Adriana-Ioana Lefter

MATEMATICA (ALGEBRA SI ECUATIIDIFERENTIALE)

Anul I, Facultatea de ChimieNote de curs

Cuprins

Partea 1. ALGEBRA 1

Capitolul 1. Matrice si determinanti 31.1. Corpuri 31.2. Matrice 41.3. Determinanti 81.4. Rangul unei matrice 141.5. Matrice inversabile 16

Capitolul 2. Sisteme de ecuatii algebrice liniare 192.1. Introducere 192.2. Regula lui Cramer 202.3. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare generale 222.4. Sisteme de ecuatii liniare omogene 25

Capitolul 3. Spatii liniare 273.1. Notiuni introductive 273.2. Subspatii liniare 303.3. Baze ın spatii liniare. Dimensiunea unui spatiu liniar 313.4. Schimbari de baze 363.5. Operatori liniari 393.6. Matricea asociata unui operator liniar pe spatii liniare finit

dimensionale 433.7. Vectori proprii si valori proprii pentru un operator liniar 45

Partea 2. ECUATII DIFERENTIALE 51

Capitolul 4. Ecuatii diferentiale de ordinul ıntai 534.1. Ecuatii diferentiale - introducere 534.2. Ecuatii cu variabile separabile 574.3. Ecuatii liniare de ordinul ıntai 594.4. Ecuatii cu diferentiale exacte 61

Capitolul 5. Modele matematice descrise de ecuatii diferentiale 635.1. Racirea (ıncalzirea) corpurilor 635.2. Dezintegrarea unei substante radioactive 675.3. Modelarea matematica a unor reactii chimice 685.4. Un sistem biologic bicompartimental 68

iii

iv CUPRINS

Capitolul 6. Existenta si unicitatea solutiilor pentru problemaCauchy 71

6.1. Teorema de existenta si unicitate a lui Picard pentru ecuatiidiferentiale de ordinul ıntai scalare 71

6.2. Teorema de existenta si unicitate a lui Picard pentru sistemediferentiale de ordinul ıntai 76

6.3. Teorema de existenta si unicitate a lui Picard pentru ecuatiidiferentiale de ordin superior 79

Capitolul 7. Sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordinul ıntai 837.1. Sisteme diferentiale liniare omogene. Spatiul solutiilor 847.2. Sisteme liniare neomogene. Formula variatiei constantelor 897.3. Ecuatii diferentiale de ordinul n liniare 927.4. Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti 97

Derivate si integrale pentru functii de o variabila 105Derivate pentru functii de o singura variabila 105Integrale 107

Bibliografie 111

Partea 1

ALGEBRA

CAPITOLUL 1

Matrice si determinanti

Doua notiuni pe care le vom ıntalni foarte des pe parcursul cursului suntcele de corp si matrice.

1.1. Corpuri

Definitia 1.1.1. Se numeste corp un triplet (K,+, ·) format dintr-omultime K 6= ∅ si doua operatii interne pe K,

+ : K ×K → K (numita adunare)(x, y)→ x+ y, ∀x, y ∈ K ·

· : K ×K → K (numita ınmultire)(x, y)→ x · y =not xy, ∀x, y ∈ K

care satisfac urmatoarele conditii:i) (x+ y) + z = x+ (y + z), ∀x, y, z ∈ K (asociativitatea adunarii);ii) ∃0 ∈ K astfel ıncat x+ 0 = 0 +x = x, ∀x ∈ K (0 element neutru pentruadunare);iii) ∀x ∈ K ∃−x ∈ K (numit opusul lui x) astfel ıncat x+(−x) = (−x)+x =0;iv) x+ y = y + x, ∀x, y ∈ K (comutativitatea adunarii);v) (xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ K (asociativitatea ınmultirii);vi) ∃1 ∈ K \ 0 astfel ıncat x · 1 = 1 · x = x, ∀x ∈ K (1 element neutrupentru ınmultire);vii) ∀x ∈ K \ 0 ∃x−1 ∈ K \ 0 (numit inversul lui x) astfel ıncat xx−1 =x−1x = 1;viii) x(y+z) = xy+xz, ∀x, y, z ∈ K (distributivitatea la stanga a ınmultiriifata de adunare);ix) (y+ z)x = yx+ zx, ∀x, y, z ∈ K (distributivitatea la dreapta a ınmultiriifata de adunare).

Observatia 1.1.1.

(1) Conditiile i)− iv) spun ca (K,+) este grup comutativ (abelian).(2) Conditia vi) implica 1 6= 0.

3

(3) Pentru inversul unui element x ∈ K \ 0 se mai foloseste notatia1

x. Daca x ∈ K, y ∈ K \ 0, atunci elementul xy−1 ∈ K se mai

noteaza cux

y.

(4) Din conditiile v)− vii) rezulta ca (K \ 0, ·) este grup.

Definitia 1.1.2. Un corp (K,+, ·) pentru care ınmultirea este comuta-tiva (adica xy = yx, ∀x, y ∈ K) se numeste corp comutativ.

Exemplul 1.1.1.

(1) Multimile Q, R, C sunt corpuri comutative ın raport cu operatiileuzuale de adunare si ınmultire.

(2) (Z,+, ·) nu este corp, deoarece nu are loc conditia vii) din definitiacorpului.

(3) (N,+) nu este nici macar grup ( nu este verificata iii) !).

Propozitia 1.1.1. (1)

(2) Intr-un corp K nu exista divizori ai lui 0, adica ∀x, y ∈ K, cux 6= 0, y 6= 0, rezulta xy 6= 0 (altfel spus, xy = 0 implica x = 0 sauy = 0).

(3) In orice corp K se pot simplifica elementele nenule:

∀x, y, z ∈ K, x 6= 0, xy = xz implica y = z si yx = zx implica y = z.

1.2. Matrice

1.2.1. Definitii si notatii.

Definitia 1.2.1. Fie m,n ∈ N∗. Se numeste matrice de tip m × n (detip (m,n)) peste corpul comutativ K o functie

A : 1, 2, . . . ,m × 1, 2, . . . , n → K.

Observatia 1.2.1. K poate fi si un inel comutativ unitar, cu 1 6= 0(adica verifica toate conditiile din definitia unui corp comutativ, mai putinvii)).

Daca notam A(i, j) = aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, vom putea scriefunctia A sub forma unui tablou cu m linii si n coloane ce cuprinde valorilesale:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

am1 am2 . . . amn

.

De aceea A se mai numeste matrice cu m linii si n coloane cu coeficienti ınK. Numerele aij se numesc elementele matricei A; o matrice de tip m × nare mn elemente.

4

O matrice pentru care m = n se numeste matrice patratica de ordin n. Incazul unei matrice patratice, sistemul ordonat de elemente (a11, a22, . . . , ann)se numeste diagonala principala a matricei, iar sistemul ordonat de elemente(a1n, a2n−1, . . . , an1) se numeste diagonala secundara a matricei.

Matricele se noteaza cu litere mari din alfabetul latin: A, B, C,. . . .Pentru a pune ın evidenta elementele unei matrice, se folosesc notatiile:(aij) 1 ≤ i ≤ m

1 ≤ j ≤ n

, (aij)m×n.

Multimea matricelor de tip m × n peste K se noteaza Mm,n(K).Seobserva ca Mm,n(Q) ⊂Mm,n(R) ⊂Mm,n(C).

Daca m = n, Mn,n(K) =notMn(K).Matricele dinM1,n(K), n ∈ N se numesc matrice linie (sau vectori linie)

de dimensiune n si arata astfel:

A = (a11, a12, . . . , a1n) =not (a1, a2, . . . , an).

Matricele din Mm,1(K), m ∈ N se numesc matrice coloana (sau vectoricoloana) de dimensiune m si arata astfel:

B =

b11

b21...bm1

=not

b1b2...bm

.

Observatia 1.2.2. Conform definitiei egalitatii functiilor, doua matriceA = (aij)m×n ∈ Mm,n(K), B = (bkl)p×q ∈ Mp,q(K) sunt egale daca sinumai daca sunt de acelasi tip (m = p si n = q) si aij = bij pentru orice1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Matricea

Om×n =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...0 0 . . . 0

∈Mm,n(K)

se numeste matricea nula (zero) de tip m× n.Matricea patratica

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...0 0 . . . 1

∈Mn(K)

se numeste matricea unitate (sau identitate) de ordin n. Daca ordinul n estesubınteles, aceasta matrice se poate nota si I.

5

1.2.2. Operatii cu matrice.

Definitia 1.2.2. Fie A,B ∈ Mm,n(K), A = (aij)m×n, B = (bij)m×n.Prin suma matricelor A si B ıntelegem matricea C =not A+B ∈Mm,n(K),C = (cij)m×n, unde cij = aij + bij, ∀1 ≤ i ≤ m, ∀1 ≤ j ≤ n.

Operatia ”+“ se numeste adunarea matricelor.

Definitia 1.2.3. Data A ∈ Mm,n(K), A = (aij)m×n, notam −A =(−aij)m×n si o numim opusa matricei A.

Definitia 1.2.4. Date A ∈Mm,n(K), A = (aij)m×n si λ ∈ K, matriceaλA = (λaij)m×n este numita produsul matricei A cu scalarul λ.

Definitia 1.2.5. Fie A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), A = (aij)m×n,B = (bjk)n×p. Se numeste produsul matricelor A si B (ın aceasta ordine!)matricea C =not A · B = AB ∈ Mm,p(K), C = (cik)m×p, unde cik =n∑j=1

aijbjk, ∀1 ≤ i ≤ m, ∀1 ≤ k ≤ p.

Operatia ”·“ se numeste ınmultirea matricelor.

Exemplul 1.2.1.

Fie A =

(−1 0 13 2 −2

)2×3

, B =

(−3 4 −55 −6 3

)2×3

. Atunci

A+B =

(−1− 3 0 + 4 1− 53 + 5 2− 6 −2 + 3

)2×3

=

(−4 4 −48 −4 1

)2×3

.

Exemplul 1.2.2.

Fie A =

(−1 0 13 2 −2

)2×3

. Atunci −A =

(1 0 −1−3 −2 2

)2×3

.

Exemplul 1.2.3.

Fie A =

(−1 0 13 2 −2

)∈M2,3(R), λ = 2 ∈ R. Atunci

2A =

(2 · (−1) 2 · 0 2 · 1

2 · 3 2 · 2 2 · (−2)

)=

(−2 0 26 4 −4

)∈M2,3(R).

Exemplul 1.2.4.

Fie A =

(−1 0 13 2 5

)2×3

, B =

6 8 45 7 91 −3 2

3×3

. Atunci AB =

=

−1 · 6 + 0 · 5 + 1 · 1 −1 · 8 + 0 · 7 + 1 · (−3) −1 · 4 + 0 · 9 + 1 · 23 · 6 + 2 · 5 + 5 · 1 3 · 8 + 2 · 7 + 5 · (−3) 3 · 4 + 2 · 9 + 5 · 2

=

−5 −11 −233 23 40

2×3

.

Inmultirea BA nu se poate efectua.

6

Propozitia 1.2.1. Fie K un corp comutativ.

(1) Adunarea matricelor cu coeficienti ın K este asociativa si comuta-tiva, adica:

∀m,n ∈ N∗, ∀A,B,C ∈Mm,n(K), (A+B) + C = A+ (B + C)

si, respectiv, A+B = B +A.

(2) Inmultirea matricelor peste K este asociativa:

∀m,n, p, q ∈ N∗, ∀A ∈Mm,n(K), B ∈Mn,p(K), C ∈Mp,q(K),

(AB)C = A(BC).

(3) Inmultirea matricelor este distributiva fata de adunare:

∀m,n, p ∈ N∗, ∀A, A ∈Mm,n(K), B, B ∈Mn,p(K),

A(B + B) = AB +AB si (A+ A)B = AB + AB.

(4) Inmultirea matricelor cu scalari are urmatoarele proprietati:

∀λ, µ ∈ K, ∀A, A ∈Mm,n(K), ∀B ∈Mn,p(K),

λ(A+ A) = λA+ λA;(λ+ µ)A = λA+ µA;(λµ)A = λ(µA);1A = A;λ(AB) = (λA)B = A(λB).

Demonstratie. Intrucat operatiile se efectueaza element cu element, pro-prietatile revin la proprietatile operatiilor cu elemente din corpul K.

Observatia 1.2.3. Inmultirea matricelor nu este, ın general, comuta-tiva!

In primul rand, pentru ca produsele de matrice AB si BA sa existesimultan, trebuie ca A si B sa fie matrice patratice de acelasi ordin. Chiarsi ın acest caz, exista perechi de matrice A,B pentru care AB 6= BA.

De exemplu,(1 00 0

)(0 01 0

)=

(0 00 0

), ın timp ce(

0 01 0

)(1 00 0

)=

(0 01 0

).

Corolar 1.2.1. Fie K un corp comutativ si m,n ∈Mm,n(K).

(1) (Mm,n(K),+) este grup abelian (comutativ).(2) (Mn(K),+, ·) este inel unitar (adica are toate proprietatile din

definitia 1.1.1 a corpului, mai putin vii)).

Idee de demonstratie. (1) Elementul neutru la adunare este matriceaOm×n, iar opusa la adunare a unei matrice A este −A.(2) Elementul neutru la ınmultirea matricelor patratice de ordin n este ma-tricea unitate In.

7

1.2.3. Transpusa unei matrice.

Definitia 1.2.6. Daca A ∈Mm,n(K), A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

am1 am2 . . . amn

,

atunci matricea tA ∈Mn,m(K), tA =

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2...a1n a2n . . . amn

se numeste

transpusa matricei A.

Cand transpunem o matrice A, coloana j a matricei A devine linia j amatricei tA, 1 ≤ j ≤ n.

Definitia 1.2.7. (1)(2) Daca A ∈Mn(K), tA = A (adica aij = aji, 1 ≤ i, j ≤ n), spunem

ca A este matrice simetrica.(3) Daca A ∈ Mn(K), tA = −A (adica aji = −aij , 1 ≤ i, j ≤ n),

spunem ca A este matrice antisimetrica.

Proprietati.

(1) daca A ∈Mm,n(K), atunci t(tA) = A;(2) daca A ∈Mm,n(K), λ ∈ K, atunci t(λA) = λtA;(3) daca A,B ∈Mm,n(K), atunci t(A+B) =t A+t B;(4) daca A ∈Mm,n(K), B ∈Mn,p(K), atunci t(AB) =t BtA.

1.3. Determinanti

Scopul partii urmatoare a cursului este de a aminti cum ¿se rezolva sis-temele de ecuatii algebrice liniare. Pentru aceasta avem nevoie de rezultatereferitoare la determinanti. Definitia unui determinant face apel la notiuneade permutare; de aceea primul paragraf din aceasta sectiune este dedicatrecapitularii catorva elemente legate de permutari.

1.3.1. Permutare.

Definitia 1.3.1. Fie n ∈ N∗. O functie bijectiva

σ : 1, 2, . . . , n → 1, 2, . . . , nse numeste permutare (substitutie) de gradul n.

Aceasta se noteaza, de obicei:

σ =

(1 2 3 . . . n

σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n)

).

8

Observatia 1.3.1. Faptul ca σ este bijectiva ne spune ca valorile σ(1),σ(2), . . . , σ(n) sunt distincte doua cate doua si sunt tot numerele 1, 2, . . . , n,eventual ın alta ordine.

Notam multimea tuturor permutarilor de gradul n cu Sn. Multimea Snare n! elemente.

Semnul (signatura) unei permutari

Definitia 1.3.2. Fie σ ∈ Sn o permutare de gradul n. O pereche or-donata (i, j), cu 1 ≤ i < j ≤ n se numeste inversiune a permutarii σ dacaσ(i) > σ(j).

Notam cu m(σ) numarul tuturor inversiunilor permutarii σ si observamca 0 ≤ m(σ) ≤ n(n− 1)/2.

Definitia 1.3.3. Numarul

ε(σ) = (−1)m(σ) =

1 , daca m(σ) este numar par−1 , daca m(σ) este numar impar

se numeste semnul (signatura) permutarii σ.Permutarea σ se numeste para daca ε(σ) = 1 si impara daca ε(σ) = −1.

Exemplul 1.3.1. Fie permutarile de gradul 3:

σ1 =

(1 2 32 3 1

), σ2 =

(1 2 31 3 2

).

Inversiunile permutarii σ1 sunt (1, 3), (2, 3); m(σ1) = 2 ⇒ ε(σ1) = 1, deciσ1 este o permutare para.Singura inversiune a permutarii σ2 este (2, 3); m(σ2) = 1 ⇒ ε(σ2) = −1,deci σ2 este o permutare impara.

1.3.2. Determinanti. Definitie si reguli de calcul.Fie A ∈Mn((C)), A = (aij)m×n, aij ∈ C, 1 ≤ i, j ≤ n.

Definitia 1.3.4. Numarul

(1.1) detA = Σσ∈Snε(σ)a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)

se numeste determinantul matricei A sau, mai simplu, determinant de ordinn si se noteaza:

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(

sau |A| sau |aij |1≤i,j≤n).

Produsul a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n) se numeste termen al determinantului de or-din n.

9

Observatia 1.3.2.

(1) A se face distinctie ıntre notiunile de matrice si determinant! Omatrice este o functie; un determinant este un numar. Matricelese noteaza ıntre ( ), iar determinantii, ıntre | |.

(2) Notiunea de determinant are sens numai pentru matrice patratice.

Se obisnuieste sa se spuna despre elementele, liniile, coloanele si diago-nalele matricei A ca sunt elementele, liniile, coloanele, respectiv diagonaleledeterminantului detA.

Calculul determinantilorIn formula (1.1) avem o suma de n! termeni, jumatate cu semnul “+” si

jumatate cu semnul “-”. In cazurile n = 2, 3 aceasta formula se poate puneıntr-o forma mai simplu de folosit.

• Determinanti de ordin 2: din produsul elementelor de pe di-agonala pricipala se scade produsul elementelor de pe diagonalasecundara; altfel spus:∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.

• Determinanti de ordin 3: se aplica regula lui Sarrus sau meto-da triunghiuluiRegula lui Sarrus. Se copie sub determinant elementele primelordoua linii. Se iau cu semnul “+” produsele de cate trei elementede pe diagonala principala si de pe cele doua paralele la ea, situatesub ea. Se iau cu semnul “-” produsele de cate trei elemente de pediagonala secundara si de pe cele doua paralele la ea, situate subea.

| a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |a11 a12 a13

a21 a22 a23

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33

• Determinanti de ordin n ≥ 4: se apeleaza la proprietatiledeterminantilor de ordin n, care simplifica de multe ori calculul.

1.3.3. Proprietati ale determinantilor de ordin n.

Propozitia 1.3.1. Determinantul unei matrice coincide cu determinan-tul matricei transpuse. Altfel spus,

detA = det(tA), ∀A ∈Mn(C) sau

10

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a21 . . . an1

a12 a22 . . . an2...a1n a2n . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Demonstratie. cu definitia (1.1)

Observatia 1.3.3. Din propozitia 1.3.1 rezulta ca daca o proprietatee adevarata pentru liniile uui determinant, e adevarata si pentru coloaneledeterminantului (si reciproc).

Propozitia 1.3.2. Daca toate elementele unei linii (coloane) dintr-omatrice unt nule, atunci determinantul matricei este nul.

Demonstratie. Fiecare termen din suma (1.1) contine un element al liniei(coloanei) ın cauza, deci toti termenii determinantului sunt egali cu zero.

Propozitia 1.3.3. Daca ıntr-o matrice schimbam doua linii (sau co-loane) ıntre ele,obtinem o matrice al carei determinant este egal cu opusuldeterminantului matricei initiale.

Demonstratie. cu definitia (1.1)

Propozitia 1.3.4. Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice,atunci determinantul sau este nul.

Demonstratie. Folosim propozitia 1.3.3. Schimband liniile identice ıntreele, deducem ca detA = −detA, de unde detA = 0.

Propozitia 1.3.5. Daca ınmultim toate elementele unei linii (sau co-loane) a unei matrice cu un numar α, obtinem o matrice al carei deter-minant este egal cu α ınmultit cu determinantul matricei initiale. Altfelspus,

(1.2)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

αai1 αai2 . . . αain...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= α

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...ai1 ai2 . . . ain...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(si analog pentru coloane).

Demonstratie. cu definitia (1.1).

11

Observatia 1.3.4. A se constata deosebirea ıntre formula pentru deter-minanti (1.2) si formula :

αa11 αa12 . . . αa1n

αa21 αa22 . . . αa2n...

αai1 αai2 . . . αain...

αam1 αam2 . . . αamn

= α

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...ai1 ai2 . . . ain...

am1 am2 . . . amn

corespunzatoare ınmultirii matricelor cu scalari.

Propozitia 1.3.6. Daca elementele a doua linii (coloane) a unei matricesunt proportionale, atunci determinantul matricei este nul.

Demonstratie. Liniile i si j sunt proportionale daca exista un numar αastfel ıncat ajl = αail pentru orice 1 ≤ l ≤ n. Demonstratia urmeaza dinpropozitiile 1.3.5 si 1.3.4.

Propozitia 1.3.7.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

a′i1 + a′′i1 a′i2 + a′′i2 . . . a′in + a′′in...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...a′i1 a′i2 . . . a′in...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...a′′i1 a′′i2 . . . a′′in...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣si corespunzator pe coloane.

Demonstratie. cu definitia determinantului.

Definitia 1.3.5. Fie A = (aij)n×n o matrice patratica de ordin n. Spu-nem ca linia i a matricei A este o combinatie liniara de celelalte linii dacaexista numerele αj, j = 1, 2, . . . , i− 1, i+ 1, . . . , n (posibil unele zero) astfelıncat:

aij = α1a1j + α2a2j + · · ·+ αi−1 ai−1 j + αi+1ai+1 j + · · ·+ αnanj .

12

Analog pentru coloane.

Propozitia 1.3.8. Daca o linie (sau coloana) a unei matrice patraticeeste o combinatie liniara de celelalte linii (respectiv coloane), atunci deter-minantul matricei este nul.

Demonstratie. Se aplica propozitiile 1.3.7 si 1.3.6.

Propozitia 1.3.9. Daca la o linie (sau coloana) a matricei A adunamelementele altei linii (respectiv, coloane) ınmultite cu acelasi numar, atunciaceasta matrice are acelasi determinant ca si matricea A.

Demonstratie. Se aplica propozitiile 1.3.7 si 1.3.6.

Observatia 1.3.5. Propozitia 1.3.6 este un caz particular al propozitiei1.3.8. Propozitiile 1.3.2, 1.3.4 sunt cazuri particulare ale propozitiei 1.3.6.

Amintim ın continuare un procedeu prin care calculul unui determinatde ordinul n se reduce la calculul unor determinanti de ordinul n− 1.

Definitia 1.3.6. Fie d = |aij |1≤i,j≤n un determinant de ordin n. Fie1 ≤ i, j ≤ n. Determinantul de ordinul n− 1 care se obtine suprimand liniai si coloana j din determinantul d se numeste minorul elementului aij si senoteaza dij. Numarul Aij = (−1)i+jdij se numeste complementul algebrical elementului aij ın determinantul d.

Teorema 1.3.1. Fie d = |aij |1≤i,j≤n un determinant de ordin n. Atuncipentru orice 1 ≤ i ≤ n are loc egalitatea:

(1.3) d = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin.

Egalitatea (1.3) poarta denumirea de dezvoltarea determinantului d dupalinia i.Demonstratie. laborioasa

Corolar 1.3.1. Fie d = |aij |1≤i,j≤n un determinant de ordin n. Atuncipentru orice 1 ≤ i, j ≤ n, j 6= i are loc egalitatea:

ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · ·+ ainAjn = 0.

Demonstratie. din propozitia 1.3.4 si teorema 1.3.1

Din teorema 1.3.1 si propozitia 1.3.1 se obtine o teorema analoaga pentrucoloane:

Teorema 1.3.2. Fie d = |aij |1≤i,j≤n un determinant de ordin n. Atuncipentru orice 1 ≤ j ≤ n are loc egalitatea:

(1.4) d = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj .

Egalitatea (1.3) poarta denumirea de dezvoltarea determinantului d dupacoloana j.

13

Corolar 1.3.2. Fie d = |aij |1≤i,j≤n un determinant de ordin n. Atuncipentru orice 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j are loc egalitatea:

a1jA1i + a2jA2i + · · ·+ anjAni = 0.

Observatia 1.3.6. In vederea simplificarii calculului unui determinant,mai ıntai vom aplica propozitiile 1.3.1-1.3.9 pentru a obtine cat mai multezerouri pe o linie (sau coloana), apoi vom aplica teorema 1 (respectiv, teo-rema 2) pentru acea linie (coloana).

Exemplul 1.3.2. Sa se calculeze

d =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 0 21 2 1 41 1 2 21 4 2 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

d =(col.4−col.1)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 0 01 2 1 31 1 2 11 4 2 6

∣∣∣∣∣∣∣∣ =(dezvoltam dupa linia 1) 2(−1)1+1

∣∣∣∣∣∣2 1 31 2 14 2 6

∣∣∣∣∣∣+

+1(−1)1+2

∣∣∣∣∣∣1 1 31 1 11 4 6

∣∣∣∣∣∣ .Dar

∣∣∣∣∣∣2 1 31 2 14 2 6

∣∣∣∣∣∣ = 0, conform propozitiei 1.3.6, ıntrucat liniile 1 si 3 sunt

proportionale. Prin urmare,

d = −

∣∣∣∣∣∣1 1 31 1 11 4 6

∣∣∣∣∣∣ =(linia1−linia2) −

∣∣∣∣∣∣0 0 21 1 11 4 6

∣∣∣∣∣∣ =

(dezvoltam dupa linia 1) − 2(−1)1+3

∣∣∣∣ 1 11 4

∣∣∣∣ = −2(4− 1) = −6.

1.4. Rangul unei matrice

Fie A ∈ Mm,n(C), A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

am1 am2 . . . amn

si fie k ∈ N astfel

ıncat 1 ≤ k ≤ minm,n. Daca ın A alegem k linii si k coloane, elementelecare se gasesc la intersectia acestor linii si coloane vor forma o matricepatratica de ordin k, al carei determinant se numeste minor de ordin k almatricei A.

14

Definitia 1.4.1.

• Fie A ∈ Mm,n(C), A 6= Om,n. Spunem ca matricea A are rangulr ∈ N∗, si scriem rang A = r, daca A are un minor nenul de ordinr, iar toti minorii de ordin mai mare decat r, daca exista, suntnuli.• Daca A = Om,n, atunci rang Om,n = 0.

Exemplul 1.4.1. Pentru matricea A =

(1 3 13 2 0

), minorul∣∣∣∣ 1 3

3 2

∣∣∣∣ = −7 6= 0.

Intrucat nu exista minori de ordin mai mare, rangul matricei A este 2.

Teorema 1.4.1. Fie A ∈Mm,n(C), A 6= Om,n. Atunci rang A = r dacasi numai daca exista un minor nenul Mr de ordin r al lui A, iar toti minoriide ordin r + 1 obtinuti prin bordarea lui Mr cu elementele corespunzatoareale uneia dintre liniile si uneia dintre coloanele ramase, daca exista, suntnuli.

1.4.1. Calculul rangului unei matrice A 6= Om,n.

Pasul 1: Intrucat A 6= Om,n, matricea A are cel putin un element nenul.Se ia un element diferit de zero al matricei, care va reprezenta un minor deordinul 1 nenul.

Pasul k + 1: Am construit ın pasii anteriori un minor Mk de ordin knenul. Bordam acest minor cu elementele corespunzatoare ale uneia dintreliniile si uneia dintre coloanele ramase (daca exista). In acest fel putemobtine toti minorii de ordin k + 1 care-l contin pe Mk.

• Daca toti acesti minori sunt nuli sau daca nu exista astfel de minori,atunci rang A = k.• Daca cel putin un minor de ordin k + 1 este nenul, ıl retinem si

continuam procedeul.

Exemplul 1.4.2. Fie A =

1 2 2 44 5 8 103 1 6 2

. Intrucat matricea este de

tip 3×4, rangul ei este cel mult min3, 4 = 3. Plecam din coltul stanga susal matricei.

- pasul 1: 1 6= 0 ⇒ rang A ≥ 1;- pasul 2:

bordam minorul cu elemente din linia 2 si coloana 2:

∣∣∣∣ 1 24 5

∣∣∣∣ = 5−8 =

−3 6= 0 ⇒ rang A ≥ 2;- pasul 3: bordam minorul cu elemente din linia 3 si coloana 3:

15

∣∣∣∣∣∣1 2 24 5 83 1 6

∣∣∣∣∣∣ = 0 (folosim propozitia 1.3.6; prima si ultima coloana sunt

proportionale); bordam minorul cu elemente din linia 3 si coloana 4:∣∣∣∣∣∣1 2 44 5 103 1 2

∣∣∣∣∣∣ = 0 (folosim propozitia 1.3.6; ultimele doua coloane sunt

proportionale).Am epuizat toate liniile si coloanele matricei A, deci rang A = 2.

