geometria diferent»ial‚a a curbelor »si...
TRANSCRIPT
Geometria Diferentiala a Curbelor si Suprafetelor
Vladimir Slesar
January 29, 2016
2
Cuprins
1 Curbe netede 51.1 Notiunea de curba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Dreapta tangenta si plan osculator la o curba . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Curbura unei curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Teoria diferentiala a suprafetelor 152.1 Suprafete regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Vector tangent, plan tangent la o suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Aplicatia diferentiala asociata unei aplicatii ıntre suprafete . . . . . . . . 192.4 Prima forma fundamentala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 A doua forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3
4
Capitolul 1
Curbe netede
1.1 Notiunea de curba
Consideram spatiul R3 dotat cu un reper cartezian ortonormat (O, {e1, e2, e3}).
Definitia 1 O curba parametrizata este o aplicatie de clasa C∞, r : I → R3, cu I ⊆ R,descrisa ın coordonate prin
r(t) =(x1(t), x2(t), x3(t)
), (∀) t ∈ I.
Imaginea r(I) a aplicatiei r : I → R3 se numeste suportul curbei.FiguriExempler1 (t) = r0 + tmr2 (t) = r0 + t2mr3(t) = (a cos t, b sin t, ct)r4(t) = (0, t3, t2)
Observatia 1 Sa observam ca r1 si r2 au aceeasi dreapta suport dar r1 (R) 6= r2 (R).
In continuare vom nota prin r′ = drdt
:= (x1(t), x2(t), x3(t)) derivata ın raport cuparametrul t a functiei vectoriale r. r′(t) va reprezenta vectorul tangent la curba ınpunctul P = r(t).
Definitia 2 O curba r se numeste regulata ın punctul t daca r′(t) 6= 0. Daca, ın plus,
r : (a, b) → r(I)
este un homeomorfism, atunci curba se numeste arc de curba.
Exemple:Curbele r1 si r3 sunt arce de curba, dar r2 si r4 nu sunt regulate ın 0, r2 nefiind de
asemenea un homeomorfism.
5
Fie acum r1 : (a1, b1) → R3, r2 : (a2, b2) → R3, t1 = t1 (t2) = λ(t2) astfel ıncatλ : I2 → I1 un difeomorfism astfel ıncat
r2 = r1 ◦ λ.
Sa observam ca ın aceste conditii avem evident r1(I1) = r2(I2).
Definitia 3 In conditiile ın care exista aplicatia λ ca mai sus, cele doua curbe parametrizatese numesc echivalente. Se mai spune ca cele doua parametrizari sunt echivalente,definind aceeasi curba.
Exemple:Se observa ca r1 si r2 nu sunt echivalente.Sa consideram acum
r1 (u) =
(a1− u2
1 + u2, b
2u
1 + u2, 2c · arctg u
)r2 : (−1, 1) → R3.
r2 (t) = (a cos t, b sin t, ct) , r1 :(−π
2,−π
2
)→ R3,
Cele doua parametrizari sunt echivalente.
Definitia 4 O multime Γ ⊂ R3 se numeste curba daca pentru orice M ∈ Γ, exista unarc de curba r : I → R3, cu r(I) vecinatate a lui M ın Γ.
Daca este nevoie de un singur arc pentru a acoperi toata curba, aceasta se numestecurba simpla.
Exemple:Daca Γ este o dreapta, atunci exista o parametrizare globala, deci este o curba
simpla.Prin contrast, un cerc nu este homeomorf cu un segment sau cu o dreapta, deci cercul
nu poate fi o curba simpla.
Definitia 5 Fie o curba parametrizata r : I → R3, ßi a, b ∈ I, b > a. Prin lungimeaunui arc de curba parametrizata ıntre a si b vom ıntelege
l (r)ba :=
b∫
a
‖r′(τ)‖ dτ
Propozitia 1 In cazul mai multor parametrizari echivalente lungimea este un invariant.
Demonstratie: Fie r1 : [a1, b1] → R3, r2 : [a2, b2] → R3, cu a1 < b1, a2 < b2.Considerand λ : [a2, b2] → [a1, b1] un difeomorfism, cu r2 = r1 ◦ λ, vom avea λ (a2) = a1,λ (b2) = b1, si λ′ (t2) > 0, pentru orice t2 ∈ [a2, b2].
6
In consecinta
b1∫
a1
‖r′1(t1)‖ dt1 =
b2∫
a2
‖r′1(λ (t2))‖ · λ′ (t2) dt2
=
b2∫
a2
‖r′1(λ (t2))‖ · |λ′ (t2)| dt2
=
b2∫
a2
‖r′1(λ (t2))λ′ (t2)‖ dt2
=
b2∫
a2
‖r′2(t2)‖ dt2,
iar de aici rezulta concluzia.
Definitia 6 Daca o curba r(s) are proprietatea ca ‖r′(s)‖ = 1, atunci se spune caparametrizarea este naturala.
Observatia 2 In cazul unei parametrizari naturale avem l (r)ba = b− a.
Teorema 1 Exista o parametrizare naturala echivalenta pentru orice curba parametrizata.
Demonstratie: Fie r : [a, b] → R3, cu parametrizarea t 7−→ r(t). Luam s(t) =
λ(t) :=t∫
a‖r′ (τ)‖ dτ . In consecinta
ds
dt=
d
dt
t∫
a
‖r′ (τ)‖ dτ
= ‖r′ (t)‖ ,
iardt
ds=
1
‖r′ (t)‖ .
