contribuŢii la modelareadigilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/rusanucristian.pdfuniversitatea tehnicĂ...
TRANSCRIPT
UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII
BUCUREŞTI
CONTRIBUŢII LA MODELAREA
STRUCTURILOR DE BETON ARMAT PENTRU
EVALUAREA RĂSPUNSULUI SEISMIC
Teză de doctorat
Doctorand : Şef lucrări ing. Cristian RUŞANU
Conducător ştiinţific: Prof. Univ. Dr. Ing. Tudor POSTELNICU
2012
i
CUPRINS
1. INTRODUCERE ....................................................................................................1
1.1. Consideraţii generale privind calculul structurilor de beton armat .....................1
1.2. Elemente folosite în analiza neliniară a structurilor de beton armat....................2
1.2.1. Elemente cu zone plastice concentrate..................................................................2
1.2.2. Elemente cu plasticitate distribuită .......................................................................4
1.3. Modelarea interacţiunii moment-forţă axială – forţă tăietoare ............................6
1.4. Obiectivele şi organizarea tezei ............................................................................ 11
2. ELEMENTE FINITE CU PLASTICITATE DISTRIBUITĂ ............................. 13
2.1. Introducere ............................................................................................................ 13
2.2. Teorii de grindă..................................................................................................... 13
2.2.1. Formularea problemei ........................................................................................ 13
2.2.2. Blocajul la forţă tăietoare ................................................................................... 16
2.3. Tipuri de formulare .............................................................................................. 21
2.3.1. Convenţii şi notaţii ............................................................................................. 21
2.3.2. Elemente cu formulare în deplasări .................................................................... 26
2.3.3. Elemente cu formulare în forţe ........................................................................... 29
2.3.4. Modelul de bară cu fibre .................................................................................... 35
2.4. Probleme legate de folosirea elementelor neliniare cu plasticitate distribuită ... 38
3. TEORII BAZATE PE FISURAREA DISTRIBUITĂ ......................................... 45
3.1. Introducere ............................................................................................................ 45
3.2. Formularea Teoriei Modificate a Câmpului de Compresiune (Vecchio şi Collins,
1982) ...................................................................................................................... 48
3.2.1. Ipoteze ............................................................................................................... 48
3.2.2. Relaţiile de compatibilitate în MCFT ................................................................. 49
3.2.3. Relaţiile de echilibru în MCFT ........................................................................... 50
3.2.4. Legile constitutive ale materialelor în MCFT ..................................................... 52
3.2.5. Condiţiile locale în dreptul fisurilor în MCFT .................................................... 57
3.3. Formularea Teoriei Câmpului de Compresiune Perturbat (Vecchio 2000) ....... 61
3.3.1. Relaţiile de compatibilitate în DSFM ................................................................. 62
3.3.2. Relaţiile de echilibru în DSFM ........................................................................... 64
ii
3.3.3. Legile constitutive ale materialelor în DSFM ..................................................... 65
3.3.4. Condiţiile locale în dreptul fisurilor în DSFM .................................................... 67
3.4. Dimensionarea elementelor la forţă tăietoare folosind MCFT ........................... 67
3.5. Observaţii privind eforturi tangenţiale în lungul fisurilor .................................. 71
3.6. Varianta simplificată a MCFT folosită în această lucrare .................................. 75
3.7. Observaţii şi concluzii ........................................................................................... 78
4. IMPLEMENTAREA TEORIILOR BAZATE PE FISURAREA DISTRIBUITĂ
ÎN PROGRAMELE DE ELEMENT FINIT ........................................................ 80
4.1. Introducere ............................................................................................................ 80
4.2. Formularea matriceală a MCFT pentru încărcări monoton crescătoare ........... 81
4.2.1. Formularea bazată pe matricea de rigiditate secantă ........................................... 81
4.2.2. Formularea bazată pe matricea de rigiditate tangentă.......................................... 83
4.2.3. Comparaţii între cele două formulări .................................................................. 85
4.3. Formularea matriceală a MCFT pentru încărcări ciclice ................................... 88
4.3.1. Formularea ciclică a MCFT ............................................................................... 89
4.4. Răspunsul la nivel secţional folosind MCFT........................................................ 97
4.4.1. Consideraţii generale privind influenţa forţei tăietoare asupra răspunsului
secţional ...................................................................................................................... 97
4.4.2. Metode bazate pe o distribuţie fixă ..................................................................... 99
4.4.3. Metode bazate pe echilibru între fibre .............................................................. 100
4.5. Modelul secţional implementat în Open Sees .................................................... 104
4.6. Concluzii şi observaţii ......................................................................................... 107
5. IMPLEMENTAREA MODELULUI PROPUS ÎN PLATFORMA OPENSEES
............................................................................................................................. 109
5.1. Descrierea platformei OpenSees ........................................................................ 109
5.2. Modele de grindă cu formulare în deplasări implementate în OpenSees ......... 112
5.3. Implementarea modelului propus în OpenSees ................................................. 116
5.3.1. Subclasa DispBeamColumn2dTim ................................................................... 117
5.3.2. Subclasa FiberMCFT ....................................................................................... 121
5.3.3. Subclasa NdMCFT .......................................................................................... 124
5.1. Concluzii şi observaţii ......................................................................................... 130
iii
6. VALIDAREA MODELULUI IMPLEMENTAT ÎN OPENSEES .................... 132
6.1. Descrierea modului de validare .......................................................................... 132
6.2. Observaţii privind modul de desfăşurare a analizei în OpenSees ..................... 132
6.3. Simulări numerice pentru grinzi solicitate monoton crescător ......................... 133
6.3.1. Grinzile testate de Bresler şi Scordelis (Bresler şi Scordelis, 1964) .................. 133
6.3.2. Grinzile testate de Tompos şi Frosch (Tompos şi Frosch 2002) ........................ 139
6.4. Simulări numerice pentru pereţi solicitaţi ciclic ................................................ 142
6.4.1. Pereţii încercaţi de Oesterle (Oesterle et al. 1976) ............................................ 142
6.4.2. Pereţii încercaţi de Adamantia Athanasopoulou (Athanasopoulou 2010) .......... 148
6.5. Concluzii şi observaţii ......................................................................................... 151
7. CONCLUZII ŞI RECOMANDĂRI ................................................................... 153
7.1. Problematica tezei ............................................................................................... 153
7.2. Contribuţii proprii .............................................................................................. 158
7.3. Direcţii viitoare de dezvoltare ............................................................................ 158
BIBLIOGRAFIE .......................................................................................................... 160
ANEXA A ..................................................................................................................... 171
ANEXA B ..................................................................................................................... 174
iv
Lista figurilor
Figura 1.1. Moment – rotire. (a) Element structural; (b) Ciclu histeretic biliniar; ................3
Figura 1.2. Model de bară cu resoarte în paralel (Giberson, 1967) ......................................3
Figura 1.3. Element de tip grindă cu resort neliniar pentru forţă tăietoare ...........................7
Figura 1.4. Modelul histeretic « Origin Oriented Model » ..................................................8
Figura 1.5. Element de perete modelat cu TVLM (Vulcano şi Bertero, 1987) ................... 10
Figura 1.6. Elementul MVLM şi modelarea unui perete structural cu MVLM (Orakcal et
al., 2006) .......................................................................................................................... 10
Figura 2.1. Ipoteze cinematice pentru elemente de tip grindă: a) Notaţii; .......................... 13
Figura 2.2. Sistemele de referinţă şi variabilele în aceste sisteme...................................... 21
Figura 2.3. Variabilele în coordonate secţionale ............................................................... 22
Figura 2.4. Forţele care actionează asupra elementului ..................................................... 24
Figura 2.5. Procesul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru .................................... 29
Figura 2.6. Procedeul iterativ Newton Raphson la nivelul structurii (Taucer et al., 1991) . 32
Figura 2.7. Procesele iterative de la nivelul elementului şi la nivelul secţiunii (Taucer et al.,
1991) ............................................................................................................................... 34
Figura 2.8. Procesul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru pentru elementele cu
formulare în forţe (adaptat după Filippou, 1999) .............................................................. 35
Figura 2.9. Elementul finit cu fibre în sistemul local şi discretizarea secţiunii în fibre
(adaptat după Taucer, 1991) ............................................................................................. 36
Figura 2.10. Relaţiile efort unitar – deformaţii specifice pentru cilindrii ........................... 39
Figura 2.11. Test de compresiune cu control în deplasări (Coleman şi Spacone, 2001) ..... 39
Figura 2.12. Variaţia ductilităţii în funcţie de lungimea zonei de moment constant (Weiss
et al., 2001) ...................................................................................................................... 40
Figura 2.13. Variaţia curburii şi a relaţiile forţă-deplasare pentru elemente funcţie de tipul
răspunsului secţional a) cu consolidare b) elastic – perfect plastic c) cu rigiditate
postelastică negativă (Coleman şi Spacone, 2001) ............................................................ 41
Figura 2.14. Efectul de localizare a deformaţiilor plastice în cazul elementelor cu răspuns
secţional de tip elastic-perfect plastic (Coleman şi Spacone, 2001) ................................... 42
Figura 3.1. Distribuţia eforturilor şi deformaţiilor a) model cu orientare fixă a fisurilor; b)
orientare variabilă a fisurilor ............................................................................................ 46
Figura 3.2. Element de membrană din beton armat (Vecchio, 2000) ................................. 48
v
Figura 3.3. Deformaţii specifice pentru un element de beton armat (Vecchio şi Collins,
1986) ............................................................................................................................... 49
Figura 3.4. Cercul lui Mohr pentru deformaţiile specifice (Vecchio şi Collins, 1986) ....... 50
Figura 3.5. Echilibrul unei părţi din element: a) pe direcţia x; b) pe direcţia y (Vecchio şi
Collins, 1986) .................................................................................................................. 50
Figura 3.6. Cercul lui Mohr pentru eforturile unitare în beton (Vecchio şi Collins, 1986) . 51
Figura 3.7. Înfăşurătoarea modelului Seckin pentru oţel (Seckin, 1981)............................ 52
Figura 3.8. Starea biaxială de eforturi a) curba limită de interacţiune; b) domeniu l
compresiune-întindere (Kupfer et al., 1969) ..................................................................... 53
Figura 3.9. Efectul de „compression softening” (Vecchio şi Collins, 1986) ...................... 53
Figura 3.10. Modele de „compression softening” pentru beton (Vecchio şi Collins, 1993)55
Figura 3.11. Orientarea barei de armătură (cazul general) ................................................. 58
Figura 3.12. Eforturi medii şi locale în fisură a) panou de beton armat fisurat; b) eforturi
medii între fisuri (armătură ortogonală); c) eforturi locale în fisuri (armătură ortogonală);
d) eforturi medii între fisuri (armătură pe o direcţie oarecare); e) eforturi locale în fisuri
(armătură pe o direcţie oarecare) (adaptat după Vecchio, 2000) ........................................ 58
Figura 3.13. Transmiterea eforturilor tangenţiale în fisuri prin mecanismul de încleştare
(Vecchio şi Collins, 1986) ................................................................................................ 60
Figura 3.14. Relaţia efort – deformaţie specifică pentru betonul întins (Vecchio, 2000) .... 60
Figura 3.15. Distanţele medii între fisuri (Kaufmann şi Marti, 1998) ................................ 61
Figura 3.16. Predicţii MCFT şi rezultate experimentale pentru două panouri de beton
armat: a) Panou puternic armat (PV23); b) panou slab armat (PB20) (Vecchio, 2000) ...... 62
Figura 3.17. Deformaţiile datorate lunecărilor în fisuri (Vecchio, 2000) ........................... 63
Figura 3.18. Legea constitutivă pentru modelul de „tension softening” (Vecchio, 2000) ... 66
Figura 3.19. Efectul momentului, forţei tăietoare şi a forţei axiale asupra deformaţiei
specifice longitudinale (Vecchio şi Collins, 1988) ............................................................ 68
Figura 3.20. Determinarea deformaţiei specifice longitudinale (CSA23.3-04) .................. 70
Figura 3.21. Modelul Stevens pentru bare înglobate în beton (Stevens et al, 1991) ........... 71
Figura 3.22. Modelul Belarbi – Hsu pentru bare inglobate în beton (Belarbi şi Hsu, 1994)
........................................................................................................................................ 72
Figura 3.23. Modelul Tirantului a) legea constitutivă a oţelului; b) distribuţia eforturilor de
aderenţă şi de întindere din armătură şi beton (Kaufmann, 1998) ...................................... 73
Figura 3.24. Relaţiile 𝜏𝑥𝑦 − 𝛾𝑥𝑦 obţinute experimental şi analitic pentru panoul PV23 ... 76
vi
Figura 4.1. Modulii secanţi ai materialelor a) beton – compresiune; b) beton – întindere; c)
oţel................................................................................................................................... 82
Figura 4.2. Procesul iterativ pentru un pas de încărcare .................................................... 85
Figura 4.3. Schema logică de determinare a eforturilor unitare şi deformaţiilor specifice
pentru metoda rigidităţii secante ....................................................................................... 87
Figura 4.4. Relaţia 𝜏𝑥𝑦 − 𝛾𝑥𝑦 şi numărul de iteraţii pentru fiecare pas de încărcare
(panoul PV23).................................................................................................................. 88
Figura 4.5. Conceptul de deformaţie plastică pentru beton................................................ 89
Figura 4.6. Aplicarea cercului lui Mohr pentru deformaţiile plastice ................................ 91
Figura 4.7. Aplicarea cercului lui Mohr pentru deformaţiile maxime a) de compresiune; b)
de întindere ...................................................................................................................... 93
Figura 4.8. Modelul histeretic Seckin pentru oţel (Seckin, 1981) ...................................... 94
Figura 4.9. Modelul histeretic Menegoto-Pinto pentru oţel (după Orakcal et al., 2006) ..... 95
Figura 4.10. Curbele de reîncărcare la compresiune conform Modelului Vecchio ............. 96
Figura 4.11. Moduri de încărcare-descărcare la întindere a) încărcare la întindere; b)
încărcare după un ciclu anterior de compresiune; c) descărcare ........................................ 97
Figura 4.12. Soluţia Juravski pentru eforturile tangenţiale din grinzi ................................ 98
Figura 4.13. Discretizarea secţiunii, secţiunile de control şi schema forţelor pe o fibră în
analiza secţională duală (Vecchio şi Collins, 1988) ........................................................ 100
Figura 4.14. Punctele de integrare pentru o fibră de beton (Bentz 2000) ......................... 104
Figura 4.15. Discretizare secţiunii prin fibre şi modul de comportare al acestora ............ 105
Figura 4.16. Eforturi unitare acţionând asupra unei fibre ................................................ 106
Figura 4.17. Modalitatea de definire a procentelor de armare longitudinale .................... 107
Figura 5.1. Componentele (obiectele) principale în platforma OpenSees (Fenves et al.
2004) ............................................................................................................................. 110
Figura 5.2. Organizarea claselor de tip Element şi de tip Domain ................................... 111
Figura 5.3. Sistemele de referinţă în poziţia nedeformată şi deformată a elementului ...... 113
Figura 5.4. Definirea centrului de rotire.......................................................................... 115
Figura 5.5. Funcţiile clasei DispBeamColumn2dTim ..................................................... 117
Figura 5.6. Schema logică pentru clasa DispBeamColumn2dTim ................................... 120
Figura 5.7. Abstractizările principale ale clasei Material şi subclasele acestora ............... 121
Figura 5.8. Funcţiile clasei FiberMCFT .......................................................................... 122
vii
Figura 5.9. Răspunsul pentru încărcare-descărcare uniaxială de întindere ....................... 125
Figura 5.10. Cicluri de încărcare la care solicitarea iniţială este de întindere .................. 126
Figura 5.11. Cicluri de încărcare la care solicitarea iniţială este de compresiune ............ 126
Figura 6.1. Detalii grinzi Bresler-Scordelis (Bresler şi Scordelis 1964) .......................... 134
Figura 6.2. Modelarea grinzilor Bresler-Scordelis .......................................................... 135
Figura 6.3. Rezultate grindă XB-I .................................................................................. 135
Figura 6.4. Rezultate grindă CA-I .................................................................................. 136
Figura 6.5. Rezultate grindă CB-I ................................................................................... 136
Figura 6.6. Rezultate grindă CC-I ................................................................................... 137
Figura 6.7. Rezultate grindă RA-I .................................................................................. 137
Figura 6.8. Rezultate grindă RB-I ................................................................................... 138
Figura 6.9. Rezultate grindă RC-I ................................................................................... 138
Figura 6.10. Detalii armare grinzi Tompos Forsch (Tompos şi Frosch 2002) .................. 140
Figura 6.11. Distribuţia şi modul de cedare la grinzile Tompos Forsch (Tompos şi Frosch
2002) ............................................................................................................................. 140
Figura 6.12. Rezultate grindă V36-3............................................................................... 141
Figura 6.13. Rezultate grindă V18-2............................................................................... 142
Figura 6.14. Geometria pereţilor PCA (Oesterle et al. 1976)........................................... 143
Figura 6.15. Dispunerea armăturii în pereţii PCA (Oesterle et al. 1976).......................... 144
Figura 6.16. Modul de discretizare al pereţilor PCA ....................................................... 145
Figura 6.17. Curba forţa - deplasare perete R1................................................................ 145
Figura 6.18. Curba forţa - deplasare perete R2................................................................ 146
Figura 6.19. Curba forţa - deplasare perete B1................................................................ 146
Figura 6.20. Curba forţa - deplasare perete B2................................................................ 147
Figura 6.21. Curba forţa - deplasare perete B3................................................................ 147
Figura 6.22. Curba forţa - deplasare perete B5................................................................ 148
Figura 6.23. Geometria şi armarea pretelui S6 ................................................................ 149
Figura 6.24. Curba forţa - deplasare obţinută numeric .................................................... 150
Figura 6.25. Curba forţa - deplasare obţinută experimental ............................................. 151
Figura B.1. Fereastra principala a programului ............................................................... 174
Figura B.2. Modul de introducere a caracteristicilor betonului ........................................ 175
viii
Figura B.3. Modul de introducere a caracteristicilor oţelului .......................................... 175
Figura B.4. Fereastra cu opţiuni privind modul de desfăşurare a analizei ........................ 176
Figura B.5. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială determinată deterimnată prin
folosirea controlului în forţe ........................................................................................... 176
Figura B.6. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială deterimnată prin folosirea
controlului în deplasări ................................................................................................... 177
Figura B.7. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială, înainte şi după fisurare,
deterimnată folosind control în deplasări ........................................................................ 177
Figura B.8. Relaţia efort tangenţial – deformaţie normală pe direcţia X .......................... 178
Figura B.9. Relaţia efort tangenţial – efort unitar în armătură pe direcţia X .................... 178
Figura B.10. Relaţia efort unitar – deformaţie specifică pentru direcţia principală de
întindere ......................................................................................................................... 179
Figura B.11. Relaţia efort unitar – deformaţie specifică pentru direcţia principală de
compresiune ................................................................................................................... 179
Lista Tabelelor
Tabelul 3.1 Deformaţii specifice pentru panoul PV23 ...................................................... 76
Tabelul 3.2. Caracteristicile panourilor încercate de Vecchio şi Collins ............................ 77
Tabelul 3.3 Rezultate exeprimentale şi analitice ............................................................... 78
Tabelul 6.1. Rezistenţele betonului şi dimensiunile ........................................................ 134
Tabelul 6.2. Procente de armare şi rezistenţe armătură ................................................... 134
Tabelul 6.3. Comparaţii între rezultatele experimentale şi cele analitice ......................... 139
Tabelul 6.4. Rezistenţele betonului şi dimensiunile ........................................................ 139
Tabelul 6.5. Procente de armare şi rezistenţe armătură ................................................... 140
Tabelul 6.6. Caracteristici materiale pereţi PCA ............................................................. 144
1
1. Introducere
1.1. Consideraţii generale privind calculul structurilor de beton
armat
Comportarea complexă a structurilor de beton armat în cazul acţiunilor seismice şi
cunoaşterea răspunsului seismic al acestora a necesitat adaptarea metodelor de
calcul şi a modelelor teoretice folosite de aceste metode astfel încât să se obţină o
corelare cât mai bună între predicţiile lor şi rezultatele obţinute experimental sau în
urma unor seisme cu magnitudini importante.
În general codurile de proiectare antiseismică prevăd o comportare neliniară a
structurilor, chiar dacă evaluarea solicitărilor se bazează pe metode de calcul care au
ca ipoteză de bază o comportare liniară a modelelor de calcul. Deşi nu ţine seama de
o seamă de efecte specifice materialelor din care sunt realizate structurile, analiza
liniar-elastică este considerată suficientă dacă structurile respectă prevederile din
codurile de proiectare. În cazul structurilor de beton armat, asigurarea comportării
neliniare se consideră îndeplinită dacă sunt îndeplinite regulile constructive
prevăzute de către normative, iar armarea este concepută astfel încât ruperea
elementelor să fie una ductilă.
Acumularea cunoştinţelor privind comportarea neliniară a structurilor de beton
armat, a observaţiilor făcute după evenimente seismice importante şi accesul la
mijloace şi programe de calcul avansate pentru structuri fac posibilă tendinţa actuală
a codurilor de proiectare de a trece la o proiectare bazată pe criterii de performanţă,
în detrimentul metodelor bazate pe forţe. Evaluarea performanţelor seismice ale
clădirilor nu se poate face fără utilizarea metodelor statice sau dinamice neliniare.
Chiar dacă la ora actuală există suficiente programe de calcul care permit efectuarea
de analize neliniare, rezultatele furnizate de aceste analize depind în mod direct de
modelele folosite pentru reproducerea comportării neliniare a elementelor
structurale. Programele moderne de calcul se bazează în general pe metoda
elementului finit.
Metoda elementului finit, datorită caracterului generalist permite diverse tipuri de
abordări. Din punct de vedere al modelării elementelor de beton armat se pot
distinge două tipuri de elemente:
- Macroelemente (elemente linare sau combinaţii ale acestora);
- Microelemente (elemete de suprafaţă sau de volum).
2
Macroelementele reprezintă elemente finite care pot reproduce, la nivel de
ansamblu, comportarea diverselor componente structurale din structurile de beton
armat sub diverse tipuri de solicitări. Avantajul major al unei astfel de abordări îl
constituie nivelul relativ scăzut al efortului de calcul şi evaluarea răspunsului local
şi global al structurilor de beton armat.
Abordarea cu microelemente se axează pe folosirea de elemente finite care permit
modelarea cât mai fidelă a materialelor componente, beton şi armătură, precum şi a
interacţiunii dintre acestea (e.g. aderenţa). Folosirea micromodelelor constă în
discretizarea fiecarui subansamblu din structură într-un număr mare de elemente
finite, ceea ce implică diverse dezavantaje cum ar fi volumul mare de muncă
necesar introducerii datelor, viteza redusa de calcul dar şi problemele de stabilitate
numerică.
Având în vedere dezavantajele evidente ale abordării cu micromodele, care se
utilizează în general la studierea comportării izolate a subansamblelor, la evaluarea
răspunsului local şi global al structurilor de beton armat se preferă folosirea
macromodelor.
Caracterul neliniar al comportării structurilor de beton armat a necesitat dezvoltarea
de modele care să reproducă cât mai fidel legile constitutive ale elementelor
acestora. Legile de comportare a elementelor sunt introduse fie la nivel de element,
fie la nivel de secţiune şi, în consecinţă, sunt posibile două tipuri de formulări:
elemente cu zone plastice concentrate şi elemente cu zone plastice distribuite.
1.2. Elemente folosite în analiza neliniară a structurilor de beton
armat
1.2.1. Elemente cu zone plastice concentrate
Elementele cu zone plastice concentrate la capete sunt primele tipuri de elemente
folosite la analiza neliniară a structurilor. Apariţia lor in anii ’60 ai secolului trecut a
plecat de la modelarea structurilor în cadre de beton armat, la care zonele cu
comportare neliniară se concentrează în general la capetele grinzilor şi stâlpilor.
Prin urmare, zonele cu comportare neliniară au fost modelate prin intermediul unor
articulaţii plastice neliniare sub forma unor resoarte dispuse în serie sau în paralel.
Primul model cu resoarte în serie a fost propus de Clough şi Johnston în 1966
(Clough şi Johnston, 1966) şi permitea folosirea unei relaţii biliniare pentru relaţia
moment-rotire. Elementul consta din două resoarte dispuse în paralel aşa cum este
3
arătat în figura 1.1. Matricea de rigiditate a elementului se obţine prin însumarea
rigidităţilor celor două componente.
Modelul cu resoarte în paralel a fost propus de Giberson (Giberson, 1967) şi constă
într-un element liniar elastic cu câte un resort neliniar la fiecare cap, aşa cum este
reprezentat în figura 1.2. În comparaţie cu modelul Clough, avantajul major al
acestui model îl constitue posibilitatea adoptării de legi constitutive diverse pentru
cele două resoarte neliniare.
Figura 1.1. Moment – rotire. (a) Element structural; (b) Ciclu histeretic biliniar;
(c) Componenta elastică; (d) Componenta elasto-plastică
Figura 1.2. Model de bară cu resoarte în paralel (Giberson, 1967)
Mai multe legi constitutive pentru resoartele neliniare au fost propuse până acum.
Primul model pentru elemente de beton armat supuse la încovoiere a fost cel propus
de Clough şi Benushka (Clough şi Benushka, 1967), model care include degradarea
Mi
fi k
i
i
i’
j
j’
Mi
Mj
Mj
Mi
Mj
fj k
i j
k=4EI/l
i =i’i
j =j’j
l
Zona de
lungime
egala cu 0
j
(b) (c) (d)
M,θ EI
L
M Mp
θ θ θ
M M
1 L
EIa
4
a1
2Mp
(a)
1 a1=pa
1 a2=qa
4
de rigiditate. O extindere a modelului care să includă pe lângă o extindere a legilor
de degradarea de rigiditate şi efectul fisurării a fost propusă de Takeda (Takeda et
al. 1970). Mai multe variante ale acestui model au fost propuse, cele mai cunoscute
fiind cele prezentate de Otani în 1974 (modelul Takeda modificat) şi Saiidi şi Sozen
în 1979 (modelul Q-Hyst). Includerea efectului forţei tăietoare şi a lunecării
armăturii în zona de ancorare, au fost propuse de Banon (Banon et al., 1981), Otani
(Otani, 1974) şi Roufaiel-Meyer (Roufaiel şi Meyer, 1987).
Problemele întâmpinate în utilizarea acestui tip de modele constă în dificultatea
calibrării parametrilor care le guvernează, datorită faptului că aceştia nu depind doar
de forma secţiunii, ci şi de istoria încărcării. Mai mult, toate aceste modele
neglijează interacţiunea moment – forţă axială, iar momentul şi forţa tăietoare, chiar
dacă sunt considerate simultan, sunt necuplate şi se bazează pe reguli determinate
empiric.
Includerea efectului interacţiunii dintre moment şi forţa axială s-a făcut în general
prin adoptarea pentru articulaţiile concentrate a unor suprafeţe de curgere cu reguli
de plastificare specifice teoriei clasice a plasticităţii. Această abordare nu ţine cont
de comportarea reală a elementelor de beton armat supuse la încovoiere cu forţă
axială.
Pentru a înlătura acest neajuns, Lai a propus în 1984 un model de fibră pentru
articulaţiile concentrate de la capătul unui element elastic. Pentru modelarea
armăturii se folosesc patru resoarte dispuse la colţuri, iar betonul este modelat
printr-un resort central care este activ doar la compresiune.
1.2.2. Elemente cu plasticitate distribuită
În mod evident, o modelare mult mai adecvată constă în folosirea modelelor cu
plasticitate distribuită.
Variantele iniţiale de modelare cu plasticitate distribuită se bazau pe folosirea de
elemente cu articulaţii concentrate, dispuse în serie. Un exemplu îl constituie
modelul propus de Takayangi şi Schnobrich în 1979 (Takayangi şi Schnobrich,
1979). Conform acestui model, elementul este împărţit în segmente modelate prin
resoarte ale căror caracteristici depind de momentul încovoietor la mijlocul lor.
Un pas important în utilizarea modelelor cu plasticitate distribuită a fost făcut prin
formularea de elemente care utilizează funcţii polinomiale de interpolare a
5
deplasărilor de tip Hermite. În general, funcţiile de interpolare se determină pornind
de la deformaţiile elastice ale elementelor. Câmpul de deplasări (deformaţiile
secţionale) în lungul elementelor se determină folosind funcţiile de interpolare a
deformaţiilor pe baza deplasărilor nodale. Cunoscând câmpurile de deplasare din
punctele de integrare, se poate determina răspunsul secţional al acestora şi, prin
integrare numerică, răspunsul la nivel de element.
În mod evident, folosirea unor funcţii de interpolare determinate folosind
deformaţiile elastice duce la aproximaţii în modul de distribuire a eforturilor şi la
nerespectarea echilibrului static, mai ales în zonele de deformaţii plastice.
Polinoamele cubice de tip Hermite duc la o distibuţie liniară a curburii în lungul
elementelor, ceea ce contrazice, mai ales în cazul elementelor de beton armat,
rezultatele experimentale. Obţinerea unui răspuns adecvat se poate realiza prin
modelarea elementelor structurale cu incursiuni în domeniul postelastic prin mai
multe elemente.
Deoarece elementele cu formulare în deplasări sunt sensibile la modul de
discretizare şi, în general, nu respectă echilibrul static, s-a impus dezvoltarea unor
elemente care să înlăture acest inconvenient. Astfel, soluţia evidentă este de a
introduce funcţii de interpolare a forţelor care să satisfacă condiţiile de echilibru
static.
Pornind de la ecuaţiile de echilibru static se pot determina aceste funcţii de
interpolare. Evident, aceste funcţii depind de condiţiile de capăt şi de forţele care
acţionează asupra elementelor. Problema acestor elemente constă însă în modul de
implementare în programele de element finit. Deoarece marea majoritate a
programelor de element finit se bazează pe metoda clasică a matricii de rigiditate,
rezolvarea sistemului de ecuaţii de echilibru se reduce la determinarea deplasărilor
nodale. Având în vedere că la elementele cu formulare în forţe nu se pot determina
în mod direct deformaţiile secţionale, implementarea lor într-un program de element
finit necesită un procedeu iterativ atât la nivel secţional cât şi la nivel de element.
Atât elementele cu formulare în deplasări cât şi cele cu formulare în forţe pot folosi
pentru răspunsul secţional fie relaţii empirice, fie modelări de tip fibră, care permit
6
determinarea acestuia pornind de la legile constitutive ale materialelor. Modelarea
cu elemente de tip fibră ţine cont, în mod implicit, de interacţiunea moment-forţă
axială şi de migrarea axei neutre.
Dacă pentru elemente supuse preponderent la încovoiere cu sau fără forţă axială
rezultatele obţinute folosind elemente cu plasticitate distribuită sunt satisfăcătoare,
acestea nu reuşesc să prezică răspunsul structural pentru elementele la care influenţa
forţei tăietoare este importantă.
1.3. Modelarea interacţiunii moment-forţă axială – forţă tăietoare
În mod evident, comportarea elementelor de beton armat depinde de interacţiunea
moment – forţă axială – forţă tăietoare. Clasificarea elementelor de beton armat în
funcţie de sensibilitatea lor la forţă tăitoare se face de obicei după braţul normalizat
al forţei tăietoare:
𝒂 =𝑴
𝑽 𝒉 (1.1)
unde:
h = înălţimea secţiunii
M = momentul maxim
V = forţa tăietoare
În funcţie de braţul normalizat al forţei tăietoare, elementele de beton armat se
împart în:
- elemente zvelte, la care a>5 iar efectul forţei tăietoare este neglijabil.
- elemente medii, la care braţul normalizat al forţei tăietoare este cuprins
între 2.5 şi 5, iar modul de cedare este influenţat de efectul combinat al
momentului şi forţei tăietoare. În cazul solicitărilor ciclice, capacitatea de
disipare a energiei acestor elemente este redusă de fenomenul de
strangulare (pinching) a curbei forţă – deplasare a elementului, fenomen
datorat forţei tăietoare.
7
- elemente scurte, cu un braţ normalizat al forţei tăietoare inferior valorii
de 2.5, cu un mod de cedare casant, din forţă tăietoare, care se atinge
înainte de epuizarea capacităţii la încovoiere.
Abordările folosite pentru a introduce efectul forţei tăietoare depind de tipul de
element finit folosit.
În cazul elementelor cu articulaţii concentrate la capete, influenţa forţei tăietoare s-a
introdus fie la nivelul legilor constitutive ale resoartelor neliniare de încovoiere, ca
în modelul Roufaiel-Meyer, fie prin intermediul unor resoarte suplimentare, aşa
cum este arătat în figura 1.3.
Figura 1.3. Element de tip grindă cu resort neliniar pentru forţă tăietoare
Mai multe legi histeretice au fost propuse pentru resoartele neliniare care introduc
efectul forţei tăietoare, însă cea mai folosită este «Origin Oriented Hysteretic
Model» (OOHM) (Kabeyasawa et al., 1982) care de altfel este şi cel mai criticat
(Vulcano şi Bertero, 1987).
a) Element de grinda elastica
b) Resoarte neliniare de încovoiere
c) Resort neliniar pentru forţă tăietoare
≡
8
Figura 1.4. Modelul histeretic « Origin Oriented Model »
Dacă OOHM este criticabil din punct de vedere al legii histeretice şi al relaţiilor
empirice folosite pentru calibrarea acestora, Sezen a propus legi calibrate pe
rezultate experimentale, obţinute pe stâlpi de beton armat, care ţin cont de nivelul
forţei axiale, de cantitatea de armătură transversală şi de ductilitatea elementului.
Chiar dacă modelul propus de Sezen dă rezulate bune pentru stâlpii care au forţă
axială constantă, utilizarea acestora la structuri multietajate nu este recomandată.
În cazul elementelor finite cu plasticitate distribuită, pentru introducerea efectului
forţei tăietoare s-au folosit mai multe tipuri de abordări.
O primă famile de elemente finite de tip multifibră (fiber models) sunt cele care
folosesc modele de grinzi cu zăbrele (strut and tie truss models), pentru
determinarea efectelor din forţă tăietoare.
Un alt tip de abordare s-a bazat pe folosirea unor modele de beton care fie
modelează o stare multiaxială de eforturi folosind relaţii uniaxiale, cum sunt
elementele finite de tip multifibră, care folosesc modelul microplanului, fie modele
de beton cu degradare. Familia de modele care utilizează teoria microplanului se
bazează pe constrângerile cinematice existente între deformaţiilor specifice
exterioare şi cele ale unor planuri interioare caracterizate de legi constitutive
uniaxiale. În acest fel se poate obţine o stare de eforturi multiaxială pornind de la
mai multe relaţii uniaxiale.
În cazul elementelor bazate pe modele ce folosesc beton cu degradare, importantă
este legea constitutivă a betonului. Aceste legi se bazează pe mecanica degradării
care introduce conceptul de efort unitar efectiv, concept care stipulează că efortul
unitar aplicat zonelor nedegradate ale materialului este mai mare decât efortul unitar
macroscopic. Eforul unitar efectiv se defineşte folosind principul echivalenţei
9
deformaţiilor, care impune egalitatea între deformaţia produsa într-o anumită
direcţie de efortul unitar efectiv în materialul nedegradat şi deformaţia produsă de
efortul unitar macroscopic în materialului degradat.
O altă abordare este cea bazată pe aşa numitele teorii de fisurare distribuită cum ar
fi Metoda Câmpului de Compresiune Modificată (Modified Compression Field
Theory sau MCFT) şi Modelul Grinzii cu Zăbrele cu Unghi Variabil (Rotating
Angle Softened Truss Model sau RASTM). Rezultatele obţinute cu aceste teorii
dezvoltate pentru a putea reda comportarea elementelor de beton armat fisurate,
supuse la forfecare, se coreleză foarte bine cu cele experimentale, dificultatea
majoră a implementării acestora în elemente de tip grindă constă în faptul că
materialul este considerat ortotrop, ceea ce impune adoptarea unor simplificări la
nivel secţional (diferite distribuţii ale eforurilor tangenţiale sau ale deformaţiilor
specifice).
O problemă specifică este cea a pereţilor structurali de beton armat. Datorită
faptului că elementele cu articulaţii concentrate la capete nu pot să surprindă
anumite aspecte specifice de comportare a pereţilor structurali, s-a impus, încă de la
începutul dezvoltării modelelor neliniare pentru beton armat, necesitatea unor
modele specifice pentru aceştia.
Un pas important l-a constituit modelul cu trei resoarte în paralel (TVLM) propus
de Kabeyasawa în 1982 (Kabeyasawa et al., 1982). Acest tip de element este în
realitate un macromodel, care poate modela un perete structural prin trei elemente
verticale, legate la capete prin intermediul a două grinzi infinit rigide (fig. 1.5a).
Cele două elemente de tip bară de la extremităţi modelează rigiditatea la deformaţii
axiale a bulbilor de la capetele peretelui, iar elementul central compus din trei
resoarte, unul vertical, unul orizontal şi unul pentru încovoiere, dispuse la bază,
modelează aportul inimii peretelui. Pentru elementul central există totuşi şi variante
cu cele trei resoarte dispuse la o anumită distanţa ch de grinda infinit rigidă de la
bază (fig. 1.5b). Modelul de comportare axială pentru elementele verticale, propus
iniţial de Kabeyasawa, este descris de o lege de comportare hystererică determinată
experimental. O primă îmbunătăţire a macroelementului a fost adusă de Vulcano şi
Bertero care au propus o abordare diferită pentru determinarea răspunsului
resoartelor verticale, care să elimine caracterul empiric al legilor constitutive
folosite pentru acestea în formularea iniţială. Şi pentru acest macroelement, forţa
tăietoare este decuplată de moment şi forţa axială şi este descrisă de o lege de tip
OOHM.
10
a) Macromodel perete cu resoarte b) Relaţia între deplasarea relativă
legate în paralel de încovoiere şi rotirea relativă
Figura 1.5. Element de perete modelat cu TVLM (Vulcano şi Bertero, 1987)
O primă extindere a modelului a fost introdusă de Vulcano şi a constat în înlocuirea
elementului central cu mai multe resoarte verticale (Multiple Vertical Lines Model),
ideea fiind preluată şi de Orakcal şi îmbunătăţită prin modelarea comportării
elementelor verticale pornind de la legile constitutive ale materialelor.
Figura 1.6. Elementul MVLM şi modelarea unui perete structural cu MVLM
(Orakcal et al., 2006)
11
Aşa cum se observă din descrierea macromodelelor de mai sus, acestea nu ţin cont
de interacţiunea moment - forţă tăietoare, şi o modificare a lor care să includă
această interacţiune devine necesară.
1.4. Obiectivele şi organizarea tezei
Un aspect important în ceea ce priveşte modelarea corectă a comportării structurilor
cu pereţi îl constituie migrarea axei neutre cu impact major asupra deformaţiilor şi
eforturilor structurale. Dacă elementele cu articulaţii concentrate nu sunt capabile să
surprindă acest fenomen, elementele de tip multifibră permit modificarea poziţiei
axei neutre şi includerea deformaţiilor din forţă tăietoare prin adoptarea elementelor
de grindă de tip Timoshenko. De asemenea, interacţiunea dintre forţa tăietoare şi
moment constituie un aspect important în evaluarea rigiditătii şi rezistenţei
elementelor la care forţa tăitoare are un rol major.
Prezenta teză îşi propune implementarea unui element finit care să includă aspectele
menţionate anterior şi anume:
- Implementarea unui element finit cu plasticitate distribuită de tip
multifibră care să permită introducerea fenomenului de migrare a axei
neutre într-un program de tip “Open –Source”;
- Folosirea unei formulări de tip Timoshenko care să ţină cont de
deformaţiile produse de forţa tăietoare;
- Sustenabilitatea implementării la nivel secţional a unei teorii de tip
fisurare distribuită;
- Validarea elementului formulat prin comparaţii cu rezultatele
experimentale şi prin folosirea unor modele deja existente.
Teza este organizată în şapte capitole şi 2 anexe.
Capitolul 2 prezintă în prima parte teoriile de grindă Euler şi Timoshenko şi
fenomenul de blocaj la forţă tăietoare pentru elementele de tip Timoshenko cu
formulare în deplasări şi modul de evitare a acestuia. În cea de-a doua parte a
capitolului sunt prezentate bazele teoretice ale elementelor cu plasticitate distribuită,
atât pentru elementele cu formulare în deplasări cât şi pentru cele cu formulare în
forţe, cât şi problemele pe care le au aceste elemente, mai ales fenomenul de
localizare şi modurile în care acestea se pot evita.
Capitolul 3 prezintă în prima parte aspectele teoretice legate de dezvoltarea şi
folosirea teoriilor de fisurare distribuită cu accent pe Teoria Câmpului de
12
Compresiune Modificată iar în cea de-a doua parte este prezentată o variantă
simplificată a acesteia.
Capitolul 4 se axează pe modalităţile de implementarea a MCFT în programele de
element finit şi pe modul de abordare a acestei teorii în cazul elementelor de tip
grindă şi prezintă metoda adoptată pentru implementarea la nivel secţional.
Capitolul 5 prezintă platforma de element finit în care s-a implementat elementul şi
modul în care s-a realizat acestă implementare.
Capitolul 6 se axează pe validarea elementului, prezentând comparativ rezultatele
obţinute analitic cu cele experimentale prezentate în literatura de specialitate.
Capitolul 7 prezintă concluziile şi direcţiile viitoare de cercetare în domeniul forţei
tăietoare.
13
2. Elemente finite cu plasticitate distribuită
2.1. Introducere
Capitolul este structurat în două parţi. În prima parte sunt prezentate teoriile de
grindă, tipul de formulare şi modul lor de implementare în programele de element
finit. Partea a doua a capitolului se ocupă de problemele legate de folosirea
elementelor nelinire de tip grindă sub acţiuni ciclice, accentul fiind pus pe
fenomenul de localizare.
2.2. Teorii de grindă
2.2.1. Formularea problemei
Cea mai simplă teorie pentru calcul grinzilor este cea de tip Euler –Bernoulli.
Principala ipoteză a acestei teorii constă în faptul că secţiunile rămân plane şi
normale la axa elementului (fig. 2.1a şi 2.1b) .
Figura 2.1. Ipoteze cinematice pentru elemente de tip grindă: a) Notaţii;
b) Grindă de tip Euler-Bernoulli; c) Grindă de tip Timoshenko
y
z
x
y
y
x
zxz
u
'
y
x
z
u
'
a) b)
c)
14
Condiţiile cinematice pentru un element de grindă 3D se pot descrie prin
intermediul unui câmp de deplasări de forma:
𝑠𝑥 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑢 𝑥 + 𝑧𝜃𝑦 𝑥 − 𝑦𝜃𝑧(𝑥) (2.1a)
𝑠𝑦 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝜈 𝑥 − 𝑧𝜃𝑥 𝑥 (2.1b)
𝑠𝑧 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑤 𝑥 + 𝑦𝜃𝑥 𝑥 (2.1c)
unde:
- sx, sy şi sz sunt deplasările în direcţiile x, y, z ale oricărui punct dintr-o
secţiune care are centrul de greutate la o distanţă x în lungul axei
elementului;
- u(x), (x), w(x) sunt deplasările centrului de greutate al secţiunii după
direcţiile x, y şi z;
- x(x), y(x), z(x) sunt rotirile axei elementului în sistemul x, y şi z.
Dacă se neglijează rotirea datorată torsiunii x(x), deformaţiile normale şi
tangenţiale sunt:
휀𝑥𝑥 𝑥 =𝑑𝑠𝑥
𝑑𝑥= 𝑢′ 𝑥 + 𝑧𝜃𝑦
′ 𝑥 − 𝑦𝜃𝑧′ 𝑥 (2.2a)
휀𝑥𝑦 𝑥 =1
2 𝑑𝑠𝑦
𝑑𝑥+
𝑑𝑠𝑥
𝑑𝑦 =
1
2 𝜈′ 𝑥 − 𝜃𝑧 𝑥 (2.2b)
휀𝑥𝑧 𝑥 =1
2 𝑑𝑠𝑧
𝑑𝑥+
𝑑𝑠𝑥
𝑑𝑧 =
1
2 𝑤 ′ 𝑥 + 𝜃𝑦 𝑥 (2.2c)
Folosind ipotezele din teoria Euler-Bernoulli rezultă:
𝜈′ 𝑥 − 𝜃𝑧 𝑥 = 0 => 휀𝑥𝑦 𝑥 = 0 şi 𝜙𝑧 𝑥 = 𝜈" (𝑥) (2.3a)
𝑤 ′ 𝑥 + 𝜃𝑦 𝑥 = 0 => 휀𝑥𝑧 𝑥 = 0 şi 𝜙𝑦 𝑥 = −𝑤" (𝑥) (2.3b)
unde 𝜙𝑧 𝑥 şi 𝜙𝑦 𝑥 sunt curburile secţiunii.
În mod evident formularea Euler-Bernoulli este capabilă să reproducă în mod corect
răspunsul elementelor supuse la moment încovoietor şi forţă axială, iar forţa
tăietoare este dedusă din condiţiile de echilibru static. Această teorie este corectă
atâta timp cât nivelul eforturilor tangenţiale este redus.