1.5. Matrice inversabile

Fie A ∈Mn(C) o matrice patratica.

Definitia 1.5.1. Matricea A se numeste singulara (degenerata) dacadetA = 0 si nesingulara (nedegenerata) daca detA 6= 0.

Definitia 1.5.2. Matricea A se numeste inversabila daca exista o ma-trice B ∈Mn(C) astfel ıncat AB = BA = In, unde

In =

1 0 . . . 10 1 . . . 0...0 0 . . . 1

∈Mn(C)

este matricea unitate de ordin n.Matricea B se numeste inversa matricei A.

Observatia 1.5.1. Si matricea A este inversa lui B!

Teorema 1.5.1. Inversa unei matrice patratice, daca exista, este unica.

Demonstratie. Presupunem prin reducere la absurd ca matricea A aradmite doua inverse B, B′. Atunci, din definitia 1.5.2 si din asociativita-tea ınmultirii matricelor, B = BIn = B(AB′) = (BA)B′ = InB

′ = B′,contradictie!

In baza teoremei 1.5.1, putem introduce o notatie pentru inversa matriceiA, si anume A−1.

Propozitia 1.5.1. ( Proprietati)

(1) Daca A este o matrice inversabila, atunci si A−1 este o matriceinversabila si (A−1)−1 = A.

(2) Daca A este o matrice inversabila, atunci si tA este o matrice in-

versabila si(tA)−1

= t(A−1

).

Teorema 1.5.2. Fie A ∈ Mn(C). Atunci A este inversabila daca sinumai daca A este nesingulara.

16

Demonstratie. ”⇒“ se foloseste faptul ca rangul unui produs de matriceeste mai mic decat rangul unui factor al produsului.”⇐“ se construieste efectiv inversa lui A.

Stim ca d = detA 6= 0. Se defineste matricea adjuncta matricei A:

A∗ =

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2...

A1n A2n . . . Ann

n×n

, unde Aij este complementul algebric

al elementului aflat pe linia i si coloana j din matricea A, 1 ≤ i, j ≤ n(complementii algebrici ai elementelor de pe prima linie a lui A se asaza pe

prima coloana din A∗ etc.). Atunci A−1 =1

dA∗. Intr-adevar,

A

(1

dA∗)

=

(1

dA∗)A =

1

d

d 0 . . . 00 d . . . 0...0 0 . . . d

= In,

conform teoremelor 1.3.1, 1.3.2 si corolariilor lor.

Exemplul 1.5.1. Fie A =

−2 1 30 4 −32 5 0

. Pentru a afla daca A este

inversabila, potrivit teoremei 1.5.2, trebuie ca detA 6= 0.

d = detA = −6− 24− 30 = −60. Atunci A∗ =

15 15 −15−6 −6 −6−8 12 −8

si

A−1 =1

dA∗ =

−14 −1

414

110

110

110

215 −1

5215

.

Se constata ca, desi ın exemplul anterior A ∈ M3(Z), A−1 /∈ M3(Z),

datorita faptului ca1

d/∈ Z.

In schimb, daca A ∈ Mn(Q) (respectiv Mn(R)), atunci A−1 ∈ Mn(Q)(respectiv Mn(R)).

17

CAPITOLUL 2

Sisteme de ecuatii algebrice liniare

2.1. Introducere

Fie m,n ∈ N∗. Consideram un sistem algebric liniar de m ecuatii cu nnecunoscute x1, x2, . . . , xn:

(2.1)

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

sau, ın forma condensata,

(2.2)n∑j=1

aijxj = bi, 1 ≤ i ≤ m,

unde aij , bi ∈ C, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.Se introduc urmatoarele matrice:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

am1 am2 . . . amn

∈Mm,n(C) ←matricea

(coeficientilor)sistemului;

B =

b1b2...bm

∈Mm,1(C) ←coloana

termenilorliberi;

A =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2...

am1 am2 . . . amn bm

∈Mm,n+1(C) ←matriceaextinsa a

sistemului;

X =

x1

x2...xn

∈Mn,1(C) ← coloana necu-noscutelor.

19

Cu aceste notatii, sistemul (2.1) poate fi scris, echivalent, sub forma ecuatieimatriceale:

(2.3) AX = B.

Definitia 2.1.1. Un n-uplu de numere (α1, α2, . . . , αn) ∈ C se numestesolutie a sistemului (2.1) (sau (2.2)) daca

n∑j=1

aijαj = bi, pentru orice i ∈ 1, 2, . . . ,m .

Un sistem de ecuatii liniare algebrice poate fi:

• compatibil determinat, daca are o singura solutie;• compatibil nedeterminat, daca admite mai mult decat o solutie;• incompatibil, daca nu admite solutii.

Exemplul 2.1.1. Sistemulx1 + x2 = 0x1 + x2 = 1

este incompatibil.Sistemul

x1 + x2 = 0x1 − x2 = 2

este compatibil determinat, avand solutia unica x1 = 1, x2 = −1.Sistemul

x1 + x2 = 12x1 + 2x2 = 2

este compatibil nedeterminat, deoarece orice pereche de numere complexe deforma (α, 1− α), α ∈ C este solutie.

2.2. Regula lui Cramer

Regula lui Cramer se aplica pentru sisteme liniare ın care:

• numarul de ecuatii m este egal cu numarul de necunoscute n;• det A 6= 0.

Se considera sistemul:

(2.4)

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn,

unde aij , bi ∈ C, 1 ≤ i, j ≤ n.Cu notatiile din introducere (pentru m = n), acest sistem se rescrie sub

forma ecuatiei matriceale:

(2.5) AX = B.

20

Fie d = detA, numit determinantul sistemului sidj , 1 ≤ j ≤ n, determinantul obtinut din d prin ınlocuirea coloanei j cu

coloana B a termenilor liberi ai sistemului. De exemplu,

d2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13 . . . a1n

a21 b2 a23 . . . a1n...an1 bn an3 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Teorema 2.2.1. (regula lui Cramer) Daca d = det A 6= 0, atunci sis-

temul (2.4) (sau (2.5)) este compatibil determinat si solutia sa este data deformulele lui Cramer:

x1 =d1

d, x2 =

d2

d, . . . , xn =

dnd.

Demonstratie. Deoarece matricea A este nesingulara, conform teoremei1.5.2, ea este inversabila. Inmultind relatia AX = B la stanga prin inversaA−1, obtinem ca X = A−1B, adica

x1

x2

...

xn

=

A11

d

A21

d. . .

An1

d

A12

d

A22

d. . .

An2

d

...

A1n

d

A2n

d. . .

Annd

b1

b2

...

bn

=

1

d

n∑i=1

Ai1bi

1

d

n∑i=1

Ai2bi

...

1

d

n∑i=1

Ainbi

,

de unde xj =1

d

n∑i=1

Aijbi =djd, 1 ≤ j ≤ n.

Exemplul 2.2.1. Sa se rezolve sistemul: x1 + x2 + x3 = 0x1 + 2x2 + 3x3 = 2x1 + 4x2 + 9x3 = 8

.

Numarul de ecuatii din sistem coincide cu numarul de necunoscute, iardeterminantul sistemului,

d =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 2 31 4 9

∣∣∣∣∣∣ =scad coloana 1 din celelalte

∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 21 3 8

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1 23 8

∣∣∣∣= 1 · 8− 2 · 3 = 2 6= 0.

21

Atunci putem aplica regula lui Cramer. Calculam:

d1 =

∣∣∣∣∣∣0 1 12 2 38 4 9

∣∣∣∣∣∣ =scad coloana 2 din coloana 3

∣∣∣∣∣∣0 1 02 2 18 4 5

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣ 2 1

8 5

∣∣∣∣= −(2 · 5− 1 · 8) = −2;

d2 =

∣∣∣∣∣∣1 0 11 2 31 8 9

∣∣∣∣∣∣ =scad coloana 1 din coloana 3

∣∣∣∣∣∣1 0 01 2 21 8 8

∣∣∣∣∣∣ = 0

(ultimele doua coloane au aceleasi elemente);

d3 =

∣∣∣∣∣∣1 1 01 2 21 4 8

∣∣∣∣∣∣ =scad coloana 1 din coloana 2

∣∣∣∣∣∣1 0 01 1 21 3 8

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1 23 8

∣∣∣∣= 1 · 8− 2 · 3 = 2.

Rezulta ca:

x1 =d1

d=−2

2= −1

x2 =d2

d=

0

2= 0

x3 =d3

d=

2

2= 1.

2.3. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare generale

Fie un sistem algebric liniar cu m ecuatii si n necunoscute (posibil m 6=n):

(2.6)

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

Cand ne propunem sa rezolvam un astfel de sistem, prima ıntrebare careapare este daca acesta este compatibil, adica daca admite solutii.

22

2.3.1. Studiul compatibilitatii sistemului (2.6). Consideram ma-tricea sistemului A si matricea extinsa A:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

am1 am2 . . . amn

, A =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2...

am1 am2 . . . amn bm

.

Se observa imediat ca toti minorii matricei A sunt si minori in A, si atuncirang A ≤ rang A.

Problema compatibilitatii sistemelor algebrice liniare este elucidata deurmatoarea teorema:

Teorema 2.3.1. (teorema Kronecker-Capelli) O conditie necesarasi suficienta ca sistemul liniar (2.6) sa fie compatibil este ca rang A =rangA.

Pentru a utiliza aceasta teorema ın aplicatii practice, primul pas estecalculul rangului lui A. Un minor nenul al lui A cu proprietatea ca totiminorii lui A care-l contin sunt nuli se numeste minor principal. Fie d unminor principal pentru A; acesta este un determinant de ordin r = rang A.In continuare, calculam rangul matricei A. d este minor (nenul) si pentrumatricea A. Este suficient sa verificam daca vreunul dintre minorii de ordinr + 1 ai lui A obtinuti prin bordarea lui d este nenul. Cum poate arata unastfel de minor? Sau este si minor pentru A (si atunci stim ca este nul), saueste obtinut prin bordarea lui d cu elemente ale coloanei termenilor liberi sielemente ale uneia dintre liniile ramase ın A. Un astfel de minor de ordinr + 1 va fi numit minor caracteristic.

Atunci teorema Kronecker-Capelli se poate reformula ca:

Teorema 2.3.2. (teorema lui Rouche) O conditie necesara si suficien–ta ca sistemul liniar (2.6) sa fie compatibil este ca toti minorii caracteristicisa fie nuli.

2.3.2. Determinarea solutiilor sistemului (2.6). Presupunem casistemul (2.6) este compatibil, adica rang A = rang A = r. Presupunem,de asemenea, ca un minor principal al sistemului se gaseste la intersectiaprimelor r linii si a primelor r coloane, adica

(2.7) d =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1r

a21 a22 . . . a2r...ar1 ar2 . . . arr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0

(ceea ce este o presupunere acceptabila, deoarece ın caz contrar am putearenumerota ecuatiile si necunoscutele).

Dam fara demonstratie:

23

Teorema 2.3.3. Un determinant este nul daca si numai daca una din-tre liniile (respectiv, coloanele) sale este combinatie liniara de celelalte linii(respectiv, coloane).

In baza acestei teoreme, rezulta ca orice linie a matricelor A, A estecombinatie liniara de primele r linii (pentru ca toti minorii de ordin r + 1care-l contin pe d sunt nuli). De aici se obtine ca orice ecuatie a sistemului(2.6) este combinatie liniara de primele r ecuatii ale sistemului (2.6); cualte cuvinte, orice solutie a primelor r ecuatii va satisface toate ecuatiilesistemului (2.6). Este suficient, asadar, sa rezolvam sistemul:

(2.8)

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...ar1x1 + ar2x2 + · · · + arnxn = br

,

care este echivalent cu sistemul (2.6).Matricea coeficientilor sistemului (2.8) are un minor nenul de ordin r –

exact d dat de formula (2.7) – si deci are rangul r. Cum r ≤ n (rangul ral matricei A poate fi cel mult egal cu numarul ei de coloane n), distingemdoua cazuri:

• Daca r = n, atunci sistemul (2.8) are acelasi numar de ecuatii sinecunoscute, iar determinantul sau este nenul, deci putem aplicaregula lui Cramer pentru a afla solutia (unica a) sistemului (2.8),

care va fi si solutia sistemului (2.6). In acest caz, sistemul (2.6) estecompatibil determinat.• Daca r < n, atunci vom numi necunoscutele corespunzatoare mino-

rului d 6= 0 necunoscute principale. In cazul nostru, x1, x2, . . . , xrsunt necunoscutele principale. Trecem ın membrii drepti ai ecua–tiilor (2.8) toti termenii care contin celelalte necunoscute xr+1, . . . ,xn (numite necunoscute secundare); necunoscutelor secundare leatribuim valori arbitrare λr+1, . . . , λn, respectiv. Se ajunge la unsistem de r ecuatii cu r necunoscute:

(2.9)a11x1 + a12x2 + · · · + a1rxr = b1 − a1r+1λr+1 − . . .− a1nλna21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 − a2r+1λr+1 − . . .− a2nλn...ar1x1 + ar2x2 + · · · + arnxn = br − arr+1λr+1 − . . .− arnλn

,

care se rezolva cu formulele lui Cramer, deducandu-se solutia:x1 = x1(λr+1, . . . , λn)x2 = x2(λr+1, . . . , λn)...xr = xr(λr+1, . . . , λn).

24

Cum valorile λr+1, . . . , λn sunt alese arbitrar, se obtin ın acest modo infinitate de solutii distincte ale sistemului (2.9), deci o infinitatede solutii distincte pentru sistemul (2.6), si anume:

x1 = x1(λr+1, . . . , λn)x2 = x2(λr+1, . . . , λn)...xr = xr(λr+1, . . . , λn)xr+1 = λr+1...xn = λn

, λr+1, . . . , λn ∈ C.

Asadar, sistemul (2.6) este ın acest caz compatibil nedeterminat.

Observatia 2.3.1. Pentru ca sistemul compatibil (2.6) sa aiba solutieunica, este necesar si suficient ca rangul matricei sistemului sa fie egal cunumarul necunoscutelor: rang A = n.

Exemplul 2.3.1. Sa se rezolve sistemele:

(1)

x1 + x2 + x3 = 2x1 − x2 + x3 = 0

2x1 + 2x2 + 3x3 = 4−2x1 + 2x2 − 2x3 = 0

;

(2)

x1 + x2 + x3 = 12x1 + x2 + 2x3 = 2−x1 + 2x2 − x3 = −1

;

(3)

x1 − x2 + x3 = 1

3x1 − 3x2 + 3x3 = 2.

Raspunsuri:

(1) sistem compatibil determinat, cu solutia (1, 1, 0);(2) sistem compatibil nedeterminat, cu solutiile (1 + λ, 0,−λ), λ ∈ C;(3) sistem incompatibil.

2.4. Sisteme de ecuatii liniare omogene

Un caz particular de sisteme algebrice liniare ıl constituie sistemele deecuatii omogene.

Definitia 2.4.1. Un sistem de ecuatii algebrice liniare se numeste omo-gen daca termenul liber al fiecarei ecuatii este nul.

25

Forma generala a unui astfel de sistem este:

(2.10)

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0.

Aplicam rezultatele precedente unui sistem omogen.

(1) Un sistem omogen este ıntotdeauna compatibil.Aceasta se poate vedea direct, deoarece un astfel de sistem ad-

mite ıntotdeauna solutia nula: x1 = x2 = · · · = xn = 0 sauputem aplica teorema lui Rouche, observand ca toti minorii ca-racteristici sunt nuli, pentru ca au pe ultima coloana doar zerouri,ıntrucat toti termenii liberi ai sistemului sunt 0.

(2) Sa presupunem ca rang A = r.• daca r = n (adica, daca rangul matricei sistemului coincide

cu numarul necunoscutelor), atunci solutia nula este singurasolutie a sistemului (2.10), deci sistemul este compatibil deter-minat ;• daca r < n, atunci sistemul (2.10) este compatibil nedeter-

minat ; el are si solutii nenule, care se gasesc dupa procedeuldescris ın sectiunea 2.3.2.

Prin urmare:

• Un sistem de n ecuatii liniare omogene cu n necunoscute are solutiinenule daca si numai daca determinantul sau este nul.• Un sistem de ecuatii liniare omogene ın care numarul ecuatiilor este

mai mic decat numarul necunoscutelor are solutii nenule.

Exemplul 2.4.1. Rezolvati sistemul:x1 + x2 + 2x3 = 0

2x1 − x2 − x3 = 0.

Raspuns: sistem compatibil nedeterminat, cu solutiile(−λ

3,−5λ

3, λ

), λ ∈ C.

26

CAPITOLUL 3

Spatii liniare

3.1. Notiuni introductive

Definitia 3.1.1. Fie V 6= ∅ si K un corp comutativ. Spunem ca Veste spatiu liniar (spatiu vectorial) peste K (sau V este K−spatiu liniar(vectorial)) daca:i) pe V este definita o operatie interna:

+ : V × V → V

astfel ıncat (V,+) sa fie grup abelian;ii) este definita o aplicatie (lege de compozitie externa):

· : K × V → V

(λ, v) → λv

(numita ınmultirea elementelor din V cu scalari ın K) astfel ıncat∀u, v ∈ V, ∀λ, µ ∈ K, au loc:

1) λ(u+ v) = λu+ λv2) (λ+ µ)u = λu+ µu3) (λµ)u = λ(µu)4) 1u = u.

Elementele corpului K se numesc scalari si se noteaza, de obicei, culitere grecesti mici. Elementele lui V se numesc vectori si se noteaza culitere latine mici.

Observatia 3.1.1. Am folosit acelasi simbol pentru adunarea din K sicea din V , la fel pentru ınmultirea din K si ınmultirea cu scalari; se deducedin context despre ce operatie este vorba. De asemenea, ın cele ce urmeazasimbolul 0 va nota atat elementul neutru la adunare din K, cat si elementulneutru la adunare din V ; deosebirea se face tot in functie de context.

Elementul 1 care apare ın conditia 4) este, desigur, elementul neutru laınmultire din K.

Observatia 3.1.2. Conditiile 1) − 3) din definitia 3.1.1 exprima com-patibilitatea ınmultirii cu scalari fata de adunarea din V , adunarea din Ksi, respectiv, fata de ınmultirea din K. In particular, relatiile 1), 2) dau dis-tributivitatea ınmultirii cu scalari fata de adunarea vectorilor si, respectiv,fata de adunarea scalarilor.

27

Conditia 4) este o conditie naturala, care elimina operatii externe banale,ca ınmultirea zero: λu = 0,∀λ ∈ K,∀u ∈ V.

Observatia 3.1.3. Expresia ”spatiu liniar“ nu are sens atata timp catcorpul K peste care se considera structura nu este precizat!

Cele mai des ıntalnite sunt R−spatiile liniare (numite si spatii liniarereale) si C−spatiile liniare (numite si spatii liniare complexe).

Exemple de spatii liniare

• Orice corp comutativ K este K−spatiu liniar. Adunarea din V =K este adunarea din corpul K, iar ınmultirea unui vector u ∈ V =K cu un scalar λ ∈ K este ınmultirea din corpul K: λu ∈ K. Dindefinitia corpului se observa ca toate conditiile din definitia 3.1.1sunt verificate.

In particular, R este spatiu liniar real, iar C este spatiu liniarcomplex.• Fie (K,+, ·) un corp comutativ si n ∈ N∗. Multimea

Kn = (u1, u2, . . . , un);ui ∈ K, 1 ≤ i ≤ neste un K−spatiu liniar, adunarea si ınmultirea vectorilor cu scalaridefinindu-se pe componente:

(u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn) = (u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn),

λ(u1, u2, . . . , un) = (λu1, λu2, . . . , λun),

∀(u1, u2, . . . , un), (v1, v2, . . . , vn) ∈ Kn, ∀λ ∈ K.Se constata usor ca vectorul nul este 0 =def (0, 0, . . . , 0), iar opusulunui vector (u1, u2, . . . , un) este

−(u1, u2, . . . , un) =def (−u1,−u2, . . . ,−un).

In particular,

Rn = x = (x1, x2, . . . , xn);xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ neste un spatiu liniar real, cu operatiile date astfel:

∀x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn, ∀λ ∈ R :

x+ y = (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn)

=def (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

λx = λ(x1, x2, . . . , xn) =def (λx1, λx2, . . . , λxn).

Analog, Cn este spatiu liniar complex, iar Qn este spatiu liniarpeste corpul Q.• Pentru m,n ∈ N∗,Mm,n(R) este un spatiu liniar real (mai general,

dat K un corp comutativ, Mm,n(K) este K−spatiu liniar). Celedoua operatii sunt adunarea matricelor si ınmultirea matricelor cuscalari (a se vedea propozitia 1.2.1, capitolul 1).

28

Fie ın continuare K un corp comutativ fixat. In propozitia urmatoaredam cateva reguli de baza ın calculul cu vectori:

Propozitia 3.1.1. Fie V un K−spatiu liniar. Atunci, pentru oriceλ, µ ∈ K si pentru orice u, v ∈ V, au loc egalitatile:

i) λ0 = 0ii) 0u = 0iii) (−λ)u = λ(−u) = −(λu)iv) (λ− µ)u = λu− µuv) λ(u− v) = λu− λvvi) λu = 0⇔ λ = 0 sau u = 0vii) λ 6= 0 si λu = λv implica u = vviii) u 6= 0 si λu = µu implica λ = µ.

Demonstratie. i) Avem λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0. Adunam ın ambiimembri opusul elementului λ0 ∈ V ((V,+) este grup!) si obtinem 0 = λ0.

ii) 0u = (0+0)u = 0u+0u; adunam ın ambii membri opusul elementului0u ∈ V si rezulta 0 = 0u.

iii) Se arata mai ıntai ca (−λ)u este opusul elementului λu ın V ; altfel

spus, (−λ)u = −(λu). Intr-adevar, folosind, pe rand, relatiile ii), 2) dindefinitia spatiului liniar si comutativitatea grupului (V,+), deducem:

0 = 0u = (λ+ (−λ))u = λu+ (−λ)u = (−λ)u+ λu.

Ramane de aratat ca si λ(−u) este opusul elementului λu ın V , adicaλ(−u) = −(λu). Utilizand i), 1) din definitia spatiului liniar si comutativi-tatea grupului (V,+), deducem:

0 = λ0 = λ(u+ (−u)) = λu+ λ(−u) = λ(−u) + λu.

iv) (λ− µ)u = (λ+ (−µ))u = λu+ (−µ)u =iii) λu+ (−µu) = λu− µu.v) λ(u− v) = λ(u+ (−v)) = λu+ λ(−v) =iii) λu+ (−λv) = λu− λv.vi) ”⇒“ : Presupunem ca λu = 0. Daca λ = 0, demonstratia este

ıncheiata. Daca λ 6= 0, atunci, din faptul ca (K \ 0, ·) este grup, rezulta

ca λ este inversabil. Inmultind ın ambii mebri cu scalarul λ−1, se obtine:

0 =i) λ−10 = λ−1(λu) = (λ−1λ)u = 1u = u.

”⇐“ : Daca λ = 0, atunci, conform punctului ii), λu = 0u = 0.Daca u = 0, atunci, din i), λu = λ0 = 0.

vii) Adunand opusul elementului λv ın ambii membri ai egalitatii λu =

λv, rezulta ca λu − λv = 0 ⇔v) λ(u − v) = 0. Intrucat λ 6= 0, din vi) seobtine u− v = 0, adica u = v.

viii) Adunand opusul elementului µu ın ambii membri ai egalitatii λu =

µu, rezulta ca λu − µu = 0 ⇔iv) (λ − µ)u = 0. Intrucat u 6= 0, din vi) seobtine λ− µ = 0, adica λ = µ.

29

3.2. Subspatii liniare

Definitia 3.2.1. Fie n ∈ N∗ si v1, . . . , vn ∈ V . Orice vector de formaλ1v1 + · · · + λnvn ∈ V , unde λ1, . . . , λn ∈ K, se numeste combinatie li-niara a vectorilor v1, . . . , vn. Scalarii λ1, . . . , λn se numesc coeficientii aces-tei combinatii liniare, iar n se numeste lungimea combinatiei liniare.

Daca S ⊆ V , orice combinatie liniara a unui numar finit de vectori dinS se numeste combinatie liniara de vectori din S.

Conventie: Vectorul nul este singura combinatie liniara a unei multimivide de vectori.

Definitia 3.2.2. Fie V un K−spatiu liniar. O submultime nevida U alui V se numeste K−subspatiu liniar (vectorial) al lui V daca

∀u, v ∈ U, ∀λ ∈ K, au loc u+ v ∈ U si λu ∈ U.

Vom scrie U ≤K V sau U ≤ V.Orice subspatiu liniar contine macar vectorul nul.

Propozitia 3.2.1. (de caracterizare) Fie V un K−spatiu liniar si∅ 6= U ⊆ V. Sunt echivalente afirmatiile:

i) U ≤K V ;ii) ∀u, v ∈ U , ∀λ, µ ∈ K, are loc λu+ µv ∈ U ;iii) ∀n ∈ N∗, ∀u1, . . . , un ∈ U, ∀λ1, . . . , λn ∈ K, are loc λ1u1 + · · · +

λnun ∈ U.

Demonstratie. i)⇒ ii) : Folosind definitia 3.2.2, obtinem ca:- pentru orice λ ∈ K, u ∈ U , rezulta λu ∈ U- pentru orice µ ∈ K, v ∈ U , rezulta µv ∈ U.Atunci si suma λu+ µv este din U .ii) ⇒ iii) : Procedam prin inductie matematica. Cazul n = 2 este ii)

si cazul n = 1 rezulta din ii) luand µ = 0. Presupunem ca n ≥ 3 si ca amdemonstrat ca orice combinatie liniara de vectori din U , de lungime cel multn−1, apartine tot lui U . Atunci, pentru orice u1, . . . , un ∈ U si pentru oriceλ1, . . . , λn ∈ K, avem λ2u2 + · · · + λnun ∈ U , din ipoteza inductiva. Prinurmare, λ1u1 + (λ2u2 + · · ·+ λnun) ∈ U , conform ipotezei ii).

iii)⇒ i) Fie u, v ∈ K oarecare. Luam in iii) n = 2, u1 = u, u2 = v, λ1 =λ2 = 1 si rezulta u1 + u2 ∈ U . Pe de alta parte, pentru orice u ∈ U, λ ∈ K,luand n = 1, u1 = u, λ1 = λ ın iii), se obtine ca λu ∈ U.

Propozitia 3.2.2. Fie V un K−spatiu liniar. Intersectia oricarei fa-milii de subspatii liniare ale lui V este subspatiu liniar al lui V .

Demonstratie. Fie (Ui)i∈I o familie de subspatii ale lui V . Verificampentru ∩

i∈IUi conditia ii) din propozitia 3.2.1. Fie λ, µ ∈ K si u, v ∈ ∩

i∈IUi.

Atunci u, v ∈ Ui, pentru orice i ∈ I. Din Ui ≤K V , rezulta ca λu+ µv ∈ Uipentru toti i ∈ I. Prin urmare λu+ µv ∈ ∩

i∈IUi.

30

3.3. Baze ın spatii liniare. Dimensiunea unui spatiu liniar

3.3.1. Sisteme de generatori.

Definitia 3.3.1. Fie V un spatiu liniar peste K si S ⊆ V o submultimeoarecare. Numim subspatiu liniar generat de S ın V (sau ınfasuratoarealiniara a lui S ın V ) intersectia tuturor subspatiilor liniare ale lui V careinclud pe S.

Vom nota aceasta multime cu K〈S〉 sau 〈S〉 (daca nu exista pericol deconfuzie). Deci:

K〈S〉 = ∩U ≤K V |S ⊆ U .Din propozitia 3.2.2 se observa ca 〈S〉 ≤K V , ceea ce justifica denumirea sa.

Definitia 3.3.2. Daca 〈S〉 = U , se spune ca S este un sistem de gene-ratori al subspatiului U (sau ca S genereaza subspatiul U).

Observatia 3.3.1. < ∅ >= 0.

Pentru a lamuri cititorul cum arata elementele din 〈S〉, dam urmatorulrezultat:

Propozitia 3.3.1. Fie V un K−spatiu liniar si S ⊆ V . Atunci:a) 〈S〉 este cel mai mic (ın sensul incluziunii) subspatiu al lui V care includepe S. Altfel spus:

〈S〉 ≤ V si S ⊆ 〈S〉;

(3.1) pentru orice subspatiu U ′ ≤ V astfel ıncat S ⊆ U ′,

are loc 〈S〉 ⊆ U ′.b) Daca S = v1, . . . , vn, atunci 〈S〉 este multimea combinatiilor liniare deelementele lui S, adica:

〈S〉 = 〈v1, . . . , vn〉 = λ1v1 + · · ·+ λnvn | λ1, . . . λn ∈ K.c) Pentru o multime S ⊆ V arbitrara, 〈S〉 este multimea combinatiilor lini-are finite de elemente ale lui S:

〈S〉 = λ1v1 + · · ·+ λnvn | n ∈ N∗; v1, . . . vn ∈ S; λ1, . . . λn ∈ K.

