capitol 4 econometrie

Capitolul 4 4.1 Probleme rezolvate

4.1.1 Serii de timp cu două componente: trend liniar şi variabilă reziduală

4.1.2 Serii de timp cu două componente: trend neliniar şi variabilă reziduală

4.1.3 Serii de timp cu trei componente: trend, sezonalitate şi variabilă reziduală

4.1.4 Metode de nivelare a seriilor de timp 4.1.4.1 Nivelarea seriilor de timp cu ajutorul metodei mediilor

mobile 4.1.4.2 Ajustarea seriilor de timp cu ajutorul metodei nivelării

exponenţiale 4.2 Probleme propuse spre rezolvare

Descrierea econometrică a seriilor de timp

4.1 Probleme rezolvate 4.1.1 Serii de timp cu două componente: trend liniar şi variabilă

reziduală

Evoluţia înzestrării populaţiei cu aspiratoare de praf la 1000 de locuitori în România în perioada 1990 - 2002 este prezentată în tabelul de mai jos:

Tabelul 4.1.1. Anul 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Nr. aspiratoare de praf la 1000 locuitori 77,2 79,1 81,1 84,8 85,1 86,8 91,3

Anul 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Nr. aspiratoare de praf la 1000 locuitori 95,2 98,4 97,7 100,4 104,7 114,2

Se cere: a) Să se justifice utilizarea unui model aditiv cu două componente

pentru descrierea evoluţiei fenomenului analizat; b) Să se estimeze componentele modelului formulat la punctul

precedent şi să se verifice semnificaţia acestuia; c) Să se estimeze valorile fenomenului pentru următorii 2 ani.

4 Descrierea econometrică a seriilor de timp

Econometrie. Studii de caz

Rezolvare:

a) În cazul seriilor cronologice sau a seriilor de timp, specificarea modelului porneşte de la reprezentarea grafică a datelor, respectiv construirea cronogramei (vezi figura 4.1.1).

50

60

70

80

90

100

110

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Ani

buc/

103 lo

c.

Figura 4.1.1. Evoluţia înzestrării populaţiei cu aspiratoare de praf la 1000 de locuitori în România în perioada 1990-2002

Deoarece, în perioada analizată, evoluţia fenomenului prezintă o

creştere permanentă, fără oscilaţii semnificative, iar curba punctelor empirice prezintă o formă ce poate fi aproximată cu o dreaptă, modelul ce poate fi utilizat pentru aproximarea evoluţiei fenomenului este de forma:

tt utfy += )(

unde: - yt = valorile înregistrate de fenomen în perioada analizată (vezi

tabelul 4.1.1 - linia 2); - f t( ) = componenta trend ce poate fi descrisă cu ajutorul unei funcţii

liniare:


( ) tbatfyt ⋅+== ˆˆˆ

- =tu variabila reziduală.

b) Modelul construit la punctul a) fiind ttt uyy += ˆ , rezolvarea

acestuia presupune estimarea celor două componente: =ty estimaţia componentei trend;

=−= ttt yyu ˆˆ estimaţia variabilei reziduale.

Estimarea componentei trend se realizează cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate, care constă în minimizarea funcţiei:

∑ ∑= =

⋅−−=−=13

1

13

1

22 )ˆˆ(min)ˆ(min)ˆ,ˆ(t t

ttt tbayyybaF

Condiţia de minim a acestei funcţii rezultă din:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=⋅+⋅⇒==⋅+⋅⇒=

∑∑∑∑∑

tytbtabFytbanaF

t

t2ˆˆ0)ˆ('

ˆˆ0)ˆ('

În urma efectuării calculelor - vezi tabelul 4.1.2., coloanele 1, 2 şi 3, a rezultat următorul sistem de ecuaţii:

⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

=+=+

7522,2ˆ7346,72ˆ

9,8872ˆ819ˆ911196ˆ91ˆ13

ba

baba

Tabelul 4.1.2 Anul

(t) yt t 2 tyt ⋅

1 2 3 4 1 77,2 1 77,2 2 79,1 4 158,2 3 81,1 9 243,3 4 84,8 16 339,2 5 85,1 25 425,5 6 86,8 36 520,8


Anul (t)

yt t 2 tyt ⋅

1 2 3 4 7 91,3 49 639,1 8 95,2 64 761,6 9 98,4 81 885,6

10 97,7 100 977 11 100,4 121 1104,4 12 104,7 144 1256,4 13 114,2 169 1484,6

91 1196 819 8872,9 Utilizând pachetul de programe EViews în vederea estimării

parametrilor modelului au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: yt

Method: Least Squares Sample: 1990 2002 Included observations: 13

Variable Coefficient Semnif.

ind. Std. Error

Semnif. ind.

t-Statistic

Semnif. ind.

Prob.

C 72,7346 a 1,386 asˆ 52,4785 at ˆ 0,000 ( )ap ˆ

t 2,7522 b 0,1746 bsˆ 15,7612 b

t ˆ 0,000 ( )bp ˆ

R-squared 0,9576 2R Mean dependent

var 92,0000 y

Adjusted R-squared 0,9537 2

cR S.D. dependent var 10,9530 ys

S.E. of regression 2,3557 us ˆ Akaike info

criterion 4,6922 AIC

Sum squared

resid 61,0441

( )∑∑=

=−2

2

ˆ

ˆ

t

tt

u

yySchwarz criterion 4,7791 SC

Log likelihood -28,4994 L F-statistic 248,4160 Fc

Durbin-Watson stat 1,2079 d Prob(F-statistic) 0,0000 p(F)


Semnificaţia indicatorilor necunoscuţi pe care-i calculează pachetul de programe EViews a fost prezentată în cadrul aplicaţiei 2.1.2.

Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei y, tyt 7522,27346,72ˆ += , şi ale variabilei reziduale,

ttt yyu ˆˆ −= . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului 4.1.3

(utilizând pachetul de programe EViews):

Tabelul 4.1.3 Actual

ty

Fitted

ty

Residual

ttt yyu ˆˆ −= Residual Plot

(graficul reziduurilor)

77,2 75,4868 1,7132 | . | *. | 79,1 78,2390 0,8610 | . | * . | 81,1 80,9912 0,1088 | . * . | 84,8 83,7434 1,0566 | . | * . | 85,1 86,4956 -1,3956 | . * | . | 86,8 89,2478 -2,4478 | * | . | 91,3 92,0000 -0,7000 | . *| . | 95,2 94,7522 0,4478 | . |* . | 98,4 97,5044 0,8956 | . | * . | 97,7 100,2566 -2,5566 | * | . |

100,4 103,0088 -2,6088 | * | . | 104,7 105,7610 -1,0610 | . * | . | 114,2 108,5132 5,6868 | . | . *| 77,2 75,4868 1,7132 | . | *. |

În vederea testării semnificaţiei parametrilor şi a modelului se vor

calcula: - dispersia variaţiei reziduale

1

22ˆ −−= ∑

kTu

s tu

unde: T = numărul de termeni ai seriei; T = 13; k = numărul variabilelor explicative; k = 1;

3557,25495,5213

0441,61ˆ

2ˆ =⇒=

−= uu ss


- abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori a şi b

386,11827

1315495,5

)(1 2

2

22ˆˆ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+⋅=∑ tt

tT

ss ua

1746,01825495,5

)( 2

2ˆ

ˆ ==−

=∑ tt

ss ub

Deoarece numărul de termeni ai seriei este mai mic de 30, testarea estimatorilor se va face cu ajutorul testului “t” - Student. Din tabela distribuţiei Student, pentru un prag de semnificaţie 01,0=α şi în funcţie de numărul gradelor de libertate 111=−−= knv , se preia valoarea

106,311;01,0 =t .

106,34784,52386,17346,72ˆ

11;01,0ˆ

ˆ =>=== tsa

ta

a

106,37612,151746,07522,2ˆ

11;01,0ˆ

ˆ =>=== ts

bt

bb

Deci, pentru un prag de semnificaţie de 1%, ambii estimatori sunt semnificativ diferiţi de zero.

- valoarea raportului de corelaţie

9786,09576,062,1439

0441,611)(

1 2

2

==−=−

−=∑∑

yyu

Rt

t

Testarea semnificaţiei raportului de corelaţie se realizează cu ajutorul testului Fisher - Snedecor:

416,2480424,09576,0

111

11

2

2

=⋅=−

⋅−−

=R

RkkTFc


Din tabela distribuţiei Fisher - Snedecor, pentru un prag de semnificaţie 01,0=α şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v k1 1= = şi 1112 =−−= kTv , se preia valoarea 65,911;1;01,0 =F .

Deoarece 65,9416,248 11;1;01,0 =>= FFc , valoarea raportului de

corelaţie este semnificativ diferită de zero, pentru un prag de semnificaţie 01,0=α . În vederea verificării independenţei valorilor variabilei reziduale se

va utiliza testul Durbin-Watson, care constă în calcularea valorii:

21,10441,617325,73

ˆ

)ˆˆ(13

1

2

13

2

21

==−

=

∑

∑

=

=−

tt

ttt

u

uud

Din tabela distribuţiei Durbin-Watson, pentru un prag de semnificaţie 01,0=α , în funcţie de numărul observaţiilor 13=T şi de numărul variabilelor exogene k = 1, se preiau valorile (pentru cazul n = 15): 07,1;81,0 21 == dd .

Deoarece 07,121,1 2 =>= dd şi 79,2421,1 2 =−<= dd , se poate accepta ipoteza de independenţă a valorilor variabilei reziduale.

Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor în cazul acestui model se va realiza cu ajutorul testului White (vezi aplicaţia 2.1.2). Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate:

White Heteroskedasticity Test:

F-statistic 5,3762 Probability 0,0260 Obs*R-squared 6,7357 Probability 0,0345

Test Equation:

Dependent Variable: 2tu

Method: Least Squares Sample: 1990 2002 Included observations: 13

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 7,9641 6,4478 1,2352 0,2450


t -3,4209 2,1182 -1,6150 0,1374 2t 0,3282 0,1472 2,2293 0,0499

R-squared 0,5181 Mean dependent var 4,6957 Adjusted R-squared 0,4218 S.D. dependent var 8,6629 S.E. of regression 6,5875 Akaike info criterion 6,8074 Sum squared resid 433,9527 Schwarz criterion 6,9378 Log likelihood -41,2481 F-statistic 5,3762 Durbin-Watson stat 2,0327 Prob(F-statistic) 0,0260

Analizând rezultatele afişate de programul EViews se constată că

56,73762,5 10;2;01,0 =<= FFc , iar estimatorii parametrilor modelului sunt

nesemnificativi pentru un prag de semnificaţie 01,0=α ( 169,310;01,0 =t ),

deci ipoteza de homoscedasticitate se verifică. Verificarea verosimilităţii modelului se realizează cu ajutorul

metodei analizei variaţiei, calculele fiind prezentate în tabelul următor:

Valoarea testului F Sursa de variaţie

Măsura variaţiei Nr. grade

de libertateDispersia corectată Fc F v vα ; ;1 2

Variaţia explicată

de tendinţă

( )5759,1378

ˆ 22

=

−=∑ yyV tt k = 1 5759,1378

22

/

=

=k

Vs tty

416,248

2

2/

=

=u

tyc s

sF 65,911;1;01,0 =F

Variaţia reziduală

( )0441,61

ˆ 22

=

−=∑ ttu yyV111=−− kT

5495,51

22

=−−

=kT

Vs u

u - -

Variaţia totală

( )62,1439

220

=

−=∑ yyV t 121=−T - - -

Deoarece 65,9416,248 11;1;01,0 =>= FFc , modelul este acceptat, cu

un prag de semnificaţie α = 0 01, .


Din ecuaţia analizei variaţiei:

24,476,95100100100100 20

2

2

2222

0 +=⇒⋅+⋅=⇒+=VV

VVVVV u

o

tut

rezultă că modelul explică 95,76% din variaţia totală a numărului de aspiratoare de praf la 1000 de locuitori.

În final, modelul econometric devine: tyt ⋅+= 7522,27346,72ˆ ; 9786,0=R

(1,386) (0,1746) 21,1=d 3557,2ˆ =us

c) Deoarece modelul a fost acceptat ca semnificativ, acesta poate fi folosit la estimarea prognozei fenomenului analizat.

Analiza capacităţii de prognoză a modelului privind evoluţia înzestrării populaţiei cu aspiratoare de praf la 1000 de locuitori în perioada 1990-2002 poate fi realizată pe baza indicatorilor statistici propuşi de H. Theil (vezi aplicaţia 2.1.3).

În urma calculelor efectuate cu ajutorul pachetului de programe EViews în vederea testării capacităţii de prognoză a modelului privind evoluţia înzestrării populaţiei cu aspiratoare de praf la 1000 de locuitori în perioada 1990-2002, au rezultat următoarele informaţii:

Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelului privind privind evoluţia înzestrării populaţiei cu aspiratoare de praf la 1000 de locuitori

în România în perioada 1990-2002 Tabelul 4.1.4

Denumirea indicatorului Simbolul indicatorului Valoarea indicatorului 0 1 2

Coeficientul Theil T 0,0117 Ponderea abaterii TA 0,0000 Ponderea dispersiei TD 0,0108 Ponderea covarianţei TC 0,9892

În urma analizei rezultatelor obţinute se constată că modelul posedă

o bună capacitate de prognoză, ca urmare a valorilor mici înregistrate în cazul coeficientului Theil, a ponderii abaterii şi a ponderii dispersiei şi, deci,


poate fi acceptat în vederea realizării unei prognoze a înzestrării populaţiei cu aspiratoare de praf la 1000 de locuitori.

Astfel, nivelul previzionat al fenomenului va fi: - în anul 2003:

3,111147522,27346,72ˆ14 =⋅+=y aspiratoare de praf la 1000 loc. Abaterea standard a nivelului previzionat al fenomenului va fi egală

cu:

( )( )

( ) 7332,2182

71413115495,511

2

2

2142

ˆˆ14=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

++⋅=∑ tt

ttT

ss uy

Intervalul de încredere al prognozei fenomenului, estimat cu un prag

de semnificaţie 01,0=α , pentru care valoarea lui tα , preluată din tabela

distribuţiei Student, este de 106,311;01,0 =t , se calculează cu ajutorul relaţiei:

[ ]( ) 99,001,01ˆ14ˆ;1414 =−=⋅±∈

yv styyP α

[ ]( ) 99,07332,2106,33,11114 =⋅±∈yP [ ]( ) 99,08,119;8,10214 =∈yP

- în anul 2004:

114157522,27346,72ˆ15 =⋅+=y aspiratoare de praf la 1000 loc.

( )( )

( ) 8156,2182

71513115495,511

2

2

2152

ˆˆ15=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

++⋅=∑ tt

ttT

ss uy

[ ]( ) 99,001,018156,2*106,311415 =−=±∈yP

[ ]( ) 99,08,122;3,10515 =∈yP

În concluzie, în urma efectuării calculelor, se poate aprecia că în

anul 2003 nivelul fenomenului va fi cuprins în intervalul [ ]8,119;8,102 , iar în anul 2004 în intervalul [ ]8,122;3,105 , probabilitatea de realizare a acestor prognoze fiind de 99%.


Aprecierea prognozei înzestrării populaţiei cu aspiratoare de praf la 1000 de locuitori pe baza modelului liniar, se poate face cu ajutorul a două noţiuni, siguranţa prognozei şi precizia prognozei, noţiuni care se află în relaţie invers proporţională.

Siguranţa prognozei este dată de probabilitatea (p) cu care este estimat intervalul de încredere, iar precizia prognozei de relaţia:

- eroarea absolută

*ˆ** ˆ

vnyvnvna styye+

⋅=−= ++ α

4893,87332,2106,32003

=⋅=ae

7454,88156,2106,32004

=⋅=ae

- eroarea relativă

100ˆ

100ˆ

(%) *ˆ

*

*

⋅⋅

=⋅=++

+

vn

y

vn

ar y

st

yee vn

α

%63,71003,111

4893,8(%)2003

=⋅=re

%67,71001147454,8(%)

2004=⋅=re

În urma calculării erorii relative de prognoză (er%) corespunzătoare

modelului, se constată că acesta conduce la erori ce nu depăşesc pragul de 15%, ceea ce denotă faptul că acesta poate fi acceptat ca semnificativ pentru realizarea de previziuni conform acestui test.

4.1.2 Serii de timp cu două componente: trend neliniar şi variabilă

reziduală

Dinamica indicelui preţurilor bunurilor de consum în perioada decembrie 1990-decembrie 1993, având ca bază de calcul octombrie 1990, este descrisă de seria de date prezentată în tabelul de mai jos.


Oct. 1990=1 Tabelul 4.2.1 Luna

Anul Ian. Feb. Mar. Apr. Mai Iun.

1990 - - - - - - 1991 1,581 1,692 1,804 2,282 2,398 2,445 1992 5,312 5,974 6,573 6,88 7,713 8,041 1993 14,83 16,05 17,52 19,27 25,135 26,511

Luna

Anul Iul. Aug. Sept. Oct. Nov. Dec.

1990 - - - 1 - 1,377 1991 2,677 2,976 3,194 3,526 3,91 4,445 1992 8,296 8,576 9,445 10,35 11,75 13,3 1993 30,007 33,255 36,891 42,913 48,994 52,599

Sursa: Anuarul Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 322-323.

Se cere: a) Să se descrie evoluţia indicelui preţurilor bunurilor de consum cu

ajutorul unui model econometric de timp; b) Cu ajutorul modelului acceptat la punctul a), să se efectueze

prognoza dinamicii acestuia pe următoarele 3 luni; c) Ştiind că dinamica indicelui preţurilor bunurilor de consum în

perioada ianuarie 1994-decembrie 2004 a avut următoarele valori (vezi tabelul 4.2.2.), să se compare valorile de prognoză cu cele înregistrate de indicele preţurilor bunurilor de consum şi să se formuleze concluziile ce rezultă;

Tabelul 4.2.2 Luna

Anul Ian. Feb. Mar. Apr. Mai Iun.

1994 55,176 58,431 63,281 67,084 70,424 72,234 1995 86,783 88,034 88,85 90,279 91,249 92,449 1996 109,996 112,072 114,006 116,223 122,429 123,701 1997 193,864 230,253 300,968 321,738 335,447 343,155 1998 449,601 481,926 500,018 513,652 525,356 531,958 1999 620,794 638,633 679,252 712,217 750,064 788,272


Luna Anul

Ian. Feb. Mar. Apr. Mai Iun. 2000 973,18 994,265 1012,085 1060,506 1079,819 1110,42 2001 1361,223 1391,811 1420,167 1457,843 1483,18 1506,81 2002 1750,275 1770,458 1776,787 1813,048 1846,572 1868,808 2003 2041,563 2058,090 2080,261 2102,433 2112,712 2130,651 2004 2325,921 2340,629 2352,277 2365,909 2372,672 2386,768

Luna

Anul Iul. Aug. Sept. Oct. Nov. Dec.

