CAPITOLUL II

ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

11.. ŞŞiirruurrii ddee nnuummeerree rreeaallee

Vom studia în acest capitol o noţiune fundamentală din matematică

"limita unui şir numeric" recapitulând unele rezulate cunoscute din liceu

şi aducând completări cu concepte noi şi afirmaţii importante.

Definiţia II.1. 1] Se numeşte şir de numere reale orice funcţie

f: N→R cu ( )notat

nf n x= ∈R, unde n este rangul sau locul în şir al

termenului general xn.

2] Dacă n0 < n1< ...nk < ... cu n ≤ nk este un şir strict crescător de numere

naturale, prin definiţie şirul ,k

notat

k ny x k= ∈N se numeşte subşir al şirului

de termen general xn.

3] Se notează şirul prin ( )n nx

∈N sau prin (xn) şi un subşir prin ( )

0kn kx

≥ sau

prin ( kn )x . Nu se confundă şirul (xn) care este o funcţie cu mulţimea

elementelor sau termenilor şirului {x0, x1, ..., xn, ...}⊂ R.

4] Un şir (xn) se numeşte şir staţionar dacă există n0∈N a. î. 0n nx x=

( )0( ) ( ) , 0f n f n n n= ∀ ≥ . Un şir (xn) este şir constant dacă xn = x0 , ∀n≥0.

Un şir (xn) este şir periodic dacă există k∈N a. î. xn+ k = xn, ∀n∈N.

Exemple:

1. xn=( )1 n

n−

, n≥1: –1, 12

, 13

− , 14

,...

74

75

52. 0 1 2 3 4, , , , , 5

3 ,n

x x x x x nx

n<⎧

= ⎨ ≥⎩ cu: x0, x1, x2, x3, x4, 3, 3, ..., 3, ... este un

şir staţionar, ∃ n0 = 5 a. î. ∀n ≥ 5 avem xn =3.

3. (xn)n ≥1 dat prin: 1, 0, 2, 3, 1, 0, 2, 3, ... este un şir periodic.

4. (xn)n ≥0 dat prin: a, a, a, ...... a∈ R, este un şir constant.

5. xn=( )11

2 2

n−+ este un şir periodic cu termenii: 0, 1, 0, 1, ... pentru

∀n≥1.

6. xn=12n , n ≥ 0 şi 2 1

12kn kx += este un subşir, avem:

3 5 2 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , 1, , , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2n n+

⎧ ⎫ ⎧⊂⎨ ⎬ ⎨⎩ ⎭ ⎩

K K K K ⎫⎬⎭şi (

knx )k≥0=(yk)k≥0 =

=0k

1k221

≥+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Definiţia II.2.

1. Un şir de numere reale se numeşte şir mărginit dacă mulţimea

termenilor {xn | n ∈ N}⊂ R este o mulţime mărginită în R, adică există

[m, M] ⊂ R a. î. xn∈ [m, M], ∀n ∈ N.

2. Şirul (xn) este mărginit în R, dacă şi numai dacă există a>0 a. î. |xn| ≤ a,

∀n ∈ N adică xn∈[-a, a] ∀n ∈ N.

Exemple

1. xn=( )1 n

n−

este mărginit deoarece există [-1,1]⊂R a. î. xn∈[-1,1],

∀n∈N*.

2. xn=(-1)n , ∀n∈N este mărginit: |xn| ≤ 1, ∀ ∈N.

3. xn = n (n∈N) este nemărginit în R; deoarece pentru ∀a >0, există n∈N

a. î. n = xn > a (axioma lui Arhimede).

4. xn = - n2 este nemărginit în R, deoarece pentru ∀ a > 0, a∈R există un

termen xn astfel încât: |xn|>a.

5. I. (xn) dat prin: 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... este mărginit în R deoarece există

(-1,3) a. î. –1 < xn < 3, ∀n ∈ N.

II. (xn) dat prin: a, a, ..., a, ... este mărginit în R

Definiţia II. 3. 1] Un şir (xn) se numeşte şir crescător dacă avem:

xn ≤ xn+1, ∀n∈N şi (xn) se numeşte şir strict crescător dacă, avem:

xn< xn+1, ∀n∈N.

2] Un şir (xn) se numeşte şir descrescător dacă avem: xn ≥ xn+1, ∀n∈N şi

(xn) se numeşte şir strict descrescător dacă: xn > xn+1, ∀n∈N.

3] Un şir (xn) se numeşte şir monoton dacă este: fie crescător, fie

descrescător, fie strict crescător, fie strict descrescător.

Observaţii:

1. Se poate testa dacă un şir este monoton prin două procedee simple şi

anume:

I. precizând semnul diferenţei: (xn+1 - xn) pentru n∈N.

II. comparând raportul 1n

n

xx+ cu 1, n∈N (în cazul xn ≠ 0 ∀n∈N şi

eventual (xn) de semn constant).

2. Exemple

1. xn= n2, n∈N este şir strict crescător.

2. xn= - n, n∈N este şir monoton descrescător (strict).

3. xn=1n

n+ cu: 2 3 4 5, , , ...

1 2 3 4 este şir monoton descrescător (strict).

76

4. xn = 2, ∀ n ∈ N un şir constant este simultan crescător şi

descrescător.

5. Şirul xn: 0,0,0,1,1,1,2,2,2,..., n,n,n,... este un şir crescător.

6. xn =( )1 nnn

+ − nu este monoton.

Vom considera următoarele clase de şiruri de numere reale: şiruri

convergente, şiruri divergente, şiruri fundamentale (Cauchy) şi şiruri

cu limită (în R ) pentru care se vor demonstra cele mai importante

proprietăţi.

Definiţia II.4.

1] Fie (xn)n≥1 un şir de elemente din R. Vom spune că un element x0∈R

este limita şirului (xn), dacă şi numai dacă, avem:

(II.1)∀ V∈V (x0), ∃nv∈N a. î. ∀ n ≥ nv ⇒ xn∈V

şi vom nota 0lim nnx x

→∞= sau lim xn = x0 sau xn → x0.

Şirul (xn) este atunci, prin definiţie, un şir cu limită în R .

2] Dacă există lim nnx

→∞ = x0 şi x0 ∈ R, prin definiţie, (xn) este şir convergent

în R, sau (xn) converge la x0 în R.

3] Dacă nu există lim nnx

→∞ = x0 sau x0 = + ∞ sau x0 = - ∞, prin definiţie, (xn)

este şir divergent.

4] Şirul (xn) se numeşte şir fundamental sau şir Cauchy, dacă şi numai

dacă, satisface condiţia:

(II.2.){∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N a. î., ∀ n ≥ nε şi ∀p ∈N* ⇒ |xn+p - xn| < ε}.

77

Observaţii:

1. Un şir cu limită, ∃ lim nnx

→∞= x0, poate fi şir convergent dacă x0∈ R sau

divergent dacă x0 = - ∞ sau x0 = + ∞.

2. Şirurile de numere reale (xn) şi (yn) cu proprietatea:

(II.3) ∃ n0 ∈ N a. î. xn = yn, ∀ n ≥ n0

au simultan aceeaşi limită: xn ⎯⎯→R x0 ⇔ yn ⎯⎯→R x0.

Această proprietate arată că se pot suprima sau adăuga un număr finit

de termeni ai şirului (xn) (se pot în general, modifica un număr finit de

termeni) fără a influenţa natura şirului: fie (xn) convergent, fie (xn)

divergent.

3. Proprietatea de monotonie a unui şir, poate avea loc suprimând un

număr finit de termeni care nu sunt în relaţia respectivă (şiruri crescătoare,

şiruri descrescătoare).

4. Definiţia dată şirului cu limită se poate formula şi astfel: “Un şir de

numere reale (xn)n∈N are limita x0 ∈R , dacă în afara oricărei

vecinătăţi a elementului x0 rămân cel mult un număr finit de termeni

ai şirului”.

5. Orice şir staţionar este convergent, xn=0nx , ∀ n ≥ n0, şi xn ⎯⎯→R

0nx . Un

şir constant xn = x0 este un şir convergent şi 0nx x→R

.

6. Exemple:

1) xn = 1 1defn

n+

→ ⇔ ∀ V ∈ V (1), există V' = (1 - ε, 1 + ε) ⊂ V cu ε > 0

arbitrar şi convenabil ales, atunci ∃ nv∈N pentru ∀n ≥ nv avem xn∈V'⊂V

⇔ 1- ε < 1nn+ < 1 + ε ⇒ xn – 1 = 1n

n+ - 1 < ε ⇒ 1

n< ε şi după axioma lui

78

Arhimede există nε ∈N a. î. nε ≥ [ 1ε

] + 1. În consecinţă în afara oricărei

vecinătăţi V ∈ V(1) se găsesc cel mult un numar finit de termeni: x0, x1,

...vnx şi avem ⇒ lim nn

x→∞

= 1 şi (xn) este şir convergent.