Asadar
∥∥∥∥∥dr
ds
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥dr
dt
∥∥∥∥∥ ·∣∣∣∣∣dt
ds
∣∣∣∣∣
= ‖r′ (t)‖ · 1
‖r′ (t)‖= 1.
In concluzie, parametrizarea s 7−→ r(s) este naturala.
7
1.2 Dreapta tangenta si plan osculator la o curba
Definitia 7 Se numeste vector tangent la o curba r : I → R3 ın punctul t0 ∈ I vectorul
r′ (t0) :=(x1 (t0) , x2 (t0) , x3 (t0)
).
Vom utiliza si notatia drdt
(t0) := r′ (t0), iar versorul lui drdt
(t0) ıl vom nota τ (t0). Saobservam ca directia vectorului tangent nu depinde de parametrizare. Intr-adevar, fiet = t (u) (= ϕ (u)), ϕ (u0) = t0 -o schimbare neteda de parametru. Avem
dr
du(u0) =
dt
du(u0)
dr
dt(t0)
= ϕ′ (u0)dr
dt(t0) .
Definitia 8 Dreapta determinata de vectorul director τ (t0) si de punctul r (t0) se numestedreapta tangenta la curba ın punctul respectiv.
Aceasta va avea ecuatia vectoriala
dtg : r = r (t0) + tr′ (t0) .
In coordonatele din R3 vom avea
x1 = x10 + tx1
x2 = x20 + tx2
x3 = x30 + tx3
sau, echivalentx1 − x1
0
x1=
x2 − x20
x2=
x3 − x30
x3,
pastrand conventia ca anularea numitorului sa implice si anularea numaratorului.
Observatia 3 Dreapta tangenta reprezinta pozitia limita a unei drepte ce uneste douapuncte M0 si M de pe curba avand vectori de pozitie r (t0) si r (t) atunci cand t → t0.Pentru a proba aceasta avem
r′ (t0) = limt→t0
r (t)− r (t0)
t− t0
= limt→t0
1
t− t0(r (t)− r (t0)) .
Asadar dreapta M0M are ca vector director vectorul r (t)− r (t0). Cand t → t0, dreaptaM0M tinde catre dreapta tangenta la curba ın t0.
Definitia 9 Daca ıntr-un punct t0 ∈ I, avem r′ (t0) × r′′ (t0) 6= 0, (deci vectorii r′ (t0)si r′′ (t0) sunt nenuli si liniar independenti), atunci curba se numeste biregulata ın t0.
8
Definitia 10 Daca r : I → R3 este biregulata ın t0, atunci prin plan osculator ıntelegemplanul ce trece prin punctul corespunzator lui r (t0) si are ca subspatiu vectorial directoracoperirea liniara L (r′ (t0) , r′′ (t0)) := {αr′ (t0) + βr′′ (t0) | α, β ∈ R}.Observatia 4 Sa observam ca planul osculator nu depinde de parametrizare. Intr-adevar, fie t = t (u), t (u0) = t0 -o schimbare de parametru. Vom avea
dr
du(u0) =
dt
du(u0)
dr
dt(t0) ,
d2r
du2(s0) =
d
du
(dt
du(u0)
dr
dt(t0)
)
=d2t
du2(u0)
dr
dt(t0) +
dt
du(u0)
dt
du(u0)
d
dt
(dr
dt(t0)
)
=d2t
du2(u0)
dr
dt(t0) +
(dt
ds(u0)
)2d2r
dt2(t0) ,
asadar drdu
(u0),d2rdu2 (u0) ∈ L (r′ (t0) , r′′ (t0)) si cum cei doi vectori sunt de asemenea
liniar independenti, vom avea
L(
dr
ds(s0) ,
d2r
ds2(s0)
)= L (r′ (t0) , r′′ (t0)) .
Planul osculator va avea ecuatia vectorilala
πosc : [r − r (t0) , r′ (t0) , r′′ (t0)] = 0.
In coordonate ın R3 vom avea ecuatia∣∣∣∣∣∣∣
x1 − x10 x2 − x2
0 x3 − x30
x1 x2 x3
x1 x2 x3
∣∣∣∣∣∣∣= 0
Observatia 5 Planul osculator reprezinta pozitia limita a planului determinat de punc-tul corespunzator lui r (t0), vectorul tangent r′ (t0) si vectorul r (t)− r (t0).
1.3 Curbura unei curbe
Fie r : I → R3 o curba pe care o vom considera cu parametrizarea naturala r : s 7−→r (s). Cum
∥∥∥drds
∥∥∥ = 1, vom avea drds
(s0) = τ (s0).
Observatia 6 Daca r (s1) este o parametrizare naturala si s1 = s1 (s2), este o altaparametrizare, de asemenea naturala, atunci vom avea
∥∥∥∥∥dr
ds1
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥dr
ds2
∥∥∥∥∥ = 1,
∥∥∥∥∥dr
ds2
∥∥∥∥∥ =
∣∣∣∣∣ds1
ds2
∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥dr
ds1
∥∥∥∥∥ .
deci s1 = ±s2 + c, cu c ∈ R o constanta arbitrara.
9
In aceste conditii
d2r
ds22
=d
ds2
(ds1
ds2
dr
ds1
)
=d2s1
ds22
dr
ds1
+
(ds1
ds2
)2d2r
ds21
=d2r
ds21
,
deci vectorul d2rds2 nu depinde de parametrizarea naturala aleasa. Sa mai observam ca
din relatia∥∥∥dr
ds
∥∥∥ = 1 vom obtine
dr
ds(s0) ⊥ d2r
ds2(s0)
ın orice s0 ∈ I.
