econometrie
TRANSCRIPT
1
Cuprins Cuprins ................................................................................................................................ 1 Capitolul 1 ........................................................................................................................... 4 Introducere în modelarea econometricã .............................................................................. 4
1.1 Ce este econometria?................................................................................................. 4 1.2 Ce poate ºi ce nu poate realiza econometria ............................................................. 5 1.3 Repere istorice........................................................................................................... 6 1.4 Concepte.................................................................................................................... 8 1.5 Demers metodologic ............................................................................................... 13
Capitolul 2. ........................................................................................................................ 14 Cauzã ºi efect în economie
- modelul unifactorial ............................................................ 14 2.1 Relaþiile de cauzalitate în economie................................ ................................ ........ 14 2.2 Modelul liniar simplu .............................................................................................. 15
2.2.1 Prezentarea problemei. Exemple din economie ............................................... 15 2.2.2 Model ºi ipoteze ...............................................................................................16
2.3 Estimarea parametrilor modelului........................................................................... 17 2.4 Noþiuni privind datele ºi soluþiile ................................ ................................ ............ 20 2.5 Metoda celor mai mici pãtrate................................................................................. 20
2.5.1 Interpretarea parametrilor estimaþi ................................ ................................ ... 21 2.5.2 Precizãri de naturã teoreticã privind analiza de regresie ºi modalitatea de
estimare a parametrilor.............................................................................................. 22 Capitolul 3 ......................................................................................................................... 25 Influenþe multiple de tip liniar ºi neliniar în economie;
modelul multifactorial ............... 25 3.1 Cazul liniar multifactorial ....................................................................................... 25 3.2 Etapele demersului: ................................................................................................. 27
3.2.1 Specificarea ...................................................................................................... 27 3.2.2 Estimarea parametrilor ..................................................................................... 28
3.2.3 Interpretarea estimaþiilor obþinute pentru parametri................................ . 31 3.3 Recomandãri în ceea ce priveºte aplicarea modelului econometric multifactorial . 31
3.3.1 Datele numerice................................................................................................ 32 3.4 Modele neliniare...................................................................................................... 33
3.4.1 Modele neliniare în raport cu variabilele dar liniare în raport cu parametrii ... 33 3.4.2 Modele neliniare, neabordabile prin MCMMP................................................ 34
3.5 Variabile calitative în economie.............................................................................. 36 3.5.1 Variabilele dichotomice ................................................................................... 37
Capitolul 4 ......................................................................................................................... 43 Verificarea semnificaþiei statistice a rezultatelor estimãrii. Testul t, testul F ................... 43
4.1 Necesitatea etapei verificãrii ................................................................................... 43 4.2 Verificarea semnificaþiei statistice a fiecãrui parametru estimat;
testul t................ 45 4.2.1 Principalele noþiuni specifice ................................ ................................ ........... 45 4.2.2 Testul t.............................................................................................................. 47 4.2.3 Etapele verificãrii ............................................................................................. 48
4.3 Verificarea semnificaþiei rolului ansamblului factorilor asupra variabilei efect..... 51 4.3.1 Testul F............................................................................................................. 51
2
4.3.2 Etapele aplicãrii testului F................................................................................ 52 4.3.3 Coeficientul de determinaþie ................................ ................................ ............ 53
Capitolul 5 ......................................................................................................................... 54 Verificarea confirmãrii ipotezelor privind datele, factorii ºi modelul ..............................54
5.1 Ipoteze privind modelul ºi metoda de estimare.......................................................54 5.2 Date suficiente, neafectate de erori sistematice ...................................................... 55
5.2.1 Consideraþii asupra necesitãþii abordãrii problemei datelor............................. 55 5.2.2 Verificarea ºi aprecierea datelor numerice.......................................................56
5.3 Independenþa variabilelor factoriale din ecuaþia de regresie ................................ ... 57 5.3.1 Semnale care atrag atenþia multicoliniaritãþii:................................ .................. 58 5.3.2 Soluþii ................................ ................................ ................................ ............... 59
5.4 Ipoteza privind liniaritatea modelului ºi corecta sa specificare ..............................59 5.4.1 Verificarea prezumþiei liniaritãþii ................................ ................................ ..... 60
5.5 Verificarea confirmãrii ipotezelor privind comportamentul variabilei reziduale ... 61 5.5.1 Verificarea împrãºtierii valorilor variabilei reziduale (homoscedasticitatea / heteroscedasticitatea.................................................................................................. 61 5.5.2 Testul GQ (Goldfeld, Quandt) ......................................................................... 62 5.5.3 Prezumþia neautocorelãrii valorilor reziduale .................................................. 63 5.5.4 Variabila rezidualã urmeazã o repartiþie normalã de medie zero..................... 65
Capitolul 6 ......................................................................................................................... 68 Aplicarea modelului de regresie în analiza ºi prognoza economicã ................................. 68
6.1 Coordonatele analizei economice ºi analizei statistice ........................................... 68 6.2 Prognoza economicã bazatã pe modelul de regresie............................................... 69 6.3 Modele econometrice utilizate în domeniul cererii de bunuri ºi servicii ................ 70 6.4 Producþia, factorii determinanþi ºi funcþiile de producþie................................ ........ 73
6.4.1 Ipoteze ºi caracteristici în elaborarea ºi utilizarea funcþiilor de producþie în studiile economice..................................................................................................... 74 6.4.2 Indicatori utili analizei economice bazate pe funcþii de producþie................... 74
6.5 Relaþii financiar
- bancare ºi reprezentarea lor prin ecuaþii ................................ .... 78 6.5.1 Masa monetarã ºi factorii care determinã cererea de bani ...............................79 6.5.2 Rata dobânzii ºi investiþiile ................................ ................................ .............. 79 6.5.3 Impozitele ºi transferurile.................................................................................80 6.5.4 Preþurile ºi costurile................................ ................................ .......................... 81
Capitolul 7 ......................................................................................................................... 82 Evoluþia proceselor economice în decursul timpului ................................ ........................ 82
7.1 Problema tendinþei generale ................................ ................................ .................... 82 7.2 Noþiuni specifice analizei seriilor cronologice................................ ........................ 82 7.3 Modelul liniar unifactorial ºi calculul tendinþei generale........................................ 83 7.4 Clasificare a seriilor cronologice în raport cu existenþa sau inexistenþa tendinþei generale ......................................................................................................................... 87 7.5 Dependeþe în economie manifestate în mod sincron sau cu decalaje în timp ......... 88
7.5.1 Seria integratã, serii cointegrate privind procese economice evolutive ........... 88 7.6 Modele dinamice destinate includerii efectelor decalate în timp............................ 90
7.6.1 Stabilirea unitãþii de timp ................................ ................................ ................. 91 7.6.2 Estimarea parametrilor ..................................................................................... 92
3
7.7 Autodeterminarea proceselor economice în timp; modelele stochastice de tip ARMA........................................................................................................................... 94
7.7.1 Considerente economice ºi statistice pe care se bazeazã modelul ARMA ...... 94 7.7.2 Obþinerea prognozelor................................ ................................ ...................... 96
7.8 Fluctuaþii sistematice în economie – mãsurare, analizã, prognozã ......................... 97 7.8.1 Depistarea graficã a variaþiilor sezoniere ................................ ......................... 98 7.8.2 Ajustarea prin medii mobile............................................................................. 98 7.8.3 Indicii de sezonalitate..................................................................................... 100 7.8.4 Coeficienþii sezonieri................................ ................................ ...................... 100
4
Capitolul 1
Introducere în modelarea econometricã
Modelele econometrice analizeazã calitatea ºi cantitatea proceselor economice ºi evoluþia lor.
Econometria prin caracterul sãu general creeazã modele abstracte ale fenomenelor economice.
Econometria este disciplina care s-a conturat ca o sintezã între analiza matematicã, statistica matematicã ºi economie.
1.1 Ce este econometria?
Termenul econometrie a fost introdus în anul 1926 de cãtre economistul ºi statisticianul norvegian R. Frisch prin analogie cu termenul „biometrie" utilizat de Galton ºi Pearson. Aºa cum "biometrie" desemna cercetãrile biologice cu ajutorul statisticii ºi matematicii, econometria avea sã însemne studiul economiei cu ajutorul acestor ºtiinþe fundamentale.
Econometria este o disciplinã care s-a conturat ca o sintezã între economie, matematicã ºi statisticã.
Din economie provin teoriile economice, din matematicã modelele teoretice care exprimã teoriile economice, iar din statisticã datele empirice ºi metodele de prelucrare a acestora.
Pe baza datelor din economie, econometria construieºte modele (expresii cantitative) pentru realitãþile economice studiate care au un corespondent în teoriile economice.
Prin procedeele de inferenþã statisticã, econometria estimeazã parametrii modelelor ºi realizeazã predicþii asupra realitãþii studiate.
5
Obiect: Aria de studiu a econometriei este realitatea
economicã privitã ca un ansamblu de relaþii ºi intercondiþionãri. Econometria studiazã legãturile dintre fenomenele economice, dintre diferite componente ale economiei în ansamblul sãu.
Metodã: Econometria studiazã realitãþile economice sub
aspect cantitativ, utilizând metoda statisticii. Econometria contribuie la cunoaºterea realitãþii economice prin modul sãu specific de a surprinde cantitativ relaþiile din viaþa economicã realã cu ajutorul unui instrument specific: modelul econometric.
Scop: Scopul principal al econometriei este identificarea, estimarea ºi testarea modelelor prin care se surprind relaþiile dintre fenomenele economice reale.
1.2 Ce poate ºi ce nu poate realiza econometria
Metodele de prelucrare a datelor urmãresc îndeosebi mãsurarea, cuantificarea unor relaþii dintre procesele economice, având în vedere mai ales relaþiile de tip cauzã-efect.
Rolul econometriei rezultã din soluþionarea unor obiective precum: • Evidenþierea, pe baze mai obiective, a relaþiilor de cauzalitate
din economie; • Exprimarea numericã a efectului datorat creºterii cu o unitate
a factorului; • Stabilirea proporþiei în care unul sau mai mulþi factori
determinã evoluþia unei variabile-efect, precum ºi ordonarea factorilor dupã importanþã;
• Previziunea unui fenomen economic în raport cu factorii determinanþi sau þinând cont de comportamentul fenomenului în perioadele anterioare;
6
• Aprecierea prin expresii numerice a implicaþiilor pe care o
acþiune de politicã economicã o are asupra mai multor sectoare economice;
• Stabilirea intensitãþii ºi direcþiei fluctuaþiilor din economie;
• Aprecierea elementelor semnificative din economie de
elementele nesemnificative (datorate hazardului).
Aspecte pe care econometria nu le poate rezolva sau încã nu le poate rezolva satisfãcãtor sunt urmãtoarele:
• Încorsetarea într-un model generalizator, de mare amploare, a tuturor relaþiilor existente în economie;
• Introducerea în calcule a variabilelor calitative cu o suficient de mare acurateþe, astfel încât rolul acestora sau amploarea modificãrii lor sã poatã fi mãsurate cu suficient de mare precizie;
• Departajarea suficient de precisã a rolului fiecãrui factor asupra unui proces economic, însituaþiile
în care factorii evolueazã foarte asemãnãtor (prezintã un grad înalt de coliniaritate)
• Prognoza suficient de precisã în situaþii conjuncturale diferite sau în situaþii în care interacþiunea factorilor reprezintã ea însãºi un factor;
• Econometria nu îºi propune stabilirea de valori numerice privind indicatorii economici (agregate de tip PIB, Venit naþional, etc.), unele stãri de lucruri din economie (concentrarea, corelaþia, proporþia unor realizãri) ºi nici obþinerea de soluþii optime (stocul optim, ruta optimã în transporturi) sau soluþii care nu aparþin domeniului relaþiilor de cauzalitate, manifestate la un moment dat sau în decursul timpului.
1.3 Repere istorice
Econometria este o disciplinã ºtiinþificã relativ nouã, dezvoltatã începând cu mijlocul secolului trecut. Totuºi, primele încercãri de a cuantifica ºi exprima cantitativ relaþiile dintre
7
fenomenele reale sunt mult mai vechi ºi dateazã din secolul al XVII-lea.
ª coala Aritmeticii politice engleze: Un studiu asupra genezei econometriei ne-ar conduce la începuturile secolului al XVII-lea când englezul W. Petty pune bazele "aritmeticii politice" prin care se foloseau sistematic fapte ºi cifre în elaborarea unor studii legate de populaþie, finanþe, comerþ exterior sau impozitare.
Laboratoarele biometrice engleze: La sfârºitul secolului al XIX-lea ºi începutul secolului al XX-lea, în Anglia se desfãºura o activitate ºtiinþificã remarcabilã de cercetare a legilor naturii ºi a geneticii umane. Printre figurile ilustre ale acestei ºcoli se numãrã F. Gallun, K. Pearson, R.A. Fisher, F.Y. Edgeworth, ale cãror lucrãri fundamentale au contribuit la dezvoltarea metodelor de analizã a legãturilor dintre variabile.
Societatea de econometrie: La 29 decembrie 1930, la Cleveland (S.U.A.) a fost întemeiatã "Societatea de Econometrie", instituþie care a creat ºi promovat termenul de "econometrie". Dintre membrii societãþii, menþionãm cele mai importante figuri: Irving Fisher, R. A. Fisher (matematician ºi biolog, care a dezvoltat analiza dispersionalã), Jan Timbergen (fizician olandez), Trygve Haavelmo, R. Frisch (primul preºedinte al societãþii) º.a.
Mari gânditori ai secolului XX: Econometria se dezvoltã prin contribuþia unor cercetãtori importanþi, din diferite direcþii ale cercetãrii: producþie: Cobb C.W. ºi Douglas P.H.; cererea de consum: K. Schultz, P.A. Samuelson; teoriile economice ºi construirea modelelor: J. Timbergen, T. Haavelmo, R. Frisch, L.R. Klein, H.Theil; studiul riscului ºi incertitudinii în economie, modele macroeconomice: J.M. Keynes.
8
1.4 Concepte
În cercetarea econometricã se utilizeazã o serie de concepte, noþiuni ºi termeni specifici: model, variabile, parametri, estimator, estimaþii, ca ºi termeni statistici.
Modelul econometric: Modelul este o schemã simplificatã a
realitãþii care are rolul de a explica realitatea studiatã în dimensiunile ei fundamentale, esenþiale. Modelul econometric este o prezentare formalizatã a problemei sau a realitãþii economice studiate. De regulã, modelul econometric este o ecuaþie sau un sistem de ecuaþii construit pe baza variabilelor statistice.
Exemple Relaþie dintre vânzãri ºi preþ:
Vânzãri = a + b Preþ + u Evoluþia producþiei în raport cu factorii determinanþi:
Producþie = a Capital Munca
Variabile: În cercetarea econometricã se utilizeazã variabile statistice între care existã relaþii de interdependenþã.
Variabilã
= însuºire, element caracteristic care poate înregistra diverse niveluri exprimate, de regulã, numeric.
Exemple: preþul produsului, rata dobânzii, cantitatea produsã, valoarea tranzacþiilor la bursã. Variabile de tip calitativ (nenumerice): culoarea, religia, anotimpul. Variabila aleatoare prezintã drept element caracteristic faptul cã poate înregistra orice valoare într-un ansamblu de valori specificat corespunzãtor unei repartiþii de probabilitate. Exemple: cursul de schimb, vânzãrile pe o piaþã liberã, abaterea (eroarea) dintre nivelul preconizat ºi cel realizat.
Tipuri de variabile:
variabilã endogenã, numitã ºi variabilã dependentã, rezultativã sau efect, rezultat. Este variabila pentru care modelul, în urma estimãrii, poate genera valori. Variabila
9
endogenã este poziþionatã în stânga semnului egalitãþii în ecuaþia în care ea reprezintã obiectivul, dar poate sã aparã ºi în postura de factor în alte ecuaþii. Se noteazã de regulã cu y.
variabila exogenã, numitã ºi variabilã independentã, factorialã, factor de influenþã sau regresor, care determinã un anumit efect asupra variabilei rezultat. Este variabila aflatã în postura de cauzã a evoluþiei variabilei endogene, având valori preluate din statistici. Locul variabilei exogene este în dreapta semnului egalitãþii ºi este, de regulã notatã cu x.
Alãturi de aceste douã categorii de variabile, în econometrie se utilizeazã o categorie specialã: variabilele reziduale sau eroare.
De regulã, aceste variabile apar în model ca sumã a tuturor influenþelor necunoscute sau care nu apar explicit în model. În cercetarea econometricã, variabila eroare este o variabilã aleatoare care respectã anumite proprietãþi numite ºi ipoteze clasice.
Variabila rezidualã
se obþine în urma calculului abaterilor dintre valorile empirice ale variabilei endogene (y) ºi valorile generate de model ale aceleiaºi variabile ( ). Locul variabilei rest este, de regulã, în partea finalã a ecuaþiei ºi este notatã cu u, dar se mai foloseºte ºi v sau e. Este denumitã perturbaþie sau eroare.
Medie = nivel central obþinut în urma unui calcul privind un ansamblu de valori ale variabilei analizate. Se utilizeazã media aritmeticã:
unde xi reprezintã valorile variabilei, iar fi frecvenþa de apariþie. Media variabilei aleatoare (speranþa matematicã,
aºteptarea) rezultã ca o sumã a valorilor variabilei aleatoare ponderate cu probabilitãþile asociate posibilelor valori:
y
ii
iii
f
fxx
10
cu
Dispersie = indicator sintetic destinat mãsurãrii împrãºtierii valorilor variabilei de la medie. Dispersia este notatã , dar ºi “var” sau s2 (numitã ºi varianþã).
Dispersia variabilei aleatoare x:
Abaterea medie pãtraticã:
Covarianþa
(cov) variabilelor x1, x2 reprezintã un indicator de mãsurare a variabilitãþii conjugate privind douã variabile aflate într-o relaþie de dependenþã:
Coeficientul de corelaþie
(r) reprezintã un indicator de mãsurare pe o scarã numericã cuprinsã între – 1 ºi + 1 a legãturii (dependenþei, analogiei) dintre douã variabile. În varianta Pearson, coeficientul de corelaþie este definit astfel:
Eºantion = subansamblu de elemente (unitãþi, cazuri) extrase (la întâmplare) dintr-un ansamblu (populaþie). Deseori o secvenþã de valori ale unei variabile urmãrite (înregistrate) în decursul timpului este asimilatã cu eºantionul. Se noteazã cu n numãrul de unitãþi din eºantion.
i
ii PxxM
iiP 1
ii
iii
f
fxx 2
2
)(
2
22 xMxMx
2
221121, xMxxMxMxxCov
yxxy n
yyxxr
11
Estimare = calcul sau suitã de calcule (algoritm) destinate
obþinerii unei mãrimi numerice (coeficient, parametru) pe baza datelor unui eºantion. Se noteazã estimaþiile cu
Estimarea parametrilor unei funcþii se situeazã în centrul atenþiei econometricienilor.
