bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · bazele calculului diferent,ial notit, e de...

56
Bazele calculului diferent , ial Notit , e de seminar A M Curs: Luminit , a Costache 17 ianuarie 2019

Upload: others

Post on 16-Sep-2019

31 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Bazele calculului diferent,ialNotit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: Luminit, a Costache

17 ianuarie 2019

Page 2: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Cuprins

1 Recapitulare s, iruri 3

2 Serii de numere reale 52.1 Generalitat, i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Seria geometrica s, i seria armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Serii oarecare. Aproximat, ii 113.1 Convergent, a absoluta s, i semiconvergent, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Aproximarea sumelor seriilor convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Spat, ii metrice 154.1 Not, iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Exemplu rezolvat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 S, iruri s, i serii de funct, ii 195.1 Convergent, a punctuala s, i convergent, a uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Transferul proprietat, ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Serii de funct, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4 Polinomul Taylor s, i seria Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.5 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.6 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Recapitulare part, ial 276.1 Model 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Model 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3 Model 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7 Funct, ii de mai multe variabile 29

Page 3: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

7.1 Limite s, i continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.1.1 Exercit, ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.2 Derivate part, iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8 Polinomul Taylor s, i extreme libere 378.1 Polinomul Taylor ın 2 variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.2 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.3 Exercit, ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.4 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

9 Extreme cu legaturi 419.0.1 Cazul compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10 Funct, ii implicite 4510.1 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

11 Recapitulare examen 4911.1 Model 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911.2 Model 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5011.3 Model 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Index 52

Bibliogra�e 54

1

Page 4: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

2

Page 5: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 1

RECAPITULARE S, IRURI

Exercit, ii1. Calculat, i limitele s, irurilor cu termenul general:

(a) an =n3 + 5n2 + 16n3 + n + 4

;

(b) an =n2 + 2n + 55n3 − 1

;

(c) an =√n2 + 1 + 4

√n2 + n + 1

n;

(d) an =12 + 22 + 32 +⋯ + n2

n3;

(e) an =1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 +⋯ + n(n + 1)

2n3;

(f) an =11 ⋅ 3

+13 ⋅ 5

+⋯ +1

(2n − 1)(2n + 1);

(g) an =√n2 + n + 1 − n;

(h) an = 3√n2 + 1 − 3

√n2 + n;

(i) an = (n + 12n )

3n2n2+10 ;

(j) an = lnn3 + 6n

n3 + n2 + n + 1;

(k) an =1

n2 + 1+

2n2 + 2

+⋯ +n

n2 + n;

(l) an =12+13+14+⋯ +

1n

;

(m) an = (2n + 12n − 1)

n−√n;

(n) an =ln nn

;

(o) an =ln 2 + ln 3 +⋯ + ln n

n + 1;

(p) an = (n + 5n + 2)

n;

(q) an = (n +1n)

⋅ ln(1 +n

n2 + 1);

(r) an = n√n!;

(s) an =nn√n!

;

(t) an =14+116+164+⋯ +

14n

.

3

Page 6: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

2. Sa se determine parametrii a, b ∈ ℝ astfel ıncıt:

(a) limn→∞(

n2 + n + 12n + 1

− an − b) = 1;

(b) limn→∞(

n2

n + a− n) = 1;

(c) limn→∞ (a

√n + 3 +

√n + 1) = 0.

3. Precizat, i valoarea de adevar a propozit, iilor de mai jos. In caz de adevar, justi�cat, i, ın cazde falsitate, dat, i un contraexemplu:

(a) Orice s, ir monoton este marginit.

(b) Orice s, ir marginit este monoton.

(c) Orice s, ir convergent este monoton.

(d) Orice subs, ir al unui s, ir monoton este monoton.

(e) Exista s, iruri monoton crescatoare care au cel put, in un subs, ir monoton descrescator.

(f) Suma a doua s, iruri monotone este un s, ir monoton.

(g) Diferent, a a doua s, iruri monoton crescatoare este un s, ir monoton crescator.

(h) Suma a doua s, iruri nemarginite este un s, ir nemarginit.

(i) Orice s, ir divergent este nemarginit.

(j) Orice s, ir nemarginit are limita ±∞.

(k) Produsul a doua s, iruri care nu au limita este un s, ir care nu are limita.

(l) Daca doua s, iruri sınt convergente, atunci raportul lor este un s, ir convergent.

(m) Daca patratul unui s, ir este convergent, atunci s, irul init, ial este convergent.

(n) Daca un s, ir convergent are tot, i termenii diferit, i de zero, atunci limita sa este diferita de zero.

4

Page 7: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 2

SERII DE NUMERE REALE

2.1 Generalitat, iO serie, ınt, eleasa informal ca o suma in�nita, este de�nita formal de doua elemente:

• s, irul termenilor generali;

• s, irul sumelor part, iale.

Astfel, de exemplu, daca luam seria ∑n≥0

2n

n!, avem:

• s, irul termenilor generali este xn =2n

n!;

• s, irul sumelor part, iale este sp =p

∑k=0

2k

k!.

Seria se numes, te convergenta daca s, irul sumelor part, iale este convergent, iar limita acestui s, irse numes, te suma seriei. In caz contrar, seria se numes, te divergenta, adica s, irul sumelor part, ialenu are limita sau aceasta este in�nita. Cınd vorbim despre natura seriei, ne referim daca aceastaeste convergenta sau divergenta.

Spre deosebire de cazul s, irurilor din liceu, ın cazul seriilor trebuie mai multa atent, ie cınd dis-cutam convergent, a. Aceasta deoarece seriile au o natura cumulativa, adica tot, i termenii anterioridin s, irul sumelor part, iale ıs, i aduc contribut, ia. Mai precis, avem o recurent, a de forma:

sp+1 = sp + xp+1.

De aceea, urmatoarele proprietat, i sınt speci�ce seriilor:

5

Page 8: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

(a) Daca ıntr-o serie schimbam ordinea unui numar �nit de termeni, obt, inem o serie noua, careare aceeas, i natura cu cea init, iala. Daca exista, suma seriei nu se schimba.

(b) Daca eliminam un numar �nit de termeni dintr-o serie, se obt, ine o serie noua, cu aceeas, inatura. Daca exista, suma seriei poate sa se schimbe.

(c) Daca o serie este convergenta, atunci ea are s, irul sumelor part, iale marginit.

(d) Daca o serie este convergenta, atunci s, irul termenilor sai generali tinde catre zero. Reciprocaeste, ın general, falsa (contraexemplu ∑ 1

n ).Aceasta proprietate ne permite sa formulam o condit, ie necesara de convergent, a:

(e) Daca s, irul termenilor generali ai unei serii nu este convergent catre zero, atunci seria estedivergenta.

2.2 Serii cu termeni pozitiviIn cazul seriilor care au s, irul termenilor generali alcatuit numai din numere pozitive, avem urmatoareleproprietat, i, dintre care unele rezulta prin particularizarea celor de mai sus:

(a) S, irul sumelor part, iale al unei serii cu termeni pozitivi este strict crescator.

(b) O serie cu termeni pozitivi are ıntotdeauna suma (�nita sau nu).

(c) O serie cu termeni pozitivi este convergenta daca s, i numai daca s, irul sumelor part, iale estemarginit.

(d) Criteriul de comparat, ie termen cu termen: O serie care are termeni mai mari (doi cıtedoi) decıt o serie divergenta este divergenta. O serie care are termeni mai mici (doi cıte doi)decıt o serie convergenta este convergenta.

(e) Criteriul de comparat, ie la limita, termen cu termen: Fie ∑n xn s, i ∑n yn doua serii cutermeni pozitivi. Presupunem ca xn+1

xn≤yn+1yn

. Atunci:

• Daca seria ∑n yn este convergenta, atunci s, i seria ∑ xn este convergenta;• Daca seria ∑n xn este divergenta, atunci s, i seria ∑n yn este divergenta.

(f) Criteriul de comparat, ie la limita: Fie ∑n xn s, i ∑n yn doua serii cu termeni pozitivi, astfelıncıt lim

n→∞

xnyn

= � .