Definitia 11 Vectorul d2rds2 (s0) se numeste vector de curbura iar norma sa k1 (s0) :=∥∥∥d2r
ds2 (s0)∥∥∥ se numeste curbura curbei ın punctul corespunzator lui s0; versorul vectorului
de curbura va fi notat pe mai departe cu ν (s0).
In consecinta
d2r
ds2(s0) =
dτ
ds(s0) (1.1)
= k1 (s0) ν (s0) .
Referitor la interpretarea geometrica a curburii.Fie αs := 6 (τ (s0) , τ (s)). Avem
lims→s0
∣∣∣∣αs
s− s0
∣∣∣∣ = lims→s0
∣∣∣∣∣sin αs
2αs
2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
αs
s− s0
∣∣∣∣
= lims→s0
∣∣∣2 sin αs
2
∣∣∣|s− s0|
= lims→s0
‖τ (s)− τ (s0)‖|s− s0|
=
∥∥∥∥∥d2r
ds2(s0)
∥∥∥∥∥= k1 (s0) .
Asadar curbura reprezinta viteza de variatie dintre dreptele tangente (unghi de contingenta).Cum in general este dificil de construit o parametrizare naturala, ar fi util........
10
Propozitia 2 Intr-o parametrizare oarecare k1 poate fi calculat cu formula
k1 =
∥∥∥drdt× d2r
dt2
∥∥∥∥∥∥dr
dt
∥∥∥3 .
Demonstratie: Avem relatiile
dr
dt=
ds
dt
dr
ds, (1.2)
d2r
dt2=
d
dt
(ds
dt
dr
ds
)
=d2s
dt2dr
ds+
(ds
dt
)2d2r
ds2,
decidr
dt× d2r
dt2=
(ds
dt
)3dr
ds× d2r
ds2.
Dar cum drds
= τ , d2rds2 = k1ν si τ ⊥ ν, vom obtine
∥∥∥∥∥dr
dt× d2r
dt2
∥∥∥∥∥2
=
∣∣∣∣∣∣
⟨drds
, drds
⟩ ⟨drds
, d2rds2
⟩⟨
d2rds2 ,
drds
⟩ ⟨d2rds2 ,
d2rds2
⟩∣∣∣∣∣∣
= k21.
De aici, considerand si relatia dsdt
=∥∥∥dr
dt
∥∥∥, rezulta concluzia.
Observatia 7 Curbura k1(t) 6= 0 daca si numai daca r este curba biregulata ın punctult.
Notam pe mai departe
β(s) := τ(s)× ν(s),
directia determinata ıntr-o parametrizare naturala de versorul β(s) fiind directia binor-mala.
Vom evalua pe mai departe dβds
. Avem
dβ
ds=
d
ds(τ × ν)
=dτ
ds× ν + τ × dν
ds.
Cum dτds
= k1ν, va rezulta
dβ
ds= τ × dν
ds.
11
Acum, ın orice punct s vectorul dβds
(s) este perpendicular pe β(s) si pe τ(s), deci va ficoliniar cu ν(s) cum
ν(s) = β(s)× τ(s)
avea directia ın consecinta exista o functie reala λ : I → R astfel ıncat
dβ
ds(s) = λ(s)ν(s).
Vom avea
λ =
⟨dβ
ds, ν
⟩=
⟨τ × dν
ds, ν
⟩
=
[τ ,
dν
ds, ν
]= −
[τ , ν,
dν
ds
].
Cum ınsa
τ =dr
ds
ν =1
k1
d2r
ds2
dν
ds=
d
ds
(1
k1
d2r
ds2
)
=d
ds
(1
k1
)d2r
ds2+
1
k1
d3r
ds3,
asadar
λ = − 1
k21
[dr
ds,d2r
ds2,d3r
ds3
].
Vom nota pe mai departe
k2 : = −λ
=1
k21
[dr
ds,d2r
ds2,d3r
ds3
].
Vom obtinedβ
ds= −k2ν (1.3)
Definitia 12 Intr-o parametrizare naturala, pentru un s ∈ I fixat, cantitatea k2(s) senumeste torsiunea curbei ın punctul r(s).
Observatia 8 Analog ca mai sus, putem interpreta |k2(s)| ca fiind viteza de variatie aunghiului facut de directiile binormale.
12
Observatia 9 Triedrul{τ , ν, β
}ce a rezultat mai sus se numeste triedrul Frenet.
Planul determinat de punctul curent pe curba si de directiile ν si β ın punctul respec-tiv se numeste plan normal; el este asadar perpendicular pe directia tangenta τ . Infine, planul determinat de punctul curent pe curba si de directiile τ si β, perpendicularpe ν se numeste plan rectificator. La o schimbare de parametrizare naturala ce pre-supune schimbarea sensului ν(s) ramane invariant, ın schimb τ(s) ısi schimba sensul siın consecinta si β(s).
Ca mai sus, ar fi util ıntr-o parametrizare oarecare....
Propozitia 3 Intr-o parametrizare oarecare putem exprima torsiunea prin expresia
k2 =
[drdt
, d2rdt2
, d3rdt3
]
∥∥∥drdt× d2r
dt2
∥∥∥3 .
Demonstratie: Pornim de la formula obtinuta mai sus
k2 =1
k21
[dr
ds,d2r
ds2,d3r
ds3
].
Din relatiile (1.2) obtinem:
d3r
dt3=
d3s
dt3dr
ds+ 3
ds
dt
d2s
dt2dr
ds+
(ds
dt
)3d3r
dt3.