15
Atunci când eforturile şi deformaţiile tangenţiale nu se pot neglija trebuie utilizate
teorii cum este teoria Timoshenko a barelor. Această teorie presupune, în mod
asemănător cu teoria Euler-Bernoulli, că secţiunile plane rămân plane dar nu mai
sunt normale la axa barei, ci sunt rotite la un anumit unghi (vezi figura 2.1c):
𝜈′ 𝑥 − 𝜃𝑧 𝑥 ≠ 0 => 휀𝑥𝑦 𝑥 ≠ 0 (2.4a)
𝑤 ′ 𝑥 + 𝜃𝑦 𝑥 ≠ 0 => 휀𝑥𝑧 𝑥 ≠ 0 (2.4b)
Chiar dacă se consideră rotirea suplimentară a secţiunii, relaţiile 2.2 rămân valabile
iar rotirile şi curburile se pot scrie sub forma:
𝜃𝑧 = 𝜈′ 𝑥 − 𝛾𝑥𝑦 (𝑥) (2.5)
𝜃𝑦 = −𝑤 ′ 𝑥 + 𝛾𝑥𝑧 (𝑥) (2.6)
𝜙𝑧 𝑥 = 𝜃𝑧′ (𝑥) (2.7)
𝜙𝑦 𝑥 = 𝜃𝑦′ (𝑥) (2.8)
cu 𝛾𝑥𝑦 (𝑥) = 2휀𝑥𝑦 (𝑥) şi 𝛾𝑥𝑧(𝑥) = 2휀𝑥𝑧 (𝑥)
Deşi caracterul mai general al elementelor de bară formulate după teoria
Timoshenko este evident, utilizarea acestora în programele de element finit a fost şi
este încă restrânsă. Acest lucru se datorează pe de o parte unei probleme de ordin
teoretic, pe de alta parte unei probleme de ordin numeric.
Din punct de vedere teoretic, conform teoriei clasice a Rezistenţei Materialelor,
eforturile tangenţiale şi deformaţiile tangenţiale variază pe înălţimea secţiunii pe
cand în teoria Timoshenko a barelor aceste eforturi sunt constante. Remedierea
acestei probleme se poate face prin introducerea unui coeficient de corecţie la forţă
tăietoare , care, conform lui Reissner se poate calcula pornind de la echivalenţa
între energia internă de deformţie U1, asociată unei distribuţii exacte a eforturilor
tangenţiale pe secţiunea reală a grinzii A şi energia de deformaţie internă U2,
asociată unei distribuţii constante acţionând pe o secţiune redusă Ag (aria efectivă la
forţă tăietoare).
Problema de ordin numeric este cunscută în literatura de specialitate (Reddy, 1997)
ca problema blocajului la forţă tăietoare („Shear Locking”). Acest fenomen constă
16
într-o supraestimare a rigidităţii la forfecare a grinzilor zvelte în cazul folosirii unor
elemente finite cu funcţii liniare de interpolare a deplasărilor.
2.2.2. Blocajul la forţă tăietoare
Pentru simplitate se va considera în ceea ce urmează cazul bidimensional al unei
grinzi de tip Timoshenko dintr-un material liniar elastic cu secţiune constantă.
Relaţiile între eforturile secţionale şi deformaţiile generalizate pentru o secţiune
oarecare se pot scrie sub forma:
𝑺 𝑥 = 𝒌𝑠𝒆(𝑥) (2.9)
𝑺 𝑥 𝑇 = 𝑁(𝑥) 𝑉𝑦(𝑥) 𝑀𝑧(𝑥) (2.10)
𝒆 𝑥 𝑇 = 𝑢′(𝑥) 𝑣 ′ 𝑥 − 𝜃𝑧(𝑥) 𝜃𝑧′ (𝑥) (2.11)
Matricea de rigiditate secţională se poate scrie ca:
𝒌𝑠 =
𝐸𝑑𝐴𝐴
0 − 𝐸𝑦𝑑𝐴𝐴
𝜅 𝐺𝑑𝐴𝐴
0
𝑠𝑖𝑚. 𝐸𝑦2𝑑𝐴𝐴
(2.12)
În cazul secţiunilor simetrice matricea de rigiditate secţională este:
𝒌𝑠 = 𝐸𝐴 0 0
𝜅𝐴𝐺 0𝑠𝑖𝑚. 𝐸𝐼
(2.13)
Deoarece în teoria Timoshenko este valabilă ecuaţia 2.4, folosind funcţii de
interpolare liniare se pot aproxima separat 𝑢 𝑥 , 𝑣 𝑥 şi 𝜃𝑧(𝑥) în funcţie de
deplasările nodale 𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 şi 𝜃𝑧 ,𝑖 (i = 1,2):
𝑢 𝑥
𝑣 𝑥
𝜃𝑧 𝑥 =
𝑁1 0 0 𝑁2 0 00 𝑁3 0 0 𝑁4 00 0 𝑁5 0 0 𝑁6
𝑢1
𝜈1
𝜃1
𝑢2
𝜈2
𝜃2
(2.14)
17
cu:
𝑁1,3,5 = 1 −𝑥
𝐿 (2.15)
𝑁2,4,6 =𝑥
𝐿 (2.16)
Deformaţiile generalizate se pot scrie fie sub forma:
𝒆 𝑥 𝑇 = 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑟𝑜𝑡 (2.17)
𝑒𝑥 = 𝑢′ 𝑥 = −1
𝐿𝑢1 +
1
𝐿𝑢2 = 𝑁1
′𝑢1 + 𝑁2′𝑢2 (2.18a)
𝑒𝑦 = 𝜈′ 𝑥 − 𝜃𝑧 𝑥 = 𝑁3′𝜈1 + 𝑁4
′𝜈2 − 𝑁5𝜃1 − 𝑁6𝜃2 (2.18b)
𝑒𝑟𝑜𝑡 = 𝜃𝑧′ 𝑥 = 𝑁5
′𝜃1 + 𝑁6′𝜃2 (2.18c)
fie sub formă matriceală:
𝒆(𝑥) =
𝑁1′ 0 0 𝑁2
′ 0 0
0 𝑁3′ −𝑁5 0 𝑁4
′ −𝑁6
0 0 𝑁5′ 0 0 𝑁6
′
𝑢1
𝜈1
𝜃1
𝑢2
𝜈2
𝜃2
(2.19)
fie în formă restrânsă:
𝒆 𝑥 = 𝑩 𝑥 𝒖 (2.20)
Ecuaţia lucrului mecanic virtual considerând o încărcare liniară py(x), distribuită în
lungul elementului, se poate scrie sub forma:
𝛿휀𝑥𝑥𝜎𝑥𝑥 + 2𝛿휀𝑥𝑦𝜎𝑥𝑦𝑑𝑉 =𝑉
𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥𝐿
0 (2.21)
Iar prin folosirea ecuaţiilor (2.2) pentru cazul bidimensional rezultă:
𝜎𝑥𝑥 𝛿𝑢
′ 𝑥 − 𝑦𝛿𝜃𝑧′ 𝑥 +
𝐴𝜎𝑥𝑦 𝛿𝜈
′ 𝑥 − 𝛿𝜃𝑧′ 𝑥 𝑑𝐴𝑑𝑥
𝐿
0
= 𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥𝐿
0
(2.22)
18
Folosind ecuaţiile clasice pentre eforturile secţionale ecuaţia anterioară se reduce la:
𝑁𝛿𝑢′ 𝑥 + 𝑉𝑦𝛿𝛾𝑥𝑦 𝑥 + 𝑀𝑧𝛿𝜃𝑧 𝑥 𝑑𝑥𝐿
0= 𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥
𝐿
0 (2.23)
relaţie care se mai poate scrie şi sub forma:
𝛿𝒆 𝑥 𝑆 𝑥 𝑑𝑥𝐿
0= 𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥
𝐿
0=>
𝛿𝒆 𝑥 𝑘𝑠𝑒 𝑥 𝑑𝑥𝐿
0= 𝑝𝑦 𝑥 𝛿𝜈 𝑥 𝑑𝑥
𝐿
0 (2.24)
Rezultă de aici matricea de rigiditate a elementului :
𝑲𝑒 = 𝑩𝑇𝒌𝑠𝑩𝑑𝑥𝐿
0 (2.25)
Prin integrare se obţine o matrice de rigiditate de forma:
𝑲𝑒 =
𝐸𝐴
𝐿0 0 −
𝐸𝐴
𝐿0 0
0𝜅𝐴𝐺
𝐿
𝜅𝐴𝐺
20 −
𝜅𝐴𝐺
𝐿
𝜅𝐴𝐺
2𝐸𝐼
𝐿+
𝜅𝐴𝐺𝐿
30 −
𝜅𝐴𝐺
2−
𝐸𝐼
𝐿+
𝜅𝐴𝐺𝐿
6𝐸𝐴
𝐿0 0
𝜅𝐴𝐺
𝐿−
𝜅𝐴𝐺
2
𝑠𝑖𝑚.𝐸𝐼
𝐿+
𝜅𝐴𝐺𝐿
3
(2.26)
Considerând cazul unei console cu secţiune dreptunghiulară b x h încărcată cu o
forţă laterală P la extremitatea liberă, rezulatatele date de soluţia analitică şi cea
numerică prin folosirea unui singur element sunt următoarele:
a) Analitic
i. Rotirea la capătul liber 𝜃 𝑥 = 𝐿 =𝑃𝐿2
2𝐸𝐼
ii. Deplasarea la capătul liber 𝜈 𝑥 = 𝐿 =𝑃𝐿3
3𝐸𝐼+
𝑃𝐿
𝜅𝐺𝐴
b) Numeric
i. Rotirea la capătul liber 𝜃 𝑥 = 𝐿 =𝑃𝐿2
2𝐸𝐼𝛼
19
ii. Deplasarea la capătul liber 𝜈 𝑥 = 𝐿 =𝑃𝐿3
4𝐸𝐼𝛼 +
𝑃𝐿
𝜅𝐺𝐴
cu 𝛼 =1
1+𝐿2𝜅𝐺
2𝐸
Fenomenul de blocaj la forţă tăietoare în cazul elementului finit prezentat anterior
se poate pune în evidenţă prin scăderea rotirii atunci când raportul L/h creşte. Spre
exemplu, atunci când raportul L/h =10 => 𝜃 𝑥 = 𝐿 = 0,303𝜃𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐 .
In mod evident, utilizarea unui număr mare de elemente reduce diferenţa dintre
rezultatele teoretice şi cele numerice, dar acest lucru face ca rezultatele obţinute prin
utilizarea acestui tip de element să fie sensibile la nivelul de discretizare.
În ultimii 30 de ani s-au propus mai multe soluţii de evitare a blocajului la forţă
tăietoare, abordările adoptate fiind următoarele:
- Integrare selectivă – constă în integrarea analitică a termenilor care
depind de încovoiere şi integrarea separată a termenilor care depind de
forţa tăietoare (Hughes et al., 1977);
- Presupunerea unei deformaţii constante la forţă tăietoare (Hughes şi
Tezduyar, 1981);
- Folosirea unor funcţii de tip “ bubble » (Ibrahimbegovic şi Wilson,
1991);
- Folosirea unor funcţii de interpolare de ordin superior, în care variabilele
𝜈 𝑥 şi 𝜃(𝑧) nu mai sunt independente. Aceste funcţii au fost dezvoltate
pornind de la faptul că toate elementele bazate pe integrare separată a
deplasărilor şi rotirilor 𝜈 𝑥 şi 𝜃(𝑧) sunt supuse fenomenului de blocaj
(Stolarski şi Belitschko, 1983, Friedman şi Kosmatka, 1993).
Un tip de element care foloseşte funcţii de interpolare de ordin superior a fost
propus de Friedman şi Kosmatka în 1993.
Funcţiile de interpolare a deplasărilor sunt derivate din ecuaţiile de echilibru:
𝐸𝐼𝜃" (𝑥) + 𝜅𝐺𝐴(𝜈′(𝑥) − 𝜃(𝑥)) = 0 (2.27)
𝜅𝐺𝐴(𝜈"(𝑥) − 𝜃′(𝑥)) = −𝑝𝑦 (2.28)
şi din faptul că, pentru a fi îndeplinită prima relaţie de echilibru, trebuie impusă
condiţia ca polinomul de interpolare pentru deplasările transversale 𝜈 𝑥 să fie
superior cu un ordin celui folosit pentru rotire 𝜃(𝑥). Pentru cazul bidimensional
20
rezultă următoarele relaţii (derivarea funcţiilor este dată în anexa A pentru cazul
tridimensional):
𝑢 𝑥
𝑣 𝑥
𝜃𝑧 𝑥 =
𝑁1 0 0 𝑁2 0 00 𝑁3 𝑁4 0 𝑁5 𝑁6
0 𝑁7 𝑁8 0 𝑁9 𝑁10
𝑢1
𝜈1
𝜃1
𝑢2
𝜈2
𝜃2
(2.29)
𝑁1 = 1 − 𝑥/𝐿
𝑁2 =𝑥
𝐿
𝑁3 =1
1+𝜙 2
𝑥
𝐿
3
− 3 𝑥
𝐿
2
− 𝜙 𝑥
𝐿 + 1 + 𝜙
𝑁4 =𝐿
1+𝜙
𝑥
𝐿
3
− 2 +𝜙
2
𝑥
𝐿
2
+ 1 +𝜙
2
𝑥
𝐿
𝑁5 = −1
1+𝜙 2
𝑥
𝐿
3
− 3 𝑥
𝐿
2
− 𝜙 𝑥
𝐿
𝑁6 =𝐿
1+𝜙
𝑥
𝐿
3
− 1 −𝜙
2
𝑥
𝐿
2
−𝜙
2 𝑥
𝐿
𝑁7 =6
1+𝜙 𝐿
𝑥
𝐿
2
− 𝑥
𝐿
𝑁8 =1
1+𝜙 3
𝑥
𝐿
2
− 4 + 𝜙 𝑥
𝐿 + 1 + 𝜙
𝑁9 =6
1+𝜙 𝐿
𝑥
𝐿
2
− 𝑥
𝐿
𝑁10 =1
1+𝜙 3
𝑥
𝐿
2
− 2 − 𝜙 𝑥
𝐿
(2.30)
Unde 𝜙 este raportul dintre rigiditatea la încovoiere şi rigiditatea la forfecare a
elementului:
𝜙 =12
𝐿 𝐸𝐼
𝜅𝐺𝐴 (2.31)
Matricea de rigiditate a elementului determinată prin folosirea acestor funcţii de
interpolare este una exactă, rezultatele obţinute prin folosirea unui singur element
cu două noduri fiind identice cu cele din metoda analitică.
21
2.3. Tipuri de formulare
2.3.1. Convenţii şi notaţii
În figurile 2.2 şi 2.3 sunt reprezentate cele trei sisteme de referinţă folosite în
metoda elementului finit: sistemul global de referinţă (X, Y, Z), sistemul local al
elementului (x, y, z) şi cel secţional (xs, ys, zs).
Figura 2.2. Sistemele de referinţă şi variabilele în aceste sisteme
X
Y
Z
MZG
FZG
FXG
MXG
Q1E
Q2E
2
(QG , uG) (QE , uE)
a) Sistemul global si variabilele nodale
globale
b) Variabilele nodale globale ale
elementului
MYG
FYG
1
Q1f
Q2f
(Qf , uf)
d) Variabilele locale ale elementului la capetele zonelor infinit rigide
(cu miscarea de corp rigid inclusa)
Q1
Q2
x
y
z (Q, u)
e) Variabilele locale ale elementului
la capetele zonelor infinit rigide
(fara miscarea de corp rigid inclusa)
Q1e
Q2e
(Qe , ue)
c) Variabilele nodale locale ale
elementului
2
1
E2
E1
E2
E1
22
Figura 2.3. Variabilele în coordonate secţionale
Translaţiile şi rotirile nodale sunt notate cu uξ, respectiv θξ, unde ξ reprezintă
sistemul de coordonte în care sunt scrise deplasările nodale. În mod asemănător,
forţele şi momentele sunt notate cu Fξ respectiv Mξ. Componentele pozitive ale
acestora sunt orientate în sensul pozitiv al axelor. Indicii superiori sunt folosiţi
pentru a indica nodurile elementului (pentru tot elementul, inclusiv zonele infinit
rigide) sau secţiunile care delimitează partea flexibilă a acestuia (fără zonele infinit
rigide).
Conform figurii 2.2a, vectorii forţelor şi deplasărilor în sistemul global se pot scrie:
𝑸𝐺 = 𝐹𝑋𝐺 𝐹𝑌
𝐺 𝐹𝑍𝐺 𝑀𝑋
𝐺 𝑀𝑌𝐺 𝑀𝑍
𝐺 𝑇 (2.32)
𝒖𝐺 = 𝑢𝑋𝐺 𝑣𝑌
𝐺 𝑤𝑍𝐺 𝜃𝑋
𝐺 𝜃𝑌𝐺 𝜃𝑍
𝐺 𝑇 (2.33)
La nivelul elementului, acestea se pot scrie în funcţie de sistemul ales :
- în sistem global:
𝑸𝐸 = 𝑄1𝐸
𝑄2𝐸 (2.34)
𝒖𝐸 = 𝑢1𝐸
𝑢2𝐸 (2.35)
𝑸𝑖𝐸 = 𝐹𝑋𝑖
𝐸 𝐹𝑌𝑖𝐸 𝐹𝑍𝑖
𝐸 𝑀𝑋𝑖𝐸 𝑀𝑌𝑖
𝐸 𝑀𝑍𝑖𝐸
𝑇 (2.36)
𝒖𝑖𝐸 = 𝑢𝑋𝑖
𝐸 𝑣𝑌𝑖𝐸 𝑤𝑍𝑖
𝐸 𝜃𝑋𝑖𝐸 𝜃𝑌𝑖
𝐸 𝜃𝑍𝑖𝐸
T (2.37)
- în sistemul local al elementului:
a) la nivelul nodurilor
Mz
x
y
z (Q , u)
E1 xs
Vz
My
Vy
ns Nx Mx
zs
ys
23
𝑸𝑒 = 𝑄1𝑒
𝑄2𝑒 (2.38)
𝒖𝑒 = 𝑢1𝑒
𝑢2𝑒 (2.39)
𝑸𝑖𝑒 = 𝐹𝑥𝑖
𝑒 𝐹𝑦𝑖𝑒 𝐹𝑧𝑖
𝑒 𝑀𝑥𝑖𝑒 𝑀𝑦𝑖
𝑒 𝑀𝑧𝑖𝑒 𝑇 (2.40)
𝒖𝑖𝑒 = 𝑢𝑥𝑖
𝑒 𝑣𝑦𝑖𝑒 𝑤𝑧𝑖
𝑒 𝜃𝑥𝑖𝑒 𝜃𝑦𝑖
𝑒 𝜃𝑧𝑖𝑒 𝑇 (2.41)
b) la extremităţile părţii flexibile a elementului
𝑸𝑓 = 𝑄1𝑓
𝑄2𝑓 (2.42)
𝒖𝑓 = 𝑢1𝑓
𝑢2𝑓 (2.43)
𝑸𝑖𝑓
= 𝐹𝑥𝑖𝑓
𝐹𝑦𝑖𝑓
𝐹𝑧𝑖𝑓
𝑀𝑥𝑖
𝑓𝑀𝑦𝑖
𝑓𝑀𝑧𝑖
𝑓 𝑇 (2.44)
𝒖𝑖𝑓
= 𝑢𝑥𝑖𝑓
𝑣𝑦𝑖𝑓
𝑤𝑧𝑖
𝑓𝜃𝑥𝑖𝑓
𝜃𝑦𝑖𝑓
𝜃𝑧𝑖𝑓 𝑇 (2.45)
c) în sistemul de coordonate al elementului, la extremităţile părţii flexibile a
acestuia fără mişcarea de corp rigid inclusă
𝑸 = 𝑄1
𝑄2 (2.46)
𝒖 = 𝑢1
𝑢2 (2.47)
𝑸𝑖𝑓
= 𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑖 𝐹𝑧𝑖 𝑀𝑥𝑖 𝑀𝑦𝑖 𝑀𝑧𝑖 𝑇 (2.48)
𝒖𝑖 = 𝑢𝑥𝑖 𝑣𝑦𝑖 𝑤𝑧𝑖𝜃𝑥𝑖 𝜃𝑦𝑖 𝜃𝑧𝑖
𝑇 (2.49)
iar i = 1,2.
La nivel secţional, vectorii eforturilor, deformaţiilor specifice şi ai deplasărilor se
scriu în sistemul local după cum urmează:
𝑺 = 𝑺 𝑥 = 𝑁𝑥𝑠 𝑉𝑦𝑠 𝑉𝑧𝑠 𝑀𝑥𝑠 𝑀𝑦𝑠 𝑀𝑧𝑠 𝑇 (2.50)
24
𝒆 = 𝒆 𝑥 = 휀𝑥𝑠 𝛾𝑥 ,𝑦𝑠 𝛾𝑥 ,𝑧𝑠 𝜙𝑥𝑠 𝜙𝑦𝑠 𝜙𝑧𝑠 𝑇 (2.51)
𝒂 = 𝒂 𝑥 = 𝑢𝑥𝑠 𝑣𝑦𝑠 𝑤𝑧𝑠 𝜃𝑥𝑠 𝜃𝑦𝑠 𝜃𝑧𝑠 𝑇 (2.52)
În general, sistemul de coordonate secţional (xs, ys, zs) se consideră coliniar cu
sistemul elementului, astfel încât se poate renunţa la acesta. Vectorul unitar normal
ns defineşte sistemul local al secţiunii şi, implicit, direcţiile pozitive pentru eforturi
unitare, deformaţii specifice şi deplasări.
Forţele exterioare se pot încadra în:
- forţe nodale şi/sau deplasări nodale impuse;
- forţe exterioare aplicate în lungul elementelor, aşa cum este arătat în
figura 2.4, respectiv în ecuaţiile 2.53 şi 2.54.
𝒑 = 𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧 𝑚𝑥 𝑚𝑦 𝑚𝑧 𝑇 (2.53)
𝑷 = 𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧 𝜇𝑥 𝜇𝑦 𝜇𝑧 𝑇 (2.54)
Figura 2.4. Forţele care actionează asupra elementului
Pentru situaţiile curente, momentele distribuite sau concentrate se pot neglija, iar
relaţiile 2.22 şi 2.23 devin :
𝒑 = 𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧 𝑇 (2.55)
𝑷 = 𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧 𝑇 (2.56)
y z
x E1 ns pz
Pz
Py
L
x
E2
Px px
py my
mx
mz
y
Py
x
z
25
Pentru scrierea ecuaţiilor de echilibru este necesară definirea rezultantei date de
forţele şi de momentele care acţionează asupra elementului. Vectorul forţelor
rezultante care acţionează pe o distanţă x de la extremitatea E1 a părţii flexibile a
elementului se scrie astfel:
𝑹 = 𝑹 𝑥 = 𝑅𝑥 𝑅𝑦 𝑅𝑧 𝑀𝑥 𝑀𝑦 𝑀𝑧 (2.57)
Rezultanta forţelor distribuite pe toată lungimea elementului se poate scrie ca:
𝑹 = 𝑹 𝐿 = 𝑅𝑥𝐿 𝑅𝑦
𝐿 𝑅𝑧𝐿 𝑀𝑥
𝐿 𝑀𝑥𝐿 𝑀𝑥
𝐿 (2.58)
Relaţiile între variabilele definite în cele cinci sisteme de coordonate se deduc din
condiţiile topologice, geometrice, de echilibru şi de compatibilitate.
Relaţiile topologice fac legătura între variabilele definite în sistemul global (QG,u
G)
cu cele din sistemul global al elementului (QE,u
E), aceste relaţii fiind deduse
folosind metodele din analiza matriceală a structurilor.
Relaţiile geometrice constau în transformări geometrice de rotire şi fac legătura
între sistemul global (QE,u
E) al elementului şi cel local (Q
e,u
e).
Transformările din sistemul local al elementului (Qe,u
e) în sistemul local al părţii
flexibile a acestuia (Qf,u
f) se fac pe baza ecuaţiilor de echilibru a zonelor infinit
rigide:
𝑸𝑒 = 𝑻𝑟𝑸𝑓 şi 𝒖𝑓 = 𝑻𝑟 𝑇𝒖𝑒 (2.59)
unde Tr este matricea de transformare dată de relaţia:
𝑻𝑟 =
𝐼 0 0 0 𝑇1
𝑟 𝐼 0 0
0 0 𝐼 0
0 0 𝑇2𝑟 𝐼
(2.60)
cu 𝑻1𝑟 =
0 0 00 0 −𝑙10 𝑙1 0
, 𝑻2𝑟 =
0 0 00 0 −𝑙20 𝑙2 0
şi 0 , I matrici zero, respectiv
identitate, cu dimensiunea de (3x3). Lungimile l1 si l2 reprezintă lungimile zonelor
infinit rigide.
Variabilele locale ale elementului la capetele zonei flexibile fără mişcarea de corp
rigid inclusă se deduc cu relaţiile:
26
𝑸𝑓 = 𝑻𝑏𝑸 + 𝑸𝑝𝑓 (2.61)
cu:
𝑻𝑏 =
1 0 0 0 0 0
0 0 01
𝐿0
1
𝐿
0 0 −1
𝐿0 −
1
𝐿0
0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0−1 0 0 0 0 0
0 0 0 −1
𝐿0 −
1
𝐿
0 01
𝐿0
1
𝐿0
0 −1 0 0 0 00 0 −1 0 0 00 0 0 −1 0 0
şi 𝑸𝑝𝑓
=
0𝑀𝑧𝐿
𝐿
−𝑀𝑦𝐿
𝐿
000
−𝑅𝑋𝐿
−𝑅𝑥𝐿 −
𝑀𝑧𝐿
𝐿
−𝑅𝑧𝐿 +
𝑀𝑦𝐿
𝐿
−𝑀𝑥𝐿
𝐿
0
Presupunând ipoteza deformaţiilor mici, relaţia între deformaţiile cu şi fără mişcare
de corp rigid se poate scrie:
𝒖 = 𝑻𝑏 𝑇𝒖𝑓 (2.62)
2.3.2. Elemente cu formulare în deplasări
În cazul elementelor cu formulare în deplasări este necesară folosirea funcţiilor de
interpolarea a deplasărilor pentru a aproxima deformaţiile interioare ale
elementului, funcţie de deplasările nodale cu mişcare de corp rigid. Notând cu
incrementul variabilelor semnificative, aproximarea deplasărilor şi a câmpului de
deformaţii se face cu relaţiile:
∆𝒂 𝑥 = 𝑵 𝑥 ∙ Δ𝒖𝑓 (2.63)
Δ𝒆 𝑥 = 𝜕Δ𝒂 𝑥 (2.64)
Din cele două relaţii de mai sus se poate deduce relaţia între incrementul
deformaţiilor secţionale şi cel al deplasărilor nodale.
Δ𝒆 𝑥 = 𝑩 𝑥 ∙ Δ𝒖𝑓 (2.65)
27
unde:
N(x) – repezintă matricea funcţiilor de interpolare a deplasărilor
B(x) = ∂N(x) – reprezintă matricea funcţiilor de interpolare a deformaţiilor
secţionale
Incrementul vectorului eforturilor secţionale se poate determina folosind relaţia
liniară între matricea de rigiditate secţională ks(x) şi incrementul deformaţiilor
secţionale e(x):
Δ𝑺 𝑥 = 𝒌𝑠(𝑥)Δ𝒆 𝑥 (2.66)
Relaţia între incrementul forţelor elementului şi cel al eforturilor secţionale se poate
deduce din aplicarea principiului lucrului mecanic virtual:
𝛿𝒖𝑓 𝑇 ∙ Δ𝑸𝑓 = 𝛿𝒆𝑇(𝑥) ∙ Δ𝑺 𝑥 𝑑𝑥𝐿
0 (2.67)
Substituind relaţia 2.66 în relaţia 2.67 se obţine relaţia clasică din metoda
deplasărilor:
Δ𝑸𝑓 = 𝑲𝑓Δ𝒖𝑓 (2.68)
unde Kf este matricea de rigiditate a elementului dată de relaţia:
𝑲𝑓 = 𝑩𝑇(𝑥) ∙ 𝒌𝑠(𝑥) ∙ 𝑩𝑇(𝑥)𝑑𝑥 𝐿
0 (2.69)
Forţele interioare ale elementului se pot deduce tot din relaţia 2.67, funcţie de
eforturile secţionale:
𝑸𝑟𝑓
= 𝑩𝑇 𝑥 ∙ 𝑺𝑟 𝑥 𝑑𝑥𝐿
0 (2.70)
Ecuaţiile de echilibru pentru o structură cu comportare liniară sau neliniară se poate
pune sub forma QrG(uG)=QG, unde QrG reprezintă forţele interioare ale structurii
exprimate în funcţie de deplasările acesteia, uG, iar QG este vectorul forţelor
exterioare. În cazul structurilor cu comportare neliniară, rezolvarea sistemului de
ecuaţii presupune un proces iterativ care, datorită faptului că programele de element
finit se bazează pe scrierea directă a matricii de rigiditate, se exprimă sub forma:
𝑸𝑟𝐺,𝑖 + 𝑲𝑡
𝑖−1Δ𝒖𝐺,𝑖 = 𝑸𝐺,𝑘 (2.71)
28
unde:
𝑸𝑟𝐺,𝑖
– reprezintă vectorul forţelor interioare la pasul i al iteraţiei;
𝑲𝑡𝑖−1 – reprezintă matricea de rigiditate a structurii la pasul i-1 al iteraţiei;
Δ𝒖𝐺 ,𝑖 – reprezintă incrementul vectorului deformaţiilor la i;
QG,k
– vectorul forţelor exterioare la pasul k de încărcare.
Procedeul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru este de tip Newton- Raphson
sau variaţii ale acestuia, care, în cazul elementelor cu formulare în deplasări, se face
parcurgând următoarele etape care sunt schematizate şi în figura 2.5:
- folosind matricea de rigiditate a structurii (iniţială, tangenţială sau secantă,
în funcţie de algoritmul folosit) pentru un anumit increment al încărcării
ΔQG,K ( sau o corecţie a pasului de încărcare) se poate obţine o estimare a
incrementului vectorului de deplasări ΔuG şi vectorul deplasărilor u
G;
- cunoscând vectorul deplasărilor structurale în sistemul global, se pot
determina deplasările nodale şi, prin intermediul relaţiei (2.65), deformaţiile
secţionale e(x);
- legile constitutive ale secţiunii sunt, în general, scrise în funcţie de e(x),
ceea ce permite determinarea matricii de rigiditate secţională ks(x) şi a
eforturilor secţionale Sr(x);
- folosind relaţiile 2.70 şi 2.69 se pot determina forţele interioare (𝑸𝑟𝑓) şi
matricea de rigiditate a elementului (Kf);
- forţele interioare şi matricile de rigiditate ale elemetelor se asamblează la
nivelul structurii şi se verifică îndeplinirea ecuaţiilor de echilibru.
În cazul elementelor cu formulare în deplasări, funcţiile de interpolare a
deformaţiilor sunt în general deduse pornind de la elemente cu secţiune
dreptunghiulară, considerând o comportare elastică a acestora. Prin urmare, aceste
funcţii de interpolare sunt valide doar în aceste cazuri. Folosirea lor în calculul
neliniar trebuie însoţită de o discretizare a elementului, aproximaţiile induse de
funcţiile de formă reducându-se pe ansamblul elementului. Chiar şi în cazul folosirii
unei discretizări, problemele legate de supraevaluarea rezistenţei şi rigidităţii şi de
neîndeplinirea condiţiilor de echilibru rămân şi trebuie eliminate printr-o calibrare a
elementului aşa cum este descris în paragraful 2.4.
29
Figura 2.5. Procesul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru
pentru elementele cu formulare în deplasări (adaptat după Filippou, 1999)
2.3.3. Elemente cu formulare în forţe
Pentru elementele cu formulare în forţe, funcţiile de interpolare a deplasărilor nu
mai sunt folosite şi se introduc funcţii de interpolare a forţelor determinate din
ecuaţiile de echilibru.
Ecuaţiile diferenţiale de echilibru în stare nedeformată, considerând un element de
lungime infinitezimală, se scriu sub forma:
𝜕𝑁
𝜕𝑥+ 𝑝𝑥 𝑥 = 0 (2.72)
𝜕𝑀𝑦
𝜕𝑥+ 𝑝𝑧 𝑥 = 0 (2.73)
𝜕𝑀𝑧
𝜕𝑥+ 𝑝𝑦 𝑥 = 0 (2.74)
Aşa cum se observă, ecuaţiile de mai sus nu depind de deformaţiile elementului sau
de modul de comportare (elastic sau inelastic).
In cazul particular al elementelor fără forţe exterioare distribuite în lungul lor,
aceste ecuaţii permit scrierea eforturilor secţionale în funcţie de forţele nodale:
Q𝑟k,i = BT(x) ∙ Sr
i (x)dx
𝐿
0
K𝑓 ,𝑖 = BT (x) ∙ ksi (x) ∙ BT (x)dx
𝐿
0
e S S
Secţiune
𝑆𝑟𝑖 x
Element
Q
Q
u u
Q𝑟𝐺 u𝐺 = QG
Q𝑟k,i + K𝑡
k,i−1ΔuG,i = QG,k
K𝑡k,i = A Kf,i si Q𝑟
k,i = A Qf,i
𝑘𝑠𝑖 x
Str
uctu
ră
e𝑖 x = B(x)u𝑓 ,𝑖
Q𝑟k,i + K𝑡
k,i−1ΔuG,i = QG,k
u𝐺,𝑖 = u𝐺,𝑖−1 + Δu𝐺,𝑖
u𝐺 ,𝑖 → u𝑓 ,𝑖
30
𝑺 𝑥 = 𝒃 𝑥 𝑸 (2.75)
iar în cazul general, prin scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru o parte din element,
cuprinsă între extremitatea E1 şi o secţiune aflată la distanţa x, rezultă următoarea
relaţie:
𝑺 𝑥 = 𝒃 𝑥 𝑸 + 𝑺𝒑(𝑥) (2.76)
𝒃 𝑥 =
−1 0 0 0 0 0
0 0 0 −1
𝐿0 −
1
𝐿
0 01
𝐿0
1
𝐿0
0 −1 0 0 0 00 0 −1 0 0 00 0 0 −1 0 0
(2.77)
𝑺𝒑 𝑥 =
−𝑅x𝐿
−𝑀𝑧𝐿
𝐿− 𝑅y
𝐿
𝑀𝑦𝐿
𝐿− 𝑅z
𝐿
−𝑀𝑥
x My
L
L − My
x Mz
L
L − Mz
(2.78)
unde matricea b(x) reprezintă matricea funcţiilor de interpolare a forţelor.
Relaţia între deformaţiile şi eforturile secţionale depinde doar de formularea aleasă
(secţiuni de tip multifibră sau legi constitutive) şi se poate scrie în formă
incrementală funcţie de matricea de flexibilitate a secţiunii:
∆𝒆 𝑥 = 𝒇𝑠(𝑥) ∙ ∆𝑺(𝑥) (2.79)
În cazul unei comportări inelastice, matricea de flexibilitate depinde de starea de
deformaţii şi de istoria acestora, astfel încât, aplicarea directă a relaţiei (2.79) nu
este posibilă, un proces iterativ fiind necesar la nivel secţional în toate punctele de
integrare.
Folosind principiul lucrului mecanic virtual se poate determina relaţia dintre
incrementul deplasărilor nodale Δ𝒖 şi al deformaţiilor secţionale Δ𝒆:
𝛿𝑸𝑇 ∙ Δ𝒖 = 𝛿𝑺𝑇(𝑥)𝐿
0∙ Δ𝒆 𝑥 𝑑𝑥 (2.80)
31
Prin substituirea relaţiilor 2.75 şi 2.79 în relaţia 2.80 se obţine relaţia clasică din
metoda forţelor:
Δ𝒖 = 𝑭Δ𝑸 (2.81)
unde F este matricea de flexibilitate a elementului dată de relaţia:
𝑭 = 𝒃𝑇(𝑥) ∙ 𝒇𝑠(𝑥) ∙ 𝒃𝑇(𝑥)𝑑𝑥 L
0 (2.82)
Ecuaţia 2.81 se poate rescrie în funcţie de deplasările de la extremităţile părţii
flexibile a elementului şi de deformaţiile secţionale, astfel încât să se obţină relaţia
dintre aceste:
𝒖 = 𝒃𝑇 𝑥 𝒆 𝑥 𝑑𝑥𝐿
0 (2.83)
Pentru a obţine matricea de rigiditate este necesară inversarea matricii de
flexibilitate (K=F-1
) şi transformarea din sistemul de coordonate al părţii flexibile
fără mişcare de corp rigid în cel al părţii flexibile cu mişcare de corp rigid:
𝑲𝒇 = 𝑻𝑏 𝑇 ∙ 𝑲 ∙ 𝑻𝑏 (2.84)
Asamblarea matricii de rigiditate a structurii (KG) se face pornind de la matricea de
rigiditate a fiecărui element în coordonate globale (KE), matrice care se obţine prin
transformarea geometrică (schimbarea de bază) a matricii elementului din
coordonate locale (Ke). Matricea elementului în coordonate locale este dată de
relaţia:
𝑲𝒆 = 𝑻𝒓 𝑻 ∙ 𝑲𝒇 ∙ 𝑻𝒓 (2.85)
În ceea ce priveşte acest tip de elemente se impun câteva comentarii:
- Datorită formulării elementului plecând de la relaţiile de echilibru, aceste
elemente au asigurat echilibru la nivel secţional, indiferent de stadiul de
comportare în care se află, ceea ce le face atractive din punct de vedere al
acurateţii rezultatelor, cu observaţia că în funcţiile de interpolare trebuie
introduse şi soluţiile particulare în cazul existenţei unor forţe uniform
distribuite sau punctuale aplicate de-a lungul elementelor.
- Folosirea funcţiilor de interpolare a forţelor permite determinarea
distribuţiei eforturilor în lungul elementelor (în punctele de integrare) şi
32
impune un proces iterativ de determinare a deplasărilor şi deformaţiilor
secţionale, proces iterativ care intervine atât la nivelul secţiunii, cât şi la
nivelul elementului. Acest lucru duce la o implementare dificilă a unor
astfel de elemente în programele de element finit, bazate în general pe
metoda deplasărilor. Evident, etapele de implementare într-un program de
element finit diferă de cele descrise la punctul 2.3.2.
Spre deosebire de elementele cu formulare în deplasări, care permit determinarea
directă a deplasărilor şi a deformaţiilor secţionale şi, implict, caracteristicile
elementului (matricile de rigiditate secţională a secţiunilor de integrare şi matricile
de rigiditate ale elementului), la cele cu formulare în forţe procesul iterativ de la
nivelul structurii trebuie dublat de alte două procese iterative: unul la nivelul
elementului şi unul la nivelul secţiunii.
Determinarea caracteristicilor elementului la un pas de încărcare a fost stabilită de
Taucer ( Taucer et al. 1991) şi este prezentat în ceea ce urmează.
Pentru pasul k de încărcare al structurii şi pentru un pas i al iteraţiei de la nivelul
acesteia (vezi figura 2.6), se determină incrementul deplasărilor nodale Δ𝒖𝐺,i
folosind rigiditatea structurii din pasul anterior i-1 şi relaţia 2.81.
Deplasările nodale totale se determină însumând deplasările din pasul i-1 cu
incrementul determinat anterior. Cunoscând deplasările nodale la nivelul structurii,
se pot determina prin transformări succesive deplasările la extremităţile elementelor
(𝒖i).
Figura 2.6. Procedeul iterativ Newton Raphson la nivelul structurii (Taucer et al., 1991)
QG
uG
QG,k
QG,i
QG,i-1
QG,k-1
uG,i-1
uG,i
uG,i+1
uG,k
QG,i+1
A
B
D
A, B, D – pasul „i” al
iteraţiei din procedeul
iterativ Newton-Raphson
la nivelul structurii în
pasul de încărcare „k”
33
Pornind de la deplasările la extremităţile elementelor se poate începe propriu-zis
procesul iterativ la nivelul elementului. Matricea de flexibilitate a elementului este
cea de la sfârşitul iteraţiei i-1 de la nivelul structurii (𝑭𝑖 ,0 = 𝑭𝑖−1) la fel ca şi
matricile de flexibilitate ale secţiunilor de integrare (fsi,0=fsi-1). Pentru simplitate, se
renunţă la indicele i al iteraţiilor la nivelul structurii, iar pentru iteraţiile la nivelul
elementului şi secţiunii se va folosi indicele j. Procesul începe cu punctul A din
figura 2.7a iar primul increment al forţelor aplicat elementului este calculat folosind
relaţia 𝛥𝑸𝑗=1 = 𝑭0 𝛥𝒖𝒋=𝟏 unde incrementul deplasărilor nodale este 𝛥𝒖1 = 𝒖𝑖 −
𝒖𝑖−1. Se impune precizarea că incrementul deplasărilor la nivelul elementului
trebuie să rămână constant pe tot parcursul procesului iterativ la nivel de element.
Funcţiile de interpolare a forţelor (b(x)) permit determinarea incrementului
eforturilor secţionale ΔS 1(x) (ΔS 1
(x)=b (x) ΔQ 1(x)) şi a predicţiilor incrementului
deplasării Δe1(x) (Δe 1
(x)=f 0(x) ΔS
1(x)). Se pot actualiza în acest fel eforturile (S
1(x)) şi deformaţiile secţionale (e
1(x)) (punctul B din figura 2.7b).
Forţa interioară (Sr1(x)) şi o nouă matrice de flexibilitatea secţională (f
1) se pot
determina pornind de la modelul secţiunii (model multifibră sau lege constitutivă)
prin folosirea deformaţiei secţionale prezise anterior (e 1(x)). Deoarece echilibrul
secţiunii trebuie îndeplinit în mod obligatoriu, procesul iterativ continuă până când
eforturile secţionale reziduale (S 1(x) - (S r
1(x)) se anulează sau sunt inferioare unor
toleranţe impuse. Atunci când ecuaţia de echilibru nu este îndeplintă, deplasarea
reziduală produsă de forţa reziduală (S 1(x) - (S r
1(x)) se determină folosind relaţia
forţă – deformaţie a secţiunii 𝛥𝒆𝑟1(𝑥) = 𝒇1 𝑥 𝑺1 𝑥 − 𝑺𝑟
1 𝑥 .
Dacă la nivelul secţiunii sunt admise deformaţii reziduale conform relaţiei (2.53) şi
la nivelul elementului trebuie să apară deplasările reziduale
Δ𝒖𝒓𝟏 = 𝒃𝑇 𝑥 Δ𝒆𝑟
1(𝑥)dxL
0, iar starea de eforturi şi deplasări ale secţiunilor şi
elementului trebuie să se actualizeze prin deplasarea în punctul B’ (fig. 2.7a şi b).
Cum condiţiile de compatibilitate cinematică împiedică apariţia unor astfel de
deplasări reziduale, pentru anularea acestora asupra elementului trebuie aplicat un
vector forţă de corectare a acestora, Δ𝐐2 = 𝑭1 −1 ∙ −Δ𝒖𝐫𝟏 . Acest vector va
constitui incrementul forţei pentru cea de-a doua iteraţie (j=2). Sub acţiunea acestor
forţe, elementul şi secţiunea ajung în punctul C, iar procesul iterativ continuă până
când deformaţiile reziduale ajung sub o anumită toleranţă.
34
In figura 2.7, echilibrul se atinge în punctul D, care dă forţele interioare ale
elementului Qi pentru deplasările impuse u
i, iar iteraţia i+1 din procedeul iterativ de
tip Newton – Raphson se poate iniţializa.
Figura 2.7. Procesele iterative de la nivelul elementului şi la nivelul secţiunii (Taucer et
al., 1991)
∆urj−1
= bT 𝐱 ∆er−1 𝐱 d𝐱
L
0
∆𝐮j>1 = 𝟎
∆𝐐j = 𝐅j−1 −1 ∙ ∆𝐮j − ∆𝐮rj−1
𝐐i = 𝐐i + ∆𝐐j
conv .
j =1
Element
Condiţii iniţiale (j=1):
F0=F
i-1 şi ∆u1 ∆u
n
Iteraţie curentă
Qi-1
Q
u u
i-1
Q2
ui
A
B
D
B’
C C’
F0 F
1 F2
Q3
Q1
Qj
ur2
ur1
a) Procedeul iterativ la nivelul elementului
S
u
Si-1
ei-1
S2
e1 ... e
n
A
B
D ∆𝐒j = b∆𝐐j
𝐒i = 𝐒i−1 + ∆𝐒j
conv .
j=1
∆𝐞j = 𝐟 j−1 ∙ ∆𝐒j + ∆𝐞rj−1
𝐞i = 𝐞i−1 + ∆𝐞j
conv .
j=1
∆𝐞rj−1
= 𝐟sj∙ 𝐒j − 𝐒r
j
Secţiune
Condiţii iniţiale (j=1):
fs0= fs
i-1 şi er
0=
Iteraţie curentă
B’
C
C’
fs0 fs
1
fs2
er1 Sr
1
er2
S3
S1
S1
S2
S3
Si
e1
b) Procedeul iterativ la nivelul secţiunii
35
Pentru evitarea acestor procese iterative la nivelul elementelor şi al secţiunilor de
control, Neuenhofer şi Filippou (Neuenhofer şi Filippou, 1997) au propus o
modificare în ceea ce priveşte eliminarea forţelor reziduale de la nivelul secţiunilor.
