licenta Şiruri.3 63

8/16/2019 Licenta Şiruri.3 63

1/61

Cuprins

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 NOŢIUNI GENERALE 3

1.1 Definit ̧ia şirului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Şiruri m ̆arginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Monotonia unui şir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Sub̧sir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Şiruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Limitele extreme ale unui şir de numere reale . . . 161.3.2 Puncte limit˘ a ale unui şir numeric . . . . . . . . . 18

1.4 Şiruri fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Teoreme Fundamentale 25

2.1 Teorema lui Newmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Teorema lui Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Teorema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Teorema lui Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Teoremele lui Stolz-Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Şiruri Remarcabile 31

3.1 Şirurile lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Şirul lui Gherm˘ anescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Şirul lui Lalescu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Şirul lui Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Produse infinite 43

4.1 Definit ̧ia produsului infinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Criterii de convergent ̧̆ a ale produselor infinite . . . . . . . 44

5 Probleme cu ̧siruri 50

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1


2/61

Introducere

Şirurile de numere reale formează unul din capitolele importante ale analizei mate-

matice, un capitol de mare fineţe care stă la baza noţiunii de limita unei funcţii şi aaltor concepte importante, stând practic la baza ı̂ntregii analize matematice. Contribuţiiimportante au fost aduse acestui capitol de matematicianul francez A.L.Cauchy(1789-1857). Putem spune că acesta a fost primul care a formulat cu coincizie definiţiilenoţiunilor fundamentale ale analizei matematice: limit̆a, continuitate etc., ı̂ntr-un modcaracteristic matematicii moderne. Şcoala matematică germană a fost reprezentată deK. Weierstrass(1815-1897), supranumit şi ”prinţul” analiştilor ca urmare a acurateţii şieleganţei cu care a rezolvat unele probleme fundamentale ale analizei matematice.

Rezultate importante ale acestui capitol sunt legate de numele matematicianuluiceh B. Bolzano (1781-1848). Până la Bernhard Bolzano matematicienii au ı̂nceput să-

şi dea sema că, deşi formulau foarte des definiţii ale termenului ”funcţie”, se formasedeprinderea de a presupune proprietăţi, putem spune suplimentare, care nu rezultau cuclaritatea necesară, riguroasă, din definiţie. Ca o concluzie, domeniul era impregnat depresupuneri şi intuiţii vagi, cele mai multe greşite şi nedemonstrate.

Primul care a căutat la modul riguros o ieşire din această situaţie a fost preotul,filozoful şi matematicianul din Boemia amintit mai sus, pe nume Bernhard Bolzano. Aı̂nceput să se gândească la pardaoxurile infinitului ı̂n 1847, la vârsta de 67 de ani. El adefinit cea mai mare parte a conceptelor fundamentale ale analizei matematice pe bazelogice solide, principala excepţie fiind, că nu punea la ı̂ndoială existenţa numerelor reale.

Ideile lui Bolzano au fost un ferment pentru progresele ce urmau s ă apară ı̂n matema-tică. El a făcut posibilă definirea limitei unui şir infinit de numere reale, iar apoi, a uneiserii, care e suma unui şir infinit. Astfel conceptul de limit̆a aşează analiza matematicăpe fundamente solide, netezind astfel calea pentru cercetările lui Newton, care spuneacă limitele sunt cele de care se apropie anumite cantităţi atunci când un alt număr seapropie de zero, deci numărul nu trebuie să atingă zero sau infinit.

În această lucrare se vor prezenta teoremele fundamentale ale şirurilor, şiruri remar-cabile şi produse infinite, urmate de câteva exemple reprezentative.

2


3/61

Capitolul 1

NOŢIUNI GENERALE

1.1 Definit ̧ia şirului

Definiţia 1.1.1. Se numeşte şir de numere reale, orice funct ̧ie f : N −→ R, cu imaginea f (n)

not= xn ∈ R,unde xn este termenul de rang n al şirului, avˆ and şi caracter de termen

general, deoarece pentru n ∈ N, ”genereaz˘ a” tot ̧i termenii şirului.Not˘ am funct ̧ia f cu (xn)n∈N.

Altfel, un şir ı̂n R asociază fiecărui număr natural 0,1,2,... un unic număr real binedeterminat x0, x1, x2,....

Distingem astfel, notaţia (xn)n∈N , ı̂n care avem o infinitate de termeni ordonaţi{xn | n ∈ N}, reprezentând mulţimea valorilor şirului (x)n∈N, dar fără ca şirul să fie omulţime , deoarece există două aspecte care fac difernţa: -̂ıntr-un şir de elementele se

pot repeta, dar ı̂ntr-o mulţime acestea sunt distincte ı̂ntre ele.-elementele unei mulţimi se pot scrie ı̂n orice ordine, pe când cele ale unui şir au loculbine determinat de rang, având atribuit un număr natural.

Remarca 1.1.2. Dou˘ a şiruri (xn)n∈N, (yn)n∈N sunt egale, dac˘ a xn = yn, (∀)n ∈ N şi scriem (xn)n∈N = (yn)n∈N.

Remarca 1.1.3. Şirurile pot fi definite ı̂n urm˘ atoarele moduri:

1. Descriptiv : Definirea f˘ acˆ andu-se prin enumerarea termenilor s˘ ai.

2. Analitic: Definirea se face printr-o regul˘ a sau mai multe reguli de calcul dˆ andu-se o exprimare analitic˘ a pentru termenul de rang n, care permite calculul oric˘ arui termen al şirului.

3. Relat ¸ie de recurent ̧̆ a: Definirea se face prin exprimarea unui termen al şirului ı̂n funct ̧ie de unul sau mai mult ̧i termeni precedent ̧i.

3


4/61

1.2 Şiruri m ̆arginite

Definiţia 1.2.1. Un şir (xn)n∈N este m˘ arginit inferior (minorat), dac˘ a exist˘ a un num˘ ar

m ∈ R (minorant) astfel ı̂ncˆ at pentru orice n ∈ N , m ≤ xn şi deci inf n∈N x

n, se numeşte

margine inferioar˘ a a şirului (xn)∈N.

Definiţia 1.2.2. Un şir (xn)n∈N este m˘ arginit superior(majorat), dac˘ a exist˘ a un num˘ ar M ∈ R(majorant), astfel ı̂ncˆ at pentru orice n ∈ N , xn ≤ M şi deci sup

n∈Nxn, se numeşte

margine superioar˘ a.

Definiţia 1.2.3. Un şir (xn)n∈N este m˘ arginit ı̂n R , dac˘ a este m˘ arginit inferior şi este

m˘ arginit superior, adic˘ a exist˘ a m, M ∈ R, astfel ı̂ncˆ at pentru orice n ∈ N, avem m ≤xn ≤ M .

(xn)n∈N ∈ M def ⇐⇒ (∃)M > 0, (∀)n ∈ N ⇒ |xn| ≤ M

Definiţia 1.2.4. Un şir (xn)n∈N se numeşte şir stat ̧ionar dac˘ a exist˘ a n0 ∈ N astfel ı̂nc ̂at xn = xn0(f (n) = f (n0)), (∀)n ≥ n0.

Definiţia 1.2.5. Un şir (xn)n∈N se numeşte şir constant dac˘ a avem xn = x0, (∀)n ≥ 0.

Definiţia 1.2.6. Un şir (xn)n∈N se numeşte şir periodic dac˘ a exist˘ a k ∈ N astfel ı̂nc ̂at xn+k = xn .

Remarca 1.2.7. Un şir stat ̧ionar sau periodic este m˘ arginit.

Exemplul 1.2.1. xn =

x1, x2, x3, x4, x5, dacă n


5/61

Exemplul 1.2.5. Şirul cu termenul general

xn =n

k=1

1√ n2 + k

, (∀)n ∈ N∗

este m˘ arginit , pentru că xn > 0, (∀)n ∈ N∗ şi1√

n2 + n≤ 1√

n2 + k≤ 1√

n2 + 1, k ∈ 1, n

rezultând prin ı̂nsumare pentru k ∈ 1, n :n√

n2 + n≤ xn ≤

n√ n2 + 1

, (∀)n ∈ N∗

Dar √ 2

2 ≤ n

√ n2 + nşi

n

n2 + 1 < 1, (∀)n ∈ N∗.

Deci

xn ∈√

2

2 , 1

, (∀)n ∈ N∗.


xn = sin nπn2 + 1

(∀)n ∈ N

este m˘ arginit deoarece, este restricţie la funcţia

f : R −→ [−1, 1], f (x) = πxn2 + 1


xn = n( n√

x − 1), (∀)n ∈ N∗ , x > 1este m˘ arginit , deoarece din inegalitatea lui Bernoulli,

n√

x = n

1 + (x − 1) ≤ 1 + x − 1n

, (∀)n ∈ N∗

rezultăxn = n(

n√

x − 1) ≤ x − 1, (∀)n ∈ N∗.

Definiţia 1.2.8. Un şir (xn)n∈N este nem˘ arginit, dac˘ a oricare ar fi un num˘ ar M ∈R∗+(M > 0), exist˘ a ı̂n şir un termen xn astfel ı̂nc ̂at |xn| > M , adic˘ a nici un interval

m˘ arginit nu cont ̧ine tot ̧i termenii şirului.

(xn)∈R /∈ M def ⇐⇒ (∀)M ∈ R∗+, (∃)n ∈ N, |xn| > M.

5


6/61

Exemplul 1.2.8. Şirul cu temenul general

xn = −n2este nem˘ arginit ı̂n R, deoarece pentru orice a ∈ R există un termen xn astfel ı̂ncât:

|xn

| > a

1.2.1 Monotonia unui şir

Definiţia 1.2.9. Un şir (xn)n∈N este cresc˘ ator dac˘ a fiecare termen al s˘ au este mai mic sau egal cu succesorul s˘ au, adic˘ a

xn ≤ xn+1, (∀)n ∈ Nşi ı̂l vom nota

(xn)∈N ∈ M=

Definiţia 1.2.10. Un şir (xn)n∈N este descresc˘ ator dac˘ a fiecare termen este mai mare sau egal cu succesorul s˘ au, adic˘ a

xn ≥ xn+1, (∀)n ∈ Nşi ı̂l vom nota

(xn)∈N ∈ M=

Definiţia 1.2.11. Un şir (xn)n∈N este strict cresc˘ ator dac˘ a fiecare termen al s˘ au este mai mic decˆ at succesorul s˘ au, adic˘ a

xn < xn+1, (∀)n ∈ Nşi ı̂l vom nota

(xn)∈N ∈ M ↑=

Definiţia 1.2.12. Un şir (xn)n∈N este strict descresc˘ ator dac˘ a fiecare termen al s˘ au este mai mare decˆ at succesorul s˘ au, adic˘ a xn > xn+1, (∀)n ∈ N şi ı̂l vom nota

(xn)∈N ∈ M ↓=

Definiţia 1.2.13. Un şir (xn)n∈N este monoton dac˘ a este cresc˘ ator sau des-cresc˘ ator(strict descresc˘ ator) şi ı̂l vom nota

(xn)∈N ∈ M#Deci,

M# = M= ∪M=

Remarca 1.2.14. Un şir care este cresc˘ ator şi descresc˘ ator este un şir stat ̧ionar.

