curs 1 - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~todeacos/curs1.pdf · bibliogra e: 1) v. mihe˘san,...
TRANSCRIPT
CURS 1: Metoda lui Gauss pentru sisteme.Recapitulare (determinanti si matrici).
Conf. dr. Constantin-Cosmin Todea
Cluj-Napoca
Bibliografie:1) V. Mihesan, Geometrie analitica si diferentiala, Ed.Mediamira 2011;2) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica, Ed. Mega2012;3) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica-Probleme siseminarii, Ed. Mega 2012;4) Cursurile si seminariile scrise (de fiecare
-individual!):http://users.utcluj.ro/∼todeacos/Teaching.html
Prescurtari:T.A.=Tema acasa; Thm=Teorema; Defn=Definitie;Pb=Problema; s.n.= se numeste;pt=pentru; Prop= Propozitie; Ex=Exemplu; Exc=Exercitiu;R=Raspuns.
Bibliografie:1) V. Mihesan, Geometrie analitica si diferentiala, Ed.Mediamira 2011;2) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica, Ed. Mega2012;3) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica-Probleme siseminarii, Ed. Mega 2012;4) Cursurile si seminariile scrise (de fiecare
-individual!):http://users.utcluj.ro/∼todeacos/Teaching.html
Prescurtari:T.A.=Tema acasa; Thm=Teorema; Defn=Definitie;Pb=Problema; s.n.= se numeste;pt=pentru; Prop= Propozitie; Ex=Exemplu; Exc=Exercitiu;R=Raspuns.
Bibliografie:1) V. Mihesan, Geometrie analitica si diferentiala, Ed.Mediamira 2011;2) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica, Ed. Mega2012;3) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica-Probleme siseminarii, Ed. Mega 2012;4) Cursurile si seminariile scrise (de fiecare-individual!):http://users.utcluj.ro/∼todeacos/Teaching.html
Prescurtari:T.A.=Tema acasa; Thm=Teorema; Defn=Definitie;Pb=Problema; s.n.= se numeste;pt=pentru; Prop= Propozitie; Ex=Exemplu; Exc=Exercitiu;R=Raspuns.
Bibliografie:1) V. Mihesan, Geometrie analitica si diferentiala, Ed.Mediamira 2011;2) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica, Ed. Mega2012;3) V. Pop, Algebra linara si Geometrie analitica-Probleme siseminarii, Ed. Mega 2012;4) Cursurile si seminariile scrise (de fiecare-individual!):http://users.utcluj.ro/∼todeacos/Teaching.html
Prescurtari:T.A.=Tema acasa; Thm=Teorema; Defn=Definitie;Pb=Problema; s.n.= se numeste;pt=pentru; Prop= Propozitie; Ex=Exemplu; Exc=Exercitiu;R=Raspuns.
SEMINAR:-se pune PREZENTA +ACTIVITATEA= BONUS (pecare ıl da seminaristul) adaugat la nota de la examenul scris, poatefi ıntre 1-2 puncte;
EXAMEN SCRIS: 3 PROBLEME (tip seminar sau curs)+ 1subiect TEORIE DIN CURS.
SEMINAR:-se pune PREZENTA +ACTIVITATEA= BONUS (pecare ıl da seminaristul) adaugat la nota de la examenul scris, poatefi ıntre 1-2 puncte;
EXAMEN SCRIS: 3 PROBLEME (tip seminar sau curs)+ 1subiect TEORIE DIN CURS.
Sisteme ecuatii liniare (m ecuatii cu n necunoscute,m, n ∈ N,m 6= 0, n 6= 0.)
Ex: I) -desenul urmator poate reprezenta un sistem de ”barne” dinconstructia unui pod;
Sisteme ecuatii liniare (m ecuatii cu n necunoscute,m, n ∈ N,m 6= 0, n 6= 0.)