1994 73,375 74,68 77,62 81,033 83,337 85,073 1995 94,831 95,75 97,273 100,735 104,844 108,681 1996 133,004 138,046 141,361 146,154 154,577 170,52 1997 345,525 357,683 369,517 393,458 410,255 428,722 1998 539,075 542,505 557,167 578,775 589,836 602,654 1999 801,289 811,052 836,906 871,74 906,513 932,969 2000 1157,908 1179,18 1212,3 1245,794 1281,153 1312,781 2001 1526,502 1560,634 1590,959 1629,818 1674,321 1710,423 2002 1878,215 1893,609 1905,240 1936,540 1985,972 2015,562 2003 2156,248 2161,892 2208,250 2241,910 2274,159 2300,562 2004 2417,116 2430,250 2453,240 2483,340 2499,397 2513,608

Sursa: Anuarul Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 322-323, Buletin Statistic Lunar de Preţuri nr. 1-12, INS, Bucureşti, 2003, p. 3, Buletin Statistic Lunar de Preţuri nr. 1-12, INS, Bucureşti, 2004, p. 3.

d) Să se testeze ipoteza stabilităţii relative în timp a evoluţiei indicelui preţurilor bunurilor de consum (IPC) şi să se descrie evoluţia acestuia pe întreaga perioadă (decembrie 1990-decembrie 2004) cu ajutorul unui model econometric adecvat.

Rezolvare:

a) Modelarea seriei de timp privind indicele preţurilor bunurilor de consum urmăreşte să descrie evoluţia acestuia cu ajutorul unei funcţii statistico-matematice, în care timpul joacă rol de variabilă explicativă.


Identificarea structurii modelului de ajustare în cazul seriilor de timp are ca punct de plecare reprezentarea grafică a dinamicii fenomenului cu ajutorul procedeului denumit cronogramă (vezi figura 4.2.1.).

Figura 4.2.1 Dinamica indicelui preţului bunurilor de consum

în perioada decembrie 1990-decembrie 1993

Graficul evoluţiei IPC (vezi figura 4.2.1.) indică o creştere permanentă - de la o lună la alta - a acestuia, evoluţie ce presupune ca descrierea sa econometrică să se poată realiza cu ajutorul unui model neliniar de forma: tutfy ⋅= )( , unde modelul de ajustare va fi specificat cu

ajutorul a două funcţii: )1a funcţia putere: b

t taytf ⋅==)(

)2a funcţia exponenţială: tt baytf ⋅==)(

unde: =ty indicele preţurilor bunurilor de consum;

37,1=t - lunile anilor - variabila timp.

0

10

20

30

40

50

60

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37Luna

IPC


)1a Caracterizarea dinamicii IPC cu ajutorul modelului

1

1111 : t

bt utayM ⋅⋅= necesită estimarea parametrilor 1a şi 1b . În acest scop,

pentru uşurarea calculelor se va utiliza modelul liniar:

1111 lnlnlnln tt utbay +⋅+=

În final, modelul se poate scrie:

'1

'1

'1

'1 tt utbay +⋅+=

unde: .ˆˆln;ln;ln;ln;ln '

11'11

''11

'11 tttttt yyuuttaayy =====

În vederea estimării parametrilor '1a şi 1b se va utiliza metoda celor

mai mici pătrate. În acest scop se defineşte funcţia:

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

′⋅−−=−=37

1

37

1

2

1'1

'1

2'1

'11

'1

ˆˆminˆminˆ,ˆt t

ttt tbayyybaF

( ) ∑∑ =⋅+⋅⇒= '1

'1

'11'

1

1'1 ˆˆ0ˆ

ˆ,ˆtytban

abaF

∂∂

( ) ( ) ∑∑∑ ⋅=+⋅⇒= ''1

2'1

''1

1

1'1 ˆˆ0ˆ

ˆ,ˆtytbta

bbaF

t∂

∂

Tabelul 4.2.3

t 1ty tt ln' = 2't 1'1 ln tt yy = '

1'

tyt ⋅ 1ˆ ty 1tu

1 2 3 4 5 6 7 8 1 1,377 0,000 0,0000 0,3199 0,0000 -0,9060 1,2259 2 1,581 0,693 0,4802 0,4581 0,3175 -0,1344 0,5924 3 1,692 1,099 1,2078 0,5259 0,5780 0,3170 0,2089 4 1,804 1,386 1,9210 0,5900 0,8177 0,6373 -0,0473 5 2,282 1,609 2,5889 0,8251 1,3276 0,8857 -0,0606 6 2,398 1,792 3,2113 0,8746 1,5673 1,0887 -0,2140 7 2,445 1,946 3,7869 0,8940 1,7397 1,2603 -0,3662 8 2,677 2,079 4,3222 0,9847 2,0472 1,4089 -0,4242 9 2,976 2,197 4,8268 1,0906 2,3960 1,5401 -0,4495


t 1ty tt ln' = 2't 1'1 ln tt yy = '

1'

tyt ⋅ 1ˆ ty 1tu

1 2 3 4 5 6 7 8 10 3,194 2,303 5,3038 1,1613 2,6745 1,6574 -0,4961 11 3,526 2,398 5,7504 1,2602 3,0220 1,7635 -0,5033 12 3,910 2,485 6,1752 1,3635 3,3883 1,8603 -0,4968 13 4,445 2,565 6,5792 1,4918 3,8265 1,9494 -0,4577 14 5,312 2,639 6,9643 1,6700 4,4071 2,0319 -0,3620 15 5,974 2,708 7,3332 1,7874 4,8403 2,1087 -0,3213 16 6,573 2,773 7,6895 1,8830 5,2216 2,1806 -0,2976 17 6,880 2,833 8,0259 1,9286 5,4637 2,2481 -0,3195 18 7,713 2,890 8,3521 2,0429 5,9040 2,3117 -0,2688 19 8,041 2,944 8,6671 2,0846 6,1371 2,3719 -0,2874 20 8,296 2,996 8,9760 2,1158 6,3389 2,4290 -0,3132 21 8,576 3,045 9,2720 2,1490 6,5437 2,4833 -0,3344 22 9,445 3,091 9,5543 2,2455 6,9408 2,5351 -0,2896 23 10,350 3,135 9,8282 2,3370 7,3265 2,5846 -0,2476 24 11,750 3,178 10,0997 2,4639 7,8303 2,6320 -0,1681 25 13,300 3,219 10,3620 2,5878 8,3301 2,6774 -0,0897 26 14,830 3,258 10,6146 2,6967 8,7858 2,7211 -0,0244 27 16,050 3,296 10,8636 2,7757 9,1487 2,7631 0,0126 28 17,520 3,332 11,1022 2,8633 9,5405 2,8036 0,0597 29 19,270 3,367 11,3367 2,9585 9,9616 2,8427 0,1159 30 25,135 3,401 11,5668 3,2243 10,9658 2,8804 0,3439 31 26,511 3,434 11,7924 3,2776 11,2553 2,9169 0,3607 32 30,007 3,466 12,0132 3,4014 11,7879 2,9523 0,4492 33 33,255 3,497 12,2290 3,5042 12,2542 2,9865 0,5177 34 36,891 3,526 12,4327 3,6080 12,7218 3,0197 0,5882 35 42,913 3,555 12,6380 3,7592 13,3640 3,0520 0,7072 36 48,994 3,584 12,8451 3,8917 13,9479 3,0834 0,8083 37 52,599 3,611 13,0393 3,9627 14,3093 3,1139 0,8488

703 500,492 99,330 293,7516 77,0582 237,0292 77,0582 0,0000


În urma efectuării calculelor (vezi tabelul 4.2.3., coloanele 1, 2, 3, 4, 5, 6) a rezultat următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

0292,237ˆ7516,293ˆ33,99

0582,77ˆ33,99ˆ37

1'1

1'1

ba

ba

Utilizând programul EViews, au rezultat următoarele valori ale

estimatorilor parametrilor: 906,0ˆ '1 −=a şi 1133,11 =b .

Întroducând aceste valori în relaţia funcţiei de ajustare, se vor calcula valorile teoretice ale modelului (vezi tabelul 4.2.3., coloana 7):

''1 1133,1906,0ˆ tyt ⋅+−=

Valorile variabilei reziduale vor rezulta din următoarea relaţie:

'1

'1

'1 ˆ ttt yyu −= - vezi tabelul 4.2.3., coloana 8.

În vederea testării semnificaţiei parametrilor '

1a şi 1b se vor calcula: - dispersia variabilei reziduale:

( )11

2'12

'1 −−= ∑

kn

us t

ut

unde:

1n = numărul de termeni ai seriei; 1n = 37; k = numărul variabilelor explicative; k = 1.

În urma efectuării calculelor (utilizând programul EViews), a

rezultat valoarea: 4582,02099,0 '1

'1

2 =⇒=tt uu ss .


- abaterile medii pătratice corespunzătoare celor doi estimatori

1'1

ˆˆ ,ba

ss

( )248,01

2''

2'

1

2ˆ '

1'1

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+⋅=∑ tt

tn

sstua

( )0880,02''

2

ˆ

'1

1=

−=∑ tt

ss tu

b

Deoarece numărul de termeni ai seriei este mai mare de 30, testarea semnificaţiei estimatorilor se va face cu ajutorul testului „t”, pe baza distribuţiei normale, lucrând cu un prag de semnificaţie 05,0=α . Din tabela distribuţiei normale normate, pentru un prag de semnificaţie

05,0=α , se preia valoarea 96,105,0 =t .

96,165,3ˆ

05,0ˆ

'1

'1

1ˆ=>==

′t

sa

ta

ca

96,165,12ˆ

05,0ˆ

1

1

1=>== t

s

bt

bcb

Deci, pentru un prag de semnificaţie de 5%, estimatorii '1a şi 1b sunt

semnificativ diferiţi de zero, putând fi folosiţi la calculul intervalelor de încredere pentru parametrii '

1a şi 1b ai modelului:

[ ] [ ]4199,0;3921,1ˆ '1ˆ

'1

'1 '

1−−∈⇒⋅±∈ astaa

aα

deoarece 1'1 ln aa = , prin antilogaritmare rezultă intervalul de încredere

pentru parametrul 1a :

[ ]6571,0;2485,01 ∈a


Analog,

[ ] [ ]2858,1;9408,0ˆ1ˆ11

1∈⇒⋅±∈ bstbb

bα

Pentru testarea semnificaţiei modelului s-a utilizat metoda analizei

variaţiei; calculele sunt prezentate în tabelul următor:

Sursa de variaţie Măsura variaţiei Nr. grade de

libertate Dispersia corectată

Variaţia explicată de tendinţă

( )5744,33

ˆ 2'1

'1

2'

=

−= ∑ yyV tt 1=k

5744,33

22 '

'

=

=k

Vs t

t

Variaţia reziduală ( )

348,7

ˆ 2'1

'1

2'1

=

−= ∑ ttu yyVt 3511 =−− kn

2099,011

22 '

1'1

=−−

=kn

Vs t

t

uu

Variaţia totală ( )

9224,40

2'1

'1

20

=

−= ∑ yyV t 3611 =−n -

Valoarea calculată a variabilei Fisher-Snedecor este dată de

următoarea formulă:

9207,1592

2

'1

'=⇒= c

u

tc F

ss

Ft

Această valoare se compară cu valoarea tabelată care, pentru un prag

de semnificaţie 05,0=α şi în funcţie de numărul gradelor de libertate 11 == kv şi 35112 =−−= knv , este 125,435;1;05,0 =F . Deoarece

125,49207,159 35;1;05,0 =>= FFc , modelul este acceptat ca semnificativ în

raport cu evoluţia indicelui preţurilor bunurilor de consum pentru un prag de semnificaţie de 5%.


Pe baza datelor din tabel se poate calcula valoarea raportului de corelaţie astfel:

9058,08204,09224,405744,33

20

2

1'

====VV

R t

Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se verifică inegalitatea:

21;; vvc FF α>

Valoarea empirică a variabilei Fisher-Snedecor este:

21

211

11

RR

kknFc −

⋅−−

=

9207,1591796,08204,0

11137

=⋅−−

=cF

Deoarece 125,49207,159 35;1;05,0 =>= FFc valoarea raportului de

corelaţie este semnificativ diferită de zero cu un prag de semnificaţie 05,0=α .

Utilizând ecuaţia analizei variaţiei:

1882100100100*100 20

2

20

2222

0

'1'

'1

' +=⇒⋅+=⇒+=V

V

VV

VVV t

t

utut

rezultă că funcţia de ajustare explică 82% din variaţia totală a indicelui preţurilor bunurilor de consum.

În final, modelul econometric devine:

tyt ′⋅+−= 133,1906,0ˆ '1 ; 9058,01 =R

(0,248) (0,088) 4582,0'1=

tus


)2a Dinamica indicelui preţurilor bunurilor de consum poate fi

caracterizată şi cu ajutorul modelului 2M :

2222 tt

t ubay ⋅⋅=

Pentru a estima parametrii 2a şi 2b cu ajutorul metodei celor mai

mici pătrate, modelul neliniar a fost transformat prin logaritmare în modelul liniar:

2222 lnlnlnln tt ubtay +⋅+=

Pentru simplificarea relaţiior s-au utilizat următoarele notaţii: '22

'22

'22

'22

'22 ˆˆln;ln;ln;ln;ln tttttt yyuubbaayy =====

Astfel, modelul se poate scrie: '2

'2

'2

'2 tt utbay +⋅+=

În vederea calculării parametrilor '2a şi '

2b se utilizează metoda celor mai mici pătrate. În acest sens se defineşte funcţia:

( ) ( )∑ ∑= =

⋅−−==37

1

37

1

2'2

'2

'2

2'2

'2

'2

ˆˆminminˆ,ˆt t

tt tbayubaF

( ) ∑∑ =⋅+⋅⇒= '2

'2

'21'

2

'2

'2 ˆˆ0ˆ

ˆ,ˆtytban

abaF

∂∂

( ) ∑∑∑ ⋅=+⋅⇒= tytbtab

baFt'2

2'2

'2'

2

'2

'2 ˆˆ0ˆ

ˆ,ˆ∂

∂

În urma efectuării calculelor - vezi tabelul 4.2.4. - coloanele 1, 2, 3,

4, 5 - a rezultat următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅+⋅

=⋅+⋅

439,1878ˆ17575ˆ703

0582,77ˆ703ˆ37'2

'2

'2

'2

ba

ba


Utilizând programul EViews, au rezultat următoarele valori ale estimatorilor parametrilor: 2163,0ˆ '

2 =a şi 0982,0ˆ'2 =b .

Introducând aceste valori în relaţia funcţiei de ajustare, s-au calculat valorile teoretice ale modelului (vezi tabelul 4.2.4., coloana 6).

tyt ⋅+= 0982,02163,0ˆ '2

Valorile variabilei reziduale au fost obţinute pe baza relaţiei:

'2

'2

'2 ˆttt yyu −= - vezi tabelul 4.2.4., coloana 7.

Tabelul 4.2.4

t 2ty 2t 2

'2 ln tt yy = '

2tyt ⋅ 2ˆ ty 2tu ( )2tt −

1 2 3 4 5 6 7 8 1 1,377 1 0,3199 0,3199 0,3145 0,0054 324 2 1,581 4 0,4581 0,9162 0,4127 0,0453 289 3 1,692 9 0,5259 1,5777 0,5110 0,0149 256 4 1,804 16 0,5900 2,3600 0,6092 -0,0192 225 5 2,282 25 0,8251 4,1255 0,7074 0,1176 196 6 2,398 36 0,8746 5,2476 0,8057 0,0690 169 7 2,445 49 0,8940 6,2580 0,9039 -0,0098 144 8 2,677 64 0,9847 7,8776 1,0021 -0,0174 121 9 2,976 81 1,0906 9,8154 1,1003 -0,0098 100

10 3,194 100 1,1613 11,613 1,1986 -0,0373 81 11 3,526 121 1,2602 13,8622 1,2968 -0,0366 64 12 3,91 144 1,3635 16,362 1,3950 -0,0315 49 13 4,445 169 1,4918 19,3934 1,4933 -0,0015 36 14 5,312 196 1,6700 23,38 1,5915 0,0785 25 15 5,974 225 1,7874 26,8110 1,6897 0,0977 16 16 6,573 256 1,8830 30,1280 1,7880 0,0950 9 17 6,88 289 1,9286 32,7862 1,8862 0,0424 4 18 7,713 324 2,0429 36,7722 1,9844 0,0585 1 19 8,041 361 2,0846 39,6074 2,0827 0,0019 0 20 8,296 400 2,1158 42,316 2,1809 -0,0651 1 21 8,576 441 2,1490 45,129 2,2791 -0,1301 4 22 9,445 484 2,2455 49,401 2,3773 -0,1319 9


t 2ty 2t 2

'2 ln tt yy = '

2tyt ⋅ 2ˆ ty 2tu ( )2tt −

1 2 3 4 5 6 7 8 23 10,35 529 2,3370 53,751 2,4756 -0,1386 16 24 11,75 576 2,4639 59,1336 2,5738 -0,1100 25 25 13,3 625 2,5878 64,695 2,6720 -0,0843 36 26 14,83 676 2,6967 70,1142 2,7703 -0,0736 49 27 16,05 729 2,7757 74,9439 2,8685 -0,0928 64 28 17,52 784 2,8633 80,1724 2,9667 -0,1034 81 29 19,27 841 2,9586 85,7994 3,0650 -0,1064 100 30 25,135 900 3,2243 96,729 3,1632 0,0611 121 31 26,511 961 3,2776 101,6056 3,2614 0,0161 144 32 30,007 1024 3,4010 108,832 3,3597 0,0418 169 33 33,255 1089 3,5042 115,6386 3,4579 0,0463 196 34 36,891 1156 3,6080 122,672 3,5561 0,0519 225 35 42,913 1225 3,7592 131,572 3,6543 0,1048 256 36 48,994 1296 3,8917 140,1012 3,7526 0,1391 289 37 52,599 1369 3,9627 146,6199 3,8508 0,1119 324

703 500,492 17575 77,0582 1878,439 77,0582 0,0000 4218

Deoarece numărul de termeni ai seriei este mai mare de 30, testarea semnificaţiei estimatorilor se va face cu ajutorul testului „t”, pe baza distribuţiei normale, lucrând cu un prag de semnificaţie 05,0=α .

În acest scop se vor calcula:

- dispersia variabilei reziduale

0796,00063,01

'2

'2

'2

2

1

2'22 =⇒=⇒−−

= ∑ttt uu

tu

ssknu

s


- abaterile medii pătratice corespunzătoare celor doi estimatori ai parametrilor, '

2a şi '2b

( )0267,01

2

2

1

2ˆ '

2'2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+⋅=∑ tt

tn

sstua

( )0012,02

2

ˆ

'2

'2

=−

=∑ tt

ss tu

b

96,10942,8ˆ

05,0ˆ

'2

'2

2ˆ=>==

′t

s

at

aca

96,11255,80ˆ

05,0ˆ

'2

'2

2ˆ=>==

′t

s

bt

bcb

În acest caz, se poate considera că ambii estimatori sunt semnificativ

diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie de 5%, putând fi folosiţi la calculul intervalelor de încredere pentru parametrii '

2a şi '2b ai modelului:

[ ] [ ]2686,0;1639,0ˆ '

2ˆ05,0'2

'2 '

2∈⇒⋅±∈ astaa

a

[ ] [ ]1006,0;0958,0ˆ '

2ˆ05,0'2

'2 '

2∈⇒⋅±∈ bstbb

b

Deoarece '

22ln aa = şi '22ln bb = , prin antilogaritmare rezultă

intervalele de încredere pentru parametrii 2a şi 2b :

[ ]308,1;178,12 ∈a şi [ ]106,1;101,12 ∈b .