• Daca 0 < � < ∞, atunci cele doua serii au aceeas, i natura;

6

Page 9: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

• Daca � = 0, iar seria ∑n yn este convergenta, atunci s, i seria ∑n xn este convergenta;• Daca � = ∞, iar seria ∑n yn este divergenta, atunci s, i seria ∑n xn este divergenta.

(g) Criteriul radical: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitiv, astfel ıncıt limn→∞

n√xn = � . Atunci:

• Daca � < 1, seria este convergenta;• Daca � > 1, seria este divergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(h) Criteriul raportului: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitivi s, i �e � = limn→∞

xn+1xn

. Atunci:

• Daca � < 1, seria este convergenta;• Daca � > 1, seria este divergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(i) Criteriul lui Raabe-Duhamel: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitivi s, i �e:

� = limn→∞

n ⋅ (xnxn+1

− 1).

Atunci:

• Daca � < 1, seria este divergenta;• Daca � > 1, seria este convergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(j) Criteriul logaritmic: Fie ∑n xn o serie cu termeni pozitivi s, i presupunem ca exista limita:

� = limn→∞

ln 1xn

ln n.

Atunci:

• Daca � < 1, seria este divergenta;• Daca � > 1, seria este convergenta;• Daca � = 1, criteriul nu decide.

(k) Criteriul integral: Fie f ∶ (0,∞) → [0,∞) o funct, ie crescatoare s, i s, irul an = ∫n

1f (t)dt .

Atunci seria ∑n f (n) este convergenta daca s, i numai daca s, irul (an) este convergent.

(l) Criteriul condensarii: Fie (xn) un s, ir astfel ıncıt xn ≥ xn+1 ≥ 0, ∀n. Atunci seriile ∑n xn s, i∑n 2nx2n au aceeas, i natura.

7

Page 10: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

2.3 Seria geometrica s, i seria armonicaDoua serii foarte importante pe care le putem folosi ın comparat, ii sınt urmatoarele.

Seria geometrica: Fie a ∈ ℝ s, i q ∈ ℝ. Consideram progresia geometrica de prim termen a s, irat, ie q, care de�nes, te seria ∑n aqn, pe care o numim seria geometrica de rat, ie q.

Suma part, iala de rang n se poate calcula cu formula cunoscuta din liceu:

Sn = a + aq +⋯ + aqn−1 =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a ⋅1 − qn

1 − q, q ≠ 1

na, q = 1

Pentru convergent, a, sa remarcam ca daca |q| < 1, atunci:

limn→∞

sn =a

1 − q,

deci seria este convergenta s, i are suma a1 − q

.Daca |q| ≥ 1, se poate veri�ca us, or, folosind criteriul necesar, ca seria geometrica este diver-

genta.Un alt exemplu important este seria armonica generalizata (Riemann), de�nita prin∑

n

1n�

,

pentru � inℝ. Se poate observa ca:

• Daca � ≤ 0, termenul general al seriei nu converge catre zero, deci seria este divergenta,conform criteriului necesar;

• Daca � > 0, termenii seriei formeaza un s, ir descrescator de numere pozitive. Seria esteconvergenta pentru � > 1 s, i divergenta pentru � ≤ 1.

In cazul particular � = 1, seria se numes, te simplu seria armonica.

2.4 Exercit, iiStudiat, i natura urmatoarelor serii cu termeni pozitivi, de�nite de s, irul termenilor generali (xn),cu:

(a) xn = (3n

3n + 1)n

(D, necesar);

(b) xn =1n!

(C, comparat, ie);

(c) xn =1

n√n + 1

(C, comparat, ie);

(d) xn =n!n2n

(C, raport);

(e) xn = n!(an)

n, a ∈ ℝ (discut, ie, raport);

8

Page 11: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

(f) xn =(n!)2

(2n)!(C, raport);

(g) xn =n!

(a + 1)(a + 2)⋯ (a + n), a > −1 (discu-

t, ie, Raabe);

(h) xn =1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1)2 ⋅ 4 ⋅ 6⋯ 2n

(D, Raabe);

(i) xn = (1 −3 ln n2n )

n(C, logaritmic);

(j) xn = (n + 13n + 1)

n(C, radacina);

(k) xn = (1ln n)

ln(ln n)(D, logaritmic);

(l) xn =1

n ln n(D, integral);

(m) xn =1

n ln2 n(C, integral);

(n) xn =n√(n + 1)(n + 2)⋯ (n + n)

n(D, necesar +

Cauchy);

(o) xn =1

7n + 3n(C, comparat, ie);

(p) xn =1

n n√n

(D, comparat, ie);

(q) xn =√n4 + 2n + 1 − n2 (D, comparat, ie);

(r) xn = n2e−√n (C, logaritmic);

(s) xn =ln nn2

(C, comparat, ie)

9

Page 12: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

10

Page 13: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 3

SERII OARECARE. APROXIMAT, II

3.1 Convergent, a absoluta s, i semiconvergent, aDaca lucram cu serii care pot avea s, i termeni negativi, studiul convergent, ei trebuie facut maiatent. Astfel, avem nevoie de urmatoarele:

De�nitie 3.1: O serie ∑n xn se numes, te alternata daca produsul xn ⋅ xn+1 < 0, pentru orice indicen ∈ ℕ.

Pentru asemenea serii, avem la dispozit, ie un singur criteriu, anume:

Teorema 3.1 (Criteriul lui Leibniz): Fie ∑n(−1)nxn o serie alternata.Daca s, irul (xn) este descrescator s, i converge catre zero, atunci seria este convergenta.

Pentru serii alternate, avem urmatoarele not, iuni suplimentare:

De�nitie 3.2: O serie ∑n xn se numes, te absolut convergenta daca seria modulelor ∑n |xn| esteconvergenta s, i semiconvergenta daca are seria modulelor divergenta.

Se poate constata imediat ca orice serie absolut convergenta este convergenta, deoarece pentruorice numar natural x , avem x ≤ |x |. In plus, daca seria init, iala este divergenta, atunci s, i seriamodulelor va � divergenta, din acelas, i motiv.

Pentru studiul convergent, ei seriilor generale, adica avınd s, i termeni pozitivi, s, i negativi, avemun criteriu important.

Teorema 3.2 (Criteriul Abel-Dirichlet): Presupunem ca seria∑n xn se poate scrie sub forma∑n �nyn,cu (�n) un s, ir monoton s, i marginit. Daca seria ∑n yn este convergenta, atunci s, i seria init, iala esteconvergenta.

Alternativ, uneori criteriul este formulat astfel: Daca (�n) este un s, ir monoton care tinde catrezero, iar s, irul cu termenul general Yn = y1+⋯+yn este marginit, atunci seria init, iala este convergenta.

11

Page 14: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

De exemplu, sa studiem seria ∑n

(−1)n

n. Fiind o serie alternata, constatam:

• Seria modulelor este ∑n

(−1)n

n, care este seria armonica, deci divergenta;

• Pentru seria init, iala, putem aplica criteriul lui Leibniz. S, irul xn =1n

este evident des-crescator catre zero, deci seria este convergenta.

Concluzia este ca seria este semiconvergenta.

3.2 Aproximarea sumelor seriilor convergentePutem calcula numeric sumele unor serii convergente, cu aproximat, ii oricıt de bune. Urmatoareledoua rezultate sınt fundamentale:

Teorema 3.3 (Aproximarea sumelor seriilor cu termeni pozitivi): Fie xn ≥ 0 s, i k ≥ 0, astfel ıncıtsa avem: xn+1

xn< k < 1, ∀n ∈ ℕ.

Daca S este suma seriei convergente ∑n xn, iar sn este suma primilor n termeni, atunci avemaproximat, ia:

|S − sn| <k

1 − kxn.

Teorema 3.4 (Aproximarea sumelor seriilor alternate): Fie ∑n(−1)nxn o serie alternata, conver-genta s, i �e S suma sa.

Daca Sn este suma primilor n termeni, atunci avem:

|S − sn| ≤ xn+1.

Cu alte cuvinte, eroarea aproximat, iei are ordinul de marime al primului termen neglijat.