Vom avea [dr
dt,d2r
dt2,d3r
dt3
]=
(ds
dt
)6 [dr
ds,d2r
ds2,d3r
ds3
].
Considerand relatia
k1 =
∥∥∥drdt× d2r
dt2
∥∥∥∥∥∥dr
dt
∥∥∥3 ,
se obtine relatia de mai sus.yAm gasit deja formulele (1.1) si (1.3). Sa calculam si dν
dsutilizand aceste formule.
dν
ds=
d
ds
(β × τ
)(1.4)
= −k2ν × τ + β × k1ν
= −k1τ + k2β.
In consecinta am obtinut cele trei formule ale lui Frenet
dτds
= k1ν.dνds
= −k1τ + k2βdβds
= −k2ν
13
In scriere matriciala obtinem
τνβ
=
0 k1 0−k1 0 k2
0 −k2 0
τνβ
.
Urmatorul rezultat poarta numele de Teorema fundamentala a curbelor.
Teorema 2 Daca doua curbe r1 si r2, r1, r2 : I → R3 cu parametrizare naturala auaceeasi curbura si aceeasi torsiune, atunci coincid pana la o izometrie de tipul I. Dacar1, r2 : I → R2 deci cele doua curbe sunt plane si au aceeasi curbura, atunci din noucoincid pana la o izometrie de tipul I.
Pentru demonstratie indicam [do Car, Mur, Orn].
14
Capitolul 2
Teoria diferentiala a suprafetelor
2.1 Suprafete regulate
Definitia 13 Prin suprafata regulata ıntelegem o submultime S ⊆ R3 cu proprietateaca pentru orice punct x ∈ S, exista un deschis V ⊆ R3, x ∈ V , un deschis U ⊆ R2
(modelul aritmetic) si un homeomorfism r : U → V ∩ S, astfel ıncat matricea JacobiJ (r)y sa aiba rangul 2 (rang maxim), pentru orice y ∈ U .
Observatia 10 Aplicatia r va avea forma
r :(u1, u2
)−→
(x1
(u1, u2
), x2
(u1, u2
), x3
(u1, u2
)).
Vom nota ın cele ce urmeaza ∂r∂u1 = r′u1, ∂r
∂u2 = r′u2. Conditia
rang (J (r)x) =
∂x1
∂u1∂x1
∂u2
∂x2
∂u1∂x2
∂u2
∂x3
∂u1∂x3
∂u2
= 2
este echivalenta cu relatiar′u1 × r′u2 6= 0.
Observatia 11 Daca S = r (U), deci este nevoie de o singura parametrizare, atuncisuprafata se numeste simpla.
Exemple:1)Sa consideram planul π : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0, cu a2 + b2 + c2 6= 0, si fie c 6= 0;
putem scrie
π : x3 = −a
cx1 − a
cx2 − d
c= mx1 + nx2 + p.
Putem considera acum parametrizarea
15
x1 = u1
x2 = u2
x3 = mu1 + nu2 + p,
deci vom avea parametrizarea
r(u1, u2
)=
(u1, u2,mu1 + nu2 + p
) (u1, u2
)∈ R2.
In aceste conditii
J (r) =
1 00 1m n
, rang (J (r)) = 2.
2) Consideram paraboloidul hiperbolic Γ : (x1)2 − (x2)
2+ x3 = 0. Pentru acesta
avem parametrizarea
r(u1, u2
)=
(u1, u2,
(u2
)2 −(u1
)2)
,(u1, u2
)∈ R2,
iar matricea Jacobi va fi
J (r) =
1 00 1
−2u1 +2u2
, rang (J (r)) = 2
Ca si ın cazul curbelor putem avea o schimbare de parametru ϕ : (v1, v2) → (u1, u2),cu {
u1 = u1 (v1, v2)u2 = u2 (v1, v2)
,
avand conditia de regularitate
rangJ (ϕ) = rang
(∂u1
∂v1∂u1
∂v2
∂u2
∂v1∂u2
∂v2
)
= 2.
Exemplu:Pentru paraboloidul hiperbolic de mai sus putem considera schimbarea de parametru
ϕ :
{u1 = v1 + v2
u2 = v1 − v2 ,
deci noua parametrizare va fi
r1‘
(v1, v2
)=
(v1 + v2, v1 − v2,−4v1v2
),
(v1, v2
)∈ R2,
iar
rangJ (ϕ) = rang
(1 11 −1
)
= 2.
Vom prezenta cateva clase speciale de suprafete.
16
1. Suprafete riglate
Definitia 14 O suprafata cu parametrizarea
r(u1, u2
)= a
(u1
)+ u2b
(u1
)
se numeste suprafata riglata.
Exemple:
Cilindrul C definit prin parametrizare
r(u1, u2
)=
(R cos u1, R sin u1, u2
),
(u1, u2
)∈ (0, 2π)×R,
poate fi considerat suprafata riglata, deoarece putem scrie
r(u1, u2
)=
(R cos u1, R sin u1, 0
)+ u2 (0, 0, 1) .
2. Suprafete de rotatie
Definitia 15 O suprafata de rotatie este o suprafata obtinuta prin rotirea uneicurbe ın jurul unei axe.
Sa consideram curba Γ : r (u1) = (ϕ (u1) , ψ (u1)) ın planul x1Ox3. Obtinem
x1 = ϕ (u1)x2 = 0x3 = ψ (u1)
, u1 ∈ I.
