SERII DE NUMERE REALE

1.1. Definitie. Fie sirul de numere reale

si sirul sumelor partiale

Perechea

se numeste serie de numere reale si se noteaza

sau

sau

Termenii sirului se numesc termenii seriei termenul general al acestei serii. a) Daca sirul are limita (finita), vom scrie

, iar

se numeste

si spunem ca seria

este convergenta avand suma egala cu

, in caz contrar, seria ).

este divergenta (deci, atunci cand sirul b) Daca seria convergenta.

nu are limita sau are limita

este convergenta, atunci seria

se numeste absolut

1.2. Propozitie. Daca seriile atunci seriile

si

sunt serii convergente iar

,

si

sunt convergente si avem :

1

1). 1.3. Propozitie. Daca seria converge la zero. Reciproc nu este adevarat.

2).

.

este convergenta atunci termenul general

Demonstratie. Convergenta seriei este echivalenta cu convergenta sirului sumelor partiale . Deci, exista . , . Atunci din , prin trecere la

limita, deducem ca

Observatie. Afirmatia din propozitia 3.3 reprezinta o conditie necesara de convergenta a unei serii. Daca aceasta conditie nu este verificata atunci seria este divergenta.

De exemplu, seria armonica generalizata sumelor partiale , cand .

este divergenta deoarece sirul desi, termenul general al seriei

1.4. Propozitie. Daca seria convergenta.

este convergenta, atunci seria

este

Reciproc nu este adevarat. De exemplu, seria este convergenta, avand suma egala cu , in timp ce seria modulului termenilor este seria armonica care este divergenta (vezi, exemplul 2). Criterii de convergenta (pentru serii cu termeni reali oarecare)

1.5. Criteriul lui Cauchy.

Seria de numere reale conditia

este convergenta daca si numai daca se verifica

2

astfel incat

si

.

(3)

Demonstratie. Demonstram implicatia " ". Deoarece seria este convergenta, atunci sirul sumelor partiale, este sir Cauchy si avem astfel incat ceea ce este echivalent cu conditia din enuntul teoremei. Demonstram implicatia inversa (" "). Conditia din enunt arata ca sirul este un sir Cauchy de numere reale, deci este convergent. Asadar, seria numerica este convergenta. , este un sir de numere reale convergent, deci

,

Exemplu 1. Fie seria este dat de relatia

. Termenul general al sirului sumelor partiale

. Pentru a stabili natura seriei date, potrivit criteriului lui Cauchy, este suficient sa aratam ca sirul sumelor partiale este sir Cauchy de numere reale. Fie , oarecare. Atunci pentru orice si suficient de mare putem scrie

Deci, sirul sumelor partiale este sir Cauchy si In consecinta seria este convergenta.

Exemplu 2. Seria armonica1[2]

este divergenta.

Aratam ca sirul sumelor partiale nu este sir Cauchy. Intr-adevar, avem

1 3

, Pentru sir Cauchy. rezulta ca

. nu este

si deci, sirul sumelor partiale

Asadar, seria este divergenta. 1.6. Criteriul lui Abel. Fie seria numerica

Daca sunt verificate conditiile: 1) este un sir de numere reale pozitive convergent la zero;

2)

a.i. pentru orice

sa avem este marginit);

,

(altfel spus,

sirul sumelor partiale asociat seriei

atunci seria

este convergenta. , atunci putem scrie

Demonstratie. Notam cu

Vom arata ca sirul sumelor partiale asociat seriei convergent. Un calcul simplu ne conduce la urmatoarele evaluari:

este un sir Cauchy, deci este

4

. Deoarece sirul avem , cand , atunci pentru a.i.

. Asadar, rezulta

si orice

.

Observatie. Acest criteriu nu da conditii necesare de convergenta adica, exista serii convergente care nu verifica conditiile din criteriul lui Abel (vezi, exercitiul 3). O consecinta directa a criteriului lui Abel este urmatorul criteriu : 1.7. Criteriul lui Leibniz. Daca sirul de numere reale atunci seria este descrescator la zero ( , ),

este convergenta.