2. Şirul (xn) dat prin 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... este şir divergent. Elementul 1∈R

nu este limita şirului (xn), deoarece în afara unor vecinătăţi V ∈ V(1) cad o

infinitate de termeni xn, ca exemplu: V = ( 12

, 32

) în afara lui V cad o

infinitate de termeni egali cu 0. Elementul 0∈R nu este limita lui (xn)

deoarece există vecinătăţi W∈V(0) în afara cărora cad o infinitate de

termeni, ca exemplu W = (- 12

, 12

) în afara lui W cad o infinitate de termeni

xn egali cu 1.

3. xn = n şirul numerelor naturale este divergent şi anume, nu există x0 ∈ R

a. î., lim nnx

→∞ = x0 . Fie V∈V (x0) cu V = (x0 -

12

, x0 + 12

) şi în afara lui V se

află un singur număr natural dacă x0 > 12

şi nici un număr natural dacă

x0 ≤12

deci în afara lui V se găsesc o infinitate de numere naturale care

sunt termeni ai şirului xn = n, n ≥ 0.

4. Şirul xn = 21n

cu n ≥ 1 este şir fundamental (Cauchy) def

⇔∀ε >0, ∃ nε∈N,

∀ n ≥ nε şi ∀ p ≥ 1 ⇒ |xn+p - xn| ≤ 1 1n n p n

1− <

+< ε pentru ∀ n ≥ nε cu

nε = [ 1ε

] + 1, p ≥ 1.

79

5. Şirul xn = sin3

nπ , n ≥1 nu are limită în R. Avem |xn| ≤ 1, ∀ n ≥ 0 şi dacă

există x0 ∈ R cu lim nnx

→∞ = x0 atunci şi |x0| ≤ 1. Fie ε0 = 3

2, ∃n0 ∈ N a. î.

xn ∈ V ∈ V (x0) cu V = (x0 - 3

2, x0 + 3

2) ⇔ x0 -

32

< xn < x0 + 32

,

∀ n ≥ n0. Dacă se consideră n∈ N cu n = 6n0 ±1 şi xn ∈ V ⇔ x0 - 3

2 <

< 0(6 1)sin3

n π± < x0 + 32

⇔ x0 - 3

2 < ± 3

2 < x0 + 3

2 ⇔ |± 3

2 - x0|<

< 32

. În aceste condiţii: 3 = | 32

- (- 32

)| = |( 32

- x0) – ( - 32

- x0)| ≤

≤ | 32

- x0| + | x0 + 32

| < 3 , ceea ce este absurd.

Teorema II.1. (Teorema de caracterizare pentru şiruri cu

limită). Fie (xn) un şir de numere reale şi un element x0 ∈ R , atunci au loc

următoarele condiţii de caracterizare:

i) lim nnx

→∞ = x0, x0∈ R ⇔ (II.4) ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N a. î. ∀ n ≥ nε

⇒ d(xn, x0) = | xn - x0| < ε.

ii) lim nnx

→∞ = + ∞ ⇔ (II.5) ∀ a∈ , ∃ n*

+R a ∈ N a. î. ∀ n ≥ na ⇒

⇒ xn> a.

iii) lim nnx

→∞ = - ∞ ⇔ (II.6) ∀a∈ (a < 0), ∃ n*

-R a ∈ N a. î. ∀n ≥ na

⇒ xn< a.

Demonstraţie: (i) Presupunem că lim nnx

→∞ = x0 în sensul definiţiei şi

deci (II.1) adevărată. Pentru ε > 0 considerăm V∈V(x0) cu V=(x0- ε, x0+ ε)

în afara căreia cad un număr finit de termeni şi fie n' cel mai mare rang al

80

acestora. Alegem nε = n ' +1 şi atunci ∀ n ≥ nε ⇒ xn∈V⇔ | xn - x0| < ε,

∀n≥ nε deci (II.4).

Presupunem că (xn) îndeplineşte (II.4) şi luăm ∀V∈ V(x0), atunci

există V' = (x0- ε, x0+ ε)⊂ V pentru ∀ε>0 şi conform (II.4) există rangul

n ≥ nε a. î. | xn - x0| < ε ⇔ xn∈(x0- ε, x0+ ε) = V' ⊆ V, adică în afara lui V se

găsesc cel mult un număr finit de termeni xn.

(ii) Presupunem că lim nnx

→∞ = + ∞, atunci pentru orice a>0 pe

intervalul (a, + ∞] ⊆ V ∈ V(+ ∞) se află toţi termenii şirului xn de la un

rang na încolo, deci pentru n ≥ na şi se obţine (II.5).

Presupunem că (xn) satisface (II.5), atunci ∀ V ∈ V(+ ∞) se alege

a>0 a. î. (a, + ∞] ⊆ V şi conform ipotezei există na ∈N a. î. ∀ n ≥ na ⇒

xn∈ (a, + ∞] ⊆ V ⇒ xn∈V, ∀ n ≥ na (definiţia limitei).

(iii) Se demonstrează similar cu (ii) considerând ∀a∈R* şi

vecinătăţile V∈V(- ∞) a. î. W' = [- ∞, a)⊂ W.

Observaţii:

1. Condiţia (II.4) din teoremă se poate interpreta astfel: termenii şirului

(xn): x0, x1, ..., xn, ... sunt aproximaţii succesive ale numărului x0 şi se

poate considera x0 ≅ xn, cu o eroare absolută En = |xn – x0| < ε convergentă

la zero în R.

2. Condiţia (II.4) este echivalentă cu afirmaţia: "şirul distanţelor

d(xn – x0) = |xn – x0| are limita zero, deci termenii xn sunt din ce în ce

mai apropiaţi de x0 atunci când n creşte", adică:

(II.4') lim nnx

→∞= x0 ⇔ = 0lim ( , )nn

d x x→∞ 0lim | |nn

x x→∞

− = 0.

81

3.Afirmaţia din teorema precedentă în multe manuale universitare este

numită "definiţia limitei cu ε şi nε", Aceste condiţii fiind echivalente cu

definiţia limitei cu vecinătăţi (II.1) o pot înlocui pe aceasta care va fi în

acest caz o teorema de caracterizare pentru şirurile cu limită.

Teorema II.2. (Unicitatea limitei). Orice şir (xn) convergent în R

are limită unică.

Demonstraţie: Presupunem că avem lim xn = x0 şi lim xn = y0 cu

x0 ≠ y0 şi x0, y0∈R, atunci după proprietatea Hausdorff valabilă în R, există

V ∈ V (x0) şi W ∈ V (y0) a. î. V ∩ W = ∅. Fără a restrânge generalitatea,

considerăm x0 < y0 (sau y0< x0) şi d = |y0 - x0|, în aceste condiţii luăm

V = (x0 - 3d , x0 +

3d ), W = (y0 -

3d , y0 +

3d ). În afara vecinătăţii V cad o

infinitate de termeni xn şi la fel pentru W, deci: deci x0 ≠ limxn, y0 ≠ limxn

este absurd şi atunci avem o singură limită: x0 = y0 = lim xn.

Consecinţa II.1. Prin adăugarea sau suprimarea unui număr finit de

termeni un şir convergent rămâne convergent cu aceeaşi limită.

Consecinţa II.2. Un şir de elemente (xn)n≥1⊂ R dacă are limită

(∃ lim nnx

→∞ ∈R ) acesta este unică.

Demonstraţie: Dacă lim nnx

→∞ = x0∈R, unicitatea limitei rezultă din

teorema II.2. Fie y0 = + ∞ şi x0∈R, din teorema II.2. pentru ∀ε > 0 şi

a > x0+ ε, ∃ nε′ ≥ 1 şi nε′′ ≥ 1 a. î. |xn – x0| < ε, ∀ n ≥ nε′ şi xn > a> x0+ ε,

∀ n≥ nε′′ ⇔ ( xn< x0+ ε) ∧ ( xn > x0+ ε), ∀nε = max{ nε′ , nε′′ } ceea ce este

absurd, deci lim nnx

→∞ = + ∞ (⇔ y0= x0= + ∞). Printr-un raţionament analog se

arată unicitatea limitei în cazul y0 = - ∞ şi x0∈R.

82

Teorema II.3. Fie (xn)n≥1⊂ R pentru care există limita lim nnx

→∞ = x0

(x0∈R ), atunci orice subşir al său are limită egală cu x0.

