foaia de - didactic

FOAIA DE MATEMATICĂ- REVISTA ELEVILOR ŞCOLII GIMNAZIALE “MIHAI EMINESCU” CRAIOVA_____

2

NR 1

"Este uşor a merge. Important este încotro te îndrepţi! Ştim că nu toţi copiii sunt la fel. Noi, echipa managerială şi cadrele didactice ale unităţi şcolare, împreună cu părinţii elevilor, îi vom călăuzi spre reuşită şi împlinire, căci ei ne vor reprezenta!"

Director, prof. Silvia Cârţu

Pledoarie pentru matematică

Prof. Beer Maria Adriana

Cuvantul “matematică” derivă din grecescul “mathematikos”, cu semnificaţia “înclinat spre studiu”. Deci, din punct de vedere gramatical, a fi matematician înseamnă a fi curios, deschis la minte şi interesat pentru a invăţa cât mai multe.

Matematica este privită din trei puncte de vedere diferite: ca sumă a ramurilor sale, ca un mijloc de a modela lumea şi ca un limbaj. Matematica poate fi privită drept un instrument cu ajutorul caruia se pot crea modele sau reprezentări care permit studiul fenomenelor reale. Modelarea se foloseste în diferite domenii. De exemplu, o hartă rutieră este un model ce reprezintă drumurile dintr-o anumita regiune. Modelele matematice pot fi dintre cele mai simple, cum ar fi o simplă ecuaţie care permite calculul sumei pe care o persoana o are de ridicat de la o banca, (procente clasa a VI-a), pâna la cele mai complexe, cum ar fi un sistem de mii de ecuaţii cu parametri folosit pentru a caracteriza încălzirea globală (meteorologie).

Studiul diferitelor modele contribuie la crearea unei intelegeri corecte a unor anumite situaţii în care intervenţia directă pare imposibilă. Un model al climei terestre, de exemplu, poate aduce date importante despre influenţa unor factori reali iminenţi sau posibili asupra climei. Daca anumite predicţii ale unui model nu se adeveresc, cerecetarea ulterioară asupra unor anumiţi factori nu va mai fi necesara. In zilele noastre, modelarea matematică este folosită, practic, în orice domeniu.

Matematica este un limbaj caracterizat prin vocabular si gramatica proprie. Ea este, de altfel, numita şi “limbajul naturii”, tocmai pentru că este folosită pentru modelarea lumii reale.

Eminescu şi matematica în metaforă Tiu Alberta, clasa a VIII-a A

Marele poet al culturii noastre a fost puternic atras de cunoştinţele ştiinţifice ale

timpului său, acestea devenind uneori chiar izvor al propriei creaţii. Manuscrisele eminesciene impresionează prin varietatea domeniilor abordate, dar şi prin gradul de elaborare a informaţiilor ştiinţifice, cuprinzând însemnări referitoare la matematică, fizică, astronomie sau ştiinţe naturale. S-au găsit scrieri care ilustrează preocupările lui pentru studiul, înţelegerea şi interpretarea unor concepte importante ale matematicii.


3

NR 1

În anul 1993 a apărut la Editura Academiei Române volumul al XV-lea din „Operele lui Mihai Eminescu”, sub îngrijirea lui Petru Creţia şi Dimitrie Vatamaniuc. Textele din acest volum sunt împărţite în două secţiuni: Fragmentarium şi Addena. La rândul lor, textele din Fragmentarium sunt împărţite şi ele în trei secţiuni. Printre textele din prima secţiune se găsesc şi cele referitoare la matematică, astronomie, fizică şi ştiinţe naturale. În textele redactate în primăvara şi vara anului 1883, poetul foloseşte „un limbaj de maximă concentrare, adesea criptic”. Acestea „pot constitui importanţă şi interes pentru şcoala matematică românească”, deoarece în aceste însemnări Eminescu „matematizează cele mai variate domenii ale activităţii umane”. El afirmă că matematica este „Limba universală, limba de formule, adică de fracţiuni ale celor trei unităţi : timp, spaţiu şi mişcare ”.

În capitolul „Educaţie şi învăţământ” sunt însemnări despre „Operaţii aritmetice”, efectuând aceste operaţii după modelul timpului. La paginile 177 şi 178 găsim operaţii de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire.