Test = verificare a unei prezumþii (ipoteza nulã H0, a negãrii existenþei unei calitãþi a estimaþiei), în condiþiile existenþei unei repartiþii proprii estimaþiei analizate. În urma testãrii, ipoteza nulã poate fi acceptatã sau poate fi infirmatã (respinsã) în favoarea ipotezei alternative H1. frecvent utilizate în econometrie sunt testele: t – Student, F – Snedecor, (hi-pãtrat).
Parametru: Parametrii modelului econometric, numiþi ºi coeficienþi de regresie, sunt mãrimi reale ºi necunoscute care apar în model în diferite expresii alãturi de variabile.
Parametrii fac obiectul procesului de estimare ºi testare statisticã.
Parametrul este o mãrime consideratã constantã, rezultatã în urma unui calcul bazat pe datele presupuse de variabilele ecuaþiei / ecuaþiilor modelului. De regulã,
se au în vedere estimaþii ale parametrilor, motiv pentru care se ataºeazã literei un accent circumflex.
Locul parametrului în model este alãturi de variabila factorialã la care se referã (excepþie face parametrul liber). Se noteazã cu a, b, a0, a1, , . Este denumit ºi coeficient sau estimaþie.
Estimatori: Estimatorii sunt variabile aleatoare, convenabil construite în procesul de estimare, cu distribuþii de probabilitate cunoscute ºi cu proprietãþi specifice în baza cãrora se realizeazã procesul de estimare a parametrilor modelului econometric. Notãm parametrul cu simbolul ? ºi un estimator al acestuia cu În procesul de estimare, cele mai importante proprietãþi ale estimatorilor sunt:
.ˆ,ˆ,ˆ,ˆ rba
2
ˆ
12
• nedeplasarea - un estimator este nedeplasat dacã media sau
speranþa matematicã a acestuia este egalã cu parametrul.
Un estimator nedeplasat verificã relaþia relaþia:
M( ˆ ) = ? . Dacã
relaþia nu este respectatã, atunci estimatorul este deplasat.
• convergenþa - un estimator este convergent dacã pentru un eºantion cu volum suficient de mare ºirul estimatorilor converge cãtre parametru. Pentru un estimator convergent are loc relaþia:
• eficienþa – estimatorul ˆ
este eficient dacã are dispersia sau varianþa cea mai micã dintre toþi estimatorii posibili pentru parametrul ?.
Autocorelaþie, autoregresie
= noþiuni care se referã la dependenþa dintre termenii poziþionaþi la o anumitã distanþã de timp. Aºadar, este presupusã dependenþa modificãrilor variabilei în raport cu propriile modificãri realizate într-un trecut mai mult sau mai puþin apropiat.
Autocorelaþia implicã determinarea intensitãþii corelaþiei dintre termenul înregistrat în perioada t ºi termenul din perioada t – 1 (coeficientul r1), respectiv din perioada t – 2 (coeficientul r2), etc.
Autoregresia presupune analiza gradului de dependenþã dintre seria de date yt ºi aceeaºi serie decalatã cu 1:
yt = a + byt-1+ ut, unde t = 2, 3, ...,n Pot fi considerate variabile explicative seriile decalate, în
succesiune cu 1,2,...,k perioade de timp: yt = a + b1yt-1+...+ bkyt-k + ut
,0ˆlim nn
P .1,0
13
1.5 Demers metodologic Modelarea econometricã se poate rezuma sintetic la parcurgerea
urmãtoarelor etape:
• formularea problemei în termeni economici, pornind de la o
teorie sau o problemã economicã;
• identificarea variabilelor care instrumenteazã problema; • identificarea tipului ºi formei legãturii dintre variabile, dupã
o analizã atentã a fenomenului real ºi a teoriei economice;
• propunerea unuia sau a mai multor modele care explicã realitatea studiatã prin relaþii de dependenþã între variabile;
• estimarea parametrilor modelului sau modelelor propuse, pe baza metodelor statistice cunoscute;
• testarea modelului sau modelelor ºi alegerea celui mai bun model;
• aplicarea în practicã sau realizarea de predicþii pe seama modelului.
Notaþii
• y- variabila dependentã;
• xi - variabilele independente, i = 1, 2, ..., k, unde k este numãrul de factori;
• u - variabila rezidualã sau eroare;
• y = f(xi) + u - modelul econometric; • ai, bi - parametrii modelului, i = 1, 2, ..., k; • n - volumul eºantionului.
14
Capitolul 2.
Cauzã ºi efect în economie
- modelul
unifactorial
2.1 Relaþiile de cauzalitate în economie
Situaþiile în care un proces economic depinde de un singur factor nu sunt prea frecvente în economie.
Se va aborda dependenþa începând cu un singur factor,
de la unifactorial la multifactorial, de la particular la general, de la relaþia liniarã la alte tipuri de dependenþe.
Exemple de relaþii din economie care implicã un efect ºi un factor important într-o dependenþã liniarã:
• Cererea de alimente strict necesare depinde de numãrul populaþiei;
• Producþia depinde de numãrul de ore utilizate efectiv pentru realizarea ei;
• Rata dobânzii la bãncile comerciale este influenþatã de rata dobânzii de referinþã;
• Exportul unui produs depinde de nivelul preþului; etc.
În majoritatea cazurilor: • Dependenþa nu este totalã, (o anumitã variabilã depinde sau
este influenþatã îndeosebi de...), aspect care implicã recunoaºterea existenþei ºi a altor cauze de o mai micã importanþã sau prea puþin cunoscute;
• Deseori este specificatã existenþa unor condiþii care se menþin aceleaºi, ceea ce poate fi valabil în condiþii de laborator, dar numai temporar poate fi constatat în viaþa realã pe un segment de cazuri.
15
• Dependenþa unui proces în raport cu factorul determinant se
poate manifesta diferit în decursul timpului, în raport cu gradul de stabilitate al celorlalþi factori importanþi.
• La aceasta se adaugã influenþa elementului perturbator
provocat de cauze minore, puþin cunoscute, mai mult sau mai puþin accidentale.
2.2 Modelul liniar simplu
Modelul liniar simplu presupune cã între cele douã variabile existã o dependenþã dupã modelul unei ecuaþii de gradul întâi sau cã între variabile existã o relaþie de proporþionalitate.
2.2.1 Prezentarea problemei. Exemple din economie
Modelul liniar simplu este cel mai simplu model econometric sau cea mai simplã schemã explicativã a dependenþei dintre douã variabile.
În economie existã situaþii în care un rezultat sau un fenomen poate fi explicat într-o proporþie ridicatã doar de influenþa unui singur factor. Acest factor apare în modelul econometric drept variabilã independentã, iar restul influenþelor este preluat de variabila rezidualã.
Exemple din economie de modele liniare simple 1) Funcþia de consum - cererea sau consumul populaþiei pentru o anumitã categorie de mãrfuri este o funcþie de venit
Ci = a + b Vi+ ui, unde parametrul b aratã de câte ori creºte consumul unui anumit produs (Ci) la o creºtere cu o unitate a venitului ºi este de regulã pozitiv.
16
2) Legea cererii - cererea populaþiei pentru o anumitã categorie de mãrfuri este în funcþie de preþul acestor produse
Ci = a + b Pi+ ui,
unde parametrul b este de regulã negativ ºi aratã cu cât scade cererea la o creºtere a preþului cu o unitate.
2.2.2 Model ºi ipoteze
Modelul prin care se exprimã dependenþa în raport cu un singur factor trebuie sã conþinã:
• Variabila efect, notatã cu yi; • Variabila cauzalã consideratã determinantã pentru procesul
analizat, notatã cu xi; • Variabila care poate perturba relaþia dintre principalele
variabile, expresie a acþiunii cauzelor minore, numitã abatere sau eroare ºi notatã cu ui.
Modelul de regresie liniarã simplã exprimã legãtura liniarã dintre variabile, de forma:
yi = a + b xi + ui
Relaþia de mai sus se numeºte ecuaþie de regresie ºi reprezintã funcþia liniarã
yx = a + bx plus eroarea u. Parametrii (constantele, coeficienþii) notaþi a, b urmeazã sã
fie determinaþi corespunzãtor datelor numerice ce privesc ansamblul (N) de cazuri sau urmeazã sã fie estimaþi dacã datele se referã la un eºantion (n) de cazuri.
a reprezintã ordonata la origine, care aratã valoarea lui y când x = 0;
b reprezintã panta dreptei, numit ºi coeficient de regresie.
Parametrul de regresie b aratã gradul de dependenþã dintre variabile, respectiv cu cât creºte sau scade y la o creºtere a variabilei x cu o unitate.
17
Variabilele din ecuaþie sunt:
• y - variabila dependentã, aleatoare;
• x- variabila independentã, nonaleatoare;
• u - variabila aleatoare eroare sau reziduu.
Ipotezele modelului de regresie vizeazã variabila rezidualã ºi variabila independentã. Cele mai importante ipoteze sunt:
• normalitatea erorilor : , adicã variabila rezidualã urmeazã o lege de repartiþie normalã de medie zero ºi varianþã ; • homoscedasticitate:
var( ui )= , adicã dispersia (varianþa) erorii este constantã.
• necorelarea erorilor: cov( ui, uj ) = 0, adicã erorile nu se influenþeazã reciproc;
• lipsa corelaþiei dintre variabila independentã ºi variabila eroare: cov( xi, ui ) = 0.
2.3 Estimarea parametrilor modelului În practicã, determinarea parametrilor la nivelul populaþiei
totale nu este posibil de realizat, fapt care impune estimarea parametrilor.
Folosind date înregistrate asupra unui eºantion de n perechi de observaþii asupra variabilelor x ºi y, se calculeazã estimaþiile
ºi ale parametrilor a ºi b . Pentru diverse eºantioane de volum n se obþin diverse
estimaþii pentru parametrii modelului de regresie liniarã.
Mulþimea acestora descrie aºa-numiþii estimatori ai parametrilor a, b.
Estimatorii sunt variabile aleatoare a cãror distribuþie se poate descrie în anumite ipoteze impuse modelului.
2,0Nui
2
2
a b
ba ˆ,ˆ
18
Exemplu
Se cautã sã se verifice în ce mãsurã numãrul populaþiei x determinã vânzãrile unui produs de uz curent y. Datele culese din 16 localitãþi sunt urmãtoarele:
Reprezentarea într-un sistem de axe a punctelor de coordonate xi, yi descrie un nor de puncte a cãrui formã urmeazã mai curând o dreaptã decât o linie curbã.
Acest fapt ne îndreptãþeºte sã acceptãm drept model a relaþiei de dependenþã funcþia
x-populaþia (zeci de mii loc.) 2 3 3 5 6 6 6 7 8 8 9 10 10 11 12 13y-vânzãri (mii kg) 10 12 14 28 30 32 28 35 40 45 45 52 55 54 58 60
Diagrama împr㺠tierii
0
20
40
60
80
0 5 10 15
Populaþia
Vân
zãri
y-vânzãri (mii kg)
bxay
19
De la fiecare punct ( xi, yi ) pânã la dreaptã se constatã
existenþa unor distanþe mai mari sau mai mici, reprezentând abateri generate de acei factori consideraþi nesemnificativi, accidentali, având un rol perturbator.
Se noteazã distanþa de a fiecare punct ( xi, yi ) pânã la punctul corespunzãtor de pe dreaptã ( xi, ) cu ui, atunci mãrimea abaterii este diferenþa:
În continuare se cautã obþinerea de soluþii pentru parametrii a ºi b, deschizând perspectiva analizei statistice, analizei economice, prognozei vânzãrilor.
Pentru realizarea acestor obiective se urmãreºte obþinerea unor estimãri (pentru cã se dispune doar de secvenþe / eºantioane de date) care sã conducã la:
Obþinerea unui grad de determinare (a efectului de cãtre cauzã) cât mai mare;
Abaterile dintre valorile empirice ale variabilei efect y ºi valorile aceleiaºi variabile obþinute pe baza modelului ºi poziþionate pe dreaptã (
, valori ajustate, teoretice), sã fie cât mai mici;
Estimaþiile obþinute pentru parametri sã fie cât mai precise, sã tindã spre adevãratele valori ale parametrilor pe mãsurã ce eºantionul creºte.
Metode de estimare care îndeplinesc condiþiile enumerate sunt: • Metoda celor mai mici pãtrate (MCMMP);
• Metoda verosimilitãþii maxime (MVM);
• Metoda bayesianã.
Metoda celor mai mici pãtrate implicã cele mai mici costuri pentru aplicarea ei.
iyiii yyu ˆ
y
20
2.4 Noþiuni privind datele ºi soluþiile
Se numesc valori / niveluri empirice ale variabilelor y sau x
acele mãrimi numerice obþinute din statistici. Se noteazã cu xi, yi, iar pe grafic apar sub formã de puncte de coordonate (xi, yi).
Se numesc valori / niveluri ajustate sau teoretice, acele valori care urmeazã sã fie generate de model,
notate .Ele se
obþin dupã estimarea parametrilor.
Se numesc valori adevãrate
ale parametrilor acele soluþii la care s-ar ajunge dacã s-ar cunoaºte toate valorile pe care le iau x, y. Aceste valori se noteazã cu a ºi b, iar numãrul total de cazuri cu N.
Se numesc valori estimate ale parametrilor acele soluþii care rezultã în urma utilizãrii datelor pe care variabilele xi, yi le-au înregistrat într-un eºantion. Aceste soluþii se noteazã cu , iar numãrul de cazuri incluse în eºantion cu n.
În marea majoritate a cazurilor se lucreazã cu eºantioane, astfel încât se obþin, frecvent, estimaþii.
Doar în sfera teoriei ne referim la valori adevãrate ale parametrilor.
2.5 Metoda celor mai mici pãtrate
Metoda celor mai mici pãtrate considerã abaterea urmãtoare drept element cheie:
Ridicarea la pãtrat ºi însumarea pãtratelor abaterilor conduce la calculul sumei:
Condiþia este ca estimaþiile sã fie astfel alese încât aceastã sumã sã fie minimã.
Întrucât se rescrie expresia astfel:
Punctul de extrem se obþine prin egalarea cu zero a derivatelor parþiale în raport cu necunoscutele ºi .
iy
ba ˆ,ˆ
iii yyu ~
n
i
n
iiii yyuS
1 1
22 ~
xbay ˆˆ~n
iii xbayS
1
2ˆˆ
a b
21
Rezultã sistemul:
Ceea ce devine:
Se noteazã:
Se obþine soluþia:
2.5.1 Interpretarea parametrilor estimaþi
indicã cu câte unitãþi naturale (în care este exprimat y) se modificã variabila – efect (creºte pentru > 0, scade pentru
< 0) dacã factorul x creºte cu 1 (adicã cu o unitate naturalã în care este exprimat x). indicã panta dreptei de regresie (slope).
nu are interpretare economicã ci doar semnificaþia sa de ordonatã la origine (intercept).
0ˆˆ2
ˆ
ˆ,ˆ
0)1(ˆˆ2ˆ
ˆ,ˆ
1
1
i
n
iii
n
iii
xxbayb
baS
xbaya
baS
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yxxbxa
yxban
11
2
1
11
ˆˆ
ˆˆ
n
ii
n
ii y
nyx
nx
11
1 ,
1
2ˆ
ˆˆ
xx
xxyyb
xbya
i
ii
bb
bb
a
22
Exemplu
x y y-M(y) x-M(x) (y-M(y))(x-M(x)) (x-M(x))2
2 10 -27.375 -5.4375 148.8515625 29.566406 3 12 -25.375 -4.4375 112.6015625 19.691406 3 14 -23.375 -4.4375 103.7265625 19.691406 5 28 -9.375 -2.4375 22.8515625 5.9414063 6 30 -7.375 -1.4375 10.6015625 2.0664063 6 32 -5.375 -1.4375 7.7265625 2.0664063 6 28 -9.375 -1.4375 13.4765625 2.0664063 7 35 -2.375 -0.4375 1.0390625 0.1914063 8 40 2.625 0.5625 1.4765625 0.3164063 8 45 7.625 0.5625 4.2890625 0.3164063 9 45 7.625 1.5625 11.9140625 2.4414063 10 52 14.625 2.5625 37.4765625 6.5664063 10 55 17.625 2.5625 45.1640625 6.5664063 11 54 16.625 3.5625 59.2265625 12.691406 12 58 20.625 4.5625 94.1015625 20.816406 13 60 22.625 5.5625 125.8515625 30.941406 7.438
37.375 800.375 161.9375
b= 4.942493 a= 0.6152065
2.5.2 Precizãri de naturã teoreticã privind analiza de regresie ºi modalitatea de estimare a parametrilor
În procesele economice se observã cã pentru un nivel oarecare al factorului se constatã o diversitate de valori privind efectul declanºat.
Acest aspect poate fi constatat fie pentru mai multe cazuri în care factorul, deºi constant ca nivel, genereazã efecte diferite, fie în situaþiile în care se analizeazã mai multe eºantioane, iar un nivel identic al factorului de la un eºantion la altul genereazã efecte diferite.
23
Relaþia dintre cauzã ºi efect nu este de tip determinist.
Pe lângã factorul cu rol determinant existã ºi un element
aleator care perturbã relaþia dintre cauzã ºi efect.
Relaþia de dependenþã este datã de funcþia stochasticã
(stochastic = aleator, întâmplãtor):
y = a + bx + u În situaþia în care datele se referã la întreaga populaþie se
obþine o funcþie de regresie a populaþiei (FRP):
y = a + bx + u unde coeficienþii a, b reprezintã valorile adevãrate ale parametrilor.
În practicã rareori se apeleazã la toate cazurile care formeazã populaþia, întrucât aceastã variantã de lucru implicã eforturi deosebite.
Este de preferat utilizarea datelor unui eºantion:
În optica transversalã: 35 firme sau 60 familii sau 80 clienþi bancari;
În optica temporalã: 20 trimestre în care s-au realizat importuri; 18 ani în care s-a înregistrat evoluþia producþiei; 16 luni în care se cunoaºte rata dobânzii; etc. Pe baza datelor unui eºantion se pot obþine doar estimãri ale
parametrilor care apar în funcþia stochasticã a eºantionului (FSE):
Obþinerea valorilor estimate pentru constantele funcþiei stochastice deschide perspective cum ar fi: • Cuantificarea rolului variabilei factoriale (x) asupra variabilei efect, exprimatã de nivelul ;
• Obþinerea de valori ajustate ale nivelurilor variabilei efect adicã valori yi datorate exclusiv influenþei factorului determinant;
• Calculul abaterilor este util, analiza acestei serii de valori reziduale conduce la aprecieri privind calitatea modelului; • Determinarea unor previziuni privind evoluþia variabilei efect în condiþiile în care nivelul viitor al factorului este previzibil ºi nu se întrevãd schimbãri majore în relaþia dintre x ºi y.
ii xbay ˆˆˆ
b
iii yyu ˆ
24
Astfel de perspective sunt de interes pentru analiza ºi
prognoza în economie. Ele justificã importanþa atribuitã estimãrii în econometrie, dar
ºi interesului acordat verificãrii modului în care au fost obþinute estimãrile, calitãþile acestora ºi, în general, aprecierea performanþelor modelului.
