UNITATEA DE ÎNVĂTARE NR. 1:

Noţiuni introductive. Forma Pământului. Aproximările matematice şi fizice ale formei Pământului, Elipsoizii de referinţă. Datumul.

Cuprins PaginaObiectivele Unităţii de învăţare nr. 1 5 1.1 Noţiuni introductive 5 1.2 Forma Pământului 7 1.3 Proiecţia elipsoidului pe sfera terestră 10 1.4 Datumul 11

Test de autoevaluare – Unitatea de învăţare nr. 1 12 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie – Unitatea de învăţare nr. 1

Pagina 4

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 1

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 1 sunt:

să explice care este forma Pământului şi care sunt dimensiunile acestuia;

să prezinte şi să explice aproximările matematice şi fizice ale Pământului;

să explice care este diferenţa între un elipsoid de revoluţie şi elipsoid de referinţă;

să explice ce este un datum şi ce a impus introducerea acestuia.

1.1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE

Cunoaşterea formei Pământului şi a parametrilor acestuia a apărut ca o necesitate a dezvoltării societăţii omeneşti din timpuri extrem de îndepărtate.

O primă formă imaginată pentru planeta noastră a fost aceea a uni disc plutind pe ocean. Pământul şi acest concept a stat la baza întocmirii primelor hărţi greceşti de către Anaximandru şi Hecataeus. Primele afirmaţii scrise în legătură cu forma Pământului sunt legate de istoria Mesopotamiei (Epopeea lui Ghilgameş sec. XXX î.e.n.), afirmaţii cu privire la forma de "disc" a acestuia fiind întâlnite şi în poemele homerice (sec. X î.e.n.).

Pe măsura trecerii timpului şi dezvoltării cunoaşterii umane a apărut ideea sfericităţii Pământului. Prima ipoteza privind forma sferică a Pământului a fost emisă, după unii istoriografi, de Thales din Milet (anul 600 î.C.), iar după alţii de către Pitagora (anul 550 î.C.).

Pitagora susţinea această ipoteză din motive pur estetice, considerând că Pământul trebuie să aibă o formă sferică pentru că aceasta este cea mai frumoasă formă pe care o poate avea un corp. In extensso, el considera că aceeaşi formă trebuie să o aibă şi celelalte corpuri cereşti.

Aristotel a adus primele explicaţii, de altfel foarte evidente pentru oricine, potrivit cărora Pământul are forma unei sfere. Astfel, el observa că:

- unei nave care se îndreaptă către orizont îi dispare la început corpul şi apoi catargul şi invers;

- pentru toţi cei care se deplasează de la nord spre sud, pe măsura deplasării lor, constelaţiile sudice răsar cu mult deasupra orizontului;

- umbra Pământului pe Lună în timpul eclipselor de Lună este rotundă. Prima determinare a razei unei sfere care aproximează figura Pământului se face mai târziu,

de către Eratostene (276-195 î.C.). Acesta a determinat raza sferei terestre după principiul măsurătorilor graduale, principiu aplicat pe scară largă şi în epoca modernă.

Forma sferică a Pământului mai poate fi pusă în evidenţă şi de alte situaţii cum sunt: - călătorind spre est sau spre vest dintr-un anumit punct de pe glob, la sfârşitul călătoriei, se

ajunge în acelaşi punct venind din sens invers; - orizontul văzut de către un observator, oriunde s-ar afla el, are forma unui arc de cerc. - zborul omului în cosmos a făcut posibilă fotografierea Pământului şi filmarea lui

secvenţială, dovadă de netăgăduit a formei sale sferice. În Fig.1 este schiţat principiul matematic aplicat acum mai bine de două milenii de

Eratostene:

nRl [rad] ,

unde n trebuie exprimat în radiani (pentru compatibilitatea unităţilor de măsură), şi rezultă:

Pagina 5

180

nRl

de unde se poate deduce cu uşurinţă că::

n

lR

180

[Fig.1 ] Principiul măsurărilor graduale

Eratostene, bibliotecar şef şi director al muzeului din Alexandria (care, la acea vreme, era

un centru cultural important al lumii mediteraneene), a aplicat acest procedeu, utilizând însă un raţionament mai simplu. El a observat că în ziua solstiţiului de vară, la amiază, Soarele se putea vedea în apa celor mai adânci fântâni din localitatea Syene (astăzi Aswan), deci avea în acel moment înălţimea deasupra orizontului de 90°.