Demonstraţie: Fie lim nnx

→∞ = x0 ∈ R, luăm ∀(

knx )k ≥0 ⊂ (xn)n≥1 şi ε > 0

atunci există nε ∈ N a. î. (II.4) | xn- x0| < ε, ∀ n ≥ nε. Fie kε ∈ N cel mai mic

număr natural cu proprietatea: knε≥ nε, atunci ∀ k ≥ kε avem nk ≥ kn

ε ≥ nε

⇒ |knx - x0| < ε şi lim

knkx

→∞= x0.

Dacă lim nnx

→∞ = + ∞ fixăm (

knx )k ≥0 ⊂ (xn)n≥1 şi a ∈ R+, atunci există na∈N

a. î. xn > a, ∀ n ≥ na. Notăm k0∈N cel mai mic număr natural astfel încât:

≥ n0kn a, şi avem nk ≥ ≥ n

0kn a ⇒ knx > a ⇒ lim

knkx

→∞= + ∞. La fel se arată că

dacă lim nnx

→∞ = - ∞ ⇒ lim

knkx

→∞= - ∞.

Observaţii:

1. Elementele x0∈R pentru care există subşiruri (knx )k ≥0 ⊂ (xn)n≥1 a. î.

limknk

x→∞

= x0 se numesc puncte limită ale şirului (xn). Mulţimea

punctelor limită ale lui (xn) se notează cu L(xn); dacă (xn) este

convergent în R, atunci L(xn) = {x0}.

2. Dacă un şir (xn) conţine subşiruri care au limită, nu rezultă în mod

obligatoriu că şirul (xn) are limită.

3. Dacă (xn) conţine două subşiruri care au limite diferite atunci (xn) nu

are limită şi este şir divergent.

4. Dacă toate subşirurile lui (xn) sunt convergente cu limite egale, şirul

este convergent cu aceeaşi limită ca şi subşirurile sale.

Teorema II.4. Fie (xn)n≥1 un şir de numere reale, atunci au loc

afirmaţiile:

83

(I.) Dacă (xn) este convergent în R, atunci (xn) este şir mărginit

(condiţie necesară).

(II.) Dacă (xn) este convergent în R, atunci (xn) este şir Cauchy

(condiţie necesară).

Demonstraţie: (I.) Fie lim xn = x0 ∈ R ⇔ (II.4) şi alegem ε0 = 1,

∃ n0 ∈ N a. î. ∀ n ≥ n0 ⇒ |xn - x0| < 1 ⇒ |xn| = | xn - x0 + x0| ≤ |xn – x0| + |x0| <

<1 + |x0|, ∀ n ≥ n0. Notăm M = max{|x1|, |x2|, ... |0nx |, 1 + |x0|} şi obţinem

|xn| ≤ M, ∀ n∈ N ⇔ xn ∈ [- M, M], ∀ n∈ N şir mărginit.

(II.) Fie lim xn = x0 ∈ R şi (II. 4) cu 2ε , conduce la | xn + p- xn| =

=| xn + p – x0 + x0 - xn| ≤ | xn + p- x0| + | x0 - xn| < 2ε +

2ε = ε, ∀ p ≥1 şi ∀n ≥nε

din definiţia şirurilor fundamentale. (II.2)

⇒

Observaţii:

1. Proprietatea de a fi şir mărginit este o condiţie necesară pentru

convergenţa unui şir, dar nu şi suficientă.

2. Există şiruri mărginite care nu sunt convergente.

Exemple:

1. xn = (-1)n cu |xn| ≤ 1 şir mărginit şi nu are limită (prin reducere la absurd

x0 = 1 şi y0 = -1 nu sunt limita lui xn), deci este şir divergent.

2. Şirul periodic (xn) n≥0 dat prin: 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... este şir mărginit:

xn ∈ [- 1, 3], ∀ n∈N dar nu este convergent în R.

3. Vom preciza informaţii asupra convergenţei subşirurilor unui şir

mărginit. De asemenea, vom demonstra că dacă se adaugă o condiţie

suplimentară "de a fi şir monoton" la un şir mărginit atunci el este şir

convergent în R.

84

4. Vom demonstra că orice şir fundamental (Cauchy) este şir convergent

în R.

Teorema II.5. Fie (xn)n≥1 un şir de elemente din R cu limita x0∈ R ,

atunci au loc afirmaţiile:

(i) Şirul (|xn|)n≥1 are limita |x0| ( lim | |nnx

→∞ = |x0|);

(ii) Orice subşir ( )1kn k

x≥

are aceeaşi limită x0 ( limknk

x→∞

= x).

Demonstraţie: (i) Fie x0∈R şi lim nnx

→∞= x0 ⇔∀ε>0, ∃ nε∈N a. î.∀n ≥ nε

⇒ | xn - x0| < ε ⇒ || xn | - |x0|| ≤ | xn - x0| < ε, ∀ n ≥ nε ⇒ lim |xn| = |x0|.

Fie x0 = + ∞ şi ∀a∈R+ fixat, atunci ∃ na∈N a. î. xn ≥ a, ∀n ≥ na ⇒ | xn |

≥ a, ∀n ≥ na ⇒ lim |xn| = + ∞. La fel se face raţionamentul în cazul x0 = -∞.

(ii) Afirmaţia (ii) a fost demonstrată în teorema II.3.

Observaţii:

1. Reciproca afirmaţiei (i) nu este adevărată: dacă şirul ( ) 1n nx

≥ este

convergent nu rezultă în mod necesar că şirul (xn) este convergent.

Exemplu: xn = (-1)n cu |xn| → 1 şi (xn) divergent.

2. Dacă (xn) conţine subşiruri care au limită nu rezultă că (xn) are limită.

Exemplu: (xn): 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... cu x2k + 1 → 0 şi x2k → 1 este şir

divergent.

Teorema II.6. (Operaţii algebrice cu şiruri convergente).

Fie (xn) şi (yn) şiruri de numere reale convergente în R cu lim nnx

→∞=x0

şi = ylim nny

→∞0, atunci avem:

(1) (xlimn→∞

n ± yn) = x0 ± y0.

(2) xlimn→∞

n ⋅ yn = x0 ⋅ y0.

85

(3) Dacă yn ≠ 0, n ≥ 1 şi y0 ≠ 0 ⇒ limn→∞

n

n

xy

= 0

0

xy

.

Demonstraţie: (1) Pentru ∀ε>0, ∃ nε∈N a. î.

{0

0

,2 pentru max ,

,2

n

n

x x n nn nn n

n n y y n n

εε }nε εε

ε

ε

ε

⎧ ′− ≤ ∀ ≥⎪′∀ ≥⎧ ⎪ ′ ′′⇒ ⇒ ∀ ≥⎨ ⎨′′∀ ≥⎩ ⎪ ′′− ≤ ∀ ≥⎪⎩

avem:

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0limn n n n n nx y x y x x y y x y xε± − ± ≤ − + − ≤ ⇒ ± = ± y .

(2) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 , 1n n n n n nx y x y x x y y x y y y x x n− = − − + − + − ∀ ≥

Dacă 0 1 0

1 2

şi 0 0

n nx x y yn n n nε

2

ε

ε ε

ε ε

⎧ − ≤ ⎧ − ≤⎪ ⎪′∀ ≥ ∀ ≥⎨ ⎨⎪ ⎪∀ > ∀ >⎩ ⎩

′ atunci există ε > 0 a. î.

1 2 0 2 0 1x yε ε ε ε+ + < ε şi luând { }max ,n n nε ε ε′ ′′≥ avem:

0 0 ,n nx y x y n nεε− < ∀ ≥ ⇒ xlimn→∞

n ⋅ yn = x0 ⋅ y0.

(3) Folosind (2) pentru acest caz este de arătat numai că: 0

1 1limn

ny y→∞=

. ∀ε>0 fixat cum există

M >0 a. î. |y

( 00, 1; 0ny n y≠ ≥ ≠ ) 0 ≠0 cu 0, 0n ny y y y→ ≠

n| ≥ M, ∀ n ≥ 1 şi pentru n ≥ nε din definiţia 0lim nny y

→∞= , avem:

0 0 , 1ny y M y n nεε− < ∀ ≥ ≥ .

În aceste condiţii: 0 0

0 0 0

1 1 n

n n

y y M yy y y y y M

εε

−− = ≤ = pentru n nε∀ ≥ ⇒

0

1 1limn

ny y→∞=

(2)

⇒ limn→∞

n

n

xy

= 0

0

xy

.