Demonstratie. a) Faptul ca 〈S〉 este subspatiu ın V rezulta din propozitia3.2.2, iar faptul ca S ⊆ 〈S〉, din definitia lui 〈S〉. Pentru a demonstra (3.1),este suficient sa observam ca un subspatiu U ′ al lui V care include pe S faceparte din familia de subspatii a caror intersectie este, prin definitie, 〈S〉.

b) Demonstram egalitatea celor doua multimi prin dubla incluziune.“⊇”: Stim ca v1, . . . , vn ∈ S ⊆ 〈S〉 si, aplicand punctul iii), propozitia

3.2.1 pentru subspatiul liniar 〈S〉, rezulta ca λ1v1 + · · ·+λnvn ∈ 〈S〉, pentruorice λ1, . . . , λn ∈ K.

“⊆”: Multimea U ′ = λ1v1 + · · · + λnvn | λ1, . . . λn ∈ K satisfaceconditiile punctului iii) din propozitia 3.2.1, deci este subspatiu liniar ın V .

In plus, pentru orice i ∈ 1, 2, . . . n fixat, alegand λi = 1 si λj = 0 pentru

31

1 ≤ j ≤ n, j 6= i, se obtine ca vi ∈ U ′; asadar S ⊆ U ′. Utilizand relatia(3.1), rezulta ca 〈S〉 ⊆ U ′.

c) Fie C multimea din membrul drept.Daca S = ∅, atunci 〈∅〉 = 0 = C.Daca S 6= ∅, atunci vom arata ca S ⊆ C si ca C ≤ V ; prin (3.1) va

rezulta ca 〈S〉 ⊆ C.Orice v ∈ S se scrie sub forma 1 · v ∈ C; de aici S ⊆ C.Fie acum λ, µ ∈ K si u, v ∈ C arbitrari; demonstram ca λu + µv ∈ C.

Intr-adevar, din u, v ∈ C rezulta ca:-exista n ∈ N∗, λ1, . . . , λn ∈ K si u1, . . . , un ∈ S ⊆ V astfel ıncat

u = λ1u1 + · · ·+ λnun;-exista m ∈ N∗, µ1, . . . , µm ∈ K si v1, . . . , vm ∈ S ⊆ V astfel ıncat

v = µ1v1 + · · ·+ µnvm.Atunci λu+ µv = (λλ1)u1 + · · ·+ (λλn)un + (µµ1)v1 + · · ·+ (µµm)vm ∈ C.

Prin urmare, 〈S〉 ⊆ C.Pe de alta parte, C ⊆ 〈S〉, pentru ca oricare ar fi v ∈ C, exista n ∈

N∗, λ1, . . . , λn ∈ K si v1, . . . , vn ∈ S ⊆ 〈S〉 astfel ıncat v = λ1v1 + · · · +λnvn, de unde v ∈ 〈S〉 (conform punctului iii), propozitia 3.2.1, aplicatsubspatiului liniar 〈S〉 ≤ V ).

In concluzie, 〈S〉 = C.

Observatia 3.3.2. Din punctul c) al propozitiei 3.3.1 rezulta ca submultimeaS a spatiului vectorial V este sistem de generatori pentru V daca si numaidaca orice vector din V se scrie ca o combinatie liniara de un numar finitde elemente din S.

Exemplul 1. Oricare ar fi spatiul liniar V , 0 este subspatiu liniar ınV (numit subspatiul nul) si V este subspatiu liniar ın V . Orice subspatiu allui V , diferit de 0 si V , se numeste subspatiu propriu al lui V .

De exemplu, 〈(0, 1)〉 = (0, λ) | λ ∈ R este subspatiu propriu ınspatiul liniar real R2 (〈(0, 1)〉 nu este subspatiul nul (0, 0) pentru ca(0, 1) ∈ 〈(0, 1)〉; 〈(0, 1)〉 nu este ıntreg spatiul R2 pentru ca (1, 1) /∈ 〈(0, 1)〉).Geometric, 〈(0, 1)〉 este axa ordonatelor.

Orice dreapta prin origine este subspatiu liniar ın R2; dreptele prin ori-gine sunt singurele subspatii liniare proprii ın R2.

Exemplul 2. Fie spatiul liniar real Rn. Fie:

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) ∈ Rn,

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn,...

ei = (0, . . . , 0, 1locul i

, 0, . . . , 0) ∈ Rn, 1 ≤ i ≤ n,

...

en = (0, . . . , 0, 1) ∈ Rn.32

Atunci S = e1, e2, . . . , en este sistem de generatori pentru Rn. Intr-adevar,orice vector x ∈ Rn poate fi scris x = (x1, x2 . . . , xn), cu xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n,de unde:

x = (x1, 0, 0, . . . , 0) + (0, x2, 0, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , 0, xn)

= x1(1, 0, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, 0, . . . , 0) + · · ·+ xn(0, . . . , 0, 1)

= x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen.

3.3.2. Liniara independenta.

Definitia 3.3.3. Fie V un K−spatiu liniar.a) Fie n ∈ N∗ si v1, . . . , vn ∈ V. Spunem ca multimea v1, . . . vn este li-

niar independenta (peste K) (sau vectorii v1, . . . , vn sunt liniar independenti)daca din λ1, . . . , λn ∈ K cu λ1v1 + · · ·+ λnvn = 0 rezulta λ1 = · · · = λn = 0(adica o combinatie liniara de v1, . . . , vn este 0 daca si numai daca toticoeficientii sai sunt 0).

Observatia 3.3.3. Daca ar exista i 6= j astfel ıncat vi = vj, atuncimultimea v1, . . . vn nu ar fi liniar independenta, ıntrucat combinatia linia–ra vi − vj este nula, desi coeficientii sai sunt nenuli.

Asadar ın probleme de liniara independenta putem presupune ca vectoriiv1, . . . vn sunt distincti.

b) O familie infinita (vi)i∈I de vectori din V se numeste liniar indepen-denta (peste K) daca orice submultime finita a sa este liniar independentaın sensul definitiei de la punctul a).

c) O familie de vectori din V care nu este liniar independenta se numesteliniar dependenta.

Comparand cu definitiile a),b), deducem ca S ⊆ V este liniar depen-denta daca si numai daca exista n ∈ N∗, v1, . . . , vn ∈ S si λ1, . . . , λn ∈ K,nu toti nuli, astfel ıncat λ1v1 + · · ·+λnvn = 0. O astfel de relatie se numesterelatie de dependenta liniara a vectorilor v1, . . . , vn.

Observatia 3.3.4. Daca 0 ∈ S, atunci S este liniar dependenta. DacaS este liniar independenta, atunci 0 /∈ S.

Observatia 3.3.5. Multimea v1, . . . vn este liniar independenta dacasi numai daca din λ1, . . . , λn, µ1, . . . , µn ∈ K si λ1v1 + · · ·+ λnvn = µ1v1 +· · · + µnvn rezulta ca λi = µi pentru toti 1 ≤ i ≤ n (altfel spus, daca unvector se scrie ca o combinatie liniara de v1, . . . vn, atunci aceasta scriereeste unica).

3.3.3. Baza. Dimensiunea unui spatiu liniar.

Definitia 3.3.4. O submultime B a spatiului liniar V se numeste bazaa lui V daca satisface simultan conditiile: B este liniar independenta si Beste sistem de generatori pentru V .

33

Exemple de baze:Exemplul 1. ∅ este baza a spatiului liniar 0.Exemplul 2. Daca v ∈ V \0, atunci v este baza ın 〈v〉 = λv | λ ∈

K.Exemplul 3. Fiind dat un corp comutativ K, multimea B = 1 este

baza a K−spatiului liniar K.Intr-adevar, 1 este sistem liniar independent pentru ca λ1 = 0⇔ λ =

0; de asemenea, 1 este sistem de generatori pentru K deoarece oricare arfi λ ∈ K, λ = λ1.

B = 1 se numeste baza canonica pentru corpul K.Corpul K admite si alte baze: dat orice element u ∈ K, u 6= 0, multimea

B = u este baza pentru K. Mai precis, u este sistem liniar independentpentru ca ıntr-un corp nu exista divizori ai lui 0, deci λu = 0 si u 6= 0 implicaλ = 0; u este sistem de generatori pentru K deoarece orice element v ∈ Kpoate fi scris ca v = (vu−1)u (amintim ca orice element nenul al unui corpeste inversabil !).

Exemplul 4. Familia e1, e2, . . . , en introdusa la pagina 32 este o bazaa lui Rn, numita baza canonica.

Am demonstrat ca aceasta multime genereaza spatiul Rn; pentru a de-monstra liniara independenta este suficient sa observam ca:

λ1e1 + · · ·+ λnen = 0 ⇔ λ1(1, 0, 0, . . . , 0) + λ2(0, 1, 0, . . . , 0) + · · ·

+λn(0, . . . , 0, 1) = (0, 0, . . . 0) ⇔ (λ1, 0, 0, . . . , 0) + (0, λ2, 0, . . . , 0) + · · ·

+(0, . . . , 0, λn) = (0, 0, . . . 0) ⇔ (λ1, λ2, . . . , λn) = (0, 0, . . . 0)

⇔ λi = 0, ∀i ∈ 1, 2, . . . , n.

Observatia 3.3.6. Mai general, dat un corp comutativ K, ın K−spatiulliniar Kn se considera multimea Bn = e1, e2, . . . , en, unde

ei = (0, . . . , 0, 1locul i

, 0, . . . , 0), 1 ≤ i ≤ n.

Se arata, procedand la fel ca ın spatiul Rn, ca Bn este baza ın Kn; ea va fidenumita, de asemenea, baza canonica ın Kn.

Exemplul 5. Consideram familia

Bmn = Eij ∈Mm,n(K) | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

unde Eij este matricea avand elementul de la intersectia liniei i cu coloanaj egal cu 1 si restul elementelor nule. Bmn este baza ın Mm,n(K) (bazacanonica).

Pentru claritate, vom demonstra acest fapt ın cazul m = n = 2; cazulgeneral se trateaza analog. Avem B22 = E11, E12, E21, E22 ⊂ M2(K),unde

E11 =

(1 00 0

), E12 =

(0 10 0

), E21 =

(0 01 0

), E22 =

(0 00 1

).

34

B22 este sistem liniar independent pentru ca, date λ11, λ12, λ21, λ22 ∈ K, auloc echivalentele:

λ11E11 + λ12E12 + λ21E21 + λ22E22 = 02

⇔(λ11 00 0

)+

(0 λ12

0 0

)+

(0 0λ21 0

)+

(0 00 λ22

)=

(0 00 0

)⇔

(λ11 λ12

λ21 λ22

)=

(0 00 0

)⇔ λij = 0, ∀i, j ∈ 1, 2.

B22 este sistem de generatori pentru M2(K) deoarece orice matrice

A =

(a11 a12

a21 a22

)poate fi scrisa astfel:

A =

(a11 00 0

)+

(0 a12

0 0

)+

(0 0a21 0

)+

(0 00 a22

)= a11E11 + a12E12 + a21E21 + a22E22.

Propozitia 3.3.2. Fie V un K−spatiu liniar si B ⊆ V. Atunci B estebaza a lui V daca si numai daca orice element din V se scrie ın mod unicca o combinatie liniara de elementele lui B.

Daca B = f1, . . . , fn, propozitia de mai sus se enunta: ”B este baza ınV daca si numai daca pentru orice v ∈ V , exista si sunt unice λ1, . . . , λn ∈ K(numite coordonatele vectorului v ın baza B) astfel ıncat

v = λ1f1 + · · ·+ λnfn.”

Teorema 3.3.1. Fie K un corp. Atunci orice K−spatiu liniar V admiteo baza. Mai mult, din orice sistem de generatori al lui V se poate extrage obaza. Orice submultime liniar independenta a lui V se poate completa panala o baza.

Definitia 3.3.5. Fie V un K−spatiu liniar si B o baza a sa. Cardinalullui B se numeste dimensiunea lui V si se noteaza dimKV (sau dim V , dacanu exista pericol de confuzie).

Se demonstreaza ca orice doua baze ale lui V au acelasi cardinal, decidefinitia are sens.

Astfel, daca multimea cu n elemente B = f1, . . . , fn este baza ın V ,atunci dim V = n (spunem ca V este finit dimensional). Daca V are o bazainfinita , atunci V este infinit dimensional si scriem dim V =∞.

35

Exemple:Exemplul 1: dimK0 = 0 deoarece ∅ este baza ın spatiul liniar nul.Exemplul 2: dimRRn = n (baza canonica din Rn are n elemente).

Analog, pentru orice corp comutativ K, dimKKn = n.

Exemplul 3: dimKMm,n(K) = mn (baza canonica din Mm,n(K) aremn elemente).

Observatia 3.3.7. Dimensiunea unui spatiu liniar V este egala cu nu–marul maxim de vectori liniar independenti din V si cu numarul minim degeneratori ai lui V .

Propozitia 3.3.3. Daca dim V = n, atunci sunt echivalente afirmatiile:i) B = f1, . . . , fn este baza ın V ;ii) B este liniar independenta;iii) B este sistem de generatori pentru V .

3.4. Schimbari de baze

Fie V un K−spatiu liniar de dimensiune n si B1 = (e1, . . . , en), B2 =(f1, . . . , fn) doua baze ale lui V (asezarea elementelor ıntre paranteze rotundearata ca B1 si B2 sunt multimi ordonate, adica ordinea scrierii vectorilorın baza conteaza).

Fiecare fj ∈ B2 ⊂ V se scrie ın mod unic ca o combinatie liniara devectorii bazei B1:

(3.2) fj =

n∑i=1

sijei, pentru orice j ∈ 1, 2, . . . , n.

Astfel se obtine o matrice unic determinata

S =

s11 s12 . . . s1n

s21 s22 . . . s2n...sn1 sn2 . . . snn

∈Mn(K),

numita matricea de trecere (sau matricea schimbarii de baza) de la baza B1

la baza B2.

Observatia 3.4.1. Coordonatele fiecarui vector fj al bazei B2 ın bazaB1 se gasesc pe coloana j a matricei S. Aceasta este conventia ”geometrica”de scriere ”pe coloane” a matricei S.

O alta varianta ar fi asezarea coordonatelor ın baza B1 ale vectorilor dinB2 pe liniile matricei schimbarii de baza (conventia ”algebrica” de scriere”pe linii” a matricei). Altfel spus, consideram matricea tS drept matricea

schimbarii de baza. In acest caz, toate rezultatele pe care urmeaza sa leprezentam mai jos se reformuleaza prin transpunerea matricelor.

36

Relatiile (3.2) se pot scrie formal:

(f1, . . . , fn) = (e1, . . . , en)

s11 s12 . . . s1n

s21 s22 . . . s2n...sn1 sn2 . . . snn

.

Faptul ca S este matricea schimbarii de baza de la baza B1 la baza B2 se

scrie, simplu, B2 = B1S . In aceasta relatie B2 si B1 sunt priviti ca vectori

linie ın M1,n(V ) = V n.

Propozitia 3.4.1. Fie B1, B2, B3 baze ın V . Atunci S13 = S12S23,unde Sij noteaza matricea de trecere de la baza Bi la baza Bj, i, j ∈ 1, 2, 3.

Demonstratie. Au loc B2 = B1S12, B3 = B2S23, de unde

B3 = (B1S12)S23 = B1(S12S23)

si concluzia rezulta din unicitatea matricei schimbarii de baza.

Corolar 3.4.1. Matricea de schimbare a bazei S12 este inversabila ınMn(K) si

(3.3) (S12)−1 = S21.

Reciproc, fie B = (e1, . . . , en) o baza ın V si S = (sij) ∈ Mn(K) omatrice inversabila. Atunci elementele

(3.4) fj =

n∑i=1

sijei, j ∈ 1, 2, . . . , n

formeaza o baza a lui V .

Demonstratie. Este evident ca matricea schimbarii de baza de la o bazaoarecare la ea ınsasi este matricea unitate. Folosind propozitia anterioara,S12S21 = S11 = I si S21S12 = S22 = I, de unde rezulta relatia (3.3).

Pentru reciproca, fie B1 = (e1, . . . , en), B2 = (f1, . . . , fn) ∈ M1,n(V ).Atunci relatiile (3.4) se scriu B2 = B1S sau, echivalent, B1 = B2S

−1 (Seste inversabila!). Asadar e1, . . . , en ⊆ 〈f1, . . . , fn〉, de unde rezulta caf1, . . . , fn genereaza ıntreg spatiul V . Dar dim V = n si atunci B2 estechiar baza ın V , conform propozitiei 3.3.3.

Propozitia de mai jos precizeaza cum se schimba coordonatele unui vec-tor la schimbari de baze.

Propozitia 3.4.2. Fie u ∈ V , u =

n∑i=1

uiei =

n∑i=1

vifi, cu ui, vi ∈

K, 1 ≤ i ≤ n. Atunci

u1...un

= S

v1...vn

, unde S este matricea schimbarii

de baza de la (e1, . . . , en) la (f1, . . . , fn).

37

Demonstratie.

u =n∑i=1

uiei =n∑j=1

vjfj =n∑j=1

vj

(n∑i=1

sijei

)=

n∑i=1

n∑j=1

sijvj

ei.

si concluzia rezulta din liniara indepenedenta a vectorilor e1, . . . , en.

In multe aplicatii, fiind data o baza B1, se cauta o baza B2 cu proprieta-tea ca putem exprima coordonatele ın baza B2 ale unui vector oarecare prinniste combinatii liniare prestabilite de coordonatele sale ın baza B1 (se faceo schimbare de coordonate). Rezultatul urmator clarifica aceasta situatie.

Propozitia 3.4.3. Fie B1 = (e1, . . . , en) o baza ın V si C = (cij)n×n ∈Mn(K) o matrice inversabila. Atunci exista o unica baza B2 = (f1, . . . , fn)a lui V astfel ıncat, pentru orice vector u ∈ V , ıntre coordonatele salet(u1, . . . , un) ın baza B1 si coordonatele sale t(v1, . . . , vn) ın baza B2 sa existerelatia v1

...vn

= C

u1...un

(altfel spus, u1e1 + · · ·+ unen = v1f1 + · · ·+ vnfn sa implice

vi =n∑i=1

cijuj , 1 ≤ i ≤ n).

Baza B2 este data prin B2 = B1C−1 .

Exemplu: Fie V = R3 si B1 = (e1, e2, e3) baza canonica ın R3. Exis–ta o singura baza B2 = (f1, f2, f3) ın R3 astfel ıncat daca un vector arecoordonatele t(u1, u2, u3) ın baza B1, atunci ın baza B2 are coordonatele:

(3.5)

v1 = u1+ u3

v2 = 2u2+ u3

v3 = 2u1+ u2+ 3u3

.

Intr-adevar, relatiile (3.5) sunt echivalente cu: v1

v2

v3

=

1 0 10 2 12 1 3

u1

u2

u3

.

Matricea C =

1 0 10 2 12 1 3

este inversabila, ıntrucat det C = 6 − 4 − 1 =

1 6= 0. Conform propozitiei anterioare, baza cautata este:

B2 = B1C−1 = (e1, e2, e3)

5 1 −22 1 −1−4 −1 2

,

38

adica: f1 = 5e1 + 2e2 − 4e3 = (5, 2,−4);f2 = e1 + e2 − e3 = (1, 1,−1);f3 = −2e1 − e2 + 2e3 = (−2,−1, 2).

3.5. Operatori liniari

Definitia 3.5.1. Fie V,W spatii liniare peste corpul K. O functie ϕ :V → W se numeste aplicatie K−liniara (operator K−liniar, transformareK−liniara, morfism de K−spatii liniare) daca satisface conditiile:

ϕ(u+ v) = ϕ(u) + ϕ(v), ∀u, v ∈ V ;

ϕ(λu) = λϕ(u), ∀u ∈ V, ∀λ ∈ K.

Observatia 3.5.1. Referirea la corpul K va fi omisa daca nu existapericol de confuzie (vom spune: operator liniar).

Notam HomK(V,W ) = ϕ : V →W,ϕ este operator liniar.Un operator K−liniar ϕ : V → V se numeste K−endomorfism al lui V .

Notam EndK(V ) =HomK(V, V ).

Definitia 3.5.2. Spunem ca operatorul liniar ϕ : V → W este izo-morfism de K−spatii liniare (sau K−izomorfism) daca exista un operatorK−li–niar ψ : W → V astfel ıncat ψ ϕ = 1V , ϕ ψ = 1W .

In acest caz spatiile V si W se numesc izomorfe; notam V ∼= W .

Altfel spus, prin definitie un operator liniar ϕ este izomorfism daca sinumai daca ϕ este aplicatie inversabila si inversul sau ϕ−1 este tot operatorliniar. Propozitia de mai jos precizeaza ca inversul unui operator liniar esteautomat operator liniar.

Propozitia 3.5.1. O conditie necesara si suficienta ca un operator liniarϕ sa fie izomorfism este ca ϕ sa fie functie bijectiva.

Demonstratie. ”⇒ ” : Orice izomorfism este, conform definitiei, o functieinversabila, adica bijectiva.

” ⇐ ” : Fie ϕ un operator liniar bijectiv, deci inversabil. Asadar existafunctia ϕ−1 : W → V astfel ıncat ϕ ϕ−1 = 1W , ϕ−1 ϕ = 1V . Ramane sademonstram ca ϕ−1 este operator liniar. Folosim definitia 3.5.1.

Fie v1, v2 ∈ W oarecare. Din bijectivitatea lui ϕ, exista si sunt uniceelementele u1, u2 ∈ V astfel ıncat ϕ(u1) = v1, ϕ(u2) = v2. Din liniaritatealui ϕ, ϕ(u1 + u2) = ϕ(u1) + ϕ(u2) = v1 + v2. Aplicand ϕ−1, rezulta ca

ϕ−1(v1 + v2) = (ϕ−1 ϕ)(u1 +u2) = u1 +u2 = (ϕ−1 ϕ)(u1) + (ϕ−1 ϕ)(u2)

= ϕ−1(ϕ(u1)) + ϕ−1(ϕ(u2)) = ϕ−1(v1) + ϕ−1(v2).

39

Fie acum λ ∈ K, v ∈ W oarecare. Cum ϕ este bijectiva, exista un unicu ∈ V astfel ıncat ϕ(u) = v. Atunci ϕ(λu) = λϕ(u) = λv. Aplicand ϕ−1, seobtine:

ϕ−1(λv) = (ϕ−1 ϕ)(λu) = λu = λ(ϕ−1 ϕ)(u) = λϕ−1(ϕ(u)) = λϕ−1(v).

Cu aceasta demonstratia este ıncheiata.

Un K−izomorfism ϕ : V → V se numeste automorfism al lui V ; vomnota multimea acestora cu AutK(V ).

Exemple de operatori liniari:

• Fie V,W doua K−spatii liniare oarecare.Aplicatia 0 : V → W, 0(u) = 0, ∀u ∈ V este liniara si se numestemorfismul nul (zero).Functia 1V : V → V, 1V (u) = u, ∀u ∈ V este automorfism si senumeste morfismul identitate al lui V .• Aplicatia p1 : R2 → R, p1(x1, x2) = x1, ∀(x1, x2) ∈ R2 se numeste

proiectia pe prima coordonata si este R−liniara, dar nu este R−izomorfismdeoarece nu este aplicatie injectiva (de exemplu, (1, 0) 6= (1, 1) sitotusi p1(1, 0) = p1(1, 1) = 1).

Propozitia 3.5.2. (de caracterizare a operatorilor liniari)Aplicatia ϕ : V →W este K−liniara daca si numai daca

(3.6) ϕ(λu+ µv) = λϕ(u) + µϕ(v), ∀u, v ∈ V, ∀λ, µ ∈ K.

Demonstratie. ”⇒”: Utilizand definitia operatorului liniar,

ϕ(λu+ µv) = ϕ(λu) + ϕ(µv) = λϕ(u) + µϕ(v), ∀u, v ∈ V, ∀λ, µ ∈ K.”⇐”: Folosim ipoteza (3.6) o data pentru λ = µ = 1 si o data pentru µ = 0astfel:

ϕ(u+ v) = ϕ(1u+ 1v) = 1ϕ(u) + 1ϕ(v) = ϕ(u) + ϕ(v), ∀u, v ∈ V ;

ϕ(λu) = ϕ(λu+ 0u) = λϕ(u) + 0ϕ(u) = λϕ(u), ∀u ∈ V, ∀λ ∈ K.Prin urmare, ϕ satisface conditiile din definitia 3.5.1.

Propozitia 3.5.3. Fie V,W doua K−spatii liniare si ϕ : V → W unoperator K−liniar. Atunci:

i) ϕ(0) = 0; ϕ(−u) = −ϕ(u), ∀u ∈ V .ii) ϕ pastreaza combinatiile liniare, adica:

ϕ(λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λnun) = λ1ϕ(u1) + λ2ϕ(u2) + · · ·+ λnϕ(un),

∀n ∈ N∗, ∀u1, . . . , un ∈ V, ∀λ1, . . . , λn ∈ K.iii) Daca ψ : W → Z este un operator K−liniar, atunci ψ ϕ : V → Z

este tot operator K−liniar (compunerea a doi operatori liniari este operatorliniar).

40

Demonstratie. i) ϕ(0) = ϕ(0 + 0), sau, echivalent ϕ(0) = ϕ(0) + ϕ(0).Cum (W,+) este grup, adunand ın ambii membri opusul elementului ϕ(0) ∈W obtinem ϕ(0) = 0.

Dat u ∈ V , are loc 0 = ϕ(0) = ϕ(u + (−u)) = ϕ(u) + ϕ(−u), de underezulta ca opusul ın grupul comutativ (W,+) al elementului ϕ(u) este ϕ(−u).

ii) Pentru n = 1 relatia se obtine din definitia operatorului liniar, pentrun = 2, din propozitia 3.6, iar pentru n ≥ 3 se procedeaza prin inductiematematica.

iii) Folosim propozitia 3.6 pe rand pentru ϕ si ψ. Astfel,

(ψϕ)(λu+µv) = ψ(ϕ(λu+µv)) = ψ(λϕ(u)+µϕ(v)) = λψ(ϕ(u))+µψ(ϕ(v))

= λ(ψ ϕ)(u) + µ(ψ ϕ)(v), ∀u, v ∈ V, ∀λ, µ ∈ K.

Daca V,W sunt K−spatii liniare, atunci HomK(V,W ) are o structuranaturala de K−spatiu liniar ın raport cu operatiile:

∀ϕ,ψ ∈ HomK(V,W ), (ϕ+ ψ)(u) = ϕ(u) + ψ(u), ∀u ∈ V

(adunarea operatorilor liniari);

∀ϕ ∈ HomK(V,W ), ∀λ ∈ K, (λϕ)(u) = λϕ(u), ∀u ∈ V.

Mai precis, elementul nul ın grupul (HomK(V,W ),+) este morfismul nul0 : V → W , iar opusul operatorului liniar ϕ este operatorul liniar −ϕ,definit prin (−ϕ)(u) = −ϕ(u), ∀u ∈ V. Mai departe, pentru a arata ca λϕeste operator liniar se foloseste comutativitatea corpului K:

(λϕ)(αu+ βv) = λϕ(αu+ βv) = λ[αϕ(u) + βϕ(v)] = λαϕ(u) + λβϕ(v)

= αλϕ(u) + βλϕ(v) = α(λϕ)(u) + β(λϕ)(v), ∀u, v ∈ V, ∀α, β ∈ K.Restul proprietatilor din definitia unui spatiu liniar se verifica usor.

Pe de alta parte, (EndK(V ),+, ) este inel. Prin “” am notat com-punerea operatorilor liniari, despre care stim (din propozitia 3.5.3, punctuliii)) ca este operatie interna pe EndK(V ); elementul neutru la compunereeste 1V .

Un operator liniar este perfect determinat de valorile sale pe un sistemde generatori :

Propozitia 3.5.4. Fie V,W doua K−spatii liniare si ϕ,ψ : V → Woperatori liniari. Daca S ⊆ V este un sistem de generatori si

(3.7) ϕ(u) = ψ(u), pentru toti u ∈ S,

atunci ϕ = ψ.