3.3 Exercit, ii1. Studiat, i natura (AC/SC/D) urmatoarelor serii, de�nite de s, irul xn:

(a) xn = (−1)n;

(b) xn =(−1)n

n;

(c) xn =1

n + i;

12

Page 15: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

(d) xn =1

(n + i)√n

;

(e) xn = (−1)nloga nn

, a > 1;

(f) xn = (−1)n+12n + 13n

;

(g) xn = (−1)n+11√

n(n + 1).

2. Sa se aproximeze cu o eroare mai mica decıt " sumele seriilor de�nite de s, irul xn:

(a) xn =(−1)n

n!, " = 10−3 (n = 7);

(b) xn =(−1)n

n3√n, " = 10−2 (n = 4);

(c) xn =1

n!2n, " = 10−4;

(d) xn =(−1)n

n3√n, " = 10−2.

3. Sa se demonstreze convergent, a s, i sa se determine sumele seriilor cu termenul general datde:

(a) xn =1

(� + n)(� + n + 1);

(b) xn =1

16n2 − 8n − 3;

(c) xn = lnn + 1n

.

13

Page 16: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

14

Page 17: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 4

SPAT, II METRICE

4.1 Not, iuni teoreticeDe�nitie 4.1: Fie X o mult, ime nevida. O aplicat, ie d ∶ X ×X → ℝ se numes, te distant, a (metrica)pe X daca:

(a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ ℝ;

(b) d(x, y) = 0⇔ x = y;

(c) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;

(d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inegalitatea triunghiului).

In acest context, perechea (X, d) se numes, te spat, iu metric.

Aceasta not, iune generalizeaza calculul distant, elor cu ajutorul modulului, cum se procedeazaın cazul mult, imii numerelor reale, de exemplu. In consecint, a, avem ca (ℝ, | ⋅ |) este spat, iu metric.

Principala not, iune teoretica de interes foloses, te urmatoarea:

De�nitie 4.2: Fie (X, d) un spat, iu metric s, i �e f ∶ X → X o funct, ie.Aplicat, ia f se numes, te contract, ie pe X daca exista k ∈ [0, 1) astfel ıncıt:

d(f (x), f (y)) ≤ k ⋅ d(x, y), ∀x, y ∈ X.

Numarul k se numes, te factor de contract, ie.

Rezultatul fundamental este:

15

Page 18: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Teorema 4.1 (Banach): Fie (X, d) un spat, iu metric complet1s, i �e f ∶ X → X o contract, ie de factork. Atunci exista un unic punct � ∈ X astfel ıncıt f (� ) = � .

In acest context, � se numes, te punct �x pentru f .

Putem folosi metoda aproximat, iilor succesive pentru a gasit punctul �x al unei aplicat, ii. Seconstruies, te un s, ir recurent astfel. Fie x0 ∈ X arbitrar. De�nim s, irul xn+1 = f (xn). Se poate demon-stra ca s, irul xn este convergent, iar limita sa este punctul �x cautat. In plus, eroarea aproximat, ieicu acest s, ir este data de:

d(xn, � ) ≤kn

1 − k⋅ d(x0, x1), ∀n ∈ ℕ.

4.2 Exemplu rezolvatVom aproxima cu o eroare mai mica decıt 10−3 solut, ia reala a ecuat, iei

x3 + 4x + 1 = 0.

Solut, ie: Folosind, eventual, metode de analiza (e.g. s, irul lui Rolle), se poate arata ca ecuat, iaare o singura solut, ie reala � ∈ (0, 1). Folosim mai departe metoda aproximat, iilor succesive pentrua o gasi.

Fie X = [0, 1] s, i f ∶ X → X, f (x) =1

x2 + 4. Se vede ca, pına la o translat, ie (constanta), ecuat, ia

data este echivalenta cu f (x) = x , adica a gasi un punct �x pentru f .Spat, iul metric X este complet, ca orice subspat, iu al lui ℝ. Mai demonstram ca f este contract, ie

pe X . Derivata este:

f ′(x) =−2x

(x2 + 4)2⇒ sup

x∈X|f ′(x)| = −f ′(1) =

225

< 1.

Am obt, inut ca f este o contract, ie de factor 225.

Construim s, irul aproximat, iilor succesive. Alegem x0 = 0 (pentru simplitate) s, i:

xn+1 = f (xn) =1

x2n + 4.

Evaluarea erorii:|xn − � | <

kn

1 − k|x0 − x1| =

13(

225)

2≤ 10−3

de unde rezulta ca putem lua:� ≃ x3 = f(

1665)

≃ 0, 235.

Observatie 4.1: Alternativ, puteam lucra cu g(x) =14(1 − x3), cu x ∈ [0, 1]. Se arata ca s, i g este

o contract, ie, de factor k =34

. In acest caz, s, irul aproximat, iilor succesive converge mai ıncet s, iavem � ≃ x6.

16

Page 19: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

4.3 Exercit, ii propuseGasit, i solut, ia reala a ecuat, iilor de mai jos, cu eroarea ":

(a) x3 + 12x − 1 = 0, " = 10−3;

(b) x5 + x − 15 = 0, " = 10−3;

(c) 3x + e−x = 1, " = 10−3;

(d) x3 − x + 5 = 0, " = 10−2;

(e) x5 + 3x − 2 = 0, " = 10−3.

17

Page 20: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

18

Page 21: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 5

S, IRURI S, I SERII DE FUNCT, II

5.1 Convergent, a punctuala s, i convergent, a uniformaDe�nitie 5.1: Fie (X, d) un spat, iu metric s, i fn ∶ X → ℝ termenul general al unui s, ir de funct, ii.

Fie f ∶ X → ℝ o funct, ie arbitrara.Spunem ca s, irul (fn) converge punctual (simplu) la f daca are loc:

limn→∞

fn(x) = f (x), ∀x ∈ X.

Notam acest lucru cu fnPC←←←←←←←←←←←←←←←→ f s, i numim f limita punctuala a s, irului (fn).

Celalalt tip de convergent, a care ne va interesa este de�nit mai jos:

De�nitie 5.2: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, spunem ca s, irul (fn) este uniform convergentla f daca:

∀" > 0, ∃N" > 0 a.ı. |fn(x) − f (x)| < ", ∀n ≥ N" , ∀x ∈ X.

Vom nota aceasta situat, ie cu fnUC←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ f .

In exercit, ii se va folosi mai mult caracterizarea:

Propozitie 5.1: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, s, irul (fn) converge uniform la f daca s, i numaidaca:

limn→∞

supx∈X

|fn(x) − f (x)| = 0.

Legatura ıntre cele doua tipuri de convergent, a este data de:

Teorema 5.1: Orice s, ir de funct, ii uniform convergent pe un interval este punctual convergent peacelas, i interval.

19

Page 22: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Reciproca este falsa, dupa cum arata contraexemplul: �e [a, b] = [0, 1] s, i de�nim s, irul defunct, ii fn(x) = xn, n ≥ 1.

Pentru orice x ∈ [a, b], avem:

limn→∞

fn(x) =

{0, x ∈ [0, 1)1, x = 1

Rezulta ca fnPC←←←←←←←←←←←←←←←→ f , unde f este funct, ia de�nita pe cazuri de limita de mai sus. Dar se poate

vedea imediat calimn→∞

supx∈X

|fn(x) − f (x)| = 1 ≠ 0,

deci s, irul este doar punctual convergent, nu uniform convergent.

5.2 Transferul proprietat, ilorUnele dintre proprietat, ile funct, iilor sınt transferate de la termenii s, irurilor la funct, ia-limita, iaraltele nu, aceasta oferindu-ne uneori metode de calcul, iar alteori, metode de demonstrat, ie.

Teorema 5.2 (Transfer de continuitate): Daca fn sınt funct, ii continue, iar s, irul fn converge uniformla f , atunci funct, ia f este continua.

Rezulta de aici ca avem o metoda de a demonstra ca nu are loc continuitatea uniforma: dacafn sınt funct, ii continue, iar f , obt, inuta din convergent, a punctuala, nu este continua, rezulta ca fnnu tinde uniform la f .