86

Observaţii:

1. Teorema precedentă (privind operaţiile algebrice cu şiruri convergente)

are loc şi pentru şiruri cu limită, în general, respectând convenţiile (I)– (IV)

din definiţia mulţimii R .

2. Dacă (xn) este un şir convergent în R şi x∈R fixat, atunci au loc relaţiile:

(I) ( )lim nnx x

→∞+ = x + lim nn

x→∞

; (II) ( )lim nnxx

→∞= x lim nn

x→∞

;

(III) 1lim lim

0

nnn n

x xx x

x→∞ →∞

⎧ =⎪⎨⎪ ≠⎩

(IV) lim

lim

0; 1

n n nn

n

x xx x

x n

→∞→∞

⎧ =⎪⎨⎪ ≠ ≥⎩

.

Consecinţa II.3. Dacă lim nnx

→∞=0 şi (yn) este şir mărginit în R,

atunci lim n nnx y

→∞ = 0.

Demonstraţie:

lim 0 ,; , ,

; 1

n n n nnn

n

x x y M x M n nx n nM

My M n n

→∞⎧=⎧ ≤ < ⋅ ∀ ≥⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇒ <⎨ ⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠≤ ∀ ∈⎪ ⎪⎩ ≥⎩N

εε

εε ε 0∀ ≥ ∀ >

Consecinţa II.4. Fie (xn) un şir cu limită şi ∀α∈R*, atunci şirul

(αxn) are limită şi ( )lim nnxα

→∞= α lim nn

x→∞

.

Demonstraţie: În teorema precedentă se consideră yn= α, n ≥ 1 şi

după (2) rezultă ( )lim nnxα

→∞= α lim nn

x→∞

şi în cazul lim nnx

→∞ = ±∞ respectând

convenţa (III) din definiţia mulţimii R .

Observaţii:

1. Pentru ∀ (xn), (yn) din R şiruri cu limită şi α, β ∈ R*, avem

( )lim nn nx yα β→∞

+ = α lim nnx

→∞ + β cu respectarea convenţiilor (II) şi (III)

din definiţia mulţimii

lim nny

→∞

R .

87

2. Mulţimea şirurilor de numere reale cu limită satisface, cu anumite

restricţii, proprietatea de R – liniaritate, adică:

( )( )

lim lim , (omogenitate)

lim lim lim , (aditivitate)

n nn n

n n n nn n n

x x

x y x y

α α α→∞ →∞

→∞ →∞ →∞

⎧ = ∈⎪ ⇒⎨+ = +⎪⎩

*R( )lim n nn

x yα β→∞

+ =α lim nnx

→∞ +

+β ; α, β ∈ R* (R - liniaritate). lim nny

→∞

Teorema II.7. (Criteriul majorării) Fie (xn) un şir de numere

reale şi x0∈R. Dacă avem:

(II.7) ( )0n nx x− ≤α ∧ ( )( )00,n n n

α α≥

⎯⎯→ ⊂R+R

atunci (xn) este convergent şi lim nnx

→∞ = x0.

Demonstraţie:

( )( )00,n n n

α α≥

⎯⎯→ ⊂R+R ⇔

0, a. î.

n n

n n nε εεα α ε

∀ > ∃ ∈ ∀ ≥⎧⎪⎨⇒ = <⎪⎩

N

( )(II.7)

00, a. î. nn n n x xεε ε⇒ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ − <N ⇔0

0

lim nnx x

x→∞

=⎧⎪⎨

∈⎪⎩ R.

Teorema II.8. Fie (xn)n≥1, (yn)n≥1, şiruri de numere reale cu limită,

atunci au loc afirmaţiile:

(i) Dacă lim nnx

→∞ < α (respectiv lim nn

x→∞

> β) atunci există n0∈N a. î.

xn< α (respectiv xn> β) pentru ∀ n ≥ n0 cu α∈R (cu β ∈R ).

(ii) Dacă xn < yn , ∀ n ≥ n0, n0∈N, atunci lim nnx

→∞ ≤ . lim nn

y→∞

Demonstraţie: (i) Notăm lim nnx

→∞ = x0, 0x ∈R . Dacă 0x ∈R, fie

∀ε>0 a. î. 0x + ε < α, ∀ n ≥ nε cu n0 = nε. Dacă 0x = - ∞, fie a ∈ R cu

a < α fixat, atunci există na∈R a. î. nx < a<α ⇒ nx < α, ∀n ≥ na cu n0 = na.

La fel se arată că nx < α pentru n ≥ na = n0 în cazul 0x = + ∞. 88

(ii) Dacă nx < , ∀ n ≥ nny 0 cu n0∈N şi notăm lim nnx

→∞ = x0,

= cu lim nny

→∞ 0y 0 0,x y ∈R . Dacă 0x , ∈R, presupunem că are loc relaţia 0y

0x > şi fie α fixat cu 0y 0x >α> a. î. ( < α, ∀ n ≥ n0y( )

1 2,i

n n⇒∃ ∈N ny 1) ∧

∧( nx > α, ∀ n ≥ n2) adică nx < α < şi pentru n ≥ max{nny 1, n2} avem

< ny nx ceea ce contrazice ipoteza din enunţ, deci rămâne valabilă relaţia

0x ≤ (0y lim nnx

→∞ ≤ ). lim nn

y→∞

Consecinţa II.5. (Proprietatea "Cleştelui"). Fie (xn)n≥1, (yn)n≥1,

(zn)n≥1, şiruri de elemente din R cu limită a. î. nx ≤ ≤ , ∀ n ≥ nny nz 0,

n0∈N (II.6). Dacă lim nnx

→∞= =lim nn

z→∞ 0x , 0x ∈R , atunci există =lim nn

y→∞ 0x .

Demonstraţie: Fie 0x ∈R , atunci ∀ n≥ 1, avem: | 0x - | ≤ |ny 0x -

- nx | + | nx - | ≤ |ny 0x - nx | + | nx - | ≤ |nz 0x - nx | + | nx - 0x | +| 0x - | ≤

≤ 2 |

nz

0x - nx | +| 0x - |. Pentru ∀ε>0, a. î. n ≥ nnz( )

1 2,i

n n⇒∃ ∈N 1 şi n ≥ n2 ⇒

| 0x - nx | < 3ε şi | 0x - | < nz

3ε . Pentru ∀ε > 0 şi n ≥ nε = max{n1, n2},

avem: | 0x - | ≤ 2 |ny 0x - nx | +| 0x - | < 2nz3ε +

3ε = ε ⇒ ∃ =lim nn

y→∞ 0x .

Consecinţa II.6. Fie (xn)n≥1, (yn)n≥1, şiruri de numere reale a. î.| nx | ≤

≤| |, ∀ n ≥ nny 0, n0∈N. Dacă = 0, atuncilim nny

→∞lim nn

x→∞

=0.

Demonstraţie: Dacă lim limnn ny

→∞ →∞= ny =0, atunci din 0 ≤ | nx | ≤| |

folosind consecinţa precedentă rezultă

ny

lim nnx

→∞=0 ⇒ lim nn

x→∞

=0.

2. Teoreme fundamentale pentru şiruri convergente 89

Teorema II.9. Un şir (xn)n≥1 de numere reale care este şir fundamental

(Cauchy) are următoarele proprietăţi:

(p1) (xn) este şir mărginit;

(p2) Dacă (xn) conţine un subşir (knx )k ≥1 convergent în R, atunci

(xn) este convergent şi are aceeaşi limită.

Demonstraţie. (p1) Fie ε1 = 1 şi (xn) şir Cauchy, atunci conform

definiţiei ∃n1 ∈ N a. î. | xn - 1nx | ≤ 1, ∀ n ≥ n1, ⇒ |xn| = | xn -

1nx + 1nx | ≤

≤ | xn - 1nx | + |

1nx | ≤ 1 + |1nx |, ∀ n ≥ n1. Notăm M = max{|x1|, |x2|, ..., |

1nx |,

1 + |1nx |} şi avem: |xn| ≤ M, ∀ n∈ N ⇒ (xn) este şir mărginit.

(p2) Fie (knx )k ≥1 ⊂ (xn)n≥1 cu 0lim

knkx x

→∞= ⇔ ∀ε, ∃kε∈N a. î. ∀k ≥kε

≥ knε⇒ |

knx - x0| <2ε ; (xn) şir fundamental ⇔ ∀ε > 0, ∃nε′ ∈ N a. î. n ≥ nε′ ,

cu nk ≥n ⇒| knx - xn|<

2ε .

Cum avem kε ≥ kn nε ε′ ′≥ , notăm nε = max {kε, nε′ }, atunci | xn - x0| ≤

≤ | xn - knxε

| + | knxε

- x0| <2ε +

2ε = ε ⇔ ∃ lim nn

x→∞

= x0.