De exemplu:

Adunarea 3142+ 4312 4 5 4 7__ 7454

Scăderea 4334- 3213 1 2 1 1___ 1121

Înmulţirea 3423 × 2 6 4 8 6___ 6846

Împărţirea 6936 : 3 2 3 1 2 2312

Poetului nu-i sunt străine nici fracţiile, „multiplicarea fracţiilor”, fracţii echivalente, operaţii cu fracţii. El este preocupat de înţelegerea fenomenului matematic şi chiar a matematizării celor mai variate domenii ale activităţii umane. Referindu-se la numărul 1 spune că:

„Cine a zis 1 a zis toată seria infinită a numerelor”. Despre algebră spune că: „Algebra n-a putut să se ivească decât după ce literele au fost descărcate

de rolul de-a însemna numere concrete”. În opinia lui, „Matematica este o abstracţiune a mecanicii”. Ocupându-se de raportul dintre finit şi infinit, face o serie de însemnări

caracteristice profunzimii gândirii sale. De exemplu: „Orice mărime finită faţă cu infinitul este zero. De aceea sentimentul de adîncă

nimicnicie care ne cuprinde faţă cu Universul”. „O mărime concretă adunată c-o mărime infinită dă o mărime infinită”. „O mărime concretă din care se scade o mărime infinită dă un rest negativ în

infinit”. „O mărime concretă multiplicată c-o mărime infinită creşte în progresiunea

mărimii infinite”. „O mărime concretă divizată printr-o mărime infinită dă zero”.

În „Teoria ecuaţiunii” interpretează fenomenele umane prin ecuaţii matematice astfel:


4

NR 1

„Orice moment din viaţa universului e ecuaţiunea momentului următor”. „Orice moment din prezent e ecuaţiunea momentului trecut”. „Nu cunoaştem decât raporturi dintre finit şi finit-ecuaţiunea”. „Ecuaţiunea fizică: frumuseţea” „Ecuaţiunea socială: echitatea” „Ecuaţiunea psihologică: lupta şi economia” „Ecuaţiunea intelectuală: omnilateralitatea, cultura ” „Ecuaţiunea comercială: preţul fix” „Ecuaţiunea comercială: dobânda legală”

Năzuinţa sa supremă este „ Teoria ecuaţiunii universale ”.

Influenţa matematicii în gândirea eminesciană este ilustrată în următoarele versuri:

„Iar colo batrînul dascăl, cu-a lui haină roasă-n coate, Într-un calcul fără capăt tot socoate şi socoate - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Universul fără margini e în degetul cel mic, Căci sub frunte-i viitorul şi trecutul se încheagă Noaptea-adînc-a veciniciei el în şiruri o dezleagă; Precum Atlas în vechime sprijinea cerul pe umăr Aşa el sprijină lumea şi vecia într-un număr. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Şi din roiuri luminoase izvorând din infinit, Sunt atrase în viaţă de un dor nemărginit, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Muşti de-o zi pe-o lume mică de se măsoară cu cotul, În aceea nemărginire ne-nvârtim uitând cu totul. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Unul e în toţi; tot astfel precum una e în toate; Deasupra tuturora se ridică cine poate.” („Scrisoarea I”)

„Capul greu cădea pe bancă, păreau toate-n infinit;” („Scrisoarea II”) „Pân-a nu ajunge-n culmea dulcii muzice de sfere;” („Scrisoarea V”)

Sfera în universul poetului este infinită, cubul este finit. Poezia „Glossă” seamănă cu o demonstraţie matematică, în care trecutul exprimă ipoteza, viitorul este concluzia, iar zădărnicia este demonstraţia.

„Viitorul şi trecutul Sunt a filei două feţe Vede-n capăt începutul Cine ştie să le-nveţe; Tot ce-a fost ori o să fie În prezent le-avem pe toate,


5

NR 1

Dar de-a lor zădărnicie Te întreabă şi socoate.”

Bibliografie

Mihai Eminescu: „ Poezii”, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1972 Florin Diac: „Mihai Eminescu şi matematica”, Gazeta matematică seria B, Nr

1/2000.