6


7/61

1.2.2 Subşir

Definiţia 1.2.15. Se numeşte subşir al şirului x : N −→ R, orice compunere

x ◦ h

unde h : N −→ N este o funct ̧ie strict cresc˘ atoare.Deci,

(x ◦ h)(n) = x(h(n)) = x(hn) = xhn, (∀)n ∈ N

Observaţie 1.2.16. Se observ˘ a c˘ a hn ≥ n.

Remarca 1.2.17. Subşirul (xhn)n∈N se mai numeşte şir extras din şirul (xn)n∈N.

7


8/61

1.3 Şiruri convergente

Definiţia 1.3.1. Şirul (xn)n∈N, spunem c˘ a este convergent ı̂n R, dac˘ a exist˘ a un num˘ ar

x ∈ R, cu proprietatea c˘ a ı̂n afara oric˘ arei vecin˘ at˘ at ̧i a lui x se afl˘ a cel mult un num˘ ar finit de termeni ai şirului (xn)n∈N.

Num˘ arul real x se numeşte limit˘ a pentru şirul (xn)n∈N şi se notez˘ a:

xn −→n→∞

x sau limn→∞

xn = x

citindu-se xn converge la x, cˆ and n tinde la infinit sau limit˘ a din xn, cˆ and n tinde la infinit este egal cu x.

Deci

(xn)n∈N ∈ CR ⇔ (∃)x ∈ R, (∀)V ∈ Vx, (∃)n0 ∈ N ⇒ xn ∈ V, (∀)n ∈ N, n ≥ n0.

Şirurile care nu sunt convergente sau limx→∞

xn = x0 nu există, iar

x0 = +∞ ori x0 = −∞se numesc şiruri divergente .

Teorema 1.3.2. (Caracterizarea ı̂n limbaj ε a convergent ̧ei ı̂n R)

Un şir (xn)n∈N

este convergent la x ∈ R

dac˘ a şi numai dac˘ a oricare ar fi num˘ arul pozitiv ε se poate g˘ asi un rang nε(care depinde de ε), astfel ı̂ncˆ at pentru orice n ≥ n0 s˘ a avem

|xn − x| < ε

Altfel spus

(xn)n∈N ∈ CR ⇔ (∃)x ∈ R, (∀)ε > 0, (∃)n0 ∈ N, (∀)n ≥ n0 ⇒ |xn − x| < ε.

Demonstrat ̧ie:

Necesitatea . Dac˘ a (xn) este un şir convergent, atunci exist˘ a x ∈ R care satisface proprietatea din definit ̧ia (1.3.1). Dac˘ a lu˘ am o vecin˘ atate

Vx = (x − ε, x + ε) (∀)ε > 0atunci pentru un num˘ ar finit de valori ale lui n ∈ N, dependent de vecin˘ atatea lui x şi deci de ε, ı̂l vom nota nε, avem

xn /∈ (x − ε, x + ε).F˘ ar˘ a a restrˆ ange generalitea putem presupune c˘ a numerele naturale pentru care xn /∈(x − ε, x + ε) sunt primele nε; deci pentru n > nε avem

xn ∈ (x − ε, x + ε)

8


9/61

ceea ce este echivalent cu |xn − x| < ε, (∀)n ≥ nε

adic˘ a (1.3.2) este adev˘ arat˘ a.

Suficient ̧a . S˘ a presupunem c˘ a x are proprietatea (1.3.2). De aici deducem c˘ a ı̂n

afara intervalului simetric centrat ı̂n x de lungime 2ε se g˘ asesc termenii x1, x2,...,xnε.Cum orice vecin˘ atate V ∈ Vx include o vecin˘ atate simetric˘ a a lui x rezul˘ a c˘ a ı̂n afara

lui V se g˘ asesc un num˘ ar finit de termeni ai lui(cel mult nε), de unde folosind definit ̧ia (1.3.1) deducem c˘ a

xn −→ x.

Teorema 1.3.3. (Unicitatea limitei)

Orice şir (xn)n∈N convergent ı̂n R are limit˘ a unic˘ a.

Demonstrat ̧ie:

Presupunem prin reducere la absurd c˘ a exist˘ a x1 = x2 astfel ı̂nc ̂at

limx→∞

xn = x1 şi limx→∞

xn = x2

Rezult˘ a din proprietatea lui Haussdorf ı̂n R (de separat ̧ie a dreptei reale) c˘ a exist˘ a V1 ∈Vx1 şi exist ̆a V2 ∈ Vx2, astfel ı̂ncˆ at

V1

V2 = ∅

Din

limx→∞

xn = xl ⇒ (∃)n1, (∀)n ≥ n1 ⇒ xn ∈ V1limx→∞

xn = x2 ⇒ (∃)n2, (∀)n ≥ n2 ⇒ xn ∈ V1

⇒ xn1+n2 ∈ V1 ∩ V2 = ∅

Rezult˘ a c˘ a avem contrazis˘ a ipoteza.Absurd .

Observaţie 1.3.4. Unicul num˘ ar real x care verific˘ a teorema (1.3.3) se numeşte limita şirului xn şi se noteaz ̆a

x = limx

→∞

xn

Consecinţa 1.3.5. Prin ad˘ augarea sau eliminarea unui num˘ ar finit de termeni, un şir convergent r˘ amˆ ane convergent cu aceeaşi limit˘ a.

Consecinţa 1.3.6. Limita unui şir (xn)n∈N din R, dac˘ a exist˘ a, este unic˘ a.

Demonstrat ̧ie :

Dac˘ a

limx→∞ xn = x0 ∈ R

9


10/61

unicitatea limitei rezult˘ a din teorema (1.3.3) . Fie x1 = +∞ şi x0 ∈ R din teorema (1.3.3) pentru orice ε > 0 şi x1 > x1 + ε, (∃)nε ≥ 1 şi n”ε ≥ 1 astfel ı̂nc ̂at

|xn − x0| < ε, (∀)n ≥ nε

şi

xn > x1 > x0 + ε, (∀)n ≥ n”ε ⇔ (x0 + ε < xn < x0 + ε), (∀)nε = max(nε, n”ε)Absurd.Acelaşi rat ̧ionament se foloseşte pentru a ar˘ ata unicitatea limitei ı̂n cazul y0 = −∞ şi x0 ∈ R.

Teorema 1.3.7. Dac˘ a şirul (xn)n∈N este convergent ı̂n R, atunci orice subşir al s˘ au xhneste convergent ı̂n R şi are aceeaşi limit ̆a

(xn)n∈N ∈ CR ⇒ (∀)(xhn) ∈ CRşi

limx→∞

xnh = limx→∞

xn

Demonstrat ̧ie:

Din definit ̧ia (1.3.1), rezult˘ a c˘ a exist˘ a

x ∈ R, (∀)V ∈ VxDeci avem

n0 ∈ N, (∀)n ≥ n0 ⇒ (xhn)n∈N ∈ CR, (xhn)n∈N −→ x(= limx→∞

xn).

Propoziţia 1.3.8. Dac˘ a şirul real (xn)n ∈ N are dou˘ a subşiruri (xhn)n∈N, (yhn)n∈N cu xhn −→ x, xhn −→ y, x = y

atunci (xn)n∈N nu este convergent ı̂n R.Demonstrat ̧ie:

Rezult˘ a imediat din Teorema (1.3.7) precedent˘ a prin reducere la absurd.

Exemplul 1.3.1. Fie şirul (xn) cu termenul general convergent

xn = 1

n + 1 −→ x = 0.

Observăm că|xn − x| < ε ⇔ 1

n + 1 < ε ⇔ 1 − ε < nε.

10


11/61

Atunci pentru orice ε > 0 aplicăm Axioma lui Arhimede pentru numărul real

1 − εε

Rezultă că există n0 ∈ N cu1 − ε < n0ε

şi deci|xn − x| < ε pentru orice n ≥ n0.

Din Teorema(1.3.2) rezultă că xn −→ 0.

Propoziţia 1.3.9. Orice şir convergent ı̂n R este m˘ arginit.

C ⊂ MDemonstrat ̧ie:

Fie (xn)n∈N un şir convergent ı̂n R deci putem spune c˘ a exist˘ a un x ∈ R cu proprietatea c˘ a pentru

ε = 1, (∃)n0 ∈ N, (∀)n ≥ n0astfel ı̂nc ̂at

|xn − x| < 1Atunci

|xn ≤ |xn − x| + |x| < 1 + |x| , (∀)n ≥ n0.

Fie M

def = max(|x0|, |x1|, |x2|, ..., |xn0|, 1 + |x|) > 0.

Atunci |xn| ≤ M , (∀)n ∈ N

deci şirul este m˘ arginit.Adic˘ a

(xn)n∈N ∈ M.

Observaţie 1.3.10. Proprietatea de a fi şir m˘ arginit este o condit ̧ie necesar˘ a pentru convergent ̧a şirului, dar nu şi suficient˘ a.

Observaţie 1.3.11. Exist˘ a şiruri m ̆arginite dar care nu sunt convergente.

Exemplul 1.3.2. Fie şirurile (xn) termenele generale următoare:

1. xn = (−1)n, |xn| ≤ 1 este un şir mărginit dar care nu are limită, deci este un şirdivergent.

11


12/61

2. (xn)n∈N = 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3,..., deci un şir periodic este şir mărginit, xn ∈[−1, 4], (∀)n ∈ N dar nu este convergent in R.

Propoziţia 1.3.12. Orice şir monoton şi m ̆arginit este convergent.

M# ∩M ⊂ C

Demonstrat ̧ie:

Cazul I. Consider˘ an şirul ca fiind monoton cresc˘ ator şi m ̆arginit, adic˘ a

(xn)n∈N ∈ M= ∩MFie şirul m ̆arginit ı̂n R

(xn)n∈N ∈ M

Din Principiul marginii superioare avem c˘ a exist˘ a

x = sup S not= sup xn , n ∈ N

Vom ar˘ ata c˘ a xn −→ x

Utiliz˘ am caracterizarea ı̂n limbaj ε a supremumului.Pentru

x = supn∈N

xn ⇒ (∀)ε > 0 , (∃)n0 ∈ N , xn − ε < xn0şi din

(xn)n∈N ∈ M= ⇒ xn0 ≤ xn, (∀)n ≥ n0rezult˘ a c˘ a

x − ε < xn0 ≥ xn ≥ x < x − ε, (∀)n ≤ n0Deci

|xn − x| ≤ ε, (∀)n ≤ n0rezultˆ and c˘ a

xn −→ x = supn∈N

xn ∈ R

Cazul II. Consider˘ an şirul ca fiind monoton descresc˘ ator şi m ̆arginit, adic˘ a

(xn)n∈N ∈ M= ∩M.