25
Capitolul 3
Influenþe multiple de tip liniar ºi neliniar în economie; modelul multifactorial
O apropiere a modelului econometric de diversitatea ºi complexitatea proceselor economice presupune analiza relaþiei dintre variabila efect ºi un ansamblu de factori determinanþi, precum ºi includerea unor relaþii de tip neliniar.
3.1 Cazul liniar multifactorial În practicã sunt puþine fenomene economice care depind în
mod semnificativ de un singur factor. Situaþia mult mai frecventã este aceea în care nivelul
fenomenului economic este rezultanta mai multor factori importanþi la care
se adaugã ºi rolul unor factori mai puþin cunoscuþi, presupuºi a fi nesemnificativi.
Este necesarã includerea în mod explicit a factorilor cu influenþã determinantã, astfel încât sã se reducã perturbaþia.
Exemple • Producþia industrialã este influenþatã
de cantitatea ºi calitatea fondurilor fixe, ca ºi de numãrul salariaþilor;
• Producþia vegetalã din agriculturã depinde de cantitatea de îngrãºãminte, umiditatea solului, utilajele folosite, calitatea lucrãrilor;
• Volumul investiþiilor depinde de cuantumul economiilor, rata dobânzii, investiþiile începute;
• Cererea de mãrfuri este funcþie de ofertã, venituri, publicitate, preþuri.
26
• Atât în teoria economicã, cât ºi în practicã se gãsesc astfel de factori determinanþi, inclusiv direcþia în care fiecare dintre ei
influenþeazã variabila-efect. • Ceea ce nu se cunoaºte este mãsura în care fiecare factor influenþeazã variabila-efect. În realizarea unei astfel de mãsurãtori intervine econometria.
Relaþia este de tip multidimensional, în care apar k factori:
Funcþia de regresie este de forma:
unde reprezintã media distribuþiei variabilei-efect condiþionatã de modificãrile de nivel constatate în ce priveºte factorii importanþi luaþi în calcul.
În cazul în care relaþia dintre
variabila-efect ºi fiecare dintre cauze este de tip liniar se obþine:
Forma stochasticã a modelului de regresie include ºi variabila rezidualã u prin intermediul cãreia sunt evidenþiate influenþele accidentale, minore ca importanþã, întâmplãtoare (aleatoare, stochastice) ca mod de comportare, dar care pot genera o abatere oarecare asupra variabilei-efect:
De remarcat faptul cã atunci când se face referire la un caz aparte ºi nu la medie, elementul perturbator u este luat în calcul, iar introducerea lui conferã modelului atributul de stochastic, apropiindu-l de modalitatea realã de desfãºurare a proceselor economice.
Se abordeazã un caz multifactorial în care variabila-efect depinde de 2 factori, printr-o relaþie de tip liniar.
kiiii xxxfy ,...,,~21
kiiikiiii xxxfxxxyM ,...,,,...,,/ 2121
kiiii xxxyM ,...,,/ 21
kikiikiiii xaxaxaaxxxyM ...,...,,/ 2211021
ikikiii uxaxaxaay ...22110
27
3.2 Etapele demersului: • Elaborarea modelului; • Estimarea parametrilor; • Verificarea semnificaþiei rezultatelor estimãrii;
• Utilizarea modelului în vederea analizei ºi prognozei.
3.2.1 Specificarea Se presupune cã studiul se referã la analiza cererii de servicii
de cãtre populaþie în raport cu cauzele care determinã o astfel de cerere.
Din sursele teoretice ºi practice rezultã doi factori: veniturile disponibile ale populaþiei ºi oferta de servicii existentã pe piaþã.
Datele de care dispunem se referã la valori trimestriale privind: • Ponderea cheltuielilor destinate serviciilor în bugetul familiei – reprezintã variabila-efect notatã cu y; • Venitul mediu ce revine pe membru de familie (în mii lei) – reprezintã primul factor, notat cu v; • Investiþiile în domeniul serviciilor destinate populaþiei (în milioane lei) – reprezintã al doilea factor, notat cu z.
Datele pentru n = 15 trimestre succesive: y % 10 11 12 14 15 16 16 17 16 18 18 18 19 19 21 v (mii lei) 1.5 1.5 2 2 2 2.2 2.5 2.4 2.4 3 3 3 3.2 3.3 3.5 z (mil. lei)
0.8 1 1.5 2 1.8 1.8 2 2.4 2.1 2.1 2.6 2.4 2.5 2.2 2.8
Se acceptã varianta liniarã.
Specificarea modelului conduce la urmãtoarea reprezentare:
unde reprezintã estimaþii ale parametrilor întrucât se utilizeazã date pentru un eºantion.
Menþiuni:
iiii uzavaay 210 ˆˆˆ
210 ˆ,ˆ,ˆ aaa
28
1. Stabilirea factorilor ºi a funcþiei reprezintã o bazã de pornire, în sensul cã opþiunile fãcute în faza specificãrii urmeazã sã fie verificate în etapele urmãtoare (în etapa verificãrii ºi a utilizãrii modelului). 2. Important în aceastã etapã:
• Asigurarea unui numãr suficient de mare de cazuri , superior numãrului de parametri din model;
• Stabilirea factorilor cu rol realmente determinant ºi independenþi între ei;
• Eroarea de specificare ar putea consta fie în alegerea unui numãr prea mic de cazuri, fie alegerea unui numãr prea mare de factori, fie alegerea greºitã a funcþiei.
3.2.2 Estimarea parametrilor • Se cautã soluþii pentru necunoscute, adicã obþinerea de estimatori de calitate . • Se utilizeazã metoda celor mai mici pãtrate,
adicã suma pãtratelor abaterilor sã fie minimã:
• Se egaleazã cu 0 derivatele parþiale în raport cu fiecare necunoscutã.
• Se obþine punctul de minim al expresiei.
15n
210 ˆ,ˆ,ˆ aaa
n
iiii
n
ii zavaayu
1
2210
1
2 ˆˆˆ
iiii
ii
zavaay
a
u
01ˆˆˆ2
0ˆ
210
0
2
iiiii
ii
vzavaay
a
u
0ˆˆˆ2
0ˆ
210
1
2
29
Rezultã sistemul de ecuaþii normale:
Sistemul se poate scrie în formã matricealã astfel:
Se noteazã:
• matricea coeficienþilor cu X • matricea necunoscutelor cu A • matricea termenilor liberi cu Y Sistemul se scrie astfel:
XA = Y Soluþia se obþine: A = X – 1 Y
iiiii
ii
zzavaay
a
u
0ˆˆˆ2
0ˆ
210
2
2
iii
ii
iii
ii
iii
iii
ii
ii
ii
ii
ii
yzzazvaza
yvzvavava
yzavaan
2210
22
10
210
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
yz
yv
y
a
a
a
zvzz
vzvv
zvn
2
1
0
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
30
Exemplu
y v z v2 z2 vz yv yz 10 1.5 0.8 2.25
0.64
1.2 15 8
11 1.5 1 2.25
1 1.5 16.5
11
12 2 1.5 4 2.25
3 24 18
14 2 2 4 4 4 28 28 15 2 1.8 4 3.24
3.6 30 27 16 2.2 1.8 4.84
3.24
3.96
35.2
28.8 16 2.5 2 6.25
4 5 40 32 17 2.4 2.4 5.76
5.76
5.76
40.8
40.8 16 2.4 2.1 5.76
4.41
5.04
38.4
33.6 18 3 2.1 9 4.41
6.3 54 37.8 18 3 2.6 9 6.76
7.8 54 46.8 18 3 2.4 9 5.76
7.2 54 43.2 19 3.2 2.5 10.24
6.25
8 60.8
47.5 19 3.3 2.2 10.89
4.84
7.26
62.7
41.8 21 3.5 2.8 12.25
7.84
9.8 73.5
58.8 240
37.5
30 99.49
64.4
79.42
626.9
503.1
Matricele
394573,2
842506,2
104588,4
1,503
9,626
240
4,6442,7930
42,7949,995,37
305,3715
AY
X
31
3.2.3 Interpretarea estimaþiilor obþinute pentru
parametri • Interpretarea lui : La o creºtere a venitului cu o unitate (o mie de lei), cererea pentru servicii (y) creºte, în medie, cu 2,842506%, în condiþiile în care oferta (z) rãmâne constantã.
• Interpretarea lui : La o creºtere a ofertei (redatã prin investiþii) cu o unitate (1 milion lei), cererea pentru servicii creºte, în medie, cu 2,394573%, în condiþiile în care veniturile rãmân aceleaºi.
Interpretarea se referã ºi la semnul parametrului. Dacã semnul este plus, relaþia dintre y ºi x este de acelaºi sens (creºte x, creºte ºi y; scade x, scade ºi y). Dacã semnul este minus, relaþia este de sens invers (creºte x, scade y).
Parametrul nu are o interpretare economicã, dar se poate considera ca fiind nivelul variabilei-efect când factorii determinanþi sunt nuli.
În general, în modelul multifactorial, interpretarea parametrului estimat ja indicã cu cât se modificã (creºte sau scade, în funcþie de semnul parametrului) în medie variabila-efect (y) la o creºtere cu o unitate a factorului xj în condiþiile în care ceilalþi factori determinanþi introduºi în model sunt consideraþi constanþi.
3.3 Recomandãri în ceea ce priveºte aplicarea modelului econometric multifactorial
Alegerea variabilelor independente din model (a variabilelor factoriale) reprezintã o primã problemã care se cere rezolvatã. Sursele de informaþii care pot sugera cele mai importante cauze care determinã variabila dependentã sunt:
• Manualele de economie, fie cã se referã la teoria economicã în general, fie la macroeconomie sau microeconomie, la sectoare
1a
2a
0a
32
ale economiei sau domenii de activitate, includ informaþii referitoare la factorii determinanþi;
• Reviste sau publicaþii ºtiinþifice în care pot apãrea cercetãri similare, dar ºi unele care au doar tangenþã cu tema propusã. Exemple: Studii ºi cercetãri de calcul economic ºi ciberneticã economicã, Revista Românã de Statisticã, Piaþa de capital, Economistul, Revista financiarã, etc;
• Periodice în care sunt publicate trimestrial sau lunar date ºi analize conjuncturale, precum buletinele Comisiei Naþionale de Statisticã, sau ale BNR.
3.3.1 Datele numerice O altã problemã o reprezintã datele numerice ºi accesul la un
numãr suficient de date de calitate.
Sursele cele mai importante de date pot fi: • buletinele statistice (producþia, comerþul exterior, preþurile);
• anuarele statistice (date privind indicatorii macroeconomici, situaþia pe judeþe, indicatorii resurselor, comerþul internaþional);
• buletinele Bãncii Naþionale a României (serii de date privind inflaþia, dobânzile, creditul, exportul, importul);
• buletinele diverselor instituþii, privind calitatea vieþii (statistica bugetelor de familie) • evidenþele agenþilor economici (bilanþul);
• anchetele pe teren prin care pot fi obþinute ºi date cu privire la factorii latenþi, de naturã psihologicã, etc.
În etapa culegerii datelor, pot sã aparã urmãtoarele aspecte:
a) posibilitatea de a utiliza serii cronologice de date (valori anuale, trimestriale, lunare) sau de a utiliza serii transversale (un eºantion de localitãþi, familii, întreprinderi). Pentru a opta între cele douã alternative se are în vedere existenþa de date în aceeaºi alternativã pentru toate variabilele. Se opteazã pentru serii cronologice dacã scopul este obþinerea de prognoze în timp, respectiv optica transversalã pentru analizarea rolului fiecãrui factor.
33
b) datele la care avem acees nu se referã exact la variabilele preconizate spre a forma modelul, dar existã posibilitatea de a le înlocui cu variabile foarte apropiate ca ºi conþinut. Exemplu: venitul permanent disponibil se poate înlocui cu venitul brut, cererea cu vânzãrile, oferta cu producþia.
c) datele sunt mult prea puþine , nu se pot forma serii de cel puþin 15-20 termeni. Se recomandã înlocuirea datelor anuale cu cele trimestriale sau lunare sau suplimentarea numãrului de cazuri din eºantion pentru seriile transversale. d) datele sunt susceptibile de erori, ceea ce implicã verificarea lor atât din perspectiva cantitativã (absenþa de valori în
unele cazuri, absenþa unitãþii de mãsurã, greºeli de calcul), cât ºi calitativã (valori aberante total atipice, indicatori obþinuþi în condiþii diferite în ce priveºte metoda sau aria de cuprindere) Se recomandã efectuarea de corecþii (completãri, corectarea calculelor, eliminarea valorilor aberante).
O atenþie deosebitã trebuie acordatã valorilor exprimate în preþuri curente. În frecvente cazuri este necesarã deflaþionarea datelor (împãrþirea valorilor exprimate în preþuri curente la indicele de preþuri, în vederea exprimãrii valorilor în preþurile anului de bazã la care se referã indicele).
3.4 Modele neliniare Pentru descrierea unui numãr mare de procese economice
sunt necesare modele neliniare.
3.4.1 Modele neliniare în raport cu variabilele dar liniare în raport cu parametrii
Parametrii sunt la puterea 1. Aceste modele pot fi convertite în modele liniare prin transformãri corespunzãtoare.
Exemple: Producþia vegetalã = a + bX + cX2 + u,
34
unde X este umiditatea solului. Pentru X2 = Z, modelul devine: Producþia vegetalã = a + bX + cZ + u
Preþul produsului = a + b(1/Q) + u, unde Q = cantitatea existentã pe piaþã.
Pentru 1/Q = Z, modelul devine: Preþul produsului = a + bZ + u
Producþia industrialã Q = AMaKbeu, unde Q = producþia, M = munca, K = capitalul, e = 2,71... . Se logaritmeazã ºi se noteazã: lnQ = y, lnM = x, lnK = z, lne =1, lnA = c. Modelul devine: y = c + ax + bz + u
Pentru fiecare exemplu de model neliniar s-a ajuns la o formã liniarã de reprezentare, abordabilã în ceea ce priveºte estimarea parametrilor prin metoda celor mai mici pãtrate.
3.4.2 Modele neliniare, neabordabile prin MCMMP Variantele neliniare neabordabile prin metoda celor mai mici
pãtrate sunt fie modele neliniare în raport cu parametrii (cel puþin un parametru e la o putere diferitã de 1), fie în raport cu parametrii, dar ºi cu variabilele, fie reprezentãri în care variabila rezidualã este inclusã în model într-o formã care împiedicã liniarizarea.
Exemple Funcþia de cost de forma:
unde b este la puterea 1/2, model neliniar în parametrul b. Funcþiile de consum de forma:
uXbay
uZaaXy 2
35
model neliniar în parametrul a. sau:
sau:
Funcþia de producþie:
unde variabila rezidualã u este inclusã în variantã aditivã, ceea ce face dificilã liniarizarea.
În astfel de situaþii nu se recomandã utilizarea MCMMP, din urmãtoarele motive:
• pentru reprezentãrile în care cel puþin un parametru apare la o putere diferitã de 1, nu este sigur cã estimaþiile sunt compatibile cu un minim global în ce priveºte suma pãtratelor reziduurilor; • pentru reprezentãrile în care modalitatea de includere a variabilei reziduale nu permite liniarizarea, nu pot fi argumentate prezumþiile conform cãrora variabila rezidualã este normal distribuitã, având media egalã cu zero ºi dispersia finitã ºi relativ constantã pe segmente de valori.
Pentru obþinerea de estimaþii privind parametrii se apeleazã la algoritmi care aplicã metode numerice în vederea obþinerii de soluþii în cazurile de neliniaritate.
Etapele algoritmului 1. Iniþializarea parametrilor;
2. Determinarea sumei pãtratelor valorilor reziduale obþinute;
3. Modificarea valorilor ultimelor estimaþii, astfel încât suma sã se diminueze; 4. Se comparã ultima sumã cu cea anterior obþinutã ºi se reia procesul de la pasul 3 pânã când mãrimea sumei converge spre o valoare stabilã.
ubxay c
ue
ybax1
1
uzaxy cb
36
3.5 Variabile calitative în economie
În economie, alãturi de procese cantitative, care pot fi mãsurate, existã ºi variabile a cãror intensitate este exprimatã prin atribute: serviciu satisfãcãtor / nesatisfãcãtor; apreciere excelentã, foarte bunã, bunã, mulþumitoare, negativã; risc maxim, moderat, minim.
Variabilele care se referã la însuºiri, calitãþi, categorii, a cãror intensitate este exprimatã prin atribute, grade de comparaþie, aprecieri sunt variabile calitative.
Rolul factorilor de naturã calitativã este important pentru analiza ºi prognoza proceselor economice.
Exemple • Producþia depinde de dotarea cu utilaje ºi de numãrul de angajaþi, dar ºi de managementul procesului de producþie;
• Economiile populaþiei sub formã de depozite la o anumitã bancã depind de rata dobânzii, dar ºi de încrederea deponenþilor în banca respectivã;
• Vânzãrile de bunuri durabile depind de preþ, dar ºi de calitate sau de temerile cumpãrãtorilor cu privire la accentuarea inflaþiei;
• Exportul unui produs pe o piaþã depinde de preþul ofertei, cursul de schimb, dar ºi de renumele mãrcii ºi încrederea existentã pe acea piaþã privind calitatea produsului;
• Situaþia de a fi acceptat sau nu în urma unui interviu depinde de prestaþie, vârstã, putere de convingere; • Starea de spirit a populaþiei depinde de frecvenþa conflictelor sociale, venituri, gradul de stabilitate ºi competenþa guvernanþilor, etc.
În termenii econometriei, introducerea factorilor de naturã calitativã, în situaþiile în care rolul lor este presupus semnificativ, conduce la creºterea gradului de determinare ºi la un plus de calitate a estimaþiilor obþinte pentru parametri.
37
Problema cuantificãrii (exprimãrii prin numere) variabilelor
calitative reprezintã o etapã de a cãrei rezolvare depinde calitatea analizei economice bazatã pe modelul econometric.
3.5.1 Variabilele dichotomice
O variabilã dichotomicã (“dummy”, simbolizatã prin D) admite doar douã alternative: da/nu; promovat/nepromovat; masculin/feminin; înainte de momentul t / dupã momentul t.
Exprimarea cantitativã se face astfel: se atribuie nivelul 1 unei alternative ºi nivelul 0 celeilalte.
