ELASTICITATE PLASTICITATE

NELINIARITATE

COMPRESIUNE I I

Fisurare

- - E &f Euf

EDITURA PRINTECH BUCUR.ECjT1

TABLA DE MATERII

Pag .

Capitolul 1

Starea de tensiune tridimensionala in jurul unui punct

1.1. Tensorul tensiunilor Cauchy ................................................................ 1.2. Tensiuni pe o suprafata inclinata ................................................................ 1.3. T e n d tensiunilor phcipale ................................................................ 1.4. Tensiuni tangentiale extremale ................................................................ 1.5. TensiuniocMce ................................................................ 1.6. Intensitatea tensiunilor tangentiale ................................................................ 1.7. Starea de tensiune plana ................................................................ 1.8. Exprimarea tensiunilor la rotatia axelor si a corpului ..........................

1.8.1. Transformarea tensiunilor la mtatia axelor .......................... 1.8.2. Transformarea tensiunilor la rotatia de corp rigid ..........................

................................................................ 1.9. Tensorul tensiunilor de ordinul I1 1 . 10 . T e n d ratei tensiunii ................................................................ 1.11. Tensorul de tensiune actualizat ................................................................

Bibliografie ................................................................

Capitolul2

Starea de deformatie tridimensionala in jurul unui punct

Tensorul deformatiilor ................................................................ Deformatii mici ................................................................ Deformatii principale . Invariantii deformatiilor ....................................... Intensitatea deformatiilor de forfecare ................................................... Deformatii octaedrice ............................................................................

........................................................... Tensorul deformatiilor Almanssi Viteze de deformare - ten& vitezelor ................................................... Conditiile de compatibilitate ale d e f d o r .......................................

.......................... Conditiile de compatibilitate ale vitezelor de deformtie Bibliograf~e ................................................................

Capitolul 3

Studiul fizic, relatii constitutive ale materialului

3.1. Relatia constitutiva in domeniul liniar elastic ....................................... 34 3.2. Relatia constitutiva dintre deviatorii tensorilor ....................................... 40 3.3. Relatiile constitutive Ute ................................................................ 40 3.4. Ecd i l e constitutive liniare pentru un material anizotrop ........................... 41

Bibliografie ................................................................ 50

Teoria eljlsticitatii plane . in coordonate carteziene

Starea de d e f k e plana ................................................................ studiul static ................................................................ 4.1.1. Ecuatiile diferentiale de echilibru static . Navier ..........................

Aplicatie . Stabilirea eqresiei tensillnilor tangentiale . Juravski .......... Studiul geometric ................................................................ 4.2.1. Ecuatiile de defonnatii . Cauchy ................................................... 4.2.2. Ecuatiile de compatibilitate . St . Venant ....................................... Studiul fizic . relatiile de elasticitate ................................................... 4.3.1. T(.)=flT(.)] . defarmatiie functie de tensiuni .......................... 4.3.2. T(.) = m(.)] . tensiunile M e de defonnatii ......................... Conditii la limita (conditii pe contur) ................................................... Metoda efomuilor ................................................................ Metoda deplasarilor ................................................................ Solutii cu ajutorul functiilor irigonometrice ..................... - ................ 4.7.1. Serii trigonometrice ................................................................. 4.7.2. Ortogonalitatea functiilor trigonornetrice sin si c'os .......................... 4.7.3. Deducerea coeficientilor q si bn ....................................... 4.7.4. Dezvoltarea expresiei incarcador sub forma de serii trigonometrice 4.7.5. . Solutia functiei Airy cu ajutorul seriilor gon no met rice .............. Aplicatia 1 ......................................................................................... ~plicatia 2 ......................................................................................... Aplicatia 3 ......................................................................................... Aplicatia 4 .........................................................................................

BiblioNie ................................................................

Metoda numerica de calcul a diferentelor finite . M.D.F.