Teorema 5.3 (Integrare termen cu termen): Fie fn, f ∶ [a, b] → ℝ funct, ii continue. Daca fnconverge uniform la f , atunci are loc proprietatea de integrare termen cu termen, adica:

limn→∞ ∫

b

afn(x)dx = ∫

b

af (x)dx.

Teorema 5.4 (Derivare termen cu termen): Presupunem ca funct, iile fn sınt derivabile, pentru oricen ∈ ℕ. Daca s, irul fn converge punctual la f s, i daca exista funct, ia g ∶ [a, b] → ℝ astfel ıncıt f ′nconverge uniform la g, atunci f este derivabila s, i f ′ = g.

5.3 Serii de funct, iiPentru convergent, a seriilor de funct, ii, avem un singur criteriu de utilizat:

Teorema 5.5 (Weierstrass): Daca exista un s, ir cu termeni pozitivi an astfel ıncıt |un(x)| ≤ an pentruorice x ∈ X , iar seria ∑ an converge, atunci seria ∑ un converge uniform.

20

Page 23: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Pentru proprietat, ile de transfer, avem:

Teorema 5.6: • Transfer de continuitate: Daca un sınt funct, ii continue, iar seria ∑ un convergeuniform la f , atunci funct, ia f este continua.

• Integrare termen cu termen: Daca seria ∑ un converge uniform la f , atunci f este integrabilas, i avem:

∫b

a∑nun(x)dx = ∑

n∫

b

aun(x)dx.

• Derivare termen cu termen: Presupunem ca toate funct, iile un sınt derivabile. Daca seria ∑ unconverge punctual la f s, i daca exista g ∶ [a, b]→ ℝ astfel ıncıt ∑n u′n converge uniform la g,atunci f este derivabila s, i f ′ = g.

5.4 Polinomul Taylor s, i seria TaylorOrice funct, ie cu anumite proprietat, i poate � aproximata cu un polinom:

De�nitie 5.3: Fie I ⊆ ℝ un interval deschis s, i f ∶ I → ℝ o funct, ie de clasa Cm(I ). Pentru oricea ∈ I , de�nim polinomul Taylor de gradul n ≤ m asociat funct, iei f ın punctual a prin:

Tn,f ,a(x) =n

∑k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k .

Restul (eroarea de aproximare) este de�nit prin:

Rn,f ,a = f (x) − Tn,f ,a(x).

Acest polinom poate � mai departe utilizat pentru a studia seria Taylor asociata unei funct, ii.

Teorema 5.7: Fie a < b s, i f ∈ C∞([a, b]) astfel ıncıt sa existe M > 0 cu proprietatea ca ∀n ∈ ℕ s, ix ∈ [a, b], avem |f (n)(x)| ≤ M .

Atunci pentru orice x0 ∈ (a, b), seria Taylor a lui f ın jurul punctului x0 este uniform convergentape [a, b] s, i suma ei este funct, ia f , adica avem:

f (x) = ∑n≥0

f (n)(x0)n!

(x − x0)n, ∀x ∈ [a, b].

Pentru cazul particular x0 = 0, seria se numes, te Maclaurin.

21

Page 24: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

5.5 Serii de puteriSeriile de puteri sınt un caz particular al seriilor de funct, ii, luınd doar funct, ii de tip polinomial.

De�nitie 5.4: Fie (an) un s, ir de numere reale s, i �e a ∈ ℝ.Seria ∑n≥0 an(x − a)n se numes, te seria de puteri centrata ın a, de�nita de s, irul an.

Toate rezultatele privitoare la serii de funct, ii sınt valabile s, i pentru serii de puteri. Rezultatelespeci�ce urmeaza.

Teorema 5.8 (Abel): Pentru orice serie de puteri ∑ anxn exista un numar 0 ≤ R ≤ ∞ astfel ıncıt:

• Seria este absolut convergenta pe intervalul (−R, R);

• Seria este divergenta pentru orice |x | > R;

• Seria este uniform convergenta pe [−r , r], unde 0 < r < R.

Numarul R se numes, te raza de convergent, a a seriei, iar intervalul (−R, R) se numes, te intervalulde convergent, a.

Calculul razei de convergent, a se poate face cu unul dintre urmatoarele criterii:

Teorema 5.9 (Cauchy-Hadamard): Fie ∑ anxn o serie de puteri, R raza sa de convergent, a s, i de�nim:

! = lim sup n√|an|.

Atunci:

• R = !−1 daca 0 < ! < ∞;

• R = 0 daca ! = ∞;

• R = ∞ daca ! = 0.

Teorema 5.10: Raza de convergent, a se poate calcula cu formula:

R = limn→∞

|an||an+1|

.

Observatie 5.1: Din natura seriilor de puteri, teoremele de derivare s, i integrare termen cu termensınt automate. As, adar, daca ∑ an(x − a)n este o serie de puteri iar S(x) este suma sa, atunci:

• Seria derivatelor, ∑ nan(x −a)n−1, are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala, iar sumasa este S′(x);

• Seria primitivelor, ∑ an(x − a)n+1

n + 1, are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala, iar suma

sa este o primitiva a lui S.

22

Page 25: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

5.6 Exercit, ii1. Sa se studieze convergent, a punctuala s, i uniforma a s, irurilor de funct, ii:

(a) fn ∶ (0, 1)→ ℝ, fn(x) =1

nx + 1, n ≥ 0;

(b) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = xn − x2n, n ≥ 0;

(c) fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =√x2 +

1n2, n > 0;

(d) fn ∶ [−1, 1]→ ℝ, fn(x) =x

1 + nx2;

(e) fn ∶ (−1, 1)→ ℝ, fn(x) =1 − xn

1 − x;

(f) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) =2nx

1 + n2x2;

(g) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x + n

x + n + 1;

(h) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x

1 + nx2.

2. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =1narctan xn

converge uniform pe ℝ, dar:

( limn→∞

fn(x))′

x=1≠ lim

n→∞f ′n (1).

Rezultatele difera deoarece s, irul derivatelor nu converge uniform pe ℝ.

3. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = nxe−nx2

este convergent, dar:

limn→∞ ∫

1

0fn(x)dx ≠ ∫

1

0limn→∞

fn(x)dx.

23

Page 26: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Rezultatul se explica prin faptul ca s, irul nu este uniform convergent. De exemplu, pentru xn =1n

,avem fn(xn)→ 1, dar, ın general, fn(x)→ 0.

4. Sa se dezvolte urmatoarele funct, ii ın serie Maclaurin, precizınd s, i domeniul de convergent, a:

(a) f (x) = ex ;

(b) f (x) = sin x ;

(c) f (x) = cos x ;

(d) f (x) = (1 + x)� , � ∈ ℝ;

(e) f (x) = 11 + x

;

(f) f (x) = ln(1 + x);

(g) f (x) = arctan x ;

(h) f (x) = ln(1 + 5x);

(i) f (x) = 3 ln(2 + 3x).

5. Sa se calculeze raza de convergent, a s, i mult, imea de convergent, a pentru urmatoarele seriide puteri:

(a) ∑n≥0 xn;

(b) ∑n≥1 nnxn;

(c) ∑n≥1(−1)n+1xn

n;

(d) ∑n≥1nnxn

n!;

(e) ∑(x − 1)2n

n ⋅ 9n;

(f) ∑(x + 3)n

n2.

24

Page 27: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

6. Gasit, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei:

∑n≥0(−1)n

x2n+1

2n + 1.

Indicat, ie: Se deriveaza termen cu termen s, i rezulta seria geometrica de raza −x2, careia i se poatecalcula suma, care apoi se integreaza.

7. Sa se calculeze cu o eroare mai mica decıt 10−3 integralele:

(a) ∫

12

0

sin xx

dx ;

(b) ∫

12

0

ln(1 + x)x

dx ;

(c) ∫1

0e−x

2dx .

8. Sa se calculeze polinomul Taylor de grad 3 ın jurul originii pentru funct, iile:

(a) f (x) = 3 ln(2 + x);

(b) f (x) = arctan x ;

(c) f (x) =√1 + 2x .

9. Gasit, i aproximarea liniara s, i patratica a funct, iilor:

(a) f (x) = 3√x ;

(b) f (x) = sin(cos x);

(c) f (x) = esin x ;

(d) f (x) = arcsin x .