Rotind curba Γ ın jurul axei Ox3 vom obtine suprafata de rotatie
x1 = ϕ (u1) cos u2
x2 = ϕ (u1) sin u2
x3 = ψ (u1),
(u1, u2
)∈ I × (0, 2π) ,
asadar parametrizarea va fi
r(u1, u2
)=
(ϕ
(u1
)cos u2, ϕ
(u1
)sin u2, ψ
(u1
)).
Exemplu:
Consideram sfera S2 ın R3 cu parametrizarea
r(u1, u2
)=
(R cos u1 cos u2, R cos u1 sin u2, R sin u1
),
(u1, u2
)∈
(−π
2,π
2
)×(0, 2π) .
In acest caz curba Γ va fi data prin relatiile{
ϕ (u1) = R cos u1
ψ (u1) = R sin u1 , u1 ∈(−π
2, π
2
).
17
2.2 Vector tangent, plan tangent la o suprafata
Fie c : I → S o curba definita din intervalul I pe suprafata S.Utilizand homeomorfismul local r : U → r (U), putem descompune curba c ca mai
josc = r ◦ α,
cu α : I → U imaginea locala a curbei ın modelul aritmetic U . Asadar
c (t) =(x1 (t) , x2 (t) , x3 (t)
)
=(x1
(u1 (t) , u2 (t)
), x2
(u1 (t) , u2 (t)
), x3
(u1 (t) , u2 (t)
)).
In aceste conditii putem scrie vectorul tangent la curba ın punctul t:
dc
dt(t) =
du1
dt(t)
∂r
∂u1(α (t)) +
du2
dt(t)
∂r
∂u2(α (t))
=du1
dt(t) r′u1 (α (t)) +
du2
dt(t) r′u2 (α (t)) .
Definitia 16 Un vector tangent la suprafata S ın x ∈ S este un vector tangent la ocurba c pe suprafata S ın punctul respectiv.
Propozitia 4 Multimea TxS a tuturor vectorilor tangenti la S ın x determina un spatiuvectorial bidimensional.
Dem. Am vazut ca pentru orice curba c : I → S ca mai sus vectorul tangent dcdt
(x) sescrie ca o combinatie liniara a vectorilor r′u1 , r′u2 . Cum punctul x este considerat regular,deci r′u1(x)× r′u2(x) 6= 0, deci {r′u1 , r′u2} este un sistem de vectori liniar independent.Asadar TxS este inclus ın acoperirea liniara L{r′u1 , r′u2} a cei doi vectori.Vom arata ıncele ce urmeaza ca si incluziunea inversa are loc. Fie a, b ∈ R si
v := ar′u1 (x) + br′u2 (x) .
Sa aratam ca v ∈ TxS. Fie curba α : I → U data prin
α (t) =(u1 (t) , u2 (t)
)
= (at + a0, bt + b0) ,
unde r (u10, u
20) = x. Vom avea c (t) = r ◦ α (t), si
dc
dt(0) =
du1
dt(0) r′u1(x) +
du2
dt(0) r′u2(x)
= ar′u1(x) + br′u2(x).
Deci v ∈ TxS, iar TxS este planul determinat de punctul x si subspatiul vectorial directorL{r′u1 , r′u2}.
18
Fixam ın continuare punctul x0 ∈ S. Planul tangent ın acest punct la S va aveaecuatia
πtg :
∣∣∣∣∣∣∣
x− x10 x− x2
0 x− x30
x1u1 x2
u1 x3u1
x1u2 x2
u2 x3u2
∣∣∣∣∣∣∣= 0,
cu r′u1 (x0) = (x1u1 , x2
u1 , x3u1), r′u2 (x0) = (x1
u2 , x2u2 , x3
u2).
Definitia 17 Dreapta ce trece prin x0 si este perpendiculara pe TxS se numeste dreaptanormala la suprafata.
Fie vectorul normal la suprafata ın x0, Nx0 := r′u1 (x0)× r′u2 (x0), Nx0 :=(N1
x0, N2
x0, N3
x0
).
In aceste conditii, ecuatia dreptei normale va fi
dn :x1 − x1
0
N1x0
=x1 − x1
0
N1x0
=x1 − x1
0
N1x0
.
Observatia 12 Desi Nx0 depinde de parametrizarea aleasa (deoarece parametrizareainduce local o orientare), dreapta normala ramane invarianta.
2.3 Aplicatia diferentiala asociata unei aplicatii ıntre
suprafete
In cele ce urmeaza vom extinde notiunea de diferentiala a unei aplicatii pentru cazulaplicatiilor ıntre suprafete.
Fie S1, S2 suprafete, ϕ : S1 → S2 si x ∈ S1, ϕ(x) ∈ S2, cu parametrizarile locale(U1, r1), (U2, r2), cu x ∈ r1 (U1), ϕ (x) ∈ r2 (U2). Vom nota cu (u1, u2) coordonatele ınU1 ßi cu (v1, v2) coordonatele ın U2.
Definitia 18 Spunem ca ϕ este diferentiabila ın x daca aplicatia ψ : U1 → U2 definitaprin
ψ := r2 ◦ ϕ ◦ r1
este diferentiabila ın jurul lui x.
Daca ϕ este diferentiabila ın orice x ∈ S, spunem ca ϕ este diferentiabila. Pe maideparte vom presupune ca ϕ este diferentiabila.
Luam acum curba neteda c1 : I → S1, c1 := r1 ◦ α1, cu α1 : I → U1, c1(0) = x si ınconsecinta dc
dt(0) ∈ TxS1.