5.1. Principiul metodei ............................................................................ 5.2. Aflarca functiei F(x. y) pe contur s i pe extracontur .......................... 5.3. Calculul grinzilor pereti ............................................................................

5.3.1. Privire generala ............................................................................ 5.3.2. Variatia tensiunilor normale ...................................................

............................................................... 5.3.3. Elemente constructive ............. Aplicatie . Metoda numerica de calcul a diferentelor finite

............................................................................ Bibliografie

Metoda numerica de calcul a elementului finit . M.E.F. c . E . . .% .!.

6.1. Generalitati ............................................................................ 118 . ' . . . . . ................................................... 6.2. Fundarnentele metodei elementului finit 119

6.1. Rezolvurea problemei plane (1 teoriei elasticit& ....................................... la, . : ; ;

450 . . . . . .

. . .

Etape de cad: 11 ............................................................................ 6.3.1. 'Idedi :.rarea s-rii ............................................................................ 6.3.2. Rep~~xnlarea m a t r i d a caractaisticilor elastice si geometriee

d e elementelor ............................................................................ ............................................................... 6.3.3. Asamblsuea elementelor

Conditii . arpecte de calcul ............................................................................ 6.4.1. Studiul static ............................................................................ 6.4.2. Cornpatibiditate . studid geometric ...................................... 6.4.3. Studiul kit . Legea lui Hooke ...................................... Matricea de rigiditate globala a continumuli ...................................... Anarea mahicii de rigiditate a elementului finit ...................................... Variante perfectionate ale metodei ...................................... Calculul numeric a1 placilor plane si curbe ......................................

...................................... Algoritrne de calcul specifice placilor incovoiate Cimpurile ipotetice de deplasari .................................................. 6.9.1. Functii de forma si fimctii de baza .................................................. 6.9.2. Pozitionarea l~odurilor si alegerea f u n d o r de baza ............. Aplicatie . Metoda numerica de calcul a elementelor finite .............

Bibliografie ............................................................................

Capitold 7 Teoria elasticitatii plane . in coordonate polare

7.1. Cazul general . Schimbarea de coordonate ................................................... 7.2. Starea de solicitare axial simetrica ................................................... 7.3. Tub cilindric cu pereti p s i (starea de defonnate plana) - Problema lui Lam6

7.3.1. Studiul static ............................................................................ ............................................................................ 7.3.2. Studiul geometric

7.3.3. Studiul f ~ c ............................................................................ Aplicatia 1 - Pana actionata in virl: de-a lungul axei sale, de o forb concentrata Aplicatia 2 - Pana actionata in viri. normal pe axa panei, de o forta concentrata Aplicatia 3 - Serniplanul actionat de o forta concentrata Problema Flamant - Boussinesc

3.1. Serniplanui actionat de o forta n d a la suprafata ............. 3.2. Semiplanul actionat dg o forb tangentiala la suprafata ............ 3.3. Semiplanul actionat de o incarcare uniform distribuita ............

Aplicatia 4 - Diagrama presiunilor orhntale pe un zid de sprijin, din forte concentrate Aplicatia 5 - Deknninarea kmiunilor normale la o anumita adincime

in interiorul semiplanului infinit elastic ....................................... Aplicatia 6 - Diagrama presiunilor orizontale pe un zid de sprijin, din forte dishibuite Aplicatia 7 - Starea de tensiune in&-un tub cu pereti grosi ...........................

Bibliografie .............................................................................

Teoria placilor plane incovoiate . in coordonate carteziene

8.1. Defmitii; generalitati ............................................................................ 8.2. Clasificare ............................................................................

8.2.1. blembrana ' ............................................................................ 8.2.2. Placa foam subtire @laca flexibila) ...................................... 8.2.3. Placa subtire ............................................................................ 8.2.4. Raca de grosime medie si placa groasa ......................................

*- 8.3. Ipoteze simplificatoace de calcul ...............................................................

