sumar econometrie

37
1. Rolul econometriei: ca instrument fundamental aflat la dispoziţia economistului modern, se manifestă pe cel puţin trei planuri: în plan logic, ilustrarea unei ipoteze teoretice prin intermediul unui model cantitativ poate verifica riguros consistenţa ipotezei respective; în plan empiric, se creează legătura matematică şi statistică între teoria şi realitatea economică; în plan euristic, utilizarea econometriei permite dezvoltarea de concepte economice noi, imposibil de relevat prin analiza teoretică. 2. Avantajele utilizarii metodelor econometrice permite verificarea, prin analogie, a consistenţei ipotezelor teoretice; oferă o reprezentare intuitivă, dar riguroasă, a fenomenului economic studiat; facilitează descoperirea unor legături şi legităţi greu de determinat pe alte căi; anticip``ează efectul unor decizii în vederea alegerii alternativei optime; serveşte la verificarea post-factum a corectitudinii proceselor decizionale la nivel micro şi macroeconomic; permite efectuarea unor previziuni pe diverse termene cu o acurateţe imposibil de atins cu alte metode; facilitează dezvoltarea teoriei economice pe baza evaluărilor cantitative efectuate. 3.Categoriile de modele econemetrice: modele destinate elaborării unei anumite teorii economice, verificării coerenţei sale logice şi testării sale empirice; aceste modele pot fi numite modele teoretice sau modele de cercetare; modele destinate explicării faptelor economice observate şi previzionării desfăşurării lor viitoare; aceste modele pot fi numite modele funcţionale sau modele de acţiune şi au la bază, de regulă, metodele de analiză matematico–statistică. 4.Etapele construirii unui model econometric: 1. Formularea ipotezelor iniţiale ale modelului, care trebuie definite după criterii de raţionalitate şi în strânsă legătură cu teoria economică aferentă domeniului; 2. Definirea variabilelor modelului şi specificarea categoriei în care acestea se încadrează: variabile independente (factoriale) sau dependente (rezultative), cu efect simultan sau decalat, endogene sau exogene, cu influenţă semnificativă sau aleatoare etc.; 3. Determinarea tipurilor de legături care se stabilesc între variabilele modelului: deterministe (matematice) sau stochastice

Upload: alina-borta

Post on 11-Nov-2015

183 views

Category:

Documents


13 download

DESCRIPTION

z

TRANSCRIPT

1. Rolul econometriei: ca instrument fundamental aflat la dispoziia economistului modern, se manifest pe cel puin trei planuri: n plan logic, ilustrarea unei ipoteze teoretice prin intermediul unui model cantitativ poate verifica riguros consistena ipotezei respective; n plan empiric, se creeaz legtura matematic i statistic ntre teoria i realitatea economic; n plan euristic, utilizarea econometriei permite dezvoltarea de concepte economice noi, imposibil de relevat prin analiza teoretic.2. Avantajele utilizarii metodelor econometrice permite verificarea, prin analogie, a consistenei ipotezelor teoretice; ofer o reprezentare intuitiv, dar riguroas, a fenomenului economic studiat; faciliteaz descoperirea unor legturi i legiti greu de determinat pe alte ci; anticip``eaz efectul unor decizii n vederea alegerii alternativei optime; servete la verificarea post-factum a corectitudinii proceselor decizionale la nivel micro i macroeconomic; permite efectuarea unor previziuni pe diverse termene cu o acuratee imposibil de atins cu alte metode; faciliteaz dezvoltarea teoriei economice pe baza evalurilor cantitative efectuate.3.Categoriile de modele econemetrice: modele destinate elaborrii unei anumite teorii economice, verificrii coerenei sale logice i testrii sale empirice; aceste modele pot fi numite modele teoretice sau modele de cercetare; modele destinate explicrii faptelor economice observate i previzionrii desfurrii lor viitoare; aceste modele pot fi numite modele funcionale sau modele de aciune i au la baz, de regul, metodele de analiz matematicostatistic.4.Etapele construirii unui model econometric:1. Formularea ipotezelor iniiale ale modelului, care trebuie definite dup criterii de raionalitate i n strns legtur cu teoria economic aferent domeniului;2. Definirea variabilelor modelului i specificarea categoriei n care acestea se ncadreaz: variabile independente (factoriale) sau dependente (rezultative), cu efect simultan sau decalat, endogene sau exogene, cu influen semnificativ sau aleatoare etc.;3. Determinarea tipurilor de legturi care se stabilesc ntre variabilele modelului: deterministe (matematice) sau stochastice (statistice), directe sau inverse, simple sau multiple, n dinamic sau de echilibru etc.;4. Formularea ecuaiilor modelului n raport de ipotezele de pornire, de variabilele modelului i de legturile dintre acestea;5. Estimarea prin diverse metode matematice i statistice a parametrilor modelului;6. Verificarea statistic a consistenei rezultatelor obinute n urma efecturii estimrilor;7. Interpretarea economic a rezultatelor i, unde este cazul, realizarea de previziuni referitoare la evoluia viitoare a variabilelor studiate.

II.1.Parametrii tendintei centrale.

Media: Se numete media unei variabile X, acea valoare , care prin substituia , i = 1, 2, , n nu modific proprietatea determinant a variabilei respective.Dac pentru exprimarea proprietii determinante se folosesc momentele de ordin r, atunci media de ordinul r este dat de relaiile[endnoteRef:1]: [1: ]

media simpl de ordinul r:

(2.1) media ponderat de ordinul r:

(2.2)n care: xi reprezint valorile individuale ale caracteristicii;ni reprezint frecvenele absolute;n este volumul eantionului studiat;k este numrul de intervale de grupare.Media aritmeticCa medie aritmetic simpl (pe date negrupate) se determin dup relaia:

(2.3)Ca medie aritmetic ponderat, are urmtoarea relaie de calcul:

(2.4)n cazul datelor grupate pe intervale de frecven, pentru o variabil continu, media aritmetic se determin cu relaia:

(2.5)unde xi* reprezint mijlocul intervalului (xi-1, xi), calculat astfel: xi* = (xi-1 + xi)/2.Media ptratic

(pe date negrupate) se determin dup relaia: (2.6)Ca medie ptratic ponderat, se determin astfel:

(2.7)Media armonic (r = 1)

se determin astfel: (2.8)

Ca medie armonic ponderat, se determin conform relaiei: (2.9)Media geometric

(pe date negrupate) se determin dup relaia: (2.10)

Ca medie geometric ponderat, se calculeaz n felul urmtor: Mediana: Prin mediana (Me) unei serii de distribuie se nelege acea valoare pentru care probabilitatea ca variabila aleatoare X s ia valori inferioare lui Me este egal cu probabilitatea ca X s ia valori superioare lui Me, conform relaiei:P (X Me) = P (X Me) (2.12)Mediana este, deci, valoarea central a unei serii ordonate cresctor sau descresctor, care mparte repartiia n dou pri egale. Pentru date negrupate, mediana se determin n dou variante[endnoteRef:2]: [2: D.M. Levine, D. Stephan, T.C. Krehbiel, M.L. Berenson, Statistics for Managers using Microsoft Excel, Third Edition, Prentice Hall, 2002, pag. 112 114 ]

dac numrul unitilor observate este impar, de forma n = 2p + 1, atunci mediana este egal cu valoarea unitii situate n mijlocul seriei de date (de rang p + 1), adic: Me = xp+1 (2.13) dac numrul unitilor observate este par, de forma n = 2p, atunci mediana este egal cu media aritmetic simpl a celor dou valori situate n mijlocul seriei de date (de rang p, respectiv, p + 1), conform relaiei:

(2.14)Pentru date grupate pe intervale de frecven, calculul medianei presupune parcurgerea urmtoarelor etape:1. Se determin frecvenele absolute cumulate ale intervalelor de grupare (Ni);2. Se stabilete intervalul median (n interiorul cruia se afl mediana), ca fiind intervalul corespunztor primei frecvene absolute cumulate mai mare sau egal cu locul medianei n serie (n/2);3. Se calculeaz mediana, prin interpolare, conform relaiei:

(2.15)unde: le este limita inferioar a intervalului median;he reprezint dimensiunea intervalului median;Ne-1 este frecvena absolut cumulat a intervalului anterior celui median;ne reprezint frecvena intervalului median.