Exemple:1) xn = (1 + 1n

)n, este crescător şi majorat cu limita

2 < e < 3; lim nnx

→∞= e.

Folosind inegalitatea Bernoulli: (1 + t)n > 1 + nt, ∀ t ∈ (-1, ∞) – {0} şi

∀ n∈N avem:

90

( ) ( )

( )

1 11 1 2

12 2

12

2 1 2 1 1: 11 1 1 1

1 11 1 , şi este şir crescător.1

n nn n

n

n

n n n

x n n n n n n nx n n n n nn n

n n x x n xnn

+ ++ +

+

+

⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎛ ⎞+ +⎜ ⎟> − ⋅ = ⇒ > ∀ ∈⎜ ⎟+⎝ ⎠

N

1+⋅ >

Avem: 21 21 1 1 111 1 ... ...k n

nk n

n n n nn n nx C C C

n⎛ ⎞= + = + + + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

n nC

2

( 1) 1 ( 1)...( 1) 1 ( 1)....1 12 ... 2 .... 22! ! !k n

n n n n n k n nn k n n

− − − − −= + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ =

n1 1 1 1 2 1 1 12 1 1 1 ... 1 ... 1 ...2! 3! !

kn n n k n n

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − − + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ... 1 2 ... ... 2 ...! 2! 3! ! !

nn n n k n

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − < + + + + + + < + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2

1

1 1 2

111 1 1 1 1 1 2... ... 2 1 ... 2 12 2 2 2 2 2 12

n

k n n

−

− − −

−⎛ ⎞+ + + + = + + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ −

=

1

12 1 3 2 3,2 nn x n−= + − < ⇒ ≤ < ∀ ∈N . Şirul (xn) crescător şi mărginit este

convergent cu limita: e = lim nnx

→∞ şi 2 < e< 3.

2. yn = (1 + 1n

)n + 1, este descrescător şi mărginit cu = e. După

(1 + t)

lim nny

→∞

n > 1 + nt, ∀ t ∈ (-1, ∞) – {0} şi ∀ n∈N, avem:

( )

( )( )

121 1

21

21

22 2

11 2 2 1:1 1 2 2

2 11 1 1 11 12 2 2 2 2

nn n

n

n

n

ny n n n ny n n n n n n

n nn n nn n n n n n n n

++ +

+

+

⎡ ⎤⎡ ⎤ ++ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ ++ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ > + ⋅ = > ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +1

=

1,n ny y n+> ∀ ∈N şi (yn) este descrescător. Pentru ∀ n≥ 1, avem:

91

0 < yn - xn = (1 + 1n

)n ⋅ 1n

≤ nyn

≤ 1yn

cu 1lim 0n

yn→∞= ⇒ (xn) şi (yn) sunt

convergente cu limite egale: e = lim xn= lim yn.

Din 2 = x1<e < y4=51 3121

4 1024⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

5 <3 ⇒ 2 < e < 3.

3. Folosind xn = (1 + 1n

)n cu lim xn = e şir crescător şi yn= (1+ 1n

)n+1 cu

lim yn = e şir descrecător, avem: (1 + 1n

)n < e < (1 + 1n

)n+1, de unde prin

logaritmare se obţine: n ln (1 + 1n

) < ln e <(n + 1)ln(1 + 1n

) ⇒

⇒ ln(1 + 1n

) < 1n

şi ln(1 + 1n

) > 11n +

⇒ 11n +

< ln(1 + 1n

)< 1n

, ∀ n ≥ 1

⇔ (II.7.) 11n +

< ln(n + 1) – ln n < 1n

,∀ n ≥ 1 inegalitate care se va folosi

în studiul convergenţei unor şiruri numerice.

4. Să se calculeze 1 1 1 1lim lim 1 ...2 3nn n

xn nα→∞ →∞

⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

cu α∈R.

Prin inducţie se demonstrează:

( ) ( )2 1 11 1 1 12 1 1 1 ... , 122 3

nn n n

nn α

+ −⎛ ⎞+ − < + + + + < − ≥ ⇒ <⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 1,n

n1x n

nα

−< < ≥ şi cum

( ) ( )2 1 1 2 1lim limn n

n n

n nα α→∞ →∞

+ − −= =

92

1 12; 2; dacă 2 21 10; lim 0; dacă .2 21 1; ; d ă 2 2

nnx

α α

α α

α α

→∞

⎧ ⎧= =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= > ⇒ = >⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪∞ < ∞ <⎪ ⎪⎩ ⎩

ac

Teorema II.10. (Teorema fundamentală). Mulţimea numerelor

reale are următoarele proprietăţi fundamentale:

(P1) Proprietatea lui Dedekind. ∀A, B⊂R cu A ≠∅, B ≠ ∅ şi

∀(a, b)∈A× B cu a ≤ b, există c ∈R astfel încât a ≤ c ≤ b.

(P2) Proprietatea lui Weierstrass sau teorema de convergenţă a

şirurilor monotone. Orice şir monoton crescător şi majorat, (xn)n≥1 cu

elemente din R este convergent şi are limita egală cu sup{xn | n∈N}.

(Orice şir monoton descrescător şi minorat, (xn)n≥1 cu elemente din

R este convergent şi are limita egală cu inf{xn | n∈N}.)

(P3) Proprietatea Cleştelui. Fie ( ) ( )1,n nn

a b≥ 1n≥

două şiruri din R

cu proprietăţile:

(i) ; 1 2 1 2... ...; ... ...n na a a b b b≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥

(ii) ; (iii) ,n na b n≤ ∀ ∈N 0n nb a− ⎯⎯→R

atunci şirurile sunt convergente şi au limite egale.

(P4) Proprietatea Cantor – Dedekind. Orice şir de intervale

( ) 1n nI

≥ închise, mărginite şi descrescător (prin incluziune) cu şirul

lungimilor ( ) 0notat

n nl I I= ⎯⎯→R are proprietatea că există un singur x0∈R

a. î. { }01

nn

I x∞

=

=I .

93

(P5) Proprietatea Lui Cesaro (Lema lui Cesaro). Orice şir

mărginit cu elemente din R conţine cel puţin un subşir convergent în R.

(P6) Proprietatea lui Cauchy. Orice şir fundamental cu elemente

din R este şir convergent din R.

Demonstraţie. (P1) Fie A, B ∈ R mulţimi precizate şi după ipoteza

a ≤ b, ∀(a, b)∈A× B rezultă că A este majorată de b∈B şi există α = sup A

cu α≤ b (majorant al lui A). La fel rezultă că B este minorată de α (α este

minorant al lui B) şi există β = inf B cu β ≥ α. Fie un element c ∈ R fixat

a. î. α ≤ c ≤ β, atunci: a ≤ α ≤ c ≤ β ≤ b, ∀(a, b)∈A×B.

(P2) Fie (xn)n ≥1 ⊂ R şir crescător şi majorat, atunci există

sup{xn| n∈N*}∈ R (finit), notat x0 = sup{xn| n ≥1}.

Fie ∀ ε >0, din definiţia marginii superioare, există nε ≥1 a. î. nxε> x0 - ε,

deci avem: x0 - ε < nxε ≤ xn ≤ x0 < x0 + ε , ∀ n ≥ nε ⇔ | xn - x0 | < ε, ∀ n ≥ nε

şi ∀ε>0 ⇔ lim xn = x0, x0∈ R ⇒ (xn) convergent.

(P3) Fie ( ) ( )1,n nn

a b≥ 1n≥

cu proprietăţile (i), (ii), (iii) şi pentru m∈N

fixat cu m ≥ n ≥ 1 avem:

( )

( )

21 (P )

1

, , 1 majorat de

şi, , 1 majorat de

n m n mn

n m m n

m n n mn

a b m n a b

a a b ba b m n b a

≥

≥

≤ ∀ ≥ ⇔⎧⎪

≤ ≤ ≤ ⇒ ⇒⎨⎪ ≤ ∀ ≥ ⇔⎩

{ }{ }

2(P ) lim cu sup | 1 şi

lim cu inf | 1 şi

n n mn

n n mn

a a a a n a ba b

b b b b n a b→∞

→∞

∃ = = ≥ ≤⎧⎪⇒ ⇒⎨∃ = = ≥ ≤⎪⎩

≤

b

. Pentru ∀ n≥1,

avem: şi

.

