METODE NUMERICE PENTRU ECUAII DIFERENIALECU DERIVATE PARIALE

1 Noiuni introductive

2 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul I

2.1 Scheme explicite

2.2 Scheme implicite

3 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul II

3.1 Ecuaii cu derivate pariale de tip parabolic

3.1.1 Scheme explicite

3.1.2 Scheme implicite

3.1.3 Convergen, consisten, stabilitate

3.1.4 Ecuaii parabolice cu dou variabile spaiale. Metoda Crank-Nicolson

3.1.5 Metoda direciilor alternante

3.1.6 Ecuaii parabolice neliniare

3.2 Ecuaii cu derivate pariale de tip eliptic

3.2.1 Aspecte introductive

3.2.2 Metodele iterative punctuale

3.2.3 Metode iterative n bloc

3.3 Ecuaii cu derivate pariale de tip hiperbolic

3.3.1 Aspecte introductive

3.3.2 Metoda caracteristicilor

3.3.3 Scheme cu diferene finite

1 Noiuni introductive

n modelarea fenomenelor i proceselor reale, a cror complexitate implic, n general, determinarea unor funcii de dou sau mai multe variabile independente sunt ntlnite n mod inevitabil ecuaiile difereniale cu derivate pariale sau, pe scurt, ecuaii cu derivate pariale (EDP). ntr-adevr, o descriere mai apropiat de realitate a fenomenelor care se desfoar n spaiu comport cel puin dou variabile independente, iar urmrirea desfurrii lor poate necesita introducerea unei noi variabile independente, timpul.

Diversitatea ecuaiilor i sistemelor de ecuaii difereniale este extraordinar, iar condiiile la limite i cele iniiale (al cror rol este deosebit de important) nu fac dect s adauge noi cazuri i tipuri de probleme de rezolvat. Nu este deci de mirare c n domeniul EDP (n special al ecuaiilor neliniare) teoria matematic nu este suficient de elaborat. Din aceste motive, abordarea numeric, dei capabil, n principiu, s furnizeze date noi, nu poate fi n msur s in loc i de teorie, recomandndu-se o extrem pruden n validarea rezultatelor obinute n cazurile neacoperite suficient de teorie. Reconfirmarea rezultatelor obinute pe diverse ci, suficient de distincte ntre ele, este o metod util, poate singura n anumite situaii extreme.

Ecuaiile cu derivate pariale pot fi clasificate n funcie de mai multe criterii; dup ordinul derivatelor pariale, se clasific n ecuaii de ordinul nti, ordinul al doilea, ordinul n; dup caracterul de liniaritate se mpart n ecuaii liniare, cvasiliniare i neliniare; dup tipul influenei domeniului de integrare asupra soluiei ntr-un punct, se mpart n ecuaii eliptice, parabolice i hiperbolice; dup forma condiiilor la limit ntlnim probleme Dirichlet, Neumann i mixte.

n cele ce urmeaz, vom aborda unele tipuri de EDP mai uzuale, cu condiii iniiale i la limite, pentru care teoria asigur existena i unicitatea soluiilor.

2 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul I

Ecuaia cu derivate pariale de ordinul nti se scrie sub forma

,(1)

n care u este funcia necunoscut, variabilele independente, iar funciile , i B depind cel mult de funcia u (nu i de derivatele pariale ). Dac i B nu depind de funcia u, ecuaia se numete liniar; dac , ecuaia se numete omogen.

Rezolvarea ecuaiei cu derivate pariale (1) se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuaii difereniale ordinare numit sistem caracteristic

.(2)

Soluia ecuaiei (1) este o suprafa n-dimensional ntr-un domeniu , de forma sau , care verific ecuaia (1) i anumite condiii de selecie. Problema este studiat complet pentru cazul cnd suprafaa integral n-dimensional trece printr-o suprafa -dimensional , dat n domeniul -dimensional (problem Cauchy). Suprafaa poate fi dat sub forma interseciei a dou suprafee n-dimensionale

(3)

n principiu, soluia general a sistemului de ecuaii difereniale (2), sistem de ordinul n, depinde de n constante arbitrare , i se poate scrie sub forma

.(4)

Funciile sunt determinate de forma sistemului caracteristic. Suprafeele se numesc suprafee caracteristice, iar interseciile lor, depinznd de un singur parametru, se numesc linii caracteristice.