Modul: este valoarea caracteristicii cu frecvena maxim de apariie, adic valoarea cea mai des ntlnit n repartiia de date analizate. n cazul variabilelor discrete, modul se determin, conform definiiei sale, ca fiind valoarea cu cea mai mare frecven sau probabilitate de apariie[endnoteRef:3]. [3: Berenson M.L., Levine D.M., Krehbiel T.C., Basic Busines Statistics. Concepts and Applications, Ninth Edition, Pearson Prentice Hall, 2004, pag. 91]

n cazul unei repartiii continue, grupat pe intervale de frecven, modul este valoarea corespunztoare vrfului curbei de frecven. n acest caz, determinarea lui presupune parcurgerea urmtoarelor etape:1. Se determin intervalul cu frecvena maxim de apariie, care devine, astfel, interval modal (intervalul care conine modul);2. Se calculeaz modul, prin interpolare, conform relaiei: ) unde: lo este limita inferioar a intervalului modal;ho reprezint dimensiunea intervalului modal;1 este diferena dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului anterior acestuia;2 este diferena dintre frecvena intervalului modal i frecvena intervalului urmtor acestuia.Alegerea celui mai semnificativ parametru centralDin punct de vedere econometric este important alegerea celui mai semnificativ parametru central seriei de date analizate. Acesta difer de la o situaie concret la alta, existnd, ns, cteva caracteristici particulare ale valorilor centrale, n funcie de care ele pot fi difereniate: media aritmetic este influenat de fiecare valoare a seriei, datorit faptului c se determin prin calcul, pe baza tuturor termenilor seriei. Din acest motiv, ea este sensibil la eventualele valori extreme, aberante, care pot afecta calitatea interpretrilor. De aceea este indicat ca media aritmetic s fie utilizat pentru serii relativ omogene sau dac este posibil, s se separe seriile de date pe grupe omogene i apoi s se determine media fiecrei grupe, iar, n final s se calculeze media mediilor grupelor; mediana i modul, fiind mrimi de poziie, sunt influenate mai mult de numrul de date al seriei i de concentrarea acestora n anumite zone i mai puin de valorile extreme. Acestea prezint i avantajul c sunt uor de obinut (uneori, chiar prin observare direct), chiar i atunci cnd limitele seriei nu sunt cunoscute. Dezavantajele lor constau n aceea c, uneori, sunt valori aproximative i, mai ales n faptul c nu pot fi utilizate n calculele algebrice, ceea ce le limiteaz drastic aplicabilitatea.2.Parametrii variatiei.

-Parametrii simpli ai variatiei msoar mprtierea fiecrei valori fa de nivelul mediu sau fa de o anumit valoare a variabilei studiate. Ei pot fi determinai att n mrime absolut, ct i relativ i sunt amplitudinea variaiei i abaterile individuale.-Parametrii sintetici ai variaiei exprim dispersia tuturor valorilor individuale n jurul centrului de grupare, reprezentat, de regul, de media aritmetic. Ei pot fi determinai ca mrimi medii sau relative (coeficieni) i sunt abaterea medie liniar; variana (dispersia); abaterea standard (abaterea medie ptratic) i coeficientul de variaie.

- Abaterea medie liniar () pe date negrupate se determin ca o medie aritmetic simpl a abaterilor individuale, luate n valoare absolut, astfel: (2.19)Pentru date grupate pe intervale de frecven, abaterea medie liniar se determin dup relaia:

(2.20) Caracteristica abaterii medii liniare const n aceea c nu se ine cont de semnul abaterilor individuale luate n considerare, ceea ce n unele cazuri poate constitui un dezavantaj. Dac, ns, abaterile individuale nu ar fi luate n valoare absolut, atunci s-ar ajunge la acea proprietate a mediei aritmetice, conform creia suma abaterilor individuale fa de medie este nul. Abaterea medie liniar este un parametru concludent al variaiei numai pentru populaiile statistice omogene. Neajunsurile abaterii medii liniare sunt nlturate prin calcularea varianei

Varianta reprezint momentul centrat de ordinul doi i se determin ca o medie aritmetic a ptratelor abaterilor valorilor studiate de la media lor. Relaia de calcul pentru date negrupate este:

(2.21)Pentru date grupate pe k intervale de frecven, variana se determin dup relaia:

(2.22) Caracteristica variantei:Variana pe date grupate, precum i valorile medii calculate pe date grupate, sunt cu att mai aproximative cu ct intervalele de grupare sunt mai mari, ceea ce conduce la ideea c este de preferat s se determine aceti parametri pe baza valorilor individuale negrupate.Variana, fiind de ordinul ptratului valorilor studiate, este un parametru abstract, fr unitate de msur i cuantific variaia total a caracteristicii datorit cauzelor eseniale i ntmpltoare. Ea este util n verificarea unor ipoteze statistice i st la baza determinrii altor parametrii ai variaiei, cu aplicabilitate practic mai larg, cum sunt abaterea standard i coeficientul de variaie.

-Abaterea standart . Pe date negrupate, relaia ei de calcul este: = Pentru date grupate pe k intervale de frecven, abaterea standard se determin conform relaiei:

= (2.24)-Avantajele abaterii standart: constau n aceea c acord fiecrei abateri de la medie importana cuvenit i c poate fi utilizat n interpretrile econometrice datorit faptului c, spre deosebire de varian, este de acelai ordin de mrime cu valorile studiate.Abaterea standard este utilizat ndeosebi la estimarea erorilor de sondaj, n calculele referitoare la regresie i corelaie, precum i n verificarea semnificaiei anumitor indicatori statistici.

-Coeficientul de variatie: V) este raportul procentual dintre abaterea standard i media aritmetic, conform relaiei: (2.25)-Interpretarile coeficientului de variatie: Coeficientul de variaie poate lua valori ntre 0 i 100% i are urmtoarele interpretri:dac este egal cu zero, nseamn c toate valorile caracteristicii sunt egale ntre ele, respectiv, egale cu media aritmetic, variaia lor fiind nul;dac tinde ctre zero, nseamn c variaia caracteristicii este mic, adic populaia statistic studiat este omogen, iar media este reprezentativ pentru aceasta. Se consider c o populaie statistic are un grad ridicat de omogenitate atunci cnd coeficientul de variaie este mai mic de 35%;dac valoarea coeficientului de variaie depete 70%, atunci variaia caracteristicii este foarte mare, media nu este reprezentativ i structura populaiei studiate este eterogen. n aceste condiii, se impune regruparea datelor, cu respectarea riguroas a principiilor teoretice de omogenizare a grupelor. De cele mai multe ori, n asemenea cazuri este necesar separarea populaiei statistice n mai multe grupe omogene, care vor fi studiate separat.

-Parametrii factoriali ai variatiei servesc la descompunerea influenelor suferite de o variabil economic pe componente: influene datorate aciunii factorilor eseniali, determinani, i influene datorate aciunii unor factori aleatori, ntmpltori. Cuantificarea influenei tuturor acestor factori asupra variaiei fenomenului sau procesului economic studiat se realizeaz cu ajutorul analizei varianei sau ANOVA (analysis of variance), care are la baz sistemul parametrilor factoriali ai variaiei. Procedeul const n descompunerea variaiei totale a unui ansamblu de date nregistrate pentru fenomenul economic studiat n componente ale variaiei, definite dup sursele acesteia, precum i compararea componentelor respective pentru a stabili dac factorii considerai cauz au influen semnificativ. n funcie de cauzele care determin variaia, componentele acesteia pot fi grupate n dou categorii:componenta numit explicativ sau efect, ce reprezint variaia determinat de factorii de influen luai n considerare;componenta numit rezidual, care nu poate fi pus pe seama unui anumit factor de influen, fiind efectul cumulat al tuturor factorilor aleatori ce acioneaz asupra fenomenului studiat.-Variana de grup sau parial (j2), care cuantific influena factorilor aleatori, neeseniali, care determin variaia valorilor studiate n cadrul unei grupe.

(2.26)

-Media varianelor de grup (), care se determin ca o medie aritmetic ponderat a varianelor de grup, astfel:

(2.27)

-Variana mediilor de grup fa de media general (variana intergrupe), notat cu 2 se determin ca o medie aritmetic ponderat a ptratelor abaterilor mediilor de grup () fa de media populaiei statistice (), conform relaiei:

(2.28)-Variana total (general) 02 se calculeaz ca o medie aritmetic ponderat a ptratelor abaterilor valorilor fa de media populaiei statistice, dup relaia:

(2.29)-covariana, ca o medie ponderat a produselor abaterilor variabilelor X i Y, astfel:

(2.30)-Coeficientul de determinaie (R2), care arat ponderea influenei factorilor eseniali n variaia total i se determin cu relaia:

(2.31)

-Coeficientul de nedeterminaie (1 R2), care arat ponderea influenei factorilor aleatori, reziduali n variaia total, astfel: (2.32)-Media si varianta caracteristicii alternative (parametri ai variabilei aleatoare Bernoulli). Datorit caracterului dihotomic al caracteristicii, unitile statistice nu se pot gsi dect n una din cele dou situaii posibile: posed nsuirea analizat (d = 1) sau nu posed nsuirea respectiv (d = 0).