Fie şirul m ̆arginit ı̂n R(xn)n∈N ∈ M

Din Principiul marginii inferioare avem c˘ a exist˘ a

x = inf S not= inf xn, n ∈ N

Vom ar˘ ata c˘ a xn −→ x

12


13/61

Utiliz˘ am caracterizarea ı̂n limbaj ε a infimumului.Pentru

x = inf n∈N

xn ⇒ (∀)ε > 0, (∃)n0 ∈ N, xn + ε > xn0şi din

(xn)n∈N ∈ M= ⇒ xn ≤ xn0, (∀)n ≥ n0rezult˘ a c˘ a

x + ε > xn0 ≥ xn ≥ x > x − ε, (∀)n ≥ n0Deci

|xn − x| ≥ ε, (∀)n ≤ n0rezultˆ and c˘ a

xn −→ x = inf n∈N

xn ∈ R.

Exemplul 1.3.3. Fie şirul cu termenul general

xn = (−1)nn + 1

care este convergent(la x = 0) şi nu este monoton.

Remarca 1.3.13. Un şir monoton este convergent ı̂n R dac˘ a şi numai dac˘ a este con-vergent.

Propoziţia 1.3.14. (Operat ̧ii algebrice cu şiruri convergente)Fie (xn)n∈N, (yn)n∈N şiruri de numere reale convergente ı̂n R cu limita

limn→∞

xn = x şi limn→∞

yn = y

atunci avem:

1. lim(xn ± yn) = x + y.2. lim xn · yn = x · y.3. Dac˘ a yn

= 0, y

≥ 1 şi y

= 0 atunci

limn→∞

xnyn

=x

y

Demonstrat ̧ie:

1. Pentru orice ε > 0,exist˘ a nε ∈ N astfel ı̂nc ̂at

(∀)n ≥ nε

(∀)n ≥ nε ⇒

|xn − x| ≤ ε2

, (∀)n ≥ nε

|yn − y| ≤ ε2

, (∀)n ≥ nε

13


14/61

Rezult˘ a c˘ a

(∀)n ≥ max(ε, ε)

Deci avem |(xn ± yn) − (x ± y)| ≤ |xn − x| + |yn − y| ≤ εAtunci

limn→∞

(xn ± yn) = x ± y.

2. xn − yn = (xn − x) · (yn − y) + x · (yn − y) + y · (xn − x, (∀)n ≥ 1.

Dac˘ a

|xn − x| ≤ ε1(

∀)n

≥ nε

(∀)ε1şi

|yn − y| ≤ ε2(∀)n ≥ nε(∀)ε2 > 0

atunci exist˘ a ε > 0

astfel ı̂nc ̂at

ε1ε2 + x|ε2 + |y|ε1 < ε

şi lu ̂and nε ≥ max(nε, nε)

avem

|xnyn − xy| < ε, (∀)n ≥ nε ⇒ limn

→∞

xn · yn = x · y

3. Pentru aceast caz ne vom folosi de (2).Fie ε > 0 fixat şi cum yn −→ y ( yn = 0, y = 0) exist̆ a M > 0 astfel ı̂ncˆ at |yn| ≥ M, (∀)n ≥ 1 şi pentru n ≥ nε din teorema (1.3.2),avem: |yn − y| < εM|y|, (∀)n ≥ nε ≥ 1.

Deci vom avea c˘ a:

1

yn− 1

y

= |yn − y|

|y||yn| ≤ εM|y||y|M = ε, (∀)n ≥ nε ⇒ limx→∞

1

yn=

1

y

(2)=⇒

limn→∞

xnyn

= x

y

14


15/61

Observaţie 1.3.15. Dac˘ a (xn)n ∈ N este un şir convergent ı̂n R şi x ∈ R fixat, atunci au loc urm˘ atoarele relat ̧ii:

1. limn→∞

(xn + x) = x + limn→∞

xn

2. limn→∞xxn = x limn→∞ xn

3.

limn→∞

xnx

= 1

x limn→∞

xn

x = 0

4.

limn→∞

x

xn=

x

limn→∞

xn

xn = 0; n ≥ 1

Consecinţa 1.3.16. Dac˘ a limn→∞ xn = 0 şi (yn)n∈N este şir m ̆arginit ı̂n R

, atunci

limn→∞

xnyn = 0

Demonstrat ̧ie limn→∞

xn = 0

|yn| ≤ M; (∀)n ∈ N⇒

⇒ |xnyn| ≤ M|xn|M · εM

, (∀)n ≥ nε.

Consecinţa 1.3.17. Dac˘ a şirurile (xn)n∈N, (yn)n∈N sunt convergente şi au limitele x şi respectiv y şi dac ̆a α şi β sunt numere reale arbitrare, atunci şirul (αxn + βyn)n∈N este convergent şi

limn∈∞

(αxn + βyn) = αx + βy = α limn→∞

xn + β limn→∞

yn (1.3.1)

Demonstrat ̧ie:

Consider˘ am cazul α · β = 0. Din teorema (1.3.2) rezult˘ a c˘ a (∀)ε > 0, (∃)n1ε ∈ N şi n2ε ∈ N astfel ı̂nc ̂at |xn − x| < ε

2|α| , (∀)n > n1ε (1.3.2)

|yn − y| < ε2|β | , (∀)n > n2ε (1.3.3)

Vrem s˘ a evalu˘ am diferent ̧a |(αxn + βyn) − (αx + βy)|. Avem

|αxn + βyn| ≤ |α||xn − x| + |β ||yn − y|. (1.3.4)Din ecuat ̧iile (1.3.2) − (1.3.5) rezult˘ a c˘ a:

|(αxn + βyn) − (αx + βy)| < ε, n > n(ε) = max {n1ε, n2ε}. (1.3.5)Din ecuat ̧ia (1.3.5) şi teorema (1.3.2) rezult˘ a c˘ a are loc ecuat ̧ia (1.3.1).

15


16/61

Observaţie 1.3.18. Mult ̧imea şirurilor de numere reale cu limit˘ a satisface proprietatea de R-liniaritate, adic˘ a:

limn→∞

αxn = α limn→∞

xn, α ∈ R∗ − (omogenitate)

limn→∞ (xn + yn) = limn→∞xn + limn→∞ yn − (aditivitate) ⇒

⇒ limn→∞

(αxn+βyn)=α limn→∞

xn + β limn→∞

yn;

α, β ∈ R∗ avem proprietatea de R − liniaritate.

1.3.1 Limitele extreme ale unui şir de numere reale

Fie şirul (xn)n∈N ⊂ R căruia ı̂i asociem şirurile:γ 0 = inf {x0, x1,...}; γ 1 = inf {x1, x2,...}; ...; γ n = inf {xn, xn+1},...γ n = inf

k≥nxk

(1.3.6)

δ 0 = sup { x0, x1,...}; δ 1 = sup {x1, x2,...}; ...; δ n = sup {xn, xn+1,...}; ...δ n = supk≥n x

k (1.3.7)

Din modul de definire al şirurilor (γ n) şi (δ n) şi din definirea marginilor, au locurmătoarele inegalităţi:

γ 0 ≤ γ 1 ≤ ... ≤ γ k ≤ ... ≤ δ k ≤ ...δ 1 ≤ δ 0 (1.3.8)

care arată că (γ n) este un şir crescător şi (δ n) este un şir descrescător.Conform observaţieică orice şir monoton are limită ı̂n R, rezultă că există limită lim

n→∞γ n şi lim

n→∞δ n.

Dacă (xn) este un şir mărginit ı̂n R, atunci (γ n) este crescător şi majorat, deci există

limn→∞ γ n = sup {γ n|n ∈ N}; la fel, (δ n) este descrescător şi minorat, deci există limn→∞ δ n =inf {δ n|n ∈ N}. Vom considera cazul general al unui şir oarecare (xn)n∈N ⊂ R.

Definiţia 1.3.19. Fie (xn)n∈N ⊂ R şi (γ n)n∈N dat prin (1.3.6), (δ n)n∈N dat prin (1.3.7).

1. Se numeşte limita superioar˘ a a şirului (xn) elementul δ ∈ R definit prin:

δ = limn→∞

δ n = limn→∞

[supk

≥n

xk] = inf {δ n|n ∈ N} = inf n

[supk

≥n

xk] =: limn→∞

xn. (1.3.9)

16


17/61

2. Se numeşte limita inferioar˘ a a şirului (xn) elementul γ ∈ R definit prin:

γ = limn→∞

γ n = limn→∞

[inf k≥n

xk] = sup{γ n|n ∈ N} = supn

[inf k≥n

xk] =: lim xnn→∞

. (1.3.10)

Teorema 1.3.20. Fie (xn)n∈N ⊂ R un şir de numere reale pozitive, atunci avem:

lim n→∞

xn+1xn

≥ lim n→∞

n√

xn ≥ lim n→∞

n√

xn ≥ lim n→∞

xn+1xn

. (1.3.11)

Demonstrat ̧ie:

Este direct˘ a folosind definit ̧ia limitelor extreme ale lui (xn) şi relat ̧iile dintre ele.

Observaţie 1.3.21. 1. Orice şir de numere reale posed˘ a limit˘ a inferioar˘ a şi limit˘ a superioar˘ a, deşi nu orice şir de numere reale este şir cu limit˘ a ı̂n R.

2. Dac˘ a (xnk)n∈N ⊂ (xn) este un subşir, atunci avem:

lim xnn→∞

≤ lim xnkn→∞

≤ limn→∞

xnk ≤ limn→∞

xn. (1.3.12)

3. Limitele extreme ale lui (xn) sunt puncte limit˘ a ale şirului (adic˘ a exist˘ a un

subşir al s ̆au care are drept limit˘ a acest punct) şi am notat cu L((xn)n∈N) mult ̧imea punctelor limit˘ a ale lui (xn).

Exemplul 1.3.4. (a)

xn = (−1)n cu x2k = 1 şi x2k+1 = −1 ⇒

lim xnn→∞

= −1limn→∞

xn = +1

(b)

xn = sin nπ

2 =

0 n = 4k−1 n = 4k − 11 n = 4k + 1

⇒ lim xnn→∞

= −1, limn→∞

xn = 1.

(c)

xn =

nn+1

n par13n

impar⇒

lim xnn→∞

= 0 (lim x2k+1 = 0)

limn→∞

xn = 1 (lim x2k = 1).

17


18/61

1.3.2 Puncte limit˘ a ale unui şir numeric

Fie (xn)n∈N un şir de numere reale.

Definiţia 1.3.22. Elementul x0 ∈ R se numeşte punct limit˘ a al şirului (xn) dac˘ a orice vecin˘ atate a lui x0 cont ̧ine o infinitate de termeni ai şirului.Altfel spus, x0 ∈ R este punct limit˘ a al şirului (xn) dac˘ a orice vecin˘ atate V ∈ V(x0)cont ̧ine xn pentru o infinitate de valori ale lui n ∈ N

Observaţie 1.3.23. Dac˘ a un şir are un subşir constant cu termenii egali cu L atunci Leste punct limit˘ a al şirului respectiv.

Observaţie 1.3.24. Dac˘ a x0 este un punct limit˘ a al unui şir, atunci ı̂n afara oric˘ arei vecin˘ at˘ at ̧i a lui x0 pot exista o infinitate de termeni ai acelui şir.