Eminescu şi matematica Elev Gârju Rareş, clasa a VIII-a A

La şcoală, în cadrul orelor de matematică, am avut de

rezolvat probleme de tipul: “Scrieţi încă trei termeni ai şirului 1, 4, 7, 10, 13, ……….”.

Acum vă voi prezenta un şir mai special. Este vorba despre un şir în care primii opt termeni sunt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ……… Credeţi că puteţi scrie următorii trei termeni?… …Dacă nu aţi reuşit vă ajut eu. Priviţi cu atenţie şi veţi observa că al treilea termen si anume numărul 2, este suma celor doi termeni dinaintea lui (1 + 1 = 2), al patrulea termen, numărul 3 este suma celor doi termeni dinaintea lui (1 + 2 = 3) şi acelaşi lucru se întâmplă cu oricare alt termen (de exemplu 13= 5 + 8).

Acest şir este cunoscut în matematică sub numele de şirul lui Fibonacci. Dacă luăm trei termeni care urmează unul după altul (de exemplu 5, 8, 13) şi îi vom numi “ieri”, “azi”, “mâine”. Relaţia dintre termeni este: “mâine” – “ieri” = “azi” (13 – 5 = 8). Să reţinem acest lucru! Dar care este legătură dintre Mihai Eminescu şi acest şir? Într-una dintre poeziile sale acesta spune: “Cu mâne zilele-ţi adaogi, Cu ieri viaţa ta o scazi Şi ai cu toate astea-n faţă De-a pururi ziua cea de azi.”

(Cu mâne zilele-ţi adaogi – M. Eminescu) Observăm că primele două versuri reprezintă diferenţa dintre “mâine” şi “ieri”.

Al treilea vers dă semnul egal, iar versul al patrulea este tocmai “azi”, cu alte cuvinte: “mâine” – “ieri” = “azi”


6

NR 1

Augusteumul – Templul Dianei şi matematica elementară

Elev: Tănăsoiu Florin, clasa a VII-a In vacanţa trecută, am mers cu parinţii la sora mamei care s-a stabilit in Franţa in

orasul Nimes. Acesta era cunoscut in antichitate de catre romani ca “Nemausus” şi este unul dintre cele mai impresionante locuri antice ale Frantei.

Zona antică- La Source, se afla in Jardines de la Fontaine şi este sursa reţelei de apă care se imprastie in tot orasul. Aceasta era dedicată zeului celtic Nemausus – cel care era venerat pentru aducea apei catre oraş. Mai tarziu romanii au integrat acest loc in Augusteum, loc de cult imperial roman, din care face parte şi templul Dianei – un templu extrem de enigmatic, a carei functie exactă nu se cunoaste nici astazi. Dar si originea numelui ramane incă necunoascută.

In spatele intrarii oficiale, acolo unde fântanile, nimfele si copacii ceremoniali incadrează Templul Dianei, treptele urcă spre panta impadurită. Acolo se afla Turnul de treizecisidoi de metri, ramas din zidurile construite de Augustus. Din acest turn se văd panorame superbe ale zonei rurale inconjuratoare, pana la marginea Pirineilor. La poalele pantei curge Canal de la Fontaine, construit pentru a aproviziona cu apa fantana, apa provenita din izvorul Nemausus, a carui prezenta in acest decor uscat, calcaros, a permis infiintarea Nimes.

In a doua saptămână din vacanţa de Paşte, la, doamna profesoara a propus un proiect cu titlul de mai sus la Capitolul Poligoane regulate. Problema1 Rozetei din Templul Dianei (Nîmes) şi matematica elementară:

Pe frontispiciul Templului zeitei Diana este

o rozeta, formata din poligoane regulate cu laturile de aceeasi lungime si douasprezece triunghuiri isoscele. Punctele exterioare ale acestei configuratii geometrice fiind practic situate pe un cerc. Poate fi luată distanța OA, ca valoare pentru raza implicită aproximativă a acestui cerc. Pentru calcule, se presupune că valoarea comună a laturilor poligoanelor regulate este de

1 Sursa: Lycée Français de Caracas - Venezuela, cours de mathématique, classe de seconde.

http://colegio.francia.free.fr/Maths/maths.htm


7

NR 1

1cm. Pentru a calcula aria unui triunghi isoscel, se va calcula masura unghiului de la vârf, apoi calculul înălţimii și bazei sale.