Ex: I) -desenul urmator poate reprezenta un sistem de ”barne” dinconstructia unui pod;
obiectivul este sa determinam fortele (care pot fi de tensiunesau de compresie), situate pe ”barne” a.ı. sistemul nostru de”barne” sa fie ın echilibru;
exista anumite ecuatii forta-balanta ın fiecare nod, care nedau urmatorul sistem de 12 ecuatii cu 12 necunoscute:
obiectivul este sa determinam fortele (care pot fi de tensiunesau de compresie), situate pe ”barne” a.ı. sistemul nostru de”barne” sa fie ın echilibru;exista anumite ecuatii forta-balanta ın fiecare nod, care nedau urmatorul sistem de 12 ecuatii cu 12 necunoscute:
rezolvam asemenea sisteme ”gigantice” cu calculatorul ınMATLAB, etc.
forma matriciala a sistemului anterior este
rezolvam asemenea sisteme ”gigantice” cu calculatorul ınMATLAB, etc.forma matriciala a sistemului anterior este
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
III)
{x1 − 2x2 = 1x1 + 2x2 − 5x3 = −1
2
In general: a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2. . .
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
este un sistem de m ecuatii cu necunoscutele x1, . . . , xn.
Matricea atasata A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . .
am1 am2 . . . amn
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
III)
{x1 − 2x2 = 1x1 + 2x2 − 5x3 = −1
2
In general: a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2. . .
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
este un sistem de m ecuatii cu necunoscutele x1, . . . , xn.
Matricea atasata A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . .
am1 am2 . . . amn
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
III)
{x1 − 2x2 = 1x1 + 2x2 − 5x3 = −1
2
In general: a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2. . .
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
este un sistem de m ecuatii cu necunoscutele x1, . . . , xn.
Matricea atasata A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . .
am1 am2 . . . amn
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
III)
{x1 − 2x2 = 1x1 + 2x2 − 5x3 = −1
2
In general: a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2. . .
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
este un sistem de m ecuatii cu necunoscutele x1, . . . , xn.
Matricea atasata A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . .
am1 am2 . . . amn
Coloana necunoscutelor X =
x1x2. . .
xn
si coloana termenilor
liberi B =
b1b2. . .
bm
,
iar forma matriciala devine
A · X = B
Metode de rezolvare:-Thm Kronecker-Capelli : Sistemul este compatibil daca si numaidaca rang(A) este egal cu rang(A) (matrice extinsa A = [A|B]).
Coloana necunoscutelor X =
x1x2. . .
xn
si coloana termenilor
liberi B =
b1b2. . .
bm
,iar forma matriciala devine
A · X = B
Metode de rezolvare:-Thm Kronecker-Capelli : Sistemul este compatibil daca si numaidaca rang(A) este egal cu rang(A) (matrice extinsa A = [A|B]).
Coloana necunoscutelor X =
x1x2. . .
xn
si coloana termenilor
liberi B =
b1b2. . .
bm
,iar forma matriciala devine
A · X = B
Metode de rezolvare:
-Thm Kronecker-Capelli : Sistemul este compatibil daca si numaidaca rang(A) este egal cu rang(A) (matrice extinsa A = [A|B]).
Coloana necunoscutelor X =
x1x2. . .
xn
si coloana termenilor
liberi B =
b1b2. . .
bm
,iar forma matriciala devine
A · X = B
Metode de rezolvare:-Thm Kronecker-Capelli : Sistemul este compatibil daca si numaidaca rang(A) este egal cu rang(A) (matrice extinsa A = [A|B]).
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:
-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;
-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;
-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex.,
daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;
(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;
(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Metoda lui Gauss (de eliminare):
scriem matricea extinsa Aa11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2. . . . . . . . . . . . | . . .
am1 am2 · · · amn | bm
operam transformari elementare pe linii, adica:-schimbam 2 linii ıntre ele;-adunam 2 linii ıntre ele;-ınmultim o linie cu un numar real;
repetam, pana ajungem la forma esalon a matricii A;
rescriem sistemul din forma esalon si rezolvam;
de ex., daca din forma esalon obtinem ultima ecuatie deforma:(?) 2xn = 5, (m = n)⇒ s. c. determinat;(?) 0 = −1⇒ s. incompatibil ;(?) 0 = 0⇒ s.c. nedeterminat.
Ex: I)-prea complicat
II) Sistemul
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
are matricea A |1 2 3 | 10 |1 5 | 00 0 |2 | 2
care este ın forma esalon.III) [
|1 −2 0 | 11 |2 −5 | −1
2
]NU e forma esalon!