De exemplu şirul ((−1)n−1) după observaţia (1.3.23) are pe 1 drept punct limită şiafara vecinătăţii (1

2, 32

) a lui 1 se află o infinitate de termeni ai şirului şi anume toţitermenii egali cu −1.

Observaţie 1.3.25. Un şir poate avea mai multe puncte limit˘ a.

De exemplu şirul ((

−1)n−1) are două puncte limită şi anume

−1 şi 1.

Observaţie 1.3.26. Exist˘ a şiruri care au o infinitate de puncte limit˘ a .

De exemplu şirul 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4..., n, ... are o infinitate de puncte limităşi anume orice număr natural este punct limită al acestui şir deoarece oricare ar fi numărulnatural p există un subşir constant ai cărui termeni sunt egali cu p. De asemesnea +∞este punct limită fiindcă orice vecinătate a sa conţine o infinitate de numere naturale.

Observaţie 1.3.27. Exist˘ a şiruri pentru care mult ̧imea punctelor limit̆ a este dreapta real˘ a ı̂ncheiat ̆a.

Într-adevăr, deoarece mulţimea numerelor raţionale poate fi pusă ı̂n corespondenţăbijectivă cu mulţimea numerelor naturale, adică este mulţime numărabilă, putând aşezatoate numerele raţionale ı̂ntr-un şir x1, x2, x3,...,xn,....Fie x0 un număr real oarecare şi (x0 − ε, x0 + ε) o vecinătate oarecare al lui x0. Oriceinterval conţine o infinitate de numere raţionale, deci vecinătatea (x0 − ε, x0 + ε) a luix0 conţine o infinitate de termeni ai şirului (xn). Cum x0 a fost ales arbitrar, rezultă căorice x0 ∈ R este punct limită al şirului (xn) De asemenea +∞ şi −∞ sunt puncte limităale şirului (xn).

18


19/61

Observaţie 1.3.28. Exist˘ a şiruri care nu au nici un punct limit˘ a finit .

De exemplu şirul numerelor naturale (n)n∈N care nu au nici un punct limită finit.

Teorema 1.3.29. Fie (xn)n∈N ⊂R

, atunci au loc afirmat ̧iile :

1. lim xn ≥ lim xn

2. Dac˘ a (xn) este şir m ̆arginit avem: (xn) este convergent ı̂n R dac˘ a şi numai dac˘ a

lim xn = x0 = lim xn = lim xn

3. lim xn este cel mai mic element din L((xn)n∈N), şi lim xn este cel mai mare element din L((xn)n∈N), adic˘ a (∀)α ∈ L((xn)n∈N) avem:

lim xn ≤ α ≤ lim xn. (1.3.13)

Demonstrat ̧ie:

1. Relat ¸ia rezult˘ a din definit ̧ie.

2. Presupunem c˘ a avem :lim xn = lim xn = x0

unde:

x0 = limn→∞

[inf k≥n

xk] = limn→∞

[supk≥n

xk] = lim γ n = lim δ n

Rezult˘ a c˘ a

(∀)ε > 0, (∃)n0 ∈ N, (∀)n ≥ n0 : x0 − ε < γ n ≤ δ n ≤ x0 + εAtunci

x0 − ε < xn < x0 + ε, (∀)n ≥ n0Deci

(∀)ε > 0 (∃) limn→∞

xn = x0

Presupunem c˘ a avem :limn

→∞xn = x0, (

∀)ε > 0

atunci (∃)n0 ∈ N : xn ∈ (x0 − ε, x0 + ε)

19


20/61

şi deci din definit ̧ia şirurilor

γ n, δ n ∈ (x0 − ε, x0 + ε), (∀)n ≥ n0.ˆ In aceste condit ̧ii :

lim γ n, lim δ n ∈ (x0 − ε, x0 + ε)Deci

lim γ n = lim δ n = x0 ⇒ lim xn = lim xn = x0rezultˆ and expresia (2)

3. Fie δ = lim xn = lim δ n = lim

n→∞[supk≥n

xk] = inf[supk≥n

xk]

şi (δ n) descresc˘ ator.Atunci

(∃)(xnk)k∈N ⊂ (xn)n∈Nastfel ı̂nc ̂at

limn→∞

xnk = δ

şi δ este cel mai mare element din L(xn).Dac˘ a presupunem

(∃)x0 ∈ L(xn), x0 > δ Atunci

(∃)(xnm)n,m∈N ⊂ (xn)n∈Nastfel ı̂nc ̂at

limn→∞

xnm = x0.

Fie ε > 0 : 0 < ε < x0 − δ

şi cum limn→∞

δ n = δ, (∃)n0 ∈ N : (∀)n ≥ n0 ⇒ δ n < x0 + εavem:

xn ≤ δ n < x0 + ε, (∀)n ≥ n0 fapt ce exclude existent ̧a subşirului (xnm)m ∈ N cu lim

n→∞xn = x0.

La fel se arat˘ a γ = lim xn

este cel mai mic element din L(xn).

Consecinţa 1.3.30. Un şir numeric are limit˘ a dac˘ a şi numai dac˘ a are un singur punct limit˘ a.

20


21/61

Observaţie 1.3.31. Limita real˘ a a unui şir de numere reale este cel mai mic punct limit˘ a al şirului respectiv, iar limita superioar˘ a este cel mai mare punct limit˘ a al şirului considerat.

Observaţie 1.3.32. Cˆ and mult ̧imea punctelor limit˘ a al unui şir de numere reale este nem˘ arginit˘ a inferior, prin definit ̧ie este −∞ şi c ̂and aceast˘ a mult ̧ime este m˘ arginit˘ a su-perior, limita superioar˘ a a şirului considerat este +∞.

Observaţie 1.3.33. Pentru a determina limita inferioar˘ a şi limita superioar˘ a ale unui şir de numere reale se determin˘ a toate subşirurile cu limit˘ a ale şirului. Dac˘ a exist˘ a un subşir cu limita +∞ atunci

lim xn = +∞Dac˘ a exist˘ a un subşir al şirului dat cu limita

−∞, atunci

lim xn = −∞

iar dac˘ a toate subşirurile sunt convergente şi P este mult ̧imea punctelor limit˘ a atunci din teorema (1.3.29) punctul (iii) deducem c˘ a cel mai mare element al lui P este limita superioar˘ a a şirului, iar cel mai mic element al mult ̧imii P este limita inferioar˘ a a şirului considerat.

21


22/61

1.4 Şiruri fundamentale

Definiţia 1.4.1. Şirul real (xn) se numeşte şir Cauchy sau şir funamental şi not˘ am

(xn) ∈ F dac˘ a pentru orice ε pozitiv se poate preciza un rang nε, num˘ ar natural, astfel ı̂ncˆ at, pentru orice n natural mai mare sau egal cu rangul ales nε şi orice num˘ ar natural p, are loc inegalitatea |(xn+ p − xn)| ≤ ε.Deci

(xn)n∈N ∈ F ⇔ (∀)ε > 0, (∃)nε ∈ N, n ≥ nε, (∀) p ∈ N ⇒ |xn+ p − xn| ≤ ε. (1.4.1)

Observaţie 1.4.2. Inegalitatea (1.4.1) este echivalent˘ a cu

d(xn+ p, xn)

≤ ε, (

∀)n

≥ nε, (

∀) p

∈N (1.4.2)

Observaţie 1.4.3. Pentru simplificarea scrierii putem considera

n + p = m, m ∈ N, n > m.

Propoziţia 1.4.4. Orice şir convergent este fundamental.

Demonstraţie:

Fie şirul (xn) convergent la x ∈ R. Atunci după teorema (1.3.2),(∀)ε ≥ 0, (∃)nε ∈ N astfel ı̂ncât să avem simultan:

|xn − x| < ε2

, (∀)n > nε. (1.4.3)

|xm − x| < ε2

, (∀)m > nε. (1.4.4)Pe de altă parte

|xm − xn| = |xm − x + x − xn| ≤ |xm − x| + |xn − x| (1.4.5)Din (1.4.3), (1.4.4), (1.4.5) rezultă că relaţia (1.4.1) este satisfăcută, deci (xn) este şirfundamental.

Propoziţia 1.4.5. Orice şir fundamental(Cauchy) este m˘ arginit.

Demonstrat ̧ie:

Fie (xn) şirul fundamental din definit ̧ia (1.4.1) avem c˘ a pentru ε = 1 exist˘ a n0 ∈ Nastfel ı̂nc ̂at

|xm

−xn

| < 1, (

∀)m > n0 , (

∀)n > n0 (1.4.6)

Se observ˘ a apoi c˘ a |xn| ≤ |xn − xm| + |xm| (1.4.7)

22


23/61

Luˆ and ı̂n (1.4.7) m = n0 + 1 şi t ̧inˆ and cont de (1.4.6) obt ̧inem

|xn| n0 (1.4.8)Fie acum

K = max {|x1|, |x2|, ..., |xn0|, |xn0 + 1|} (1.4.9)Atunci din (1.4.8), (1.4.9) obt ̧inem c˘ a

|xn| ≤ K , (∀)n ∈ Nceea ce arat˘ a c˘ a şirul (xn) este m˘ arginit.

Propoziţia 1.4.6. Dac˘ a un şir fundamental(Cauchy) (xn) are un subşir (xkn) conver-gent ı̂n R atunci şi (xn) este convergent ı̂n R.

Demonstrat ̧ie:

Presupunem c˘ a pentru şirul Cauchy (xn) exist˘ a un subşir

xkn −→ x ∈ R.Atunci pentru orice ε > 0 exist˘ a n0 ∈ N astfel ı̂nc ̂at

|xn

−x

| ≤ |xn

−xkn

|+

|xkn

−x

| <

ε

2

+ ε

2

= ε

şi deci xn −→ x ∈ R.

Teorema 1.4.7. Orice şir fundamental(Cauchy) este convergent.

Demonstrat ̧ie:

Dac˘ a (xn) este un şir fundamental atunci din propozit ̧ia (1.4.5), rezult˘ a c˘ a şirul este convergent. Din teorema (1.3.7) avem c˘ a şirul (xn) are un subşir (xkn) convergent la un

punct x ∈ R.Ar˘ at˘ am c˘ a

xn −→ xVom evalua diferent ̧a

xn − xDeci

|xn − x| ≤ |xn − xkn| + |xkn + x|Deci din xn −→ x şi teorema (1.3.2) privind faptul c˘ a orice şir convergent are limit˘ a,rezult˘ a c˘ a

(∀)ε > 0 (∃)n1ε ∈ N (kn ≤ n ⇒ kn ≤ n1ε) : |xkn − x| < ε

2

23


25/61

Capitolul 2

Teoreme Fundamentale

2.1 Teorema lui Newmann

Teorema 2.1.1. Orice şir de numere reale cont ̧ine un subşir monoton.