0 şi 0 0n n n n n na a b b b a b a b a b a≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ − ≤ − − ⎯⎯→ ⇒ − =R

lim limn nn na a b

→∞ →∞= = =

94

(P4) Teorema Cantor – Dedekind a fost enunţată şi demonstrată

complet în paragraful "Proprietăţi topologice ale corpului numerelor

reale". Folosind (P3) şi considerând şirul de intervale [ ],n n nI a b= ,

constatăm că după ipotezele din (P4) sunt verificate (i), (ii), (iii) şi există

a. î.lim limn nn na a b

→∞ →∞= =

1n

n

I∞

=I ={a}. Unicitatea elementului a se dovedeşte

prin reducere la absurd. Fie {a'}= 1

nn

I∞

=I şi {a} =

1n

n

I∞

=I , atunci avem:

lim limn nn nn n

a a ba a b a a a

n →∞ →∞

′≤ ≤⎧′ ′⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤⎨∀ ∈⎩ N

şi deci a' = a.

(P5) Fie ⊂R un şir mărginit ( ) 1n nx

≥ [ ]1 1, a.î. ,def

n 1I a b x I n⇔∃ = ⊂ ∈ ∀ ≥R .

Considerăm 2

a bc += şi intervalele 1 2, , ,

2 2a b a bI a I+ + b⎡ ⎤ ⎡′ ′′= = ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦dintre

care cel puţin unul conţine o infinitate de termeni ai şirului (xn); îl notăm I2.

Acelaşi procedeu îl aplicăm lui I2 şi în mod inductiv construim un şir

descendent de intervale închise şi mărginite ( ) 1n nI

≥ cu proprietatea că

1( )( )2

nn

l Il I + = şi fiecare dintre ele conţine o infinitate de termeni ai şirului

(xn). În aceste condiţii există 1 1,nx I∈ există

2 2nx I∈ cu n2 ≥ n1,..., există

kn kx I∈ cu nk ≥ nk -1,.... Avem 1( )( ) 02 2k kk k

l I b al I →∞

−= = ⎯⎯⎯→ şi atunci

există un singur punct 01

kk

x I∞

=

∈I cu 0 lim limk kk kx a b

→∞ →∞= = şi [ ],k k kI a b= .

Din alegerea făcută termenilor knx , avem ,

kk n ka x b k 1≤ ≤ ∀ ≥ şi deci,

95

96

kx0lim lim lim lim

kk n k nk k k ka x b x

→∞ →∞ →∞ →∞≤ ≤ ⇒ = ⇒ şubşirul (

knx ) este convergent şi

lema lui Cesaro este demonstrată.

(P6) Fie ( ) ⊂ R un şir fundamental, atunci după teorema II.9 ((p1n n

x≥ 1) şi

(p2))( )

( )2p

nx⇒ este şir mărginit şi după (p5) şi (( ) ( )5( )

11k

p

n n nkx x

≥≥⇒∃ ⊂

knx )

convergent cu 2( )

0limk

P

nkx x

→∞= ⇒ şirul (xn) este convergent cu aceeaşi limită:

0 lim nnx x

→∞= .

Consecinţa II.7. Fie ( ) 1n nx

≥⊂ R un şir monoton, atunci avem:

(xn) este şir convergent ⇔ (xn) este şir mărginit şi { }lim sup |n nnx x n

→∞= ∈ *N

pentru (xn) crescător, { }lim inf |n nnx x n

→∞= ∈ *N pentru (xn) descrescător.

Demonstraţia este directă din (P2) (proprietatea Weierstrass).

Consecinţa II.8. (Teorema lui Cauchy pentru şiruri numerice).

Fie ⊂ R un şir de elemente din R, atunci avem: (x( ) 1n nx

≥ n) este şir

convergent în R ⇔ (xn) este şir fundamental (Cauchy).

Consecinţa II.9. Un şir de elemente din R conţine cel puţin un

subşir care are limită în R .

Demonstraţie: Dacă (xn) este un şir mărginit după (P5) (lema lui

Cesaro), există cel puţin un subşir ( )knx convergent în R. Dacă (xn) este un

şir nemărginit atunci prin inducţie se poate construi:

- un subşir crescător ( )knx cu limknk

x→∞

= + ∞, dacă (xn) este nemajorat sau

- un subşir descrescător ( )knx cu limknk

x→∞

= - ∞, dacă (xn) este neminorat.

Teorema II.11. Fie A ⊂ R, A ≠ ∅ atunci avem:

(II.8.) ( ) 1

( ) ,sup ( ) a.î. limn nn n

i x b x Ab A ii x A x b

≥ →∞

≤ ∀ ∈⎧⎪= ⇔ ⎨ ∃ ⊂ =⎪⎩

(II.9.) . ( ) 1

( ) ,inf ( ) a.î. limn nn n

i a x x Aa A ii x A x a

≥ →∞

≤ ∀ ∈⎧⎪= ⇔ ⎨ ∃ ⊂ =⎪⎩

Demonstraţie: (II.8) Condiţia (i) rezultă din definiţia marginii

superioare (cel mai mic majorant pentru A).

(ii) Fie nc b< cu lim nnc

→∞b= şi avem: dacă b < + ∞ luăm 1

nc bn

= − ,

iar dacă b = + ∞ luăm nc n= . Din definiţia marginii superioare şi faptul că

cu lim nnc

→∞= b bnc < rezultă că ∀ n ≥1, ∃ xn∈A cu xn > cn şi atunci ∀ n ≥1

⇒ cn < xn< b⇒ lim nnx b

→∞= . Fie c < b fixat, conform ipotezei ∃ xn∈A cu

lim nnx b

→∞= , deci ∃ n0∈N a. î. xn > c, ∀ n ≥ n0 şi deci b = sup A, tocmai

(II.8.).

În acelaşi mod se demonstrează echivalenţa (II.9.).

Consecinţa II.10. Fie A ⊂ R cu A ≠ ∅, atunci avem:

(II.10.) ( ) ,

sup ( ) 0, a.î. v x b x A

b Avv x A x bε εε ε

≤ ∀ ∈⎧= ⇔ ⎨ ∀ > ∃ ∈ > −⎩

(II.11.) ( ) ,

inf ( ) 0, a.î. v a x x A

a Avv x A x aε εε ε

≤ ∀ ∈⎧= ⇔ ⎨ ∀ > ∃ ∈ < +⎩

.

Demonstraţia este directă din teorema precedentă şi definiţiile

pentru marginea superioară (cel mai mic majorant) şi marginea inferioară

(cel mai mare minorant).

97

Definiţia II.5. Fie ( ) 1n nx

≥⊂ R şi 0x ∈R . Elementul 0x se numeşte

punct limită al şirului (xn) dacă există un subşir ( )1kn k

x≥⊂ (xn)n≥1 cu

limknk

x→∞

= 0x . Notăm prin L(xn) mulţimea punctelor limită ale lui (xn).

Teorema II.12. Fie A ⊂ R, 0x ∈R au loc următoarele afirmaţii

echivalente:

(A1) 0x este punct de acumulare al mulţimii A, dacă şi numai dacă,

există (xn)n≥1⊂ A, xn ≠ 0x şi lim xn = 0x .

(A2) 0x este punct aderent al mulţimii A (def

⇔∀V∈V( 0x ), V∩A≠∅),

dacă şi numai dacă, există (xn)n≥1⊂ A şi lim xn = 0x .

(A3) A este mulţime închisă, dacă şi numai dacă, orice şir

convergent de elemente din A are drept limită un element din A.

(A4) A este mulţime compactă, dacă şi numai dacă, orice şir de

elemente din A conţine un subşir convergent (cu limita un punct aderent al

lui A).

Demonstraţie: (A1) Condiţia este suficientă după definiţia limitei

cu vecinătăţi şi definiţia punctelor de acumulare. Fie 0x ∈R punct de

acumulare al lui A şi alegem: x1∈A ∩( 0x - 1, 0x + 1) cu x1 ≠ 0x ;

x2∈A∩( 0x - 12

, 0x + 12

) cu x2≠ x1, în mod inductiv obţinem xn∈A cu

proprietatea că: ∀n∈N, { }( )0 0 01 1A , limn n 0x x x x xn n

⎛ ⎞ x∈ − ∩ − + ⇒ ∃ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

:(A2) Fie 0x un punct aderent al mulţimii A, atunci 0 01 1,x xn n

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

∩A

≠∅,

98

∀ n ≥1. Considerăm xn∈ 0 01 1,x xn n

⎛ − +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ ∩ A, ∀ n≥1 ⇒ lim xn = 0x .

Reciproc, avem: Dacă (xn)n≥1⊂ A şi lim xn = 0x , atunci ∀ε > 0,

avem ( 0x - ε, 0x + ε) ∩ A = {xn| n ≥ nε}, deci 0x este punct aderent al lui

A.