Condiiile (3), mpreun cu (4) formeaz un sistem de ecuaii, din care, n principiu, prin exprimarea celor variabile n funcie de , i introducerea lor n a -a ecuaie rmas, se obine o relaie ntre parametrii , sub forma

,(5)

care, prin (4), d tocmai soluia a problemei

.(6)

n calculul numeric, soluia se caut ntr-un anumit volum -dimensional , care conine suprafaa dat de (3). Se alege o diviziune convenabil a suprafeei . Valorile n noduri , sunt condiii iniiale pentru sistemul de ecuaii difereniale (2), ale crui soluii sunt liniile de cmp ale vectorului de componente . Se obin N linii de cmp ale suprafeei integrale.

Dac (ecuaie omogen), sistemul (2) se simplific, deoarece o integral prim este Rmne de rezolvat sistemul de ecuaii difereniale

,(7)

fiind dat de condiia iniial (3). Din (7) se obin liniile de cmp ale unui vector de componente , pe care

2.1 Scheme explicite

O prim etap n rezolvarea numeric a unei ecuaii cu derivate pariale o constituie discretizarea, care const, pe de o parte, n divizarea domeniului cu ajutorul unei reele de calcul, iar, pe de alt parte, n nlocuirea ecuaiei cu derivate pariale cu o ecuaie mai simpl. Exist mai multe metode pentru nlocuirea ecuaiei cu derivate pariale: metode cu diferene finite, metode cu volume finite, metode cu elemente finite, metode spectrale. n acest capitol, sunt prezentate elementele de baz pentru rezolvarea numeric a ecuaiilor cu derivate pariale folosind metode cu diferene finite.

Considerm ecuaia unidimensional a propagrii undelor

,(8)

unde a este o constant pozitiv. Am folosit notaia . Pentru a rezolva ecuaia (8), sunt necesare condiii iniiale de forma

.(9)

n multe cazuri sunt date i condiii la limit

,(10)

funciile f, i fiind date. Pentru a rezolva numeric ecuaia (8), se mparte domeniul dreptunghiular de dimensiuni 1 i T cu ajutorul unei reele cu pai egali, pentru simplitate, h pe direcia Ox i k pe direcia Ot. Una dintre modalitile de a obine o ecuaie cu diferene finite este de a folosi dezvoltarea n serie Taylor a funciei n jurul punctului

,(11)

,unde , , . Rezult

(12)

Neglijnd termenii i , rezult ecuaia n diferene finite

,(13)

unde cu s-a notat valoarea aproximativ a funciei , iar este cunoscut sub denumirea de numr Courant. Relaia (13) este o schem explicit cu diferene finite, deoarece valorile se determin direct, folosind numai valorile de la momentul de timp anterior. Valorile sunt aproximative, deoarece din dezvoltrile (11) am folosit numai termenii de ordinul I.

Spunem c formulele (12) au ordinul nti de precizie. Observm cum pentru se obine soluia exact .Exemplu. Vom rezolva ecuaia

,(14)

cu condiiile iniiale i la limit

.(15)

La momentul iniial de timp , funcia necunoscut u este nul pentru toate valorile x din domeniul de calcul, mai puin valoarea , unde exist o perturbaie . Aceast perturbaie se va propaga n timp i spaiu. Rezultatele obinute cu schema explicit (13) sunt date n fig. 2. Se observ diferene mari ntre rezultatele obinute cu reele diferite. Dei ar fi fost de ateptat ca cele mai bune rezultate s fie obinute pentru , acestea se obin pentru . Rezultate slabe sunt obinute pentru , care difer mult de cele obinute cu . Dei pasul mai mic pe direcia Ox nseamn o aproximare mai bun a derivatei spaiale i ne-ar ndrepti s sperm la rezultate mai bune, acest lucru nu se ntmpl, ba din contr, rezultatele nu mai au nicio semnificaie fizic. Aa cum vom vedea mai departe, acest lucru se datoreaz faptului c schema (13) este instabil pentru valori .

Dup cum am vzut din exemplul precedent, folosirea unei reele foarte fine (altfel spus, norma reelei este foarte mic) nu este ntotdeauna suficient.

Reeaua de calcul trebuie de multe ori s ndeplineasc anumite condiii pentru ca o schem cu diferene finite s fie convergent.

Definiie. O metod cu diferene finite este convergent, dac soluia obinut cu ajutorul ecuaiei cu diferene converge ctre soluia exact atunci cnd norma reelei tinde la zero.

innd cont de (2), caracteristicile ecuaiei (8) sunt date de

,(16)

adic drepte de pant . Condiia de convergen pentru schema explicit (13) este dat de criteriul CFL (Courant-Friederichs-Lewy), care impune ca domeniul de influen numeric s includ domeniul de influen fizic. Domeniul de influen a punctului B este format din totalitatea punctelor care primesc informaie din B. Domeniul de influen fizic este mrginit la dreapta de BD, n timp ce domeniul de influen numeric este mrginit la dreapta de BA. Schema explicit (13) este convergent dac reeaua ndeplinete condiia

.(17)

Dac condiia (17) nu este ndeplinit, schema (13) nu este convergent, deoarece nu este stabil.