10. Folosind seria Taylor, aproximat, i cu o eroare mai mica decıt 10−3 numerele:

(a) 3√65;

25

Page 28: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

(b) sin 32;

(c) arctan 12

;

(d) e−0,2;

(e) ln 1, 1;

(f) ln 4;

(g) ln 5.

Indicat, ie: Atent, ie la domeniile de convergent, a!

11. Sa se precizeze convergent, a seriilor de funct, ii:

(a) ∑n2√n!(xn + x−n),

12≤ x ≤ 2;

(b) ∑nx

1 + n5x2, x ∈ ℝ;

(c) ∑ arctan2x

x2 + n4, x ∈ ℝ;

(d) ∑12ncos(3nx), x ∈ ℝ;

(e) ∑(x + n)2

n4, x ∈ [1, 2];

(f) ∑ln(1 + nx)

nxn, x > 0.

26

Page 29: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 6

RECAPITULARE PART, IAL

6.1 Model 11. Decidet, i natura seriilor:

∑n≥1

1n√n, ∑

n≥1

an

n3, a > 0.

2. Sa se aproximeze solut, ia reala a ecuat, iei, cu o eroare de maxim 10−3:

x3 + 4x − 1 = 0, x ∈ ℝ.

3. Studiat, i convergent, a uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ [3,∞)→ ℝ, fn(x) =n

x(x2 + n), n ≥ 1.

4. Veri�cat, i convergent, a seriei de funct, ii:

∑n≥1

n2x1 + n3x

, x ∈ ℝ.

6.2 Model 21. Decidet, i natura seriilor:

∑2nn!nn

, ∑(√n + 1 −

√n).

27

Page 30: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

2. Calculat, i cu o eroare de maxim 10−3 solut, ia reala a ecuat, iei:

x3 + 8x − 1 = 0.

3. Studiat, i convergent, a uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ [1,∞)→ ℝ, fn(x) =√1 + nx −

√nx, n ≥ 1.

4. Veri�cat, i daca seria de funct, ii de mai jos se poate deriva termen cu termen:

∑n≥1

sin nxn3

.

6.3 Model 31. Studiat, i convergent, a seriilor:

∑n≥1(√n4 + 2n + 1 − n2), ∑

n≥1

ann!nn

, a > 0.

2. Gasit, i, cu o eroare de maxim 10−3, solut, ia reala a ecuat, iei:

x3 + 6x − 1 = 0.

3. Studiat, i convergent, a uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) =nx

1 + n2x2.

4. Studiat, i convergent, a seriei de funct, ii:

∑n≥1

ln(1 + nx)nxn

, x > 0.

28

Page 31: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 7

FUNCT, II DE MAI MULTE VARIABILE

7.1 Limite s, i continuitateIn cazul funct, iilor de mai multe variabile, atıt studiul continuitat, ii, cıt s, i al derivabilitat, ii s, i cal-culului limitelor sau derivatelor part, iale, se fac cu variabilele pe rınd, adica dınd prioritate uneiadintre ele s, i considerınd pe celelalte drept parametri.

7.1.1 Exercit, ii rezolvate1. Sa se arate, folosind de�nit, ia, ca urmatoarele funct, ii nu au limita ın origine:

(a) f (x, y) = 2xyx2+y2 , (x, y) ≠ (0, 0);

(b) f (x, y) = x2+2xy2−2x , (x, y) ≠ (0, 0).

Solut, ie: Vom folosi de�nit, ia cu s, iruri, punınd ın evident, a s, iruri de puncte, convergente catre(0, 0).

(a) Folosim s, iruri de puncte care se a�a pe drepte care trec prin origine. Aceste drepte auecuat, ii de forma y = mx . Daca funct, ia ar avea limita ın origine, ar trebui ca:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = limx→0,y=mx

2x(mx)x2 + x2m2 =

2m1 +m2 .

Cu aceasta limita depinde de s, irul folosit (de m, mai exact), rezulta ca limita nu exista, ın general.(b) Calculam, similar:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = limx→0,y=mx

m2x2 + 2xm2x2 − 2x

= −1.

29

Page 32: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Insa, daca luam y2 = px , adica (x, y)→ (0, 0) pe parabola care trece prin origine, cu p ∈ ℝ−{2},obt, inem:

limx→0,y2=px

px + 2xpx − 2x

=p + 2p − 2

.

Rezulta ca, pentru s, iruri diferite, obt, inem limite diferite, deci funct, ia nu are limita ın origine.

2. Sa se calculeze limitele:

(a) lim(x,y)→(0,0)

xy√xy + 1 − 1

;

(b) lim(x,y)→(0,2)

sin xyx

;

(c) lim(x,y)→(∞,∞)

x + yx2 + y2

.

Solut, ie: (a) Calculam direct:

lim(x,y)→(0,0)

xy√xy + 1 − 1

= limu→0

u√u + 1 − 1

= limu→0

(√u + 1 + 1)u

u= 2.

(b) Similar:lim

(x,y)→(0,2)

sin xyx

= lim(x,y)→(0,2)

sin xyxy

⋅ y = 2.

(c) Pentru x, y > 0, avem:

0 <x + yx2 + y2

=x

x2 + y2+

yx2 + y2

≤xx2+yy2.

Cum lim(x,y)→(∞,∞)(

1x+1y)

= 0, rezulta ca s, i limita init, iala este nula.

3. Sa se arate ca funct, ia:

f (x, y) =

{xy2+sin(x3+y5)

x2+y4 , (x, y) ≠ (0, 0)0, (x, y) = (0, 0)

este continua part, ial ın origine, dar nu este continua ın acest punct.

30

Page 33: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Solut, ie: Consideram variabilele separat. Funct, ia:

f (x, 0) =

{sin x3x2 , x ≠ 00, x = 0

este continua ın origine, deoarece limx→0

f (x, 0) = 0 = f (0, 0).Similar, funct, ia f (0, y) este continua ın y = 0.Dar funct, ia f (x, y) nu este continua ın origine, deoarece avem:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = limx→0,y2=px

px2 + sin(x3 + p 52x 5

2 )x2 + p2x2

= limx→0,y2=px [

p1 + p2

+sin(x3 + p 5

2x 52 )

x3 + p 52x 5

2⋅x3 + p 5

2x 52

x2 + p2x2 ]

=p

1 + p2,

care depinde de p.

4. Sa se arate ca funct, ia:

f (x, y) =

{2xyx2+y2 , (x, y) ≠ (0, 0)0, (x, y) = (0, 0)

este continua ın raport cu �ecare variabila ın parte, dar nu este continua ın raport cu ansamblulvariabilelor.

Indicat, ie: Consideram y = b, �xat. Avem f (x, b) continua. Similar, f (a, y).Pentru continuitatea globala ın origine, luam y = mx s, i obt, inem o limita care depinde de m.

5. Sa se arate ca funct, ia:

f (x, y) =

{xy+x2y ln |x+y |

x2+y2 , (x, y) ≠ (0, 0)0, (x, y) = (0, 0)

este continua part, ial ın origine, dar nu este continua ın raport cu ansamblul variabilelor ın acestpunct.

Indicat, ie: Limitele iterate ın origine sınt ambele nule, indiferent de ordine.Insa pentru x → 0 s, i y = mx , limita globala depinde de m.

31

Page 34: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

7.2 Derivate part, ialeData o funct, ie de mai multe variabile, se pot calcula derivatele part, iale ale acesteia ın funct, ie de�ecare dintre variabile, pe rınd. De exemplu, �e funct, ia:

f ∶ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = 3x sin y + ey + 4xy.

Calculam:)f)x

= 3 sin y + 4y,)f)y

= 3x cos y + ey + 4x.

Mai departe, putem calcula s, i derivatele de ordin superior, dupa regula:

)2f)x2

=))x(

)f)x)

s, i similar pentru celelalte derivate part, iale, adica )2f)y2

, )2f)x)y

, respectiv )2f)y)x

.De asemenea, pentru o funct, ie de doua variabile f = f (x, y), se de�nes, te laplacianul funct, iei

ca �ind:Δf =

)2f)x2

+)2f)y2

.