(A3) Dacă A este mulţime închisă, (xn)n≥1⊂ A cu lim xn = 0x 2( )A

⇒ 0x

este punct aderent al lui A închisă, deci 0x ∈A. Reciproc, dacă există

(xn)n≥1⊂ A cu lim xn = 0x , atunci 0x este punct aderent al lui A cu 0x ∈A şi

conform definiţiei A este închisă.

(A4) se va demonstra în capitolul "Spaţii metrice".

Observaţii:

1. După proprietăţile de: mărginire, monotonie, convergenţă şi existenţa

limitei, şirurile se clasifică astfel:

2. Şiruri mărginite, de exemplu: ((-1)n)n ≥ 1; 1

1

nn ≥

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; 0

22 1

n

nn≥

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

;

( )

1

1 n

nn

≥

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; (sin n)n≥0 etc.

3. Şiruri nemărginite de exemplu: ( )0

2n

n≥;

0

53

n

nn≥

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; ( )2

3

00

;1 n

n

n nn ≥

≥

⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

etc.

99

4. Şiruri monotone de exemplu: 1

1

nn ≥

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; ( )2

0nn

≥; ( )

02 n

n

−

≥− ;

2

204 n

nn

≥

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

etc.

5. Şiruri care nu sunt monotone de exemplu: ((-2)n)n≥1; (sin n)n≥0;

( )

1

1 n

nn

≥

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

etc.

6. Şiruri convergente în R de exemplu: ( )

1

1 n

nn

≥

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

; (1 – 3 – n)n ≥ 0;

0

1 sin3 n

nn

π

≥

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

etc.

7. Şiruri divergente

I. şiruri care nu au limită, de exemplu: (1 + (-1)n)n≥1;

1

sin4 n

nπ

≥

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

etc.

II. şiruri cu limită în R , de exemplu ( ) ; 0

3n

n≥

( )0

2n

n≥− ;

2

204 n

nn

≥

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

etc.

8. Putem, în concluzie, să indicăm următoarea schemă:

100

(xn) monoton

(xn) convergent

(xn) mărginit şi divergent

(xn) nemărginit cu lim xn ∈R

3. Limite extreme ale unui şir de numere reale

Fie (xn)n≥0⊂ R şi îi asociem şirurile:

( ){ } { } { }0 0 1 1 1 2 1inf , ,... ; inf , ,... ;...; inf , ,... ...

II.12inf

n n n

n kk n

x x x x x xx

α α αα

+

≥

⎧ = = =⎪⎨ =⎪⎩

( ){ } { } { }0 0 1 1 1 2 1sup , ,... ; sup , ,... ;...; sup , ,... ;...

II.13 supn n n

n kk n

x x x x x xx

+

≥

⎧ = = =⎪⎨ =⎪⎩

β β ββ

Din formulele de definiţie pentru (αn), (βn) şi definiţiile marginilor,

rezultă că au loc inegalităţile:

(II.14) 0 1 1... ... ...k k 0α α α β β β≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

care arată că (αn) este un şir crescător şi (βn) este şir descrescător. Conform

observaţiei că orice şir monoton are limită în R , rezultă că există limită

lim nnα

→∞ şi lim nn

β→∞

. Dacă (xn) este şir mărginit în R, atunci (αn) este crescător

101

şi majorat, deci există lim nnα

→∞= sup{αn| n∈N}; la fel, (βn) este descrescător

şi minorat, deci există lim nnβ

→∞= inf {βn| n∈N}. Vom considera cazul

general al unui şir oarecare (xn)n≥1⊂ R.

Definiţia II.6. Fie (xn)n≥0⊂ R şi (αn)n≥1 dat prin (II.12), (βn)n≥1 dat

prin (II.13).

1] Se numeşte limita superioară a şirului (xn) elementul β∈R definit

prin:

(II.13') lim lim sup inf{ | } inf sup limnotat

n k n kn n nk n k n nnx n xβ β β

→∞ →∞ ≥ ≥ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ∈ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦N x .

2] Se numeşte limita inferioară a şirului (xn) elementul α∈R definit

prin:

(II.12') lim lim inf sup{ | } sup inf limnotat

n k n kn n k n k nn nnx n xα α α

→∞ →∞ ≥ ≥ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ∈ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦N x .

3] Elementele α, β∈R se numesc limitele extreme ale şirului de numere

reale (xn).

Observaţii:

1. Orice şir de numere reale posedă limită inferioară şi limită superioară,

deşi nu orice şir de numere reale este şir cu limită în R .

2. Dacă ( ⊂ (x)1kn k

x≥

n) este un subşir, atunci avem:

(II.15.) lim lim lim limk k kn n n n

n n n n

x x x x→∞ →∞ →∞ →∞

≤ ≤ ≤ .

3. Exemple: 1) ( )1 nnx = − cu x2k =1 şi x2k+1 = -1

lim 1

lim 1n

n

x

x

= −⎧⎪⇒ ⎨= +⎪⎩

2) xn =0 4

sin 1 4 12

1 4

n kn n k

n k

π=⎧

⎪

1= − = −⎨⎪ = +⎩

⇒ lim nx =-1, lim nx = 1.

102

3) xn =( )( )

2 1

2

lim 0 lim 011 lim 1 lim 13

n k

n kn

n n par x xnx xn impar

+

⎧⎧ = =⎪⎪ ⎪+ ⇒⎨ ⎨

= =⎪ ⎪⎩⎪⎩

4. Limitele extreme ale lui (xn) sunt puncte limită ale şirului (adică

există un subşir al său care are drept limită acest punct (element)) şi am

notat cu L((xn) n≥1) mulţimea punctelor limită ale lui (xn).

Teorema II.13. Fie (xn)n≥0 ⊂ R, atunci au loc afirmaţiile:

(i) lim limn nx x≤ ;

(ii) Dacă (xn) este şir mărginit avem: (xn) convergent în R ⇔

(II.16) 0lim lim limn n nx x x= = = x ;

(iii) lim nx este cel mai mic element din L((xn) n≥1) şi lim nx este cel

mai mare element din L((xn) n≥1) adică ∀a ∈L((xn) n≥1), avem:

(II.17.) lim limn nx a x≤ ≤ .

Demonstraţie: (i) Relaţia rezultă din definiţie.

(ii) Presupunem că avem: lim nx = lim nx = 0x unde:

0 lim inf lim sup lim limk k nn k n n k nx x x nα β

→∞ ≥ →∞ ≥

⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ ∀ε>0, ∃ n0∈N a. î.

∀ n ≥ n0 ⇒ 0x - ε < αn ≤ βn ≤ 0x + ε ⇒ 0x - ε < xn< 0x + ε, ∀ n ≥ n0 şi

∀ε > 0 ⇒ ∃ 0lim nnx x

→∞= . Presupunem că avem: 0lim nn

x x→∞

= şi considerăm

ε > 0 atunci există n0∈N ⇒ xn∈ ( 0x - ε, 0x + ε) şi atunci din definiţia

şirurilor (αn), (βn), avem: αn, βn∈ ( 0x - ε, 0x + ε) pentru ∀ n ≥ n0. În aceste

condiţii: lim αn, lim βn∈ ( 0x - ε, 0x + ε) deci lim αn = lim βn = 0x ⇒

lim nx = lim nx = 0x tocmai (II.16.).

103

(iii) Fie lim lim lim sup inf supn n kn n k n k nkx x xβ β

→∞ →∞ ≥ ≥

⎡ ⎤ ⎡= = = = ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

şi (βn)

descrescător ⇒ există ( )1kn k

x≥⊂ (xn)n≥1 a. î. lim

knkx

→∞ = β şi β este cel mai

mare element din L((xn) n≥1). Dacă presupunem că există 0x ∈ L((xn) n≥1) cu

0x > β, atunci există un subşir ( )1ln l

x≥⊂ (xn)n≥1 a. î. lim

lnlx

→∞ = 0x . Fie ε > 0

a. î. 0 < ε < 0x - β şi cum lim nnβ

→∞=β, ∃ n0∈N a. î. ∀ n ≥ n0 ⇒ βn< 0x + ε şi

avem: xn ≤ yn< 0x + ε, ∀ n ≥ n0, fapt ce exclude existenţa subşirului

cu li( )1ln l

x≥

mlnl

x→∞

= 0x . La fel se arată α = lim nx este cel mai mic element

din L((xn) n≥1).

Teorema II.14. Fie (xn)n≥1 ⊂ R, un şir de numere reale pozitive,

atunci avem:

(II.18) 1 1lim lim lim limn nn nn nn nn nn n

x xx xx x+ +

→∞ →∞→∞ →∞≤ ≤ ≤ .