Exemplu Cheltuielile familiilor destinate turismului sunt analizate în
raport cu situaþia de a avea automobil (D = 1) sau de a nu avea automobil (D = 0). C = a + b D(1,0) Cheltuieli
(sute lei)
20 40 50 10 10 50
D 0 1 1 0 0 1
Factorii introduºi în model sunt exclusiv de naturã dichotomicã
În exemplul anterior:
y
20 40 50 10 10 50
x 0 1 1 0 0 1
Se obþine
Media cheltuielilor (y) pentru servicii în turism a celor care nu deþin autoturism (x=0) este de (20+10+10):3=13,3333, iar media pentru x = 1 este (40+50+50):3=46,6666
3333,33ˆ
3333,13ˆ
b
a
6666,46ˆˆ
3333,13ˆ
1
0
x
x
yba
ya
38
Factorii introduºi în model reprezintã o variabilã cantitativã
ºi o variabilã calitativã
Exemplu:
• Consumul de cafea C • Vârsta consumatorului v • Sexul D(1,0), unde D = 1 (F) ºi D = 0 (M)
Datele
C 2 0 4 2 8 8 12
3 6 4 1 6 6 1 2
v 20
18
30
21
40
50
60
42
35
51
19
62
44
25
40
D 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
Dacã într-o primã variantã se face abstracþie de variabila D, adicã se considerã relaþia de forma:
Se obþine:
În varianta a doua, considerând ecuaþia de forma:
Se obþin valorile:
Gradul de determinare prin prisma influenþei celor doi factori a crescut. De asemenea, estimaþiile sunt mai apropiate de calitãþile estimatorilor, comparativ cu prima variantã.
uDavaaC 0,1210
uvaaC 10
173924,0ˆ
12503,2ˆ
1
0
a
a
uDavaaC 0,1210
802923988,1ˆ
16098503,0ˆ
726331823,2ˆ
2
1
0
a
a
a
39
Posibilitãþi de mãsurare a variabilei dichotomice
a) Introducerea în calcule a unei alternative (dintre cele douã) sub formã de fecvenþã sau pondere
b) Modelul Logit
a) Pentru a exprima intensitatea prezenþei unei variabile alternative se poate recurge la însumarea apariþiilor uneia dintre alternative (de exemplu, numãrul persoanelor feminine) sau la ponderea frecvenþei înregistrate pentru o alternativã (ponderea rebuturilor, ponderea posesorilor de automobile).
b) Modelul Logit este destinat exprimãrii într-o formã operaþionalã (rezultate numerice obþinute din calcule bazate pe un model matematic) a acelor situaþii în care creºterea unui factor numeric are drept efect schimbarea unei atitudini de tip dichotomic.
Exemple Pe mãsurã ce, în mod experimental, se procedeazã la
creºterea preþului unui produs, o parte tot mai mare dintre amatori îºi schimbã intenþia de a cumpãraîn contrara acesteia (a nu cumpãra).
O creºtere treptatã a impozitelor într-un interval dat poate avea drept efect renunþarea unor plãtitori de impozite de a mai plãti prin lichidarea activitãþii impozabile fie în mod real, fie în mod declarativ.
Relaþia de dependenþã este de tipul y=f(x), unde y poate prezenta douã alternative (nu sau da), iar pe mãsurã ce x înainteazã pe scara valorilor xi ne apropiem de un punct de cotiturã de la care alternativa iniþialã se modificã radical.
Modelul de descriere a unui astfel de proces se bazeazã pe funcþia logisticã.
Ponderea rãspunsurilor ca urmare a modificãrii valorilor xi poate fi reprezentatã de egalitatea:
ibxaii exyMP
1
1/1
40
Se noteazã:
a+bxi = zi
L = Pi / (1 – Pi) atunci L = e z, iar lnL = z = a + bxi
În aplicaþii, Pi = ni / Ni, unde ni = nr. de rãspunsuri da în eºantion
Ni = mãrimea eºantionului.
Exemplu Pentru 4 eºantioane de clienþi bancari care intenþionau sã
solicite un credit au fost propuse contracte de creditare cu dobândã diferitã de la un eºantion la altul. Situaþia acceptãrii împrumutului în raport cu rata dobânzii se prezintã astfel:
Nr. persoane în eºantion
Rata dobânzii Nr. celor care au acceptat
20 2-6 19
30 6-10 24
20 10-14 14
25 14-18 5
Se organizeazã datele ºi se fac calculele:
xi Ni ni Pi 1- Pi L lnL
4 20 19 0.95 0.05 19 2.944439
8 30 24 0.8 0.2 4 1.386294
12 20 14 0.7 0.3 2.3333
0.847298
16 25 5 0.2 0.8 0.25 -1.38629
41
Se obþin valorile:
Funcþia logisticã are forma:
O altã posibilitate utilizatã în vederea exprimãrii numerice a unei variabile calitative presupune înlocuirea acesteia printr-un reprezentant numeric, numitã variabilã reprezentant (proxy-variable), intens corelatã cu variabila calitativã sau fiind un rezultat (un subprodus, o implicaþie) a acesteia, dar care are avantajul exprimãrii numerice.
Exemple Variabila calitativã îndemânare (în profesie) este reprezentatã de vechime în acea activitate; Variabila motivare la locul de muncã este reprezentatã de evoluþia câºtigurilor; Variabila instruire este reprezentatã de numãrul anilor de studii ºcolare.
Introducerea variabilei reprezentant comparativ cu neintroducerea ei )ºi implicit absenþa totalã a variabilei calitative din model deºi rolul ei este important) conduce la creºterea gradului de determinare.
O altã modalitate de mãsurare a variabilelor caliative este prin atribuirea de numere formând un ºir corespunzãtor creºterii intensitãþii calitãþii unui proces exprimat prin atribute sau categorii de calitate.
33828,0
330733,4
b
a
xey
33828,0330733,41
1
42
Exemple ª irul ordonat 1, 2, 3, ... corespunde categoriei de încadrare
care poate fi hotel de 1 stea, 2 stele, etc.; Atribuirea de note alternativelor existente într-o scalogramã:
1,2,3,4,5, reprezentând acord cu o afirmaþie: de loc, slab, mediu, puternic, foarte puternic.
43
Capitolul 4
Verificarea semnificaþiei statistice a rezultatelor estimãrii. Testul t, testul F
4.1 Necesitatea etapei verificãrii
• Datele utilizate provin dintr-un eºantion care nu întotdeauna este reprezentativ; • Rolul cauzelor accidentale ca ºi cel al întâmplãtoarelor analogii în ceea ce priveºte evoluþiile factorilor incluºi în model poate conduce la estimaþii ale parametrilor care fie contrazic aspecte evidente ºi anticipate din economie, fie exprimã deformat rolul factorilor; • Lipsa de experienþã ºi subiectivismul celui care elaboreazã modelul econometric, slãbiciuni care se manifestã fie la alegerea factorilor (deseori influenþatã de dificultãþile în obþinerea de date), fie la alegerea funcþiei (predilecþia pentru funcþia liniarã nu este întotdeauna suficient argumentatã).
Se recomandã:
• Verificãri prin confruntarea cu realitatea economicã cunoscutã din teorie sau din practicã;
• Verificarea în sens statistic a semnificaþiei rezultatelor estimãrii;
• Verificarea modalitãþii în care o serie de ipoteze (prezumþii, aºteptãri) se regãsesc în semnalele pe care le transmit rezultatele aplicãrii modelului.
Verificãri ale rezultatelor modelãrii prin compararea acestora cu realitatea economicã
Semnul parametrului poate confirma sau infirma cele cunoscute din teoria ºi practica economicã.
44
Exemple:
• În relaþia preþ-vânzãri, semnul parametrului corespunzãtor preþului ar trebui sã fie minus.
• Într-o funcþie de producþie, semnul ataºat factorilor care determinã producþia ar trebui sã fie plus.
Generarea de valori pe baza modelului estimat ºi compararea lor cu datele empirice (rezultate din observarea pe teren a variabilei y).
Generarea de valori implicã înlocuirea în model a simbolurilor cu estimaþiile obþinute pentru parametri ºi atribuirea de valori factorilor.
Este de aºteptat ca valorile ajustate sã fie asemãnãtoare cu cele empirice (y), abaterile sã fie relativ mici, având o evoluþie (în succesiunea obþinerii) întâmplãtoare, atât ca semn cât ºi ca mãrime.
Dacã, dimpotrivã, abaterile sunt relativ mari sau prezintã o succesiune sistematicã (fie în creºtere, fie într-o alternanþã
a semnului neîntâmplãtoare, fie predominã acelaºi semn), atunci trebuie revãzute fie calculele, fie datele, fie specificarea.
În exemplul unifactorial, dependenþa vânzãrilor de numãrul populaþiei, se obþin urmãtoarele rezultate:
y
ja
y
-4.86762-1.92512-0.982634.9598641.959864-0.097644.84485-0.15515-0.2126575
64.8676259.9251254.9826350.0401450.0401445.0976440.1551540.1551535.2126575
605854555245454035
13121110109887
-0.21266-2.270161.729836-0.270162.672329-1.44269-3.44269-0.50019u=y -yajustat
35.2126630.2701630.2701630.2701625.3276715.4426915.4426910.50019y ajustat
3528323028141210y
76665332x
-4.86762-1.92512-0.982634.9598641.959864-0.097644.84485-0.15515-0.2126575
64.8676259.9251254.9826350.0401450.0401445.0976440.1551540.1551535.2126575
605854555245454035
13121110109887
-0.21266-2.270161.729836-0.270162.672329-1.44269-3.44269-0.50019u=y -yajustat
35.2126630.2701630.2701630.2701625.3276715.4426915.4426910.50019y ajustat
3528323028141210y
76665332x
45
Exemplul multifactorial:
4.2 Verificarea semnificaþiei statistice a fiecãrui parametru estimat; testul t
Obiectivul verificãrii constã în aprecierea în sens statistic a mãrimii estimaþiei obþinute astfel încât sã se poatã afirma, în mod obiectiv, cã
respectiva estimaþie relevã ceva semnificativ, care nu se datoreazã întâmplãrii (erorii de sondaj) ºi, ca urmare, factorul al cãrui rol este cuantificat este realmente determinant pentru procesul analizat.
4.2.1 Principalele noþiuni specifice
Semnificaþie
= importanþã, relevanþã, deosebire marcantã a rezultatului estimãrii (cu privire la rolul unui factor) în raport cu ceea ce ar rezulta ca urmare a întâmplãrii. similar poate fi apreciatã abaterea dintre douã mãrimi de aceeaºi naturã (douã medii de selecþie, un nivel estimat ºi un nivel adevãrat, etc.) în sensul
0.2418370.247082-0.18704-0.37908-0.8580.3392910.0447940.326422
20.7581618.7529219.1870418.3790818.85817.6607115.9552116.67358
2119191818181617
2.82.22.52.42.62.12.12.4
3.53.33.23332.42.4
01.3316670.900169-0.57875-1.381460.23708-0.28401u
1614.6683314.0998314.5787513.3814610.7629210.28401y ajustat
16161514121110y
21.81.821.510.8z
2.52.22221.51.5v
0.2418370.247082-0.18704-0.37908-0.8580.3392910.0447940.326422
20.7581618.7529219.1870418.3790818.85817.6607115.9552116.67358
2119191818181617
2.82.22.52.42.62.12.12.4
3.53.33.23332.42.4
01.3316670.900169-0.57875-1.381460.23708-0.28401u
1614.6683314.0998314.5787513.3814610.7629210.28401y ajustat
16161514121110y
21.81.821.510.8z
2.52.22221.51.5v
46
aprecierii dacã abaterea este semnificativã, datoritã unei cauze relevante, sau este nesemnificativã, datoritã întâmplãrii.
Test statistic = procedeu ale cãrui etape conduc la o
concluzie cu privire la o ipotezã preformulatã (ipoteza nulã, care neagã semnificaþia) care poate fi confirmatã sau respinsã în baza unei repartiþii (normale, t, F, etc.) ºi a unei probabilitãþi de a greºi ( ) în ceea ce priveºte concluzia.
Nivel (prag) de semnificaþie
= probabilitate, de regulã, prestabilitã cu privire la riscul de a greºi în concluzia finalã. Astfel, acceptãm cã în 5% din cazuri (dacã
= 0,05) concluzia prin care se afirmã cã ipoteza nulã este falsã, poate fi greºitã (ceea ce înseamnã cã ipoteza nulã este corectã). Întrucât apelãm la datele unui eºantion este necesar sã
stabilim o limitã superioarã
(prag de semnificaþie) pânã la care acceptãm inerenta incertitudine, rãmânând un nivel de încredere rezonabil de mare ( 1 -
).
Interval de încredere = distanþã dintre 2 valori (notate z1 ºi z2, funcþii ale valorilor observate, care pot sã difere de la un eºantion la altul) în cadrul cãreia se plaseazã cu o probabilitate rezonabil de mare parametrul care formeazã obiectul estimãrii. Dacã un astfel de interval îl denumim bilateral, întrucât se extinde de o parte ºi de alta a unui nivel-pilot, intervalul nilateral se referã la distanþa dintre nivelul-pilot ºi una dintre limitele extreme (z1 sau z2).
Repartiþie statisticã
= mulþimea perechilor
ordonate de valori xi ºi pi, reprezentând, fiecare pereche,nivelul variabilei aleatoare (xi ) ºi probabilitatea (pi), pozitivã sau nulã de realizare a respectivului nivel, pi = 1.
2
47
Grade de libertate = coordonate independente în sensul de
valori liber alese pe care le poate înregistra o variabilã dacã este restricþionatã de condiþii ce pot fi prestabilite.
De exemplu, dependenþa unei variabile y de evoluþia a k
factori (independenþi între ei) conduce la pierderea unui numãr de posibilitãþi de a evolua
liber (egal cu numãrul factorilor), astfel cã
rãmân (n – k) grade de libertate (unde n = numãrul de cazuri din eºantionul de date).
Ipoteza statisticã
= presupunere cu privire la repartiþia urmatã de o variabilã sau cu privire la parametri ºi semnificaþia acestora.
Astfel de presupuneri urmeazã sã fie verificate aºa încât sã rezulte fie acceptarea ipotezei nule (H0), de tip negativist, fie acceptarea ipotezei alternative (H1) a confirmãrii supoziþiei iniþiale.
Nivel calculat / nivel tabelat = dacã nivelul calculat rezultã în urma aplicãrii, de cãtre cel interesat, a unei formule care, de regulã, genereazã valori comparabile cu cele specifice unei anumite repartiþii, nivelul tabelat rezultã în urma preluãrii dintr-un tabel, corespunzãtor repartiþiei,
nivel poziþionat la intersecþia pragului de semnificaþie acceptat ºi gradele de libertate.
4.2.2 Testul t
Întregul demers presupus de testul t se bazeazã pe prezumþia conform cãreia abaterile estimaþiei de la media sa care s-ar obþine în cazul repetãrii estimãrii pentru mai multe eºantioane de volum identic, urmeazã o repartiþie normalã.
Abaterea de la medie împãrþitã la abaterea medie pãtraticã
a aM ˆ
aMa ˆˆ
48
urmeazã, pentru eºantioane de volum mic (n < 30), repartiþia
Student. Se cautã o asemenea transformare a estimaþiei obþinute încât sã devinã comparabilã cu nivelul t – tabelat pentru (n–k) grade de libertate ºi un risc (alfa) apriori ales.
De regulã nu dispunem de mai multe eºantioane ci avem date pentru un singur eºantion. În acest caz considerãm abaterea estimaþiei în raport cu zero:
Relaþia de calcul, folosind notaþiile:
pentru estimaþia supusã verificãrii ºi pentru abaterea medie pãtraticã a estimaþiei, este urmãtoarea:
Rezultatul se comparã cu nivelul tabelat pentru un risc acceptat, de exemplu,
= 0.05 ºi un numãr de grade de libertate egal cu numãrul de cazuri (n), minus numãrul de parametri din model (k).
4.2.3 Etapele verificãrii
1. Stabilirea ipotezei nule (H0): estimaþia rezultatã nu diferã semnificativ de zero. 2. Eºantionul fiind mic, n < 30, se are în vedere repartiþia Student.
3. Se determinã t – calculat, conform relaþiei.
4. Se preia din tabel t – tabelat 5. Se comparã:
• dacã t–calculat < t–tabelat se confirmã (H0) • dacã t–calculat > t–tabelat se infirmã (H0).
Verificarea modelului unifactorial
0a
ja
ja
ja
jcalculat
at
ˆ
ˆ
49
În cazul modelului unifactorial abaterea medie pãtraticã rezultã astfel:
t- calculat pentru parametrul este 4,9425 / 0,228485 = 21,63. t- tabelat, pentru 15 – 2 = 13 grade de libertate ºi
= 0,05 este 2,16.
Se infirmã ipoteza nulã ºi se acceptã alternativa conform cãreia diferã semnificativ de zero, fiind un factor determinant.
Verificarea modelului multifactorial
Dispersia se înlocuieºte cu estimatorul ei s2(u), care se obþine astfel:
Pentru a calcula dispersiile parametrilor care apar în modelul multifactorial se înmulþesc elementele de pe diagonala matricei inverse X -1 cu s2(u), considerând factorii în succesiunea apariþiei lor în model. Abaterea medie pãtraticã este datã de estimaþia ei:
Modelul multifactorial este:
ubxay
8579,11
228485,0
2
2
2ˆ
2
2
ˆ
xx
x
n
xx
ua
ub
b
b
2u
kn
uus
22
jjj dusas 21ˆ
72,0518495,0
518495,0)315(:221939,6
221939,6
39457,28425,21046,4ˆ
2
2
us
us
u
zvy
50
Elementele de pe diagonala matricei X-1 sunt, în ordine: d11 = 1,16 d22 = 0,7693 d33 = 1,0036 de unde rezultã:
Se preia din tabelul repartiþiei Student valoarea lui t. Numãrul gradelor de libertate este:
n g l = n – k = 15 – 3 = 12 Riscul acceptat = 0,05
t 0,05; 12 = 2,179 Se comparã t-calculat cu t-tabelat. În cazul ambelor estimaþii
t-calculat > t-tabelat. Se infirmã
ipoteza nulã, a nesemnificaþiei ºi se acceptã
alternativa conform cãreia cei doi factori sunt determinanþi în studiul efectuat.
Observaþii
• Semnul fiecãrui parametru nu influenþeazã rezultatul comparaþiei dintre t-calculat ºi t-tabelat, întrucât în calculul raportului, estimaþia este în valoare absolutã, deci raportul este pozitiv; • În cazul eºantioanelor mari, n > 30, se poate apela la repartiþia normalã redusã, pentru care apare variabila z care va fi consideratã nivelul t-tabelat (numãrul gradelor de libertate nu mai reprezintã o coordonatã);
• Riscul notat cu
poate fi egal cu 0,05. dacã se doreºte o precizie mai mare, se poate alege o valoare mai micã pentru ,
3198,372128,0/39457,2ˆ
5,46315,0/8425,2ˆ
72128,000356,172,0ˆ
6315,07693,072,0)ˆ(
2
1
2
1
at
at
as
as
calc
calc
51
0,01 sau 0,001, sau, dacã se acceptã un risc mai mare, se poate opta pentru =0,1.
4.3 Verificarea semnificaþiei rolului ansamblului factorilor asupra variabilei efect
4.3.1 Testul F
Testul F urmãreºte verificarea semnificaþiei simultane a tuturor estimaþiilor obþinute pentru parametri.
Rezultatul verificãrii se referã la aprecierea pe ansamblu a modelului, considerat ca o reprezentare care descrie un mecanism relaþional complet diferit de ceea ce ar putea fi atribuit întâmplãrii.
Modelul de regresie descrie rolul factorilor determinanþi prin parametrii de regresie, iar efectul conjugat al factorilor determinanþi rezultã înlocuind parametrii cu estimãrile obþinute ºi atribuind valori factorilor.
Se obþin astfel valori ajustate:
Valorile ajustate se abat de la medie în mãsura în care factorii se abat la rândul lor de la medie, acþionând mai intens sau mai puþin intens.