8.3.1. Ipoteza de natura d c a . Kirchhoff I ...................................... 8.3.2. Ipoteza de natura geanelrica . Kirchhoff II ......................... 8.3.3. Ipoteza cantitativa a deformatiei .....................................

8.4. Studiul static ............................................................................ 8.4.1. Relatii de echivahta statica intre e f d si eforbni mitaore ............. 8.4.2. Momente si forte tai'etoare in sectiuni inchate ............. 8.4.3. Ecuatiile diferentiale de echilibm static ......................................

8.5. Studiul geometric ............................................................................ 8.5.1. Calculul dep1asariloru.v.w ............................................................... 8.5.2. Calcululdefomatilor E,,E,,,Y, ......................................

8.6. Studiul f ~ c ............................................................................ 8.7. Expresiile efarturilor sectionale ............................................................... 8.8. Ecuatia cu derivate partiale a sagetilor ................................................... 8.9. Conditii de contur ............................................................................

8.9.1. Margine simplu rezemata ............................................................... 8.9.2. Margine incashah ................................. - ............................ 8.9.3. Margine libera ............................................................... 8.9.4. Conditii pe contur in diferente finite ......................................

Ecuatia difeentiala a placii in diferente finite 8.9.l.a Conditii de margine simplu remnata .......................... 8.9.2.a Conditii de margine incastrata ...................................... 8.9.3.a Conditii de margine libera ...................................... Operatorul lui Laplace pentru difeentefinite . placi plane .............

8.10. Elemente finite tip Mindlin pentru placi .................................................. Aplicatia 1 ............................................................................ Aplicatia 2 ............................................................................ Aplicatia 3 ............................................................................ Aplicatia 4 ............................................................................ Aplicatia 5 ............................................................................ Aplicatia 6 . Programul " PLACAMDF' ...................................................

Bibliograiie ............................................................................

Teoria placilor plane incovoiate . in coordonate polare

.9. 1. Generalitati ............................................................................ 9.2. Studiul static ............................................................................ 9.3. Ecuatia cu derivate partiale a sagetilor ................................................... 9.4. Conditii de fezemare ............................................................................ 9.5. Starea de tensiune si de deformatii sirnetrica in raport cu centd ............

Aplicatia 1 ............................................................................ Aplicatia 2 ............................................................................

Bibliograf~e ...........................................................................

Teoria placilor curbe

10.1. Ipoteze simplificattoare de calcul ............................................................... 10.1.1. Ipoteza privind d u l ............................................................... 10.1.2. Ipoteza compo~~% liniar eiastice .................................................. 10.1.3. D e p M e elastice ale placii sunt mici in raport cu grosimea placii 10.1.4. Grosimea placii "h" se considera relativ mica fata de razele de curbura 10.1.5. Ipoteza segrnentului normal si rectiliniu .......................... 10.1.6. Ipoteza de natura statica privind tensiunile ..........................

10.2 Teoria placilor curbe hind seama de incovoiere .......................... 10.3. Teoria placilor curbe fara incovoiere ................................................... 10.4. Calculul efortudor sectionale ............................................................... 10.5. Teoria de membrana ............................................................................ 10.6. Placi curbe subtiri de mtatie m m a t e si incarcate simetric fata de axul de rotatie 10.7. Plki ccube subtiri de translatie . Teoria plkilor curbe cilindrice circulare ........

10.7.1. Studiul static ............................................................................ 10.7.2. Studiul geometric si fizic ................................................................ 10.7.3. Ecuatia diferentialg a sagetilor rezervorului . .......................... 10.7.4. Expresiile si variatiile eforturilor sectionale . .......................... Aplicatia 1 ............................................................................ Aplicatia 2 ............................................................................

10.8. Placi curb subtiri de rotatie incarcate nesimetric .......................... 10.8.1. Actiunea vintului asupra cupolei sferice . .......................... 10.8.2. Cupola sferica supusa la o miscare de translatie . ............. 10.8.3. Cupola sferica actionata la virf de o forta &ntala ............