Forţele reziduale de la nivelul secţiunii, dintr-un pas de încărcare „i”, (S i(x) - (Sr
i(x))
sunt tranformate în deformaţii reziduale 𝛥𝒆𝑟𝑖 (𝑥) = 𝒇𝑖 𝑥 𝑺𝑖 𝑥 − 𝑺𝑟
𝑖 𝑥 care se
traduc la nivelul elemntului într-o deplasare reziduală 𝛥𝒖𝒓𝒊 = 𝒃𝑇 𝑥 𝜟𝑒𝑟
𝑖(𝑥)𝑑𝑥𝐿
0 ,
care sunt apoi transformate în forţe nodale de corectare care se includ în vectorul
forţelor interioare (figura 2.8). Procedeul propus de Filippou, deşi elimină
procesele iterative la nivelul elementelor, măreşte numărul de iteraţii la nivelul
structurii.
Figura 2.8. Procesul iterativ de rezolvare a ecuaţiilor de echilibru pentru elementele cu
formulare în forţe (adaptat după Filippou, 1999)
2.3.4. Modelul de bară cu fibre
Modelul de element finit cu fibre a aparut în acelaşi timp cu dezvoltarea
elementelor neliniare de bară şi a metodelor de rezolvare a acestora (Kaba şi Mahin,
1984). Ideea modelării cu fibre constă în discretizarea elementului în fibre
longitudinale, aşa cum este prezentat în figura 2.9. Ca ipoteze de calcul se consideră
ipoteza secţiunilor plane (în teoria de grindă Bernoulli) şi a conlucrării perfecte între
beton şi armătură. Ultima ipoteză nu este valabilă în cazul elementelor de beton
𝐐𝑟k,i + K𝑡
k,i−1Δ𝐮G,i = 𝐐G,k
𝐮𝐺,𝑖 = 𝐮𝐺,𝑖−1 + Δ𝐮𝐺,𝑖
𝐮𝐺,𝑖 → 𝐮𝑖
e S S
Secţiune
Str
uctu
ră
Element Q
Q
u u
𝐐𝑟𝐺 𝐮𝐺 = 𝐐𝐆
𝐐𝑟i + K𝑡
i−1Δ𝐮G,i = 𝐐G,k
K𝑡i = A Ki si 𝐐𝑟
i = A 𝐐i
𝐮𝑖−1 + 𝐅𝐢−𝟏Δ𝐐𝑖 = 𝐮𝑖
𝐒𝑖 = 𝐛 x 𝐐𝑖−1 + 𝚫𝐐𝑖
𝐒i−1 x + 𝐤si−1 x Δ𝐞i(x) = 𝐒i x
𝐞i x = Δ𝐞i−1 + Δ𝐞i x
Δeri x = 𝐤s
i x 𝐒i x − 𝐒ri x
𝐒ri x
𝐤si x
𝐐i = 𝐐i−1 + Δ𝐐i + 𝐅i −1Δ𝐮𝐫𝐢
Δ𝐮𝐫𝐢 = 𝐛T x 𝚫er
i (𝑥)dxL
0
F𝑖 = bT x ∙ ksi x −1 ∙ bT x dx
𝐿
0
36
armat supuse la încărcări alternante, datorită degradării aderenţei dintre beton şi
armătură în zonele cu deformaţii postelastice. Studii recente (Limkatanyu şi
Spacone 2002) au arătat însă că deteriorarea aderenţei se poate introduce în
modelele de element finit cu fibre, fie prin afectarea relaţiilor constitutive ale
elementului, fie prin modificarea matricilor de flexibilitate sau rigiditate.
Ideea de bază a acestui model constă în a nu introduce o lege histeretică predefinită
pentru secţiune, ci în a determina răspunsul secţional funcţie de legile constitutive
ale materialelor atribuite fibrelor prin care este discretizat elementul. Este evident că
răspunsul secţional depinde în cazul acestui model de nivelul de discretizare al
secţiunii şi trebuie găsit un echilibru între nivelul de acurateţe dorit şi cel al
efortului de calcul.
Figura 2.9. Elementul finit cu fibre în sistemul local şi discretizarea secţiunii în fibre
(adaptat după Taucer, 1991)
Implementarea unui astfel de model într-un program de element finit presupune
formularea matriceală a relaţiilor forţă-deplasare pentru secţiunile elementului de
bară care definesc punctele de integrare. Pentru simplitate, în ceea ce urmează se
prezintă doar cazul unei formulări în cazul elementelor de grindă de tip Euler -
Bernoulli.
Vectorii forţelor si deformaţiilor secţionale sunt daţi de relaţiile 2.86 şi 2.87, iar
deformaţiile specifice şi eforturile unitare în fibre sunt descrise în formă vectorială
de relaţiile 2.88 şi 2.89:
𝑺 = 𝑺 𝑥 = 𝑁𝑥 𝑀𝑦 𝑀𝑧 𝑇 (2.86)
37
𝒆 = 𝒆 𝑥 = 휀𝑥𝑠 𝜙𝑦𝑠 𝜙𝑧𝑠 𝑇 (2.87)
𝒆𝒇 𝑥 =
휀1 𝑥 ⋮
휀𝑖 𝑥 ⋮
휀𝑛 𝑥
(2.88)
𝑬 𝑥 =
𝜎1 𝑥 ⋮
𝜎𝑖 𝑥 ⋮
𝜎𝑛 𝑥
(2.89)
Considerând ipoteza secţiunilor plane, relaţia între deformaţiile specifice ale fibrelor
şi deformaţiile secţiunii este dată de relaţia 2.90, în care l(x) este o matice
geometrică de transformare liniară (relaţia 2.91):
𝒆𝒇 𝑥 = 𝒍 𝑥 𝒆(𝑥) (2.90)
𝒍 𝑥 =
1 𝑧1 𝑦1
⋮ ⋮ ⋮1 𝑧𝑖 𝑦𝑖⋮ ⋮ ⋮1 𝑧𝑛 𝑦𝑛
(2.91)
Matricea de rigiditate secţională ks(x) se poate scrie sub forma:
𝒌𝒔 𝑥 = 𝒍 𝑥 𝑇 𝑬 𝑥 𝐴 𝒍(𝑥) (2.92)
ks x =
EiAini=1 EiAizi
ni=1 EiAiyi
ni=1
EiAizini=1 EiAizi
2ni=1 EiAiziyi
ni=1
EiAiyini=1 EiAiziyi
ni=1 EiAiyi
2ni=1
(2.93)
unde A este o matrice diagonală de dimensiune n×n care stochează valoriile ariilor
pentru cele n fibre.
Matricea de flexibilitate secţională se poate deduce, în cazul elementelor cu
formulare în forţe, prin inversarea directă a matricii de rigiditate.
Vectorul eforturilor secţionale se determină prin însumarea directă:
𝑺 𝑥 = 𝒍 𝑥 𝑇 ∙ 𝑨 ∙ 𝑬 𝑥 (2.94)
38
Care se mai poate scrie şi sub următoare formă:
𝑺 𝑥 =
EiAini=1
𝜎𝑖𝐴𝑖𝑧𝑖𝑛𝑖=1
𝜎𝑖𝐴𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1
(2.95)
2.4. Probleme legate de folosirea elementelor neliniare cu
plasticitate distribuită
Folosirea elementelor cu plasticitate distribuită la analiza neliniară a structurilor de
beton armat este una din tendinţele actuale, datorate pe de o parte caracterului
generalist al acestor elemente şi pe de altă parte evoluţiei rapide a puterii de calcul.
După fundamentarea teoretică a modului de implementare, au fost dezvoltate o serie
de programe care conţin librării de elemente bazate pe ambele formulări descrise
mai sus, unele dintre ele fiind accesibile în mod gratuit (Seismostruct, 2008) sau cu
acces liber la codul sursă (OpenSees, 2008). Totuşi folosirea acestor elemente
evidenţiază o serie de probleme legate fie de rezultatele obţinute, fie de modul de
interpretare al acestora.
Una din problemele majore o constitue fenomenul de localizare, care afectează atât
elementele de tip bară descrise în acest capitol, cât şi elementele de tip placă sau
volum folosite în calculul neliniar al structurilor de beton armat.
Fenomenul de localizare, împreună cu efectul de scară („size effect”), sunt concepte
fundamentale din mecanica ruperii. Conform acestor concepte, degradarea şi
colapsul unui element sunt localizate într-o anumită zonă limitată (fenomen de
localizare), iar legea constitutivă a materialului nu depinde doar de proprietăţile
acestuia, ci şi de dimensiunile elementului (efect de scară) .
Fenomenul de localizare este evident în cazul elementelor din beton simplu supuse
la întindere, colapsul producându-se prin apariţia unei singure fisuri. Acest fenomen
este mai puţin evident în cazul elementelor de beton supuse la compresiune, însă
împreună cu efectul de scară explică diferenţele care apar între rezulatele obţinute
pe specimene cu dimensiuni diferite (van Mier, 1996).
În cazul încercărilor la compresiune pe două epruvete care diferă doar ca lungime,
relaţiile efort unitar – deformaţie specifică nu sunt identice (Borges et al., 2004),
mai ales după atingerea valorii maxime a efortului unitar (fig. 2.10).
Comportarea diferită se poate explica (Markeset şi Hillerborg, 1995) prin
descrierea modului de rupere a unui cilindru de beton supus la o încercare de
39
compresiune cu control în deplasări (figura 2.11). Zona B este zona în care se
produce ruperea, numită şi zonă de degradare a betonului. Degradarea betonului în
această zonă se produce iniţial prin apariţia unor fisuri longitudinale, proces care
continuă până la ruperea elementului printr-o lunecare în lungul unui plan înclinat.
În afara acestei zone, betonul nu este puternic degradat şi nu a atins efortul unitar
maxim.
Figura 2.10. Relaţiile efort unitar – deformaţii specifice pentru cilindrii
cu aceeaşi secţiune şi lungimi diferite (Borges et al., 2004)
Figura 2.11. Test de compresiune cu control în deplasări (Coleman şi Spacone, 2001)
Acest concept de localizare a fost pus în evidenţă şi în cazul elementelor de beton
armat (Weiss et al. 2001), folosind grinzi de beton armat cu aceeaşi secţiune şi
armare, supuse la încovoiere pură pe diferite lungimi. S-a constat în acest fel că,
deşi momentul de curgere, momentul ultim şi lungimea zonei degradate (zona în
care se produce ruperea) sunt constante, deformaţia specifică medie şi ductilitatea
elementului depind de lungimea zonei de moment constant (figura 2.12).
/L
Relaţia /L globală
L
A
A
B
Zona B
Zona A
Zona
degaradată
a) b)
a
b
40
Figura 2.12. Variaţia ductilităţii în funcţie de lungimea zonei de moment constant (Weiss
et al., 2001)
Fenomenul de localizare în cazul elementelor finite se referă la problemele
numerice care apar în cazul folosirii de modele bazate pe legi constitutive care
prezintă rigidităţi negative după atingerea efortului maxim. Acest fenomen se
manifestă în general printr-o localizare a deformaţiilor într-o anumită zonă şi
depinde de modul de formulare a elementului. El este evident şi în cazul
elementelor de tip bară cu plasticiatate distribuită (Coleman şi Spacone, 2001).
Utilizarea elementelor cu plasticitate distribuită, deşi pare facilă mai ales în cazul
elementelor de tip multifibră, nu duce întotdeauna la rezultatele preconizate şi pot
apărea probleme de natură numerică.
În cazul unui răspuns secţional caracterizat de o consolidare în zona de comportare
inelastică, elementele dau rezultate obiective, atât la nivel secţional cât şi la nivel de
element (figura 2.13a).
Dacă răspunsul secţional este de tip elastic - perfect plastic, obţinerea unor rezultate
numerice obiective depinde de numărul de punctele de integrare ales, în cazul
elementelor cu formulare în forţe, sau de numărul de elemente în cazul elementelor
cu formulări în deplasări (figura 2.13b). La elementele cu formulare în forţe
creşterea numărului de puncte de integrare are ca efect localizarea deformaţiilor
plastice (curburilor) în primul punct de integrare (figura 2.14).
La elemente cu răspuns secţional caracterizat de rigidităţi negative în zona
postelastică, răspunsul secţional şi la nivel de element este afectat de erori evidente
sau de instabilităţi numerice (figura 2.13c).
Zona degradată
a
b
c
Zona degradată
c b a
41
Figura 2.13. Variaţia curburii şi a relaţiile forţă-deplasare pentru elemente funcţie de tipul
răspunsului secţional a) cu consolidare b) elastic – perfect plastic c) cu rigiditate
postelastică negativă (Coleman şi Spacone, 2001)
Forţă
laterală
Curbură Deplasare,
3 PI
4 PI
5 PI
5 PI
4 PI
3 PI
3, 4, 5
Puncte de
Integrare (PI)
element din
beton armat
P (constant)
c)
3, 4, 5, 6, 7, 8 PI
3 PI 4 PI 5 PI 6 PI 7 PI 8 PI
Forţă
laterală
3, 4, 5, 6, 7, 8
Puncte de
Integrare (PI)
Curbură Deplasare, b)
3 PI
4, 5, 6, 7, 8 PI
Curbură Deplasare,
3, 4, 5, 6, 7, 8
Puncte de
Integrare (PI)
3 PI 4 PI
5, 6, 7, 8 PI
Forţă
laterală
a)
42
Figura 2.14. Efectul de localizare a deformaţiilor plastice în cazul elementelor cu răspuns
secţional de tip elastic-perfect plastic (Coleman şi Spacone, 2001)
O primă încercare de determinare a unor tehnici de regularizare a fost descrisă de
Coleman şi Spacone (Coleman şi Spacone, 2001), pornind de la tehnicile de
regularizare a elementelor de tip membrană, care folosesc teorii de fisurare
distribuită. Prin folosirea unei tehnici similare, bazată pe energia constantă de
rupere la compresiune, autorii au stabilit o regulă de modificare a legilor
constitutive, astfel încât în locul folosirii unei legi de beton constante pe toată
lungimea elementului, legile constitutive să varieze în dreptul secţiunilor de control
(punctelor de integrare). Soluţia folosită se bazează pe energia de rupere la
compresiune determinată experimental. Dacă în cazul betonului neconfinat acestă
energie este dată în anumite studii experimentale, în cazul betonului confinat acest
lucru nu mai este valabil, autorii presupunând o energie de rupere de şase ori mai
mare decât cea a betonului simplu.
Mai mult decât atât, modificarea legilor constitutive în lungul elementului trebuie
asociată cu zonele în care se produc degradări importante la nivelul elementelor
(zonele de articulaţii plastice). Prin urmare, lungimile de integrare asociate
secţiunilor de control susceptibile să aibă incursiuni importante în domeniul
postelastic trebuie alese astfel încât acestea să corespundă pe cât posibil lungimii
reale a articulaţiei plastice. Din punct de vedere al abordării practice, acest lucru
implică modificarea elementelor implementate în programele existente, care să
permită variaţii ale legilor de material în secţiunile de control.
a)
3 Puncte de Integrare
c)
5 Puncte de Integrare
b)
4 Puncte de Integrare
Moment Curbură
Mp p
punct de integrare
Gauss-Lobatto
Mp p Mp p
43
O soluţie alternativă este cea propusă de Scott şi Fenves (Scott şi Fenves, 2006),
care constă de fapt în formularea unui element cu zone plastice distribuite la capete
şi un element central cu comportare elastică.
O sistematizare a regulilor de calibrare a elementelor cu plasticitate distribuită a fost
făcută de Calabrese (Calabrese, 2008) care a dedus următoarele reguli.
a) Pentru elementele cu formulare în forţe
i. Dacă răspunsul elementului este unul cu consolidare în domeniul
postelastic nu este necesară o calibrare a elementului dar numărul de
puncte de integrare folosite pentru un element trebuie să fie de minim
4 iar regula de integrare recomndată este Gauss-Lobbatto.
ii. Dacă răspunsul elementului este unul cu degradare de rigiditate în
domeniul postelastic, creşterea numărului punctelor de integrare duce
la un răspuns nerealist, observându-se o scădere accentuată a
rigidităţii după atingerea forţei maxime, iar curbura se localizează în
dreptul primului punct de integrare.
iii. Calibrarea elementelor cu formularea în forţe constă în estimarea
lungimii zonei care care se comportă inelasatic şi alegerea unei reguli
de integrare sau a unui număr de puncte de integrare astfel încât
lungimea asociată primului punct de integrare să fie cât mai apropiată
de aceasta. În general această lungime se consideră egală cu lungimea
articulaţiei plastice.
b) Pentru elementele cu formulare în deplasări
i. Dacă răspunsul elementului este unul cu consolidare în domeniul
postelastic nu este necesară o calibrare, dar numărul de elemente finite
necesare pentru modelarea unui element structural nu trebuie să fie
mai mic decât patru. In general două puncte de integrare pe element
sunt suficiente dacă se foloseşte regula de integrare Gauss-Legendre.
ii. Dacă răspunsul elementului este unul cu degradare de rigiditate în
domeniul postelastic, datorită faptului că deformaţiile plastice din
elementul finit cu formularea în deplasări se localizează în primul
punct de integrare, este bine ca, în cazul folosirii a două puncte de
integrare Gauss Legendre, lungimea elementelelor de capăt să fie
egală cu de două ori lungimea articulaţiei plastice.
Se poate observa că metodele folosite pentru calibrarea elementelor cu plasticitate
distribuită, calibrare necesară pentru considerarea corectă a fenomenului de
44
localizare, presupun tehnici de discretizare speciale. Alegerea modului de
discretizare (în cazul elementelor cu formulare în deplasări) sau a regulii şi
numărului punctelor de integrare (în cazul elementelor cu formulare în forţe),
funcţie de poziţia şi lungimea zonelor critice, impune stabilirea, în mod aprioric, a
zonelor cu comportare postelastică, fapt care reduce caracterul aparent generalist al
elementelor cu plasticitate distribuită.
45
3. Teorii bazate pe fisurarea distribuită
3.1. Introducere
Modul de apariţie, distribuţia, evoluţia fisurilor şi modul în care prezenţa acestora
influenţează comportarea elementelor de beton armat a fost şi este o preocupare
majoră şi a fost subiectul numeroaselor studii teoretice şi experimentale care stau la
baza modelelor actuale de dimensionare şi verificare a elementelor de beton armat.
Acest aspect a făcut ca şi modelarea fisurilor în teoria de element finit să fie un
subiect abordat încă de la apariţia acestei metode de calcul. Două tipuri de abordări
s-au impus pentru modelarea fisurilor: modelarea cu fisuri discrete şi cea bazată pe
teoriile de fisurare distribuită.
Modelarea discretă a fisurilor s-a bazat iniţial (Ngo şi Scordelis, 1967) pe separarea
marginilor elementelor finite, ceea ce duce la următoarele incoveniente: traseele şi
distribuţiile fisurilor sunt predefinite iar evoluţia acestora se face prin schimbarea
continuă a legăturilor nodale. O îmbunătăţire a metodei a constat în impunerea
automată a discontinuităţii la interfaţa dintre două elemente adiacente în care
eforturile medii îndeplinesc criteriile de fisurare (Ingraffea şi Saouma, 1985). În
acest caz traseul şi distribuţia fisurilor nu mai sunt predefinite dar sunt dependente
de modul de discretizare. Abordările recente au surmontat şi acest impediment prin
introducerea automată a unor elemente şi noduri suplimentare. Toate aceste tipuri
de abordări presupun însă prezenţa unor perechi de noduri şi elemente de-o parte si
de alta a unei fisuri discrete şi modificarea topologiei modelului.
Teoriile de fisurare distribuită (smeared crack) se bazează pe ipoteza că fisurile sunt
distribuite iar comportarea elementelor se determină plecând de la răspunsul mediat
pe o zonă în care sunt prezente mai multe fisuri (Rashid, 1968, Cervenka şi Gerstle,
1971, 1972). Acesta ipoteză a făcut ca implementarea acestor teorii în programele
de element finit bazate pe metoda deplasărilor să fie mult mai atractivă. Deoarece
ipoteza care stă la baza acestor teorii exclude modelarea directă a fisurilor,
problemele legate de modificarea geometriei modelului funcţie de modul de apariţie
şi evoluţie al fisurilor dispar iar apariţia fisurilor impune doar modificări la nivelul
relaţiilor constitutive ale materialelor în punctele de integrare.
Din punct de vedere al orientării fisurilor, aceste teorii se împart în teorii bazate pe
orientare fixă a fisurilor („fixed angle smeared crack aproach”) şi cele bazate pe
orientare variabilă a acesora („rotating angle smeared crack aproach”). Ambele
46
teorii se bazează pe faptul că fisurile apar atunci când rezistenţa la întindere a
betonului este atinsă.
În teoriile bazate pe orientarea fixă a fisurilor, direcţia acestora rămâne fixă şi este
cea dată de direcţia eforturilor principale la iniţierea fisurării (Cervenka, 1985).
Această direcţie care rămâne fixă este axa de ortotropie a materialului indiferent de
variaţia ulterioară a încărcărilor (axa 2 din figura 3.1a). În general, direcţiile
principale ale deformaţiilor specifice nu coincid cu axele de ortotropie, ceea ce duce
la apariţia de eforturi tangenţiale în lungul fisurilor. Acest lucru face ca direcţiile
principale ale eforturilor şi cele ale deformaţiilor specifice să nu coincidă.
(a) (b)
Figura 3.1. Distribuţia eforturilor şi deformaţiilor a) model cu orientare fixă a fisurilor; b)
orientare variabilă a fisurilor
Teoriile bazate pe orientarea variabilă a fisurilor presupun că acestea îşi schimbă
direcţia în mod gradual. Direcţia fisurilor coincide în acest caz cu direcţia eforturilor
şi deformaţiilor principale, iar în lungul fisurilor nu apar eforturi tangenţiale (fig.
3.1 b). Simplitatea acestor teorii constă în faptul că, nefiind necesară o modelare a
transferului de eforturi tangenţiale în lungul fisurilor, doar legile constitutive ale
betonului după cele două direcţii principale sunt necesare. Coincidenţa între
direcţiile principale de eforturi şi cele de deformaţii reprezintă o ipoteză
simplificatoare dar rezultatele obţinute arată o corelare satisfăcătoare cu cele
obţinute experimental (Vecchio şi Collins, 1986).
Indiferent de tipul de abordare folosit în teoriile cu fisurare distribuită, acestea nu au
un caracter exhaustiv, iar acoperirea multitudinii de detalii de armare şi tipuri de
solicitare cu o singură teorie rămâne un deziderat. Oricum, aplicarea lor în
x
y
1
2 2
1
c2
c1 c
c
x
y
1,1
2,2
c2
c1
47
problemele legate de comportarea la forţă tăietoare a elementelor de beton armat s-a
dovedit eficientă.
Din punct de vedere cronologic dezvoltarea acestor teorii a început la sfârşitul
anilor ’70 ai secolului trecut, prima fiind cea a Câmpului de Compresiuni (Collins,
1978). Pornind de la încercări pe panouri de beton armat, prima teorie care a arătat o
corelaţie satisfăcătoare cu rezultatele experimentale a fost cea dezvoltată de Collins
şi Vecchio (Vecchio şi Collins, 1986), numită Teoria Modificată a Câmpului de
Compresiune. Dezvoltată iniţial pentru cazuri de solicitare biaxială sub încărcări
monoton crescătoare, această teorie a fost extinsă, fiind folosită atât pentru cazuri de
solicitare triaxială cât şi pentru încărcări ciclice.
În literatură se găsesc mai multe astfel de teorii, bazate fie pe orientarea fixă, fie pe
orientarea variabilă a fisurilor, cele mai cunoscute fiind:
1. Teoria Câmpului de Compresiuni (Compression Field Theory sau CFT,
Collins, 1978);
2. Teoria modificată a câmpului de compresiuni (Modified Compression
Field Theory sau MCFT, Vecchio şi Collins, 1986)
3. Modelul de grindă cu zăbrele cu unghi variabil (Rotated angle softened
truss model sau RASTM, Belarbi şi Hsu, 1994)
4. Modelul de grindă cu zăbrele cu unghi fix (Fixed angle softened truss
model sau FASTM, Pang şi Hsu, 1996)
5. Modelul de membrană fisurată (Cracked membrane model, Kaufmann şi
Marti, 1999)
6. Teoria Câmpului de Compresiune Perturbat (Disturbed Stress Field
Model sau DSFM, Vecchio, 2000)
Dintre teoriile enunţate mai sus cea care s-a impus a fost Teoria modificată a
câmpului de compresiune, datorită îmbunătăţirilor continue şi a extinderii acesteia
la cazuri de solicitare triaxială sau ciclică. Mai mult, recunoaşterea acestei teorii a
culminat cu introducerea ei în norma canadiană pentru dimensionarea elementelor
de beton armat şi precomprimat CSA A23.3-04, în norma americană AASHTO din
2004 şi Model Code 2010.
Deoarece Teoria modificată a câmpului de compresiune (abreviată în continuare cu
MCFT) este folosită în prezenta lucrare pentru modelarea interacţiunii dintre
moment şi forţa tăietoare, o expunere a acesteia şi a teoriilor derivate din aceasta
este necesară.
48
3.2. Formularea Teoriei Modificate a Câmpului de Compresiune
(Vecchio şi Collins, 1982)
3.2.1. Ipoteze
Această teorie a fost dezvoltată pornind de la încercări de forfecare pe panouri de
formă pătrată, armate cu două plase ortogonale dispuse paralel cu laturile
elementului. Încărcările aplicate panourilor sunt uniform distribuit pe laturile
acestora. Prin urmare formularea teoretică iniţială consideră un element de beton cu
grosime constantă, armat cu o plasă ortogonală. Încărcările sunt reprezentate printr-
o distribuţie uniformă a eforturilor unitare nomale (𝜎𝑥 ,𝜎𝑦) şi a celor tangenţiale
(𝜏𝑥𝑦 ) pe laturile elementului (figura 3.2) iar deformaţiile acestuia sunt descrise de
deformaţiile specifice normale (휀𝑥 , 휀𝑦) şi cele tangenţiale (𝛾𝑥𝑦 ). Deşi iniţial
armătura a fost considerată paralelă cu axele elementului, formulările ulterioare
permit considerarea oricărei direcţii pentru aceasta (figura 3.2).
Figura 3.2. Element de membrană din beton armat (Vecchio, 2000)
Ipotezele care stau la baza formulării MCFT sunt următoarele:
1. Armătura este distribuită pe întregul element;
2. Eforturile aplicate elementului sunt uniform distribuite;
3. Eforturile unitare totale depind doar de deformaţiile specifice totale şi nu
depind de istoria încărcării;
4. Nu există lunecare între beton şi armătură (conlucrare perfectă);
τxy
σx
σy
i
𝜎𝑦𝛼𝑖 , 𝜌𝛼𝑖 ,𝐸𝑠𝛼𝑖
Armătură
𝑓𝑐 , 휀𝑐0,𝑓𝑡 ,𝐸𝑐
Beton
49
5. Direcţiile principale ale eforturilor unitare şi ale eforturilor specifice
coincid indiferent de tipul de încărcare;
6. Relaţiile constitutive ale betonului şi armăturii sunt independente;
7. Fisurile sunt distribuite şi au voie să se rotească;
8. Efortul unitar de întindere din beton, transmis în lungul fisurilor, depinde
de rezerva de rezistenţă a armăturii în dreptul acestora.
MCFT constă în trei seturi de relaţii: relaţii de compatibilitate a deformaţiilor
specifice pentru beton şi armătură, relaţii de echilibru şi relaţii care descriu legile
constitutive ale armăturii şi betonului.
3.2.2. Relaţiile de compatibilitate în MCFT
Într-un element de lungime egală cu 1, deformaţiile medii sunt deformaţiile mediate
într-o zonă cu mai mult de două fisuri. Având în vedere ipoteza conlucrării perfecte
dintre beton şi armătură, deformaţiile medii din beton şi armătură sunt egale:
휀𝑥 = 휀𝑐𝑥 = 휀𝑠𝑥휀𝑦 = 휀𝑐𝑦 = 휀𝑠𝑦
(3.1)
Figura 3.3. Deformaţii specifice pentru un element de beton armat
(Vecchio şi Collins, 1986)
Dacă se cunosc cele trei deformaţii specifice 휀𝑥 , 휀𝑦 şi 𝛾𝑥𝑦 după direcţiile
elementului, prin aplicarea relaţiilor date de cercul lui Mohr se poate determina
deformaţia de întindere 휀1 şi deformaţia de compresiune 휀2 după direcţiile
principale precum şi unghiul făcut de direcţia principlă 1 în raport cu axa „x” a
elementului (figura 3.4).
𝛾𝑥𝑦
2
𝛾𝑥𝑦
2
y
1
x 1
x
y
y
x
1
2
c
50
휀1,2 =휀𝑥+휀𝑦
2± 휀𝑦 − 휀𝑥
2+ 𝛾𝑥𝑦
2
1
2 (3.2)
𝜃 =1
2tan−1
𝛾𝑥𝑦
휀𝑥−휀𝑦 (3.3)
Figura 3.4. Cercul lui Mohr pentru deformaţiile specifice (Vecchio şi Collins, 1986)
3.2.3. Relaţiile de echilibru în MCFT
Dacă elementul se află în echilibru, relaţiile între eforturile aplicate elementului
(𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 şi 𝜏𝑥𝑦 ) şi cele din beton (𝑓𝑐𝑥 , 𝑓𝑐𝑦 , v𝑐𝑥𝑦 ) şi armătură (𝑓𝑠𝑥 , 𝑓𝑠𝑦 ) se deduc din
scrierea ecuaţiilor de echilibru pe direcţiile x şi y pe o porţiune de element (figura
3.5).
a) b)
Figura 3.5. Echilibrul unei părţi din element: a) pe direcţia x; b) pe direcţia y
(Vecchio şi Collins, 1986)
x
y
y
sx
cx
cxy xy
x
y
x
sy
cy
cxy
xy
xy/2
1
2
x
y
휀
휀1 휀2
휀𝑥
2𝜃
휀𝑦 /2
2𝜃𝑐
51
Pentru elementele la care armătura este paralelă cu laturile elementelor, ecuaţiile de
echilibru se pot scrie sub forma:
𝜎𝑥 = 𝜎𝑐𝑥 + 𝜌𝑥𝜎𝑠𝑥 (3.4)
𝜎𝑦 = 𝜎𝑐𝑦 + 𝜌𝑦𝜎𝑠𝑦 (3.5)
𝜏𝑥𝑦 = τ𝑐𝑥𝑦 (3.6)
unde 𝜌𝑥 şi 𝜌𝑦 sunt coeficienţii de armare pe cele două direcţii. Relaţia 3.6 indică
faptul că eforturile tangenţiale aplicate elementului sunt echilibrate doar de către
beton, eforturile tangenţiale preluate de armătură prin efect de dorn fiind neglijate.
Şi în cazul eforturilor din beton se poate aplica cercul lui Mohr (figura 3.6), ceea ce
permite scrierea următoarelor relaţii:
𝜎𝑐𝑥 = 𝜎𝑐1 − 𝜏𝑐𝑥𝑦 cot 90 − 𝜃 (3.7)
𝜎𝑐𝑦 = 𝜎𝑐2 − 𝜏𝑐𝑥𝑦 tan 90 − 𝜃 (3.8)
𝜎𝑐2 = 𝜎𝑐1 − 𝜏𝑐𝑥𝑦 tan 90 − 𝜃 + cot 90 − 𝜃 (3.9)
Figura 3.6. Cercul lui Mohr pentru eforturile unitare în beton (Vecchio şi Collins, 1986)
c2
cx
c1
cy
cxy
2𝜃
2𝜃𝑐 1 2
x
y
𝜏c
c
52
3.2.4. Legile constitutive ale materialelor în MCFT
Relaţiile constitutive ale materialelor pentru solicitări uniaxiale, şi mai ales cele
pentru beton, nu se pot aplica în mod direct elementelor de beton armat.
În cadrul MCFT, legile constitutive folosite la întindere şi compresiune s-au calibrat
pornind de la rezultatele şi observaţiile experimentale obţinute pe panouri de beton
armat supuse la forfecare.
3.2.4.1. Legile constitutive pentru oţel
Pentrul cazurile de încărcare monotonă, legea constitutivă folosită de MCFT pentru
oţel este cea elastic perfect-plastică, iar în cazul încărcărilor ciclice s-a optat pentru
modelul Seckin (Seckin 1981), caracterizat de o curba triliniară care modelează
consolidarea ce apare după palierul de curgere printr-un segment de dreaptă (figura
3.7).
Figura 3.7. Înfăşurătoarea modelului Seckin pentru oţel (Seckin, 1981)
3.2.4.2. Legile constitutive pentru beton
a) Relaţiile efort – deformaţii pentru beton la compresiune
În cazul solicitărilor biaxiale sau triaxiale, legile constitutive ale betonului sunt
diferite de cele din cazul solicitărilor uniaxiale. Încercările de solicitare biaxială
realizate de Kupfer în anii ’60 folosind platane de presă în perie au dat primele
rezultate satisfăcătoare privind rezistenţele betonului la întindere şi compresiune
pentru astfel de solicitări (Kupfer et al., 1969). Aşa cum o arată şi diagramele de
interacţiune propuse de Kupfer (figura 3.8a), în domeniul compresiune-întindere,
reducerea rezistenţei betonului la compresiune creşte pe măsură ce eforturile de
întindere cresc (figura 3.8b).
Acest fenomen de reducere a rezistenţei la compresiune datorită eforturilor
transversale de întindere, cunoscut sub numele de „compression softening”, este
Es
Esh
53
diferit în cazul betonului armat faţă de cel simplu, aşa cum o demonstrează şi
Kaufmann. De aceea calibrarea rezistenţei la întindere a fost făcută în cadrul MCFT
pornind de la încercări pe panouri armate. În principiu efectul de „compression
softening ” este considerat prin modificarea curbei uniaxiale a betonului, mai exact
prin reducerea rezistenţei la compresiune şi a deformaţiei specifice la vârf, în
funcţie de eforturile transversale de întindere (figura 3.9).
a) b)
Figura 3.8. Starea biaxială de eforturi a) curba limită de interacţiune; b) domeniul
compresiune-întindere (Kupfer et al., 1969)
Figura 3.9. Efectul de „compression softening” (Vecchio şi Collins, 1986)
𝜎𝑐2
c2
fp
Cilindru
Panou fisurat
𝜎𝑐2
𝑓𝑐
p c0
54
Rezistenţa la compresiune nu ţine cont de efectul de confinare dat de eforturile
transversale de compresiune, în acest caz fiind folosită legea uniaxială a betonului.
În formularea iniţială (Vecchio şi Collins, 1986), curba betonului este parabola de
tip Hognestad (figura 3.10 a). Rezistenţa şi deformaţia specifică la vârf sunt afectate
cu un parametru , care depinde de raportul între deformaţiile specifice pe cele două
direcţii principale :
𝜎𝑐2 = 𝑓𝑝 2 휀𝑐2
휀𝑝 −
휀𝑐2
휀𝑝
2
휀𝑐2 ≤ 0 (3.10)
𝑓𝑝 = 𝛽𝑓𝑐 şi 휀𝑝 = 𝛽휀𝑐0 (3.11)
unde:
𝛽 =1
0.85−0.27∙ 휀𝑐1 휀𝑐2 ≤ 1 (3.12)
Pentru a facilita utilizarea modelului de „compression softening” în procedurile de
dimensionare a grinzilor la forţă tăietoare, o simplificare a modelului s-a realizat
prin modificarea parametrului , care se aplică doar rezistenţelor (figura 3.10 b).
𝛽 =1
0.80−0.34∙ 휀𝑐1 휀𝑐0 ≤ 1 (3.13)
Plecând de la considerentul că parabola de tip Hognestad nu este adecvată pentru
betoanele de înaltă rezistenţă iar la cele de rezistenţă joasă subestimează valorile
intermediare, Vecchio şi Collins (Vecchio şi Collins, 1993) au propus adoptarea a
două modele bazate pe o curbă de tip Thorenfeldt, calibrată de Collins şi Porasz.
𝜎𝑐2 = −𝑓𝑝𝑛 −
휀2휀𝑝
𝑛−1 + −휀2휀𝑝 𝑛𝑘 (3.14)
cu:
𝑛 = 0.80 +𝑓𝑝
17 (3.15)
𝑘 = 1,0 pentru 𝜺𝒑 < 𝜺𝟐 < 0 (3.16)
55
𝑘 = 0.67 +𝑓𝑝
62 (3.17)
Figura 3.10. Modele de „compression softening” pentru beton (Vecchio şi Collins, 1993)
Primul model (Modelul A), care este prezentatat în figura 3.10 c, impune efectul de
„compression softening” atât la nivelul eforturilor unitare, cât şi la nivelul
deformaţiilor specifice prin următoarea expresie a coeficientului :
𝛽 =1
1.0+𝐾𝑐𝐾𝑓 (3.18)
unde:
𝐾𝑐 = 0.35 −휀1
휀2− 0.28
0.8
(3.19)
şi
𝐾𝑓 = 0.1825 𝑓𝑐 (3.20)
𝛽𝑓𝑐
𝛽𝑓𝑐
c0 c0
𝛽 = 𝑓 휀2 휀1
c0 2 c0
𝛽 = 𝑓 휀1
c0 2
𝛽𝑓𝑐
𝑓𝑐
-c2 Parabola
Hognestad
Parabola
Hognestad
-c2
𝛽𝑓𝑐
𝑓𝑐
c0
2 c0
2
𝛽 = 𝑓 휀2 휀1 𝛽 = 𝑓 휀1
2> 0
c0
Curba
Thorenfeldt
Curba
Thorenfeldt
c2
c2
a) Model 1982 b) Model 1986
c) Model A - 1993 d) Model B - 1993
𝑓𝑐
-c2
𝑓𝑐
-c2
56
În relaţiile de mai sus rezistenţele sunt exprimate în MPa.
Modelul B impune efectul de „compression softening” doar la nivelul eforturilor
unitare (figura 3.10 d), expresia coeficientului de diminuare a eforturilor de
compresiune fiind:
𝛽 =1
1.0+𝐾𝑐 (3.21)
cu:
𝐾𝑐 = 0.27 −휀1
휀0− 0.37
0.8
(3.22)
b) Relaţiile efort – deformaţii pentru beton la întindere
Înainte de fisurare betonului, datele experimentale permit folosirea unei relaţii liniar
elastice de tipul:
𝜎𝑐1 = 𝐸𝑐 ∙ 휀𝑐1 pentru 0 < 휀1 < 휀𝑡 (3.23)
unde:
휀𝑡 - deformaţia specifică la fisurare a betonului pentru încercări uniaxiale
În lipsa unor date experimentale, relaţiile recomandate de autorii MCFT pentru
rezistenţa la întidere 𝑓𝑡′ şi deformaţia specifică corespunzătoare sunt următoarele:
𝑓𝑡 = 0.33 𝑓𝑐 (3.24)
휀𝑡 =𝑓𝑡
𝐸𝑐 (3.25)
iar modul de elasticitate iniţial al betonului se poate calcula în funcţie de tipul de
curbă folosit pentru relaţiile între eforturile şi deformaţiile de compresiune după
cum urmează:
1. pentru curbe de tip Hognestad:
𝐸𝑐 =2𝑓𝑐
휀𝑐0 (3.26)
2. pentru curbe de tip Thornfeldt:
57
𝐸𝑐 = 3320 𝑓𝑐 + 6900 (3.27)
cu 𝑓𝑐 şi 𝐸𝑐 în MPa.
După fisurarea betonului, apariţia fenomenului de „tension stiffening” face necesară
evaluarea eforturilor care iau naştere în betonul dintre fisuri. Relaţia iniţială efort
unitar de întindere – deformaţie specifică după fisurare a fost dedusă în mod
experimental şi a fost pusă sub următoarea formă:
𝜎𝑐1 =𝑓𝑡
1+ 200휀𝑐1 pentru 휀𝑐1 > 휀𝑡 (3.28)
Ulterior, pentru a obţine o mai bună corelare între datele experimentale obţinute pe
panouri de dimensiuni mari şi cele teoretice, Collins şi Mitchell (Collins şi Mitchell,
1987) au propus o relaţie alternativă:
𝜎𝑐1 =𝑓𝑡
1+ 500휀𝑐1 pentru 휀𝑐1 > 휀𝑡 (3.29)
3.2.5. Condiţiile locale în dreptul fisurilor în MCFT
Aşa cum s-a precizat anterior, MCFT foloseşte eforturi medii de întindere în beton
şi armătură. În realitate, între două fisuri efortul din armătură scade, acesta fiind
transferat la beton prin eforturi tangenţiale de aderenţă. Având în vedere faptul că
efortul maxim din armătură în dreptul fisurilor nu poate depăşi valoarea de curgere,
efortul unitar mediu de întindere trebuie limitat. Presupunând o dispunere
ortogonală a armăturilor după direcţiile x şi y, limitarea efortului unitar mediu în
beton se poate exprima sub forma:
𝜎𝑐1 ≤ 𝜌𝑥 𝑓𝑦𝑥 − 𝜎𝑠𝑥 cos2 𝜃 + 𝜌𝑦 𝑓𝑦𝑦 − 𝜎𝑠𝑦 sin2 𝜃 (3.30)
unde 𝑓𝑦𝑥 şi 𝑓𝑦𝑦 sunt limitele de curgere ale armăturilor iar 𝜎𝑠𝑥 şi 𝜎𝑠𝑦 sunt eforturile
medii din armături între fisuri.
Pentru cazul general, când sunt mai multe armături care fac un unghi 𝛼𝑖 cu direcţia
x (figura 3.11), relaţia se poate pune sub forma:
𝜎𝑐1 ≤ 𝜌𝛼𝑖 𝑓𝑦𝛼𝑖 − 𝜎𝑠𝛼𝑖 cos2(𝜃 − 𝛼𝑖) 𝑛𝑖=1 (3.31)
58
Figura 3.11. Orientarea barei de armătură (cazul general)
Figura 3.12. Eforturi medii şi locale în fisură a) panou de beton armat fisurat; b) eforturi
medii între fisuri (armătură ortogonală); c) eforturi locale în fisuri (armătură ortogonală);
d) eforturi medii între fisuri (armătură pe o direcţie oarecare); e) eforturi locale în fisuri
(armătură pe o direcţie oarecare) (adaptat după Vecchio, 2000)
Eforturile în armături în dreptul fisurilor se pot determina din relaţia de echilibru pe
direcţia normală la fisură „1” (figura 3.12 b şi c):
y
x y
xy
x
xy x
xy
xy y
1
y y
x x y
xy y xy
x
xy
x
xy
c1
sy
sx
1 1
sycr
sxcr
ci
c c
2
2
1
1
y y
x x y
xy y xy
x
xy
x
xy
c1
1 1 scri
ci
c c
i i
si
a) b) c)
d) e)
𝜃
𝛼𝑖
59
𝜎𝑐1 = 𝜌𝑥 𝜎𝑠𝑥𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑥 cos𝜃 sin 𝜃 +
+𝜌𝑦 𝜎𝑠𝑦𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑦 cos(90 − 𝜃) sin(90 − 𝜃) (3.32)
unde 𝜎𝑠𝑥𝑐𝑟 şi 𝜎𝑠𝑥𝑐𝑟 sunt eforturile din armături în dreptul fisurilor.
În cazul general (figura 3.12 d şi e), pentru n armături care sunt orientate la un
unghi oarecare 𝛼𝑖 în raport cu direcţia x, relaţia 3.32 devine:
𝜎𝑐1 = 𝜌𝛼𝑖 𝜎𝑠𝑐𝑟𝛼𝑖 − 𝜎𝑠𝛼𝑖 cos2(𝜃 − 𝛼𝑖)𝑛𝑖=1 (3.33)
unde 𝜎𝑠𝑐𝑟𝛼𝑖 este efortul în armătura i în dreptul fisurii, iar 𝜎𝑠𝛼𝑖 este efortul mediu în
armătura i.