Petrecandu-si majoritatea timpului in Alexandria Eratosthene ştia că într-o zi de solstiţiu la prânz se putea observa clar umbra turnului din Alexandria. Umbra lăsată de un turn reprezenta 1/50 din circumferinţa unui cerc, acesteia corespunzându-i un unghi de aprox.7 grade. Pornind de la aceste ipoteze mai departe totul a fost matematica.

În aceeaşi zi, la aceeaşi oră, a măsurat înălţimea Soarelui în Alexandria, şi a obţinut valoarea 82°48'. Pentru aceasta a măsurat lungimea umbrei unui gnomon (băţ înfipt vertical în Pământ, de lungime cunoscută); din triunghiul dreptunghic format de băţ şi de umbra sa, se deduce imediat unghiul pe care îl fac razele Soarelui cu suprafaţa Pământului. În continuare, făcând diferenţa celor două valori de înălţime, a obţinut valoarea unghiului la centrul sferei format de razele corespunzătoare celor două localităţi alese, adică n°=7°12'.

Observaţie : S-a considerat că Soarele este plasat la o distanţă infinit de mare, astfel că razele de lumina sunt paralele.

Eratostene a aproximat valoarea unghiului la centrul sferei terestre ca fiind a 50-a parte dintr-un cerc (adică din 360°). El a mai măsurat şi distanţa dintre cele două localităţi, pe care a apreciat-o ca fiind 5000 de stadii (a folosit pentru aceasta o caravană ce a acoperit distanţa terestră între cele două localităţi). Rezultă imediat că circumferinţa Pământului este de 5000·50 = 250 000 de stadii.

Nu s-a putut stabili din ce motive Eratostene a determinat, totuşi, circumferinţa Pământului, ca fiind egală cu 252000 stadii. De asemenea nu se cunoaşte cu precizie echivalentul unei stadii (unitate de măsură a distanţei la acea vreme) în metri. Dacă se aproximează că o stadie măsoară 158 m, atunci circumferinţa Pământului rezultă:

252000•158 = 39820 km. În consecinţă, raza sferei corespunzătoare va fi de 6338 km, valoare care este foarte apropiată

Pagina 6

Pagina 7

de cea reală, determinată cu mijloace moderne (Langley R.,B., 1992), deşi în raţionamentul adoptat s-au strecurat mai multe inexactităţi (Aswan nu se găseşte situat pe tropicul Cancerului şi nici pe acelaşi meridian cu Alexandria, ci cu 300 km la est, arcul de sferă determinat de cele două localităţi nu este egal cu a 50-a parte din circumferinţa cercului s.a.m.d.).

Cu toate acestea, valoarea determinată de Eratostene nu a mai fost îmbunătăţită decât abia în sec. al XVII-lea.

1.2 FORMA PĂMÂNTULUI

În realitate, datorită formelor variate de relief existente pe Pământ, suprafaţa acestuia este foarte neregulată. Cercetările moderne au stabilit că Ecuatorul nu are forma unui cerc ci forma unei elipse, diferenţa dintre raza maximă şi cea minimă a ecuatorului fiind de 210 m. Din această cauză şi meridianele au lungimi diferite, astfel cel mai lung fiind cel de 15°E , situat aproape de Praga (Cehia) şi cel mai scurt fiind cel de 105°E care trece prin Irkutsk Oblast (Rusia).

Ca urmare a acestei forme neregulate, este imposibil de modelat matematic într-un mod fidel. Datorită acestui fapt, atenţia oamenilor de ştiinţă, în special a geodezilor, s-a concentrat asupra problemei aproximării formei reale a Pământului cu un corp geometric, care să fie regulat şi care să nu se îndepărteze foarte mult de figura reală, neregulată, a Pământului.

Există în principiu două posibilităţi de aproximare a formei (figurii) Pământului:

aproximarea fizică

aproximarea matematică. Corpul care aproximează fizic Pământul se numeşte GEOID. Acesta este corpul care are

suprafaţa dată de suprafaţa liniştită a mărilor şi oceanelor Pământului, prelungită pe sub continente. În consecinţă, geoidul nu ia în considerare formele nesemnificative de relief.