............. 10.8.4. Cupola sferica actionata la virf de un moment co&xdraL 10.8.5. Actiunea vintului asupra cupolei conice . ......................................

Bibliogratie ............................................................................

Voalarea placilor plane

11.1. cknmlitati ............................................................................ 314 11.2. Voidarea placilor -are shqplu rezemate pe contur si cornprimate

pe o directie .......................................................................... 316 . 11.3. Voalarea placilor dreptunghiulare simplu fezemate pe conau si comprinlate

pe doua directii ............................................................................ 319 11.4. Voalarea placilor dreptunghiulare solicitate cu efomni de forkcare pe contur 322

11.5. Voalarea p l d m dreptra%hulare simplu mmmak, sokitake cu e f d tangentiale pe contw si cu tenmuni rmrmale loogibdinale uniform disirihitc ........... 327

11.6. V ~ p l a d l o l d r e p t m & u l a e ~ ~ c u ~ n a i m a l e v ~ l i r k 330 11.7. Voalarea pWur dqmn&hb h p l u mmmte, solicitate cu eforturi rangmtiale

constantepecontursicu~uniMlrmaleWbuitelhiarpefeteletransversale 332

Aplicatia 2 .............................. &.... ........ . .................. . .......... ... 349 Bibliografie ........................................................... . ................

. . . ... 35 1

. , , , ,? , . l . :?;* .P. . . . : , . ' , . - . ; . ; : : , , , , -.., ,7-. . . . - - . . .

Capitolul 12 ,. .. .... .. ..,- r . 3 . ' '..., .... ~.ij,:.,+.: 1. ..' , - .: ..,;.,;,,, ; . - , .'.

. -.., 7 ..! . , . . . ... , ! f : . ,..;, ->.' . . . . . . :..!a : -\.*. , . .#!,it>

' < : - , . .,ii ,,:r.r; vk.?.:. :

': ' Teoria plasticitatii. Stare plastic8 : - - ~, . ' .. .

' f a ' . : L : . . . : . ,?. '. , ;J' . ..

12.1. Ecuatiile difemtiale de echilibru ale mis- ........................................ 352 12.2. Corp elastic , fluid perfect si fluid v i m ........................................ 352 12.3. ~chirhbarea de forma si de volurn a corpului ' '-:~%;rl: ....................................... 353 .. . .. 12.4. Eeformatii elastice si plastice ................................................................. 353 12.5. Conditii de curgexe. Suprafete de curgere ........................................ 355 Q 12.6. Conditii de ecruisaj isotrop ........................................ . ......... . .............. 357 12.7. Teoria curgerii plastice ................... ,..: .................................................. 3 5 7 . 12.8. Relatia constitutiva bazata pe proprietatile pWce si intarima matekdului ..... 358

12.8.1. Relatia incrementala "tmsiune - defonnatie" ........................... 358 12.8.2 Expresii privind descrierea htarhii materhlului ........................... 361

129. Modelul constitutiv a1 W u l u i in analiza cu rnetoda elematelor finite ....... 366 12.9.1. Modelateanumerica a materialului betb nef" .............. 366 129.2. Modelamnumeaica amamhlului beton &mat .... ......... , .... .. .... 374 .

12.9.2.1. Criterid de fisurare _ ................................................... 375 . 2

129.2.2. -tul betonului priviDd dimin- d e f d e i 337: .:.,

Bibliogdie ........................................................................... 331 .it$'!$.,. .ti>': ,, ,.,,; ; 4 Capitolul 13

\,4 . ;i,$$ - ? . ,

Considerarea amortizarii in evaluarea raspunsului dinamic @$ur-4 .! . $&( in analii numerica cu Metoda Elementului Finit ~ . ,a :c4,

: ;st;: . ' ,, .! ' - r , _ I . ' . , , . ' I 13.1. Generalitati ................................................ . ............................ 3M

. . ' . . ' ", ..'. ". .384' . 13.2. Ecuatiile ma?riceale generale in analiza cu M.E.F. ........................................