În lipsa unor astfel de eforturi tangenţiale în lungul fisurilor, considerând cele două
planuri din figura 3.12 a, eforturile medii din planul 1 şi cele din planul 2 trebuie să
producă acelaşi efort în direcţiile x şi y, condiţie care duce la următoarea relaţie:
𝜌𝑥 𝜎𝑠𝑐𝑟𝑥 − 𝜎𝑠𝑥 = 𝜌𝑦 𝜎𝑠𝑐𝑟𝑦 − 𝜎𝑠𝑦 = 𝜎𝑐1 (3.34)
În mod evident, dacă eforturile medii din armături sunt mari, condiţia de echilibru
de mai sus nu se poate respecta, rezolvarea propusă de Vecchio şi Collins fiind cea
de introducere a eforturilor tangenţiale în lungul fisurilor. Valoarea acestor eforturi
tangenţiale se deduce din ecuaţia de echilibru pe direcţia fisurii şi are expresia:
- în cazul cu armătură ortogonală:
τ𝑐𝑖 = 𝜌𝑥 𝜎𝑠𝑥𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑥 cos𝜃 sin𝜃 +
+𝜌𝑦 𝜎𝑠𝑦𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑦 cos(90 − 𝜃) sin(90 − 𝜃) (3.35)
- în cazul general:
τ𝑐𝑖 = 𝜌𝛼𝑖 𝜎𝑠𝑐𝑟𝛼𝑖 − 𝜎𝑠𝛼𝑖 cos(𝜃 − 𝛼𝑖)𝑛𝑖=1 sin(𝜃 − 𝛼𝑖) (3.36)
Aceste eforturi tangenţiale sunt limitate de capacitatea de transmitere prin
mecanismul de încleştare, valoarea efortului tangenţial maxim fiind cea propusă de
Walraven :
τ𝑐𝑖 ≤ τ𝑐𝑖 ,𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑐
0.31+24𝑤
𝑎+16
(3.37)
60
unde w este deschiderea fisurii, iar a este dimensiunea maximă a agregatului (figura
3.13).
Figura 3.13. Transmiterea eforturilor tangenţiale în fisuri prin mecanismul de încleştare
(Vecchio şi Collins, 1986)
Având în vedere că efortul tangenţial maxim este limitat, în cazul în care acesta
depăşeşte limita admisă ci , max, efortul mediu de întindere din beton trebuie redus
cu raportul ci,max/ci. Prin limitarea efortului mediu de întindere, relaţia efort-
deformaţie specifică pe direcţia principală de întindere prezintă trei domenii
distincte (figura 3.14): o zonă ascendentă de tip liniar până la fisurarea betonului, o
curba descendentă descrisă de ecuaţia 3.28 sau 3.29, şi o a doua curbă decendentă
datorată fie atingerii curgerii, fie limitării efortului tangenţial în fisură.
Figura 3.14. Relaţia efort – deformaţie specifică pentru betonul întins (Vecchio, 2000)
Determinarea deschiderii medii a fisurilor se poate exprima ca produsul dintre
deformaţia specifică medie de întindere a betonului şi distanţa medie între fisuri:
ft
c1
t y c1
61
𝑤 = 휀1 ∙ 𝑠𝑚𝜃 (3.38)
unde distanţa medie între fisuri este definită ca:
𝑠𝑚𝜃 =1
cos 𝜃
𝑠𝑚𝑥+
sin 𝜃
𝑠𝑚𝑦
(3.39)
Distanţele medii între fisuri pe direcţiile x şi y (figura 3.15) se pot determina în
funcţie de caracteristicile care influenţează aderenţa si modul de dispunere a
berelor, fiind egale cu distanţele între fisuri dacă panoul este supus la întindere pe
direcţia x, respectiv pe directia y.
Figura 3.15. Distanţele medii între fisuri (Kaufmann şi Marti, 1998)
3.3. Formularea Teoriei Câmpului de Compresiune Perturbat
(Vecchio 2000)
Această teorie a fost propusă (Vecchio, 2000) ca o extindere a MCFT. Compararea
rezultatelor experimentale cu cele obţinute folosind MCFT a arătat că această teorie
nu dă rezultate bune în următoarele cazuri:
1. la panourile armate puternic supuse la compresiune şi forfecare, MCFT
subestimează atât rezistenţa la forţă tăietoare cât şi rigiditatea (figura
3.16 a);
2. la panouri slab armate, MCFT supraestimează atât rezistenţa la forţă
tăietoare cât şi rigiditatea (figura 3.16 b).
y
x
1
2
c
smy
smy
sm
62
Figura 3.16. Predicţii MCFT şi rezultate experimentale pentru două panouri de beton
armat: a) Panou puternic armat (PV23); b) panou slab armat (PB20) (Vecchio, 2000)
Mai mult, s-a observat experimental că în anumite cazuri există un decalaj între
direcţiile principale ale eforturilor şi cele ale deformaţiilor. Având în vedere că
MCFT impune condiţia ca aceste direcţii să fie identice, eliminarea acestei restricţii
în DSFT s-a făcut prin includerea explicită a deformaţiilor de lunecare în fisuri în
condiţiile cinematice. Prin includerea acestor deformaţii de lunecare în fisuri, a fost
posibilă şi eliminarea limitării efortului tangenţial în fisuri (relaţia 3.37).
În ceea ce urmează vor fi prezentate, ca şi în cazul MCFT, setul de relaţii care
alcătuiesc DSFT: condiţiile de compatibilitate, de echilibru şi legile constitutive ale
materialelor.
3.3.1. Relaţiile de compatibilitate în DSFM
Pentru condiţiile de compatibilitate, ipoteza principală constă în separarea
deformaţiilor totale (sau aparente) în două componente: componenta care se
datorează deformaţiilor din beton, ca material contiunu, şi componenta dată de
lunecările din fisuri. Eforturile din beton sunt cauzate doar de prima componentă.
Prin urmare pentru a lua în considerare acest fenomen, în DSFM deformaţiile totale
휀𝑥 , 휀𝑦 şi 𝛾𝑥𝑦 sunt descompuse în deformaţiile betonului 휀𝑐𝑥 , 휀𝑐𝑦 şi 𝛾𝑐𝑥𝑦 şi cele de
lunecare 휀𝑥𝑠 , 휀𝑦
𝑠 şi 𝛾𝑥𝑦𝑠 :
휀𝑥 = 휀𝑐𝑥 + 휀𝑥𝑠 (3.40)
휀𝑦 = 휀𝑐𝑦 + 휀𝑦𝑠 (3.41)
𝛾𝑥𝑦 = 𝛾𝑐𝑥 + 𝛾𝑥𝑦𝑠 (3.42)
Deformaţie tangenţială (x10-3) Deformaţie tangenţială (x10-
3)
Efo
rt t
angen
ţial
(M
pa)
Efo
rt t
angen
ţial
(M
pa)
a) b)
63
Folosind cercul lui Mohr se pot determina deformaţiile specifice în cele două
direcţii principale şi direcţia eforturilor de întindere principale:
휀1 =휀𝑐𝑥 +휀𝑐𝑦
2+
1
2 휀𝑐𝑥 + 휀𝑐𝑦
2+ 𝛾𝑥𝑦
2 (3.43)
휀2 =휀𝑐𝑥 +휀𝑐𝑦
2−
1
2 휀𝑐𝑥 + 휀𝑐𝑦
2+ 𝛾𝑥𝑦
2 (3.44)
𝜃 = 𝜃𝜎 =1
2tan
𝛾𝑐𝑥𝑦
휀𝑐𝑥−휀𝑐𝑦 (3.45)
Deformaţiile datorate lunecării se determină folosind deformaţia medie de lunecare
în fisuri (figura 3.17), definită ca:
𝛾𝑠 =𝛿𝑠
𝑠𝑚𝜃 (3.46)
unde 𝑠𝑚𝜃 este distanţa medie între fisuri determinată conform relaţiei 3.39.
Figura 3.17. Deformaţiile datorate lunecărilor în fisuri (Vecchio, 2000)
Deformaţia medie de lunecare în fisuri se poate calcula folosind expresia lui
Walraven (Walraven 1981):
𝛿𝑠 =τ𝑐𝑖
1.8∙𝑤−0.8 +(0.234∙𝑤−0.707−0.20)∙𝑓𝑐𝑐 (3.47)
s
δs
w
x
y
θ
64
unde τ𝑐𝑖 este efortul tangenţial în fisură, definit conform relaţiei 3.35, w este
dechiderea medie a fisurii, iar 𝑓𝑐𝑐 este rezistenţa la compresiune pe cub calculată ca
𝑓𝑐𝑐 = 1.2𝑓𝑐 .
Cunoscând deformaţia medie de lunecare în fisuri, se pot evalua deformaţiile
datorate lunecării:
휀𝑥𝑠 = −
𝛾𝑠
2sin 2𝜃 (3.48)
휀𝑦𝑠 =
𝛾𝑠
2sin 2𝜃 (3.49)
𝛾𝑥𝑦𝑠 = 𝛾𝑠 cos 2𝜃 (3.50)
Direcţia deformaţiilor principale de întindere se poate determina folosind cercul lui
Mohr aplicat deformaţiilor totale:
𝜃휀 =1
2tan
𝛾𝑥𝑦
휀𝑥−휀𝑦 (3.51)
Deşi DSFM poate să ţină cont de un număr oarecare de armături, în formularea
originală s-a considerat doar cazul cel mai întâlnit, cel cu armare ortogonală paralelă
cu laturile elementului. Pentru acest caz, spre deosebire de MCFT, în DSFM
deformaţiile specifice ale armăturilor 휀𝑠𝑥 şi 휀𝑠𝑦 nu mai sunt egale cu deformaţiile
betonului 휀𝑐𝑥 şi 휀𝑐𝑦 , ci cu cele totale:
휀𝑠𝑥 = 휀𝑥 (3.52)
휀𝑠𝑦 = 휀𝑦 (3.53)
unde 휀𝑥 şi 휀𝑦 sunt deformaţiile totale.
În cazul general deformaţiile armăturilor se pot determina cu relaţia:
휀𝑠𝑖 =휀𝑥+휀𝑦
2+
휀𝑥−휀𝑦
2cos 2𝛼𝑖 +
𝛾𝑥𝑦
2sin 2𝛼𝑖 (3.54)
3.3.2. Relaţiile de echilibru în DSFM
Ca şi în MCFT, relaţiile de echilibru se scriu sub forma:
𝜎𝑥 = 𝜎𝑐𝑥 + 𝜌𝑥𝜎𝑠𝑥 (3.55)
65
𝜎𝑦 = 𝜎𝑐𝑦 + 𝜌𝑦𝜎𝑠𝑦 (3.56)
𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑐𝑥𝑦 (3.57)
Iar din cercul lui Mohr se pot determina eforturile medii în beton:
𝜎𝑐𝑥 = 𝜎𝑐1 − τ𝑐𝑥𝑦 cot 90 − 𝜃 (3.58)
𝜎𝑐𝑦 = 𝜎𝑐2 − τ𝑐𝑥𝑦 tan 90 − 𝜃 (3.59)
3.3.3. Legile constitutive ale materialelor în DSFM
Pentru oţel legile folosite în cadrul MCFT au fost păstrate, dar pentru beton acestea
au fost modificate pentru a ţine seama de scăderea de rigiditate datorată introducerii
deformaţiilor de lunecare din fisuri.
a) Relaţiile efort – deformaţii pentru beton la compresiune
Având în vedere reducerea de rigiditate menţionată anterior, factorii care introduc
efectul de «compression softening» au fost revizuiţi în cadrul DSFM. Astfel pentru
modelul A propus de Vecchio şi Collins în 1993 coeficientul se calculează după
cum urmează:
𝛽 =1
1+𝐶𝑠∙𝐶𝑑≤ 1.0 (3.60)
Coeficientul 𝐶𝑑 ţine cont de raportul 휀𝑐2/휀𝑐1 şi, funcţie de nivelul de acurateţe dorit,
s-au propus două relaţii. Prima relaţie presupune calcule iterative şi este
recomandată pentru implementarea în programele de element finit:
𝐶𝑑 = 0.35 ∙ −휀𝑐2
휀𝑐1− 0.28
0.8
(3.61)
A doua fiind o variantă simplificată pentru calcule manuale:
𝐶𝑑 = 0.27(−휀𝑐2
휀𝑐0− 0.37) (3.62)
66
Coeficientul 𝐶𝑠 care introduce efectul lunecărilor din fisuri, considerat egal cu 1.00
în MCFT, a fost redus la valoarea de 0.55, deoarece DSFM acest efect este
determinat în mod explicit.
Spre deosebire de MCFT, în DSFM atât efortul unitar cât şi deformaţiile specifice
sunt reduse cu coficientul (relaţiile 3.11).
b) Relaţiile efort – deformaţii pentru beton la întindere
În cazul întinderii, relaţia liniară între eforturi şi deformaţii se păstrează (relaţia
2.23), dar expresia rezistenţei la întindere se modifică:
𝑓𝑡 = 0.65 𝑓𝑐 0.33 (3.63)
După fisurare, betonul poate să preia eforturi de întindere prin două mecanisme
independente: „tension softening” şi „tension stiffening”.
Bazându-se pe mecanismul de rupere descris de Darwin et al., efortul de întindere
din beton datorat efectului de „tension softening” se poate determina pe baza
deformaţiei ultime la întindere 휀𝑡𝑠 (figura 3.18):
𝜎𝑐1𝑎 = 𝑓𝑡(1 −
휀𝑐1−휀𝑐𝑟
휀𝑡𝑠−휀𝑐𝑟) (3.64)
cu:
휀𝑡𝑠 = 2.0𝐺𝑓
𝑓𝑡 ∙𝐿𝑟 (3.65)
Unde 𝐺𝑓 este energia de rupere considerată egală cu 75N/m, indiferent de clasa
betonului, iar 𝐿𝑟 este lungimea caracteristică.
Figura 3.18. Legea constitutivă pentru modelul de „tension softening” (Vecchio, 2000)
𝑓𝑡′
𝜎𝑐1𝑎
cr ts c1
67
Pentru mecanismul de „tension stiffening” relaţiile propuse iniţial în MCFT au fost
modificate plecând de la observaţiile lui Bentz (Bentz, 2000), care a demonstrat că
efectul de „tension stiffening” depinde de coeficienţii de armare şi de diametrul
barelor. Relaţiile propuse de Bentz au fost modificate pentru cazul general cu n
armături, iar efortul de întindere din beton datorat mecanismului de „tension
stiffening” se poate evalua cu următoarea expresie:
𝜎𝑐1𝑏 =
1
1+ 𝑐𝑡 ∙휀𝑐1 (3.66)
cu:
𝑐𝑡 = 2.2 𝑚 (3.67)
1
𝑚=
4𝜌𝑖
𝑑𝑏𝑖∙ cos𝜃𝑛𝑖
𝑛𝑖=1 (3.68)
𝜌𝑖 - coeficientul de armare pentru armătura i
𝑑𝑏𝑖 - diametrul armăturii i
𝜃𝑛𝑖 = 𝜃 − 𝛼𝑖 - unghiul pe care îl face armatura i cu direcţia 1
Valoarea efortului mediu de întindere s-a considerat ca maximul între valorile
furnizate de cele două mecanisme descrise anterior.
𝜎𝑐1 = max(𝜎𝑐1𝑎 ;𝜎𝑐1
𝑏 ) (3.69)
3.3.4. Condiţiile locale în dreptul fisurilor în DSFM
Ca şi în cazul MCFT, limitarea efortului mediu de întindere din beton trebuie
îndeplinită, relaţia 3.30 rămânâd valabilă. Efortul din armături în dreptul fisurilor se
determină din ecuaţia de echilibru pe direcţie normală fisurii (relaţia 3.34 sau 3.35).
În ceea ce priveşte eforturile tangenţiale de lunecare din fisuri, acestea se evaluează
la fel ca în MCFT (relaţia 3.34 sau 3.35) dar limitarea acestora la un efort tangenţial
maxim nu mai este necesară datorită includerii explicite a deformaţiilor de lunecare.
3.4. Dimensionarea elementelor la forţă tăietoare folosind MCFT
Aplicarea directă a MCFT la dimensionarea elementelor de beton armat este dificilă
datorită calculelor iterative care sunt necesare pentru determinarea stării de eforturi.
68
Pentru folosirea metodei Collins et al. (1996) au propus o variantă simplificată a
MCFT care impune următoarele două ipoteze simplificatoare:
1. Distribuţia eforturilor tangenţiale pe secţiunea activă 𝑏v𝑑v la forţă
tăietoare este constantă;
2. Deformaţia specifică logitudinală 휀𝑥 necesară determinării deformaţiei de
principale de întindere 휀1 se consideră egală cu deformaţia specifică
logitudinală maximă (figura 3.19).
휀𝑥 =
𝑀𝑢𝑑v
+0.5𝑁𝑢+0.5𝑉𝑢 cot 𝜃
𝐸𝑠𝐴𝑠 (3.70)
Figura 3.19. Efectul momentului, forţei tăietoare şi a forţei axiale asupra deformaţiei
specifice longitudinale (Vecchio şi Collins, 1988)
Folosind cele două ipoteze se poate deduce expresia forţei tăietoare:
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 = 𝜎1𝑏v𝑑v cot𝜃 +𝐴v 𝑓𝑠𝑦
𝑠 𝑑v cot𝜃 (3.71)
care se pune sub forma:
𝑉𝑛 = 𝛽 𝑓𝑐𝑏v𝑑v +𝐴v 𝑓𝑦
𝑠 𝑑v cot𝜃 (3.72)
Mu
As
𝑇 = 𝑀𝑢 𝑑𝑣
C
Moment
휀𝑥 =𝑀𝑢 𝑑𝑣
𝐸𝑠𝐴𝑠
Vu
0.5𝑁𝑣 = 0.5𝑉𝑢 cot𝜃
0.5𝑁𝑣
Forţă tăietoare
휀𝑥 =0.5𝑉𝑢 cot𝜃
𝐸𝑠𝐴𝑠
0.5Nu
0.5Nu
Nu
Forţă axială
휀𝑥 =0.5𝑁𝑢𝐸𝑠𝐴𝑠
69
unde factorul 𝛽, denumit factor al eforturilor de întindere, se poate determina din
relaţiile 3.29 şi 3.33:
𝛽 =0.33
1+ 500휀1 ≤
0.18
0.3+24𝑤
𝑎+16
(3.73)
Pentru dimensionarea etrierilor cu relaţia 3.70, valorile lui 𝛽 şi 𝜃 trebui determinate
în prealabil. Folosind presupunerea că efortul de compresiune 𝑓2 se poate detemina
în mod acoperitor în funcţie de efortul tangenţial mediu (relaţia 3.73) iar din relaţiile
de compatibilitate şi modelul de „compression softening” se poate exprima
deformaţia de întindere pe direcţia principală în funcţie de unghiul de înclinare al
fisurilor şi efortul tangenţial mediu (relaţia 3.75) s-au dedus valori acoperitoare
pentru 𝜃𝑐 şi 𝛽.
𝑓2 = 𝜈 tan 𝜃𝑐 + cot𝜃𝑐 (3.74)
cu
𝜈 =𝑉𝑛
𝑏v𝑑v (3.75)
휀1 = 휀𝑥 +
+ 휀𝑥 + 0.002 1 − 1 −𝜈
𝑓𝑐′ tan 𝜃𝑐 + cot𝜃𝑐 0.8 + 170휀1 cot2 𝜃𝑐 (3.76)
Acestea au fost sintetizate în formă tabelară, atât pentru grinzi cu armătură
transversală cât şi pentru cele fără armătură transversală, în funcţie de deformaţia
longitudinală maximă 휀𝑥 şi efortul tangenţial mediu, normalizat 𝜈/𝑓𝑐 . Algoritmul de
dimensionare presupune următoarele etape:
1. Calculul deformaţiei specifice logitudinale 휀𝑥 ;
2. Determinarea lui 𝜃𝑐 şi 𝛽 în funcţie de 휀𝑥 şi 𝜈/𝑓𝑐 ;
3. Determinarea armăturii transversale din relaţia 3.69.
O versiune îmbunătăţită a acestei metode simplificate a fost propusă de Bentz et al.
(Bentz et al., 2006) şi inclusă în codul canadian CSA 23.3-04 şi în Model Code
2010.
Spre deosebire de varianta iniţială pentru determinarea deformaţiei specifice de
întindere 휀1, se foloseşte deformaţia longitudinală medie (figura 3.21). Pentru
70
calculul deformaţiei specifice medii pe secţiune 휀𝑥 , o primă simplificare constă în
folosirea unui unghi 𝜃 = 30°, ceea ce duce la următoare expresie:
휀𝑥 =
𝑀𝑢𝑑v
+0.5𝑁𝑢+𝑉𝑢
2𝐸𝑠𝐴𝑠 (3.77)
Ecuaţia 3.75 presupune că secţiunea este fisurată, dar în anumite cazuri (forţă axială
de compresiune mare, forţe de precomprimare) aplicarea acesteia poate duce la
valori negative. În acest caz secţiunea se consideră nefisurată şi fie se poate
presupune în mod acoperitor că 휀𝑥 = 0 sau se recalculează 휀𝑥 considerând şi
rigiditatea la forţă axială a betonului din zona întinsă:
휀𝑥 =
𝑀𝑢𝑑v
+0.5𝑁𝑢+𝑉𝑢
2(𝐸𝑠𝐴𝑠+𝐸𝑐𝐴𝑐𝑡 ) (3.78)
Figura 3.20. Determinarea deformaţiei specifice longitudinale (CSA23.3-04)
Determinarea parametrului 𝛽 şi a unghiului 𝜃 se face în mod direct din deformaţia
specifică longitudinală medie şi o distanţă echivalentă medie între fisuri care are
valoarea 𝑠𝑧𝑒 = 300 mm.
𝛽 =0.4
1+1500휀𝑥
1300
1000+𝑠𝑧𝑒 (3.79)
𝜃 = 29 + 7000휀𝑥 (3.80)
În expresia lui 𝛽, raportul 1300/(1000 + 𝑠𝑧𝑒 ) include influenţa „efectului de
scară „ care, aşa cum a fost determinat şi experimental, presupune că cedarea
grinzilor cu înălţime mare se face la un efort tangenţial mediu mai mic decât la
grinzile cu înălţime mică şi acelaşi procent de armare longitudinală. Raportul
0.4/(1 + 1500휀𝑥 ) ţine cont de „efectul deformaţiei longitudinale” asupra
capacităţii betonului de a prelua forţa tăietoare, creşterea deformaţiei specifice
x
0.5h
0.5h
dv
Act
As
bv
71
orizontale ducând la diminuarea efortului principal de întindere în beton. Deşi cele
două efecte sunt interdependente, autorii metodei au preferat simplificarea metodei
prin introducerea separată a acestora.
3.5. Observaţii privind eforturi tangenţiale în lungul fisurilor
Una aspect criticabil al MCFT constă în presupunerea unor eforturi tangenţiale în
lungul fisurilor. Această ipoteză, introdusă pentru a explica creşterea eforturilor din
armături în dreptul fisurilor, are o explicaţie fizică evidentă, dar contrazice ipoteza
direcţiilor principale aliniate cu direcţiile fisurii. Cauza nerespectării condiţiilor de
echilibru în cazul absenţei eforturilor tangenţiale în fisuri (ecuaţia 3.34) constă în
faptul că eforturile medii din armături se calculează folosind relaţiile efort unitar –
deformaţii specifice pentru oţel simplu, fară considerarea eforturilor de aderenţă
care apar în lungul barelor între fisuri.
O primă încercare de a remedia acest neajuns a fost făcut de Stevens et al. (Stevens
et al., 1991), acesta propunând reducerea efortului din armături prin modificarea
legii constitutive a oţelului simplu aşa cum este arătat în figura 3.21.
Figura 3.21. Modelul Stevens pentru bare înglobate în beton (Stevens et al, 1991)
O soluţie alternativă pentru remedierea acestui neajuns a fost propusă şi de Belarbi
şi Hsu în cadrul RASTM (Belarbi şi Hsu, 1994) prin modificarea legilor constitutive
pentru armături pornind de rezultate experimentale. În locul folosirii unei relaţii
Es 1
Ep 1
2∆𝜎𝑦𝑐𝑟 1 − 𝑒−𝐸𝑠−𝐸𝑝2∆𝜎𝑦𝑐𝑟
∙ 휀𝑠−휀𝑠0
s0 s
fy-3 ycr
fy
s
-(fy-3 ycr)
-fy
∆𝜎𝑦𝑐𝑟 =75
𝑑𝑏𝑓𝑐𝑟
72
triliniare pentru oţelul simplu, autorii RASTM au folosit o relaţie biliniară (figura
3.22) care să ţină cont de efectul eforturilor de aderenţă, legea fiind în fapt o relaţie
aproximativă între eforturile şi deformaţiile medii ale barelor de oţel înglobate în
beton:
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠휀𝑠 pentru 휀𝑠 ≤ 휀𝑦′ (3.81)
𝜎𝑠 = 0.91 − 2𝐵 𝑓𝑦 + (0.02 + 0.25𝐵) 𝐸𝑠휀𝑠 pentru 휀𝑠 > 휀𝑦′ (3.82)
cu
𝐵 =1
𝜌 𝑓𝑐𝑟
𝑓𝑦
1.5
(3.83)
𝑓𝑦′ = 0.93 − 2𝐵 𝑓𝑦 (3.84)
휀𝑦′ =
𝑓𝑦′
𝐸𝑠 (3.85)
Prin utilizarea acestei legi constitutive, în cadrul RASTM eforturile tangenţiale în
dreptul fisurilor se pot neglija, iar limitarea eforturilor medii de întindere după
direcţia principală nu mai este este necesară.
Figura 3.22. Modelul Belarbi – Hsu pentru bare inglobate în beton (Belarbi şi Hsu, 1994)
În acelaşi scop, Kaufmann (Kaufmann, 1998) a folosit ideea propusă de Belarbi, dar
modul de abordare este mult mai coerent din punct de vedere teoretic. Ideea de bază
folosită de Kaufman reprezintă de fapt explicaţia fenomenului de „tension
stiffening”. Plecând de la faptul că, în faza de fisurare stabilizată, efortul maxim în
beton nu poate depăşi rezistenţa betonului la întindere, dacă se cunoaşte distribuţia
휀𝑦′
휀𝑦 휀𝑠
𝑓𝑦
𝑓𝑦′
𝜎𝑠
휀𝑠
modelul Belarbi-Hsu
Model triliniar
experimental
73
eforturilor de aderenţă în lungul barei şi distanţa între fisuri, se poate determina
distribuţia eforturilor din armătură şi din beton. Determinarea acestora se face
rezolvând ecuaţiile diferenţiale de echilibru, punând condiţiile la limită. În faza de
fisurare stabilizată, pentru un tirant de beton armat solicitat la întindere şi
considerând o conlucrare perfectă între beton şi armătură, condiţiile la limită
constau în faptul că, din motive de simetrie, efortul de aderenţă se anulează la
jumătatea distanţei între fisuri şi nu există deformaţii relative între beton şi
armătură. Totuşi, datorită faptului că expresiile eforturilor de aderenţă propuse de
diverşi cercetători fac imposibil de rezolvat analitic ecuaţiile diferenţiale de
echilibru, se preferă adoptarea unor distribuţii simplificate a eforturilor de aderenţă,
tehnică utilizată şi de Kaufmann. Acesta a utilizat un model numit Modelul
tirantului care presupune o relaţie biliniară cu consolidare pentru oţel şi o distribuţie
în trepte a eforturilor de aderenţă între două fisuri aşa cum este indicat în figura
3.23. Efortul maxim de aderenţă 𝜏𝑏0 este egal cu 2𝑓𝑡′ iar efortul minim de aderenţă
𝜏𝑏1 este egal cu 𝑓𝑡′ , amândouă fiind distribuite pe distanţe egale cu 𝑠𝑟𝑚 /4, unde 𝑠𝑟𝑚
este distanţa medie între fisuri.
Figura 3.23. Modelul Tirantului a) legea constitutivă a oţelului; b) distribuţia eforturilor de
aderenţă şi de întindere din armătură şi beton (Kaufmann, 1998)
𝜏𝑏0 𝜏𝑏1
𝜏𝑏
𝜎𝑠
𝜎𝑠𝑐𝑟
𝜎𝑐1
𝜆𝑓𝑡′
𝑠𝑚
𝑁
𝐸𝑠
𝐸𝑠
1
1
𝑓𝑠𝑢
𝑓𝑠𝑦
휀𝑠𝑦 휀𝑠𝑢
𝜎𝑠
𝜎𝑠𝑚𝑖𝑛
b) a)
74
Folosind acest model, Kaufmann a dedus următoarele expresii pentru eforturile din
armături în dreptul fisurilor. În cazul în care efortul maxim din armătură este
inferior limitei de elasticitate a oţelului, atunci distribuţia eforturilor de aderenţă se
consideră constantă (𝜏𝑏 = 𝜏𝑏0):
𝜎𝑠𝑐𝑟 = 𝐸𝑠휀𝑠𝑚 +𝜏𝑏0𝑠𝑟𝑚
𝜙 (3.86)
𝜎𝑠𝑚 = 𝐸𝑠휀𝑠𝑚 (3.87)
𝜎𝑐𝑚 =𝜏𝑏0𝑠𝑟𝑚
𝜙
𝜌
1−𝜌 (3.88)
În cazul în care pe o anumită lungime armătura dintre fisuri ajunge la curgere,
eforturile devin:
𝜎𝑠𝑐𝑟 = 𝑓𝑠𝑦 + 2
𝜏𝑏0𝑠𝑟𝑚𝜙
− 𝐴
𝜏𝑏0𝜏𝑏1
−𝐸𝑠𝐸𝑠
(3.89)
cu:
𝐴 = 𝑓𝑠𝑦 − 𝐸𝑠휀𝑚 𝜏𝑏1𝑠𝑟𝑚
𝜙 𝜏𝑏0
𝜏𝑏1−
𝐸𝑠
𝐸𝑠 +
𝐸𝑠
𝐸𝑠𝜏𝑏0𝜏𝑏1
𝑠𝑟𝑚2
𝜙2 (3.90)
𝜎𝑠𝑚 = 𝑓𝑠𝑦 − 𝜎𝑠𝑐𝑟 −𝑓𝑠𝑦
2𝜙
4𝜏𝑏1𝑠𝑟𝑚 𝜏𝑏1
𝜏𝑏0− 1 + 𝜎𝑠𝑐𝑟 − 𝑓𝑠𝑦
𝜏𝑏0
𝜏𝑏1−
𝜏𝑏0𝑠𝑟𝑚
𝜙 (3.91)
𝜎𝑐𝑚 = 𝜎𝑠𝑐𝑟 − 𝜎𝑠𝑚 𝜌
1−𝜌 (3.92)
Atunci când pe distanţa între două fisuri armătura a ajuns la curgere pe toată
lungimea ei, eforturile devin:
𝜎𝑠𝑐𝑟 = 𝑓𝑠𝑦 + 𝐸𝑠 휀𝑚 −𝑓𝑠𝑦
𝐸𝑠 +
𝜏𝑏1𝑠𝑟𝑚
𝜙 (3.93)
𝜎𝑠𝑚 = 𝑓𝑠𝑦 + 𝐸𝑠 휀𝑚 −𝑓𝑠𝑦
𝐸𝑠 (3.94)
𝜎𝑐𝑚 =𝜏𝑏1𝑠𝑟𝑚
𝜙
𝜌
1−𝜌 (3.95)
În expresiile de mai sus 휀𝑚 reprezintă deformaţia specifică medie. Explicaţia lui
Kaufmann referitoare la alegerea exprimării lui 𝜎𝑠𝑐𝑟 în funcţie de 휀𝑚 constă în
75
faptul că de efortul maxim din armătură depinde rezistenţa tirantului, iar de
deformaţiile medii depind verificările legate de deschiderea fisurilor şi deformaţiile
elementelor de beton armat la starea limită de serviciu.
Modele prezentate anterior simplifică aplicarea MCFT şi au un avantaj major în
cazul implementării lor în programele de element finit. Acesta constă în eliminarea
verificărilor privind limitarea efortului de întindere din beton şi, mai mult, elimină
necesitatea determinării şi verificării eforturilor tangenţiale. Aşa cum s-a precizat
anterior, introducerea eforturilor tangenţiale a fost un artificiu care permite
determinarea eforturilor în armături în dreptul fisurilor dar implică o inconsecvenţă
teoretică (direcţia eforturilor principale coincide cu direcţia deformaţiilor
principale). Deşi MCFT permite obţinerea unor rezultate teoretice foarte apropiate
de cele experimentale, ipoteza transferării unei părţi semnificative din forţa tăietoare
printr-un mecanism de încleştare a agregatelor nu este specifică teoriilor de fisurare
distribuită cu unghi variabil, această ipoteză fiind în general folosită în cazul celor
cu unghi fix.
3.6. Varianta simplificată a MCFT folosită în această lucrare
În prezenta lucrare s-au eliminat verificările legate de eforturile de întindere din
beton şi de eforturile tangenţiale care apar în lungul fisurilor pentru oţel folosindu-
se legea propusă de Belarbi şi Hsu.
Folosind un program de calcul dezvoltat de autor conform principiilor descrise în
capitolul patru s-au comparat rezultatele obţinute experimental cu cele determinate
analitic. În program au fost implementate MCTF aşa cum a fost formulată de
Vecchio şi Collins cât şi metoda simplificată menţionată anterior.
O primă verificare a rezultatelor obţinute pe cale analitică a constat în compararea
curbelor deformaţie – efort tangenţial şi a deformaţiile specifice pe direcţiile x, y şi
2 (direcţia axei principale de compresiune) cu cele obţiunte pentru un panou
experimental testat de Vecchio şi Collins (Vecchio şi Collins, 1986). În figura 3.24
sunt trasate curbele deformaţie – efort tangenţial care pun în evidenţă un faptul că
atât MCFT cât şi varianta simplificată folosită în această teză subestimează
rezistenţa panoului PV23, care este un panou puternic armat. Se observă însă că
rezulatatele obţinute în acest caz cu cele două metode analitice sunt aproximativ
identice. În tabelul 3.1 se poate observa că deformaţiile după axele x şi y obţinute
experimental sunt diferite, chiar dacă raportul încărcărilor (𝜏𝑥𝑦 : 𝜎𝑥 :𝜎𝑥 =
1.00:−0.39:−0.39) folosit la testare ar conduce în celor două metode la valori
76
egale. Acest lucru reprezintă o dovadă experimentală a faptului că în realitate
direcţiile principale ale deformaţiilor specifice şi cele ale eforturilor nu coincid.
Tabelul 3.1 Deformaţii specifice pentru panoul PV23
휀𝑥 (‰) 휀𝑦 (‰) 휀𝑐2 (‰)
Experimental 0.93 1.13 2.66
MCFT 1.068 1.068 2.58
MCFT
simplificat 1.055 1.055 2.303
Figura 3.24. Relaţiile 𝝉𝒙𝒚 − 𝜸𝒙𝒚 obţinute experimental şi analitic pentru panoul PV23
Verificările suplimentare s-au realizat folosind rezultatele experimentale obţinute de
Vecchio şi Collins pe o serie de panouri cu armătura dispusă paralel cu laturile
acestora. În tabelul 3.2 sunt date caracteristicile panourilor – procente de armare,
rezistenţele materialelor – şi raportul încărcărilor.
Comparaţiile între rezulatele obţinute experimental şi cele obţinute analitic sunt date
în tabelul 3.3. Se poate observa din acest tabel că rezulatele obţinute pe cale
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8
Efo
rt tan
gen
tial
xy
(MP
a)
Deformatie tangentiala xy (‰)
Exp.
MCFT simplif.
MCFT - Vecchio
77
analitică sunt apropiate de cele experimentale. În general apar diferenţe mai mari în
cazul panourilor la care cedarea s-a datorat anumitor defecte (panourile PV9 şi
PV25) sau cedării prinderilor (PV1, PV5, PV7, PV8, PV14, PV19 şi PV24).
De asemenea, se observă că rezultatele obţinute cu cele două metode analitice sunt
apropiate, rezistenţele obţinute cu MCFT fiind în general mai mari.
Tabelul 3.2. Caracteristicile panourilor încercate de Vecchio şi Collins
Panou
Raportul
încărcărilor
(xy:x:y)
Armare
direcţia X Armare direcţia Y
x fy,x y fy,y
PV1 1:0:0 0.0179 483 0.0168 483
PV3 1:0:0 0.0048 662 0.0048 662
PV4 1:0:0 0.0106 242 0.0106 242
PV5 1:0:0 0.0074 621 0.0074 621
PV6 1:0:0 0.0179 266 0.0179 266
PV7 1:0:0 0.0179 453 0.0179 453
PV8 1:0:0 0.0262 462 0.0179 462
PV9 1:0:0 0.0179 455 0.0179 455
PV10 1:0:0 0.0179 276 0.01 276
PV11 1:0:0 0.0179 235 0.0131 235
PV12 1:0:0 0.0179 469 0.0045 269
PV14 1:0:0 0.0179 455 0.0179 455
PV16 1:0:0 0.0074 255 0.0074 255
PV18 1:0:0 0.0179 431 0.0032 412
PV19 1:0:0 0.0179 458 0.0071 299
PV20 1:0:0 0.0179 460 0.0089 297
PV21 1:0:0 0.0179 458 0.013 302
PV22 1:0:0 0.0179 458 0.0152 420
PV23 1:-0.39:-0.39 0.0179 518 0.0179 518
PV24 1:-0.83:-0.83 0.0179 492 0.0179 492
PV25 1:-0.69:-0.69 0.0179 466 0.0179 466
78
Tabelul 3.3 Rezultate exeprimentale şi analitice
Panou 𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑒𝑥𝑝
𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇
𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇 ,𝑆𝑖𝑚𝑝
𝜏𝑥𝑦 ,𝑢𝑒𝑥𝑝
𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇
𝜏𝑥𝑦 ,𝑢𝑒𝑥𝑝
𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇 ,𝑠𝑖𝑚𝑝
𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇
𝜏𝑥𝑦 ,𝑢 ,𝑀𝐶𝐹𝑇 ,𝑠𝑖𝑚𝑝
(Mpa) (Mpa) (Mpa)
PV1 8.02 8.36 8.01 0.959 1.001 1.044
PV3 3.07 3.16 3.01 0.972 1.020 1.050
PV4 2.89 2.66 2.9 1.086 0.997 0.917
PV5 4.24 4.59 4.2 0.924 1.010 1.093
PV6 4.55 4.76 4.3 0.956 1.058 1.107
PV7 6.81 8.09 7.5 0.842 0.908 1.079
PV8 6.67 8.45 8.39 0.789 0.795 1.007
PV9 3.74 4.29 4.3 0.872 0.870 0.998
PV10 3.97 3.76 3.56 1.056 1.115 1.056
PV11 3.56 3.62 3.5 0.983 1.017 1.034
PV12 3.13 2.68 3.1 1.168 1.010 0.865
PV14 5.24 6.24 6.2 0.840 0.845 1.006
PV16 2.14 1.88 2.4 1.138 0.892 0.783
PV18 3.04 2.91 2.8 1.045 1.086 1.039
PV19 3.95 3.75 3.7 1.053 1.068 1.014
PV20 4.26 4.23 4.1 1.007 1.039 1.032
PV21 5.03 5.13 4.9 0.981 1.027 1.047
PV22 6.07 5.87 5.9 1.034 1.029 0.995
PV23 8.87 7.75 7.9 1.145 1.123 0.981
PV24 7.94 9.05 8.9 0.877 0.892 1.017
PV25 9.12 8.63 8.3 1.057 1.099 1.040
Valoare medie 0.990 0.995 1.010
Abaterea medie standard 0.106 0.093 0.075
3.7. Observaţii şi concluzii
În acest capitol au fost prezentate cele două teorii bazate pe fisurarea distribuită
dezvoltate de Vecchio, fiind prezentate atât ipotezele folosite pentru relaţiile de
compatibilitate şi echilibru împreună cu legile constitutive ale materialelor folosite
pentru aceste două terorii, cât şi modul de folosire al acestor teorii în dimensionarea
la forţă tăietoare a elementelor de beton armat.
Deşi MCFT a fost prima teorie care a introdus conceptul de „tension stiffening”
pentru analizarea elementelor de tip membrană supuse la forfecare, folosirea
relaţiei constitutive a oţelului simplu pentru eforturile medii din armătura distribuită
a necesitat introducerea unor verificări suplimentare a eforurilor în dreptul fisurilor
şi introducerea unor eforturi de forfecare în lungul acestora. Eforturile de forfecare
79
din lungul fisurilor justifică, conform MCFT, forţa tăietoare preluată de beton însă
prezenţa lor este contrară ipozelor folosite.
Pentru a evita acest neajuns în prezenta lucrare s-a folosit o abordare mai simplă, în
care s-au eliminat verificările eforturilor în dreptul fisurilor şi prezenţa eforturilor de
forfecare în lungul acestora. Spre deosebire de MCFT, pentru a include efectul de
„tension stiffening”, legea constitutivă folosită pentru armătura distribuită este cea
propusă de Belarbi şi Hsu (Belarbi şi Hsu, 1994), care ţine cont de faptul că relaţia
între eforturile şi deformaţiile medii ale barelor de armătură nu coincide cu cea
otelului simplu.
Rezultatele numerice obţinute folosind metoda simplificată arată o corelare
satisfăcătoare a acestora cu rezultatele obţinute experimental, valorile obţinute fiind,
în general, apropiate de cele obţinute folosind MCFT.
80
4. Implementarea teoriilor bazate pe fisurarea distribuită
în programele de element finit
4.1. Introducere
Implementarea teoriilor bazate pe fisurare distribuită în programele de element finit
a fost o preocupare constantă a cercetătorilor din acest domeniu. Iniţial,
implementarea acestor teorii s-a făcut în programele de element finit pentru
elemente de tip membrană (Vecchio, 1989 ,Stevens, 1991), iar mai târziu s-a
încercat implementarea acestora şi pentru elemente de tip bară (Benz, 2000).
Două tipuri de abordări s-au făcut remarcate în implementarea a teoriilor bazate pe
fisurarea distribuită: implementări care folosesc matricea de rigiditate tangentă a
materialului şi cele bazate pe matricea de rigiditate secantă. Dacă formulările care
folosesc matricea tangetă a materialui au fost uşor acceptate, datorită simplităţii în
implementare şi caracterului lor generalist, implementările bazate pe matricea
secantă au fost privite cu reţinere, mai ales în cazul folosirii lor pentru încărcări
ciclice. În prima parte a acestui capitol sunt prezentate cele două formulări, modul
lor de implementare în programele de element finit şi o analiză comparativă.
Folosirea teoriilor de fisurare distribuită în cazul elementelor de tip bară a fost
posibilă datorită apariţiei modelelor de tip multifibră. Folosind modele pentru
materiale bazate pe astfel de teorii s-au putut dezvolta elemente de tip bară care să
ţină cont de prezenţa forţei tăietoare. Dacă în cazul elementelor care nu ţin cont de
prezenţa forţei tăietoare ipotezele folosite de elementele de grindă de tip Bernoulli
impun condiţii cinematice directe între deformaţiile secţionale şi deformaţiile
specifice ale fibrelor, în cazul elementelor care se bazează pe teorii de fisurare
distribuită, fibrelor care modelează betonul trebuie să le fie asociată o stare plană de
eforturi şi, implicit, o stare plană de deformaţii. Aceasta necesită introducerea unor
constângeri cinematice suplimentare (e.g. ipoteze cinematice pentru grinzi de tip
Timoshenko) sau introducerea unor distribuţii prestabilite ale eforturilor tangenţiale.
O serie de elemente au fost dezvoltate în ultimii douăzeci de ani, fie folosind
diverse distibuţii ale deformaţiilor tangenţiale pe înălţimea secţiunii, fie folosind
distribuţii prestabilite ale eforturilor tangenţiale sau considerând condiţiile de
81
echilibru dintre fibre. Aceste tipuri de abordări vor fi prezentate şi analizate în cea
de-a doua parte a prezentului capitol.