Abaterile se datoreazã factorilor determinanþi incluºi în model.
Suma pãtratelor acestor abateri se noteazã cu SSR:
Un alt gen de abateri care pot interveni s-ar datora perturbaþiei, acþiunii factorilor reziduali, exprimaþi prin u.
Suma pãtratelor acestor abateri datorate întâmplãrii se noteazã cu SSU ºi reprezintã suma pãtratelor diferenþelor dintre
kk xaxaay ˆ...ˆˆˆ 110
y y
yy
2ˆ yySSR
y
52
valorile ajustate, generate de model ºi valorile empirice, reprezentate de datele numerice (y):
Este de aºteptat ca rolul factorilor sistematici (x1, x2,..., xk) sã fie net superior rolului factorilor perturbatori (u), aspect care poate fi verificat prin raportarea celor douã sume.
Se apeleazã la repartiþia raportului dispersiilor (repartiþia Snedecor), ceea ce implicã transformarea sumelor în dispersii ºi acceptarea unei probabilitãþi legate de riscul de a greºi în ceea ce priveºte concluzia.
Raportul dispersiilor se noteazã Fcalc, iar k reprezintã numãrul de parametri:
4.3.2 Etapele aplicãrii testului F
Se stabileºte ipoteza nulã, a nesemnificaþiei: disersia de la
numãrãtor nu se abate semnificativ de la dispersia de la numitor;
Se determinã F-calculat: SSR = 131,778 SSR/k-1 = 131,78/2 = 65,88902 SSU = 6,221939 SSU/n-k = 6,221939/12 = 0,518495 F – calculat = 65,88902/0,518495 = 127,0775
Se cautã în tabel: pentru = 0,01, k – 1 = 2 grade de libertate (coloanã),
n – k = 12 grade de libertate (linie), se gãseºte valoarea F – tabelat = 6,93
Se comparã Fcalc cu Ftab:
22 yyuSSU
knyy
kyy
knSSU
kSSRF
iii
ii
calc/ˆ
1/ˆ
/
1/2
2
53
Dacã Fcalc > Ftab, se infirmã
ipoteza nulã, ceea ce confirmã
modelul ca fiind valid;
Dacã Fcalc < Ftab, ipoteza nulã este confirmatã.
În cazul nostru, Fcalc = 127,0775, mai mare decât Ftab = 6,93.
Se poate afirma, cu un risc de a greºi de 1% cã estimaþiile sunt , în general, semnificativ diferite de zero, iar modelul în ansamblu este validat.
4.3.3 Coeficientul de determinaþie
Coeficientul de determinaþie exprimã ponderea rolului factorilor determinanþi din model în raport cu variaþia totalã a variabilei efect.
Se noteazã suma tuturor abaterilor SST, unde SST = SSR + SSU, iar
În exemplu, SST = 131,778 + 6,222 = 138 R2 = 131,778 / 138 = 0,9549,
adicã 95,49% din variaþia efectului este determinatã de cei doi factori.
Pentru comparaþii se recomandã varianta ajustatã a coeficientului de determinaþie:
În exemplu:
SST
SSU
SST
SSUSST
SST
SSRR 12
1/:/1ˆ 2 nSSTknSSUR
9473,0ˆ 2R
54
Capitolul 5
Verificarea confirmãrii ipotezelor privind datele, factorii ºi modelul
5.1 Ipoteze privind modelul ºi metoda de estimare 1. Datele sunt obþinute corect (fãrã erori sistematice de mãsurare) ºi în numãr suficient de mare (depãºind numãrul parametrilor), astfel încât soluþiile sã prezinte stabilitate;
2. Variabila factorialã (x) este nestochasticã ºi prezintã aceleaºi valori în eventualitatea repetãrii sondajului;
3. Factorul (x) prezintã variabilitate în ceea ce priveºte nivelurile înregistrate în cadrul unui eºantion de date (dispersia sa fiind un numãr pozitiv finit), astfel încât rolul factorului sã poatã fi pus în evidenþã;
4. Modelul de regresie este linar în raport cu parametrii; 5. Modelul de regresie este corect specificat în sensul alegerii funcþiei potrivite (liniare sau neliniare) ºi includerii factorilor determinanþi astfel încât gradul de determinare (R2) sã fie suficient de mare; 6. Variabila rezidualã este de medie zero ºi urmeazã o repartiþie normalã, M(u) = 0, 7. Variabila rezidualã prezintã o dispersie (împrãºtiere) egalã pentru diferitele valori xi, adicã este homoscedasticã;
8. Variabila rezidualã nu este corelatã cu variabila factorialã (x), astfel încât covarianþa dintre ui ºi xi este zero; 9. Variabila rezidualã nu este autocorelatã, Cov(ui, uj / xi, xj) = 0; 10. Factorii incluºi în model (varianta multifactorialã) sunt independenþi unii în raport cu ceilalþi, nefiind corelaþi între ei.
;,0 2Nu
55
Verificãrile cu privire la confirmarea ipotezelor pot oferi
explicaþii cu privire la motivele pentru care verificarea semnificaþiei (testul t, testul F) nu a condus la rezultatele aºteptate.
Dacã aprecierea modelului este pozitivã, confirmã din
perspectiva semnificaþiei ºi ipotezelor, se poate trece la etapa utilizãrii lui pentru analize, prognoze, simulãri.
Obstacolele de care se loveºte cercetarea econometricã pot fi redate astfel: • Multicoliniaritatea; • Autocorelarea (valorilor reziduale); • Lipsa datelor; • Timpul ºi banii cheltuiþi;
• Heteroscedasticitatea; • Unicitatea ecuaþiei ºi neidentificarea;
• Specificarea incompletã sau incorectã.
5.2 Date suficiente, neafectate de erori sistematice
5.2.1 Consideraþii asupra necesitãþii abordãrii problemei datelor
Modalitatea de obþinere a datelor nu îndeplineºte condiþiile unei observãri riguroase (din perspectiva modelãrii econometrice) similare celorde laborator. Înregistrãrile numerice la care avem acces au fost realizate în diverse scopuri (evidenþe financiar-contabile, raportãri statistice, anchete sociale) ºi în diverse conjuncturi (metodologii modificate în decursul timpului, întârzieri în consemnarea realizãrilor, durate inegale de activitate economicã, situaþii excepþionale);
Imposibilitatea obþinerii de date privind unele dintre variabilele modelului econometric sau absenþa unor înregistrãri pentru o parte dintre cazuri sau perioade;
56
Importanþa datelor, atât din perspectiva numãrului de cazuri,
cât ºi în ce priveºte calitatea mãsurãtorilor, pentru acurateþea soluþiilor. Este posibil ca existenþa unor date eronate, fie ºi pentru un singur caz, sã modifice estimãrile, sã schimbe rezultatele testelor de semnificaþie ºi, în final, sã punã sub semnul întrebãrii utilitatea modelului.
5.2.2 Verificarea ºi aprecierea datelor numerice
Existenþa de date care se referã indubitabil la variabila-efect, respectiv la fiecare dintre factorii incluºi în model. În cazul în care datele nu corespund acestui deziderat (nu existã sau nu pot fi procurate date suficiente pentru una dintre variabile), se recurge la variabila cea mai apropiatã ca sens ºi mod de a evolua (variabila reprezentant), în vederea evitãrii apariþiei unei zone neexplicate.
Controlul cantitãþii, în sensul aprecierii dacã numãrul da cazuri pentru care avem date este suficient de mare, iar pentru fiecarecaz datele sunt complete (existã înregistrarea privind yi, respectiv xi).
Dacã numãrul de cazuri este mult mai mic decât n = 15 (nivel apreciat ca satisfãcãtor, la limitã) urmeazã sã mai adãugãm cazuri sau sã înlocuim datele anuale cu date trimestriale sau lunare.
Dacã pentru unele cazuri (perioade din seria cronologicã, unitãþi din eºantion) datele nu sunt complete sau prezintã suspiciuni, procedãm la corecþii, dacã acestea pot fi fãcute, sau la
excluderea cazurilor respective, dacã aceasta nu conduce la un volum prea mic (n < 15) de cazuri.
Verificarea omogenitãþii sub aspectul unitãþii de mãsurã, definirii indicatorului ºi exprimãrii în preþuri constante (pentru exprimãri valorice). O astfel de verificare se referã la fiecare variabilã în parte, aºa încât pe întreg intervalul sau pentru întreg eºantionul variabila sã fie exprimatã unitar, sã rezulte în urma aceluiaºi mod de calcul.
57
Neglijarea verificãrii ipotezei privind corectitudinea datelor
poate conduce la urmãtoarele:
• Dacã eºantionul este prea mic, estimãrilepentru parametri sunt instabile (un alt eºantion ar putea oferi estimaþii complet diferite), iar factorii pot prezenta analogii (evoluþii paralele foarte asemãnãtoare), ceea ce poate afecta de asemenea calitatea estimaþiilor;
• Renunþarea la unele variabile din lipsã de date va sãrãci analiza ºi ar putea mãri gradul de nedeterminare sau distorsiona estimaþiile;
• Dacã, fie ºi pentru o variabilã, datele sunt exprimate într-o formã neomogenã sau prezintã erori sistematice, aceasta afecteazã grav soluþiile modelului.
5.3 Independenþa variabilelor factoriale din ecuaþia de regresie
Dacã între variabilele factoriale ale modelului existã asemãnãri frecvente în ceea ce priveºte evoluþia în timp sau în ceea ce priveºte modificãrilede la o unitate de observare la alta (familie, judeþ, firmã), se cosiderã cã ipoteza cu privire la independenþa variabilelor cauzale incluse în modelul de regresie este infirmatã.
Termenul de multicoliniaritate acoperã atât cazul existenþei în model a unui numãr de 2 factori coliniari (perfect sau parþial coliniari) cât ºi la cazul existenþei de legãturi intense între 3 sau mai multe variabile factoriale din ecuaþia respectivã.
Astfel de legãturi între variabilele explicative incluse în reprezentãri de forma y = a0 + a1x + a2z + a3k + u, pot fi expresii ale unei relaþii de cauzalitate (x determinã pe z, sau atât x cât ºi z depind intens de factorul w neinclus în model), pot reprezenta combinaþii liniare de forma
58
k = x + 2z, sau pot fi simple analogii în evoluþia înregistratã pe segmentul de n valori de care dispunem.
Toate aceste situaþii produc aceleaºi efecte dacã asemãnãrile sunt foarte intense: • estimaþiile obþinute pentru parametri pot fi deformate;
• imprecizia acestora creºte; • rezultatele testului t sunt distorsionate în direcþia nesemnificaþiei.
5.3.1 Semnale care atrag atenþia multicoliniaritãþii:
• În cazul utilizãrii unui model în care apar 2 factori, de forma:
y = a0 + a1x + a2z + u: – coeficientul de corelaþie calculat pentru factori (rxz) întrece, în valoare absolutã nivelul de 0,85 sau chiar de 0,9;
– reprezentarea graficã (diagrama împrãºtierii), privind exclusiv factorii, semnaleazã o suspectã ordonare a punctelor de coordonate xizi în jurul unei drepte.
În cazul în care apar mai mulþi factori:
– Coeficientul de determinaþie (R2) prezintã valori apropiate de 1 în condiþiile în care estimaþiile pentru parametri (una sau mai multe) nu trec testul t (nu diferã semnificativ de zero);
– Coeficientul de determinaþie (forma ajustatã) este inferior ca mãrime coeficienþilor de determinaþie pentru regresiile auxiliare.
Un semnal este dat ºi de determinantul matricei X, în sensul cã nivelul determinantului devine extrem de mic pe mãsurã ce gradul de coliniaritate între doi factori creºte (pentru coliniaritatea perfectã, determinantul este egal cu 0, ceea ce face imposibilã rezolvarea sistemului). În plus, valorile foarte mici ale determinantului conduc la valori foarte mari ale elementelor inversei, ceea ce face ca împrãºtierea valorilor estimate sã fie foarte mare, iar eficienþa estimatorului este afectatã.
59
5.3.2 Soluþii
• Dacã se pot suplimenta datele, mãrind astfel numãrul de cazuri în eºantion sau numãrul perioadelor în seriile cronologice, aceasta acþioneazã în direcþia creºterii mãrimii determiantului, mai ales dacã întâmplãtoarele analogii în evoluþia factorilor
se
atenueazã;
• Dacã în loc de date culese în timp se pot utiliza date în optica transversalã, atunci acestea ne aºteptãm sã fie mai puþin afectate de corelaþii între factori;
• Dacã se poate renunþa la unul dintre factorii care prezintã o intensã corelaþie cu un alt factor, atunci eliminarea acestui factor ar fi o soluþie. Condiþia este ca eliminarea factorului sã nu afecteze analiza printr-o pierdere de informaþie ºi nici gradul de determinare în mod semnificativ; • Dacã nu urmãrim în mod expres interpretarea parametrilor ci ne intereseazã doar atenuarea efectelor multicoliniaritãþii, atunci aºa numita regresie ridge poate fi o soluþie. Procedeul constã în adãugarea unui scalar elementelor de pe diagonala inversei ºi estimarea în urma unei astfel de modificãri.
5.4 Ipoteza privind liniaritatea modelului ºi corecta sa specificare
Liniaritatea relaþiei de dependenþã dintre variabila efect (y) ºi factorul determinant (x), respectiv combinaþia de modificãri simultane a factorilor (x1, x2, ..., xk), prezintã interes îndeosebi din perspectiva utilizãrii metodei celor mai mici
pãtrate în vederea estimãrii.
Adesea prin model liniar avem în vedere varianta transformatã a modelului neliniar în raport cu variabilele, utilizând logaritmii sau alte procedee.
60
5.4.1 Verificarea prezumþiei liniaritãþii
Pe cale graficã, în sensul cã diagrama împrãºtierii este
deseori elocventã, mai ales în cazul unifactorial. În cazul multifactorial (cu deosebire cazul bifactorial) se poate analiza dacã valorile y, respectiv x ce revin pe unitate de factor partener z urmeazã forma liniarã:
În urma constatãrii nivelului aproximativ constant al raportului modificãrilor
paralele de genul:
Deseori elaborarea modelului în mai multe variante face posibilã analiza comparativã din perspectiva coeficienþilor R2, testul t, testul F. Rezultatele analizei pot confirma sau infirma liniaritatea modelului în situaþii în care existã cel puþin 2 variante (una liniarã, alta neliniarã).
În ceea ce priveºte factorii luaþi în calcul, aceºtia trebuie sã îndeplineascã condiþii precum: influenþa fiecãruia sã fie determinantã pentru variabila efect, factorii sã nu prezinte analogii intense în evoluþie (multicoliniaritatea trebuie evitatã), sã prezinte variabilitate.
Verificarea incorectei specificãri din perspectiva factorilor atraºi în model are în vedere:
Coeficientul de determinaþie;
Semnificaþia în sensul testului t, dar ºi a testului F.
Un model econometric confirmã aºteptãrile în ceea ce priveºte funcþia liniarã adoptatã dacã gradul de determinare (R2) este apropiat de 1 (100%), testele de semnificaþie (t, F) confirmã
;z
xf
z
y
34
34
23
23
12
12
xx
yy
xx
yy
xx
yy
61
modelul, iar abaterile reziduale se comportã precum valorile unei variabile aleatoare.
5.5 Verificarea confirmãrii ipotezelor privind comportamentul variabilei reziduale
Ceea ce se aºteaptã de la valorile reziduale obþinute în final, dupã estimare, sub forma unor abateri (diferenþe)
constã în manifestarea lor aleatoare, fãrã a mai include nimic sistematic.
Modelul poate fi astfel apreciat ºi prin prisma modului în care reproduce datele empirice ale variabilei rezultative (y) astfel încât abaterile (erorile) sã se caracterizeze prin:
• Egala împrãºtiere a valorilor ui, în prealabil ordonate în raport cu mãrimea factorului ºi segmentate în douã sau mai multe grupe. Termenul grecesc homoskedastic (egal împrãºtiat), în limba românã homoscedastic, caracterizeazã în econometrie o egalã împrãºtiere, spre deosebire de heteroscedastic, care semnaleazã inegala împrãºtiere;
• Independenþa oricãrei valori ui în raport cu valoarea / valorile precedentã, astfel încât autocorelarea valorilor reziduale sã nu poatã fi constatatã;
• Repartiþia normalã, de medie zero a valorilor ui , ceea ce ar însemna cã valorile pozitive sau negative ale abaterilor mici sunt frecvent poziþionate în jurul mediei (M(u)=0), iar pe mãsurã ce se abat tot mai mult de la zero, frecvenþa lor scade.
5.5.1 Verificarea împrãºtierii valorilor variabilei reziduale (homoscedasticitatea / heteroscedasticitatea
Împrãºtierea este apreciatã numeric prin dispersie
întrucât M(u) = 0;
ii uyy ~
ii yy ˆ
n
uu
22
62
Calculul dispersiei implicã un ansamblu de valori, precum ºi
media acestora. Pentru a constata egala sau inegala împrãºtiere, este necesar sã formãm grupe egale de termeni în cadrul ºirului de valori u1,u2, ..., un;
Formarea grupelor (în numãr de 2, rareori 3 sau mai multe) este precedatã de o ordonare a valorilor ui în raport cu valorile în creºtere (sau descreºtere) ale factorului. De regulã, de la bun început, nivelurile xi sunt ordonate fie crescãtor, fie descrescãtor;
Problema comportamentului valorilor reziduale se complicã întrucâtva în situaþiile în care:
Existã mai mulþi factori;
Intereseazã ºi verificarea prezumþiei privind independenþa variabilei reziduale în raport cu evoluþia factorului (a oricãrui factor din model).
5.5.2 Testul GQ (Goldfeld, Quandt) Etapele testului: Ordonarea datelor yixi, astfel încât valorile xi sã fie ordonate
crescãtor;
Eliminarea unui numãr de valori centrale de cel mult c = n / 3, dacã seria de date include suficient de multe cazuri (etapa nu este obligatorie). Rezultã douã secþiuni de date ordonate în raport cu xi ºi situate spre extreme, de (n – c) / 2 cazuri fiecare;
Aplicarea MCMMP fiecãrei secþiuni separat în vederea estimãrii parametrilor, obþinerii de valori ajustate din prima secþiune, respectiv din cea de a doua secþiune, iar, în final, obþinerea de valori reziduale (ui) în fiecare dintre cele douã secþiuni;
Obþinerea mãrimii Fcalculat , numãrãtorul fiind pentru secþiunea de împrãºtiere maximã:
y~
)(:
)(:
2/
1
2
2/
1
2
lgu
lgu
Fcn
jj
cn
jj
calculat
63
unde g l = numãr grade de libertate
Compararea valorii calculate (Fcalculat) cu valoarea tabelatã de
coordonate
unde k = numãrul de parametri.
Dacã Fcalc < Ftab, prezumþia homoscedasticitãþii erorii (ui) este confirmatã;
Dacã Fcalc > Ftab, prezumþia homoscedasticitãþii erorii (ui) este infirmatã, se acceptã alternativa: eroarea (ui) este heteroscedasticã.