: 2 . 6 ; i 13.3. Calculul dinamic prin supeqozitie modala . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. 387,

13.4. Disipanza energiei prin amahm ................................................... 389 13.5. Masurarea c m d i c i a de ................................................... 390 13.6. Identificarea amortizarii din ctnba de raspuns in hxventa .............. 391 13.7. Malricea de rigiditate dimnb, cu amxtbm. penm grinda Timoshenko

............................................................................ pe o fundatie vi6cwlastka Bibliografie ..................... ..4 ....................................................

Relatii c@nstihutive ale materialului in domeniul neliniar

14.1. Formularea re1atie.i diniare "tensiUneaefamate" ........................... ......... 400

14.2. Relatia constitutiva bazata pe matimile octadrice incrementale ............. 402 14.3. ' Relatia constitutiva octaedrica specific& betonului ...................................... 407 14.4. Relatia constitutivii elasto-plastic8 specifid betonului ...................................... 412 14.5. Modele constitutive si criterii de oedare specdice materialelor p u l a r e 417 14.6 Legi constitutive ce definesc defonnabilitaka si cedarea pitmhtudor .......... 4U)

14.6.1. Generalia ........................................................................................ 420 14.6.2. ~lemente de teoria plaslicitatii. cu referire la starea de "tensiune-deformatie"

in medii grandaxe necoezive $ coezive .................................................. 421 14.7. Conditia de mpere a xnatmialului ............................................................... 426

Bibliogratie ........................................................................................ 429

Capitolul15 Ecuatiile secventiale ale echilibrrrlui spedfice neliniaritatii

15.1. Generalitati ................................................................................................. 15.2. Relatia generala de echilibru ........................................................................ 15.3. Clasif~carea analizei neliniare .......................................................................

15.3.1. Neliniaritate de mat* .................................................................. ......................................... 15.3.2. Neliniaritate geometrica (deformat3 mici) ......................................... 15.3.3. Neliniaritate gmnarica (deformatii &)

.............................................................. 15.4. orm mu la re^ ~agrangeana totala ......................................................... 15.5. Fonnularea Lagrangeana reactualkata

15.6. NeMaritaka geometrica Placi plane foarte s u e incovoiate, cu sageti mari 15.6.1. Generalitati .................................................................................. 15.6.2 Relatii gametrice n e w e intre defonnatii si &p1& in cazul

.................................................................. deformatiilor rnici finite 15.6.2.1. Componentele deplasarilor .................................................. 15.6.2.2. Cornponentele deformatiilor ................................................

Bibliografie ............................................................................................................

@ b c m w nELASTICITAT& PLASTICITATE. NELMURITATEn, abotdam probleme frscvent ' t e i n ~ c . & ~ r i p ~ a ~ d u J d & ~ , e h e c t i u n i c u c n u m p i

pot mlvate cu mijbaccle cluio & crlcul spcdica Rezista~tei mrtslirlslor. Auwata AwYtr disciplina I "%r R s t i r t e n t l ~ o r m ~ p o r a M & i p o t s t e & c J a r l ~ r u u o ~ ~ s i l w r t r P n g , rplicabili~&v~obhuta

Pantru r re edta asemcma limitah cpn provin din camdictiile intre ipotstsle gametrio privind dsfannmbl anpului u d t i i l e & echilih static. m la ipotede oui tigumam rle Teoriei elaatiaatii, w raiu ecuatiilq & echilibu, sub famu difqentirlr l a nivel infinite&&, sinmd mbul cont si & fonna d s f ~ a ~ u i d c u l o s s t s ~ c t i i r e c r u t r ~ l v c m r ~ u r ~ ~ ~ r s h n i c c

In principal, ps us in vedae ipoteu Continuiwii d e f d i l o t aapului pmsapur continuu, omogm ili icoCmp (MU mleotrop), cu o colngortan liniu elPOtica, uu neliniata IBIUtO-pladka Stma & wlicitam nu mai ~ f i ~ p r i a ~ v e c t a i ~ ~ h c ; r t u l r i r t a a e l o r d i s c r s d s d e p m d s ~ r l e c n ~ ~ Rahtcata mrairlelor, d prin marimi & natuta tensoriala.