41

Demonstratie. Fie v ∈ V oarecare. Intrucat 〈S〉 = V , exista u1, . . . , un ∈S si λ1, . . . , λn ∈ K astfel ıncat v = λ1u1 + · · ·+ λnun. Folosind liniaritateacelor doi operatori si relatia (3.7), avem:

ϕ(v) = ϕ(λ1u1 + λ2u2 + · · ·+ λnun) = λ1ϕ(u1) + λ2ϕ(u2) + · · ·+ λnϕ(un)

= λ1ψ(u1)+λ2ψ(u2)+ · · ·+λnψ(un) = ψ(λ1u1 +λ2u2 + · · ·+λnun) = ψ(v).

Un exemplu important de izomorfism este dat de urmatoarea propozitie:

Propozitia 3.5.5. Fie V un K−spatiu liniar de dimensiune finita n.Atunci V ∼= Kn.

Demonstratie. Fie B = (e1, . . . , en) o baza a lui V . Definim

ϕ : V → Kn,

u 7→ (λ1, . . . , λn),

unde u = λ1e1 + · · · + λnen (adica prin aplicatia ϕ asociem fiecarui vectordin V n−uplul coordonatelor sale ın baza B − despre care stim ca esteunic determinat). Se observa imediat ca ϕ este operator K−liniar, bijectiv,inversul sau fiind

ψ : Kn → V, ψ(λ1, . . . , λn) = λ1e1 + · · ·+ λnen, ∀(λ1, . . . , λn) ∈ Kn.

O generalizare a acestui rezultat precizeaza ca orice doua K− spatiiliniare de aceeasi dimensiune sunt izomorfe:

Teorema 3.5.1. Fie V,W doua K−spatii liniare. Atunci V ∼= W dacasi numai daca dimKV =dimKW.

Propozitia 3.5.6. Daca ϕ : V →W este un operator liniar si V ′ ≤K V ,W ′ ≤K W , atunci ϕ(V ′) ≤K W , ϕ−1(W ′) ≤K V.

Amintim ca

ϕ(V ′) = v ∈W | ∃u ∈ V ′ astfel ıncat ϕ(u) = v ⊆W ;

ϕ−1(W ′) = u ∈ V | ϕ(u) ∈W ′ ⊆ V ;

aceste doua multimi se numesc imaginea subspatiului V ′ prin aplicatia ϕ si,respectiv, contraimaginea subspatiului W ′ prin aplicatia ϕ. Asadar, propo–zitia precedenta afirma ca imaginile si contraimaginile unor subspatii liniareprin aplicatii liniare sunt tot subspatii liniare.

Urmatoarea definitie introduce doua subspatii importante asociate unuioperator liniar.

Definitia 3.5.3. Fie ϕ : V →W un operator liniar. Se definesc:-imaginea lui ϕ, Im ϕ = ϕ(V ) = v ∈W | ∃u ∈ V a.ı. ϕ(u) = v ≤W ;-nucleul lui ϕ, Ker ϕ = ϕ−1(0) = u ∈ V | ϕ(u) = 0 ≤ V.

Notatia ”Ker” provine de la cuvantul englez ”kernel”=nucleu.

42

Propozitia 3.5.7. Fie ϕ : V → W un operator liniar. Atunci ϕ esteinjectiv daca si numai daca Ker ϕ = 0.

Teorema 3.5.2. (teorema rangului) Fie ϕ : V →W un operator liniar,iar dim V <∞. Atunci

dim Im ϕ+ dim Ker ϕ = dim V.

In particular, dim Im ϕ ≤ dim V.

Numarul natural dim Im ϕ se numeste rangul lui ϕ si se noteaza rang ϕ.

Un caz particular important de aplicatii liniare ıl constituie operatoriiliniari de la K−spatiul liniar V la K, numiti si forme liniare pe V (saufunctionale liniare pe V , daca V este un spatiu de functii infinit dimen-sional). Spatiul liniar HomK(V,K) = ϕ :K V → K aplicatie liniara senoteaza cu V ∗ si se numeste dualul lui V .

Exemplu: Fie K un corp comutativ si fixam λ1, . . . , λn ∈ K. Aplicatia

ϕ : Kn → K, ϕ(u1, . . . , un) = λ1u1 + · · ·+ λnun

este o forma liniara pe Kn. De fapt, se poate demonstra ca orice formaliniara pe Kn arata ın acest mod.

3.6. Matricea asociata unui operator liniar pe spatii liniare finitdimensionale

Operatorii liniari ıntre doua K−spatii liniare finit dimensionale suntstrans legati de matrice: daca V,W sunt K−spatii liniare si BV este o bazaın V , a da un operator liniar ϕ : V → W revine (conform propozitiei 3.5.4,pagina 41) la a asocia fiecarui vector al bazei BV cate un vector din W .Fixand o baza BW ın W , coordonatele acestor vectori ın baza BW formeazao matrice.

Fie V,W douaK−spatii liniare finit dimensionale, dim V = n, dim W =m. Fie ϕ : V →W un operator liniar, BV = (e1, . . . , en) o baza ın V , BW =(f1, . . . , fm) o baza ın W (am considerat BV , BW ca multimi ordonate, deciordinea enumerarii vectorilor ın baza conteaza!). Exista o scriere unica deforma

(3.8) ϕ(ej) = a1jf1 + a2jf2 . . .+ amjfm, 1 ≤ j ≤ n,

unde aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n (aceasta datorita faptului ca fiecarevector ϕ(ej) ∈W se descompune ın mod unic dupa baza BW ).

Matricea A = (aij)m×n ∈ Mm,n(K) se numeste matricea asociata ope-ratorului liniar ϕ ın perechea de baze (BV , BW ).

Observatia 3.6.1. Matricea asociata lui ϕ ın perechea de baze (BV , BW )este singura matrice din Mm,n(K) pentru care au loc relatiile (3.8).

43

Observatia 3.6.2. Din nou, am folosit conventia ”geometrica” de scri-ere ”pe coloane” a matricei A. Altfel spus, pentru orice j ∈ 1, . . . , n,coordonatele lui ϕ(ej) ın baza BW se gasesc pe coloana j a matricei A.

Conventia ”algebrica” de scriere ”pe linii” a matricei asociate unui ope-rator ıntr-o pereche de baze ar reveni la considerarea matricei tA.

Daca V = W , se ia de obicei BV = BW .

Teorema 3.6.1. Fie V,W doua K−spatii liniare, dim V = n, dim W =m. Fie BV o baza ın V si BW o baza ın W .

Oricare ar fi o matrice A ∈Mm,n(K), exista un unic K−operator liniarϕ : V → W astfel ıncat matricea asociata operatorului liniar ϕ ın perecheade baze (BV , BW ) sa fie A. In plus, ∀ϕ,ψ ∈ HomK(V,W ), ∀λ, µ ∈ K, dacaA este matricea asociata operatorului liniar ϕ ın perechea de baze (BV , BW ),B este matricea asociata operatorului liniar ψ ın perechea de baze (BV , BW ),iar C este matricea asociata operatorului liniar λϕ+µψ ın perechea de baze(BV , BW ), atunci C = λA+ µB.

Altfel spus, avem un izomorfism de K−spatii liniare:

HomK(V,W ) → Mm,n(K)ϕ 7→ A

Observatia 3.6.3. Acest rezultat este deosebit de important, deoareceafirma ca fixarea a doua baze ın V,W permite identificarea operatorilor lini-ari de la V la W cu matricele peste K de tip dim W × dim V , cu pastrareaoperatiilor.

Teorema 3.6.2. Fie V,W,Z trei K−spatii liniare finit dimensionale,de dimensiuni n,m si, respectiv, p si fie BV , BW , BZ baze ın V,W,Z. Fieϕ : V → W si ψ : W → Z operatori liniari. Atunci matricea asociataoperatorului liniar ψ ϕ ın perechea de baze (BV , BZ) este produsul dintrematricea B asociata operatorului liniar ψ ın perechea de baze (BW , BZ) simatricea A asociata operatorului liniar ϕ ın perechea de baze (BV , BW ) :

Vnϕ−→

Am×n

Wmψ−→

Bp×m

Zp︸ ︷︷ ︸(BA)p×n

Observatia 3.6.4. Teorema precedenta justifica definitia produsului adoua matrice dupa regula prezentata ın definitia 1.2.5,pagina 6.

Observatia 3.6.5. Considerarea conventiei ”algebrice” ar conduce laregula: matricea compunerii ψ ϕ este produsul dintre matricea lui ϕ simatricea lui ψ.

Ne punem problema cum se schimba matricea unui operator liniar laschimbarea bazelor.

44

Propozitia 3.6.1. Fie V,W spatii liniare peste K, de dimensiune n si,respectiv, m. Fie ϕ : V → W un operator liniar. Consideram doua bazeBV si B′V ın V si doua baze BW si B′W ın W . Notam cu S ∈ Mn(K)matricea de trecere de la baza BV la baza B′V si cu T ∈ Mm(K) matriceade trecere de la baza BW la baza B′W . Daca A si B sunt matricele asociateoperatorului liniar ϕ ın perechile de baze (BV , BW ), respectiv (B′V , B

′W ),

atunci B = T−1AS .

Corolar 3.6.1. Daca ϕ ∈ EndK(V ), BV si B′V sunt baze ın V , S estematricea de trecere de la baza BV la baza B′V , iar A si B sunt matriceleasociate lui ϕ ın perechile de baze (BV , BV ) si, respectiv, (B′V , B

′V ), atunci

B = S−1AS .

Definitia 3.6.1. Fie A,B ∈ Mn(K). Spunem ca matricea A este ase-menea cu matricea B (si scriem A ≈ B)daca exista o matrice inversabilaS ∈Mn(K) astfel ıncat B = SAS−1.

Asadar, daca V este finit dimensional si ϕ ∈ EndKV , atunci toate ma-tricele asociate lui ϕ ın diverse baze ale lui V sunt asemenea. Reciproc, date:un K−spatiu liniar V , cu dim V = n, o baza BV ın V si doua matrice ase-menea A,B ∈ Mn(K), exista si sunt unice: un endomorfism ϕ ∈ EndKV ,astfel ıncat A sa fie matricea lui ϕ ın baza BV , si o baza B′V ın V , astfelıncat matricea lui ϕ ın baza B′V sa fie B.

Acest fapt este important, deoarece pentru un endomorfism este une-ori utila gasirea unei baze ın care matricea acestuia sa fie cat mai simpla(matrice diagonala (elementele nesituate pe diagonala principala sa fie zero)sau macar triunghiulara (deasupra sau dedesubtul diagonalei principale sa

contina numai zerouri)). In termeni matriciali, aceasta ar ınsemna ca datao matrice A, se cauta o matrice de forma cat mai simpla si asemenea cu A.

3.7. Vectori proprii si valori proprii pentru un operator liniar

Fie K un corp comutativ si V un K−spatiu liniar, dim V = n ∈ N∗.Daca ϕ ∈ EndK(V ), fixand o baza B = (e1, . . . , en) ın V , lui ϕ i se asociazao matrice A = (aij)n×n ∈ Mn(K); pe coloana j a matricei A se scriu

coordonatele vectorului ϕ(ej) ∈ V ın baza B, adica

ϕ(ej) =

n∑i=1

aijei.

Reciproc, pentru orice matrice A ∈ Mn(K) exista un unic endomorfismϕ ∈ EndK(V ) astfel ıncat matricea asociata lui ϕ ın baza B sa fie A (teorema3.6.1, pagina 44).

45

Fie acum u = u1e1 + · · ·+ unen ∈ V . Atunci

ϕ(u) = ϕ

n∑j=1

ujej

=n∑j=1

ujϕ(ej)

=n∑j=1

uj

(n∑i=1

aijei

)=

n∑i=1

n∑j=1

aijuj

ei.

Prin urmare, daca notam cu ξ =

u1

u2...un

vectorul coloana al coordonatelor

lui u ın baza B, atunci vectorul coloana al coordonatelor lui ϕ(u) ın bazaB este Aξ. Atunci lui ϕ : V → V ıi corespunde operatorul liniar definit dematricea A (notat prin abuz tot cu A):

A : Kn → Kn

ξ 7→ Aξ, ∀ξ ∈ Kn.

Definitia 3.7.1. Un vector u ∈ V se numeste vector propriu al lui ϕ

daca u 6= 0 si exista un scalar λ ∈ K astfel ıncat ϕ(u) = λu.

Un scalar λ ∈ K se numeste valoare proprie a lui ϕ daca exista un vectornenul u ∈ V astfel ıncat ϕ(u) = λu. Orice vector u 6= 0 cu ϕ(u) = λu senumeste vector propriu corespunzator valorii proprii λ.

Definitiile de mai sus se rescriu pentru o matrice A ∈Mn(K) :

Definitia 3.7.2. Un vector ξ ∈ Kn se numeste vector propriu al matri-

cei A daca ξ 6= 0 si exista un scalar λ ∈ K astfel ıncat Aξ = λξ.

Un scalar λ ∈ K se numeste valoare proprie a lui A daca exista unvector nenul ξ ∈ Kn astfel ıncat Aξ = λξ. Orice vector ξ 6= 0 cu Aξ = λξse numeste vector propriu corespunzator valorii proprii λ.

Definitia 3.7.3. Multimea valorilor proprii ale unui endomorfism ϕ senumeste spectrul lui ϕ si se noteaza Spec(ϕ).

Multimea valorilor proprii ale unei matrice A se numeste spectrul lui Asi se noteaza Spec(A).

Observatia 3.7.1. Daca A este matricea asociata endomorfismului ϕın baza B = (e1, . . . , en) a lui V , atunci:

a) λ ∈ K este valoare proprie pentru ϕ daca si numai daca λ este valoareproprie pentru A;

46

b) u = u1e1 + · · ·+ unen ∈ V este vector propriu al lui ϕ, corespunzator

valorii proprii λ, daca si numai daca

u1

u2...un

∈ Kn este vector propriu al

lui A, corespunzator valorii proprii λ.

Vom folosi adeseori acest transfer de notiuni si rezultate

ıntre endomorfisme si matrice.

Observatia 3.7.2. Unui vector propriu ıi corespunde o unica valoareproprie. Intr-adevar, daca ϕ(u) = λu = µu, atunci (λ−µ)u = 0 si, ıntrucatu 6= 0, rezulta ca λ− µ = 0.

In schimb, unei valori proprii ıi corespund mai multi vectori proprii (oinfinitate daca K este infinit).

Definitia 3.7.4. Fie ϕ ∈ EndK(V ) si λ ∈ Spec(ϕ). Definim subspatiulpropriu corespunzator valorii proprii λ,

Vλ(ϕ) = u ∈ V | ϕ(u) = λu= u ∈ V | (ϕ− λ1V )(u) = 0 = Ker(ϕ− λ1V ).

Vλ(ϕ) este, ıntr-adevar, subspatiu liniar ın V , deoarece coincide cu nu-cleul operatorului liniar ϕ− λ1V . Se constata ca

u ∈ Vλ(ϕ)⇔ (u = 0 sau u este vector propriu al lui ϕ).

Analog se introduce subspatiul propriu Vλ(A) = ξ ∈ Kn | Aξ = λξ.Observatia 3.7.3. ϕ(Vλ(ϕ)) ⊆ Vλ(ϕ) (pentru ca daca u ∈ Vλ(ϕ), atunci

ϕ(u) = λu ∈ Vλ(ϕ), deoarece Vλ(ϕ) ≤ V.) Spunem ca Vλ(ϕ) este subspatiuinvariant fata de ϕ (ϕ−invariant).

Propozitia 3.7.1. Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii dis-tincte sunt liniar independenti (adica daca m ∈ N∗, λ1, . . . , λm ∈ K suntvalori proprii distincte ale lui ϕ ∈ EndK(V ), iar ui este vector propriu cores-punzator lui λi, 1 ≤ i ≤ m, atunci u1, . . . , um este liniar independenta).

Pentru determinarea practica a valorilor proprii se utilizeaza:

Propozitia 3.7.2. Fie ϕ ∈ EndK(V ) si A ∈ Mn(K) matricea lui ϕıntr-o baza B. Atunci λ ∈ K este valoare proprie a lui ϕ daca si numai

daca det(λI −A) = 0 (unde I =

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...0 0 . . . 0 1

∈Mn(K)).

Demonstratie. λ ∈ Spec(ϕ)⇔ λ ∈ Spec(A)⇔ ∃ξ ∈ Kn \ 0 astfel ıncatAξ = λξ ⇔ sistemul algebric liniar si omogen (λI − A)ξ = 0 are solutianenula ξ ∈ Kn ⇔ determinantul acestui sistem este nul⇔ det (λI−A) = 0.

47

Definitia 3.7.5. Fie A = (aij)n×n ∈Mn(K) si

XI =

X 0 . . . 0 00 X . . . 0 0...0 0 . . . 0 X

∈Mn(K[X])

(K[X] fiind inelul polinoamelor ın nedeterminata X cu coeficienti ın K).Polinomul

fA = det (XI −A)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣X − a11 −a12 . . . −a1n−1 −a1n

−a12 X − a22 . . . −a2n−1 −a2n...

−an1 −an2 . . . −ann−1 X − ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∈ K[X]

se numeste polinomul caracteristic al matricei A.Daca ϕ ∈ EndK(V ), definim polinomul caracteristic al lui ϕ (notat fϕ)

ca fiind polinomul caracteristic al matricei lui ϕ ıntr-o baza a lui V .

Observatia 3.7.4. Se poate demonstra ca definitia lui fϕ este corecta,mai precis, ca indiferent de baza aleasa pentru scrierea matricei lui ϕ, seobtine acelasi polinom caracteristic.

Propozitia 3.7.2 se reformuleaza ca: λ ∈ K este valoare proprie a matri-cei A daca si numai daca λ este radacina a polinomului caracteristic al luiA.

Exemplu: Fie matricea A =

(0 2−2 0

)∈M2(R). Polinomul ei carac-

teristic este fA = det (XI − A) =

∣∣∣∣ X −22 X

∣∣∣∣ = X2 + 4. Acest polinom nu

are radacini reale, deci A nu are valori proprii reale.Daca ınsa privim A ca matrice cu coeficienti complecsi: A ∈ M2(C),

atunci λ2 + 4 = 0⇔ λ = ±2i ∈ C (valori proprii complexe pentru A).Ar fi de dorit ca orice polinom neconstant cu coeficienti ınK sa aiba toate

radacinile ın K (altfel spus, corpul K sa fie algebric ınchis). Un exemplu decorp algebric ınchis este C ( consecinta a teoremei fundamentale a algebrei :orice polinom algebric de grad cel putin 1 cu coeficienti complecsi are celputin o radacina complexa).

Daca polinomul caracteristic fϕ are toate radacinile λ1, . . . , λn ın K (nuneaparat distincte), atunci

fϕ = (X − λ1)(X − λ2) . . . (X − λn)

si λ1, . . . , λn sunt toate valorile proprii ale lui ϕ. Spunem atunci ca ϕ aretoate valorile proprii ın K (sau ca ϕ are n = dim V valori proprii ın K).

Definitia 3.7.6. Multiplicitatea algebrica a valorii proprii λ a lui ϕ estemultiplicitatea lui λ ca radacina a lui fϕ.

48

Multiplicitatea geometrica a valorii proprii λ a lui ϕ este dim Vλ(ϕ).

Aceasta definitie poate fi rescrisa analog pentru matrice A ∈Mn(K).

Fie A = (aij)n×n ∈ Mn(K) si fA = det (XI − A) = Xn − c1Xn−1 +

c2Xn−2 − . . .+ (−1)ncn, unde c1, . . . cn ∈ K. Se observa ca:

c1 = a11 + a22 + · · ·+ anndef.= Tr(A)(trace(A) sau urma matricei A);

cn =det A;ın general, pentru 1 ≤ k ≤ n,

ck = suma minorilor de ordin k ai lui A de pe diagonala principala (adicaobtinuti la intersectia a k linii i1, . . . , ik si a coloanelor cu aceiasi indicii1, . . . , ik ale matricei A) - ın total Ckn minori.

Pentru un endomorfism ϕ al unui spatiu liniar n−dimensional, de ma-trice A (ıntr-o baza oarecare) si polinom caracteristic fϕ = fA, sunt bine

definiti coeficientii c1, . . . , cn ca mai sus, iar c1 = Tr(A)def.= Tr(ϕ) se

numeste urma lui ϕ si cn = det (A)def.= det (ϕ) se numeste determinan-

tul lui ϕ.Determinarea vectorilor proprii ai unei matrice: Presupunem

ca am gasit (ca ajutorul propozitiei 3.7.2) o valoare proprie λ a matricei A.Pentru a determina vectorii proprii ai lui A corespunzatori lui λ trebuie sarezolvam sistemul algebric liniar si omogen Aξ = λξ, echivalent

(3.9) (λI −A)ξ = 0.

Stim ca det (λI − A) = 0 si atunci rang λI − A = r < n. Se rezolvasistemul (3.9). Alegand pentru cele n − r necunoscute secundare, pe rand,valorile (1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0),. . . , (0, 0, 0, . . . , 1), se obtin n−r solutiiξ1, . . . , ξn−r ale sistemului (3.9), care formeaza o familie liniar independenta,adica o baza ın subspatiul Vλ(A). Familia ξ1, . . . , ξn−r se numeste sistemfundamental de solutii.

Orice vector propriu corespunzator lui λ se va scrie atunci ın mod unicca o combinatie liniara de ξ1, . . . , ξn−r.

Pentru a determina vectorii proprii asociati unui operator liniar ϕ ∈EndK(V ) se procedeaza ın acelasi mod, pornind de la matricea A a opera-torului ıntr-o baza a lui V .

Propozitia 3.7.3. Fie ϕ ∈ EndK(V ). Urmatoarele conditii sunt echi-valente:

a) ϕ este diagonalizabil (adica exista o baza a lui V ın care matricea luiϕ sa fie diagonala);

b) exista o baza a lui V formata din vectori proprii ai lui ϕ;c) ϕ are toate valorile proprii ın K si multiplicitatea algebrica a fiecarei

valori proprii λ este egala cu dimKVλ(ϕ).

O baza a lui V ın care matricea lui ϕ sa fie diagonala este o baza formatadin vectori proprii ai lui ϕ corespunzatori celor dim V valori proprii distincte.

49

Partea 2

ECUATII DIFERENTIALE

CAPITOLUL 4

Ecuatii diferentiale de ordinul ıntai

4.1. Ecuatii diferentiale - introducere

Ecuatiile diferentiale au aparut si s-au dezvoltat din dorinta de a prezicecu o acuratete cat mai mare evolutia sistemelor fizice, chimice, biologice,etc. Caracteristicile fenomenelor, legile dupa care acestea evolueaza au fosttranscrise ın forma abstracta ca modele matematice. De multe ori acestemodele iau forma unor ecuatii diferentiale sau sisteme de ecuatii diferentiale.

Definitia 4.1.1. (1) O ecuatie diferentiala este o relatie ıntre ofunctie necumoscuta, derivatele ei (ordinare sau partiale) pana laun anumit ordin si variabila independenta (variabilele indepen–dente).

(2) Ordinul maxim de derivare al functiei necunoscute care apare ınecuatie se numeste ordinul ecuatiei.

Cea mai uzuala clasificare a ecuatiilor diferentiale este cea data de numa–rul de variabile independente de care depinde functia necunoscuta:

• ecuatii diferentiale ordinare: functia necunoscuta depinde de o sin-gura variabila independenta; ın ecuatie intervin derivate ordinare(obisnuite) ale functiei necunoscute ın raport cu aceasta variabila;• ecuatii diferentiale cu derivate partiale: functia necunoscuta de-

pinde de mai multe variabile independente; ın ecuatie apar efectivderivate partiale ale functiei necunoscute ın raport cu aceste vari-abile.

Pentru simplitate, pentru ecuatiile diferentiale ordinare se foloseste de-numirea scurta de “ecuatii diferentiale”, iar pentru ecuatiile diferentiale cuderivate partiale, denumirea de “ecuatii cu derivate partiale”.

Probabil cel mai cunoscut model de ecuatie diferentiala (ordinara) este

cel dat de principiul al doilea al mecanicii (−→F = m−→a ):

(4.1) mx′′(t) = F (t, x(t), x′(t)),

care exprima legea de miscare a unui punct material de masa m asupracaruia actioneaza o forta F . Prin x(t), x′(t) si x′′(t) s-au notat, ın ordine,pozitia, viteza si acceleratia punctului material la momentul t. Ecuatia (4.1)este o ecuatie diferentiala de ordinul al doilea ın necunoscuta x = x(t).

53

Daca, de exemplu, forta care actioneaza asupra punctului material estegreutatea, atunci relatia (4.1) se scrie sub forma:

mx′′ = −mg ⇔ x′′ = −g,care prin doua integrari conduce la familia de solutii:

x(t) = −g2t2 + C1t+ C2, C1, C2 ∈ R fiind constante arbitrare.

Desigur, pentru a individualiza o solutie din aceasta familie (adica, pentru afixa valorile constantelor C1, C2), va trebui sa asociem ecuatiei doua conditiisuplimentare. Precizand, de exemplu, pozitia si viteza initiale ale particulei:

x(0) = x0, x′(0) = v0,

deducem ca pozitia punctului material la momentul t este descrisa de aplica-

tia x(t) = −g2t2 + v0t+ x0.

O ecuatie cu derivate partiale foarte des ıntalnita este ecuatia propagariicaldurii ıntr-un corp omogen Ω (asimilat unui deschis Ω ⊂ Rn, n = 1, 2, 3):

(4.2)∂u

∂t(x, t)− a2∆u(x, t) = f(x, t), x ∈ Ω, t ∈ (0, T ), T > 0.

Functia necunoscuta u(x, t) reprezinta temperatura la momentul t ın punc-tul x al corpului; a este o constanta strict pozitiva. Densitatea surselorgeneratoare de caldura din corp ın punctul x la momentul t este f(x, t).

Prin ∆ se ıntelege ın acest caz laplaceanul ın coordonatele spatiale:

∆u(x) =n∑i=1

∂2u

∂x2i

(x), x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω ⊂ Rn.

Ecuatia propagarii caldurii este o ecuatie cu derivate partiale de ordinul aldoilea.

Atunci cand distributia temperaturii ın corp nu depinde de timp (cazulstationar), ecuatia (4.2) capata forma:

∆u(x) = f(x), x ∈ Ω,

numita ecuatia lui Poisson. Daca, ın plus, lipsesc si sursele interioare decaldura (f = 0), se obtine ecuatia lui Laplace:

∆u(x) = 0, x ∈ Ω.

Observatia 4.1.1. Daca notam prin u(x, t) concentratia unui gaz lamomentul t ın sectiunea x a unui tub si presupunem coeficientul de difuzieconstant, atunci aceeasi ecuatie (4.2) descrie difuzia gazului ın acel tub Ω.De aceea ecuatia (4.2) este cunoscuta si sub numele de ecuatia difuziei.

In general, forma unei ecuatii diferentiale (ordinare) de ordin n este:

(4.3) F(t, x, x′, . . . , x(n)

)= 0,

54

unde functia x = x(t) (t fiind variabila independenta) este necunoscuta, iarF : D(F ) ⊆ Rn+2 → R este o functie data, neconstanta ın raport cu ultimavariabila (altfel ecuatia (4.3) ar avea ordinul mai mic ca n).

In anumite conditii de regularitate asupra functiei F , ecuatia (4.3) poatefi rescrisa ın forma:

(4.4) x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)

)(unde f : D(f) ⊆ Rn+1 → R), numita forma normala a ecuatiei diferentialede ordinul n.

Observatia 4.1.2. Pentru simplitate, atunci cand nu este pericol deconfuzie, se renunta la scrierea argumentului functiei necunoscute (scriemx, x′, . . . ın loc de x(t), x′(t), . . .).

Definitia 4.1.2. O functie x : Ix → R (Ix ⊆ R fiind un interval realcu interior nevid - adica Ix nu este ∅ sau o multime cu un singur element)este solutie a ecuatiei diferentiale de ordinul n (4.3) daca sunt ındepliniteurmatoarele conditii:i) x ∈ Cn(Ix) (altfel spus, x este derivabila de n ori, cu derivata de

ordin n continua);

ii)(t, x(t), x′(t), . . . , x(n)(t)

)∈ D(F ), ∀ t ∈ Ix;

iii) F(t, x(t), x′(t), . . . , x(n)(t)

)= 0, ∀ t ∈ Ix.

Definitia 4.1.3. O functie x : Ix → R (Ix ⊆ R fiind un interval realcu interior nevid) este solutie a ecuatiei diferentiale de ordinul n ın formanormala (4.4) daca sunt verificate conditiile:i) x ∈ Cn(Ix);

ii)(t, x(t), x′(t), . . . , x(n−1)(t)

)∈ D(f), ∀ t ∈ Ix;

iii) x(n)(t) = f(t, x(t), x′(t), . . . , x(n−1)(t)

), ∀ t ∈ Ix.

O ecuatie diferentiala de ordin n are o infinitate de solutii, depinzandde n constante.

Definitia 4.1.4. Multimea solutiilor unei ecuatii diferentiale se numestesolutie generala.