Demonstraţia este directă folosind definiţia limitelor extreme ale

lui (xn) şi relaţiile dintre ele.

Consecinta II.11. Fie (xn)n≥1 ⊂ , atunci: *+R

Dacă există 1lim n

nn

xlx+

→∞= cu l∈R există şi lim n

nnx l

→∞= .

Exemple: 1) ( )22

2 1

lim2 11 lim

n nn n

nn n

n

xxnx

xn x→∞

+→∞

⎧ = +∞→ +∞− ⎧ ⎪= ⇒ ⇒⎨ ⎨→ −∞+ = −∞⎩ ⎪⎩

;

2) ( ) 2

2 1

lim3

lim

nn n n

nn n

n

xxx

x x→∞

+→∞

⎧ = +∞→ +∞⎧ ⎪= − ⇒ ⇒⎨ ⎨→ −∞ = −∞⎩ ⎪⎩

;

104

3) ( ) ( ) 2

2 1

lim 111 1 102 lim 0

n n nn n

nn n

n

xxx

xn x→∞

+→∞

⎧ =→− + − ⎧ ⎪= + ⇒ ⇒⎨ ⎨→ =⎩ ⎪⎩

.

Şiruri numerice remarcabile

Am studiat convergenţa şirurilor xn = (1 + 1n

)n şi yn = (1 + 1n

)n + 1

dovedind că: lim limnn n nx y→∞ →∞

= = e cu e , 1n nx y n< < ∀ ≥ .

1) Sirul xn = 1 + 12

+ ... + 1n

- ln n, n ≥1 este descrescător şi minorat de

zero, deci convergent cu limita lim xn = c (Constanta lui Euler). Folosind

(II.7) 1 1ln( 1) ln , 11

n n nn n

< + − < ∀ ≥+

obţinem:

( )1 1

1 1ln 1 ln1

n n

k k k

k kk k= =

⎡ ⎤< + − <⎣ ⎦+∑ ∑ ∑1

n

=

, ∀ n≥1 ⇔

( )1 1

1 ln 11

n n

k k

nk k= =

< + <+∑ 1∑ , ∀n≥1; ⇒ ∀n≥1 avem:

xn+1 - xn =1

1n +- ln(n+1) + ln n<0⇒ (xn) este descrescător (xn+1<xn, ∀n≥1).

Pentru ∀ n ≥ 1, avem: 0 < ln(n+1) - ln n < 1

1n

k k=∑ - ln n = xn < x1 = 1 ⇒

(xn)∈(0,1), ∀n ≥1 este şir mărginit. După teorema lui Weierstrass (xn) este

convergent cu lim xn = c.

2) Să se arate că ( )( )

11

1

n

n n

nx

n+ −

= ⎯⎯→− −

R . Avem:

105

( )( )

( )( ) ( )

1 2 1 2 21 111 1 1

n n

n nn n n

nx

nn n nα

+ − −− = − = ≤ ≤

−− − − − − −= pentru n ≥ 2 şi

, deci există 0nα ⎯⎯→R lim 1nnx

→∞= .

3) Să se precizeze natura şirului: 1

1

nk n

nk

x ka a +

=

= −∑ unde a∈R.

Avem:

( )

2 12

21

( 1)2 ...1

n nnk n

k

a na n aka a a naa

+ +

=

+ − += + + + =

−∑ pentru ∀a≠1 ⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

2 2 2

1 11 1 1 1

n n nn

a nx na a aa a a a

+ + +2

a+= + − − = +

− − − −

( ) ( )

( ) ( )2

12 2

;dacă | | 1 lim 01

1 1 1 lim ;dacă 11 1 ;dacă 1

n

n

nnn

a a naa

a nna x an na a a

→∞

+

→∞

< =−

⎡ ⎤++ − ⋅ − ⇒ = ∞ =⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∞ >

∃ ;dacă 1a

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ ≤⎩

4) Fie ( ) , atunci 1 cu limn nn n

a a≥ →∞⊂ =*

+R Ra∈ 1 ... ,nn

a ax an

+ += ⎯ →R⎯

1 2

1 2 1 1 1... şi

...n

nn n n

a a a

ny a a a a z= ⋅ ⋅ ⋅ ⎯⎯→ = ⎯⎯→+ + +

R R a . Notăm tn = an – a

şi ⇔ ∀ε>0, ∃ nlim 0nnt

→∞= ε∈N a. î. ∀ n ≥ nε ⇒ |tn| <

2ε .

Avem: 1 2 11 2... ...... n nn

t t t t tt t tn n

+ n

n+ + + + ++ + +

= +ε ε şi

11 2 11 2... ...... ...

2nn n n nn

tt t t t t tt t tn n n n

+++ + + + ++ + +n

≤ + < + + +εε ε ε<

106

...2 2 2 2 2 2 2

n nn n n

εε ε ε ε ε εε ε−⎛ ⎞< + + + = + < + =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Cum nn

tx aa

− = cu →0

⇒

nt

lim nnx a

→∞= . Avem

11 2

ln ... lnln ...

1 2 ...n

nn

a aa a a nn

n ny a a a e e+ +

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = = cu

. Cum lnlim , lim ln ln lim an n nn n n

a a a a y e a→∞ →∞ →∞

= = ⇒ = = 1 1limn

na a→∞= ⇒

1 2

1 1 1 1

1lim lim...

n

na a a a

nz a= =+ + +

= .

Avem: Hn ≤ Gn ≤ Mn ⇔ 1 2

11 21 1 1

.........

n

nnn

a a a

a an a a an

+ +≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤

+ + + şi

lim Hn =lim Gn =lim Mn=a.

5) ( )

( )

2

1

2 1

1

21 cos 2 22 1

1 cos1

2 11 cos 2 1 02 2

k

n

k

kx kk

nx nn

kx kk

π

π

π

=

+

=−

⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟= + →⎪ ⎜ ⎟ +

⎝ ⎠⎪⎪= + ⇒ ⎨ ⎡ ⎤+ ⎪ +⎢ ⎥⎪ = + +⎢ ⎥ +⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

b

b→

⇒ (xn)

este şir divergent.

6) 3 sin2n

nx n π⎡= ⎢⎣ ⎦⎤⎥ este şir nemărginit ( n3→ + ∞ şi | sin

2nπ | ≤ 1) cu:

( ) ( )

( ) ( )

3 32

3 32 1

2 sin 2 2 sin 0 02

2 1 sin(2 1) ( 1) 2 12

k

kk

x k k k k

.x k k k

π π

π+

⎧ ⎡ ⎤= = = →⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎪ = + + = − +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩div

⇒ (xn) este şir

divergent.

107

7) xn = 1 + 12

+ ... + 1n

este şir crescător 1

1n nx x

n+<⎧

⎨ ≥⎩ şi divergent. După

consecinta II.8. (Teorema lui Cauchy), avem pentru ε = 12

şi p =n ⇒

2

termeni

1 1 1 1 1 1... ...1 2 2 2 2n n

n

x x nn n n n n n n

− = + + + > + + = =+ + + E5555555F

12

⇒ (xn) nu este

şir fundamental ⇒ (xn) este şir divergent.

8) Fie a > 0 şi (xn) definit recurent prin: x0 > 0, 11

12n n

n

ax xx−

−

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠. Avem:

x0 > 0 şi 1 00

1 02

ax xx

⎛ ⎞= + >⎜ ⎟

⎝ ⎠; presupunem 1 0nx − > ⇒

11

1 02n n

n

ax xx−

−

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠> ⇒(prin inducţie) xn> 0, ∀n ≥ 0. Din relaţia de

recurenţă rezultă:1 1

1 1

22

2 2 22

1 12 04 4n n n n

n n

a ax x a x a xx x− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + ⇒ − = − ≥ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(*) şi dacă există 2 ,n

x a n≥ ∀ ∈N lim nnx

→∞, atunci lim nn

x→∞

≠ 0. Şirul xn este

monoton: 1

2

1 1 1 11 1

1 1 1 02 2 2

nn n n n n

n n n

a xa ax x x x xx x x

−− − − −

− −

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1−

− = + − = − = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≤

după (*) ⇒ (xn) este monoton descrescător şi mărginit inferior, după

proprietatea lui Weierstrass este convergent, fie l = lim nnx

→∞. Din relaţia de

recurenţă, avem: 2 21 22

al l l l a ll

⎛ ⎞= + ⇔ = + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

a şi lim nnx

→∞ = a .

9) 21

n

n n

axa

=+

cu a >0. Avem:0; 0 1

lim 1; 1; 1

n

n

aa a

a→∞

< <⎧⎪= =⎨⎪∞ >⎩

.

108