Media unei caracteristici alternative () se determin pornind de la relaia de calcul a mediei aritmetice, astfel: (2.33)Se observ, deci, c media caracteristicii alternative este chiar ponderea unitilor care posed nsuirea analizat n totalul unitilor populaiei statistice, notat cu p. Din acest motiv, media caracteristicii alternative poate fi considerat mrime relativ de structur, pondere sau greutate specific, precum i probabilitate de apariie a cazurilor favorabile. Aceste interpretri sunt valabile i pentru probabilitatea de apariie a cazurilor nefavorabile (q).Variana caracteristicii alternative (2) se determin ca produs ntre cele dou frecvene relative p i q, conform relaiei: 2 = p q = p (1p) (2.34)Parametrii unei caracteristici alternative au o larg utilizare n calculul erorilor de eantionare, la controlul calitii produselor etc.3 Parametrii asimetriei si boltiriia. Parametrul asimetriei. Pentru cuantificarea asimetriei sunt utilizai numeroi parametri, dar cei mai cunoscui i mai des utilizai sunt parametrii asimetriei propui de Pearson:1. Asimetria n mrime absolut (As), care se determin conform relaiei:

(2.35)Atunci cnd volumul eantionului studiat este foarte mare, pe baza relaiei dintre valorile centrale, asimetria se poate exprima i n funcie de median, dup relaia:

(2.36)Dac media este mai mic dect modul i mediana, atunci As 0 i curba este nclinat spre dreapta, iar dac media este mai mare dect celelalte valori centrale, atunci As 0 i curba este nclinat spre stnga.

b.Coeficientul de asimetrie Pearson. se determin ca raport ntre asimetria absolut i abaterea standard, astfel: (2.37)Acest coeficient se interpreteaz astfel: dac cele dou valori centrale sunt foarte apropiate, coeficientul de asimetrie tinde ctre zero i atunci distribuia studiat este simetric; dac media este mai mic dect modul, atunci coeficientul de asimetrie este negativ i distribuia este nclinat spre dreapta; dac media este mai mare dect modul, atunci atunci coeficientul de asimetrie este pozitiv i distribuia este nclinat spre stnga;c.Coeficientul boltirii Pearson. arat n ce msur curba repartiiei empirice este mai nalt sau mai aplatizat n raport cu curba repartiiei normale. n acest sens, mai des utilizai sunt doi coeficieni: Coeficientul boltirii Pearson (), care se determin pe baza momentelor centrate, astfel:

(2.38)

unde: 4 este momentul centrat de ordinul patru, calculat cu relaia:

(2.39)iar 2 este momentul centrat de ordinul doi, adic variana (2).Pentru o distribuie cu o boltire normal, coeficientul de boltire ia valoarea trei. Astfel, dac 3, atunci repartiia empiric este aplatizat, iar dac 3, atunci repartiia empiric studiat are o curb mai nalt dect cea normal.4.Estimatii, estimatori, intervale de incredere. a. Statistica clasica, statistica inferentiala. Obinerea datelor cu ajutorul observaiei totale face obiectul statisticii clasice, n timp ce obinerea informaiilor pe baza observaiei pariale, adic prin utilizarea unui eantion din populaia statistic, este studiat de ctre statistica inferenial. b. Aria de aplicabilitate n economie a cercetrii infereniale este extrem de larg i cuprinde practic toate ramurile acesteia. Astfel, n industrie, sondajul este utilizat ndeosebi n controlul calitii procesului de producie i a produselor obinute, n cercetrile de marketing, n determinarea productivitii muncii i salarizarea personalului, n previzionarea evoluiei preurilor etc. n agricultur, sondajul este utilizat pentru estimarea recoltelor n funcie de condiiile existente, n determinarea pierderilor probabile, n verificarea rezultatelor recensmintelor animalelor etc. n comer, cercetarea prin sondaj servete la estimarea cererii de mrfuri n funcie de variaia factorilor de influen, la cunoaterea opiunilor cumprtorilor cu privire la produsele comercializate, la verificarea ncadrrii loturilor de produse n standardele cerute etc. ntr-o cercetare inferenial, deoarece exist dou categorii studiate, pe de o parte, populaia statistic care se dorete a fi cunoscut, iar pe de alt parte, eantionul observat n vederea obinerii unor estimaii ale parametrilor populaiei, se ntlnesc o serie de noiuni perechi, care au acelai coninut metodologic, dar difer din punct de vedere al informaiei pe care o cuprind. c.Estimarea, estimatorul si estimatia. Estimarea reprezint procesul prin care se determin cu o anumit probabilitate fie sub form de estimare punctual (o valoare unic), fie sub form de interval de ncredere valorile necunoscute ale parametrilor unei populaii statistice, pe baza datelor nregistrate la nivelul unui eantion extras din aceasta. Estimatorul reprezint o funcie statistic utilizat pentru a estima un parametru necunoscut al populaiei statistice. Acesta este rezultatul procesului de inferen sau inducie statistic i are asociat o probabilitate ce caracterizeaz gradul su de acuratee.

Estimaia reprezint valoarea obinut a unui estimator () al parametrului , obinut pe baza unui eantion. Estimaia se alege astfel nct, pentru diferite eantioane prelevate, valorile estimate s fie ct mai apropiate de valoarea parametrului necunoscut al populaiei statistice.5.Verificarea ipotezelor statistice. Etapele:I. Formularea ipotezelor statistice. Ipoteza const n admiterea faptului c eventualele deosebiri ntre dou distribuii sau ntre doi parametri sunt ntmpltoare. Se noteaz, de regul, cu H0. Ipoteza care se testeaz n opoziie cu ipoteza nul se numete ipoteza alternativ i se noteaz cu H1. Ipoteza alternativ se va accepta atunci cnd se respinge ipoteza nul, i invers.Verificarea ipotezei nule se face pe baza unui eantion de volum n, extras din populaia statistic studiat. Acceptarea sau respingerea acesteia ridic problema definirii regiunii de acceptare, respectiv, a regiunii de respingere a ipotezei, adic a alegerii tipului de test (unilateral sau bilateral) i a probabilitii asociate acestuia.Regiunea de acceptare reprezint intervalul n care ipoteza nul H0 este acceptat ca urmare a efecturii unui test statistic i are probabilitatea asociat p = 1 , numit nivel de ncredere. Complementar, regiunea de respingere se definete ca interval de respingere a ipotezei nule H0 ca urmare a efecturii testului statistic i are probabilitatea asociat , numit nivel de semnificaie. De regul, cea care se stabilete n cadrul testului este regiunea de respingere, pentru un nivel de semnificaie considerat acceptabil de ctre analist.II. Alegerea nivelului de semnificaie () al testului. n aceast etap se stabilete, n funcie de specificul cercetrii econometrice, nivelul de semnificaie, adic ntinderea regiunii de respingere a testului. n practica econometric, n cele mai multe cazuri, nivelul de semnificaie se alege ca fiind: = 0,05 sau = 5%.III. Alegerea testului statistic i determinarea valorii calculate aferente acestuia. Testele statistice se aleg n funcie de ipoteza verificat i de repartiia populaiei statistice studiate. Cel mai des utilizate n practic sunt testele (criteriile): Laplace (z), Student (t), Helmert (2) i Fisher (F). Valorile calculate aferente acestor teste se determin conform metodologiei specifice fiecrui test n parte.IV. Alegerea valorii critice (tabelare) aferente testului utilizat. Fiecrui test statistic i corespunde o repartiie de valori, prezentate, de regul, sub form tabelar. Din tabelele aferente repartiiei respective se alege, n funcie de anumite criterii, valoarea critic sau tabelar a testului.V. Compararea valorii calculate a testului cu cea critic i luarea deciziei. Aceasta reprezint ultima etap a verificrii unei ipoteze statistice i const n compararea valorii calculate cu cea critic, iar n urma acestei comparaii, conform regulilor stabilite, se decide dac ipoteza nul H0 se accept sau se respinge. Indiferent de decizia luat, aceasta va avea o probabilitate de eroare egal cu nivelul de semnificaie al testului, .III.Fundamentele analizei de regresie. 1.aTipologia legaturilor dintre variabilele economice. Cu ct fenomenele studiate sunt mai ntinse n timp i spaiu, cu att numrul factorilor de influen este mai mare i relaiile de interdependen mai greu de identificat i cuantificat. Mai mult, factorii de influen nu sunt numai de natur obiectiv, ci o parte a lor este de natur subiectiv, fapt care poate influena rezultatele analizei. b.Criteriilede clasificare ale legaturilor. , Dup intensitatea conexiunii cauzale distingem independen total sau lipsa de legturi, legturi funcionale sau totale (deterministe) i legturi relative sau statistice (stochastice). n raport cu numrul variabilelor corelate, legturile dintre variabilele economice pot fi simple, sau multiple, Dup sensul lor, legturile dintre variabilele economice pot fi directe, sau inverse, In funcie de forma legturii dintre variabile, distingem legturi liniare i legturi neliniare.Dup momentul transmiterii influenei, se deosebesc legturi concomitente sau sincrone, n cazul crora influena variabilei factoriale asupra celei rezultative se transmite instantaneu i legturi decalate n timp (cu time-lag), n cazul crora influenele se transmit dup trecerea unei anumite perioade de timp de la modificarea variabilelor factoriale.2.Analiza de regresie a.Etapele. Analiza unui model de regresie care are la baz o legtur de tip stochastic ntre variabila rezultativ i variabilele factoriale presupune, de regul, parcurgerea urmtoarelor etape: stabilirea ipotezelor de pornire i a variabilelor factoriale, endogene i exogene; construirea corelogramei, adic a reprezentrii grafice a perechilor de valori ale variabilelor studiate ntr-un sistem de axe de coordonate; aproximarea, pe baza reprezentrii grafice, a formei legturii printr-un model teoretic i scrierea ecuaiei corespunztoare modelului de regresie; estimarea prin diverse metode a parametrilor ecuaiei de regresie.