4.2. Formularea matriceală a MCFT pentru încărcări monoton
crescătoare
4.2.1. Formularea bazată pe matricea de rigiditate secantă
Pentru elementele finite cu formulare în deplasări, relaţia generală folosită pentru
determinarea matricei de rigiditate a elementului este de tipul:
𝑘 = 𝐵 𝑇 𝐷 𝐵 𝑑𝑉 (4.1)
Unde [𝐵] este matricea funcţiilor de deplasare care depind de ordinul elementului,
iar [𝐷] este matricea de rigiditate a materialului. Pentru un material elastic într-o
stare de tensiuni plană matricea de rigiditate a materialului are expresia:
𝐷 =𝐸
1−𝜈2
1 𝜈 0𝜈 1 0
0 01−𝜈
2
(4.2)
iar relaţia dintre eforturi şi deformaţiile specifice se poate pune sub forma:
𝜎 = 𝐷 휀 (4.3)
unde:
𝜎 = 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝑇 (4.4)
휀 = 휀𝑥 휀𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝑇 (4.5)
Având în vedere că betonul armat are o comportare neliniară relaţia 4.2 nu se poate
aplica. Bazându-se pe faptul că în direcţiile principale betonul simplu se comportă
ca un material ortotrop pentru aceste direcţii, folosind o formulare secantă, Vecchio
a propus următoarea matrice de rigiditate a betonului după cele două direcţii:
82
𝐷 𝑐′ =
𝐸𝑐2 0 0
0 𝐸𝑐1 0
0 0 𝐺𝑐
(4.6)
unde 𝐸𝑐1,𝐸𝑐2 şi 𝐺𝑐 sunt modulii secanţi ai betonului. Pentru o anumită stare de
eforturi aceştia se pot determina ca în figura 4.1a şi b sau se pot evalua cu expresiile
următoare:
𝐸𝑐1 = 𝜎𝑐1/휀𝑐1 (4.7)
𝐸𝑐2 = 𝜎𝑐2/휀𝑐2 (4.8)
𝐺𝑐 =𝐸𝑐1 ∙𝐸𝑐2
𝐸𝑐1+𝐸𝑐2 (4.9)
Figura 4.1. Modulii secanţi ai materialelor a) beton – compresiune; b) beton – întindere;
c) oţel
Pentru armături orientate la un unghi 𝛼𝑖 , având în vedere faptul că barele de
armătură preiau doar eforturi de întindere şi compresiune, matricea de rigiditate a
materialului pe direcţia acestora se determină cu relaţia:
𝐷 ′𝑠𝑖 = 𝜌𝛼𝑖𝐸𝑠𝛼𝑖 0 0
0 0 00 0 0
(4.10)
c
c2
1
𝐸 𝑐2
c2 c
c
c 1
𝐸 𝑐1
c1
𝑓𝑡′
c1 si
1
𝐸 𝑠𝛼𝑖 si
si
si
fyi
i=1,n
(a) (b) (c)
83
Betonul armat fiind un material compozit, matricea de rigiditate se obţine prin
însumarea rigiditătilor celor două materiale:
𝐷 = 𝐷 𝑐 + 𝐷 𝑠𝑖𝑛𝑖=1 (4.11)
unde 𝐷 𝑐 şi 𝐷 𝑠𝑖 sunt matricile de rigiditate ale materialelor după direcţiile locale
ale elementului (x,y). Aceste matrici se pot exprima în funcţie de matricile de
rigiditate cu relaţiile 4.6 şi 4.8 prin transformări geometrice:
𝐷 𝑐 = 𝑇 𝑐𝑇 𝐷 𝑐
′ 𝑇 𝑐 (4.12)
cu
𝑇 𝑐 = cos2 𝜃 sin2 𝜃 sin 𝜃 cos𝜃 sin2 𝜃 cos2 𝜃 − sin 𝜃 cos𝜃
−2 sin𝜃 cos𝜃 2 sin 𝜃 cos𝜃 cos2 𝜃 − sin2 𝜃 (4.13)
𝐷 𝑠𝑖 = 𝑇 𝑠𝑖𝑇 𝐷 𝑠𝑖
′ 𝑇 𝑠𝑖 (4.14)
cu
𝑇 𝑠𝑖 =
cos2 𝛼𝑖 sin2 𝛼𝑖 sin𝛼𝑖 cos𝛼𝑖
sin2 𝛼𝑖 cos2 𝛼𝑖 − sin 𝛼𝑖 cos𝛼𝑖−2 sin 𝛼𝑖 cos𝛼𝑖 2 sin𝛼𝑖 cos𝛼𝑖 cos2 𝛼𝑖 − sin2 𝛼𝑖
(4.15)
Aşa cum se poate observa în metoda rigidităţii secante, matricile de rigiditate sunt
simetrice, atât pe direcţiile principale cât şi pe direcţiile care definesc coordonatele
locale ale elementului.
4.2.2. Formularea bazată pe matricea de rigiditate tangentă
În formularea secantă din paragraful anterior, relaţia între eforturi şi deformaţiile
specifice este una directă. Abordările folosind matricile tangente trebuie să
folosească o abordare incrementală iar relaţiile între eforturi şi deformaţiile
specifice trebuie exprimate sub formă diferenţială:
𝑑𝜎 =𝜕𝜎
𝜕휀∙ 𝑑휀 = 𝐷 ∙ 𝑑휀 (4.16)
84
de unde se poate deduce expresia generală a matricei de rigidiate a materialului:
𝐷 =
𝜕𝜎𝑥
𝜕휀𝑥
𝜕𝜎𝑥
𝜕휀𝑦
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝜎𝑦
𝜕휀𝑥
𝜕𝜎𝑦
𝜕휀𝑦
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕휀𝑥
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕휀𝑦
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝛾𝑥𝑦
(4.17)
Ca şi în cazul metodei bazate pe rigiditatea secantă, având în vedere ipoteza
compatibilităţii deformaţiilor, matricea de rigiditate se poate descompune în două
matrici: una reprezentând rigiditatea betonului iar cealaltă rigiditatea armăturilor.
In cazul armăturilor, matricea de rigiditate a materialului pe direcţia acestora se
poate exprima sub forma:
𝐷 ′𝑠𝑖 = 𝜌𝛼𝑖
𝜕𝜎𝑠𝛼𝑖
𝜕휀𝛼𝑖0 0
0 0 00 0 0
(4.18)
Se poate observa că, în cazul armăturilor, matricile de rigiditate se pot obţine direct
din legea constitutivă a oţelului.
Pentru beton matricea de rigiditate în direcţiile (x,y) se pune sub forma:
𝐷 𝑐 =
𝜕𝜎𝑐𝑥
𝜕휀𝑥
𝜕𝜎𝑐𝑥
𝜕휀𝑦
𝜕𝜎𝑐𝑥
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝜎𝑐𝑦
𝜕휀𝑥
𝜕𝜎𝑐𝑦
𝜕휀𝑦
𝜕𝜎𝑥𝑐
𝜕𝛾𝑥𝑦
𝜕𝜏𝑐𝑥𝑦
𝜕휀𝑥
𝜕𝜏𝑐𝑥𝑦
𝜕휀𝑦
𝜕𝜏𝑐𝑥𝑦
𝜕𝛾𝑥𝑦
(4.19)
Aşa cum au demonstrat Bažant (1983) şi Cristfield (1989), pe direcţiile principale
matricea de rigiditate a unui material ortotrop se poate scrie sub forma:
𝐷 𝑐′ =
𝜕𝜎𝑐1
𝜕휀1
𝜕𝜎𝑐1
𝜕휀20
𝜕𝜎𝑐2
𝜕휀1
𝜕𝜎𝑐2
𝜕휀20
0 01
2
(𝑓𝑐1−𝑓𝑐2)
휀1−휀2
(4.20)
Spre deosebire de matricea de rigiditate secantă, matricea de rigiditate tangentă nu
mai este simetrică 𝜕𝜎𝑐1
𝜕휀2≠ 0,
𝜕𝜎𝑐2
𝜕휀1≠ 0 . Mai mult decât atât, trebuie precizat că
85
orice variaţie a deformaţiei specifice pe una din direcţiile principale produce o
variaţie a deformaţiei specifice pe cealaltă direcţie. Chiar dacă în teorie
determinarea matricei tangente pare facilă, în practică aceasta necesită folosirea
unor metode numerice, relaţiile analitice fiind complicate deoarece depind în mod
direct de expresiile legilor constitutive adoptate pentru beton la compresiune şi
întindere.
4.2.3. Comparaţii între cele două formulări
În cazul analizei statice neliniare, principalii paşi în determinarea deplasărilor
nodale şi a eforturilor structurale folosind un algoritm de tip Newton - Raphson sunt
identici cu cei descrişi în capitolul 2, paragraful 2.3.2. Este evident că, dacă în cazul
clasic al folosirii matricei de rigiditate tangente la fiecare iteraţie dintr-un pas de
încărcare, fie se foloseşte matricea de rigiditate din pasul precedent (procedeul
Newton Raphson Modificat), fie matricea de rigidiate din iteraţia anterioară
(procedeul Newton Raphson clasic), în cazul folosirii matricilor secante pentru
materiale, matricile de rigiditate pentru structură şi pentru elemente sunt şi ele
matrici secante. În acest caz, criteriul folosit de Vecchio pentru verificarea
convergenţei s-a pus la nivelul coeficienţilor din matricea de rigiditate a materialui.
Dacă se compară calitativ soluţia iterativă la nivelul unui pas de încărcare (figura
4.2), se observă că numărul de iteraţii pentru cele două metode poate să difere
considerabil, numărul de iteraţii necesare pentru obţinerea convergenţei fiind
considerabil mai mare dacă se foloseşte rigiditatea secantă.
Figura 4.2. Procesul iterativ pentru un pas de încărcare
a) folosind rigiditatea secantă; b) folosind rigiditatea tangentă
Q
δ
Qi
Qi+1
Q
Qi
Qi+1
δ a) b)
86
Pentru verificarea acestei supoziţii am dezvoltat un program care analizează un
panou folosind doar matricea de rigiditate a materialul de tip beton armat. Deoarece
într-un panou de beton armat supus la o încercare de forfecare eforturile şi
deformaţiile obţinute folosind MCFT trebuie să fie aceleaşi în toate punctele,
rezultatele obţinute cu acest program se pot valida direct cu rezulatele
experimentale.
În program s-au implementat ambele tipuri de formulări, iar schema logică pentru
implementarea bazată pe matricea secantă este dată în figura 4.3.
În cazul folosirii matricei de rigiditate tangente schema logică este asemănătoare,
diferenţa apărând la modul în care se evaluează matricile de rigiditate pentru beton
şi armături şi din faptul că relaţiile sunt scrise sub formă incrementală. Aşa cum s-a
explicat anterior, determinarea matricilor de rigiditate se face în acest caz folosind
un procedeu numeric care conţine următorii paşi:
- Se defineşte un increment suficient de mic al deformaţiilor
(e.g. 𝛿휀 = 휀𝑐𝑟/100).
- Pornind de la deformaţiile specifice determinate anterior se calculează doi
vectorii incrementeaţi ai acestora 휀𝑖𝑛𝑐𝑥1 = {휀𝑥 + 𝛿휀 휀𝑦 𝜏𝑥𝑦 } şi
휀𝑖𝑛𝑐𝑥2 = {휀𝑥 − 𝛿휀 휀𝑦 𝜏𝑥𝑦 }
- Aplicând MCFT se detemină vectorii eforturilor unitare 𝜎𝑖𝑛𝑐𝑥1 şi 𝜎𝑖𝑛𝑐𝑥
2
- Se determină prima coloană a matricei de rigiditate din relaţia
𝐷 1: 3,1 = 𝜎𝑖𝑛𝑐𝑥1 − 𝜎𝑖𝑛𝑐𝑥
2 /2𝛿휀
- Se repetă aceleaşi operaţiuni pentru coloanele 2 şi 3 incrementând pe rând
휀𝑦 şi 𝜏𝑥𝑦 .
În cazul particular în care armăturile sunt orientate după axele x şi y procedeul se
aplică doar la nivelul matricei de rigiditate a betonului 𝐷 𝑐 , pentru armături
obţinerea matricilor de rigiditate făcându-se direct din legile constitutive folosite
pentru oţel.
Se observă că în cazul folosirii matricei de rigiditate tangente, pentru determinarea
acesteia este necesară aplicarea de trei ori a MCFT în cursul unei iteraţii, ceea ce
reduce eficienţa numerică a acestei formulări.
87
Figura 4.3. Schema logică de determinare a eforturilor unitare şi deformaţiilor specifice
pentru metoda rigidităţii secante
STOP
Introducere date
Actualizare eforturi unitare {𝜎}
휀 = 𝐷 −1{𝜎}
Determinare deformaţii specifice
휀1, 휀2,𝜃,𝜎𝑐1,𝜎𝑐2,𝐸𝑐1,𝐸𝑐2,𝐺𝑐 ,𝐸𝑠𝑥 ,𝐸𝑠𝑦
Aplicare MCFT
||
\/
Determinare matrici de rigiditate 𝐷 𝑐′ , 𝐷 𝑠𝑥
′ şi 𝐷 𝑠𝑦′
Asamblarea matricei materialului 𝐷 = 𝐷 𝑐 + 𝐷 𝑠𝑖𝑛𝑖=1
Eforturi interioare 𝜎 𝑅 = 𝐷 {휀}
Nu
Salvare rezultate
𝜎 − 𝜎 𝑅 < 𝑇𝑜𝑙 Verificare convergenta
Da
Incrementare eforturi
Nu
Da
88
O comparaţie grafică privind numărul de iteraţii pentru panoul PV23 testat de
Vecchio este prezentată în figura 4.4. Pentru acest panou s-a realizat o analiză
numerică folosind un pas de încărcare de 𝑑𝜎 = 0.039 0.039 0.1 𝑇 (în MPa),
numărul total de paşi obţinuţi fiind de 77.
Din acestă figură se poate observa că numărul de iteraţii într-un pas de încărcare
creşte în două situaţii: la fisurarea elementului şi pe măsură ce rigiditatea
elementului scade. Aceste observaţii sunt valabile pentru ambele formulări, însă
sunt mult mai evidente în cazul formulării secante.
Dacă din punct de vedere al numărului de iteraţii formularea tangentă a fost în
medie de 10 ori mai rapidă, din punct de vedere al timpului de calcul acesta a fost
doar de trei ori mai eficientă (15 milisecunde timp de execuţie cu formularea
tangentă raportat la 46 milisecunde în formularea secantă).
Concluzia evidentă este că formulările bazate pe matricea de rigiditate tangentă sunt
mult mai eficiente din punct de vedere numeric în cazul încărcărilor monoton
crescătoare.
Figura 4.4. Relaţia 𝝉𝒙𝒚 − 𝜸𝒙𝒚 şi numărul de iteraţii pentru fiecare pas de încărcare (panoul
PV23)
4.3. Formularea matriceală a MCFT pentru încărcări ciclice
Pentru cazul încărcărilor monoton crescătoare, în formularea originală a MCFT nu
se ţine cont de istoria încărcării pentru determinarea eforturilor şi deformaţiilor
specifice ale materialelor. Relaţiile constitutive ale materialelor dau o valoare unică
89
a eforturilor pentru orice valoare a deformaţiilor specifice. Dacă acest lucru este
valabil în cazul încărcărilor monoton crescătoare, în cazul încărcărilor ciclice acestă
abordare trebuie modificată datorită răspunsului histeretic al materialelor. Prin
urmare formulările descrise anterior trebuie modificate pentru a se obţine un
răspuns adecvat.
4.3.1. Formularea ciclică a MCFT
Pentru a ţine cont de comportarea histeretică a materialelor, Vecchio (Vecchio,
1999) a extins formularea iniţială folosind legile constitutive, condiţiile de
compatibilitate şi echilibru ale MCFT. Astfel, pentru a putea realiza acest lucru,
legile constitutive ale materialelor au fost extinse pentru cazul încărcărilor ciclice,
iar ideea modificării algoritmului bazat pe matricea secantă, care se aplică şi
formulării bazate pe matricea tangentă, a constat în aplicarea conceptului conform
căruia deformaţiile specifice totale ale betonului şi oţelului se pot considera ca suma
dintre o componentă elastică şi una plastică:
휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝 (4.21)
Figura 4.5. Conceptul de deformaţie plastică pentru beton
Acest concept trebuie aplicat atât la nivelul materialelor cât şi la nivelul vectorului
deformaţiilor totale din sistemul de referinţă (x,y), acesta fiind scris sub forma:
휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝 (4.22)
Dacă se lucrează în sistemul de referinţă descris de direcţiile principale,
deformaţiile totale ale betonului se exprimă sub forma:
휀1 = 휀𝑐1𝑒 + 휀𝑐1
𝑝 (4.23)
휀2 = 휀𝑐2𝑒 + 휀𝑐2
𝑝 (4.24)
휀𝑝 휀𝑒 휀
𝜎
90
iar coeficienţii matricei de rigiditate se deduc folosind doar componenta elastică a
deformaţiei:
𝐸𝑐1 = 𝜎𝑐1/휀𝑐1𝑒 (4.25)
𝐸𝑐2 = 𝜎𝑐2/휀𝑐2𝑒 (4.26)
Totuşi deformaţiile plastice pe direcţiile principale se deduc din deformaţiile
plastice din sistemul de coordonate folosind transformările specifice cercului lui
Mhor:
휀𝑐𝑝 = 휀𝑐𝑥
𝑝휀𝑐𝑦𝑝
𝛾𝑐𝑦𝑝 𝑇 (4.27)
O observaţie importantă este faptul că determinarea unghiului 𝜃 pentru direcţiile
principale se face folosind componenta elastică a deformaţiilor totale, doar acestă
componentă a deformaţiilor fiind cea care produce o modificare a stării de eforturi.
Pentru armături, considerând cazul general al unor armături orientate la un unghi 𝛼𝑖
în raport cu axa x, vectorul deformaţiilor plastice în sistemul de referinţa (x,y) se
poate scrie sub forma:
휀𝑠𝑝 𝑖 =
휀𝑠𝑥𝑝
휀𝑠𝑦𝑝
𝛾𝑠𝑦𝑝
=
휀𝑠𝛼𝑖𝑝
∙ 1 + cos 2𝛼𝑖 2
휀𝑠𝛼𝑖𝑝
∙ 1 − cos 2𝛼𝑖 2
휀𝑠𝛼𝑖𝑝
∙ sin 2𝛼𝑖
(4.28)
Aplicând acelaşi principiu ca şi în cazul betonului, modulul de elasticitate secant se
determină tot prin folosirea deformaţiei elastice 휀𝑠𝛼𝑖𝑒 (휀𝑠𝛼𝑖 = 휀𝑠𝛼𝑖
𝑒 + 휀𝑠𝛼𝑖𝑝
):
𝐸𝑠𝛼𝑖 = 𝜎𝑠𝛼𝑖/휀𝑠𝛼𝑖𝑒 (4.29)
Relaţiile între eforturi şi deformaţii se pot scrie în următoarea formă matriceală:
𝜎 = 𝐷 ∙ 휀 − 휀𝑝 (4.30)
𝜎 = 𝐷 휀 − 𝜎𝑝 (4.31)
𝜎𝑝 = 𝐷𝑐 휀𝑐𝑝 + 𝐷𝑠 𝑖 휀𝑠
𝑝 𝑖𝑛𝑖=1 (4.32)
91
Folosirea relaţiei dintre eforturi şi deformaţii sub forma dată de ecuaţia 4.30 implică
apariţia unui vector de pseudo-eforturi plastice care are ca scop doar corectarea
vectorului eforturilor obţinut prin înmulţirea matricei de rigiditate secante cu
vectorul deformaţiilor totale.
Cerinţa fundamentală a unui formulări ciclice constă în determinarea înfăşurătoarei
deformaţiilor plastice indiferent de direcţie, chiar dacă sistemul definit de direcţiile
principale se roteşte.
Folosind transformările date de cercul lui Mohr, deformaţiile plastice pe direcţiile
principale ale elementului se pot scrie în funcţie de deformaţiile plastice din
sistemului de referinţă (figura 4.6):
휀𝑐1𝑝
=휀𝑐𝑥𝑝
+휀𝑐𝑦𝑝
2+
휀𝑐𝑥𝑝−휀𝑐𝑦
𝑝
2cos 2𝜃 +
𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝
2sin 2𝜃 (4.33)
휀𝑐2𝑝
=휀𝑐𝑥𝑝
+휀𝑐𝑦𝑝
2−
휀𝑐𝑥𝑝−휀𝑐𝑦
𝑝
2cos 2𝜃 −
𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝
2sin 2𝜃 (4.34)
Deformaţiile plastice sunt folosite pentru determinarea eforturilor unitare din
relaţiile histeretice ale betonului.
Figura 4.6. Aplicarea cercului lui Mohr pentru deformaţiile plastice
Într-un anumit pas de încărcare pot să apară deformaţii plastice suplimentare.
Notând cu Δ휀𝑐1𝑝
şi Δ휀𝑐2𝑝
incrementele deformaţiilor plastice pe direcţiile principale,
se poate actualiza înfăşurătoarea deformaţiilor plastice în sistemul de referinţă
folosind expresiile:
/2
𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝
2
𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝
2
휀𝑐𝑥𝑝
휀𝑐1𝑝
1 x
2
휀𝑐2𝑝
휀𝑐𝑦𝑝
92
휀𝑐𝑥
𝑝 ′= 휀𝑐𝑥
𝑝+
∆휀𝑐1𝑝
2 1 + cos 2𝜃 +
∆휀𝑐2𝑝
2 1 − cos 2𝜃
휀𝑐𝑦𝑝 ′
= 휀𝑐𝑦𝑝
+∆휀𝑐1
𝑝
2 1 − cos 2𝜃 +
∆휀𝑐2𝑝
2 1 + cos 2𝜃
𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝 ′
= 𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝
+ ∆휀𝑐1𝑝 sin 2𝜃 − ∆휀𝑐2
𝑝 sin 2𝜃
(4.35)
unde 휀𝑐𝑥𝑝
, 휀𝑐𝑦𝑝
şi 𝛾𝑐𝑥𝑦𝑝
sunt deformaţiile specifice din pasul precedent.
Pe lângă înfăşurătoarea deformaţiilor plastice, legile histeretice folosite pentru
materiale depind şi de deformaţiile maxime de compresiune (휀𝑐𝑚𝑥 , 휀𝑐𝑚𝑦 , 𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 ) şi
întindere (휀𝑡𝑚𝑥 , 휀𝑡𝑚𝑦 ,𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦 ) atinse în paşii precedenţi.
La fiecare pas de încărcare deformaţiile maxime totale de compresiune ale betonului
휀𝑐𝑚𝑥 , 휀𝑐𝑚𝑦 ,𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 sunt salvate şi apoi transformate în deformaţii maxime totale de
compresiune după direcţiile principale, folosind cercul lui Mohr pentru deformaţii:
휀𝑐𝑚1 =휀𝑐𝑚𝑥 +휀𝑐𝑚 𝑦
2+
휀𝑐𝑚𝑥 −휀𝑐𝑚𝑦
2cos 2𝜃 +
𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦
2sin 2𝜃 (4.36)
휀𝑐𝑚2 =휀𝑐𝑚𝑥 +휀𝑐𝑚𝑦
2−
휀𝑐𝑚𝑥 −휀𝑐𝑚𝑦
2cos 2𝜃 −
𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦
2sin 2𝜃 (4.37)
Dacă deformaţiile totale pe direcţiile principale depăşesc defomaţiile maxime atinse
anterior, atunci acestea trebuie incrementate cu diferenţa dintre acestea:
∆휀𝑐𝑚1 = 0 dacă 휀𝑐1 > 휀𝑐𝑚1
휀𝑐1 − 휀𝑐𝑚1 dacă 휀𝑐1 < 휀𝑐𝑚1
(4.38)
∆휀𝑐𝑚2 = 0 dacă 휀𝑐2 > 휀𝑐𝑚2
휀𝑐2 − 휀𝑐𝑚2 dacă 휀𝑐2 < 휀𝑐𝑚2
(4.39)
La sfârşitul unui pas de încărcare deformaţiile maxime de compresiune
(휀𝑐𝑚𝑥′ , 휀𝑐𝑚𝑦
′ ,𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦′ ) în sistemul de referinţă al elemetului se actualizează plecând de
la deformaţiile maxime anterioare (휀𝑐𝑚𝑥 , 휀𝑐𝑚𝑦 ,𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 ) şi incremenţii determinaţi
anterior pentru direcţiile principale:
휀𝑐𝑚𝑥′ = 휀𝑐𝑚𝑥 +
∆휀𝑐𝑚 1
2 1 + cos 2𝜃 +
∆휀𝑐𝑚 2
2 1 − cos 2𝜃
휀𝑐𝑚𝑦′ = 휀𝑐𝑚𝑦 +
∆휀𝑐𝑚 1
2 1 − cos 2𝜃 +
∆휀𝑐𝑚 2
2 1 + cos 2𝜃
𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦′ = 𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 + ∆휀𝑐𝑚1 sin 2𝜃 − ∆휀𝑐𝑚2 sin 2𝜃
(4.40)
În mod asemănător se determină şi se actualizează deformaţiile maxime de întindere
în sistemul de referinţă al elementului:
93
휀𝑡𝑚𝑥′ = 휀𝑡𝑚𝑥 +
∆휀𝑡𝑚 1
2 1 + cos 2𝜃 +
∆휀𝑡𝑚 2
2 1 − cos 2𝜃
휀𝑡𝑚𝑦′ = 휀𝑡𝑚𝑦 +
∆휀𝑡𝑚 1
2 1 − cos 2𝜃 +
∆휀𝑡𝑚 2
2 1 + cos 2𝜃
𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦′ = 𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦 + ∆휀𝑡𝑚1 sin 2𝜃 − ∆휀𝑡𝑚2 sin 2𝜃
(4.41)
cu
휀𝑡𝑚1 =휀𝑡𝑚𝑥 +휀𝑡𝑚𝑦
2+
휀𝑡𝑚𝑥 −휀𝑡𝑚𝑦
2cos 2𝜃 +
𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦
2sin 2𝜃 (4.42)
휀𝑡𝑚2 =휀𝑡𝑚𝑥 +휀𝑡𝑚𝑦
2−
휀𝑡𝑚𝑥 −휀𝑡𝑚𝑦
2cos 2𝜃 −
𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦
2sin 2𝜃 (4.43)
∆휀𝑡𝑚1 = 0 dacă 휀𝑐1 < 휀𝑡𝑚1
휀𝑐1 − 휀𝑡𝑚1 dacă 휀𝑐1 > 휀𝑡𝑚 1
(4.44)
∆휀𝑡𝑚2 = 0 dacă 휀𝑐2 < 휀𝑡𝑚2
휀𝑐2 − 휀𝑡𝑚2 dacă 휀𝑐2 > 휀𝑡𝑚2
(4.45)
Figura 4.7. Aplicarea cercului lui Mohr pentru deformaţiile maxime a) de compresiune; b)
de întindere
2
1
y
2
x
cmx
cm1
cm2
cmy
𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦
2
𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦
2
tm1
tmx
tm2
tmy
2
1
y
x
𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦
2
𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦
2
2
(a) (b)
94
4.3.1.1. Legile constitutive ale materialelor
Legea constitutivă a oţelului pentru armături
Legea constitutivă a oţelului propusă de Vecchio pentru cazul încărcărilor ciclice
este preluată din modelul Seckin (Seckin, 1981), înfăşurătoarea fiind caracterizată
de o curba triliniară care modelează consolidarea ce apare după palierul de curgere
printr-un segment de dreaptă (figura 4.8). Relaţiile folosite pentru cazurile de
descărcare şi încărcare sunt următoarele:
- Descărcare
𝜎𝑠 휀𝑠𝛼𝑖 = 𝜎𝑠𝛼𝑖−1 + 𝐸𝑠𝑟 휀𝑠𝛼𝑖 − 휀𝑠𝛼𝑖−1 (4.46)
- Încărcare
𝜎𝑠 휀𝑠𝛼𝑖 = 𝐸𝑠𝑟 휀𝑠𝛼𝑖 − 휀𝑠𝑝 +
𝐸𝑚−𝐸𝑠𝑟
𝑁𝑠 휀𝑚−휀𝑠𝑝 𝑁𝑠−1
휀𝑠𝛼𝑖 − 휀𝑠𝑝 𝑁𝑠 (4.47)
unde:
𝑁𝑠 = 𝐸𝑚−𝐸𝑠𝑟 ∙ 휀𝑚−휀𝑠
𝑝
𝑓𝑚−𝐸𝑠𝑟 휀𝑚−휀𝑠𝑝
(4.48)
𝐸𝑠𝑟 =
𝐸𝑠 dacă 휀𝑚 − 휀𝑠
𝑝 < 휀𝑦
𝐸𝑠 1.05 − 0.05휀𝑚−휀𝑠
𝑝
휀𝑦 dacă 휀𝑦 < 휀𝑚 − 휀𝑠
𝑝 < 4휀𝑦
0.85𝐸𝑠 dacă 휀𝑚 − 휀𝑠𝑝 > 4휀𝑦
(4.49)
Figura 4.8. Modelul histeretic Seckin pentru oţel (Seckin, 1981)
K
N 𝜎𝑠
A
B
C,M
E,I
H
G
F D L
J
휀𝑚− εs
p+
1
1 1
1
Esr
Es Esr
Esh 𝜎 m fy
휀𝑚+ 휀𝑠
𝑝− s
95
Aşa cum s-a menţionat în capitolul precedent, în formularea originală a MCFT s-a
folosit relaţia constitutivă a oţelului simplu, fără a se lua în calcul prezenţa
eforturilor de aderenţă. Prin urmare, în această lucrare s-a folosit modelul
Menegoto-Pinto (Menegotto şi Pinto, 1973), care, spre deosebire de modelul
Seckin, foloseşte o curbă înfăşurătoare biliniară care se poate adapta la modificările
limitei de curgere şi a modulului de rigiditate postelastică din modelul Belarbi şi
Hsu.
În modelul Menegoto-Pinto, ca şi în modelul Seckin, trebuie definite deformaţiile
plastice necesare determinării rigidităţii secante a oţelului (figura 4.9).
Figura 4.9. Modelul histeretic Menegoto-Pinto pentru oţel (după Orakcal et al., 2006)
Legea constitutivă a betonului
Pentru compresiune curba înfăşurătoare poate fi de tip Hognestad sau Popovics,
modificată astfel încât să ţină cont de efectul de „compression softening”. Pentru a
putea folosi metoda expusă anterior trebuie definită o deformaţie plastică
instantanee, care corespunde de fapt deformaţiei remanente atunci când betonul este
decărcat. Această deformaţie instantanee se determină cu relaţia:
휀𝑐𝑝
= 휀𝑐 − 휀𝑝 0.87
휀𝑐
휀𝑝 − 0.29
휀𝑐
휀𝑝
2
dacă 휀𝑐 > 1.5휀𝑝
휀𝑐 − 0.001305 휀𝑝
0.002 dacă 휀𝑐 < 1.5휀𝑝
(4.50)
La descărcare, conform modelului Vecchio, eforturile urmează o dreaptă definită de
o pantă 𝐸𝑐𝑚 = 𝜎𝑐𝑚 /(휀𝑐𝑚 − 휀𝑐𝑝
) aşa cum este arătat în figura 4.10.
96
Într-un ciclu de reîncărcare la compresiune pentru care se cunoaşte deformaţia
plastică a betonului, efortul de compresiune se poate determina cu relaţia:
𝑓𝑐 휀𝑐 =
0 dacă 휀𝑐 > 휀𝑐𝑝
sau 휀𝑐 > 0
휀𝑐 − 휀𝑐𝑝 ∙
𝜎𝑐𝑚
휀𝑐𝑚 −휀𝑐𝑝
dacă 휀𝑐𝑝
> 휀𝑐 > 휀𝑐𝑚
𝜎𝑏𝑐 휀𝑐 dacă 휀𝑐 < 휀𝑐𝑚
(4.51)
unde 휀𝑐𝑚 , 𝑓𝑐𝑚 sunt deformaţia maximă şi valoarea corespunzătoare acesteia atinsă
în ciclu anterior, iar 𝑓𝑏𝑐 휀𝑐 reprezintă efortul în beton determinat din curba de bază
a betonului. În figura 4.10 sunt arătate curbele de reîncărcare posibile conform
modelului lui Vecchio.
Figura 4.10. Curbele de reîncărcare la compresiune conform Modelului Vecchio
Modelul propus de Vecchio nu consideră o deformaţie plastică remanentă la
întindere. La cicluri de încărcare - descărcare la întindere, răspunsul betonului s-a
considerat ca fiind liniar, aşa cum este arătat în figura 4.11, şi se poate evalua cu
relaţiile următoare:
- Încărcare
𝜎𝑐 휀𝑐 =
휀𝑐−휀𝑐𝑝
휀𝑡𝑚 −휀𝑐𝑝 ∙ 𝑓𝑡𝑚 pentru 휀𝑐
𝑝< 휀𝑐 < 휀𝑡𝑚
𝜎𝑏𝑡 휀𝑐 pentru 휀𝑡𝑚 < 휀𝑐
(4.52)
- Descărcare
𝜎𝑐 휀𝑐 = 𝐸𝑡𝑚 휀𝑐 =𝜎𝑡𝑚
휀𝑡𝑚 ∙ 휀𝑐 (4.53)
A B
C D
𝜎𝑐𝑚′
cm
𝛽𝑓𝑐𝑚′
휀𝑐𝑚′ p cm c
fc
C D
𝜎𝑐𝑚′
cm
𝛽𝑓𝑐𝑚′
휀𝑐𝑚′ p cm c
fc
B
휀𝑐𝑝
Curba betonului
considerând efectul de
compression-softening
Curba betonului
considerând efectul de
compression-softening
97
Figura 4.11. Moduri de încărcare-descărcare la întindere a) încărcare la întindere; b)
încărcare după un ciclu anterior de compresiune; c) descărcare
4.4. Răspunsul la nivel secţional folosind MCFT
4.4.1. Consideraţii generale privind influenţa forţei tăietoare asupra
răspunsului secţional
Atunci când o secţiune este supusă pe lângă moment şi la forţă tăietoare, pentru
cazul clasic al unui material elastic, expresiile eforturilor tangenţiale se pot deduce
folosind expresia lui Juravski (1856). Prezenţa forţei tăietoare duce la o variaţie a
momentului încovoietor, ceea ce impune la nivelul unei fâşii de lungime
infinitezimală dx o variaţie a eforturilor unitare normale. Aceste eforturi unitare
sunt echilibrate de eforturi tangenţiale orizontale (figura 4.12) iar ecuaţia de
echilibru la nivelul fâşiei se poate scrie sub forma:
𝜕𝜎
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑦= 0 (4.54)
Pornind de la această ecuaţie se poate determina în mod direct efortul tangenţial în
orice punct al secţiunii:
𝜏𝑥𝑦 𝑦 = −1
𝑏 𝑦
𝜕𝜎
𝜕𝑥
𝑦
−𝑦𝑏𝑏 𝑦 𝑑𝑦 (4.55)
cu yb coordonata fibrei inferioare a secţiunii.
Pentru un material omogen ecuaţia de mai sus se reduce la clasica expresie a lui
Jourawski:
c
c
tm
𝑓𝑡′
tm
c
c
tm
𝑓𝑡′
tm 휀𝑐′
c
c
tm
𝑓𝑡′
tm
Etm 1
a) b) c)
98
𝜏𝑥𝑦 𝑦 = −1
𝑏 𝑦
𝑉
𝐼
𝑦
−𝑦𝑏𝑏 𝑦 𝑦𝑑𝑦 =
𝑉𝑆 𝑦
𝐼𝑏(𝑦) (4.56)
unde S(y) rezprezintă momentul static al părţii de secţiune cuprinse între fibra
inferioară şi punctul y, b(y) reprezintă lăţimea secţiunii la punctul y.
Folosind conceptul de arie efectivă la forţă tăietoare (Ag=A) şi relaţia între
deformaţiile şi eforturile tangenţiale, se poate deduce următoarea relaţie:
𝛾𝑥𝑦 𝑦 =𝐴𝑔𝑆(𝑦)
𝑏𝐼𝛾0 (4.57)
cu 𝛾0 = 𝑉/(𝐴𝑔𝐺), unde G este modulul de elasticitate tangent.
Relaţia 4.56 reprezintă o condiţie cinematică pentru deformaţiile tangenţiale care, în
cazul materialelor elastice, nu depind de interacţiunea moment - forţă tăietoare, ci
doar de caracteristicile geometrice ale secţiunii.
Figura 4.12. Soluţia Juravski pentru eforturile tangenţiale din grinzi
În cazul elementelor de beton armat, astfel de relaţii cinematice, care ţin cont doar
de caracteristicile geometrice, nu se pot aplica. Datorită fisurilor înclinate care apar
în prezenţa forţei tăietoare, comportarea materialului este una anizotropă, fibrele
longitudinale prezentând deformaţii de alungire (datorate eforturilor normale) şi de
forfecare (datorate eforturilor tangenţiale). Prin urmare dezvoltarea unor astfel de
relaţii cinematice trebuie să includă şi deformaţiile normale datorate alungirii şi
curburii.
y
dx
2V dx
M+dM M V V
d
db∙dx
bdx
b∙dy db∙dy
M
V
99
4.4.2. Metode bazate pe o distribuţie fixă
Aşa cum s-a precizat la începutul capitolului, în paragraful 4.1, la dezvoltarea
elementelor de tip grindă s-au folosit două tipuri de metode care să ţină cont de
interacţiunea între moment, forţă axială şi forţă tăietoare: metode bazate pe o
distribuţie fixă aplicată eforturilor sau deformaţiilor tangenţiale şi metode care se
bazează pe echilibrul dintre fibre.
Metodele bazate pe o distribuţie fixă folosesc fie o distribuţie fixă a eforturilor, fie
distribuţie fixă a deformaţiilor tangenţiale pe secţiune indiferent de nivelul de
solicitare. Eforturile sau deformaţiile tangenţiale în orice punct al secţiunii se
determină prin înmulţirea valorii date de distribuţia considerată cu o un efort sau o
deformaţie specifică generalizată a secţiunii, acesta depinzând în mod direct de
nivelul de încărcare. Aceste distribuţii fixe se pot scrie sub forma:
- pentru distibuţii fixe ale deformaţiilor tangenţiale
𝛾𝑥𝑦 𝑦 = 𝐹 𝑦 𝛾0 (4.58)
- pentru distribuţii fixe ale eforturilor tangenţiale
𝜏𝑥𝑦 𝑦 = 𝐹 𝑦 𝑉 (4.59)
Aceste distribuţii fixe permit considerarea unei stări de eforturi bidimensionale
pentru orice fibră din interiorul secţiunii. În orice caz, alegerea unei astfel de
distribuţii depinde în mod direct de modul de alcătuire al secţiunii (forma, modul de
dispunere al armăturii etc.) fapt care reduce gradul de generalitate al acestor
metode.
Pentru ambele tipuri de distibuţii trebuie impuse condiţii suplimentare pentru a
putea determina starea de eforturi şi deformaţii din fiecare fibră. În cazul în care se
foloseşte o distribuţie constantă a deformaţiilor specifice tangenţiale, pornind de
deformaţiile generalizate ale secţiunii, se pot determina doar două deformaţii: cea
normală la planul secţiunii 휀𝑥 şi cea tangenţială 𝛾𝑥𝑦 . Pentru a putea determina starea
de eforturi în fibră ar trebui cunoscută şi deformaţia normală la axa elementului. În
general acest lucru se poate realiza presupunând că în lipsa unor forţe care
acţionează perpendicular pe axa elementului, eforturile normale transversale sunt
nule. Această condiţie este folosită şi în cazul utilizării unor distribuţii fixe ale
100
eforturilor tangenţiale, când la nivelul fibrelor se cunosc deformaţiile normale
longitudinale 휀𝑥 şi efortul tangenţial 𝜏𝑥𝑦 .
Indiferent de tipul de distribuţie folosită, datorită faptului că eforturile tangenţiale
sunt valori medii, condiţia de echilibru exprimată în relaţia 4.54 nu se poate asigura.
4.4.3. Metode bazate pe echilibru între fibre
Prima metodă care foloseşte condiţia de echilibru dintre fibre este cea propusă de
Vecchio şi Collins în 1988, care este de altfel şi prima implementare a MCFT
pentru elemente de tip grindă. Această metodă numită „Analiză secţională duală” se
bazează pe determinarea aproximativă a gradientului eforturilor normale dintr-o
fibră cu o lungime finită S delimitată de două secţiuni (fig. 4.13).
Figura 4.13. Discretizarea secţiunii, secţiunile de control şi schema forţelor pe o fibră în
analiza secţională duală (Vecchio şi Collins, 1988)
Folosind ipoteza secţiunilor plane şi faptul că forţele produse de eforturile
tangenţiale pe feţele comune a două fibre sunt egale şi de semn contrar, dacă se
휀𝑡
𝑓𝑐′ , 𝑓𝑐𝑟 , 휀𝑐
′
𝑏𝑖 ,𝑖 ,𝜌𝑡𝑖
𝑦𝑐𝑖
𝐴𝑠𝑗 , 𝑓𝑥𝑦𝑗 ,𝐸𝑠𝑗
휀𝑡
휀𝑐𝑥𝑖 𝜈𝑐𝑖
𝑦𝑐𝑖
S ≈ d/6
Ck2
Vk
Fk
Fk-1
Ck1
Vk hk N
M
V Fâşie ‘k’
Secţiunea 2 Secţiunea 1
Secţiune de
beton Discretizarea cu
fibre de beton
Armături Distribuţia
deformaţiilor
specifice
longitudinale
Distribuţia
eforturilor
tangenţiale
Element de grindă şi
sectiuni de control
Forţele care acţionează
pe o fibră
101
cunosc cele două forţe de compresiune sau întindere dintr-o fibră i, notate cu Ck,1
respectiv Ck,2, se pot deduce următoarele relaţii:
𝐹𝑘−1 = Ci,1 − Ci,2 𝑘−1𝑖=1 (4.60)
𝐹𝑘 = Ck,1 − Ck,2 + 𝐹𝑘−1 (4.61)
Pentru cazul în care forţa tăietoare este constantă pe lungimea S a elementului,
forţele tăietoare de la capetele fibrei se pot determina dintr-o ecuaţie de moment
scrisă în raport cu unul din capetele fibrei de înălţime hk:
𝑉𝑘 =𝐹𝑘−𝐹𝑘−1
2∙𝑘
𝑆 (4.62)
Pentru rezolvarea problemei, având în vedere că fiecare fibră se consideră ca fiind
un element bidimensional cu o stare de eforturi plană uniformă, se foloseşte un
procedeu iterativ în care se presupune o distribuţie iniţială a eforturilor tangenţiale.
Acestă distribuţie este corectată până când se obţine o convergenţă a acesteia,
dublată în mod evident de îndeplinirea condiţiilor de echilibru între forţele
exterioare şi cele interioare.
Ceea ce face dificil de implementat această analiză secţională duală în programele
de element finit îl constituie faptul că metoda nu este una strict secţională iar în
cazul elementelor de bară, indiferent de formulare, matricile rigidităţilor secţionale
şi eforturile sunt calculate independent pentru fiecare punct de integrare din lungul
elementului.
Mai mult decât atât, Bentz (Bentz, 2000) a demonstrat că această metodă nu este
una stabilă şi are dificultăţi în a prezice în mod adecvat distribuţia eforturilor
tangenţiale. Trei tipuri de probleme pot să apară în cazul analizei secţionale duale:
- Distribuţia eforturilor tangenţiale nu este una închisă (eforturi tangenţiale
diferite de zero la partea superioară sau inferioară a secţiunii) lucru care
se datorează erorilor numerice care intervin în evaluarea numerică a forţei
axiale în cele două secţiuni;
- Discontinuităţi accentuate ale eforturilor tangenţiale datorate înălţimii
diferite a fisurilor în cele două secţiuni;
- Distanţa între fisuri are o influenţă semnificativă asupra distribuţiei
eforturilor tangenţiale.
102
Pentru a evita aceste probleme, Bentz a propus o metoda coerentă din punct de
vedere matematic şi mult mai stabilă din punct de vedere numeric. În această
metodă, denumită Metoda rigidităţii secţionale, se consideră un element de lungime
infinitezimală dx, iar variaţia eforturilor normale este determinată ca derivata
acestora, folosind regula derivării în lanţ.
Metoda presupune folosirea în primul pas de încărcare a unei distribuţii iniţiale de
tip Jourawski pentru deformaţiilor tangenţiale asemănătoare cu cea din expresia
4.56:
𝛾𝑥𝑦 𝑦 =𝐴𝑆(𝑦)
𝑏𝐼𝛾𝑚 (4.63)
𝛾𝑥𝑦 𝑦 = 𝐹𝛾 𝑦 𝛾𝑚 (4.64)
Diferenţa faţă de relaţia 4.56 constă în faptul că autorul a folosit aria brută a
secţiunii în locul ariei efective. În ceilalţi paşi distribuţia folosită este cea obţinută
într-un pas anterior.
Folosirea unei astfel de distribuţii împreună cu ipoteza secţiunilor plane permite
obţinerea unei relaţii directe între deformaţiile unei fibre şi deformaţiile specifice
ale secţiunii:
휀𝑥(𝑦)𝛾𝑥𝑦 (𝑦)
= 1 −𝑦 00 0 𝐹𝛾(𝑦)
휀𝑥𝑠𝜙𝑧𝑠𝛾𝑚
(4.65)
Relaţia se poate pune şi sub forma:
휀 𝑦 = 𝑙 𝑦 𝑒 (4.66)
La nivelul fiecărei fibre relaţiile între deformaţii şi eforturi unitare se pot scrie în
cazul folosirii matricei de rigiditate tangente aşa cum este indicat în relaţia 4.16.