O altă manieră de definire a geoidului face apel la noţiuni de teoria potenţialului. Astfel, se defineşte potenţialul unei forţe, ca fiind funcţia ale cărei derivate parţiale pe axele de coordonate sunt chiar proiecţiile forţei pe axe. Mulţimea punctelor din spaţiul R3 care au acelaşi potenţial, definesc o suprafaţă echipotenţială. Dacă forţa în cauză este forţa gravităţii (se mai numeşte şi greutate, şi este suma dintre forţa efectivă de atracţie a Pământului şi forţa centrifugă), atunci potenţialul său se numeşte potenţialul gravităţii.

În acest context, geoidul se defineşte ca fiind corpul având suprafaţa echipotenţială de nivel zero (nivelul mediu al marilor şi oceanelor). Această definiţie a fost introdusa de Listing în anul 1873, şi a fost propusă, ulterior, de Gauss, ca figură a Pământului.

Verticala unui punct este direcţia firului cu plumb, şi este dreapta definită de acel punct şi centrul de masă al Pământului. Altfel, verticala unui punct este definită ca fiind direcţia gradientului funcţiei potenţial. În consecinţă, verticala oricărui punct de la suprafaţa Pământului este perpendiculară pe geoid (ca o consecinţă a definiţiei noţiunii de gradient)-fig.4.

Urmare a distribuţiei nesferice (neomogene) a densităţii Pământului, suprafaţa geoidului nu este regulată.

În consecinţă, utilizarea geoidului ca suprafaţă de referinţă, la care să se reducă toate măsurătorile geodezice ori de navigaţie, este restrictivă.

Din acest considerent, a fost necesară o a doua aproximaţie a formei Pământului. Aceasta este legată de numele lui Newton, care în anul 1687 fundamentează teoria asupra atracţiei universale, pe baza căreia postulează două concluzii extrem de importante:

forma de echilibru a Pământului este reprezentată de un elipsoid de rotaţie cu turtire mică la poli. Valoarea dată de Newton turtirii a fost de 1/230);

gravitaţia (greutatea) creşte de la ecuator către poli.

Newton a demonstrat aceste afirmaţii pe baza măsurătorilor precise ale timpului cu ajutorul pendulului (acesta rămâne în urmă dacă este plasat la ecuator, urmare a gravităţii scăzute). Ulterior, expediţiile efectuate în Lapland şi Peru (1736-1744) pentru măsurarea arcelor de meridian, au confirmat ipotezele lui Newton.

Două sute de ani mai târziu, odată cu lansarea sateliţilor artificiali ai Pământului, s-au putut verifica din nou aceste ipoteze. Mai mult, lansarea satelitului Vanguard 1 la 17 martie 1958, a făcut posibilă determinarea faptului că Pământul are o uşoară formă "de pară", polul sud fiind mai apropiat de centrul Pământului decât polul nord cu cca. 20 km.

De asemenea, s-a determinat faptul că Pământul conţine o deformare (un bulb) la sud de Ecuator (Smith J.,R.,1988).

În concluzie, în a doua aproximaţie, Pământul se asimilează unui elipsoid de revoluţie, obţinut prin rotaţia elipsei meridiane în jurul axei mici (2b), numită şi axă polară (Fig.2). Dreapta N care trece prin punctul oarecare "H" şi este perpendiculară pe suprafaţa elipsoidului, se numeşte normala la elipsoid. O altă noţiune folosită cu precădere pentru a caracteriza un elipsoid este cea de excentricitate a elipsoidului de rotaţie şi dacă vom nota excentricitatea cu „e”.

[Fig.2] Elipsoidul de revoluţie

În concluzie parametrii care definesc un elipsoid de revoluţie sunt:

semiaxa mare (ecuatorială) - a;

semiaxa mică (polară) - b;

prima turtire -a

baf

;

Pe clângă cei trei parametri enumeraţi mai sus, se mai definesc următorii parametri secundari ai elipsoidului:

prima excentricitate: 2

22

a

bae

;

raza de curbură polară 2

b

ac .

Pe baza unor determinări astronomo-geodezice şi satelitare precise, s-au determinat următoarele modele elipsoidale (figuri matematice) ale Pământului, numite elipsoizi de referinţă:

Pagina 8

Numele elipsoidului

Anul Semiaxa mare

[a] Semiaxa mică

[b] Turtirea

[f]

BESSEL 1841 6377397m 6356079 1/299

CLARKE 1880 6378394 6356515 1/294

HAYFORD 1909 6378388 6356910 1/297

KRASOVSKY 1940 6378245 6356863 1/298

WGS 72 1972 6378135 6356751 1/298.26

UAI 19761 1976 6378140 6356755 1/298.257

WGS 842 1984 6378137 6356752.3142 1/298.2572

Conferinţa internaţională de geodezie şi geofizică de la Madrid din 1924 a adoptat elementele elipsoidului lui Hayford care este cunoscut în zilele noastre ca elipsoidul internaţional.