Definitia 19 Aplicatia dϕx : TxS1 → Tϕ(x)S2 ce asociaza vectorului dc1dt
(0) vectoruldϕ◦c1
dt(0) se numeste aplicatia diferentiala a lui ϕ ın x.
19
Cum aplicatia de mai sus a fost definita prin intermediul curbei c1, vom demonstamai jos ca definitia nu depinde de curba respectiva.
In modelul aritmetic U1 sa consideram curba α1(t) = (u1 (t) , u2 (t)), cu c1 = r1 ◦ α1,si
ψ(u1, u2
)=
(ψ1
(u1, u2
), ψ2
(u1, u2
)).
In consecinta, cum ϕ ◦ c1 = r2 ◦ ψ ◦ α1, sa observam ca
ψ ◦ α1(t) =(v1(t), v2(t)
).
Vom avea
dϕ ◦ c1
dt(0) =
dv1 (0)
dtr′2,v1 (ϕ(x)) +
dv2 (0)
dtr′2,v2 (ϕ(x)) .
=dψ1 ◦ α1 (0)
dtr′2,v1 (ϕ(x)) +
dψ2 ◦ α1 (0)
dtr′2,v2 (ϕ(x)) .
Dar
dψ1◦α1(0)dt
= ∂ψ1
∂u1 (α1 (0)) du1
dt(0) + ∂ψ1
∂u2 (α1 (0)) du2
dt(0) ,
dψ2◦α1(0)dt
= ∂ψ2
∂u1(α1 (0)) du1
dt(0) + ∂ψ2
∂u2 (α1 (0)) du2
dt(0) .
Cumdc1
dt(0) =
du1
dt(0) r′1,u1 (x) +
du2
dt(0) r′1,u2 (x) ,
observam ın fapt ca matricea asociata lui dϕx ın raport cu bazele{r′1,u1
(x) , r′1,v1(x)
}si{
r′2,u2(ϕ(x)) , r′2,v2
(ϕ(x))}
va fi
Jψx =
(∂ψ1
∂u1 (α1 (0)) ∂ψ1
∂u2 (α1 (0))∂ψ2
∂u1 (α1 (0)) ∂ψ2
∂u2 (α1 (0))
)
Asadar dϕx este o aplicatie liniara si este descrisa utilizand coordonatele vectoruluidc1dt
(0). Deci daca luam o alta curba c1 cu c1(0) = x si dc1dt
(0) = dc1dt
(0), atunci dϕx nuse modifica.
Observatia 13 Daca ınlocuim suprafata S2 cu dreapta reala R, avand ca parametrizareaplicatia identitate, avem definitia aplicatiei diferentiale asociate unei functii reale f :S → R,
dfx
(dc
dt(0)
)=
df ◦ c
dt(0) .
Definitia 20 Aplicatia ϕ se numeste difeomorfism de suprafete daca ϕ este homeomor-fism iar ϕ si ϕ−1 sunt diferentiabile.
Observatia 14 Cum dϕx se scrie cu ajutorul matricii Jacobi Jψx, cu ajutorul teoremeifunctiei inverse putem concluziona ca ϕ este difeomorfism daca ϕ este diferentiabila sidϕx este izomorfism liniar.
20
2.4 Prima forma fundamentala
Fie acum S o suprafata si (U, r) o parametrizare si fie x ∈ r(U). Notam
Ex = 〈r′u1 (x) , r′u1 (x)〉Fx = 〈r′u1 (x) , r′u2 (x)〉 = 〈r′u2 (x) , r′u1 (x)〉Gx = 〈r′u2 (x) , r′u2 (x)〉 .
In acest caz, daca u, v ∈ TxS, u = α1r′u1 (x) + α2r′u2 (x), v = β1r′u1 (x) + β2r′u2 (x),atunci
〈u, v〉 =(
α1 α2) (
Ex Fx
Fx Gx
) (β1
β2
).
Definitia 21 Forma biliniara indusa ın spatiul TxS de catre metrica euclidiana a spatiuluiambient R3 poarta numele de prima forma fundamentala.
Notam pe mai departe prima forma fundamentala cu Φ1; asadar Φ1 (u, v) = 〈u, v〉.Convenim de asemenea sa notam cu ∆1 deterninantul matricii de mai sus.
Observatia 15 Din proprietatile metricii euclidiene, va rezulta ca prima forma funda-mentala a suprafetei S va fi simetrica, pozitiv definita si nedegenerata. De asemenea,din formula lui Gram vom avea
∆1 = ‖r′u1 (x)× r′u2 (x)‖2.
Cu ajutorul primei forme fundamentale putem calcula lungimi de curbe simple def-inite pe suprafata S. Fie c : I → S o curba neteda. Vom avea, pentru orice t1 < t2, t1,t2 ∈ I
l (c)t2t1
=
t2∫
t1
∥∥∥∥∥dc
dt
∥∥∥∥∥ dt
=
t2∫
t1
√√√√⟨
dc
dt,dc
dt
⟩dt
=
t2∫
t1
√√√√Φ1
(dc
dt,dc
dt
)dt.
Mai departe, cu ajutorul primei forme fundamentale putem calcula aria unor portiunide suprafata incluse ın domenii de parametrizare. Asadar, daca S este o suprafata si(U, r) o parametrizare, atunci consideram aria domeniului r (U) cu ajutorul integralei
Ar(U) =∫
U‖r′u1 × r′u2‖ du1du2
21
Dar
‖r′u1 × r′u2‖ =√
Γ (r′u1 , r′u2)
=
∣∣∣∣∣〈r′u1 , r′u1〉 〈r′u1 , r′u2〉〈r′u2 , r′u1〉 〈ru2 , r′u2〉
∣∣∣∣∣1/2
=√
EG− F 2.