b.Ipotezele aplicarii metodei celor mai mici patrate. Datele privind variabilele rezultative i cele factoriale sunt obinute fr erori de observare sau msurare; Variabilele factoriale sunt independente unele de celelalte, nu sunt corelate ntre ele, exercitndu-i influena numai asupra variabilei rezultative; Variabila aleatoare sau rezidual (i) este de distribuie normal, de medie nul (E(i) = 0) i de dispersie constant i diferit de zero; Variabila aleatoare (i) urmeaz o distribuie independent de valorile variabilei factoriale (xi); Valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate. Acest lucru nseamn c valorile respective sunt independente ntre ele, ceea ce implic faptul c i nregistrrile de date n eantioane au fost independente. 3.Analiza corelatiei. a. Analiza corelaiei variabilelor cantitativeCel mai general indicator al corelaiei variabilelor cantitative l reprezint covariana.[endnoteRef:4] Ea se utilizeaz ca indicator intermediar n msurarea intensitii legturii liniare ntre dou variabile x i y i cuantific variaia simultan a acestora, conform relaiei: [4: C. Chilrescu, O. Ciorc, C. Preda, C. ipo, N. Surulescu, Bazele Statisticii, Editura Universitii de Vest, Timioara, 2002 pag. 87 89]

(3.3)Determinarea covarianei are la baz cele patru cadrane ale graficului de corelaie, separate de valorile medii ale celor dou variabile, prezentate n figura 3.2:

YX0IIIIIIIVdirectinvers

Figura 3.2. Graficul de corelaie

Cele 4 cadrane au urmtoarele interpretri: n cadranul I, att abaterile valorilor variabilei factoriale x fa de media lor, ct i cele ale variabilei rezultative y sunt pozitive (+ +), ceea ce sugereaz o corelaie direct; n cadranul II, abaterile variabilei factoriale sunt negative, iar abaterile variabilei rezultative sunt pozitive ( +), ceea ce sugereaz o corelaie invers; n cadranul III, ambele abateri sunt negative ( ), ceea ce arat o corelaie direct ntre x i y; n cadranul IV, abaterile variabilei factoriale sunt pozitive, iar abaterile variabilei rezultative sunt negative (+ ), ceea ce arat o corelaie invers ntre x i y.Cu ct predomin dispunerea punctelor n jurul uneia dintre cele dou bisectoare, cu att intensitatea legturii este mai mare. Legtura este direct dac punctele graficului de corelaie sunt dispuse n jurul primei bisectoare i invers dac punctele sunt dispuse n jurul celei de-a doua bisectoare.

b. Coeficientul de corelaie liniar simpl (), propus de K. Pearson, are urmtoarea relaie de calcul:

(3.4)Valoarea coeficientului de corelaie se situeaz ntotdeauna n intervalul [1, 1] i are urmtoarele semnificaii: dac valoarea coeficientului de corelaie tinde ctre 1, legtura dintre cele dou variabile este puternic i direct; dac valoarea coeficientului de corelaie tinde ctre 1, legtura dintre cele dou variabile este puternic i invers; dac valoarea coeficientului de corelaie tinde ctre zero, ntre cele dou variabile nu exist legtur liniar simpl.c.Raportul de corelatie(R) poate fi aplicat att pentru regresii liniare, ct i pentru funcii neliniare, simple sau multiple.

(3.5)Raportul de corelaie ia valori n intervalul [0,1] i se interpreteaz astfel: dac raportul de corelaie tinde ctre 1, legtura dintre cele dou variabile este puternic, adic variaia variabilei rezultative depinde n mare msur de variaia variabilei factoriale; dac raportul de corelaie tinde ctre 0, ntre cele dou variabile nu exist legtur.

n cazul corelaiei liniare simple, raportul de corelaie este egal cu coeficientul de corelaie n valoare absolut (R = ), fapt ce poate fi utilizat ca test de verificare a liniaritii legturii.e.Coeficientul de determinatie multipla(R2), determinat dup relaia:

(3.10)Coeficientul de determinaie multipl este ntotdeauna pozitiv i ia valori n intervalul [0,1], cu urmtoarele interpretri: dac R2 are valori apropiate de 1, nseamn c ponderea influenei variabilelor factoriale n totalul variaiei variabilei rezultative este mare, adic exist o corelaie multipl puternic; dac R2 are valori apropiate de 0, acest lucru nseamn c ponderea influenei variabilelor factoriale n totalul variaiei variabilei rezultative este mic i corelaia multipl este slab sau chiar inexistent.n practica econometric, se consider c exist o corelaie multipl dac valoarea coeficientului de determinaie este mai mare de 0,6 (sau 60%, n exprimare procentual), iar corelaia este foarte puternic dac valoarea coeficientului de determinaie este mai mare de 0,8 (80% n exprimare procentual).

f.Coeficientul de determinatie ajustat), notat cu , dup relaia:

Conform relaiei dintre coeficientul de determinaie R2 i coeficientul de determinaie corectat se poate spune faptul c ntotdeauna ntre cei doi coeficieni va exista raportul de mrime: R2 (deoarece volumul eantionului n i numrul de variabile factoriale k sunt numere ntregi pozitive). Cu ct volumul eantionului este mai mare, cu att cei doi coeficieni vor avea valori mai apropiate.

d.Raportul de corelatie multipla. (R) msoar intensitatea legturii dintre variabila rezultativ y i dou sau mai multe variabile factoriale x1, x2, , xk. El se determin, similar cu raportul corelaiei simple, ca radical din raportul dintre variana explicat 2yx1x2xk i variana total a variabilei rezultative 2y, conform relaiei: (3.6)

Variana explicat reprezint variaia variabilei rezultative y datorat influenei variabilelor factoriale x1, x2, , xk, care arat mprtierea valorilor estimate n jurul mediei valorilor reale ale variabilei rezultative i se determin dup relaia: 4.Analiza corelatiei variatiilor calitative.Indicatorii neparametrici ai corelaiei se determin, de obicei, n funcie de rangurile perechilor de valori ale variabilelor corelate, independent de forma legturii studiate. Cei mai importani indicatori neparametrici de studiere a legturilor dintre variabilele economice sunt: coeficienii de corelaie a rangurilor i coeficienii de asociere i contingen.1. Coeficienii de corelaie a rangurilor se determin pe baza numrului de ordine (cunoscut i sub numele de rang) a valorilor individuale aparinnd variabilelor studiate. Pentru stabilirea rangurilor, valorile empirice ale variabilelor corelate sunt ordonate cresctor sau descresctor, de regul, n funcie de variabila independent. Fiecrei uniti a variabilei independente, factoriale se ataeaz rangul corespunztor variabilei dependente, rezultative, iar suma rangurilor este ntotdeauna n(n + 1)/2. Coeficienii de corelaie a rangurilor sunt folosii atunci cnd se analizeaz legturi dintre variabile calitative, dintre variabile calitative i cantitative sau dintre variabile cantitative pentru care nu exist informaii suficiente pentru a stabili forma legturii.n aceast categorie de indicatori, n econometrie sunt cunoscui doi coeficieni: coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor i coeficientul Kendall de corelaie a rangurilor.

Coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor (rs) deriv din coeficientul de corelaie liniar prin nlocuirea valorilor empirice ale variabilelor corelate cu rangurile lor corespunztoare i se determin cu relaia: (3.14)unde di reprezint diferena dintre rangurile variabilelor corelate (di = Rxi Ryi), iar n este numrul perechilor (xi, yi) corelate.Coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor ia valori n intervalul [1, 1] i are urmtoarele semnificaii: dac ntre cele dou serii de ranguri exist o concordan deplin (corelaie funcional), atunci toate diferenele di sunt nule, iar coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor va fi egal cu unu; dac evoluiile rangurilor variabilelor sunt n sens invers, atunci valoarea coeficientului va fi rs = 1.Coeficientul Kendall de corelaie a rangurilor (rk) are la baz tot perechile de ranguri ale valorilor individuale ale variabilelor corelate i se construiete pe definirea numrului de puncte concordante i a celor discordante. Se consider c dou uniti sunt concordante atunci cnd xi xj implic yi yj i c dou uniti sunt discordante atunci cnd xi xj implic yi yj. n funcie de aceste concordane se definesc valorile dij, astfel: dij = 1 dac i i j sunt concordante; dij = 1 dac i i j sunt discordante;

Se calculeaz apoi suma acestor mrimi: pe baza creia se determin valoarea coeficientului Kendall de corelaie a rangurilor, dup relaia:

(3.15)

i acest coeficient ia valori n intervalul [1, 1] i are interpretri similare cu cele ale coeficientului Spearman.2. Coeficienii de asociere i contingen se utilizeaz atunci cnd unitile variabilelor corelate sunt de forma caracteristicilor alternative sau sunt separate n dou grupe de valori. Pentru determinarea acestor coeficieni se ntocmete n prealabil un tabel de asociere care prezint repartiia unitilor studiate dup dou caracteristici corelate, conform tabelului 3.1:Tabelul 3.1yxy1y2Total

x1aba + b

x2cdc + d

Totala + cb + dn

Produsul frecvenelor a i d din tabelul 3.1 arat intensitatea legturii dintre variabilele x i y, iar produsul frecvenelor b i c arat absena legturii dintre variabile.Coeficientul de asociere (Qa), propus de Yule, se determin cu relaia:

(3.16)Valoarea coeficientului de asociere variaz n intervalul [1, 1] i se interpreteaz similar cu ceilali coeficieni de corelaie.Coeficientul de contingen (Qc) se determin conform relaiei:

(3.17)i acest coeficient ia valori tot n intervalul [1, 1] i are interpretarea similar cu cea a coeficienilor anteriori. IV.Modele econometrice unifactoriale.a. Modelul unifactorial liniar. studiaz legtura dintre variabila factorial x i variabila rezultativ y cu ajutorul unei funcii stochastice de forma:y = + x + (4.2)n care i se numesc parametrii sau coeficienii modelului i reprezint valori necunoscute ce urmeaz a fi estimate, iar este variabila aleatoare (rezidual sau perturbatoare)[endnoteRef:5]. [5: J.H. Stock, M.W. Watson, Introduction to Econometrics, Addison Wesley, 2003, pag. 93 96]

Parametrul reprezint valoarea pe care o ia variabila rezultativ y atunci cnd variabila factorial are valoarea zero i poate avea relevan n model sau nu, n funcie de cazul concret analizat.Parametrul , numit i coeficient de regresie, reprezint panta dreptei de regresie, adic valoarea cu care se modific variabila rezultativ y atunci cnd variabila factorial x se modific cu o unitate.Semnul i valoarea parametrului prezint o importan major n descrierea interdependenei dintre variabila rezultativ i cea factorial.Astfel, dac 0, atunci legtura dintre variabila factorial x i variabila rezultativ y este direct (cnd x are evoluie cresctoare, crete i y, iar cnd x are evoluie descresctoare, scade i y). Cnd este pozitiv se pot distinge trei situaii: dac 1, atunci influena variabilei factoriale asupra celei rezultative este mai slab (la variaia cu o unitate a variabilei factoriale x, variabila rezultativ y variaz cu o valoare subunitar); dac 1, atunci influena variabilei factoriale asupra celei rezultative este foarte puternic (la variaia cu o unitate a variabilei factoriale x, variabila rezultativ y variaz cu o valoare supraunitar); dac = 1, atunci variabila rezultativ y variaz direct proporional cu variaia variabilei factoriale x.Dac 0, atunci legtura dintre variabila factorial x i variabila rezultativ y este invers, de sens contrar (cnd x evolueaz cresctor, y are o evoluie descresctoare, iar cnd x evolueaz descresctor, y are o evoluie cresctoare). n situaia n care = 0, variabila rezultativ y este complet independent n raport cu variabila factorial x.

Analiza de regresie n cazul modelului unifactorial liniar const n estimarea parametrilor i , prin determinarea a doi estimatori i . b.Estimarea parametrilor in cazul modelului unifactorial. O cuantificare determinist, exact a valorilor parametrilor i este imposibil de realizat, deoarece nu se pot cuprinde n model absolut toate influenele existente. Acest lucru a determinat introducerea n model a variabilei aleatoare, perturbatoare , care nsumeaz efectul tuturor factorilor rmai n afara modelului, fie ei nesemnificativi sau necuantificabili.Variabila aleatoare se presupune c are o repartiie normal de medie nul i varian constant pentru eantionul de date analizat. Cu ct volumul eantionului este mai mare, cu att aceste presupuneri sunt mai apropiate de realitate. n aceste condiii, fiecrei valori date xi a variabilei factoriale i corespunde o distribuie normal de valori yi ale variabilei rezultative, de medie + xi i varian constant.Aceste ipoteze permit abordarea n condiii de rigurozitate tiinific a problematicii estimrii parametrilor i .

Valorile estimatorilor parametrilor, notate mai sus cu i pot fi determinate cu ajutorul mai multor metode matematice i statistice. c.Verificarea statistica a modelului unifactorial liniar.este, de fapt, o operaiune de validare a modelului, n funcie de concluziile ei lundu-se decizia de confirmare sau de infirmare a posibilitilor acestuia de a reflecta corect situaia real. Setul de metode statistice care st la baza verificrii unui model econometric unifactorial este compus din mai multe tipuri de teste specifice, prezentate sintetic n cele ce urmeaz.O prim verificare const n determinarea i interpretarea erorilor standard generate de model. Erorile standard reprezint abateri ale valorilor estimate de la valorile reale i se mpart n dou categorii: prima categorie, calculat ca abatere a valorilor estimate ale variabilei rezultative fa de cele reale yi, se numete eroare standard a modelului (s) i se determin cu relaia:

(4.13)n principiu, cu ct aceast eroare este mai mic n raport cu valorile variabilei rezultative, cu att modelul aproximeaz mai corect realitatea economic studiat. Interpretarea calitii modelului n funcie de valoarea erorii standard a modelului este destul de relativ, fapt pentru care utilitatea acesteia const mai degrab n a fi folosit n determinarea altor parametri statistici de verificare a modelului; a doua categorie reprezint abateri ale valorilor estimate ale parametrilor funciei de regresie de la valorile lor reale i se numesc erori standard ale parametrilor modelului. Ele se determin pentru fiecare parametru n parte. n cazul modelului unifactorial liniar, cele dou erori standard ale parametrilor i , notate cu s , respectiv, s sunt:

(4.14)