Conform acestor elemente, circumferinţa Ecuatorului este de 40.077 km iar conturul elipsei meridiane măsoară 40.009 km. Considerând Pământul o sferă, raza sa este de 6.371 km în timp ce ipoteza de elipsoid terestru conduce la o rază medie de 6.368 km.

Pe baza acestor elemente s-a cartografiat suprafaţa Pământului, elaborându-se hărţi pentru diferite scopuri, în proiecţii şi la scări convenabile.

Zborul omului în cosmos a deschis noi perspective de cercetare ştiinţifică în domeniul ormei şi dimensiunilor Pământului. Ca urmare a studierii Pământului cu mijloace tehnice nstalate pe sateliţi, s-a elaborat modelul unui nou elipsoid de rotaţie asociat sistemului de eferinţă internaţional W.G.S. – 84 (World Geodetic System 1984) introdus prin utilizarea în copuri civile şi militare a sistemului de poziţionare prin sateliţi G.P.S. (Global Positioning System).

În fig. 3 este reprezentată suprafaţa reală a Pământului, pe care s-au ales două puncte arbitrare

M şi M. Sunt reprezentate de asemenea suprafaţa geoidului (cu verticala locului V) şi suprafaţa

elipsoidului de revoluţie (cu normala N).

[Fig.3] Suprafaţa fizică, geoid, elipsoid

Pentru a rezolva expeditiv anumite probleme practice ale navigaţiei, s-a adoptat (într-o a treia aproximaţie) ca model matematic al Pământului, sfera. Deşi mai puţin precis decât modelul elipsoidal, modelul sferic al Pământului satisface majoritatea necesităţilor navigaţiei.

Asimilarea elipsoidului terestru cu sfera terestră se face pe considerentul că diferenţele între cele două suprafeţe sunt, la nivelul de precizie impus de unele problemeale navigaţiei, acceptabile.

1 UAI = Uniunea Astronomică Internaţională; 2 WGS = World Geodetic System

Pagina 9

De exemplu, indicarea distanţelor parcurse de navă (cu aparatura de bord) este afectată de o eroare de 1%; în acelaşi timp, eroarea introdusă de aproximarea suprafeţei sferice a Pământului nu depăşeşte procentul de 1% în determinarea aceloraşi distanţe. Ca urmare, acest nivel de precizie se consideră a fi satisfăcător.

Sfera terestră se defineşte ca fiind sfera cu volumul egal cu cel al elipsoidului de referinţă, ales ca model matematic al Pământului. Pornind de la această egalitate, se poate determina raza sferei terestre. Astfel, având ca model elipsoidul WGS 84, rezultă că:

kmRbaRbaR

00079,63713

4

3

43

12

23

1.3 PROIECŢIA ELIPSOIDULUI PE SFERA TERESTRĂ

Considerăm elipsoidul şi sfera terestră concentrice, având axele polilor şi planele ecuatoriale comune (Fig. 4). Pe elipsoidul terestru se consideră un punct A, având longitudinea geodezică λA şi latitudinea geodezică φA, verticala locului ZA confundându-se cu normala la suprafaţa elipsoidului în punctul A.

Se adoptă ca imagine a punctului A pe sfera terestră un punct A' care este conţinut în planul elipsei meridiane a locului A şi a cărei verticală Z'A' este paralelă cu verticala locului A.

Acest mod de proiectare, făcută în scopul substituirii elipsoidului cu sfera terestră, necesară în navigaţie, cartografie etc. prezintă următoarele proprietăţi:

axa polilor şi planul ecuatorului sunt elemente de referinţă comune, atât pentru elipsoid, cât şi pentru sfera terestră;

meridianul punctului A de pe elipsoid şi meridianul proiecţiei acestui punct A' pe sfera terestră sunt conţinute în acelaşi plan.