Dacã erorile (ui) diferã semnificativ ca împrãºtiere pe segmente de valori ordonate în raport cu mãrimea factorului, estimaþiile rezultate prin MCMMP pierd din precizie (heteroscedasticitatea afecteazã eficienþa estimatorului), iar prognozele sunt imprecise.
Remedii în vederea diminuãrii sau eliminãrii heteroscedasticitãþii
În situaþiile în are numãrul de cazuri este suficient de mare (n>30) se poate proceda la elaborarea de modele distincte pentru fiecare dintre segmentele de valori supuse testului. Transformarea valorilor yixi prin raportarea lor fie la xi, fie la
5.5.3 Prezumþia neautocorelãrii valorilor reziduale
Reprezentarea graficã poate sã semnaleze situaþii de posibilã dependenþã sau de independenþã a abaterilor.
Verificarea existenþei sau inexistenþei autocorelãrii erorilor (abaterilor sau valorilor reziduale) se poate obþine prin testul DW (Durbin-Watson).
Restricþiile aplicãrii testului
k
cnlg
2
,2
;2
, kcn
kcn
.2iu
64
• n > 15; • Existenþa de valori tabelate;
• Existenþa parametrului liber a0; • Relaþia liniarã dintre ui ºi nivelul imediat anterior ui-1.
Etapele testului DW • Stabilirea ipotezei nule (H0): valorile reziduale nu sunt autocorelate; • Obþinerea nivelului calculat:
• Aprecierea nivelului calculat în raport cu apropierea sa de valoarea 2:
Apropiat de 2 – cazul neautocorelãrii;
Apropiat de 0 sau de 4 – cazul autocorelãrii.
• Autocorelarea reziduurilor afecteazã eficienþa estimatorului MCMMP.
Metode de eliminare/atenuare a autocorelaþiei
• Înlocuirea valorilor yixi cu diferenþele de ordinul 1 calculate pentru fiecare variabilã în parte:
• Utilizarea de valori transformate, rezultate astfel:
unde r este coeficientul de autocorelaþie a erorii:
n
ii
n
iii
u
uuDW
1
2
2
21
iiii
iiii
xxxx
yyyy
1
1
1*
1*
iii
iii
rxxx
ryyy
65
• Adãugarea de cazuri suplimentare sau respecificarea modelului în sensul acceptãrii unei alte funcþii sau introducerii de noi factori dacã existã motive suplimentare de a recurge la astfel de variante ale modelului.
5.5.4 Variabila rezidualã urmeazã o repartiþie normalã de medie zero
Caracteristica variabilei reziduale de a evolua întâmplãtor se datoreazã acþiunii factorilor minori, accidentali, neincluºi în mod explicit în modelul econometric.
Abaterile valorilor empirice de la valorile generate de model ar trebui sã fie unele pozitive, altele negative, compensându-se reciproc, astfel încât media sã fie zero.
Predominanþa valorilor mici, apropiate de zero, ºi raritatea abaterilor mari ar trebui sã apropie repartiþia abaterilor de repartiþia unei variabile normal distribuite.
n
ii
n
iii
uu
u
uur
ii
1
2
21
1
66
Verificarea
• Se însumeazã erorile ºi se calculeazã media pentru a constata dacã media este zero
sau foarte apropiatã de zero;
• Se aplicã testul JB (Jarque ºi Bera).
Notaþii:
• S = coeficientul de asimetrie
• k = coeficientul de boltire
• Se calculeazã:
Nivelul obþinut pe baza acestei relaþii urmeazã asimptotic (pe mãsurã ce mãrimea eºantionului creºte) distribuþia cu douã grade de libertate.
În cazul în care corespondentul JB în tabelul distribuþiei (cel mai apropiat nivel pe rândul 2) se situeazã pe coloana
sau, mai bine (ceea ce implicã o probabilitate de 0,7, respectiv 0,8) se afirmã cã abaterile ui urmeazã o repartiþie normalã.
În situaþia în care nu se confirmã prezumþia conform cãreia abaterile ui urmeazã o repartiþie normalã, de medie egalã cu zero, rezultatele testului t ºi ale testului F sunt discutabile. Aceste teste se bazeazã pe prezumþia normalitãþii repartiþiei erorii în condiþiile unui eºantion suficient de mare.
Soluþia cea mai indicatã în astfel de situaþii este suplimentarea numãrului de cazuri.
u
MuMS 0
patratica medie abaterea
modulmedia
22
41
u
uunk
24
3
6
22 kSnJB
2
3,0 2,0
67
O verificare a datelor utilizate ar putea evidenþia fie valori
atipice, fie erori de calcul sau de observare care, prin eliminare, ar reduce numãrul de abateri mari, apropiindu-se de confirmarea prezumþiei.
68
Capitolul 6
Aplicarea modelului de regresie în analiza ºi prognoza economicã
6.1 Coordonatele analizei economice ºi analizei statistice
Rezultatele obþinute cu privire la parametrii modelului, dar ºi în ceea ce priveºte nivelul unor indicatori obþinuþi în urma parcurgerii etapei verificãrii sunt utili îndeosebi analizei economice, analizei statistice, precum ºi prognozei.
Analiza economicã beneficiazã îndeosebi de rezultatele estimãrii parametrilor de regresie.
Faptul cã o estimaþie ja (j = 1, 2, ...) semnaleazã în ce direcþie ºi în ce mãsurã se modificã variabila-efect (y) la o creºtere cu o unitate a factorului xj, în condiþiile în care ceilalþi factori incluºi în model sunt consideraþi constanþi, reprezintã o informaþie deosebit de utilã pentru economistul preocupat de analiza cauzelor care determinã un proces.
Ponderea în care factorii determinanþi introduºi în model explicã modificãrile variabilei-efect (exprimatã de indicatorul R2) constituie o informaþie utilã în analizã.
Din perspectiva statisticianului, de un interes aparte se bucurã rezultatele etapei de verificare. Testul F ºi mãsura în care Fcalc
depãºeºte nivelul tabelat dã informaþii referitoare la puterea de influenþã a factorilor.
O analizã performantã bazatã pe rezultatele regresiei multifactoriale presupune confirmarea unor aºteptãri privind:
• Semnificaþia atât pe ansamblu (în sensul testului F) cât ºi individual, privind fiecare parametru (testul t);
69
• Mãrimea coeficientului de determinaþie (R2>0,8); • Gradul de corelare existent între factori sã fie mic, astfel încât corelaþia, în valoare absolutã sã nu depãºeascã 0,85, iar variabilele factoriale sã nu fie dependente.
Analiza comparativã privind factorii sau variantele de model
se bazeazã pe indicatorii:
• Coeficienþii beta care permit clasificarea factorilor în raport cu importanþa acþiunii lor asupra variabilei-efect; • Coeficientul de determinaþie în varianta ajustatã, care poate constitui un reper în situaþii în care existã mai multe variante de model pentru a explica aceeaºi variabilã-efect. Se alege varianta cu 2R maxim; • Coeficientul menþionat prin simbolul AIC (criteriul Akayke) care oferã posibilitatea de a aprecia fiecare variantã de model prin prisma preciziei (apropierii valorilor ajustate de cele reale). Se opteazã pentru varianta pentru care AIC este minim. Se noteazã
cu k numãrul de factori.
6.2 Prognoza economicã bazatã pe modelul de regresie
Prognoza având la bazã rezultatele regresiei statistice are în vedere prezumþia menþinerii ºi în viitor a influenþei fiecãrui factor aºa cum este exprimatã în estimaþiile parametrilor de regresie pentru perioada la care se referã datele.
Se considerã cã valorile anticipate privind nivelul viitor al fiecãrui factor determinant (x’ ) nu provin dintr-un proces net diferit de datele folosite la estimare, iar anticiparea lui este corectã.
Prognoza rezultã în urma introducerii în
modelul specificat a estimaþiilor pentru parametri, iar pentru factori se iau în calcul
n
k
n
uAIC i
i 2ln
2
70
valorile anticipate (planificate, preconizate, rezultate din alte calcule de prognozã):
La fel cum valorile ajustate nu coincideau cu valorile reale
(empirice) y, existând abateri notate (u), se poate presupune cã nici prognozele nu vor coincide cu valorile înregistrate de y în viitor.
Eroarea de prognozã se noteazã cu e ºi este direct proporþionalã cu distanþa
la care se va situa nivelul anticipat (x’) al factorilor în raport cu nivelul lor mediu din perioada trecutã ºi invers proporþionalã cu numãrul de cazuri din etapa estimãrii.
6.3 Modele econometrice utilizate în domeniul cererii de bunuri ºi servicii
Prezumþii care stau la baza abordãrii econometrice a cererii • Orice formã statisticã sau economicã corectã de exprimare a legãturii dintre cererea de consum a populaþiei ºi factorii care o determinã poate fi redusã la o funcþie:
C = f(x1, x2, ..., xk) + u • Factorii care determinã consumul pot lua orice valoare realã pozitivã;
• Consumatorul (cumpãrãtorul) procedeazã, în general, într-un mod raþional, cãutând sã-ºi maximizeze beneficiul subiectiv, presupus de achiziþionarea produsului, investind cât mai puþin;
• Se poate afirma, îndeosebi pentru cazul cererii globale a populaþiei, cã funcþia de consum este omogenã de gradul n, este derivabilã, cu derivata I pozitivã, iar derivata a II-a negativã, (admiþând un maxim).
Factorii care determinã consumul sunt de o mare
varietate. În cele mai multe cazuri se considerã cererea (consumul) ca fiind funcþie de venit, precum ºi funcþie de preþ. Alãturi de aceste cauze
'ˆ...'ˆ'ˆˆ' 22110 kk xaxaxaay
71
trebuie avute în vedere ºi alte variabile factoriale, cum ar fi: tradiþia, reclama, înzestrarea, moda, sezonul etc., a cãror influenþã poate sã difere în raport cu produsul/serviciul, categoria de consumatori, starea generalã a economiei.
Produse de strictã necesitate (alimente obiºnuite, îmbrãcãminte)
C = cerere; PO = populaþie
Produse de uz curent
unde V = venit; P = preþ
, funcþia lui Konius
funcþia Hauthakker, unde:
CT = cheltuieli totale; MF = oferta de mãrfuri.
unde R =reclama; CR = concurenþa.
unde TM = temperatura.
Produse de uz îndelungat
unde Z = înzestrarea
ttt uCaPOaaC 1210
ttinlocuitortt uVaPaPaaC 3210
,logloglog
log
210
01
13210
MFaCTaaC
aVaVC
CaVaPOaaC
t
ttt
tt
tttt uCRaRaPOaaC 3210
tttt
ttt
t
t
tt
uTMaPOaaC
uV
Ca
V
V
V
VaaC
210
12
1
110 ...
ttttt uZaPaVaaC 3210
72
unde OF = oferta Pentru autoturisme:
unde Vn = venit net; I(p)t/0 = indice de preþuri;
RS = rata ºomajului.
Produse de lux
unde A = anotimpul (sezonul); OF = oferta.
Cererea la nivel macroeconomic (nivel global)
unde V = venitul
unde TX = taxe ºi impozite
Forma liniarã a funcþiilor, cât ºi prezenþa repetatã a unor factori (venit, preþ, numãrul populaþiei, cererea din perioada anterioarã) aratã cã existã invarianþi în acest domeniu.
O anumitã diversitate a reprezentãrilor este necesarã, datã fiind complexitatea domeniului cererii de mãrfuri.
Un factor deosebit de activ în acest domeniu este factorul psihologic.
ttttt uPOaOFaVaaC 3210
ttp
ttt uRSaIaVnaaC 30/210
tttt uAaOFaVaaC 3210
tt
t
t
t
t
t uV
Ca
V
Vaa
V
C
2
12
110
1
tttt uTXaPOaPO
VaaC 3210
73
6.4 Producþia, factorii determinanþi ºi funcþiile de producþie
Primele studii cantitativiste ale evoluþiei producþiei în raport
cu factorii determinanþi au început cu analize ale creºterii producþiei agricole în raport cu creºterea volumului de îngrãºãminte ºi a cantitãþii de precipitaþii.
Tot în agriculturã a fost elaborat studiul teoretic al autorilor Knut ºi Wicksel privind evoluþia producþiei funcþie de numãrul de muncitori, suprafaþa cultivatã, capitalul utilizat.
Cobb ºi Douglas (1928) au exprimat printr-o formulã dependenþa statisticã dintre venitul naþional (variabila efect) ºi factorii muncã ºi capital.
Era luat în calcul venitul naþional al SUA (y) în funcþie de cuantumul salariilor (exprimând valoric munca – M) ºi valoarea fondurilor fixe disponibile (exprimând capitalul – K) înregistrate în economia SUA pentru o perioadã de n ani.
Prin logaritmare se obþine:
unde: Modelul fiind liniar în raport cu parametrii, este posibilã
estimarea acestora prin MCMMP. Parametrii
ºi
reprezintã elasticitãþile parþiale ºi exprimã cu cât la sutã se modificã producþia (y) la o modificare cu 1% a unuia dintre factori, în condiþiile în care celãlalt factor este considerat constant.
Chenery H.B., Arow R.J. Minchas B.S. ª i Solow R.M. Generalizeazã funcþia de producþie Cobb Douglas ºi elaboreazã în 1961 funcþia CES, în care elasticitatea substituirii factorilor este consideratã constantã:
ueKAMy
uXXauKMAy 21lnlnlnlnKXMXAa ln,ln,ln 21
.1,1 unde 1
KMAy
74
6.4.1 Ipoteze ºi caracteristici în elaborarea ºi utilizarea funcþiilor de producþie în studiile economice
• Factorii care determinã producþia sunt nenegativi ºi, în mare parte, substituibili; • Procesul de producþie se desfãºoarã pe baza unei tehnologii care reduce la maxim consumul de factori ºi resurse; • Funcþia de producþie presupune un randament global nedescrescãtor;
• este omogenã de gradul I, ceea ce implicã o creºtere a producþiei în aceeaºi mãsurã cu creºterea factorilor: • Funcþia este derivabilã, având derivata I pozitivã, ceea ce face posibilã obþinerea cuantumului producþiei suplimentare la o creºtere cu o unitate a unuia dintre factori; • Derivata a doua este negativã, funcþia fiind concavã, adicã este conformã legii randamentului descrescãtor, în sensul cã, depãºind un punct de maxim, producþia înregistreazã creºteri din ce în ce mai mici la o creºtere constantã a factorilor. Menþinerea creºterii economice, în condiþiile unor resurse limitate, presupune creºterea continuã a eforturilor de cercetare ºtiinþificã, tehnologizare, organizare, calificare.
6.4.2 Indicatori utili analizei economice bazate pe funcþii de producþie
Norma de substituire Norma de substituire sau rata marginalã de substituire a
resurselor este utilã în vederea cunoaºterii raportului în care un factor poate fi înlocuit de un altul fãrã ca producþia sã se diminueze. Se calculeazã derivatele parþiale:
KfMfKMf
;,, KMmfmKmMf
dydKKMfdMKMf KM ,, ''
75
În ipoteza menþinerii producþiei la acelaºi nivel, adicã dy = 0,
rezultã:
Rezultatul aratã câte unitãþi de factor K (milioane lei fonduri fixe) pot înlocui o unitate de factor M.
Exemplu
Fie funcþia de producþie:
atunci:
unitãþi de capital sunt necesare pentru a substitui un salariat.
Elasticitatea Elasticitatea exprimã proporþia în care se modificã producþia
în cazul în care factorul creºte cu 1%.
Elasticitatea este datã de raportul dintre randamentul marginal al factorului xj ºi randamentul mediu.
Pentru funcþia Cobb-Douglas coeficienþii de elasticitate sunt:
M
K
K
yM
y
f
f
dM
dKS
K
M'
'
KMy 2,05,02
5,22,0
5,0
dM
dKS
jj
jjjj
jxy
x
y
dx
dyE
xx
y
x
y
x
x
y
yE
j
:
0pentru dar ;::/
76
În cazul funcþiei CES se obþine:
Randamentul marginal Randamentul marginal reprezintã indicatorul care oferã
posibilitatea de a cunoaºte pânã la ce nivel este recomandabil sã se mãreascã factorul xj astfel încât rezultatul (producþia) sã fie maxim.
Pentru o dependenþã multifactorialã se considerã cã toþi ceilalþi factori se menþin constanþi ca nivel.
Pentru a determina punctul extremal se egaleazã cu 0 derivata parþialã a funcþiei în raport cu xj :
Exemplu Funcþia care descrie dependenþa recoltei medii de porumb în
raport cu cantitatea de îngrãºãminte chimice este:
Pentru obþinerea randamentului marginal se egaleazã cu 0 derivata funcþiei:
y
KKAME
y
MKAME
Ky
My
1/
1/
M
KE
K
ME KyMy //
j
kj x
xxxfxRE
,...,, 21
2002827,02527,0539,3 xxy
694,44002827,02
2527,0
0002827,022527,0
x
xx
y
77
Rezultatul obþinut reprezintã nivelul optim al cantitãþii de
îngrãºãminte chimice care conduce la o producþie maximã în condiþiile în care ceilalþi factori, neluaþi în calcul, nu vor prezenta modificãri care sã perturbe semnificativ rezultatul (recolta). În cazul în care astfel de factori erau introduºi explicit în funcþia de producþie, nivelul lor ar fi fost considerat constant.
O situaþie specialã o reprezintã cazul când factorii sunt legaþi printr-o relaþie restrictivã, urmare a limitãrii disponibilitãþii, capacitãþile de producþie, etc.
În astfel de cazuri se apeleazã la metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Exemplu Se considerã performanþa calitativã ca funcþie de îmbinarea a
douã resurse F ºi G astfel: y = 2 logF + 4 logG În cazul în care preþurile resurselor sunt: pF = 4 ºi pG = 12, iar
bugetul nu poate depãºi 100 u.m., adicã 4F + 12G = 100, se formeazã funcþia auxiliarã:
y(m) = 2 logF + 4 logG + m(4F + 12G – 100) Se egaleazã cu 0 derivatele parþiale obþinute în raport cu F, G
ºi multiplicatorul m ºi se obþine un sistem de 3 ecuaþii cu 3 necunoscute. Soluþia este F = 8,3; G = 5,5 ºi m = - 1,9.
Aplicaþiile concrete ale funcþiilor de producþie în studiul evoluþiei variabilelor macroeconomice, ca ºi în analiza activitãþii întreprinderilor, au scos în evidenþã unele aspecte concrete care prezintã un interes deosebit: • În ceea ce priveºte datele despre rezultate ºi factori, se recomandã utilizarea unor serii suficient de lungi privind perioade de stabilitate economicã;
• În mod frecvent sunt utilizate valori procentuale, indici cu bazã fixã;
78
• Când se urmãreºte evitarea multicoliniaritãþii se apeleazã la transformãri de genul:
• Funcþiile neliniare fac necesarã parcurgerea etapei de liniarizare, dupã care se poate aplica MCMMP pentru estimarea parametrilor; • În ceea ce priveºte domeniile din economie în care rezultatele obþinute prin utilizarea funcþiilor de producþie au fost remarcabile, se menþioneazã cã îndeosebi la nivel de ramurã soluþiile obþinute au fost deosebit de utile. Aceasta ºi pentru cã datele au fost accesibile, iar rezultatele mai uºor de interpretat. Îndeosebi calculele de eficienþã în agriculturã au beneficiat de pe urma acestor reprezentãri.