Pentru a extrage din multimea solutiilor unei ecuatii diferentiale o sin-gura solutie sunt necesare informatii ın plus despre aceasta.

Uneori modelele matematice apar sub forma unor sisteme de ecuatiidiferentiale. Consideram sistemul diferential de ordinul ıntai:

(4.5)

x′1 = f1(t, x1, . . . , xn)x′2 = f2(t, x1, . . . , xn)...x′n = fn(t, x1, . . . , xn),

unde f1, f2, . . . , fn : D ⊆ Rn+1 → R sunt functii date pe un deschis D.

55

Definitia 4.1.5. Prin solutie a sistemului diferential (4.5) se ıntelegeun n−uplu de functii x1, x2, . . . , xn : Ix → R (unde Ix ⊆ R este un intervalreal cu interior nevid) care verifica urmatoarele conditii:i) xi ∈ C1(Ix), pentru toti i ∈ 1, 2, . . . , n;ii) (t, x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) ∈ D, ∀ t ∈ Ix;iii) x′i(t) = fi(t, x1(t), x2(t), . . . , xn(t)), ∀ t ∈ Ix, ∀ i ∈ 1, 2, . . . , n.

In continuare ne vom ocupa de ecuatii diferentiale de ordinul ıntai ınforma normala, adica de ecuatii de forma:

(4.6) x′ = f(t, x)

(pentru care vom cauta, asadar, ca solutii functii x de clasa C1 definite peintervale). O ecuatie diferentiala de ordinul ıntai are o infinitate de solutii,depinzand de o constanta. Pentru a individualiza o solutie sunt necesareinformatii suplimentare despre aceasta - de exemplu, sa-i precizam valoareaıntr-un punct cunoscut.

O problema Cauchy consta ın determinarea unei solutii x a ecuatieidiferentiale (4.6), care pentru o valoare data t0 a argumentului sa ia o valoaredata x0:

(4.7)

x′ = f(t, x)x(t0) = x0.

Date (t0, x0) ∈ D(f), se cauta o solutie x : Ix → R a ecuatiei, astfel ıncatt0 ∈ Ix si x(t0) = x0.

Observatia 4.1.3. O problema Cauchy pentru ecuatia diferentiala deordin n (4.4) are forma:

(4.8)

x(n) = f

(t, x, x′, . . . , x(n−1)

)x(t0) = x0

1, x′(t0) = x0

2, . . . , x(n−1)(t0) = x0

n,

unde (t0, x01, x

02, . . . , x

0n) ∈ D(f).

Se urmareste gasirea unei solutii x : Ix → R a ecuatiei, astfel ıncatt0 ∈ Ix si x(t0) = x0

1, x′(t0) = x0

2, . . . , x(n−1)(t0) = x0

n.

In studiul problemei Cauchy (4.7) se pot pune urmatoarele subpro-bleme:

• existenta solutiilor;• unicitatea solutiei;• problema aproximarii solutilor, daca nu se pot calcula efectiv;• prelungibilitatea solutiilor;• comportarea solutiilor neprelungibile la capatul intervalului maxim

de definitie;• dependenta continua sau diferentiabila a solutiilor de mebrul dreptf si de data initiala x0, etc.

56

Clasa ecuatiilor diferentiale care se pot efectiv rezolva este foarte restransa.Ne oprim la:

Ecuatii diferentiale rezolvabile prin cuadraturi. Prin cuadraturaıntelegem metoda care consta ın reducerea rezolvarii unei probleme de anlizamatematica la calculul unei integrale (definite sau nedefinite). Denumireaprovine de la un procedeu de calcul al ariei unei figuri plane, foarte utilizatın antichitate, numit cuadrare, deoarece consta ın construirea cu rigla sicompasul a unui patrat avand aceeasi arie cu aceea a figurii respective.

Vom prezenta ın continuare doar trei tipuri de ecuatii rezolvabile princuadraturi, care se ıntalnesc mai frecvent. Toate trei sunt ecuatii diferentialede ordinul ıntai ın forma normala.

Solutiile acestor ecuatii vor fi exprimate :

• ın forma explicita: x = x(t) sau• ın forma implicita: F(t, x(t)) = 0.

4.2. Ecuatii cu variabile separabile

Au forma generala:

x′ = f(t)g(x), (EV S)

unde f : I → R, g : J → R sunt functii continue (I, J ⊆ R fiind intervaledeschise nevide), iar g(r) 6= 0, pentru toti r ∈ J.

Teorema 4.2.1. In ipotezele de mai sus, solutia generala a ecuatiei(EV S) este data de:

(4.9) x(t) = G−1

(∫ t

t0

f(s)ds

), pentru orice t ∈ Ix,

unde t0 ∈ I este un punct fixat, iar G : J → R este definita prin

(4.10) G(r) =

∫ r

x0

dτ

g(τ), oricare ar fi r ∈ J,

cu x0 ∈ J fixat.

Observatia 4.2.1. Dand diverse valori lui t0, x0, obtinem diferite solutiiale (EV S).

Demonstratie. Cum g 6= 0 pe J si este continua, rezulta ca g pastreaza

semn constant pe J . Atunci1

geste continua si pastreaza semn constant pe

J , deci va admite primitive pe J . O astfel de primitiva este G. FunctiaG este injectiva, deoarece este strict monotona (derivata ei fiind functia cu

semn constant1

g

). Mai mult, G : J → Im G este si surjectiva. Prin urmare,

G este bijectiva, echivalent, inversabila, iar inversa ei G−1 : Im G→ J. Pede alta parte, ıntrucat functia f este continua pe I, este integrabila pe oricesubinterval al lui I. In concluzie, expresia din membrul drept al relatiei

57

(4.9) are sens (desigur, x(t) va fi definita doar pentru acei t pentru care∫ t

t0

f(s)ds ∈ Im G).

Avem de demonstrat:

(1) ca functia x definita prin (4.9) este o solutie a ecuatiei (EV S) (caresatisface x(t0) = x0);

(2) ca orice solutie a ecuatiei (EV S) are forma (4.9).

Presupunem ca x este dat de (4.9). AtunciG(x(t)) =

∫ t

t0

f(s)ds, ∀t ∈ Ix.

In ambii membri avem functii derivabile ın raport cu t; derivam si obtinem:

G′(x(t))x′(t) = f(t), ∀t ∈ Ix ⇔(4.10) 1

g(x(t))x′(t) = f(t), ∀t ∈ Ix,

adica (EV S). In plus, din (4.9) rezulta ca x(t0) = G−1(0) = x0 (pentru ca(4.10) implica G(x0) = 0).

Invers, fie x : Ix → R o solutie pentru (EV S). In (EV S) se poateımparti cu g(x(t)) pentru ca g 6= 0 pe J . Rezulta ca:

x′(t)

g(x(t))= f(t), ∀t ∈ Ix.

Integram membru cu membru de la t0 la t:∫ t

t0

x′(s)

g(x(s))ds =

∫ t

t0

f(s)ds, ∀t ∈ Ix.

In prima integrala facem schimbarea de variabila x(s) = τ , notam x0 = x(t0)si obtinem: ∫ x(t)

x0

dτ

g(τ)=

∫ t

t0

f(s)ds.

Altfel spus, G(x(t)) =

∫ t

t0

f(s)ds, conform definitiei (4.10). Intrucat G este

inversabila, ultima relatie se rescrie x(t) = G−1

(∫ t

t0

f(s)ds

).

Observatia 4.2.2. In aplicatii practice se ıntampla ca functia g sa seanuleze. Se constata ca zerourile lui g sunt solutii constante pentru ecuatiacu variabile separabile si apoi se aplica rezultatul anterior considerand grestransa la intervalele deschise dintre doua zerouri consecutive ale ei.

Exemplul 4.2.1. Sa se rezolve ecuatia x′ = 3t2e−xsi apoi sa se gaseascasolutiile care satisfac x(1) = 0.

Solutie. Se rescrie ecuatia cadx

dt= 3t2e−x ⇔ exdx = 3t2dt si, odata

separate variabilele, se integreaza:∫exdx =

∫3t2dt⇔ ex = t3 + C, cu C ∈ R constanta

58

⇔ x(t) = ln (t3 + C), cu C ∈ R constanta.

Ne amintim ca functia ln : (0,∞)→ R, asadar trebuie precizat ca

t3 + C > 0⇔ t >3√C ⇔ t ∈

(3√C,∞

).

Punem acum conditia initiala x(1) = 0. Dand lui t valoarea 1 ın expresiasolutiei x(t), rezulta 0 = ln (1 + C)⇔ C = 0.

In concluzie, unica solutie a problemei Cauchy este:

x(t) = 3 ln t, t ∈ (0,∞).

4.3. Ecuatii liniare de ordinul ıntai

Au forma generala:

x′ = a(t)x+ b(t), (EL)

unde a, b : I → R sunt functii continue pe un interval I ⊆ R deschis nevid.Daca b(t) = 0, pentru toti t ∈ I, ecuatia se numeste liniara si omogena, iarın caz contrar, liniara si neomogena.

Teorema 4.3.1. Solutia generala a ecuatiei (EL) este data de formulavariatiei constantelor:

x(t) = x0e∫ tt0a(s)ds

+

∫ t

t0

e∫ ts a(τ)dτ b(s)ds, ∀t ∈ I, (FV C)

unde t0 ∈ I este fixat, iar x0 ∈ R.

Demonstratie. Avem de demonstrat ca:

(1) daca x este data de (FV C), atunci x verifica (EL) (si x(t0) = x0);(2) daca x este o solutie pentru (EL), atunci x este data de (FV C).

Intr-adevar, din faptul ca functiile a, b sunt continue pe I, rezulta ca∫ t

t0

a(s)ds si

∫ t

t0

e∫ ts a(τ)dτ b(s)ds sunt functii derivabile pe I (ın raport cu t),

cu derivata continua. Ca atare, x data de (FV C) este o functie de clasa C1

pe I. Derivand ın ambii membri ın raport cu t relatia (FV C), se obtine1:

x′(t) = x0e∫ tt0a(s)ds

(∫ t

t0

a(s)ds

)′+ e

∫ tt a(τ)dτ b(t) + a(t)

∫ t

t0

e∫ ts a(τ)dτ b(s)ds

= a(t)x(t) + b(t), ∀t ∈ I.Facand t = t0 ın (FV C), se constata ca x(t0) = x0.

1Se aplica urmatoarea formula de derivare a unei integrale ın raport cu un parametrucare apare si ın limitele de integrare, si sub integrala:

d

dt

(∫ q(t)

p(t)

f(s, t)ds

)=

∫ q(t)

p(t)

∂f

∂t(s, t)ds + f(q(t), t)q′(t) − f(p(t), t)p′(t).

59

Reciproc, presupunem ca x : Ix → R (Ix ⊆ I fiind un interval deschisnevid) este o solutie a (EL). Atunci:

(4.11) x′(s)− a(s)x(s) = b(s), ∀s ∈ I0.

Fixam t0 ∈ I0 si ınmultim ambii membri ai lui (4.11) cu e−

∫ st0a(τ)dτ

. Rezulta:

d

ds

(x(s)e

−∫ st0a(τ)dτ

)= b(s)e

−∫ st0a(τ)dτ

, ∀s ∈ I0.

Integram de la t0 la t ∈ I0 si ın membrul stang aplicam formula Leibniz-Newton:

x(t)e−

∫ tt0a(τ)dτ − x(t0)e−

∫ t0t0a(τ)dτ =

∫ t

t0

b(s)e−

∫ st0a(τ)dτ

ds,

adica, notand x0 = x(t0):

x(t)e−

∫ tt0a(τ)dτ

= x0 +

∫ t

t0

b(s)e−

∫ st0a(τ)dτ

ds,

de unde:

x(t) = e∫ tt0a(τ)dτ

(x0 +

∫ t

t0

b(s)e−

∫ st0a(τ)dτ

ds

),

⇔ x(t) = x0e∫ tt0a(τ)dτ

+

∫ t

t0

b(s)e∫ tt0a(τ)dτ−

∫ st0a(τ)dτ

ds, ∀t ∈ I0.

Deci x verifica (FV C) pe I0. Din (FV C) rezulta ca orice solutie a (EL)poate fi prelungita ca solutie a aceleiasi ecuatii pe ıntreg intervalul I.

Exemplul 4.3.1. Sa se rezolve problema Cauchy

x′ − 4t3x = et

4

x(0) = 2.

Solutie. Se scrie mai ıntai ecuatia ın forma (EL), pentru a nu gresisemnul lui a(t). Identificam ın problema noastra coeficientul a(t) = 4t3 al

lui x si termenul liber b(t) = et4, ambele fiind functii definite pe R. Datele

initiale sunt t0 = 0, x0 = 2. Conform formulei variatiei constantelor, solutiax a problemei Cauchy este definita tot pe R si este data prin:

x(t) = 2e∫ t0 4s3ds +

∫ t

0e∫ ts 4τ3dτes

4ds = 2et

4+

∫ t

0et

4−s4es4ds

= 2et4

+ et4

∫ t

0ds = 2et

4+ et

4t = et

4(t+ 2), ∀t ∈ R.

60

4.4. Ecuatii cu diferentiale exacte

Fie o multime D ⊆ R2 nevida si deschisa. Fie g, h : D → R doua functiide clasa C1 pe D, cu h(t, x) 6= 0 pentru toti (t, x) ∈ D.

Definitia 4.4.1. O ecuatie de forma:

(4.12) x′ =g(t, x)

h(t, x)

se numeste cu diferentiala exacta daca exista o functie F : D → R de clasaC2 astfel ıncat:

(4.13)

∂F

∂t(t, x) = −g(t, x)

∂F

∂x(t, x) = h(t, x)

, pentru orice (t, x) ∈ D.

Intr-adevar, ecuatia (4.12) se rescrie:

dx

dt=g(t, x)

h(t, x)⇔ h(t, x)dx− g(t, x)dt = 0

⇔ ∂F

∂x(t, x)dx+

∂F

∂t(t, x)dt = 0⇔ dF (t, x) = 0, ∀ (t, x) ∈ D.

Teorema 4.4.1. Daca (4.12) este o ecuatie cu diferentiala exacta,atuncisolutia ei generala este definita implicit de F (t, x(t)) = c, unde F : D → Rverifica sistemul (4.13), iar c parcurge F (D).

Teorema 4.4.2. Daca D este un domeniu simplu conex,atunci ecuatia(4.12) este cu diferentiala exacta daca si numai daca

∂h

∂t(t, x) = −∂g

∂x(t, x),∀ (t, x) ∈ D.

61

CAPITOLUL 5

Modele matematice descrise de ecuatii diferentiale

Procesul reprezentarii fenomenelor din lumea ınconjuratoare cu ajutorulinstrumentelor matematicii se numeste modelare matematica. Primul pas ınacest proces este descrierea ın limbaj matematic a comportarii fenomenuluirespectiv. De regula, pentru ca modelul matematic sa nu fie prea complex,pentru ca rezolvarea lui sa poata fi abordata cel putin prin intermediultehnicii de calcul, se renunta la o parte din variabilele (”parametrii”) cedescriu problema initiala (cei pe care-i consideram mai putin importanti).Din acest motiv majoritatea modelelor matematice nu constituie copii fideleale realitatii si atunci o prima cerinta care apare este aceea de a demonstraca modelul propus are cel putin o solutie (altfel spus, justificarea consistenteimodelului). Obtinerea unicitatii solutiei este si ea deosebit de importanta:daca o problema Cauchy ar avea doua solutii nu s-ar putea preciza caredintre ele descrie corect evolutia ın timp a sistemului studiat.

In multe dintre modele, din dorinta de a putea folosi conceptele si re-zultatele analizei matematice, vom ınlocui modelul matematic discret (careeste cel mai realist) printr-unul continuu diferentiabil. Mai precis, vompresupune ca orice functie necunoscuta care descrie evolutia ın timp a uneianumite entitati (numarul de atomi/molecule dintr-o substanta, numarul deindivizi dintr-o populatie, etc.) este de clasa C1 pe intervalul ei de definitie,desi ın realitate aceasta ia valori ıntr-o multime finita. Din punct de vederematematic, aceasta revine la a ınlocui o functie ın scara (discontinua) cu oaproximare a ei continuu diferentiabila.

5.1. Racirea (ıncalzirea) corpurilor

Din fizica este cunoscuta legea lui Newton, care afirma ca rata de racire(ıncalzire) a suprafetei unui corp este direct proportionala cu diferenta dintretemperatura suprafetei si cea a mediului ınconjurator.

Sa consideram un corp, despre care presupunem ca are aceeasi tempera-tura ın fiecare punct al sau. Stiind temperatura ın C, Tmediu(t) ∈ R, amediului ınconjurator la orice moment t ≥ 0, dorim sa determinam tempe-ratura T (t) (exprimata tot ın C) a acestui corp la momentul t.

In conformitate cu legea lui Newton, functia T (t) verifica ecuatia diferen-tiala liniara de ordinul ıntai:

(5.1) T ′ (t) = −k [T (t)− Tmediu(t)]

63

sau

(5.2) T ′ (t) = −kT (t) + kTmediu(t),

unde k > 0 este o constanta de proportionalitate, numita constanta detransfer.

Constanta k a fost aleasa strict pozitiva pentru a respecta evolutia tem-peraturii cunoscuta din realitatea fizica. Intr-adevar, daca temperaturacorpului este mai mare decat temperatura mediului ınconjurator (T (t) >Tmediu(t)), atunci din ecuatia (5.1) rezulta ca T ′(t) < 0, deci temperaturacorpului va descreste ın ıncercarea de a se apropia de temperatura ambianta(caz corespunzator procesului de racire a corpurilor); daca temperatura cor-pului este sub temperatura mediului ınconjurator (T (t) < Tmediu(t)), atunci(5.1) implica T ′(t) > 0, adica temperatura corpului va creste (caz cores-punzator procesului de ıncalzire a corpurilor).

Presupunem ca la momentul initial t = 0 temperatura corpului este T0,informatie care se traduce prin conditia Cauchy:

(5.3) T (0) = T0.

Unica solutie a problemei Cauchy (5.2) − (5.3) este data de formulavariatiei constantelor:

T (t) = T0e−kt +

t∫0

e−k(t−s)kTmediu (s) ds, t ≥ 0

sau

(5.4) T (t) = T0e−kt + ke−kt

t∫0

eksTmediu (s) ds, t ≥ 0.

Exemplul 5.1.1. Un corp cu temperatura de 15C este adus ıntr-oıncapere a carei temperatura este mentinuta la 23C. Stiind ca dupa 10minute temperatura corpului atinge 18C, sa se afle dupa cat timp tempera-tura corpului va ajunge la 22C.

Este o problema de ıncalzire a corpurilor. Primul set de date al problemeieste:

-temperatura mediului Tmediu(t) = 23 pentru orice t ≥ 0;-temperatura initiala a corpului T0 = 15;-timpul necesar ıncalziriii t1 = 10;-temperatura finala a corpului T (t1) = 18.Aceste informatii ne permit sa determinam valoarea constantei de trans-

fer k > 0, proprie materialului respectiv. Intr-adevar, ınlocuind datele ınrelatia (5.4) scrisa la momentul t = t1, obtinem:

18 = 15e−10k + ke−10k10∫0

23eksds⇔ 18 = 15e−10k + 23e−10keks∣∣s=10

s=0

⇔ 18 = 15e−10k + 23e−10k(e10k − 1

)⇔ 8e−10k = 5,

64

de unde

e−10k =5

8sau − 10k = ln

5

8.

Asadar:

(5.5) k =1

10(ln 8− ln 5) .

Timpul t2 necesar ıncalzirii corpului de la temperatura initiala T0 = 15(C) la temperatura finala T (t2) = 22 (C) se afla din relatia (5.4) scrisapentru t = t2 (din nou, Tmediu(t) = 23 pentru orice t ≥ 0):

22 = 15e−kt2 + ke−kt2t2∫0

23eksds⇔ 22 = 15e−kt2 + 23e−kt2eks∣∣s=t2s=0

⇔ 22 = 15e−kt2 + 23e−kt2(ekt2 − 1

)⇔ 8e−kt2 = 1⇔ e−kt2 =

1

8

⇔ −kt2 = ln1

8, adica t2 = −1

kln

1

8=

1

kln 8.

Inlocuind pe k din relatia (5.5), rezulta:

t2 =10 ln 8

ln 8− ln 5.

Conform tabelelor cu logaritmi, ln 5 ' 1, 6094379124, ln 8 ' 2, 0794415417,deci

t2 '10 · 2, 0794415417

2, 0794415417− 1, 6094379124=

20, 794415417

0, 4700036293' 44, 2431 minute.

Exemplul 5.1.2. Scufundam un corp ıntr-un mediu a carui temperaturaare valoarea constanta de 10C. In 40 de minute corpul se raceste de la200C la 100C.

a) Sa se calculeze timpul necesar pentru ca acelasi material sa se raceascade la 200C la 100C, atunci cand temperatura mediului ınconjurator estede 5C.

b) Sa se calculeze timpul de care are nevoie corpul considerat pentru ase raci de la 100C la 10C cand mediul este mentinut la temperatura de5C.

Este o problema de racire. Pentru a o putea rezolva este necesar sa cu-noastem valoarea constantei de transfer k > 0. La ınceput avem la dispozitieurmatoarele date:

-temperatura mediului Tmediu(t) = 10 pentru orice t ≥ 0;-temperatura initiala a corpului T0 = 200;-timpul necesar racirii t1 = 40;-temperatura finala a corpului T (t1) = 100.

65

Inlocuind aceste date ın relatia (5.4) scrisa la momentul t = t1, obtinem:

100 = 200e−40k + ke−40k40∫0

10eksds⇔ 100 = 200e−40k + 10e−40keks∣∣s=40

s=0

⇔ 100 = 200e−40k + 10e−40k(e40k − 1

)⇔ 190e−40k = 90

si atunci

e−40k =9

19, de unde k = − 1

40ln

9

19.

Asadar

(5.6) k =1

40(ln 19− ln 9) .

a) Daca temperatura mediului ınconjurator este mentinuta la valoarea

Tmediu = 5 (C), atunci timpul t2 necesar racirii corpului de la temperaturainitiala T0 = 200 (C) la temperatura T (t2) = 100 (C) poate fi aflat dinrelatia (5.4) scrisa ın t = t2:

100 = 200e−kt2 + ke−kt2

t2∫0

5eksds,

unde constanta de transfer k este data de (5.6). Facand calculele, deducem:

100 = 200e−kt2 + 5e−kt2eks∣∣t20⇔ 100 = 200e−kt2 + 5e−kt2

(ekt2 − 1

)⇔ 95 = 195e−kt2 ⇔ −kt2 = ln

95

195⇔ t2 = −1

kln

19

39.

Inlocuind pe k din (5.6), rezulta:

t2 =40 (ln 39− ln 19)

ln 19− ln 9.

Conform tabelelor cu logaritmi, ln 9 ' 2, 1972245773,ln 19 ' 2, 9444389792,ln 39 ' 3, 6635616461, deci

t2 '40 · 0, 7191226669

0, 7472144019' 38, 4962 minute.

b) Calculam acum timpul t3 necesar aceluiasi material pentru a se racide la T0 = 100 (C) la T (t3) = 10 (C) cand mediul este mentinut tot la

temperatura Tmediu(t) = 5 (C). Relatia (5.4) devine la momentul t = t3:

10 = 100e−kt3 + ke−kt3

t3∫0

5eksds⇔ 10 = 100e−kt3 + 5e−kt3(ekt3 − 1

)⇔ 5 = 95e−kt3 ⇔ t3 = −1

kln

5

95.

Prin urmare,

t3 =1

kln 19 =

40 ln 19

ln 19− ln 9' 40 · 2, 9444389792

0, 7472144019' 157, 6221 minute.

66

Se constata ca timpul necesar pentru racirea corpului de la 100C la 10Ceste de peste 4 ori mai mare decat timpul necesar pentru racirea corpului dela 200C la 100C. Altfel spus, rata de racire scade considerabil pe masurace temperatura corpului se apropie de temperatura mediului.

5.2. Dezintegrarea unei substante radioactive

Conform legii dezintegrarii atomilor radioactivi, formulata ın anul 1902de Ernest Rutherford si Sir Frederick Soddy, viteza instantanee de dezin-tegrare a unui element chimic radioactiv este proportionala cu numarul deatomi radioactivi existenti la momentul considerat si nu depinde de alti fac-tori externi. Notand cu x (t) numarul de atomi nedezintegrati la momentult si presupunand ca x este o functie de clasa C1 pe [0,+∞), legea enuntataanterior se scrie astfel:

(5.7) x′ = −ax,

pentru orice t ≥ 0, unde a > 0 este o constanta specifica elementului chimicrespectiv, denumita constanta de dezintegrare. Aceasta poate fi determinataexperimental cu o precizie suficient de buna. Semnul minus se datoreazafaptului ca x scade pe masura ce timpul creste, deci x′ e mereu negativ.

Ecuatia (5.7) este o ecuatie diferentiala de ordinul ıntai liniara si omo-gena, a carei solutie generala este data de:

(5.8) x (t) = x (0) e−at,

pentru t ≥ 0, unde x(0) > 0 reprezinta numarul de atomi nedezintegrati lamomentul initial t = 0.

Pe acest model simplu se bazeaza metoda de datare a obiectelor vechicu izotopul de carbon 14 radioactiv, folosita ın arheologie. Alegerea izoto-pului de carbon 14 a fost dictata de simpla observatie ca toate substanteleorganice ıl contin. Metoda consta ın determinarea la un moment dat T > 0a numarului de atomi x (T ) a acestui izotop dintr-un obiect de origine orga-nica. Din cele precizate anterior rezulta ca

x (T ) = x (0) e−aT ,

unde numarul de atomi de izotop carbon 14 la momentul initial, x (0) > 0,

este practic cunoscut. In relatia de mai sus atat x (0) cat si x (T ) suntcunoscute, asa ıncat putem determina vechimea obiectului reprezentata prinT . Avem

T =1

alnx (0)

x (T ).

Este important de subliniat ca aceasta metoda este destul de precisapentru intervale de timp de pana la 10.000 de ani.

67

5.3. Modelarea matematica a unor reactii chimice

Atunci cand n substante chimice, de concentratii x1 (t) , ..., xn (t) la mo-mentul t ≥ 0, intra ın reactie unele cu altele, viteza de variatie a concentratieiprodusului i este, ın general, o functie de x1, x2, ..., xn:

dxidt

= fi (t, x1, ..., xn) , 1 ≤ i ≤ n.

Exemplul 1: Fie reactia unimoleculara reversibila

Ak1k2

B,

unde constantele k1, k2 > 0 sunt constantele de viteza ale celor doua reactii.Notam cu xA(t) si xB(t) concentratiile substantelor A, respectiv B la mo-mentul t ≥ 0. Ecuatiile care descriu acest proces sunt:

dxAdt = k2xB − k1xAdxBdt = k1xA − k2xB.

Exemplul 2: Fie reactia bimoleculara

A+Bk−→ P,

ın care doua substante chimice A, B, de concentratii (mol / l) a, respectiv b,se combina pentru a da substanta P , a carei concentratie la momentul t ≥ 0

o notam prin x(t). Conform legii actiunii masei, viteza de reactiedx

dteste

proportionala cu produsul concentratiilor substantelor care intra ın reactie,ceea ce conduce la ecuatia:

dx

dt= k (a− x) (b− x) .

5.4. Un sistem biologic bicompartimental

Se considera problema determinarii concentratiei unei substante chimice,de exemplu un medicament, ıntr-un sistem care consta din doua comparti-mente separate printr-o membrana. Medicamentul poate trece prin mem-brana ın ambele sensuri, dar poate, de asemenea, iesi din compartimentulII ıntr-un sistem exterior.

Notam cu v1 > 0, v2 > 0 volumele celor doua compartimente si cuA > 0 aria membranei; acestea sunt presupuse constante. Fie x1 (t) six2 (t) concentratiile substantei chimice ın compartimentele I, respectiv II lamomentul t ≥ 0.

Concentratia medicamentului ın primul compartiment scade datoritatrecerii medicamentului din compartimentul I ın compartimentul II si crestedatorita trecerii medicamentului din compartimentul II ın compartimentulI. Corespunzator, concentratia medicamentului ın al doilea compartimentcreste datorita trecerii medicamentului din compartimentul I ın comparti-mentul II si scade datorita trecerii medicamentului din compartimentul II ın

68

compartimentul I, dar si datorita iesirii medicamentului din compartimentulII spre sistemul exterior.