De�nit, ia se extinde natural pentru n variabile.Daca f este astfel ıncıt Δf = 0, atunci funct, ia f se numes, te armonica.In plus, data o funct, ie de doua variabile f = f (x, y), se de�nes, te diferent, iala totala df ca �ind:

df =)f)x

dx +)f)y

dy.

Similar se poate de�ni pentru funct, ii de n variabile, precum s, i diferent, iala totala de ordinul 2:

d2f =)2f)x2

dx2 +)2f)y2

+ 2)2f)x)y

dxdy.

7.3 Exercit, ii0. Calculat, i urmatoarele derivate part, iale folosind de�nit, ia:

(a) pentru f (x, y) = 3x2 − 2xy + 5y2 − 3x + 2, )f)x(1, 2);

(b) pentru f (x, y) = 5x2 + xy − 3x + 2, )f)x(−1, 1) s, i

)f)y(1, 2);

(c) pentru f (x, y) = 3x − 2y2 + 2xy + 5, )f)x(0, 1) s, i

)f)y(−1, 0).

32

Page 35: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

1. Sa se calculeze derivatele part, iale de ordinul ıntıi pentru funct, iile:

(a) f (x, y) = ex−y2 ;

(b) f (x, y) = arctan xy+ arctan

yx

;

(c) f (x, y) = ex2+y2 ;

(d) f (x, y, z) =√x2 + y2 + z2;

(e) f (x, y) = x√y .

2. Calculat, i derivatele part, iale de ordinul ıntıi pentru funct, iile compuse:

(a) f (x, y) = ln(u2 + v), u(x, y) = ex+y2 , v(x, y) = x2 + y;

(b) f (x, y) = '(2xey + 3y sin 2x);

(c) f (x, y) = '(u, v, w), unde u(x, y) = xy, v(x, y) = x2 + y2 s, i w(x, y) = 2x + 3y;

(d) f (x, y) = arctan 2uv

, unde u(x, y) = x sin y s, i v(x, y) = x cos y;

3. Sa se calculeze derivatele part, iale de ordinul ıntıi s, i al doilea pentru funct, iile:

(a) f (x, y) = ex cos y;

(b) f (x, y) = x − yx + y

, (x, y) ≠ (0, 0);

(c) f (x, y) = ln(x2 + y2), (x, y) ≠ (0, 0);

(d) f (x, y) = x3 + xy;

(e) f (x, y, z) = y sin(x + z);

(f) f (x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2), (x, y, z) ≠ (0, 0, 0).

4. Sa se calculeze derivatele part, iale ın punctele indicate:

(a) f (x, y) = 2x2 + xy, )f)x(1, 1),

)f)y(3, 2);

33

Page 36: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

(b) f (x, y) =√sin2 x + sin2 y,

)f)x(

�4, 0),

)f)y(

�4,�4)

;

(c) f (x, y) = ln(1 + x2 + y2), )f)x(1, 1),

)f)y(1, 1);

(d) f (x, y) = 3√x2y,

)f)x(−2, 2), )f

)y(−2, 2), )2f

)x)y(−2, 2);

(e) f (x, y) = xy ln x, x ≠ 0, )2f)x)y

(1, 1), )2f)y

)x(1, 1).

5. Aratat, i ca funct, iile urmatoare veri�ca ecuat, iile indicate:

(a) f (x, y) = '(yx )

,

x)f)x

+ y)f)y

= 0.

(b) f (x, y, z) = '(xy, x2 + y2 + z2),

xz)f)x

− yz)f)y

+ (y2 − x2))f)z

= 0.

(c) f (x, y) = y'(x2 − y2),1x)f)x

+1y)f)y

=1y2f (x, y);

(d) f (x, y, z) = xyzln x + x'(

xy,zx)

, pentru x > 0 s, i z ≠ 0, ecuat, ia �ind:

x)f)x

+ y)y)y

+ z)f)z

−xyz− f (x, y, z) = 0.

6. Veri�cat, i daca urmatoarele funct, ii sınt armonice:

(a) f (x, y) = ln(x2 + y2);

(b) f (x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2);

(c) f (x, y) =√x2 + y2;

34

Page 37: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

(d) f (x, y, z) =√x2 + y2 + z2;

(e) f (x, y) = (x2 + y2)−1;

(f) f (x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1.

7. Reprezentat, i gra�c domeniile date de urmatoarele (in)ecuat, ii:

(a) D1 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = x2, y2 = x};

(b) D2 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x = 2, y = x, xy = 1};

(c) D3 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 2y};

(d) D4 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ x, y ≥ 0};

(e) D5 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = 0, x + y − 6 = 0, y2 = 8x};

(f) D6 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 2x + 2y − 1}.

35

Page 38: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

36

Page 39: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 8

POLINOMUL TAYLOR S, I EXTREME LIBERE

8.1 Polinomul Taylor ın 2 variabileFie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ o funct, ie de doua variabile, de clasa C∞. Polinomul Taylor al lui f ın jurulpunctului A(x0, y0) se scrie:

T (x, y) = f (x0, y0) +11![

(x − x0))f)x A

+ (y − y0))f)y A

]+

+12![

(x − x0)2)2f)x2 A

+ 2(x − x0)(y − y0))2f)x)y A

+ (y − y0)2)2f)y2 A]

+

+13![

(x − x0)3)3f)x3 A

+ 3(x − x0)2(y − y0))3f)2x)y A

+ 3(x − x0)(y − y0)2)3f)x)2y A

+ (y − y0)3)3f)y3 A]

+ …

Gradul polinomului Taylor este dat de ordinul ultimei derivate part, iale care se calculeaza.Astfel, avem, ın particular:

T1(x, y) = f (x0, y0) +11![

(x − x0))f)x A

+ (y − y0))f)y A

]

T2(x, y) = T1(x, y) +12![

(x − x0)2)2f)x2 A

+ 2(x − x0)(y − y0))2f)x)y A

+ (y − y0)2)2f)y2 A]

.

8.2 Extreme libereFie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ o funct, ie de doua variabile. Pentru a gasi punctele de extrem ale funct, iei,parcurgem urmatoarele etape:

37

Page 40: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

(1) rezolvam sistemul de ecuat, ii dat de anularea derivatelor part, iale:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

)f)x

= 0

)f)y

= 0

Solut, iile acestui sistem se numesc puncte critice ale funct, iei.

(2) scriem matricea hessiana a funct, iei, adica:

Hf =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

)2f)x2

)2f)x)y

)2f)y)x

)2f)y2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(3) Evaluam matricea ın �ecare punct critic. Astfel, daca A(x0, y0) este punct critic, calculamHf (x0, y0);

(4) Determinam valorile proprii �1,2 ale matricei hessiene, adica radacinile polinomului caracte-ristic PM (X ) = det(M − XI2), unde M = Hf (x0, y0).

• Daca �1, �2 > 0, atunci punctul A(x0, y0) este punct de minim local;• Daca �1, �2 < 0, atunci punctul A(x0, y0) este punct de maxim local;• Daca �1 ⋅ �2 < 0, atunci punctul A(x0, y0) nu este de extrem

• Daca �1 ⋅ �2 = 0, problema necesita un studiu separat, acesta �ind un caz mai di�cil s, i pecare ıl omitem la acest curs.

(5) Se repeta procedura pentru �ecare punct critic.

Procedura de mai sus se aplica ın cazul as, a-numitelor extreme libere, adica atunci cınd dome-niul este D = ℝ2 sau un dreptunghi dat de un produs cartezian de intervale.

Pentru cazul cınd domeniul este dat de (in)ecuat, ii, procedura este diferita s, i o vom exempli�camai jos.

8.3 Exercit, ii rezolvateFie funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + y3 − 6xy.

(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte.

38

Page 41: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

(b) Pentru D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5}, determinat, i punctele de extrem s, i valorileextreme.

Solut, ie:(a) Punctele critice se determina din anularea derivatelor part, iale. Avem:

)f)x

= 3x2 − 6y,)f)y

= 3y2 − 6x.

Se obt, in A(0, 0) s, i B(2, 2).Apoi matricea hessiana:

Hf = (6x −6−6 6y)

Pentru A(0, 0), hessiana este:

Hf (A) = (0 −6−6 0 ) = M.