Demonstrat ̧ie:

Fie (xn) un şir de numere reale. S˘ a not˘ am cu

X def

=

{k

∈N : xk

≥ xn, (

∀)n

≤ k

}Cazul I . Dac˘ a X este infinit˘ a, atunci

(∃)k0 < k1 < ... < kn < ...

cu xk0 ≤ xk1 ≤ ... ≤ xkn ≤ xkn+1 ≤ ...

şi deci subşirul (xkn) este cresc˘ ator.

Cazul II . Dac˘ a X este finit˘ a, atunci pentru

k0def =

1, dac˘ a X = ∅1 + max X , dac˘ a X = ∅

obt ̧inem k0 /∈ X(c˘ aci k0 > max X ) şi din definit ̧ia lui X exist˘ a k1 > k0 cu xk1 < xk0.Atunci şi k1 /∈ X ,ceea ce implic˘ a existent ̧a unui k2 > k1 cu xk2 < xk1. Continuˆ and acest procedeu se obt ̧ine subşirul descresc˘ ator (xkn).

25


26/61

2.2 Teorema lui Cesaro

Teorema 2.2.1. Orice şir real m˘ arginit cont ̧ine un subşir convergent ı̂n R.

Demonstrat ̧ie:

Fie (xn) un şir m ̆arginit de numere reale. Din Teorema lui Neumann exist˘ a un subşir monoton (xkn). Atunci (xkn) este monoton şi m˘ arginit ceea ce din propozit ̧ia (1.3.12)conduce la concluzia c˘ a subşirul (xkn) este convergent ı̂n R.

2.3 Teorema lui Cauchy

Teorema 2.3.1. Un şir real este convergent ı̂n R dac˘ a şi numai dac˘ a el este şir fundamental.

Demonstrat ̧ie:

Necesitatea. Dac˘ a xn −→ x ∈ R atunci (∀)ε > 0, (∃)n0 ∈ N, (∀)m, n ≤ n0avem c˘ a

|xm − xn| ≥ |xm − x| + |x − xn| < ε

2 +

ε

2 = ε

ceea ce arat˘ a c˘ a (xn) este un şir funamental.

Suficienţa. Dac˘ a (xn) este şir fundamental atunci din propozit ¸ia (1.4.5) rezult˘ a c˘ a (xn) este m˘ arginit. Din Teorema lui Cesaro (2.2.1) ı̂n R exist˘ a un subşir

xkn −→ x ∈ R

Prin aplicarea propozit ̧iei (1.4.3) rezult˘ a c˘ a

xn −→ x.

26


27/61

2.4 Teorema lui Weierstrass

Teorema 2.4.1. Orice şir (xn) monoton cresc˘ ator, respectiv monoton descresc˘ ator de

numere reale, are limita egal˘ a cu marginea superioar˘ a respectiv marginea inferioar˘ a, a mult ̧imii valorilor şirului.

Demonstrat ̧ie:

Necesitatea. S˘ a presupunem c˘ a (xn) este un şir monoton cresc˘ ator şi m˘ arginit.Conform axiomei de existent ̧̆ a a marginii superioare mult ̧imea valorilor şirului admite un cel mai mic majorant pe care ı̂l vom nota cu m. Deoarece m este majorant al mut ̧imii {xn : n ∈ N} rezult˘ a

xn 0, (∃)xnε : m − ε < xnε ≤ m

Fiindc˘ a şirul (xn) este cresc˘ ator,

xn ≥ xnε, (∀)n ≥ nεdeci

m − ε < xnε < xn


28/61

Dar sup {yn : n ∈ N} = sup {−xn : n ∈ N} = − sup {xn : n ∈ N}

şi cum yn = −x =⇒ xn −→ x = inf {xn : n ∈ N}

ˆ In mod asem˘ an˘ ator, se arat˘ a c˘ a dac˘ a (xn) este monoton descresc˘ ator şi m ̆arginit inferior limita şirului (xn) este −∞ .

2.5 Teoremele lui Stolz-Cesaro

ˆIn R

se poate defini şi operaţia de ı̂mpărţire , dar ca şi ı̂n cazul adunării şi ı̂nmulţiriiaceastă operaţie nu este peste tot definită.Astfel nu sunt definite operaţiile

0

0, ∞∞ ,

∞−∞ ,

∞∞ ,

−∞−∞ ,

Se vede că dacă xn −→ x, yn −→ y şi xy

are sens ı̂n R atunci

xnyn

−→ xy

adică, limita câtului este câtul limitelor, cu condiţia ca operaţiile să aibă sens. Posibilităţide eliminare a nedeterminatelor0

0,

∞∞

sunt oferite de Teoremele lui Stolz − Cesaro care vor fi demonstrate ı̂n acestă secţiune,a acestui capitol.

Teorema 2.5.1. (Cazul 0

0). Fie (xn) şi (yn) dou˘ a şiruri reale cu propriet˘ at ̧ile:

(i) yn = 0;

(ii) xn −→ 0, yn −→ 0;(iii) (yn) este srict monoton;

(iv) şirul vn = xn+1 − xnyn+1 − yn este convergent ı̂n R atunci şi şirul wn =

xnyn

este convergent ı̂n R cu limn→∞

wn = limn→∞

vn,

adic˘ a are loc egalitatea

limn→∞xn

yn = limn→∞xn+1

−xn

yn+1 − ynFormula lui Stolz-Cesaro

28


29/61

Demonstrat ̧ie:

Presupunem c˘ a şirul (yn) este strict descresc˘ ator, cazul ı̂n care (yn) este strict cresc˘ ator rezultˆ and din precedentul caz aplicat pentru (−yn).S˘ a not˘ am cu v = lim

n

→∞

vn.

Cazul I: v ∈ R. Din (iv) rezult˘ a c˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a n0 ∈ N ı̂nc ̂at

v − ε2

< xn+1 − xnyn+1 − yn n0.

De aici rezult˘ a c˘ a

(v + ε

2)(yn+1 − yn) < xn+1 − xn n0.

Fixˆ and (arbitrar) pe n > n0 şi scriind aceste inegalit˘ at ̧i pentru n, n + 1, n + 2, ...n + p −1 ( p ≥ 1), prin ı̂nsumare obt ̧inem

(v + ε

2)(yn+ p − yn) < xn+ p − xn < (v − ε

2)(yn+ p − yn).

Pentru p −→ ∞ rezult˘ a

v − ε < v − ε2 ≤ wn = xn

yn≤ v + ε

2 < v + ε, (∀)n > n0

deci wn −→ v

Cazul II: v = ∞. Analog din (iv) rezult˘ a c˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a n0 ∈ Nı̂nc ̂at

wn = xn+1 − xnyn+1 − yn > 2ε (∀)n ≥ n0.

Atunci pentru orice m > n > n0 avem

xm − xn ε, (∀)n ≥ n0,

ceea ce arat˘ a c˘ a wn −→ v = ∞.

Cazul III: v = −∞. Proced ̂and la fel ca ı̂n cazul precedent din (iv) rezult˘ a c˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a n0 ∈ N ı̂nc ̂at pentru orice m > n ≥ n0 avem

xm − xn > −2ε(ym − yn).

29


30/61

De aici, pentru m → ∞ rezult˘ a c˘ a

wn = xnyn

0;

(ii) (yn) este strict cresc˘ ator şi convergent la y = ∞;

(iii) şirul wn =

xn+1

−xn

yn+1 − yn este convergent ı̂n R

şi

limn→∞

wn = limn→∞

vn

(adic˘ a şi ı̂n acest caz are loc formula Stolz-Cesaro).

Demonstrat ̧ie:

Fie v = limn→∞

vn.

Proced ̆am la fel ca ı̂n demonstrat ̧ia teoremei precedente.Vom considera doar cazul v ∈ R, celelalte (v = ±∞) rezolvˆ andu-se similar.Din (iv) rezult˘ a c˘ a pentru orice ε > 0 exist˘ a n0 ∈ N ı̂nc ̂at

v − ε2

(yn+1 − yn) < xn+1 − xn <

v +

ε

2

(yn+1 − yn).

pentru orice n ≥ n0.

Scriind aceste inegalit̆ at ̧i pentru n, n + 1,...,n + p − 1 (unde n > n0 şi p ≥ 1) şi ı̂nsum ̂and obt ̧inem

v − ε2

(yn+ p − yn) < xn+ p − xn <

v +

ε

2

(yn+ p − yn).

Din aceste fapte şi din (ii) pentru p → ∞ se obt ̧ine

v − ε < wn = xnyn

< v + ε

pentru orice n ≥ n0.ˆ In final, rezult˘ a wn → v.

30


31/61

Capitolul 3

Şiruri Remarcabile

3.1 Şirurile lui Euler

• en =

1 + 1

n

n

, n ≥ 1

Mărginirea. Vom arăta că acest şir este crescător şi mărginit superior, adicăconvergent.Utilizând binomul lui Newton rezultă:

1 + 1

n

n= 1 +

1

1! +

1

2!

1 − 1

n

+ ... +

1

k!

1 − 1

n

1 − 2

n

...

...

1 − k − 1

n

+ ... +

1

n!

1 − 1

n

...

1 − n − 1

n

≤ 1 + 1

1! + ... +

1

k! + ... +

1

n!

Dar (∀)k ∈ N∗ avem1

k! ≥ 1

2k−1

şi deci, oricare ar fi n:

1 +

1

n

n≤ 1 + 1 + 1

2 + ... +

1

2k−1 + ... +

1

2n−1 = 1 +

1 −

1

2

n1 − 1

2

≤ 3.

Aşadar şirul (en) este majorat de 3.

Monotonia . Conform formulei lui Newton avem:

x0 = 1 ≤ xn = 1 + 11!

+ 1

2!

1 − 1

n

+ ... +

1

k!

1 − 1

n

...

1 − k − 1

n

+

31


32/61

+... + 1

n!

1 − 1

n

...

1 − n − 1

n

≤ 1 + 1

1! +

1

2!

1 − 1

n + 1

+

+... + 1

k!

1 − 1

n + 1

...

1 − k − 1

n + 1

+ ... +

1

n!

1 − 1

n + 1

...

...

1 − n − 1

n + 1

+

1

(n + 1)!

1

n + 1

...

1 − n

n + 1

= xn+1, (∀)n ≥ 1,

ceea ce arată că şirul (en) este strict crescător. Cum el este mărginit superior sededuce că este convergent. Limita acestui şir joacă un rol important ı̂n analiza matema-

tică. Această limită se notează cu litera e.Aşadar

lim

1 +

1

n

n= e

Numărul real e este un număr iraţional, având valoarea aproximativă e = 2.71828...

Aşadar en e, ceea ce arată că

1 + 1

n

n≤ e, (∀)n.

• en

=

1 +

1

n

n+1, n ≥ 1

Şirul (en) este un şir strict descrescător, mărginit inferior(de exemplu de 1) şi deciconvergent.

• en

= 1 + 1

1! +

1

2! + ... +

1

n!, n ≥ 1

Este imediat că en este unn şir crescător. De asemenea:

en = 1 + C 1n

1

n + C 2n

1

n2 + ... + C nn

1

nn = 1 + 1

1! +1 −

1

n2! +

32


33/61

+

1 − 1

n

1 − 2

n

3!