Observatie. Criteriul lui Abel este cunoscut sub numele "Criteriul de convergenta Abel-Dirichlet".

1.8. Definitie. Fie seriile de numere reale termenul general

si

. Seria

, cu

, se numeste produsul celor doua serii.

1.9. Propozitie. Daca seriile de numere reale convergente, atunci

si

sunt absolut

5

seria produs

este absolut convergenta.

Demonstratie. Deoarece seriile exista

si

sunt absolut convergente, atunci

, a.i.

si

oricare ar fi

.

Consideram sirul sumelor partiale asociat seriei Avem

, unde

.

,

de unde se deduce ca seria produs

este absolut convergenta.

Exercitiul 1. Aratati ca urmatoarele serii

i).

ii).

verifica criteriul lui Abel, deci sunt convergente.

Exercitiul 2. Aratati ca seria alternanta Aceasta serie este convergenta si are suma egala cu

verifica criteriul lui Leibniz. .

Exercitiul 3. Exista serii convergente care nu verifica criteriul lui Abel-Dirichlet. Astfel in seria,

, permutand primul termen cu al doilea, al treilea termen cu al patrulea, etc. rezulta seria 6

.

Seria

este convergenta pentru

(din criteriul Leibniz).

Daca

, atunci seria

este divergenta si in acest caz spunem ca seria

este semiconvergenta.

Daca convergenta.

, atunci seria

este convergenta si deci seria

este absolut

Daca

, atunci seria

este divergenta.

Vom arata ca seria aceeasi suma. Fie serii. Atunci, si

este convergenta odata cu seria

si cele doua serii au

, sirurile sumelor partiale asociate celor doua

si suma.

si deci, seriile au aceeasi

Seria

este convergenta pentru nu este monoton.

, totusi, ea nu verifica conditiile criteriului din criteriul

lui Abel-Dirichlet, deoarece orice alegere am considera pentru sirul mentionat, totusi,

Exercitiul 4. Seria

este convergenta intrucat verifica .

conditiile criteriului lui Leibniz. Aratati ca suma seriei este egala cu

7

Avem identitatea:

,

.

Sirul sumelor partiale

se poate scrie sub forma

de unde rezulta ca

Exercitiul 5. Aratati ca seria .

este convergenta si are suma egala cu

Exercitiul 6. Fie . In cazul cand Solutie. Daca

. Seria geometrica , suma seriei este egala cu

este convergenta daca si numai daca .

, atunci termenul general al seriei nu converge la zero si deci, seria , atunci si sirul sumelor partiale are suma

nu este convergenta. Daca .

De aici deducem ca suma seriei este egala cu

. Serii cu termeni pozitivi 1.10. In cele ce urmeaza vom considera numai serii cu termeni pozitivi,

8

.

In acest caz, daca scrie , oricare ar fi

este sirul sumelor partiale al seriei date, atunci putem

,

de unde rezulta ca sirul convergenta daca sirul sumelor partiale .

este crescator. Deducem ca seria

va fi

este

marginit,

adica,

a.i.

Asadar, o serie cu termeni pozitivi are totdeauna o suma; daca sirul sumelor partiale este marginit superior atunci aceasta suma este finita (seria este convergenta), in caz contrar suma este infinita si seria este divergenta. (i). Criterii de comparatie (pentru serii cu termeni pozitivi)

1.11. Criteriul I. Fie exista cu proprietatea

si

doua serii cu termeni pozitivi astfel incat .

i)

Daca seria

este convergenta, atunci

este convergenta.

ii) Daca seria

este divergenta, atunci seria

este divergenta.

Demonstrtie. Fie

a.i.