Ex: I)-prea complicatII) Sistemul
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
are matricea A
|1 2 3 | 10 |1 5 | 00 0 |2 | 2
care este ın forma esalon.III) [
|1 −2 0 | 11 |2 −5 | −1
2
]NU e forma esalon!
Ex: I)-prea complicatII) Sistemul
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
are matricea A |1 2 3 | 10 |1 5 | 00 0 |2 | 2
care este ın forma esalon.III) [
|1 −2 0 | 11 |2 −5 | −1
2
]NU e forma esalon!
Ex: I)-prea complicatII) Sistemul
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
are matricea A |1 2 3 | 10 |1 5 | 00 0 |2 | 2
care este ın forma esalon.III) [
|1 −2 0 | 11 |2 −5 | −1
2
]
NU e forma esalon!
Ex: I)-prea complicatII) Sistemul
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
are matricea A |1 2 3 | 10 |1 5 | 00 0 |2 | 2
care este ın forma esalon.III) [
|1 −2 0 | 11 |2 −5 | −1
2
]NU e forma esalon!
Ex: I)-prea complicatII) Sistemul
II)
x + 2y + 3z = 1y + 5z = 02z = 2
are matricea A |1 2 3 | 10 |1 5 | 00 0 |2 | 2
care este ın forma esalon.III) [
|1 −2 0 | 11 |2 −5 | −1
2
]NU e forma esalon!
IV) |2 3 9 −1 | 70 |1 5 −3 | 00 0 0 |5 | 10 0 0 0 | 0
Defn: O matrice este ın forma esalon daca:
toate liniile nenule (linii cu cel putin un element nenul) suntdeasupra liniilor nule (linii cu toate elementele nule);
pivotul unei linii nenule (pivot=primul numar nenul citit de lastanga spre dreapta) este ıntotdeauna strict la dreaptapivotului liniei de deasupra.
Obs:Pentru a rezolva rapid sistemele compatibil nedeterminate cuMetoda lui Gauss este recomandat sa stapanim foarte bine siMetoda din liceu (cu determinantul principal si determinantiicaracteristici) provenita din Thm Kronecker-Capelli.
IV) |2 3 9 −1 | 70 |1 5 −3 | 00 0 0 |5 | 10 0 0 0 | 0
Defn: O matrice este ın forma esalon daca:
toate liniile nenule (linii cu cel putin un element nenul) suntdeasupra liniilor nule (linii cu toate elementele nule);
pivotul unei linii nenule (pivot=primul numar nenul citit de lastanga spre dreapta) este ıntotdeauna strict la dreaptapivotului liniei de deasupra.
Obs:Pentru a rezolva rapid sistemele compatibil nedeterminate cuMetoda lui Gauss este recomandat sa stapanim foarte bine siMetoda din liceu (cu determinantul principal si determinantiicaracteristici) provenita din Thm Kronecker-Capelli.
IV) |2 3 9 −1 | 70 |1 5 −3 | 00 0 0 |5 | 10 0 0 0 | 0
Defn: O matrice este ın forma esalon daca:
toate liniile nenule (linii cu cel putin un element nenul) suntdeasupra liniilor nule (linii cu toate elementele nule);
pivotul unei linii nenule (pivot=primul numar nenul citit de lastanga spre dreapta) este ıntotdeauna strict la dreaptapivotului liniei de deasupra.
Obs:
Pentru a rezolva rapid sistemele compatibil nedeterminate cuMetoda lui Gauss este recomandat sa stapanim foarte bine siMetoda din liceu (cu determinantul principal si determinantiicaracteristici) provenita din Thm Kronecker-Capelli.
IV) |2 3 9 −1 | 70 |1 5 −3 | 00 0 0 |5 | 10 0 0 0 | 0
Defn: O matrice este ın forma esalon daca:
toate liniile nenule (linii cu cel putin un element nenul) suntdeasupra liniilor nule (linii cu toate elementele nule);
pivotul unei linii nenule (pivot=primul numar nenul citit de lastanga spre dreapta) este ıntotdeauna strict la dreaptapivotului liniei de deasupra.
Obs:Pentru a rezolva rapid sistemele compatibil nedeterminate cuMetoda lui Gauss este recomandat sa stapanim foarte bine siMetoda din liceu (cu determinantul principal si determinantiicaracteristici) provenita din Thm Kronecker-Capelli.