Având în vedere că eforturile normale pe direcţia y (direcţia normală la axa
longitudinală a elementului) ecuaţia 4.16 în formă extinsă devine:
𝑑𝜎𝑥0
𝑑𝜏𝑥𝑦
=
𝐷11 𝐷12 𝐷13
𝐷21 𝐷22 𝐷23
𝐷31 𝐷32 𝐷33
𝑑휀𝑥𝑑휀𝑦𝑑𝛾𝑥𝑦
(4.67)
103
Relaţia se poate rescrie eliminând 𝑑휀𝑦 , şi se obţine o matrice de rigiditate
modificată a materialului:
𝑑𝜎𝑥𝑑𝜏𝑥𝑦
= 𝐷11 −
𝐷12𝐷21
𝐷22𝐷13 −
𝐷12𝐷23
𝐷22
𝐷31 −𝐷32𝐷21
𝐷22𝐷33 −
𝐷32𝐷23
𝐷22
𝑑휀𝑥𝑑𝛾𝑥𝑦
(4.68a)
𝑑𝜎𝑥𝑑𝜏𝑥𝑦
= 𝐷 𝑑휀𝑥𝑑𝛾𝑥𝑦
(4.68b)
Folosind această matrice de rigiditate modificată se poate determina derivata
eforturilor unitare în funcţie de deformaţiile specifice ale secţiunii:
𝜕𝜎
𝜕𝑥=
𝜕𝜎
𝜕휀
𝜕휀
𝜕𝑒
𝑑𝑒
𝑑𝑥= 𝐷 𝑙(𝑦)
𝑑𝑒
𝑑𝑥 (4.69)
Derivatele eforturilor secţionale sunt determinate apoi prin integrare directă:
𝑑𝑁
𝑑𝑥𝑑𝑀𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑉𝑦
𝑑𝑥
= 1 0−𝑦 00 1
𝐴
𝑑𝜎𝑥𝑑𝜏𝑥𝑦
𝑑𝐴 (4.70a)
𝑑𝑆
𝑑𝑥= 𝑙𝑇
𝐴(𝑦)𝐷 𝑙 𝑦 𝑑𝐴
𝑑𝑒
𝑑𝑥= 𝑲𝑠
𝑑𝑒
𝑑𝑥 (4.70b)
unde Ks este matricea de rigiditate secţională, A(y) este o matrice de integrare a
eforturilor secţionale. Deoarece matricile A(y) şi l(y) nu sunt identice, iar matricea
de rigiditate a materialului nu este simetrică, atunci matricea de rigiditate a secţiunii
nu va rezulta simetrică.
Din punct de vedere al asigurării echilibrului între fibrele secţiunii, tehnica adoptată
de Bentz a constat în determinarea matricilor de rigiditate ale materialului în puncte
de integrare care se intoduc la interfaţa dintre fibre şi la mijlocul înălţimii acestora
(fig. 4.14). Acest lucru asigură echilibru între fibre, iar matricea de rigiditate se
poate determina în mod cât mai exact, fibrele putând avea o secţiune sub formă de
trapez. Determinarea rigidităţii unei fibre s-a făcut prin integrarea rigidităţilor
nodale folosind regula Simpson, iar din punct de vedere numeric matricea de
rigiditate secţională se poate determina prin insumarea matricilor de rigiditate ale
fibrelor.
104
Matricea de rigiditate a secţiunii este folosită în mod direct pentru determinarea
variaţiei eforturilor unitare 𝜕𝜎/𝜕𝑥. Considerând că se aplică secţiunii doar o forţă
tăietoare 𝑉 = 𝑑𝑀𝑧/𝑑𝑥, atunci deformaţiile specifice ale secţiunii se pot deduce din
formula 4.70b:
𝑑𝑒
𝑑𝑥= 𝐾𝑠
−1 0𝑉0 (4.71)
iar prin înlocuirea în relaţia 4.68 se obţine variaţia eforturilor normale. Folosind
aceste valori ale variaţiei eforturilor normale din fibre se pot determina prin
integrarea numerică a relaţiei 4.54 eforturile tangenţiale.
Figura 4.14. Punctele de integrare pentru o fibră de beton (Bentz 2000)
4.5. Modelul secţional implementat în Open Sees
Implementarea în Open Sees a unui element de grindă multifibră bidimensional care
să ţină cont de interacţiunea între moment şi forţă tăietoare prin intermediul MCFT
s-a făcut considerând următoarele ipoteze:
- Betonul este modelat sub formă de fibre (fâşii) cu comportare
bidimensională (aflate într-o stare plană de tensiuni), folosind o formulare
bazată pe matricea secantă;
- Fibrele care modelează armăturile au o comportare uniaxială la care se
neglijează efectul de dorn;
- Ipotezele cinematice la nivel secţional sunt cele folosite grinzile de tip
Timoshenko, acestea fiind prezentate în capitolul 2.
- Distribuţia constantă a deformaţiilor tangenţiale pe înălţimea secţiunii.
y3 y2 y1
y
Axa
neutră
Fâsia i b3
b1
105
Figura 4.15. Discretizare secţiunii prin fibre şi modul de comportare al acestora
Folosirea MCFT pentru beton impune o stare plană de deformaţii iar determinarea
stării de eforturi necesită cunoaşterea celor trei componente ale vectorului
deformaţiilor specifice. Folosind ipotezele cinematice ale grinzilor de tip
Timoshenko şi o distribuţie constată a deformaţiilor tangenţiale, la nivelul unei fibre
se pot determina doar două deformaţii specifice:
휀𝑥 (𝑦)𝜏𝑥𝑦 (𝑦)
= 1 −𝑦 00 0 1
휀𝑥𝑠𝜙𝑧𝑠𝛾𝑥𝑦𝑠
(4.72a)
𝜺(𝑦) = 𝒍(𝑦)𝒆(𝑥) (4.72b)
deformaţia transversală 휀𝑦 rămânând necunoscută.
Relaţia 4.72 corespunde unei distribuţii constate a deformaţiilor tangenţiale pe
secţiune, însă această relaţie se poate modifica cu uşurinţă pentru implementarea
unei alte distribuţii, modificând termenul l(2,3) din matricea de transformare
geometrică l(y).
Dacă nu există forţe normale la axa grinzii care acţioneză simultan la fibra
supreioară şi inferioră, producând eforturi normale de compresiune sau întindre pe
direcţie transversală, se poate admite ca la nivelul fiecărei fibre efortul normal pe
direcţia y să fie egal cu zero. Acest lucru implică de fapt că eforturile normale pe
direcţie transversală din beton sunt echilibrate de forţele din armătura transversală
(figura 4.16), ceea ce duce la relaţia următoare:
𝜎𝑦 = 𝜎𝑐𝑦 + 𝜌𝑦𝜎𝑠𝑦 = 0 (4.73)
z
y
y
x
x
y xy
xy
xy
xy
y
x
x
y xy
xy
xy
xy
x x
x
Armătură Beton Secţiune
106
Figura 4.16. Eforturi unitare acţionând asupra unei fibre
Impunerea acestei condiţii implică la nivelul fibrelor de beton un calcul iterativ. În
mod curent acest lucru se face considerând o valoare iniţială a deformaţiilor unitare
휀𝑦 , necesară pentru determinarea matricei de rigiditate a fibrei şi verificarea
condiţiei de echilibru iar în iteraţiile ulterioare aceasta valoare este luată egală fie cu
cea din pasul precedent, fie se poate determina ca fiind egală cu:
휀𝑦 = −𝐷21휀𝑥+𝐷23𝛾𝑥𝑦
𝐷22−
𝜎𝑐𝑦𝑝
+𝜎𝑠𝑦𝑝
𝐷22 (4.74)
Datorită faptului că materialele sunt implemetate folosind o formulare secantă,
trebuie specificat că, în formula 4.74 este nevoie să se introducă pseudo-efortul
plastic din ecuaţia 4.30.
Barele de armătură pe direcţia x sunt modelate ca fibre independente cu o
comportare uniaxială, însă ele influenţeză comportarea fibrelor de beton. Zona de
influenţă a armăturilor longitudinale depinde şi de tipul de solicitare (compresiune
sau întindere) şi de diametrul acestora. În zona întinsă a secţiunii, conform Model
Code 90, zona de beton care este influenţată de prezenţa armăturilor întinse este de
aproximativ 7.5db, unde db este diametrul barei (vezi figura 4.17). Deoarece această
valoare se foloseşte în general pentru zona întinsă a grinzilor iar din cunoştinţele
autorului nu există studii experimentale sau teoretice privind zona de influenţă a
armăturii datorită eforturilor de aderenţă pentru elemente sau zone supuse la
compresiune, în prezenta teză s-a folosit această valoare pentru toate armăturile din
secţiune. Pentru fibrele care se găsesc în zona de influenţă a armăturii procentul de
armare pe direcţia x se determină ca în figura 4.16. Fibrele care nu se găsesc în zona
de influenţă a armăturilor din secţiune au un procent de armare longitudinal (x)
egal cu zero.
𝜏𝑐𝑥𝑦
𝜎𝑐𝑥
𝜎𝑠𝑦
𝜎𝑐𝑦
107
Procentul de armare pe direcţie transversală se poate considera identic pentru toate
fibrele care se află la interiorul etrierilor, respectiv egal cu zero în zona de
acoperire.
Figura 4.17. Modalitatea de definire a procentelor de armare longitudinale
În cazul fibrelor care includ o armătură distribuită pe direcţie longitudinală,
matricea de rigiditate a fibrei folosită pentru determinarea matricei de rigiditate
secţională nu trebuie să includă şi aportul acesteia, expresia matricei de rigiditate
fiind în acest caz următoarea:
𝑫 = 𝑘11 𝑘12
𝑘21 𝑘22 =
𝐷11 − 𝐷𝑠𝑥 −𝐷12𝐷21
𝐷22𝐷13 −
𝐷12𝐷23
𝐷22
𝐷31 −𝐷32𝐷21
𝐷22𝐷33 −
𝐷32𝐷23
𝐷22
(4.75)
unde
𝐷𝑠𝑥 =σsx
e
휀𝑠𝑥e
(4.76)
Acelaşi lucru este valabil şi în cazul eforturilor, pe direcţia x considerându-se doar
eforturile de întindere şi compresiune din beton.
4.6. Concluzii şi observaţii
Dezvoltarea unui model de grindă multifibră de tip Timoshenko bazat pe fisurarea
distribuită necesită pe de o parte formularea matricială a legilor constituive ale
matrialelor care compun secţiunea, aceasta fiind într-o stare de eforturi şi deformaţii
biaxiale, iar pe de altă parte o ipoteză privind modul de distribuţie al eforturilor sau
7.5db
7.5db
7.5db
7.5db
Ac,ef , x= Ac,ef /Asy
Asy
Asy
Ac,ef , x= Ac,ef /Asy
Arie de beton
efectivă
108
deformaţiilor tangenţiale. Deoarece din ipotezele cinematice ale grinzilor multifibră
de tip Timoshenko se pot obţine la nivelul fibrelor care alcătuiesc secţiunea doar
două deformaţii specifice, la nivelul fiecarei fibre trebuie impusă o condiţie de
echilibru suplimentară pentru obţinerea deformaţiilor specifice pe direcţia normală
axei longitudinale a elementului.
Formularea matricială a legilor constituive conform MCFT este prezentată în prima
partea a acestui capitol, fiind discutate atât modul de implementare bazat pe
matricea de rigiditate secantă cât şi cel bazat pe matricea de rigiditate tangentă.
Deşi în cazul solictărilor statice folosirea matricei tangente are avantajul unui timp
de calcul scăzut, în cazul încărcărilor ciclice folosirea acesteia poate să ducă la
instabilităţi numerice (Palermo, 2003). Din acest motiv pentru implementarea
elementului în platforma OpenSees am preferat folosirea matricei de rigiditate
secante.
Din punct de vedere al implementării la nivel secţional, aşa cum este prezentat în
cea de-a doua parte a capitolului se pot folosi fie metode bazate pe o distribuţie fixă
a eforturilor sau deformaţiilor tangenţiale, fie metode bazate pe echilibru dintre
fibre. Având în vedere că distribuţie fixă a eforturilor impune cunoaşterea forţei
tăietoare, iar metodele bazate pe echilibrul dintre fibre necesită iteraţii suplimentare
la nivel secţional, am optat pentru o distribuţie fixă a deformaţiilor tangenţiale.
Modul de determinare al răspunsului secţional este prezentat în ultima parte a
capitolului, acesta alcătuind, împreună cu funcţiile de interpolare a deplasărilor
propuse de Friedman şi Kosmatka (Friedman şi Kosmatka, 1993), modelul teoretic
de grindă multifibră care ţine cont de interacţiunea moment – forţă tăietoare
dezvoltat în prezenta lucrare.
109
5. Implementarea modelului propus în platforma OpenSees
5.1. Descrierea platformei OpenSees
Platforma OpenSees (Open System for Earthquake Engineering) a fost dezvoltată în
cadrul PEER (Pacific Earthquake Engineering Research Center) începând cu anul
1995 cu scopul de a sigura o soluţie modernă de determinare a răspunsului seismic
al structurilor şi a interacţiunii sol-structură. Conceperea acestei platforme într-o
manieră modulară de tip „open source” a avut în vedere atragerea unui număr cât
mai mare de cercetători care să participe la dezvoltarea, testarea şi îmbunătăţirea
platformei.
Folosirea unei tehnici de programare moderne (cea mai mare parte a codului fiind
scris în C++) a permis elaborarea unei platforme de element finit mult mai flexibile.
Spre deosebire de programele clasice, dezvolatate preponderent în Fortran şi care au
o organizare procedurală, în platforma OpenSees programarea folosind un limbaj
orientat spre obiecte a permis elaborarea unor componente cât mai independente,
între care schimbul de informaţii este perfect controlat.
În cadrul platformei OpenSees obiectele reprezintă componente ale sistemului care
este modelat matematic, acestea fiind concepute astfel încât să poată descrie
matematic ecuaţiile din metoda elementului finit. Acest mod de lucru specific
limbajelor de programare orientate pe obiect permite definirea de obiecte abstracte
(clase) şi funcţii specifice ale acestora care sunt recunoscute de celelalte tipuri de
obiecte. Pe lângă obiectele abstracte, cele derivate prin „moştenire” (inheritance),
denumite în continuare subclase, sunt folosite pentru definirea diverselor modele
fizice, algoritmi de rezolvare etc. Cel mai simplu exemplu de obiect îl constitue
obiectul abstract de tip Element. În mod general, pentru o anumită stare de deplasări
nodale, acest tip de obiect abstract trebuie să furnizeze în cadrul unei analize cu
element finit forţele interioare şi matricea de rigiditate. Deoarece în modelarea
structurilor este nevoie de elemente punctuale, liniare, de suprafaţă sau de volum cu
formulări în forţe sau în deplasări, acestea se implementează în OpenSees sub forma
unor subclase, derivate din obiectul abstract de tip Element şi care moştenesc
funcţiile de ansamblu care îl definesc pe acesta şi asigură legătura cu celelalte tipuri
de obiecte. Acest mod de abordare simplifică adăugarea de elemente, materiale sau
tipuri de algoritmi, fără a interveni asupra celorlalte tipuri de obiecte.
Principalele componenete (obiecte) care alcatuiesc platforma OpenSees sunt
110
enumerate mai jos iar în figura 5.1 este dată diagrama de interdependenţă dintre
acestea:
- ModelBuilder – este o clasă abstractă care iniţializează modelul de analiză
(tipul problemei: unidimensional, bidimensional sau tridimensional) şi crează
prin intermediul subclaselor modelul de element finit;
- Domain – este clasa creată de ModelBuilder care stochează starea modelului la
un anumit pas al analizei;
- Analysis - clasa care analizează modelul şi care interacţionează în mod direct
cu componenta Domain;
- Recorder – componenta care monitorizează şi stochează informaţiile din
Domain (informaţiile despre componentele modelului şi starea acestora), mai
precis rezultatele necesare pentru postprocesare.
Figura 5.1. Componentele (obiectele) principale în platforma OpenSees
(Fenves et al. 2004)
Clasele care alcătuiesc modelul de element finit sunt cele tipice pentru un astfel de
program:
- Clasa de tip Nod care reprezintă un obiect de tip nod din modelul de element
finit. Această clasă stochează informaţiile legate de coordonatele locale şi
gradele de libertate ale nodului şi includ metode şi funcţii care furnizează sau
impun anumite deformaţii nodale.
- Clasa de tip Element care, aşa cum s-a precizat anterior, are ca funcţionalitate
de bază furnizarea informaţiilor despre matricea de rigiditate, de masă, de
amortizare şi eforturile interioare ale elementrului pe care îl modelează.
Această clasă este una abstractă şi furnizează metodele care trebuie
implementate în subclase care sunt derivate din ea, aşa cum este indicat în
figura 5.2;
ModelBuilder Domain Analysis
Recorder
111
- Clasa de tip Constraint care este o clasă menită să modeleze constrângerile
geometrice aplicate unuia (SP_Constraint) sau mai multor puncte
(MP_Constraint).
- Clasa de tip LoadPattern care permite aplicarea unor încărcări care sunt fie de
tip nodal (NodalLoad), fie asociate unui element (ElementLoad) fie de tip
accelerogramă (UniformExcitation sau MultipleSupport).
Clasa de tip Domain asamblează clasele precedente formând modelul de
element finit (figura 5.2b).
Figura 5.2. Organizarea claselor de tip Element şi de tip Domain
În ceea ce priveşte determinarea răspunsului structural, clasa Analysis este compusă
din cinci subclase care definesc modul în care este rezolvat sistemul de ecuaţii care
guvernează starea modelului la un anumit moment:
- Clasa Algorithm este clasa care impune algoritmul numeric folosit la
determinarea răspunsului structural într-un pas de încărcare (de ex. Newton-
Raphson, Kyrilov etc);
Domain
Node Element SP_Constraint MP_Constraint LoadPattern
NodalLoad ElementalLoad UniformExcitation MultipleSupport
Element
Truss Beam2d (3d) Disp/forceBeamColumn Shell/Quad StdBrick
112
- Clasa Integrator este clasa care impune în cazul analizelor static neliniare
modul în care este pilotată încărcarea (cu control în forţe, LoadControl sau în
deplasări, DispControl sau de tip ArcLength) iar în cazul analizelor dinamice
metoda de integrare a ecuaţiilor de mişcare (Newmark, HHT etc);
- Clasa ConstraintHandler impune metoda de rezolvare a sistemului de ecuaţii
în cazul constrângerilor geometrice (Metoda Multiplicatorilor Lagrange,
Metoda funcţiei de penalizare sau Metoda eliminării);
- Clasa Numberer care impune modul de renumerotare a gradelor de libertate
cu efect direct asupra formei matricei de rigiditate;
- Clasa SystemOfEqn care asamblează sistemul de ecuaţii şi impune solverul
necesar pentru rezolvarea acestuia.
Din punct de vedere a utilizatorilor, platforma este compilată sub forma unui
executabil independent care permite introducerea datelor fie prin intemediul
TCL/Tk, care este un limbaj de scripting bazat pe şiruri de caractere interpretate la
rulare, fie prin diverse interfeţe de tip grafic precum BuildinTcl, OpenSees
Navigator etc. Spre deosebire de alte programe de cercetare (DRAIN, ANSR sau
IDARC) limbajul de scripting folosit de OpenSees are avantajul unei flexibilităţi
sporite în introducerea datelor şi posibiliatea efectuării de studii parametrice.
5.2. Modele de grindă cu formulare în deplasări implementate în
OpenSees
Pentru a explica modul de implementare a elementului de grindă tip Timoshenko,
trebuie prezentat în prealabil modul de implementare a elementelor cu formulare în
deplasări din OpenSees. Două astfel de elemente sunt deja implementate şi anume:
DispBeamColumn şi DispBeamColumnInt.
În cazul elementului DispBeamColumn, care se bazează pe teoria de grindă de tip
Bernoulli, funcţiile de deplasare fiind scrise relativ la sistemul de coordonate care
defineşte poziţia deformată a elementului aşa cum este indicat în figura 5.3. Pentru
funcţiile de deplasare s-au folosit polinoame de tip Hermite valabile pentru
elemente de bară cu secţiune constantă şi comportare elastică. Pentru simplitate, în
ceea ce urmează este prezentat doar cazul bidimensional deşi în platformă este
implementat şi modelul tridimensional.
113
Figura 5.3. Sistemele de referinţă în poziţia nedeformată şi deformată a elementului
Relaţiile între deplasările nodale şi cele secţionale folosite pentru acest element se
scriu sub forma:
𝐮 𝑥 = 𝐍 𝑥 𝐮 (5.1)
cu
𝐮 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑇 (5.2)
𝐍 𝑥 = 𝑁1 0 00 𝑁2 𝑁3
(5.3)
𝑁1 =
𝑥
𝐿
𝑁2 = 𝑥 −2𝑥2
𝐿+
𝑥3
𝐿2
𝑁3 = −𝑥2
𝐿+
𝑥3
𝐿2
(5.4)
𝒖 = 𝑢2 𝜃1 𝜃2 𝑇 (5.5)
iar din relaţiile 2.2 se poate deduce relaţia între deplasările nodale şi deformaţiile
secţionale:
𝐞 𝑥 = 𝐁(𝑥)𝐮 (5.6)
unde
𝐞 𝑥 = 휀𝑥 𝜙𝑧 𝑇 = 𝑢′ 𝑥 𝑣"(𝑥) 𝑇 (5.7)
1 2
xE
yE
L
1
2 x
y
L
114
𝐁 𝑥 = 𝑁1′ 0 0
0 𝑁2′′ 𝑁3
′′ (5.8)
În principiu, elementul presupune o distribuţie liniară a curburii şi, datorită modului
de organizare al platformei OpenSees, răspunsul secţional este obţinut în funcţie de
tipul secţiunii (de tip multifibră sau de tip lege constitutivă).
Elementul DispBeamColumnInt a fost dezvoltat de Massone (Massone, 2006) ca o
extindere a macroelementului MVLM propus de Vulcano (Vulcano şi Bertero,
1987). Pentru a putea ţine cont de interacţiunea între moment şi forţă tăietoare,
Massone a folosit la nivelul elementului funcţii de formă specifice grinzilor de tip
Timoşenko, acestea fiind determinate astfel încât să reproducă în mod fidel
distribuţia deformaţiilor dintr-un macroelement MVLM. Deşi relaţia 5.1 este
valabilă în mod formal, spre deosebire de DispBeamColumn s-a folosit sistemul de
coordonate al elementului în poziţia nedeformată iar relaţiile între deplasările
nodale şi cele secţionale sunt următoarele:
𝑢 𝑥
𝑣 𝑥
𝜃𝑧 𝑥 =
𝑁1 0 0 𝑁2 0 00 𝑁3 𝑁4 0 𝑁5 𝑁6
0 0 𝑁7 0 0 𝑁8
𝑢1
𝑣1
𝜃1
𝑢2
𝑣2
𝜃2
(5.9)
cu
𝑁1,3 = 1 −
𝑥
𝐿
𝑁2,5 = 𝑥/𝐿
𝑁4 = 1 − 𝑐 𝑥 + ( 3𝑐 − 2 𝑥2)/𝐿 + 1 − 2𝑐 𝑥3/𝐿2 N6 = −N4
𝑁7 = 1 + 2(3𝑐 − 2)𝑥/𝐿 + 3 1 − 2𝑐 𝑥/𝐿 2
N8 = −2(3𝑐 − 2)𝑥/𝐿 − 3 1 − 2𝑐 𝑥/𝐿 2
(5.10)
Din ipotezele cinematice ale grinzilor de tip Timoshenko s-a dedus relaţia între
deplasările nodale şi deformaţiile secţionale:
115
𝐞 𝑥 = 𝐁 𝑥 𝐮 =
𝑁1′ 0 0 𝑁2
′ 0 0
0 𝑁3′ 𝑁4
′ −𝑁7 0 𝑁5′ 𝑁6
′ − 𝑁8
0 0 𝑁7′ 0 0 𝑁8
′
𝑢1
𝑣1
𝜃1
𝑢2
𝑣2
𝜃2
(5.11)
cu
𝐞 𝑥 = 휀𝑥 𝛾𝑥𝑦 𝜙𝑧 𝑇 (5.12)
Coeficientul 𝑐 este folosit pentru definirea unui punct, denumit de autor centru de
rotire şi are semnificaţia geometrică dată în figura 5.4. Valoarea coeficientului a fost
stabilită plecând de la încercări experimentale pe pereţi structurali în consolă şi
coincide cu valoarea folosită de Vulcano pentru MVLM. Aceste ipoteze folosite de
Massone la dezvoltarea elementului impun folosirea pentru DispBeamColumnInt a
unui singur punct de integrare numerică.
Din expresia deformaţiilor secţionale se poate deduce că în modelul propus de
Massone curbura îşi păstrează semnul pe toată lungimea unui element. Acest lucru,
împreună cu ipotezele folosite la determinarea funcţiilor de formă, limitează
aplicarea DispBeamColumnInt la pereţi în consolă.
Figura 5.4. Definirea centrului de rotire
cL (1-c)L
x
cL (1-c)L x
v
v
≡
Centru de rotire
Δ𝜃 = 𝜙𝑑𝑥
𝐿
0
𝑐𝐿 = 𝜙𝑥𝑑𝑥 𝐿
0
𝜙𝑑𝑥 𝐿
0
116
Spre deosebire de DispBeamColumn, care se poate folosi împreună cu orice tip de
model secţional care respectă ipotezele cinematice ale grinzilor de tip Euler,
DispBeamColumnInt se poate folosi doar cu un singur tip de secţiune, dezvoltat
special pentru acesta.
În modelul implementat de Massone secţiunea trebuie discretizată astfel încât
centrul de greutate al fibrelor de beton să coincidă cu cel al armăturilor, iar modul
de determinarea al răspunsului secţional se face folosind o distribuţie fixă a
deformaţiilor tangenţiale pe înălţimea secţiunii. Aşa cum s-a precizat în capitolul 4,
paragraful 4.4.4, folosind condiţiile cinematice date de ipoteza secţiunilor plane,
pentru fiecare fibră se pot determina direct deformaţiile specifice 휀𝑥 şi 𝜏𝑥𝑦 ,
deformaţia specifică 휀𝑦 trebuind determinată printr-un proces iterativ. Condiţia care
s-a impus în DispBeamColumnInt pentru determinarea lui 휀𝑦 este ca 𝜎𝑦 = 0 în
fiecare dintre fibre.
În modelul secţional implementat de Massone fibrele de beton sunt modelate ca
materiale cu comportare uniaxială şi bazate pe o formulare tangentă. Acest mod de
abordare a limitat modelul doar la aplicarea lui în cazul încărcărilor monoton
crescătoare, deşi materialele au fost implementate şi pentru încărcări uniaxiale
ciclice.
5.3. Implementarea modelului propus în OpenSees
Pentru implementarea în OpenSees a modelului de grindă Timoshenko care să ţină
cont de interacţiunea între moment şi forţă tăietoare a fost necesară implementarea
a trei clase:
- DispBeamColumn2dTim – subclasă de tip Element în care sunt
implementate ipotezele cinematice pentru o grindă de tip Timoshenko cu
funcţii de interpolare de tip Friedman şi Kosmatka;
- FiberMCFT – subclasă de tip Section care implementează răspunsul secţional
printr-o secţiune de tip multifibră ;
- NdMCFT – subclasă de tip Material folosită pentru determinarea răspunsului
fibrei de beton aflată într-o stare plană de tensiuni folosind relaţiile constitutive
ale MCFT.
În ceea ce urmează sunt prezentate la nivel conceptual modul de dezvoltare al
acestor clase şi relaţiile dintre acestea.
117
5.3.1. Subclasa DispBeamColumn2dTim
Fiind derivată din clasa abstractă de tip Element, subclasa DispBeamColumn2dTim
urmează modul de organizare şi funcţiile specifice acesteia. Deşi clasa Element
conţine un număr semnificativ de metode, implementarea unei clase pentru un
element nou se poate face folosind un model tip prezent în codul sursă, denumit
NewElement. Acest model tip are definite constructorul (funcţia care iniţializează
variabilele folosite la nivelul elementului), destructorul (funcţia care eliberează din
memorie variabilele iniţializate la nivelul constructorului) şi funcţiile care conţin
operaţiile specifice necesare determinării stării (matrice de rigiditate, starea de
eforturi şi deformaţii etc.) elementului la un anumit moment al analizei.
În principiu, funcţiile care trebuie definite la nivelul elementului se împart în şase
categorii:
- Funcţii care adaugă (iniţializează) elementul în clasa Domain şi care creează
referinţe (pointeri) către nodurile la care este conectat elementul;
- Funcţii care preiau informaţii despre nodurile la care este conectat elementul
(numarul de noduri, gradele de libertate);
- Funcţii care determină starea elementului în timpul analizei (actualizează
deplasările nodale într-o iteraţie, transmit informaţii despre atingerea
convergenţei într-un pas de încărcare etc.);
- Funcţii care actualizează matricea de rigidiatea a elementului (calculul matricei
de rigiditate);
- Funcţii pentru determinarea forţelor interioare ale elementului;
- Funcţii care se ocupă de stocarea rezultatelor.
Figura 5.5. Funcţiile clasei DispBeamColumn2dTim
DispBeamColumn2dTim
Funcţii care iniţializează elementul
( setDomain )
Funcţii care preiau informaţii despre noduri
(getNumExternalNodes, getExternalNodes, getNodePtrs,
getNumDOF)
Funcţii care determină starea elemntului în timpul analizei
(update , commitState, revertToLastCommit, revertToStart)
Funcţii care actualizează matricea de rigidiatea a elementului
(getTangentStiff, getInitialStiff)
Funcţii pentru determinarea forţelor interioare ale elementului
(getRestoringForce)
118
Din funcţiile enumerate în figura 5.5, funcţiile care alcătuiesc nucleul clasei sunt
funcţiile update, getTangentStiff şi getRestoringForce.
Pentru fiecare iteraţie dintr-un pas de încărcare, funcţia update preia deplasările
nodale din clasa Domain şi determină deformaţiile secţionale ale punctelor de
integrare date de relaţia:
𝐞 𝒙𝒊 = 𝐁 𝒙𝒊 𝐮 (5.13a)
𝐞 𝑥𝑖 =
𝑁1′ 0 0 𝑁2
′ 0 0
0 𝑁3−′ 𝑁7 𝑁4
′ −𝑁8 0 𝑁5′ −𝑁9 𝑁6
′ −𝑁10
0 𝑁7′ 𝑁8
′ 0 𝑁9′ 𝑁10
′
𝑢1
𝑣1
𝜃1
𝑢2
𝑣2
𝜃2
(5.13b)
unde 𝑁1…10 sunt funcţiile de interpolare ale modelului Friedman şi Kosmatka iar 𝑥𝑖
reprezintă coordonatele punctelor de integrare (secţiunilor de control) determinate
în funcţie de regula de integrare aleasă (Gauss Lobatto, Legendre etc). În mod
implicit elementul foloseşte regula de integrare Gauss Lobatto cu 4 puncte de
integrare.
Funcţiile de interpolare ale modelului Friedman şi Kosmatka pentru grinzi de tip
Timoshenko depind de raportul între rigiditatea la încovoiere şi rigidiatatea la
forfecare, 𝜙, care se deduce din expresia 2.31. În mod evident, în cazul unui
element cu comportare neliniară acest raport variază, însă în modelul implementat
s-a utilizat o valoare constată dată de soluţia elastică.
După ce sunt calculate deformaţiile secţionale ale punctelor de control, acestea sunt
transmise clasei FiberMCFT pentru determinarea rigidităţii secţionale.
În cazul elementelor cu formulare în deplasări, evaluarea matricei de rigiditate
pentru o iteraţie dintr-un pas de încărcare se realizează în cazul programelor de
element finit prin integrarea numerică a relaţiei 2.69:
𝑲𝒇 = 𝐁𝐓 𝒙 𝐊𝒔 𝒙 𝐁(𝒙)𝑳
𝟎𝒅𝒙 ≅ 𝑳 𝒘𝒊 𝐁
𝑻 𝒙𝒊 𝐊𝒔 𝒙𝒊 𝐁(𝒙𝒊)𝒎𝒊=𝟏 (5.14)
unde 𝑤𝑖 reprezintă factorii de pondere ai punctelor de integrare care, ca şi
coordonatele acestora, depind de regula de integrare.
119
Această determinare numerică a matricei de rigiditate a elementului este efectuată
de funcţia getTangentStiff, care preia pentru fiecare punct de control matricea
secţională calculată în cadrul clasei FiberMCFT.
Cu ajutorul funcţiei getRestoringForce se determină forţele interioare ale
elementului, folosind relaţia 2.70 pusă în formă numerică:
𝑸𝒓𝒇
= 𝑩𝑻 𝒙 ∙ 𝑺𝒓 𝒙 𝒅𝒙𝑳
𝟎≅ 𝐋 𝒘𝒊 𝐁
𝑻 𝒙𝒊 𝐒𝒓 𝒙𝒊 𝒎𝒊=𝟏 (5.15)
în care 𝐒𝑟 𝑥𝑖 reprezintă vectorul eforturilor secţionale în punctul de integrare 𝑖.
Schema logică de calcul pentru element este dată în figura 5.6:
120
Figura 5.6. Schema logică pentru clasa DispBeamColumn2dTim
DispBeamColumn2dTim::update
Deplasări nodale u
Pentru fiecare punct Gauss i=1,m
𝐵 𝑥𝑖
𝑒 𝑥𝑖 = 𝐵 𝑥𝑖 𝐮 i=i+1
𝐅𝐢𝐛𝐞𝐫𝐌𝐂𝐅𝐓
DispBeamColumn2dTim:: getTangentStiff
𝑘𝑠 𝑥𝑖
Pentru fiecare punct Gauss i=1,m
𝐾𝑓 = 𝐿 𝑤𝑘 𝐁𝑇 𝑥𝑘 𝐊𝑠 𝑥𝑘 𝐁(𝑥𝑘)
𝑖
𝑘=1
i=i+1
𝐒𝑟 𝑥𝑗
DispBeamColumn2dTim:: getRestoringForce
Pentru fiecare punct Gauss i=1,m
𝑸𝒓𝒇
= 𝐿 𝑤𝑘 𝐁𝑇 𝑥𝑘 𝐒𝑟 𝑥𝑘
𝑖
𝑘=1
i=i+1
Domain
121
5.3.2. Subclasa FiberMCFT
In OpenSees, pentru a nu afecta formulările folosite pentru elemente, răspunsul
secţional este determinat prin intermediul unor subclase care alcătuiesc clasa
generică denumită Material. Această abstractizare permite determinarea
răspunsului secţional independent de formularea elementului, clasa Material fiind
alcătuită din trei tipuri de subclase abstracte:
- UniaxialMaterial este o clasă abstractă folosită pentru definirea interfeţei
necesare construirii de materiale cu răspuns uniaxial de tip efort unitar-
deformaţie specifică sau forţă-deplasare;
- NDMaterial, este o generalizare a clasei UniaxialMaterial folosită pentru
definirea interfeţei necesare implementării legilor constitutive pentru răspunsul
unui material aflat într-o stare de eforturi şi deformaţii multiaxială;
- SectionForceDeformation este clasa folosită pentru definirea interfeţei
necesare implementării răspunsului secţional al elementelor de tip grindă sau
placă.
Fiecare din clasele enumerate mai sus includ subclase specifice, aşa cum este
indicat în figura 5.7, iar rigidităţile, deformaţiile şi eforturile depind de tipul clasei
(valori scalare pentru subclasele de tip UniaxialMaterial, matrici şi vectori în
cazul subclaselor de tip NDMaterial şi SectionForceDeformation).
Figura 5.7. Abstractizările principale ale clasei Material şi subclasele acestora
Material
UniaxialMaterial NDMaterial SectionForceDeformation
⋮
ElasticMaterial
Concrete01
⋮ Concrete07
Steel01
Steel02
⋮
ElasticIsotropic2D
ElasticIsotropicPlaneStrain2D
ElasticIsotropicPlaneStress2D
DruckerPrager
J2Plasticity
⋮
ElasticSection2D(3D)
ElasticShearSection2D(3D)
FiberSection2D(3D)
ElasticPlateSection
122
Subclasa FiberMCFT a fost creată pornind de la subclasa FiberSection2d, care
este o clasă folosită pentru elementele de grindă de tip Euler-Bernoulli. Spre
deosebire de FiberSection2d, unde răspunsul secţional şi determinarea matricei de
rigiditate se face prin integrarea numerică a răspunsului individual al tuturor fibrelor
cu comportare uniaxială, în cazul FiberMCFT răspunsul fibrelor este unul
multiaxial, fibrele care modelează betonul fiind într-o stare plană de tensiuni.
Din punct de vedere al programării, sublasa de tip FiberMCFT, pe lângă
constructorul şi destructorul necesar oricărei clase în C++, conţine mai multe
categorii de funcţii:
- Funcţii care sunt folosite la definirea secţiunii din punct de vedere geometric
prin stocarea poziţiei fibrelor şi a ariilor acestora, atribuirea materialelor
specifice fibrelor şi determinarea caracteristicilor geometrice principale
(centrul de greutate şi aria secţiunii);
- Funcţii care determină starea secţiunii într-o iteraţie dintr-un pas de încărcare;
- Funcţii care transmit către element matricea de rigidiate sau eforturile
secţionale;
- Funcţii care sunt folosite pentru stabilirea rezultatelor şi salvarea acestora;
Figura 5.8. Funcţiile clasei FiberMCFT
Pentru secţiuni determinarea stării de eforturi secţionale se face plecând de la
vectorul deformaţiilor secţionale care, în cazul OpenSees, este preluat din cadrul
subclasei de tip Element. Funcţia de bază a unei clase de tip
SectionForceDeformation este cea SetTrialSectionDeformation. Acestă funcţie
FiberMCFT
Funcţii folosite la definirea secţiunii
( addfiber )
Funcţii pentru determinarea stării secţiunii
(SetTrialSectionDeformation)
Funcţii care transmit către element matricea de rigiditate secţională (getSectionTangent) sau eforturile secţionale
(getStressResultants)
Funcţii care actualizează matricea de rigiditatea a elementului
(getTangentStiff, getInitialStiff)
Funcţii care sunt folosite pentru stabilirea rezultatelor
(setResponse) şi salvarea acestora (getResponse, Print)
123
este apelată de element în cadrul funţiei update, unde, pentru o iteraţie dintr-un pas
de încărcare, deformaţiile secţionale ale punctelor de integrare sunt calculate în
funcţie de deplasările nodale şi funcţiile de interpolare.
In cadrul acestei funcţii, pentru o secţiune cu o geometrie oarecare, compusă din n
fibre de beton şi m fibre de oţel (pentru armăturile longitudinale), determinarea
matricii de rigidiate şi a eforturilor secţionale se face conform paşilor descrişi mai
jos:
- Pentru fiecare fibră în parte se determină vectorul deformaţiilor specifice cu
ajutorul relaţiei 4.66:
휀𝑖 = 휀𝑥 ,𝑖
𝛾𝑥𝑦 ,𝑖 = 𝑙 𝑦𝑖 𝑒 =
1 𝑦𝑖 00 0 1
휀𝑥𝑠𝜙𝑧𝑠𝛾𝑥𝑦𝑠
, cu i=1…n – pentru beton
휀𝑗 = 휀𝑥 ,𝑗
𝛾𝑥𝑦 ,𝑗 = 𝑙 𝑦𝑖 𝑒 =
1 𝑦𝑗 0
0 0 1
휀𝑥𝑠𝜙𝑧𝑠𝛾𝑥𝑦𝑠
cu j=1…m – pentru oţel
- Pentru fibrele care modelează armăturile longitudinale, deformaţia tangenţială
este neglijată, răspunsul fiind uniaxial, obţinându-se cu ajutorul unei clase de
tip NDMaterial matricea de rigiditate şi efortul unitar:
𝑫 𝒔,𝒋 = 𝑨𝒔,𝒋𝑬 𝒔,𝒋 𝟎
𝟎 𝟎 (5.16)
𝜎𝑠,𝑗 = 𝜎𝑠,𝑗 0 𝑇 (5.17)
Punerea sub forma de mai sus este strict formală, ca şi folosirea unei clase de
tip NDMaterial pentru oţel. Răspunsul fiind unul uniaxial, rigiditatea barei şi
efortul uniaxial sunt de fapt scalari, dar determinarea matricii de rigiditate
descrisă mai jos necesită folosirea acestei forme.
- Pentru fibrele care modelează betonul, determinarea stării de eforturi se face
impunând condiţia din relaţia 4.73. Cum deformaţia specifică 휀𝑓𝑦 ,𝑖 nu este
cunoscută, determinarea acesteia astfel încât să fie îndeplinită condiţia 4.73
necesită un proces iterativ la nivelul fibrei. Pentru prima iteraţie se poate
considera o valoare oarecare, care, în modelul implementat s-a considerat egală
cu zero iar în iteraţiile ulterioare aceasta se determină cu relaţia 4.74.
124
Atunci când condiţia 4.73 este îndeplinită se poate determina matricea de
rigiditate secantă a fibrei dată de relaţia 4.75 şi vectorul eforturilor unitare:
𝐷 𝑐 ,𝑖 = 𝑘𝑐11,𝑖 𝑘𝑐12,𝑖
𝑘𝑐21,𝑖 𝑘𝑐22,𝑖 (5.18)
𝜎𝑐 𝑖 = 𝜎𝑐 ,𝑖 𝜏𝑐 ,𝑖 𝑇 (5.19)
- Determinarea eforturilor secţionale se face prin integrare numerică a relaţiei
4.77:
𝑆𝑟 =
𝑁𝑀𝑧
𝑉𝑦
=
𝐴𝑐 ,𝑖𝜎𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1 + 𝐴𝑠,𝑗𝜎𝑠,𝑗
𝑚𝑗=1
𝐴𝑐 ,𝑖𝜎𝑐 ,𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1 + 𝐴𝑠,𝑗𝜎𝑠,𝑗𝑦𝑗
𝑚𝑗=1
𝐴𝑐 ,𝑖𝜏𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1
(5.20)
- Evaluarea numerică a matricei de rigiditate secţională se face cu relaţiile
următoare:
𝑲𝑠 = 𝑙𝑇 𝑦𝑖 𝐷 𝑐 ,𝑖𝑙 𝑦𝑖 𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑙𝑇 𝑦𝑗 𝐷 𝑠,𝑖𝑙 𝑦𝑗 𝐴𝑠,𝑗
𝑚𝑗=1 (5.21)
𝑲𝑠 =
𝐾𝑠11 𝐾𝑠12 𝐾𝑠13
𝐾𝑠21 𝐾𝑠22 𝐾𝑠23
𝐾𝑠31 𝐾𝑠32 𝐾𝑠33
(5.22)
𝐾𝑠11 = 𝑘𝑐11,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖
𝑛𝑖=1 + 𝐸 𝑠,𝑗𝐴𝑠,𝑗
𝑚𝑗=1
𝐾𝑠12 = 𝑦𝑖𝑘𝑐11,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑦𝑗𝐸 𝑠,𝑗𝐴𝑠,𝑗
𝑚𝑗=1
𝐾𝑠13 = 𝑘𝑐12,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1
𝐾𝑠21 = 𝑦𝑖𝑘𝑐11,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1 + 𝑦𝑗𝐸 𝑠,𝑗𝐴𝑠,𝑗
𝑚𝑗=1
𝐾𝑠22 = 𝑦𝑖2𝑘𝑐11,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖
𝑛𝑖=1 + 𝑦𝑗
2𝐸 𝑠,𝑗𝐴𝑠,𝑗𝑚𝑗=1
𝐾𝑠23 = 𝑦𝑖𝑘𝑐12,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1
𝐾𝑠31 = 𝑘𝑐21,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1
𝐾𝑠32 = 𝑦𝑖𝑘𝑐21,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1
𝐾𝑠33 = 𝑘𝑐22,𝑖𝐴𝑐 ,𝑖𝑛𝑖=1
(5.23)
5.3.3. Subclasa NdMCFT
Aşa cum s-a precizat anterior, starea de eforturi multiaxială a fibrelor de beton
necesită dezvoltarea unei subclase de tip NdMaterial, denumită NdMCFT,
subclasă necesară determinării matricei de rigiditate condensate 𝐷 𝑐 şi a vectorului
eforturilor unitare 𝜎𝑐 = {𝜎𝑐𝑥 𝜏𝑐𝑥𝑦 }.
125
Această subclasă este definită prin proprietăţiile materialelor, beton şi oţel, iar
modul de organizare este asemănător cu cel descris în paragraful precedent.
Deformaţiile specifice sunt transmise clasei NdMCFT din subclasa FiberMCFT
iar prin intermediul funcţiei SetTrialDeformation, care preia aceste deformaţii
specifice, sunt calculate eforturile unitare şi matricea de rigiditate a fibrei.
Două funcţii specifice determină răspunsul materialelor funcţie de istoria încărcării
şi de deformaţiile specifice curente transmise de subclasa FiberMCFT.
Pentru oţel, modelul Menegoto – Pinto descris în capitolul 4, care este deja
implementat în OpenSees şi la care doar modul de definire a rigidităţii s-a
modificat, în loc de rigiditatea tangentă fiind folosită rigiditatea secantă.
Pentru beton s-a folosit o curbă de bază de tip Thorenfeldt iar modelul ciclic
implementat a urmat regulile propuse de Vecchio. Deşi modelul este unul
simplificat, care nu ţine cont de mai multe fenomene specifice comportării ciclice a
betonului (închiderea fisurilor, degradarea de rigiditate la descărcare etc.) opţiunea
pentru modelul Vecchio s-a datorat simplităţii implementării numerice. Deformaţia
plastică a betonului la întindere nu se consideră, aceasta fiind valabilă doar în cazul
compresiunii. In figura 5.9 este reprezentat răspunsul obţinut cu acest model pentru
o solicitare de tip încărcare-descărcare uniaxială de întindere.