Polinomul caracteristic PM (X ) = det(M −XI2) = X 2 − 36⇒ �1,2 = ±6. Rezulta ca punctul A nueste de extrem.

Pentru B(2, 2), hessiana este:

Hf (B) = (12 −6−6 12) = M.

Polinomul caracteristic PM (X ) = (12 − X )2 − 36⇒ �1 = 6, �2 = 18. Cum ambele valori propriisınt pozitive, punctul B este punct de minim local.

Valoarea minima a funct, iei este f (2, 2) = −8.

(b) Problema se studiaza pe 2 cazuri: pe interiorul lui D s, i pe frontiera lui D.Pentru frontiera, avem x ≥ 0, y ≥ 0 s, i x+y = 5. Atunci putem studia funct, ia g(x) = f (x, 5−x) =

21x2 − 105x + 125, care are un punct de minim ın vırful acestei parabole. Se obt, ine f (2, 5; 2, 5) =−6, 25. De asemenea, mai avem s, i valorile f (0, 5) = 125, respectiv f (5, 0) = 125.

Apoi mai avem de studiat cazurile y = 0, x ∈ [0, 5], deci funct, ia f (x, 0) = ℎ(x), precum s, ix = 0, y ∈ [0, 5], deci funct, ia f (0, y) = j(y).

Pentru interiorul domeniului, avem:

Int(D) = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x > 0, y > 0, x + y < 5.

Putem folosi calculele din cazul anterior s, i constatam ca B(2, 2) ∈ Int(D), deci avem o valoarede minim pe interior, cu f (2, 2) = −8.

As, adar, raspunsul �nal este max f = 125 s, i min f = −8.

39

Page 42: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

8.4 Exercit, ii propuse1. Determinat, i punctele de extrem s, i valorile extreme pentru funct, iile:

(a) f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x2 + xy + y2 − 4 ln x − 10 ln y + 3;

(b) f (x, y) = 3x2 − x3 − 15x − 36y + 9, de�nita (i) pe ℝ2 s, i (ii) pe [−4, 4] × [−3, 3];

(c) f (x, y) = 4xy − x4 − y4, de�nita (i) pe ℝ2 s, i (ii) pe [−1, 2] × [0, 2];

(d) f (x, y) = x3 + 3x2y − 15x − 12y de�nita (ii) pe ℝ2 s, i (ii) pe D = {x ≥ 0, y ≥ 0, 3y + x ≤ 3};

(e) f (x, y) = xy(1 − x − y), de�nita pe [0, 1] × [0, 1];

(f) f (x, y) = x3 + 8y3 − 2xy , de�nita pe D = {x, y ≥ 0, y + 2x ≤ 2};

(g) f (x, y) = x4 + y3 − 4x3 − 3y2 + 3y, de�nita pe D = {x2 + y2 ≤ 4}.

In toate exercit, iile de mai sus este recomandabil sa reprezentat, i gra�c domeniile de de�nit, ie.

2. Fie funct, ia f (x, y) = x ln(x2 + y2). Calculat, i polinoamele Taylor de gradul 1 s, i respectiv 2,T1, T2 ın jurul punctului (1, 0).

3. Aceeas, i cerint, a pentru funct, ia f (x, y) = 3xex2+y2 s, i pentru funct, ia g(x, y) = arctan

xy

.

40

Page 43: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 9

EXTREME CU LEGATURI

In cazul ın care domeniul de de�nit, ie este speci�cat cu o ecuat, ie sau este dat de un produs deintervale, se aplica o metoda speci�ca, numita, ın general, metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Astfel, �e funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ ca mai sus, careia vrem sa ıi determinam extremele s, ipresupunem ca vrem sa o facem numai ıntr-un domeniu dat de:

D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 = 4}.

Atunci, ecuat, ia x2 + y2 = 4 se numes, te legatura s, i o scriem sub forma unei funct, ii g(x, y) =x2 + y2 − 4, pentru ca legatura sa devina g(x, y) = 0.

Cu aceasta, metoda multiplicatorilor lui Lagrange ınseamna sa alcatuim funct, ia lui Lagrange1:

F (x, y) = f (x, y) − �g(x, y), � ∈ ℝ.

Cu aceasta, singura modi�care care trebuie aplicata metodei de mai sus este ca sistemul pentrugasirea punctelor critice devine:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

fx = 0fy = 0g = 0

⟹ (x, y, �).

Pentru punctele critice, ne putem dispensa de �, iar rezolvarea funct, ioneaza ca mai devreme.

Observatie 9.1: Nu ıntotdeauna este nevoie sa ne complicam cu funct, ia lui Lagrange. Daca, deexemplu, legatura era x +y = 3, putem sa o scriem ca y = 3−x , iar funct, ia init, iala devine o funct, iede o variabila, f (x, 3 − x), careia ıi studiem extremele ca ın liceu.

1Detalii s, i explicat, ii geometrice sınt date, de exemplu, foarte clar ın aceasta lect, ie video

41

Page 44: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Observatie 9.2: Daca legaturile sınt multiple, de exemplu, g1, g2, g3,… , gk , funct, ia lui Lagrangecorespunzatoare este:

F (x, y) = f (x, y) −∑ �igi(x, y),

iar sistemul de rezolvat este dat de anularea derivatelor part, iale s, i a tuturor legaturilor.

9.0.1 Cazul compactDaca domeniul de de�nit, ie este un spat, iu compact — ceea ce, ın esent, a, pentru uzul acestui semi-nar ınseamna un produs de intervale (semi)ınchise sau legaturi date de inegalitat, i —, problema sestudiaza ın doua etape:

• In interiorul domeniului, caz ın care legatura este inexistenta;

• Pe frontiera, caz ın care legatura este data de egalitate.

De exemplu, pentru domeniile:

D1 = [3, 4] × [1, 5], D2 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 3x + 2y ≤ 2}

• Interiorul ınseamna:

– pentru D1, IntD1 = (3, 4) × (1, 5), caz ın care avem doar de veri�cat ca punctele criticese gasesc ın intervalele date;

– pentru D2, avem legatura 3x + 2y < 2, caz ın care, din nou, veri�cam daca punctelecritice satisfac inegalitatea stricta

• Frontierele ınseamna:

– pentru D1, cazurile separate x = 3, y ∈ [1, 5], apoi x = 4, y ∈ [1, 5] s, i invers;– pentru D2, legatura devine 3x + 2y = 2, pe care o putem rezolva cu Lagrange sau cu

metoda simpli�cata din observat, ia 9.1.

9.1 Exercit, ii1. Sa se determine valorile extreme ale funct, iilor f , cu legatura g ın cazurile:

(a) f (x, y) = x2 + y2 − 6x − 2y + 1, g(x, y) = x + y − 2;

(b) f (x, y) = x2 + y2 − 2y + 1, g(x, y) = x2 + y2 − 2x − 2y + 1;

(c) f (x, y) = 3x + 4y, g(x, y) = x2 + y2 + 25

42

Page 45: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

2. Sa se determine valorile extreme pentru funct, iile f , de�nite pe mult, imea D:

(a) f (x, y) = 5x2 + 4xy + 8y2, D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 1};

(b) f (x, y) = xy2(x + y − 2), D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x + y ≤ 3, x, y ≥ 0};

(c) f (x, y) = x + y1 + xy

, D = [0, 1] × [0, 1];

(d) f (x, y, z) = x2 + y2 + xz − yz, D = {(x, y, z ∈ ℝ3 ∣ x + y + z = 1, x, y, z ≥ 0}.

43

Page 46: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

44

Page 47: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 10

FUNCT, II IMPLICITE

Funct, iile implicite sınt de�nite de ecuat, ii care, ın general, nu se pot rezolva sau se rezolva foartedi�cil. De exemplu, daca avem o ecuat, ie de forma:

xy + 2x sin y = 0

s, i vrem sa exprimam de aici funct, ia y = y(x), constatam ca acest lucru nu este posibil, deoareceecuat, ia nu poate � rezolvata pentru y. Astfel, vom spune ın acest caz ca y a fost de�nita implicitde ecuat, ia de mai sus.