. Din relatiile

,

9

rezulta ca sirul sumelor partiale convergenta.

este marginit si deci seria

este

1.12. Criteriul II. Fie

si

doua serii cu termeni pozitivi. Daca

a.i. sa se verifice conditiile

, atunci:

,

i). daca seria

este convergenta atunci seria

este convergenta.

ii). daca seria

este divergenta atunci seria

este divergenta. , fixat, avem

Demonstratie. Relatia din enunt arata ca pentru orice

.

Fie

, atunci avem si atunci

pentru

si oricare ar fi

.

Deducem ca afirmatiile din enunt.

, de unde rezulta

1.13. Criteriul III. Fie . i). Daca

si

, doua serii cu termeni pozitivi a.i.

, atunci cele doua serii au aceeasi natura.

10

ii). Daca convergenta.

si seria

este convergenta, atunci seria

este

iii).Daca

si seria

este divergenta, atunci seria

este divergenta.

Demonstratie. Acest criteriu cu limita decurge din criteriul I.

i). Deoarece de mare, putem scrie

si

, atunci din definitia limitei, pentru a.i.

suficient

.

Daca .

, atunci

. Cum

, atunci avem

Deoarece natura.

, atunci seriile

si

au aceeasi

ii). Fie pentru

si . Cum

a.i.

pentru orice

. Avem convergenta.

convergenta atunci rezulta ca

iii). Daca

, atunci putem scrie

, pentru orice divergenta.

, fixat si

. Cum

divergenta atunci rezulta ca Exemple:

1. Seria

este divergenta.

11

Intr-adevar,

definim

si

.

Atunci,

avem

asupra

convergentei

. Din criteriul I de comparatie nu putem trage concluzii seriei. Cu ajutorul criteriului III, obtinem , deci seriile si au aceeasi natura, ultima

serie fiind divergenta ( !). Exercitii. (a). Studiati natura urmatoarelor serii :

.

(b). Determinati suma seriei

. unde, prin identificare, gasim

Indicatie. Putem scrie identitatea si . Atunci termenul general al seriei devine

si, prin urmare,

.

(c). Studiati natura seriei Solutie. Daca

. .

atunci obtinem seria armonica

In inegalitatea evidenta

12

, daca substituim, succesiv, sumelor partiale obtinem ca subsirul al sirului

, este nemarginit superior:

. Asadar, sirul sumelor partiale are limita infinita si deci, seria este divergenta. Observatie. Inegalitatea (2.4) arata ca sirul sumelor partiale asociat seriei nu este sir Cauchy. Intr-adevar, daca alegem , deducem

, pentru orice si atunci din criteriul general al lui Cauchy obtinem ca seria este divergenta. Daca , atunci termenii corespunzatori ai seriei considerate sunt mai mari decat termenii seriei armonice care este divergenta. Potrivit criteriului I de comparatie rezulta ca seria Daca inegalitatea este divergenta. , vom pune , unde . Analog inegalitatii (2.4), avem

111c26b (2.5) Procedand ca mai sus, obtinem

, 111c26b 111c26b

Rezulta ca sumele partiale ale seriei considerate sunt majorate de numarul constant

13

si deci, seria este convergenta. (ii). Criterii de convergenta (pentru serii cu termeni pozitivi)

1.14. Criteriul raportului (criteriul lui d'Alembert2[5]). Fie seria respectiv,

si

, atunci :

i)

Daca

, atunci seria

este convergenta.

ii) Daca

, atunci seria

este divergenta.

iii) Daca decide natura seriei ).

, atunci seria poate fi oricum ( in acest caz nu putem

Demonstratie. Analizam cazul i). Fie , exista

si

. Atunci oricare ar fi

a.i. rezulta .

. Daca notam cu

, atunci

2 14

Un calcul simplu arata ca

si pentru orice

.

Deoarece seria este convergenta, din criteriul I de comparatie deducem ca seria data este convergenta.

Observatie. Din inegalitatea

, folosind notatia

atunci putem

scrie inegalitatile

, oricare ar fi

. Atunci, din criteriul II de

comparatie, tinand seama ca seria geometrice cu ratia ), rezulta ca seria

este convergenta (fiind suma progresiei este convergenta.