Viteza de trecere a medicamentului din compartimentul I ın compar-timentul II este proportionala cu produsul dintre aria A a membranei si

concentratiax1

v1a medicamentului ın compartimentul I. In mod asemanator,

viteza de trecere a medicamentului din compartimentul II ın compartimentul

I este proportionala cu produsul dintre aria Aa membranei si concentratiax2

v2a medicamentului ın compartimentul II. De asemenea, presupunem ca vitezade trecere a medicamentului din compartimentul II ın sistemul extern esteproportionala cu concentratia x2 a substantei ın compartimentul II. Notamcu α > 0, β > 0, respectiv γ > 0 cele trei constante de proportionalitate.

Prin urmare, evolutia concentratiei medicamentului ın sistemul bicom-partimental de mai sus este descrisa de sistemul diferential liniar cu coeficienticonstanti:

dx1

dt= βA

x2

v2− αAx1

v1

dx2

dt= αA

x1

v1− βAx2

v2− γx2.

Acest sistem poate fi rezolvat exprimand una din necunoscute ın functiede cealalta si reducındu-l astfel la o ecuatie diferentiala liniara de ordinuldoi cu coeficienti constanti.

Este interesant de observat ca numeroase fenomene distincte admit mo-dele diferentiale formal identice. Asadar din studiul unui singur astfel demodel se pot trage concluzii despre modul de evolutie a mai multor sistemereale. Acesta este unul din marile avantaje ale ecuatiilor diferentiale: marealor putere de abstractizare.

69

CAPITOLUL 6

Existenta si unicitatea solutiilor pentru problemaCauchy

Deoarece clasa ecuatiilor diferentiale pentru care se cunosc metode dedeterminare a solutiei generale este foarte restransa, s-a pus problema apro-ximarii solutiilor unei ecuatii. Dar pentru a aproxima o solutie trebuie, ınprimul rand, sa fi demonstrat ca aceasta exista. Iar daca existenta esteasigurata, ne intereseaza unicitatea solutiei, pentru ca ın caz contrar nu amsti care dintre solutii o aproximam.

Teorema lui Picard ofera un rezultat de existenta si unicitate si, ınacelasi timp, o metoda de constructie aproximativa a solutiei unei problemeCauchy - metoda aproximatiilor succesive.

6.1. Teorema de existenta si unicitate a lui Picard pentru ecuatiidiferentiale de ordinul ıntai scalare

Fie problema Cauchy:

(6.1)

x′ = f(t, x)x(t0) = x0,

unde f : I × J → R este o functie continua (I, J ⊆ R fiind intervale cuinterior nevid), t0 ∈ I, x0 ∈ J .

Propozitia 6.1.1. Fie f : I × J → R o functie continua si I0 ⊆ I uninterval cu interior nevid astfel ıncat t0 ∈ I0. Atunci o functie x : I0 → Jeste o solutie a problemei Cauchy (6.1) daca si numai daca x este continuape I0 si satisface ecuatia integrala

(6.2) x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x(s))ds, ∀t ∈ I0.

Demonstratie. ”⇒”: Daca x este o solutie a problemei Cauchy (6.1),atunci x este de clasa C1 pe I0, deci continua. Prin urmare, functia

s 7→ f(s, x(s))

este continua pe I0. In consecinta, putem integra de la t0 la t ambii membriai egalitatii x′(s) = f(s, x(s)). Obtinem

x(t)− x(t0) =

∫ t

t0

f(s, x(s))ds, ∀t ∈ I0,

adica, tinand cont de conditia initiala din (6.1), are loc (6.2).

71

”⇐”: Daca x este continua pe I0 si satisface (6.2), atunci s 7→ f(s, x(s))este continua pe I0 si din (6.2) rezulta ca x ∈ C1(I0). Derivand ın ambiimembri (6.2), obtinem x′(t) = f(t, x(t)), ∀t ∈ I0. Facand t = t0 ın (6.2),deducem ca x verifica si conditia initiala a problemei Cauchy (6.1).

Asadar, a rezolva problema Cauchy (6.1) este echivalent cu a rezolvaecuatia integrala (6.2).

Presupunem ca x0(·) este o functie continua care aproximeaza solutia

ecuatiei (6.2). Inlocuind x(s) cu x0(s) ın membrul drept al lui (6.2), obtinemo noua functie,

x1(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x0(s))ds.

Repetand procedeul, obtinem functiile:

x2(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x1(s))ds

...

(6.3) xn(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, xn−1(s))ds.

In practica se ia

(6.4) x0(t) = x0, pentru orice t.

Sirul (xn)n∈N definit recursiv prin relatiile (6.3), (6.4) se numeste sirul apro-ximatiilor succesive, iar metoda prin care se construieste acest sir este cu-noscuta sub numele de metoda aproximatiilor succesive a lui Picard.

Utilizand aceasta constructie, se poate demonstra ca, ın anumite conditiiimpuse functiei f , problema (6.1) are o solutie locala1 unica.

Teorema 6.1.1. (de existenta si unicitate a lui Picard) Fie a, b > 0si f : ∆ ⊂ R2 → R, unde

∆ =

(t, x) ∈ R2 | |t− t0| ≤ a, |x− x0| ≤ b

= [t0 − a, t0 + a]× [x0 − b, x0 + b] .

Daca:

(1) f este continua pe ∆;(2) f este lipschitziana ın raport cu x pe ∆, adica

exista o constanta L > 0 astfel ıncat

|f(t, x)− f(t, y)| ≤ L |x− y| , pentru orice (t, x), (t, y) ∈ ∆,

1solutie definita pe un interval I0 mai mic (ın sensul incluziunii) decat intervalul Icorespunzator lui t ın domeniul de definitie al lui f

72

atunci problema Cauchy (6.1) admite o solutie unica x, definita cel putinpe intervalul [t0 − δ, t0 + δ], unde

δ = min

a,

b

M

,

iar M > 0 este un majorant pentru |f | pe ∆ (altfel spus, |f(t, x)| ≤ M ,pentru orice (t, x) ∈ ∆).

Asadar, x : [t0 − δ, t0 + δ]→ [x0 − b, x0 + b] .

Observatia 6.1.1. Dorim ca intervalul de definitie al solutiei x sa fiecat mai mare, echivalent, sa obtinem un δ cat mai mare, si atunci ar fi de

dorit cab

Msa fie cat mai mare, adica M cat mai mic. Cea mai buna alegere

este M = max(t,x)∈∆

|f(t, x)|.

Observatia 6.1.2. Prin alte metode solutia problemei Cauchy (6.1) sepoate prelungi la o solutie definita pe un interval mai mare.

Observatia 6.1.3. Uneori este dificil sa se arate cu ajutorul definitieica o functie este lipschitziana. Se poate demonstra (cu ajutorul unei teoremede medie) ca pentru ca aceasta conditie sa fie ındeplinita este suficient ca f

sa admita derivata partiala∂f

∂xmarginita ın ∆ sau ca f sa admita derivata

partiala∂f

∂xcontinua ın ∆.

Ideea de demonstratie pentru teorema 6.1.1: se considera sirulaproximatiilor succesive definit prin (6.3), (6.4) si se arata ca:

(1) acest sir este bine definit; mai precis, se demonstreaza prin inductiematematica ca, pentru fiecare n ∈ N,

|xn(s)− x0| ≤ b, ∀s ∈ [t0 − δ, t0 + δ] ,

deci(s, xn(s)) ∈ ∆, ∀s ∈ [t0 − δ, t0 + δ]

si are sens sa vorbim despre f(s, xn(s)) (ne amintim ca f se presu-pune definit pe ∆!);

(2) sirul (xn)n∈N este convergent si limita lui, x, este solutie pentruecuatia integrala (6.2);

(3) solutia ecuatiei integrale (6.2) este unica.

Evaluarea erorii ın aproximarea solutiei prin metoda lui Pi-card: se arata ca

|x(t)− xn(t)| ≤ M

L

(Lδ)n+1

(n+ 1)!eLδ, ∀t ∈ [t0 − δ, t0 + δ] , ∀n ∈ N,

iar limn→∞

(Lδ)n+1

(n+ 1)!= 0, deci lim

n→∞|x(t)− xn(t)| = 0.

73

Exemplul 6.1.1. Sa se determine un interval pe care exista o solutieunica pentru problema Cauchy:

(6.5)

x′ = t3 + x2 − 1x(0) = 1.

Apoi sa se scrie primii trei termeni din sirul aproximatiilor succesive.

Datele problemei sunt

t0 = 0,x0 = 1 sif : R× R→ R, f(t, x) = t3 + x2 − 1.

Datorita faptului ca f este definita peste tot, putem alege orice a, b > 0. Fie,de exemplu, a = 1 si b = 2. Consideram pe f restrictionata la dreptunghiul

∆ = [t0 − a, t0 + a]× [x0 − b, x0 + b] = [−1, 1]× [−1, 3].

Verificam ipotezele teoremei lui Picard. Functia f este, ıntr-adevar, con-tinua pe ∆ (fiind obtinuta prin operatii cu polinoame) si lipschitziana ın

raport cu x pe ∆ (deoarece ∂f∂x (t, x) = 2x este o functie continua pe ∆).

Prin urmare, conform teoremei 6.1.1, problema Cauchy (6.5) admite osolutie unica x : [−δ, δ] → [−1, 3], cu δ = min

a, b

M

= min

1, 2

M

, unde

M > 0 este un majorant pentru |f | pe ∆. De exemplu, putem alege M = 11,ıntrucat

|f(t, x)| =∣∣t3 + x2 − 1

∣∣ ≤ |t|3 + x2 + 1 ≤ 13 + 32 + 1 = 11, ∀(t, x) ∈ ∆.

Asadar δ = min

1, 211

= 2

11 . Deci problema Cauchy (6.5) admite o solutie

unica x :[− 2

11 ,211

]→ [−1, 3].

Primii trei termeni din sirul aproximatiilor succesive sunt

x0, x1, x2 :

[− 2

11,

2

11

]→ [−1, 3],

dati prin:

x0(t) = x0 = 1;

x1(t) = 1 +

∫ t

0f(s, x0(s))ds = 1 +

∫ t

0f(s, 1)ds

= 1 +

∫ t

0

(s3 + 12 − 1

)ds = 1 +

t4

4;

x2(t) = 1 +

∫ t

0f(s, x1(s))ds = 1 +

∫ t

0f

(s, 1 +

s4

4

)ds

= 1 +

∫ t

0

[s3 +

(1 +

s4

4

)2

− 1

]ds

= 1 +

∫ t

0

(s8

16+

1

2s4 + s3

)ds =

t9

144+t5

10+t4

4+ 1.

74

Solutia problemei Cauchy (6.5) nu poate fi determinata exact. Cal-culand ınsa cat mai multi termeni din sirul aproximatiilor succesive, o putemaproxima cu o precizie din ce ın ce mai buna.

Exemplul 6.1.2. Sa se determine un interval pe care exista o solutieunica pentru problema Cauchy:

(6.6)

x′ = t2 + x2

t

x(1) = 0.

Apoi sa se scrie primii trei termeni din sirul aproximatiilor succesive.

Datele problemei sunt

t0 = 1,x0 = 0 si

f : R∗ × R→ R, f(t, x) = t2 + x2

t .

Datorita faptului ca f nu este definita pentru t = 0, suntem nevoiti saalegem a ∈ (0, 1); ın schimb, b poate fi orice numar strict pozitiv. Fie, deexemplu, a = 1

2 si b = 1. Verificam ipotezele teoremei lui Picard pentru frestrans la dreptunghiul

∆ = [t0 − a, t0 + a]× [x0 − b, x0 + b] =

[1

2,3

2

]× [−1, 1].

Functia f este continua pe ∆ (fiind obtinuta prin operatii cu polinoame) si

lipschitziana ın raport cu x pe ∆ (pentru ca ∂f∂x (t, x) = 2x

t este continua pe∆). Prin urmare, conform teoremei 6.1.1, problema Cauchy (6.6) admiteo solutie unica x : [1− δ, 1 + δ]→ [−1, 1], cu δ = min

a, b

M

= min

12 ,

1M

,

unde M > 0 este un majorant pentru |f | pe ∆. De exemplu, putem alegeM = 17

4 , ıntrucat

|f(t, x)| = t2 +x2

t≤(

3

2

)2

+12

12

=17

4, ∀(t, x) ∈ ∆.

Deci δ = min

12 ,

417

= 4

17 si problema Cauchy (6.6) admite o solutie unica

x :[

1317 ,

2117

]→ [−1, 1].

Primii trei termeni din sirul aproximatiilor succesive sunt

x0, x1, x2 :

[13

17,21

17

]→ [−1, 1],

75

dati prin:

x0(t) = x0 = 0;

x1(t) = 0 +

∫ t

1f(s, x0(s))ds =

∫ t

1f(s, 0)ds =

∫ t

1s2ds =

t3 − 1

3;

x2(t) = 0 +

∫ t

1f(s, x1(s))ds =

∫ t

1f

(s,s3 − 1

3

)ds

=

∫ t

1

[s2 +

1

9s

(s3 − 1

)2]ds =

∫ t

1

(s2 +

s5

9− 2

9s2 +

1

9s

)ds

=

∫ t

1

(s5

9+

7

9s2 +

1

9s

)ds =

t6 − 1

54+

7

27

(t3 − 1

)+

1

9ln s.

Observatia 6.1.4. Se poate demonstra ca o problema Cauchy aresolutie chiar atunci cand f satisface doar ipoteza de continuitate; ın acestcaz nu mai este ınsa asigurata unicitatea solutiei.

Teorema 6.1.2. ( Peano) Daca f : I × J → R (cu I, J ⊂ R intervalenevide deschise) este continua pe I × J , atunci pentru orice t0 ∈ I si oricex0 ∈ J , problema Cauchy (6.1) are cel putin o solutie locala (definita peun interval I0 ⊆ I).

Exemplu: Problema Cauchyx′ = 3

3√x2

x(0) = 0

are solutiile x(t) = t3, t ∈ R si x(t) = 0, t ∈ R. Membrul drept,

f : R× R→ R, f(t, x) = 33√x2,

este functie continua, dar nu este lipschitziana ın raport cu x pe niciundreptunghi ∆ = [−a, a]× [−b, b] ⊂ R× R.

6.2. Teorema de existenta si unicitate a lui Picard pentrusisteme diferentiale de ordinul ıntai

Fie problema Cauchy:

(6.7)

x′1 = f1(t, x1, . . . , xn)

x′2 = f2(t, x1, . . . , xn)...

x′n = fn(t, x1, . . . , xn)

x1(t0) = x01

x2(t0) = x02

...

xn(t0) = x0n,

76

cu t0, x01,. . ., x0

n ∈ R fixate.

Teorema 6.2.1. ( Picard) Fie a, b > 0 si

f1, f2, . . . , fn : ∆ ⊂ Rn+1 → R,

unde

∆ =

(t, x1, . . . , xn) ∈ Rn+1∣∣ |t− t0| ≤ a, ∣∣xi − x0

i

∣∣ ≤ b, 1 ≤ i ≤ n.

Daca:

(1) f1, f2, . . . , fn sunt continue pe ∆;(2) f1, f2, . . . , fn sunt lipschitziene ın x = (x1, x2, . . . , xn) pe ∆, adica

exista o constanta L > 0 astfel ıncat

|fj (t, x1, . . . , xn)− fj (t, y1, . . . , yn)| ≤ L max1≤i≤n

|xi − yi| ,

pentru orice (t, x1, . . . , xn) , (t, y1, . . . , yn) ∈ ∆ si pentru orice1 ≤ j ≤ n,

atunci problema Cauchy (6.7) admite o solutie unica (x1, . . . , xn), cu

xj : [t0 − δ, t0 + δ]→ R, 1 ≤ j ≤ n,

unde

δ = min

a,

b

M

,

iar M > 0 este un majorant pentru

|fj (t, x1, . . . , xn)| | (t, x1, . . . , xn) ∈ ∆, 1 ≤ j ≤ n .

Observatia 6.2.1. O conditie suficienta ca functiile fi, 1 ≤ i ≤ n sa fielipschitziene ın x = (x1, x2, . . . , xn) pe multimea ∆ este ca fi, 1 ≤ i ≤ n saadmita pe ∆ derivate partiale de ordinul ıntai ın variabilele x1, x2, . . . , xn si∂fi∂xj

sa fie continue pe ∆, pentru orice 1 ≤ i, j ≤ n.

Exemplul 6.2.1. Sa se determine un interval pe care exista o solutieunica pentru problema Cauchy:

(6.8)

x′1 = 2tx2 − x2

1

x′2 = tx1 − 1x1(0) = −2x2(0) = 1.

Apoi sa se scrie primele trei grupe de termeni din sirul aproximatiilorsuccesive.

Datele problemei sunt

t0 = 0,x0

1 = −2,x0

2 = 1 sif1, f2 : R× R→ R, f1(t, x1, x2) = 2tx2 − x2

1, f2(t, x1, x2) = tx1 − 1.

77

Datorita faptului ca f1, f2 sunt definite peste tot, putem alege oricea, b > 0. Fie, de exemplu, a = 1 si b = 2. Consideram pe f1, f2 restranse laparalelipipedul

∆ = [t0 − a, t0 + a]×[x0

1 − b, x01 + b

]×[x0

2 − b, x02 + b

]= [−1, 1]× [−4, 0]× [−1, 3].

Verificam ipotezele teoremei lui Picard. Functiile f1, f2 sunt continuepe ∆, deoarece au fost obtinute prin operatii cu polinoame. Din observatia6.2.1, pentru a demonstra ca aceste functii sunt si lipschitziene ın raport cu(x1, x2) pe ∆ este suficient sa remarcam ca

∂f1

∂x1(t, x1, x2) = −2x1,

∂f1

∂x2(t, x1, x2) = 2t,

∂f2

∂x1(t, x1, x2) = t,

∂f2

∂x2(t, x1, x2) = 0

sunt bine definite si continue pe ∆ (sunt polinoame). Prin urmare, conformteoremei 6.2.1, problema Cauchy (6.8) admite o solutie unica (x1, x2),

x1 : [−δ, δ]→ [−4, 0], x2 : [−δ, δ]→ [−1, 3],

cu δ = mina, b

M

= min

1, 2

M

, unde M > 0 este un majorant pentru

|f1|, |f2| pe ∆. Cum

|f1(t, x1, x2)| =∣∣2tx2 − x2

1

∣∣ ≤ 2|t||x2|+x21 ≤ 2·1·3+(−4)2 = 22, ∀(t, x1, x2) ∈ ∆;

|f2(t, x1, x2)| = |tx1 − 1| ≤ |t||x1|+ 1 ≤ 1 · 4 + 1 = 5, ∀(t, x1, x2) ∈ ∆,

putem alege M = 22. Asadar δ = min

1, 222

= 1

11 si problema Cauchy

(6.8) admite o solutie unica (x1, x2) :[− 1

11 ,111

]→ [−4, 0]× [−1, 3].

Primele trei grupe de termeni din sirul aproximatiilor succesive sunt

(x0

1, x02

),(x1

1, x12

),(x2

1, x22

):

[− 1

11,

1

11

]→ [−4, 0]× [−1, 3],

78

dati prin:x0

1(t) = x01 = −2,

x02(t) = x0

2 = 1;x1

1(t) = −2 +∫ t

0 f1

(s, x0

1(s), x02(s)

)ds = −2 +

∫ t0 f1(s,−2, 1)ds

= −2 +∫ t

0 (2s− 4)ds = t2 − 4t− 2,

x12(t) = 1 +

∫ t0 f2

(s, x0

1(s), x02(s)

)ds = 1 +

∫ t0 f2(s,−2, 1)ds

= 1 +∫ t

0 (−2s− 1)ds = −t2 − t+ 1;

x21(t) = −2 +

∫ t0 f1

(s, x1

1(s), x12(s)

)ds

= −2 +∫ t

0 f1(s, s2 − 4s− 2,−s2 − s+ 1)ds

= −2 +∫ t

0

[2s(−s2 − s+ 1

)−(s2 − 4s− 2

)2]ds

= −2 +∫ t

0

(−s4 + 6s3 − 14s2 − 14s− 4

)ds

= − t5

5 + 32 t

4 − 143 t

3 − 7t2 − 4t− 2,

x22(t) = 1 +

∫ t0 f2

(s, x0

1(s), x02(s)

)ds

= 1 +∫ t

0 f2(s, s2 − 4s− 2,−s2 − s+ 1)ds

= 1 +∫ t

0

[s(s2 − 4s− 2

)− 1]ds

= 1 +∫ t

0

(s3 − 4s2 − 2s− 1

)ds = t4

4 −43 t

3 − t2 − t+ 1.

.

6.3. Teorema de existenta si unicitate a lui Picard pentru ecuatiidiferentiale de ordin superior

Fie n ∈ N, n ≥ 2. Consideram problema Cauchy:

(6.9)

x(n) = f(t, x, . . . , x(n−1))

x(t0) = x01, x

′(t0) = x02, . . . , x

(n−1)(t0) = x0n,

cu t0, x01,. . ., x0

n ∈ R fixate.

Teorema 6.3.1. ( Picard) Fie a, b > 0 si f : ∆ ⊂ Rn+1 → R, unde

∆ =

(t, x1, . . . , xn) ∈ Rn+1∣∣ |t− t0| ≤ a, ∣∣xi − x0

i

∣∣ ≤ b, 1 ≤ i ≤ n.

Daca:

(1) f este continua pe ∆;(2) exista o constanta L > 0 astfel ıncat

|f (t, x1, . . . , xn)− f (t, y1, . . . , yn)| ≤ L max1≤i≤n

|xi − yi| ,

pentru orice (t, x1, . . . , xn) , (t, y1, . . . , yn) ∈ ∆ ,

atunci problema Cauchy (6.9) admite o solutie unica x : [t0−δ, t0+δ]→ R,unde

δ = min

a,

b

M

,

79

iar M > 0 este un majorant pentru

|f (t, x1, . . . , xn)| , |x2| , |x3| , . . . , |xn| | (t, x1, . . . , xn) ∈ ∆ .Demonstratie. Prin substitutia

(6.10)

x1 = xx2 = x′

...

xn = x(n−1),

problema Cauchy (6.9) se transforma ın

(6.11)

x′1 = x2

x′2 = x3

...

x′n−1 = xnx′n = f(t, x1, . . . , xn)

x1(t0) = x01

x2(t0) = x02

...

xn(t0) = x0n.

Pentru problema Cauchy (6.11) se aplica teorema 6.2.1.

Exemplul 6.3.1. Sa se determine un interval pe care exista o solutieunica pentru problema Cauchy:

(6.12)

x′′ − (t+ 2)x′ = t2 + xx(0) = 0x′(0) = 1.

Datele problemei sunt

t0 = 0,x0

1 = 0x0

2 = 1 sif : R× R→ R, f(t, x1, x2) = t2 + x1 + (t+ 2)x2.

Datorita faptului ca f este definita peste tot, putem alege orice a, b > 0. Fie,de exemplu, a = 1 si b = 2. Consideram pe f restrictionata la dreptunghiul

∆ = [t0 − a, t0 + a]×[x0

1 − b, x01 + b

]×[x0

2 − b, x02 + b

]= [−1, 1]× [−2, 2]× [−1, 3].

Verificam ipotezele teoremei lui Picard. Functia f este continua pe ∆, fiindobtinuta prin operatii cu polinoame. Pentru a arata ca f este lipschitzianaın raport cu (x1, x2) pe ∆ este suficient sa observam ca

∂f

∂x1(t, x1, x2) = 1,

∂f

∂x2(t, x1, x2) = t+ 2

80

sunt functii bine definite si continue pe ∆ (sunt polinoame). Prin urmare,conform teoremei 6.3.1, problema Cauchy (6.12) admite o solutie unicax : [−δ, δ]→ [−2, 2], cu δ = min

a, b

M

= min

1, 2

M

, unde M > 0 este un

majorant pentru |f | si |x2| pe ∆. Putem alege M = 12, ıntrucat

|f(t, x1, x2)| =∣∣t2 + x1 + (t+ 2)x2

∣∣ ≤ t2 + |x1|+ (|t|+ 2) |x2|≤ 12 + 2 + (1 + 2)3 = 12, ∀(t, x) ∈ ∆;

|x2| ≤ 3, ∀(t, x) ∈ ∆.

Asadar δ = min

1, 212

= 1

6 . Deci problema Cauchy (6.5) admite o solutie

unica x :[−1

6 ,16

]→ [−2, 2].

81

CAPITOLUL 7

Sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordinulıntai

Intre teoria sistemelor diferentiale liniare si a sistemelor algebrice liniareexista asemanari Sistemele diferentiale liniare apar ın practica de cele maimulte ori ca ”prime aproximari” ale proceselor cu o structura mai complexa.

Fie I ⊆ R un interval real si aij , bi : I → R, 1 ≤ i, j ≤ n, functiicontinue. Fie sistemul de n ecuatii diferentiale de ordinul ıntai liniare, cunecunoscutele x1(t), . . . , xn(t):

(7.1)

x′1(t) = a11(t)x1(t) + a12(t)x2(t) + · · ·+ a1n(t)xn(t) + b1(t)x′2(t) = a21(t)x1(t) + a22(t)x2(t) + · · ·+ a2n(t)xn(t) + b2(t)...x′1(t) = an1(t)x1(t) + an2(t)x2(t) + · · ·+ ann(t)xn(t) + bn(t)

.

Pentru a scrie acest sistem ıntr-o forma mai concentrata, introducem, pentrut ∈ I, notatiile:

x(t) =

x1(t)x2(t)

...xn(t)

∈ Rn;

b(t) =

b1(t)b2(t)

...bn(t)

∈ Rn (coloana termenilor liberi);

A(t) =

a11(t) a12(t) . . . a1n(t)a21(t) a22(t) . . . a2n(t)

...an1(t) an2(t) . . . ann(t)

∈Mn(R) (matricea sistemului).

Cu aceste notatii, sistemul (7.1) se rescrie, echivalent, ca o ecuatiediferentiala de ordinul ıntai liniara vectoriala:

(7.2) x′(t) = A(t)x(t) + b(t).

83

Observatia 7.0.1. In ecuatia (7.2) vectorul

x′(t) =

x′1(t)x′2(t)

...x′n(t)

∈ Rn

este vectorul derivatelor componentelor lui x(t).

Daca b(t) = 0 pentru toti t ∈ I, atunci sistemul (7.2) se numeste sistemliniar omogen, iar ın caz contrar (adica daca exista un indice i ∈ 1, 2, . . . , nastfel ıncat functia bi sa nu fie identic nula), sistem liniar neomogen.

Teorema 7.0.2. Pentru orice t0 ∈ I si orice x0 ∈ Rn, problema Cau-

chy (PC)

x′ = A(t)x+ b(t)x(t0) = x0

are o solutie unica x : I → Rn.

In cele ce urmeaza, prin solutie a sistemului (7.2) vom ıntelege solutiedefinita pe ıntreg intervalul I.

7.1. Sisteme diferentiale liniare omogene. Spatiul solutiilor

Fie sistemul omogen asociat sistemului (7.2):

(7.3) x′(t) = A(t)x(t).

Are loc urmatoarea teorema de structura a multimii solutiilor:

Teorema 7.1.1. Multimea solutiilor sistemului omogen (7.3) este unspatiu liniar real de dimensiune n (n fiind ordinul matricei A(t)).

Demonstratie. Fie S = x : I → Rn | x solutie a lui (7.3).Pentru a demonstra ca S este spatiu liniar real este suficient sa aratam

ca S este subspatiu liniar al spatiului

C1(I;Rn) = x : I → Rn | x functie de clasa C1 pe I(despre care stim ca este spatiu liniar real).

Evident, S ⊆ C1(I;Rn), deoarece orice solutie a sistemului (7.3) este,prin definitie, functie de clasa C1. Asadar, ramane de demonstrat ca

∀ x, y ∈ S, ∀ α, β ∈ R, are loc αx+ βy ∈ S.

Intr-adevar, (αx+βy)′(t)def.= αx′(t)+βy′(t)

(7.3)= αA(t)x(t)+βA(t)y(t) =

A(t)[αx(t) + βy(t)] = A(t)(αx + βy)(t), ∀t ∈ I. Altfel spus, αx + βy estesolutie pentru (7.3), adica αx+ βy ∈ S.

Demonstram acum ca dim S = n. Vom construi un izomorfism ıntre Ssi un alt spatiu real n−dimensional, Rn.

Fixam t0 ∈ I si definim

T : S → Rn, T (x) = x(t0) ∈ Rn, ∀x ∈ S.Pentru a obtine ca T este un izomorfism de spatii liniare, avem de aratat caT este operator liniar bijectiv.

84

T liniar: Pentru orice x, y ∈ S si α, β ∈ R, are loc

T (αx+ βy) = (αx+ βy)(t0) = αx(t0) + βy(t0) = αT (x) + βT (y).

T injectiv: avem de aratat ca daca x, y ∈ S si T (x) = T (y), atuncix = y; altfel spus, daca x, y sunt solutii pentru (7.3) si x(t0) = y(t0), atuncix(t) = y(t) ın orice t ∈ I. Acest lucru este adevarat, din partea de unicitatea teoremei 7.0.2.