Pentru testarea modelului am utilizat analiza variaţiei, calculele fiind prezentate în următorul tabel:

Sursa de variaţie Măsura variaţiei Nr. grade de

libertate Dispersia corectată

Variaţia explicată de tendinţă

( )7006,40

ˆ 2'2

'2

2

=

−= ∑ yyV tt 1=k

7006,40

22

=

=k

Vs t

t

Variaţia reziduală ( )

2219,0

ˆ 2'2

'2

2

2

=

−= ∑′ ttuyyV

t 3511 =−− kn

0063,011

2

2 2

2

=−−

=′ kn

Vs t

t

u

u

Variaţia totală ( )

9224,40

2'2

'2

20

=

−= ∑ yyV t 3611 =−n -

Valoarea calculată a variabilei Fisher-Snedecor este dată de

următoarea formulă:

1,64202

2

'2

=⇒= cu

tc F

ssF

t

Această valoare se compară cu valoarea tabelată, preluată din tabelul

distribuţiei Fisher-Snedecor, pentru un prag de semnificaţie 05,0=α şi în funcţie de numărul gradelor de libertate 11 == kv şi 35112 =−−= knv , respectiv 125,435;1;05,0 =F .

Deoarece 125,41,6420 35;1;05,0 =>= FFc , modelul este acceptat ca

semnificativ în raport cu evoluţia indicelui preţurilor bunurilor de consum. Valoarea raportului de corelaţie este dată de relaţia:

9973,09946,09224,407006,40

2

2

2 ====o

t

VVR


Valoarea empirică a acestuia este egală cu:

1,64200054,09946,035 =⋅=cF

Deoarece 125,41,6420 35;1;05,0 =>= FFc , valoarea raportului de

corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie 05,0=α . Din relaţia:

100100100 20

2

20

2222

0

'2

'2

⋅+⋅=⇒+=V

V

VV

VVV t

t

utut

înlocuind cu valorile calculate, s-a ajuns la următorul rezultat:

54,046,99100 +=

În concluzie, funcţia de ajustare explică 99,46% din variaţia totală a indicelui preţurilor bunurilor de consum. Deoarece modelul bazat pe funcţia exponenţială explică 99,46% din variaţia totală a indicelui preţurilor bunurilor de consum, în timp ce modelul bazat pe funcţia putere explică 82% din aceeaşi variaţie, am considerat că este mai performant modelul

2M . Ca atare, pentru estimarea valorilor probabile pentru primele trei luni ale anului 1994 se va utiliza următorul model:

;0982,02163,0ˆ '2 tyt ⋅+= 9973,02 =R

(0,0267) (0,0012) 0796,0'2=

tus

b) Estimarea prognozei indicelui preţurilor bunurilor de consum: - pentru luna ianuarie 1994


- estimaţia tendinţei (valoarea punctuală) IPC 9490,3380982,02163,0ˆˆ '

38'94 =⋅+== yyI

- intervalul de încredere a valorii reale a IPC

[ ]38'38

'38 ˆ ∆±∈ yy

unde:

αtsy⋅=∆ '

38ˆ38

( )( )

0840,011 2

238

1

2ˆ 2

'38

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

++⋅=∑′ tt

ttn

sstuy

Lucrând cu un prag de semnificaţie 05,0=α , pentru care 96,105,0 =t , mărimea indicelui preţurilor de consum în luna ianuarie 1994,

cu o probabilitate de 95%, se va situa în intervalul următor:

[ ]( ) 95,005,01ˆ '38ˆ

'38

'38 =−=⋅±∈

ystyyP α

[ ]( ) 95,00840,096,19490,3'38 =⋅±∈yP

[ ]( ) 95,01137,4;7844,3'38 =∈yP

Deoarece 38'38 ln yy = , prin antilogaritmare, rezultă următorul

interval de încredere pentru luna ianuarie 1994:

[ ]0608,61;9386,4338 ∈y

În mod analog, pentru lunile februarie şi martie 1994 se vor obţine următoarele intervale:

- februarie 1994

[ ]( ) 95,04065,67;4387,4839 =∈yP


- martie 1994

[ ]( ) 95,0414,74;398,5340 =∈yP

c) Valorile reale ale fenomenului, înregistrate în lunile ianuarie,

februarie şi martie 1994 fiind 55,176, 58,431 şi respectiv 63,281, iar intervalele de prognoză calculate la punctul precedent fiind [ ]0608,61;9386,43 , [ ]4065,67;4387,48 şi respectiv [ ]414,74;398,53 , se observă că valorile reale sunt cuprinse în aceste intervale şi, ca atare, estimarea prognozei indicelui preţurilor bunurilor de consum cu ajutorul modelului:

;0982,02163,0ˆ '

2 tyt ⋅+= 9973,02 =R

(0,0267) (0,0012) 0796,0'2=

tus

a condus la o estimare corectă a valorilor reale.

d) Modelul econometric fiind expresia formală a legităţii de evoluţie a fenomenului analizat, utilizarea lui pentru prognoza fenomenului se fundamentează pe existenţa unei stabilităţi relative în timp a tendinţei fenomenului descris.

Econometric, acceptarea sau respingerea ipotezei de stabilitate relativă presupune utilizarea a două tipuri de modele de lucru:

)1d Construirea a două modele parţiale pe două subperioade ale perioadei iniţiale. Primul model parţial poate fi considerat cel obţinut la punctul b), construit pe perioada decembrie 1990 - decembrie 1993, iar cel de-al doilea va fi estimat pentru perioada ianuarie 1994 – decembrie 2004;

)2d Modelul general, construit pe baza seriei de timp a fenomenului, serie construită pe o perioadă mare de timp, în cazul de faţă perioada fiind decembrie 1990 - decembrie 2004.


Utilizând aceeaşi formă a modelului econometric tt ubay ⋅⋅= ,

respectiv modelul exponenţial, estimarea modelelor pe perioadele menţionate mai sus a condus la următoarele rezultate:

)1d Descrierea evoluţiei IPC în perioada ianuarie 1994 -

decembrie 2004 cu ajutorul modelului 3333 tt

t ubay ⋅⋅= . În mod analog cu

punctul b), modelul neliniar este transformat prin logaritmare în model liniar:

3333 lnlnlnln tt ubtay +⋅+=

Notaţii:

.ˆˆln;ln;ln;ln;ln '

33'33

'33

'33

'33 tttttt yyuubbaayy =====

Modelul devine:

'3

'3

'3

'3 * tt utbay ++=

În urma aplicării metodei celor mai mici pătrate în vederea

determinării parametrilor '3a şi '

3b , a rezultat următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=⋅+⋅

=⋅+⋅

∑∑∑∑∑

tytbta

ytban

t

t

'3

2'3

'3

'3

'3

'32

ˆˆ

ˆˆ

În urma efectuării calculelor - vezi tabelul 4.2.5., coloanele 1, 2, 3, 4,

5 - a rezultat:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅+⋅

=⋅+⋅

5719,92724ˆ1605670ˆ13662

1836,937ˆ13662ˆ132'3

'3

'3

'3

ba

ba


⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

0317,0ˆ061,3ˆ

'3

'3

b

a

tyt ⋅+= 0317,0061,3ˆ '

3

(vezi calcule tabelul 4.2.5., coloana 6)

Valorile variabilei reziduale sunt:

'3

'3

'3 ˆttt yyu −= -vezi tabelul 4.2.5, coloana 7.

Tabelul 4.2.5

t 3ty 2t 3

'3 ln tt yy = '

3tyt ⋅ '3ˆ ty 3tu′ ( )2tt −

1 2 3 4 5 6 7 8 38 55,176 1444 4,0105 152,4001 4,2657 -0,2552 4290,25 39 58,431 1521 4,0678 158,6460 4,2974 -0,2296 4160,25 40 63,281 1600 4,1476 165,9034 4,3291 -0,1815 4032,25 41 67,084 1681 4,2059 172,4438 4,3608 -0,1549 3906,25 42 70,424 1764 4,2545 178,6904 4,3925 -0,1380 3782,25 43 72,234 1849 4,2799 184,0362 4,4242 -0,1443 3660,25 44 73,375 1936 4,2956 189,0057 4,4559 -0,1604 3540,25 45 74,68 2025 4,3132 194,0946 4,4876 -0,1744 3422,25 46 77,62 2116 4,3518 200,1840 4,5193 -0,1675 3306,25 47 81,033 2209 4,3949 206,5583 4,5511 -0,1562 3192,25 48 83,337 2304 4,4229 212,2988 4,5828 -0,1599 3080,25 49 85,073 2401 4,4435 217,7320 4,6145 -0,1710 2970,25 50 86,783 2500 4,4634 223,1705 4,6462 -0,1828 2862,25 51 88,034 2601 4,4777 228,3639 4,6779 -0,2001 2756,25 52 88,85 2704 4,4869 233,3214 4,7096 -0,2226 2652,25 53 90,279 2809 4,5029 238,6540 4,7413 -0,2384 2550,25 54 91,249 2916 4,5136 243,7340 4,7730 -0,2594 2450,25 55 92,449 3025 4,5267 248,9661 4,8047 -0,2780 2352,25 56 94,831 3136 4,5521 254,9174 4,8364 -0,2843 2256,25 57 95,75 3249 4,5617 260,0192 4,8681 -0,3063 2162,25 58 97,273 3364 4,5775 265,4962 4,8998 -0,3223 2070,25 59 100,735 3481 4,6125 272,1371 4,9315 -0,3190 1980,25 60 104,844 3600 4,6525 279,1484 4,9632 -0,3107 1892,25 61 108,681 3721 4,6884 285,9934 4,9949 -0,3065 1806,25 62 109,996 3844 4,7004 291,4275 5,0266 -0,3262 1722,25 63 112,072 3969 4,7191 297,3059 5,0583 -0,3392 1640,25 64 114,006 4096 4,7363 303,1201 5,0900 -0,3538 1560,25 65 116,223 4225 4,7555 309,1082 5,1217 -0,3662 1482,25 66 122,429 4356 4,8075 317,2971 5,1534 -0,3459 1406,25


t 3ty 2t 3

'3 ln tt yy = '

3tyt ⋅ '3ˆ ty 3tu′ ( )2tt −

1 2 3 4 5 6 7 8 67 123,701 4489 4,8179 322,7971 5,1851 -0,3673 1332,25 68 133,004 4624 4,8904 332,5458 5,2168 -0,3264 1260,25 69 138,046 4761 4,9276 340,0035 5,2485 -0,3209 1190,25 70 141,361 4900 4,9513 346,5922 5,2802 -0,3289 1122,25 71 146,154 5041 4,9847 353,9109 5,3119 -0,3273 1056,25 72 154,577 5184 5,0407 362,9298 5,3436 -0,3029 992,25 73 170,52 5329 5,1389 375,1362 5,3753 -0,2365 930,25 74 193,864 5476 5,2672 389,7696 5,4070 -0,1399 870,25 75 230,253 5625 5,4392 407,9384 5,4388 0,0004 812,25 76 300,968 5776 5,7070 433,7323 5,4705 0,2365 756,25 77 321,738 5929 5,7737 444,5778 5,5022 0,2716 702,25 78 335,447 6084 5,8155 453,6062 5,5339 0,2816 650,25 79 343,155 6241 5,8382 461,2164 5,5656 0,2726 600,25 80 345,525 6400 5,8451 467,6052 5,5973 0,2478 552,25 81 357,683 6561 5,8796 476,2514 5,6290 0,2507 506,25 82 369,517 6724 5,9122 484,8001 5,6607 0,2515 462,25 83 393,458 6889 5,9750 495,9229 5,6924 0,2826 420,25 84 410,255 7056 6,0168 505,4094 5,7241 0,2927 380,25 85 428,722 7225 6,0608 515,1687 5,7558 0,3050 342,25 86 449,601 7396 6,1084 525,3190 5,7875 0,3209 306,25 87 481,926 7569 6,1778 537,4678 5,8192 0,3586 272,25 88 500,018 7744 6,2146 546,8887 5,8509 0,3637 240,25 89 513,652 7921 6,2415 555,4976 5,8826 0,3589 210,25 90 525,356 8100 6,2641 563,7669 5,9143 0,3498 182,25 91 531,958 8281 6,2766 571,1674 5,9460 0,3306 156,25 92 539,075 8464 6,2899 578,6666 5,9777 0,3121 132,25 93 542,505 8649 6,2962 585,5463 6,0094 0,2868 110,25 94 557,167 8836 6,3229 594,3493 6,0411 0,2817 90,25 95 578,775 9025 6,3609 604,2868 6,0728 0,2881 72,25 96 589,836 9216 6,3798 612,4651 6,1045 0,2753 56,25 97 602,654 9409 6,4013 620,9303 6,1362 0,2651 42,25 98 620,794 9604 6,4310 630,2379 6,1679 0,2631 30,25 99 638,633 9801 6,4593 639,4737 6,1996 0,2597 20,25

100 679,252 10000 6,5210 652,0992 6,2313 0,2897 12,25 101 712,217 10201 6,5684 663,4066 6,2630 0,3053 6,25 102 750,064 10404 6,6202 675,2562 6,2947 0,3254 2,25 103 788,272 10609 6,6698 686,9939 6,3264 0,3434 0,25 104 801,289 10816 6,6862 695,3671 6,3582 0,3281 0,25 105 811,052 11025 6,6983 703,3249 6,3899 0,3085 2,25 106 836,906 11236 6,7297 713,3494 6,4216 0,3082 6,25 107 871,740 11449 6,7705 724,4426 6,4533 0,3172 12,25 108 906,513 11664 6,8096 735,4374 6,4850 0,3246 20,25 109 932,969 11881 6,8384 745,3825 6,5167 0,3217 30,25 110 973,18 12100 6,8806 756,8626 6,5484 0,3322 42,25 111 994,265 12321 6,9020 766,1224 6,5801 0,3219 56,25 112 1012,085 12544 6,9198 775,0140 6,6118 0,3080 72,25 113 1060,506 12769 6,9665 787,2147 6,6435 0,3230 90,25


t 3ty 2t 3

'3 ln tt yy = '

3tyt ⋅ '3ˆ ty 3tu′ ( )2tt −

1 2 3 4 5 6 7 8 114 1079,819 12996 6,9845 796,2386 6,6752 0,3094 110,25 115 1110,42 13225 7,0125 806,4368 6,7069 0,3056 132,25 116 1157,908 13456 7,0544 818,3069 6,7386 0,3158 156,25 117 1179,18 13689 7,0726 827,4912 6,7703 0,3023 182,25 118 1212,3 13924 7,1003 837,8324 6,8020 0,2983 210,25 119 1245,794 14161 7,1275 848,1759 6,8337 0,2938 240,25 120 1281,153 14400 7,1555 858,6619 6,8654 0,2901 272,25 121 1312,781 14641 7,1799 868,7683 6,8971 0,2828 306,25 122 1361,223 14884 7,2161 880,3689 6,9288 0,2873 342,25 123 1391,811 15129 7,2384 890,3184 6,9605 0,2778 380,25 124 1420,167 15376 7,2585 900,0577 6,9922 0,2663 420,25 125 1457,843 15625 7,2847 910,5892 7,0239 0,2608 462,25 126 1483,18 15876 7,3019 920,0449 7,0556 0,2463 506,25 127 1506,81 16129 7,3178 929,3543 7,0873 0,2304 552,25 128 1526,502 16384 7,3307 938,3340 7,1190 0,2117 600,25 129 1560,634 16641 7,3528 948,5173 7,1507 0,2021 650,25 130 1590,959 16900 7,3721 958,3720 7,1824 0,1896 702,25 131 1629,818 17161 7,3962 968,9053 7,2141 0,1821 756,25 132 1674,321 17424 7,4232 979,8575 7,2458 0,1773 812,25 133 1710,423 17689 7,4445 990,1180 7,2776 0,1669 870,25 134 1750,275 17956 7,4675 1000,6488 7,3093 0,1583 930,25 135 1770,458 18225 7,4790 1009,6641 7,3410 0,1380 992,25 136 1776,787 18496 7,4826 1017,6284 7,3727 0,1099 1056,25 137 1813,048 18769 7,5028 1027,8788 7,4044 0,0984 1122,25 138 1846,572 19044 7,5211 1037,9099 7,4361 0,0850 1190,25 139 1868,808 19321 7,5331 1047,0948 7,4678 0,0653 1260,25 140 1878,215 19600 7,5381 1055,3308 7,4995 0,0386 1332,25 141 1893,609 19881 7,5462 1064,0198 7,5312 0,0151 1406,25 142 1905,24 20164 7,5524 1072,4356 7,5629 -0,0105 1482,25 143 1936,54 20449 7,5687 1082,3181 7,5946 -0,0259 1560,25 144 1985,972 20736 7,5939 1093,5164 7,6263 -0,0324 1640,25 145 2015,562 21025 7,6087 1103,2547 7,6580 -0,0493 1722,25 146 2041,563 21316 7,6215 1112,7348 7,6897 -0,0682 1806,25 147 2058,090 21609 7,6295 1121,5414 7,7214 -0,0919 1892,25 148 2080,261 21904 7,6402 1130,7568 7,7531 -0,1129 1980,25 149 2102,433 22201 7,6509 1139,9767 7,7848 -0,1340 2070,25 150 2112,712 22500 7,6557 1148,3592 7,8165 -0,1608 2162,25 151 2130,651 22801 7,6642 1157,2916 7,8482 -0,1840 2256,25 152 2156,248 23104 7,6761 1166,7710 7,8799 -0,2038 2352,25 153 2161,892 23409 7,6787 1174,8471 7,9116 -0,2329 2450,25 154 2208,250 23716 7,7000 1185,7932 7,9433 -0,2434 2550,25 155 2241,910 24025 7,7151 1195,8379 7,9750 -0,2599 2652,25 156 2274,159 24336 7,7294 1205,7810 8,0067 -0,2774 2756,25 157 2300,562 24649 7,7409 1215,3227 8,0384 -0,2975 2862,25 158 2325,921 24964 7,7519 1224,7957 8,0701 -0,3183 2970,25 159 2340,629 25281 7,7582 1233,5498 8,1018 -0,3437 3080,25 160 2352,277 25600 7,7631 1242,1023 8,1335 -0,3704 3192,25


t 3ty 2t 3

'3 ln tt yy = '

3tyt ⋅ '3ˆ ty 3tu′ ( )2tt −

1 2 3 4 5 6 7 8 161 2365,909 25921 7,7689 1250,7957 8,1653 -0,3963 3306,25 162 2372,672 26244 7,7718 1259,0271 8,1970 -0,4252 3422,25 163 2386,768 26569 7,7777 1267,7644 8,2287 -0,4510 3540,25 164 2417,116 26896 7,7903 1277,6142 8,2604 -0,4700 3660,25 165 2430,250 27225 7,7957 1286,2987 8,2921 -0,4963 3782,25 166 2453,240 27556 7,8052 1295,6574 8,3238 -0,5186 3906,25 167 2483,340 27889 7,8174 1305,4991 8,3555 -0,5381 4032,25 168 2499,397 28224 7,8238 1314,3992 8,3872 -0,5634 4160,25 169 2513,608 28561 7,8295 1323,1812 8,4189 -0,5894 4290,25

13662 132560,43 1605670 837,1836 92724,5719 837,1836 0,0000 191653,00

În vederea testării semnificaţiei parametrilor '3a şi '

3b , se vor calcula:

2857,00816,01306099,10

1 '3

'3

2

2'32 =⇒==−−

= ∑tt u

tu

sknu

s

( )072,01

2

2

2

2ˆ '

3'3

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+⋅=∑ tt

tn

sstua

( )0007,02

2

ˆ

'3

'3

=−

=∑ tt

ss tu

b

(vezi calcule tabelul 4.2.5., coloana 8).