Observatie. Daca superioara

a.i. si deci, seria

oricare ar fi este convergenta.

, atunci si limita

1.15. Criteriul radacinii lui Cauchy.

Fie seria

si

, atunci

i)

Daca

, atunci seria

este convergenta.

ii) iii)

Daca Daca

, atunci seria

este divergenta.

, atunci cu acest criteriu nu se poate preciza natura seriei. Prin ipoteza a.i. si deci,

Demonstratie.

, de unde rezulta ca seria , deci este convergenta .

este majorata de seria convergenta

15

1.16. Criteriul lui Raabe si Duhamel.

Fie seria

,

si fie

i)

Daca

, atunci seria

este convergenta.

ii) iii)

Daca

, atunci seria

este divergenta.

Daca , atunci cu acest criteriu de convergenta nu putem decide natura seriei date.

Demonstratie. i). Fie exista

si

oarecare, dar fixat. Atunci

a.i. Deducem relatiile

si deci

.

, Fie si . Atunci, pentru fixat, avem

, Insumand aceste relatii, dupa reducerea termenilor asemenea, obtinem . Prin urmare, pentru orice si orice numar natural 16 , obtinem

fixat.

De aici deducem convergenta.

,

fixat, care arata ca seria

este

ii). Daca deci,

, fie

a.i. .

. Exista

a.i.

si

Ultimele relatii pot fi scrise sub forma echivalenta

si cum seria

este divergenta, atunci rezulta ca seria

este divergenta.

Exemplul 1. Fie seria . Utilizand unul din criteriile de convergenta studiate, aratati ca seria este convergenta.

Solutie. Notam cu criteriul raportului, deducem

termenul general al seriei date. Din

. Prin urmare, cu criteriul raportului, nu putem decide natura seriei. Vom aplica, in continuare, criteriul lui Raabe si Duhamel. Avem

.

17

Deci, seria

este convergenta.

1.17. Criteriul integral Maclaurin-Cauchy. Fie , o functie continua care ia valori pozitive ( , , . , atunci pe admite primitive pe acest interval. Fie . Atunci este derivabila si si deci exista limita , ) si

este monoton descrescatoare pentru are termenul general pentru Deoarece ), deci are forma este continua pe

, fixat. Presupunem ca seria numerica ( unde este valoarea functiei

o primitiva a functiei . Asadar, functia , finita sau infinita. (a). Presupunem ca verifica, seria numerica cu seria relatia : exista

creste odata cu

(adica, limita este finita). Atunci, asa cum usor se poate este convergenta. Vom compara aceasta serie , putem scrie

. Potrivit formulei lui Lagrange, pe fiecare interval

a. i. , atunci (am presupus

, , ) deducem ,

sau echivalent, daca punem . Folosind monotonia lui

descrescatoare pe ,

care arata ca seriile convergente.

si

au aceeasi natura, adica, ambele

18

(b). Presupunem ca limita este infinita. In acest caz seria divergenta si

este

potrivit relatiei (*) deducem ca seria

este divergenta.

1.18. Observatie. Criteriul integral MacLaurin-Cauchy se bazeaza pe compararea seriei numerice cu termenul general unde . cu integrala improprie a functiei ,

1.19. Criteriul integral al lui Cauchy. Fie , o functie continua care ia valori pozitive ( , , fixat. Atunci seria , ) si

este monoton descrescatoare pentru

,este convergenta (sau divergenta) dupa cum functia

,are limita finita (sau infinita) cand ; vom scrie : .

Demonstratie. Datorita ipotezei putem scrie relatiile

si .

respectiv

Fie crescator si avem

sirul sumelor partiale asociat seriei date. Atunci

este sir

19

,

deci, integrala convergent.

este convergenta

sirul sumelor partiale

este

Exemplul 1. Fie seria vom alege

. Deoarece . Atunci

, avem

si deci, seria este convergenta.