6.5 Relaþii financiar
- bancare ºi reprezentarea lor prin ecuaþii
Existenþa ºi rolul banilor în economie, precum ºi problemele care þin de echilibrul bugetar, dar ºi de politicile economice, genereazã o serie de relaþii de influenþã care pot fi analizate ºi prognozate cu ajutorul reprezentãrilor econometrice.
Realizarea de bunuri ºi servicii, ca ºi tranzacþiile care au loc au un corespondent în forma bãneascã.
Este necesarã determinarea cantitãþii de bani în circulaþie, stabilirea vitezei de circulaþie a banilor, rolul ºi cauzele inflaþiei, influenþarea fluxurilor de venituri spre buget, stabilirea rolului cheltuielilor bugetare, a injecþiei
de bani în economie, etc. Banii înºiºi sunt generatori de relaþii precum cele legate de costul împrumutului, investirea capitalului, cursul de schimb, etc.
; , 1'1'
t
ttt
t
ttt x
xxx
y
yyy
79
Teoria economicã se referã explicit la o serie de relaþii de
cauzalitate între astfel de variabile, iar politicile economice (politica monetarã, politica fiscalã, politica cursului de schimb) se bazeazã pe cunoaºterea ºi controlul unor astfel de dependenþe.
6.5.1 Masa monetarã ºi factorii care determinã cererea de bani
În ceea ce priveºte oferta ºi cererea de bani, Mayes considerã cã volumul tranzacþiilor, precauþia, scopurile speculative, inflaþia reprezintã factorii care trebuie incluºi în model.
Cererea de bani = f(modificarea veniturilor, rata dobânzii din perioada curentã, precum ºi din perioada precedentã)
Cererea de bani a populaþiei (Maddala):
CBP = 3,9 + 3438 PIB + 0,8 Rata dobânzii + + 0,8 Inflaþia + u
Variantã neliniarã (Chiarini):
CBP/Indicele de preþuri = a(Venit / Rata dobânzii )
Oferta de bani reprezentatã în mod frecvent de masa de bani în sens restrâns (M1) este redatã în corespondenþã cu creºterea economicã ºi rata dobânzii.
Modelul Brunner-Meltzer: M1 = a + b Creºterea rezervelor bãncilor comerciale la banca
centralã + c Numerar în circulaþie + d Depozite la termen +
+ e Rezerve speciale + u
6.5.2 Rata dobânzii ºi investiþiile
Rata dobânzii ºi rolul ei asupra investiþiilor apare în reprezentãri de forma (Wharton, modelul italian):
80
Rata dob.(t)= f(Rata scontului(t)/Rata dob. titlurilor de valoaret(t-
1),Rata dob.(t-1))
Modelul FRB St. Louis: Rata dob. pe termen lung = f(Masa monetarã, Rata dob. din
perioada ant., Producþia(t-1))
Rata dobânzii reprezintã de asemenea un factor care apare în funcþiile ce privesc investiþiile. Modelul Klein:
Investiþii = a + b PNB + c Rata dobânzii nominale + d Stocul de capital +u
6.5.3 Impozitele ºi transferurile
Impozitele ºi transferurile sunt influenþate în mod determinant de venituri (salarii, profit) ºi de intensitatea activitãþilor specifice economiei reale (producþie, export, import). Klein utilizeazã relaþiile:
Impozit populaþie = a + b(Venituri populaþie din sector privat + +Venituri populaþie din sector public) + u
Impozit pe profit = a + b Vânzãri + c Export + d Import + +eAmortizãri + u
Fiscalitatea determinã evoluþia unor variabile economice, ceea ce face ca variabila impozit sã fie regãsitã în postura de factor, fie în mod explicit, fie ca element de formare a venitului disponibil sau, în general, a realizãrilor nete exprimate valoric. De
exemplu (Chiarini): Solicitãri bãneºti pentru investiþii = a + b (Profit – Impozite) +
+cTrend + d Impozite indirecte + u
Transferurile bugetare sunt dependente de rata ºomajului, inflaþie, salariul minimal. De exemplu (Maddala):
81
Transfer plãþi = f(Populaþie, Rata ºomajului, Indicele
de preþuri,
PNB per capita)
6.5.4 Preþurile ºi costurile
Factorii determinanþi pentru evoluþia preþurilor sunt: salariile,
preþul importului, impozitele indirecte, oferta.
Exemple de funcþii de preþuri:
Preþ = a + b Salarii + c Indicele preþurilor de import + d Impozite + u
Modelul FRB St. Louis: Indice de preþuri = 2,05 + 0,8 Consum în perioada anterioarã +
+1,01 Inflaþie anticipatã + u
Costurile sunt considerate ca funcþie de condiþiile specifice de activitate (grad de epuizare a zãcãmântului, cota
de piaþã a produsului), dar ºi funcþie de factorii comuni precum: salariul mediu, evoluþia preþurilor la import, puterea sindicatelor în negocierea salariilor.
În marile modele, alãturi de ecuaþiile care formeazã secþiunea economiei reale, în sensul cã se referã la consum, producþie, investiþii, export, se întâlnesc ºi ecuaþiile care se referã la secþiunea preþuri-salarii ºi cele care se referã la relaþiile de naturã financiar-bancarã din economie.
82
Capitolul 7
Evoluþia proceselor economice în decursul timpului
7.1 Problema tendinþei generale
Problema evoluþiei proceselor economice în timp intereseazã datoritã urmãtoarelor:
• Mãsurarea rolului unor factori calitativi care îºi desfãºoarã acþiunea în decursul timpului (progresul tehnic, acumulãrile de bunuri, procesele de învãþare) poate fi abordatã luând în calcul variabila timp privitã ca un ºir de numere în progresie aritmeticã;
• Acþiunea unor cauze care nu afecteazã instantaneu variabila-efect, ci dupã un interval de timp (lag) mai mult sau mai puþin îndelungat. De aici interesul pentru cunoaºterea distanþei în timp la care se manifestã influenþa factorilor, intervalul dintre evoluþia unor variabile-semnal (variabile precursoare) ºi modificarea variabilei-efect, întârzierea la care apar implicaþiile economice generate de mãsurile guvernamentale;
• Evidenþierea invarianþilor (tendinþa evolutivã, oscilaþiile sistematice) în sensul mãsurãrii intensitãþii acestora ºi modelãrii rolului lor în evoluþia viitoare a procesului economic.
7.2 Noþiuni specifice analizei seriilor cronologice
Seria cronologicã
(de timp, dinamicã) reprezintã o
secvenþã de niveluri ordonate în raport cu succesiunea perioadelor (momentelor de timp). Nivelurile se noteazã cu yt, t = 1,2, ..., n.
83
Analiza seriilor cronologice (engl. TSA – time series
analysis) este o metodã generalã de caracterizare a seriei cronologice din perspectiva componentelor sistematice sau aleatoare în vederea mãsurãrii intensitãþii ºi continuitãþii lor, astfel încât procesul analizat din perspectiva temporalã sã devinã predictibil. Analiza recurge la metode specifice: medii mobile, indice de sezonalitate, modele stochastice.
Cronograma este reprezentarea graficã destinatã descrierii evoluþiei unui fenomen în decursul timpului. Se utilizeazã unsistem de axe rectangulare, axa orizontalã fiind pentru evoluþia timpului (variabila independentã), reprezentat ca o succesiune de perioade/momente ordonate, iar axa verticalã este destinatã mãsurãrii procesului economic reprezentat.
Tendinþa generalã
(trend) este evoluþia în timp a fenomenului analizat exprimatã
într-o formã stilizatã care reþine aspectul general, de creºtere, respectiv de descreºtere, neafectat de abaterile temporare.
Sezonalitatea este evoluþia manifestatã prin oscilaþii repetabile ca sens ºi amploare, fie în jurul tendinþei, fie în jurul unui nivel mediu, urmare a unor factori care revin periodic la intervale mai mici de 1 an.
Lag este o întârziere exprimatã în unitãþi de timp, între modificarea variabilei cauzale ºi manifestarea efectului.
7.3 Modelul liniar unifactorial ºi calculul tendinþei generale
Reprezentarea evoluþiei în decursul timpului a unei variabile economice este seria cronologicã, sub forma unui tabel cu date ºi cea graficã (cronograma).
84
Anul 2007 2008 2009 2010
trim. I II III IV I II III IV I II III IV I
yt 2 3 7 4 4 5 8 8 7 10 10 12 13
t -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Atât datele din tabel cât ºi reprezentarea lor graficã evidenþiazã faptul cã, pe mãsurã ce trece timpul, amploarea fenomenului, în general, creºte. În alte situaþii fenomenul descreºte în intensitate în decursul timpului. Acestea sunt cele douã tendinþe de bazã.
Variabila independentã
este timpul, notatã cu t, ºi exprimatã în unitãþi de timp, de perioadã egalã, prezentând o succesiune ordonatã pe scara timpului.
Variabila dependentã, yt este variabila economicã
a cãrei evoluþie se studiazã.
0
2
4
6
8
10
12
14
I II III IV I II III IV I II III IV I
85
Abaterile, influenþele perturbatoare asupra tendinþei se
noteazã cu ut. Modelul devine:
yt = a + bt + ut
Timpul creºte cu un spor constant egal cu 1 (o lunã, un trimestru, un an), astfel încât exprimarea sa numericã poate fi reprezentatã de ºirul numerelor naturale
t = 1, 2, ..., n, dar ºi de ºirul t = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... (n impar) sau t = ...,-2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; ... (n par) astfel încât t = 0. În vederea estimãrii parametrilor a, b din modelul yt = a + bt + ut, se aplicã metoda celor mai mici pãtrate, ceea ce implicã
u2 = minim. În situaþia în care t = 0, sistemul de ecuaþii normale se simplificã ºi se obþine estimarea parametrilor:
Dacã se atribuie timpului valori în afara celor n unitãþi sau perioade pentru care avem date, se pot obþine pe baza modelului, în urma estimãrii, niveluri extrapolate ale tendinþei.
Acestea pot fi considerate drept predicþii pentru procesul analizat (y) dacã se acceptã continuitatea condiþiilor care au imprimat tendinþa procesului.
Exemplu • Se exemplificã determinarea ºi extrapolarea tendinþei generale pe baza datelor anterioare. • Se au în vedere urmãtoarele:
• aspectul general de tip liniar al evoluþiei descrise de cronogramã;
• existenþa unui numãr impar de trimestre;
• calculul produselor y t, t2 ºi obþinerea sumelor y; yt; t2.
2ˆ ˆ
t
tyb
n
ya
86
Anul
2007 2008 2009 2010
Sume
trim.
I II III IV I II III
IV
I II III
IV
I
yt
2 3 7 4 4 5 8 8 7 10
10
12
13 93
t -6 -5 -4 -3 -2
-1
0 1 2 3 4 5 6 0
t2 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16
25
36 182
yt -12
-15
-28
-12
-8
-5
0 8 14
30
40
60
78 150 Se obþin estimaþiile:
iar tendinþa:
Valori extrapolate privind tendinþa:
Observaþii
• Nivelul mediu exprimat de ordonata la origine este de 7,1538 pe trimestru;
• Panta exprimatã de b = 0,824 indicã o creºtere (fiind pozitivã) medie trimestrialã de 0,824;
• Extrapolãrile pot fi considerate valori aºteptate în viitor dacã prezenþa altor componente sistematice (sezonalitate, ciclicitate) este exclusã, iar schimbãri majore ale condiþiilor din trecut nu intervin.
824,0ˆ
1538,7ˆ
b
a
ty 824,01538,7~
2010 IV trim.5698,14~2010 III trim.7458,13~2010 II trim.9212,12~
9
8
7
t
t
t
y
y
y
87
7.4 Clasificare a seriilor cronologice în raport cu existenþa sau inexistenþa tendinþei generale
• Seria staþionarã
– caracterizatã prin oscilaþii, mai mult sau
mai puþin întâmplãtoare, ca mãrime ºi direcþie, în jurul unui nivel de referinþã, media. O serie staþionarã este rezultatul unui proces stochastic staþionar pentru care media ºi dispersia sunt constante, indiferent de momentul de la care începe seria.
• Seria nestaþionarã
– care prezintã tendinþã de creºtere sau de scãdere, ceea ce face ca media valorilor yt sã difere, funcþie de momentul de început al seriei. Tendinþa specificã seriei nestaþionare poate fi:
• de tip determinist – fiind invariabilã pe un interval mare de timp, atât ca direcþie câtºi ca pantã. O astfel de serie este uºor de prevãzut, valorile extrapolate satisfac din perspectiva preciziei;
• de tip stochastic- în sensul cã pe segmente de timp, dispuse în succesiune, poate prezenta unele modificãri, îndeosebi în ce priveºte panta.
În modelare se urmãreºte izolarea tendinþei generale în vederea analizei fluctuaþiilor sistematice (sezonalitatea, analiza spectralã) sau în vederea analizei propagãrii abaterilor de la tendinþã (modele stochastice de prognozã).
În raport cu modalitatea recomandatã în vederea eliminãrii tendinþei, se deosebesc:
• Seria nestaþionarã de tip T.S.P. (tred stationary process) pentru care trendul se recomandã sã fie eliminat prin scãdere
sau împãrþire
ceea ce ar conduce la seria staþionarã yt ; • Seria nestaþionarã de tip D.S.P. (difference stationary
process) pentru care trendul se eliminã prin calculul diferenþelor de ordin 1: sau 2.
ttt yyY ~ttt yyY ~/
tttt yyyY 1
88
7.5 Dependeþe în economie manifestate în mod sincron sau cu decalaje în timp
7.5.1 Seria integratã, serii cointegrate privind procese economice evolutive
Seria integratã
este o serie care poate fi redatã prin pãrþi componente care pot recompune seria originalã prin însumare.
Seria yt care urmeazã un trend liniar, prin calculul diferenþelor de ordinul 1 devine staþionarã. Este consideratã serie integratã de ordinul I (I(1)).
Readucerea ºirului termenilor yt la forma originalã implicã o însumare a componentelor:
Este posibil sã se constate ºi alte ordine de integrare decât 1:
• serie integratã ordinul zero (I(0)) – seria staþionarã;
• serie integratã de ordinul doi (I(2)) – presupune ca ºirul valorilor yt sã ajungã la starea de a fi staþionar dupã transformãri care implicã determinarea diferenþelor de ordinul doi.
Exemple Cazul 1 yt : 2; 3; 2; 3; 2; 2; 3; 2; 3 întrucât este staþionarã este consideratã
integratã de ordinul zero (I(0)) ; Cazul 2 yt : 20; 22; 23; 25; 27; 27; 30; 32 întrucât prezintã tendinþã care
poate fi eliminatã prin diferenþe de ordinul 1, seria este integratã de ordinul 1 (I(1)): yt : 22-20=2; 23-22=1; 2; 2; 0; 3; 2
Cazul 3
1,...,1,1 ntyyyY tttt
n
n
tt yYyyYYyyYy
1
113211211 ;...;;
89
yt : 8; 9; 12; 14; 16; 19; 25; 33; 43 întrucât pentru a fi transformatã
în serie staþionarã este necesar calculul diferenþelor de ordinul 2, adicã într-o primã fazã:
yt : 9-8=1; 12-9=3; 2; 2; 3; 6; 8; 10,
iar în faza a doua: (2)yt : yt+1 - yt = 3-1=2; 2-3=-1; 0; 1; 3; 2; 2
se considerã seria ca fiind integratã de ordinul 2.
Serii cointegrate sunt considerate acele serii cronologice care, pe lângã faptul cã sunt serii integrate de acelaºi ordin, admit o combinaþie liniarã care este integratã de ordin zero, sau, în orice caz, este integratã de ordin mai mic decât ordinul de integrare al seriilor iniþiale.
Exemplu Fie seriile: yt : 1; 2; 3; 4; 5; 6 yt : 1; 1; 1; 1; 1 xt : 8; 10; 12; 14; 16; 18 xt : 2; 2; 2; 2; 2 ambele integrate de ordinul 1. Combinaþia liniarã:
zt = 2yt + (1 – 2)xt este o serie integratã de ordin zero:
zt : - 6; - 6; - 6; - 6; - 6; - 6 zt = 0 Seriile yt, xt sunt cointegrate de ordin(1,0), notate CI(1,0).
Din perspectiva econometriei, seriile cointegrate conduc la o analizã de regresie de calitate, în sensul cã estimatorii sunt consistenþi, iar testele t ºi F sunt performante.
Din perspectiva analizei statistice ºi economice, seriile cronologice cointegrate semnaleazã o stare de echilibru pe termen lung în ceea ce priveºte stilul de a evolua în timp. Astfel de serii trãdeazã o relaþie de influenþã reciprocã, evolueazã în acelaºi ritm.
90
7.6 Modele dinamice destinate includerii efectelor decalate în timp
Efectul celor mai multe dintre impulsurile date economiei prin intermediul factorilor exogeni se resimte dupã trecerea unui interval de timp.
Motive care provoacã întârzieri în manifestarea acþiunii unui factor pot fi: • motive de naturã psihologicã: obiceiurile, inerþia, teama. De exemplu, o creºtere bruscã a venitului nu determinã o modificare totalã a consumului, pe de o parte datoritã obiºnuinþelor ºi gusturilor încetãþenite, iar pe de altã parte temerilor cã aceasta nu va dura; • motive de naturã tehnologicã: adaptarea liniilor de fabricaþie, reconversia forþei de muncã, fac ca un impuls privind capitalul sau mâna de lucru sã producã un impuls care se va manifesta pregnant dupã un timp; • motive de ordin instituþional – legate îndeosebi de obligaþiile contractuale (care condiþioneazã aprovizionarea, livrarea, încasarea drepturilor, încasarea dobânzii pentru depozite la termen) au, de regulã, darul de a întârzia schimbarea în raport cu modificarea rapidã a unor condiþii.
În raport cu durata de aºteptare a efectului, întârzierile pot fi: • de duratã scurtã, de regulã mai micã de 1 an (intensificarea reclamei, vânzãrile; stimulentele materiale ºi producþia; creºterea depunerilor ºi creºterea veniturilor din dobânzi; creºterea inflaþiei ºi accelerarea circuitului banilor); • de duratã medie, între 1-3 ani (modernizarea tehnologiei ºi producþia; modificãri de legislaþie ºi comportamentul economic; îmbunãtãþirea calitãþii produsului ºi creºterea vânzãrilor; industrializarea ºi calitatea mediului);
91
• de lungã duratã (investiþiile în transporturi ºi rentabilizarea transporturilor; dezvoltarea învãþãmântului ºicreºterea productivitãþii ºi calitãþii activitãþilor).
Pentru a evidenþia efectul apãrut cu
întârziere de 1, 2, ...
perioade, se foloseºte termenul lag, iar reprezentãrile care includ factori cu efect întârziat sunt considerate modele lag sau modele dinamice.