Deoarece numărul de termeni ai seriei este mai mare de 30, testarea estimatorilor se va face pe baza testului “t”, distribuţia normală. Din tabela distribuţiei normale normate, pentru un prag de semnificaţie 05,0=α , se preia valoarea 96,105,0 =t .

96,153,42ˆ

05,0ˆ

'3

'3

'3ˆ

=>== tsa

ta

ca

96,15827,48ˆ

05,0ˆ

'3

'3

'3

=>== ts

bt

bc

b


Deci, pentru un prag de semnificaţie de 5%, estimatorii parametrilor, '3a şi '

3b , sunt semnificativ diferiţi de zero.

( ) 9735,09478,02424,203

6099,1011 2'3

'3

2'3

3 ==−=−

−=∑∑

tt

t

yy

uR

Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor:

277,23600522,09478,0

1130

11

23

232 =⋅=

−⋅

−−=

RR

kknFc

Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, pentru un prag de semnificaţie 05,0=α şi în funcţie de numărul gradelor de libertate

11 == kv şi 130122 =−−= knv se preia valoarea: 84,3130;1;05,0 ≅F .

Se constată că 84,32770,2360 130;1;5,0 =>= FFc , deci valoarea

raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie 05,0=α .


( ) ( ) ( )∑∑ ∑ −+−=−2'

3'3

2'3

'3

2'3

'3 ˆˆ tttt yyyyyy

6099,106325,1922424,203 +=

rezultă că modelul explică 94,78% ( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅

−

−

∑∑ 100

ˆ2'

3'3

2'3

'3

yy

yy

t

tt din variaţia totală

a fenomenului. În final, modelul econometric se poate scrie:

tyt ⋅+= 0317,0061,3ˆ '3 ; 9735,03 =R

(0,072) (0,0007) 2857,0'3=

tus


)2d Descrierea evoluţiei indicelui preţurilor bunurilor de consum în perioada decembrie 1990 - decembrie 2004

Şi în acest caz, modelul utilizat în final este de forma:

'4

'4

'4

'4 * tt utbay ++=

În urma efectuării calculelor - vezi tabelul 4.2.6., coloanele 1, 2, 3, 4,

5 - a rezultat următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅+⋅

=⋅+⋅

042,0ˆ8399,1ˆ

0137,94603ˆ1623245ˆ14365

1675,216ˆ14365ˆ169'4

'4

'4

'4

'4

'4

b

a

ba

ba

tyt ⋅+= 042,08399,1ˆ '

4 - vezi tabelul 4.2.6., coloana 6.

Valorile variabilei reziduale:

'4

'4

'4 ˆttt yyu −= - vezi tabelul 4.2.6., coloana 7.

Tabelul 4.2.6 t

4ty 2t 4'4 ln tt yy = '

4tyt ⋅ 4ˆty 4tu

1 2 3 4 5 6 7 1 1,377 1 0,3199 0,3199 1,8819 -1,5620 2 1,581 4 0,4581 0,9161 1,9239 -1,4658 3 1,692 9 0,5259 1,5777 1,9659 -1,4400 4 1,804 16 0,5900 2,3600 2,0079 -1,4179 5 2,282 25 0,8251 4,1253 2,0499 -1,2248 6 2,398 36 0,8746 5,2478 2,0919 -1,2172 7 2,445 49 0,8940 6,2583 2,1339 -1,2398 8 2,677 64 0,9847 7,8776 2,1759 -1,1912 9 2,976 81 1,0906 9,8152 2,2179 -1,1273

10 3,194 100 1,1613 11,6127 2,2599 -1,0986 11 3,526 121 1,2602 13,8618 2,3019 -1,0417 12 3,91 144 1,3635 16,3624 2,3439 -0,9803 13 4,445 169 1,4918 19,3931 2,3859 -0,8941 14 5,312 196 1,6700 23,3796 2,4279 -0,7579 15 5,974 225 1,7874 26,8113 2,4698 -0,6824 16 6,573 256 1,8830 30,1275 2,5118 -0,6289


t 4ty 2t 4

'4 ln tt yy = '

4tyt ⋅ 4ˆty 4tu

1 2 3 4 5 6 7 17 6,88 289 1,9286 32,7865 2,5538 -0,6252 18 7,713 324 2,0429 36,7723 2,5958 -0,5529 19 8,041 361 2,0846 39,6065 2,6378 -0,5533 20 8,296 400 2,1158 42,3155 2,6798 -0,5641 21 8,576 441 2,1490 45,1283 2,7218 -0,5729 22 9,445 484 2,2455 49,4007 2,7638 -0,5184 23 10,35 529 2,3370 53,7507 2,8058 -0,4688 24 11,75 576 2,4639 59,1325 2,8478 -0,3840 25 13,3 625 2,5878 64,6941 2,8898 -0,3021 26 14,83 676 2,6967 70,1130 2,9318 -0,2352 27 16,05 729 2,7757 74,9441 2,9738 -0,1981 28 17,52 784 2,8633 80,1736 3,0158 -0,1525 29 19,27 841 2,9585 85,7979 3,0578 -0,0993 30 25,135 900 3,2243 96,7278 3,0998 0,1244 31 26,511 961 3,2776 101,6044 3,1418 0,1357 32 30,007 1024 3,4014 108,8458 3,1838 0,2176 33 33,255 1089 3,5042 115,6388 3,2258 0,2784 34 36,891 1156 3,6080 122,6709 3,2678 0,3402 35 42,913 1225 3,7592 131,5711 3,3098 0,4494 36 48,994 1296 3,8917 140,1011 3,3518 0,5399 37 52,599 1369 3,9627 146,6198 3,3938 0,5689 38 55,176 1444 4,0105 152,4001 3,4358 0,5747 39 58,431 1521 4,0678 158,6460 3,4778 0,5900 40 63,281 1600 4,1476 165,9034 3,5198 0,6278 41 67,084 1681 4,2059 172,4438 3,5618 0,6441 42 70,424 1764 4,2545 178,6904 3,6038 0,6507 43 72,234 1849 4,2799 184,0362 3,6458 0,6341 44 73,375 1936 4,2956 189,0057 3,6878 0,6078 45 74,68 2025 4,3132 194,0946 3,7298 0,5834 46 77,62 2116 4,3518 200,1840 3,7718 0,5800 47 81,033 2209 4,3949 206,5583 3,8138 0,5811 48 83,337 2304 4,4229 212,2988 3,8558 0,5671 49 85,073 2401 4,4435 217,7320 3,8978 0,5457 50 86,783 2500 4,4634 223,1705 3,9398 0,5236 51 88,034 2601 4,4777 228,3639 3,9818 0,4959 52 88,85 2704 4,4869 233,3214 4,0238 0,4632 53 90,279 2809 4,5029 238,6540 4,0658 0,4371 54 91,249 2916 4,5136 243,7340 4,1078 0,4058 55 92,449 3025 4,5267 248,9661 4,1498 0,3769 56 94,831 3136 4,5521 254,9174 4,1918 0,3603


t 4ty 2t 4

'4 ln tt yy = '

4tyt ⋅ 4ˆty 4tu

1 2 3 4 5 6 7 57 95,75 3249 4,5617 260,0192 4,2338 0,3280 58 97,273 3364 4,5775 265,4962 4,2758 0,3018 59 100,735 3481 4,6125 272,1371 4,3178 0,2947 60 104,844 3600 4,6525 279,1484 4,3598 0,2927 61 108,681 3721 4,6884 285,9934 4,4018 0,2867 62 109,996 3844 4,7004 291,4275 4,4438 0,2567 63 112,072 3969 4,7191 297,3059 4,4858 0,2334 64 114,006 4096 4,7363 303,1201 4,5278 0,2085 65 116,223 4225 4,7555 309,1082 4,5698 0,1858 66 122,429 4356 4,8075 317,2971 4,6118 0,1958 67 123,701 4489 4,8179 322,7971 4,6537 0,1641 68 133,004 4624 4,8904 332,5458 4,6957 0,1946 69 138,046 4761 4,9276 340,0035 4,7377 0,1898 70 141,361 4900 4,9513 346,5922 4,7797 0,1716 71 146,154 5041 4,9847 353,9109 4,8217 0,1629 72 154,577 5184 5,0407 362,9298 4,8637 0,1770 73 170,52 5329 5,1389 375,1362 4,9057 0,2331 74 193,864 5476 5,2672 389,7696 4,9477 0,3194 75 230,253 5625 5,4392 407,9384 4,9897 0,4494 76 300,968 5776 5,7070 433,7323 5,0317 0,6753 77 321,738 5929 5,7737 444,5778 5,0737 0,7000 78 335,447 6084 5,8155 453,6062 5,1157 0,6997 79 343,155 6241 5,8382 461,2164 5,1577 0,6805 80 345,525 6400 5,8451 467,6052 5,1997 0,6453 81 357,683 6561 5,8796 476,2514 5,2417 0,6379 82 369,517 6724 5,9122 484,8001 5,2837 0,6285 83 393,458 6889 5,9750 495,9229 5,3257 0,6493 84 410,255 7056 6,0168 505,4094 5,3677 0,6491 85 428,722 7225 6,0608 515,1687 5,4097 0,6511 86 449,601 7396 6,1084 525,3190 5,4517 0,6566 87 481,926 7569 6,1778 537,4678 5,4937 0,6841 88 500,018 7744 6,2146 546,8887 5,5357 0,6789 89 513,652 7921 6,2415 555,4976 5,5777 0,6638 90 525,356 8100 6,2641 563,7669 5,6197 0,6444 91 531,958 8281 6,2766 571,1674 5,6617 0,6149 92 539,075 8464 6,2899 578,6666 5,7037 0,5862 93 542,505 8649 6,2962 585,5463 5,7457 0,5505 94 557,167 8836 6,3229 594,3493 5,7877 0,5352 95 578,775 9025 6,3609 604,2868 5,8297 0,5312 96 589,836 9216 6,3798 612,4651 5,8717 0,5082 97 602,654 9409 6,4013 620,9303 5,9137 0,4877 98 620,794 9604 6,4310 630,2379 5,9557 0,4753 99 638,633 9801 6,4593 639,4737 5,9977 0,4616 100 679,252 10000 6,5210 652,0992 6,0397 0,4813 101 712,217 10201 6,5684 663,4066 6,0817 0,4867


t 4ty 2t 4

'4 ln tt yy = '

4tyt ⋅ 4ˆty 4tu

1 2 3 4 5 6 7 102 750,064 10404 6,6202 675,2562 6,1237 0,4965 103 788,272 10609 6,6698 686,9939 6,1657 0,5042 104 801,289 10816 6,6862 695,3671 6,2077 0,4785 105 811,052 11025 6,6983 703,3249 6,2497 0,4487 106 836,906 11236 6,7297 713,3494 6,2917 0,4380 107 871,740 11449 6,7705 724,4426 6,3337 0,4368 108 906,513 11664 6,8096 735,4374 6,3757 0,4339 109 932,969 11881 6,8384 745,3825 6,4177 0,4207 110 973,18 12100 6,8806 756,8626 6,4597 0,4209 111 994,265 12321 6,9020 766,1224 6,5017 0,4003 112 1012,085 12544 6,9198 775,0140 6,5437 0,3761 113 1060,506 12769 6,9665 787,2147 6,5857 0,3808 114 1079,819 12996 6,9845 796,2386 6,6277 0,3569 115 1110,42 13225 7,0125 806,4368 6,6697 0,3428 116 1157,908 13456 7,0544 818,3069 6,7117 0,3427 117 1179,18 13689 7,0726 827,4912 6,7537 0,3189 118 1212,3 13924 7,1003 837,8324 6,7957 0,3046 119 1245,794 14161 7,1275 848,1759 6,8376 0,2899 120 1281,153 14400 7,1555 858,6619 6,8796 0,2759 121 1312,781 14641 7,1799 868,7683 6,9216 0,2583 122 1361,223 14884 7,2161 880,3689 6,9636 0,2525 123 1391,811 15129 7,2384 890,3184 7,0056 0,2327 124 1420,167 15376 7,2585 900,0577 7,0476 0,2109 125 1457,843 15625 7,2847 910,5892 7,0896 0,1951 126 1483,18 15876 7,3019 920,0449 7,1316 0,1703 127 1506,81 16129 7,3178 929,3543 7,1736 0,1441 128 1526,502 16384 7,3307 938,3340 7,2156 0,1151 129 1560,634 16641 7,3528 948,5173 7,2576 0,0952 130 1590,959 16900 7,3721 958,3720 7,2996 0,0725 131 1629,818 17161 7,3962 968,9053 7,3416 0,0546 132 1674,321 17424 7,4232 979,8575 7,3836 0,0395 133 1710,423 17689 7,4445 990,1180 7,4256 0,0189 134 1750,275 17956 7,4675 1000,6488 7,4676 -0,0001 135 1770,458 18225 7,4790 1009,6641 7,5096 -0,0306 136 1776,787 18496 7,4826 1017,6284 7,5516 -0,0691 137 1813,048 18769 7,5028 1027,8788 7,5936 -0,0908 138 1846,572 19044 7,5211 1037,9099 7,6356 -0,1145 139 1868,808 19321 7,5331 1047,0948 7,6776 -0,1446 140 1878,215 19600 7,5381 1055,3308 7,7196 -0,1815 141 1893,609 19881 7,5462 1064,0198 7,7616 -0,2154 142 1905,24 20164 7,5524 1072,4356 7,8036 -0,2512 143 1936,54 20449 7,5687 1082,3181 7,8456 -0,2769 144 1985,972 20736 7,5939 1093,5164 7,8876 -0,2937 145 2015,562 21025 7,6087 1103,2547 7,9296 -0,3209 146 2041,563 21316 7,6215 1112,7348 7,9716 -0,3501 147 2058,090 21609 7,6295 1121,5414 8,0136 -0,3841 148 2080,261 21904 7,6402 1130,7568 8,0556 -0,4153


t 4ty 2t 4

'4 ln tt yy = '

4tyt ⋅ 4ˆty 4tu

1 2 3 4 5 6 7 149 2102,433 22201 7,6509 1139,9767 8,0976 -0,4467 150 2112,712 22500 7,6557 1148,3592 8,1396 -0,4839 151 2130,651 22801 7,6642 1157,2916 8,1816 -0,5174 152 2156,248 23104 7,6761 1166,7710 8,2236 -0,5475 153 2161,892 23409 7,6787 1174,8471 8,2656 -0,5868 154 2208,250 23716 7,7000 1185,7932 8,3076 -0,6076 155 2241,910 24025 7,7151 1195,8379 8,3496 -0,6345 156 2274,159 24336 7,7294 1205,7810 8,3916 -0,6622 157 2300,562 24649 7,7409 1215,3227 8,4336 -0,6927 158 2325,921 24964 7,7519 1224,7957 8,4756 -0,7237 159 2340,629 25281 7,7582 1233,5498 8,5176 -0,7594 160 2352,277 25600 7,7631 1242,1023 8,5596 -0,7964 161 2365,909 25921 7,7689 1250,7957 8,6016 -0,8327 162 2372,672 26244 7,7718 1259,0271 8,6436 -0,8718 163 2386,768 26569 7,7777 1267,7644 8,6856 -0,9079 164 2417,116 26896 7,7903 1277,6142 8,7276 -0,9372 165 2430,250 27225 7,7957 1286,2987 8,7696 -0,9738 166 2453,240 27556 7,8052 1295,6574 8,8116 -1,0064 167 2483,340 27889 7,8174 1305,4991 8,8536 -1,0362 168 2499,397 28224 7,8238 1314,3992 8,8956 -1,0717 169 2513,608 28561 7,8295 1323,1812 8,9376 -1,1081

14365 133061,922 1623245 914,2418 94603,0137 914,2418 0,0000

În vederea testării semnificaţiei parametrilor '4a şi '

4b se vor calcula:

5948,03538,01670821,59

1 '4

'4

2'42 =⇒==−−

= ∑tt u

tu

skTu

s

0919,0402220

85169

13538,02

ˆ '4

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=

as

0009,0402220

3538,0'4

ˆ ==b

s

Analog, deoarece 30169 >=T se va utiliza testul „t”, distribuţia

normală, respectiv se preia valoarea 96,105,0 =t .


96,10172,20ˆ

05,0ˆ

'4

'4

'4ˆ

=>== tsa

ta

ca

96,17808,44ˆ

05,0ˆ

'4

'4

'4ˆ

=>== ts

bt

bc

b

Astfel, pentru un prag de semnificaţie de 5%, estimatorii '

4a şi '4b

sunt semnificativ diferiţi de zero.

( ) 9608,09231,05329,7680821,5911 2'

4'4

2'4

4 ==−=−

−=∑∑

yy

uR

t

t

Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie se va realiza cu

ajutorul testului Fischer-Snedecor:

318,20050769,09231,0

1167

=⋅=cF

Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, pentru un prag de semnificaţie 05,0=α şi în funcţie de numărul gradelor de libertate

11 == kv şi 16712 =−−= kTv se preia valoarea 84,3167;1;05,0 ≅F .

Se constată că 84,3318,2005 167;1;05,0 =>= FFc , deci valoarea

raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie 05,0=α .


( ) ( ) ( )∑∑∑ −+−=−2'

4'4

2'4

'4

2'4

'4 ˆˆ tttt yyyyyy

0281,594508,7095329,768 +=


rezultă că modelul explică 92,31% ( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

∑∑ 100*

ˆ2'

4'4

2'4

'4

yy

yy

t

t din variaţia totală

a fenomenului. În final, modelul econometric se scrie:

tyt ⋅+= 042,08399,1ˆ '4 ; 9608,04 =R

(0,0919) (0,0009) 5948,0'4=

tus

Testarea ipotezei de stabilitate relativă în timp a legităţii de evoluţie a indicelui preţurilor bunurilor de consum constă în compararea a două mărimi:

- valoarea empirică sau calculată a mărimii cF :

( )1

122

220

++⋅−

⋅−

=k

kTV

VVFau

auuc

unde:

∑=

=n

ttu uV

1

20

20 - reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

înregistrate în perioada dec. 1990 - dec. 2004; 22221 uauaau VVV +=

∑=

=1

11

21

2n

ttua uV - reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

înregistrate în perioada dec. 1990 - dec. 1993 ( )371 =n ;

∑+=

=T

nttua uV

1

22

2

1

2- reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

înregistrate în perioada ian. 1994 – dec 2004 ( )1322 =n ; T = numărul total de observaţii ( )16921 =+= nnT ; k = numărul variabilelor exogene ( )1=k .


- se poate demonstra că această mărime este o variabilă aleatoare ce

urmează distribuţia Fisher-Snedecor în funcţie de un prag de semnificaţie 05,0=α şi de numărul gradelor de libertate 11 += kv şi ( )122 +⋅−= kTv ,

respectiv 21;; vvFα .

Testarea ipotezei de stabilitate constă în alegerea uneia din următoarele ipoteze:

:0H Dacă 220 auu VV ≅ , rezultă că legitatea de evoluţie a fenomenului

este stabilă în timp, modelul putând fi utilizat în vederea efectuării prognozei;

:1H Dacă 220 auu VV ≠ , rezultă că legitatea de evoluţie a fenomenului nu

este stabilă în timp, iar modelul nu va putea fi utilizat în vederea efectuării prognozei.