1. Calculaţi aria rozetei. 2. Calculaţi aria discului de raza OA, determinând o valoare aproximativă a π. 3. Calculaţi perimetrul rozetei. 4. Utilizați perimetrul ca valoarea circumferințe cercului de raza OA, determină o

valoare aproximativă π. Am calculat pe rand, aria hexagonului, aria triunghiului echilateral, aria patratului, rezultatele le-am organizat in tabelul de mai jos, apoi am numarat figurile geometrice care compun rozeta:

Aria rozetei =7xAria hexagon regulat+30xAria patrat+ 24xAria ∆echlateral + 6xAria romb+ 12x Aria ∆isoscel

√

√

√

√

√

√

√

Aria patrat=l2=1cm2 AAA

𝑙2√

√

cm2

Aria ∆echlateral=

𝑙2√

√

cm2

Aria hexagon regulat=

𝑙2√

√

cm2

Aria romb=

𝑀𝐻 ∙ 𝑁𝐻

cm2

Aria ∆isoscel MNP=

𝑙2 s n𝑀𝑁𝑄

2 s n

𝑀𝐻 − √

NH √

𝑑𝑒𝑐𝑖 𝑁𝑃 √

Analizand rozeta, din calcule simple, tinand cont ca

suma unghiurilor in jurul unui punct este de 3600

obtinem:

a. m( NMP)= 1500

b. m(MNP)=m(MPN)=150

c. Constructie ajutatoare simM[NP]=Q, atunci

MNQP romb, cu m(MNQ)=300.

d. Aria MNP=1/2Aria MNQP=

e. Din teorema cosinusului in triunghiul MNQ, se

obtine MH=1/2(√ 2 2 − ∙ ∙ ∙ 𝑐𝑜𝑠 0

Din teorema lui Pitagora rezulta


8

NR 1

c c ( √

)

2

√

c c ⇒

n m ( ∙ √ )

n m c c ∙ √

∙ ( √ )

Deci o alta aproximare a numarului π este:

∙ √

( √ )

Zero

Elev Mirea Ianis, clasa a VIII-a A

În zilele noastre, cuvântul zero este unul cunoscut de toată lumea şi folosit frecvent în diferite expresii. Dar lucrurile nu au stat întotdeauna aşa. Zero este un număr foarte special, diferit ca şi comportament de toate celelalte numere, iar existenţa sa a dat multe bătăi de cap matematicienilor, dar şi filozofilor. La origine, numerele au fost inventate din motive foarte practice: nevoia de a număra oile, măsurarea şi delimitarea pământului deţinut de cineva, sau socotirea trecerii timpului. Dar pentru aşa ceva nu era nevoie de zero (nimeni nu vrea să ţină evidenţa celor zero oi pe care le are), iar oamenii s-au descurcat foarte bine şi fără el. Asta până când a apărut necesitatea de a scrie numere ceva mai mari. Atunci, cam prin anul 300 î.Cr., babilonienii au inventat un simbol care semnifica un loc gol pe abac, introducând astfel folosirea claselor şi ordinelor în numeraţie. Nu contează că babilonienii aveau un sistem de numeraţie în baza 60, foloseau cuie în loc de cifre, iar zero era reprezentat prin două cuie oblice... începutul a fost făcut.

Valoarea unui număr este dată de locul pe care îl ocupă în şirul numerelor naturale. Dar 0 nu a avut iniţial niciun loc în acest şir, pentru că nu era decât un simbol


9

NR 1

care semnifica nimicul. Tocmai de aceea, grecii şi romanii l-au respins din motive filozofice, căci nu puteau concepe existenţa neantului. Chiar şi din calendarele lor lipsea anul 0: anul 1 î.Cr. era urmat de anul 1 d.Cr. Mayaşii au fost singurii care au inclus numărul 0 în calendarul lor, dar din păcate calendarul nostru actual este de origine romană. Acest lucru a dus la o o întreagă dispută în zilele noastre: care este primul an al secolului XXI, 2000 sau 2001?