Asadar
Ar(U) =∫
U
√EG− F 2du1du2
=∫
U
√∆1du1du2.
Observatia 16 Informatiile geometrice legate de prima forma fundamentala se numescproprietati intrinseci. Rezulta ca lungimea unei curbe de pe suprafata si aria unui anumitdomeniu de pe aceeasi suprafata sunt rezultate intrinseci.
Definitia 22 Doua suprafetele S1 si S2 se numesc local izometrice daca exista o aplicatieϕ : S1 → S2 asfel ıncat pentru orice x ∈ S1 exista doua parametrizari (U1, r1), x ∈r1 (U1) si (U2, r2), ϕ(x) ∈ r1 (U1) astfel ıncat ϕ : U1 → U2 sa fie o bijectie si pentru oricecurba c : I → r1 (U1) sa avem l (c) = l (ϕ (c)).
Teorema 3 Suprafetele S1 si S2 sunt local izometrice daca si numai daca parametrizarile(U1, r1) si (U2, r2) pot fi alese astfel ıncat
Ex = Eϕ(x), Fx = Fϕ(x), Gx = Gϕ(x),
deci practic prima forma fundamentala a celor doua suprafete se poate identifica prinintermediul lui ϕ.
Dem. Cum lungimea curbelor depinde de prima forma fundamentala, daca celedoua suprafete au local aceeasi forma fundamentala, lungimile imaginilor curbelor prinizometria locala ϕ vor fi aceleasi cu ale curbelor initiale.
Reciproc, daca x ∈ S1, (U1, r1) este o parametrizare locala, x ∈ r1 (U1), x =r1 (u1
0, u20), iar l (c) = l (ϕ (c)) pentru orice curba c : I → r1 (U1), atunci fie U2 := U1
si r2 = ϕ ◦ r1 (eventual micsoram pe (U1, r1) pentru ca (U1, r2) sa fie parametrizare peS2). Atunci daca c este curba cu parametrizarea naturala cu c(0) = x si ϕ ◦ c va aveaparametrizare naturala, deoarece
l (c)t2t1
= t2 − t1 = l (ϕ ◦ c)t2t1
.
In consecinta ∥∥∥∥∥dc
dt
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥dϕ ◦ c
dt
∥∥∥∥∥ = 1,
22
si cum dϕ◦cdt
(0) = dϕx
(dcdt
)(0), vom avea
∥∥∥∥∥dc
dt(0)
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥dϕx
(dc
dt(0)
)∥∥∥∥∥ .
Asadar daca v ∈ TxS, cu ‖v‖ = 1, atunci considerand o curba cu parametrizareanaturala astfel ıncat dc
dt(0) = v, obtinem
‖v‖ = ‖dϕx (v)‖ . (2.1)
Cum aplicatia dϕx este liniara, vom avea
‖αv‖ = α ‖v‖= α ‖dϕx (v)‖= ‖dϕx (αv)‖ ,
si deci relatia (2.1) se mentine pentru v ∈ TxS. Cum pentru orice v, u ∈ TxS avem
〈u, v〉 =1
2
(‖u + v‖2 − ‖u‖2 − ‖v‖2
),
va rezulta〈u, v〉 = 〈dϕx (u) , dϕx (v)〉 ,
si deci prima forma fundamentala se pastreaza
Φ1 (u, v) = Φ1 (dϕx (u) , dϕx (v)) .
Alegand acum curbele locale αu1 , αu2 : (−ε, ε) → U1, definite dupa regula
αu1 (t) :=(u1
0 + t, u20
),
αu2 (t) :=(u1
0, u20 + t
),
si curbele corespondente pe suprafete
c1,u1 = r1 ◦ αu1 , c2,u1 = ϕ ◦ c1,u1 ,
c1,u2 = r1 ◦ αu2 , c2,u2 = ϕ ◦ c1,u2 ,
vom obtine
r′1,u1 (x) =dc1,u1
dt(0) , r′2,u1 (x) =
dϕ ◦ c1,u
dt(0) = dϕx
(r′1,u1 (x)
),
r′1,u2 (x) =dc1,u2
dt(0) , r′2,u2 (x) =
dϕ ◦ c1,v
dt(0) = dϕx
(r′1,u2 (x)
).
Atunci
Ex = 〈r1,u (x) , r1,u (x)〉= 〈dϕx (r1,u (x)) , dϕx (r1,v (x))〉= 〈r2,u (ϕ(x)) , r2,u (ϕ(x))〉= Eϕ(x).
In mod analog se obtine Fx = Fϕ(x), Gx = Gϕ(x).
Observatia 17 y
23
2.5 A doua forma fundamentala a unei suprafete
Fie S o suprafata si (U, r) o parametrizare. Cum aplicatia r : U → r(U) este neteda,putem considera functiile vectoriale definite pe U , r′u (u, v) := ∂r
∂u(u, v), r′v (u, v) :=
∂r∂v
(u, v) ce asociaza fiecarui punct de pe U vectorul respectiv (camp vectorial). In
consecinta putem deriva ın continuare si o putem considera vectorii r′′u,u := ∂2r∂u2 (u, v),
precum si celelalte combinatii de u si v.Cum ın general r′′u,u (x) 6∈ TxS, consideram vectorul normal
N (x) :=r′u (x)× r′v (x)
‖r′u (x)× r′v (x)‖ ,
putem defini
Lx :=⟨N(x), r′′u,u
⟩,
Mx :=⟨N(x), r′′u,v
⟩
=⟨N(x), r′′v,u
⟩,
Nx :=⟨N(x), r′′v,v
⟩,
ın relatia din mijloc am folosit lema lui Schwarz.