În cazul în care 21;; vvc FF α≤ se alege ipoteza 0H , iar

dacă21;; vvc FF α> se alege ipoteza 1H .

Aplicând aceste principii în problema de faţă s-au obţinut următoarele valori:

0821,59169

1

20

20 ==∑

=ttu uV

2219,037

1

21

21

==∑=t

tua uV

6099,10169

38

22

22

== ∑=t

tua uV

8318,106099,102219,022221

=+=+= uauaau VVV

Valoarea calculată a mărimii cF este:

5,36711

)11(21698318,10

8318,100821,59=

++⋅−

⋅−

=cF


Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, în funcţie de un prag de semnificaţie 05,0=α , de numărul gradelor de libertate 21 =v şi 1652 =v se preia valoarea 99,2165;2;05,0 ≅F .

În urma comparării valorii calculate cu valoarea tabelată a variabilei F se constată că 99,25,367 165;2;05,0 =>= FFc , în consecinţă ipoteza 0H este

respinsă, deci legitatea de evoluţie a fenomenului nu este stabilă în timp, modelul neputând fi utilizat în vederea efectuării prognozei.

4.1.3 Serii de timp cu trei componente: trend, sezonalitate

şi variabilă reziduală

Evoluţia trimestrială a pasagerilor transportaţi (mii pasageri) prin intermediul transportului feroviar în România, în perioada 2000-2003, se descrie prin următoarele date :

Tabelul 4.3.1

Trimestre ( )j = 1 4, Anul

( )4,1=i I II III IV

2000 29150 29406 29995 28950 2001 28878 29433 29105 26302 2002 24617 23796 24321 22884 2003 24039 23713 24313 22745

Sursa: Buletin statistic lunar nr. 2/2002, INS, Bucureşti, p. 77, Buletin statistic lunar nr. 2/2003, INS, Bucureşti, p. 95, Buletin statistic lunar nr. 11/2004, INS, Bucureşti, p. 88.

Se cere: a) Să se aleagă modelul de ajustare privind descrierea fenomenului

analizat; b) Să se estimeze componenta sezonieră şi să se determine seria

cronologică desezonalizată (S.C.V.S); c) Să se specifice funcţia de ajustare privind tendinţa fenomenului şi

să se estimeze parametrii acesteia;


d) Să se verifice semnificaţia funcţiei de ajustare specificându-se pragul de semnificaţie cu care aceasta poate fi acceptată ca semnificativă;

e) Să se estimeze valorile fenomenului y pe primele două trimestre ale anului 2004.

Rezolvare:

a) Specificarea structurii modelului de timp se poate face cu ajutorul mai multor metode, cum ar fi:

)1a metoda grafică;

)2a metoda analizei variaţiei;

)1a Metoda grafică constă în construirea cronogramei seriei de timp analizate.

2000021000220002300024000250002600027000280002900030000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Trimestre

y

Figura 4.3.1 Evoluţia trimestrială a pasagerilor transportaţi (mii pasageri) prin intermediul transportului feroviar în România, în perioada 2000-2003

Întrucât cronograma fenomenului analizat indică o evoluţie oscilantă, de natură sinusoidală, aceasta conduce la acceptarea unui model structurat pe trei componente de forma:

( ) ( )y f t s t ut t= + +


unde: yt = valorile reale ale fenomenului analizat;

( )s t = componenta sezonieră, efect al acţiunii factorilor sezonieri, a căror

influenţă se exercită pe perioade mai mici de un an; ( )f t = componenta trend, efect al influenţei factorilor esenţiali, reprezentînd

tendinţa de evoluţie a fenomenului analizat pe termen lung, tendinţă care, pe baza graficului, poate fi descrisă cu ajutorul unei funcţii liniare;

ut = componenta reziduală, efect al influenţei factorilor aleatori.

)2a Metoda analizei variaţiei Utilizarea acestei metode în scopul specificării modelului de ajustare

se fundamentează pe relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑ ∑∑∑∑∑ +−−+−+−=−= = i j

jiij

n

i i jj

i ji

m

jij yyyyyyyyyy 2

01

20

20

1

20

unde: y yij t= , unde ( )1−⋅+= imjt ;

yi =mediile anuale ( )4,,1 == nni ;

y j =mediile trimestriale ( )j m m= =1 4, , ;

y0 =media generală a seriei;

yy

m

y

i

ijj

m

ijj= == =

∑ ∑1 1

4

4 (vezi tabelul 4.3.2., coloanele 5, 6);

4

4

11∑∑== == i

ij

n

iij

j

y

n

yy (vezi tabelul 4.3.2., rândurile 4, 5)

94,263521 1110 =

⋅===∑∑∑∑= ===

mn

y

m

y

n

yy

n

i

m

jij

m

jj

n

ii

mii pasageri


Tabelul 4.3.2

Trimestre ( )j = 1 4, Nr. crt.

Anul


Total yi

- 0 1 2 3 4 5 6 1 2000 29150 29406 29995 28950 117501 29375,25 2 2001 28878 29433 29105 26302 113718 28429,50 3 2002 24617 23796 24321 22884 95618 23904,50 4 2003 24039 23713 24313 22745 94810 23702,50

5 Total 106684 106348 107734 100881 421647 -

6 jy 26671,0 26587,0 26933,5 25220,3 - 94,263520 =y

Notând cu:

( )∑∑ −=∆i j

ijy yy 20

2 - variaţia totală a fenomenului y;

( )∆ y t iji

y y/2

02= −∑∑ - variaţia lui y explicată de componenta

trend, efect al acţiunii factorilor esenţiali;

( )∆ y s jji

y y/2

0

2= −∑∑ - variaţia lui y explicată de componenta

sezonieră, efect al acţiunii factorilor sezonieri;

( )∆ y u ij i jji

y y y y/2

0

2= − − +∑∑ - variaţia lui y generată de

acţiunea factorilor întâmplători (componenta reziduală).

( ) ( ) ( ) ( )2224

1

4

1

20

2 94,263522274594,263522940694,2635229150 −++−+−=−=∆ ∑∑= =

Ki j

ijy yy

9,1158091102 =∆ y -ceea ce reprezintă variaţia totală a fenomenului analizat.

( ) ( ) ( )[ ]224

1

4

1

20

2/ 94,2635250,2370294,2635225,293754 −++−⋅=−=∆ ∑∑

= =

Ki j

ity yy

19,1058645992/ =∆ ty - ceea ce reprezintă variaţia lui y explicată de

componenta trend, constituind 91,41% din variaţia totală;


( ) ( ) ( )[ ]224

1

4

1

20

2/ 94,263523,2522094,26352266714 −++−⋅=−=∆ ∑∑

= =

Ki j

jsy yy

19,71039312/ =∆ sy - ceea ce reprezintă variaţia lui y explicată de

componenta sezonieră, constituind 6,13% din variaţia totală;

( ) ( )19,710393119,1058645999,1158091104

1

4

1

20

2/ +−=+−−=∆ ∑∑

= =i jjiijuy yyyy

56,28405802/ =∆ uy - ceea ce reprezintă variaţia lui y generată de acţiunea

factorilor întîmplători, constituind 2,45% din variaţia totală.

Deoarece seria de timp pe baza căreia se urmăreşte descrierea econometrică a legităţii de evoluţie a fenomenului reprezintă doar un segment, doar o parte din evoluţia de lungă durată a acestuia, ea poate fi asimilată unui sondaj şi, ca atare, se impune verificarea semnificaţiei indicatorilor calculaţi pe perioada de timp analizată.

Testarea semnificaţiei rezultatelor obţinute se poate face cu testul „F” - Fisher-Snedecor, ştiind că:

( ) ( ) 81,11133

56,2840580:3

19,10586459911

:1

2/

2/1 =

⋅=

−⋅−

∆

−

∆=

mnnF uyty

cal

( ) ( ) 5,733

56,2840580:3

19,710393111

:1

2/

2/2 =

⋅=

−⋅−

∆

−

∆=

mnmF uysy

cal

Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor se preia valoarea teoretică corespunzătoare celor două valori calculate, Fcal

1 şi Fcal2 , respectiv

86,319;3;05,0 =F .

Deoarece

86,381,111 19;3;05,0

1 =>= FFcal

86,35,7 19;3;05,0

2 =>= FFcal


se poate accepta modelul tt utstfy ++= )()( , cu un prag de semnificaţie de

5% (o probabilitate de 0,95), componenta trend deţinând o pondere de 91,41% din variaţia totală a fenomenului y, iar componenta sezonieră 6,13%.

b) Componenta sezonieră se poate exprima, fie sub formă relativă - coeficienţii de sezonalitate, k j , fie sub formă absolută, s j .

Ca regulă generală, componenta sezonieră se calculează în raport cu tendinţa (componenta trend).

În funcţie de modalităţile de exprimare a tendinţei, sezonalitatea se poate determina prin mai multe procedee, dintre care:

)1b procedeul mediilor aritmetice;

)2b procedeul mediilor mobile ; )3b procedeul tendinţei analitice.

)1b Procedeul mediilor aritmetice constă în compararea valorilor

empirice yij cu mediile anuale yi şi calculul mediilor aritmetice ale acestor

valori, pe subperioadele anilor.

Astfel: - sezonalitatea în valoare absolută s j rezultă din relaţia:

( )s

y y

n

y

n

y

ny yj

ij ii

n

iji

n

ii

n

j=−

= − = −= = =∑ ∑ ∑

1 1 10

De reţinut că 00011

=⋅−⋅=⋅−= ∑∑==

ymymymys o

m

jj

m

jj ,

respectîndu-se criteriul echivalenţei ariilor y f tt∑ ∑= ( ) , precum şi

condiţia 0=∑ tu .


- sezonalitatea în valoare relativă k j , respectiv coeficienţii de

sezonalitate, se calculează ca medii aritmetice simple, pe subperioadele j, din rapoartele valorilor empirice yij faţă de mediile anuale yi :

∑∑

=

= ⋅==n

i i

ij

n

i i

ij

j yy

nnyy

k1

1 1 ;

mnnmy

m

yn

yyny

yn

km

jij

n

im

jij

m

jij

n

i i

n

i

m

j i

ijm

jj =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ∑∑

∑∑∑∑∑∑

==

=

=== == 11

1

111 11

11111

Dacă în urma calculelor, din cauza rotunjirii cifrelor, cele două condiţii nu se verifică, acestea se corectează:

01

≠=∑=

asm

jj 0

1

** =⇒−= ∑=

m

jjjj s

mass

∑=

≠=m

jj mak

1

∑=

=⇒⋅=m

jjjj mk

amkk

1

**

În general, în practică, sezonalitatea se exprimă prin intermediul coeficienţilor de sezonalitate k j , calculaţi pe baza mediilor aritmetice

anuale yi , ca expresie a trendului - aceştia sunt (vezi datele din tabelul 4.3.3.):

Tabelul 4.3.3

Trimestre ( )j = 1 4, Anul


2000 0,9923 1,0010 1,0211 0,9855 2001 1,0158 1,0353 1,0238 0,9252 2002 1,0298 0,9955 1,0174 0,9573 2003 1,0142 1,0004 1,0258 0,9596

Total 4,0521 4,0322 4,0880 3,8276

k j 1,0130 1,0081 1,0220 0,9569

Notă: ∑== ijji

ijij k

nk

yy

k *1; .


De exemplu: 9923,025,29375:2915011 ==k

0130,14:0521,40158,150,28429:28878

1

21

====

kk

Coeficienţii de sezonalitate, k j , arată că sezonalitatea ( )k j > 1 se

manifestă în trimestrul III al anului, iar cele mai mici valori se înregistrează în ultimul trimestru.

Acest procedeu de exprimare a sezonalităţii nu se foloseşte decât pentru a evidenţia intensitatea sezonalităţii datorită ipotezei restrictive pe care se fundamentează.

- tendinţă constantă pe subperioadele anului

( ) ( )[ ] mjyimjftf i ,1,1 =∀=−⋅+=

)2b Calculul componentei sezoniere şi al seriei C.V.S. cu ajutorul mediilor mobile

Prin definiţie, fenomenul de sezonalitate se manifestă pe perioade mai mici de un an. Cum numărul subperioadelor anuale este egal cu 4, rezultă că numărul de termeni din care se vor calcula mediile mobile este egal cu 4 - număr par de termeni (vezi tabelul 4.3.4.).

Tabelul 4.3.4

Ani (i)

Trimestre (j)

y yt ij= yij yij kij k j* ij

jt y

ky *

* 1=

0 1 2 3 4 5 6 7 I 29150 - - 0,9910 29414,56 - II 29406 - - 1,0006 29389,03

2000 29375,3 III 29995 29341,3 1,0223 1,0289 29151,81 29307,3 IV 28950 29310,6 0,9877 0,9795 29556,12 29314,0 I 28878 29202,8 0,9889 0,9910 29140,09 29091,5


Ani (i)

Trimestre (j)

y yt ij= yij yij kij k j* ij

jt y

ky *

* 1=

0 1 2 3 4 5 6 7 II 29433 28760,5 1,0234 1,0006 29416,01

2001 28429,5 III 29105 27896,9 1,0433 1,0289 28286,83 27364,3 IV 26302 26659,6 0,9866 0,9795 26852,68 25955,0 I 24617 25357,0 0,9708 0,9910 24840,42 24759,0 II 23796 24331,8 0,9780 1,0006 23782,27

2002 23904,5 III 24321 23832,3 1,0205 1,0289 23637,31 23760,0 IV 22884 23749,6 0,9636 0,9795 23363,11 23739,3 I 24039 23738,3 1,0127 0,9910 24257,17 23737,3 II 23713 23719,9 0,9997 1,0006 23699,32

2003 23702,5 III 24313 - - 1,0289 23629,54 - IV 22745 - - 0,9795 23221,20

Total - 421647 - - - - 421637,47 Notă: Datele din tabel au rezultat în urma calculelor:

1) Mediile mobile, calculându-se dintr-un număr par de termeni ( )n = 4 , se determină în două etape:

1.1) medii provizorii

3,293754

43214,2.14,2 =

+++==

yyyyyy

3,293074

54324,3.14,3 =

+++==

yyyyyy

M

M

5,237024

161514134,2.44,13 =

+++==

yyyyyy


1.2) medii definitive ( )y , care centrează mediile provizorii pe

perioadele de timp ale seriei - pe trimestrele anilor:

3,293412

4,3.14,2.13.13 =

+==

yyyy

6,293102

4,4.14,3.14.14 =

+==

yyyy

M

M

9,237192

4,2.44,1.42.414 =

+==

yyyy

2. Coeficienţii provizorii de sezonalitate ( )kij se calculează ca raport

între valorile reale ( )yij şi mediile mobile ( )yij cu ajutorul relaţiei:

kyyij

ij

ij

= ; 0223,13,29341

299953.1

3.13.1 ===

yyk

M

M

9997,09,23719

237132.4

2.42.4 ===

yyk

3. Coeficienţii de sezonalitate ( )k j se calculează ca medii aritmetice

simple din coeficienţii provizorii ( )kij :

kk

mj

ijj

m

= =∑

1


Astfel, sezonalitatea va fi:

- trim. I: 9908,03

0127,19708,09889,03

1.41.31.21 =

++=

++=

kkkk

- trim. II: 0004,13

9997,0978,00234,13

2.42.32.22 =

++=

++=

kkkk

- trim. III: 0287,13

978,00433,10223,13

3.43.23.13 =

++=

++=

kkkk

- trim. IV: 9793,03

0205,19866,09877,03

4.34.24.14 =

++=

++=

kkkk

4. Cei patru coeficienţi de sezonalitate trebuie să respecte egalitatea:

k mjj

m

=∑ .

∑=

≠=+++=4

1

9991,39793,00287,10004,19908,0j

j mk

Datorită aproximărilor în plus, condiţia nu este respectată şi, ca

atare, coeficienţii k j vor trebui corectaţi. Corectarea constă în:

;9991,34

jj kk =∗ 991,00002,19908,01 =⋅=∗k

0006,10002,10004,12 =⋅=∗k

0289,10002,10287,13 =⋅=∗k

9795,00002,19793,04 =⋅=∗k

∑=

∗ =4

1

0000,4j

jk


5. Valorile desezonalizate, yt∗ , sau seria C.V.S. se calculează cu

relaţia:

yk

ytj

ij∗

∗=1 - vezi ultima coloană din tabelul 4.3.5.

)3b Calculul componentei sezoniere şi a seriei C.V.S. pe baza

tendinţei analitice a seriei Acest procedeu constă în estimarea valorilor tendinţei fenomenului cu ajutorul unei funcţii de ajustare, specificată pentru valorile reale ale fenomenului yij , după care se vor calcula coeficienţii de sezonalitate k j ,

după acelaşi principiu ca în cazurile precedente. Aplicarea acestui procedeu constă în efectuarea următoarelor operaţii: 1. Specificarea funcţiei de ajustare Pe baza graficului din figura 4.3.1., se poate reţine ipoteza că evoluţia fenomenului poate fi descrisă cu ajutorul unei funcţii liniare y a btt = + . 2. Estimarea parametrilor funcţiei de ajustare se face pe baza aplicării metodei celor mai mici pătrate (M.C.M.M.P.):

( ) ( ) ( )∑∑ −−=−=t

tt

tt tbayyybaF22 ˆˆminˆminˆ,ˆ

( )∂

∂

F a b

aTa b t yt

$, $

$$ $= ⇒ + = ∑∑0

( ) ∑∑ ∑ =+⇒= tytbtab

baFt

2ˆˆ0ˆˆ,ˆ

∂∂


Tabelul 4.3.5

Ani Trim. t ty 2t tyt ⋅ ty ijk jk j

tt k

yy =*

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2000 1 1 29150 1 29150 30331,41 0,9610 0,9829 29658,48

2 2 29406 4 58812 29800,95 0,9867 0,9983 29457,22 3 3 29995 9 89985 29270,49 1,0248 1,0325 29050,23 4 4 28950 16 115800 28740,02 1,0073 0,9865 29344,91

2001 1 5 28878 25 144390 28209,56 1,0237 0,9829 29381,73 2 6 29433 36 176598 27679,10 1,0634 0,9983 29484,27 3 7 29105 49 203735 27148,63 1,0721 1,0325 28188,26 4 8 26302 64 210416 26618,17 0,9881 0,9865 26660,79

2002 1 9 24617 81 221553 26087,71 0,9436 0,9829 25046,41 2 10 23796 100 237960 25557,24 0,9311 0,9983 23837,45 3 11 24321 121 267531 25026,78 0,9718 1,0325 23554,95 4 12 22884 144 274608 24496,32 0,9342 0,9865 23196,16

2003 1 13 24039 169 312507 23965,85 1,0031 0,9829 24458,32 2 14 23713 196 331982 23435,39 1,0118 0,9983 23754,30 3 15 24313 225 364695 22904,93 1,0615 1,0325 23547,20 4 16 22745 256 363920 22374,46 1,0166 0,9865 23055,27

Total - 136 421647 1496 3403642 421647,0 - - 421675,95

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

3403642ˆ1496ˆ136

421647ˆ136ˆ16

ba

ba

⎩⎨⎧

−=

=⇒

4632,530ˆ88,30861ˆ

b

a

Valorile tendinţei se calculează cu relaţia: tyt 4632,53088,30861ˆ −= - vezi tabelul 4.3.5., coloana 6.

3. Calculul coeficienţilor provizorii de sezonalitate:

ij

ijij y

yk

ˆ= - vezi tabelul 4.3.5., coloana 7.