Exemplul 2. Fie seria Atunci

. Vom alege , cand . Asadar, seria este divergenta.

.

Exemplul 3. Consideram seria armonica generalizata (seria zeta a lui B.Riemann)

.

Alegem aceeasi natura. Avem

. Atunci seria

si integrala

, cand

, au

Daca .

atunci integrala este convergenta si deci seria converge catre functia

,

Potrivit relatiilor (2.6) rezulta ca intre integrala si seria relatiile(vezi, fig.2):

,

putem scrie

20

, unde este sirul sumelor partiale al seriei . Asadar, avem

.

Din prima inegalitate (7) deducem inegalitatea consecinta, sunt verificate inegalitatile:

si in

. Daca , din inegalitatea (8), prin trecerea la limita cand 111c26b 1.20. Observatie. (i). Pentru termeni pozitivi, tinde la infinit. . , care este o serie cu , obtinem

, suma seriei armonice

(ii). Seria

este divergenta si .

.

(iii). Dubla inegalitate (9) arata ca

1.21. Observatie. (i). Fie seria Daca , atunci seria

. este absolut convergenta. Daca , seria este

convergenta (din criteriul lui Leibniz, rezulta ca seria ) si avem

este convergenta pentru

.

21

Se verifica usor relatia Deoarece

. Atunci

.

, atunci obtinem ca functia este continua in . pot fi cunoscute valorile functiei

(ii). Pentru valori particulare ale parametrului . De exemplu,

seria

este convergenta si are suma egala cu

;

seria

este convergenta si are suma egala cu

.

1.22. Observatie. (i). Fie seria Daca , atunci seria

. este convergenta. Se verifica usor relatia . 111c26b 111c26b

111c26b 111c26b 111c26b(10)

Avem

.

Atunci, din (10), obtinem (ii). Pentru valori particulare ale parametrului .

. pot fi cunoscute valorile functiei

22

De exemplu, seria deducem ca suma sa este egala cu .

este convergenta. Folosind observatia (3.21),

Analog obtinem ca seria convergenta

are suma egala cu

.

Calculul aproximativ al unor sume

1.19. Practic, cand nu putem calcula exact suma unei serii convergente, atunci putem aproxima suma prin astfel de aproximari putem determina valorile lui aproximarea . Analizam situatiile:

,

, pentru suficient de mare. In astfel ca eroarea absoluta de , data:

sa fie mai mica decat o anumita valoare

(a). Fie seria alternanta seria este convergenta), avand suma partiala

, unde

(din criteriul lui Leibniz

. Atunci

Observam ca sirul cum

este crescator, iar sirul

este descrescator si,

,

23

atunci, putem scrie marginirea acestor siruri. Asadar, avem Cu ajutorul acestor relatii, obtinem evaluarile

, de unde rezulta si .

. In consecinta, inlocuind suma a seriei prin , facem o eroarea mai mica decat primul termen neglijat, eroarea fiind prin lipsa daca sau prin adaus daca . Deci, valoarea absoluta a erorii este mai mica decat primul termen neglijat si vom scrie .

De exemplu, daca dorim sa calculam suma seriei alternate a lui Leibniz, cu trei zecimale exacte . Deci, insumand primii 0.693). termeni ai seriei obtinem ( )

, obtinem

cu trei zecimale exacte (

(b). Fie seria cu termeni pozitivi

.

Presupunem ca seria este convergenta si fie presupunem ca exista cu suma partiala a.i. , pentru

, suma seriei. De asemenea, . Inlocuind suma a seriei

putem evalua restul care se obtine sub forma

. Asadar, eroarea care se face cand inlocuim suma seriei cu sirul sumelor partiale este

24

. De exemplu, daca dorim sa calculam valoarea aproximativa a numarului zecimale exacte, atunci putem sa calculam suma seriei Avem cu trei

cu trei zecimale exacte.

, pentru

si deci, si deci,

. Alegem cel mai mic numar natural a.i. . Asadar .

. Gasim,

25