI DIN GRUPA B

Reaciunile for din blocajele gradelor de libertate (termenii liberi din grupa B) se determin din condiii de LMV = 0 pe fiecare deolasat q n parte. n aceste expresii vor interveni reaciunile din blocajele gradelor de libertate i momentele de ncastrare perfect din barele ncastrate care s-au rotit n deplasarea q (se opereaz cu momente spre bar) i forele exterioare:

aa

bpaa

bpbp

aaap

aaapap

PSPSL

PSPSL

221313221313

1123233211232332

010

010

MM

MMMM(3.26)

Concluzii: Dac n deplasarea q exist una sau mai multe bare ncrcate, atunci

qkkqijijqp Pq M (3.27), M ij(q) este momentul de ncastrare perfect spre bar din barele i, j care s-au rotit n deplasata q.

qk - deplasrile pe direcia forelor Pk n deplasata q. n cazul n care ntr-o deplasat q nu

exist bare ncrcate care au suferit rotiri atunci, 0qpS (3.28). Dup determinarea coeficienilor i a termenilor liberi se rezolv sistemul de ecuaii de condiie, rezultnd deplasrile distincte ale nodurilor: rotirile nodurilor (y1, y2, y3) i translaiilepe direcia gradelor de libertate (ya, yb). Momentele finale din extremitile barelor (momente spre bar) se determin aplicnd principiul suprapunerii efectelor avnd n vedere c acestea sunt produse de rotirile nodurilor, de translarea pe direcia gradelor de libertate i de ncrcrile exterioare i innd seama de comportarea liniar-elastic a structurii (proporionalitatea dintre momentele din capetele barei i cauzele care le-au produs):

b

b

a

a

a

b

a

a

ykykM

ykykM

ykykykM

ykykykM

ykykM

ykykM

ykykM

ykykM

6222662

2622626

232333222323

323233222332

3533535

131311313

1411414

4111441

2

1

2

12

1

2

12

1

M

M

M

(3.29)

Diagrama de momente final se traseaz cu aceste momente. Forele tietoare din bare se obin izolnd fiecare bar n parte care se ncarc cu eventualele ncrcri pe bar i cu momentele din capetele de bar calculate mai sus, pentru care se calculeaz reaciunile, care defapt definesc forele tietoare pe bar. Forele axiale din barele structurii se obin izolnd fiecare nod ncrcat cu eventulalele fore concentrate din nod i cu forele tietoare din capetele de bar concurente n nodul respectiv i se pun condiii de echilibru:

0

0

i

i

y

x(3.30)

22

3.16 ETAPELE DE REZOLVARE A UNEI STRUCTURI PRIN METODA DEPLASRILOR FORMA ANALITIC CU NECUNOSCUTE DEPLASRILE DISTINCTE ALE NODURILOR

1. Stabilirea gradului de libertate cinematic elastic.2. Alctuirea SB geometric determinat i scrierea sistemul de ecuaii echilibru static.3. Calculul coeficienilor:

3.1 calculul coeficienilor din grupele I, II;3.2 Calculul coeficienilor din grupele III i IV;

4. Calculul termenilor liberi:4.1 calculul termenilor liberi din grupa A;4.2 Calculul termenilor liberi din grupa B.

5. Rezolvarea sistemului de ecuaii de condiie i verificarea soluiilor.6. Calculul momentelor finale din extremitile barelor (momente spre bar) i trasarea diagramei de momente.7. Calculul forelor tietoare din bare i trasarea diagramelor corespunztoare.8. Calculul forelor axiale din bare i trasarea diagramelor.9. Verificarea diagramelor finale:

9.1 Verificri statice 9.1.1 Echilibrul nodurilor;9.1.2 Verificarea prin LMV (la fel ca la metoda forelor);

9.2 Verificri elastice.Structura este corect rezolvat dac este ndeplinit condiia:

00

dxEI

MM if(3.31)

n acest scop se alctuiete un SB ca n metoda forelor i se alege necunoscuta Xi care conduce la cea mai simpl diagram iM produs de Xi = 1 pe SB static determinat, care se folosete n relaia (3.31).

3.18 APLICAIE

3.18.1 S se traseze diagramele de eforturi la cadrul static nedeterminat din fig. 3.46, utiliznd metoda deplasrilor - forma analitic.

Fig. 3.46

23

A. Stabilirea gradului de nedeterminare cinematic-elastic: mNZ - se determin numrul nodurilor rigide i semirigide (3 noduri = 2 noduri rigide +1 nod

semirigid):

7-1

3-11nod ,

8-3

2-33nod ,

6-2

4-2

3-2

2nod 3 N

OBSERVAIE: Barele dublu articulate nu se deformeaz (dac barele nu sunt ncrcate).- se introduc articulaii n reazemele rigide i n ncastrare, determinndu-se astfel blocajele de nod pe direcia transliei:

Fig. 3.47

52322

73)2311(44223

mNZ

crnm s

B. Alctuirea sistemului de baz geometric i scrierea sistemului de ecuaii:- Se introduc 3 blocaje de nod i 2 penduli pe direcia gradelor de libertate;

Fig. 3.48

- Ecuaiile impun condiia ca reaciunea moment din blocaj nod i sau reaciunea for din blocaj grad de libertate i produs de deplasarea tuturor nodurilor (rotiri i translaii) i de forele exterioare, s fie zero:

01

ipj

n

jij Sys

24

C. Calculul coeficienilor:1. calculul coeficienilor din grupele ! i ! ! : se impun succesiv rotiri egale cu 1, fiecrui nod rigid n parte, respectiv translaie pe direcia fiecrui grad de libertate n parte; se construiesc deformatele corespunztoare, punndu-se n eviden momentele din capetele de bar (spre nod i spre bar) i reaciunile din blocaje; coeficienii se determin din condiia de echilibru de momente din noduri; se opereaz cu momente spre nod;