+ ... +

1 − 1

n

1 − 2

n

...

1 − n − 1

n

n!

<

< 1 + 1

1! +

1

2! + ... +

1

n! = e

n

Rezultă că e ≤ limn→∞

en

.

Fie m ∈ N şi n > m. Avem:

en > 1 +

1

1! + 1 − 1

n2! + ... + 1 − 1

n1 − 2

n...

1 − m − 1

n m! .Rezultă că

e = limn→∞

en ≥ en

şi decilimn→∞

en ≤ e

Rezultă că

limn→∞ e

n = e.

• γ n = 1 + 12

+ 1

3 + ... +

1

n − ln n

Folosim inegalităţile: 1 +

1

n

n+1> e >

1 +

1

n

nLogaritmând rezultă:

(n + 1) ln

n + 1

n

> ln e > n ln

n + 1

n

Deci avem că

n + 1 > 1ln

n + 1

n

> n ⇔ n + 1 > 1ln

1 +

1

n

> n33


34/61

de unde1

n + 1


35/61

Din (1)şi (2) precum şi din teorema lui Weierstrass că orice şir descrescător şi mărginitinferior este convergent rezultă că γ n este convergent ı̂n R

limn→∞

γ n ≤ 2(1 − ln2)

Limita sa este constanta lui Euler,γ ≈ 0.5772.

35


36/61

3.2 Şirul lui Gherm˘ anescu

• Gn = (n + 1)en+1

−nen

Fie şirul en =

1 + 1

n

n, (∀)n ∈ N. Ştim că lim

n→∞en = e şi vom arăta că

limn→∞

Gn = e, (∀)n ∈ N∗

Dar

Gn = en + (n + 1)(en+1 − en) = en + (n + 1)en+11 − enen+1.Avem că en+1 − en > 0, iar din inegalitatea lui Bernoulli rezultă că

enen+1

=

(n + 1)2

n(n + 2)

n·

n + 1

n + 2

=

1 +

1

n(n + 2)n

· n + 1

n + 2 >

>

1 + 1

n + 2

· n + 1

n + 2 =

(n + 2)2 − 1(n + 2)2

= 1 − 1(n + 2)2

.

Prin urmare

0 < 1 − enen+1

< 1

(n + 2)2,

de unde

0 ≤ limn→∞(n + 1)en+11 − enen + 1 ≤ limn→∞ n + 1(n + 2)2 · en+1 = 0Deci, ı̂n concluzie

limn→∞

Gn = limn→∞

en + (n + 1)(en+1 − en)

= lim

n→∞en = e

36


37/61

3.3 Şirul lui Lalescu

• Ln =

n+1 (n + 1)! − n (n)!, n ∈ N∗

Demonstraţia lui Marcel Ţena, 1978.Punem

an =n√

n!

n =

n

n!

nn = n

√ un, unde un =

n!

nn > 0

Avem că

un+1n

= (n + 1)!(n + 1)n+1

· nnn!

= n

n + 1

n= 1

(1 + 1n

)n

Din

limn→∞

un+1un

= limn→∞

1

(1 + 1n

)n =

1

e.

rezultă că limită

limn→∞

an = limn→∞

n√

un = 1

e.

În continuare avem că

n+1

(n + 1)!n√

n!=

(n + 1)an+1nan

= n + 1

n · an+1

an

şi că n+1

(n + 1)!n√

n!

n=

n+1

(n + 1)!n√

n!

n+1 nn+1

=

(n + 1)!

(n!)n+1n

nn+1

=

(n + 1)!

n! n√

n! n

n+1

= n + 1n√

n! n

n+1

= n

n + 1 · 1

an n

n+1

37


38/61

Rezultă că

limn→∞

bnn√

n!= lim

n→∞ n+1

(n + 1)!n√

n!− 1 = limn→∞

n + 1

n · an+1

an− 1 = 0

şi că

limn→∞

n+1

(n + 1)!n√

n!

n= lim

n→∞

n + 1

n · 1

an

nn+1

= e

Prin urmare

e = limn→∞

n+1

(n + 1)!n√

n!

n= lim

n→∞

1 +

bnn√

n!

n√ n!bn

nn√ n!

bn= e

e limn→∞

bn,

de unde

limn

→∞

bn = 1

e

38


39/61

3.4 Şirul lui Fibonacci

• f n+2 = f n+1 + f n , f 0 = 0, f 1 = 1

Şirul este definit ı̂n mod recurent.Aşadar termenii şirului sunt:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,...

numit şirul lui Fibonacci. Fiecare termen al şirului ı̂ncepând cu al treilea, este egalcu suma precedenţilor doi termeni.Primii doi termerni se consideră a fi daţi

f 0 = 0, f 1 = 1

Dorim determinarea temenului general f n al şirului care verifică relaţia de recurenţă şicondiţiile iniţiale date. Presupunem că şirul f n are forma

f n = λn,

unde λ este un parametru real. Substituim f n ı̂n relaţia de recurenţă, şi obţinem

λn+2 = λn+1 + λn

adică echivalent

λn(λ2 − λ − 1) = 0

Cum f n = 0 (∀)n ∈ N∗, ultima egalitate devine

λ2 − λ − 1 = 0

care reprezintă o ecuaţie pătratică ı̂n raport cu parametrul λ. De unde deducem,rezolvând ecuaţia pentru a-i afla rădăcinile că

λ1 = 1 +

√ 5

2 ,

λ2 = 1 − √ 5

2 .

Aşadar, şirurile

f n =

1 +

√ 5

2

n, f n =

1 − √ 5

2

nverifică relaţia de recurenţă dată iniţial. Rezultă deci că avem o infinitate de soluţii cu

39


40/61

şiruri de forma

f n = c1

1 +

√ 5

2

n+ c2

1 − √ 5

2

n

unde c1 şi c2 sunt constante reale fixate.Pentru f 0 = 0 şi f 1 = 1 obţinem

c1 + c2 = 0

c11 +

√ 5

2 + c2

1 − √ 52

= 1

echvalent cu

c1 =

−c2

−c21 +√

5

2 + c2

1 − √ 52

= 1

de unde avem

c1 = −c2

c21 − √ 5 − 1 − √ 5

2 = 1

rezultând soluţiile

c1 = 1√

5

c2 = − 1√ 5

Obţinându-se astfel următoarea formulă

f n =

1

√ 51 +√

5

2 n

− 1

√ 51 −√

5

2 n

cunoscută ca formula lui Binet.Pentu a demonstra convergenţa acestui şir vom ı̂mpărţi relaţia de recurenţă iniţială cuf n+1

f n+2 = f n+1 + f n | : f n+1

obţinând un nou şir

f n+2f n+1

= 1 + f nf n+1

40


41/61

Notăm

f n+1f n

= rn, (rn)n∈N∗

Rezultă

f n+2f n+1

= rn+1

Deci

rn+1 = 1 + 1

rn, rn = 0

Presupunem că rn −→ L când n −→ ∞. Trecem la limită

L = limn→∞

rn+1 = limn→∞

1 +

1

rn

= 1 +

1

L

Deci

L = 1 + 1

L

echivalent cu

L2 = L + 1

adică

L2 − L − 1 = 0

rezultând

L =

1

±

√ 5

2

Deci L este limita şirului rn fapt pentru care vom calcula limita acestuia, folosindu-nede formula lui Binet

limn→∞

rn = limn→∞

f n+1f n

= limn→∞

1√ 5

1 +

√ 5

2

n+1− 1√

5

1 − √ 5

2

n+11

√ 51 +

√ 5

2 n

− 1

√ 51 − √ 5

2 n =

41


42/61

= limn→∞

(1 +√

5)n+1 − (1 − √ 5)n+1(1 +

√ 5)n

−(1

−√

5)n·

√ 5 · 2n√

5

·2n+1

=

= limn→∞

(1 +√

5)n+1 − (1 − √ 5)n+1(1 +

√ 5)n − (1 − √ 5)n ·

1

2 =

Împărţim la numărător şi numitor cu (1 +√

5)n rezultând

limn→∞

1

2 ·

(1 +√

5)n+1

(1 + √ 5)n − (1

−√

5)n+1

(1 + √ 5)n(1 +

√ 5)n

(1 +√

5)n− (1 −

√ 5)n

(1 +√

5)n

=

= limn→∞

1

2 ·

(1 +√

5) − (1 − √ 5) ·

1 − √ 51 +

√ 5

n1

−1 − √ 51 + √ 5

n ;

Dar

limn→∞

1 − √ 51 +

√ 5

n= 0

deoarece

1 − √ 51 +

√ 5

<

1

2

Deci

limn→∞

rn = 1

2 · 1 +

√ 5 − 0

1 − 0 = 1 +

√ 5

2

În concluzie şirul este convergent la

L = 1 +

√ 5

2

42


43/61

Capitolul 4

Produse infinite

4.1 Definit ̧ia produsului infinit

Produsul infinit este analogul seriei infinite cu precizarea că operaţia de adunare esteı̂nlocuită cu cea de ı̂nmulţire.

Definiţia 4.1.1. Fie (an)n≥1 un şir de numere reale şi pn =n

n=0

ak (n ≥ 1). Pere-chea ((an)n≥1, ( pn)n≥1) se numeşte produs infinit de termen general a n şi se noteaz˘ a cu

n≥1an,

nan,

∞

n=1an sau a1 · a2 · ... · an · ....

Elementele şirului (an)n≥1 se numesc termenii produsului, iar elementele şirului ( pn)n≥1se numesc produsele part ̧iale ale produsului dat; elementul (an)n≥1 (respectiv ( pn)n≥1) se numeşte termenul (produsul) de rang n .Fix˘ am n ≥ 1; produsul infinit asociat şirului (ak)k≥n+1 se noteaz˘ a cu

k≥n+1

ak.

Dac˘ a şirul ( pn)≥1 este convergent c˘ atre un element nenul (respectiv ( pn)n≥1 convergent la x ∈ R∗), vom spune c˘ a produsul infinit

n≥1an este convergent şi vom scrie x =

n≥1

an.

Un produs infinit care nu este convergent se numeşte divergent .

Observaţie 4.1.2. Rolul elementului 0 din cadrul seriilor convergente ı̂l ocup˘ a, ı̂n cadrul

produselor infinite, elementul 1.

Observaţie 4.1.3.

1◦. Un produs infinit nu-şi schimb˘ a natura şi nici,nici valoarea dac˘ a d˘ am la o parte tot ̧i termenii (sau doar o parte dintre ei) egali cu 1.

2◦. Fie an ∈ R∗, (∀)n ≥ 1. Atunci produsul infinit n≥1

an este convergent dac˘ a şi numai

dac˘ a produsul infinit n≥1

(a−1n ) este convergent.

ˆ In acest caz avem : n≥1 (a−1n ) = (n≥1 an)−1.