T surjectiv: avem de aratat ca pentru orice x0 ∈ Rn exista un x ∈ Sastfel ıncat T (x) = x0, echivalent, pentru orice x0 ∈ Rn exista o solutie x asistemului 7.3 astfel ıncat x(t0) = x0. Aceasta relatie rezulta din partea deexistenta a teoremei 7.0.2.

Cum orice doua spatii liniare izomorfe au aceeasi dimensiune, rezultaatunci ca dim S =dim Rn = n.

Observatia 7.1.1. Teorema 7.1.1 este deosebit de importanta, deoareceafirma ca pentru a scrie orice solutie a sistemului (7.3) este suficient sacunoastem n solutii liniar independente ale acestui sistem.

Intr-adevar, teorema 7.1.1 spune ca orice baza din S are n elemente. Intr-un spatiu liniar finit dimensional, de dimensiune n, o multime cu n elementeeste baza daca si numai daca este liniar indepenedenta (propozitia 3.3.3,pagina 36). Pe de alta parte, daca x1, x2, . . . , xn ∈ S formeaza o baza ın S,atunci orice element x ∈ S se exprima ın mod unic ca o combinatie liniarade elementele bazei, adica exista si sunt unice constantele c1, c2, . . . , cn ∈ Rastfel ıncat

(7.4) x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + · · ·+ cnxn(t), ∀t ∈ I.

Definitia 7.1.1. Un sistem x1, x2, . . . , xn ∈ S care formeaza o baza ınS se numeste sistem fundamental de solutii al ecuatiei (7.3).

O problema esentiala ın studiul sistemului (7.3) este aceea a obti–neriiunei baze ın multimea S a solutiilor. Nu se cunoaste un procedeu generalde determinare a unei astfel de baze. In schimb, atunci cand matricea Aeste constanta (cazul sistemelor diferentiale liniare omogene cu coeficienticonstanti) exista metode pentru constructia unei baze.

O alta problema importanta este ca, date n solutii ale sistemului (7.3),sa se gaseasca conditii necesare si suficiente ca acestea sa fie liniar indepe-nedente (adica baza).

In acest scop, fie x1, x2, . . . , xn : I → Rn solutii ale sistemului (7.3)si introducem aplicatia X : I → Mn(R), care ın fiecare punct t ∈ I damatricea avand pe coloane componentele acestor vectori. Mai precis, daca

xi(t) =

xi1(t)xi2(t)

...xin(t)

, pentru 1 ≤ i ≤ n,

85

atunci

(7.5) X(t) =

x1

1(t) x21(t) . . . xn1 (t)

x12(t) x2

2(t) . . . xn2 (t)...

x1n(t) x2

n(t) . . . xnn(t)

= col

(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)

), ∀t ∈ I.

Definitia 7.1.2. Matricea X definita prin (7.5) se numeste matrice aso-ciata sistemului de solutii x1, x2, . . . , xn ∈ S.

Observatia 7.1.2. Din faptul ca fiecare coloana a matricei X este solutiea sistemului (7.3), rezulta ca X este solutie pentru sistemul matriceal

(7.6) X ′(t) = A(t)X(t), ∀ t ∈ I.PrinX ′(t) am notat matricea formata din derivatele elementelor matricei

X(t).

Definitia 7.1.3. Matricea asociata unui sistem fundamental de solutiiale ecuatiei (7.3) se numeste matrice fundamentala a sistemului (7.3).

Observatia 7.1.3. Sistemul (7.3) are o infinitate de matrice fundamen-tale, deoarece spatiul S al solutiilor acestui sistem are o infinitate de baze.Se poate, de fapt, demonstra ca orice alta matrice fundamentala a sis-temului (7.3) se obtine prin ınmultirea lui X(t) cu o matrice constantanesingulara de ordin n (Y este matrice fundamentala pentru sistemul(7.3) ⇔ ∃C ∈Mn(R), cu det C 6= 0 astfel ıncat Y (t) = X(t)C, t ∈ I).

Propozitia 7.1.1. Daca X este o matrice fundamentala pentru sistemul(7.3), atunci solutia generala a sistemului (7.3) se reprezinta sub forma:

(7.7) x(t) = X(t)c, t ∈ I,unde c ∈ Rn este un vector constant.

Demonstratie.

X(t)c =

x1

1(t) x21(t) . . . xn1 (t)

x12(t) x2

2(t) . . . xn2 (t)...

x1n(t) x2

n(t) . . . xnn(t)

c1

c2...cn

=

c1x

11(t) + c2x

21(t) + · · ·+ cnx

n1 (t)

c1x12(t) + c2x

22(t) + · · ·+ cnx

n2 (t)

...c1x

1n(t) + c2x

2n(t) + · · ·+ cnx

nn(t)

=

n∑i=1

cixi1(t)

n∑i=1

cixi2(t)

...n∑i=1

cixin(t)

86

=n∑i=1

ci

xi1(t)xi2(t)

...xin(t)

=n∑i=1

cixi(t), ∀t ∈ I,

adica scrierea matriceala a relatiei (7.4).

Definitia 7.1.4. Daca X este matricea asociata unui sistem de solutiix1, x2, . . . , xn ∈ S, determinantul sau W : I → R, W (t) = det X(t), ∀t ∈ I,se numeste wronskianul asociat sistemului de solutii x1, x2, . . . , xn.

Teorema 7.1.2. ( Liouville) Daca W este wronkianul unui sistem den solutii x1, x2, . . . , xn (nu neaparat fundamental) ale lui (7.3), atunci

(7.8) W (t) = W (t0)e∫ tt0

tr A(s)ds, ∀t ∈ I,

unde t0 ∈ I este fixat, iar tr A(s) =n∑i=1

aii(s) este urma matricei A(s),

∀s ∈ I.

Pentru a demonstra aceasta teorema avem nevoie de urmatorul rezultatauxiliar, care se obtine cu ajutorul definitiei unui determinant:

Lema 7.1.1. Daca dij : I → R, 1 ≤ i, j ≤ n sunt functii derivabile pe I,atunci functia D : I → R, D(t) = |dij(t)|n×n, ∀t ∈ I este derivabila pe I si

D′(t) =n∑k=1

Dk(t), ∀t ∈ I, unde Dk este determinantul obtinut din D prin

ınlocuirea elementelor liniei k cu derivatele acestora, k ∈ 1, 2, . . . , n.

Demonstratia teoremei 7.1.2. Din lema precedenta rezulta ca W estederivabila pe I; o derivam.

Pentru claritate, vom detalia demonstratia ın cazul n = 3. Are loc

W ′(t) =

∣∣∣∣∣∣x1

1(t) x21(t) x3

1(t)x1

2(t) x22(t) x3

2(t)x1

3(t) x23(t) x3

3(t)

∣∣∣∣∣∣′ =

∣∣∣∣∣∣(x1

1

)′(t)

(x2

1

)′(t)

(x3

1

)′(t)

x12(t) x2

2(t) x32(t)

x13(t) x2

3(t) x33(t)

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣x1

1(t) x21(t) x3

1(t)(x1

2

)′(t)

(x2

2

)′(t)

(x3

2

)′(t)

x13(t) x2

3(t) x33(t)

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣x1

1(t) x21(t) x3

1(t)x1

2(t) x22(t) x3

2(t)(x1

3

)′(t)

(x2

3

)′(t)

(x3

3

)′(t)

∣∣∣∣∣∣

= D1(t) +D2(t) +D3(t).Folosind faptul ca x1, x2, x3 sunt solutii pentru sistemul (7.3) si pro-

prietatile determinantilor, rezulta ca

D1(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣3∑i=1

a1i(t)x1i (t)

3∑i=1

a1i(t)x2i (t)

3∑i=1

a1i(t)x3i (t)

x12(t) x2

2(t) x32(t)

x13(t) x2

3(t) x33(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣87

= a11(t)

∣∣∣∣∣∣x1

1(t) x21(t) x3

1(t)x1

2(t) x22(t) x3

2(t)x1

3(t) x23(t) x3

3(t)

∣∣∣∣∣∣+ a12(t)

∣∣∣∣∣∣x1

2(t) x22(t) x3

2(t)x1

2(t) x22(t) x3

2(t)x1

3(t) x23(t) x3

3(t)

∣∣∣∣∣∣+a13(t)

∣∣∣∣∣∣x1

3(t) x23(t) x3

3(t)x1

2(t) x22(t) x3

2(t)x1

3(t) x23(t) x3

3(t)

∣∣∣∣∣∣ = a11(t)W (t) (se observa ca ultimii

doi determinanti din suma sunt nuli, avand cate doua linii identice).Analog, D2(t) = a22(t)W (t), D3(t) = a33(t)W (t).Deci W ′(t) = [a11(t) + a22(t) + a33(t)]W (t), adica

W ′(t) = [tr A(t)]W (t), ∀t ∈ I.

Aceasta este o ecuatie liniara omogena, de unde rezulta (7.8).Pentru a face demonstratia ıntr-o dimensiune n ∈ N∗ oarecare se va

proceda asemanator.

Teorema 7.1.3. Fie x1, x2, . . . , xn un sistem de solutii ale ecuatiei (7.3).Fie X matricea si W wronskianul asociate acestui sistem de solutii. Urmatoareleconditii sunt echivalente:

i) matricea X este fundamentala;ii)W (t) 6= 0 pentru orice t ∈ I;iii) exista un punct t0 ∈ I astfel ıncat W (t0) 6= 0.

Demonstratie. Vom arata ca i)=⇒ii)=⇒iii)=⇒i).i)=⇒ii): Daca X este matrice fundamentala, atunci x1, x2, . . . , xn

este un sistem liniar independent de solutii pentru (7.3). Presupunem prin

reducere la absurd ca exista un punct t0 ∈ I astfel ıncat W (t0) = 0. In acestcaz sistemul algebric liniar si omogen X(t0)c = 0, care are determinantulW (t0) = 0, va admite o solutie nebanala c0 = (c01, c02, . . . , c0n) ∈ Rn \ 0.Fie

(7.9) y(t) = X(t)c0.

Comparand cu formula (7.7), rezulta ca y(t) este solutie pentru sistemul

diferential (7.3). In plus, y(t0) = X(t0)c0 = 0. Deci problema Cauchyx′(t) = A(t)x(t)x(t0) = 0

admite, pe langa solutia nula, solutia y(t). Din partea de unicitate a teoremei

7.0.2 rezulta ca y(t) = 0 pentru orice t ∈ I. Inlocuind ın (7.9), vom obtine

X(t)c0 = 0 pentru un vector c0 6= 0, adica, echivalent,n∑i=1

c0ixi(t) = 0 pentru

orice t ∈ I, ceea ce contrazice independenta sistemului x1, x2, . . . , xn.ii)=⇒iii): evidentiii)=⇒i): Stim ca exista un t0 ∈ I astfel ıncat W (t0) 6= 0. Presupunem

prin reducere la absurd ca sistemul x1, x2, . . . , xn este liniar dependent,

88

adica exista c = (c1, c2, . . . , cn) ∈ Rn, c 6= 0 astfel ıncatn∑i=1

cixi(t) = 0 pentru

orice t ∈ I sau, echivalent, X(t)c = 0 pentru orice t ∈ I. In particular,

(7.10) X(t0)c = 0.

Sistemul (7.10) este un sistem algebric liniar si omogen. De vreme ce admitesolutii nenule, ınseamna ca determinantul sau este nul: det X(t0) = 0. Altfelspus, W (t0) = 0 (contradictie! ).

Observatia 7.1.4. Echivalenta ii)=⇒iii) poate fi stabilita si prin teo-rema lui Liouville, folosind faptul ca functia exponentiala este strict po–zitiva.

Observatia 7.1.5. Fie t0 ∈ I, x0 ∈ Rn si X o matrice fundamentalapentru sistemul (7.3). Atunci unica solutie a problemei Cauchy

x′(t) = A(t)x(t)x(t0) = x0

este data de formula:

(7.11) x(t) = X(t)X−1(t0)x0, ∀t ∈ I.

Intr-adevar, din (7.7), avem x(t) = X(t)c, ∀t ∈ I, unde c ∈ Rn. Im-punand conditia x(t0) = x0 rezulta ca X(t0)c = x0. Dar, conform teoremei7.1.3, i)=⇒ii), X(t0) este matrice inversabila si atunci c = X−1(t0)x0. Uni-citatea rezulta din teorema 7.0.2.

7.2. Sisteme liniare neomogene. Formula variatiei constantelor

Fie sistemul diferential de ordinul ıntai liniar, neomogen:

(7.12) x′(t) = A(t)x(t) + b(t),

unde A : I → Mn(R) si b : I → R sunt functii continue (adica A(t) =(aij(t))n×n, b(t) = (bi(t))n×1 si aij , bi : I → R sunt continue, 1 ≤ i, j ≤ n).

Fie sistemul liniar omogen atasat:

(7.13) x′(t) = A(t)x(t).

Daca stim sa rezolvam sistemul omogen (7.13), oare putem spune cevadespre solutiile sistemului neomogen (7.12)? Teorema de mai jos da ometoda de determinare a solutiei generale a sistemului (7.12) cu ajutorulsolutiei generale a sistemului omogen atasat (7.13):

Teorema 7.2.1. Fie X o matrice fundamentala a sistemului omogen(7.13) si fie y : I → Rn o solutie a sistemului neomogen (7.12). O functiex : I → Rn este solutie a sistemului neomogen (7.12) ⇔ x este de forma:

(7.14) x(t) = X(t)c+ y(t), ∀t ∈ I,unde c ∈ Rn este un vector constant.

89

Altfel spus, solutia generala a sistemului neomogen (7.12) este data desuma dintre solutia generala a sistemului omogen atasat (7.13) (X(t)c) si osolutie particulara a lui (7.12) (y).

Observatia 7.2.1. O matrice fundamentala se asociaza numai unui sis-tem liniar omogen.

Demonstratie. ”⇒”: Presupunem ca x este solutie pentru sistemul(7.12). Demonstram ca x este de forma (7.14).

Fie z : I → Rn, z(t) = x(t) − y(t), ∀t ∈ I. Ca diferenta a doua functiiderivabile, z este derivabila pe I si

z′(t) = x′(t)− y′(t) = A(t)x(t) + b(t)−A(t)y(t)− b(t)= A(t)(x(t)− y(t)) = A(t)z(t), ∀t ∈ I.

Deci z este solutie a sistemului omogen (7.13) si, ın conformitate cu relatia(7.7), ea este de forma z(t) = X(t)c, ∀t ∈ I, unde c ∈ Rn este un vectorconstant.

Prin urmare, x(t)− y(t) = X(t)c, ∀t ∈ I.”⇐”: Fie x functia definita prin (7.14). Aratam ca x este solutie pentru

(7.12).Cum X(·)c este solutie a sistemului omogen (7.13) si y este solutie pentru

(7.12), rezulta ca x este derivabila pe I. Mai mult,

x′(t) = X ′(t)c+ y′(t) = A(t)X(t)c+A(t)y(t) + b(t)

= A(t)[X(t)c+ y(t)] + b(t) = A(t)x(t) + b(t), ∀t ∈ I.

Asadar x verifica (7.12).

Teorema 7.2.2. (Formula variatiei constantelor) Fie X o matricefundamentala a sistemului omogen (7.13). Atunci pentru orice t0 ∈ I siorice x0 ∈ Rn, unica solutie x : I → Rn a problemei Cauchy

(7.15)

x′(t) = A(t)x(t) + b(t)x(t0) = x0

este data de:

(7.16) x(t) = X(t)X−1(t0)x0 +

∫ t

t0

X(t)X−1(s)b(s)ds, ,∀t ∈ I.

Demonstratie. Plecand de la formula (7.7) de la sisteme omogene, vomcauta unica solutie a problemei Cauchy (7.15) de forma:

(7.17) x(t) = X(t)c(t), ∀t ∈ I,

unde c : I → Rn este o functie de clasa C1 pe care intentionam sa o deter-minam. In acest scop impunem conditia ca x dat de (7.17) sa fie solutie aproblemei Cauchy (7.15):

X ′(t)c(t) +X(t)c′(t) = A(t)X(t)c(t) + b(t), ∀t ∈ I90

(7.6)=⇒ A(t)X(t)c(t) +X(t)c′(t) = A(t)X(t)c(t) + b(t), ∀t ∈ I,

echivalent,

(*) X(t)c′(t) = b(t), ∀t ∈ I.

Cum X(t) este nesingulara pentru orice t ∈ I, rezulta ca

c′(t) = X−1(t)b(t), ∀t ∈ I.

Integram aceasta relatie ın ambii membri de la t0 la t si obtinem cu ajutorulformulei Leibniz-Newton ca

c(t)− c(t0) =

∫ t

t0

X−1(s)b(s)ds.

Inlocuind ın (7.17), rezulta ca

x(t) = X(t)c(t0) +X(t)

∫ t

t0

X−1(s)b(s)ds, ∀t ∈ I,

adica, echivalent, comutand X(t) cu integrala (se folosesc liniaritatea inte-gralei si faptul ca X(t) nu depinde de variabila de integrare s),

(7.18) x(t) = X(t)c(t0) +

∫ t

t0

X(t)X−1(s)b(s)ds, ∀t ∈ I.

Il vom determina pe c(t0) punand conditia initiala x(t0) = x0, care implica

x0 = X(t0)c(t0) =⇒ c(t0) = X−1(t0)x0.

Inlocuind ın (7.18) deducem (7.16).

Observatia 7.2.2. Numele de ”formula variatiei constantelor” se da-toreaza faptului ca se cauta o solutie particulara a sistemului neomogenınlocuind constanta c ce apare ın reprezentarea solutiei generale a sistemuluiomogen cu o functie ce variaza odata cu timpul.

Observatia 7.2.3. Formula (7.18) ne arata cum poate fi scrisa solutiagenerala a sistemului neomogen (7.12) utilizand doar o matrice fundamentalaa sistemului omogen asociat (7.13):

x(t) = X(t)c+

∫ t

t0

X(t)X−1(s)b(s)ds, ,∀t ∈ I

(t0 ∈ I fixat, c ∈ Rnconstant).

Observatia 7.2.4. Din cele demonstrate pana ın acest moment rezultaca pentru rezolvarea unui sistem de ecuatii diferentiale liniare este suficientsa determinam o matrice fundamentala a sistemului omogen asociat. Pentrusistemele neautonome (cu elementele matricei A depinzand de t) nu existaınsa o metoda generala de determinare a unei matrice fundamentale.

91

In cazul ın care elementele matricei A sunt constante (sisteme dife–rentiale liniare cu coeficienti constanti) exista mai multe metode de deter-minare a unei astfel de matrice fundamentale.

7.3. Ecuatii diferentiale de ordinul n liniare

Aceste ecuatii au forma:

(7.19) x(n)(t) + a1(t)x(n−1)(t) + · · ·+ an−1(t)x′(t) + an(t)x(t) = f(t),

unde n ∈ N∗, iar a1, a2, . . . , an−1, an, f : I → R sunt functii continue (I ⊆ Rfiind un interval nevid, deschis).

Prin intermediul transformariiy1 = xy2 = x′

...

yn = x(n−1)

ecuatia (7.19) poate fi rescrisa, echivalent, sub forma unui sistem de n ecuatiidiferentiale de ordinul ıntai liniare, ın necunoscutele y1(t), . . . , yn(t):

(7.20)

y′1 = y2

y′2 = y3...y′n−1 = yny′n = −an(t)y1 − an−1(t)y2 − . . .− a1(t)yn(t) + f(t).

Sistemul (7.20) este de forma:

(7.21) y′(t) = A(t)y(t) + b(t),

unde, pentru t ∈ I:

y(t) =

y1(t)y2(t)

...yn−1(t)yn(t)

∈ Rn; b(t) =

00...0f(t)

∈ Rn;

A(t) =

0 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0...0 0 0 . . . 0 1

−an(t) −an−1(t) −an−2(t) . . . −a2(t) −a1(t)

∈Mn(R).

Toate consideratiile facute anterior pentru sisteme diferentiale liniare sepot reformula pentru ecuatia (7.19).

Definitia 7.3.1. Daca ın (7.19) f(t) = 0, pentru toti t ∈ I, atunciecuatia (7.19) se numeste omogena, iar ın caz contrar, neomogena.

92

Teorema 7.3.1. Pentru orice t0 ∈ I si orice x0 = (x01, . . . , x0n) ∈ Rn,problema Cauchy

(7.22)

x(n)(t) + a1(t)x(n−1)(t) + · · ·+ an−1(t)x′(t) + an(t)x(t) = f(t)x(t0) = x01

x′(t0) = x02

. . .

x(n−1)(t0) = x0n

are o solutie unica x : I → R.

Demonstratie. Cu notatiile introduse anterior, problema Cauchy (7.22)

este echivalenta cu problema Cauchy

y′(t) = A(t)y(t) + b(t)y(t0) = x0

, despre

care stim ca are o solutie unica definita pe ıntreg intervalul I (teorema7.0.2).

7.3.1. Ecuatii diferentiale de ordin n liniare omogene. Consi-deram ecuatia omogena asociata ecuatiei (7.19):

(7.23) x(n)(t) + a1(t)x(n−1)(t) + · · ·+ an−1(t)x′(t) + an(t)x(t) = 0.

Are loc urmatoarea teorema de structura a multimii solutiilor:

Teorema 7.3.2. Multimea solutiilor ecuatiei omogene (7.23) este unspatiu liniar real de dimensiune n (n fiind ordinul ecuatiei).

Demonstratie. Fie Sn = x : I → R | x solutie pentru (7.23).Se constata ca

Sn ⊆ Cn(I;R) = x : I → R | x functie de clasa Cn pe I,

pentru ca orice solutie a unei ecuatii diferentiale de ordin n este ın primulrand, prin definitie, functie de clasa Cn. Mai mult, Sn este chiar subspatiuliniar al spatiului liniar real Cn(I;R), deoarece pentru orice doua solutii aleecuatiei (7.23), x1, x2 ∈ Sn, si orice doi scalari α, β ∈ R, se observa ca αx1 +

βx2 este, la randul ei, solutie a lui (7.23) ((αx1 + βx2)(k) = αx(k)1 + βx

(k)2 ,

pentru 0 ≤ k ≤ n, din liniaritatea derivatei de ordin oarecare).Acum sa notam cu S multimea solutiilor y : I → Rn ale sistemului liniar

si omogen asociat ecuatiei (7.23):

(7.24) y′ = A(t)y.

Din teorema 7.1.1 stim ca S este un spatiu liniar real de dimensiune n, decipentru a demonstra ca dim Sn = n va fi suficient sa gasim un izomorfismıntre aceste doua spatii liniare. Aplicatia T : Sn → S,

(7.25) T (x) =(x, x′, . . . , x(n−1)

)= (y1, y2, . . . , yn) = y ∈ S, ∀x ∈ Sn

este un astfel de exemplu. Intr-adevar:

93

T este operator liniar: pentru orice x, x ∈ Sn si α, β ∈ R, are loc

T (αx+ βx) =(αx+ βx, (αx+ βx)′ , . . . , (αx+ βx)(n−1)

)=

(αx+ βx, αx′ + βx′, . . . , αx(n−1) + βx(n−1)

)= α

(x, x′, . . . , x(n−1)

)+ β

(x, x′, . . . , x(n−1)

)= αT (x) + βT (x);

T este injectiv: ar trebui de aratat ca daca x, x ∈ S si T (x) = T (x),

atunci x = x; dar T (x) = T (x) ⇔(x, x′, . . . , x(n−1)

)=(x, x′, . . . , x(n−1)

),

egalitate care, evident, implica x = x (doua n−uple sunt egale daca si numaidaca au componentele situate pe aceleasi locuri egale);

T este surjectiv: pentru orice y ∈ S se cere demonstrata existenta unuielement x ∈ Sn verificand T (x) = y; ori, data o solutie y = (y1, y2, . . . , yn)a sistemului liniar si omogen (7.24) asociat ecuatiei (7.23), se ia x = y1

(=prima componenta a solutiei sistemului (7.24)) si este clar ca x ∈ Cn(I;R),iar T (x) = (y1, y2, . . . , yn).

Asadar T este izomorfism, deci Sn ∼= S si dimRSn =dimRS = n.

Observatia 7.3.1. Teorema 7.3.2 arata ca determinarea solutiei gene-rale a ecuatiei (7.23) revine la determinarea a n solutii particulare liniarindependente ale ecuatiei. Altfel spus, daca x1, x2, . . . , xn ∈ Sn sunt liniarindependente (⇔ baza ın Sn), atunci solutia generala a ecuatiei liniare omo-gene (7.23) este data de:

(7.26) x(t) = c1x1(t) + c2x2(t) + · · ·+ cnxn(t), ∀t ∈ I,

unde c1, c2, . . . , cn ∈ R sunt constante.

Definitia 7.3.2. Un sistem x1, x2, . . . , xn ∈ Sn care formeaza o baza ınSn se numeste sistem fundamental de solutii al ecuatiei (7.23).

Definitia 7.3.3. Fie n solutii ale ecuatiei (7.23), x1, x2, . . . , xn : I → R.Matricea X : I →Mn(R), definita prin

(7.27) X(t) =

x1(t) x2(t) . . . xn(t)x′1(t) x′2(t) . . . x′n(t)

...

x(n−1)1 (t) x

(n−1)2 (t) . . . x

(n−1)n (t)

, ∀t ∈ I

se numeste matricea asociata sistemului de solutii x1, x2, . . . , xn ∈ Sn.

Definitia 7.3.4. Matricea asociata unui sistem fundamental de solutiiale ecuatiei (7.23) se numeste matrice fundamentala a ecuatiei (7.23).

Definitia 7.3.5. Daca X este matricea asociata unui sistem de solutiix1, x2, . . . , xn ∈ Sn, determinantul sau W : I → R, W (t) = det X(t), ∀t ∈ I,se numeste wronskianul asociat sistemului de solutii x1, x2, . . . , xn.

94

Observatia 7.3.2. Deoarece aplicatia T definita prin (7.25) este un izo-morfism ıntre Sn si S, rezulta ca un sistem de solutii x1, x2, . . . , xn : I → Rale ecuatiei (7.23) este fundamental daca si numai daca y1 = T (x1), y2 =T (x2), . . . , yn = T (xn) este un sistem fundamental de solutii pentru siste-mul omogen (7.24) atasat sistemului (7.21). Aceasta observatie ne permitesa reformulam rezultatele stabilite pentru sisteme liniare omogene ın cazulecuatiei diferentiale de ordin n liniare.

Teorema 7.3.3. ( Liouville) Daca W este wronkianul unui sistem den solutii x1, x2, . . . , xn ale ecuatiei (7.23), atunci

(7.28) W (t) = W (t0)e−

∫ tt0a1(s)ds

, ∀t ∈ I,

unde t0 ∈ I este fixat.

Demonstratie. Din teorema 7.1.2,

W (t) = W (t0)e∫ tt0

tr A(s)ds, ∀t ∈ I,

unde A(t) este matricea sistemului (7.24), matrice care are urma

tr A(t) = −a1(t), t ∈ I

(a se vedea la pagina 92 cum a fost introdusa matricea A(t)).

Observatia 7.3.3. Din relatia (7.28) se obtine ca daca a1(t) = 0, ∀t ∈I, atunci orice sistem de n solutii ale ecuatiei (7.23) are wronskianul con-stant pe I: W (t) = W (t0), ∀t ∈ I.

Teorema 7.3.4. Fie x1, x2, . . . , xn : I → R un sistem de solutii aleecuatiei (7.23). Fie X matricea si W wronskianul asociate acestui sistem desolutii. Urmatoarele conditii sunt echivalente:

i) matricea X este fundamentala;ii)W (t) 6= 0 pentru orice t ∈ I;iii) exista un punct t0 ∈ I astfel ıncat W (t0) 6= 0.

Demonstratie. Este o consecinta a teoremei 7.1.3.

7.3.2. Ecuatii diferentiale de ordin n liniare neomogene. Me-toda variatiei constantelor.

Teorema 7.3.5. Solutia generala x a ecuatiei liniare neomogene (7.19)este de forma

(7.29) x(t) = xomog(t) + xp(t), t ∈ I,

unde xomog este solutia generala a ecuatiei omogene (7.23) asociate ecuatiei(7.19), iar xp : I → R este o solutie particulara a ecuatiei neomogene (7.19).

95

Demonstratie. Rezultatul urmeaza din teorema 7.2.1.

Metoda variatiei constantelorPresupunem ca am putut determina un sistem fundamental de solutii

x1, x2, . . . , xn pentru ecuatia liniara omogena (7.23); fie X(t) matricea aso-ciata acestui sistem de solutii (definita prin relatia (7.27); desigur, X(t) esteo matrice fundamentala.