Dac pentru aproximarea derivatei spaiale n locul diferenei la stnga (12) folosim diferene la dreapta

(18)

obinem

.(19)

Utiliznd schema (19) pentru rezolvarea ecuaiei (14), valorile pentru toate momentele de timp rmn egale cu valorile iniiale , deoarece schema (19) nu permite propagarea informaiei de la stnga la dreapta, ci numai de la dreapta la stnga. Schema (19) ar putea fi folosit n cazul , caz n care schema (12) nu mai este adecvat.

Putem ncerca o aproximare mai bun pentru derivata spaial folosind diferene centrate

(20)

obinndu-se

,(21)

schem care este instabil pentru orice valoare a numrului Courant c. Observm cum un ordin mai mare n aproximarea derivatelor pariale nu nseamn neaprat precizie mai bun.

O schem explicit des ntlnit este schema Lax-Wendroff, dat de

,(22)

care are ordinul de precizie . Pentru , se obine soluia exact , la fel ca la schema (13).

2.2 Scheme implicite

Convergena condiionat este o caracteristic a schemelor explicite i impune adeseori pai de timp foarte mici. Pentru a evita acest neajuns, se folosesc schemele implicite, n care derivatele spaiale se aproximeaz folosind valorile aproximative nu la momentul n, ci la momentul ,

.(23)

Se obin ecuaiile cu diferene finite

(24)

Schema (24) este necondiionat convergent.

O alt schem implicit este cea atribuit lui Wendroff, dat de relaia

,(25)

care este de asemenea necondiionat convergent.

3 Ecuaii cu derivate pariale de ordinul II

Vom considera ecuaia cu derivate pariale de ordinul doi cvasiliniar de forma

,(26)

cu . Forma (26) nu conine derivate mixte (este o form canonic) i se poate obine prin schimbri de variabile adecvate, dup cum se va putea vedea n continuare. Ecuaia (26) este de tip

(a) eliptic, dac toi coeficienii , au acelai semn;

(b) parabolic, dac exist un indice j, astfel nct i ;

(c) hiperbolic, dac toi coeficienii au acelai semn, cu excepia unuia care are semn opus.

Aceast clasificare este important, deoarece este legat de modul n care un punct din domeniu este influenat de (comunic cu) punctele din vecintate.

n cazul ecuaiei de tip eliptic, punctul este influenat de toate punctele din orice vecintate (disc, bula) a lui. Un exemplu tipic de ecuaie de tip eliptic este ecuaia lui Laplace

.(27)

Datorit influenei reciproce, o problem de tip eliptic nu se poate rezolva numeric dect simultan pentru toate punctele din domeniu. Condiiile la limit n acest caz se impun pe frontiere nchise.

n cazul ecuaiei de tip parabolic exist posibilitatea unui mar n calculul numeric, n direcia , pentru care . Ecuaia se scrie sub forma

,(28)

iar problema se rezolv simultan numai pentru punctele situate pe suprafeele , nu pentru toate nodurile din domeniu, ceea ce simplific esenial calculul. Problemele cu ecuaii de tip parabolic sunt comparativ mai simple (la acelai numr de variabile) dect cele cu ecuaii de tip eliptic. Exemplu tipic de ecuaie de tip parabolic este ecuaia de transmitere a cldurii n regim nestaionar

,(29)

t fiind timpul. Ecuaia (29) n trei variabile independente este, n general, mai uor de rezolvat numeric dect ecuaia (27) n variabilele .

n cazul ecuaiei de tip hiperbolic, exist puncte care nu se pot influena reciproc. Un exemplu l reprezint micrile supersonice, unde perturbaiile mici sunt limitate la interiorul unui con, denumit con Mach. Prin urmare, n rezolvarea numeric trebuie evitat comunicarea numeric a nodurilor care nu comunic fizic ntre ele. Un exemplu tipic de ecuaie de tip hiperbolic este ecuaia undelor

(30)

a fiind viteza de propagare a undei . n cazul ecuaiilor hiperbolice exist mai multe direcii caracteristice distincte de-a lungul crora se poate avansa plecnd de la o stare iniial. Problemele pot include ns, pe lng condiii iniiale, i condiii la limite, caz n care soluiile sunt esenial diferite.