Trecem direct la exempli�carea not, iunilor teoretice pe exercit, ii rezolvate.

1. Funct, ia z = z(x, y) este de�nita implicit de ecuat, ia:

(y + z) sin z − y(x + z) = 0.

Calculat, i expresia:E = z sin z

)z)x

− y2)z)y

.

Solut, ie: Notam expresia implicita data cu F (x, y, z). Pentru a putea exprima z = z(x, y), decica funct, ie, este necesar ca expresia F sa depinda funct, ional de z, adica sa nu aiba pe z doar caparametru ori drept constanta. As, adar, avem o condit, ie de existent, a a funct, iei implicite z = z(x, y),anume )F

)z≠ 0.

Presupunem acum ca ne a�am ın ipoteza de mai sus, i.e. condit, ia de existent, a este satisfacuta.Atunci, pentru a exprima )z

)xs, i)z)y

, vom deriva expresia F , deoarece doar acolo apare funct, ia z.Obt, inem:

)F)x

=)z)x

sin z + (y + z) cos z)z)x

− y(1 +)z)x)

= 0

45

Page 48: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Rezulta:)z)x

=z

sin z + (y + z) cos z − y.

Similar:)F)y

= (1 +)z)y)

sin z + (y + z) cos z)z)y

− (x + z) − y)z)y

= 0.

Rezulta:)z)y

=x + z − sin z

sin z + (y + z) cos z − y.

Inlocuind ın expresia ceruta, obt, inem E = 0.

Un alt tip de exercit, iu de care sıntem interesat, i este acela al extremelor pentru funct, ii de�niteimplicit.

2. Sa se determine extremele funct, iei y = y(x), de�nita implicit de ecuat, ia:

x3 + y3 − 2xy = 0.

Solut, ie: Fie F (x, y) = x3 + y3 − 2xy , astfel ıncıt condit, ia data este F (x, y) = 0.Pentru a extrage funct, ia y = y(x), este necesar sa punem condit, ia de existent, a:

)F)y

≠ 0⇒ 3y2 − 2x ≠ 0.

Acum, s, tiind ca avem funct, ia y = y(x), extremele acesteia se determina folosind derivatay′(x), pe care nu o putem obt, ine altfel decıt prin intermediul funct, iei F . Avem, as, adar:

)F)x

= 3x2 − 3y2y′ − 2y − 2xy′ = 0.

Obt, inem de aici:y′(x) =

2y − 3x2

3y2 − 2x.

Pentru extreme, avem condit, iile:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y′(x) = 0F (x, y) = 0)F)y

≠ 0

Rezulta y = 3x2

2s, i ınlocuim, obt, inınd perechea de solut, ii:

(x, y) = (2 3√33,2 3√43 ).

46

Page 49: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Pentru a decide natura punctului de mai sus, este necesar sa calculam y′′, care se obt, inederivınd din nou expresia pentru y′(x). Avem:

y′′(x) =(2y′ − 6x)(3y2 − 2x) − (6yy′ − 2)(2y − 3x2)

(3y2 − 2x)2.

Evaluınd pentru x = 23√23

, unde y′ = 0, gasim:

y′′(2 3√24 ) = −3 < 0,

deci punctul este de maxim local.

10.1 Exercit, ii propuse1. Fie funct, ia z = z(x, y), de�nita implicit prin:

g(y2 − x2, z − xy) = 0,

unde g ∈ C1(ℝ2). Calculat, i expresia:

E = y)z)x

+ x)z)y

.

2. Sa se determine extremele funct, iei y = y(x), de�nita implicit de ecuat, iile:

(a) x3 + y3 − 3x2y − 3 = 0;

(b) 2x2y + y2 − 4x − 3 = 0;

(c) (x2 + y2)2 = x2 − y2;

(d) x2 − 2xy + 5y2 − 2x + 4y = −1;

(e) x2 + y2 − e2 arctanxy = 0.

3. Fie funct, ia z = z(x, y), de�nita implicit de ecuat, ia:

F (x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 − 4z = 12.

Sa se calculeze derivatele part, iale de ordinul ıntıi s, i al doilea pentru funct, ia z.

47

Page 50: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

48

Page 51: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

SEMINAR 11

RECAPITULARE EXAMEN

11.1 Model 11. Studiat, i continuitatea ın origine a funct, iei:

f (x, y) =

{ x2+y2√x2+y2+1−1

, (x, y) ≠ (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

2. Calculat, i, cu o eroare de maxim 10−3 integrala:

12

0

1 − cos xx

dx.

3. Sa se arate ca funct, ia f (x, y) = xg(x2 − y2) veri�ca ecuat, ia:

xy)f)x

+ x2)f)y

= y ⋅ f .

4. Sa se determine punctele de extrem pentru funct, ia f de�nita pe mult, imea K :

f (x, y) = xy2(x + y − 2), K = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x + y ≤ 3, x, y ≥ 0}.

49

Page 52: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

5. Sa se dezvolte ın jurul punctului x0 = 0 funct, ia f (x) = ln(3 + 5x)2. Gasit, i domeniul deconvergent, a al dezvoltarii.

11.2 Model 21. Studiat, i continuitatea funct, iei:

f (x, y) =

{x+yx2+y2 , (x, y) ≠ (0, 0)0, (x, y) = (0, 0)

.

2. Sa se calculeze, cu o eroare de 10−3, integrala:

13

0

1 − ex2

x2dx.

3. Aratat, i ca funct, ia f (x, y) = y ⋅ sin(x2 − y2) veri�ca egalitatea:

1x⋅)f)x

+1y⋅)f)y

=1y2

⋅ f .

4. Determinat, i minimul s, i maximul funct, iei f ∶ ℝ2 → ℝ2, f (x, y) = xy pe mult, imea {(x, y) ∈ℝ2 ∣ x2 + 2y2 ≤ 1}.

5. Sa se dezvolte ın serie Taylor ın jurul x0 = 0 funct, ia:

f (x) = ln(2 + 3x).

Gasit, i domeniul de convergent, a al dezvoltarii.

11.3 Model 31. Studiat, i continuitatea funct, iei:

f (x, y) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2yx2 + y2

, (x, y) ≠ (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

50

Page 53: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

2. Calculat, i, cu o eroare de maxim 10−3, numarul 4√10004.

3. Determinat, i valorile extreme pentru funct, ia:

f ∶ [0, 1] × [0, 1]→ ℝ, f (x, y) =x + y1 + xy

.

4. Sa se arate ca funct, ia:f (x, y, z) = '(x − yz, y2 + z2)

satisface ecuat, ia:(z2 − y2)

)f)x

+ z)f)y

− y)f)z

= 0.

5. Veri�cat, i daca funct, ia f (x, y) =1

x2 + y2este armonica.

51

Page 54: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

52

Page 55: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

INDEX

Symbolss, iruri

convergente, 3limite, 3

s, iruri funct, iiconvergent, a

punctuala, 19uniforma, 19

derivare termen cu termen, 20integrare termen cu termen, 20transfer de continuitate, 20

Ffunct, ii

armonice, 32implicite, 45Lagrange, 41laplacian, 32multiplicator Lagrange, 41

Sserii

s, irul sumelor part, iale, 5s, irul termenilor generali, 5absolut convergente, 11alternate, 11convergente, 5

criteriuAbel-Dirichlet, 11comparat, ie la limita, 7comparat, ie la limita termen cu

termen, 6comparat, ie termen cu termen, 6integral, 7Leibniz, 11logaritmic, 7necesar, 6Raabe-Duhamel, 7radical, 7raport, 7

divergente, 5funct, ii

Weierstrass, 20Maclaurin, 21polinom Taylor, 21puteri, 22

Abel, 22Cauchy-Hadamard, 22raport, 22

semiconvergente, 11seria armonica, 8seria geometrica, 8suma seriei, 5

53

Page 56: Bazele calculului diferential - adrianmanea.xyz · Bazele calculului diferent,ial Notit, e de seminar Adrian Manea Curs: Luminit, a Costache 17 ianuarie 2019

Taylor, 21spat, iu metric, 15

contract, ie, 15teorema Banach, 16

54