(4.15)Cu ct aceste erori ale parametrilor modelului sunt mai mici n raport cu valorile absolute ale parametrilor pe care i caracterizeaz, cu att valorile estimate ale parametrilor respectivi sunt mai apropiate de cele reale.Pentru ca modelul elaborat s fie corect din punct de vedere statistic, el trebuie s ndeplineasc condiia de normalitate a variabilei aleatoare , prezentat n etapa formulrii ipotezelor iniiale. Aceasta se poate verifica cu ajutorul mai multor teste statistice, dintre care mai des utilizat este testul 2, care const n compararea frecvenelor absolute efective, ni, ataate valorilor variabilei aleatoare, cu valorile teoretice, pi. 1.Etapele testului Durbin-Watson.Se stabilete ipoteza nul H0 conform creia variabila aleatoare este autocorelat;Se determin valoarea calculat a testului, d, dup relaia:

d = (4.18)Se determin din tabelele statistice aferente testului Durbin Watson (anexa 5) dou valori tabelare, una inferioar i alta superioar, notate dL i dU . Valorile respective se iau din tabele n funcie de nivelul de semnificaie al testului, , n funcie de numrul de observaii, N, precum i n raport de numrul de variabile factoriale, k (care n cazul modelului unifactorial este egal cu unu);Se compar d cu valorile tabelare i pot rezulta trei situaii: dac d dL, nseamn c ipoteza autocorelrii variabilei aleatoare se accept, adic valorile variabilei aleatoare sunt dependente una fa de cealalt, ceea ce implic faptul c i nregistrrile de date n eantioane sunt dependente unele de altele i modelul trebuie corectat; dac dL d dU, testul este neconcludent i trebuie refcut pe alte eantioane de date; dac d > dU, nseamn c ipoteza autocorelrii variabilei aleatoare se respinge, adic valorile variabilei aleatoare sunt independente ntre ele, ceea ce implic faptul c i nregistrrile de date n eantioane au fost independente. n aceast situaie, modelul este corect din punct de vedere statistic. n practica econometric, avnd n vedere faptul c, rareori, valorile tabelare ale acestui test depesc valoarea 2 se spune c dac valoarea calculat d este mai mare dect 2, atunci modelul este corect. Pentru rigurozitate tiinific, ns, este de preferat s se trag concluziile dup compararea lui d cu valorile tabelare aferente testului Durbin Watson.

4.Modelul hiperbolic.Ajustarea cu ajutorul hiperbolei se utilizeaz atunci cnd norul de puncte urmeaz o traiectorie de tip hiperbol. n acest caz, dependena dintre cele dou variabile poate fi invers sau direct, iar reprezentarea grafic este de forma:

Modelul hiperbolic are la baz urmtoarea ecuaie: (4.44)

Parametrii i ai modelului pot fi estimai cu ajutorul metodei celor mai mici ptrate, prin utilizarea transformrii de variabil: .

Modelul devine, astfel: (4.45)n aceste condiii, sistemul de ecuaii care conduce la valorile estimate ale parametrilor i , obinut conform algoritmului prezentat n cazul modelului unifactorial liniar, este:

(4.46)

yi0xi 0 0Ajustarea prin hiperbol se recomand atunci cnd variabila rezultativ y scade, respectiv, crete asimptotic ctre o valoare real dat de parametrul , fapt ilustrat i de figura 4.3:

Analiza de corelaie n cazul modelului hiperbolic se realizeaz cu ajutorul raportului de corelaie R i a coeficientului de determinaie simpl R2.Verificarea statistic a modelului i discuiile referitoare la homoscedasticitatea variabilei aleatoare sunt similare cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar.

n funcie de reprezentarea grafic a legturii, pot fi utilizate variante ale funciei hiperbolice, care au la baz diverse ecuaii: ; ; etc.2.Homoscedasticitatea si heteroscedasticitate.Homoscedasticitate- distribuia variabilei aleatoare i are aceeai varian, independent de valorile variabilei factoriale xi, variana lui i rmne constant (graficul repartiiei normale prezint aceeai mprtiere a valorilor i) indiferent de valorile pe care le ia xi. Acest lucru sugereaz absena oricrei legturi ntre variabila aleatoare i variabila factorial, condiie esenial aplicrii metodei celor mai mici ptrate. Heteroscedasticitate-Dac cele dou sunt corelate, nseamn c s-au pierdut din vedere factori de influen importani, care trebuie introdui n model. n aceast situaie, nseamn c variana variabilei aleatoare se modific n raport cu variaia variabilei factoriale xi, variana lui i se modific, este cresctoare (graficul repartiiei normale prezint mprtieri tot mai mari ale valorilor i) pe msur ce xi variaz. Acest lucru nseamn c variabila aleatoare este normal distribuit, de medie nul, E(i) = 0, i varian Var(i) = i2, unde i2 nu este constant. n aceste condiii, estimarea parametrilor modelului cu metoda celor mai mici ptrate va accentua importana valorilor lui x care determin variaii mai mari ale lui i i va minimiza influena valorilor lui x care determin variaii mai mici ale lui i.

5. Modelul parabolicAcest model, numit i modelul ptratic, este folosit, de regul, atunci cnd ritmul de evoluie al caracteristicii urmeaz o curb de tip U, cu vrfurile n jos sau n sus. Pentru exprimarea modelului parabolic se utilizeaz funcia de gradul doi, dup relaia:yi = + 1xi +2xi2 + i (4.47)Reprezentarea grafic a unei funcii parabolice este urmtoarea:

yi0xi2 02 0Figura 4.4. Reprezentarea grafic a funciei parabolicei n cazul acestei funcii, pentru estimarea parametrilor , 1 i 2 se poate aplica metoda celor mai mici ptrate, rezultnd urmtorul sistem de trei ecuaii cu trei necunoscute:

(4.48)Dac 2 0, vrful parabolei va fi dat de minimul funciei (parabola este cu ramurile n sus), iar dac 2 0, vrful parabolei este dat de maximul funciei (parabola este cu ramurile n jos).Analiza de corelaie n cazul modelului parabolic, similar cu modelul hiperbolic, are la baz determinarea i interpretarea raportului de corelaie R i a coeficientului de determinaie simpl R2.Verificarea statistic a modelului i discuiile referitoare la homoscedasticitatea variabilei aleatoare sunt, de asemenea, similare cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar.

Modelul parabolic are, la rndul su, foarte multe variante de exprimare, cum ar fi: ; ; ; etc.

4.2.3. Modelul exponenialEste utilizat atunci cnd norul de puncte are un trend curbiliniu cresctor sau descresctor, de tip exponenial. Ecuaia modelului este de forma:

(4.49)Reprezentarea grafic a funciei exponeniale este dat de figura 4.5:

yi0xi0 1 1Figura 4.5. Reprezentarea grafic a funciei exponenialen cazul acestei funcii, pentru a estima parametrii i este necesar, n primul rnd, s se liniarizeze funcia prin logaritmare, astfel:log yi = log + xi log (4.50)Apoi, se aplic metoda celor mai mici ptrate i se obine sistemul de ecuaii:

(4.51)Acest model se utilizeaz, de obicei, atunci cnd unei variaii n progresie aritmetic a variabilei factoriale x i corespunde o variaie n progresie geometric a variabilei rezultative y. Analiza de corelaie n cazul modelului exponenial, similar cu celelalte modele neliniare, se realizeaz prin determinarea i interpretarea raportului de corelaie R i a coeficientului de determinaie simpl R2.Verificarea statistic a modelului i discuiile referitoare la homoscedasticitatea variabilei aleatoare sunt, ca i n celelalte cazuri neliniare, similare cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar.Modelul exponenial are, la rndul su, numeroase variante de exprimare, cum ar fi:

; etc.

V.Modele econometrice multifactoriale. a. Model econometric factorial- are la baz o legtur stochastic dintre o variabil rezultativ y i un numr finit de variabile factoriale x1, x2, , xk care se poate descrie cu ajutorul unei funcii matematice f, astfel:yi = f(x1, x2, , xk) + i (5.1) n care, i, similar cu modelele unifactoriale, reprezint variabila aleatoare, rezidual, perturbatoare, care include factorii nesemnificativi sau necuantificabili. b.Modelul multifactorial liniar.Funcia de regresie care st la baza modelului multifactorial liniar este de forma:yi = + 1 x1i + 2 x2i + + k xki + (5.2)n care: yi reprezint valorile variabilei rezultative;x1i, x2i, , xki sunt valorile variabilelor factoriale luate n considerare;, 1, , k sunt parametrii modelului, corespunztori variabilelor factoriale x1i, x2i, , xki;i este variabila aleatoare sau rezidual.Estimarea parametrilor regresiei liniare multiple se realizeaz tot cu metoda celor mai mici ptrate, utilizat i la modelele unifactoriale. Aplicarea ei pornete de la aceleai ipoteze fundamentale: datele privind variabila rezultativ i variabilele factoriale sunt obinute fr erori de observare sau msurare; variabila aleatoare sau rezidual i este de distribuie normal, de medie nul (E(i) = 0) i de varian constant i diferit de zero (homoscedastic); variabila aleatoare i urmeaz o distribuie independent de valorile variabilelor factoriale x1i, x2i, , xki; variabilele factoriale nu sunt corelate liniar unele fa de celelalte (ipoteza absenei multicoliniaritii); valorile variabilei aleatoare nu sunt autocorelate. Obinerea valorilor estimate ale parametrilor , 1, 2, , k nseamn finalizarea analizei de regresie a modelului multifactorial liniar.Analiza corelaiei n cazul modelului multifactorial liniar cu variabile cantitative se realizeaz cu ajutorul raportului de corelaie multipl, a coeficientului de determinaie multipl, precum i a coeficienilor de corelaie i determinaie parial .Dac modelul multifactorial conine variabile calitative, se utilizeaz metodele neparametrice de msurare a intensitii legturii1.Modele multifactoriale liniare. a.Functiile exponentiale si putere. Funciile exponeniale pot fi, la rndul lor, de diverse forme, cele mai utilizate fiind cele care pot fi uor liniarizate prin diverse transformri. O funcie exponenial multifactorial cunoscut este de forma: y = 1 x1 2 x2 k xk (5.24)Liniarizarea acestei funcii se realizeaz prin logaritmare:log y = log + x1 log 1 + + xk log k + log (5.25)n acest fel, modelul este unul multifactorial liniar cu parametrii log , log 1, , log k, care pot fi estimai cu metoda celor mai mici ptrate.O alt funcie exponenial utilizat destul de des n econometrie este de forma:

(5.26)Liniarizarea acestei funcii se realizeaz prin logaritmare cu logaritm natural i se obine:ln y = ln + 1 x1 + 2 x2 + + k xk + ln (5.27)Din nou se ajunge la un model multifactorial liniar care poate fi analizat cu metodele cunoscute.A doua categorie de funcii multifactoriale neliniare sunt funciile de putere. Ecuaia cea mai cunoscut care st la baza unui model de putere este urmtoarea:y = x1 1 x2 2 xk k (5.28)Liniarizarea unei astfel de funcii se realizeaz tot prin logaritmare, rezultnd o ecuaie de forma:log y = log + 1 log x1 + + k log xk + log (5.29)Similar cu funciile exponeniale, n urma efecturii operaiunii de logaritmare, estimarea parametrilor funciei rezultate se poate realiza tot cu metoda celor mai mici ptrate. b.Functii de productie Cobb Douglas. are la baz urmtoarea ecuaie: Y = L K n care: Y reprezint venitul realizat la nivelul economiei naionale pe timp de un an, cuantificat iniial de ctre autori cu ajutorul venitului naional, iar, mai recent, prin produsul naional brut sau produsul intern brut ;L - este fora de munc utilizat n economie n timpul unui an, cuantificat prin cuantumul salariilor;K - reprezint capitalul fix productiv aferent aceleiai perioade; i sunt coeficienii de elasticitate ai venitului n raport cu L i K.Prin logaritmare, rezult funcia liniar de forma:log Y = log L + log K (5.31)Estimatorii parametrilor i se obin prin aplicarea metodei celor mai mici ptrateValoarea estimat pentru elasticitatea arat, n valoare procentual, cu ct se modific venitul Y, atunci cnd fora de munc L se modific cu o unitate.Similar, valoarea estimat a elasticitii arat, n valoare procentual, cu ct se modific venitul Y, atunci cnd capitalul fix K se modific cu o unitate.Iniial, autorii au ajuns la concluzia c, pe termen lung, ntr-o economie deschis de pia, suma elasticitilor i tinde ctre 1, ipotez infirmat, ns, de cercetri ulterioare[endnoteRef:6]. [6: E. Pecican, op. cit., pag. 135 137]

VI.Modele econometrice bazate pe factorul timp.1.Analiza eco-trica a evolutiei in timp a variabilelor economiceReprezint o latur distinct a cercetrii variabilelor economice cu ajutorul metodelor cantitative.Prezint cteva caracteristici fundamentale:1. Variabilitatea termenilor unei serii de timp2. Omogenitatea termenilor3. Periodicitatea termenilor4. Interdependena termenilor seriei de timp, care nseamn existena unor legturi ntre valorile nregistrate la perioade diferite de timp, adic relevarea unor interdependene ntre nivelul curent al variabilei i nivelurile nregistrate n perioadele anterioare. Un element fundamental al analizei econometrice cu ajutorul seriilor de timp l reprezint alegerea lungimii seriei de date, de regul, fiind necesar un numr suficient de mare de termeni, astfel nct s poat fi aplicate principiile legii numerelor mari i s poat fi fundamentate corect previziunile pe diferite perioade de timp.Un alt element fundamental l reprezint alegerea formei optime de analiz a seriei de date. Din acest punct de vedere, cea mai utilizat modalitate de analiz a seriilor de timp o reprezint descompunerea evoluiei seriei dinamice pe componente determinate de aciunea diferiilor factori de influen. a.Componentele unei serii dinamice.1. Trendul sau tendina central Tt, care reflect legitatea specific de evoluie a variabilelor economice studiate pe o perioad lung de timp, fcnd abstracie de abaterile fa de nivelul mediu, respectiv, de erorile sau valorile reziduale datorate influenei factorilor aleatori. Identificarea trendului unei serii de timp se realizeaz cu ajutorul a diverse metode econometrice, cunoscute generic sub numele de ajustarea seriilor de timp;2. Variaiile ciclice Ct, care reprezint oscilaiile interanuale n jurul tendinei centrale cu un caracter nesistematic, n sensul c att intervalele la care oscilaiile se manifest, ct i intensitatea lor, sunt diferite de-a lungul timpului;3. Variaiile sezoniere St sunt acea component sistematic ce se manifest prin oscilaii de perioad mai mic sau cel mult egal cu un an, repetabile n timp. Sezonalitatea se manifest sub forma unor abateri de la medie care apar regulat n timpul unui an i are un caracter mai mult sau mai puin pregnant n funcie de specificul domeniului studiat;4. Variaiile aleatoare sau reziduale (perturbatoare) t apar datorit unor factori necuantificabili i cu aciuni absolut imprevizibile. n funcie de proprietile atribuite variabilei aleatoare pot fi aplicate anumite tehnici de estimare i previziune a comportamentului seriei de date. b.Explicarea relatiei: yt = Tt + Ct + St + t , (6.2)Schema cea mai simpl i mai des utilizat este schema aditiv, n care cele patru componente ale seriei se nsumeaz direct,unde yt reprezint valoarea variabilei studiate la momentul t. Primele dou componente, trendul i variaiile ciclice, se pot analiza mpreun sub forma componentei extrasezoniere Dt, dup relaia:Dt = Tt + Ct (6.3)

c.Schema multiplicativa.are dou variante:1. Atunci cnd componenta sezonier este proporional cu componenta extrasezonier, schema de compunere se prezint n felul urmtor:yt = Dt + Dt St + t = Dt (1 + St) + t (6.4)2. Atunci cnd componenta aleatoare este proporional cu suma celorlalte componente, schema este urmtoarea: yt = Dt (1 + St)(1 + t) (6.5)d.Serii de timp de intervale si serii de timp de momente(discrete).Astfel, n raport de perioada de timp la care se refer datele, seriile de timp pot fi: serii de timp de intervale (continue), n cazul crora fiecare nivel al caracteristicii se refer la o perioad de timp. Seriile pe intervale se utilizeaz, de regul, n cazul variabilelor exprimate n uniti monetare i au drept trstur esenial faptul c termenii lor sunt nsumabili (de exemplu, profitul din anul 2005 poate fi adunat cu profitul aceleiai firme nregistrat n anii 2004, 2003 .a.m.d.) ; serii de timp de momente (discrete), n cazul crora fiecare nivel al caracteristicii se refer la un moment dat. n aceast situaie, termenii seriei nu sunt nsumabili, deoarece conin nregistrri repetate (de exemplu, populaia Romniei din anul 2005 nu poate fi nsumat cu populaia Romniei din anul 2004, datorit faptului c cele dou valori se includ una pe cealalt).e. serii de timp bazate pe indicatori absolui, care reprezint forma fundamental de exprimare a unei serii de timp i pe baza creia se pot obine indicatori generalizatori afereni ntregii perioade studiate; serii de timp bazate pe indicatori relativi, care arat variaii de la o perioad la alta, exprimate, de obicei, sub form procentual. n cazul acestei modaliti de exprimare este foarte important alegerea i specificarea clar a perioadei luate ca baz de referin; serii de timp bazate pe indicatori medii, care sunt exprimate sub forma unor indicatori calculai ca medii, folosite ndeosebi atunci cnd se analizeaz fenomene care se produc n anumite perioade de timp (media anual sau lunar a produciei, numrul mediu anual de lucrtori etc.) sau n anumite uniti de spaiu (recolta medie la hectar, producia medie a unui utilaj etc.).2.Functii de timp - Prima categorie de metode care folosesc modele matematice si Exprima trendul unei serii de timp sub forma unei funcii de forma:yt = f(t) + t (6.9) n care, yt reprezint valorile seriei de date studiate, considerate variabila rezultativ sau dependent, t este factorul timp, privit ca variabil factorial, independent, f reprezint funcia matematic (determinist) care modeleaz evoluia n timp a fenomenului studiat, iar t este variabila aleatoare, care arat influena factorilor aleatori la momentul t. Utilizarea unei funcii analitice de determinare a trendului stabilete cu o exactitate mai mare sau mai mic legea de dezvoltare pe termen lung a fenomenului sau procesului economic studiat, n funcie de mprtierea valorilor n jurul tendinei centrale. Tendina de variaie se aproximeaz, de cele mai multe ori, cu ajutorul funciilor ale cror curbe i ecuaii de estimare au fost prezentate n capitolul de modele unifactoriale, variabila x din modelele respective devenind acum factorul timp t. Parametrii acestor funcii de timp, similar cu cei ai modelelor de regresie, se estimeaz n cele mai multe cazuri cu metoda celor mai mici ptrate.