În cazul încărcărilor ciclice, curba înfăşurătoare la întindere are originea în punctul
de coordonate 휀 = 0, 𝜎𝑐 = 0 (figura 5.10) dacă solicitarea iniţială este de întindere.
Dacă solicitarea iniţială este de compresiune, pentru a ţine cont de faptul că se
dezvoltă deformaţii plastice, curba înfăşurătoare la întindere are originea în punctul
de coordonate 휀 = 휀𝑐𝑖 , 𝜎𝑐 = 0, unde 휀𝑐
𝑖 este deformaţia plastică iniţială,
corespunzătoare primei descărcări la compresiune (figura 5.11).
Figura 5.9. Răspunsul pentru încărcare-descărcare uniaxială de întindere
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800
c
(MP
a)
c (x10-3)
Primul ciclu
Al doilea ciclu
126
Figura 5.10. Cicluri de încărcare la care solicitarea iniţială este de întindere
Figura 5.11. Cicluri de încărcare la care solicitarea iniţială este de compresiune
Calcularea eforturilor unitare 𝜎𝑖 = 𝜎𝑥 ,𝑖 𝜎𝑦 ,𝑖 𝜏𝑥𝑦 ,𝑖 şi a matricei de rigiditate
𝐷𝑖 pentru o iteraţie curentă (notată cu i) dintr-un pas de încărcare constă în
determinarea acestora pornind de la deformaţiile specifice din iteraţia curentă
휀𝑖 = 휀𝑥 ,𝑖 휀𝑦 ,𝑖 𝛾𝑥𝑦 ,𝑖 şi următoarele deformaţii şi eforturi din iteraţia anterioară:
- 휀𝑖−1 = 휀𝑥 ,𝑖−1 휀𝑦 ,𝑖−1 𝛾𝑥𝑦 ,𝑖−1 - vectorul deformaţiilor specifice ale
materialului compozit;
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
-0.0035-0.003-0.0025-0.002-0.0015-0.001-0.000500.00050.001
c
(MP
a)
c
Primul ciclu
Al doilea ciclu
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
-0.0035-0.003-0.0025-0.002-0.0015-0.001-0.000500.00050.001
c
(MP
a)
c
Primul ciclu
Al doilea ciclu
127
- 휀𝑐 ,𝑖−1𝑝
= 휀𝑐𝑥 ,𝑖−1𝑝
휀𝑐𝑦 ,𝑖−1𝑝
𝛾𝑐𝑥𝑦 ,𝑖−1𝑝
- vectorul deformaţiilor plastice ale
betonului;
- 휀𝑐𝑚 ,𝑖−1 = 휀𝑐𝑚𝑥 ,𝑖−1 휀𝑐𝑚𝑦 ,𝑖−1 𝛾𝑐𝑚𝑥𝑦 ,𝑖−1 - vectorul deformaţiilor maxime
ale betonului la compresiune;
- 휀𝑡𝑚 ,𝑖−1 = 휀𝑡𝑚𝑥 ,𝑖−1 휀𝑡𝑚𝑦 ,𝑖−1 𝛾𝑡𝑚𝑥𝑦 ,𝑖−1 - vectorul deformaţiilor maxime
ale betonului la întindere;
- 𝜎𝑐 ,𝑖−1 = 𝜎𝑐𝑥 ,𝑖−1 𝜎𝑐𝑦 ,𝑖−1 𝜏𝑐𝑥𝑦 ,𝑖−1 – vectorul eforturilor unitare în beton;
- 휀𝑠𝑥 ,𝑖−1 şi 휀𝑠𝑦 ,𝑖−1 deformaţiile specifice ale oţelului în direcţiile x şi y;
- 𝑓𝑠𝑥 ,𝑖−1 şi 𝑓𝑠𝑦 ,𝑖−1 eforturile unitare ale oţelului în direcţiile x şi y;
- 휀𝑠𝑥 ,𝑖−1𝑝
şi 휀𝑠𝑦 ,𝑖−1𝑝
deformaţiile plastice ale oţelului în direcţiile x şi y;
- 휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖−1+ , 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖−1
+ , 휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖−1− şi 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖−1
− deformaţiile maxime pozitive şi
negative ale oţelului în direcţiile x şi y;
Algoritmul de calcul utilizat presupune mai mulţi paşi care sunt detaliaţi mai jos.
Pasul 1 – Determinarea deformaţiilor specifice elastice şi unghiul direcţiilor
principale pentru beton
1.1 Se presupune că incrementul deformaţiilor specifice este un increment
elastic de unde rezultă:
𝜺𝒊𝒆 = 𝜺𝒊 − 𝜺𝒄,𝒊−𝟏
𝒑
1.2 Se determină deformaţiile specifice elastice în direcţiile principale
휀𝑐1,𝑖𝑒 şi 휀𝑐2,𝑖
𝑒 cu ajutorul relaţiei 3.2, în care se folosesc deformaţiile
elastice determinate la pasul 1.1;
1.3 Folosind deformaţiile elastice, cu relaţia 3.3 se determină unghiul
direcţiilor principale 𝜃𝑖 .
Pasul 2 – Determinarea deformaţiilor şi eforturilor în beton în direcţiile principale
2.1 Pentru fiecare direcţie principală eforturile şi deformaţiile specifice
din beton sunt calculate folosind modelului Vecchio pentru beton.
Având în vedere că direcţiile principale se pot roti, variabilele de care
depinde modelul Vecchio sunt salvate în memorie pentru direcţiile x şi
y iar, pentru a determina noua stare de eforturi, componentele
deformaţiilor specifice şi eforturilor din iteraţia anterioară după
direcţiile principale ale iteraţiei curente 𝜃𝑖 trebuie determinate folosind
128
transformările date de cercul lui Mohr sau cele din starea plană de
deformaţii sau din starea plană de eforturi:
- 휀𝑐,𝑖−1𝑝
→ cu 𝜃𝑖 → 휀𝑐1,𝑖−1𝑝
, 휀𝑐2,𝑖−1𝑝
(din relaţiile 4.33 şi 4.34);
- 휀𝑐𝑚 ,𝑖−1 → cu 𝜃𝑖 → 휀𝑐𝑚1,𝑖−1, 휀𝑐𝑚2,𝑖−1 (din relaţiile 4.36 şi 4.37);
- 휀𝑡𝑚 ,𝑖−1 → cu 𝜃𝑖 → 휀𝑡𝑚 1,𝑖−1, 휀𝑡𝑚2,𝑖−1 (din relaţiile 4.42 şi 4.43);
- 휀𝑖 → cu 𝜃𝑖 → 휀𝑐1,𝑖 , 휀𝑐2,𝑖 (din relaţia de transformare pentru starea
plană de deformaţii);
- 휀𝑖−1 → cu 𝜃𝑖 → 휀𝑐1,𝑖−1, 휀𝑐2,𝑖−1 (din relaţia de transformare pentru
starea plană de deformaţii);
- 𝜎𝑖−1 → cu 𝜃𝑖 → 𝜎𝑐1,𝑖−1, 𝜎𝑐2,𝑖−1 (din relaţia de transformare pentru
starea plană de eforturi);
2.2 Folosind modelul Vecchio pe fiecare din cele două direcţii se obţin
eforturile medii 𝜎𝑐1,𝑖 şi 𝜎𝑐2,𝑖 şi noile deformaţii specifice
휀𝑐1,𝑖𝑝
, 휀𝑐2,𝑖𝑝
, 휀𝑐𝑚1,𝑖 , 휀𝑐𝑚2,𝑖 , 휀𝑡𝑚1,𝑖 , 휀𝑡𝑚2,𝑖. Incrementele deformaţiilor
plastice Δ휀𝑐1,𝑖𝑝
şi Δ휀𝑐2,𝑖𝑝
se deduc din diferenţa între deformaţiile
plastice instantanee calculate cu relaţia 4.50 şi deformaţiile plastice
din pasul anterior (휀𝑐1,𝑖−1𝑝
, 휀𝑐2,𝑖−1𝑝
). Incrementele deformaţiilor
maxime de compresiune (Δ휀𝑐𝑚1,𝑖 ,Δ휀𝑐𝑚2,𝑖) se determină cu relaţiile
4.38 şi 4.39 iar incrementele deformaţiilor maxime de întindere
(Δ휀𝑡𝑚1,𝑖 ,Δ휀𝑡𝑚 2,𝑖) se determină cu relaţiile 4.44 şi 4.45.
Pasul 3 – Determinarea eforturilor în oţel
Determinarea eforturilor în oţel pe direcţia x sau y se face folosind modelul
Menegoto – Pinto.
3.1 Se determină deformaţiile specifice ale oţelului în cele două direcţii:
- 휀𝑠𝑥 ,𝑖 = 휀𝑥 ,𝑖
- 휀𝑠𝑦 ,𝑖 = 휀𝑥 ,𝑖
3.2 Folosind ca date de intrare deformaţiile din iteraţia curentă (휀𝑠𝑥 ,𝑖 şi
휀𝑠𝑦 ,𝑖), eforturile (𝜎𝑠𝑥 ,𝑖−1 şi 𝜎𝑠𝑦 ,𝑖−1) şi deformaţiile (휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖−1+ , 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖−1
+ ,
휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖−1− şi 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖−1
− ) din iteraţia anterioară, cu ajutorul modelului
Menegoto – Pinto se determină noile valori ale eforturilor unitare (𝑓𝑠𝑥 ,𝑖
şi 𝑓𝑠𝑦 ,𝑖), ale deformaţiilor plastice (휀𝑠𝑥 ,𝑖𝑝
şi 휀𝑠𝑦 ,𝑖𝑝
) şi ale deformaţiilor
maxime (휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖+ , 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖
+ , 휀𝑠𝑚𝑥 ,𝑖− şi 휀𝑠𝑚𝑦 ,𝑖
− ).
129
Pasul 4 – Determinarea matricei de rigiditate a materialului
4.1 Se determină modulii secanţi pentru beton şi oţel:
- 𝐸 𝑐1,𝑖 = 𝜎𝑐1,𝑖/(휀𝑐1,𝑖 − 휀𝑐1,𝑖𝑝
)
- 𝐸 𝑐2,𝑖 = 𝜎𝑐2,𝑖/(휀𝑐2,𝑖 − 휀𝑐2,𝑖𝑝
)
- 𝐺 𝑐 ,𝑖 = 𝐸 𝑐1,𝑖𝐸 𝑐2,𝑖/(𝐸 𝑐1,𝑖 + 𝐸 𝑐2,𝑖)
- 𝐸 𝑠𝑥 ,𝑖 = 𝜎𝑠𝑥 ,𝑖/(휀𝑠𝑥 ,𝑖 − 휀𝑠𝑥 ,𝑖𝑝
)
- 𝐸 𝑠𝑦 ,𝑖 = 𝜎𝑠𝑦 ,𝑖/(휀𝑠𝑦 ,𝑖 − 휀𝑠𝑦 ,𝑖𝑝
)
4.2 Se determină matricile de rigidiatate pentru beton şi oţel:
- 𝐷 𝑐 ,𝑖′ =
𝐸 𝑐2,𝑖 0 0
0 𝐸 𝑐1,𝑖 0
0 0 𝐺 𝑐 ,𝑖
- 𝑇 𝑐𝑖 =
cos2 𝜃𝑖 sin2 𝜃𝑖 sin𝜃𝑖 cos𝜃𝑖
sin2 𝜃𝑖 cos2 𝜃𝑖 − sin 𝜃𝑖 cos𝜃𝑖−2 sin 𝜃𝑖 cos𝜃𝑖 2 sin 𝜃𝑖 cos𝜃𝑖 cos2 𝜃𝑖 − sin2 𝜃𝑖
- 𝐷 𝑐 ,𝑖 = 𝑇 𝑐 ,𝑖𝑇 𝐷 𝑐 ,𝑖
′ 𝑇 𝑐 ,𝑖
- 𝐷 𝑠𝑥 ,𝑖 = 𝜌𝑥𝐸 𝑠𝑥 ,𝑖 0 0
0 0 00 0 0
- 𝐷 𝑠𝑦 ,𝑖 = 0 0 00 𝜌𝑦𝐸 𝑠𝑦 ,𝑖 0
0 0 0
- 𝐷 𝑖 = 𝐷 𝑐 ,𝑖 + 𝐷 𝑠𝑥 ,𝑖 + 𝐷 𝑠𝑦 ,𝑖
- 𝐷 𝑖𝑟𝑒𝑑 = 𝐷 𝑐 ,𝑖 + 𝐷 𝑠𝑦 ,𝑖
Pasul 5 – Determinarea eforturilor unitare
Eforturile unitare din oţel se determină cu modelul Menegoto – Pinto în pasul 3.
5.1 Se determină eforturile unitare din beton
- 𝜎𝑐 ,𝑖 = 𝐷 𝑐 ,𝑖 휀𝑖 − 휀𝑐,𝑖𝑝
130
5.2 Se determină eforturile unitare totale
- 𝜎𝑖 = 𝐷 𝑖 휀𝑖 − 𝐷 𝑐 ,𝑖 휀𝑐 ,𝑖𝑝 − 𝐷 𝑠𝑥 ,𝑖 휀𝑠𝑥 ,𝑖
𝑝 − 𝐷 𝑠𝑦 ,𝑖 휀𝑠𝑦 ,𝑖
𝑝
5.3 Se determină eforturile unitare fără aportul armăturii pe direcţia x
- 𝜎𝑖 𝑟𝑒𝑑 = 𝜎𝑖 − 𝐷 𝑠𝑥 ,𝑖( 휀𝑠𝑥 ,𝑖 − 휀𝑠𝑥 ,𝑖
𝑝 )
Pasul 6 – Salvarea variabilelor necesare pentru următoarea iteraţie.
Se observă că în pasul 4.2 se calculează o matrice de rigiditate 𝐷 𝑖𝑟𝑒𝑑 care nu ţine
cont de aportul de rigiditate dat de armătura pe direcţia x iar în pasul 5.3 un vector
al eforturilor 𝜎𝑖 𝑟𝑒𝑑 care nu ţine cont de efortul din aceasta. Acest lucru se
datorează faptului că, aşa cum s-a precizat şi în capitolul 4, determinarea matricei de
rigiditate secţională şi a eforturilor secţionale se face în funcţie de poziţia,
deformaţia specifică, rigiditatea şi efortul armăturilor.
5.1. Concluzii şi observaţii
În prima parte a acestui capitol este prezentată succint platforma OpenSees, pundu-
se în evidenţă componenetele principale ale acesteia şi modul lor de interacţiune.
Din descriere platformei se observă avantajul major pe care în oferă programare
acesteia într-un limbaj orientat pe obiecte: modularitatea. Acest caracteristică a
platformei OpenSees permite implementarea ierarhizată a unui element finit
folosind mai multe clase specifice pentru fiecare nivel al anlizei: clase pentru
analiza la nivel de material, de secţiune sau de element.
Prezentarea modului în care a fost implementat elementul dezvoltat în teză este
structurată pornind de la clasele care-l compun:
- Clasa DispBeamColumn2dTim care permite determinarea forţelor interioare,
a matricei de rigiditate a elementului şi a deformaţiilor secţionale;
- Clasa FiberMCFT care permite determinarea eforturilor secţionale şi a
matricei de rigiditate;
- Clasa NdMCFT care permite determinarea eforturilor unitare şi a matricei de
rigiditate a materialului unei fibre.
131
Pentru fiecare clasă în parte sunt prezentate funcţiile cele mai importante şi, acolo
unde este cazul, este prezentat şi modul de interacţiune dintre clase (de exemplu
modul în care sunt transformate deplasările nodale în deformaţii secţionale sau
modul de asamblare a matricii de rigiditate a elementului pornind de la matricea de
rigiditate secţională a punctelor de integrare).
132
6. Validarea modelului implementat în OpenSees
6.1. Descrierea modului de validare
Validarea modelului s-a realizat prin compararea rezultatelor analitice cu cele
obţinute experimental, folosindu-se rezultatele încercărilor preluate din literatura de
specialitate.
O primă serie de simulări numerice a fost făcută pentru elemente supuse la solicitări
statice. Au alese pentru validare încercările pe grinzi realizate de Bresler şi
Scordelis (Bresler şi Scordelis 1964) şi încercările realizate de Tompos şi Frosch
(Tompos şi Frosh 2002).
Pentru încărcări ciclice a fost realizată o a doua serie de simulări numerice pe
elemente de tip pereţi. Încercările folosite pentru validarea modelului la încărcări
ciclice s-au ales astfel încât influenţa forţei tăietoare să fie importantă. Astfel au fost
considerate încercările pe pereţi efectuate de Oesterle et al. (Oesterle et al. 1976)
pentru Portland Cement Association la care braţul normalizat la forţă tăietoare a
(𝑎 = 𝑀/(𝑉) este 2.50 şi un perete încercat Athanasopoulou (Athanasopoulou
2010) unde a este de 1.50.
Pentru fiecare simulare numerică sunt prezentate detaliile specimenelor testate –
geometrie, armare etc.-, modelul de element finit iar rezultatele obţinute
experimental sunt comparate cu cele obţinute analitic sub forma unor curbe de tip
forţă –deplasare.
6.2. Observaţii privind modul de desfăşurare a analizei în OpenSees
Folosirea programelor de element finit pentru calculul static neliniar necesită câteva
observaţii referitoare la modul în care elementele sunt discretizate. În analizele
statice şi dinamice neliniare, spre deosebire de analizele elastice folosirea unui
număr ridicat de segmente (elemente finite) pentru un element structural poate
genera instabilităţi numerice sau poate conduce la rezultate eronate. Aşa cum s-a
menţionat în capitolul doi elementele de tip bară, indiferent de modul de formulare
pot duce la rezulate eronate în funcţie de modul lor de discretizare. Modelul propus
în prezenta lucrare se bazează pe o formulare în deplasări, iar ca metodă de
integrare numerică s-a folosit de metoda Gauss-Legendre, chiar dacă, datorită
flexibilităţii platformei OpenSees, se pot folosi mai multe reguli de integrare. În
ceea ce priveşte numărul de puncte de integrare acesta a fost egal cu 2 în toate
133
simulările numerice. Deoarece în toate cazurile răspunsul secţional a fost unul cu
consolidare, fenomenul de localizare nu s-a manifestat în nici una din simulările
numerice efectuate. Indiferent de tipul solicitării (monoton crescătoare sau ciclică)
numărul de elemente folosit a fost stabilit plecând de la un caz de încărcare
monoton crescătoare cu control în deplasări, deplasarea maximă considerată fiind
deplasarea maximă obţinută experimental.
6.3. Simulări numerice pentru grinzi solicitate monoton crescător
Validarea la încărcări statice s-a realizat pentru grinzi la care, deşi braţul normalizat
la forţă tăietoare este mai mare de 2.5, cantitatea de armătură longitudinală
prevăzută a făcut ca ruperea să fie una din forţă tăietoare. Aşa cum s-a menţionat
anterior au fost folosite rezultatele experimentale din două serii de teste: testele
clasice efectuate de Bresler şi Scordelis în 1964 (Bresler şi Scordelis, 1964) şi cele
efectuate de Tompos şi Frosch (Tompos şi Frosch, 2002).
6.3.1. Grinzile testate de Bresler şi Scordelis (Bresler şi Scordelis, 1964)
Cele zece grinzi testate de către Bresler şi Scordelis în 1964 au constat din patru
serii de câte două, respectiv trei grinzi, fiecare serie de grinzi având valori ale
procentelor de armare longitudinală şi transversală, dimensiunile secţiunii şi
rezistenţele betonului şi armăturii diferite. Toate grinzile au avut secţiuni
dreptunghiulare, la care înălţimea secţiunii a fost păstrată constantă. În cazul
grinzilor cu armătură transversală s-au folosit etrieri închişi, procentul de armare
transversală variind de la 0.00 % la 0.20 %. Pentru a evita pierderea aderenţei
barelor longitudinale datorită unei ancorări insuficiente acestea au fost prelungite
pâna la extremităti şi au fost fixate de de placi metalice cu grosime de 35mm.
Pentru o serie de grinzi armătura de pe rândul 2 a fost întreruptă la o distanţă de 635
mm de la capătul grinzii.
Toate grinzile au fost supuse la o încărcare monoton cerescătoare aplicată la
mijlocul deschiderii, încercările fiind pilotate cu control în forţe.
Rezistenţele betonului şi dimensiunile grinzilor sunt date în tabelul 6.1 iar
procentele de armare longitudinala sunt date în tabelul 6.2. Modul de armare al
elementelor este dat în figura 6.1.
134
Figura 6.1. Detalii grinzi Bresler-Scordelis (Bresler şi Scordelis 1964)
Tabelul 6.1. Rezistenţele betonului şi dimensiunile
Grinda
fc' ft b h d L 𝑎 =𝑀
𝑉
(Mpa) (Mpa) (mm) (mm) (mm) (mm)
XB-I 24.55 3.94 229 552 457 3658 3.31
CA-I 26.69 4.50 305 552 457 3658 3.31
CB-I 24.76 4.00 229 552 457 3658 3.31
CC-I 27.24 4.02 152 552 457 3658 3.31
RA-I 24.90 3.93 305 552 457 3658 3.31
RB-I 24.62 3.96 229 552 457 3658 3.31
RC-I 29.17 3.87 152 552 457 3658 3.31
Tabelul 6.2. Procente de armare şi rezistenţe armătură
Grinda l fy w fyw
(%) (MPa) (%) (MPa)
XB-I 2.44 665 0.55 345
CA-I 1.83 665 0.37 345
CB-I 2.47 665 0.55 345
CC-I 1.85 665 0.75 345
RA-I 1.66 655 0.38 345
RB-I 2.21 655 0.55 345
RC-I 1.63 655 0.74 345
457
305 552
343
63.5
552
343
63.5
229
457
552
457
343
63.5
152
305
552
343
6
3.5
552
343
6
3.5
229
457
63
.5
152
552
CA-I CB-I (XB-I) CC-I
RA-I RB-I RC-I
457
457
135
Modelarea grinzilor s-a realizat conform schemei din figura 6.2a, doar jumătate din
grindă fiind modelată. Aşa cum s-a menţionat anterior, analiza neliniară s-a realizat
folosind controlul în deplasări, nodului corespunzător încastrării glisante
impunândui-se un increment al deplasării pe verticală egal cu 1/100 din săgeata
maximă obţinută experimental. La grinzile CA-1, CB-1 şi CC 1 primele două
segmente au s-au folosit doar două bare la partea inferioara pentru a ţine cont de
faptul că jumătate din armături se întrerup (figura 6.2b).
Figura 6.2. Modelarea grinzilor Bresler-Scordelis
În paralel cu analiza neliniară efectuată folosind modelul implementat s-a realizat şi
o analiză folosind elementul DispBeamColumn descris în capitolul anterior. În
figurile 6.3...6.9 sunt prezentate rezultatele obţinute experimental şi numeric.
Figura 6.3. Rezultate grindă XB-I
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
Fo
rta
(kN
)
Sageata (mm)
Experimental
DispBeamTimosh.
DispBeamColumn
1 2 3 4 5
elemetele 1 şi 2 elemetele 3,4 şi 5 b) Secţiunile folosite pentru grinzile CA-I, CB-I şi CC-I
a) Modul de discretizare a grinzii
136
Figura 6.4. Rezultate grindă CA-I
Figura 6.5. Rezultate grindă CB-I
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
Fo
rta
(kN
)
Sageata (mm)
Experimental
DispBeamTimosh.
DispBeamColumn
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
Fo
rta
(kN
)
Sageata (mm)
Experimental
DispBeamTimosh.
DispBeamColumn
137
Figura 6.6. Rezultate grindă CC-I
Figura 6.7. Rezultate grindă RA-I
0
50
100
150
200
250
300
350
0 5 10 15 20
Fo
rta
(kN
)
Sageata (mm)
Experimental
DispBeamTimosh.
DispBeamColumn
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15
Fo
rta
(kN
)
Sageata (mm)
Experimental
DispBeamTimosh.
DispBeamColumn
138
Figura 6.8. Rezultate grindă RB-I
Figura 6.9. Rezultate grindă RC-I
Din figurile de mai sus se observă că în cazul modelului propus există o
supraestimare a capacităţii grinzii, lucru care este normal având în vedere
formularea în deplasări a elementului. Spre deosebire de modelul care nu ţine cont
0
100
200
300
400
500
600
0 5 10 15 20
Fo
rta
(kN
)
Sageata (mm)
Experimental
DispBeamTimosh.
DispBeamColumn
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 5 10 15 20
Fo
rta
(kN
)
Sageata (mm)
Experimental
DispBeamTimosh.
DispBeamColumn
139
de influenţa forţei tăietoare, care supraestimează atât rigiditatea cât şi rezistenţa,
analiza neliniară cu modelul implementat duce la valori apropiate de cele
experimentale.
Tabelul 6.3. Comparaţii între rezultatele experimentale şi cele analitice
Grindă 𝑃𝑢 ,𝑒𝑥𝑝 𝑃𝑢 ,𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐 𝑃𝑢 ,𝑒𝑥𝑝
𝑃𝑢 ,𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐
XB-1 400.32 424.58 1.061
CA-1 330.04 341.36 1.034
CB-1 351.39 373.48 1.063
CC-1 220.18 255.54 1.161
RA-1 400.32 425.08 1.062
RB-1 400.32 421.62 1.053
RC-1 275.33 298.64 1.085
Valoare medie 1.062
Abaterea pătratică medie 0.010
6.3.2. Grinzile testate de Tompos şi Frosch (Tompos şi Frosch 2002)
Testele efectuate de Tompos şi Frosch pe grinzi au avut ca scop punerea în evidenţă
a efectului de scară. O primă serie de încercări s-a realizat pe două grinzi
dimensionate conform ACI 318-99, la care înălţimea secţiunii s-a ales astfel încât să
coincidă cu valoarea maximă a înălţimii grinzilor pentru care, conform ACI 318-99
nu este nevoie de armături laterale pentru prevenirea fisurării. Cea de-a doua seria
de teste s-a efectuat pe patru grinzi la care laturile secţiunilor au fost luate de două
ori mai mici decât cele din prima serie. La ambele serii de grinzi coeficientul de
armare longitudinală a fost păstrat constant, având valoare de 1,00%.
În figura 6.11 sunt figurate geometria şi modul de armare ale celor două grinzi
considerate în analiza numerică, iar în tabelele 6.4 şi 6.5 sunt indicate
caracteristicile materialelor.
Tabelul 6.4. Rezistenţele betonului şi dimensiunile
Grinda
fc' ft b h d L 𝑎 =𝑀
𝑉
(Mpa) (Mpa) (mm) (mm) (mm) (mm)
V36-3 42.7 3.51 457 914 850.7 5104 2.80
V18-2 35.86 3.51 229 457 425.4 2552 2.80
140
Tabelul 6.5. Procente de armare şi rezistenţe armătură
Grinda l fy w fyw
(%) (MPa) (%) (MPa)
V36-3 1.00 483 0.084 537
V18-2 1.00 551 0.149 538
Figura 6.10. Detalii armare grinzi Tompos Forsch (Tompos şi Frosch 2002)
Schema de statică şi modul de încărcare au fost asemenătoare cu cele din testele
efectuate de Bresler şi Scordelis, dar încercarea a fost pilotată în deplasări. Modul
de rupere a fost însă unul casant, caracterizat la ambele grinzi de avansarea fisurii
din forţă tăietoare în zona comprimată a grinzii aşa cum este indicat în figura 6.11.
Figura 6.11. Distribuţia şi modul de cedare la grinzile Tompos Forsch (Tompos şi
Frosch 2002)
457 229
850.7
914
457
425
V36-3 V18-2
141
Modelarea s-a realizat folosind accelaşi mod de discretizare a grinzii indicat în
figura 6.2a. Rezultatele obţinute în urma analizei numerice sunt comparate grafic în
în figurile 6.12 şi 6.13.
Aşa cum se poate observa din figura 6.12, în cazul grinzii V36-3 apare o
supraevaluare a rezistenţei, forţa maximă înregistrată în analiza numerică
obţinându-se la o deplasare mai mică decât în cazul încercării experimentale.
Datorită degradării de rigiditate forţa corespunzătoare deplasării maxime are, în
mod accidental, o valoare foarte apropiată de forţa maximă obţinută experimental.
La grinda V18-2 apare o supraestimare a rezistenţei, dar spre deosebire de grinda
V36-3 nu mai apare o pantă descendentă în curba forţă deplasare. Acest lucru se
poate explica prin faptul că relaţiile de calcul pentru fenomenele de tension
stiffening şi de reducere a eforturilor de compresiune în stare biaxială de solicitare
au fost calibrate pentru betoane obişnuite.
Figura 6.12. Rezultate grindă V36-3
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 5 10 15 20
Fo
rta
(kN
)
Sageata (mm)
Experimental
DispBeamTimosh.
DispBeamColumn
142
Figura 6.13. Rezultate grindă V18-2
6.4. Simulări numerice pentru pereţi solicitaţi ciclic
Scopul principal al acestei lucrări a constat în implementarea unui tip de element
finit care poate modela interacţiunea dintre forţă tăietoare şi moment încovoietor,
atât în cazul încărcărilor monoton crescătoare cât şi ciclice. Dacă în cazul
încărcărilor monoton crescătoare valoarea braţului normalizat al forţei tăietoare a
fost mai mare de 2.5, alegerea ca elemente de referinţa a unor pereţi la care această
valoare să fie de 2.5 sau mai mică s-a considerat absolut necesară pentru a pune în
evidenţă influenţa forţei tăietoare asupra rezistenţei şi capacităţii de deformare
postelastică în cazul solicitărilor ciclice.
6.4.1. Pereţii încercaţi de Oesterle (Oesterle et al. 1976)
Rezultatele experimentale pentru pereţii încercaţi de Oesterle et al. pentru Portland
Cement Association sunt considerate ca fiind reprezentative şi au fost folosite de
mai mulţi cercetători pentru calibarea unor formulări teoretice. Pereţii testaţi au fost
dimensionaţi conform ACI 318 şi reprezintă modele scara 1/3 a unor pereţi pentru o
cladire cu 5 niveluri.
Trei tipuri de secţiuni au fost folosite în programul experimental dar pentru
validarea numerică au fost considerate doar secţiunile rectangulare şi de tip halteră.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 2 4 6 8 10 12
Fo
rta
(kN
)
Sageata (mm)
Experimental
DispBeamTimosh.
DispBeamColumn
143
Geometria elementelor este detalită în figura 6.14, iar modul de dispunere al
armăturii verticale este dat în figura 6.15. Caracteristicile materialelor sunt indicate
în tabelul 6.6.
Armătura verticală din inima pereţilor R1, R2, B1 şi B3 a fost realizată din bare cu
diametru de 6mm dispuse la pas de 228.6 mm, asigurându-se un procent de armare
de 0.29%. Bare de acelaşi diametru au fost folosite şi pentru armătura orizontală. La
pereţii R1, R2, B1, B3 barele orizontale au fost dispuse la o distanţă interax de
203mm, iar la pereţii B2 şi B5 procentul de armare s-a dublat prin reducerea pasului
dintre bare la jumătate.
Pentru zonele de capăt a pereţilor cu secţiune dreptunghiulară procentele de armare
au de 1.10% (R1), respectiv 3.9% (R2), iar la pereţii de tip halteră s-au prevăzut
valori asemănătoare: 1.09% pentru B1 şi B3, respectiv 3.68% pentru B2 şi B5.
Figura 6.14. Geometria pereţilor PCA (Oesterle et al. 1976)
1220
3050
1910
1220
2360
4570
1220
3050
1910
1220
2360
4570
610
305 102
203 203
Geometria pereţilor B1,
B2, B3 şi B5
Geometria pereţilor R1,
şi R2
610
144
Figura 6.15. Dispunerea armăturii în pereţii PCA (Oesterle et al. 1976)
Tabelul 6.6. Caracteristici materiale pereţi PCA
Perete fc
Armatura verticala Armtura
Orizontala Inima Bulbi/Z.C.
(Mpa) (Mpa) (Mpa) (Mpa)
R1 44.8 522 512 522
R2 46.4 535 450 535
B1 53.0 521 450 521
B2 53.6 532 410 532
B3 47.3 479 438 479
B5 45.3 502 444 502
102
216 140
216 70 70
102
305
305
305
305
Perete R1
Perete R2
Pereţii B1 şi B3
Pereţii B2 şi B5
145
În modelele de calcul pereţii au fost discretizaţi prin 6 elemente pentru zona curentă
a peretelui şi un element pentru blocul superior de beton.
Pentru zonele de capăt şi la bulbi, rezistenţele betonului au fost modificate în cazul
pereţilor R2, B3 şi B5 pe o distanţă egală cu jumătate din lungimea acestora
(primele 3 elemente) pentru a ţine cont de efectul de confinare asigurat de
prevederea unor etrieri cu diametru de 6 mm dispuşi la o distanţă de aproximativ 34
mm.
Figura 6.16. Modul de discretizare al pereţilor PCA
Rezultatele obţinute analitic şi cele experimentale sunt reprezentate în figurile
6.17...6.22.
Figura 6.17. Curba forţa - deplasare perete R1
-150
-100
-50
0
50
100
150
-120 -80 -40 0 40 80 120
Fo
rta
late
rala
(kN
)
Deplasare laterala (mm)
Numeric
Experimental
1 2 3 4 5 6 7
146
Figura 6.18. Curba forţa - deplasare perete R2
Figura 6.19. Curba forţa - deplasare perete B1
-300
-200
-100
0
100
200
300
-150 -100 -50 0 50 100 150
Fo
rta
late
rala
(kN
)
Deplasare laterala (mm)
Numeric
Experimental
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
-150 -100 -50 0 50 100 150
Fo
rta
late
rala
(kN
)
Deplasare laterala (mm)
Experimental
Numeric
147
Figura 6.20. Curba forţa - deplasare perete B2
Figura 6.21. Curba forţa - deplasare perete B3
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
-150 -100 -50 0 50 100 150
Fo
rta
late
rala
(kN
)
Deplasare laterala (mm)
Experimental
Numeric
-300
-200
-100
0
100
200
300
-150 -100 -50 0 50 100 150
Fo
rta
late
rala
(kN
)
Deplasare laterala (mm)
Experimental
Numeric
148
Figura 6.22. Curba forţa - deplasare perete B5
Analizarea curbelor forţă – deplasare indică faptul că răspunsul numeric se
caracterizează printr-o rigiditatea mai mare la descărcare (la schimbare sensului
forţei) iar efectul de ”pinching” este mai puţin accentuat. Aceste lucruri pot avea
mai multe cauze:
- modelul de beton, la care descărcarea la compresiune şi întindere este liniară;
- eventualele lunecări care apar în fisuri nu sunt surprinse de modelul teoretic;
- eventualele degradări ale aderenţei pentru barele longitudinale.
Trebuie remarcat că, în toate situaţiile, la cicluri cu deplasare maximă constantă s-a
înregistrat o degradare de rezistenţa observată şi experimental.
6.4.2. Pereţii încercaţi de Adamantia Athanasopoulou (Athanasopoulou
2010)
Peretele care a fost considerat în această lucrare a fost un perete de beton armat cu
armătură clasică, Athanasopoulou încercând atât pereţi de beton armat cât şi pereti
de beton armat în care s-a adaugat şi o armătură dispersă. Peretele S6 ales ca
referinţă este un perete la care braţul de forţă tăietoare normalizat este de 1.30. Deşi
s-s încercat şi simulări pentru pereţi la care braţul de forţă este egal cu 1.00,
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
-140 -70 0 70 140
Fo
rta
late
rala
(kN
)
Deplasare laterala (mm)
Experimental
Numeric
149
problemele de stabilitate numerică au facut practic imposibilă compararea
rezultatelor numerice cu cele experimentale.
Geometria şi armarea peretelui încercat este detaliată în figura 6.23.
Betonul folosit a avut o rezistenţă la compresiune de 46 Mpa iar limitele de curgere
raportate de Athanasopoulou pentru barele folosite la armarea peretelui sunt
următoarele armăturii sunt următoare:
- 𝑓𝑦 = 671 𝑀𝑃𝑎 pentru barele No. 2;
- 𝑓𝑦 = 481 𝑀𝑃𝑎 pentru barele No. 5;
- 𝑓𝑦 = 491 𝑀𝑃𝑎 pentru barele No. 6;
Figura 6.23. Geometria şi armarea pretelui S6
150
Modelarea s-a realizat folosind aceaşi discretizare a peretelui ca şi în cazul
precedent, discretizare indicată în figura 6.16. Ca şi în cazul pereţilor PCA, pentru
zonele de capăt rezistenţa betonului au fost modificată pentru a ţine cont de efectul
confinării.
Din cauza faptului că curbele forţă - deplasare laterală nu s-au putu digitiza
rezultatele obţinute în urma analizei numerice şi cele numerice sunt prezentate
separat în figurile 6.24 şi 6.25.
Figura 6.24. Curba forţa - deplasare obţinută numeric
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
-30 -20 -10 0 10 20 30
Fo
rta
late
rala
(kN
)
Deplasare laterala (mm)
151
Figura 6.25. Curba forţa - deplasare obţinută experimental
Cele mai importante observaţii care se pot face din compararea celor două curbe
constau în faptul că în analiza numerică apare o degradare destul de accentuată a
rezistenţei iar rezistenţa în sens negativ este subevaluată.
În cazul acestui perete rezultatele obţinuţe în urmă analizei coroborat şi cu
încercările nereuşite de a analiza pereţi cu raportul laturilor egal cu 1 dovedesc
faptul că modelul nu este suficient de performant în asemenea cazuri.
6.5. Concluzii şi observaţii
Validarea modelului de tip grindă multifibră implementat în OpenSees, prin
efectuarea de analize numerice pentru elemente de tip grindă supuse la încarcări
statice monoton crescătoare şi pentru elemente de tip pereţi solicitaţi ciclic, impune
următoarele concluzii privind comportarea numerica a acestuia şi modul lui de
folosire:
- Pentru elemente la care braţul normalizat al forţei tăietoare este mai mare de
1.50, rezultatele numerice sunt în general apropiate de cele obţinute
152
experimental, atât pentru cazurile de încărcare ciclică cât şi cele monoton
crescătoare;
- În cazul în care braţul normalizat al forţei tăietoare este egal cu 1.50
rezulatele numerice sunt caracterizate printr-o subevaluare a rezistenţei şi
degradări de rigiditate care nu s-au obţinut experimental;
- Pentru la care braţul normalizat al forţei tăietoare este egal cu 1.00, analiza
numerică nu s-a putut realiza datorită instabilităţilor numerice;
- În general elementul prezintă o supraestimare a rigidităţii şi rezistenţei, dar
care este mult mai mică decât cea obţinută cu un element care nu ţine cont de
interacţiunea între moment şi forţă tăietoare;
- La cicluri succesive cu deplasare maximă egală elementul surprinde
degradare de rezistenţa observată experimental.
153
7. Concluzii şi recomandări
7.1. Problematica tezei
Evaluarea analitică a răspunsului structural al construcţiilor în cazul acţiunii
seismice necesită folosirea programelor de calcul bazate pe metoda elementului
finit. Rezultatele obţinute folosind aceste programe de calcul sunt satisfăcătoare în
cazul comportării elastice, dar, în cazul unei comportări neliniare, rezultatele
obţinute cu astfel de programe depind de tipurile de elemente neliniare
implementate prezente în program şi de parametrii folosiţi pentru aceste elemente.
Pentru a reproduce analitic comportarea neliniară a elementelor de beton armat au
fost în general folosite două elemente:
- Macro-modele;
- Micro-modele.
În cazul folosirii macro-modelelor, structra se modelează ca un ansamblu de
elemente liniare interconectate la noduri, elemente care descriu coportarea neliniară
a unui subansamblu structural (grindă, stâlp sau perete structural). Comportarea
neliniară în cazul macro-modelelor se introduce la nivel de element sau la nivel de
secţiune.
Folosirea micro-modelelor impune discretizarea fiecărui subansamblu structural
într-un număr mare de elemente finite, de suprafaţă sau de volum, iar comporatarea
neliniară se introduce la nivel de lege constitutivă pentru materialele atribuite
elementelor finite.
Aşa cum am menţionat în primul capitol, cele două tipuri de modele prezintă
avantaje şi dezavantaje, însă pentru analiza neliniară de ansamblu a structurilor
folosirea macro-modelelor este preferată pe de o parte datorită efortului redus de
calcul, iar pe de altă parte uşurinţei în interpretărea rezultatelor.
Macro-modelele dezvoltate iniţial (Clough şi Johnston, 1967, Giberson, 1967) au
constat în elemente simple, alcătuite în general dintr-un element cu comportare
elastică şi resoarte cu comportare neliniară dispuse la capetele elementului
(articulaţii plastice), dezvoltarea acestora pornind de la modelarea structurilor în
cadre de beton armat, la care zonele cu comportare neliniară se concentrează în
general la capetele grinzilor. Aceste modele au fost numite şi modele cu plasticitate
concentrată.
154
Comportarea neliniară a elementului depinde în mod direct de legile constitutive
folosite pentru resoartele neliniare. Aceste legi au fost deduse prin calibrarea
rezultatelor experimentale şi sunt specifice pentru un anumit tip de solicitare
(moment, forţă tăietoare sau forţă axială). Aşa cum s-a menţionat în primul capitol
macro-modelelor cu plasticitate concentrată au două mari dezavantaje:
imposibilitatea determinării unor legi constitutive care să ţină cont de interacţiunea
între eforturi (moment – forţă axială şi/sau forţă tăietoare) şi poziţia predefinită a
zonelor cu comportare neliniară.
În cazul elementelor cu articulaţii concentrate, modelarea interacţiunii dintre forţă
axială şi moment încovoietor se bazează în general pe teoria plasticităţii care s-a
dovedit neviabilă în cazul elementelor de beton armat (Taucer et al. 1991). Pentru a
putea surprinde interacţiunea dintre moment şi forţă axială, s-au dezvoltat modele
de grindă de tip multifibră la care determinarea răspunsului secţional se face prin
discretizarea secţiuni în fibre, fiecare fibră având atribuită o lege constitutivă
specifică materialului din care este alcătuită. În mod evident această abordare
reduce caracterul empiric al legilor constitutive folosite pentru resoartele neliniare
utilizate în cazul modelelor cu plasticitate concentrată şi, în general, s-au dovedit
suficient de precise în determinarea răspunsului la nivel secţional sau de ansamblu
în cazul elementelor supuse concomitent la moment şi forţă axială.
Modelele de tip multifibră au fost asociate în mod curent cu elementele de tip bară
cu plasticitate distribuită, la care răspunsul elementului se determină prin integrarea
numerică a răspunsului secţional din fiecare punct de integrare. Se poate considera
în acest fel că poziţia zoneleor cu comportare neliniară nu mai este predefinită ceea
ce constitue un avantaj în raport cu elementele cu plasticitate concentrată.
Dacă în formularea clasică a elementelor de tip multifibră problema interacţiunii
dintre moment şi forţă axială este în general rezolvată, o provocare majoră constă în
includerea efectului forţei tăietoare asupra comportării neliniare a elementelor de
beton armat.
Având în vedere avantajele elementelor cu plasticitate distribuită bazate pe modele
secţionale de tip multifibră, lucrarea de faţa a avut ca scop dezvoltarea unui element
de grindă Timoshenko de tip multifibră care să includă interacţiunea dintre moment
şi forţă tăietoare şi implementarea acestuia într-o platformă de element finit.
Spre deosebire de elementele solicitate preponderent la moment cu sau fără forţă
axială, la care modelare se poate realiza cu modele de grindă de tip Euler, în cazul
155
elementelor la care aportul forţei tăietoare este semnificativ trebuie folosite
elemente de grindă bazate pe teoria Timoshenko. Ipotezele folosite pentru grinzile
de tip Timoshenko şi problemele legate de folosirea acestor tipuri de elemente, în
special fenomenul de blocaj la forţă tăietoare, sunt prezentate la începutul
capitolului 2.
Evitarea fenomenului de blocaj la forţă tăietoare se poate face folosind diferite
abordări, însă una din cele mai simple rezolvări o constituie folosirea unor funcţii de
interpolare a deplasărilor de ordin superior. Soluţia adoptată şi prezentată în această
lucrare constă în folosire funcţiilor de interpolare de tip Friedman-Kosmatka
(Friedman şi Kosmatka, 1993).
În cea de-a doua parte a capitolului 2 sunt sintetizate aspectele legate de cele două
formulări folosite pentru elemente de bară cu plasticitate distribuită: formularea în
forţe şi formularea în deplasări. Sunt prezentate atât ipotezele cât şi modul de
implementare al acestor elemente în programele de element finit şi problemele
legate de folosirea acestora în determinarea răspunsului neliniar, accentul fiind pus
pe fenomenul de localizare. Comparând cele două tipuri de formulări se poate trage
concluzia că elemetele cu formulare în forţe sunt superioare celor cu formulare în
deplasări însă modul de determinare al răspunsului la nivel secţional şi de element
este mult mai laborios, ceea ce a determinat autorul să le prefere pe cele din urmă.