Conform formulei (7.26, orice solutie a ecuatiei omogene (7.23 este deforma

xomog(t) =

n∑i=1

cixi(t), t ∈ I,

cu c1, c2, . . . , cn ∈ R constante.In cazul ecuatiei neomogene (7.19) vom proceda ca ın cazul sistemelor

diferentiale liniare si vom cauta o solutie de forma

(7.30) xomog(t) =n∑i=1

ci(t)xi(t),

unde c1, c2, . . . , cn : I → R sunt functii de clasa C1. Amintim conditia

(*) X(t)c′(t) = b(t)

dedusa la sisteme liniare neomogene pentru determinarea vectorului

c(t) =

c1(t)c2(t)

...cn(t)

.

Scriind aceasta conditie pe larg, obtinem sistemul:(7.31)

c′1(t)x1(t) + c′2(t)x2(t) + · · · + c′n(t)xn(t) = 0c′1(t)x′1(t) + c′2(t)x′2(t) + · · · + c′n(t)x′n(t) = 0...

c′1(t)x(n−2)1 (t) + c′2(t)x

(n−2)2 (t) + · · · + c′n(t)x

(n−2)n (t) = 0

c′1(t)x(n−1)1 (t) + c′2(t)x

(n−1)2 (t) + · · · + c′n(t)x

(n−1)n (t) = f(t)

Sistemul (7.31) este un sistem algebric liniar si omogen, cu n ecuatii si nnecunoscute, anume c′1(t), c′2(t),. . ., c′n(t). Determinantul acestui sistem estedet X(t) 6= 0, ∀t ∈ I (se aplica teorema 7.3.4, stiind ca X(t) este matricefundamentala). Avem de-a face, asadar, cu un sistem Cramer, care vaadmite o solutie unica.

Dupa aflarea functiilor c′1(t), c′2(t),. . ., c′n(t), vom determina c1(t), c2(t),. . .,cn(t) prin integrare; fiecare din functiile ci(t), 1 ≤ i ≤ n, va depinde de cateo constanta reala - ın total, n constante. Aceste n constante se pot deter-mina ın mod unic din conditiile initiale asociate ecuatiei (7.19) (obtinem unsistem algebric liniar de n ecuatii cu n necunoscute, al carui determinanteste det W (t0) 6= 0, deci tot un sistem Cramer).

96

Observatia 7.3.4. O problema esentiala este problema determinariiunui sistem fundamental de solutii ale ecuatiei liniare omogene (7.23). Aceastaproblema nu poate fi rezolvata explicit ın cazul general al ecuatiilor cu coeficientivariabili (adica pentru a1, a2, . . . , an dependente de t).

7.4. Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti

Ecuatiile diferentiale liniare cu coeficienti constanti reprezinta un cazparticular al ecuatiei (7.19): acela cand coeficientii a1, a2, . . . , an nu depindde t. Prezentam ın continuare metode de rezolvare a acestora.

7.4.1. Ecuatii diferentiale liniare si omogene cu coeficienti cons-tanti. Determinarea unui sistem fundamental de solutii. Ne pro-punem sa determinam un sistem fundamental de solutii pentru ecuatiadiferentiala liniara si omogena cu coeficienti constanti

(7.32) x(n) + a1x(n−1) + · · ·+ an−1x

′ + anx = 0,

unde a1, a2, . . . , an ∈ R sunt constante.Cautam o solutie particulara de forma xp(t) = eλt (cu λ constant).

Atunci x′p(t) = λeλt, x′′p(t) = λ2eλt, . . ., x(n)p (t) = λneλt si ınlocuirea ın

ecuatia (7.32) conduce la

(7.33) eλt(λn + a1λ

n−1 + · · ·+ an−1λ+ an)

= 0.

Polinomul

(7.34) L(λ) = λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an

se numeste polinomul caracteristic asociat ecuatiei diferentiale (7.32), iarecuatia L(λ) = 0 sau

(7.35) λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an = 0

este ecuatia caracteristica atasata ecuatiei diferentiale (7.32).Din teorema fundamentala a algebrei (a se vedea pagina 48) rezulta ca

ecuatia (7.35) admite exact n radacini complexe, care pot fi simple sau mul-tiple. Fie aceste radacini λ1, de multiplicitate m1 ∈ N∗, λ2, de multiplicitatem2 ∈ N∗,. . . , λs, de multiplicitate ms ∈ N∗; desigur, m1 +m2 + · · ·+ms = n,iar

L(λ) = (λ− λ1)m1 (λ− λ2)m2 · . . . · (λ− λs)ms .

Radacinile ecuatiei caracteristice (7.35) se numesc radacini caracteristicesau autovalori.

Observatia 7.4.1. Putem vorbi despre solutii ale ecuatiei (7.32) definitepe un interval real, dar cu valori complexe. Prin definitie, o asemenea solutieeste o functie x : J ⊆ R→ C, astfel ıncat x ∈ Cn(J) si

x(n)(t) + a1x(n−1)(t) + · · ·+ an−1x

′(t) + anx(t) = 0, ∀t ∈ J.La fel ca ın cazul solutiilor cu valori reale, se poate arata ca solutiile com-plexe sunt definite pe ıntreg R, iar multimea lor are structura de spatiu

97

liniar n−dimensional peste C. De asemenea, se pot introduce (exact ınacelasi mod) notiunile de sistem fundamental de solutii, matrice fundamen-tala, wronskian.

Relatia (7.33) ne spune ca eλt va fi solutie a ecuatiei (7.32) daca si numaidaca λ este radacina a ecuatiei caracteristice (7.35). Distingem doua situatii:ecuatia caracteristica poate avea doar radacini simple sau poate admite siradacini multiple.

Cazul A) Daca ecuatia caracteristica (7.35) are n radacini dis-tincte (reale sau complexe) λ1, λ2, . . . , λn, atunci functiile x1(t) = eλ1t,x2(t) = eλ2t, . . ., xn(t) = eλnt sunt solutii ale ecuatiei (7.32). Mai mult, ele

formeaza un sistem fundamental de solutii. Intr-adevar, se aplica teorema7.3.4, ii)⇒ i), deoarece wronskianul acestui sistem de solutii este

W (t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣eλ1t eλ2t . . . eλnt

λ1eλ1t λ2e

λ2t . . . λneλnt

...λn−1

1 eλ1t λn−12 eλ2t . . . λn−1

n eλnt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= eλ1teλ2t . . . eλnt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 . . . 1λ1 λ2 . . . λn...

λn−11 λn−1

2 . . . λn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= eλ1teλ2t . . . eλnt

∏1≤i<j≤n

(λj − λi) 6= 0, ∀t ∈ R.

In calcul am folosit faptul ca ultimul determinant este de tip Vandermonde.In aceste conditii, solutia generala a ecuatiei (7.32) va fi

x(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t + · · ·+ cneλnt, ∀t ∈ R,

cu c1, c2, . . . , cn ∈ R constante.Cazul B) Daca ecuatia caracteristica (7.35) are (si) radacini

multiple, atunci sa observam mai ıntai ca operatorul diferential liniar

L(D)(y) = y(n) + a1y(n−1) + · · ·+ an−1y

′ + any

verifica relatia

L(D)(yeλt

)= eλt

(yL(λ) +

1

1!y′L′(λ) +

1

2!y′′L′′(λ)(7.36)

+ · · ·+ 1

n!y(n)L(n)(λ)

), ∀λ ∈ C, ∀y ∈ Cn

(prin L(k) am notat derivata de ordin k a polinomului caracteristic, adica

L(k)(λ) = n(n−1)·. . .·(n−k+1)λn−k+(n−1)(n−2)·. . .·(n−k)a1λn−k−1+· · · ).

98

Intr-adevar, fie λ ∈ C si y ∈ Cn oarecare fixate. Avem

L(D)(yeλt

)=(yeλt

)(n)+ a1

(yeλt

)(n−1)+ · · ·+ an−1

(yeλt

)′+ anye

λt.

Din regula lui Leibniz de derivare a produsului a doua functii:

(yz)(m) =

m∑k=0

Ckmy(k)z(m−k) =

m∑k=0

m!

k!(m− k)!y(k)z(m−k)

deducem, pentru 0 ≤ m ≤ n, ca(yeλt

)(m)=

m∑k=0

m!

k!(m− k)!y(k)

(eλt)(m−k)

=m∑k=0

m!

k!(m− k)!y(k)λm−keλt

= eλtm∑k=0

m!

k!(m− k)!λm−ky(k),

prin urmare

(7.37) L(D)(yeλt

)= eλt

n∑k=0

Lk(λ)y(k),

unde Lk sunt polinoame de ordin n − k, 0 ≤ k ≤ n. Ramane sa aratam ca

Lk(λ) =1

k!L(k)(λ). Vom lua ın (7.37) y = eγt, cu γ ∈ C oarecare, si obtinem

(7.38) L(D)(e(λ+γ)t

)= eλt

n∑k=0

Lk(λ)γkeγt, ∀t ∈ R.

Intrucat

L(D)(eαt)

=(eλt)(n)

+ a1

(eλt)(n−1)

+ · · ·+ an−1

(eλt)′

+ aneλt

= λneλt + a1λn−1eλt + · · ·+ an−1λe

λt + +aneλt

= eλt(λn + a1λ

n−1 + · · ·+ an−1λ+ an)

= eαtL(α), ∀t ∈ R,∀α ∈ C,

relatia (7.38) devine

e(λ+γ)tL(λ+ γ) = e(λ+γ)tn∑k=0

Lk(λ)γk, ∀γ ∈ C,

adica

L(λ+ γ) =

n∑k=0

Lk(λ)γk, ∀γ ∈ C.

Pe de alta parte, din formula lui Taylor,

L(λ+ γ) =n∑k=0

1

k!L(k)(λ)γk, ∀γ ∈ C.

99

Comparand ultimele doua relatii, deducem

Lk(λ) =1

k!L(k)(λ), ∀0 ≤ k ≤ n,

ceea ce ıncheie demonstratia.

Fie acum radacina λ1, de multiplicitate m1 ≤ n, a ecuatiei caracteristice(7.35). Atunci L(λ1) = L′(λ1) = · · · = L(m1−1)(λ1) = 0, L(m1)(λ1) 6= 0.Ecuatia diferentiala L(D)

(yeλt

)= 0 se rescrie, folosind relatia (7.36),

1

m1!L(m1)(λ1)y(m1)+

1

(m1 + 1)!L(m1+1)(λ1)y(m1+1)+· · ·+ 1

n!L(n)(λ1)y(n) = 0.

Este usor de observat ca polinoamele de grad (m1 − 1) ın t sunt solutiiparticulare y ale acestei ecuatii, deoarece au derivatele de ordin mai maresau egal cu m1 identic nule. Prin urmare, autovalorii λ1 de multiplicitatem1 ıi corespunde o solutie pentru ecuatia (7.32) de forma

eλ1t(c0 + c1t+ · · ·+ cm1−1t

m1−1)eλ1t

(unde c0, c1, . . . , cm1−1 sunt constante) sau, altfel spus, m1 solutii de forma

eλ1t, teλ1t, t2eλ1t, . . . , tm1−1eλ1t.

Teorema 7.4.1. Daca ecuatia caracteristica (7.35) are radacinile (realesau complexe) λ1 de multiplicitate m1, λ2 de multiplicitate m2,. . . , λs demultiplicitate ms, atunci sistemul de solutii (cu valori complexe)

(7.39)

eλ1t, teλ1t, . . . , tm1−1eλ1t;eλ2t, teλ2t, . . . , tm2−1eλ2t;

...eλst, teλst, . . . , tms−1eλst

asociat ecuatiei liniare omogene (7.32) este fundamental.

Demonstratie. Am aratat mai sus ca toate functiile (7.39) sunt solutiipentru ecuatia (7.32), ın total m1 + m2 + · · · + ms = n solutii. Verificamacum liniara lor independenta peste C, lucru ce va asigura ca ele formeazaun sistem fundamental de solutii (a se vedea observatia 7.3.1).

Consideram constantele c1, c2, . . . , cn ∈ C astfel ıncat

c1eλ1t + c2te

λ1t + · · ·+ cntms−1eλst = 0, ∀t ∈ R.

Aceasta egalitate se rescrie

eλ1tg1(t) + eλ2tg2(t) + · · ·+ eλstgs(t) = 0, ∀t ∈ R,unde gk sunt functii polinomiale de grad cel mult mk, pentru 1 ≤ k ≤ s.

Impartind ambii membri prin eλ1t 6= 0, se obtine

g1(t) + e(λ2−λ1)tg2(t) + · · ·+ e(λs−λ1)tgs(t) = 0, ∀t ∈ R,care devine dupa m1 ≥grad g1 derivari

e(λ2−λ1)th2(t) + · · ·+ e(λs−λ1)ths(t) = 0, ∀t ∈ R,100

unde h2, . . . , hs sunt functii polinomiale cu

grad hk = grad gk, pentru 2 ≤ k ≤ s.

Impartind ambii membri prin e(λ2−λ1)t 6= 0, rezulta

h2(t) + e(λ3−λ2)th3(t) + · · ·+ e(λs−λ2)ths(t) = 0, ∀t ∈ R.

Repetand acest procedeu, se ajunge la

e(λs−λs−1)tus(t) = 0, ∀t ∈ R,

unde grad us = · · · =grad hs =grad gs. Intrucat exponentialele nu seanuleaza pe R, deducem ca us(t) = 0, ∀t ∈ R, adica us ≡ 0, si, prin urmare,gs ≡ 0 (deoarece grad gs =grad us = −∞ si singurul polinom de grad −∞este polinomul nul). In acest fel am demonstrat ca

cn−ms+1 = · · · = cn = 0.

Analog rezulta ca g1 ≡ 0, g2 ≡ 0,. . ., gs−1 ≡ 0. Atunci

c1 = c2 = · · · = cn = 0,

ceea ce implica liniara independenta a sistemului (7.39) si ıncheie demonstratiateoremei.

Observatia 7.4.2. Atunci cand ecuatia caracteristica (7.35) are (si)radacini din C\R, ın sistemul (7.39) vor apare (si) functii complexe. Pentrua evita aceasta situatie, se ınlocuieste sistemul fundamental (7.39) cu unsistem fundamental alcatuit numai din functii reale.

Mai exact, stim de la algebra ca daca un polinom cu coeficienti reali areo radacina numar complex, atunci si complex conjugatul acelui numar va firadacina (de aceeasi multiplicitate) a polinomului. Asadar, autovalorile purcomplexe vor apare grupate ın perechi conjugate de forma (α + iβ, α − iβ).Sa ne amintim ca

e(α+iβ)t = eαt (cosβt+ i sinβt) ,

e(α−iβ)t = eαt (cosβt− i sinβt) ,

de unde rezulta prin adunare, respectiv scadere, ca

eαt cosβt =1

2

(e(α+iβ)t + e(α−iβ)t

),

eαt sinβt =1

2i

(e(α+iβ)t − e(α−iβ)t

).

Daca α±iβ sunt radacini de multiplicitate m ale ecuatiei carateristice (7.35),ne propunem sa ınlocuim cele 2m functii complexe corespunzatoare acestorautovalori ın sistemul fundamental (7.39), anume

e(α+iβ)t, te(α+iβ)t, . . . , tm−1e(α+iβ)t,(7.40)

e(α−iβ)t, te(α−iβ)t, . . . , tm−1e(α−iβ)t,

101

cu functiile reale (tot ın numar de 2m)

eαt cosβt, teαt cosβt, . . . , tm−1eαt cosβt,(7.41)

eαt sinβt, teαt sinβt, . . . , tm−1eαt sinβt.

Intrucat am efectuat operatii liniare (semisuma, semidiferenta pe i =√−1)

ıntre liniile tabloului (7.39), sistemul de functii (7.41) va fi alcatuit tot dinsolutii ale ecuatiei (7.32) si va genera acelasi subspatiu liniar peste C ca si(7.40).

Procedand ın acest fel pentru toate autovalorile pur complexe, vom formaun sistem fundamental de solutii peste C pentru ecuatia (7.32). Aceste solutiivor fi liniar independente si peste R, prin urmare dau un sistem fundamentalde soluti, de aceasta data cu valori reale.

In concluzie, solutia generala a ecuatiei liniare omogene (7.32) va fi ocombinatie liniara de exponentiale si expresii de forma (7.41).

7.4.2. Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti neo-mogene. Determinarea unei solutii particulare atunci cand mem-brul drept este un cvasipolinom. Consideram ecuatia liniara cu coeficienticonstanti neomogena

(7.42) x(n) + a1x(n−1) + · · ·+ an−1x

′ + anx = f(t),

unde a1, a2, . . . , an ∈ R sunt constante, iar f : I → R este o functie continua.Stim ca determinarea unui sistem fundamental de solutii pentru ecuatia

omogena (7.32) asociata lui (7.42) permite rezolvarea ecuatiei (7.42) prinmetoda variatiei constantelor (a se consulta sectiunea 7.3.2).

Atunci cand membrul drept f al ecuatiei (7.42) este un cvasipolinom(adica are una din formele (7.43) sau (7.46) de mai jos), se poate afla osolutie particulara xp(t) a ecuatiei neomogene printr-o metoda mai directa,care nu implica nicio integrare. Apoi se aplica teorema 7.3.5.

Cazul A) Daca functia f are forma

(7.43) f(t) = eγtP (t), t ∈ I,

unde P este un polinom algebric si γ este un numar real, atunci se cauta osolutie particulara xp(t) pentru ecuatia (7.42) de forma

(7.44) xp(t) = tleγtQ(t),

unde Q este un polinom algebric de acelasi grad cu P , iar l reprezinta mul-tiplicitatea lui γ ca radacina a ecuatiei caracteristice (7.35) (daca γ nu esteradacina a ecuatiei caracteristice, se ia l = 0).

Inlocuindu-l pe xp(t) ın ecuatia (7.42), se obtine(tleγtQ(t)

)(n)+ a1

(tleγtQ(t)

)(n−1)+ · · ·+ an−1

(tleγtQ(t)

)′+ant

leγtQ(t) = eγtP (t),

102

relatie echivalenta, conform formulei (7.36), cu

(7.45)n∑k=0

1

k!L(k)(γ)

(tlQ(t)

)(k)= P (t)

(L noteaza, din nou, polinomul caracteristic (7.34) al ecuatiei omogene (7.32)asociate ecuatiei liniare neomogene (7.42)).

Sa nu uitam ca γ este radacina de multiplicitate l a ecuatiei caracteristice(7.35). De aici rezulta ca atunci cand l ≥ 1 au loc

L(k)(γ) = 0, pentru 0 ≤ k ≤ l − 1

si (7.45) poate fi rescrisan∑k=l

1

k!L(k)(γ)

(tlQ(t)

)(k)= P (t),

permitand determinarea coeficientilor polinomului Q ın mod unic, prin iden-tificare.

Cazul B) Daca functia f are forma

(7.46) f(t) = eαt(P1(t) cosβt+ P2(t) sinβt), t ∈ I,unde P1, P2 sunt polinoame algebrice si α, β ∈ R, atunci se cauta o solutieparticulara xp(t) pentru ecuatia neomogena (7.42) de forma

(7.47) xp(t) = tleαt(Q1(t) cosβt+Q2(t) sinβt),

undeQ1, Q2 sunt polinoame algebrice de grad egal cu maxgrad P1, grad P2si l este multiplicitatea lui γ = α + iβ ∈ C ca radacina a ecuatiei ca-racteristice (7.35) (daca γ nu este radacina a ecuatiei caracteristice, se ial = 0). Obligand functia xp(t) sa verifice (7.42), putem determina ın modunic coeficientii polinoamelor Q1, Q2, prin identificare.

Exemplul 7.4.1. Sa se gaseasca solutia generala a ecuatiei

(7.48) x′′ + x′ = 2t+ 2.

Ecuatia (7.48) este o ecuatie diferentiala liniara cu coeficienti constanti,

de ordinul al doilea, neomogena. Intrucat membrul drept al ecuatiei este unpolinom, cautam solutia ei generala de forma

(7.49) x(t) = xo(t) + xp(t),

unde xo(t) noteaza solutia generala ecuatiei omogene asociate, iar xp(t) vafi o solutie particulara a ecuatiei neomogene (7.48).

Ecuatia liniara omogena asociata ecuatiei (7.48) este

(7.50) x′′ + x′ = 0.

Pentru a o rezolva ıi atasam ecuatia caracteristica

(7.51) λ2 + λ = 0

sau, echivalent,λ(λ+ 1) = 0,

103

care are radacinile reale distincte λ1 = 0 si λ2 = −1. Atunci un sistem fun-damental de solutii pentru ecuatia omogena (7.50) este

e0t, e−t

=

1, e−t

,iar solutia ei generala,

(7.52) xo(t) = C1 · 1 + C2e−t = C1 + C2e

−t, ∀t ∈ R,unde C1, C2 ∈ R sunt constante.

Incercam acum sa aflam o solutie particulara xp(t) a ecuatiei neomogene(7.48). Membrul drept al acestei ecuatii este f(t) = 2t+2, deci ne situam ıncazul A) pentru γ = 0 (nu apare nicio exponentiala ın f(t)!) si P (t) = 2t+2.

In plus, multiplicitatea lui γ ca radacina a ecuatiei caracteristice (7.51) estel = 1. Vom cauta solutia particulara xp(t) de forma xp(t) = tleγtQ(t),unde Q(t) este un polinom cu grad Q(t) =grad P (t) = 1. Expresia cea maigenerala a unui polinom de grad 1 este Q(t) = at+ b, cu a, b ∈ R constante.Prin urmare,

(7.53) xp(t) = t1e0t(at+ b) = t(at+ b) = at2 + bt.

Pentru a determina constantele a, b, impunem ca xp(t) sa verifice ecuatianeomogena (7.48). Vom avea nevoie de

x′p(t) = 2at+ b, x′′p(t) = 2a

si ınlocuind ın (7.48) obtinem

2a+ 2at+ b = 2t+ 2.

Aceasta egalitate trebuie sa aiba loc pentru orice t dintr-un interval cu in-terior nevid. Singura posibilitate este ca polinoamele din cei doi membri saaiba aceeasi coeficienti, adica

2a = 22a+ b = 2.

Deducem ca a = 1 si b = 0 si ıntorcandu-ne ın relatia (7.53), avem

(7.54) xp(t) = t2, ∀t ∈ R.

Inlocuind (7.52), (7.54) ın (7.49), scriem solutia generala a ecuatiei (7.48):

x(t) = C1 + C2e−t + t2, ∀t ∈ R,

unde C1, C2 ∈ R sunt constante.

104

Derivate si integrale pentru functii de o variabila

Derivate pentru functii de o singura variabila

Tabela 1. Tabelul de derivare al functiilor elementare

f(x) f ′(x) Domeniul dederivabilitate

1. c, c ∈ R constanta 0 R

2. xn, n ∈ N∗ nxn−1 R

3. xa, cu a ∈ R axa−1 cel putin (0,∞)

4. ex ex R

5. ax, cu a ∈ (0,∞) \ 1 axln a R

6. ln x1

x(0,∞)

7. logax, cu a ∈ (0,∞) \ 1 1

xln a(0,∞)

8. sinx cosx R

9. cosx − sinx R

105

f(x) f ′(x) Domeniul dederivabilitate

10. tg x1

cos2 xx 6= (2k + 1)π

2, k ∈ Z

11. ctg x − 1

sin2 xx 6= kπ, k ∈ Z

12. arcsin x1√

1− x2(−1, 1)

13. arccos x − 1√1− x2

(−1, 1)

14. arctg x1

x2 + 1R

15. arcctg x − 1

x2 + 1R

Reguli de derivare:

• (f + g)′ = f ′ + g′;• (f − g)′ = f ′ − g′;• (fg)′ = f ′g + fg′;

•(f

g

)′=f ′g − fg′

g2(g 6= 0);

• ın particular, daca c este o constanta, (f + c)′ = f ′ si (cf)′ = cf ′;• (f g)′ = (f ′ g)g′;

• (fg)′ =(eln fg

)′=(egln f

)′= egln f ·(gln f)′ = fg·

(g′ln f + g f

′

f

)=(gfg−1

)f ′ + (fgln f) g′;

• regula lui Leibniz de derivare a produsului a doua functii: dacam ∈ N∗ si f, g sunt derivabile de m ori, atunci produsul fg estederivabil de m ori si

(fg)(m) =m∑k=0

Ckmf(k)g(m−k) =

m∑k=0

m!

k!(m− k)!f (k)g(m−k).

106

Integrale

Peste tot ın cele ce urmeaza J reprezinta un interval real.

Tabela 2. Tabel de integrale nedefinite

Functia

∫f(x)dx

1. f : R→ R

f(x) = xn, n ∈ Nxn+1

n+ 1+ C

2. f : J ⊆ (0,∞)→ R

f(x) = xa, cu a ∈ R \ −1 xa+1

a+ 1+ C

3. f : J ⊆ R∗ → R

f(x) =1

xln |x|+ C

4. f : R→ Rf(x) = ex ex + C

5. f : R→ R

f(x) = ax, cu a ∈ (0,∞) \ 1 ax

ln a+ C

6. f : J ⊆ R \ −a, a → R, unde a ∈ R∗

f(x) =1

x2 − a2

1

2aln

∣∣∣∣x− ax+ a

∣∣∣∣+ C

7. f : R→ R

f(x) =1

x2 + a2, unde a ∈ R∗

1

aarctg

x

a+ C

107

Functia

∫f(x)dx

8. f : R→ Rf(x) = sinx − cosx+ C

9. f : R→ Rf(x) = cosx sinx+ C

10. f : J ⊆ R \

(2k + 1)π

2; k ∈ Z

→ R

f(x) =1

cos2 xtg x+ C

11. f : J ⊆ R \ kπ; k ∈ Z → R

f(x) =1

sin2 x−ctg x+ C

12. f : J ⊆ R \

(2k + 1)π

2; k ∈ Z

→ R

f(x) = tg x −ln | cosx|+ C

13. f : J ⊆ R \ kπ; k ∈ Z → Rf(x) = ctg x ln | sinx|+ C

14. f : R→ R

f(x) =1√

x2 + a2, cu a ∈ R∗ ln (x+

√x2 + a2) + C

15. f : J → R, cu J ⊆ (−∞,−a)sau J ⊆ (a,∞), unde a > 0

f(x) =1√

x2 − a2ln∣∣∣x+

√x2 − a2

∣∣∣+ C

108

Functia

∫f(x)dx

16. f : J ⊆ (−a, a)→ R, cu a > 0

f(x) =1√

a2 − x2arcsin

x

a+ C

Teorema 7.4.2. Fie f, g : J → R doua functii care admit primitive siλ ∈ R∗. Atunci functiile f + g si λf admit de asemenea primitive si su locrelatiile: ∫

(f(x) + g(x))dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx;∫

λf(x)dx = λ

∫f(x)dx.

Teorema 7.4.3. (Formula de integrare prin parti)Daca f, g : J → R sunt functii derivabile, cu derivate continue, atunci

functiile fg, f ′g si fg′ admit primitive si∫f(x)g′(x)dx = fg −

∫f ′(x)g(x)dx.

Teorema 7.4.4. (prima metoda de schimbare de variabila) FieI, J intervale reale si

Iϕ→ J

f→ Rfunctii cu proprietatile:

i) ϕ este derivabila pe I;ii) f admite primitive; fie F o primitiva a sa.Atunci functia (f ϕ) · ϕ′ admite primitive si∫

f(ϕ(x)) · ϕ′(x)dx = F ϕ+ C.

Teorema 7.4.5. (a doua metoda de schimbare de variabila) FieI, J intervale reale si

Iϕ→ J

f→ Rfunctii cu proprietatile:

i) ϕ este bijectiva, derivabila, cu derivata nenula pe I;ii) functia (f ϕ) · ϕ′ admite primitive; fie H o primitiva a sa.Atunci functia f admite primitive si∫

f(x)dx = H ϕ−1 + C.

109

Teorema 7.4.6. (Formula lui Leibniz-Newton) Fie f : [a, b] → Ro functie integrabila care admite primitive pe [a, b]. Atunci pentru oriceprimitiva F a lui f are loc egalitatea∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a).

110

Bibliografie

[1] Gh. Aniculaesei. Ecuatii diferentiale si ecuatiile fizicii matematice. Editura Univer-sitatii “Al. I. Cuza”, Iasi, 2003.

[2] S. Anita. Ecuatii diferentiale ordinare. Editura Universitatii “Al. I. Cuza”, Iasi, 2003.[3] V. Barbu. Ecuatii diferentiale. Editura Junimea, Iasi, 1985.[4] Gh. Morosanu. Ecuatii diferentiale. Aplicatii. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti,

1989.[5] A. C. Volf. Algebra liniara. Editura Universitatii“Al. I. Cuza”, Iasi, 2002.[6] I. I. Vrabie. Ecuatii diferentiale. MatrixRom, Bucuresti, 1999.[7] ***. Manualele de matematica, clasele a XI-a si a XII-a.

111