a.Functia liniara de timpstudiaz legtura dintre factorul timp t i variabila rezultativ yt cu ajutorul unei funcii de forma:yt = + t + t (6.10)n care i sunt parametrii sau coeficienii funciei de timp i reprezint valori necunoscute ce urmeaz a fi estimate, iar t este variabila aleatoare, rezidual sau perturbatoare care acioneaz la momentul t. Factorul timp t este reprezentat, de obicei, n cadrul acestor funcii de irul numerelor naturale (0, 1, 2, , n).Parametrul al funciei liniare de timp reprezint valoarea pe care o ia variabila rezultativ yt la momentul zero (y0 = ) i poate avea relevan n model sau nu, n funcie de cazul concret analizat.Parametrul , reprezint panta dreptei de regresie, adic valoarea cu care se modific variabila rezultativ yt n perioada dintre dou momente consecutive t 1 i t.Semnul i valoarea parametrului prezint o importan deosebit n descrierea evoluiei n timp a variabilei studiate.Astfel, dac 0, atunci variabila rezultativ yt are o evoluie cresctoare n timp (y0 y1 yn). Pot fi distinse trei situaii: dac 1, creterea de la o perioad la alta este mai puin accentuat; dac 1, creterea variabilei rezultative este mai puternic, iar dac = 1, creterea este direct proporional cu timpul.Dac 0, atunci variabila rezultativ yt are o evoluie descresctoare n timp (y0 y1 yn), iar dac = 0, variabila rezultativ yt se menine constant n timp (y0 = y1 = = yn).

Estimarea valorilor parametrilor i , se face, similar cu modelul unifactorial liniar, prin determinarea a doi estimatori i . Aceti estimatori trebuie calculai astfel nct diferena dintre valorile reale ale variabilei rezultative yt i valorile estimate cu ajutorul parametrilor calculai s fie ct mai mic ().b.Functii neliniare de timp.este acea funcie a crei pant, dat de parametrul , nu este constant pentru orice valoare a lui t. Estimarea parametrilor unei astfel de funcii se realizeaz fie direct prin metoda celor mai mici ptrate, fie prin diverse transformri care duc la liniarizarea funciei, fie prin utilizarea unor metode numerice de estimare. n econometrie, cele mai cunoscute i mai des ntlnite funcii de timp neliniare sunt: funcia hiperbolic, funcia parabolic i funcia exponenial.

Existena sau absena unei evoluii liniare a variabilei rezultativ yt se probeaz prin verificarea egalitii dintre raportul de corelaie R i valoarea absolut a coeficientului de corelaie liniar simpl, , astfel: dac cei doi parametri ai corelaiei sunt egali (R = ), evoluia este liniar, iar dac cei doi parametri sunt diferii (R ), evoluia este neliniar.

c.Functia de timp hiperbolica.se utilizeaz atunci cnd norul de puncte urmeaz o traiectorie de tip hiperbol. n acest caz, evoluia variabilei rezultative este dat de reprezentarea grafic ilustrat de figura 4.3 din capitolul 4.Funcia hiperbolic are la baz urmtoarea ecuaie:

, .n aceste condiii, sistemul de ecuaii care conduce la valorile estimate ale parametrilor i este:

(6.14)Ajustarea prin hiperbol se recomand atunci cnd variabila rezultativ yt scade, respectiv, crete asimptotic ctre o valoare real dat de parametrul al funciei.Analiza de corelaie n cazul modelului hiperbolic se realizeaz cu ajutorul raportului de corelaie R i a coeficientului de determinaie simpl R2, a cror interpretare este similar cu cele prezentate la funcia de timp liniar.d.Functia de timp parabolica.este folosit, de regul, atunci cnd ritmul de evoluie al variabilei studiate urmeaz o curb de tip U, cu vrfurile n jos sau n sus. Pentru exprimarea funciei de timp parabolic se utilizeaz funcia de gradul doi, dup relaia:yt = + 1 t +2 t2 + t (6.15)Reprezentarea grafic a unei funcii de timp parabolice este dat de figura 4.4 din capitolul 4.i n cazul acestei funcii, pentru estimarea parametrilor , 1 i 2 se poate aplica metoda celor mai mici ptrate, rezultnd urmtorul sistem de trei ecuaii cu trei necunoscute:

(6.16)Dac 2 0, vrful parabolei va fi dat de minimul funciei (parabola este cu ramurile n sus), iar dac 2 0, vrful parabolei este dat de maximul funciei (parabola este cu ramurile n jos).e.Functia de timp exponentiala.este utilizat atunci cnd norul de puncte are un trend curbiliniu cresctor sau descresctor, de tip exponenial. Ecuaia funciei este de forma:

(6.17)Reprezentarea grafic a funciei exponeniale este dat de figura 4.5 din cadrul capitolului 4.n cazul acestei funcii, pentru a estima parametrii i este necesar, n primul rnd, s se liniarizeze funcia prin logaritmare, astfel:log yt = log + t log (6.18)Pe ecuaia dat de relaia 6.18 se aplic metoda celor mai mici ptrate i se obine sistemul de ecuaii:

(6.19)Acest model se utilizeaz, de obicei, atunci cnd variabila rezultativ yt prezint o evoluie n timp de tip progresie geometric. Analiza de corelaie n cazul funciei exponenial, similar cu celelalte funcii de timp neliniare, se realizeaz prin determinarea i interpretarea raportului de corelaie R i a coeficientului de determinaie simpl R2.Verificarea statistic a modelului este, ca i n celelalte cazuri neliniare, similar cu cele prezentate la modelul unifactorial liniar.3.Modelul autoregresiv de ordin Keste un model econometric care presupune c ntre nivelul curent al variabilei studiate i comportamentul su anterior exist o legtur liniar sau neliniar. n funcie de numrul de perioade cu care analiza este decalat n urm exist mai multe tipuri de modele, ncepnd cu modelul autoregresiv de ordinul nti n cazul cruia efectul n timp este analizat pe o perioad n urm i continund cu modelele de ordine superioare doi, trei, etc. n cazul crora efectul n timp este studiat pe k perioade n urm.Modelul general care studiaz caracterul autoregresiv al unei variabile economice se numete model autoregresiv de ordinul k AR(k) i are la baz urmtoarea ecuaie:yt = + 1 yt1 + 2 yt2 + + k ytk + t (6.3.5)n care: yt reprezint nivelul curent al variabilei rezultative;yt1, yt2, , ytk sunt nivelurile decalate cu una, dou, respectiv, k perioade n urm ale variabilei studiate;, 1, , k sunt parametrii modelului autoregresiv de ordinul k;t este variabila aleatoare. Cu ct influena nivelurilor anterioare asupra nivelului curent al variabilei studiate este mai mare, cu att sunt mai importante anticipaiile operatorilor n determinarea comportamentului variabilei respective. Dac modelul autoregresiv arat o legtur puternic ntre nivelurile anterioare i nivelul curent, nseamn c o proporie semnificativ a evoluiei variabilei studiate se bazeaz pe anticipaii i mai puin pe influenele obiective pe care aceasta le sufer din partea celorlalte variabile factoriale. Parametrii unui model autoregresiv de ordin k se estimeaz direct cu metoda celor mai mici ptrate, dac valoarea lui k este suficient de mic nct s existe informaii despre perioadele anterioare analizate.