43


44/61

4.2 Criterii de convergent ̧̆ a ale produselor infinite

Definiţia 4.2.1. Un produs infint n≥1 an se numeşte absolut convergent, dac˘ a pro-dusul infint

n≥1

(1 + |an − 1|) este convergent i.e. dac˘ a produsul infinit n≥1

(1 + |αn|) este convergent, unde an = 1 + αn, (∀)n ≥ 1.Un produs infinit care este convergent şi nu este absolut convergent se numeşte semiconvergent.

Exemplul 4.2.1.

1. n≥1

(1 + n) este divergent şi egal cu +∞.Într-adevăr

pn :=n

k=1

(1 + k) > 1 + n,

decilimn→∞

pn = +∞.

2. n≥2

1 + (−1)nn este convergent şi egal cu 1.Fie

pn−1 :=n

k=1

1 +

(−1)kk

(n ≥ 2).

Atunci

pn−1 =

1 + 1

2

1 − 1

3

1 +

1

4

...

1 +

(−1)nn

=

= 3

2 · 2

3 · 5

4 · 4

5 · ... · n + (−1)

n

n =

1 +

1

n, n, par

1, n impar

deci

limn→∞

pn−1 = 1 ⇔

n≥1

1 + (−1)n

n

= 1.

44


45/61

3. n≥1

(1 + 1

n) este divergent şi egal cu +∞.

Într-adevăr avem:

pn :=

nk=1

(1 + 1

k ) ≥ 1 +n

k=1

1

k → ∞

4. n≥1

n(n + 2)

(n + 1)2 este convergent şi egal cu

1

2.

Într-adevăr avem :

pn =n

k=1k(k + 2)

(k + 1)2 =

(1 · 2 · ... · n)(2 · 3 · ...n(n + 1)(n + 2))(2 · 3 · ... · n(n + 1)2) =

n + 2

2n + 2 −→ 1

2.

Propoziţia 4.2.2. Fie n≥1

an un produs infinit de numere reale. Atunci :

1◦ Dac˘ a n≥1

an este convergent, avem an = 0, (∀)n ≥ 1 şi limn→∞

an = 1.

2◦ Dac˘ a an = 0, (∀)n ≥ 1, avem n≥1

an este convergent ⇔ (∃)k ≥ 1 astfel ı̂nc ̂at n≥k

an

este convergent ⇔ (∀)k ≥ 1, n≥k

an este convergent.

Demonstrat ̧ie:

1◦ Dac˘ a (∃)k ≥ 1 cu ak = 0, atunci pn :=n

i=1

ai = 0, (∀)n ≥ k, deci pn → 0, absurd.R˘ amˆ ane c˘ a an = 0, (∀)n ≥ 1.Fie mai departe pn :=

n≥1

an; atunci

an = pn+1

pn→ p

p = 1.

2◦ (∀)n ≥ k ≥ 1, avem pn = pk · q n−k, unde q m :=n

i=1

ak+i. Atunci n≥1

este convergent

⇔ ( pn)n≥1 este convergent c˘ atre un element nenul ⇔ m≥0ak+m este convergent ⇔ n≥k

an

este convergent.

Corolarul 4.2.3. Fie n≥1

an un produs infinit convergent de numere reale.

Atunci

1◦ 0 < inf n≥1

|an| ≤ supn≥1

|an| < +∞;

2◦ 0 < inf n≤1

| pn| ≤ supn≥1

| pn| < +∞;

Demonstrat ̧ie:

1◦ Din (P.4.2.2) rezult˘ a c˘ a (an)n≥1 este convergent şi are limita nenul˘ a. De aici rezult˘ a imediat inegalit˘ at ̧ile din enunt ̧.

45


46/61

2◦ Rat ¸ionamentul este acelaşi cu cel f˘ acut anterior.

Corolarul 4.2.4. Fie

n≥1an un produs infinit convergent de numere reale. Atunci

(∃)n0 ≥ 1 şi α ∈R∗+ astfel ı̂nc ̂at an ≥ α şi pn ≥ α, (∀)n ≥ n0.

Corolarul 4.2.5. Fie n≥1

(1 + an) un produs infinit convergent cu an∈ R, (∀)n ≥ 1.Atunci an = −1, (∀)n ≥ 1 şi lim

n→∞an = 0.

Observaţie 4.2.6. Din (P.4.2.2) se observ˘ a c˘ a pentru studiul produselor infinite con-vergente de numere reale este suficient s˘ a consider˘ am produse infinite de forma

n≥1

an cu

an ≥

0, (

∀)n

≥ 1 sau de forma n≥1 (1 + an) cu an > −1, (∀)n ≥ 1.

Corolarul 4.2.7. Orice produs absolut convergent cu termeni nenuli , este convergent.

Teorema 4.2.8. Fie (an)n≥1 un şir de numere reale nenule.

Atunci produsul infinit n≥1

an este convergent ⇔ (∀)ε > 0 (∃)nε ≥ 1 astfel ı̂nc ̂at

n+k

i=n+1 ai − 1 < ε, (∀)n ≥ nε şi k ≥ 1 i.e. limn,k→∞n+k

i=n+1 ai = 1Demonstrat ̧ie:

(⇒) Presupunem n≥1

an convergent; Fie p = n≥1

an, pn :=n

i=1

ai (n ≥ 1).Atunci prin definit ̧ie avem p = 1 şi pn → p, deci din (P.4.2.2) (∃)α ≥ 0 cu | pn| ≥α, (∀)n ≥ 1. Fix˘ am ε > 0; şirul ( pn)n ≥ 1 fiind convergent , este şir Cauchy, deci (∃)nε ≥ 1 astfel ı̂nc ̂at

| pn+k

− pn

| < αε, (

∀)n

≥ nε

∧ k

≥ 1

şi deci n+ki=n+1

ai − 1 =

pn+k pn − 1


47/61

şi deci α := sup

n≥1| pn| ≤ max{| p1|, p2|, ..., | pn|, 1 + | pN |} < +∞.

Fie acum ε > 0 fixat arbitrar. Conform (1) (∃)nε ≥ 1 astfel ı̂nc ̂at pn+k pN − 1 ≥ εα−1, (∀)n ≥ nε ∧ k ≥ 1,

deci | pn+k − pn| < εα−1| pn| ≥ ε, (∀)n ≥ nε ∧ k ≥ 1.

Am obt ̧inut c˘ a ( pn)n ≥ 1 este şir Cauchy, deci convergent.

S˘ a ar˘ at˘ am c˘ a pn := n≥1

an = 0; vom presupune p = 0. Conform (1) (∃) N ≥ 1 astfel ı̂nc ̂at

pN +k pN − 1 < 12 , (∀)k ≥ 1.Trec ̂and la limit˘ a, k −→ ∞, obt ̧inem |0 − 1| ≥ 1

2, absurd.

R˘ amˆ ane p = 0, prin urmare n≥1

an este convegent.

Teorema 4.2.9. Fie (an)n≥1 unn şir de numere strict pozitive . Atunci n≥1

an este

convergent ⇔ seria n≥1

ln an este convergent˘ a.

Demonstrat ̧ie:

S˘ a not˘ am cu pn (respectiv sn) produsul part ̧ial (suma part ̧ial˘ a) de ordinul n a produ-sului infint (seriei) din enunt ̧.Deoarece x = elnx, (∀)x ∈ R∗+, avem:

pn =n

i=1

ai = eln

n

i=1

ai= e

n

i=1

lnai= esn , (∀)n ≥ 1,

deci pn = esn şi sn = ln pn, (∀)n ≥ 1.

Atunci seria

n≥1ln an este convergent˘ a ⇔ şirul ( pn)n≥1 este convergent şi are limita nenul˘ a

⇔ produsul infinit este convergent.

Teorema 4.2.10. Fie (an)n≥1 ⊆ R\{1} astfel ı̂nc ̂at n≥1

ln an < +∞. Atunci produsul infinit

n≥1

(1 + an) este convergent ⇔ seria n≥1

an este convergent˘ a.

Demonstrat ̧ie:

Pentru c˘ a limx→0

ln(1 + x) − xx2

= −12

, deci (∀)[a, b] ⊆ (−1, ∞), (∃)M > 0 astfel ı̂nc ̂at

| ln(1 + x) − x| ≤ M x2, (∀)x ∈ [a, b] (1)

47


48/61

Dac˘ a produsul infinit n≥1

(1 + an) este convergent sau seria n≥1

an este convergent˘ a, putem

presupune c˘ a exist˘ a

−1 < a < b 0 astfel ı̂n ̂at

| ln(1 + an) − an| ≤ M a2n (∀)n ≤ 1,

deci n≥1

| ln(1 + an) − an| ≤n≥1

a2n


49/61

Corolarul 4.2.12. Produsele infinite n≥1

1 +

1

nα

şi n≥1

1 − 1

nα

(α ∈ R) sunt

convergente pentru α > 1 şi divergente pentu α ≤ 1.

Corolarul 4.2.13. Produsul infinit n≥1

(1+an) este absolut convergent ⇔ seria n≥1

an este

absolut convergent˘ a.

49


50/61

Capitolul 5

Probleme cu şiruri

Exerciţiul 5.0.1. Să se arate că dacă |a| < 1 atunci:

limn→∞nan = 0

Rezolvare:

1◦ Cazul a = 0 - banal;

2◦ Presupunem a = 0. Deoarece |a| < 1 → (∃)b ∈ R∗+ astfel ı̂ncât :

a = 1

1 + b

deci

|an| = |a|n = 1(1 + b)n

= 1

1 + C 1nb + C 2nb

2 + ... + bn <

1

C 2nb2

=

= 1

b2 · n!2!(n − 2)!

= 2

b2 · (n − 2)!

n! =

2

b2 · 1

n(n − 1) , (∀)n ∈ N \ (0, 1).

.

Rezultă deci că

n|a|n < 2b2

· 1n − 1 , (∀)n ∈ N \ (0, 1).