4. Calculul coeficienţilor de sezonalitate k j - a componentei

sezoniere sub formă relativă - 4

4

1∑== i

ij

j

kk :

9829,04

0031,19436,00237,1961,01 =

+++=k

9983,04

0118,19311,00634,19867,02 =

+++=k

0325,14

0615,19718,00721,10248,13 =

+++=k

9865,04

0166,19342,09881,00073,14 =

+++=k

Deoarece ∑=

≈=+++=4

140002,49865,00325,19983,09829,0

jjk nu

se vor corecta aceşti coeficienţi.

5. Calculul valorilor C.V.S. - tj

t yk

y 1=∗ - vezi tabelul 4.3.5.,

coloana 9. Componenta sezonieră, precum şi valorile seriei de timp C.V.S., se pot calcula şi pe baza sezonalităţii s j - exprimată în valori absolute. Se

calculează sezonalităţile, s j , ca medii aritmetice ale diferenţelor ( )ijij yy ˆ−

pe fiecare an:

( )

n

yys

n

iijij

j

∑=

−= 1

ˆ

Dacă: s jj

m

=∑ =

1

0 , se păstrează aceste valori.


Dacă: s ajj

m

=∑ = ≠

1

0 , se corectează aceste valori cu relaţia:

s s am

sj j jj

m∗ ∗

=

= − =∑;1

0

Valorile seriei C.V.S. rezultă din relaţia: y y sij ij j

∗ ∗= −

c) Estimarea valorilor componentei trend şi a valorilor variabilei

reziduale Funcţia de ajustare privind tendinţa fenomenului în perioada 2000-2003 se deduce pe baza valorilor C.V.S., adică a seriei de timp corectată de variaţiile sezoniere, denumită şi serie desezonalizată. Seria iniţială fiind desezonalizată cu ajutorul mai multor procedee, estimarea celor două componente - trend şi variabila reziduală - se poate face utilizând rezultatele obţinute la oricare din aceste metode. Pentru exemplificare s-au utilizat rezultatele obţinute în cazul aplicării metodei mediilor mobile - vezi tabelul 4.3.4., coloana 7.

Tabelul 4.3.6

Ani Trim. t *ty 2t

*tyt ⋅ *ˆ ty tu 2

tu ( )2tt −

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2000 1 1 29414,56 1 29414,56 30326,24 -911,68 831158.68 56,25

2 2 29389,03 4 58778,06 29796,39 -407,36 165938.98 42,25 3 3 29151,81 9 87455,43 29266,53 -114,72 13161.40 30,25 4 4 29556,12 16 118224.46 28736.68 819.44 671481.62 20.25

2001 1 5 29140,09 25 145700,46 28206,83 933,26 870979.42 12,25 2 6 29416,01 36 176496,08 27676,97 1739,04 3024245.29 6,25 3 7 28286,83 49 198007,80 27147,12 1139,71 1298935.90 2,25 4 8 26852,68 64 214821,41 26617,27 235,41 55418.64 0,25

2002 1 9 24840,42 81 223563,78 26087,42 -1247,00 1554997.52 0,25 2 10 23782,27 100 237822,67 25557,56 -1775,29 3151663.25 2,25 3 11 23637,31 121 260010,44 25027,71 -1390,40 1933210.73 6,25 4 12 23363,11 144 280357,37 24497,86 -1134,75 1287649.69 12,25


Ani Trim. t *ty 2t

*tyt ⋅ *ˆ ty tu 2

tu ( )2tt −

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2003 1 13 24257,17 169 315343,27 23968,00 289,17 83617.22 20,25

2 14 23699,32 196 331790,41 23438,15 261,17 68209.45 30,25 3 15 23629,54 225 354443,06 22908,30 721,24 520190.51 42,25 4 16 23221,20 256 371539,27 22378,44 842,76 710236.49 56,25

Total - 136 421637,47 1496 3403768,54 421637,47 0,00 16241094.78 340,00

Pe baza graficului din figura 4.3.1. şi a calculelor precedente, funcţia de ajustare se specifică prin funcţia liniară:

tdcytˆˆˆ +=∗

Estimarea parametrilor se face cu ajutorul M.C.M.M.P. Aplicarea

acesteia conduce la obţinerea următorului sistem de ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨⎧

∑ ∑=∑+

∑ ∑=+∗

∗

tytdtc

ytdcT

t

t2ˆˆ

ˆˆ

Pe baza calculelor din tabelul 4.3.6., coloanele 2, 3, 4 şi 5, sistemul

de ecuaţii devine:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

54,3403768ˆ1496ˆ136

47,421637ˆ136ˆ16

dc

dc

⎩⎨⎧

−=

=⇒

853,529ˆ09,30856ˆ

d

c

Pe baza estimatorilor parametrilor se vor calcula valorile estimate ale

variabilei *ˆ ty :

tyt 853,52909,30856ˆ* −=

(vezi tabelul 4.3.6., coloana 5).


d) Pentru a verifica semnificaţia parametrilor şi a funcţiei de ajustare se vor calcula:

- dispersia variabilei reziduale

07,10772,116007878,16241094141

11

ˆ22

ˆ =⇒=⋅=−−

= ∑ utu sukT

s

(vezi tabelul 4.3.6., coloana 8)

- abaterile medii pătratice ale estimatorilor

( )

8199,564340

5,81612,11600781 2

2

22ˆˆ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+⋅=∑ tt

tT

ss uc

( )

4123,58340

2,11600782

2ˆ

ˆ ==−

=∑ tt

ss ud

- valoarea raportului de corelaţie

( ) 9244,08546,043,111694107

78,1624109411 2

2

==−=−

−=∑∑

∗∗ yy

uR

t

t

Utilizând ecuaţia analizei variaţiei:

( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∗∗∗∗∗∗ −+−=−222 ˆˆ yyyyyy tttt

65,9545301278,1624109443,111694107 +=

rezultă că modelul econometric explică 85,46% ( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅

−

−

∑∑

∗

∗∗

100ˆ

2*

2

yy

yy

t

t din

variaţia totală a fenomenului analizat.


În concluzie, modelul econometric se poate scrie: tyt 853,52909,30856ˆ* −= ; 9244,0=R

(564,8199) (58,4123) 07,1077ˆ =us

Deoarece numărul gradelor de libertate 3016 <=T ,vom utiliza

distribuţia Student cu T-k-1 grade de libertate, unde k = numărul variabilelor explicative. Lucrând cu un prag de semnificaţie α = 0 05, , din tabela distribuţiei Student se preia valoarea 145,214;05,01; ==−− tt kTα .

Estimatorii $c şi $d sunt semnificativ diferiţi de zero dacă se verifică relaţiile:

145,263,548199,564

09,30856ˆ14;05,0

ˆˆ =>=== t

sc

tc

c

145,20709,94123,58

853,529ˆ14;05,0

ˆˆ =>=

−== t

s

dt

dd

Pe baza calculelor de mai sus se observă că estimatorii parametrilor

c şi d sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0 05, . Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie se face cu ajutorul testului Fisher - Snedecor:

2

2

11

RR

kkTFc −

⋅−−

=

R fiind semnificativ diferit de zero dacă

21 ,, vvc FF α> .

2815,821454,08546,0

114

=⋅=cF


Din tabela distribuţiei Fisher – Snedecor, în funcţie de un prag de semnificaţie α = 0 05, şi de numărul gradelor de libertate v k1 1= = şi

1412 =−−= kTv , se preia valoarea 60,414;1;05,0 =F .

60,42815,82 14;1;05,0 =>= FFc , deci valoarea raportului de corelaţie

este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0 05, . e) Modelul cu ajutorul căruia a fost estimată tendinţa fenomenului fiind acceptat ca semnificativ, acesta poate fi folosit la estimarea prognozei fenomenului analizat. Evoluţia fenomenului fiind alcătuită din trei componente, prognoza într-un astfel de caz se realizează în trei etape: )1e se prognozează valorile tendinţei fenomenului - vezi ∗

17y şi *18y ;

)2e se corectează aceste valori cu influenţele probabile ale variabilei

reziduale (factori întâmplători) - eroarea de prognoză, yy stα±=∆ ;

)3e intervalele de încredere estimate la punctele precedente se

corectează cu influenţa factorilor sezonieri exprimată în coeficienţi de sezonalitate k j .

Astfel, nivelul previzionat al fenomenului va fi: - în primul trimestru al anului 2004:

59,2184817853,52909,30856ˆ*17 =⋅−=y mii pasageri

Abaterea standard a nivelului previzionat al fenomenului în acest caz

va fi egală cu:

( )( )

( ) 1824,1216340

5,81716112,116007811

2

2

2172

ˆ17=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

++⋅=∑

∗

tttt

Tss uy


Intervalul de încredere a prognozei fenomenului analizat, estimat cu un prag de semnificaţie α = 0 05, , pentru care valoarea lui t, preluată din tabela distribuţiei Student, este 145,214;05,0 =t , se va calcula cu ajutorul

relaţiei: [ ]( ) 95,005,01ˆ *

17ˆ17*117 =−=±⋅∈ ∗∗

ystykyP α

[ ]( ) 95,01824,1216145,259,21848991,017 =⋅±⋅∈∗yP

[ ]( ) 95,030,24457;88,19239991,017 =⋅∈∗yP

[ ]( ) 95,018,24237;72,1906617 =∈∗yP

- în al doilea trimestru al anului 2004:

74,2131818853,52909,30856ˆ*18 =⋅−=y mii pasageri

( ) 1751,1241340

5,81816112,1160078

2

ˆ18=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⋅=∗ys

[ ]( ) 95,005,01ˆ18ˆ18

*218 =−=±⋅∈ ∗

∗∗ystykyP α

[ ]( ) 95,01751,1241145,274,213180006,118 =⋅±⋅∈∗yP

[ ]( ) 95,006,23981;42,186560006,118 =⋅∈∗yP

[ ]( ) 95,045,23995;61,1866718 =∈∗yP

În final, în urma calculelor efectuate, se poate considera că în

trimestrul I al anului 2004 nivelul fenomenului analizat va fi cuprins în intervalul [ ]18,24237;72,19066 , iar în trimestrul al II-lea în intervalul

[ ]45,23995;61,18667 , şansele de realizare a acestor prognoze fiind de 95%. Valorile reale ale fenomenului, înregistrate în trimestrele I şi II ale

anului 2004, fiind 23570 şi 26291 mii pasageri, iar intervalele de prognoză calculate fiind [ ]18,24237;72,19066 , respectiv [ ]45,23995;61,18667 , se observă că valoarea reală a pasagerilor transportaţi din primul trimestru al anului 2004 este cuprinsă în primul interval, dar cea înregistrată în cel de-al doilea trimestru nu este cuprinsă în cel de-al doilea interval şi, ca atare,


estimarea prognozei pasagerilor transportaţi prin intermediul transportului feroviar cu ajutorul modelului: tyt 853,52909,30856ˆ* −= ; 9244,0=R

(564,8199) (58,4123) 07,1077ˆ =us

a condus la o estimare corectă a valorii reale doar în cazul trimestrului I al anului următor, iar, în cazul valorii corespunzătoare celui de-al doilea trimestru, aceasta nu se încadrează în intervalul de prognoză, depăşind limita superioară a acestuia. Aceasta semnifică faptul că, pentru un prag de semnificaţie de 5%, prognoza fenomenului se poate realiza doar pe termen foarte scurt, respectiv o perioadă.

4.1.4 Metode de nivelare a seriilor de timp

4.1.4.1. Nivelarea seriilor de timp cu ajutorul metodei mediilor mobile ( le lissaje des series de temps par les moyennes mobiles - franceză, smoothing time series with moving averages - engleză)

Se cunosc următoarele date privind consumul final real al gospodăriilor populaţiei, în România, în perioada 1990-2003, exprimate în miliarde lei preţuri comparabile (1990=100): mld. lei. (1990=100) Tabelul 4.4.1.1

Anii (t)

Consumul final real al pop.

(Ct)

Anii (t)


(Ct) 0 1

0 1 1980 433,3 1992 432,1 1981 442,1 1993 435,9 1982 436,3 1994 447,3 1983 433,1 1995 505,3 1984 450,1 1996 545,7 1985 442,0 1997 525,7 1986 448,1 1998 586,2 1987 472,1 1999 579,8 1988 513,2 2000 582,3


Anii (t)


(Ct)

Anii (t)


(Ct) 0 1

0 1 1989 516,6 2001 610,7 1990 557,7 2002 629,1 1991 467,4 2003 673,7

Notă: Consumul final al populaţiei este calculat conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Acesta a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului consumului final al populaţiei exprimat în preţuri constante (1990 = 100). Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 370-371, Anuarului Statistic al României 2000, I.N.S., Bucureşti, 2001, p. 136, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 278, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, Comunicatului de Presă al INS nr.11/26.02.2004.

Se cere: a) Să se estimeze valoarea consumului final real al gospodăriilor

populaţiei în anul următor cu ajutorul metodei mediilor mobile de ordinul unu;

b) Să se estimeze valoarea consumului final real al gospodăriilor populaţiei în anul următor cu ajutorul metodei mediilor mobile de ordinul doi;

c) Să se facă discuţia rezultatelor obţinute la punctele a) şi b) şi să se justifice soluţia corectă.

Rezolvare:

a) În vederea aplicării metodelor de nivelare asupra seriei de date a consumului populaţiei se porneşte de la premisa că valorile înregistrate în timp de consumul populaţiei sunt rezultatul unui proces autoregresiv de forma:

ththttt uCaCaCaC ++++= −−− ...2211 (1)

Deşi, teoretic, un proces autoregresiv poate fi de ordinul 1, 2, …, h, în practică, de regulă, se lucrează cu un proces autoregresiv de ordinul întâi:

ttt uaCC += −1 (2)


Aplicarea metodei nivelării cu ajutorul mediilor mobile de ordinul întâi asupra acestei serii se poate realiza numai în cazul seriilor de timp staţionare.

În vederea verificării ipotezei staţionarităţii seriei de timp privind consumul populaţiei, pot fi aplicate o serie de teste, cum ar fi: testul Dickey-Fuller (DF Test), testul ADF (Augmented Dickey-Fuller Test) şi testul Phillips-Perron. În această situaţie a fost aplicat testul rădăcinii unităţii (Pecican, Tănăsoiu, Iacob, 2001, p. 139-140), pentru a verifica dacă consumul final real al populaţiei este integrat de ordinul întâi sau de ordinul zero. În acest scop au fost calculate diferenţele de ordinul întâi, ∆t

1 = Ct–Ct-1

(vezi tabelul 4.4.1.2., coloana 1). Acest test se bazează pe următoarea ecuaţie de regresie:

ttt uCC ++=∆ −110 αα (3)

şi presupune verificarea următoarelor ipoteze :

H0: dacă 01 =α rezultă că seria valorilor consumului final real al

populaţiei, Ct, este integrată cel puţin de ordinul întâi (Ct ∼ I(1)); H1: dacă 01 <α rezultă că seria valorilor consumului final real al

populaţiei, Ct, este integrată de ordinul zero, respectiv este staţionară (Ct ∼ I(0)).

În urma aplicării pachetului de programe EViews în vederea stabilirii ordinului de integrare al consumului final real al populaţiei cu ajutorul testului ADF s-au obţinut următoarele rezultate:

ADF Test Statistic -0,0181 1% Critical Value* -3,7497

5% Critical Value -2,9969 10% Critical Value -2,6381

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable:

tC∆


Method: Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints


1−tC -0,0020 0,1095 -0,0181 0,9857

C 11,4425 55,1744 0,2074 0,8377

R-squared 0,0000 Mean dependent var 10,4522 Adjusted R-squared -0,0476 S.D. dependent var 32,8557 S.E. of regression 33,6286 Akaike info criterion 9,9516 Sum squared resid 23748,53 Schwarz criterion 10,0503 Log likelihood -112,4431 F-statistic 0,0003 Durbin-Watson stat 1,9087 Prob(F-statistic) 0,9857

A rezultat astfel următoarea ecuaţie de regresie

( ) ( )1744,551095,04425,11002,0 1 +−=∆ −tt CC

(4)

Valoarea tabelată, preluată din tabela elaborată de MacKinnon în vederea testării ipotezei rădăcinii unităţii, pentru un număr de observaţii n = 23, corespunzătoare unui prag de semnificaţie de 5%, este egală cu tα = -2,9969. Deoarece testul rădăcinii unităţii ADF = -0,0181 >-2,9969, rezultă că ipoteza, potrivit căreia seria valorilor consumului final real al populaţiei, Ct, este integrată cel puţin de ordinul întâi, I(1), este acceptată. În această situaţie, este posibil ca seria valorilor consumului final real al populaţiei, Ct, să fie integrată de ordinul doi, I(2), şi nu doar de ordinul întâi. În consecinţă, va fi aplicat din nou testul ADF, care se bazează pe următoarea ecuaţie de regresie:

( )

ttt uCC +∆+=∆ −1102 αα (5)

care presupune testarea ipotezelor :

H0: dacă 01 =α rezultă că seria valorilor consumului final real al

populaţiei, Ct, este integrată cel puţin de ordinul doi (Ct ∼ I(2));


H1: dacă 01 <α rezultă că seria valorilor consumului final real al

populaţiei, Ct, este integrată de ordinul întâi (Ct ∼ I(1)). Dacă ipoteza H0 este respinsă, rezultă că seria valorilor consumului

final real al populaţiei, Ct, este integrată de ordinul întâi. În caz contrar, va trebui să se verifice dacă seria valorilor consumului final real al populaţiei, Ct, este integrată de ordinul trei sau mai mare. În urma aplicării testului ADF s-au obţinut următoarele rezultate:

ADF Test Statistic -4,2680 1% Critical Value* -3,7667 5% Critical Value -3,0038 10% Critical Value -2,6417

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

Dependent Variable: ( )tC2∆

Method: Least Squares Sample(adjusted): 1982 2003 Included observations: 22 after adjusting endpoints


1−∆ tC -0,9796 0,2295 -4,2680 0,0004 C 10,3456 7,6236 1,3570 0,1899


( )

( ) ( )6236,72295,03456,109796,0 1

2 +∆−=∆ −tt CC (6)

Deoarece testul rădăcinii unităţii, ADF = -4,2680<-3,0038, rezultă că

ipoteza nulă potrivit căreia seria valorilor consumului final real al populaţiei, Ct, este integrată de ordinul doi, I(2), este respinsă, de unde


rezultă că seria valorilor consumului final real al populaţiei, Ct, este integrată de ordinul întâi. Deci, seria staţionară a consumului final real al populaţiei se obţine pe baza diferenţelor de ordinul întâi.

În vederea nivelării consumului populaţiei cu ajutorul metodei mediilor mobile de ordinul întâi (Tănăsoiu, Iacob, 1999, p. 182-183), termenul

11

ˆ+tC se va calcula sub forma unei medii aritmetice simple a m termeni

precedenţi Ct-k, n,t 1= , m,k 0= . Termenii seriei ajustate privind consumului populaţiei vor fi determinaţi astfel:

∑−

=−

−−−+ =

+++=

1

0

)1(111

1...ˆm

kkt

mtttt C

mmCCC

C (7)

unde: m = numărul de termeni din care se calculează mediile mobile; n = numărul perioadelor observate.