Problemele de mãsurare care apar în specificarea ºi utilizarea modelului lag în analiza ºi prognoza economicã sunt:
• stabilirea unitãþii de timp la care se referã fiecare nivel al variabilelor modelului; • delimitarea întârzierii apariþiei efectului în urma modificãrii cauzei; • estimarea parametrilor.
7.6.1 Stabilirea unitãþii de timp
Stabilirea unitãþii de timp cãreia îi corespunde un nivel yt
presupune alegerea între posibilitãþi de a obþine date anuale, trimestriale, lunare, sãptãmânale, eventual cincinale sau decenale.
O unitate de timp prea mare face inaccesibilã depistarea de influenþe cu întârzieri de durate scurte, iar alegerea unei nitãþi prea mici poate provoca dificultãþi pentru obþinerea datelorsau delimitarea întârzierilor de duratã lungã.
Opþiunea pentru o anumitã unitate de timp trebuie sã se bazeze pe particularitãþile fenomenului, obiectivele demersului econometric ºi pe posibilitãþile existente de a obþine date privind unitatea de timp consideratã revelatoare.
Delimitarea întârzierii apariþiei efectului în urma modificãrii cauzei
92
Cronograma privind evoluþia variabilei cauzale, suprapusã
cronogramei variabilei efect, poate pune în evidenþã (prin simpla deplasare a uneia pe axa timpului) o analogie care apare dupã una sau mai multe unitãþi de timp.
Un procedeu bazat pe sensibilizarea coeficientului de
determinaþie (varianta ajustatã) prin introducerea unui factor suplimentar, în sensul de creºtere cu încã o perioadã a întârzierii de la care se simte efectul presupune urmãtoarele etape:
• prestabilirea unui interval rezonabil ca mãrime dupã trecerea cãruia factorul numai poate exercita practic nici o influenþã notabilã asupra variabilei efect;
• se procedeazã la estimarea parametrilor, urmatã de calculul coeficientului de determinaþie 2R pentru cele k+1 ecuaþii (se presupune cã dupã k+1 perioade de timp factorul nu mai are efect):
În final se constatã pentru care dintre ecuaþii s-a obþinut cel mai mare nivel al coeficientului de determinaþie (ceea ce corespunde variantei cu cea mai micã dispersie a valorilor reziduale) ºi aceastã ecuaþie va fi reþinutã în vederea analizei ºi prognozei.
7.6.2 Estimarea parametrilor
În ceea ce priveºte parametrii modelelor cu efect întârziat, aceºtia sunt variabili ca numãr în raport cu tipul de model rezultat în urma specificãrii.
Tipuri de modele
tktkttt
ttt
tt
uxaxaxaxabty
uxaxabty
uxabty
...
....................................
22110
110
0
93
Modele unifactoriale în care efectul se simte dupã o întârziere
de o unitate de timp:
unde y poate fi: productivitate, ofertã, recoltã, iar x poate reprezenta: utilaje, cerere, umiditatea solului.
Modele autoregresive în care întârzierea este distribuitã pe mai multe unitãþi de timp:
unde y reprezintã consumul sau acumulãrile sau profitul.
Modele mixte în care variabilele cauzale, cu sau fãrã efect întârziat pot fi de naturã exogenã (x) sau autocorelate (yt-1):
unde y poate fi cererea sau calitatea, respectiv x poate fi venitul sau utilarea.
Modele în care variabila factorialã (x) îºi transmite efectul în mod treptat, atât în perioada t cât ºi pe parcursul unui numãr finit de perioade de întârziere (lag distribuit sau întârzieri eºalonate):
unde y – producþia, x – investiþiile;
y – inflaþia, x – creºterea ofertei de bani; y – mãrimea depozitului, x – dobânda cu capitalizare.
Între variantele modelului cu lag distribuit cel mai frecvent apar în studiile aplicative urmãtoarele douã reprezentãri:
a) varianta descreºterii în timp a efectului generat de modificarea factorului:
unde k este constantã subunitarã;
ttt uxaay 110
tttt uyayaay 22110
ttttt uyaxaxaay 131210
tttttt uxaxaxaxaay 34231210
ttttt uxkkxxaay ...22
110
94
b) varianta creºterii treptate a efectului urmatã de o descreºtere
pânã la anulare:
7.7 Autodeterminarea proceselor economice în timp; modelele stochastice de tip ARMA
7.7.1 Considerente economice ºi statistice pe care se bazeazã modelul ARMA
Seria cronologicã stocheazã suficientã informaþie încât sã facã posibilã prognoza fãrã sã fie strict necesarã cunoaºterea evoluþiei viitoare a factorilor determinanþi pentru procesul urmãrit în timp.
Modelul stochastic de prognozã presupune eliminarea tendinþei generale din seria de date, dar aceasta nu înseamnã cã ar trebui sã fie neglijatã, ci se urmãreºte obþinerea unei serii staþionare, utile predicþiei.
Autodeterminarea este înþeleasã în urmãtoarele sensuri:
1. Autodeterminare ca manifestare a unui anumit grad de dependenþã în raport cu propriile realizãri anterioare, urmare a unei particularitãþi a evoluþiilor din economie de a menþine un proiect odatã început, dar ºi de a repeta un comportament devenit tradiþie.
Exemple • În comerþul exterior, intrarea pe o piaþã externã are drept
urmare dezvoltarea exportului pe acea piaþã cel puþin 2-3
kjjj
tktkttt
bbbbb
uxbxbxbay
......
...
121
22110
95
perioade succesive, dupã care poate urma o stagnare, urmatã de perioade de creºtere sau descreºtere.
• Pe piaþa valutarã, o apreciere a monedei se menþine, de regulã, mai multe zile în ºir, dupã care poate fi observatã o perioadã de recul.
• În domeniul producþiei, o reutilare a sectoarelor productive
sau o pierdere de pieþe de desfacere se reflectã în date, prin valori succesive care depind una de alta. Valorile ºirului staþionar se succed înregistrând, pentru un interval oarecare, semnul plus (primul caz), respectiv minus.
• Pe piaþa de capital pot fi constatate valori în alternanþã de semn mai ales pe o piaþã volatilã într-un interval dat.
Un astfel de comportament al evoluþiei în timp, caracterizat prin legãturi cu ceea ce s-a realizat în trecut, poate fi reprezentat de un model autoregresiv (AR) de forma:
2. Autodeterminarea sub formã de acþiuni compensatorii în vederea contracarãrii unor ingerinþe din afara sistemului.
Exemple • Absenþa temporarãa unui produs solicitat pe piaþã are drept
urmare o vânzare în exces în perioadele urmãtoare. • Declanºarea unei greve care diminueazã producþia într-o
perioadã declanºeazã o creºtere a producþiei în perioadele urmãtoare, în vederea compensãrii stagnãrii acesteia ºi realizãrii obligaþiilor contractuale.
• O acþiune speculativã de amploare la bursã poate declanºa o abatere semnificativã a cotaþiei dincolo de culoarul fluctuaþiilor normale. Ea va fi foarte probabil urmatã de o abatere în sens contrar, un fel de corecþie, în vederea situãrii în jurul nivelului de echilibru.
tptpttt uyayayaay ...22110
96
În reprezentãrile formale specifice modelelor stochastice de
prognozã, astfel de manifestãri reparatorii sunt redate de modelul de medie mobilã (MA) (movie average). Se considerã cã nivelul procesului din perioada t depinde de erorile din trecut (abaterile de la normal, de la medie) astfel încât devierea accidentalã este urmatã de o redresare:
Bazat pe aceste elemente, modelul ARMA este definit ca un agregat ce include impulsurile receptate cu întârzieri de
1, 2, ..., p intervale de timp, ca ºi reacþiile, exprimate în medie, la abaterile accidentale (ut) de la evoluþia liniarã, manifestate în urmã cu 1, 2, ..., q intervale de timp. Se notezã ARMA(p,q):
În cazul prezenþei tendinþei generale în valorile originale (yt), reprezentarea este datã de modelul mixt ARIMA(p,d,q), unde d = 1 dacã diferenþele de ordinul 1 sunt staþionare sau d = 2
dacã diferenþele de ordinul 2 au condus la staþionarea seriei.
Modelul ARIMA(p,d,q), prin transformarea seriei nestaþionare în serie staþionarã devine ARMA(p,q), fãrã a se uita ordinul diferenþelor (d) care au transformat seria.
7.7.2 Obþinerea prognozelor
Previziunile obþinute în urma utilizãrii modelului de tip ARMA prezintã o serie de particularitãþi:
• previziunea este o mãrime medie, condiþionatã de niveluri înregistrate în trecut;
• prognoza se obþine pas cu pas, în succesiune, întrucât componenta AR obligã includerea în calcul a previziunii pentru perioada n + t în vederea obþinerii prognozei pentru perioada n + t + 1;
tqtqttt uubububyy ...2211
tqtqttptpttt uubububyayayaay ...... 221122110
97
• abaterile reziduale (ut) influenþeazã prognoza (în modelul
MA) doar cu valorile înregistrate pânã în perioada n (ultima perioadã pentru care avem date);
• prognoza finalã (yn+t*) integreazã toate componentele care au
fost eliminate în etapa de identificare ºi estimare (tendinþa, precum ºi media ).
7.8 Fluctuaþii sistematice în economie – mãsurare, analizã, prognozã
Cunoaºterea variaþiilor sezoniere necesitã depistarea componentei sezoniere (prin metode grafice), mãsurarea lor (prin indici ºi coeficienþi de sezonalitate) ºi analiza diferitelor cauze care definesc ritmul producerii lor (de exemplu, periodicitatea lucrãrilor agricole, a concediilor, a sãrbãtorilor etc).
Ajustarea seriilor cronologice cu variaþii sezoniere se bazeazã pe descompunerea seriei, pe de o parte, în componenta trend ( ft) ºi componenta ciclicã C (când este cazul) ºi, pe de altã parte, în componenta variaþie sezonierã ( St ) considerând influenþa aleatoare nulã ut =0), adicã:
yt = ft + St (pentru un model aditiv) yt = ft St (pentru un model multiplicativ)
Ajustarea componentei sezoniere presupune eliminarea influenþei sezoniere. Ajustarea seriilor sezoniere constã în înlocuirea termenilor reali ai seriei cu termeni calculaþi ºi are ca rezultat obþinerea unei serii cronologice cu variaþii sezoniere riguros identice de la o perioadã la alta ºi cu influenþã nulã la nivelul fiecãrui an.
Aceastã operaþie se face, de regulã, prin metoda mediilor mobile. Prin aceastã metodã se definesc componenta trend ºi componenta ciclicã. Pentru "capturarea" componentei sezoniere se
y
98
calculeazã indicii de sezonalitate. Pentru izolarea componentei sezoniere se calculeazã coeficienþii sezonieri ( Sj ), pe baza cãrora se desezonalizeazã seria iniþialã. Aceastã operaþie se face prin raportarea valorilor aberante ( yi ) la coeficienþii sezonieri.
Resezonalizarea este operaþia inversã desezonalizãrii, aplicatã asupra valorilor calculate prin ajustare. Resezonalizarea se realizeazã în funcþie de modelul de compunere admis, în sens previzional.
7.8.1 Depistarea graficã a variaþiilor sezoniere
Grafic, seria ajustatã se prezintã sub forma unei linii ondulatorii, cu bucle riguros identice, mai aplatizate faþã de cronograma iniþialã, repetabile în jurul liniei de trend.
7.8.2 Ajustarea prin medii mobile
Ajustarea seriilor cronologice cu variaþii sezoniere prin metoda mediilor mobile constã în înlocuirea termenilor empirici cu termeni rezultaþi în urma calculãrii mediilor mobile pentru seria datã. Prin înlocuirea termenilor reali cu termeni calculaþi va rezulta o curbã mai rotunjitã sau
o dreaptã de tendinþã, cu condiþia ca sã se fi determinat corect periodicitatea de variaþie a
99
fenomenului. Periodicitatea este evidenþiatã de punctele de maxim sau de minim.
Calculul mediilor mobile constã în aflarea mediilor aritmetice dintr-un numãr impar sau par de termeni luaþi succesiv, în funcþie de mãrimea unui ciclu de variaþie. Când numãrul de termeni luaþi în calcul este impar, mediile obþinute cad pe termeni reali pe care-i vor înlocui. Când se cuprinde în calcul un numãr par de termeni, mediile cad între doi termeni reali.
Pentru a afla ce termen va fi înlocuit se face centrarea mediilor mobile, adicã se determinã media aritmeticã din douã medii mobile consecutive. Procedeul de determinare a mediilor mobile este evidenþiat în tabel.
Numãrul termenilor din seria ajustatã prin medii mobile este egal cu: N - (n - 2) -1, respectiv N - (n - 2) - 2, unde:
N, reprezintã numãrul termenilor din seria empiricã,
n numãrul termenilor cuprinºi în calculul mediilor mobile.
100
Prima relaþie este pentru un
n impar, iar a doua pentru un n par. De
exemplu, când N = 7, iar n = 3, respectiv n = 4, rezultã cã seria ajustatã poate avea 7 - ( 3 - 2 ) -1 = 5 termeni, respectiv
7 - (4 - 2) - 2 = 3 termeni.
7.8.3 Indicii de sezonalitate
Devierile faþã de valoarea
medie, datorate sezonalitãþii, pot fi mãsurate prin indici de sezonalitate.
Indicii de sezonalitate se determinã ca raport între termenii reali ºi cei ajustaþi:
7.8.4 Coeficienþii sezonieri
Variaþiile sezoniere ( St ) se repetã, teoretic, identic de la o perioadã la alta (lunã de lunã, trimestru de trimestru) ºi se compenseazã la nivelul anului, conform principiului de conservare a ariilor. Practic, variaþiile sezoniere nu se repetã absolut identic.
Pentru a ajusta o serie realã, respectând exigenþele modelului teoretic, variaþiile sezoniere
St observate se înlocuiesc cu valori calculate numite coeficienþi sezonieri, Sj , j =1,..., p perioade (j=1,..., 12 , pentru luni, respectiv j =1,..., 4 , pentru trimestre).
Calculul coeficienþilor sezonieri
Coeficienþii sezonieri se calculeazã ca o medie aritmeticã a variaþiilor sezoniere, lunã de lunã sau trimestru de trimestru, pe ansamblul a n ani:
unde Sij=St, j este luna sau trimestrul pentru care se calculeazã coeficientul sezonier, iar i reprezintã anii observaþi.
21
respectiv ,100i
i
i
i
y
yi
y
yi
n
iijj S
nS
1
1
101
Conform principiului compensãrii variaþiilor sezoniere la
nivelul anului, suma, respectiv media coeficienþilor sezonieri, pe an, trebuie sã fie zero.
În calcule apar rezultate uºor diferite, ca urmare a
aproximãrilor. Efectul lor poate fi compensat printr-un corector „ dt ” rezultând un coeficient sezonier corectat, Sj' .
În cazul modelului aditiv, corectarea coeficienþilor sezonieri presupune calculul diferenþelor: Sj '=Sj – dt , unde:
Rolul coeficientului corector „ d ” este de a repartiza eroarea de aproximare pe ansamblul perioadelor, astfel devenind posibilã respectarea principiului compensãrii:
În cazul modelului multiplicativ, corectarea coeficienþilor sezonieri presupune calculul raportului:
iar media lor este egalã cu unitatea:
Exemplu Datele înregistrate trimestrial, pe durata a doi ani, cu privire
la cifra de afaceri a unei firme sunt prezentate în tabel. Admitem ipoteza continuitãþii trendului, a stabilitãþii sezoniere ºi a lipsei influenþelor accidentale. Se cere: • sã se determine tendinþa seriei
• sã se calculeze indicii de sezonalitate ºi coeficienþii sezonieri
• sã se desezonalizeze seria;
• sã se extrapoleze seria pentru trimestrul I al anului urmãtor celor observaþi.
p
jjt S
pd
1
1
0'jS
t
jj d
SS '
1S
102
Anul Trim.
1 2
1 1 2
2 3 5
3 4 7
4 2 4
1. Determinarea tendinþei
Reprezentarea graficã a seriei evidenþiazã clar o evoluþie sezonierã, cu valori maxime în trimestrul 3 ºi minime în trimestrul 1. De asemenea, se observã o evoluþie
medie liniarã ft = a + b t.
Elementele de calcul pentru linia de trend ºi valorile estimate ( yti )
103
Ecuaþia de trend liniar pentru seria consideratã este:
yt =1,16 + 0,52 t.
2. Calculul indicilor de sezonalitate ºi a coeficienþilor de sezonalitate
Indicii de sezonalitate sunt calculaþi ca raport între valoarea observatã yi ºi valoarea calculatã corespunzãtoare a trendului ft, respectiv yt .
Se observã cã indicii de sezonalitate variazã în jurul unitãþii.
Valoarea lor medie la nivelul unui ciclu sezonier (al unui an, în cazul nostru) este egalã cu unitatea. De asemenea, se observã cã valorile primului ºi ultimului trimestru, din fiecare an, sunt subunitare, în celelalte trimestre sunt supraunitare, ºi cã valorile lor din fiecare trimestru sunt diferite.
Coeficienþii de sezonalitate se calculeazã ca medie aritmeticã simplã a variaþiilor sezoniere pentru fiecare trimestru ( Sj ), în cursul celor doi ani consideraþi (cicluri sezoniere) ºi anume:
685,02
752,0617,0 464,1
2
458,1470,1
266,12
168,1364,1 564,0
2
532,0595,0
43
21
SS
SS
104
Observaþii
Media celor patru coeficienþi de sezonalitate trebuie sã fie egalã cu
1, evidenþiind faptul cã variaþiile sezoniere în interiorul unui ciclu se compenseazã. În cazul nostru, valoarea medie a coeficienþilor de sezonalitate este egalã cu 0,995, valoare ce poate fi admisã, þinând cont de aproximãrile luate în calcul.
3. Desezonalizarea seriei Desezonalizarea seriei presupune calculul valorilor corectate
ºi are ca scop obþinerea tendinþei fãrã influenþa sezonierã. Seria desezonalizatã se obþine prin raportarea valorilor empirice, yi la valoarea coeficienþilor de sezonalitate corespunzãtori, (Sj). Rezultatele sunt prezentate în tabel, coloana 7.
4. Prognoza nivelului cifrei de afaceri pentru trimestrul 1 al anului urmãtor celor observaþi
Folosim modelul de compunere multiplicativ yt = ft· St
unde: ft - trendul; St – componenta sezonierã.
a. Extrapolarea trendului. Valoarea prognozatã, prin extrapolarea trendului, pentru ti = 9 (trimestrul 1 al anului 3), este:
y9 = 1,16 + 0,52 · 9 = 5,84.
b. Corectarea valorii prognozate. Corectarea valorii extrapolate cu influenþa sezonierã presupune
resezonalizarea valorii, adicã:
y9(1) = y9 · i 1 = 5,84 · 0,564 = 3,7376
În concluzie, ne putem aºtepta ca cifra de afaceri a firmei "A" sã atingã, în trimestrul I al anului trei considerat, valoarea de 3,7376 sute milioane lei, numai dacã se respectã ipotezele admise iniþial, ºi anume: continuitatea trendului, pãstrarea stabilitãþii sezoniere ºi lipsa influenþelor accidentale.