[Fig. 14] Proiecţia elipsoidului pe sferă

Ca urmare, unghiurile diedre formate între elipsele meridiane ale diferitelor puncte de pe elipsoid sunt egale cu unghiurile diedre ale meridianelor care conţin proiecţiile acestor puncte pe sfera terestră. În consecinţă, se pot conclude următoarele:

valoarea coordonatelor unui punct oarecare de pe Pământ se menţine aceeaşi pe ambele suprafeţe de reprezentare, atât pe elipsoid; cât şi pe sfera terestră;

pe elipsoidul terestru, lungimea arcului de meridian de 1' variază între 1843 m la ecuator şi 1861,6 m la poli. Lungimea arcului de meridian de 1', ca dealtfel a oricărui minut de arc de cerc mare pe sfera terestră, este constantă şi are valoarea de 1852 m, ceea ce reprezintă

Pagina 10

lungimea arcului de meridian eliptic la latitudinea de aproximativ 45°. Prin substituirea elipsoidului cu sfera, folosirea lungimii milei marine reprezentând lungimea de cerc mare de 1' nu afectează precizia navigaţiei, diferenţele fiind practic neglijabile.

unghiurile şi distanţele sunt uşor deformate, când se trece de pe elipsoid pe sferă şi invers. Aceste deformaţii sunt însă practic neînsemnate, deoarece turtirea elipsoidului este mică.

înlocuirea elipsoidului terestru prin sfera terestră poate determina erori maxime de:

11'6 pentru mărimile unghiulare;

1/200 din spaţiu pentru mărimile liniare. Cele arătate mai sus justifică pe deplin utilizarea sferei terestre pentru reprezentarea globului

pământesc în rezolvarea problemelor de navigaţie. In cartografie, unde se solicită o precizie superioară, se aplică de cele mai multe ori principiul dublei proiecţii; acest principiu constă din proiectarea elipsoidului pe sferă, ceea ce dă naştere la mici deformaţii care se pot calcula, apoi se proiectează sfera pe un plan, în scopul întocmirii hărţilor.

1.4 DATUMUL

Datumul este un set de parametrii şi puncte de control la suprafaţa terestră prin care se defineşte un sistem local de coordonate. Deoarece Pământul, după cum am văzut, nu are o formă perfect geometrică, dar este oarecum apropiat de un elipsoid şi pentru că există totuşi variaţii locale datorate formelor de relief (munţii, depresiuni etc.) a fost introdus acest datum. Datumul, cu alte cuvinte, este introdus pentru a tine seamă de aceste variaţii locale şi pentru a stabili un sistem de coordonate pentru această zonă. În imaginea de mai jos, Pământul este ilustrat cu suprafaţa neregulată prin linia neagră continuă. Elipsoidul de referinţă WGS 84, care aproximează Pământul este ilustrat în culoarea albastră. Întrucât pentru anumite măsurători locale; WGS 84 nu poate asigura precizia necesară, s-a preferat "detaşarea" acestui elipsoid de referinţă pentru a "tangenta" suprafaţa fizică a zonei. Această deviere a centrului elipsoidului de referinţă se aplică doar pentru o zonă redusă a Pământului. Astfel că există foarte multe datumuri, funcţie de zona în care se navigă. GPS-ul ca aparat de navigaţie, pe lângă elipsoidul de referinţă, pentru a creşte precizia acestuia, utilizează şi datumurile ca informaţii de intrare.

[Fig.4] Datum local

Pagina 11

Pagina 12

TEST DE AUTOEVALURE

1. Care sunt elementele ce dovedesc faptul că Pământul are o formă sferică? 2. Care este forma reală a Pământului şi cum se poate ajunge la această formă? 3. Care sunt elementele care definesc elipsoidul de rotaţie? 4. Care este denumirea atribuită de geodezi corpului Pământului? 5. Care este forma atribuită de navigatori Pământului? 6. Care este modelul care stă astăzi la baza cartografierii suprafeţei terestre şi este utilizat şi pe

hărţile de navigaţie? 7. Care este mărime razei sferei terestre? 8. Ce este datumul? 9. Cum se defineşte geoidul?

BIBLIOGRAFIE

1. Cojocaru, S., Tratat de navigaţie maritimă, vol. I, Ed. Ars Academica, Bucureşti, 2008, pag. 20 – 31;

2. Balaban, G., Tratat de navigaţie maritimă, Ed. Sport turism, Bucureşti, 1981; 3. Atanasiu, T., Bazele navigaţiei. Navigaţie estimată şi costieră, Ed. Academiei Navale "Mircea

cel Bătrân", 2005.