Fie ε > 0, atunci

(∃)nε ∈ N astfel ı̂ncât:

2b2(n − 1) < ε, (∀)n > n

ε → 2b2(n − 1) = ε ⇔ b

2nε − b2ε = 2 ⇔ n = 2 + b2

εb2ε

= 2b2ε

+ 1

50


51/61

Deci

(∃) nε = 2

b2 + ε + 1

astfel ı̂nc ̂at n|a|n < ε, (∀)n > nε ⇔

⇔ limn→∞

nan = 0

Exerciţiul 5.0.2. Fie şirul (an)n≥1 astfel ı̂ncât:

an = a + n + 1 −n

k=1k4 + k2 + 1

k4 + k

a) Să se arate că acest şir este convergent ;b) Să se găsească rangul n de la care avem

|an − a| ≤ 0.01

Rezolvare:

a)

k4 + k2 + 1k4 + k

= k4 + k + k2 − k + 1

k(k3 + 1) =

k4 + k + k2 − k + 1k(k + 1)(k2 − k + 1) =

= k4 + k

k4 + k +

k2 − k + 1k(k + 1)(k2 − k + 1) = 1 +

1

k(k + 1) = 1 +

1

k − 1

k + 1

deci

n

k=1k4 + k2 + 1

k

4

+ k

=n

k=1 1 + 1

k −

1

k + 1=

= 1 + 1

1 − 1

2 + 1 +

1

2 − 11

3 + ... + 1 +

1

n − 1 − 1

n + 1 +

1

n − 1

n + 1 =

1 + 1 + 1 + ... + 1 n

+ 1

n + 1 = 1 + n − 1

n + 1

deci

nk=1

k4 + k2 + 1

k4 + k = 1 + n − 1

n + 1

51


52/61

Rezultă că

an = a + n − 1 −n

k=1k4 + k2 + 1

k4 + k = a + n + 1 − (1 + n − 1

n + 1) ⇔

⇔ an = a + n + 1 − 1 − n + 1n + 1

⇔ an = a + 1n + 1

deci

limn→∞

an = a ⇒ şirul este convergent .

b) a

−n = a +

1

n + 1 −a =

1

n + 1deci

|an − a| ≤ 0.01 ⇔ 1n + 1

≤ 1100

⇔ n + 1 ≥ 100 ⇔ n ≥ 99 ⇒ nε = 99

deci

a99 = a + 1

100

Exerciţiul 5.0.3. Fie şirul (un)n ≥ 1 , unde:

un = 1√

1+

1√ 2

+ ... + 1√

n − 2√ n, (∀)n ≥ 1

a) Să se arate că şirul un

∈ (

−2,

−1], (

∀)n

≥ 1

b) Să se arate că şirul (un)n ≥ 1 este convergent;

c) Fie k ∈ N∗ \ {1} şi (vn)n≥1 unde :

vn = 1√

n + 1+

1√ n + 2

+ ... + 1√

n + k− a√ n.

Să se determine a ∈ R astfel ı̂ncât şirul (vn)n≥1 să fie convergent şi să se calculezelimn→∞

√ n.

Rezolvare:

52


53/61

un+1 − un = 1√ 1

+ ... + 1√

n +

1√ n + 1

− 2√ n + 1 − 11 − ... − 1√

n + 2√

n =

1√ n + 1

+ 2√

n − 2√ n + 1 = 1 + 2 n(n + 1) − 2(n + 1)√

n + 1=

= 2

n(n + 1) − 2n − 1√ n + 1

;

dar

2

n(n + 1) − 2n − n√ n + 1

= 2√

n − 2 n + 1√ n + 1

= 2

√ n −

(n + 1)3

n + 1

√ n −

(n + 1)3

n + 1


54/61

rezultă

√ n + 1 − 1 < 1

21 +

1√ 2

+ 1√

3+ ... +

1√ n

⇔

⇔ 2√ n + 1 − 2 < 1 + 1√ 2

+ 1√

3+ ... +

1√ n ⇔

−2 < 1 + 1√ 2

+ 1√

3+ ... +

1√ n − 2√ n + 1 < 1 + 1√

2+

1√ 3

+ ... + 1√

n − 2√ n

un

(2)

Din (1) şi (2) ⇒ un ∈ (−2, −1] (∀)n ∈ N∗.

b) Am demonstrat la punctul a) că şirul este monoton şi mărginit, deci convergent.

c) Din faptul că

un+k = 1√

1+

1√ 2

+ ... + 1√

n un+2

√ n

+ 1√ n + 1

+ ... + 1√

n + k− 2√ n + k ⇒

u − n + k = un + 1√ n + 1

+ 1√

n + 2+

1√ n + k

vn+a√ n

−2√ n + k + 2√ n ⇔

un+k − un = vn − 2√

n + k + 2√

n + a√

n, (∀)n ∈ N∗ ⇔

vn + a√

n = un+k − un + 2(√

n + k − √ n) (∀)n ∈ N∗

Trecem la limită:

limn→∞

(vn + a√

n) = limn→∞

[un+k − un + 2(√

n + k − √ n)]

limn→∞

un+k − un + 2 · n + k − n√

n + k +√

n

= lim

n→∞

un+k − un + 2 · 2k√

n + k +√

n

dar

limn→∞

1

√ n + 1+

1

√ n + 2+ ... +

1

√ n + k 0

−a√

n + a√

n

−2√

n + k + 2√

n =

54


55/61

= limn→∞

2(√

n − √ n + k) = 2 limn→∞

n − n − k√ n +

√ n + k

= −2k limn→∞

1√ n +

√ n + k

= 0

deci

limn→∞

(un+k − un) = 0

limn→∞

2k√ n + k +

√ n

= 0

⇒ limn→∞(vn + a

√ n) = 0

din

limn→∞

(vn + a√

n) = 0 ⇒ (∃) limn→∞

(vn) ⇔ a = 0 ⇔ limn→∞

(vn) = 0

Exerciţiul 5.0.4. Să se calculeze:

limn→∞

sin nπ n√

e

Rezolvare:

Ştim că : sin α = (−1)n sin(α − nπ)

deci

limn→∞

sin nπ n√

e = limn→∞

sin(nπ n√

e − nπ) = limn→∞

sin(nπ n√

e − 1) =

limn

→∞

(−1)n sin π · e1n − 1

1

n

dar, dacă

limn→∞

xn = 0, xn = 0

atunci

limn→∞

axn − 1xn

= ln a, a > 0, a = 1

55


56/61

deci

limn→∞

(−1)n sin π · e1n − 1

1

n

= ln e = 1

Rezultă că

limn→∞

sin nπ n√

e = sin π = 0

Exerciţiul 5.0.5. Să se calculeze:

limn→∞

n n b(n + a)n! , a ∈ R, b ∈ (0, ∞)

Rezolvare:

an = n n

b(n + a)

n! − şir

Logaritmăm

ln an = ln n + ln

n

b(n + a)

n!

= ln n + ln

b(n + a)

n!

1n

=

ln n + ln b + ln(n + a) − ln n!

n =

n ln n + ln b + ln(n + a) − ln n!n

limn→∞

ln an = limn→∞

n ln n + ln bn + ln(n + a) − ln n!n

Aplicăm Teorema Cesaro-Stolz:

limn→∞

ln an= limn→∞

(n+1) ln(n+1) +ln b+ln(n+1+a) −ln(n+1)! −n ln n −ln b −ln(n+a)−ln nn + 1 − n =

limn→∞

ln (n + 1)n+1 · (n + 1 + a) · n!

nn · (n + a) · (n + 1)! = limn→∞ ln

n + 1

n

n· n + 1

n + 1 · n + 1 + a

n + a =

limn→∞ ln1+ 1nn

·1+ 1n + an+a 1n+a = ln limn→∞1+ 1n

n

· limn→∞1+ 1n + an+a limn→∞ 1n+a =

56


57/61

ln e · e0 = ln e = 1

Rezultă

limn→∞

an = limn→∞

n n

b(n + a)

n! = 1

Exerciţiul 5.0.6. Se dă funcţia f : [0, 1] → [0, 1] dată de legea:

f (x) = (x + 1)(x + a)

x2 + 1

Să se demonstreze că şirul (an)n∈N definit prin relaţia de recurenţă:

an+1 = f (an), (∀)n ∈ N

este convergent şi să se calculeze limn→∞

an

Rezolvare:

Din F : [0, 1] → [0, 1] ⇒ f (0), f (1) ∈ [0, 1].

f (0) = (0 + 1)(0 + a)

0 + 1 = a ⇒ 0 ≤ a ≤ 1

f (1) = (1 + 1)(1 + a)

1 + 1 = 1 + a ⇒ 0 ≤ a + 1 ≤ 1

⇒ a = 0

Din

a = 0

⇒ f (x) =

x2 + x

x2

+ 1 ⇒ an+1 =

a2n + an

a2n + 1

unde an+1 = f (an), (

∀)n

∈N

⇔

⇔ an+1 = an(an + 1)a2n + 1

⇔ an + 1an

= an + 1

a2n + 1 (1)

Dar

an ∈ [0, 1] ⇔ 0 ≤ an ≤ 1 ⇔ 0 ≤ a2n ≤ an ⇔ 1 ≤ a2n + 1 ≤ an + 1 ⇔

an + 1

a2n + 1 ≥ 1 (1)=⇒ an + 1

an≥ 1 ⇒ an+1 ≥ an, (∀)n ∈ N

57


58/61

Rezultă că şirul (an)n∈N∗ este crescător şi totodată mărginit superior ⇒ (an)n∈N∗ esteconvergent.

limn→∞

an =?

Cazul 1. Dacă a0 = 0 → an = 0, (∀)n ∈ N∗ ⇒ limn→∞

an = 0 (2)

Cazul 2. Dacă a0 ∈ (0, 1] → trecând la limită ı̂n relaţia de recurenţă :

an+1 = a2n + an

a2n + 1 , (∀)n ∈ N.

limn

→∞

an+1 = a

limn→∞

a2n = a

limn→∞

an = a

⇒ a = a2 + aa2 + 1

⇔ a3 + a = a2 + a ⇔ a2(a − 1) = 0 (3)

(an)n∈N strict cresc˘ ator

a0 ∈ (0, 1] ⇒ a = 0

(3)=⇒ a = 1 → lim

n⇒∞an = 1 (4)

Rezultă din (2) şi (4) :

limn

→∞an =

0, a0 = 0

1, a0 ∈ (0, 1]

Exerciţiul 5.0.7. Să se studieze convergenţa şirului (xn)n≥1 cu termenul general

xn =

1 +

sin(2n + 1)π

2n

n, (∀)n ∈ N∗

Rezolvare:

x2n =

1 +

sin(4n + 1)π

22n

2n=

1 +

sin(2nπ + π

2)

2n

2n=

1 +

1

2n

2n→ e;

x2n+1 =

1 +

sin(4n + 3)π

22n + 1

2n+1=

1 +

sin(2nπ + 3π

2 )

2n + 1

2n+1=

=

1 +

1

2n + 12n+1

→ e−1;

Cun e = 1e

rezultă că limn→∞

xn nu există adică şirul este divergent.

58


59/61

Exerciţiul 5.0.8. Să se calculeze limita şirului (xn)n≥1 definit prin

nk=1

1

n + 3

(k + 1)2(k2 + 1)2

, (∀)n ≥ 1

Rezolvare:

Ne folosim de inegalităţile

k3


60/61

a) Să se arate că (an)n∈N este strict crescător şi nemărginit;

b) Să se calculeze limn→∞

an3√

n

Rezolvare:

a) an > 0 prin inducţie matematică rezultă că

a − n + 1 − an = 1a2n + an + 1

> 0.

Dacă (an)n≥1 ar fi mărginit, ar rezulta că este convergent, adică limn→∞

an = a ( finit ) şi,

trecând la limită ı̂n relaţia de recurenţă rezultă

a = a + 1

a2 + a + 1,

1

a2 + a + 1 = 0 ⇒ a 0, a > 1

Să se arate că (xn)n∈N∗ este convergent.

60


61/61

Rezolvare:

Evident, avem

1 < a1 < a2 < ... < an < ..

deci

1 > 1

a1>

1

a2> ... >

1

an> ... > 0

şi deci

1 > 1

a21>

1

a22> ... >

1

a2n> ... > 0

Atunci

0 < 1 − 1a1

licenta Şiruri.3 63

Documents