Dacă evoluţia în timp a consumului populaţiei poate fi modelată cu ajutorul unei funcţii liniare:

tt utC ++= 10 ββ (8)

estimatorii β0 şi β1, calculaţi cu ajutorul metodei celor mai mici pătrate, sunt nedeplasaţi, iar ajustarea consumului populaţiei utilizând metoda mediilor mobile de ordinul întâi se va realiza astfel:

1101

1 21ˆ βββ −

−+=+mtCt (9)

În vederea nivelării seriei staţionarizate a consumului final real al populaţiei pe baza diferenţelor de ordinul întâi cu ajutorul mediilor mobile de ordinul întâi este necesar să se stabilească numărul de termeni, m, din care se vor calcula mediile mobile. Acest lucru se realizează, de regulă, prin iteraţii succesive, atribuindu-i-se lui m diferite valori: m = 3, 4, 5,… urmând a fi aleasă acea valoare a lui m pentru care suma pătratelor diferenţelor dintre termenii empirici, Ct, şi termenii teoretici, Ct

m, calculaţi pentru

diferite valori ale lui m, este minimă, 2)(min∑ −t

mttk

CC .


Valorile ajustate ale seriei staţionarizate a consumului populaţiei au fost calculate pe baza mediilor mobile pentru un număr de m = 5 termeni (vezi tabelul 4.4.1.2., coloana 2), m = 6 (vezi tabelul 4.4.1.2., coloana 4) şi m = 7 termeni (tabelul 4.4.1.2., coloana 6).

Valorile ajustate ale seriei staţionarizate a consumului final real al populaţiei în România în perioada 1980-2003 calculate cu ajutorul

mediilor mobile de ordinul cinci, şase şi şapte

mld. lei (1990=100) Tabelul 4.4.1.2

t 1t∆

5.1t∆ 25.11 )( tt ∆−∆ 6.1

t∆ 2161 )( tt ∆−∆ 7.1t∆ 27.11 )( tt ∆−∆ 1

1+tC

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1980 - - - - - - - - 1981 8,8 - - - - - - - 1982 -5,8 - - - - - - - 1983 -3,2 - - - - - - - 1984 17,0 - - - - - - - 1985 -8,1 - - - - - - - 1986 6,1 1,7 18,85 - - - - - 1987 24,1 1,2 522,34 2,5 466,37 - - - 1988 41,1 7,2 1151,08 5,0 1302,12 5,5 1263,78 477,7 1989 3,4 16,0 159,29 12,8 88,58 10,2 45,63 523,4 1990 41,1 13,3 771,60 13,9 737,99 11,5 877,14 528,1 1991 -90,3 23,1 12867,17 17,9 11714,33 17,8 11684,68 575,5 1992 -35,3 3,9 1532,49 4,2 1561,39 2,5 1425,62 469,9 1993 3,7 -8,0 137,88 -2,7 40,97 -1,4 26,56 430,7 1994 11,5 -15,5 724,79 -6,0 306,11 -1,7 174,17 434,1 1995 57,9 -13,9 5155,18 -11,0 4750,34 -3,5 3780,31 443,8 1996 40,4 -10,5 2592,39 -1,9 1790,97 -1,1 1727,52 504,1 1997 -20,0 15,7 1275,12 -2,0 325,81 4,2 585,92 549,9 1998 60,6 18,7 1752,48 9,7 2586,73 -4,6 4243,95 521,1 1999 -6,4 30,1 1328,99 25,7 1028,35 17,0 545,65 603,2 2000 2,5 26,5 578,07 24,0 463,77 21,1 347,55 600,9 2001 28,4 15,4 170,09 22,5 35,43 20,9 56,68 603,2 2002 18,3 13,0 28,25 17,6 0,55 23,3 25,22 634,1 2003 44,7 20,7 575,13 13,9 946,81 17,7 727,88 646,7

Total - - 31341,19 - 28146,63 - 27538,28 -

Notă: =∆ jit. diferenţele de ordinul i şi mediile mobile de ordinul j.


Deoarece cea mai mică valoare a sumei diferenţelor pătratice dintre valorile empirice şi valorile ajustate ale seriei de timp privind consumul final real al populaţiei (vezi tabelul 4.4.1.2., coloanele 3, 5 şi 7) a fost obţinută pentru un număr de şapte termeni, a fost ales m = 7 ca fiind numărul adecvat de termeni corespunzător seriei staţionarizate a consumului populaţiei (vezi tabelul 4.4.1.2., coloana 6). Reconstituirea seriei de timp privind consumul populaţiei pe baza mediilor mobile de ordinul întâi, 1

1+tC ,

este prezentată în tabelul 4.4.1.2., coloana 8 şi a fost realizată pe baza relaţiei:

7.11

11 ++ ∆+= ttt CC (10)

Cu ajutorul acestui procedeu, estimarea consumului final real al

populaţiei pentru anul următor este egală cu: - estimaţia diferenţei de ordinul unu a consumului final real al

populaţiei

lei mld.

kk

3,18)206,604,65,24,283,187,44(71

)(71)(

71 1

18119

120

121

122

123

124

17

0

124

125

=++−+++=

=∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆=∆ ∑−

=−

- estimaţia consumului final real al populaţiei pentru anul următor

(t = 25) se obţine din relaţia de calcul a diferenţelor de ordinul unu:

6923,187,673ˆˆ 12524

12524

125

125 =+=∆+=⇒−=∆ CCCC mld. lei

b) Nivelarea (lissage-ul) consumului populaţiei cu ajutorul mediilor

mobile de ordinul doi (nivelare dublă) (Tănăsoiu, Iacob, 1999, p. 185-187) presupune calcularea altor medii mobile ( 2

1ˆ+tC ) din mediile mobile de

ordinul unu (Ĉt1) pe baza aceluiaşi număr de termeni (m) ca şi în cazul

nivelării simple.


Termenii seriei privind consumului populaţiei, nivelată cu ajutorul mediilor mobile de ordinul, doi se calculează astfel:

∑ ∑ ∑−

=

−

=

−

=−−−+ ==

1

0

1

0

1

0

121

11ˆ1ˆm

k

m

k

m

llktktt C

mmC

mC (11)

În situaţia în care consumul populaţiei poate fi modelat cu ajutorul unei funcţii liniare, parametrii modelului vor fi estimaţi folosind valorile ajustate cu mediile mobile de ordinul unu şi doi:

21

1110

ˆˆ2 +++ −= ttt CCβ (12)

)ˆˆ(1

2 21

1111 +++ −

−= ttt CC

mβ (13)

Prognoza consumului populaţiei în acest caz, se va determina cu ajutorul relaţiei:

( ) ( ) tCCm

CCtC ttttttt ⋅−−

+−=⋅+= +++++++2

11

12

11

11

11101ˆˆ

12ˆˆ2ˆ ββ (14)

În cazul general, în vederea realizării prognozei consumului populaţiei, se va utiliza următoarea expresie:

hC hththt ⋅+= +++ 10ˆ ββ (15)

Nivelarea seriei de timp privind consumul final real al populaţiei, ce prezintă tendinţă, cu ajutorul mediilor mobile de ordinul doi, presupune calcularea altor medii mobile ( )2

1+tC din mediile mobile de ordinul întâi

( )11+tC , care vor fi determinate în acest caz pe baza seriei de timp iniţiale a

consumului populaţiei, respectiv pe baza valorilor nestaţionare ale acestuia (Ct). Alegerea numărului de termeni din care vor fi calculate mediile mobile de ordinul întâi se va realiza pe baza unor iteraţii succesive, atribuindu-i se lui m următoarele valori: m = 3, 4, 5,… şi reţinându-se acel număr de termeni pentru care suma pătratică a abaterilor dintre termenii reali şi cei ajustaţi este minimă.

În urma calculelor efectuate s-a constat că numărul termenilor corespunzători mediilor mobile care respectă restricţia de mai sus a fost egal cu: m = 3 (vezi tabelul 4.4.1.3., coloanele 3, 5 şi 7).


Valorile ajustate ale seriei de timp nestaţionare privind consumul final real al populaţiei în România în perioada 1980-2003 calculate cu

ajutorul mediilor mobile de ordinul trei, patru şi cinci

Tabelul 4.4.1.3

Anii (t)

Consumul final real al

pop. (Ct)

3.11+tC ( )23.1

1+− tt CC 4.11+tC ( )24.1

1+− tt CC 5.11+tC ( )25.1

1+− tt CC

0 1 2 3 4 5 6 7

1980 433,3 - - - - - -

1981 442,1 - - - - - - 1982 436,3 - - - - - - 1983 433,1 437,2 17,37 - - - - 1984 450,1 437,2 166,44 436,2 191,99 - - 1985 442,0 439,8 4,76 440,4 2,60 439,0 9,13 1986 448,1 441,7 40,43 440,4 59,43 440,7 54,22 1987 472,1 446,7 645,77 443,3 830,57 441,9 913,14 1988 513,2 454,1 3498,53 453,1 3617,90 449,1 4114,68 1989 516,6 477,8 1506,67 468,8 2281,66 465,1 2654,80 1990 557,7 500,6 3255,40 487,5 4928,17 478,4 6288,88 1991 467,4 529,2 3814,78 514,9 2256,23 501,5 1164,93 1992 432,1 513,9 6687,39 513,7 6658,76 505,4 5369,67 1993 435,9 485,7 2487,10 493,5 3316,27 497,4 3786,64 1994 447,3 445,1 4,81 473,3 673,26 481,9 1198,11 1995 505,3 438,4 4466,17 445,7 3550,81 468,1 1382,79 1996 545,7 462,8 6868,80 455,2 8199,76 457,6 7761,87 1997 525,7 499,4 687,43 483,5 1773,19 473,3 2744,99 1998 586,2 525,5 3681,87 506,0 6437,17 492,0 8884,06 1999 579,8 552,5 745,83 540,7 1530,63 522,0 3340,84 2000 582,3 563,9 338,21 559,4 526,28 548,5 1139,53 2001 610,7 582,8 781,57 568,5 1784,15 563,9 2190,13 2002 629,1 591,0 1452,06 589,8 1543,69 577,0 2715,83 2003 673,7 607,4 4403,72 600,5 5364,55 597,6 5790,52

Total 12165,8 - 45555,10 - 55527,06 - 61504,76

Notă: =+m

tC .11 consumul final al populaţiei calculat pe baza mediilor mobile de ordinul

întâi dintr-un număr de termeni, m, m = 3, 4, 5.

mld. lei (1990 = 100)


Revenind la seria iniţială a consumului final real al populaţiei se constată că tendinţa acestuia poate fi descrisă cu ajutorul unei funcţii liniare - vezi figura 4.4.1.1.:

400

420

440

460

480

500

520

540

560

580

600

620

1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003

t

mld

. lei

p. c

t.

Figura 4.4.1.1 Evoluţia consumului final real al populaţiei (1990= 100), în România, în perioada 1980-2003

În continuare, se vor calcula valorile ajustate ale consumului

populaţiei cu ajutorul mediilor mobile de ordinul doi, determinate pe baza mediilor mobile de ordinul întâi din trei termeni (m = 3), prin intermediul următoarelor relaţii:

)(31

211

1 −−+ ++= tttt CCCC (16)

)(31 1

31

21

12

2 ++++ ++= tttt CCCC (17)

Valorile ajustate ale consumului populaţiei cu ajutorul mediilor

mobile de ordinul întâi şi doi sunt prezentate în cadrul tabelului 4.4.1.4., coloanele 1 şi 2.


Valorile ajustate ale seriei de timp privind consumul final real al populaţiei obţinute cu ajutorul nivelării mediilor mobile de ordinul

întâi şi doi, calculate din trei termeni în România în perioada 1980-2003 mld. lei (1990 = 100) Tabelul 4.4.1.4

Consumul final real al populaţiei estimat cu ajutorul metodei mediilor mobile

Ani medii mobile de ordinul întâi

( 11+tC )

medii mobile de ordinul doi

( 22+tC )

0 1 2

1980 - -

1981 - -

1982 - -

1983 437,2 -

1984 437,2 -

1985 439,8 -

1986 441,7 438,1

1987 446,7 439,6

1988 454,1 442,7

1989 477,8 447,5

1990 500,6 459,5

1991 529,2 477,5

1992 513,9 502,5

1993 485,7 514,6

1994 445,1 509,6

1995 438,4 481,6

1996 462,8 456,4

1997 499,4 448,8

1998 525,5 466,9

1999 552,5 495,9

2000 563,9 525,8

2001 582,8 547,3

2002 591,0 566,4

2003 607,4 579,2


Deoarece tendinţa seriei iniţiale a consumului final real al populaţiei poate fi aproximată cu ajutorul unei funcţii liniare, parametrii acestui model vor trebui estimaţi pe baza valorilor ajustate cu mediile mobile de ordinul unu şi doi cu ajutorul relaţiilor:

21

1110 2 +++ −= ttt CCβ (18)

)(1

2 21

1111 +++ −

−= ttt CC

mβ (19)

În continuare, se deduce că previziunea fenomenului se poate face cu ajutorul relaţiei:

( ) ( ) tCCm

CCtC tttttott ⋅−−

+−=⋅+= +++++++2

11

12

11

11

1111 122ββ (20)

sau, generalizând, rezultă că:

hC hththt ⋅+= +++ 10 ββ (21)

Deci

)(13

22

:1

1)(13

2)2(ˆ

225

125125

225

125025

12502525

225

125

225

12525

CC

CCunde

Ysau

CCCCC

−−

=

−=

⋅+=

⋅−−

+−=

β

β

ββ

Pe baza datelor din tabelul nr. 4.4.1.3., coloanele 3 şi 4, estimarea prognozei consumului final real al populaţiei se obţine astfel:

1,7261)7,5938,637(13

2)7,5938,6372(ˆ25 =⋅−

−+−⋅=C mld. lei


De reţinut că lisajul seriilor de timp cu mediile mobile de ordinul doi, în comparaţie cu mediile mobile de ordinul unu, prezintă avantajul că poate fi utilizat şi în cazul seriilor de timp cu tendinţă. Inconvenientul major al metodei mediilor mobile aplicate în domeniul prognozei consumului populaţiei constă în construirea unei serii de timp cu lungimea de cel puţin (2m-1) perioade.

c) În mod clasic, previziunea consumului final real al populaţiei pe baza seriei cronologice iniţiale se poate face cu ajutorul unui model de timp în două componente:

Ct = f(t) + ut

unde: f(t) = componenta trend; ut = componenta aleatoare.

Pe baza graficului seriei de timp - vezi figura 4.4.1.1 - componenta trend a acestei serii poate fi aproximată cu ajutorul unei funcţii liniare:

f(t) = Ct = a + b·t

unde: a, b = parametrii modelului ce vor fi estimaţi cu ajutorul M.C.M.M.P.;

t = variabila timp ( 24,1=t ). Utilizând pachetul de programe EViews s-au obţinut următoarele rezultate:

Dependent Variable: Ct Method: Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 399,0833 17,4484 22,8723 0,0000 t 8,6260 1,2211 7,0639 0,0000



Pe baza acestor rezultate modelul de timp devine:

( ) ( )4106,41

79,02211,14484,17680,0;626,80833,399ˆ

===+=

u

t

sdRtC

)

În urma verificării ipotezelor corespunzătoare metodei celor mai

mici pătrate, se constată existenţa fenomenului de autocorelaţie a erorilor, care a fost eliminat prin intermediul procedeului iterativ Cochran-Orcutt (Gujarati, 1995, p. 431-432) după o iteraţie, rezultând următorul model:

Dependent Variable: tC ′ Method: Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 107,5072 16,2304 6,6238 0,0000 t’ 11,5076 3,2360 3,5561 0,0019



( ) ( )9101,30

70,12360,32304,16376,0;5076,115072,107ˆ 2

===′+=′

v

t

sdRtC

)

În cazul noului model, pe baza analizei rezultatelor obţinute, se

constată că ipotezele corespunzătoare metodei celor mai mici pătrate sunt verificate, însă valoarea coeficientului de determinare ( )376,02 =R este scăzută, sugerând că aproximativ 38% din variaţia consumului real al populaţiei este explicată de către factorul timp. De asemenea, estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativi pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie.

Pentru a verifica valabilitatea ipotezei de stabilitate relativă în timp a legităţii de evoluţie a consumului real al populaţiei s-a aplicat testul Chow (Maddala, 1992, p. 168-173). În vederea aplicării acestui test au fost construite trei modele de corelaţie pe următoarele perioade de timp: 1981-1989, 1990-2003 şi 1981-2003. Relaţia de calcul a testului Chow este următoarea:

( )1

122

220

++⋅−

⋅−

=k

kTV

VVF

au

auuc (7)

unde:

V uu tt

n

02

02

1

==∑ reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

înregistrate în perioada 1981-2003; V V Vau a u a u

2 2 21 2

= +

V ua u tt

n

1

212

1

1

==∑ reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

înregistrate în perioada 1981-1989 ( )91 =n ;

V ua u tt n

T

2

1

222

1

== +∑ reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

înregistrate în perioada 1990-2003 ( )142 =n ;


T = numărul total de observaţii ( )2321 =+= nnT ; k = numărul variabilelor exogene ( )k = 1 .

Testarea ipotezei de stabilitate constă în alegerea uneia din

următoarele ipoteze: H0 : Dacă V Vu au0

2 2≅ rezultă că legitatea de evoluţie a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorii săi este stabilă în timp, şi, ca atare, modelul poate fi utilizat în vederea efectuării prognozei;

H1: DacăV Vu au02 2≠ rezultă că legitatea de evoluţie a legăturii dintre

consumul populaţiei şi factorii săi nu este stabilă în timp, iar modelul nu va putea fi utilizat în vederea efectuării prognozei.

În cazul în care 21;; vvc FF α≤ se alege ipoteza H0 , iar

dacăF Fc v v> α ; ;1 2se alege ipoteza H1 (unde: 05,0=α , pragul de semnificaţie

şi v k1 1= + şi ( )122 +⋅−= kTv , numărul gradelor de libertate). În urma aplicării testului Chow ( )52,35161,2 19;2;05,0 =<= FFc se

constată că poate fi acceptată ipoteza unei stabilităţi relative în timp a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorul său de influenţă, timpul, şi, ca atare, acest model ar putea fi folosit în vederea simulării şi prognozei acestuia.

Cu ajutorul acestui model, prognoza consumului populaţiei pentru anul următor este egală cu:

- previziune punctuală

25C′ = 105,5072 + 11,5076·8,2062 = 201,941 ≈ 201,9 mld. lei

- previziune pe baza unui interval de încredere

[ ]( ) αα −=⋅±′∈′ ′ 1ˆ25

ˆ;2525 Cv stCCP


Lucrând cu un prag de semnificaţie α = 0,05 şi cu un număr de grade de libertate v = 21, din tabela distribuţiei Student, valoarea argumentului t este egală cu: t 0,05;21 = 2,08.

Eroarea de previziune, 25Cs ′ , se va calcula cu ajutorul relaţiei:

2744,607055,4

)6031,42062,8(23114333,955

)()(

111

2

2

22ˆˆ

25=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′−′′−

+−

+⋅=∑′ tt

ttn

ss pvC

iar intervalul de prognoză al consumului populaţiei pentru anul următor va fi:

[ ]( ) 95,005,012744,6008,29,20125 =−=⋅±∈′CP

Rezultă, deci, că valoarea reală a consumului final al populaţiei pentru anul următor va fi cuprinsă între 76,57 şi 327,31 mld. lei, şansele de realizare a acestei predicţii fiind de 95%.