Includerea efectului forţei tăietoare în modelarea elementelor de beton armat a
suscitat un interes crescut (Kabeyasawa et al., 1983, Roufaiel şi Meyer, 1987,
Vecchio şi Collins, 1988). În cazul elementelor cu plasticitate concentrată, efectul
forţei tăietoare este modelat prin intermediul unor resoarte cu comportare neliniară,
a căror lege constitutivă este, în general, stabilită empiric. Pe lângă caracterul
empiric al legilor constitutive, acest mod de abordare nu include fenomenul de
interacţiune dintre moment şi forţă tăietoare.
Pe lângă adoptarea unor ipoteze cinematice de tip Timoshenko, prezenţa forţei
tăietoare produce o stare de eforturi biaxială care, în cazul elementelor de tip grindă
multifibră trebuie inclusă la nivel secţional.
Comportarea elementelor de beton armat supuse la o stare de eforturi biaxială este
redată cu sufiecientă acurateţe de teoriile bazate pe fisurarea distribuită, cele mai
cunoscute fiind Teoria Modificată a Câmpului de Compresiune (MCFT) şi Teoria
Câmpului de Eforturi Perturbate. Ipotezele şi aplicarea în practică a acestor două
teorii sunt expuse pe larg în capitolul 3. Deşi comparaţiile între rezultatele teoretice
156
obţinute cu MCFT şi cele experimentale au arătat o concordanţă satisfăcătoare,
inconsecvenţele teoretice produse de ipoteza prezenţei eforturilor tangenţiale în
lungul fisurilor şi verificările legate de acestea justifică folosirea unei variante
simplificate a MCFT, care nu contrazice condiţiile de compatibilitate şi echilibru.
În MCFT eforturile în armătură se deduc folosind legea constitutivă a oţelului
simplu şi nu se ţine cont de răspunsul mediu al barelor de armătură înglobate în
beton. Atât experimental cât şi analitic se poate dovedi că răspunsul unei bare
înglobate diferă de cel al unei bare simple, răspuns care este caracterizat printr-o
reducere a limitei de curgere şi o creştere a rigidităţii postelastice. Varianta
simplificată folosită în teză elimină verificările în dreptul fisurilor şi foloseşte
pentru oţel legea constitutivă propusă de Belarbi şi Hsu. Folosind un program
dezvoltat special, s-au comparat rezultatele obţinute numeric folosind MCFT şi
varianta simplificată a acesteia cu cele experimentale, observându-se o corelare
satisfăcătoare cu acestea (vezi capitolul 3).
Modul de implementare al MCFT într-un program de element finit este prezentat pe
larg în capitolul 4, fiind prezentate cele două tipuri de formulări folosite în general
pentru teoriile bazate pe fisurarea distribuită: formulărea bazată pe matricea de
rigiditate secantă, metodă prezentată şi promovata de Vecchio pentru MCFT, şi cea
bazată pe metoda matricei de rigiditate tangentă, soluţie folosită în general în
programele de element finit. Cele două formulări sunt comparate din punct de
vedere al eficienţei numerice pentru cazul de încărcare monoton crescătoare,
folosind programul menţionat anterior, observându-se o viteză superioară de calcul
în cazul formulării bazate pe matricea de rigiditate tangentă.
În cea de-a doua parte a capitolului sunt prezentate modalităţile de implementare a
MCFT în cazul elementelor de grindă multifibră, fiind descrise atât metodele de
implementare bazate pe o distribuţie fixă a eforturilor sau deformaţiilor tangenţiale,
cât şi metodele bazate pe echilibrul dintre fibre. Pentru implementarea în programul
de element finit s-a preferat în această lucrare folosirea unei distribuţii fixe a
deformaţiilor specifice. Deşi metodele bazate pe echilibrul dintre fibre sunt mult
mai exacte însă presupun, pe lângă iteraţiile la nivel de fibre şi iteraţii la nivel
secţional chiar în cazul folosirii unui element cu formulare în deplasări.
Implementarea elementului propus în teză s-a realizat în platforma OpenSees, care
este prezentată în prima partea a capitolului 5. Alegerea acestei platforme s-a
datorat faptului că este o platformă dechisă, cu acces liber la codul sursă, iar
157
modularitatea asigurată de folosirea unui limbaj orientat pe obiecte permite
implementarea diverselor elemente fără modificări de ansamblu.
Modul de implementare al elementului cu formulare în deplasări bazat pe funcţii de
interpolare de tip Friedman-Kosmatka, al secţiunii de tip multifibră bazată pe
varianta simplificată a MCFT şi modul de interacţiune dintre aceste sunt prezentate
în cea de-a doua parte a capitolului 5.
Validarea modelului s-a realizat prin compararea rezultatelor analitice cu cele
obţinute experimental, folosindu-se rezultatele încercărilor prezentate în literatura
de specialitate.
O primă serie de simulări numerice s-a făcut pentru elemente supuse la solicitări
statice. S-au ales ca încercări experimentale, încercările pe grinzi realizate de
Bresler şi Scordelis şi încercările realizate de Tompos şi Frosch. Simulările
numerice s-au realizat atât cu modelul implementat cât şi cu un model de tip
multifibră care nu ţine cont de interacţiunea moment-forţă tăietoare. Rezultatele
obţinute numeric folosind modelul implementat sunt în general apropiate de cele
obţinute experimental, fiind din acest punct de vedere superioare rezultatelor date
de modelul care nu ţine cont de interacţiunea moment-forţă tăietoare. În general s-a
constat o supraestimare a rezistenţei şi rigidităţii, lucru de altfel normal în cazul
elementelor cu formulare în deplasări.
Validarea în cazul încărcărilor ciclice s-a realizat pentru elemente de tip pereţi, fiind
folosite încercările pe pereţi efectuate de Oesterle et al. pentru Portland Cement
Association, la care braţul normalizat la forţă tăietoare a (𝑎 = 𝑀/(𝑉)) este 2.50 şi
un perete încercat de Adamantia Athanasopoulou unde a este de 1.50.
Comparaţiile între rezultatele experimentale şi cele numerice obţinute pentru pereţii
PCA pun în evidenţă faptul că în general modelul estimează satisfăcător rezistenţa
şi surprinde fenomenul de scădere al rezistenţei pentru cicluri cu aceeaşi
amplitudine însă supraestimează rigiditatea la descărcare, lucru care este datorat
modelului de beton folosit pentru fibrele de beton.
În cazul peretelui încercat de Adamantia Athanasopoulou, rezultatele obţinute sunt
în general nesatisfăcătoare, observându-se o subestimare a rezistenţei şi o degradare
de rezistenţă la încărcarea în sens negativ. Acest lucru, coroborat cu faptul că
simulările numerice pe pereţi cu braţ normalizat la forţă tăietoare mai mic sau egal
cu 1 au evidenţiat un răspuns instabil, indică faptul că elementul implementat nu
este indicat pentru astfel de elemente.
158
7.2. Contribuţii proprii
În prezenta teză principalele contribuţii ale autorului la dezvoltarea cunoştinţelor în
analiza neliniară a elementelor de beton armat la care forţa tăietoare are o influenţă
considerabilă sunt următoarele:
- Prezentarea extinsă a Teoriei Modificate a Câmpului de Compresiune şi a
Teoriei Câmpului de Eforturi Perturbate, dublată de o analiză critică privind
inconsistenţele teoretice ale acestora;
- Prezentarea modului de implementare în programele de element finit a MCFT;
- Realizarea unui program de calcul care implementează MCFT şi o variantă
simplificată a acesteia, program folosit la validarea numerică a variantei
simplificate a MCFT şi la analiza efortului de calcul în cazul formulărilor
bazate pe matricea de rigiditate tangentă, respectiv pe matricea de rigiditate
secantă;
- Formularea unui element finit de grindă multifibră cu formulare în deplasări
folosind ipotezele grinzilor Timoshenko şi funcţii de interpolare de tip
Friedman – Kosmatka la care interacţiunea dintre moment şi forţa tăietoare
este luată în considerare prin folosirea unei teorii de fisurare distribuită;
- Implementarea elementului de grinda Timoshenko în platforma OpenSees;
- Validarea numerică a modelului de element finit implementat la încărcări
monoton crescătoare şi ciclice.
7.3. Direcţii viitoare de dezvoltare
Problematica calculului la forţă tăietoare, cât şi modelele de element finit care
includ efectul forţei tăietoare, reprezintă încă o provocare.
O primă direcţie de dezvoltare constă în implementare unui element finit de grindă
Timoshenko cu formulare în forţe, avantajul acestora privind asigurarea echilibrului
făcându-l superior elementelor cu formulare în deplasări.
Deşi s-au făcut progrese în domeniul teoriilor bazate pe fisurarea distribuită,
inconsecvenţele care apar în cadrul acestora, cum ar fi faptul că efectul de „tension
stiffening” este introdus prin legi empirice sau verificări în dreptul fisurilor, trebuie
înlăturate prin dezvoltarea de modele teoretice coerente care să ţină cont de aderenţa
între beton şi armătură. Aceste modele trebuie să includă nu doar modificarea legii
159
constitutive a oţelului la încărcări monoton crescătoare, ca în cazul legii propuse de
Belarbi şi Hsu, dar şi degradarea aderenţei în cazurile de încărcare ciclice.
De asemenea legile de comportare pentru beton trebuie modificate şi corelate cu
încercările experimentale pentru a reproduce cât mai fidel degradările de rigiditate
şi rezistenţă şi fenomenul de închidere al fisurilor.
160
Bibliografie
[1] AASHTO, (2007), „AASHTO LRFD Bridge Design Specifications”,
American Association of State and Highway Transportation Officials,
Washington D.C.
[2] Anagnostopoulos, S., (1981), „Inelastic Beams for Seismic Analysis of
Structures”, Journal of Structural Engineering, ASCE, 107(ST7), p. 1297-
1311.
[3] Athanasopoulou, A., (2010), „Shear Strength and Drift Capacity of
Reinforced Concrete and High-performance Fiber Reinforced Concrete Low-
rise walls subjected to displacement reversals”, Teză de doctorat, University
of Michigan, 302p. [4] Banon, H., Briggs, J., Irvine, M., (1981), „Seismic Damage in Reinforced
Concrete Frames”, Journal of Structural Engineering, ASCE, 107(ST9), p.
1713-1729.
[5] Bathe, K. J., Wilson, E. L., (1976), „Numerical Methods in Finite Element
Analysis”, Prentice-Hall, 528 p.
[6] Belarbi, H., and T. C. C. Hsu., (1994), „Constitutive laws of concrete in tension
and reinforcing bars stiffened by concrete” ACI Structural Journal Vol. 91, Nr. 4,
p 465-474.
[7] Bentz, E. C., (2000), „Sectional Analysis of Reinforced Concrete Members”,
Teză de doctorat, Department of Civil Engineering, University of Toronto,
310 p.
[8] Bentz, E. C., (2005), „Explaining the Riddle of Tension Stiffening Models
for Shear Panel Experiments”, ASCE Journal of Structural Engineering, Vol.
131, Nr. 9, p. 1422-1425.
[9] Bentz, E. C., Collins, M. P., Vecchio, F. J., (2006), „The Simplified MCFT
for Calculating the Shear Strength of Reinforced Concrete Elements”, ACI
Structural Journal, Vol. 103, Nr. 4, p. 614-624.
[10] Bertero, V. V., Aktan, A., Charney, F. & Sause, R., (1984), „Earthquake
Simulator Tests and Associated Experimental, Analytical and Correctional
Studies of One-Fifth Scale Model”, Earthquake Effects on Reinforced
Concrete Structures, American Concrete Institute, SP-84-13, Detroit, p. 375-
424.
161
[11] Borges, J.U.A., Kolluru, V.S., Weiss, W.J., Shah, S.P., Bittencourt, T.N.
(2004), „Length effect on ductility of concrete in uniaxial and flexural
compression”, ACI Structural Journal, Vol. 101, Nr. 6, p. 765-772.
[12] Brancaleoni, F., Ciampi, V., Di Antonio, R. (1983), „Rate-Type Models for
Non Linear Hysteresis Structural Behaviour,” EUROMECH Colloquium,
Palermo, Italy.
[13] Bresler, B., Scordelis, A.C., (1964), „Shear strength of reinforced concrete
beams –Series II”, Raport Nr. 64-2, Structural Engineering Laboratory,
University of California, Berkeley, 67p.
[14] Bresler, B., Scordelis, A.C., (1966), „Shear strength of reinforced concrete
beams –Series III”, Raport Nr. 65-10, Structural Engineering Laboratory,
University of California, Berkeley, 91p.
[15] Calabrese, A., (2008), „Numerical Issues in Distributed Inelasticity
Modelling of RC Frame Elements for Seismic Analysis”, Teză de masterat,
Istituto Universitario di Studi Superiori di Pavia, Università degli Studi di
Pavia, 132p.
[16] CEB-FIP, (1990), „Model Code for Concrete Structures”, Design Code,
Comité EURO-International du Béton, 437 p.
[17] CEB-FIP, (2010), „Model Code 2010 - First complete draft, Volume1”, CEB
- FIB Bulletin Nr. 55, 318p.
[18] CEB-FIP, (2010), „Model Code 2010 - First complete draft, Volume2”, CEB
- FIB Bulletin Nr. 56, 312p.
[19] CEB-FIP, (2008), „Practitioners' Guide to Finite Element Modeling of
Reinforced Concrete Structures,” CEB - FIB Bulletin Nr.45.
[20] Cervenka, V., Gerstle, K., (1971), „Inelastic analisys of reinforced concrete
panels: Theory” IABSE, Vol. 31-00, p. 32-45;
[21] Cervenka, V., Gerstle, K., (1972), „Inelastic analisys of reinforced concrete
panels: Experimental verification and application” IABSE, Vol. 32-II, p. 26-
39;
[22] Cervenka, V., (1985), „Constitutive Model for Cracked Reinforced
Concrete,” Journal of the American Concrete Institute, Vol. 82, Nr. 6, p. 877-
882
162
[23] Charney, F., Bertero, V. V., (1982), „An Evaluation of the Design and
Analytical Seismic Response of a Seven Story Reinforced Concrete Frame-
Wall Structure”, Earthquake Engineering Research Center, University of
California, Berkeley, Raport Nr. UCB/EERC–82/08, 196 p.
[24] Ciampi, V., Nicoletti, M., (1986), „Parameter Identification for Cyclic
Constitutive Models for Stiffness and Strength Degradation”, 8th
European
Conference on Earthquake Engineering, Lisabona, Portugalia, 7.1, p. 73-80
[25] Clough, R., Johnston, S. (1966), „Effect of Stiffness Degradation on
Earthquake Ductility Requirements”, Transaction of Japan Earthquake
Engineering Symposium, Tokyo, p. 195-198.
[26] Clough, R., Benushka, L. (1967), „Nonlinear Earthquake Behaviour of Tall
Buildings”, Journal of Mechanical Engineering, ASCE, 93(EM3), p. 129-146
[27] Clough, R. W., Penzien, J., (1993), „Dynamics of Structures”, McGraw-Hill,
Inc, 2nd
Ed., 648 p.
[28] Collins, M. P, Mitchell, D., (1980), „Shear and Torsion Design of Prestressed
and Non-Prestressed Concrete Beams”, PCA Journal, Vol. 25, Nr. 25, p. 32-
100; Discussion and Closure, PCI Journal, Vol. 26, Nr. 6, Nov-Dec 1981, p.
96-118.
[29] Coleman, J., Spacone, E., (2001), „Localization Issues in Nonlinear Force-
Based Frame Elements." ASCE Journal of Structural Engineering, Vol. 127,
Nr. 11, p. 1257-1265.
[30] CSA A23.3-04, (2004), „Design of Concrete Structures”, Canadian Standards
Association, Mississauga, Ontario, Canada, 214 p.
[31] Darwin, D., Pecknold, D. A., „Analysis of RC Shear Panels Under Cyclic
Loading,” ASCE, Journal of the Structural Division, Vol. 102, No. ST2, 1976, p.
355-369.
[32] El-Tawil, S., Deierlein, G. G. (2001), „Nonlinear Analysis of Mixed Steel-
Concrete Moment Frames. Part I – Beam-Column Formulation. Part II –
Implementation and Verification”, ASCE, Journal of Structural Engineering,
Vol. 127, Nr. 6, p. 647-665.
[33] EN 1992-1-1 (2004), „Design of Concrete Structures Part 1-1: General Rules
and Rules for Buildings”, European Standard, European Committee for
Standardization, Brussels, 225 p.
163
[34] Filippou, F. C., Issa, A., (1988), „Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete
Frames under Cyclic Load Reversals”, Earthquake Engineering Research
Center, University of California, Berkeley, UCB/EERC–88/12, 120 p.
[35] Filippou, F. C., D’Ambrisi, A., Issa, A. (1992), „Nonlinear Static and
Dynamic Analysis of Reinforced Concrete Subassemblages”, Earthquake
Engineering Research Center, University of California, Berkeley, Raport Nr.
UCB/EERC–92/08, 184 p.
[36] Filippou, F. C., (1999), „Analisys Platform and Member models for
Performance-Based Engineering”, Raport PEER 1990/10, Pacific Earthquake
Engineering Research Center, College of Engineering, University of
California,Berkeley p. 95-106.
[37] FIP (1998), Commission 3 on FIP 1996 Recommendations for „Practical
Design of Structural Concrete”, Federation Internationale de la Precontrainte,
Mai, 113 p.
[38] Friedman, Z., Kosmatka, J.B., (1993), „An improved two-node Timoshenko
beam fiinte element “, Vol. 47, Nr. 3, p. 473-481.
[39] Giberson M. F. (1967), „The Response of Nonlinear Multi-Storey Structures
Subjected to Earthquake Excitations”, Teză de doctorat, California Institute
of Technology, Pasadena, 232 p.
[40] Hillerborg, A., (1990), „Fracture mechanics concepts applied to moment
capacity and rotational capacity of reinforced concrete beams”, Engineering
Fracture Mechanics, Vol. 35, Nr. 1/2/3, p. 233-240.
[41] Hsu, T.T.C., (1988), „Softened Truss Model Theory for Shear and Torsion,”
ACI Structural Journal, Vol. 85 Nr.6, p. 624-635.
[42] Hsu. T. T. C., Zhang., (1996), „Tension stiffening in reinforced concrete
membrane elements” ACI Structural Journal Vol. 93, Nr. 1, p. 108-115.
[43] Hsu, T. T. C., and R. R. H. Zhu, (2002), „Softened membrane model for
reinforced concrete elements in shear” ACI Structural Journal Vol. 99, Nr. 4,
p 460-469.
[44] Hughes, T.J.R, Taylor, R.L., Kanoknukulchai, W., (1977), „A simple and
efficient finite element for plate bending”, Inter. J. Numer. Methods Eng, Vol.
11, p. 1529-1543.
164
[45] Hughes, T.J.R, Tezduyar T.E., (1981), „Finite elements based upon mindlin
plate theory with particular reference to the four node bilinear
isoparametric element” J. Appl. Mech., Vol. 48, p. 587-596.
[46] Ibrahimbegovic A., Wilson E.L., (1991), „Thick shell and solid finite
elements with independent rotation fields” Int. J. Numer. Methods Eng, 31,
1393-1414.
[47] Ingraffea, AR, Saouma, V., (1985), „Numerical modelling of discrete crack
propagation in reinforced and plain concrete” Fracture Mechanics of
Concrete, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, p. 171–225
[48] Iwan, W., (1978), „Application of Nonlinear Analysis Techniques”, Iwan W.
ed., Applied Mechanics in Earthquake Engineering, ASME, AMD, 8, New
York, p. 135-161.
[49] Jansen, D.C., Shah, S.P., (1997), „Effect of length on compressive strain
softening of concrete”, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 123, Nr. 1, p.
25-35.
[50] Kaba, S., Mahin, S. A., (1984), „Refined Modelling of Reinforced Concrete
Columns for Seismic Analysis,” Earthquake Engineering Research Center,
University of California, Berkeley, Raport Nr. UCB/EERC–84/03, 104 p.
[51] Kabeyasawa, T., Shiohara, H., Otani, S., Aoyama, H., (1983), „Analysis of the
full-scale seven-story reinforced concrete test structure” Journal of the Faculty
of Engineering, The University of Tokyo, Vol. 37, Nr. 2, p. 431-478.
[52] Kaufmann, W., (1998), „Strength and deformations of structural concrete
subject to in-plane shear and normal foces”, Teza de doctorat, Institute of
structural Engineering, ETH Zürich, 147p.
[53] Kaufmann, W., and Marti, P., (1998), „Structural Concrete: Cracked
Membrane Model,” Journal of Structural Engineering, ASCE, Nr. 124 Vol. 12,
p. 1467-1475.
[54] Kent, D.C. & Park, R. (1971), „Flexural Members with Confined Concrete,”
ASCE Journal of the Structural Division, Vol. 97, Nr. ST7, Proc. Paper 8243,
p. 1341-1360.
[55] Kupfer, H., Hilsdorf, H. K. & Rusch, H. (1969), „Behavior of Concrete under
Biaxial Stress”, ACI Journal, Vol. 87, Nr. 2, p. 656-666.
[56] Lemaitre, J., (1992), „A course on damage mechanics”, Springer Verlag Eds.
165
[57] Limkatanyu, S., Spacone, E., (2002), „R/C Frame Element with Bond
Interfaces. Part 1: Displacement-Based, Force-Based and Mixed
Formulations.” ASCE Journal of Structural Engineering, Vol.128, Nr. 3, p.
346-355.
[58] Limkatanyu, S., Spacone, E., (2002), „R/C Frame Element with Bond
Interfaces. Part 2: Element State Determination and Numerical Validation.”
ASCE Journal of Structural Engineering, Vol.128, Nr. 3, p. 356-364.
[59] Marini, A., and Spacone, E., (2006), „Analysis of R/C Elements Including
Shear Effects.” ACI Structural Journal, Vol. 103, Nr.5, p. 645-655.
[60] Markeset, G., Hillerborg, A., (1995), „Softening of concrete in compression
- localization and size effects”, Cement and Concrete Research, Vol. 25, Nr. 4,
p. 702-708.
[61] Massone, L.M., Wallace, J. W, (2004), „Load-deformation responses of
slender reinforced concrete walls” ACI Structural Journal Vol. 101, Nr. 1, p.
103-113.
[62] Massone, L. M., (2006), „RC Wall Shear–Flexure Interaction: Analytical and
Experimental Responses” Teză de doctorat, University of California, Los
Angeles, California
[63] Menegotto M., Pinto P.E., (1973), „Method of analysis for cyclically loaded
reinforced concrete plane frames including changes in geometry and non
elastic behavior of elements under combined normal force and bending”.
IABSE symposion on resistance and ultimate deformability of structures
acted on by well-defined repeated loads, Final Report, Lisbon.
[64] Mostafaei, H., (2006), „Axial-Shear-Flexure Interaction Approach for
Displacement-Based Evaluation of Reinforced Concrete Elements”, Teză
doctorat, Architecture Department, University of Tokyo, Tokyo, Japan, 255
p.
[65] NBCC, (2005), „National Building Code of Canada”, Institute for Research
for Construction (IRC), National Research Council of Canada, Ottawa, 1167
p.
[66] Neuenhofer, A., Filippou, F.C., (1997), „Evaluation of nonlinear frame finite-
element models”, Journal of Structural Engineering, Vol. 123, Nr. 7, p. 958-
966.
166
[67] Neuenhofer, A., Filippou, F.C., (1998), „Geometrically nonlinear
flexibility-based frame finite element”, Journal of Structural Engineering,
Vol. 124, Nr. 6, p. 704-711.
[68] Ngo, D., Scordelis, A.C., (1967), „Finite element analysis of reinforced
concrete beams” Journal of the American Concrete Institute Vol. 64 p 152–
163.
[69] Oesterle, R. G., Fiorato, A. E., Johal, L. S., Carptenter, J. E., Russell, H. G.,
and Corley, W. G., (1976), „Earthquake-Resistant Structural Walls-Tests of
Isolated Walls,” Report to National Science Foundation, Construction
Technology Laboratories, Portland Cement Association, Skokie, Ill, 315 p.
[70] Okamura, H. & Maekawa, K., (1991), „Nonlinear Analysis and Constitutive
Models of Reinforced Concrete”, Giho-do Press, University of Tokyo,
Tokyo, 182 p.
[71] OpenSees, (2008), „Open System for Earthquake Engineering Simulation”
http://opensees.berkeley.edu.
[72] Orakcal, K., Wallace, J.W., Conte, J. P., (2004), „Nonlinear modeling and
analysis of slender reinforced concrete walls”, ACI Structural Journal Vol.
101, Nr. 5, p. 688-699.
[73] Orakcal, K., Massone, L.M, Wallace, J.W., (2006), „Analitycal Modeling of
Reinforced Concrete Walls for Predicting Flexural and Coupled-Shear
Flexural Responses”, Raport PEER 2006/7, Pacific Earthquake Engineering
Research Center, College of Engineering, University of California,Berkeley,
231p.
[74] Otani, S., (1974), „Inelastic Analysis of R/C Frame Structures”, Journal of
Structural Division, ASCE, 100 (ST7), p. 1433-1449.
[75] Palermo, D., Vecchio, F. J., (2003), „Compression Field Modeling of
Reinforced Concrete Subjected to Reversed Loading: Formulation” ACI
Structural Journal, Vol. 100, Nr. 5, Sept.-Oct., p. 616-625.
[76] Palermo, D., Vecchio, F. J., (2004), „Compression Field Modeling of
Reinforced Concrete Subjected to Reversed Loading: Verification”, ACI
Structural Journal, Vol. 101, Nr. 2, Mar.-Apr., p. 155-164.
[77] Pang, X-B, Hsu, T. T. C., (1996), „Fixed Angle Softened Truss Model for
Reinforced Concrete”, ACI Structural Journal, Vol. 93(2), p. 197–207
167
[78] Paulay, T., Priestley, M. J. N., (1992), „Seismic Design of Reinforced
Concrete and Masonry Buildings”, Wiley Interscience Publications, New
York, USA, 744 p.
[79] Petrangeli, M., Pinto, P. E., Ciampi, V. (1999), „Fiber Element for Cyclic
Bending and Shear of RC Structures. I: Theory”, ASCE Journal of
Engineering Mechanics, Vol. 125, Nr. 9, p. 994-1001
[80] Popovics, S., (1973), „A Numerical Approach to the Complete Stress-Strain
Curve of Concrete”, Cement and Concrete Research, Vol. 3, Nr.5, p. 583-
599.
[81] Prakash, V. (1992), „Dynamic Response Analysis of Inelastic Building
Structures: The DRAIN Series of Computer Programs”, Teză doctorat,
University of California Berkeley, Department of Civil Engineering, 291 p.
[82] Przemieniecki, J.S., (1968), „Theory of matrix structural analysis”, McGraw-
Hill, New York.
[83] Rashid, Y.R., (1968), „Analisys of prestressed pressure vessels”, Nuclear
Engineering Design, Vol. 7, Nr. 4, p. 334-344.
[84] Reddy, J. N., (1993), „An Introduction to the Finite Element Method”, 2nd
Edition, McGraw Hill Book Company, New York, 684 p.
[85] Reddy, J. N., (1997), „On Locking-free Shear Deformable Beam Finite
Elements”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.
149, p. 113-132.
[86] Richart, F.E., Brandtzaeg, A., Brown, R.L., (1928), „A Study of the Failure
of Concrete under Combined Compressive Stresses”, Buletin Nr. 185,
University of Illinois Engineering Experimental Station, Urbana, Illinois, 104
p.
[87] Rokugo, K., Koyanagi, W., (1992), „Role of compressive fracture energy of
concrete on the failure behaviour of reinforced concrete beams”, Capitolul 17
din “Application of Fracture Mechanics to Reinforced Concrete”, E&FN
Spon, Londra.
[88] Roufaiel, M. S. L., Meyer, C., (1987), „Analytical Modelling of Hysteretic
Behaviour of R/C Frames,” Journal of Structural Engineering. ASCE, Vol.
113, Nr. 3, p. 429-444.
168
[89] Saiidi, M., Sozen, M .A., (1979), „Simple and Complex Models for Non-
linear Seismic Response of Reinforced Concrete Structures.” Structural
Research Series 465, Civil Engineering Studies, University of Illinois,
Urbana
[90] Scott, M.H., Fenves, G.L., (2006), „Plastic hinge integration methods for
force-based beam-column elements”, Journal of Structural Engineering, Vol.
132, Nr. 2, p. 244-252.
[91] Seckin, M., (1981), „Hysteretic Behaviour of Cast-in-Place Exterior Beam-
Column Sub-Assemblies,” Teza de doctorat, University of Toronto, 266 p.
[92] SeismoSoft, (2008), „SeismoStruct - A computer program for static and
dynamic nonlinear analysis of framed structures” .
http://www.seismosoft.com.
[93] Spacone, E., Filippou, F.C., Taucer, F.F., (1996), „Fiber Beam-Column
Model for Nonlinear Analysis of R/C Frames. I: Formulation” Earthquake
Engineering and Structural Dynamics, Vol. 25, Nr. 7, p. 711-725.
[94] Spacone, E., Filippou, F.C., Taucer, F.F., (1996), „Fiber Beam-Column
Model for Nonlinear Analysis of R/C Frames. II: Applications” Earthquake
Engineering and Structural Dynamics, Vol.. 25, Nr. 7, p. 727-742.
[95] Stevens N. J., Uzumeri, S. M., Collins, M. P., and Will, G. T., (1991),
„Constitutive Model for Reinforced Concrete Finite Element Analysis”, ACI
Structural Journal, Vol. 88, Nr. 1, p. 49-59.
[96] Stevens N. J., Uzumeri, S. M., Collins, M. P., (1991), „Reinforced
Concrete Subjected to Reverse Cyclic Shear-Experiments and
Constitutive Model”, ACI Structural Journal, V. 88, Nr. 2, p. 135-146.
[97] Stolarski H., Belytschko, (1982), „Membrane locking and Reduced
integration for Curved elements”. J. Appl. Mechanics, Vol. 49, p. 172-176.
[98] Stolarski H., Belytschko, (1983), „Shear and membrane locking in C°
elements". Computers methods in Applied Mechanics and Engin., Vol. 41.
[99] Takayanagi, T., Schnobricch, W. C., (1976), „Computed Behavior of
Reinforced Concrete Coupled Shear Walls,” Structural Research Series no.
434. Civil Engineering Studies, University of Illinois, Urbana.
169
[100] Takeda, T., Sozen, M. A., Nielsen, N., (1970), „Reinforced Concrete
Response to Simulated Earthquakes”, Journal of Structural Engineering,
ASCE, 96(ST12), p. 2557-2573.
[101] Taucer, F., Spacone, E., Filippou F. C. (1991), „A Fiber Beam-Column
Element for Seismic Response Analysis of Reinforced Concrete Structures”,
Earthquake Engineering Research Center, College of Engineering, University
of California, Berkeley, UCB/EERC-91/17, 136 p.
[102] Tompos, E.J., Frosch, R.J., (2002), „Influence of Beam Size, Longitudinal
Reinforcement, and Stirrup Effectiveness on Concrete Shear Strength”, ACI
Structural Journal, Vol. 99, Nr. 5, p. 559-567
[103] van Mier, J.G.M., (1997), „Fracture Processes of Concrete: Assessment of
Material Parameters for Fracture Models”, CRC Press, Boca Raton, Florida,
464p.
[104] Vecchio, F. J., Collins, M. P. (1986), „The Modified Compression-Field
Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear”, ACI Journal,
Vol. 83, Nr. 2, p. 219-231.
[105] Vecchio, F. J., (1987), „Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete Frames
Subjected to Thermal and Mechanical Loads”, ACI Structural Journal, Vol.
84, Nr. 6, Nov.- Dec., p. 492-501.
[106] Vecchio, F. J., Collins, M. P., (1988), „Predicting the Response of Reinforced
Concrete Beams Subjected to Shear Using Modified Compression Field
Theory”, ACI Structural Journal, Vol. 85, Nr. 3, p. 258-268.
[107] Vecchio, F. J., (1989), „Nonlinear Finite Element Analysis of Reinforced
Concrete Membranes”, ACI Structural Journal, Vol. 86, Nr. 1, p. 26-35.
[108] Vecchio, F. J., (1992), „Finite Element Modeling of Concrete Expansion and
Confinement”, ASCE Journal of Structural Engineering, Vol. 118, Nr. 9, p.
46-56.
[109] Vecchio, F. J., (1999), „Towards Cyclic Load Modeling of Reinforced
Concrete”, ACI Structural Journal, Vol. 96, Nr. 2, Mar.-Apr., p. 132-202.
[110] Vecchio, F. J., (2000), „Analysis of Shear-Critical Reinforced Concrete
Beams”, ACI Structural Journal, Vol. 97, Nr. 1, p. 102-110.
170
[111] Vecchio, F. J., (2000), „Disturbed Stress Field Model for Reinforced
Concrete: Formulation”, Journal of Structural Engineering, Vol. 126, Nr. 9,
p. 1070-1077.
[112] Vecchio, F. J., Balopoulou, S., (1990), „On the Nonlinear Behaviour of
Reinforced Concrete Frames”, Canadian Journal of Civil Engineering, Vol.
17, Nr. 5, p. 698-704.
[113] Vecchio, F. J., Emara, M.B., (1992), „Shear Deformations in Reinforced
Concrete Frames”, ACI Structural Journal, Vol. 89, Nr. 1, p. 46-56.
[114] Vecchio, F. J., Bentz, E.C., Collins, M.P., (2004), „Tools for Forensic
Analysis of Concrete Structures”, Computers and Concrete, Vol. 1, Nr. 1, p.
1-14
[115] Vecchio, F. J., Shim, W. (2004), „Experimental and Analytical
Reexamination of Classic Concrete Beam Tests” ASCE Journal of Structural
Engineering, Vol. 130, Nr. 3, p. 460-469.
[116] Vulcano, A., Bertero, V. V., (1987), „Analytical models for predicting the
lateral response of RC shear walls: evaluation of their reliability” Raport
Nr. UCB/EERC-87/19, Earthquake Engineering Research Center, University
of California. Berkeley, California.
[117] Walraven, J. C., (1981), „Fundamental Analysis of Aggregate Interlock”,
Proceedings, ASCE, Vol. 107, STH, Nov., p. 2245-2270.
[118] Weiss, W.J., Güler K., Shah, S.P., (2001) „Localization and size-dependent
response of reinforced concrete beams”, ACI Structural Journal, Vol. 98, Nr. 2,
p. 686-695.
[119] Zeris, C. A. & Mahin, S. A., (1988), „Analysis of Reinforced Concrete
Beam-Columns under Uniaxial Excitations”, Journal of Structural
Engineering, ASCE, 114(ST4), p. 804-820.
[120] Zeris, C. A. & Mahin, S. A., (1991), „Behaviour of Reinforced Concrete
Structures Subjected to Biaxial Excitations”, Journal of Structural
Engineering, ASCE, Vol. 117, Nr. ST9, p. 2657-2673.
171
Anexa A
Determinarea funcţiilor de interpolare Friedman – Kosmatka
Aşa cum s-a specificat în capitolul 2, paragraful 2.2.1 funcţiile de interpolare a
deplasărilor sunt derivate din ecuaţiile de echilibru.
Pentru deformaţiile axiale funcţiile de formă sunt cele clasice, în care deformaţia
axială se consideră că variază liniar:
𝒖 𝒙 = 𝟏 − 𝝃 𝒖𝟏 + 𝝃𝒖𝟐 = 𝑵𝟏𝒖𝟏 + 𝑵𝟐𝒖𝟐 (A.1)
𝑵𝟏 = 𝟏 − 𝝃𝑵𝟐 = 𝝃
(A.2)
unde 𝜉 este egal cu raportul 𝑥/𝑙.
Pentru a fi îndeplinită prima relaţie de echilibru, trebuie impusă condiţia ca
polinomul de interpolare pentru deplasările transversale 𝜈 𝑥 să fie superior cu un
ordin celui folosit pentru rotire 𝜃(𝑥) :
𝒗 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝒙
𝟑 (A.3)
In cazul unei grinzi Timoshenko deformaţia tangenţială este constantă 𝛾𝑥𝑦 =
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝛾0 iar din relaţia 2.5 rotirea se poate exprima în funcţie de coeficienţii
𝑎0…3:
𝜽𝒛 𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒂𝟐𝒙 + 𝟑𝒂𝟑𝒙𝟐 − 𝜸𝟎 (A.4)
Folosind relaţiile între moment şi curbură (A.5a), respectiv între forţa tăietoare şi
deformaţia tangenţială (A.6) combinate cu ecuaţia între moment şi forţă tăietoare
(A.7) se poate exprima deformaţia tangenţială în funcţie de coeficienţii de 𝑎0…3 şi
caracteristicile geometrice ale secţiunii:
𝑴𝒛 = −𝑬𝑰𝒛𝝆𝒛 = −𝑬𝑰𝒛𝝏𝜽𝒛
𝝏𝒙 (A.5a)
𝑀𝑧 = −𝐸𝐼𝑧(2𝑎2 + 6𝑎3𝑥) (A.5b)
𝑽𝒚 = 𝜿 𝑮𝑨𝜸𝟎 (A.6)
𝒅𝑴𝒛
𝒅𝒙− 𝑽𝒚 = 𝟎 (A.7)
𝜸𝟎 = −𝟔 𝑬𝑰𝒛
𝜿 𝑮𝑨 𝒂𝟑 (A0.8)
Notând cu 𝜆 raportul (𝐸𝐼𝑧)/(𝜅 𝐺𝐴) expresia rotirii devine:
𝜽𝒛 𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝟐𝒂𝟐𝒙 + 𝟑𝒂𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝝀𝒂𝟑 (A.9)
Expresiile coeficienţilor 𝑎0…3 se deduc din condiţiile la limită:
172
𝒗 𝟎 = 𝒗𝟏𝒗 𝒍 = 𝒗𝟐𝜽𝒛 𝟎 = 𝜽𝒛𝟏𝜽𝒛 𝒍 = 𝜽𝒛𝟐
(A.10)
Inlocuind în relaţiile A.10 expresiile lui 𝑣(𝑥) şi 𝜃𝑧(𝑥) date de ecuaţiile A.3 şi A.9
rezultă :
𝒂𝟎 = 𝒗𝟏 (A.11)
𝒂𝟏 =𝟏
𝟏+𝝓 −
𝝓
𝒍𝒗𝟏 + 𝟏 +
𝝓
𝟐 𝜽𝒛𝟏 +
𝝓
𝒍𝒗𝟐 −
𝝓
𝟐𝜽𝒛𝟐 (A.12)
𝒂𝟐 =𝟏
𝟏+𝝓 −
𝟑
𝒍𝟐𝒗𝟏 −
𝟏
𝒍 𝟐 +
𝝓
𝟐 𝜽𝒛𝟏 +
𝟑
𝒍𝟐𝒗𝟐 −
𝟏
𝒍 𝟏 −
𝝓
𝟐 𝜽𝒛𝟐 (A.13)
𝒂𝟑 =𝟏
𝟏+𝝓 𝟐
𝒍𝟑𝒗𝟏 −
𝟏
𝒍𝟐𝜽𝒛𝟏 −
𝟐
𝒍𝟑𝒗𝟐 +
𝟏
𝒍𝟐𝜽𝒛𝟐
(0.14)
unde
𝝓 = 𝟏𝟐𝝀
𝒍𝟐= 𝟏𝟐
𝑬𝑰𝒛
𝒍𝟐 (A.15)
Substituind expresiile coeficienţilor 𝑎0…3 în relaţia A.3 se ajunge la relaţia :
𝒗 𝝃 =𝟏
𝟏+𝝓 𝟏 − 𝟑𝝃𝟐 + 𝟐𝝃𝟑 + 𝝓 𝟏 − 𝝃 𝒗𝟏 +
𝒍
𝟏+𝝓 𝝃 − 𝟐𝝃𝟐 + 𝝃𝟑 +
𝝓
𝟐 𝝃 − 𝝃𝟐 𝜽𝒛𝟏 +
𝟏
𝟏+𝝓 𝟑𝝃𝟐 − 𝝃𝟑 + 𝝓𝝃 𝒗𝟐 +
𝒍
𝟏+𝝓 −𝝃𝟐 + 𝝃𝟑 +
𝝓
𝟐 −𝝃 + 𝝃𝟐 𝜽𝒛𝟐 (A.16)
Relaţia anterioară se poate scrie şi sub forma :
𝒗 𝝃 = 𝑵𝟑𝒗𝟏 + 𝑵𝟒𝜽𝒛𝟏 + 𝑵𝟓𝒗𝟑 + 𝑵𝟔𝜽𝒛𝟒
(0.17)
Unde
𝑵𝟑 =
𝟏
𝟏+𝝓 𝟏 − 𝟑𝝃𝟐 + 𝟐𝝃𝟑 + 𝝓 𝟏 − 𝝃
𝑵𝟒 =𝒍
𝟏+𝝓 𝝃 − 𝟐𝝃𝟐 + 𝝃𝟑 +
𝝓
𝟐 𝝃 − 𝝃𝟐
𝑵𝟓 =𝟏
𝟏+𝝓 𝟑𝝃𝟐 − 𝝃𝟑 + 𝝓𝝃
𝑵𝟔 =𝒍
𝟏+𝝓 −𝝃𝟐 + 𝝃𝟑 +
𝝓
𝟐 −𝝃 + 𝝃𝟐
(A.18)
În mod asemănător se poate deduce şi expresia lui 𝜃𝑧 𝜉 :
𝜽𝒛 𝝃 =𝟔
𝒍 𝟏+𝝓 −𝝃 + 𝝃𝟐 𝒗𝟏 +
𝟏
𝟏+𝝓 𝟏 − 𝟒𝝃 + 𝟑𝝃𝟐 + 𝝓 𝟏 − 𝝃 𝜽𝒛𝟏 +
𝟔
𝒍 𝟏+𝝓 𝝃 −
𝝃𝟐 𝒗𝟐 +𝟏
𝟏+𝝓 −𝟐𝝃 + 𝟑𝝃𝟐 + 𝝓𝝃 𝜽𝒛𝟐
(0.19)
𝜽𝒛 𝝃 = 𝑵𝟕𝒗𝟏 + 𝑵𝜽𝟐𝜽𝟖 + 𝑵𝟗𝒗𝟑 + 𝑵𝟏𝟎𝜽𝒛𝟒 (A.20)
unde
173
𝑵𝟕 =
𝟔
𝒍 𝟏+𝝓 −𝝃 + 𝝃𝟐
𝑵𝟖 =𝟏
𝟏+𝝓 𝟏 − 𝟒𝝃 + 𝟑𝝃𝟐 + 𝝓 𝟏 − 𝝃
𝑵𝟗 =𝟔
𝒍 𝟏+𝝓 𝝃 − 𝝃𝟐
𝑵𝟏𝟎 =𝟏
𝟏+𝝓 −𝟐𝝃 + 𝟑𝝃𝟐 + 𝝓𝝃
(A.21)
Inlocuind în expresiile A.2, A18 şi A.21 𝜉 cu 𝑥/𝑙 se obţin relaţiile 2.30
174
Anexa B
Descrierea unui program de analiză a panourilor supuse la forfecare
Pentru a putea compara rezultatele obţinute cu MCFT şi varianta simplificată a
acesteia folosită în această teză s-a dezvolta un program de calcul care
implementează ambele metode (figura B.1).
Figura B.1. Fereastra principala a programului
Mai multe legi contitutive pentru beton (figura B.2) propuse în literatura de
specialitate au fost implemnetate, pentru oţel folosindu-se legi de tip biliniar (figura
B.3).
175
Figura B.2. Modul de introducere a caracteristicilor betonului
Figura B.3. Modul de introducere a caracteristicilor oţelului
Programul permite introducerea alegerea metodei de calcul, a tipului de formulare
(tangentă sau secantă) şi raportul încărcărilor aplicate.
176
Figura B.4. Fereastra cu opţiuni privind modul de desfăşurare a analizei
Programul permite atât controlul în forţe şi controlul în deplsări. Pentru controlul în
deplasări s-a folosit metoda clasică, dezvoltată de Batoz şi Dhatt (1979), iar
folosirea acestei metode permite depăşirea punctelor limită, de maxim sau minim
local (figurile B.5 şi B6).
Figura B.5. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială determinată
deterimnată prin folosirea controlului în forţe
177
Figura B.6. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială deterimnată prin
folosirea controlului în deplasări
În figura B.7 este prezentată degradarea de rigiditate după fisurare, obţinută folosind
controlul în deplasări.
Figura B.7. Relaţia efort tangenţial – deformaţie tangenţială, înainte şi după
fisurare, deterimnată folosind control în deplasări
178
Deformaţiile şi eforturile unitare sunt determinate atât pe direcţiile principale ale
deformaţiilor cât şi în sistemul elementului. În figurile B.8-B11 sunt prezentate
grafic diverse relaţii între eforturi unitare şi/sau deformaţii specifice.
Figura B.8. Relaţia efort tangenţial – deformaţie normală pe direcţia X
Figura B.9. Relaţia efort tangenţial – efort unitar în armătură pe direcţia X
179
Figura B.10. Relaţia efort unitar – deformaţie specifică pentru direcţia principală de
întindere
Figura B.11. Relaţia efort unitar – deformaţie specifică pentru direcţia principală de
compresiune