Rotirea nodului 1 cu y1=1 (fig. 3.49):

Fig. 3.49

0

0

3

0

0

0

0

0

0

3

5,12

2

1

3

5,143

3

31

21

011

31

21

171311

3

2

1

01771

017

013

s

s

EIs

s

s

kks

M

M

M

IEkk

IEk

EIk

Rotirea nodului 2 cu y2=1 (fig. 3.50):

Fig. 3.50

032

022

12

3332

26242322

12

3

2

1

026

024

02332

023

5.0

6

0

02

1

0

0

0

0

0

3

233

3322

1

4

4

EIs

EIs

s

ks

kkks

s

M

M

M

IEk

IEk

EIkk

EIk

25

Rotirea nodului 3 cu y3=1 (fig. 3.51):

Fig. 3.51

033

023

13

383233

3223

13

3

2

1

038

03223

032

4

5.0

0

0

02

1

0

0

0

0

3

3322

1

4

4

EIs

EIs

s

kks

ks

s

M

M

M

IEk

EIkk

EIk

Deplasarea n gradul de libertate a cu ya=1 (fig. 3.52):

Fig. 3.52

03

02

01

38323

232

171

3

2

1

20

38

20

32

20

17

20

23

625.0

375.0

0

0

0

0

0

0

3

334

63

5,164

6

EIs

EIs

EIs

kks

ks

ks

M

M

M

IEk

EIk

IEk

EIk

a

a

a

a

a

a

Deplasarea n gradul de libertate b cu yb=1 (fig. 3.53):

Fig. 3.53

0

666.0

333.0

0

0

0

0

0

0

3

233

3

3

02

01

3

262

131

3

2

1

20

26

20

13

b

b

b

b

b

b

s

EIs

EIs

s

ks

ks

M

M

M

IEk

EIk

2. calculul coeficienilor din grupele III i IV:- se determin aplicnd principiul LMV;- se introduc articulaii n toate nodurile rigide i n reazemele ncastrate, impunndu-se succesiv deplasri virtuale pe direcia fiecrui grad de libertate;- se construiesc deplasatele corespunztoare a i b;

26

- se pune condiia ca LMV produs de reaciunile de pe direcia gradelor de libertate i de momentele din capetele de bar pentru fiecare aciune y = 1 s fie zero;- se opereaz cu momente spre bar.

Fig. 3.54

3

113

114

11

17

38

23

a

a

a

0

0

0

0

0

3

2

1

ab

aa

a

a

a

L

L

L

L

L

01

01

02

11

02

11

02

11

383823231717

38383232323

2323232

1717171

ab

aaaaa

aaa

aa

aa

s

kkks

kkks

kks

kks

0

187.1

625.0

375.0

0

03

02

01

ab

aa

a

a

a

s

EIs

EIs

EIs

EIs

Fig. 3.55

01

01

01

01

01

0

0

0

0

0

3

113

113

11

26261313

3

26262

13131

3

2

1

26

45

13

bbbb

ba

b

bb

bb

bb

ba

b

b

b

b

b

b

kks

s

s

ks

ks

L

L

L

L

L

0

3

02

01

333.0

0

0

667.0

333.0

EIs

s

s

EIs

EIs

bb

ba

b

b

b

27

Matricea simetric a coeficienilor este:

333.000667.0333.0

0187.1625.0375.01

0625.045.00

667.0375.05.060

333.01003

0EIsij

D. Calculul termenilor liberi:

Fig. 3.56

Grupa A:- se ncarac SB cu forele exterioare date;- se construiesc deformatele barelor ncrcate, punnd n eviden momentele de ncastrare perfect i reaciunile din blocaje;- se opereaz cu momente spre nod:

266712

266712

0

0

0

0

0

0

0

2

3

2

2

1

323

232

1

3

2

1

pS

pS

S

S

S

S

M

M

M

p

p

p

p

p

p

M-

M

Grupa B:- se obin din condiia de LMV=0 pe fiecare deplasat n parte;- se opereaz cu momente spre bar:

400002

14200010 232332 apaapap SSL MM

400001400010 bpbpbp SSLE. Alctuirea vectorului necunoscutelor i a vectorilor termenilor liberi:

b

a

i

y

y

y

y

y

y 3

2

1

4000

4000

2667

2667

0

ipS

28

F. Rezolvarea sistemului de ecuaii:

0 ipiij Sys ipiji Ssy 1

Rezult:

79,28108

81,5158

8,1936

25,2858

408,375

13

2

1

EI

y

y

y

y

y

b

a

G. Trasarea diagramelor finale de eforturi: a) Diagrama M- se determin aplicnd principiul suprapunerii efectelor, avnd n vedere c aceste momente sunt produse de deplasrile nodurilor (rotiri i translaii) i de forele exterioare;- se opereaz cu momente spre bar:

53082

17111771

aykykM , 56931311313

bykykM ,

56931711717

aykykM , 878522424 ykM , 63072622626

bykykM

24782

1232333222323

MaykykykM , 4862

1323222333232

MaykykykM ,

4863833838

aykykM

Rezult diagrama din fig. 3.57

rotiri

transalaii

29

Fig. 3.57

b) Diagrama V

Fig. 3.58

Rezult diagrama din fig. 3.59 cu nforele tietoare determinate pe fiecare bar (fig. 3.58):

Fig. 3.59

30

c) Diagrama NDin echilibrul nodurilor rezult forele axiale din bare, cu ajutorul crora se traseaz

diagrama din fig. 3.60.

Fig. 3.60a

Fig. 3.60b