Deşi modelul obţinut în urma eliminării fenomenului de autocorelaţie a erorilor este semnificativ în raport cu testele statistice adecvate acestui scop (ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate, estimatorii parametrilor şi raportul de corelaţie sunt semnificativi), iar ipoteza stabilităţi relative în timp a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorul său de influenţă, timpul, este verificată, ca urmare a faptului că mărimea coeficientului de determinare este mică (sub 0,5), se poate considera că acest model poate fi folosit în scopuri explicative, statistice şi economice, dar nu şi în scopuri de simulare şi prognoză deoarece prezintă o capacitate slabă de previziune, reliefată şi prin intermediul testelor de verificare bazate pe erorile de previziune.

Aprecierea prognozei consumului final real al gospodăriilor populaţiei pe baza modelului se poate face cu ajutorul a două noţiuni, siguranţa prognozei şi precizia prognozei (Pecican, Tănăsoiu, Iacob, 2001, p. 73), noţiuni care se află în relaţie invers proporţională.


Siguranţa prognozei este dată de probabilitatea (p) cu care este estimat intervalul de încredere, iar precizia prognozei se determină pe baza următoarelor relaţii:

- eroarea absolută

3707,1252744,6008,2ˆ *ˆ** =⋅=⋅=−=

+++

vnyvnvna styye α

- eroarea relativă

%1,62100941,201

3707,125100ˆ

100ˆ

(%) *ˆ

*

*

=⋅=⋅⋅

=⋅=++

+

vn

y

vn

ar y

st

yee vn

α

În urma calculării erorii relative de prognoză (ep%) corespunzătoare modelului se constată că, acesta conduce la erori de peste 15%, ceea ce denotă că acest model nu poate fi acceptat ca semnificativ pentru realizarea de previziuni.

Cu toate acestea, analiza capacităţii de prognoză a modelului liniar se va continua cu o discuţie ex-post, realizată pe baza indicatorilor statistici propuşi de H. Theil (Pindyck, Rubinfeld, 1981, p. 364-366).

În urma calculelor efectuate cu ajutorul pachetului de programe EViews în cazul modelului liniar folosit la estimarea tendinţei consumului populaţiei în perioada 1981-2003, au rezultat următoarele informaţii:

Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelului liniar privind consumul populaţiei în România în perioada

1981-2003 Tabelul 4.4.1.7

Denumirea indicatorului Simbolul

indicatorului Valoarea indicatorului

0 1 2 Coeficientul Theil T 0,0904 Ponderea abaterii TA 0,0000

Ponderea dispersiei TD 0,2399 Ponderea covarianţei TC 0,7601

Cu toate că în cazul acestui model se înregistrează un nivel scăzut în

cazul coeficientului Theil, al ponderii abaterii şi a dispersiei s-a renunţat la


acesta în vederea efectuării prognozei ca urmare a valorii scăzute a coeficientului de determinare.

În continuare se va realiza, de asemenea, o analiză comparativă a capacităţii de prognoză a celor două modele de ajustare obţinute pe baza nivelării seriei de timp privind consumul final real al populaţiei în România în perioada 1980-2003 cu ajutorul metodei mediilor mobile de ordinul întâi şi doi pe baza indicatorilor statistici propuşi de H. Theil, în vederea alegerii celui mai bun model de ajustare. În urma calculelor efectuate cu ajutorul pachetului de programe EViews pentru cele două modele folosite la estimarea tendinţei consumului populaţiei în perioada 1980-2003, au rezultat următoarele informaţii:

Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelelor obţinute pe baza nivelării seriei de timp privind consumul final real al populaţiei

în România în perioada 1980-2003 cu ajutorul metodei mediilor mobile

Tabelul 4.4.1.8 Consumul final real al populaţiei estimat cu ajutorul

metodei mediilor mobile Denumirea indicatorului medii mobile

de ordinul întâi medii mobile de ordinul doi

0 1 2 Coeficientul Theil 0,0456 0,0682 Ponderea abaterii 0,1855 0,2090

Ponderea dispersiei 0,1206 0,1370 Ponderea covarianţei 0,6939 0,6540

În urma analizării rezultatelor prezentate în cadrul tabelului 4.4.1.8 se constată că metoda mediilor mobile de ordinul întâi dispune de cea mai bună capacitate de prognoză, ca urmare a înregistrării în cazul acesteia a celui mai scăzut coeficient Theil, aceasta posedând şi cea mai mică valoare a ponderii abaterii şi dispersiei.

În aceste condiţii, prognoza consumului final real al populaţiei pe anul următor, estimată cu ajutorul metodei mediilor mobile de ordinul întâi este egală cu:

6923,187,673ˆ 12524

125 =+=∆+= CC mld. Lei


4.1.4.2 Ajustarea seriilor de timp cu ajutorul metodei nivelării exponenţiale

Utilizând datele din tabelul 4.4.1.1. din cadrul problemei 4.1.4.1., se

cere: a) Să se estimeze consumul final real al gospodăriilor populaţiei cu

ajutorul metodei nivelării (lisajului) exponenţiale de ordinul unu; b) Să se estimeze consumul final real al gospodăriilor populaţiei cu

ajutorul metodei nivelării exponenţiale de ordinul doi; c) Să se facă discuţia rezultatelor obţinute la punctele a) şi b) şi să

justifice soluţia corectă.

Rezolvare:

Aplicarea metodei nivelării exponenţiale simple (Tănăsoiu, Iacob, 1999, p. 190-195) în cazul consumului final al populaţiei se bazează pe ipoteza că seria privind consumul final al populaţiei este staţionară (nu prezintă tendinţă şi nici oscilaţii sezoniere). În acest caz se utilizează următorul model de prognoză:

( ) ttt CCC ˆ1ˆ

1 αα −+=+ ( )ttt CCC ˆˆ −+= α (1)

unde:

1ˆ+tC = valoarea previzionată a consumului populaţiei, C, efectuată în

perioada „t” pentru perioada „t+1”; Ct = valoarea reală a consumului populaţiei, C, înregistrată în perioada

„t”; α = constanta de nivelare, 0< α <1;

t = variabila timp, nt ,1= ; n = numărul termenilor observaţi.

Valorile constantei „α” sunt stabilite arbitrar, în funcţie de numărul de iteraţii ale acesteia, respectiv: 0,1; 0,2; ...0,9. În final se va utiliza acea


valoare pentru care se realizează condiţia: ∑ − 2)ˆ(min jttj

CC , unde j =

numărul iteraţiei, 9,1=j . Prin dezvoltarea relaţiei (1) se obţine relaţia:

( ) ( )∑−

=−−+ −+−=

1

011

ˆ11ˆt

kt

tkt

kt CCC ααα (2)

Prognoza consumului final al populaţiei este determinată ca o sumă

ponderată descrescătoare a valorilor reale ale consumului populaţiei, Ct. Metoda nivelării exponenţiale duble (Tănăsoiu, Iacob, 1999, p.

195-199) poate fi utilizată şi în cazul care consumul final al populaţiei urmează o traiectorie liniară, fără oscilaţii sezoniere.

Termenii seriei staţionare privind consumul final al populaţiei, obţinuţi cu ajutorul nivelării exponenţiale duble, ( 2

1ˆ+tC ), sunt determinaţi

utilizând valorile obţinute cu ajutorul metodei nivelării exponenţiale simple (Ĉt

1), respectiv:

21

ˆ+tC = αĈt

1+ (1-α)Ĉt2 (3)

Ĉt1= αCt-1+ (1-α) 1

1ˆ−tC (4)

În cazul în care consumul populaţiei urmează o traiectorie liniară,

termenii seriei vor fi determinaţi astfel:

hbaC ttht ⋅+=+2ˆ (5)

unde:h = orizontul de prognoză, h = 1,2,…

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⋅−=

−=

αα

1)ˆ(

ˆˆ2

21

21

ttt

ttt

CCb

CCa (6)


Prognoza consumului populaţiei, în cazul aplicării acestei metode, se determină astfel:

hCCCCC ttttht ⋅−

⋅−+−=+ αα

1)ˆˆ()ˆˆ(2ˆ 21212 (7)

De reţinut că, la aplicarea metodelor de nivelare ca metode de

ajustare a unei serii de timp, se porneşte de la acceptarea ipotezei: 12ˆ CC = ,

adică valoarea de prognoză în perioada t = 2, este egală cu valoarea înregistrată în prima perioadă a seriei (t = 1).

Aplicarea corectă a metodei nivelării exponenţiale simple impune utilizarea seriei de timp staţionare a consumului populaţiei. Pentru a determina valorile ajustate ale seriei de timp staţionare privind consumul final al populaţiei (obţinută în urma calculării diferenţelor de ordinul întâi) cu ajutorul metodei nivelării exponenţiale simple, utilizând relaţia (1), constantei de nivelare i s-au atribuit valorile α = 0,1, α = 0,2, α = 0,3 - vezi tabelul 4.4.2.1, coloanele 3, 5 şi 7.

Tabelul 4.4.2.1

t 1t∆ Ct(α = 0,1) ( 1

t∆ -Ct)2 Ct(α = 0,2) ( 1t∆ -Ct)2 Ct(α = 0,3) ( 1

t∆ -Ct)2

1 2 3 4 5 6 7 8

1980 - - - - - - - 1981 8,8 - - - - - - 1982 -5,8 8,75 211,20 8,75 211,20 8,75 211,20 1983 -3,2 7,30 110,84 5,84 82,35 4,39 58,09 1984 17,0 6,25 115,28 4,03 167,76 2,10 221,32 1985 -8,1 7,32 236,60 6,62 215,59 6,57 214,07 1986 6,1 5,78 0,09 3,68 5,71 2,18 15,17 1987 24,1 5,81 332,74 4,16 395,59 3,35 428,65 1988 41,1 7,63 1119,31 8,14 1085,75 9,56 994,26 1989 3,4 10,98 57,37 14,73 128,23 19,02 243,74 1990 41,1 10,22 952,77 12,46 819,36 14,33 715,83 1991 -90,3 13,31 10733,09 18,19 11768,20 22,36 12690,56 1992 -35,3 2,95 1461,30 -3,51 1009,43 -11,44 568,49 1993 3,7 -0,87 21,34 -9,86 185,13 -18,59 498,78


t 1t∆ Ct(α = 0,1) ( 1

t∆ -Ct)2 Ct(α = 0,2) ( 1t∆ -Ct)2 Ct(α = 0,3) ( 1

t∆ -Ct)2

1 2 3 4 5 6 7 8

1994 11,5 -0,41 140,85 -7,14 345,80 -11,89 544,94 1995 57,9 0,77 3268,28 -3,42 3765,57 -4,88 3947,42 1996 40,4 6,49 1151,85 8,85 997,19 13,96 700,49 1997 -20,0 9,89 896,10 15,17 1240,26 21,90 1760,07 1998 60,6 6,89 2881,09 8,12 2750,31 9,32 2626,57 1999 -6,4 12,26 347,64 18,61 624,94 24,69 965,87 2000 2,5 10,40 62,99 13,61 124,43 15,37 166,69 2001 28,4 9,60 355,13 11,38 291,18 11,50 287,31 2002 18,3 11,49 46,736 14,80 12,441 16,58 3,032 2003 44,7 12,17 1055,865 15,50 850,483 17,10 759,563 Total - - 25558,44 - 27076,91 - 28622,11

Tabelul 4.4.2.2

t 1t∆ Ct(α= 0,11) ( 1

t∆ -Ct)2 Ct(α= 0,12) ( 1t∆ -Ct)2 Ct(α = 0,13) ( 1

t∆ -Ct)2

1 2 3 4 5 6 7 8

1980 - - - - - - - 1981 8,8 - - - - - - 1982 -5,8 8,75 211,20 8,75 211,20 8,75 211,20 1983 -3,2 7,46 114,23 7,47 114,54 7,49 114,85 1984 17,0 6,51 109,73 6,53 109,23 6,55 108,73 1985 -8,1 7,44 240,31 7,45 240,66 7,46 241,01 1986 6,1 6,06 0,0002 6,08 0,0001 6,11 0,00 1987 24,1 6,06 323,66 6,08 322,81 6,11 321,96 1988 41,1 7,66 1117,47 7,67 1117,23 7,67 1116,99 1989 3,4 10,64 52,29 10,61 51,85 10,58 51,42 1990 41,1 9,99 966,96 9,97 968,23 9,95 969,49 1991 -90,3 12,76 10619,80 12,71 10609,57 12,66 10599,36 1992 -35,3 3,59 1510,66 3,65 1515,15 3,70 1519,65 1993 3,7 0,13 13,07 0,22 12,42 0,31 11,78 1994 11,5 0,45 121,10 0,53 119,34 0,61 117,60 1995 57,9 1,43 3193,69 1,49 3186,70 1,56 3179,68 1996 40,4 6,46 1153,96 6,46 1153,96 6,46 1153,94 1997 -20,0 9,48 872,22 9,45 870,20 9,42 868,22 1998 60,6 6,86 2885,02 6,85 2885,19 6,85 2885,32 1999 -6,4 11,64 324,77 11,58 322,79 11,53 320,82


t 1t∆ Ct(α= 0,11) ( 1

t∆ -Ct)2 Ct(α= 0,12) ( 1t∆ -Ct)2 Ct(α = 0,13) ( 1

t∆ -Ct)2

1 2 3 4 5 6 7 8

2000 2,5 10,03 57,36 10,00 56,87 9,97 56,39 2001 28,4 9,36 364,37 9,34 365,20 9,31 366,03 2002 18,3 11,06 52,788 11,02 53,356 10,98 53,927 2003 44,7 11,70 1086,377 11,66 1089,203 11,62 1092,035 Total - - 25391,02 - 25375,72 - 25360,40

Pe baza datelor din tabelul 4.4.2.2. se constată că: - pentru α = 0,1 - ∑ −∆

ttt C 21 )( = 25558,44– coloana 4, total;

- pentru α = 0,2 - ∑ −∆t

tt C 21 )( = 27076,91 – coloana 5, total;

- pentru α = 0,3 - ∑ −∆t

tt C 21 )( = 28622,11 – coloana 8, total;

minimul ∑ −∆t

tt C 21 )( se află în intervalul α ∈ [0,1;0,2].

În tabelul 4.4.2.3. se continuă iteraţiile pentru valorile lui α din intervalul [0,1;0,2] – vezi coloanele 3, 5 şi 7.

Deoarece - pentru α = 0,11 - ∑ −∆

ttt C 21 )( = 25391,02;

- pentru α = 0,12 - ∑ −∆t

tt C 21 )( = 25375,72;

- pentru α = 0,13 - ∑ −∆t

tt C 21 )( = 25360,40,

se reţine valoarea α = 0,13, pentru care s-a obţinut cea mai mică valoare a abaterilor pătratice dintre valorile empirice ( 1

t∆ ) şi valorile teoretice (Ct).

Valorile seriei ajustate a consumului final al populaţiei cu ajutorul metodei nivelării exponenţiale simple sunt prezentate în cadrul tabelului 4.4.2.3., coloana 2.

Nivelarea exponenţială dublă presupune calcularea de noi termeni pe baza valorilor obţinute cu ajutorul metodei nivelării exponenţiale simple utilizând relaţiile (3) şi (4)- vezi tabelul 4.4.2.3., coloana 3.


Nivelarea exponenţială simplă şi dublă a consumului final real al populaţiei (1990=100) în România în perioada 1980-2003

Tabelul 4.4.2.3

Consumul final real al populaţiei estimat cu ajutorul metodei nivelării exponenţiale Anii

(t)

Consumul final real al populaţiei

(Ct) nivelare simplă nivelare dublă

0 1 2 3 1980 433,3 - - 1981 442,1 - - 1982 436,3 445,1 - 1983 433,1 440,6 445,1 1984 450,1 456,6 444,7 1985 442,0 449,5 445,7 1986 448,1 454,2 446,0 1987 472,1 478,2 446,7 1988 513,2 520,9 449,5 1989 516,6 527,2 455,7 1990 557,7 567,7 461,9 1991 467,4 480,1 471,1 1992 432,1 435,8 471,9 1993 435,9 436,2 468,8 1994 447,3 447,9 465,9 1995 505,3 506,8 464,4 1996 545,7 552,2 468,0 1997 525,7 535,1 475,4 1998 586,2 593,1 480,6 1999 579,8 591,4 490,4 2000 582,3 592,3 499,1 2001 610,7 620,1 507,2 2002 629,1 640,0 517,1 2003 673,7 685,3 527,8

Pe baza acestor date, s-a realizat o analiză comparativă a capacităţii

de prognoză a celor două modele de ajustare utilizând indicatorii statistici propuşi de H. Theil, în vederea alegerii celui mai bun model de ajustare.

mld. lei (1990 = 100)


Rezultatele obţinute în urma calculării indicatorilor propuşi de H. Theil sunt prezentate în cadrul tabelului 4.4.2.4.:

Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelelor obţinute pe baza nivelării

seriei de timp privind consumul final real al populaţiei în România în perioada 1980-2003

Tabelul 4.4.2.4

Consumul final real al populaţiei estimat cu ajutorul metodei nivelării exponenţiale Denumirea indicatorului

nivelare simplă nivelare dublă

0 1 2 Coeficientul Theil 0,0079 0,0700 Ponderea abaterii 0,8291 0,4238 Ponderea dispersiei 0,0556 0,4629 Ponderea covarianţei 0,1153 0,1133

În urma analizării rezultatelor prezentate în cadrul tabelului 4.4.2.4. se constată că metoda nivelării exponenţiale duble dispune de cea mai bună capacitate de prognoză, ca urmare a înregistrării în cazul acesteia a celui mai scăzut coeficient Theil, aceasta posedând şi cea mai mică valoare a ponderii abaterii.

Prognoza consumului final al populaţiei pentru anul următor cu ajutorul metodei nivelării exponenţiale duble este următoarea:

( ) ( ) 11

2 224

124

224

124

225

2124 ⋅

−⋅−+−==+ ααCCCCCC

Pentru α = 0,13 şi, pe baza datelor din tabelul 4.4.2.3., coloanele 2 şi

3, prognoza consumului final al populaţiei va fi:

( ) ( ) 4,819113,01

13,08,5273,6858,5273,6852225 =⋅

−⋅−+−⋅=C mld. lei


4.2 Probleme propuse spre rezolvare 4.2.1. Utilizând seriile cronologice ale fenomenelor din tabelele 2.2.1. şi 2.2.2., se cere: a) Să se descrie legităţile de evoluţie ale acestor fenomene economice, în perioadele respective, cu ajutorul unor modele econometrice de timp, pertinente cu evoluţia fiecărui fenomen; b) Pe baza modelelor acceptate la punctul a), să se estimeze prognoza fenomenelor respective pe termen scurt - 2, 3 ani – pentru fenomenele din tabelul 2.2.1., maximum 6 luni – pentru cele din tabelul 2.2.2.; c) Folosind modelele explicative, reţinute ca semnificative în capitolul II - vezi problemele. 2.2.1. şi 2.2.2. - să se estimeze prognoza fenomenelor endogene, pe perioade egale cu cele de la punctul b), pe baza valorilor de prognoză ale variabilelor exogene, estimate la punctul precedent;

d) Să se compare prognozele fenomenelor, estimate cu modelele econometrice de la punctele b) şi c), cu valorile reale ale acestor fenomene - comunicate de Institutul Naţional de Statistică - şi să se facă o discuţie (critică) a eventualelor abateri între aceste valori - prognoza fenomenelor econometrice se va face pe baza unui interval de încredere şi nu pe baza unor prognoze punctuale.

capitol 4 econometrie

Documents