Revenind la aflarea poziţionării lui 0 în şirul numerelor naturale, este suficient să facem o simplă numărătoare inversă din 1 în 1. Din 3 scădem 1 şi ajungem la 2, din 2 scădem 1 şi obţinem 1, din 1 scădem 1 şi obţinem nimic, adică 0. Deci ordinea firească este 3, 2, 1, 0. Prin urmare, cifra 0 este cea care separă numerele pozitive de cele

negative. Teama grecilor antici faţă de 0 era întemeiată, deoarece acest număr se comporta ca niciun altul, sfidând legile operaţiilor matematice. De exemplu, dacă adunăm un număr cu el însuşi, acesta se modifică (3 + 3 = 6). Dar zero plus zero dă tot zero. La înmulţire şi împărţire, lucrurile stau şi mai rău. Operaţia de înmulţire înseamnă multiplicare, deci rezultatul ei ar trebui să fie mai mare sau egal cu numerele înmulţite (2 × 4 = 8). Dar acest lucru nu se întâmplă la înmulţirea unui număr cu 0, rezultatul fiind tot 0.

Însă fenomenul cel mai fascinant are loc la împărţirea cu 0. Mult timp, matematicienii au încercat din răsputeri să dea sens acestei operaţii. Ei au gândit că, din moment ce împărţirea este operaţia inversă înmulţirii, pot face următorul raţionament: “Am fost de acord că orice număr înmulţit cu 0 dă 0. Deci 2 × 0 = 0. Acum, dacă împărţim egalitatea prin 0, trebuie să obţinem (2 × 0) : 0 =0 : 0. Dar cum în partea stângă am împărţit la acelaşi număr cu care înmulţisem pe 2 iniţial, rezultatul ar trebui să fie 2. Deci 2 = 0 : 0. Dar dacă repetăm procedeul pornind de la 5 × 0 = 0, obţinem 5 = 0 : 0. Vasăzică, 2 = 5... ceea ce este evident incorect, chiar şi pentru un simplu numărător de oi.” Prin urmare, împărţirea la 0 nu prea are sens...

Pentru a evidenţia acest lucru, unii matematicieni cu simţul umorului au pornit de la ipoteza că totuşi are sens să împărţim la 0 şi au ajuns la concluzii absurde, dar foarte amuzante, cum ar fi: 1 + 1 = 42, J. Edgar Hoover a fost extraterestru sau, mai grav, Winston Churchill a fost un morcov! Oricât de distractive ar fi aceste concluzii, trebuie să admitem că împărţirea la 0 nu este posibilă, acordându-i lui 0 respectul cuvenit pentru puterile sale neobişnuite. Bibliografie: Charles Seife , Zero: biografia unei idei periculoase


10

NR 1

Frontonul templelor greceşti sau cum calculăm sin 150

Elev Popa Oana, clasa a VII-a B

a. ( NMP)= 1500 b. m(MNP)=m(MPN)=150 c. Constructie ajutatoare simM[NP]=Q, atunci MNQP romb (de latura 1 u.m.), cu

m(MNQ)=300. d. Din teorema cosinusului in triunghiul MNQ, se obtine

H 2 2 − ∙ ∙ ∙ 0 − √

n m NH √

√

√ − √

M

P N

H


11

NR 1

Utile pentru toti!

Radu Ilie Andreea, clasa a VII-a B


12

NR 1

Cuprins:

Pledoarie pentru matematică, Prof. Beer Maria Adriana………………………..……2

Eminescu şi matematica în metaforă, Tiu Alberta, clasa a VIII-a A………………..2

Eminescu şi matematica,

Elev Gârju Rareş, clasa a VIII-a A………………………………….……………………..5

Augusteumul – Templul Dianei şi matematica elementară

Elev: Tănăsoiu Florin, clasa a VII-a B ………… ……………………………….………6

Zero, Elev Mirea Ianis VIII-a A……………………………………………………………..9

Frontonul templelor greceşti sau cum calculăm sin 150,

eleva Popa Oana, clasa a VII-a B …………………….…………..………………….…..10

Utile pentru toti! Eleva Radu Ilie Andreea, clasa a VII-a B.………………..….… 11

foaia de - didactic

Documents