Pentru exemplificare considerm ecuaia

(31)

unde , , , , , iar a, b, c i f sunt funcii de x, y i u. Se cunosc valorile funciei u i ale derivatelor i pe curba i sub aceasta. Se pune problema dac aceste valori cunoscute sunt suficiente pentru a putea determina valorile derivatelor de ordinul al doilea, i . Vom scrie

(32)

Ecuaiile (31) i (32) formeaz sistemul

.(33)

Soluia sistemului (33) exist i este unic dac determinantul matricei sistemului este nenul, adic

.(34)

Dac curba are panta , astfel nct , atunci sistemul (33) este nedeterminat, necunoscutele neputnd fi determinate n mod unic.

Ecuaia (34) poate avea:

(a) dou rdcini reale distincte, , dac ; n acest caz ecuaia este de tip hiperbolic;

(b) dou rdcini reale confundate, , dac ; ecuaia este de tip parabolic;

(c) dou rdcini complex conjugate, dac ; ecuaia este de tip eliptic.

Nedeterminarea care se obine n cazul n care este o curb caracteristic a unei ecuaii de tip hiperbolic sugereaz ideea c este posibil ca pe aceast curb ecuaia (31) s poat fi nlocuit cu o ecuaie mai simpl. Dup cum vom vedea la 2.4, ecuaia cu derivate pariale de ordinul al doilea se poate nlocui pe o curb caracteristic cu o ecuaie diferenial ordinar, mult mai simplu de rezolvat numeric.

Dup matematicianul Richard Courant (1988-1972), care a avut o contribuie important n domeniul metodelor numerice pentru rezolvarea ecuaiilor neliniare cu derivate pariale.

_1326103449.unknown

_1326105632.unknown

_1330764960.unknown

_1330864423.unknown

_1330864479.unknown

_1330864599.unknown

_1330924525.unknown

_1335349898.unknown

_1338896952.unknown

_1335349831.unknown

_1330923737.unknown

_1330864501.unknown

_1330864512.unknown

_1330864488.unknown

_1330864447.unknown

_1330864462.unknown

_1330864442.unknown

_1330864216.unknown

_1330864358.unknown

_1330864377.unknown

_1330864336.unknown

_1330864126.unknown

_1330864155.unknown

_1330864167.unknown

_1330864140.unknown

_1330864089.unknown

_1330864109.unknown

_1330864075.unknown

_1326105942.unknown

_1326106042.unknown

_1326106088.unknown

_1326106129.unknown

_1330764959.unknown

_1326696653.unknown

_1326106105.unknown

_1326106075.unknown

_1326105982.unknown

_1326106005.unknown

_1326105957.unknown

_1326105786.unknown

_1326105837.unknown

_1326105874.unknown

_1326105814.unknown

_1326105713.unknown

_1326105762.unknown

_1326105681.unknown

_1326104912.unknown

_1326105160.unknown

_1326105538.unknown

_1326105577.unknown

_1326105601.unknown

_1326105561.unknown

_1326105420.unknown

_1326105490.unknown

_1326105368.unknown

_1326105054.unknown

_1326105086.unknown

_1326105137.unknown

_1326105068.unknown

_1326104951.unknown

_1326104978.unknown

_1326104935.unknown

_1326104570.unknown

_1326104783.unknown

_1326104882.unknown

_1326104900.unknown

_1326104853.unknown

_1326104700.unknown

_1326104728.unknown

_1326104631.unknown

_1326104648.unknown

_1326103526.unknown

_1326103572.unknown

_1326104542.unknown

_1326103543.unknown

_1326103492.unknown

_1326103513.unknown

_1326103475.unknown

_1324453277.unknown

_1324453351.unknown

_1324453415.unknown

_1326103338.unknown

_1326103393.unknown

_1326103419.unknown

_1326103376.unknown

_1324453423.unknown

_1326103305.unknown

_1326103317.unknown

_1326103269.unknown

_1324453425.unknown

_1324453419.unknown

_1324453421.unknown

_1324453417.unknown

_1324453376.unknown

_1324453380.unknown

_1324453385.unknown

_1324453378.unknown

_1324453361.unknown

_1324453364.unknown

_1324453353.unknown

_1324453304.unknown

_1324453317.unknown

_1324453345.unknown

_1324453349.unknown

_1324453342.unknown

_1324453313.unknown

_1324453315.unknown

_1324453307.unknown

_1324453294.unknown

_1324453300.unknown

_1324453302.unknown

_1324453298.unknown

_1324453281.unknown

_1324453292.unknown

_1324453279.unknown

_1324453241.unknown

_1324453254.unknown

_1324453262.unknown

_1324453266.unknown

_1324453256.unknown

_1324453245.unknown

_1324453249.unknown

_1324453243.unknown

_1324453228.unknown

_1324453235.unknown

_1324453239.unknown

_1324453230.unknown

_1324453220.unknown

_1324453226.unknown

_1324453218.unknown