Definitia 23 Forma biliniara definita ın TxS cu ajutorul coeficientilor Lx, Mx si Nx
se numeste a doua forma fundamentala.
Vom nota a doua forma fundamentala cu Φ2.
Observatia 18 Daca v1 = α1r′u (x) + α2r′v (x), v2 = β1r′u (x) + β2r′v (x), atunci
Φ2 (v1, v2) =(
α1 α2) (
Lx Mx
Mx Nx
) (β1
β2
).
Intr-un punct arbitrar x ∈ S vom avea∥∥∥Nx
∥∥∥ = 1, deci putem defini aplicatia luiGauss
N : r (U) → S2,
unde S2 reprezinta sfera unitate din R3.Vom studia ın cele ce urmeaza aplicatia diferentiala
dNx : TxS → TxS2.
Observatia 19 Sa reamintim faptul ca daca v ∈ TxS, iar c : I → S astfel ıncatc (0) = x iar dc(t)
dt(0) = v, atunci
dNx (v) =dN (c (t))
dt(0) .
24
Cum∥∥∥N (c (t))
∥∥∥ = 1, vom avea N (x) ⊥ dN(c(t))dt
(0); dar v ∈ TxS a fost consideratarbitrar, deci
N (x) ⊥ TxS2.
Pe de alta parte N (x) ⊥ TxS, deci TxS ‖ TxS2 si considerand vectori liberi putem
identifica pe mai departe cele doua plane, deci putem considera
dNx : TxS → TxS.
Vom demonstra ca.
Φ2 (v1, v2) = −⟨dNx (v1) , v2
⟩(2.2)
Pentru cazul v1 = v2 = r′u (x) avem
⟨N (x) , r′u (x)
⟩= 0,
deoarece N (x) ⊥ TxS; derivand partial ın variabila u vom obtine
⟨N ′
u (x) , r′u (x)⟩
+⟨N (x) , r′′uu (x)
⟩= 0,
deci
⟨N (x) , r′′uu (x)
⟩= −
⟨N ′
u (x) , r′u (x)⟩
= −⟨dNx (r′u (x)) , r′u (x)
⟩.
Analog pentru toate combinatiile u si v. Cum relatia (2.2) este verificata pentruvectorii din baza {r′u (x) , r′v (x)}, prin liniaritate vom obtine (2.2) pentru orice v1, v2 ∈TxS.
Definitia 24 Operatorul dNx : TxS → TxS se noteaza cu Ax si se numeste operatorulfundamental asociat suprafetei.
Observatia 20 Vom avea asadar
〈Ax (v1) , v2〉 = −Φ2 (v1, v2)
pentru orice v1, v2 ∈ TxS.
Fie c : I → S, c (0) = x, dc(t)dt
(0) = v ∈ TxS. Sa consideram deasemenea versorulnormal ν (x) al curbei c ın x si fie θ unghiul dintre vectorii N (x) si ν (x).
Definitia 25 Marimea kn (x) :=⟨N (x) , k1 (x) ν (x)
⟩= k1 (x) cos θ se numeste curbura
normala a curbei c ın x.
25
Fie acum o parametrizare naturala a curbei c; vom avea
d2c (s)
ds2(0) = k1 (x) ν (x) .
Atunci
kn (x) =
⟨N (x) ,
d2c (s)
ds2(0)
⟩
= −⟨
dNx
(dc (s)
ds(0)
),dc (s)
ds(0)
⟩
= −⟨
Ax
(dc (s)
ds(0)
),dc (s)
ds(0)
⟩.
Observatia 21 Asadar vom avea
kn (x) = Φ2
(dc (s)
ds(0) ,
dc (s)
ds(0)
)
= Φ2
dc(t)dt
(0)∥∥∥dc(t)dt
(0)∥∥∥,
dc(t)dt
(0)∥∥∥dc(t)dt
(0)∥∥∥
=Φ2
(dc(t)dt
(0) , dc(t)dt
(0))
Φ1
(dc(t)dt
(0) , dc(t)dt
(0)) .
Observatia 22 Cum kn (x) depinde doar de versorul dc(s)ds
(0), fie π planul determinatde punctul x ∈ S si vectorii Nx, v ∈ TxS, si putem considera curba c ca intersectia S∩πın jurul punctului x, cu parametrizare locala. In aceste conditii
|kn (x)| =∣∣∣⟨Nx, k1 (x) ν (x)
⟩∣∣∣= |k1 (x) cos θ| ,
si cum θ este 0 sau π, va rezulta |kn (x)| = k1 (x).
Vom studia ın cele ce urmeaza curbura nomala. Plecam de la relatia
kn (x) = −⟨
Ax
(dc (s)
ds(0)
),dc (s)
ds(0)
⟩.
Sa studiem valoarea expresiei −〈Ax (v) , (v)〉, cu v ∈ TxS, ‖(v)‖ = 1. Cum operatorulAx este simetric, fie λ1, λ2 -valorime sale proprii si fie {e1,e2} o baza orthonormataformata din vectori proprii.
26
Bibliografie
[Orn] L. Ornea, O introducere ın geometria diferen tial a, Editura Theta, Bucuresti,2015 J.A. Alvarez
[Mur] Gh. Murarescu, Geometrie diferentiala -Curs, Reprografia Universitatii dinCraiova, 1998
[do Car] M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall,1976.
27