Ss~i~&crlarl~rs,~pdeleetrperlcdanwgrtiilor(rhldiul~c,geotnebicu fizic) ri rs eamplifiu tsod. cu aplidile inginassti corespmutorn, sub o femur dtevata implementarii lor Mlraerice pe calculator. Situstiils examinate sunt astfel brtste incat re pnzinta d fundammtul teoretic. du si famu iinita a dtate4or, pin caprecii de erlcul la obiect Aplicrciilc sunt rpedfice d facile, mlul lor fiind & consolidarc a cunostinteor taontice prczmtate.

~ c w r i l s m a i ~ I w r e & ~ s a u & f o m r o ~ ~ s ~ n t p r c v c w t e e a p i t o l c ~ t o a m la metockle n d c e & d c u l (me* dihntclor finite. met& dementelor finite), cue constituie un auxiliar @a pentiu d i v d siluatii cers nu pot fi incadratc in schuncle e\nmte & calcul, cu folosirea metoddor analitice Dezvoltana tchicilot automab de CJcul, baato pe analha numeric. cu metoda eluncntelor finite, au facut poribila moddam pe calculator a fortelor ~ a t o a r c cxWioare d a nspunsului real struchual, neliniar din pnot & vedQe fizic si gsometric, in d unei istorii secvmtiale in timp a daularii fenomenului respectiv.

in partea finah a locrsrii se prezinta rspecte jdvind cdculul in domenid elasto-vasco-plastic al -or si privind intmdwuca ndhiaritatilor f iz ic~ si gametrice in analiza obucaaala .

Luctlp.sa crrprinde unmtoamle categorii & problcrss: a - atarea tridimensionala & TENSRTNE ti & DEFORMATE din jtrml unui pund ai

RELATIKE CON- can le I sag~ b. -p~~planr~TEORlEIEtAS~ATEI-rtrrrar&tarsi~d&defo~plsrr~,in

coordwrts crrtedsne d polue; ~.-studiuldertzistentadstabiliM6dPLACILORplrwm&i@ d.-~UlPWClLORarrberubtiri; 8. - aQDcntc & TEORlA PLMllCTrATIt: d V m - FLASTLCITATII; f.- C O ( U ~ AMORTiZARil in evrltuma w u i m i ; g.- NELINUUUTATEA &tip fizic d

Lucnrer ae adrcwozo cemwodot d in- cai se ocupo cu proicctarea rtruchvilor & rezistanta, ~ u ~ t i l o r & I . u n i v a i ~ & i n v r t m u n t t d Y l i c ~ o r c u p o f i l ~ c ~ & c o n ~ .

Autorul,crmin~inchciaiilsdrcrrrilsc4dsicrstI~eRuimult&clltinmomnbrliacspc~ii d,vrfirscunoscatwdmcarevor~rrr9~~edecr~aarnasmcoarticnti,cdcdi~crtd ~ c a a r f i l n I t u t s a L I v V a i D t l ~ & a k ~

htord tine sa multummm mI.bwrtor sai mei tin& : wf lua. drd ing. Scnin V d d Lspdrt - U.T.C. WrClPMti, sef IUCT. d d iry Florin Tcper - UnivsnIw Cm- pcahu r p r i j i n u l d io ~ a c e 8 t e i l u c r o r i . .

A o a p s t r I ~ ~ t r u n p i o s o m r g i u p a c ~ w t o r o l i l ~ ~ ~ ~ & R ~ t a Mltarialdor ri Teoria Elasticitbtii, cd cam a fort inagahtdul ducrl d Cbnul AUREL A FIF1P-9.